1

UNIDAD I SISTEMAS DE UNIDADESLas leyes de la física se expresan en función de cantidades fundamentales. Para expresar una medicióndebe definirse un patrón de referencia, el cual varia de acuerdo al Sistema de Unidades en el cual se estetrabajando.

En el sistema MKS, las magnitudes fundamentales son:Longitud (metro), Masa (Kilogramo) Y Tiempo (segundo).

El Sistema es una adaptación del Sistema métrico y recibe el nombre de Sistema Internacional (S.I)

Entre las unidades patrón definidas por el comité tenemos:1. Longitud (metro) 5.Temperatura (°K)2. Masa (Kilogramo) 6. Corriente eléctrica (Amperio)3. Tiempo (segundo). 7. Intensidad luminosa (Candela)4. Cantidad de sustancia (mol)SISTEMA DE UNIDADES

MAGNITUDESFUNDAMENTALES

MKS CGS INGLES

LONGITUD metro cm pieMASA kilo gramo slugTIEMPO segundo segundo segundo

MAGNITUDES FÍSICAS FUNDAMENTALES:Es toda propiedad que puede ser medida. Ejemplo: longitud, masa, tiempo, Temperatura, volumen, área,velocidad, fuerza, aceleración, fuerzas, entre otros.

Frecuentemente se dice “Mida esa varilla”, lo que se mide es la longitud de la varilla no la Varilla.

La magnitud física es la longitud de la varilla y no la varilla como tal.

CLASIFICACION DE LAS MAGNITUDESMAGNITUDES FUNDAMENTALES:Son aquellas que no provienen de otras magnitudes físicas, tales como:

Longitud (metro) Temperatura (°K)Masa (Kilogramo) Corriente eléctrica (Amperio)Tiempo (segundo). Intensidad luminosa (Candela)

Cantidad de sustancia (mol)MAGNITUDES DERIVADAS: Son aquellas que provienen de la combinación de las magnitudesfundamentales a través de relaciones matemáticas, así pues tenemos: el área de un rectángulo, es decirlargo x alto

Como vemos se obtiene una nueva magnitud llamada área la cual es el producto de 2 longitudes, por tantoel AREA es una magnitud derivada.

Ejemplo de magnitudes derivadas tenemos: (acompañadas de sus unidades)

2

Magnitudes símbolo unidadesVelocidad V= ( m/ s)Aceleración a= ( m/ s2)Fuerza F= ( Newton) = ( kg x m/ s2 )Trabajo mecánico W= ( Joule ) = ( Newton x m )Potencia P= ( Watt) = ( Newton x m / s)

UNIDADES SECUNDARIASSon los múltiplos y sub-múltiplos de las unidades fundamentales y derivadas.

MULTIPLOS

PREFIJOSIMBOLO MAGNITUD

EXA E 1018

PETA P 1015

TERA T 1012

GIGA G 109

MEGA M 106

KILO KG 103

HECTO H 102

DECA DC 10

NOTACION CIENTIFICA

La notación científica es un modo de representar un conjunto de números —ya sean enteros ó reales—mediante una técnica llamada “coma flotante” aplicada al sistema decimal, es decir, potencias de basediez. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños. La notacióncientífica es utilizada para reducir cantidades muy grandes, y que nos permite manejarlas con másfacilidad.

Escribir un número en notación científica es expresarlo como el producto de un número mayor oigual que 1 y menor que 10, y una potencia de 10.

Se escribe, recordando las potencias en base a diez.

100 = 1

101 = 10

102 = 100

103 = 1 000

109 = 1 000 000 000

SUB-MULTIPLOSPREFIJO SIMBOLO MAGNITUDdeci dc 10-1

centi c 10-2

mili m 10-3

micro μ 10-6

nano ή 10-9

pico p 10-12

femto f 10-15

atto a 10-18

3

1010 = 10 000 000 000

1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Adicionalmente, 10 elevado a una potencia entera negativa -n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0,(n-1 ceros) 1:

10-1 = 1/10 = 0,1

10-3 = 1/1000 = 0,001

10-9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por lo tanto un número como 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como1,56234x1029, y un número pequeño como 0,000 000 000 023 4 puede ser escrito como 2,34x10-11.

USOS:La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden ser medidas solamentedentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da toda la informaciónrequerida sin malgastar espacio.

Por ejemplo, la distancia a los confines observables del universo es ~4,6 X 1026m y la masa de un protónes ~1,67 X10-27 kilogramos .

Ejemplos:Caso 1: 238294360000 = 2,3829436 x10 11 85000 = 8,5 x 10 4 3500 = 3,5 x 103

En los casos 1: La coma fue desplazada a la IZQUIERDA hasta lograr un número entre 1 y 10.El exponente de la potencia en base a diez es POSITIVOCaso 2: 0,000312459 = 3,12459 E -4 0,0000076 = 7,6 x 10 -6 0,005678= 5,678 x 10 -3

En los casos 2: La coma fue desplazada a la DERECHA, hasta lograr un número entre 1 y 10El exponente de la potencia en base a diez es NEGATIVO

EJERCICIOSEXPRESAR EN NOTACION CIENTIFICALAS SIGUIENTES CANTIDADES

0,000079 956,7 78620000 5837

0,000453 188 0,0000542 379,60

6500000 0,000015 769 0,0007600

0,726 0,000258 0,00084321 197

12 1475000 129,87 20000

4

LAS SIGUIENTES CANTIDADES EN NOTACIONCIENTIFICA EXPRESARLAS NUEVAMENTE ENNUMEROS ENTEROS O REALES

1,2 X 100 8,956 10 -5 7,863 X10 -3 5,689 X 10 -6

5,78325 X 10 3 2,8 X 10 -4 6,78 X 101 9,5409 X 106

4,578X 10-6 2,89 X 10 -4 5,678 X 10 0 6,09090X 10-5

6,09090X 10 5 9,765 X 103 1,5 X 10-1 5,98 X 10 1

5,67X10 - 2 1,23 X 10 -6 7,865 X 10 3 8,76 X 10 2

OPERACIONES MATEMATICAS CON NUMEROS EN NOTACION CIENTIFICA

Adición

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando la potencia de 10con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse la mantisamultiplicándola o dividiéndola por 10, tantas veces como sea necesario para obtener el mismoexponente): Ejemplo: 5·106

Para sumar (o restar) dos números (o mas) primero y principal debemos tener el mismo exponente en laspotencias de base diez, para esto multiplicamos por diez tantas veces como sea necesario el coeficiente areducir el exponente. Luego buscamos como factor común las potencia de base diez de igual exponente.Por ultimo se opera. De esta manera se obtiene el resultado de la adición o la sustracción.

Ejemplo:

2 X 104 + 3X105

2 X 104 + 3 X 104 X 10 1 FACTOR COMUN 104

ENTONCES 104 X (2 + 3 · 10) = 32 X 104

MultiplicaciónSe multiplican los coeficientes y se suman a la vez los exponentes: Ejemplo: (4·105)·(2·107) = 8·1012

DivisiónSe dividen los coeficientes y se restan los exponentes (numerador -denominador):

Ejemplo: (4·1012)/(2·105) =2·107

PotenciaciónSe potencia la mantisa y se multiplican los exponentes:

Ejemplo: (3·106)2 = (3)2 ; Y LUEGO SE MULTIPLICAN LOS EXPONENETES = 9 X 1012

5

RadicaciónPrimero se debe extraer la raíz de la mantisa y luego se divide el exponente por el índice de la raíz:

Ejemplo:es decir ( se saca la raíz de √ 16= 4 yluego el exponente 26 se divide entre 2.

REDONDEO DE UN NÚMERO

Redondeo es el proceso mediante el cual se eliminan decimales poco significativos a un número decimal.

Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales quese quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear a 2, seaplicará las reglas de redondeo:

REGLAS DEL REDONDEO

Se llama redondeo al proceso de eliminación de cifras no significativas de un número.

Las reglas que emplearemos en el redondeo de números son las siguientes:

Dígito menor que 5: Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más.

Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica. Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,612= 12,61.

Dígito mayor que 5: Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifraretenida. Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad.Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,618=12,62.

Vea los ejemplos y luego resuelva los ejercicios propuestosutilizando Notación científica y las propiedades aplicablesal resolver las operaciones matemáticas

EJEMPLOS EJERCICIOS

10-3 x 10 5 = 1 x 102 120 x 6000

10 5/10 5 =(10 5-5) = 1x100 =1

3000000 / 0,00015

( 10 3)-2 =10-6=1x10-6 (3,5x10 7) . (1,9x10-3)

5x102 + 3x102 = 8x102 (5x10 4)2

√ 36 x 10 6 = 6 x 10 3 √ (81 x 10 10)

6

DIGITO IGUAL A 5: Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más próximo;es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior.

Ejemplo: 12,615. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,615=12,62. EJEMPLO: 12, 465.REDONDEADO A 2 DECIMALES 12, 46

Algunos ejemplos. Si redondeamos 3,678 a tres cifras significativas, O 2 decimales, el resultado es 3,68,que está más cerca del original que 3,67. En cambio si el número a redondear, también a tres cifras, fuera3,673, quedaría 3,67 que es más próximo al original que 3,68. Para redondear 3,675, según la terceraregla, debemos dejar 3,68.Las dos primeras reglas son de sentido común. La tercera es un convenio razonable porque, si se siguesiempre, la mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por exceso.

ORDEN DE MAGNITUD

El orden de magnitud de una cantidad es redondear hasta la potencia de diez mas próxima a la cantidad

Reglas para obtener el orden de Magnitud

1. Se debe expresar la cantidad en NOTACIÓN CIENTIFICA

2. Se verifica lo siguiente

K x 10 n siempre que 1 ≤ K < 10 es decir el coeficiente o mantisa debe estar entre (1 y 9)

Si K < 5,5 el orden de magnitud será 10 n

Si K > 5,5 el orden de magnitud será 10 n+1

Si K = 5,5 el orden de magnitud será 10 n o 10 n+1 cualquiera de las dos es correcto

EJEMPLOS

Determine El orden de magnitud de 96,5

procedimiento: primero lo llevo a NC 9,65x 10 luego analizo y observo los valores de K, como es >

5,5.entonces el OM = 10 n+1 ; 102

Determine El orden de magnitud de 8,4

procedimiento: primero lo llevo a NC 8,4 x 10 0 luego analizo y observo los valores de K, como es >

5,5.entonces el OM = 10 n+1 ; 10 1

Determine El orden de magnitud de 1,5

procedimiento: primero lo llevo a NC 1,5 x 10 0 luego analizo y observo los valores de K, como es <

5,5.entonces el OM = 10 n ; 10 0

7

NOTA: Es importante que tengan presente que al usar un orden de magnitud esto no nos

suministra cifras precisas

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Las cifras significativas de una magnitud física, es el numero de dígitos, contados desde el primer

digito diferente de cero a la izquierda, hasta el último dígito a la derecha, incluyendo los ceros.

Se les llama cifras significativas (también dígitos significativos) al número de todos los dígitos conocidosreportados en una medida, más el último dígito que es incierto (estimado).

Reglas para determinar el número de cifras significativas en una medida:

Los números diferentes de 0 siempre son significativos.Ejemplo: 32,2356gr tiene 6 cifras

Los ceros entre números siempre son significativos.Ejemplo: 208,3 gr tiene 4 cifras

Todos los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.Ejemplo: 7,30 gr tiene 3 cifras

Los ceros que sirven para ubicar el punto decimal no se cuentan.Ejemplo: 0,0345 gr tiene 3 cifras y 5630g también tiene 3 cifrasConviértelos en notación científica y lo verás.

Ejemplos

1,58 x 0,03= 0,05 1,58 tiene 3 cifras significativas y 0,03 tiene una por tanto elproducto debe tener solo una cifra significativa, según regla 4

1,4 x 2,53 = 3,5 1,4 tiene 2 cifras significativa y 2,53 tiene 3 por tanto elproducto debe tener 2 cifras significativas

(2,34x102) + 4,93= 2,39 x 10 2 234 tiene 3 cifras significativas y 4,93 tiene 3 por tanto lasuma debe tener 3 cifras significativas ( 234+4,93= 239=2,39x102

EJERCICIOS

Aplicar la regla apropiada para determinar el número de cifras significativas en las siguientes operacionesy expresar resultados en notación científica

8

1,15 x (9,88 x 10 4) (2,07X104)(9,56X10-2)

(2,98x 10 -8 ) – ( 4,54 x 10 -9) 3,141628X( 4X103)

1891 / 4,56 x 10 -3 5,87X103 / 1,12 X 10 4

57,6 + 5,99 x 10 2 9,24 X 10 5 + 5,78 X 10 4

200,9 x 567,3 0,99 X 10 2 + 9,999X10-7

0,00000006543 x(76,5 x 10 5) 7,9875432 X 43,9X (23,7X102)

65432 / 7,98x10-2 (2,0)5 / 3,1416

1. - Exprese los siguientes números usando potencias de 10: a) 620; b) 89000; c) 0,03; d) 49678; e) 0,014. f)0,000001; g) 1,473; h) 0,002

2. - Exprese los siguientes números en notación decimal: a) 2 x 10-4 ; b) 7,126 x 10 -5 ; c) 3,232456 x 10 -3 ;d) 8,5 x 10 9 ; e) 6 x 10 -2

3. - Efectúe las siguientes operaciones: a) (3x 102 + 4 x 10 3 ); b)(6,32 x 10 2 + 5) ; c) (6 x 10 -2 +2 x 10 -3);d)(5 x 10 7 + 9) ; e) ( 5x 10 2 + 9 x 10 2)

4. - Indique el numero de cifras significativas de las siguientes magnitudes: a) 0,0001 ; b) 0,87645 c)483.000,00001 ; d) 0,1298 x 10-5 ; e) 43,29

5. - La tierra tiene una distancia promedio al sol de 9,3 x 107 millas. Cual es su distancia en km?

6. - Cuantos pies cúbicos (pies 3 ) hay en un metro cúbico (m 3) ?7. - Cuantos cm cúbicos ( cm 3 ) hay en un m 3

8. - La velocidad de la luz es de 3,00 x 108 m/s. Cuál es la velocidad en pies/s?. en millas/s?

CONVERSIÓN DE UNIDADES

Llamamos factor de conversión a la relación de equivalencia entre dos unidades de la mismamagnitud, es decir, un cociente que nos indica los valores numéricos de equivalencia entre ambasunidades. Por ejemplo, si queremos calcular el espacio recorrido por un móvil que se mueve avelocidad constante de 72 Km/h en un trayecto que le lleva 30 segundos, debemos aplicar la sencillaecuación S = v·t, pero tenemos el problema de que la velocidad viene expresada en kilómetros/hora,mientras que el tiempo viene en segundos. Esto nos obliga a transformar una de las dos unidades, deforma que ambas sean la misma, para no violar el principio de homogeneidad y que el cálculo seaacertado.Para realizar la transformación utilizamos los factores de conversión, en nuestro caso, el factor deconversión entre horas y segundos viene dado por la expresión:

9

o la equivalente , ya que 1 hora = 3600 segundos

Para realizar la conversión, simplemente colocamos la unidad de partida y usamos la relación o factoradecuado, de manera que se nos simplifiquen las unidades de partida y obtengamos el valor en lasunidades que nos interesa. En nuestro caso, deseamos transformar la velocidad de Km/hora aKm/segundo, por lo cual usaremos la primera de las expresiones, ya que así simplificamos la unidadhora:

Si tenemos que transformar más de una unidad, utilizamos todos los factores de conversiónsucesivamente y realizamos las operaciones. Por ejemplo, transformemos los 72 Km/h a m/s:

Algunos Factores de conversión de interés:

1 milla = 1609 m 1h = 3600 s1 pie = 30,38 cm 1min= 60 s1 m = 39,37 pulg 1 h = 60 min1 pulg= 2,54 cm

Ejemplos300 Km a millas300km x ( 1000 m/ 1 Km) x (1 milla/ 1609 m) = 186,45 milla

65 millas /h a m/seg65 millas /h x ( 1609 m/ 1 milla) x 1 h/3600seg) = 29, 05 m/seg

Utilizando factores de conversión realice las siguientes conversiones

10000 km/min a millas /h 14586 hectómetro a milímetro67 cm a pulgadas 587653 mm a Km1,6789x104 Km /h2 a m /s289 millas /h a pies/s876 millas /h a m/seg

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Tablas de factores de conversión útiles para resolver los diferentes ejercicios en Física.

Longitud

m c km Pulg pie milla1 metro 1 102 10-3 39.37 3.281 6.214x10-4

1 centímetro 10-2 1 10-5 0.3937 3.281x10-2 6.214x10-6

1 kilómetro 103 105 1 3.937x104 3.281x103 0.61241 pulgada 2.540x10-2 2.540 2.540x10-5 1 8.333x10-2 1.578x10-5

1 pie 0.3048 30.48 3.048x10-4 12 1 1.894x10-4

1 milla 1609 1.609x105 1.609 6.336x104 5280 1

Masa

kg gramo slug u1 kilogramo 1 103 6.852x10-2 6.024x1026

1 gramo 10-3 1 6.852x10-5 6.024x1023

1 slug 14.59 1.459x104 1 6.024x1027

1 unidad de masa atómica(u) 1.660x10-27 1.660x10-24 1.137x10-28 1

Tiempo

seg min h día año1 segundo 1 1.667x10-2 2.778x10-4 1.157x10-5 3.169x10-8

1 minuto 60 1 1.667x10-2 6.994x10-4 1.901x10-6

1 hora 3600 60 1 4.167x10-2 1.141x10-4

1 día 8.640x104 1440 24 1 2.738x10-3

1 año 3.156x107 5.259x105 8.766x103 365.2 1

Velocidad

m/s cm/s pies/segundo mi/h1 metro/segundo 1 102 3.281 2.2371 centímetro/segundo 10-2 1 3.281x10-2 2.237x10-2

1 pie/segundo 0.3048 30.48 1 0.68181 milla/hora 0.4470 44.70 1.467 1

Nota: 1mill/min = 60 mill/h = 88 pies/s

11

Fuerza

Newton dina Libra-fuerza1 newton 1 105 0.22481 dina 10-5 1 2.248x10-6

1 libra 4.480 4.480x105 1

VECTORES.

IntroducciónUn escalar es sencillamente un número positivo o negativo. Ejemplos de escalares son: el tiempo, latemperatura, la masa, la densidad, la carga eléctrica, y la energía.

y

x

V

Figura 1

y

x

(Vx,Vy)

Figura 2

Un vector es la combinación de una magnitud y una dirección, y se representa por una flecha. El vectorde la figura 1 está representado en su forma polar, o sea por su magnitud y dirección. El vector de lafigura 2 está representado en su forma rectangular, o sea por un par de coordenadas que corresponden asus componentes en x y y respectivamente.

‡ Es importante señalar que, en coordenadas polares el ángulo siempre debe ser medido desde la partepositiva del eje x.

Para convertir de coordenadas polares a rectangulares o viceversa pueden usarse las fórmulas que sepresentan en el cuadro a continuación.

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V

y

x

(Vx,Vy)De polares a rectangulares ),()( yx VVV

Componente en x: cosVVx

Componente en y: senVVy

De rectangulares a polares )(),( VVV yxMagnitud: 22

yx VVV

Dirección:

x

y

VV1tan

Ejemplo

¿Cuáles son las coordenadas rectangulares de un vector de magnitud 10 y de dirección 125°?

Las coordenadas polares del vector son )12510( .

Transformando de coordenadas polares a rectangulares:

74.5)125(cos10cos VVx19.8)125sen(10sen VVy

Las coordenadas rectangulares del vector son )19.8,74.5( .

Ejemplo

¿Cuáles son las coordenadas polares de un vector cuya proyección en x es 15 y cuya proyección en y es -20?

Las coordenadas rectangulares del vector son )20,15( .

Transformando de coordenadas rectangulares a polares:

25)20(15 2222 yx VVV

87.3061520tantan 11

x

y

VV

°

Las coordenadas polares del vector son )87.30625( .

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Adición de VectoresLa suma de dos vectores se define por la fórmula:

),(),(),( dbcadcba

Nótese que la anterior fórmula está definida solamente para vectores representados en coordenadasrectangulares. )1,4()4,3()3,1(

)1,0()3,6()2,6(

)1,1()1,0()0,1(

Producto de un Escalar por un VectorSi ),( ba es un vector y k un escalar, entonces el producto de un escalar por un vector se define por:

),(),( kbkabak )6,2()3,1(2

)1,2()1,2(1

)30,0()6,0(5

Es muy útil definir dos vectores base i y j como sigue. Estos son vectores unitarios o sea de magnitud 1trazados a lo largo de las direcciones positivas de los ejes x e y, respectivamente.

)0,1(i )1,0(j

En función de estos vectores base cualquier otro vector ),( ba puede escribirse:

ji baba ),(

Sea el vector )30,10( . ¿Cuál es su notación en función de los vectores base?

La notación en función de los vectores base es ji 3010 .

Producto Interior de Dos Vectores

El producto interior de dos vectores ),( 11 ba y ),( 22 ba se define por el escalar:

21212211 ),(),( bbaababa Este producto es conocido también como producto escalar y como producto punto.

14

63)1(1)3()3,1()1,3(

71)2(1)5()1,1()2,5(

01)0(0)1()1,0()0,1( ji

Magnitud de un VectorLa magnitud de un vector ),( ba es la raíz cuadrada positiva de su producto interior. Esto es:

22),(),(),( babababa

La magnitud de )2,3( es 1349

La magnitud de i es 101

La magnitud de j es 110

Los conceptos físicos se definen con frecuencia en función del producto interior. Por ejemplo, si unafuerza ),( yx ffF actúa durante un desplazamiento ),( yx ddd , entonces el trabajo realizado está

definido por:

),(),( yxyx ddffT dF

Un vector fuerza de )5,10( N actúa sobre un cuerpo durante un desplazamiento )150,20( m. ¿Cuál es eltrabajo realizado?

El trabajo realizado es:

950)150(5)20(10)150,20()5,10( T N m

El cálculo anterior incluye automáticamente la proyección de la fuerza en la dirección del desplazamiento.

Finalmente, si se tienen dos vectores A y B en coordenadas polares, entonces el producto interior secalcula de acuerdo a:

cosBABA

En ésta ecuación, A es la magnitud del vector A, B es la magnitud del vector B y es el ángulo entre

ambos vectores.Calcular el producto interior de los vectores que se muestran en la figura 3.

15

Es fácil apreciar que la magnitud del vector A es 20 yque la magnitud del vector B es 25.

El vector A tiene una dirección de 60° y B tiene unadirección de 15°. Por lo tanto, el ángulo entre ambos esde 451560 .

Entonces, el producto interior es:

55.353)45cos()25)(20(

y

x

B(2515)

A(2060)

Figura 3

Ejercicios.

1) Un automóvil marcha con una rapidez constante de 80km/h. ¿Cuánto recorre en 120min?.2) Un avión recorre 2940 km en 3 h. Calcular su rapidez en m/s3) Calcula tu tiempo de vida en segundos.4) Transformar estas unidades: 34 km a m, 23m2 a cm2, 15m a ft, 1,2*1015cm a km.5) Dos automóviles salen de dos Estados de Venezuela que están en la misma dirección, en sentido

contrario y a 370 km de distancia. Uno de los automóviles iba a una velocidad menor que el otro.Al cabo de tres horas uno había recorrido 12117000 cm y el otro 123000 m. ¿Cuánto le faltan porrecorrer?

6) Un carro avanza 16 m/s ¿cuanto será en km/min?7) ¿Cuántos kg de sal hay en 739 gramos?8) La velocidad de la luz es 3*108 m/s

a) ¿Qué distancia recorre la luz en un año?b) ¿Cuánto recorre la luz del sol en llegar a Plutón? Distancia del sol a Plutón es de

5,91*106 km.9) Un electrón se mueve a una rapidez de 300000000 m/s, expresarlo en km/h10) Un panadero para fabricar 800 panes usa 30 L de agua. ¿Cuántos mililitros de agua se necesitan

para fabricar un pan?11) Una Pirámide contiene aproximadamente 2 millones de bloques de piedra que en promedio pesan

2,50 toneladas cada uno. Encuentre el peso de esta pirámide en libras.12) Una criatura se mueve con una rapidez de 5 furlongs por 2 semanas (unidad de rapidez no muy

común). Dado que 1 furlongs = 220 yd y 2 semanas = 14 días. Determine la rapidez de la criaturaen metros por segundos.

13) Un cargador de mineral mueve 1200 ton/h de una mina a la superficie, convierta esta relación alibras por segundos.

14) Suponga que llenar un tanque de gasolina de 30 galones tarda 7 min. A) Calcule la rapidez a lacual el tanque se llena en galones por segundos. B) Calcule la rapidez a la cual el tanque se llenaen metros cúbicos por segundos. c) Determine el intervalo en horas, que se requiere para llenar unvolumen de 1 m3 a la misma rapidez (1 galón = 231 in3 ).

16

15) Una Pirámide tiene una altura de 481pies y su base cubre un área de 13 acres. El volumen de unapirámide está dado por la expresión V=1/3 (B.h), donde B es el área de la base y h la altura.Encuentre el volumen de esta pirámide en metros cúbicos. (1 acres = 43560 ft2)

16) Un carro conduce 125 km al oeste y después otros 65 km al suroeste. ¿Cuál es el desplazamientodel carro desde el punto de origen (magnitud y dirección?. Elabora un diagrama.

17) Un camión repartidor viaja 14 cuadras al norte, 16 cuadras al este y 26 cuadras al sur. ¿Cuál es eldesplazamiento final a partir del punto inicial? Asume que las cuadras tienen la misma longitud.

18) Si la componente en x de un vector Vx=18.80 unidades y la componente en y Vy=16.40 unidades,determina la magnitud y la dirección del vector V.

19) Calcula la resultante de los siguientes vectores de desplazamiento: (1) 24 m, 30º noreste; (2) 28 m,53º noreste, y (3) 20 m, 40º suroeste.

20) V es un vector de 24.3 unidades de magnitud y apunta a un ángulo de 54.8º por encima del ejenegativo de las x. (a) Encuentra las componentes Vx y Vy de dicho vector.

21) Se tienen dos vectores: VA=8.31 unidades, al este y VB= 5.55 unidades al oeste. Determina elvector VC si: (a) VC = VA+VB, (b) VC=VA–VB, y (c) VC=VB–VA. Da la magnitud y la dirección decada uno.

22) El vector V1=8.08 unidades y apunta hacia el eje negativo de las x. El vector V2=4.51 unidades yse dirige a +45º partiendo del eje positivo de las x. (a) ¿Cuáles son las componentes de cadavector? (b) Determina la suma de estos vectores (magnitud y dirección).

23) Un aeroplano esta viajando a 785 km/h en una dirección de 51.5º noroeste. (a) Encuentra lascomponentes de este vector velocidad. (b) ¿Qué tanto habrá viajado hacia el norte y que tantohabrá viajado hacia el este después de 3.00 horas?

24) Tenemos 3 vectores: A=66 N a 28º con respecto al eje positivo de las x, B=40 N a 56º con respectoal eje negativo de las x, y C=46.8 N, sobre el eje negativo de las y. Calcula la resultante a partir desus componentes y la magnitud y el ángulo que forma con respecto al eje x.

25) Un esquiador lleva una aceleración de 3.80 m/s2 al bajar por una colina que tiene un ángulo deinclinación de 30º. ¿Cuál es la componente vertical de su aceleración? ¿Qué tiempo le tomaraalcanzar el fondo de la colina asumiendo que empieza del reposo y acelera uniformemente, si elcambio de elevación es de 335 m?

26) Encuentra las componentes x y y de: (a) un desplazamiento de 200 km a 34º, (b) una velocidad de40 km/h a 120º y (c) una fuerza de 50 N a 330º.

17

Unidad II CINEMÁTICA

MOVIMIENTO

Todo lo que nos rodea es materia en movimiento, desde los microsistemas hasta los macrosistemas, los

electrones se desplazan en orbitas alrededor del núcleo, la vibración de las partículas de un sólido, el

deslizamiento molecular de los líquidos, el desplazamiento caótico de las moléculas gaseosas, la caída del

agua de una cascada, los movimientos de rotación y traslación planetarios y satelitales, cada movimiento

presenta diferente rapidez, trayectoria y periodicidad.

“El movimiento se define como el cambio de posición de un móvil en un tiempo determinado con

respecto a un marco o sistema de referencia”.

MÓVIL: Toda partícula material que se mueve

PROYECTIL: es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una trayectoria

determinada totalmente por los efectos de la aceleración gravitacional y la resistencia del aire.

¿QUÉ PARTE DE LA FÍSICA ESTUDIA EL MOVIMIENTO?

La parte de la física que se dedica al estudio del movimiento de las cosas o movimientos de los

cuerpos es la MECÁNICA, conocida como la ciencia que estudia el movimiento de los cuerpos.

CLASIFICACIÓN DE LOS TIPOS DE MOVIMIENTO DE ACUERDO A SU TRAYECTORIA

Los tipos de movimiento de acuerdo a su trayectoria curva o rectilínea se clasifican de la siguiente

forma:

TRAYECTORIA: Línea imaginaria descrita al cambiar de posición en el tiempo

Movimiento

Movimiento.Unidimensional

MovimientoBidimensional

1. Mov. Rectilíneo Uniforme

2. Mov. Rectilíneo

Uniformemente Acelerado

3. Tiro Horizontal

4. Tiro Parabólico

Caída libre

Tiro Vertical

18

DISTANCIA: es la medida (escalar) de la longitud de la trayectoria recorrida por un móvil, y esta puede

ser rectilínea o curvilínea.

DESPLAZAMIENTO: El desplazamiento es una magnitud vectorial (presenta magnitud, sentido y

dirección) independiente de la trayectoria descrita por el móvil, y se define como el vector que representa

el cambio desde la posición inicial, o punto de partida hasta la posición final del cuerpo en movimiento.

En la figura observamos que el desplazamiento presenta

una longitud menor que la longitud de la distancia

cuando la trayectoria recorrida por un móvil es

curvilínea. El desplazamiento y la distancia son

equivalentes cuando se tiene una trayectoria rectilínea.

Si después de un recorrido el móvil retorna a la

posición inicial tendrá un desplazamiento igual a cero,

por ejemplo: un automóvil recorre 2km. al sur, 3km. al

este, 2km. al norte y finalmente 3 km. al oeste. La

distancia o longitud recorrida por el automóvil fue de

10 km. (magnitud escalar), y su desplazamiento es cero porque finalizo su recorrido en el punto donde

inicio.

TIEMPO: Concepto fundamental de la física que traduce en términos objetivos las percepciones

subjetivas de antes y después, permitiendo establecer el orden con que se verifica una sucesión de

fenómenos. En el sistema internacional de unidades (SI), la unidad de medida del intervalo de tiempo es

el segundo.

POSICIÓN: La posición esta determinada por las

coordenadas de un punto con respecto a un marco o sistema

de referencia. El sistema de referencia que se utiliza esta

integrado por un par de ejes interceptados en un punto

llamado origen y perpendiculares entre si conocido como

sistema de coordenadas rectangulares o coordenadas

cartesianas. La posición P (X , Y) queda expresada por la magnitud de la abscisa (eje x) y la ordenada

(eje y). Para localizar una posicion A (5 , 3) en la grafica, se traza una perpendicular sobre el eje de las x

Posicióninicial

Posiciónfinal

Desplazamiento

Distancia

♦

♦

y

x

♦

1 2 3 4 5 6 7

4

3

2

1

0

A ( 5 , 3 )

19

tdv

en la magnitud 5 de su escala, posteriormente se traza otra perpendicular al eje y en la magnitud 3 de la

escala, el punto donde se interceptan las dos rectas trazadas indica la posición del punto A.

La posición del mòvil queda representada por medio de las

coordenadas polares, por ejemplo 70 km, = 45 0 con respecto a la

horizontal, la posición está determinada por la magnitud del vector y

su orientción con respecto a un sistema de referencia.

VELOCIDAD Y RAPIDEZCon frecuencia, la velocidad y rapidez se emplean como conceptos iguales, no obstante existe una

diferencia entre ellas determinada por el empleo de una distancia o un desplazamiento, de modo que:

La velocidad de un móvil es el desplazamiento del móvil en la unidad de tiempo. La velocidad es una

magnitud vectorial que además del módulo tiene la dirección y sentido de su desplazamiento.

Matemáticamente la Velocidad:

La rapidez es una magnitud escalar de la velocidad y se define como la distancia recorrida por el móvil en

la unidad de tiempo.

Las unidades de rapidez y velocidad son unidades congruentes, al igual que las unidades de distancia y

desplazamiento

Matemáticamente la rapidez:

Cuando el móvil describe una trayectoria curvilínea, la velocidad y la rapidez pueden ser

iguales en su magnitud pero diferentes en la dirección

Cuando la trayectoria seguida por el móvil es rectilínea la velocidad es igual a la rapidez.

En donde :

Factor

Magnitud que

representa

Sistema

MKS cgs Ingles

v Velocidadm/s

cm/sft/s

x desplazamiento m cm ft

t tiempo s s s

45 0

d = 70 km

tDR

20

VELOCIDAD MEDIA: la velocidad media mv , de una partícula que se desplaza entre dos puntos, se

define como el vector desplazamiento entre dos puntos, x , dividido entre el intervalo de tiempo t ,

durante el cual ocurrió el desplazamiento.

Problemas resueltos

1. Determina la velocidad de un ciclista que recorrió 5000 metros en un tiempo de 250 segundos.

2. ¿Qué distancia recorrerá la luz en 30 segundos? (recuerda que la velocidad de la luz =300,000,000 m/s).

3. Determina el tiempo requerido para que un barco que se desplaza a razón de 120 km/h llegue a un

puerto localizado a 6 km. al Este de su posición.

Datos?v

md 0005

segt 250

Fórmula

tdv

Sustitución

smv

2500005

Resultado

smv 20

Datos

smv 000000300s

md ?

segt 30

Fórmula

tdv

Sustitución ssmd 30000000300

Despejetvd

Resultadomd 0000000009

Datos

sm

hkmv 33.33120

mkmd 00066

?t mkm

mkm

sm

sh

kmm

hkm

00061

10006

33.3360031

11000120

Conversiones

txvm t

xvv mm

La magnitud de la rapidez media es:

21

MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL

Los movimientos unidimensionales son movimientos proyectados por cuerpos que describen

trayectorias rectilíneas (a lo largo de una recta) y pueden ser uniforme o uniformemente acelerados.

1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

Cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales describiendo una trayectoria recta

se tiene el movimiento rectilíneo uniforme. Por ejemplo un auto recorre 5m por cada segundo que

transcurre manteniendo constante su velocidad, se puede predecir la distancia recorrida en

diferentes intervalos de tiempo, o el tiempo que tardará en llegar a su destino.

VELOCIDAD MEDIA EN EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Si la Velocidad Media de una partícula o cuerpo se mantiene constante en todos los intervalos

de tiempo en un movimiento en línea recta, se dice que la partícula (móvil) tiene una velocidad

constante o velocidad uniforme. Si determinamos que una partícula tiene velocidad uniforme,

podemos prescindir de la notación vectorial en la expresión para la velocidad media y utilizar su

módulo como una medida de la rapidez de la partícula. De este modo podemos calcular la

Velocidad Media del Movimiento Rectilíneo Uniforme. Mediante la expresión matemática.

Donde:

tttxxx

12

12

Fórmula

tdv

Sustitución

smmt

33.330006

Resultado

segt 180

Despeje

vdt

x= variación del desplazamientox= variación del tiempo

12

12

ttxxvm

txvm

tvx m .Por tanto: Despejando

22

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

En la figura observamos las posiciones del móvil

con respecto al tiempo, los desplazamientos son

iguales a lo largo de la trayectoria, al graficar

desplazamiento versus tiempo y unir las posiciones,

obtendremos una línea recta, cuya pendiente (m) es

igual a la magnitud de la velocidad (m = vm)

Matemáticamente la ecuación de la pendiente de

una recta es:

12

12

XXYYm

En donde X, Y son la abscisa y

ordenada respectivamente de dos posiciones de la

recta, adaptando la formula a la información de la grafica, la ecuación queda de la siguiente forma:

12

12

ttxxvm m

Consideremos los puntos A (1, 5) y C (3, 15) en donde: t1 = 1 seg., t2 = 3 seg y d1 = 5 m, d2 = 15 m

. Sustituyendo en la formula para determinar el valor de la velocidad tenemos:

1 s 2 s 3 s 4 s0 s

0 m 20 m15 m10 m5 m

sm

ssmmvm 5

13515

20

15

10

5

01 2 3 4

A (1, 5)

D (4, 20)

C (3, 15)

t (s)

B (2, 10)

X (m)

23

Si graficamos velocidad versus tiempo, obtendremos la información correspondiente al

desplazamiento logrado por el móvil a velocidad constante en determinado tiempo, como podrá

apreciarse en la grafica el área sombreada equivale a la magnitud del desplazamiento. Para este

ejemplo tenemos:

2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Cuando el móvil experimenta cambios de velocidad iguales en tiempos iguales se tiene el

movimiento uniformemente acelerado (MUA), si además sigue una trayectoria recta el movimiento es

rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). Es decir, Un movimiento uniformemente acelerado es

aquel en el cual la aceleración es constante.

La aceleración media de un móvil en movimiento acelerado es:

Como estamos tratando la aceleración de una partícula en un movimiento rectilíneo y, además, con

la condición de que la aceleración sea constante la aceleración media en cualquier punto es igual a la

aceleración instantánea. Por lo tanto, la velocidad aumenta o disminuye, con una razón de cambio

igual, durante todo el movimiento. Así la ecuación anterior se transforma en:

if

if

ttvv

a

(*)

5

01 2 3 4

t ( s )

v ( m / s )

A DCB

mx

sssmx

ttvx

entodesplazamiárea

fm

15

145

0

if

ifm tt

vvtva

24

Usualmente, la relación anterior se utiliza con las siguientes condiciones:

1. se considera que el movimiento acelerado se inicia cuando t=0

2. La medición final del movimiento tiene lugar cuando tf = t , donde t es un tiempo cualquiera.

3. Para t=0, la velocidad inicial vi, se designa como vo,

4. a la velocidad final, para un tiempo cualquiera, t, se le designa como vf= v , y especifica el valor de

la velocidad para cualquier tiempo.

De acuerdo a las especificaciones anteriores, la relación (*) tendrá la forma:

En donde.

Observamos en la figura que la longitud de tramo recorrido por el automóvil esta aumentando a

medida que transcurre el tiempo, y es consecuencia del incremento de velocidad que experimenta

en la unidad de tiempo, el automóvil registra un aumento en la velocidad de 5 m/s en cada

segundo y por lo tanto su aceleración es de 5 m/s2

Factor MagnitudSistema

MKS CGS Ingles

a Aceleración m /

s2cm / s2 ft /

s2

fv Velocidad final m / s cm / s ft / s

iv Velocidad inicial m / s cm / s ft / s

t Tiempo s s s

t

vva if

Despejando la velocidadTenemos:

atvv if

25

Datos

sm

hkmvi 2590

Ejercicios resueltos

1. Un móvil se desplaza a razón de 90 km/hr y reduce su velocidad a 30 km/h en un tiempo de 20

seg. ¿Cuál es su aceleración?

segt 20

?a

2. Un corredor desarrolla una velocidad de 5 m/s y al acercarse a la recta final acelera uniformemente a

razón de 1.5 m/s2 durante 40 segundos ¿Con que velocidad cruza la meta?

Velocidad Media en el Movimiento con Aceleración Constante

La aceleración constante no es otra cosa que el cambio uniforme creciente o decreciente del valor de la

velocidad en un intervalo de tiempo t. cuando una partícula se mueve a

velocidad constante, la VELOCIDAD MEDIA (Vm) se expresa como: (a)

Conversiones

sm

sh

kmm

hkm

sm

sh

kmm

hkm

33.860031

1100030

2560031

1100090

Fórmula

tvv

a if

Sustitución

ss

ms

ma

20

2533.8

El signo negativo se debe auna reducción develocidad.

2835.0 sma

Resultado

sm

hkmv f 33.830

Datos

smvi 5

smv f ?

segt 40

25.1 sma

Fórmula

tvv

a if

Sustitución

ssmsmv f 405.15 2

Despeje

atvv if

Resultado

smv f 65

2io

mvvv

26

Es importante destacar que esta ecuación es válida siempre que se mantenga la aceleración constante, es

decir, que la velocidad varíe linealmente con el tiempo.

Desplazamiento En Función Del Tiempo Con Aceleración Constante

12

12

ttxx

txvm

podemos generalizarla y escribirla así:

titfxixfvm

Con las condiciones ya descritas: xx f , oi xx , tt f . 0it

(b)t

xxv om

Igualando (a) y (b):t

xxvv oo 2

Si x=0 cuando to=0

Desplazamiento en Función del Tiempo

Si sustituimos la ecuación atvv o en la (c) se obtiene:

Desplazamiento en Función de la Velocidad

Despejando el tiempo de la ecuación atvv if y sustituyendo en

Se obtiene:

tvvxx oo )(21

tvvx o )(21

( c )

2

21 attvxx oo

tvvxx oo )(21

a

vvvvxx ooo )(21

avv

xx ofo 2

22

tatvxtatvvxx ooooo )2(21)(

21

27

Velocidad en Función del Desplazamiento

Si de la ecuación anterior, despejamos la velocidad v para un tiempo cualquiera t

axvv 222

CUERPOS EN CAÍDA LIBRE

La caída libre es el movimiento vertical de los cuerpos que llegan a la superficie terrestre, experimentando

en forma ínfima los efectos de la fricción del aire.

Con base a las demostración realizada por el científico Galileo Galilei “En ausencia de la fricción del aire,

Todos los cuerpos caen con la misma aceleración “si dejamos caer desde una altura y al mismo tiempo

varios objetos de diferente tamaño, todos llegaran al suelo simultáneamente”.

La caída libre de un cuerpo se produce por la acción y el efecto de la fuerza de gravedad, es decir este

movimiento vertical dirigido hacia el centro de la tierra incrementa su velocidad 9.8 m/s por cada

segundo que transcurre con una aceleración equivalente a la gravitacional.

(Valor redondeado = 10 m/s2 dirigido hacia el centro terrestre)

Este movimiento es un ejemplo claro de aplicación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, y

en la solución de sus problemas se utilizan las formulas del MRUA adaptadas a los cambios que se

observan en el siguiente cuadro.

axvv o 22

Formulas de Caída libre

tgvv o

ygvv o 222

2

2tgtvy o

Cambios

ga

yx 2VVv om

tvvyy oo )(21

2

21 gttvyy oo

)(222 oo yygvv

Si yo =0

Si yo=0

avvt 0

28

En estas ecuaciones el signo negativo se utiliza para el movimiento opuesto a la aceleración de la

gravedad (ascendente ), mientras que el signo positivo se usará para movimientos que tienen la misma

dirección de la aceleración de la gravedad (descendente ).

Problema resuelto

1. Desde un edificio de 30 m de altura se deja caer un objeto: Calcular:

a) la velocidad de impacto.

b) el tiempo que tarde en llegar al suelo.

2. Se lanza una pelota verticalmente para arriba con una velocidad inicial

vo=30m/s. a) Calcular la velocidad al cabo de 1s y 3s. b) ¿Cuál es la altura

máxima a alcanzar por la pelota? c) ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura

máxima?

Datos

vo=30m/s

a) Velocidad al cabo de 1 segundo

Datos

??30

81.9

0

2

f

o

vt

mysmga

v

Fórmula

ghvv of 222

ghv f 22

Sustitución yoperaciones

)30)(81.9(2 22 mv

sm

f

2

26.5882sm

fv

2

26.588sm

fv

sm

fv 26.24

a. Para calcular la velocidad de impacto

Resultado

sm

fv 26.24

Fórmula

tgvv of

Sustitución

281.9026.24

sm

sm

t

b. Para calcular el tiempo total de vuelo

Despeje

gvv

t f 0

Resultado

st 51.2

y max

v = 0

V = 30 m/s

29

Formula Sustitución Resultado

tgvv of ssm

smv f 18,930 2 s

mv f 20,20

Velocidad al cabo de 3 segundos

tgvv of ssm

smv f 38,930 2 s

mv f 6.0

Observa que a medida que la pelota asciende va disminuyendo la velocidad.

b) La pelota alcanza su altura máxima cuando la velocidad ascendente de la misma es igual a cero (v=0).

A esta altura máxima la designaremos ym. Considerando que la altura de referencia es yo=0 y utilizando el

signo negativo en la formula.

Formula Despeje

Sustitución Resultado

c) Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima lo calculamos haciendo yo=0, y=ym= 45,92m, y

vo=30m/s y v=0. Cunado la velocidad es cero, la pelota inicia su caída, por lo que en las formulas

utilizamos el signo positivo (+) .Todo lo que va hacia abajo es positivo, porque va en la misma dirección

de la gravedad

Formula Despeje

Sustitución Resultado

mo ygvv 222 mo ygv 20

2 gvy om 2

2

2

2

/8,92)/30(sm

smym mym 92,45

tvvyy oom )(21 tvy om 2

1

o

m

vyt 2

smmt

/3092,452

st 06,3

30

d) el tiempo total del vuelo

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES (Movimientos mixtos)

Los movimientos mixtos se presentan en dos dimensiones, una dimensión es horizontal o sobre el eje “X”

y la otra dimensión es vertical o sobre el eje “Y”, este tipo de movimiento es observable en la salida del

agua de una manguera, al encestar un balón de básquetbol, el lanzamiento de un proyectil.

Lanzamiento de un Proyectil

Movimiento parabólico horizontal (Tiro Parabólico horizontal)

Es el movimiento de un proyectil lanzado horizontalmente al espacio desde una determinada altura YMAX.

El tiro horizontal describe una trayectoria curva que muestra: a) Desplazamiento horizontal con velocidad

constante a lo largo de la trayectoria. Equivalente a la velocidad de lanzamiento b) Desplazamiento

vertical que parte del reposo e incrementa su velocidad a razón de 9.8 m / s por cada segundo que

transcurre por acción de la fuerza de gravedad considerada como única al despreciar la fricción del

aire.

La figura muestra un diagrama esquemático del movimiento de un proyectil lanzado horizontalmente con

una velocidad inicial vo. En este caso no hay ninguna componente vertical de la velocidad inicial. Al

iniciarse el movimiento, comienza a actuar la aceleración, creando con esto una componente de velocidad

vertical con dirección hacia abajo. La componente horizontal del movimiento no tiene aceleración. Es, por

lo tanto, constante y su descripción q2ueda determinada por la ecuación:

ssstttT 12,606,306,3

Alcance

Alturamáxima VfVY

VX

31

Como el movimiento horizontal es uniforme, el proyectil se desplazará en esta

dirección una distancia dada por:

La componente vertical de la velocidad, generada al iniciarse el movimiento por acción de la gravedad,

así como la altura alcanzada, viene expresa por el movimiento en caída libre haciendo yo=0 y voy=0, ya

que el origen de coordenadas con el punto de disparo del proyectil (yo=0 ), y, además, dado que el

proyectil no tiene componente de la velocidad en el eje vertical (voy=0), por tanto:

El módulo del desplazamiento (d) del proyectil, en cualquier intervalo de tiempo:

La velocidad del proyectil en cualquier punto de su trayectoria es una velocidad instantánea y es tangente

a esa trayectoria. La misma es la suma vectorial de las componentes perpendiculares xv y yv ; es decir:

yx vvv . El módulo de la velocidad será:

La dirección del vector velocidad en cualquier punto de la trayectoria puede ser determinada calculando la

tangente en el punto considerado:

Problema resuelto

Se lanza un proyectil horizontalmente con velocidad de 15 m/s desde una altura de 10 m. Calcular:

a) El tiempo que tarda en llegar al suelo b) la distancia horizontal (el alcance) c) la velocidad de impacto

txvv oxx

tvx ox

gtv y 221 gty

22 yxd

22yx vvvv

)(tan 1 xy vv

gtvv oyy 221 gttvyy oyo

32

a) El tiempo que tarda en llegar al suelo

b) el alcance

c) la velocidad de impacto

1. La magnitud de la velocidad horizontal: smvox 15

. Movimiento parabólico Oblicuo (Tiro parabólico oblicuo)

Es el lanzamiento de un proyectil a una velocidad inicial que forma un ángulo de elevación con

respecto a la horizontal y describe una trayectoria curva. Este movimiento presenta su mayor altura y

alcance cuando su angulo de elevacion es de 45°

ResultadoSustituciónFormula

2

2tgY gYt 2

28.9

102

sm

mt 204.2 st st 428.1

OperacionesDespeje

ResultadoSustituciónFormula

tvx ox )428,1()15( ssmx mx 42.21

2. La magnitud de la velocidad vertical: smssmtgv y 14428.18.9 2

4. Para obtener la dirección de la velocidad final aplicaremos la siguiente formula

Solución: La velocidad final o de impacto es 20.25 m/s, a 43°

3. Finalmente

smsmsmvvv yx 25,20)14()15(

2222

43)933,0(tan)1514(tan)(tan 111

sm

smvv xy

33

Observamos en la gráfica la trayectoria descrita por un proyectil en tres momentos.

1. El desplazamiento horizontal en que se mantiene constante a lo largo de la trayectoria.

2. El desplazamiento vertical presenta las mismas características del tiro vertical hacia arriba:

El proyectil inicia su desplazamiento hacia arriba reduciendo su velocidad a razón de 9.8 m/s

debido a la fuerza de la gravedad. En estas condiciones tenemos una desaceleración , razón por la

que la gravedad será negativa

Hasta llegar a un punto donde se detiene, (vy=0 m/s) en este punto se tiene la altura máxima.

Posterior mente inicia el regreso aumentando su velocidad a razón de 9.8 m/s por cada segundo

que transcurre

Tenemos entonces que al igual que el tiro vertical dirigido hacia arriba, en el tiro oblicuo la velocidad de

lanzamiento es igual a la velocidad de regreso al punto de origen, y el tiempo que tarda en subir es igual

al tiempo que tarda en regresar.

La solución de problemas de trayectorias requiere como punto de partida la velocidad inicial y su

ángulo de elevación. Con esta información se procede de la siguiente forma:

1. Se descompone la velocidad inicial en su componente horizontal y vertical

Alcance

Alturamáxima VfVY

VX

VfVY

VX

VfVY

VXVY

VX

Vi

VX

cosoox vv senvv ooy

34

Como la aceleración horizontal es cero y la vertical corresponde a la de la gravedad, la gravedad

según los ejes X y Y están dadas por:

2. como el desplazamiento horizontal, x, corresponde a un movimiento con velocidad constante,

tendremos:

3. El desplazamiento vertical tiene una aceleración constante, g, dirigida hoy hacia abajo y su expresión

es similar a la de un objeto que se lanza hacia arriba:

4. La velocidad del proyectil en cualquier momento será yx vvv y su módulo es:

5. El tiempo en que alcanza el punto más alto de su trayectoria

5. Altura máxima alcanzada (y=hmax)

6. Tiempo de vuelo: aquel durante el cual permaneció en su trayectoria hasta terminar su desplazamiento

aéreo:

22yx vvv

teconsvvv ooxx tancos gtsenvgtvv ooyy

tvtvx oox )cos(

22

21)(

21 gttsenvygttvy ooy

gsenvt o

gsenvh o2

22

max

35

7. Alcance horizontal: el desplazamiento horizontal del proyectil cunado vuelve a su altura inicial.

8. La dirección de la velocidad al llegar al suelo

Problema resuelto

Un jugador de fútbol patea un balón a un ángulo de 30° con respecto a la horizontal, con una velocidad

inicial de 20m/s. calcular. a) ¿el tiempo que alcanza el punto más alto de su trayectoria; b) la altura

máxima alcanzada; c) el tiempo que permanece en vuelo hasta que toca tierra;d) la distancia horizontal

que alcanza desde su punto de partida hasta el punto de llegada al suelo; e) la velocidad al tocar tierra f) la

dirección de la velocidad al llegar al suelo. Despreciar la resistencia del aire.

a)s

gsenvt

smsenxmo 02,12/8,9

30)/20(

b) msmsensm

gsenvh o 10,5

/8,9230)/20(

2 22222

max

c) ssmsensm

gsenvt ov 04,2/8,9

30/20222

gsenvt ov22

gsenvA oh22 2

)cos

(tan 1

o

o

vgtsenv

36

d) msmsensm

gsenvA oh 51,35/8,9

)30(2)/20(2222

22

e)

smsmvv ox /4,1730cos/20cos

smssmsensmgtsenvv oy /99,9)04,2)(/8,9(30)/20(2

f)

86,29

30cos)/20()04,2)(/8,9(30)/20((tan)

cos(tan 11

smssmsensm

vgtsenv

o

o

Problemas propuestos

1. ¿Qué distancia recorre un auto que viaja a una velocidad constante de 80 km/h en un tiempo de 0.6

h?

2. Un barco se localiza a 500km del puerto y se desplaza hacia él a una velocidad de 60km/hr

¿Cuánto tiempo tienen los pasajeros de ese barco para estar listos a abordar el barco?

3. ¿Cuál es la velocidad de un león que recorre una distancia de 500m en un tiempo de 1 minuto?

4. Determina la aceleración de una partícula que se desplaza a razón de 25 m/s modificando su

velocidad a 45 m/s en un intervalo de 15 seg.

5. Determina la aceleración de un motociclista que reduce su velocidad de 60 km/h a 20 km/h en un

tiempo de 30 seg.

6. ¿Con qué velocidad se desplaza un móvil que parte del reposo y acelera a razón de 2.5 m/s2

durante 300 segundos?

7. Desde un avión en vuelo horizontal se deja caer un bulto con medicinas para un pueblo aislado por

las lluvias. La velocidad horizontal del avión es constante e igual a 250m/s. el bulto tarda 7

22yx vvv

smv /06,20)99,9()4,17( 22

37

segundos en llegar al suelo. Calcular: a) la altura del avión en el momento de soltar el bulto; b) la

distancia horizontal alcanzada por el bulto al tocar la tierra; c) el desplazamiento total del bulto; d)

el módulo de la velocidad del bulto al tocar el suelo y e) la dirección de la velocidad del bulto

cuando toca tierra, ignore la resistencia del aire

8. Un balón es lanzado con una velocidad de 25 m/s con un ángulo de elevación de 60°. Calcular:

a) El tiempo que tarda en alcanzar el punto más alto

b) La altura máxima

c) El tiempo total de vuelo

d) El alcance

9. Dos autos A y B están separados por una distancia de 200 Km, simultáneamente parten del mismo

punto con una rapidez de 60 Km/h y 11,1 m/s respectivamente. Calcular donde y cuando se

encuentran?

10. Un automóvil que se desplaza con una rapidez de 60Km/h se le aplican los frenos durante 0,5

min, hasta alcanzar una rapidez de 4,16 m/s. Cual es la aceleración adquirida y distancia recorrida

en el tramo recorrido?

11. Un móvil se desplaza con una rapidez de 1200 cm/s cuando frena con una aceleración de 2,5 m/s2

hasta detenerse. Calcular la distancia y el tiempo alcanzado por el móvil.

12. Un móvil lleva una rapidez de 460 cm/s , cuando ha recorrido 0,2 km su rapidez es de 1240 cm/s.

Calcular la aceleración y la rapidez cuando haya recorrido 400 m

13. Un auto parte del reposo con una aceleración constante. En un momento dado lleva una rapidez de

5 m/s y 10 m mas adelante lleva una rapidez de 12 m/s. Calcular

a) La aceleración del móvil

b) El tiempo que empleó en recorrer los 10 m

c) Tiempo que emplea en alcanzar una rapidez de 20 m/s

d) Distancia que recorre desde que parte del reposo hasta que adquiere la rapidez de 5m/s

14. Un ciclista parte del reposo y acelera durante 4 s a 3 m/s2 . El ciclista mantiene su rapidez

constante durante 6 s, luego acelera a razón de 1 m/s2 durante 8 s, finalmente se detiene con una

desaceleración de 2 m/s2 . Calcular la distancia y el tiempo que recorrió el ciclista en todo su

recorrido.

15. De un mismo punto parten 2 vehículos en la misma dirección y sentido. El primer vehículo (A)

parte del reposo con una aceleración de 2 m/s2 , mientras que el segundo vehículo (B) sale 2

38

segundos después que el primero y lleva una rapidez constante de 10 m/s. Calcular Cuando y

donde se encuentran?

16. Dos cuerpos A y B están en la misma recta, separados entre si por una distancia de 1,8m. El

cuerpo A parte del reposo con una aceleración de 3 m/s2 y simultáneamente el cuerpo B se dirige

hacia A con una rapidez inicial de 5 m/s y aceleración de 1,4 m/s2 . Calcular la distancia y el

tiempo en que se encuentra.

17. Un móvil parte del reposo con una aceleración de 1 m/s2 que mantiene durante 15 s. Finalizado

este tiempo se desplaza con una rapidez constante durante 3 s, aplicando los frenos hasta llegar a

detenerse en 5 s. Calcular el desplazamiento total realizado por el móvil.

18. Un móvil se desplaza con aceleración constante entre dos puntos A y B que se encuentran

separados a 80 m entre si, tardando 5 s en hacer el recorrido AB. La velocidad del móvil al pasar

por el punto B es de 20m/s calcular: La aceleración del móvil y la velocidad que llevaba cuando

pasó por el punto A.

19. ¿Con qué rapidez se desplaza un móvil que recorre 774 metros en 59 segundos?

20. En la retransmisión de una carrera ciclista el locutor comenta: "estamos a 60 km de la meta yllevamos una velocidad media de 36 km/h". Si mantienen esa media:

a) ¿A qué distancia de la meta estarán 80 min después?b) ¿Cuánto tardarán en llegar a la meta?

21. Un ciclista circula a 4 m/s, en un instante determinado se encuentra a 250 m de un pueblo del quese está alejando. ¿A qué distancia del pueblo se encontrara al cabo de medio minuto?

22. Un automóvil se desplaza con una velocidad de 30 m por segundo, con movimiento rectilíneouniforme. Calcule la distancia que recorrerá en 12 segundos.

23. ¿Cuál es la distancia recorrida por un cuerpo que se mueve a una velocidad constante de 30 m/ sdurante 5 s?

24. Un chico y una chica están separados 30 m, parten al mismo tiempo en el mismo sentido convelocidades de 5 m/s y 3 m/s respectivamente ¿En cuánto tiempo alcanza el chico a la chica?

25. Dos automóviles distan 5 Km uno de otro, y marchan en sentidos contrarios, a 40 y 60 Km/h.¿Cuánto tardarán en cruzarse?

26. Un camión de carga viaja da Barquisimeto a San Cristobal, recorriendo unadistancia de 500 millas, si el viaje tarda 8h. ¿Cual será su velocidadmedia?

39

27. La distancia que separa dos columnas consecutivas del tendido de electrificación de la vía férrea es60m. Calcular el tiempo que emplea un tren en recorrer la distancia entre dos columnas si tiene unarapidez constante de 72 km/h.

28. Calcular su un móvil se ha desplazado 200m a 25s con velocidad constante. ¿Cuál sería sudesplazamiento si mantuviera durante una hora la misma velocidad?

29. Un barco zarpa de A con destino a B con una velocidad de 80 km/h, luego de 3 horas otro sale deB con el mismo sentido que el primero pero, con una velocidad de 50 km/h, si la distancia entre Ay B es de 500 km, calcular:

a) ¿Cuánto tiempo después que zarpó el segundo se encontrarán?b) ¿A qué distancia de B?

30. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, su posición está dada por la ecuación: X(t)=2+3t-4t2. Con X en min y t en seg. Determine:a) Su posición entre t=0,375s y t= 0,750s.b) La aceleración promedio en el mismo intervalo

¿La partícula está reduciendo su velocidad en este intervalo de tiempo?

31. Un automóvil Porche de carrera GT viaja en línea recta con una velocidad media de 1300cm/sdurante 8s, y luego con velocidad media de 480cm/s durante 10s, siendo ambas velocidades delmiso sentido. A) ¿Cuál es el desplazamiento total en el viaje de 18s del automóvil porche? B)¿Cuál es la velocidad media del automóvil porche en su viaje completo?

32. Un móvil que va a 50km/h aplica los frenos durante 15seg. Si al final de la frenada lleva unarapidez de 10km/h. calcula la aceleración.

33. Un automóvil que viaja a una velocidad constante de 120 km/h, demora 10 s en detenerse.Calcular:

a) ¿Qué espacio necesitó para detenerse?b) ¿Con qué velocidad chocaría a otro vehículo ubicado a 30 m del lugar donde aplicó los frenos?

34. Un camión viene disminuyendo su velocidad en forma uniforme, de 100 km/h a 50 km/h. Si paraesto tuvo que frenar durante 1.500 m. Calcular:

a) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?b) ¿Cuánto tiempo empleó para el frenado?

35. Un ciclista se está moviendo a razón de 12 m\s cuando tiene que frenar de emergencia al cruzárseleun gato 2,5 m por delante de él. Y en solo 0,4 s logra detenerse. ¿Qué aceleración tuvo el ciclista y

40

qué distancia cuando tiene que frenar de alcanzó a recorrer? ¿Habrá sido suficiente esa frenadapara evitar atropellar al gato?

36. Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad de 588m/s. Calcular:a) Aceleraciónb) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s?

37. Un móvil que se mueve con una velocidad de 30m/s, aumenta dicha velocidad hasta 80m/s, en 5segundos. Calcular el valor de la aceleración.

38. Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25 s y recorre 400 mhasta detenerse. Calcular:

a) ¿Qué velocidad tenia el móvil antes de aplicar los frenos?

b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

39. Un ciclista que va a 30 km/h, aplica los frenos y logra detener la bicicleta en 4 segundos. Calcular:

a) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

b) ¿Qué espacio necesito para frenar?

40. Un zorro plateado, puede lograr desde el reposo una aceleración de 3 m/s2. Si va a la caza de unconejo que puede lograr una aceleración de 1m/s2 y si éste inicia la huida desde el reposo en elmismo instante que el zorro esta a 36m de él. ¿Qué afirmación es falsa?

a) Lo alcanza después de 6 segundos.

b) La velocidad del zorro es 18m/s, en el instante que atrapa al conejo.

c) La velocidad del conejo es 6m/s, en el instante que es atrapado.

d) El zorro recorre 54 m, antes de atrapar al conejo.

e) El conejo recorre 20 m, antes de ser atrapado.41. Un coche circula con la misma velocidad detrás de un camión que marcha a 66 km/h. en una recta

el conductor del coche acelera durante 8 segundos con una aceleración de 3 m/. Calcula lavelocidad que adquiere en ese tiempo.

42. Un motociclista pasa por un semáforo con velocidad constante de 50 km/h, en el mismo momentoun camión pasa por el mismo lugar y con igual sentido a una velocidad constante de 80 km/h,¿cuánto tiempo después estarán separados por 300 m?

41

43. Un auto parte del reposo, a los 5 s posee una velocidad de 90 km/h, si su aceleración es constantecalcular:

a) ¿Cuánto vale la aceleración?b) ¿Qué espacio recorrió en esos 5 s?c) ¿Que velocidad tendrá a los 11 s?

44. Una caja es lanzada sobre una superficie horizontal y al deslizarse se observa que cada 2s surapidez disminuye en 4m/s hasta detenerse. ¿Qué recorrido realizo la caja durante el últimosegundo de su movimiento?

45. El espacio recorrido por una partícula en un movimiento rectilíneo está dado por: d=t2+2t+12,donde t se mide en segundos y d en metros. Si el movimiento se inicia en el instante t=0, halle lavelocidad, en m/s, que tiene la partícula al cabo de 5 segundos.

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

46. Un automovilista que viaja a una velocidad de 54 Km/h por unacarretera recta acelera su coche con aceleración constante hastaponerlo a 90 Km/h. Si ha tardado 5 segundos en pasar de una velocidada otra, calcular que espacio ha recorrido mientras estaba acelerando.

47. Calcular el tiempo que tarda un móvil en variar su rapidez desde 8 m/s hasta 15 m/s, sabiendo quesu aceleración constante es de 0,7 m/s2.

DINAMICA

Estudia el movimiento de los objetos y de su respuesta a las fuerzas. Las descripciones delmovimiento comienzan con una definición cuidadosa de magnitudes como el desplazamiento, el tiempo,la velocidad, la aceleración, la masa y la fuerza.

Aquella magnitud vectorial mediante la que se puede poner en movimiento un cuerpo, deformarloo modificar su velocidad se la conoce bajo en nombre fuerza. Esta es capaz de transformar el estado dereposo o de movimiento de un cuerpo y se la mide en Newtons (N).

Existen distintos tipos de fuerzas, algunos de ellos son:- Fuerza elástica: es la que logran ejercer los resortes que, fuera de su posición normal, es decir,

cuando están comprimidos o estirados y logran ejercer fuerza, ya sea empujando o tironeando uncuerpo.

- Fuerza de rozamiento: es la fuerza de contacto que surge cuando un cuerpo es deslizado sobreuna superficie y se opone a este movimiento. Dentro de esta fuerza encontramos dos tipos:las dinámicas y las estáticas. La fuerza estática establece la fuerza mínima que se precisa paramover un cuerpo. Esta fuerza es equivalente a la fuerza que se necesite para mover un cuerpo,aunque en sentido contrario. La fuerza que se opone al movimiento de un cuerpo es la derozamiento dinámico.

- Fuerza normal: es aquella que ejerce una superficie cuando reacciona ante un cuerpo que sedesliza sobre ella.

42

- Fuerza gravitatoria: es aquella fuerza de atracción que surge entre dos cuerpos. Esta fuerza estácondicionada por la distancia y masa de ambos cuerpos y disminuye al cuadrado a medida que seincrementa la distancia.

- Fuerza electromagnética: es la que repercute sobre aquellos cuerpos que se encuentraneléctricamente cargado. Está presente en las transformaciones químicas y físicas tanto de átomoscomo de moléculas.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUERZASPara que una fuerza quede determinada debemos conocer:- Su recta de acción o directriz.- Su intensidad. En kg, toneladas o Newton, (según el sistema de unidades adoptado).- Su sentido. Se indica con una flecha.- Su punto de aplicación.

Primera ley de Newton (equilibrio)

Un cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U. = velocidadconstante) si la fuerza resultante es nula (ver condición de equilibrio).

El que la fuerza ejercida sobre un objeto sea cero no significa necesariamente que su velocidad seacero. Si no está sometido a ninguna fuerza (incluido el rozamiento), un objeto en movimiento seguirádesplazándose a velocidad constante.

a) Condición de equilibrio en el plano: la sumatoria de todas las fuerzas aplicadas y no aplicadas debeserΣ Fx = 0Σ Fy = 0

b) Condición de equilibrio en el espacio: la sumatoria de todas las fuerzas aplicadas y no aplicadas debeser nula y, la sumatoria de los momentos de todas las fuerzas con respecto a los tres ejes de referenciadebe ser nula.

43

Equilibrio de fuerzasΣ Fx = 0Σ Fy = 0Σ Fz = 0

Segunda ley de Newton (masa)

Para entender cómo y por qué se aceleran los objetos, hay que definir la fuerza y la masa. Unafuerza neta ejercida sobre un objeto lo acelerará, es decir, cambiará su velocidad. La aceleración seráproporcional a la magnitud de la fuerza total y tendrá la misma dirección y sentido que ésta. La constantede proporcionalidad es la masa m del objeto. La masa es la medida de la cantidad de sustancia de uncuerpo y es universal.

Cuando a un cuerpo de masa m se le aplica una fuerza F se produce una aceleración a.F = m.a

Unidades: En el Sistema Internacional de unidades (SI), la aceleración a se mide en metros porsegundo cuadrado, la masa m se mide en kilogramos, y la fuerza F en newtons.

Se define por el efecto que produce la aceleración en la fuerza a la cual se aplica. Un newton sedefine como la fuerza necesaria para suministrar a una masa de 1 kg una aceleración de 1 metro porsegundo cada segundo.

Un objeto con más masa requerirá una fuerza mayor para una aceleración dada que uno con menosmasa. Lo asombroso es que la masa, que mide la inercia de un objeto (su resistencia a cambiar lavelocidad), también mide la atracción gravitacional que ejerce sobre otros objetos. Resulta sorprendente, ytiene consecuencias profundas, que la propiedad inercial y la propiedad gravitacional estén determinadaspor una misma cosa.

Este fenómeno supone que es imposible distinguir si un punto determinado está en un campogravitatorio o en un sistema de referencia acelerado. Albert Einstein hizo de esto una de las piedrasangulares de su teoría general de la relatividad, que es la teoría de la gravitación actualmente aceptada.

Se deduce que:1 kgf = 9,81 N

En particular para la fuerza peso:

44

P = m.g

Tercera ley de Newton (acción y reacción)

Cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza (acción o reacción), este devuelve una fuerza de igualmagnitud, igual dirección y de sentido contrario (reacción o acción).

Por ejemplo, en una pista de patinaje sobre hielo, si un adulto empuja suavemente a un niño,nosólo existe la fuerza que el adulto ejerce sobre el niño, sino que el niño ejerce una fuerza igual pero desentido opuesto sobre el adulto. Sin embargo, como la masa del adulto es mayor, su aceleración serámenor.

La fuerza de rozamiento es una fuerza de resistencia al movimiento relativo de dos cuerpos encontacto. El roce estático tiene un rango de fuerzas aplicables al objeto. Por lo cual, si la fuerza esobediente y cumple con esta función:

El cuerpo va a estar en reposo.µe: coeficiente de roce estático

Roce dinámico o fricción cinética: esta fuerza ocurre cuando el cuerpo ya está en movimiento. Esel tedioso trabajo de, cuando ya lograste mover la caja, hacer que se siga moviendo, aún así esta fuerza deoposición es más débil lo cual es que cuando logramos hacer mover la caja seguir haciéndola moverse yano se nos hace tan complicado. Este roce es igual al coeficiente de roce por la normal en todo instante.Fr es la fuerza de roce, fd es el coeficiente de roce dinámico y N es la fuerza en la dirección normal a lafuerza aplicada.Esta es la expresión matemática:

Ejemplos1. Una fuerza le proporciona a la masa de 2,5 Kg. una aceleración de 1,2 m/s2. Calcular la magnitud

de dicha fuerza en Newton y dinas.

Datosm = 2,5 Kg.a =1,2 m/s2.F =? (N y dyn)SoluciónNótese que los datos aparecen en un mismo sistema de unidades (M.K.S.)Para calcular la fuerza usamos la ecuación de la segunda ley de Newton:

Sustituyendo valores tenemos:

45

Como nos piden que lo expresemos en dinas, bastará con multiplicar por 105, luego:2. Un ascensor pesa 400 Kp. ¿Qué fuerza debe ejercer el cable hacia arriba para que suba con una

aceleración de 5 m/s2? Suponiendo nulo el roce y la masa del ascensor es de 400 Kg.

Solución

Como puede verse en la figura 7, sobre el ascensor actúan dos fuerzas: la fuerza F de tracción del cable yla fuerza P del peso, dirigida hacia abajo.

La fuerza resultante que actúa sobre el ascensor es F – P

Aplicando la ecuación de la segunda ley de Newton tenemos:

Al transformar 400 Kp a N nos queda que:

400 Kp = 400 ( 9,8 N = 3920 N

Sustituyendo los valores de P, m y a se tiene:

F – 3920 N = 400 Kg. ( 0,5 m/s2

F – 3920 N = 200 N

Si despejamos F tenemos:

F = 200 N + 3920 N

F = 4120 N

46

Propuestos.1. Un móvil de 100 kg recorre 1 km en un tiempo de 10 s partiendo del reposo. Si lo hizo con

aceleración constante, ¿qué fuerza lo impulsó?2. Sobre un cuerpo de 60kg actúa una fuerza constante no equilibrada de 4kp si en el momento en que

actúa la fuerza el cuerpo tiene rapidez de 20 m/s calcular:

a) La rapidez que lleva a cabo de 10 s.b) La distancia que recorre en el lapso de tiempo mencionado

3. Se arrastra un cuerpo de 5kg por una mesa horizontal, sin razonamiento, con una fuerza de 18Nparalela a la mesa.

a) ¿con que aceleración se mueve el cuerpo?b) ¿Qué tiempo tardara en alcanzar una velocidad de 1,5m/s, suponiendo que parte de reposo?

4. Una fuerza de 45N actúa sobre un cuerpo de 15kg, inicialmente en reposo, durante 10 s. calcular lavelocidad final del cuerpo.

5. Se patea una pelota con una fuerza de 1,2 N y adquiere una aceleración de 3 m/s2, ¿cuál es la masade la pelota?

6. Una fuerza de 45 N actúa sobre un cuerpo de 15kg, inicialmente en reposo, durante 10s ¿calcular lavelocidad final del cuerpo?

7. Una lámpara de 4kg cuelga a 50cm del techo sujeta por 2 cuerdas de 65cm cada una. ¿calcular latensión que soporta cada cuerda?

8. En la figura 19 se muestran dos masas M1 = 3 Kg. y M2 = 5 Kg. colgando de los extremos de unhilo que pasa por la garganta de una polea a) Hacer un diagrama de las fuerzas que actúan b)Calcular la tensión del hilo y la aceleración con que se mueve el sistema.

9. Un carrito con su carga tiene una masa de 25 Kg. Cuando sobre él actúa, horizontalmente, una

fuerza de 80 N adquiere una aceleración de 0,5 m/s2. ¿Qué magnitud tiene la fuerza de rozamiento

Fr que se opone al avance del carrito?

47

10. Un objeto de 4 kg de masa, inicialmente en reposo, estalla en tres fragmentos de masas 2 kg, 1 kg, y1 kg. El bloque de 2 kg sale con velocidad de 600 m/s y los otros formando 30º y -45º con relaciónal primero. Determinar sus velocidades.

11. Un avión de 6000kg de masa, aterriza trayendo una velocidad de 500km/h, y se detiene después de10 segundos de andar en la pista. ¿Cuánto vale la fuerza total de rozamiento que hace posible quese detenga?

12. Un cuerpo pesa en la tierra 60 Kp. ¿Cuál será a su peso en la luna, donde la gravedad es 1,6 m/s2?

13. Sobre una piedra atada a un hilo se ejerce verticalmente hacia arriba una fuerza de 90N. Si la piedrapesa 7,35N, Calcular:

a) La masa de la piedrab) La fuerza neta que actúa sobre la piedrac) La aceleración del movimiento de la piedra

14. Un cuerpo pesa 10N en un planeta A. sobre un planeta B, donde la aceleración de gravedad es 1.6g,el cuerpo pesa 27N. Calcular la masa del cuerpo y la aceleración debida a la gravedad en (m/s²) enel planeta B.

15. Sobre un cuerpo de 2.3 Kg actúa una fuerza de 2.45 N. Cuál es la aceleración?. Qué tiempo tarda elcuerpo para aumentar su velocidad de 2m/s a 13 m/s?

16. Encuentre la masa de un cuerpo si una fuerza de 36 N le produce una aceleración de 3.5m/s2

17. Un cuerpo, de 12.5 kg., lleva una velocidad de 2 pies/seg y, con aceleración constante, adquiere unavelocidad de 112 cm/seg. al cabo de 3.2 seg. Cuál es el valor de la fuerza neta?.

18. ¿Qué fuerza debe aplicarse a un cuerpo de masa igual a 5 kg para que tome una aceleración de

3m/s?

19. ¿Qué fuerza será necesaria para que un cuerpo de 30 N de peso alcance una velocidad de 15 m/s en6 segundos partiendo del reposo?

20. ¿Qué fuerza se deberá aplicar a un cuerpo de 800 gramos para que adquiera una aceleración de 2m/s2.

21. Para mover una carretilla cargada de mineral hemos necesitado una fuerza de 680 N. La carretillase ha deslizado por una vía horizontal con una aceleración inicial de 1,2 m/s2. Calcula la masa totalde la carretilla.

22. Un Móvil de 600kg viaja a 10 m/s ¿ Que fuerza deben aplicar los frenos para detenerlo a los 15m?.

48

23. Hallar la fuerza con que se atraen dos masas de 5,5 (1024 Kg. y 7,3 (1022 Kg. separados por unadistancia de 3,8 *108 m.

24. Una carretilla cargada con ladrillos tiene una masa total de 18 kg y se jala con rapidez constante pormedio de una cuerda. La cuerda esta inclinada a 20º sobre la horizontal y la carretilla se mueve 20m sobre una superficie horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el suelo y la carretilla esde 0,5.(cos 25º = 0, 9397). Hallar:

a) Cuál es la tensión en la cuerda?b) Cuánto trabajo efectúa la cuerda sobre la carretilla?

25. Fátima en un supermercado empuja un carrito con una fuerza de 35 Newton dirigida a un ángulo de25º hacia abajo desde la horizontal. Encuentre el trabajo que realiza Fátima conforme se mueve porun pasillo de 50 m. de longitud. (cos 25º = 0,9063)

26. Un bloque de 2,5 kg de masa es empujado 2,2 metros a lo largo de una mesa horizontal sin fricciónpor una fuerza constante de 16 Newton dirigida a 25º debajo de la horizontal. Encuentre el trabajoefectuado por:

a) La fuerza aplicadab) La fuerza normal ejercida por la mesac) La fuerza de la gravedadd) La fuerza neta sobre el bloque.

27. Calcular la masa de un cuerpo, si fuerza de atracción entre dos masas es de 1,8*10-2 N y la

masa de una de ellas 0,6*102 Kg., y las separa una distancia de 0,2*10-1 m.

28. Una bolsa de cemento que pesa 325N, pende de tres alambres, dos de los alambres forman ángulosde 60º y 25º con respecto a la horizontal. Si el cuerpo está en equilibrio encuentre T1, T2 Y T3.

29. Cuando dos objetos de masa desigual M1= 3Kg, M2= 7Kg cuelgan verticalmente de una polea sinfricción y masa insignificante. Determine:a) La magnitud de la aceleración de los dos objetosb) La tensión en la cuerda

60º 25º

49

Supóngase que el sistema inicial esta en reposo determine cuanto ha descendido M2 al cabo de1,2s y la velocidad.

30. El piloto de un avión ejecuta una pirueta de giro completo a rapidez constante en un plano vertical.La rapidez del avión es de 483 km/h y el radio del círculo es de 366 m. ¿Cuál es el peso aparentedel piloto en el punto más bajo si su peso real es de 713 N? (Su peso aparente es igual a la fuerzaque el asiento ejerce sobre su cuerpo.

31. Un péndulo simple de largo L=2m y masa M describe un arco de círculo en un plano vertical. Si latensión es 2.5 veces el peso de la plomada para la posición indicada en la figura 440, encuéntrese lamagnitud de la velocidad lineal y aceleración de la plomada en esa posición.

32. En la figura 21 se muestran dos bloques de masa M2 = 2 Kg. que arrastra sobre el plano horizontalal cuerpo de masa M1 = 7 Kg. Calcular la aceleración del sistema y tensión de la cuerda.

33. Un móvil de 200kg parte del reposo accionando por una fuerza constante de 20 kp. Calcular ladistancia recorrida en 10s.

34. Un cuerpo de 20kg se desplaza a 12 m/s en el momento en que actúa sobre él una fuerza, paradetenerlo recorriendo 50m. Calcular el valor de la fuerza aplicada.

35. ¿Qué fuerza de levantamiento debemos aplicar para levantar del suelo un saco de 20 Kg. de masa?36. Aplicamos una fuerza de empuje de 8060 N sobre un bulto de 200 kg. de masa. El suelo ejerce una

fuerza de rozamiento de 2400 N, calcula la aceleración con la que moveremos el objeto.37. La aceleración de la gravedad en la Luna es aproximadamente 1,6 m/s2 . Calcula qué pesaría sobre

su superficie un astronauta de 70 Kg. de masa que lleva un traje espacial de 50 Kg. de masa.38. Un hombre arrastra un baúl por la rampa de un camión de mudanza. La rampa esta inclinada 20.0º

y el hombre tira con una fuerza F cuya dirección forma un Angulo de 30.0º con la rampa. a ¿Que Fse necesita para que la componente F y paralela a la rampa sea 60.00º N? b ¿Qué magnitud tendráentonces la componente F y perpendicular a la rampa?

39. Un hombre que se está pesando dentro de un ascensor observa queel peso que marca la báscula es mayor que su peso real.

a. El ascensor se mueve hacia arriba con velocidad decreciente.b. El ascensor se mueve hacia abajo con velocidad decreciente.c. El ascensor se mueve hacia arriba con velocidad creciente.d. El ascensor se mueve hacia abajo con velocidad constante.

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UNIDAD IV. TRABAJO Y ENERGIA

DEFINICION DE TRABAJOEl trabajo, en mecánica clásica, es el producto de una fuerza (en la dirección del desplazamiento) por ladistancia que recorre (s) . La fuerza que realiza trabajo es la componente Fx = F cos α ; mientras que Fyno realiza trabajo

El trabajo es una magnitud física escalar, y se representa con la letra (del inglés Work) o (de Labor)La unidad básica de trabajo en el Sistema Internacional es el newton × metro que se denomina julio (jouleen inglés), y es la misma unidad que mide la energía. Por eso, se entiende que la energía es la capacidadpara realizar un trabajo, o que el trabajo provoca una variación de energía.

TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE

Hay casos en los que el cálculo del trabajo es muy sencillo. Si el módulo de la fuerza es constante y elángulo que forma con la trayectoria también es constante, tendremos: Fuerza (F) por distancia(d) igual aTrabajo(W).

Es el caso de una fuerza constante y trayectoria rectilínea.

Además, si la fuerza es paralela al desplazamiento, tendremos:

Si la fuerza es paralela al desplazamiento, pero en sentido contrario:

Si sobre una partícula actúan varias fuerzas y queremos calcular el trabajo total realizado sobre estapartícula, entonces R representa al vector resultante de todas las fuerzas aplicadas.

Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la fuerza a lo largodel desplazamiento por el desplazamiento. W=Ft·s

Objetivos de la Unidad: Identificar el trabajo efectuado por las fuerzas actuantes y las diferentesmanifestaciones de energías asociadas al movimiento apreciando su importancia e influencia en lasactividades desarrolladas en la vida cotidiana.

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Ejemplo:

Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ánguloentre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.

Trabajo efectuado por un resorte.

En la figura se muestra un sistema físico común para el cual varía la fuerza con la posición. Un bloquesobre una superficie horizontal sin fricción se conecta a un resorte. Si el resorte se alarga o se comprimeuna pequeña distancia desde su configuración in deformada o de equilibrio ejercerá sobre el bloque dadapor

Fr = -kx

Donde x es el desplazamiento del bloque desde su posición de equilibrio (x = 0) y k una constante positivaconocida como constante de fuerza del resorte.

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Cuando x es negativa (resorte comprimido), la fuerza del resorte es hacia la derecha.

LA ENERGÍA CINÉTICA

Los cuerpos pueden realizar un trabajo por el hecho de estar en movimiento, es decir, los cuerpos enmovimiento tienen energía. Esta forma de energía mecánica se llama energía cinética (EC).

Cuando un cuerpo está en movimiento, tiene una cierta velocidad. Ya sabes que, para pasar del estado dereposo a movimiento, hay que aplicar una fuerza, que multiplicada por el desplazamiento del cuerpo esigual al trabajo que realiza.Trabajo y energía Cinética

Se define energía cinética como la expresión

El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre unapartícula modifica su energía cinética.

Si se realiza un trabajo sobre una partícula, ésta adquiere esa misma cantidad de energía, habitualmente suenergía cinética (este es el teorema del trabajo y la energía o teorema de las fuerzas vivas):

Por ejemplo, si un cuerpo se está moviendo por un plano horizontal con una energía cinética de 8 J(Joules) y recibe en el sentido de su movimiento una fuerza de 4 N (Newtons) constante durante 10 m,alcanzará una energía cinética de 48 J.

Nótese que una fuerza perpendicular al desplazamiento no hace variar la energía cinética de la partícula.Éste es el caso de la fuerza magnética, que curva la trayectoria pero mantiene constante el módulo de lavelocidad.

Por ejemplo: si una persona mantiene un bulto a una distancia de 1.5m del suelo y camina 3 metros, eltrabajo realizado es cero, dado que ángulo que se forma entre el desplazamiento y la fuerza es 90º

Cuando x es positiva (resorte extendido), la fuerza del resorte es hacia la izquierda.

Cuando x es cero, la fuerza del resorte es cero (longitud natural del resorte).

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Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor yque opone una resistencia constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masaes de 15 g.

El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J

La velocidad final v es

LA ENERGÍA POTENCIAL

La capacidad de un cuerpo de producir trabajo por el hecho de estar a una cierta altura se llama energíapotencial gravitatoria, o más sencillamente, energía potencial (EP).

Consideramos un cuerpo de masa m que elevamos ejerciendo una fuerza (F). El trabajo realizado será:

W = F · s

Donde el desplazamiento (s) lo consideraremos como altura (h) y la fuerza realizada para elevarlo ha detener un valor ligeramente superior al peso, pero con sentido opuesto, para que pueda elevarse:

F = P = m · g

Sustituyendo la fuerza por el valor del peso y el desplazamiento por la altura en la definición de trabajo,obtenemos:

W = F · s = m · g · h

Por tanto, la energía almacenada por un cuerpo que se encuentra a una altura, h, (Ep) es:

EP = m · g · h

La energía potencial equivale al trabajo que ha costado elevar el objeto de masa m a la altura h.

Hemos supuesto que la EP = 0 cuando estamos en la superficie terrestre, que consideramos h = 0. Si eldesplazamiento es horizontal, no hay variación de altura y, por tanto, la variación de la energía potenciales nula.

Existen otros tipos de energía potencial, como la energía que se acumula en los cuerpos elásticos aldeformarlos (un arco). Cuando cesa la deformación, la energía acumulada produce el