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UNIDAD I OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS

I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez

ESQUEMA

Leyes de Exponentes

Multiplicación

Suma

ESQUEMA-RESUMEN DE LA UNIDAD

OPERACIONES CON

MONOMIOS Y POLINOMIOS

Álgebra (Concepstos

básicos)

Resta

Valor numérico de una expresión

algebraica

Logaritmos y sus propiedades

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RESUMEN DE LA UNIDAD

División

Exponentes Fraccionarios

3

Presentación

El Álgebra es la rama de las matemáticas en la que se usan letras para

presentar relaciones aritméticas. Al igual que en la Aritmética, las operaciones

fundamentales del Álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y

cálculo de raíces. La Aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las

relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un

triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma

de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmética sólo da casos

particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El

Álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las

condiciones del teorema: a2 + b2 = c2

El Álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en

vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar

dichos símbolos. El Álgebra moderna ha evolucionado desde el Álgebra clásica al

poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran

al Álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o

relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de Álgebra es la

que dice que el Álgebra es el idioma de las matemáticas. (Encarta, 2006)

En mi experiencia personal, te podría decir que el Álgebra se emplea en

todos los campos del conocimiento. Posiblemente y de forma cotidiana, no la

aplicamos tal y como la estudiamos, es decir, cuando vamos al supermercado, o

debemos abordar un transporte, o tenemos que ir a pagar los servicios,

difícilmente la solución del Teorema de Pitágoras c2 = a2 + b2 podría ayudarnos a

resolver tales problemas. No obstante, cuando se trata de “formalizar” una

situación, esto es, expresarla en lenguaje matemático, es cuando el lenguaje que

empleamos es el algebraico; y al formalizar situaciones del mundo real, por

ejemplo situaciones que involucran distancias, rutas, superficies, volúmenes,

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diferencias, incrementos, proporciones etc…, se van desarrollando estructuras

internas de pensamiento que son capaces de abstraer de la realidad las variables

importantes que deben considerarse para tomar una decisión. Así por ejemplo,

cuando yo me pregunto ¿Cuál es la ruta más corta para ir al supermercado y de

ahí pasar a pagar los servicios de agua, luz y teléfono ahorrando tiempo y

acortando distancias? No dibujo en un papel un croquis (lo cual podría hacerse

con algún fin de formalización), ni dibujo el triángulo rectángulo para calcular las

distancias de los puntos aplicando la fórmula de la distancia, sino que

internamente empiezan a trabajar las estructuras de pensamiento que he

aprendido sobre Geometría, Álgebra y Trigonometría y entonces mi cerebro es

capaz de abstraer la realidad y proporcionarme un algoritmo (la secuencia de

pasos más eficiente) para que yo recorra todos los lugares, haga mis pagos y mis

compras en el orden más adecuado y en el menor tiempo posible. Es tan solo una

forma simple y llana de cómo el Álgebra tiene una aplicación práctica en la vida

cotidiana. Claro que hay una infinidad de aplicaciones y ten por seguro que en

cualquier área de conocimiento que estudies o a la que te dediques, la emplearás

continua y necesariamente.

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1.1 ÁLGEBRA (CONCEPTOS BÁSICOS).

Expresiones algebraicas

Trabajar en Álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que

una o más cantidades son desconocidas . Estas cantidades se llaman variables,

incógnitas o indeterminadas y se representan por le tras .

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por

los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y

potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar

áreas y volúmenes:

• Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la

circunferencia.

• Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.

• Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.

Ejemplos de traducción de proposiciones verbales a

expresiones algebraicas

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2, 3, 4,...: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado : x2

Un número al cubo : x3

Dos números consecutivos : x y x + 1.

Dos números consecutivos pares : 2x y 2x + 2.

Dos números consecutivos impares : 2x + 1 y 2x + 3.

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Ejemplos de traducción de proposiciones verbales a

expresiones algebraicas

Descomponer 24 en dos partes : x y 24 − x.

La suma de dos números es 24: x y 24 – x.

La diferencia de dos números es 24: x y 24 – x.

El producto de dos números es 24: x y 24/x.

El cociente de dos números es 24: x y 24 · x.

Un número incrementado en 8 : x + 8.

Dos más que tres veces un número: 3x + 2.

Cuatro menos que seis veces un número: 6x – 4.

Doce veces la suma de un número y 5: 12(x + 5).

Cinco menos que dos veces la distancia, d: 2d – 5.

El seis por ciento de un número: 0.06c.

El costo de un artículo incrementado en un 7% de impuestos: c + 0.07c .

El costo de un artículo reducido en 35%: c – 0.35c .

Un número y el número disminuido en 10%: x – 0.10x .

La edad de Luis dentro de seis años: x + 6.

La velocidad del segundo tren es 1.8 veces la velocidad del primero: 1.8v.

David y su hermano comparten $90: 90 – x.

A Tomás le lleva tres horas más que a Roberta terminar la tarea: t + 3.

Hilda tiene $5 más que dos veces el monto de dinero que tiene Héctor: 2x + 5.

La longitud de una mesa es 7 unidades menos que 3 veces su ancho: 3w – 7.

La suma de dos números es 19: 19 – x.

Una tabla de diez metros cortada en dos pedazos: x – 10.

$10,000 compartidos por dos personas:: 10,000 – x.

Los últimos tres ejemplos podrían no ser muy obvios. Considera “La suma de

dos números es 10”. Cuando sumamos x y 10 – x obtenemos x + (10 – x) = 10.

Otro ejemplo: Cuando una tabla de 10 metros se corta en dos tramos serán x y

10 – x. Por ejemplo, si un tramo es de 3 metros, el otro debe ser de 10 – 3 = 7

metros.

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Tipos de expresiones algebraicas

Monomios

Otra definición de un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas

operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de

exponente natural . Ejemplo: 2x2 y3 z

Partes de un monomio

Tipos de expresiones algebraicas

Monomio .- Expresión algebraica formada por un solo término. Ejemplo: 2x2 Binomio Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos. Ejemplo: 2x2 + y3 Trinomio Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos. Ejemplo: 2x2 + 3y3 - 2x2

Polinomio Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término. Ejemplos: 2x2 + y3 + 2x2 + 5y2 - 2x2

Partes de un monomio

Coeficiente . El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

Parte literal La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes. Grado El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

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Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0

Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes .

n un número natural.

x la variable o indeterminada.

an es el coeficiente principal.

ao es el término independiente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra

elevada la variable x.

Clasificación de un polinomio

según su grado

Primer grado (o grado 1)

P(x) = 3x + 2

Segundo grado (o grado 2)

P(x) = 2x2+ 3x + 2

Tercer grado (o grado 3)

P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2

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Tipos de polinomios

Para ver el glosario relativo a los conceptos algebraicos más comunes, descarga

el archivo Glosario de Álgebra.doc que encontrarás en la sección de

Herramientas del curso/Glosario.

Clasificación de

polinomios

Polinomio nulo Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

Polinomio homogéneo Es aquel polinomio en el todos sus términos o monomios son del mismo grado. Ejemplo: P(x) = 2x2 + 3xy Polinomio heterogéneo Es aquel polinomio en el que sus términos no son del miso grado. Ejemplo: P(x) = 2x3 + 3x2 - 3

Polinomio completo Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado. Ejemplo: P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3

Polinomio ordenado Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado . Ejemplo: P(x) = 2x3 + 5x - 3 Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican: 1) Los dos polinomios tienen el mismo grado . 2) Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales .

P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 5x - 3 + 2x3

Polinomios semejantes Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 5x3 − 2x − 7

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1.2 SUMA DE MONOMIOS, SUMA DE POLINOMIOS, SUMA DE VARIOS POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Y FRACCIONARIOS.

La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir dos o más

expresiones algebraicas (sumandos ) en una sola expresión algebraica (suma ).

Así, la suma de a y b es a + b, porque esta última expresión es la reunión de las

dos expresiones algebraicas dadas: a y b.

La suma de a y –b es a – b, porque esta última expresión es la reunión de las dos

expresiones algebraicas dadas: a y –b.

Regla general para sumar

Para sumar dos o más expresiones algebraicas se esc riben unas a

continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos

semejantes si los hay.

1) Sumar 5a, 6b y 8c.

Los escribimos unos a continuación de otros con sus propios signos, y como 5a =

+5a, 6b = +6b y 8c = +8c la suma será: 5a + 6b + 8c

Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes .

La suma de los monomios es otro monomio que tiene l a misma parte literal y

cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

axn + bxn = (a + b)x n

2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z

Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio .

2x2 y3 + 3x2 y3 z

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Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del

mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3

1.-Ordenamos los polinomios , si no lo están.

Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 -3x2 + 4x)

2.-Agrupamos los monomios del mismo grado .

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3

3.-Sumamos los monomios semejantes .

P(x) + Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3

Otro ejemplo. Para sumar P(x) = 3x4 –5x2 + 7x con Q(x) = x3 + 2x2 – 11x + 3

procedemos de la siguiente forma:

La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.

El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo

altera, por lo que es el elemento neutro de la suma. Todo polinomio tiene un

opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un

polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro).

1.3 RESTA DE MONOMIOS Y RESTA DE POLINOMIOS

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo . De

manera formal, se llama diferencia de dos polinomios, P(x) - Q(x), al resultado de

sumarle a P(x) el opuesto de Q(x).

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Ejemplo:

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3

1.4 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS.

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo

coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número .

5 · 2x2 y3 z = 10x2 y3 z

Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el

producto de los coeficientes y cuya parte literal s e obtiene multiplicando las

potencias que tenga la misma base.

axn · bxm = (a · b)xn +m

5x2 y3 z · 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como

coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el n úmero .

3 · ( 2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman

el polinomio .

3 x2 · (2x3 - 3x2 + 4x

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos

del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2 - 3) · (2x

= 4x5 − 6x

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x

Se obtiene otro polinomio

polinomios que se multiplican

También podemos multiplicar polinomios

Ejemplo: Efectuar de dos modos distintos la

P(x) = 3x4 + 5x3 -2x + 3 y Q(x) = 2x

Modo 1

P(x) · Q(x) = (3x4 + 5x

= - 3x5 + 9x

= 6x6 + 7x

Modo 2

+ 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2

Multiplicación de polinomios

Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos

3) · (2x3 - 3x2 + 4x) =

6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

polinomio cuyo grado es la suma de los grados

multiplican .

multiplicar polinomios de siguiente modo:

Efectuar de dos modos distintos la multiplicación de los polinomios

2x + 3 y Q(x) = 2x2 - x +3

+ 5x3 -2x + 3) · (2x2 - x +3) =

+ 9x4 + 10x5 - 5x4 + 15x3 - 4x3 + 2x2 - 6x + 6x2

+ 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 - 9x + 9

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Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos

grados de los

polinomios :

- 3x + 9 =

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Un ejemplo más del modo 2:

Para multiplicar los polinomios P(x) = 3x4 - 5x2 + 11 y Q(x) = x3 + 2x2 + 4

procedemos de la siguiente forma, acomodando primero los polinomios conforme

al modo 2:

La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.

El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no

lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio

inverso de otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada

no hay elemento inverso.

La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera

que sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que:

P(x)•[Q(x) + R(x)] = P(x)•Q(x) + P(x) •R(x)

1.5 DIVISIÓN DE MONOMIOS Y SINTÉTICA Y TEOREMA DEL RESIDUO)

División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios

dividendo mayor o igual que el

La división de monomios

cociente de los coeficientes y cuya parte literal s e obtiene dividiendo las

potencias que tenga la misma base.

axn / bxm = (a / b)xn − m

Si el grado del divisor es mayor

División de polinomios

Se llama división entera de un polinomio

n al proceso por el cual se obtienen otros dos polinomios

las siguientes condiciones:

grado de C

Los polinomios P, Q, C y

cociente y resto.

DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS. (DIVISIÓN SINTÉTICA Y TEOREMA DEL RESIDUO)

División de monomios

dividir monomios con la misma parte literal y con el

que el grado de la variable correspondiente del

monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el

cociente de los coeficientes y cuya parte literal s e obtiene dividiendo las

potencias que tenga la misma base.

grado del divisor es mayor , obtenemos una fracción algebr aica

División de polinomios

entera de un polinomio P(x) de grado m entre otro Q

al proceso por el cual se obtienen otros dos polinomios C(x) y R(x) que cumplen

P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)

de C(x) = m - n; grado de R(x) ≤ n - 1

y R se llaman, respectivamente, dividendo, divisor,

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POLINOMIOS. (DIVISIÓN

y con el grado del

de la variable correspondiente del divisor .

coeficiente el

cociente de los coeficientes y cuya parte literal s e obtiene dividiendo las

aica .

Q(x) de grado

) que cumplen

se llaman, respectivamente, dividendo, divisor,

Ejemplo:

Resolver la división de polinomios:

P(x) = 2x5 + 2x3 −x -

P(x) : Q(x)

Paso 1.-A la izquierda situamos el dividendo

dejamos huecos en los lugares que correspondan.

Paso 2.-A la derecha situamos el divisor dentro de una caja .

Paso 3.-Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monom

del divisor.

x5 / x2 = x3

Paso 4.-Multiplicamos cada término del polinomio divisor po r el resultado

anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Paso 5.-Volvemos a dividir

monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al

dividendo.

2x4 / x2 = 2 x2

Resolver la división de polinomios:

8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1

A la izquierda situamos el dividendo . Si el polinomio no es completo

en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja .

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monom

Multiplicamos cada término del polinomio divisor po r el resultado

anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

dividir el primer monomio del dividendo entre el primer

monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al

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no es completo

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monom io

Multiplicamos cada término del polinomio divisor po r el resultado

el primer monomio del dividendo entre el primer

monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al

Procedemos igual que antes.

5x3 / x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 / x2 = 8

10x − 16 es el resto , porque su

se puede continuar dividiendo.

Otro ejemplo concreto:Al dividir P(x) = 5x3 + 7x2 - 3 y

Se obtiene que el cociente

Procedemos igual que antes.

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no

se puede continuar dividiendo. x3+2x2 +5x+8 es el cociente .

Otro ejemplo concreto: 3 y Q(x) = x2 + 2x - 1:

es C(x) = 5x – 3, y el resto, R(x) = 11x – 6.

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y por tanto no

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La descripción del proceso es la siguiente:

1.-El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor

grado del numerador por el del denominador: 5x3/x2 = 5x.

2.-Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo.

3.-Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta (la diferencia

obtenida) fuera ahora el dividendo.

4.-El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor.

Cuando el resto de la división es cero, entonces se dice que la división es

exacta y que el dividendo, P(x), es múltiplo del divisor, o bien que P(x) es

divisible por Q(x,) y se cumple la relación: P(x) = Q(x)·C(x)

Teorema del resto

Al dividir un polinomio P(x) por x - a, puesto que el divisor es un polinomio de

grado 1, el resto es, necesariamente, de grado cero (es decir, es un número).

El teorema del resto afirma que “el resto de dividir un polinomio P(x) por x - a es,

precisamente, el valor del polinomio cuando x vale a”, es decir, R = P(a), pues

como P(x) = (x - a)C(x) + R, al darle a x el valor a se obtiene:

P(a) = (a - a)C(a) + R = 0 + R = R

El resto de la división de un polinomio P(x) entre un polinomio de la forma

(x - a) es precisamente el valor de dicho polinomio cuando x vale a.

Ejemplo de aplicación:

Calcular por el teorema del resto el resto de la división:

P(x) / Q(x)

P(x)= x4 − 3x2 +2

Hacemos la división sintética para saber cuánto va a quedar como resto.

P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81

Como el divisor fue (x

sea, el dividendo P(x)= x4

residuo encontrado por división sintética.

Ejemplo de aplicación:

Calcular por el teorema del resto el resto de la división:

Q(x)= x − 3

Hacemos la división sintética para saber cuánto va a quedar como resto.

+ 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Como el divisor fue (x-3), sustituimos el valor de 3 en el polinomio original,

− 3x2 +2 y obtuvimos el valor de 56 que es el mismo

residuo encontrado por división sintética.

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Hacemos la división sintética para saber cuánto va a quedar como resto.

3), sustituimos el valor de 3 en el polinomio original, o

que es el mismo

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1.6 LEYES DE EXPONENTES PARA EXPONENTES ENTEROS.

Definición de exponente El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número. En el ejemplo gráfico: 82 = 8 × 8 = 64. En palabras: 82 se puede leer "8 a la

segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Otro ejemplo: 7 x 7 x 7 x 7 = 74, que se lee 7 elevado a la cuarta, el exponente es

el número 4 (cuatro).

Ahora bien las leyes de exponentes son las reglas de tratamientos de este tipo de

operación.

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La ley que dice que x mxn = xm+n

En xmxn, ¿Cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces,

después otras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x 2x3 = (xx)× (xxx) = xxxxx = x 5

Así que x2x3 = x(2+3) = x5

La ley que dice que x m/xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta:

"m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total

"m-n" veces.

Ejemplo: x 4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x 2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y

una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x0=1 :

Ejemplo: x 2/x2 = x2-2 = x0 =1

La ley que dice que (x m)n = xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces,

en total m×n veces.

Ejemplo: (x 3)4 = (xxx) 4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x 12

Así que (x3)4 = x3×4 = x12

La ley que dice que (xy) n = xnyn

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este

ejemplo:

Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3

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La ley que dice que (x/y) n = xn/yn

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y) 3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x 3/y3

La ley que dice que

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:

Y eso es todo.

Bueno, sólo una cosa más... ¿Qué pasa si x = 0, es decir, si la base es igual

a 0 ?

El extraño caso de 0 0

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0,

así que alguna gente dice que es "indeterminado":

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1.7 EXPONENTES FRACCIONARIOS.

Los exponentes fraccionarios, como el que vemos en el siguiente monomio: x½

también se llaman "radicales"

En el ejemplo de 82, el exponente es "2", ¿pero y si fuera "½"? ¿Cómo

funcionaría?

Pregunta: ¿Qué es x ½ ?

Respuesta: x½ = la raíz cuadrada de x (o sea x½ = x )

¿Por qué?

Porque si calculas el cuadrado de x½ tienes: (x½)2 = x1 = x

Para entenderlo más claramente, sigue esta explicación de dos pasos:

1 Primero, hay una regla general: (xm)n = xm×n (Porque primero

multiplicas x "m" veces, después tienes que hacer eso "n" veces, en

total m×n veces)

Ejemplo: (x 2)3 = (xx)3 = (xx)(xx)(xx) = xxxxxx = x 6

Así que (x2)3 = x2×3 = x6

2 Ahora, vemos qué pasa cuando hacemos el cuadrado de x½:

(x½)2 = x½×2 = x1 = x

Cuando hacemos el cuadrado de x½ sale x, así x½ tiene que ser la

raíz cuadrada de x.

Probemos con otra fracción. Ahora con un exponente de un cuarto ¼:

¿Qué es x ¼?

Veamos: (x¼)4 = x¼×4 = x1 = x

Entonces, ¿qué valor se puede multiplicar 4 veces para tener x?

Respuesta: La raíz cuarta de x.

Así que x¼ = la raíz cuarta de x = 4 x

24

De hecho podemos hacer una regla general:

Ejemplo: ¿Cuánto es 271/3 ?

Respuesta: 271/3 = 3 27 = 3

¿Qué pasa con fracciones más complicadas?

Las fracciones más complicadas se pueden separar en dos partes:

• Una parte con un número entero, y

• Una parte con una fracción del tipo 1/n

Para entender eso, sólo recuerda que m/n = m × (1/n):

Así que tenemos esto:

Ejemplo: ¿Cuánto es 43/2 ?

Respuesta: 43/2 = 43×(1/2) = ( )34 = 4)4(4 ×× = (64) = 8

1.8 LOGARITMOS Y SUS PROPIEDADES.

Regla general:

Un exponente fraccionario como 1/n significa hacer la raíz n-ésima:

Un exponente fraccionario como m/n significa haz la potencia m-ésima ,

después haz la raíz n-ésima

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Antes de abordar este tema, hagamos un repaso acerca de las Potencias y sus

propiedades.

26

Ahora sí, comencemos nuestro estudio sobre los logaritmos:

27

28

29

1.9 VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

Cristina tiene problemas de riñón y el médico le ha recomendado que tome 2 litros

de agua al día.

Para cumplir la recomendación del médico, Cristina quiere conocer la capacidad

que tienen los vasos de su casa, y así podrá saber cuántos tendrá que beberse al

día. Sus vasos tienen forma cilíndrica, con lo que utiliza la fórmula del volumen del

cilindro para calcular su capacidad.

Esta fórmula es una expresión matemática que no sólo tiene números, también

incluye letras que representan el radio del círculo base y la altura del cilindro. La

fórmula del volumen del cilindro es una expresión algebraica.

Para calcular el volumen del vaso, Cristina mide el radio del círculo base, para lo

que mide el diámetro y lo divide entre 2, y la altura del vaso, todo en centímetros.

Luego sustituye estos valores en la fórmula y calcula el volumen en centímetros

cúbicos.

Lo que ha hecho Cristina es calcular el

que se utiliza para calcular el volumen de un cilindro.

Como 2 litros equivalen a 2.000 centímetros cúbicos,

294'5 para saber cuántos vasos se tiene que beber, con lo que al final decide que

se beberá 7 vasos al día.

En matemáticas utilizamos letras en lugar de números en muchas ocasiones:

• Para expresar y manejar un número que no conocemos.

• Para expresar fórmulas con las que obtenemos un resultado, en función de

los valores numéricos que les demos a esas letras.

• Para generalizar relaciones

• Con las letras que sustituyen a los números podemos realizar las mismas

operaciones que con los números

Luego sustituye estos valores en la fórmula y calcula el volumen en centímetros

es calcular el valor numérico de la expresión algebraica

za para calcular el volumen de un cilindro.

Como 2 litros equivalen a 2.000 centímetros cúbicos, Cristina divide 2.000 entre

294'5 para saber cuántos vasos se tiene que beber, con lo que al final decide que

amos letras en lugar de números en muchas ocasiones:

Para expresar y manejar un número que no conocemos.

Para expresar fórmulas con las que obtenemos un resultado, en función de

los valores numéricos que les demos a esas letras.

Para generalizar relaciones y propiedades numéricas.

Con las letras que sustituyen a los números podemos realizar las mismas

operaciones que con los números

30

Luego sustituye estos valores en la fórmula y calcula el volumen en centímetros

expresión algebraica

divide 2.000 entre

294'5 para saber cuántos vasos se tiene que beber, con lo que al final decide que

amos letras en lugar de números en muchas ocasiones:

Para expresar fórmulas con las que obtenemos un resultado, en función de

Con las letras que sustituyen a los números podemos realizar las mismas

31

Una expresión algebraica está formada por números y letras unidos

mediante operaciones matemáticas.

El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que

obtenemos cuando sustituimos las letras por números y hacemos las

operaciones que indica la expresión.

En resumen:

Ejemplos finales:

L(r) = 2 · r

r = 5 cm. L (5)= 2 · 5 = 10 cm

S(l) = l2

l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2

V(a) = a3

a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3

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REFERENCIAS

Fernández, J.C. (2008) “Vitutor.com sitio web de libre acceso, y con contenidos

gratuitos para todos sus usuarios”. Consultado en Mayo 23, 2009 en

http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html#

García, M.J. (2006) “Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales” Consultado

en Mayo 30, 2009 en http://www.catedu.es/matematicas_blecua/index_soc.htm)

Micronet. Enciclopedia Junior Micronet. Enciclopedia multimedia. Micronet.

Microsoft (2006). Microsoft Encarta (2006). Biblioteca Premium. Microsoft,

Corporation.

Pierce, R. (2008) "Menú de Álgebra" Disfruta Las Matemáticas. Consultado en

Mayo 23, 2009 en http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/index.html

FORTEC, Formación y Tecnología S.L. (2009) Consultado en Julio 28, 2009 en

http://www.deberesmatematicas.com