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2012-

2013

2º ESO

UNIDADES 7 Y 8: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES

Departamento de Matemáticas IES Fray Bartolomé de las Casas de

Morón

Unidades 7 y 8: Expresiones algebraicas y

ecuaciones

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OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Utilizar el lenguaje algebraico y

comprender sus reglas.

2. Hallar el valor numérico de una

expresión algebraica.

3. Realizar operaciones de suma,

resta, multiplicación y división de

monomios.

4. Comprender qué son los

polinomios y conocer las nociones

básicas: término, término

independiente, grado. Operaciones

• Lenguaje algebraico. Normas y

valor numérico.

• Monomios. Operaciones.

• Polinomios. Suma y resta.

• Producto de polinomios.

• Productos notables

• Traducción a lenguaje algebraico

de enunciados de la vida real.

• Cálculo del valor numérico de

expresiones algebraicas.

• Operaciones y reducciones con

monomios.

• Operaciones de sumas y/o restas

con polinomios.

• Cálculo de productos de

polinomios.

• Cálculo de productos notables.

• Extracción del factor común en

expresiones algebraicas.

5. Distinguir identidades y ecuaciones

con solución y sin solución.

6. Determinar si un número es

solución o no de una ecuación.

7. Identificar y resolver ecuaciones de

primer grado.

8. Utilizar las ecuaciones para

resolver problemas.

• Identidades. Ecuaciones.

• Ecuaciones equivalentes.

• Ecuaciones de primer grado.

• Ecuaciones de primer grado con

denominadores.

• Ecuaciones de segundo grado sin

término lineal.

• Identificación de identidades y

ecuaciones.

• Comprobación de la validez de un

valor como solución de una

ecuación.

• Resolución de ecuaciones de

primer grado.

• Obtención y resolución de la

ecuación necesaria para resolver

problemas.

RESUMEN DE LA UNIDAD (1)

• El lenguaje algebraico utiliza letras en combinación de números y signos. La parte de las

Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra.

• Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras que se combinan con los

signos de las operaciones matemáticas.

• Podemos hallar el valor numérico de una expresión algebraica: sustituimos las letras por

números y realizamos las operaciones.

• Los monomios son las expresiones algebraicas más sencillas: Están formados por

productos de números (coeficientes) y letras (parte literal o indeterminadas).

• Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma (o resta) de dos o más

monomios. Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir monomios (y también

polinomios).

• Una ecuación es una igualdad algebraica que sólo se cumple para algunos valores

concretos de la indeterminada que se llama incógnita.

• Resolver ecuaciones es encontrar el valor numérico de la incógnita. Se utilizan técnicas

concretas para la resolución de ecuaciones, incluso con denominadores y paréntesis.


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OBJETIVO 1

Ejemplo:

Lenguaje cotidiano Lenguaje numérico

Diez más quince son veinticinco 10+15=25

Dos elevado al cuadrado es cuatro 2� = 4

La tercera parte de dieciocho es seis �� =6

Lenguaje algebraico • El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos se llama lenguaje

algebraico. • La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se

llama Álgebra. • Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras que se combinan con los

signos de las operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación, división y

potenciación.

Ejemplo:

Lenguaje cotidiano Lenguaje algebraico

La suma de dos números (cualesquiera) a+b

El cuadrado de un número (cualquiera) ��

La mitad de un número (cualquiera) 2

1. Expresa en lenguaje algebraico.

Lenguaje usual Lenguaje algebraico

El doble de un número más dos unidades

Un número disminuido en cinco unidades

La tercera parte de un número

El cubo de un número

La diferencia de dos números

El número siguiente a otro cualquiera

El doble de x más dos unidades


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2. Escribe en cada caso su correspondiente expresión algébrica.

Expresión escrita Expresión algebraica

El doble de un número b 2 ∙

El doble de la suma de dos números (m y n)

La edad de cualquier persona hace dos años.

El cuadrado de un número x más 4 unidades

La edad de cualquier persona dentro de

quince años

El número siguiente a otro cualquiera n

3. Inventa frases para estas expresiones algebraicas.

Expresión escrita Expresión algebraica

� + 1

� +

2

2(m-n)

��-1

2 ∙ � + 1


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OBJETIVOS 2

Valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras

por los números y realizar a continuación las operaciones que se indican.

Ejemplo: Halla el valor numérico de la expresión algebraica 3 ∙ � + 2 cuando � = 1

3 ∙ �1� + 2 = 5

4. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas de acuerdo a los distintos

valores de x:

� � − � � − � �� − � �� + � �� − ��

1

2

-1

-2

0


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OBJETIVO 3

Monomios

• Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número por una

o varias incógnitas.

−�� !"$%!" �$:��'(")%*%"+!":−�,-./�0102-�3�4ó.�36�7282,-./�0102-�3�4ó.�36��281 → ,-: �;(;"$<(+(<%(282 + 1 = �

=

• Los monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

−2��, 16�� son semejantes

5. Completa la tabla:

��@� −�� A�� −��A ��B�� C�@ Coeficiente

Parte literal

Grado

6. Escribe un monomio que cumpla las condiciones dadas en cada caso:

a) Tener grado 3 y tres incógnitas _________________________________

b) Tener coeficiente negativo, dos incógnitas y grado 5 ________________

c) Tener coeficiente 5, una sola incógnita y grado 5 ___________________

d) Tener coeficiente fraccionario, una incógnita y grado 4 ______________

7. Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los monomios dados:

�D��

−��@�

−B��@

A��


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• Suma y resta de monomios Sólo se pueden sumar o restar monomios semejantes. Para ello operamos los coeficientes y

mantenemos la parte literal.

�� − E�� + �� = �3 − 8�� + 5�7 = −�� + ��

• Multiplicación y división de monomios Para multiplicar o dividir monomios se multiplican o dividen los coeficientes por un lado y las

partes literales por otro. B�� ∙ �� = ��B��( Recuerda que para multiplicar potencias de igual base, se deja la misma base y se suman los

exponentes)

�D��: �� = B�� (Recuerda que para dividir potencias de igual base, ponemos la misma base y restamos los

exponentes)

8. Siguiendo el ejemplo, opera hasta obtener una expresión más sencilla:

�� − �� + E� + �� = �� + E�� + �−�� + �� = �� + �−�� = �� − ��

��2� + 5� − 4� =

�2�� + 7�� − 3�� =

4� 12 �7 + 3��7 − 25�7 + 5��7 =

0�3H + 5� − 8H − � =

e)7� − 3 + 4� − 2� + � =

9. Siguiendo el ejemplo, calcula el producto de los siguientes monomios:

�� ∙ I−��J = � ∙ �−�� ∙ I� ∙ � ∙ � ∙ ��J = −�D��B

�� ∙ I−��J ∙ I−��J =

K��−CK� ∙ I�KBJ ∙ I�K�J =

*�� ∙ �−B�K� ∙ �−�K� =

;��−��K� ∙ I��KJ =

"��−�� ∙ I��J ∙ I��J =


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10. Observa el ejemplo y divide los siguientes monomios:

IA��KJ: �B�K� = A��KB�K = ��

��I−��J: �� =

K�I�B�AJ: I��J =

*�I−A��J: I��BJ =

;��B*;�: �;*� =

11. Realiza las siguientes operaciones con monomios, efectuando primero las operaciones de los

paréntesis:

�� + �� ∙ �� − �� = �� ∙ �� = �D��

Nota: Recuerda cómo se suman monomios semejantes

��IB�� + �� + ��J: �� =

K�IA�A − L�AJ: I�� + ��J =

*�IE�� + A��J: � =


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OBJETIVO 4

Polinomios

• Una expresión algebraica formada por suma y/o restas de dos o más monomios no semejantes se llama polinomio.

• Cada uno de los sumandos se denominan términos.

• Cada término puede tener coeficiente y parte literal, o sólo coeficiente y/o parte literal.

• Existen términos que sólo llevan números, se les llama términos independientes.

• Los polinomios también se pueden clasificar por grados. El término que tenga mayor

grado determina, sumando los exponentes de su parte literal, el grado del polinomio.

Ejemplo Polinomio Términos Término independiente Grado del polinomio �� − �� − � ��, −��,−� −� 3; el grado de ��es 3 −�� + L −��, L L 2; el grado de �� es

2 �� + �� , �� D 3; el grado de ��es 3

Suma y resta de polinomios

• Para sumar y restar polinomios, sumamos y restamos los monomios semejantes.

Ejemplo:

Dados A=5�M − 6�� + 4� − 5 y B=2�M + �� + 8�� − 3� + 8, calcula A+B y A-B

5�M − 6�� + 4� − 5

+ 2�M + �� + 8�� − 3� + 8 _____________________________

7�M − 5�� + 8�� + � + 3 = N + O

5�M − 6�� + 4� − 5

+ −��B − �� − E�� + �� − E _____________________________

3�M − 7�� − 8�� + 7� − 13 = N − O = N + �−O�

12. Dados los polinomios siguientes, calcula A+B y A-B:

a) P = C�� − ��B − �� + �� + �� − � Q = −B�B + �� − �D� + �


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b) P = ��B + �� − �D� + �� Q = A�B − �� + �� − �� − ��

c) P = A�� + E�� − �� + � Q = A�� − �� + �� − �

d) P = �D�B − �� − �� + A� Q = −�� + �� − �� − �

Producto de polinomios

• Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por

cada monomio del segundo.

Ejemplo 1:

2� − 5

X 4��

________ E�� − �D�� O también: �2� − 5� ∙ �4�� = 8�� − 20��

Ejemplo 2:

�� + B�� − �� + C

X ��– � ___________________

4�M + 8�� − 6�� + 14�

−6�� − 12�� + 9� − 21

____________________________

B�B + �� − �E�� + �� − ��


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13. Calcula los siguientes productos:

��IB�� − �� + �J ∙ I��J=

K�IA�� + �� − �J ∙ I�� + �J =

*�I�D�� − �� + �J ∙ U��V =

;�IB�� + A�� + �DJ ∙ U� − ��V =

e) �� − �� ∙ I�B − � + �J =


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Productos notables

• Cuadrado de la suma:�� + K�� = �� + � ∙ �� + � = �� + ��K + K� �� + �� = �3� + 5� ∙ �3� + 5� = �3�� + 2 ∙ �3�� ∙ �5� + �5�� = L�� + �D� + ��

• Cuadrado de la diferencia:�� − K�� = �� − � ∙ �� − � = �� − ��K + K� �� − �� = �3� − 5� ∙ �3� − 5� = �3�� + 2 ∙ �3�� ∙ �−5� + �−5�� = L�� − �D� + ��

• Suma por diferencia:�� + K� ∙ �� − K� = �� − K� �� + �� ∙ �� − �� = �3�� − 5� = L�� − ��

14. Calcula, utilizando las “fórmulas” anteriores, los siguientes productos notables:

�� + 5�� =

��8 − 7�� =

4��4� − 2�� =

0��5 + 27�� =

2�� − 7� ∙ �� + 7� =

W� U12 − �V� =

.� X3 + �3Y� =

ℎ��−2� + 7�� =

3��2� + 3� ∙ �2� − 3� =

[� U� + 15V ∙ U� − 15V =

15. Encuentra el producto notable asociado a cada expresión:

��36 − �� =

�25 − 20� + 4�� =

4�� + 16� + 64 =

0�� − 49 =


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División de un polinomio entre un monomio (La división entre polinomios no es para este curso de 2º)

• Para dividir un polinomio entre un monomio dividimos cada monomio del polinomio

entre el monomio en cuestión.

• Una fracción algebraica es una fracción con indeterminadas en el denominador �� + �� = �� + �� \("]^+_($%+(<%(, "]^+�) �**%ó+�$:"K �%*��

B�� + A�� = �� + ��`í"]^+_($%+(<%(�

16. Realiza las siguientes divisiones:

��b − 2�M + 5�� − 2��: � =

��6�b + 12�M − 3��: 3�� =

4��−47b + 67M + 27��: 37� =

Extraer factor común

• La siguiente igualdad se verifica por la propiedad distributiva del producto respecto

de la suma: �� − �� + ��@ = ��∙I�� − � + @J

• El factor común ��se puede extraer porque está en todos los sumandos

17. Extrae factor común:

��30�M + 5�� − 15�� =

�6��7c + 12�7 − 3�c − 15�� =

4��7M − �M7� + ��7 − ��7�


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OBJETIVO 5 y 6

Ecuaciones e identidades

• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es cierta o se

verifica para algunos o un solo valor de la incógnita. �� − � = � (sólo es cierta la igualdad para � = 1)

• Miembros de una ecuación son las dos expresiones algebraicas que hay a cada lado

de la igualdad: a izquierda y a derecha (por lo tanto tiene sólo dos miembros)

• Términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros.

• Una identidad es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es cierta siempre. �� + �� = �� ( es cierta cualquiera que sea el número que pongamos en el lugar de x)

• Solución de una ecuación es el valor de la incógnita que cumple la igualdad � = � es la solución de la ecuación �� − � = �, ya que �� − � = �

• Si una ecuación no se verifica para ningún valor de la incógnita, se dice que es incompatible (ecuación sin solución).

18. Comprueba, siguiendo el ejemplo, si los valores indicados para � son o no soluciones de las

siguientes ecuaciones:

Valor Ecuación Cálculo Solución (Sí/No) � = � �� + � = C

� ∙ � + � = C Sí

� = B �� − B = E

� = � B� − � = �

� = B � + �� + �� = E

� = � �� + �� = �� + �� − �

� = −� �� + �� = � + �


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OBJETIVO 7

Ecuaciones equivalentes. Resolución

• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones Son equivalentes: 6 + � = 8 y � + 3 = 5

• Para obtener ecuaciones equivalentes: ��deH�/1/286�/-�H38H�2�f/283ó��-18018H32H/1802-�24e�43ó��ge-63f-34�/103h303/-18018H32H/1802-�24e�43ó�f1/e��4��630�003863�6�0242/1

• Resolución de ecuaciones: Despejamos la incógnita (la dejamos sola), utilizando los

procedimientos de obtención de ecuaciones equivalentes:

B� + � = �D ]^<�<(]�i��jkkkkkkkkkl4� + 2 − 2 = 10 − 2 ";^*%<(]jkkkkkkl4� = 8 ;%m%;%<(]_( Bjkkkkkkkkkkkl 4�4 = 84

]%<_$%)%*�<(]jkkkkkkkkkkl� = � ← d1-e43ó�

Este proceso es equivalente al siguiente, mas simplificado:

B� + � = �D �o^""]!á]^<�+;(�$�%@o^%" ;�,_�]� "]!�+;(�$�;" "*q�jkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkklB� = �D − � ";^*%<(]jkkkkkkl

B� = E "$*(")%*%"+!";"�,o^""]!á<^$!%_$%*�+;(�$�%@o^%" ;�,_�]�;%m%;%"+;(�$�;" "*q�jkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkl� = EB]%<_$%)%*�<(]jkkkkkkkkkkl� = �← d1-e43ó�

19. Resuelve las siguientes ecuaciones despejando la incógnita:

�� + �� = �A K�� − A = �� *�� − �D = −�� ;�� − � = C "�� + � = �� + A

)�� − � = −�� + �D :�� + � = �� + A q�� − �� = � − � %�B + B� = �D + �D� r�A� + L = −� + E


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Resolución de ecuaciones con paréntesis �� − �� = B� − �D 1. Quitamos los paréntesis: 2 ∙ 5� − 2 ∙ 2 = 4� − 10 → �D� − B = B� − �D 2. Resolvemos la ecuación:

10� − 4� = −10 + 4 → 6� = −6 → � = −66 → � = −�

20. Resuelve paso a paso:

�� − �� = �D K��−�� + �� = −�� *�A�� − �D� = −�� ;�� − �� = �� + �� "�� = B�� + ��

)� − C + � = −B�� − C� :�� − A� = �� − �� q�� − �� = ��B� − �� %�� − �� = B�� − �� r�� − A� = L�� − ��


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Resolución de ecuaciones con denominadores �� − � = �� + EB

1. Reducimos a común denominado todos los términos de la ecuación:

El m.c.m. es 4 3�2 − 1 = 2� + 84 → A�B − BB = E�B + EB

2. Quitamos denominadores y resolvemos:

6� − 4 = 8� + 8 → −4 − 8 = 8� − 6� → −12 = 2� → −122 = � → −A = �

21. Calcula la solución de las siguientes ecuaciones con denominadores:

�� − � = �

K�B�� − � = A + ��

*�� − �� − � = �A + �

;� �� − A = B

"� �A − � = � − ��

)�� − �� + �� = ��− �A (Conviene simplificar antes de reducir a común denominador)


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18

Resolución de ecuaciones con paréntesis y denominadores

�X�� − �Y = �U�A� − ��V

1. Quitamos paréntesis:

5 X�2 − 2Y = 3U162 − 2�V → �� − �D = BE� − A�

2. Reducimos a común denominador ambos miembros. El m.c.m. es 2: �� − �D = BE� − A� → �� − �D� = BE� − ��

3. Quitamos denominadores y resolvemos la ecuación: �� − �D = BE − �� → 5� + 12� = 48 + 20 →

17� = 68 stuvtswxyvttzu{t|}u}t~�twt�yvtt��á�vz�}�z}ux~w{,�x�xw}�}w}t~w{jkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkl � = AE�C

22. Resuelve las siguientes ecuaciones:

��A U� − �� V = ��B

K�L X�� − �Y = ��

*�� − �� = −�U� − ��A V

;� UA�� − ��V = �U�� + BC V

"� �� + B = � − UE − ��B V

)�� X�� − �Y = A�� − L�


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OBJETIVOS 8

Resolución de problemas mediante ecuaciones

• Leer atentamente el enunciado

• Identificar y dar nombre a la incógnita

• Traducir al lenguaje algebraico las relaciones entre los elementos del problema

• Resolver la ecuación

• Interpretar la solución y responder a la pregunta formulada

Ejemplo: “Busca dos números naturales consecutivos cuya suma sea 15”

DATOS INCÓGNITAS FÓRMULAS Y/O RESOLUCIÓN

La suma de ambos números

naturales, es 15

+ = �º��6e/�-,+ + � =8e41�824e63h1183.e32�62

(Relación entre ambos) + + �+ + �� = �� + + �+ + �� = �� → + + + + � = �� → �+ = �� − � → �+ = �B → + = �B� → + = C

Solución : Los números

buscados son 7 y 8

23. Si sumo 4 al número de mi camiseta de fútbol, resulta un número equivalente al doble del

anterior al que llevo. ¿Cuál es el número de mi camiseta?

DATOS INCÓGNITAS FÓRMULAS Y/O RESOLUCIÓN

Solución :


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24. El procesador de mi ordenador ha costado 550€ más que el monitor. Si los dos elementos

juntos valen 1374€, ¿cuánto cuesta cada uno?

25. Si un hijo tiene 12 años y su padre 38, ¿cuántos años deberán pasar para que el padre tenga

el triple de la edad de su hijo?

26. He comprado 3 pantalones y me han sobrado 10€. Si hubiera comprado 4 pantalones me

hubieran faltado 3€. ¿Cuánto cuesta un pantalón?


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27. Tengo el triple de billetes de 10€ que de 20€. Si en total tengo 200€, ¿cuántos billetes hay de

cada valor?

28. La altura de un rectángulo mide 14 cm menos que la base. Si el perímetro del rectángulo es

de 32 cm, ¿cuánto mide la base?

Ecuaciones de segundo grado sin término lineal

• Una ecuación de segundo grado es de la forma: �� + K� + * = D

• Nos referiremos en lo sucesivo, sólo a las ecuaciones de la forma ∶ �� + * = D, es decir

sin el término lineal �K��. • Término cuadrático, ��

• Término independiente, *

• Resolución de �� + * = D:

�� + * = D → �� = −4 → �� = −4� → � = ±�−*� (Si

iux < 0, 280243/, �2.�63h1, -�24e�43ó��1632�281-e43ó�/2�-� Ejemplo:

Resolver la ecuación 3�� − �C = D

3�� − �C = D →3�� = �C → �� = �C� →�� = L → � = ±√L → � = ±�


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29. Resolver las ecuaciones:

�� = �� K�� − �DD = D *�� = �C

;�� − E = D

"�B�� − �A = D

)�B�� + �A = D

30. ¿Cuánto debe medir la base de un triángulo para que valga el doble que su altura si dicho

triángulo tiene un área de �A*<�?

31. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 cm y 10 cm. Calcula la longitud de la

hipotenusa de dicho triángulo.(Recuerda el Teorema de Pitágoras)

32. Calcula el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 5 cm.

Nota: Dibuja el triángulo y señala la altura relativa a la base. ¿Observas algún triángulo rectángulo

en el que aplicar el Teorema de Pitágoras?

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