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Lección 6: EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS

1.- ÁLGEBRA. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y LENGUAJE ALGEBRAICO

ÁLGEBRA es la parte de las matemáticas que estudia las expresiones algebraicas.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA es la expresión matemática que combina operaciones con

números y letras.

Las letras representan valores desconocidos (incógnitas) o indeterminados (variables).

LENGUAJE ALGEBRAICO es el lenguaje que permite expresar situaciones problemáticas de

la vida corriente con una expresión algebraica.

El lenguaje algebraico contempla las siguientes normas:

- La x es la letra más empleada como variable o incógnita.

- En Álgebra queda prohibido la cruz en aspa (x) como signo de multiplicar. Se empleará

cuando sea preciso el punto (·). En los monomios (productos de un número por una o

varias letras) no se expresa el signo de multiplicar.

- En cada monomio se expresará primero el factor numérico y después los factores literales

ordenados alfabéticamente.

- El producto de varios factores literales iguales se expresarán en forma de potencia.

- Las divisiones en Álgebra se suelen expresar en forma de fracción.

Algunos ejemplos de enunciados verbales expresados con lenguaje algebraico utilizados

con cierta frecuencia son los siguientes:

Un número cualquiera: x ó n

Un número par cualquiera: 2x ó 2n También es: El doble de un número

Un número impar cualquiera: 2x + 1 ó 2n + 1 También: 2x – 1 ó 2n – 1

El triple de un número: 3x

La mitad de un número: x

2

El cuadrado de un número: x2

El cubo de un número: x3

La mitad de, un número más uno: x+1

2

La mitad de un número, más uno: x

2+ 𝟏

El triple de un número, menos uno: 3x – 1

El lenguaje algebraico sirve para expresar:

- Propiedades generales de las operaciones.

La propiedad distributiva dice:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de

dicho número por cada uno de los sumandos.

Esta propiedad se puede traducirla al lenguaje algebraico con la siguiente expresión:

a· (b + c) = a· b + a· c Siendo a, b y c tres números cualquiera.

- El término general de una serie numérica (término enésimo).

a1 a2 a3 a4 a5 … an

0 2 6 12 20 … (n – 1)· n

(1-1)· 1 (2 -1)· 2 (3 -1)· 3 (4 -1)· 4 (5 -1)· 5

- Una fórmula matemática:

La fórmula que expresa el interés bancario:

El interés (I) es igual al producto del capital (c) por el rédito (r) y por el tiempo (t),

partido por 100.

Se expresa con la siguiente expresión algebraica conocida como la fórmula del interés

simple:

I =c·r·t

100

PERÍMETROS Y ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS

(Escribe con una expresión algebraica las fórmulas del área y del perímetro de cada

figura descrita)

POLÍGONOS ALTURA h

Figuras planas formadas por varios ángulos a c

TRIÁNGULOS: Polígonos de tres lados y tres ángulos. BASE b

- Su perímetro, P, es igual a la suma de sus tres lados, a, b y c. P = a + b + c

En los triángulos equiláteros que tienen los tres lados iguales,: P = 3a

En los triángulos isósceles que tienen dos lados iguales,: P = 2a + b

- Su área, S, es igual a la mitad del producto de su base, b, por su altura, h.

2

h·bS

CUADRILÁTEROS: Polígonos de cuatro lados y cuatro ángulos. Pueden ser:

· PARALELO GRAMOS

Tienen los lados enfrentados paralelos.

Su perímetro, P, es igual a la suma de sus lados.

Su área, S, igual al producto de su base por su altura.

CUADRADO: Tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos.

Su perímetro, P, es igual al cuádruple de su lado, l. P = 4 l

Su área, S, es igual al cuadrado de su lado.

S = l2 LADO l

LADO l

RECTÁNGULO: Tiene los lados paralelos iguales y los cuatro ángulos rectos.

Su perímetro es igual al doble de la suma de su base, b, y de su altura, a.

P = 2(b + a)

Su área es igual al producto de su base por su altura.

ALTURA a

S = b· a BASE b

ROMBO: Tiene los cuatro lados iguales y los ángulos enfrentados iguales y ninguno recto.

Su perímetro es igual al cuádruple de su lado, l. ALTURA h

P = 4 l l

BASE b

Su área es igual al producto de su base por su altura.

S = b· h

Su área también es igual a la mitad del producto de sus diagonales, D y d.

Una diagonal es el segmento que une dos vértices no consecutivos. Los cuadriláteros

tienen dos diagonales, una mayor que la otra. DIAGONAL D

2

d·DS DIAGONAL d

ROMBOIDE: Tiene los lados paralelos iguales y sus ángulos enfrentados iguales y

ninguno es recto.

Su perímetro es igual al doble de la suma de dos de sus lados contiguos, a y b.

P = 2(b + a)

a

Su área es igual al producto de su base, b, por su altura, h. BASE b

S = b· h

· SEMIPARALELOGRAMOS

Solo tienen dos lados enfrentado paralelos. Los otros dos no.

TRAPECIOS: Pueden ser:

RECTANGULAR

ISÓSCELES ESCALENOS

Su perímetro, P, es igual a la suma de sus lados, a, b, c y B. P = a + b + c + B

Su área, S, es igual a la mitad del producto de la suma de sus bases por su altura.

BASE MENOR b BASE MENOR b

LADO a c h ALTURA

BASE MAYOR B BASE MAYOR B

2

h · bBS

POLÍGONOS REGULARES DE MÁS DE CUATRO LADOS

Un polígono regular es el que tiene todos sus lados iguales.

Su perímetro P es igual al producto del número de lados del polígono, n, por lo que mide

cada uno de ellos, l.

P = n l

La apotema, ap, es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de

cualquiera de sus lados.

h

ALTURA.

ALTURA h

No se debe confundir con el radio, r, que une el centro con cualquiera de los vértices del

polígono. En el hexágono regular, radio es igual al lado.

Su área, S, es igual a la mitad del producto de su perímetro, P, por su apotema, ap

2

ap·PS

CIRCUNPERENCIA Y CÍRCULO

El perímetro de un círculo es la longitud, L, de su circunferencia.

L = 2πr

La longitud de una circunferencia es igual al doble del producto del número 𝝅 (3’14…) por el

radio, r.

El área de un círculo es igual producto del número 𝝅 por el cuadrado de su radio,r.

S = πr2

ARCO DE CIRCUNFERENCIA

La longitud de un arco de circunferencia de nº de amplitud es igual al producto de la

trescientas sesentava parte de la longitud de la circunferencia por la amplitud del arco.

RADIO r nº

r

360

nº ·r 2Larco

π

APOTEMA ap

r

APOTEMA ap

RADIO r

SECTOR CIRCULAR

Es la porción de círculo comprendida entre un arco de circunferencia y los radios que lo

limitan.

nº

r

r

El perímetro de un sector circular es igual a la suma de la longitud del arco y el doble del

radio.

2r360

nº ·r 2P

sector

π

El área de un sector circular es igual al producto de la trescientas sesentava parte de la

superficie del círculo por la amplitud del arco que lo forma.

360

nº · rS

2

sector

π

SEGMENTO CIRCULAR

Es la porción de círculo comprendida entre una cuerda y el arco que la abarca.

c

r nº

r

El perímetro es igual a la suma de la longitud del arco y la longitud de la cuerda, c.

c360

nº ·r 2L

segmento

π

El área es igual a la diferencia entre el área del sector que lo contiene y el área del

triángulo que forman la cuerda y los radios que la limitan.

triángulo

2

segmentoA

360

nº · rS

π

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ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 76 del libro la cuestión 1, “Expresiones algebraicas”,

reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y

consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las

siguientes actividades.

1.- Página 76, actividad 1. 2.- Página 76, actividad 2.

3.- Página76, actividad 3.

4.- Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados verbales:

a) El triple de un número x, menos su mitad.

b) La suma de dos números pares consecutivos.

c) La suma de un número par y su siguiente impar.

d) La tercera parte de un número, menos cinco.

e) El cuadrado de, la suma de dos números naturales cualquiera.

5.- Traduce al lenguaje algebraico las siguientes propiedades numéricas.

a) La propiedad conmutativa de la suma que dice:

El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

b) La propiedad asociativa de la multiplicación que dice:

La forma de agrupar los factores en una multiplicación de más de dos números

no altera el producto.

c) La propiedad distributiva del producto con respecto a la resta que dice:

El producto de un número por una resta es igual a la resta de los productos de

dicho número por el minuendo y por el substraendo.

d) La propiedad fundamental de la división que dice:

El dividendo (D) de una división entera es igual a la suma del producto del

cociente (c) por el divisor (d) más el resto (r).

6.- Escribe el término general de las siguientes series:

a1 a2 a3 a4 a5 … an

1 4 9 16 25 …

0 3 8 15 24 …

3 6 9 12 15 …

2 5 8 11 14 …

7.- Sabiendo que el término enésimo de una serie numérica es: 3· (n – 2)

- Halla y escribe los cinco primeros términos de la serie.

- Halla el décimo término.

- Halla el término a15 de la serie.

8.- Escribe con una expresión algebraica las siguientes fórmulas matemáticas:

a) El área A de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base b por su

altura a.

b) El Teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la hipotenusa h es igual a la

suma del cuadrado de los catetos C y c.

c) El área S de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales D y d.

d) La longitud L de una circunferencia es igual doble del producto de su radio r por

el número 𝝅.

e) En un triángulo rectángulo el cateto mayor C es igual a la raíz cuadrada del

cuadrado de la hipotenusa h menos el cuadrado del cateto menor c.

f) El área A de un trapecio es igual a la mitad de la suma de sus bases B y b, por su

altura a.

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2.- MONOMIOS

Un monomio es la expresión algebraica más sencilla.

Es un producto de un factor numérico (llamado coeficiente) por uno o varios factores

literales (letras) que forman la llamada parte literal.

Las letras de la parte literal de un monomio se llaman variables. El producto de varias

variables iguales se expresa en forma de potencia.

Cuando el coeficiente es 1, no se expresa. En caso de ser -1 solo se expresa el signo –

delante de la parte literal.

1x = x –1x = – x 1xy = xy –1xy = –xy 1x2 = x2 –1x3 = –x3 1x3y4 = x3y4

No se puede confundir un monomio con una fracción algebraica.

Una fracción algebraica es una fracción que tiene como denominador una expresión

algebraica

GRADO DE UN MONOMIO

Es el número de variables que forman la parte literal y se obtiene sumando los

exponentes de las variables que lo forman.

Así, hay monomios de:

- Grado 0: 2x0 – 5a0 x0y0

Como las potencias de exponente 0 son todas iguales a 1 y este es un factor neutro, se

puede omitir en este caso la parte literal expresando solo el coeficiente. Por ello los

monomios que solo tienen el coeficiente son monomios de grado 0. En estos monomios

de grado 0 cuando el coeficiente es 1 o –1 hay que expresarlo.

6x0 = 6 · 1 = 6 –3x0y0 = –3 · 1 · 1 = –3 X0 = 1 –a0b0 = –1

- Grado 1 o primer grado: 4x –7y –a 8xy0

Se debe tener en cuenta que el exponente 1 no es necesario expresarlo.

- Grado 2 o segundo grado: 2x2 –y2 5xy –9a2 3xy

- Grado 3 o tercer grado: x3 –3x2y 12ab2 –2xyz 8abc

- Grado 4 o cuarto grado: 5x4 –x3y –19a2bc 25xy2z

VALOR NUMÉRICO DE UN MONOMIO

Se obtiene substituyendo cada variable por un valor numérico determinado.

Para: x = 2

5x 5 · 2 = 10

Para: x = 0

–3x2 –3 · 02 = –3 · 0 = 0

Para: x = 1 ; y = 2

4x2y 4 · 12 · 2 = 4 · 1 · 2 = 8

Para: x = –1

2x2 2 · (–1)2 = 2 · 1 = 2

Para: x = –1

8x5 8 · (–1)5 = 8 · (–1) = –8

Para: a = –1

–9a4 –9 · (–1)4 = –9 · 1= –9

Para: b = –1

–6b3 –6 · (–1)3 = –6 · (–1) = 6

Para: a = –2 ; b = –3

–a3b4 –(–2)3 · (–3)4= –(–8) · 81 = –(–648) = 648

MONOMIOS SEMEJANTES

Son aquellos que tienen la parte literal idéntica. Es decir, las mismas variables y el mismo

exponente en cada una de ellas.

Son semejantes:

2x y –5x ; 3x2 y –3x2 ; 4x3y y 5x3y ; –a2b3 y –9a2b3

No son semejantes:

2x y –5y ; 3x2 y –3y2 ; 4x3y y 5xy3 ; –9a2b3 y –9x2y3

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ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 77 del libro la cuestión 2, “Monomios”, reflexiona y

estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y consulta tus

dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes

actividades.



13.- Copia y completa la tabla.

MONOMIOS 8a –3x a2b 𝟐

𝟑 x y4

COEFICIENTE 𝟏

𝟒

PARTE LITERAL Ab

GRADO

14.- Indica cuál es el coeficiente, cuál es la parte literal, cuál es el grado y calcula el

valor numérico de los siguientes monomios.

a) 4x5 para x = 2 b) ab para a = 1 ; b = 0

c) –pq para p = 1 ; q = –2 d) 12xy para x = –1 ; y = 3

e) –7a2 para a = –2 f) 6mn para m = –5 ; n = 2

g) x2 para x = 10 h) 3y para y = –20

i) 5 para x = 0. j) –a2b3 para a = –1 ; b = – 4 .

k) xyz5 para x = 8 ; y = –6 ; z = –1

l) 1

3 x2y3 para x = 6 ; y = –2

15.- Di cuáles de los siguientes monomios son semejantes.

a) 2a2b b) 3bc c) 5ab2 d) –3a2b

e) 5ab f) bc g) –ab2 h) 7ab

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3.- OPERACIONES CON MONOMIOS

3.1.- SUMA Y RESTA

ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 78 del libro las cuestiones 3.1, “Suma” y 3.2,

”Resta”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes

anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes

resuelve las siguientes actividades.

16.- Página 80, actividad 8.

17.- Resuelve las siguientes sumas de monomios:

a) x + x = 2x b) a + a = c) x + x + x = d) m + m + m =

e) x2 + x2 = f) 4a + a = g) x + 5x = h) 5m + 3m =

i) 4n + 4n = j) 3x2 + 6x2 = k) 5a2 + a2 + 2a2 = l) m3 + 2m3 + 4m3 =

m) 3x4 + 6x4 + 2x4 =

18.- Resuelve las siguientes restas de monomios.

a) 5x – x = 4x b) 8x – 3x = c) 4a – 7a = d) 7m – m =

e) 8n – 7n = f) 11x2 - 6x2 = g) 5a2 – 9a2 = h) 7m3 – 4m3 =

i) 4n3 - n3 =

19.- Reduce todo lo posible.

a) 5x + 3 + x – 7 = 5x + x + 3 – 7 = 6x – 4

b) 3a + 2a2 – 5a + a2 = 2a2 + a2 + 3a – 5a = 3a2 – 2a

c) 3a + 3 – 2a + 1= d) 5 – 3x + 4x – 4 = e) 5x + 2 – 3x + x =

f) x2 + 4 + x2 + 1 = g) x2 – 6x + 2x + x2 = h) 5x2 + 3x – 4x2 – 2x +1 =

i) x2 + 4x + 1 + 2x + 3 = j) 3x2 + 4 – x2 + 2x – 5 = k) 10 – 3x + x2 – 7 – 4x =

20.- Quita paréntesis y luego reduce.

a) 3x – (2x – 1) = 3x – 2x + 1 = x + 1 b) 6x – (4x + 2) =

c) 7x – (5x – 4) = d) 3x –(x + 5) =

e) (x – 5) – (3x + 2) = f) (3x2 - 5x + 2) + (x2 – 2x + 1) =

g) (5x2 – 2x – 3) – (4x2 + 3x – 1) = h) (x – 3) + (x2 + 2x +1 =

i) (6x2 – x) – (3x2 – 5x + 6) =

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3.2.- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

ACTIVIDADES

Lee detenidamente en las páginas 89 y 90 del libro las cuestiones 3.3,

“Multiplicación” y 3.4, ”División”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el

estudio con los apuntes anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo

pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades.


23.- Página 80, actividad 11. 24.- Página 80, actividad 12


26.- Resuelve las siguientes multiplicaciones:

ab2

3·ab

3

2

xy·y34x4b·2ab5xy·3x

2a5

1·5a

2

2x·

3

2x6x·

2

2x)

)25a(·(4a))(4a)·a)(x·x·5·3(5x)·(3x)

j)

i)h)g)

f)e)d

cb)a) 215x

27.- Divide:

24x x:x5:20(4x:20x 33a)

7a)(;214a215a:25a2x:10x d)c)b)

33223 5a:5a5x:10x9x:6x g)f)e)

10x

5x

3a

3

2

4xj)i)h)

3

5

2

3

2a

8a

3x

15x

4a

12am)l)k)


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4.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 89 del libro la cuestión “Resolución de

problemas”, reflexiona y estudia lo destacado. Cuándo pienses que ya lo sabes

resuelve las siguientes actividades.



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ACTIVIDADES FINALES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN

Da un repaso general a la lección. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las

siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor.











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