unidad i: “la proporcionalidad y el...

Carrera- Diseño de Interiores y Mobiliario- Asignatura: MATEMÁTICA Prof. Alicia Iturbe– Prof. Cecilia Ariagno

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UNIDAD I: “La proporcionalidad y el diseño”

2014

DISEÑO DE INTERIORES Y MOBILIARIO

ASIGNATURA:MATEMÁTICA

Alicia M. Iturbe Cecilia Ariagno

“El Modulor” de LeCorbousier

Estudio anatómico basado enla proporción áurea

PropósitoEstudiar la proporcionalidad, haciendo hincapié en lavinculación que existe entre ciertos principios de lamisma con conceptos estéticos y morfológicos del

diseño.Contenidos

Razón y proporción. Escalas; repartos proporcionales;porcentajes.

Rectángulos notables. El problema armónico: laproporción del rectángulo. Proporcionalidadinconmensurable estática. Proporcionalidad

inconmensurable dinámica: número de oro o áureo;número de plata; proporcionalidad cordobesa.


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Proporcionalidad, arte, rectángulos notables y razones numéricas

Actividad 1

1- a)Realizar un poster que publicite la Fiesta Nacional de la Manzana (FNM), en hoja A3 y contenga: El logo de la fiesta actual o algún otro utilizado en años anteriores. El logo de la municipalidad de General Roca. Un texto publicitario que haya sido utilizado en la edición 2014

Nota: investigar logos utilizados en la FNM

b) Dibujar, en una hoja tamaño A4, un prototipo del poster anterior utilizando una escalaconveniente.c) Indicar, en el prototipo tamaño A4, las medidas reales de los rectángulos correspondientes a los doslogos.d) ¿Qué % de la hoja A3 representa la hoja A4? Y de la hoja A2?e) ¿Si se quisiera reducir el prototipo en tamaño A4 en 20%, cuáles serían sus nuevas dimensiones?d) Supongamos que se quisieran imprimir 200 posters como el diseñado en a) en un centro de copiadocuyas tarifas son: costo del m2 de impresión: $ 48.- y descuento del 8% para los trabajos que superenlos $800.- ¿Cuánto se pagaría por la impresión de los 200 posters?

2- El Municipio de General Roca contrata, todos los años, a una empresa de la ciudad para fotografiartodo lo importante que ocurra durante la Fiesta Nacional de la Manzana (desde la elección de lasreinas hasta el momento de cierre de la Fiesta, incluyendo todos los stands que se presenten en elpredio de exposición). Dicha empresa cuenta con las siguientes medidas en fotos y papel que utilizapara las mismas:

a) ¿Cuántas fotos de cada opción se pueden imprimir si se utiliza el tipo de papel a? ¿y si se utiliza el tipode papel b?

b) ¿Con cuál o cuáles de las opciones de medidas para fotos se desperdicia menos papel, según sea eltipo de papel?

c) Los dueños de la casa fotográfica quieren imprimir postales con imágenes de General Roca paravender a los turistas. Si las dimensiones de las postales digitales que elaboran son de 13 cm x 19 cm¿Cuál de los tipos de papel les conviene usar? ¿Por qué?

3- Consideremos ahora, la tarea del equipo de promoción de la Fiesta Nacional de la Manzana que estápensando en la fabricación de vasos plásticos con el logo de la Fiesta para regalar a las autoridades y alas reinas visitantes.

Para la confección de los vasos, el fabricante deberá cumplir con que toda la superficie del vaso sea cubiertacon un calco adhesivo con un logo, que se hará en formato A5.

Medidas de las fotos

10cm x 15cm Opción 1



Papel que utilizan las máquinas

156m x 12,7cm Tipo a

186m x 15cm Tipo b


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a) Compara estos dos modelos de calcos posibles para el logo y decide cuál es el que se deberáencargar a la imprenta si se quiere que el vaso tenga la máxima capacidad.

b) El dueño de una de las cantinas que estará en el predio de exposiciones, encargará a una fábrica deplásticos la confección de vasos plásticos cilíndricos de 200 cm3 y 250 cm3 de capacidad para servir cerveza ygaseosas. En dichos vasos se pegará un calco con el logo de la cantina. ¿Qué dimensiones podrían tener esosvasos? ¿De qué dimensiones podrían ser los calcos para que puedan pegarse en cualquiera de los vasos?

Actividad 2

En la actividad 1 trabajaron con hojas de distintos tamaños de la serie A. Si las medidas de susdimensiones son respectivamente a y b; siendo b>a y cortamos por la mitad del lado mayor, obtenemosun rectángulo de dimensiones a y b/2.Reiterando la operación obtenemos un rectángulo b/2 y a/2. El rectángulo siguiente tendrá dedimensiones b/4 y a/2 y así sucesivamente. Observamos que la relación entre el lado mayor y el menor essiempre la misma, las hojas que obtenemos tienen la misma proporción y es próxima a .a. Organicen una tabla con las dimensiones de las hojas de la serie A, desde el tamaño A3 al A10 y

expliciten el factor de reducción que es necesario utilizar para pasar de un elemento a otro de la serie.b. ¿Qué factor hay que utilizar para pasar de A4 a A6? ¿Y de A10 a A4?c. Expliciten cómo pueden determinar el factor que es necesario utilizar para pasar de un formato a otro

cualquiera de la serie.

Rectángulos notables

En las civilizaciones antiguas se buscó la perfección de las formas en la relación de medidas quevinculaban las distintas partes de la obra, cada parte con el total, el total con el formato-soporte e incluso lasdel soporte en sí. Las relaciones de medida utilizadas por estas civilizaciones en general, guardaban cierta“Proporción geométrica”.

Podemos distinguir dos tipos de proporción geométrica:

1- la que establece entre dos elementos una razón simple, expresable como dos múltiplos de una unidad ómódulo: 2/3, 3/5, 1/2 (proporción estática)

2- la que relaciona dos valores por una razón inconmensurable, como ; ; π, razón áurea, etc.(proporción dinámica).

Para recordar

Long circ:

Área del circ:Vol. Cilindro: Áreabase x altura

Figura N° 1


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La figura humana y las fachadas de edificios fueron dos temas clave en la aplicación de razonesproporcionales. Cuando no había fotografía había que construir la figura, y en este empeño tenemos ejemplosde todo tipo:

Sistemas modulares, basados en la repetición de una unidad ó módulo: pinturas y relieves egipcios,tratadistas como Arfe y Villafañe, Irala, etc. Figuras Nº 2, Nº3

Sistemas que establecen cada parte como una fracción de la altura: Vitrubio, Durero, Pacheco, y engeneral todos los tratados que dividen la altura en 8 cabezas, 10 caras, 6 pies, etc. Figuras Nº 4 y 5

Esquemas simbólicos, de adaptación a formas geométricas: Villard de Honnecourt, Bizancio, canonVarrónico. Figuras Nº 6 y 7

Figura N° 2

Figura N° 3

Figura N° 4Figura N° 5

Figura N° 7

Figura N° 6


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Sistemas de analogías y equivalencias en la estructura: cánones griegos, antropometríamoderna. Figuras Nº8 y N°9

Aplicación de la razón áurea: da Vinci, Zeising, Theodore Cook, Le Corbusier. Figuras Nº 10 y 11

En fotografía, donde el modelo no se construye, sino que se capta a partir de cierto punto de vista, bajocierto ángulo y encuadre, y donde el resultado suele ser una imagen contenida en un espacio rectangular, nosinteresa entender la proporción del formato. El cuadrado representa la unidad. Tiene mucha fuerza visual,pero es la forma rectangular más estática. En el resto de los rectángulos domina el ancho ó el alto, así queparticipan de las propiedades expresivas de la dirección horizontal y de la vertical.

Por ejemplo la horizontal es considerada como la dimensión del tiempo, de la constancia, de laestabilidad, de la pasividad, los formatos apaisados refuerzan en los paisajes la sensación de placidez, deintemporalidad, mientras que los verticales pueden subrayar temas más activos y comunicativos, como elretrato, la figura ó el movimiento vertical de por ejemplo una cascada.

Razón o Proporción de un rectánguloSe denomina proporción de un rectángulo ( Figura Nº 12 ) a la razón

expresada por sus lados, considerando que el numerador de la fracción sea el

mayor de los lados del polígono: p(a;b)= . Siempre p

Figura N° 8 Figura N° 9

Figura N° 11

Figura N° 10

Figura N° 12


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Razones simples o conmensurables y rectángulos estáticos

Los pitagóricos y el platonismo en general estudiaron exhaustivamente las razones estáticas cuandomatemática y geometría estaban en pañales. Vincularon estas razones a los intervalos consonantes en música,donde el unísono es la razón 1:1, la octava 1:2, la quinta (do-sol) 2:3, la cuarta (do-fa) 3:4, la tercera mayor(do-mi) 4:5.

En la fotografía los fotogramas de un negativo de 35 mm son rectángulos estáticos, de formato queson idóneos para imprimir copias de 15x10 cm. Los suministros de papel se hacen con mentalidadrigurosamente estática, los cortes son siempre en múltiplos de 5 cm., con excepciones como el formato 13x18cm.

Los formatos modulares ó estáticos nos resultan cómodos perceptivamente. Están basados enrazones aritméticas simples como por ejemplo: Figura Nº 13

Figura N° 13

Razones inconmensurables y rectángulos dinámicos

Nos referimos a las razones de tipo y otras razones como el número de oro. Los rectángulos deesta proporción forman una serie autogenerable. Estos rectángulos son los únicos que se pueden obtenercomo reunión de “n” veces el rectángulo recíproco, es decir, dividiendo estos rectángulos en n partes por ellado mayor, se obtienen n rectángulos de idéntica proporción al dado.

Algunos rectángulos dinámicos interesantes son: el rectángulo , que se obtiene abatiendo ladiagonal de un cuadrado (Figura Nº 14-a), el rectángulo (Figura Nº 14-b) que se inscribe en un hexágonoregular, ó el rectángulo áureo, que se obtiene abatiendo la "diagonal" de la mitad del cuadrado (Figura Nº 14-c):

El rectángulo o Rectángulo armónico o Rectángulo diagonalExisten numerosos trazados geométricos que ayudan a generar armonía y coherencia, pero de todos

ellos, el que ha cobrado mayor relevancia es el que procede de lo que se conoce como “proporciónarmónica”, conocida desde la época de las Pirámides pero que alcanzó su más alto grado de sofisticación yrefinamiento en la pintura y la arquitectura del Renacimiento Florentino.

La proporción armónica se basa en las propiedades de la diagonal del cuadrado; es decir, en lasrelaciones existentes entre los lados de un cuadrado y su diagonal.

Figura N° 14


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En otras palabras, proporcionar armónicamente implica proporcionar en base al cuadrado y sudiagonal. En un cuadrado de lado igual a 1 a diagonal vale . Por lo tanto la base de las relaciones armónicases el número .

El rectángulo o rectángulo armónico es importante a nivel práctico porque resuelve el problemade la duplicación manteniendo las proporciones. Si dividimos un cuadrado en dos rectángulos iguales, estáclaro que éstas ya no mantienen la forma cuadrada. Esto se repite en cualquier rectángulo estético.

Pero si esto lo hacemos en un rectángulo armónico las dos mitades mantienen la proporción .

La serie DIN-A, como ya se ha visto antes, ha normalizado los formatos de papel a partir de unrectángulo de un metro cuadrado de superficie con sus lados en proporción 1 a raíz de 2, que es el formato A-0. Su mitad es el formato A-1, la mitad de éste es el A-2, la mitad de éste A-3, y así con el A-4 que sustituye lostradicionales formatos arbitrarios de folio, el A-5 que sustituye la cuartilla, el A-6 la octavilla, etc. etc. FiguraNº 16

Figura N° 16

El formato es el que permite ampliar al doble de superficie en una fotocopiadora un documento sintener que hacer ajustes ni recortes, por eso en las máquinas siempre están los valores de y su inverso:141% y 71%.

Si realizamos el procedimiento anterior de división, podemos verificar que las hojas obtenidas, de tamañosA0; A1; A2;….. etc. Se pueden ampliar así:

Analizando las Figura

A partir de las figuras Nº 17 y 18 concluimos que:- los vértices superiores de las hojas quedan alineados- las diagonales de todas las hojas se pueden superponer

Esta disposición se logra porque los rectángulos son semejantes, es decir, hay proporcionalidad entre los ladosrespectivos

Figura N° 15

Figura N° 18Figura N° 17


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El rectángulo áureo

Tal vez la proporción más apreciada a lo largo de la historia ha sido la llamada proporción áurea, tambiénconocida como proporción divina. Esta proporción es la que permite dividir un segmento (Figura Nº20) demanera que la parte menor y la mayor estén en proporción con la mayor y el total, es decir:

Los segmentos a y b (Figura Nº 20) resultan ser los lados de un rectángulo áureo (Figura Nº 19)

A la razón que define la proporción divina (a:b en este caso) se le llama el número de oro y se

representa por la letra griega ɸ (se lee "fi").

Figura N° 20

Para obtener el valor numérico de ɸ tomemos b = 1, el valor de a corresponderá con la razón áurea (a/b). Laigualdad anterior se convierte en la ecuación:

a2- a -1=0 Resolviendo esta ecuación de segundo grado obtenemos dos valores:

a1 =1,6180339887498948482045868343656…= ɸa2 = -0,6180339887498948482045868343656…

Solo el primer número, que es positivo, tiene sentido asociarlo con la longitud de un segmento, por eso es quese elige esta solución y es el número que se conoce como ɸ.

El número de oro es un número irracional y equivale, aproximadamente, a: ɸ =1.618= .

También el número áureo aparece en la relación entre los lados delrectángulo de la Figura N º21, que se construye a partir de uncuadrado de lado unitario.

La proporción de este rectángulo es: P(……….;……..)=

Figura N° 19

Figura N° 21


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Actividad 3

Determinación del punto que divide un segmento AB en dos partes en proporción áureaDibujar un segmento AB (de cualquier longitud)

Se prolonga la recta a partir del extremo B. Se construye una perpendicular a AB desde el punto B. Se encuentra el punto medio C del segmento AB. Con radio BC y centro en B, se corta en D la perpendicular trazada desde el punto B. Se traza la recta AD. Con el mismo radio BD y con centro en D se corta la recta AD en el punto E. Con radio AE y centro en A se corta el segmento AB en el punto F. El punto F determina la proporción áurea del segmento AB de manera que FB/AF = AF/AB.

La proporción áurea está presente en distintas manifestaciones humanasLa proporción áurea es un concepto sin el cual resulta difícil comprender la evolución del arte, la

arquitectura y la geometría. Los griegos encontraron que el número ɸ aparece con mucha frecuencia enla naturaleza de ahí que, en su afán por reflejar la perfección y la armonía en ella, uno de los principioscentrales de su estética fuese encontrar relaciones espaciales que reprodujeran esta proporción.Es por ello que en una gran cantidad de pinturas, objetos de cerámica o metálicos, esculturas, construccionesse puede apreciar que han sido concebidos a partir de este principio estético

El uso de la proporción áurea produce una estilización de las figuras que busca la “belleza divina”. En lasimágenes de la Figura Nº 22 podemos observar dicha proporción áurea.

Figura N° 22

R. de la Hoz en su artículo "La proporción cordobesa" ilustra la proporción áurea:

“Euclides de Alejandría, trescientos años antes de Cristo, en el libro II de su tratado "Los Elementos", piedraangular del edificio matemático, trata por primera vez de la "media y extrema razón", "proporción armónica","proporción áurea" o "regla de oro" "."La formulación euclidiana se limita a establecer que un rectángulo encierra la máxima belleza si resultasemejante a otro formado por su lado mayor y la suma de ambos lados.”Luca Pacioli escribe su tratado "La Divina Proporción" "llamada así por sus propiedades excelsas, supremas,excelentísimas, incomprensibles, inestimables, innumerables, admirables, inefables, singulares..., quecorresponde por semejanza a Dios mismo".Al descubrir estas propiedades se detiene en la decimotercera, número de comensales en la Santa Cena,estimando que de seguir, equipararía la proporción divina al propio Dios y ello pondría en juego su salvación.


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Entre las muchas propiedades que omitió para eludir el infierno, se encuentra la de que el rectángulo divinotiene sus lados en la misma proporción que el radio y el lado del decágono.Corolario obligado de la divinización de la proporción áurea es que la naturaleza, cuando es perfecta,conforma a sus criaturas según la divina proporción.

También se construye un rectángulo áureo con el lado de un decágono y el radio de la circunferenciacircunscripta. Figura Nº 23

Figura N° 23

El hombre de Vitrubio de Leonardo Da Vinci trabajado en la 1º clase, (Figura Nº 25) ilustra claramente elconcepto de la divina proporción: en un cuerpo ideal la proporción áurea, es la existente entre la distancia delplano umbilical a cabeza y pies. Nos encontramos ya abiertamente al hombre,centro de la Creación, como canon de la divina armonía"

El arquitecto franco suizo Le Corbusier (1887-1965) también comentado enesa 1º clase,fue un firme convencido de que la proporción áurea dominaba el cuerpohumano y la Naturaleza concibió gran parte de su obra según esta proporción.

Inventó un aparato de medida conocido como Modulor , Figura Nº24,basado en los rectángulos notables duplo y áureo, y en unas divisionesproporcionales de sus lados que darían lugar a las famosas series Roja y Azul, ambassucesiones de Fibonacci.

Figura N° 24

Figura N° 25


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En Pintura destacamos el Guernica (Figura Nº 26), de Picasso, de dimensiones 771 x 345 cm. y portanto de proporción es 2,2347.... Según el estudio de proporciones de Rudolf Arnheim : el cuadro sedescompone en un cuadrado central (lado 345 cm.) y dos rectángulos áureos laterales de 213 x 345 cm., portanto, el tablero se subdivide en un rectángulo áureo horizontal 558 x 345 cm. y otro vertical de 213 x 345 cm.Aparecen otras divisiones armónicas sobre los lados relacionadas con el número de oro.

Figura N° 26

Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar, también en diferentes objetos de nuestra cultura, porejemplo en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajitas de cigarrillos.

El rectángulo de plata

Un rectángulo de plata, es aquel cuya proporción es el número de plata: 1 +

Está relacionado con el octógono regular (Figura Nº 28) ; en efecto, puede formarse un rectángulo de platacon el lado del octógono y una de sus diagonales (la perpendicular al lado de apoyo del octógono.

Además puede generarse un octógono regular con la rotación de 45º de un rectángulode plata en torno a su centro.

Figura N° 27


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Este rectángulo está formado por la yuxtaposición de uncuadrado y del rectángulo dinámico en proporción .Figura Nº 28

d: diagonal del cuadrado de lado 1.d

1+d=1+ Número de Plata

El rectángulo

En la Figura Nº29 se ha representado un rectánguloa partir de un cuadrado de lado unitario.

También se forma este rectángulo a partir de un hexágono regular, siendosus lados una de las diagonales del hexágono y el lado del mismo del polígono. Figura Nº 30. Con esterectángulo puede generarse, por rotación, el hexágono regular y su estrella 6/2.

Figura N° 30

El rectángulo enmarca una de las figuras más importantes de la Geometría Sagrada conocida como“vesica piscis”. Figura N° 31

Figura N° 28

Figura N° 29


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En el proceso de geometrización característico del gótico, jugó un papel fundamental la traducción delos Elementos de Euclides (siglo IV-III a. de C.). En la proposición primera del libro I, aparece la construcción deun triángulo equilátero a partir de un segmento dado. De aquí se obtiene la “vesica piscis” (vejiga de pez)llamada también mandorla.

Podemos definir la vesica piscis como la figura plana comprendidaentre dos arcos de circunferencia con centros en los puntos A y B de unsegmento dado AB, y radio la longitud del mismo, Figura Nº 28 Suponiendoque la longitud del segmento AB es 1, la altura del triángulo equilátero ABC

mide y por tanto la proporción del rectángulo circunscrito a la vesica es

.

Actividad 4Los griegos que seguían las teorías de Pitágoras observaron que el número de oro se encontraba al relacionarla diagonal y el lado de un pentágono regular.

a. Construyan una circunferencia de radio 3 cm, con un pentágono regular inscripto.b. Determinen la razón entre cualquiera de sus diagonales y uno de sus lados. ¿Al cambiar la

longitud del radio de la circunferencia cambia el valor de dicha razón?Actividad 5

El número es irracional. Si lo calculan con la calculadora, obtendrán un valor aproximado, ya quesu expresión decimal tiene infinitos decimales, y la calculadora proporciona solo 8 ó 10. Veamos ahora unaforma de representar con precisión algunos irracionales al menos la forma ideal, ya que en la práctica factorescomo el grosor del lápiz y errores inevitables de medición causan un resultado aproximado.

a- Dibujen un cuadrado sobre la recta numérica, haciendo coincidir un lado con el segmento conextremos en 0 y 1. Tracen la diagonal que pasa por el 0.

Al hacer esta construcción, obtuvieron un triángulo con un lado sobre la recta numérica; ¿quéclase de triángulo es teniendo en cuenta sus ángulos? ¿Cuánto mide la diagonal quemarcaron? ¿Por qué?

b- Tomen con el compás la medida de la diagonal y transporten sobre la recta numérica esta medida apartir del 0. ¿Qué número irracional están representando?

c- Construyan sobre la recta un rectángulo de base igual al segmento que marcaron y altura de longitud1 y vuelvan a trazar la diagonal que pasa por el 0 ¿Qué número pueden representar con estaconstrucción?

d- Si el rectángulo que construyeron en el punto anterior tuviera altura de longitud 3, ¿cuál es el númeroque podrían representar?

e- ¿Cómo representarían ?Para conocer otras situaciones en las cuales aparece el número de oro, pueden visitar algunas de lassiguientes páginas web. http//rt000z8y.eresmas.net/El númerohttp//es.wikipedia.org/wiki/Número áureohttp//www.comenius.usach.cl/webmat2/proyectos/Numerodeoro.htmhttp//gaussianos.blogsome.com/2006/10/03/la-proporcion-divina-el-numero-phi/http//www.omerique.net/calcumat/numerooro.htmhttp//gaussianos.com/la-proporción-divina-el-numero-phi/

Figura N° 32


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Actividad 6Los diseños arquitectónicos y la belleza en las medidas

Muchos consideran que los rectángulos de sección de oro son más armoniosos y placenteros a la vista y elnúmero áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestrocuerpo...¿Es posible afirmar que hay una proporción que sea más armoniosa que otra o que sea más “natural” para laespecie humana?Para tener más elementos que permitan responder a esta pregunta analizaremos las proporciones presentesen distintas construcciones.

a) El Partenón, (del griego Parthenos, virgen; uno de los adjetivos que servían de sobrenombre a Atenea), Figura Nº 33, es el templo griego situado en la Acrópolis de Atenas dedicado a Atenea Parthenos,diosa protectora de la ciudad de Atenas. Es el monumento más importante de la civilización griegaantigua y se lo considera como una de las más bellas obras arquitectónicas de la humanidad. Es unode los principales templos dóricos que se conservan. Mide 69,5 x 31 m en planta y 18 metros dealtura. Su ancho y alto están en una proporción particular, que también se repite en todas las líneasde construcción una y otra vez.

Figura N° 33

Fuente: www.ionlitio.com/category/arquitectura/

En la Figura Nº 33 comprueben, de manera aproximada, si

AB/CD = Φ, AC/AD = Φ y CD/CA = Φ.

Sabías que:...

-…el arquitrabe del Partenón tiene un inclinación para que al mirarlo desde lejos no parezca

curvado hacia abajo.-…también las columnas tienen un ángulo de inclinación hacia el centro

para que no semejen estar hacia fuera.

-… la escalinata que lo rodea tiene escalones muy grandes, incómodos de subir caminando,

pero que están proporcionados con las dimensiones de todo el edificio. Para subir hay una

escalinata central con escalones más pequeños.


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b) La Catedral de la Inmaculada Concepción se levanta frente a la plaza Moreno, en la manzanacomprendida por las calles 14 y 15 y los boulevares 51 y 53 de la ciudad de La Plata en la provincia deBuenos Aires. Con ladrillo a la vista y por lo tanto inconfundible y bellamente rojiza, se ha convertidoen un símbolo característico de la ciudad. En el estilo neogótico es la más grande de América: susuperficie es de 7000 m2, tiene capacidad para 14.000 personas, mide 120 m de largo por 76 m defrente, y la altura tomada hasta la cruz es de 97m. Fue inaugurada al público en 1932, cuando laciudad cumplía su cincuentenario.La catedral neogótica platense fue inspirada en las catedrales góticas de Amiens (Francia) y deColonia (Alemania). Las medidas de la catedral platense son: largo interior 106 metros; ancho interiordel crucero, 67 metros, ancho de la nave mayor, 13 metros; ancho total de las naves laterales, 13metros; sala de canónigos, 4,50 por 21 metros; altura de la bóveda de la nave mayor, 37 metros;altura exterior de la linterna, 76 metros, interior 46 metros.

Determinen si en esta catedral algunas medidas están relacionadas o no con el número áureo.

Actividad 7

La ciudad de Córdoba, en España, muestra una rica mezcla de culturas ya que fue un centro urbanoimportante del imperio romano y un centro comercial y cultural de muchísima importancia entre los siglos VIIy XIII al ser conquistada por los árabes. ¿También se encuentra la razón áurea en las construccionescaracterísticas de esta ciudad?

a) Lean el siguiente texto basado en un artículo del matemático y escultor Luis Ramos, sobre lasproporciones en la arquitectura, arte y escultura de Córdoba.


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La proporción cordobesaTrescientos años a.C. en el libro IIº de sus “Elementos de Geometría”, Euclides de Alejandría trata porprimera vez de la “media y extrema razón”, “proporción áurea”, “proporción armónica” o “regla deoro”. Doce siglos después, sus “Elementos” fue traducida por Ishaq Ibin Iluncin, publicada por Alhazeny estudiada en las escuelas de Córdoba. Esta ciudad fue depositaria del tesoro euclideano durante laEdad Media, situación que cambió con una de las primeras acciones de espionaje científico de que setiene conocimiento.En 1120, un británico adiestrado en el idioma, costumbres y disfrazado de estudiante hispanoárabe,logró sacar una copia de “Los Elementos” que fue publicada en 1472. Hasta 1535 en que se descubre eltexto griego, el mundo no cuenta más que con esta traducción árabe; por lo que los trabajos deLeonardo da Vinci y Luca Pacioli (decisivos para el Renacimiento), se hicieron a partir del textocordobés.Era razonable pensar que en Córdoba las construcciones respetaran de la proporción áurea, sinembargo esto no es así.

Refiriéndonos, en concreto a la cultura romana, y a ejemplos existentes en el museo arqueológicolocal, encontramos que los cordobeses romanos autores de relieves, esculturas y mosaicos hanpreferido proporcionar sus figuras humanas según la proporción 1,3.Nos encontramos ante una nueva invariante en la arquitectura y el arte cordobés, la proporción 1,3 o“canon cordobés”.

Figura N° 34


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La división (razón o fracción) entre el radio de la circunferencia circunscrita y el lado del octógonoregular (Figura Nº 35) resultó ser un nº irracional que por redondeo es igual al determinadoempíricamente (en la práctica 1,3). De esta manera la proporción nacida de la realidad cordobesaquedó instalada en la mística de los números, concretamente en el Nº 8 (en el octógono regular).

Figura N° 37

El octógono aparece en la Mezquita, el Mihrab, (Figura Nº 36) en varias torres, en muchas fuentes yen otras construcciones de carácter religioso o civil.También es notable que la pendiente que llegan a alcanzar los tejados es de 37º. Esta inclinacióncoincide prácticamente con la de la diagonal de un rectángulo cordobés con el lado mayor comobase y se encuentra en las cubiertas de la Mezquita, en el tejado verde de la Catedral, y en SantaVictoria el más alto de la ciudad.

Figura N° 37

En la Mezquita se plantea la arquitectura prefabricada, modular y crecedera, y este crecimientosigue unas líneas regidas por los rectángulos cordobeses.

Figura N° 37

La geometría de la fachada de Al-Hakam II y la fachada del Mihrat también se someten en suestructura a la proporción cordobesa.


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De la lectura del texto se puede concluir que históricamente en la arquitectura no sólo se ha trabajadocon el número de Oro, sino con otros irracionales.

b) Construyan un octógono regular y estableciendo la razón que se menciona en el texto; expresennuméricamente el valor del número irracional que corresponde a la razón entre el radio de la circunferencia yel lado del octógono.

Otros muchos edificios emplean en su composición la proporción cordobesa. Son muy numerosos losedificios, incluso contemporáneos que están trazados con el rectángulo cordobés como base decomposición. No se sabe si los autores de estas obras las proporcionaron consciente o por purosentimiento. Lo que queda comprobado es que cuando una obra de arte cordobesa resulta biencompuesta, encierra está determinada proporción. Y siendo esta proporción un hecho empírico frente ala idealización de la proporción áurea, cabe la posibilidad de que su empleo haya surgido o se hayaextendido en otros pueblos de cultura y etnia afines a la cordobesa.

Fuente: http://www.islamyal-andalus.org/control/noticia.php - BOLETÍN N° 36 -02/2005

Figura N° 38


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Problemas para aplicar los conceptos desarrollados y seguir practicando.

1- Durante el carnaval todos los medios gráficos envían fotógrafos para cubrir los desfiles de las distintasagrupaciones y sus elegantes carrozas. Estas fotografías se amplían y reducen para adaptarse a losformatos de las distintas publicaciones.

En un periódico escolar, los alumnos diagraman la portada para incluir la foto de una compañera quedesfila en una comparsa.

La foto a) de la Figura Nº39 es la original y las siguientes son reducciones que realizaron a través de lacomputadora con el programa PAINT, utilizando la herramienta “expandir y contraer”, ¿cuáles de ellascorresponden a una reducción proporcional a la original?

a) b)

c)

d)

e)

f)

Figura N° 39

2- Mathilda, hábil espía de un lejano país, deja escondido en el hueco de una montaña un papel en elque reprodujo la conversación que escuchó entre Loretto y Newton.

Cuando sus secuaces logran dar con el documento que contiene vital información, no puedendescifrar lo que ha escrito Mathilda: el papel solo mide 2 cm de base por 3 cm de altura. Suponen quesi lo amplían de manera tal que las dimensiones lineales del papel aumenten 3/4, podrán leer sucontenido.


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Cuando lo amplían, se dan cuenta de que aún es muy dificultoso leer lo escrito, por lo cual decidenaumentar nuevamente 3/4 las dimensiones lineales de la ampliación. Hecho esto, logran descifrar lainformación.

a) Dado un rectángulo de 2 cm por 3 cm, ¿podrían reproducir las ampliaciones que hicieron los secuacesde Mathilda?

b) ¿Cuáles fueron las dimensiones lineales luego de cada una de las ampliaciones?c) ¿Cuál es la proporción entre las dimensiones lineales de la primera ampliación y las dimensiones

lineales originales? ¿Y entre las dimensiones lineales de la primera ampliación y la segunda?d) ¿Es cierto que si se hubiera hecho la ampliación en un solo paso, las dimensiones finales

representarían 7/2 de las originales? ¿Por qué?¿Cuál sería el factor de ampliación aplicado en un solopaso?

3- Dibujen un cuadrado sobre la recta numérica, haciendo coincidir un lado con el segmento conextremos en 0 y 1. Tracen la diagonal que pasa por el 0.

a) Al hacer esta construcción, obtuvieron un triángulo con un lado sobre la recta numérica; ¿qué clase detriángulo es teniendo en cuenta sus ángulos? ¿Cuánto mide la diagonal que marcaron? ¿Por qué?

b) Tomen con el compás la medida de la diagonal y transporten sobre la recta numérica esta medida apartir del 0. ¿Qué número irracional están representando?

c) Construyan sobre la recta un rectángulo de base igual al segmento que marcaron y altura de longitud1 y vuelvan a trazar la diagonal que pasa por el 0 ¿Qué número pueden representar con estaconstrucción?

d) Si el rectángulo que construyeron en el punto anterior tuviera altura de longitud 3, ¿cuál es el númeroque podrían representar?

4- Los amigos de Marcos encontraron unas fotos viejas, cuadradas y pequeñas de 10 x 10 cm, idealespara decorar el salón de su fiesta de cumpleaños con cartulinas (44 x63 )cm .

a) Analizar el tipo de ampliación más conveniente para que quepa una foto por cartulina.b) Si las fotos originales midieran (130x180)mm, y decidieran utiliza 2 por afiche (105x157)cm

¿Qué ampliación convendría más?

5- Miguel encontró una fotografía de 4 cm x 2 cm, y quiere ampliarla de modo tal que el lado que mide 4cm pase a medir 7 cm.

a. ¿Cuánto debe medir el otro lado?b. ¿Qué relación hay entre el área de la fotografía y el de la ampliación?¿Qué tiene que ver con la

relación entre los lados?¿Y con la relación entre los perímetros?

6- Si sacamos una fotocopia del plano de una habitación cuyo original mide 9 unidades de largo y 4unidades de ancho con una reducción del 50%,

a. ¿qué dimensiones se reducen a la mitad: el largo, el ancho o el área? ¿Por qué?b. Calcular el área de la habitación en el original y en la reducción.c. Comparar las relaciones entre las áreas y entre los perímetros.

7- Se dispone de un mapa de la República Argentina en el que está indicada la escala, y de una fotocopiade una de las provincias, ampliada al doble de sus longitudes.

Se marcan en la fotocopia de la provincia dos ciudades que están aproximadamente a 100 km una de otra,resultando que están a 5 cm en la fotocopia.

a. En el mapa de la República Argentina, ¿a cuántos centímetros están una de otra?b. ¿Cuál es la escala que corresponde a la fotocopia?c. ¿Cuál es la escala del mapa?


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d. Si el mapa de la provincia se ampliara de modo tal que su área fuera el doble, ¿cuál sería ladistancia entre las ciudades?

8-a. Cuando sacamos una fotocopia aumentada al doble de un mapa cuya escala es 1:10000000, la escala

de la fotocopia es (justificar):i. 1:10000000

ii. 1:20000000iii. 1:5000000

b. Analizar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones y justificar:i. Si la escala de un mapa de la República Argentina es 1:100, y el camino desde Buenos Aires

hasta Córdoba mide sobre el mapa 8cm ± 0.5 cm, la distancia aproximada entre Buenos Airesy Córdoba es de 800 km.

ii. Si la distancia aproximada entre Buenos Aires y Córdoba es de 800 km y el camino desdeBuenos Aires hasta Córdoba mide sobre el mapa 8 cm ± 0.5 cm, la escala del mapa es1:100000.

iii. Si la distancia aproximada entre Buenos Aires y Córdoba es de 800 km y el camino desdeBuenos Aires hasta Córdoba mide sobre el mapa 8cm ± 0.5 cm, la escala del mapa es1:10000000.

iv. Cuando duplicamos la medida de los lados de un rectángulo, sus diagonales aumentan aldoble.

v. Cuando duplicamos la medida de los lados de un rectángulo, sus diagonales aumentan alcuádruple.

vi. Cuando duplicamos la medida de los lados de un rectángulo, su área aumenta al doble.vii. Cuando duplicamos la medida de los lados de un rectángulo, su área aumenta al cuádruple.

unidad i: “la proporcionalidad y el...

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