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1 | Página UNIDAD I: Fundamentos Estadísticos Material Elaborado por: Lic. Mariela Villalobos Villegas Msc. Gerardo Arroyo Brenes

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UNIDAD I: Fundamentos

Estadísticos

Material Elaborado por:

Lic. Mariela Villalobos Villegas

Msc. Gerardo Arroyo Brenes

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Historia de la Estadística y la Probabilidad

Estadística: La palabra "estadística" proviene del latín: statisticum collegium

("Consejo de Estado") y de su derivado italiano statista ("Hombre de Estado" o

"Político").

El origen de la estadística se remota a los comienzos de la historia a partir de

40000 años a.c, y esto se sabe tanto a través de crónicas, datos escritos, como

restos arqueológicos que han descubierto grabados en pieles, rocas, madera,

paredes de cuevas que servían para llevar la cuenta del ganado, la caza, los

habitantes u otros elementos. En la Biblia, por ejemplo, observamos en uno de los

libros bajo el nombre de números, el censo que realizó Moisés después de la

salida de Egipto (Números, 1, 1-2).

La presencia del hueso astrágalo de oveja o ciervo en las excavaciones

arqueológicas más antiguas, parece confirmar que los juegos de azar tienen una

antigüedad de más de 10000 años.

Los babilonios hacia el año 3000 a.c usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para

recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o

cambiados mediante trueque. En el antigüo Egipto, se analizaban los datos de la

población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides.

En Grecia hacían censos periódicos con fines tributarios, sociales y militares, en

Roma hacían censos periódicos de población cada cinco años y censos periódicos

de bienes, formaban enumeración de nacimientos y mortalidad, ambos países,

utilizan la configuración resultante de lanzar cuatro dados para presidir al futuro y

revelar la voluntad favorable o desfavorable de los dioses.

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Probabilidad: La Edad media termina históricamente en el año 1453, dando paso

al Renacimiento, la cual se destacó por la actividad mercantil, industrial, artística,

arquitectónica, intelectual y científica, entre otras; surgiendo una nueva relación

del hombre con la naturaleza, que va unida a una concepción ideal y realista de la

ciencia convirtiéndose la matemática en la principal ayuda de una sociedad

preocupada por fundamentar racionalmente su ideal de belleza.

A partir de esta etapa con el avance en las matemáticas y la filosofía, se empieza

a dar una explicación coherente a muchos fenómenos que no seguían un patrón

determinístico, sino aleatorio, hoy conocidos como todos los fenómenos relativos a

la probabilidad de los sucesos, concretados en los juegos de azar (cartas y

dados).

Importancia de la Estadística y la Probabilidad

La estadística y la probabilidad como términos definidos, cobraron importancia

durante el siglo XX, tuvo un desarrollo sin precedentes como disciplina científica,

por lo que pasó a considerarse como una de las ciencias metodológicas

fundamentales y como base del método científico experimental, por ejemplo: para

asuntos de salud pública, economía y propósitos sociales como las tasas de

desempleo.

Castells (1997), expresa que existe una relación directa entre el desarrollo de un

país y el grado en que se utiliza la información, por ello es vital contar con un

sistema estadístico que produzca información completa y confiable. Esta

información es necesaria para la toma de decisiones, sin embargo, se requiere de

un sistema educativo que procure la formación adecuada, no sólo a los técnicos

que produzcan estas estadísticas, sino a los profesionales y ciudadanos que

puedan interpretarla y tomas a su vez decisiones basadas en ellas.

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Conceptos Básicos de Estadística

¿Qué es Estadística?: La estadística, en general, es la ciencia que trata de la

recopilación, organización, presentación, análisis e interpretación de datos

numéricos con el fin de realizar una toma de decisión más efectiva. Es decir, es la

disciplina científica dedicada al desarrollo y aplicación de la teoría y las técnicas

apropiadas para la recolección y análisis e interpretación de información

cuantitativa o cualitativa obtenida por observación o experimentación.

Una clasificación tradicional es la siguiente:

Estadística Descriptiva e Estadística Inferencial.

La estadística descriptiva como menciona Chaves (2012): “se dedica a organizar,

representar, resumir y analizar conjuntos de datos, de modo que se puedan

describir en forma precisa sus patrones de variabilidad e identificar las principales

características en función del contexto al que pertenecen”. Mientras que la

estadística inferencial la define como: “la parte de la estadística que identifica la

variabilidad de los datos para favorecer su interpretación y con ello poder apoyar

el análisis de situaciones particulares”. (p.11)

Estadística Estadística Aplicada:

1. Estadística Descriptiva

2. Estadística Inferencial

Teoría de la Estadística

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En resumen, la estadística descriptica es una rama estadística que se interesa por

recoger, resumir y analizar los datos y su fin es lograr la descripción propia de un

conjunto determinado. Las técnicas comúnmente utilizadas son: confección de

gráficos, cálculo de medidas de posición y variabilidad y cálculo de porcentajes.

Mientras que la estadística inferencial, es un proceso inductivo, en el cual se toma

una parte de la población, es decir, una muestra, se analizan los datos y

resultados y se generalizan para toda la población. Sin embargo, se debe tomar

en cuenta que para hacer inferencia, es indispensable que la muestra sea

aleatoria o probabilística.

Conceptos Básicos de Estadística

Unidad de Estudio o Unidad Estadística: Se refiere a la característica que me

indica de donde proviene la información, es decir, la unidad que me relaciona

el propósito de estudio. Podría referirse entonces a personas, animales,

objetos, entre otros.

Gómez (2010), menciona: “el análisis estadístico se lleva a cabo con base en

observaciones correspondientes a una cierta característica en lo que se

denomina unidades estadísticas elementales o unidades de estudio”. (p. 5)

Ejemplo #1: Si se realiza un cuestionario sobre el rendimiento académico de

los estudiantes de secundaria del Colegio XYZ, la unidad de estudio o unidad

estadística corresponde a los estudiantes, esto debido a que todas las

características sobre las que se centra el cuestionario está en función del

estudiante.

Ejemplo #2: El ingeniero jefe de producción de una empresa llamada XYZ

desea verificar la calidad de una partida de bombillos producidos el día 6 de

marzo. Para hacerlo toma una muestra de 50 bombillos y determina, para cada

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uno, si enciende o no.

En este caso, la unidad de estudio es: “El Bombillo”, la característica de

interés: su estado (bueno o malo) y la observación: si enciende o no. Las

observaciones formarían los 50 resultados.

Ejemplo #3: El jefe de la sección de créditos personales de un banco decide

hacer una investigación para saber el estado de los préstamos, en lo que

respecta a la puntualidad en el pago de las amortizaciones mensuales.

En este ejemplo: la unidad estadística es: “El Préstamo” y la característica es:

el cumplimiento en el pago. Las observaciones podrían arrojar tres tipos de

resultados: al día, atrasado y cobro judicial, de manera que para cada

préstamo existiría una observación que se sitúa dentro de una de esas

categorías.

Población: Se llama población al conjunto del que se estudia una o varias

variables estadísticas. Una población podría ser finita (tiene un número

limitado de elementos) o infinita (tiene un número ilimitado de elementos).

Es importante destacar que la población la componen no las unidades

estadísticas propiamente, sino los valores numéricos asociados a esas

unidades. Sin embargo, en la práctica esto no es fundamental y puede verse

como un conjunto de números o de unidades.

Ejemplo #1: Gómez(2010), menciona el siguiente ejemplo: en una encuesta

dirigida a conocer el ingreso mensual de las familias del Área Metropolitana de

San José, la unidad de estudio será la familia residente en esa área geográfica

y la población la componen el total de familias dentro del área.

Para el estadístico, sin embargo, la población no la forman las familias

propiamente dichas, sino los números que indican los ingresos mensuales de

esas familias. (p. 8)

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Ejemplo #2: clasifique si las siguientes poblaciones son finitas o infinitas:

Ejemplos de poblaciones ¿Finita o

infinita?

Longitud de los tornillos producidos por una máquina Infinita

Peso de los estudiantes matriculados en el curso de

estadística descriptiva en la UTN

Finito

resultados obtenidos al lanzar al aire una moneda un número

infinito de veces

Infinito

Resultados obtenidos al lanzar al aire un dado 200 veces Finito

Longitud de los tornillos producidos durante un día. Finita

Muestra: Se llama muestra a un subconjunto o parte de la población. Se

utilizan en investigaciones, en diversos campos y su fin es proporcionar

conclusiones que sean aplicables a todos los elementos de la población. Las

muestras podrían ser aleatorias o no aleatorias.

Ejemplo #1: Los Estudiantes del curso de Estadística Descriptica para la

carrera de Ingeniería en Procesos y Calidad de la UTN.

¿Cuándo utilizar una muestra?

Cuando la población es muy grande o infinita, pues resulta imposible cubrir

los elementos que la componen.

Cuando la población es finita, pero muy grande, por lo que su estudio

resultaría muy costoso y demanda mucho tiempo, al punto de que los datos

resulten obsoletos o inútiles.

La unidad de estudio se transforma o se destruye al ser examinada

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¿Cómo se selecciona una muestra?

Aleatoria o al zar: si se le da a cada uno de los elementos de la población

una probabilidad conocida de ser incluida en la muestra.

Intencional: utilizando la experiencia y conocimiento de la persona en la

población que se estudia.

Por conveniencia: utilizando elementos que estén disponibles o sean más

fáciles de conseguir.

Tipos de muestreo

A. Muestreo aleatorio o probabilístico: todos los elementos de la población

tienen una probabilidad conocida y no nula de ser seleccionados en la

muestra. Este tipo de muestreo es el que se requiere para poder hacer

inferencias a la población, pues eliminan los sesgos de selección, producen

errores aleatorios medibles y el error de muestreo puede hacerse pequeño

aumentando el tamaño de la muestra.

Muestra aleatoria simple

o muestra aleatoria simple

al azar

Muestreo Sistemático Muestreo estratificado

Muestreo por

Conglomerados

Es aquel donde todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados. No es conveniente cuando se trabaja con personas.

Este tipo de muestreo es recomendable cuando se poseen listados de personas, empresas o instituciones y se desea una muestra. Se recomienda tener la lista en forma alfabética, pues se debe cuidar que cierto número no repita una misma característica. Lo que se hace es tomar 1 cada k-ésimo de la lista.

El espaciamiento

Cuando se divide a la población en estratos y dentro de cada uno se hace un muestreo simple al azar. Ejemplo: En la UTN hay 8000 hombres y 7000 mujeres. Muestra: 150 personas Se toma:

80 hombres

70

Es muy diferente al

estratificado.

Se utiliza cuando no

es posible obtener la

lista de todas las

unidades de la

población; además,

cuando se desea

reducir el costo y el

tiempo para ubicar

las unidades

individuales.

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El arranque es un número aleatorio entre 1 y k.

Si

entonces

el arranque será un número entre 1 y 7, sea a = 4. Entonces los números serán: 4, 11, 18, 25, ... Cuando el k no es número entero se sigue este procedimiento:

El arranque “a” se tomará entre 100 y 875. Supongamos a = 216 → 2

216 + 875 = 1091 → 10

1091 + 875 = 1966→ 19 y así sucesivamente Por ejemplo en trabajos de campo: entrevisto una casa y me brinco 4 y así sucesivamente.

mujeres

Estratos: genero, grupos de edad, estudiantes (de colegio, primaria, universidad, etc), entre otros. Los estratos de uno a otro son muy heterogéneos.

Ejemplo:

investigación de

estudiantes de

secundaria en el

área metropolitana,

tomo como muestra

a los estudiantes de

1 colegio, entonces,

son heterogéneos

en su interior y

homogéneos por

fuera.

B. Muestreo no aleatorio o no probabilístico: NO todos los elementos de la

población tienen probabilidad de ser seleccionados en la muestra. Se

toman los elementos que son más fáciles de conseguir o que están más

cerca del interesado. Es imposible hacer inferencias sobre la población

utilizando un muestreo no probabilístico.

Muestreo por cuotas Muestreo intencional o

por juicio

Muestreo por

conveniencia

Muestreo

bola de nieve

La población se divide en

distintas subpoblaciones,

pero la selección de cada

Las muestras las

selecciona una persona

con experiencia y

El investigador

emplea su propio

juicio para elegir

Se basa en la

hipótesis de

que los

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unidad se hace basada

completamente en el criterio

del entrevistador, de modo

que se elige una muestra

por conveniencia dentro de

cada subpoblación.

Su principal desventaja es

que no se conoce si las

unidades elegidas para la

muestra presentan sesgo de

selección. Con este tipo de

muestreo no se puede

estimar el sesgo ni se puede

medir el error de muestreo.

Ejemplo: en un grupo de 20

personas:

5 mujeres dentro de

Heredia

5 hombres dentro de

Heredia.

5 mujeres fuera de

Heredia

5 hombres fuera de

Heredia.

conocimiento amplio de

la población en estudio

(juicio de experto).

El propósito de lograr

una muestra lo más

representativa posible,

pero sigue siendo no

aleatoria

las unidades

específicas que

debe incluir en la

muestra.

Se escogen los

elementos que

están más

cercanos

miembros de

una población

rara se

conocen entre

Unidad de muestreo: la unidad de muestreo es la unidad que podría ser

seleccionada para pertenecer en la muestra (personas, viviendas, barrios,

parcelas, establecimientos, etc). Para seleccionar una muestra aleatoria de

unidades de elementos muestrales, es necesaria una lista de todas las

unidades muestrales contenidas en la población. Esta lista se le denomina

marco muestral.

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Por ejemplo, suponga que en una empresa de alimentos se selecciona una

muestra de uno de sus productos: “tortas de carne” en la ciudad de Alajuela,

luego una muestra de supermercados en esas tortas de carne y por último una

muestra de pulperías en los supermercados seleccionados. En cada etapa del

muestreo las unidades de muestreo son las tortas de carne, los supermercados

y las pulperías, pero solo estos últimos son elementos.

Marco muestral o marco de muestreo: es la lista específica de las unidades de

muestreo de la que se elige la muestra o una de sus etapas. En los diseños de

muestreo de una sola etapa el marco muestral es la lista de la población de

estudio.

Variables Estadísticas: Es la característica o propiedad que varía en el estudio

de ciertos fenómenos, como por ejemplo: la profesión, la edad, el grupo

sanguíneo, la estatura, el género, el peso, el salario mensual, el estado civil,

entre otras, son variables estadistas. Las variables estadísticas se clasifican en

cualitativas y cuantitativas:

A) Cualitativas: se refieren a una cualidad o modalidad. Ejemplo:

Profesión, grupo sanguíneo, género, estado civil.

B) Cuantitativas: Se refieren a una cantidad, es decir las que pueden

tomar valores numéricos. Ejemplo: Edad, estatura, peso, salario

mensual, número de hijos de una pareja, entre otros.

A su vez, las variables cuantitativas, se clasifican en discretas y continuas:

I. Variable Discreta: Una variable discreta es una variable cuantitativa que

toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos

valores específicos. Ejemplos: El número de hermanos de una persona,

el número de alumnos por sección, número de hijos de una pareja,

número de goles de un equipo de fútbol, número de libros de la

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biblioteca de la universidad, entre otros.

II. Variable Continua: puede admitir, todos los valores de un intervalo real.

Ejemplo: El peso de cada estudiante, estatura, nota obtenida en un

examen, entre otros.

Observación o Dato: es el valor numérico, cualidad o categoría que se obtienen

de una unidad de estudio o unidad estadística, para una variable en particular.

Por tanto, para cada variable estadística, los datos estadísticos son un

conjunto de números o categorías correspondientes a las observaciones. Por

ejemplo: Un Cuestionario sobre gustos de comidas y cantidad de horas que

duerme al día, aplicado a cada uno de los estudiantes de sétimo año del

colegio XYZ, genera una cantidad de datos o valores a cada variable (gustos

de comidas y cantidad de horas que duerme al día, lo cual se denomina Dato u

Observación).

Variabilidad de los Datos: según Chaves (2012), se debe a que los datos que

corresponden a las características de las unidades de estudio, varían de una

unidad a otra. Por tanto, es uno de los fines más importantes, pues pretende

modelar e interpretar la variabilidad de un grupo de datos, para determinar

patrones. (p.10)

Atributos nominales: los valores de la variable indican nombres o cualidades.

Con éstos se puede contar, obtener la moda, calcular porcentajes, hacer

gráficos circulares o de barras horizontales. Ejemplos

Color de la casa de los estudiantes de este grupo (verde, azul, amarilla,

blanca, entre otros).

Estado civil de una persona (soltero, casado, viudo, unión libre).

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Atributos ordinales: también los valores de la variable indican nombres o

cualidades pero tienen un orden establecido. Con éstos se puede contar,

calcular porcentajes, obtener la moda, hacer relaciones del tipo mayor que o

menor que, hacer gráficos de barras horizontales. Se debe tener claro que las

distancias entre una categoría y otra no son constantes. Ejemplos:

Nivel de escolaridad (ninguno, primaria, secundaria, universitaria).

Clase social (alta, media, baja)

Opinión sobre el desempeño de la empresa “xyz” (muy bueno, bueno,

regular, malo, muy malo).

Nota: Una variable cuantitativa puede transformarse en variable cualitativa si se

agrupan sus posibles valores numéricos dentro de ciertas categorías o clases.

Ejemplo: La variable estatura o la altura se puede categorizar en tres clases:

pequeña, mediana, alta.

PRÁCTICA

1) Complete la siguiente tabla de variables:

Unidad

elemental

característica Unidad de

medida

Ejemplos de

observación

Un estudiante peso kilogramo 64,5

Una casa Tamaño

Valor

Metro cuadrado

Colón

3900000

Un bombillo Duración

Gasto de

electricidad

Hora

kW/h

500

De 100 watios: 0,10

De 60 watios: 0,06

Una venta monto colón 30000

Una máquina Producción diaria Unidad

producida

200

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2) Complete la siguiente tabla de atributos:

Unidad elemental característica Posibles Observaciones

Un estudiante Clase de alumno Regular, malo, oyente, especial…

Una casa Condición de alquiler Amueblada- sin amueblar

Un bombillo condición Defectuoso- no defectuoso

Una venta Tipo de artículo Jugos-jabón…

3) Dados los ejemplos de poblaciones que a continuación se le muestran,

especifique si se tratan de poblaciones finitas o infinitas, situando dentro del

cuadro correspondiente la letra que las precede

A. Salarios de los trabajadores de una fábrica “x”, durante el año anterior

B. Personas a las que se les puede aplicar una vacuna contra la gripe

C. Estudiantes que se matriculan en Estadística Descriptiva en los próximos años

D. Resultados obtenidos al lanzar sin límite, un dado

E. Salarios de los obreros

F. Producción de energía eléctrica en los últimos diez años

G. Población costarricense por sectores de producción en el año 2010

4) Para cada uno de los enunciados a continuación, escriba en los espacios en

blanco, una “V” si es verdadera la proposición, o bien una “F” si es falsa.

A. _________ cuando se selecciona una muestra utilizando el juicio de un

experto, hay que tener muy en cuenta los errores aleatorios cometidos.

B. _________ la representatividad de la muestra está en razón directa a su

tamaño y a la homogeneidad que presenten los elementos de la población.}

C. _________ en un análisis estadístico, cuanto mayor es la muestra, menor es el

error aleatorio.

Finitas Infinitas

Población

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D. ________ Los sesgos de selección son errores aleatorios o de muestreo

5) En la lista de características que a continuación se le presentan, indique, para

cada una, si se trata de un atributo o variable, y en caso de ser variable, si es

continua o discreta.

A. Peso de los estudiantes

B. Estado civil de los profesores

C. Ingresos familiares

D. Número de hijos

E. Edad de los estudiantes

F. Edad en años cumplidos de un estudiante

G. Clases de insectos

H. Duración de las carreras

I. Categorías profesionales

J. Producción de la editorial

K. Tipos de papel

L. Consumo familiar de electricidad

M. Humedad relativa

N. Especies botánicas

O. Calidad de un producto

6) El departamento de personal de la empresa Zemo S.A, para una nueva

ubicación de sus empleados, decide llevar a cabo un estudio sobre la situación

socioeconómica de aquellos.

A. ¿Cuál es la población de interés? ________________________________

B. ¿Cuáles son las características que interesa estudiar?

____________________________________________________________

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C. ¿cuál es la unidad estadística? ___________________________________

D. Escriba tres ejemplos distintos de población a los que se refieran este

ejercicio:

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________.

7) Defina en sus propias palabras, los términos: estadística descriptiva y

estadística inferencial.

8) Determine si las afirmaciones que a continuación se exponen, son verdaderas

“v” o falsas “f”, según corresponda.

A. ______ la selección aleatoria garantiza que la muestra refleja exactamente

lo que sucede en la población.

B. ______ la estadística inferencial trata de generalizar los datos obtenidos en

la muestra a la población.

C. ______ el cálculo de promedios, porcentajes y medidas de variabilidad es el

objeto exclusivo de la estadística inferencial.

D. ______ La tabla de números al azar se utiliza para garantizar que los

elementos escogidos no podrán repetirse al seleccionar otras muestras.

E. ______ la estadística descriptiva trata de describir el conjunto de datos, sin

pretender generalización alguna.

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Fuentes de Información

En toda investigación, la estadística tiene dos fines:

1. El fin científico, es decir, explicar, controlar y posteriormente hacer

pronósticos en situaciones determinadas.

2. Un fin utilitario, es decir, tomar decisiones, a partir de resultados

determinados, para ponerlas en práctica y posteriormente ser evaluadas,

como sucede en el ámbito empresarial.

Sin embargo, es importante no olvidar que cuando se realiza una investigación

con herramientas estadísticas podemos tener el caso que los datos requeridos

sean existentes, pues alguien ya los recogió para estudiar el mismo tema, o bien,

que los datos requeridos sean no existentes y deba implementarse otro proceso

para obtenerlos.

Así tenemos:

A) Datos Existentes: si la información que requerimos ya existe y es apropiada

al tema de interés. Debe evaluarse bien si es pertinente a los fines que se

persiguen, si es posible, el investigador se economizará esfuerzo y

recursos. Además, dichos datos se pueden dividir en primarios y

secundarios, el primero para el caso en las fuentes que recogen y

suministran dichos datos, como: Dirección General de Estadísticas y

Censos, Dirección de Empleo del Ministerio de Trabajo, Banco Central, etc.

Mientras que la segunda, es para el caso en que los datos recogidos

originalmente se dieron por otros y estas solo se publican, un ejemplo lo

menciona Gómez (2010): “planidatos, publicado por el Ministerio de

Planificación y Política Económica, resume y presenta numerosas series

estadísticas recogidas y elaboradas por otras instituciones nacionales

productoras de datos: Dirección General de Estadísticas y Censos, Banco

Central,…”. (p.31). Sin embargo, para manipular este tipo de datos, deben

evaluarse antes de ser utilizados, mediante las siguientes preguntas:

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¿La investigación fue con la población o muestra?, si fue con

muestra: ¿aleatoria o intencional?

¿El lugar donde se realizó el estudio fue parcial o había un

interés?

¿Se pudo haber introducido algún sesgo en los datos?

¿Se definieron claramente las unidades estadísticas y las

variables en estudio?

¿Las técnicas de estudio, definiciones y población estudiada

aplica para el problema que interesa estudiar?

B) Datos No existentes: cuando los datos no existen y el investigador debe

entonces, enfrentarse a utilizar ciertas técnicas específicas de recolección

de información para obtener los datos que la investigación requiera. Dichas

técnicas son: la observación, la entrevista, correo y registro, cada una de

ellas elaboradas mediante cuestionarios específicos, según la finalidad de

cada técnica. Para que cualquiera que sea el modelo de investigación

elegido, logremos obtener los datos necesarios para cumplir con nuestros

objetivos de investigación y es utilizada para generar estudios que al ser

socializados, apoyarán el proceso de mejoramiento de problema.

Analizaremos, cada técnica para datos no existentes y posteriormente el

cuestionario, el cual es una herramienta útil para cada una de estas técnicas:

1. La Observación

Propósito

Desarrollar una comprensión completa de los fenómenos en

estudio, que sea tan clara y precisa como sea posible. Por medio

de la observación se pueden responder preguntas, construir teoría

y generar o probar algunas hipótesis. Se utiliza en el control de

calidad de muchos procesos industriales.

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A) Desarrollo del Método: El resultado se materializa en el registro, diario o

cuaderno de campo.

B) Contenido del Diario de Campo: El diario de campo debe contener al menos

Registro detallado, preciso y completo de acciones y eventos.

Descripción detallada de personas y contextos.

Las propias acciones de la investigadora o investigador.

Impresiones y vivencia del observador (a).

Supuestos e interpretaciones que se hacen en el transcurso de la

observación.

Reflexiones, conjeturas y prejuicios.

Comentarios, consideraciones y reflexiones de quien hace la observación.

C) ROL DEL OBSERVADOR(A)

Como participante completo Participante como observador

Es un miembro de la empresa y

oculta al grupo su rol de

investigador para evitar

interrumpir la actividad normal.

Es un miembro del grupo estudiado y el grupo

es consciente de la investigación. No es un

agente externo.

Observador como participante Observador completo

Su rol principal es la recogida de

datos y el grupo estudiado es

consciente de las actividades de

observación del grupo.

El investigador está completamente oculto

mientras observa o cuando éste se halla a

plena vista en un escenario público, pero el

público estudiado no está advertido de lo que

observan.

De las cuatro posturas anteriores, la más ética es la de “observador como

participante”, pues las actividades son conocidas para el grupo estudiado.

D) LIMITACIONES

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La mayoría de observadores(as) no son del todo participantes en la vida de

la empresa determinada en el estudio, o bien, del grupo estudiado dentro de

la misma.

Las costumbres y normas existentes en la empresa pueden impedir el

desarrollo pleno de la investigación.

Desconfianza del grupo estudiado por la aparición de un(a) extranjero(a) en

el territorio.

La calidad de la observación, depende de la habilidad del (de la)

investigador (a) en observar, documentar e interpretar la información.

2. LA ENTREVISTA

Definición y Propósito

La entrevista es una conversación entre 2 o más

personas, una persona es entrevistador y otra u otras

entrevistados.

Su propósito es reconstruir la realidad tal y como la

observan los actores de un sistema o área empresarial

previamente definido.

Se dialoga, según ciertas normas o esquemas, teniendo

siempre un objetivo profesional, de manera, que ambos

pueden participar, la comunicación verbal es recíproca.

A) Características Generales

Reiterados encuentros cara a cara entre el investigador y los

informantes dirigidos hacia la comprensión de las perspectivas.

El investigador es el instrumento de la investigación y no lo es un

protocolo.

Es necesario prestar atención a los detalles de las experiencias y los

significados que los entrevistados le atribuyen.

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B) Aspectos a considerar

Selección de informante

Anonimato

Emplear seudónimos a personas y lugares de estudio.

Ganar la confianza al informante.

Logística.

CARACTERÍSTICAS DEL…

ENTREVISTADOR ENTREVISTADO

Explica el objetivo y la motivación del

estudio.

Formula preguntas con categorías de

respuesta.

Explica el sentido de las preguntas.

Establece relación equilibrada entre

familiaridad y profesionalidad.

Cada entrevistado recibe su propio

conjunto de preguntas.

Orden y formato puede diferir de

uno a otro.

Dispuesto a cooperar.

Comprende los propósitos del

investigador.

C) VENTAJAS Y DESVENTAJAS

Ventajas

Es una técnica eficaz para obtener datos relevantes y significativos.

Se pueden captar los gestos, los tonos de voz, los énfasis, entre otros;

éstos aportan información relevante sobre el tema y las personas

entrevistadas.

La ventaja esencial de la Entrevista reside en que son los mismos actores

sociales quienes proporcionan los datos.

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Desventajas

Lo cara que puede resultar preparar a los entrevistadores, ya que se debe

pagar: sueldos, viáticos, transporte, entre otros.

Es susceptible a producir engaños, exageraciones o distorsiones. Las

personas hacen y dicen cosas diferentes en distintas situaciones.

Existencia de temas tabúes entre las personas, algunos de los cuales

producen rechazo cuando se trata de responder preguntas concretas,

como por ejemplo temas políticos, sexuales, económicos, sociales, etc.

D) Tipos de entrevista:

Personal: permite obtener información muy confidencial, y posee un

mayor porcentaje de respuesta. Se necesita que los miembros de la

población sean potencialmente accesibles. Sin embargo, se vuelven

generalmente largas.

Telefónica: tienen costos más bajos, permite obtener información muy

confidencial y un alto porcentaje de respuestas, además, es sencillo

contactar luego a la persona entrevistada, se cubre una gran área

geográfica y no es peligroso para el entrevistador. Sin embargo, requiere

la supervisión a los entrevistadores.

Correo: presentan un bajo costo, existe un alto porcentaje de que los

entrevistados no respondan y se debe presentar mediante un

cuestionario claro, ordenado, fácil de responder y bien redactado.

3. Registro

Se utiliza casi exclusivamente por las oficinas públicas. Se obtiene información

teniendo el registro de hechos como: nacimientos, matrimonios, defunciones,

accidentes, entre otros, ya que al tener dicha información no sería necesario salir

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a buscarla. Es una técnica muy barata, sin embargo, se corre el riesgo de que la

información recopilada sea limitada.

Fases de la Investigación Estadística

En toda investigación estadística, se debe tomar en cuenta el plan y la

preparación, la ejecución del mismo y el análisis de resultados. De manera, que lo

dividiremos de la siguiente forma:

A) Definición del problema: determinar qué es lo que se quiere investigar y

delimitarlo claramente.

B) Establecer los propósitos específicos del estudio: Fijando los objetivos

específicos, la teoría que sustenta la investigación e hipótesis que puedan

someterse a prueba.

C) Preparación de un plan general de trabajo: se debe formular un plan de acción

con las metas a las que se desea llegar.

D) Formulación de un cuestionario: el cuestionario para la investigación

estadística es la herramienta en la cual giran las técnicas de recolección de

información anteriormente vistas.

E) Diseño y selección de la muestra: se debe especificar la población en estudio,

para luego mediante algún método probabilístico determinar la muestra que se

requiere.

F) Preparación y ejecución del trabajo de campo: una vez seleccionada la

muestra y teniendo listo el cuestionario, el investigador debe proceder a

realizar la técnica de recolección seleccionada.

G) El procesamiento de la información: una vez obtenida la información, se debe

proceder a ser analizada estadísticamente.

H) Análisis e interpretación de datos: se debe dominar el campo específico y tener

cautela al procesar la información.

I) Preparación del informe: en el mismo, se debe especificar: objetivos,

metodología, principales resultados, análisis e interpretaciones.

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El Cuestionario

Es un instrumento que consta de una serie de preguntas, para ser resueltas sin

intervención del investigador. Su función es obtener las respuestas que

suministren los datos necesarios para cumplir con los datos de la investigación.

Características que debe cumplir el cuestionario:

Confiabilidad.

Validez.

Motivación.

Evitar el cansancio del informante.

El uso de la técnica de la interrogación contempla dos pasos básicos:

La preparación de un cuestionario donde aparezcan las preguntas de

interés.

La aplicación de ese cuestionario a los sujetos o informantes.

La construcción de un buen cuestionario y su correcta aplicación se

convierten en la base de una encuesta.

Funciones:

Obtener respuesta que suministren los datos necesarios para cumplir con

los objetivos de la investigación.

Ayudar al entrevistador en la tarea de motivar al informante para que

comunique la información requerida, siendo de suma importancia para la

obtención de la información en forma válida y confiable.

Tipos de preguntas:

1. Cerradas: son aquellas en las que las respuestas posibles se hallan fijadas a

alternativas fijadas de antemano (“SI O NO”), también pueden consistir en una

serie de opciones de las que el entrevistado debe tomar una como la mas

acorde con su postura.

Ventajas: Pueden ser formuladas rápidamente, son fáciles de anotar y las

respuestas quedan clasificadas en el mismo momento en que se aplica la

entrevista, haciendo que su procesamiento y análisis sean relativamente

sencillos.

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Desventajas: Pueden llegar a forzar al entrevistado a dar una respuesta o

juicio sobre un tema del que todavía no tenga opinión. Las respuestas

pueden ser interpretadas erróneamente o no captarse su real significado.

2. Abiertas: Están elaboradas para permitir una respuesta libre y no una limitada

a alternativas preestablecías.

Ventajas: Dan la oportunidad al interrogado de contestar espontáneamente

y en sus propios términos. Desventajas: Plantean problemas de

procesamiento y de análisis que pueden ser muy complejos.

Clases de preguntas:

Preguntas de hechos: se le pregunta al individuo algo tangible, que pueda

responder fácilmente: edad, profesión, domicilio,……

Preguntas de acción o comportamientos: Se requiere del individuo

información sobre si ha realizado tal o cual acto y en que sentido, las

respuestas pueden ser bastantes preciso ya que se refieren a algo

concreto.

Preguntas de intención: Se requiere que el individuo no daga como actuó, si

no como actuaría si se le presentara la ocasión. La respuesta de este tipo

de preguntas es difícil.

Detalles acerca de la Construcción del Cuestionario:

Las preguntas:

Deben ir Claras y Comprensibles: Evitar repeticiones y el estilo complicado.

No deben incorporar al que responde: Utilizando temas que lo lleven a la

respuesta deseada.

No deben incluir a la respuesta (ejemplo: ¿Es el actual presidente una

persona culta?), Ni llevar una carga emocional.

No deben ser formuladas en negativo: ¿No asiste a reuniones.....

No deben tener dos preguntas a la vez

Deben tener un lenguaje adaptado a las características del que responde.

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No se debe iniciar el cuestionario con preguntas muy difícil.

Además, no se debe olvidar explicar los propósitos del cuestionario ni las

instrucciones. Y no se tiene un número ideal de preguntas.

Nota: Para una investigación estadística, el tipo de preguntas deben ser cerradas,

para que posteriormente puedan ser analizadas mediantes gráficos.

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Unidad

UNIDAD II: PROCESAMIENTO Y

PRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

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Las clasificaciones o series estadísticas

Se acostumbra a utilizar cuatro tipos de clasificaciones o series estadísticas para

los datos recolectados, los cuales son los siguientes:

1. Series cuantitativas: son aquellos datos clasificados según una variable

cuantitativa (discreta o contínua) Por ejemplo:

Cuadro Nº 1

Prevalencia de sobrepeso en Costa Rica según edad y género

Grupo Prevalencia (%)

Niños (as) 5-12 años 21.4

Adolescentes 13-19 años 20.8

Mujeres 20-44 años 59.7

Mujeres 45-64 años 77.3

Hombres 20-64 años 62.4

Hombres y mujeres >65 años 59%

Fuente: Ministerio de Salud, Costa Rica; 2009

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Cuadro No. 2

Cantidad de Víctimas Mortales

Según Rango de Edad y Sexo

Año 2010

Fuente: Dirección General de la Policía de Transito

2. Series Cualitativas: son aquellos datos clasificados según una variable

cualitativa. Por ejemplo:

Rango de Edad Sexo

Masculino Femenino

1-10 10 4

11-20 9 4

21-30 87 8

31-40 46 10

41-50 40 6

51-60 21 2

61-70 13 0

71-80 4 1

81-90 3 0

Más de 91 0 0

No informa 14 5

Total 247 40

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3. Series geográficas: son series cualitativas, se mencionan separadas de las

mismas por las frecuencias con la que se utilizan. Por ejemplo:

4. Series Cronológicas o de tiempo: se clasifican como la palabra lo indica, según

un orden cronológico. Son de gran importancia para explicar fenómenos

sociales, económicos, demográficos y meteorológicos. Por ejemplo:

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Fuente: INEC, Costa Rica; 2008

Formas de Presentación de la Información

Una vez obtenidos los datos, se clasifican y se tabulan, para luego resolver de qué

forma se presentarán o expondrán los resultados. Es importante no olvidar esta

fase, pues nos permite un mejor análisis de los datos y los resultados y dejarlos a

su vez, al alcance de muchas otras personas.

Para esta fase, no existe una regla fija para definir el proceso, por lo que lo vuelve

un poco complejo, ya que depende del criterio de la persona que maneja los

datos. Sin embargo, como guía, podemos utilizar una de las siguientes cuatro

formas básicas de presentar la información:

1. Textual: tiene un uso restringido y específico. Las cifras (o datos) se incluyen

dentro del texto. Por ejemplo, Gómez (2010) cita: “El problema nutricional de

Costa Rica es, en la mayoría de los casos, un resultado directo de la pobreza.

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En el área Metropolitana de San José, el costo de la dieta recomendada por el

INCAP (Instituto de Nutrición de Centroamérica y Panamá) es de ₡500,00 al

mes para una familia de 5 miembros. Sin embargo, un elevado porcentaje de

las familias urbanas no alcanzan ni siquiera ese nivel de ingreso. En las zonas

rurales, el problema de la mala nutrición no es extraño, si se considera que los

salarios mínimos del gran número de jornaleros de estas zonas no llegan ni

siquiera a ₡300,00 mensuales”. (p.146)

Como ventajas se tiene que: se permite resaltar cifras importantes, permite

explicar ciertos puntos donde se considere necesario y permite simplificar la

información de forma simple e interesante al público.

Como desventajas tenemos que: no permite incluir información extensa y se

requiere leer todo el análisis para poder comprender la información transmitida.

2. Semitabular: tiene un uso restringido y específico. Se utiliza cuando se tienen

pocos datos clasificados de forma simple, pero que a su vez estos muestran

una independencia del texto. Es decir, se utilizan en series sencillas o sencillas

con 3 o más categorías, las cuales resultaría confusas en un texto, pues

requieren ordenarse en columnas.

Muestra las ventajas de forma similar a la textual, agregando que esta permite

darle mayor énfasis a los datos. Como desventaja, al igual que la textual, aún

no se puede dejar de leer el párrafo para comprender los datos.

Como ejemplo Melgar (2012) cita lo siguiente: “Analizando el comportamiento

poblacional del municipio de San Juan Sacatepéquez, se determina que está

integrada mayoritariamente por población joven”.

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Categoría Rango de Edad Porcentaje

Joven 0 – 30 61.25

Adulto 31 – 64 31.38

Tercera Edad 65 y más 7.37

3. Tabular: es la más utilizada. Goméz (2010) la define como: “una ordenación

sistemática de datos en filas y columnas, de acuerdo al criterio o criterios de

clasificación que interesen y, en forma tal, que puedan ser interpretados

rápidamente, extraer conclusiones de ellos y hacer comparaciones”. (p.147)

Los componentes del cuadro son los siguientes:

Fuente: http://www.estadistica.ucr.ac.cr/cdmmora/pages/inicio.htm

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Ejemplo de cuadro:

A) EL NÚMERO DEL CUADRO: puede formar parte del título o colocarse

encima de él. Se agrega cuando en una publicación hay más de un

cuadro, para identificarlos. Se recomienda usar la numeración arábiga.

B) TITULO: se coloca en la parte superior, presenta en forma corta un idea

de la información que contiene el cuadro. El título debe decir: que son

los datos (a que se refieren), donde se recogieron (lugar), cuando se

recogieron (año) y clasificaciones utilizadas para organizar los datos

(provincia, sexo, entre otros).

C) LA NOTA INTRODUCTORIA O PRELIMINAR: aclara una parte o todo el

contenido del cuadro; se coloca centrada debajo del título y en

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minúscula, se encierra entre paréntesis o guiones. Puede indicar la

unidad de medida de los datos o hacer alguna aclaración esencial para

su comprensión. Es un complemento del título. Marjorie, menciona las

siguientes ventajas:

Ventajas

Informa las unidades de los datos

(En dólares)

(En miles de colones)

(Tasas por mil habitantes)

Aclara el título

(Muestra de estudiantes)

(Datos censales)

Previene al usuario de las limitaciones de los datos

(Cifras preliminares)

(Proyecciones)

Establece la base sobre la que se realizan las comparaciones, como

en los índices

(Enero 1995=100)

D) LA COLUMNA MATRIZ: Marjorie la define como: “es la columna del lado

izquierdo del cuadro. En ella se coloca la característica principal de

clasificación del cuadro; pero puede colocarse, también, la característica

que tiene el mayor número de categorías o los nombres más largos, por

la facilidad de extenderse para abajo”.

E) ENCABEZADO: El encabezado se ubica en la parte superior derecha

del cuadro y contiene los títulos de las columnas; se coloca en ellos una

o varias clasificaciones de los datos.

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Nota:

Ordenamiento de las categorías en la columna matriz y en los encabezados:

Se coloca la clasificación más importante en la columna matriz y las

clasificaciones secundarias en el encabezado. No es recomendable

colocar más de tres niveles de clasificación en los encabezados.

Se prefiere una columna matriz larga y un encabezado corto. Por tanto,

los nombres de las características más extensas se colocan en la

columna matriz.

El título o etiqueta se escribe con letras mayúsculas y las

subclasificaciones en minúscula (sólo la primera letra lleva mayúscula).

Los nombres se escriben en singular y debe evitarse la repetición de

palabras.

Si los datos del cuadro se refieren al sexo de las personas, se opta por

usar el término “Ambos sexos” en lugar de “total”.

Marjorie menciona: “El Instituto Nacional de Estadística y Censos de Costa Rica

(INEC) y la norma del Centro Interamericano de Enseñanza de Estadística

(CIENES), dice que las clasificaciones deben estar antecedidas por las palabras

según para la columna matriz y por para el encabezado”.

Las siguientes son formas de ordenamiento de la columna matriz y de los

encabezados, más comunes:

Alfabético: Ordena las categorías en forma alfabética. Facilita la localización

de los datos. Por ejemplo: ordenar según la primer letra de los apellidos de los

estudiantes.

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Magnitud: se ordena las categorías de acuerdo con su tamaño o magnitud, es

decir de menor a mayor (o viceversa). Por ejemplo: ordenar los trabajadores

de la empresa XYZ de acuerdo con su peso o bien su edad.

Cronológico: se ordena las categorías de acuerdo con una serie cronológica o

de tiempo, es recomendado y más utilizado que se inicie con la fecha más

antigua, aunque algunos acostumbran poner primero el año o período más

cercano. Por ejemplo:

Clasificar la población de Costa Rica, por año calendario del 1990 al

2005.

Mostrar los datos del Índice de Precios al Consumidor de Costa

Rica, para cada uno de los doce meses del año 2012.

Geográfico: se ordena las categorías de acuerdo con un orden de cercanía o

continuidad geográfica. Por ejemplo: en Costa Rica: Zona Atlántica, Zona

Norte, Zona Sur y Valle Central.

Usual: se ordenan las categorías de acuerdo con la tradición o la costumbre.

Por ejemplo: En el caso de Costa Rica, se acostumbra a ordenas sexo por

hombre y mujeres y no al revés.

Progresivo: se ordena las categorías de acuerdo con un orden determinado,

ya sea como se presentan en la realidad o por las diferentes etapas de un

proceso. Por ejemplo: matricula ordinaria, matricula extraordinaria, retiros

justificados, exclusiones por razones especiales y matrícula final.

Numérico: se ordena las categorías por números. Se utiliza para ciertos

fenómenos, entidades, entre otros. Por ejemplo: Distrito I, Distrito II, Distrito

III, etc.

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F) CUERPO O CONTENIDO: la conforman las cifras que van incluidas en

el cuadro, dentro de las casillas definidas por la columna matriz y los

encabezados.

G) NOTA AL PIE: se coloca al pie del cuadro, antes de la fuente. Su fin es

hacer aclaraciones, observaciones o advertencias a cierta cifra (o dato)

o clasificación. Esta es la notación para escribirlas: _/: signo que denota

la llamada de atención. Ejemplo:

Fuente:http://www.estadistica.ucr.ac.cr/cdmmora/pages/cuadrosygraficos/c4-noaalpie.jpg

H) FUENTE: los datos incluidos en el cuadro no fueron obtenidos

directamente por la persona o entidad que lo confecciona por lo que

debe llevar: Institución u organismo. (año de la edición). Título del

documento. Lugar: publicador. Si los datos fueron citados por otros se

menciona como: FUENTE: xxx, según cita “y”.

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Clasificación de los cuadros

Se clasifican por su contenido o por su estructura o formato, de la siguiente

forma:

Por su contenido

1. Cuadros generales o de referencia: presentan gran cantidad de datos a

un nivel muy desagregado. La función es presentar los resultados de

censos, encuestas, sistemas de registro, etc con todo el detalle posible.

Se llaman generales porque presentan mucha información, pero

también sirven de referencia para diversas investigaciones.

2. Cuadros específicos, derivados o de resumen: son más pequeños que

los de referencia, presentan un punto particular, contestando a

preguntas específicas de interés. Son más elaborados, pues pueden

contener datos adicionales como: porcentajes, tasas, promedios o

razones.

Por su estructura o formato

Detalles sobre la

construcción de Cuadros

Es recomendable no incluir demasiada información porque se puede confundir

al lector.

Destacar cifras: estas deben ser colocadas adecuadamente. La forma de

resaltarla es subrayándola, sin que el cuadro se vuelva extravagante.

Se citan las fechas exactas, primero la más antigua y luego la más reciente.

Por ejemplo: 1989-2013.

Rayado: Deben dejarse abiertos los lados del cuadro, no se deben trazar

líneas horizontales dentro del cuerpo ni deben penetrar la columna matriz y las

líneas verticales es para dividir encabezados. Es necesario colocar una línea

vertical que separe la columna matriz del cuerpo del cuadro y una línea

Dividido Paralelo o doble página

Vertical Formas compuestas

Horizontal

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horizontal al final que es la que cierra el cuadro, que va antes de la fuente o de

la nota al pie.

Tamaño y forma del cuadro: que no sea ni muy largo ni muy angosto, ni muy

ancho ni muy corto. Ejemplo:

Fuente. http://www.estadistica.ucr.ac.cr/cdmmora/pages/inicio.htm

4. Gráfica: Es la más utilizada después de la tabular. Un gráfico estadístico es

una representación pictórica, cuyo objetivo es expresar el comportamiento de

una variable en estudio. Además, son representaciones de información real

que existe en nuestro mundo, es una expresión artística de datos reales y

observados.

Un gráfico sirve también para comparar visualmente el comportamiento de dos

o más variables similares o relacionadas. Es un medio clásico para presentar

resultados de investigaciones científicas, son simples y fáciles de comprender

y permiten un mejor análisis y una mejor precisión de las conclusiones o

resultados.

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Partes de un gráfico estadístico:

1. Título: Aquí se señala la población en Estudio y la variable. Similar al título

en los cuadros.

2. Diagrama: Dado por el propio dibujo el cual representa el comportamiento

de los datos o series estadísticas. Es la parte más importante del gráfico.

3. Escalas: Depende de la magnitud de los datos, la frecuencia mayor, es el

valor máximo de la escala y se recomienda que exista una relación entre el

eje “x” y “y” de 1 cm cada eje.

4. Leyenda: Son indicadores donde se precisa la correspondencia entre los

elementos del gráfico y la naturaleza de las medidas representadas.

Marjorie menciona:

Si son cifras absolutas o relativas: Número de persona, Porcentaje

de estudiantes, Número de escuelas.

Si son unidades, miles o millones: Número de personas (en miles) y

Producto interno bruto (en millones de colones)

Si los datos han sido multiplicados por una constante, entonces,

anotar el valor de esta constante: Tasa de mortalidad infantil (por 1

000 nacimientos) o Tasa bruta de natalidad (por 1 000 habitantes).

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5. Fuente: Aquí se señala de donde se obtuvo la información que permitió

obtener el respectivo gráfico. Se escribe de forma similar al cuadro.

Tipos de gráficos:

Existe una variedad gráficos, sin embargo, en cada gráfico existe una

clasificación de interés y una frecuencia o valor que pertenece a cada

categoría. Se hará referencia a los gráficos de mayor uso e importancia:

A) Gráfico de barras: La comparación está en la longitud de las barras.

Las barras deberían ser horizontales si la serie que se presenta es

cualitativa o geográfica (leyenda de categorías corresponde a texto)

Fuente:http://www.estadistica.ucr.ac.cr/cdmmora/pages/cuadrosygraficos/grafico1.png

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Las barras deberían ser verticales si los datos constituyen una serie

cronológica o cuantitativa (leyendas corresponden a valores numéricos).

Fuente:http://www.estadistica.ucr.ac.cr/cdmmora/pages/cuadrosygraficos/grafico13

.png

Nota: En las series cualitativas y geográficas las barras deben ordenarse

de acuerdo con su longitud, ya sea de forma ascendente o descendente.

No obstante, si se representan variables cuantitativas o cualitativas

ordinales, las barras se colocan siguiendo un orden lógico.

Las barras comparativas: permiten hacer comparaciones entre variables

de modo que es posible visualizar relaciones entre ellas. Son adecuadas

cuando se desea comparar el comportamiento de una variable entre

distintos grupos.

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44 | P á g i n a

Fuente:http://www.estadistica.ucr.ac.cr/cdmmora/pages/cuadrosygraficos/gr

afico16.png

B) Gráfico Circular, de pastel o de sectores: Es utilizado para representar una

variable cualitativa. Es un círculo cuya área se divide en sectores

proporcionales. Se necesita el porcentaje de los elementos en estudio y el área

de cada uno de los sectores refleja la importancia de la categoría que

representa. Estas gráficas son utilizadas para comunicar la misma información

que se representa con gráficas de barras simples, con el inconveniente que su

construcción es más compleja. Se utiliza para representar porcentajes en

variables que tienen pocas categorías de respuesta.

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45 | P á g i n a

FUENTE: Colegio de Médico y Cirujanos de Costa Rica.

www.medicos.sa.cr

C) Gráfica lineal: siempre hay dos escalas y el lector debe considerarlas

simultáneamente para interpretar los datos. Son usadas generalmente para

representar series de tiempo, pues permiten analizar de una mejor manera el

patrón de comportamiento. Las escalas se marcan sobre dos rectas, una

vertical y otra horizontal que se unen en un ángulo recto formando un sistema

de coordenadas.

Los Gráficos lineales pueden ser de cuadrícula aritmética, semilogarítmica o

logarítmica.

Gráficos lineales aritméticos: son aquellos cuya escala vertical y

horizontal es aritmética, es decir, las distancias iguales representan

iguales magnitudes o montos. Se utiliza casi exclusivamente para series

de tiempo y la técnica es prácticamente igual a la del gráfico de barras,

con la diferencia que en lugar de representar el caso o fenómeno con

barras, se utiliza una línea formada por la unión de los puntos. La

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46 | P á g i n a

ventaja respecto al de barras es que permite representar varias series

en un mismo gráfico. SIEMPRE debe aparecer el cero al pie de la

escala vertical. Ejemplo:

Fuente: http://www.estadistica.ucr.ac.cr/cdmmora/pages/cuadrosygraficos/grafico9.png

Gráficos lineales semilogarítmicos: se usa cuando se desea representar

y analizar las variaciones relativas de una serie, tiene en el eje “x” una

escala aritmética y en el eje “y” una escala geométrica o de razón, en la

cual distancias iguales representan magnitudes proporcionales y no

iguales como en la aritmética. Según Gómez (2010), se tiene las

siguientes formas de interpretar el gráfico semilogarítmico:

“Una línea recta indica una tasa constante de cambio, de

aumento si la pendiente es positiva y de disminución si la

pendiente es negativa.

Las líneas paralelas indican que las series están aumentando o

disminuyendo a la misma tasa

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47 | P á g i n a

Si dos segmentos de una misma curva tienen diferente

pendiente, el que tiene la pendiente más marcada varía a una

tasa mayor (de aumento o de disminución)”. (p.213)

Fuente: http://www.estadistica.ucr.ac.cr/cdmmora/pages/cuadrosygraficos/grafico12.png

D) Pictogramas: es un gráfico construido a base de figuras o dibujos con el fin de

llamar la atención del lector.

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48 | P á g i n a

E) Mapas Estadísticos: son aquellos que muestran la información sobre una base

geográfica. Ejemplos:

PRÁCTICA

1) Mencione dos ventajas y dos inconvenientes del uso de los gráficos

Ventajas:

Son entendidos de forma rápida y cómoda (presentan la idea general).

Llaman la atención del lector

Desventajas:

No muestran las cifras exactas, sino valores aproximados

En los gráficos, se presenta una cantidad limitada de datos.

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49 | P á g i n a

Población de Costa Rica nacida en el extranjero según país de

origen. Año 2000.

Nicaragua 76,35%

Colombia 2%

Otros 12,05%

El Salvador 2,93%

Estados Unidos 3,2%

Panamá 3,46%

2) De acuerdo con los resultados del censo del 2000, la población nacida

en el extranjero y residente en el territorio nacional es de 296 461 personas.

Estos inmigrantes representan el 7,8% de la población total del país. En el

siguiente gráfico circular, se detalla esta población de inmigrantes según país

de de origen para el año 2000:

a) Acorde con el gráfico anterior, ¿cuántos inmigrantes de cada país forma parte

de la población nacida en el extranjero y residente en el territorio nacional?

b) En el Censo del 2000 se excluyeron a los turistas y a las personas que

estuvieron en el país por un período corto (menos de seis meses) y sin

intenciones de radicar en el país. ¿Por qué cree usted que se hizo esto?

Formule conjeturas.

Fuente: Censo 2000. Instituto Nacional de Estadísticas y Censos

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50 | P á g i n a

Fuente: Estado Mundial de la Infancia 2002, UNICEF.

3) El virus del SIDA cobra cada vez mayor cantidad de vidas. En el siguiente

cuadro, se presenta el porcentaje de la mortalidad de niños menores de 5 años

a causa de esta enfermedad en aquellos países que más sufren por este virus.

País Porcentaje

Botswana 64

Zimbabwe 50

Sudáfrica 50

Namibia 48

Kenya 35

Mozambique 26

Zambia 25

Liberia 22

Tanzania 20

a) Elabore un gráfico de barras que muestre el comportamiento en los

diferentes países.

b) ¿Por qué cree usted que el SIDA tiene resultados más devastadores en el

continente africano?

c) ¿Cuáles acciones pueden contribuir a la lucha contra el SIDA?

4) Escriba una “V” si el enunciado es verdadero y una “F” si el enunciado es falso

para cada una de las siguientes proposiciones.

Las proposiciones del gráfico dependen de la serie estadística que pretende

presentar.

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51 | P á g i n a

Debe señalarse claramente si en el gráfico la escala ha sido cortada.

El gráfico necesita título, leyendas, símbolos, escala, fuente para quedar

claramente explicado.

El gráfico tiene con respecto al cuadro, la ventaja de poder introducir un

gran número de datos sin perder claridad.

Todo gráfico puede representar cualquier tipo de serie de datos.

En el gráfico sólo deben aparecer los nombres que corresponden a las

magnitudes de las escalas horizontal y vertical, todo lo demás lo haría más

confuso.

5) Dadas las siguientes proposiciones:

A) Peso de los alumnos ingresados en un centro

B) Nivel académico de los componentes de un club social.

C) Salarios percibidos por los trabajadores de una empresa.

D) Valores de las importaciones de un cierto año por países de origen

E) Población total por sexo

F) Población total por edades

G) Cantidad de café recogido por provincias

Para cada tipo de series estadísticas, coloque la letra que precede a cada

distribución en el espacio en blanco:

Series cuantitativas: _____________________________

Series cualitativas: ________________________________

Series geográficas: ________________________________

Series cronológicas: __________________________

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52 | P á g i n a

6) Dados los enunciados que se presentan a continuación, señale a qué formas

básicas de presentación de la información pertenecen y escriba: 1 si es textual,

2 si es semitabular, 3 si es tabular y 4 si es gráfica.

Información numérica muy escasa

Se separa del texto con pocos datos

Las cifras vienen a apoyar las argumentaciones

No precisa aclaraciones textuales

Se usan en publicaciones censales

La información viene expuesta por medio de dibujos y figuras

7) Los siguientes datos corresponden al PARTIDO POLÍTICO PREFERIDO de 30

estudiantes de octavo año del Colegio XYZ en la provincia de Alajuela. La

investigación realizada fue por el Comité de Actividades Curriculares del

colegio en junio del 2012.

PLN PLN PLN PLN PLN PLN PLN PLN PLN PLN

PLN PAC PAC PAC PAC PAC PAC PAC PAC PUSC

PL PL PL PL PAC PAC PAC PAC PAC PUSC

PLN: Partido Liberación Nacional

PAC: Partido Acción Ciudadana

PUSC: Partido Unión Social Cristiana

PL: Partido Libertario

Conteste lo que se le solicita:

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A) Haga un cuadro de presentación para resumir la información. Incluya

cantidad.

B) Hacer un gráfico adecuado para presentar la información. Tome en cuenta

el tipo de variable, para la selección correcta del tipo de gráfico

NOTA: “¿Qué es razón y qué Proporción?

Razón: es un cociente, donde el numerador NO está incluido en

el denominador.

Proporción: es una razón, donde el numerador SI está incluido

en el denominador.

Ejemplo:

Total de

encuestados

No leen Leen 260 libros Leen 3 o

más libros al

año

1 libro al año 2 libros al año

500 240 100 90 70

Proporción:

. Interpretación: el 20% de los

encuestados leen 1 libro al año.

Razón:

. Interpretación: por cada persona

que lee un libro al año, hay dos personas que NO leen (“interpreta de

abajo hacia arriba”).

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54 | P á g i n a

Distribuciones de Frecuencias

De acuerdo con lo visto anteriormente, podríamos afirmar que la estadística

trabaja con números, que representan ciertas características de objetos, personas

o cosas. Los datos pueden presentarse de dos formas:

Serie de datos sin agrupar: cuando el conjunto de datos es reducido,

tanto, que se pueden presentar en detalle (uno a uno). Se ordenan de

menor a mayor, para apreciar rápidamente las características de dichos

datos (si varían mucho o si son homogéneos).

Serie de datos agrupados: cuando los datos son muy numerosos y la

presentación y análisis no es simple, para este tipo de datos se debe

agrupar en clases o categorías que sean exhaustivas y mutuamente

excluyentes, es decir, que no exista alguna posibilidad que algún dato

no corresponda a ninguna clase o de que pueda quedar incluido en más

de una clase. Estos arreglos son los que se denominan Distribuciones

de Frecuencias.

Las distribuciones de frecuencias representan entonces una de las técnicas para

lograr resumir la información (de datos agrupados) recolectada y obtener mejores

resultados para la interpretación de los datos. Son clasificaciones u ordenaciones

que se refieren a las variables, ya sean cuantitativas o cualitativas, y que

constituyen un instrumento muy útil en el trabajo estadístico; ya que en el análisis

e interpretación de los datos correspondientes a variables continuas o discretas

resulta muy valioso tener información acerca de tres aspectos:

La forma o patrón de la distribución de los datos (simétrica, sesgada).

La posición de la distribución, es decir, alrededor de qué valor se tienden a

concentrar los datos (valores centrales).

La dispersión o variabilidad de los datos alrededor de los valores centrales

o promedios.

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55 | P á g i n a

Existen diferentes tipos de escalas para realizar una distribución de frecuencias

y dependen del tipo de datos con que se trabaje. Si se trabaja con atributos, se

utiliza la escala nominal, algunas características con escala ordinal, pero en

ambas escalas, las categorías no corresponden a ninguna escala de medición,

sino a razones propias de presentación, por ejemplo:

ESCALA NOMINAL ESCALA ORDINAL

Cuadro No.1

DISTRIBUCIÓN DE EMPLEADOS DE LA

EMPRESA XXX SEGÚN EL

DEPARTAMENTO AL QUE PERTENECE.

Cuadro No. 2

DISTRIBUCIÓN DE EMPLEADOS DE LA

EMPRESA XXX SEGÚN EL NIVEL

OCUPACIONAL

Departamento

Número de Empleados

Nivel Ocupacional

Número de Empleados

Producción 600 1 100

Finanzas 125 2 200

Mercadeo 425 3 525

Y por último, la escala de intervalos para variables discretas y continuas, para las

primeras, su estudio por lo general resulta de muy fácil construcción, para las

segundas podrían presentarse algunos otros problemas o dificultades.

Distribuciones de Frecuencias de Variables Discretas: la construcción para las

variables discretas es más sencilla, se podrían incluso obtener los diferentes tipos

de frecuencias, pues con los datos y el recuento de las mismas se completa dicha

información de forma cómoda y eficiente, para finalmente representarse por medio

de gráficos de barras verticales. Algunos conceptos básicos para la construcción

de distribuciones de frecuencias para variables discretas son:

A) Frecuencias Absolutas: Es el número de veces que aparece un dato.

Esta columna debe sumar el número total de observaciones.

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56 | P á g i n a

B) Frecuencias Relativas: es el cociente entre la frecuencia absoluta de

cada categoría entre el total de observaciones. Se indica en porcentajes

y representa la importancia relativa de cada dato estadístico.

C) Frecuencias Acumuladas: puede hacerse sumándose hacia abajo para

obtener una distribución acumulada “menos de” o hacia arriba para

obtener una distribución acumulada “más de”.

En la frecuencia “menos de” (de arriba hacia abajo): se toma el primer

dato igual al 1o de las frecuencias absolutas, en la segunda fila se toma

el valor anterior y se suma el 2o de las frecuencias absolutas, en la tercer

fila se toma el valor anterior y se suma el 3o de las frecuencias absolutas

y así sucesivamente hasta llegar al total de las frecuencias absolutas.

Mientras que la “más de” (de abajo hacia arriba): se toma el total las

frecuencias absolutas, en la segunda fila se toma el valor anterior y se le

resta el 1o valor de las frecuencias absolutas, para la tercer fila se toma

el anterior y se le resta el 2o de las frecuencias absolutas y así

sucesivamente hasta llegar a un valor igual al último de las frecuencias

absolutas. Ejemplo:

Número de

Hermanos

Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

Frecuencia Acumulada “menos de”

Frecuencia Acumulada “más de”

Absoluta Relativa Absoluta

Relativa

1 2 2 25

2 3

3 4

4 8

5 3

6 1

7 2

8 2 25 2

TOTAL 25 1.00

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57 | P á g i n a

Interpretación:

De acuerdo con los datos recolectados, el número de hermanos que presenta

mayor frecuencia es el ______, con un porcentaje del______de la población

total estudiada.

El número de empleados que tienen de 1 a 5 hermanos son______, quienes

representan el ________ por ciento de la población estudiada.

_________ empleados tienen 6 o más hermanos, que representan el _______,

de los 25 empleados estudiados.

Distribuciones de Frecuencias de Variables Continuas: para las variables

continuas se deben tomar en cuenta diferentes aspectos como: número de clase,

amplitud, entre otros, pues su construcción no es tan sencilla como en las

variables discretas.

Existen algunas reglas generales para construir distribuciones de frecuencias:

1. Recopilar los datos

2. Ordenar los datos de menor a mayor

3. Especificar el número de clases

4. Calcular el tamaño exacto del ancho de la clase

5. Determinar el tamaño ajustado del ancho de clase.

6. Identificar los límites de clase

7. Conteo de los datos

A continuación, se presentará algunos conceptos básicos que son necesarios e

indispensables para la construcción de distribuciones de frecuencias de variables

continuas:

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A) Regla de redondeo: se utilizará la regla de redondeo usual, es decir, “a la

unidad más próxima”, que indica lo siguiente:

Si el primer dígito de la parte del número que va a ser eliminada en el

redondeo es menor que cinco, el dígito precedente permanece sin cambio.

Ejemplo: → →

Si el primer dígito de la parte del número que va a ser eliminada en el

redondeo es exactamente cinco, el dígito precedente se aumenta en una

unidad si es impar y se deja sin cambio si es par. Recuerde que el cero es

un número par. Ejemplo: → → →

Si el primer dígito de la parte del número que va a ser eliminada en el

redondeo es mayor que cinco, el dígito precedente se incrementa en una

unidad. Ejemplo: →

B) Clases Son las categorías utilizadas cuando se trabaja con variables

cualitativas. Cuando se trata de variables cuantitativas las clases son intervalos

o valores discretos.

Al agrupar los datos los dividimos en clases o categorías, si es posible todas

del mismo tamaño. Se debe utilizar más de cinco y menos de 15 clases, y

éstas dependen del número total de observaciones. Debe evitarse las clases

de diferente amplitud y también las clases abiertas (pues estas no permiten el

cálculo del punto medio, ni de intervalos de clase y obligan a optar

procedimientos parciales). Además, se prefiere por comodidad y sencillez que

el intervalo de clase sea cinco, diez o un múltiplo de ellos.

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59 | P á g i n a

C) Límites de clase: Son los valores que definen una clase (cuando éstas son

intervalos) separándola de la anterior y de la posterior. Deben ser tales que

permitan definir clases exhaustivas (clasificar a todas las observaciones en

alguna de ellas) y mutuamente excluyentes (no permitan que una observación

quede incluida en más de una clase).

Para definir el límite inferior de la primera clase se considera el dato menor del

conjunto de observaciones y se escoge un valor más pequeño a éste.

D) Amplitud general, rango o recorrido: Es la diferencia entre el dato mayor y el

dato menor del conjunto de observaciones.

E) Intervalo de clase, tamaño de la clase o ancho de la clase: este representa

el tamaño de la clase. Se obtiene como el cociente entre la amplitud general y

el número de clases. Como se mencionó antes, se prefiere, por comodidad,

que el intervalo de clase sea cinco, diez, o un múltiplo de ellos.

F) Punto medio: Es el promedio entre el límite inferior y superior de la clase. Si

se trabaja con valores discretos en las clases (no hay intervalos) entonces no

se coloca el punto medio.

G) Frecuencia absoluta: Es el número de veces que aparece un dato. Esta

columna debe sumar el número total de observaciones.

H) Frecuencia relativa: Son los cocientes entre las frecuencias absolutas de

cada clase y el número total de datos. Son proporciones y por lo tanto esta

columna debe sumar uno.

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I) Porcentajes: Las frecuencias relativas multiplicadas por cien. Esta columna

debe sumar 100%.

J) Frecuencias acumuladas: Hay de dos tipos: “más de” y “menos de”. Se

obtienen realizando la suma de cada una de las frecuencias (absolutas o

relativas) con las precedentes o con las sucesivas utilizando los límites

inferiores ó superiores de cada clase, (esto depende del tipo de frecuencias

acumuladas que se desee). Para la frecuencia acumulada “menos de” se

suman las frecuencias absolutas (o relativas) con las precedentes usando los

límites superiores de cada clase. En la frecuencia acumulada “más de” se

suman las frecuencias absolutas (o relativas) con las sucesivas usando los

límites inferiores.

NOTA: En la primera parte de este curso, utilizaremos el redondeo a un decimal

(excepto cuando se indique lo contrario). Esto es recomendable principalmente en

la construcción de tablas y gráficas, con el fin de que éstos no se observen muy

recargados de valores que distorsionen la atención del lector.

Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a los montos de los créditos

otorgados por un Banco Comercial a 45 ganaderos de la provincia de Guanacaste

en el año 1970, los montos están dados en miles de colones:

63 73 60 47 62 55 79 37 70

88 56 84 71 91 77 97 83 68

35 47 68 25 65 91 75 43 71

82 57 62 51 58 67 51 56 66

30 93 53 64 48 62 44 64 50

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A) El primer paso es ordenar los datos:

25 44 51 56 62 65 70 77 84

30 47 51 57 62 66 71 79 88

35 47 53 58 63 67 71 81 91

37 48 55 60 64 68 73 82 93

43 50 56 62 64 68 75 83 97

B) Amplitud General:

C) Intervalo de la clase o Tamaño de cada clase:

.

Observando los resultados, ¿Cuál es el tamaño más apropiado?

D) Límites:

Cuenta de las clases

Límite inferior y

superior ó

Límites Reales:

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E) Finalmente, tenemos que:

Cuadro No. 4

CLASIFICACIÓN DE LOS CRÉDITOS OTORGADOS POR UN BANCO COMERCIAL A 45 GANADEROS DE LA PROVINCIA DE

GUANACASTE

AÑO 1990

(En miles de colones)

CLASES Frecuencia

absoluta

Frecuencia Acumulada Puntos Medios Frecuencia Relativa

“menos de” “más de”

2 2 45 29,5

4

7

12

9

7

3

1

TOTAL 45 100.0

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Algunas Interpretaciones:

12 ganaderos recibieron créditos entre__54 500_______ y __64 500______

El número 2 en la frecuencia “menos de” indica que: 2 ganaderos recibieron

“menos de”__34 500____ en créditos.

El número 32 en la frecuencia “más de” indica que: 32 ganaderos recibieron

“más de”__54 500____ en créditos.

El número 26,6 de la frecuencia relativa, indica que el 26,6% de los ganaderos

recibieron créditos entre __54 500______y______64 500________

NOTA: cuando los límites se dan con un decimal como en este caso, no hay

ningún problema en trabajar con los límites, pues no se comete ningún error en

considerar los límites indicados como reales.

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Representación gráfica de las distribuciones de frecuencias

1. Para variables discretas: Se utilizan las gráficas de bastones o de barras

verticales.

2. Para variables continuas: Se utilizan básicamente tres tipos de gráficos para

representar las distribuciones de frecuencias para este tipo de variables:

histogramas, polígonos de frecuencia y ojivas.

Todas las gráficas deben contener los elementos básicos (numeración, título

completo, dimensiones adecuadas (se recomienda la relación 1,5:1 entre el

largo y el ancho del rectángulo), fuente, colores adecuados, etc).

Histograma: es un gráfico de barras verticales en el cual las barras no

guardan separación entre sí. Se utiliza para representar frecuencias no

acumuladas ya sean absolutas o relativas. Se define una escala

horizontal apropiada y en ella se marcan los límites reales de todas las

clases de la distribución que se quiere representar. La escala no

necesita empezar en cero, pero sí en un intervalo de clase antes del

límite inferior de la primera clase y terminar en uno después de la última

clase. Las frecuencias de los datos se representan en la escala vertical,

la cual debe empezar en cero y No debe tener cortes.

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Fuente: http://www.estadistica.ucr.ac.cr/cdmmora/pages/cuadrosygraficos/grafico22.png

Polígono de frecuencias: es una forma comparativa de representar las

distribuciones de frecuencias. Se utiliza para representar frecuencias no

acumuladas ya sean absolutas o relativas. Se construye tomando como

abscisa (eje “x”) el punto medio de cada clase y como ordenada (eje “y”)

la frecuencia de dicha clase, se marcan los pares ordenados y se unen

con segmentos de línea recta. El área bajo el polígono debe ser igual al

área comprendida bajo el histograma, para ello, se prolonga el polígono,

una clase más y una menos de las definidas originalmente.

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65 | P á g i n a

Fuente:

http://www.estadistica.ucr.ac.cr/cdmmora/pages/cuadrosygraficos/grafico25.pn

Ojivas: Representan un caso particular de los polígonos de frecuencias

con la diferencia que estas se utilizan para representar frecuencias

acumuladas ya sean del tipo “más de” o “menos de”. Su construcción es

similar a la de los polígonos de frecuencia con la diferencia que no se

usan los puntos medios de las clases sino los límites superiores de cada

clase (si se quiere la ojiva “menos de”) o los límites inferiores de cada

clase (si se quiere la ojiva “más de”).

Una observación importante es que la ordenada (eje “y”)

correspondiente al límite inferior de la primera clase es cero para el caso

de la ojiva “menos de” y la ordenada correspondiente al límite superior

de la última clase es uno, para la ojiva del tipo “más de” la ordenada

correspondiente al límite inferior de la primera clase es uno y la

ordenada correspondiente al límite superior de la última clase es cero.

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Fuente:

http://www.estadistica.ucr.ac.cr/cdmmora/pages/cuadrosygraficos/grafico27.png

Ejercicios

1. Se han recolectado los siguientes datos:

Determine las distribuciones de frecuencias

2. Se estudia un total de 3541 trabajadores de una cadena de tiendas XY, a

quienes se les preguntó, entre otras cosas, su salario mensual en colones.

Los resultados de menor a mayor salario, son los siguientes:

𝑦

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67 | P á g i n a

Tabla de frecuencias:

Salario Mensual (colones)

Clase

Número Entrevistados

Frecuencia Relativa

Frecuencia acumulada

“menos de”

TOTAL

¿Cuántos Trabajadores tienen un salario inferior a ?

¿Dónde se concentran la mayor cantidad de los salarios? ¿Qué

porcentaje representan?

3. Los siguientes datos se refieren a esos en kilogramos de 40 estudiantes de

un colegio, y que se presentan en el orden en que fueron pesados los

alumnos:

49 60 46 37 54

43 59 40 62 47

46 52 55 41 66

45 36 50 51 48

42 53 53 68 56

35 74 43 47 60

51 67 40 70 49

41 46 32 57 43

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68 | P á g i n a

Determine las distribuciones de frecuencias.

4. Considere el cuadro:

UNIVERSIDAD NACIONAL. ESTUDIANTES DE LA CARRERA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA

SEGÚN NÚMERO DE MATERIAS MATRICULADAS.

I TRIMESTRE AÑO 2004

Materias Frecuencia Frecuencia Acumulada menos de Acumulada más de

Matriculadas absoluta relativa Absoluta Relativa Absoluta Relativa

2 4 20 4 20 20 100

3 9 45 13 65 16 80

4 5 25 18 90 7 35

5 2 10 20 100 2 10

Total 20 100,0

Responda:

¿Cuántos estudiantes matricularon menos de 3 materias durante el I

trimestre del año 2004?

R/ _______________________

¿Qué porcentaje de estudiantes matricularon más de 3 materias durante el I

trimestre del año 2004?

R/ _______________________

5. Diga qué tipo de frecuencias (absoluta, relativa, absoluta acumulada “más

de”, etc) se ha utilizado para hacer cada una de las siguientes afirmaciones:

Un 26% de los estudiantes tiene notas entre 65 y 70.

_____________________

Un 40% de los estudiantes tienen notas inferiores a 80.

______________________

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29 obtuvieron una nota mayor o igual a 70.

______________________

3 alumnos obtuvieron notas entre 85 y 90.

______________________

un 40% de los alumnos obtuvieron notas menores a 70.

_____________________

6. Una marca de perfume para mujer para evaluar la aceptación de una de

fragancias aplica una cuesta a 40 damas, donde estas lo califican en escala

a uno a cien. Los datos obtenidos son los siguientes:

68 73 61 66 96 79 65 86 84 79

65 78 78 62 80 67 75 88 75 82

89 67 73 74 82 73 87 75 61 97

57 81 68 60 74 94 75 78 88 72

Agrupe los datos en clases de amplitud 5 y construya una tabla de

distribución de frecuencias acumuladas.

Acorde con la información que suministró la distribución de frecuencias

construida, conteste las siguientes preguntas:

¿Cuántas damas otorgaron una calificación mayor a 75?

R/ _____________________

¿Cuántas damas otorgaron una calificación menor a 85?

R/ _____________________

¿Cuántas damas otorgaron una calificación mayor o igual a 80?

R/ _____________________

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¿Qué porcentaje de mujeres otorgaron una calificación mayor o igual a

75 pero menor a 90?

R/ _______________________

¿Qué porcentaje de mujeres otorgaron una calificación menor a 80?

R/ ______________________

¿Qué porcentaje de mujeres otorgaron una calificación mayor o igual a

90? R/ _______________________

7. Complete con la información numérica que corresponda.

Dato Frecuencia Frecuencia Acumulada menos de Acumulada más de

Absoluta Relativa Absoluta Relativa Absoluta Relativa

5

6 4

7 0,20

8 17

9 9

10 4

Total 30 1

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Unidad

UNIDAD III: MEDIDAS DE POSICIÓN Y VARIABILIDAD

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El Símbolo de la Sumatoria

En nuestro caso, la sumatoria es el símbolo matemático que simplifica las

fórmulas estadísticas. Nos permite representar sumas muy grandes,

de sumandos o incluso sumas infinitas y se expresa con la letra griega sigma: .

Se define como:

El símbolo ∑ se lee: “La sumatoria de equis sub-i, desde i igual a 1 hasta n”.

Dónde:

El índice “i” toma valores enteros consecutivos desde 1 hasta n. los números o

letras que aparecen debajo y encima de indican la extensión de la sumatoria.

Si ∑ aparece delante de una variable o expresión con subíndice “i”, esto

indica que deben sumarse todos los valores particulares de la variable que se

originan al darle al subíndice “i” los valores enteros . Por ejemplo:

A) ∑

B) ∑

Medidas de Tendencia Central

En el capítulo anterior, estudiamos las distribuciones de frecuencias, notando en

estas, la importancia que tiene contar con elementos descriptivos, sin embargo, si

observamos las distribuciones de frecuencias poseen valores que tienden a

concentrarse alrededor de un sector, para estudiar esto y determinar criterios para

representar con un valor o categoría de la distribución esa tendencia de las

observaciones se utiliza la Tendencia Central.

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73 | P á g i n a

Son también llamadas "medidas de posición'. Las medidas de tendencia central

son valores numéricos que quieren mostrar el centro de un conjunto de datos. Si

los datos son una muestra, la media(o promedio) y la mediana se llamarán

estadígrafos o estimadores. Si los datos son una población entonces estas

medidas de tendencia central se llamarán parámetros.

Medidas de tendencia Central para datos no agrupados o

agrupados discretos

1. Moda: La moda es el valor que más se repite en el conjunto de datos, es decir

el que tiene mayor frecuencia absoluta, se utiliza tanto para datos cualitativos

como cuantitativos. En un grupo de observaciones puede ser que no exista

moda o que haya más de una moda. Se debe tener cuidado con su

interpretación, debido a que el concepto de valor que más se repite o de mayor

frecuencia, no significa que la mayoría de las observaciones tome ese valor,

pues la mayoría representa más de la mitad, pero el valor modal no siempre

incluye más de la mitad de los datos. La moda la representaremos con .

Ejemplo 1: Calcule e interprete la moda del siguiente conjunto de datos que

corresponden a la nota de 20 estudiantes del curso de Estadística Descriptiva

de la UTN:

Respuesta:

Interpretación: La nota más frecuente del curso de Estadística Descriptiva

de los 20 estudiantes de la UTN es 70.

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74 | P á g i n a

Ejemplo 2: Indique cuál es la moda de los siguientes conjuntos de datos.

{ }: No tiene

{ }: la moda es 4 y 7

{ }: la moda es 9

2. Mediana: La mediana de un conjunto de n observaciones ordenadas de menor

a mayor, es un valor tal que la mitad de las observaciones son menores o

iguales que tal valor y la otra mitad de las observaciones son mayores o

iguales que ese valor. La mediana puede estar o no estar en el conjunto de

datos.

{

Dónde:

Nota: En la mediana no interesa tanto el valor numérico de las observaciones sino

la posición de las mismas en el eje de las abscisas (eje “x”). Es un valor para el

cual no más de la mitad de los datos son menores que ella y no más de la mitad

son mayores que ella, por esto se dice que esta medida estadística se ubica en el

centro de la distribución de los datos.

Ejemplo 1: Encuentre la mediana del número de niños por hogar en la muestra de

10 hogares.

Paso 1: “ordenar”:

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Interpretación: La

no está en el grupo de datos, sin embargo, es el

número central que representa a la mediana

Ejemplo 2: Calcule e interprete la mediana del siguiente conjunto de datos

correspondiente a la cantidad de libros que tienen 5 estudiantes de un curso de

Estadística Descriptiva.

Paso 1: ordenar:

Interpretación: el 50% de los estudiantes tienen menos de 9 libros.

3. Media Aritmética o Promedio Simple: El promedio se define como el punto de

equilibrio. Es el resultado de dividir la suma de los valores de una serie de

datos, entre el número total de ellos.

Muestra Población

Dónde:

Propiedades de la Media Aritmética:

A. ∑

B. ∑

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Ejemplo: Calcule e interprete el promedio del siguiente conjunto de datos que

corresponde a la edad de 25 estudiantes de un curso de Estadística Descriptiva:

Interpretación: La edad promedio del grupo de 25 estudiantes del curso de

Estadística Descriptiva es 20,04 años.

4. Media aritmética ponderada: Este promedio se utiliza cuando los datos se

presentan con cierta frecuencia o ponderación. Simbólicamente:

Dónde:

Nota: El promedio ponderado se interpreta de la misma manera que una media

simple. Por otro lado, Cuando se pide determinar un promedio, en distribuciones

de frecuencias, se debe prestar atención a que cada uno de los datos, dentro de

una misma categoría o clase, tenga el mismo valor (o peso relativo), pues suele

ocurrir que las observaciones tienen diferentes pesos o ponderaciones. Por

ejemplo, al obtener la nota promedio de un curso, las diferentes evaluaciones

19 19 19 19 19

19 21 18 18 19

23 18 19 22 20

18 20 27 24 18

20 22 18 21 21

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77 | P á g i n a

tienen diferentes ponderaciones, por lo que el promedio debe ser ponderado y no

un promedio simple.

Ejemplo 1: La evaluación de un curso de Estadística Descriptiva, está distribuida

como sigue: 10% pruebas cortas, 20% tareas y 70% pruebas parciales. Al final del

curso un estudiante obtuvo las siguientes notas: 85 en tareas, 81 en pruebas

cortas y 91 en exámenes. Calcule e interprete la nota promedio de este

estudiante.

Pruebas Cortas: 10%

Tareas: 20%

Pruebas Parciales: 70%

Total 100%

Ejemplo 2: Si el examen final de un curso de Estadística Descriptiva vale tres

veces una evaluación parcial y un estudiante del curso obtiene las siguientes

calificaciones: 85 en el examen final, 70 y 90 en las pruebas parciales. Calcule e

interprete la nota promedio del estudiante.

Por tanto cada examen parcial tiene un valor de 20% y el examen final un 60%

I Prueba: 20%

II Prueba: 20%

Prueba Final: 60%

Total 100%

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Ejercicios

1. Calcule la moda, mediana y media aritmética de los siguientes grupos de datos e

interprete la información obtenida.

A. Calificaciones en el área de español de los estudiantes de la Escuela “María

José”.

82 74 88 66 58 74 78

87 96 76 62 68 72 92

86 76 52 76 82

B. Número de faltas cometidas por equipo durante la sexta fecha del

campeonato nacional de fútbol.

C. Edades de un grupo de personas

10 13 8 7 14 13 8 6 5 11 8 9

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2. Cantidad de ausencias injustificadas en un mes de los estudiantes de un grupo de

octavo año y un grupo de noveno año.

Ausencias Cantidad de

alumnos de

8vo

Ausencias Cantidad de

alumnos de

9no

0 10 0 9

1 15 3 12

2 8 4 11

3 4 5 3

4 1 7 4

5 2 9 1

¿Qué puede concluirse al comparar los promedios de ausencias de los dos

grupos?

3. La medida de posición que se toma en cuenta, en mejor forma, el valor típico o

que más se repite en un conjunto se denomina: _______________________.

4. Los datos que se presentan a continuación, corresponden a notas de

aprovechamiento de un grupo de 30 estudiantes de un curso de verano de

Administración, en la Universidad de Costa Rica:

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A. Calcule la media aritmética utilizando la definición de promedio simple

5. Para los siguientes conjuntos de datos sin agrupar, calcule: la moda, mediana

y la media aritmética simple:

6. El gerente de una planta hidroeléctrica cuenta con 10 generadores en su

sistema. Necesita algunas medidas del tiempo que éstos están fuera de

servicio a un mantenimiento insatisfactorio o fallas. Esta información le

permitirá planear las necesidades de personal, programar el mantenimiento y

organizar el servicio de respaldo. La siguiente tabla contiene datos de cada

generador en el último año.

Generador A B C D E F G H I J

Días Fuera de Servicio 7 23 4 8 2 12 6 13 9 4

Obtenga un promedio de días que, durante ese año, los generadores de la planta

estuvieron fuera de servicio.

Solución:

El problema dice que la planta hidroeléctrica cuenta con 10 generadores, por lo

que, este número 10 es la _____________________ (población/muestra). La

fórmula a utilizar será:

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Los datos del problema son:

Su solución es:

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Medidas de tendencia central para datos agrupados continuos

A) Moda : En el caso de datos agrupados hay que ubicar la clase modal, es

decir, la clase donde aparece la mayor frecuencia. Luego se usa la

siguiente fórmula:

1

1 2

o i

dM L c

d d

con y

Nota: la clase modal es la que presenta mayor frecuencia en la distribución.

B) Mediana : Es el valor tal que su frecuencia acumulada “menos de”

absoluta es

. Es decir, el valor que divide a la distribución en dos partes

iguales. Para calcularla primero hay que hallar el valor

. Luego se ubica,

utilizando la frecuencia acumulada “menos de” absoluta, el número de la clase

en la cual se ha acumulado dicho valor. Finalmente, se aplica la fórmula:

(

)

:

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NOTA: Para determinar la clase donde está la mediana, primero se utiliza la

fórmula

, donde “n” es el número total de observaciones o la suma de las

frecuencias absolutas y se busca, de acuerdo a las frecuencias acumuladas

“menos de”, la clase en la cual se encuentra el dato (posición) que se encontró

con la fórmula anterior.

C) Media aritmética ponderada: En los datos agrupados resulta de mucha utilidad

el concepto de promedio ponderado. En una distribución de frecuencias se

conoce el número de observaciones que hay dentro de una clase pero no se

sabe cuál es el valor exacto de ellas. Por eso se dificulta el cálculo de la media

aritmética simple. Es por ello que para calcular esta medida se supone que el

valor de las observaciones se distribuye uniformemente dentro de la clase, esto

equivale a decir que el punto medio de la clase es el valor exacto de cada

observación. Para calcular el promedio se utiliza la fórmula:

Para la Población Para la Muestra

Dónde:

i

i

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Ejemplo: Calcule las tres medidas de tendencia central para la siguiente

distribución de las comisiones en ventas obtenidas por 32 empleados de un

almacén.

Simbología: ix

= punto medio if

= frecuencia absoluta

i ix f = producto de multiplicar el punto medio por la frecuencia absoluta

2

ix = punto medio al cuadrado

2

i ix f =producto de multiplicar el punto medio al cuadrado por la frecuencia absoluta

Práctica: De la unidad anterior, determine las tres medidas de tendencia central

del ejercicio 1, 2, 3 y 6 (de las páginas: 68, 69 y 70).

Clase

(dólares)

ix i

f i ix f 2

ix 2

i ix f

12

14

27

58

72

63

36

18

TOTAL 300

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85 | P á g i n a

Resumen de las Fórmulas:

MODA:

Datos agrupados continuos

1

1 2

o i

dM L c

d d

con y

Mediana:

Datos no agrupados o agrupados

discretos

Datos agrupados continuos

{

Dónde:

(

)

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Media Aritmética Simple:

Datos No Agrupados Datos Agrupados

Para la Población:

Para la Muestra

Para la Población:

Para la Muestra

Dónde:

i

i

Media aritmética ponderada:

Dónde:

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Simbología:

ix = punto medio

if = frecuencia absoluta

i ix f = producto de multiplicar el punto medio por la frecuencia absoluta

Clases ix i

f i ix f

TOTAL

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88 | P á g i n a

Otras medidas:

La media geométrica y la media armónica que se presentarán a continuación, son

dos medidas de posición que se usan con frecuencia en ciertos campos de la

estadística aplicada. Por ejemplo, en la media geométrica podemos determinar el

incremento en el porcentaje promedio en ventas, producción u otras actividades

económicas de un periodo dado, mientras que en la media armónica, se

promedian variaciones respecto al tiempo.

Media Geométrica

Si se tienen valores de una variable: la media geométrica es la

raíz del producto de esos valores. Simbólicamente:

Ejemplo 1: obtenga la media geométrica de los números

Ejemplo 2: hallar la media geométrica de los números

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Ejemplo 3: supóngase que las utilidades obtenidas por una compañía constructora

en cuatro proyectos fueron 3, 2, 4, y 6 respectivamente. ¿Cuál es la media

geométrica de las ganancias?

Media Armónica

Si se tiene un conjunto de valores: la media armónica, se

define como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los valores.

Simbólicamente:

Ejemplo 1: Hallar la media armónica de los siguientes números:

Ejemplo 2: calcular la media armónica de los siguientes valores:

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Ejemplo 3: Consideremos un caso en que sea promediar la velocidad: un hombre

viajó kilómetros a ⁄ , otros kilómetros a ⁄ y finalmente

kilómetros más a ⁄ . ¿Cuál es la velocidad promedio para los 600

kilómetros recorridos?

Nota: las tres medidas estudiadas: media aritmética, media geométrica y media

armónica, tienen una relación de orden:

Las tres medias tendrán el mismo valor únicamente cuando todos los números de

las serie sean idénticos.

Medidas de Posición

Son medidas de posición tales que superan a no más de cierta proporción de las

observaciones y simultáneamente quedan superadas por no más de la proporción

complementaria cuando las observaciones han sido ordenadas de acuerdo con su

magnitud, de menor a mayor. Entre estas medidas están: los cuartiles, deciles y

percentiles.

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Los Percentiles:

Dividen al conjunto de datos en 100 partes iguales que representan cada una el

1% de los valores. Por ejemplo, el Percentil 90 es un valor tal que el 90% de todos

los valores son menores y el 10% son mayores que él.

A) Para datos No agrupados o agrupados discretos: El percentil toma el valor

intermedio entre dos observaciones o el de una de ellas según sea divisible o

no por cien. Para denotar a cualquier percentil se usa el símbolo con

Para hallar un percentil en datos no agrupados, ordenados de acuerdo con su

magnitud, de menor a mayor, se utiliza lo siguiente:

Interpretación: quiere decir que de las observaciones son menores o

iguales que el valor que resulte de y que de las observaciones

son mayores o iguales que ese valor.

Ejemplo 1: Calcule e interprete el percentil 77 del conjunto de datos

correspondiente al peso, en kilogramos, de 40 estudiantes de un curso de

Estadística Descriptiva de la UTN.

32 35 36 37 40 40 41 41 42 43

43 44 45 45 46 46 47 47 48 49

49 50 51 51 52 53 53 54 55 56

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57 59 60 60 62 66 67 68 70 74

Ejemplo 2: Calcule e interprete el percentil 77 del conjunto de datos

correspondiente al peso, en kilogramos, de 38 estudiantes de un curso X.

36 37 40 40 41 41 42 43 43 44

45 45 46 46 47 47 48 49 49 50

51 51 52 53 53 54 55 56 57 59

60 60 62 66 67 68 70 74

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Ejemplo 3: Calcule e interprete el percentil 77 del conjunto de datos siguiente

correspondiente al número de cursos matriculados, por 10 estudiantes de la UTN.

B) Para datos agrupados continuos: La clase es la que cumple que

Dónde:

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94 | P á g i n a

Ejemplo 1: calcular el percentil 72 del peso de los 40 estudiantes:

Clases Frecuencia Absoluta: Frecuencia Acumulada

1

3

8

9

7

4

3

3

2

1

4

12

21

28

32

35

38

40

∑ 40

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95 | P á g i n a

Los Cuartiles:

Son casos particulares de los percentiles y se define en forma análoga a la de los

percentiles. Los cuartiles dividen al conjunto de datos en cuatro partes iguales, y

solo existen tres de ellos:

El cuartil 1:

El cuartil 2:

El cuartil 3:

El primer cuartil es el valor tal que por debajo de él queda no más de la cuarta

parte de todas las observaciones del conjunto, el segundo cuartil es la

mediana, y el tercer cuartil es el valor tal que por debajo de él queda no más de

las tres cuartas partes de las observaciones.

Para un conjunto de datos sin agrupar, un cuartil toma el valor de una observación

o bien un valor intermedio entre dos observaciones. Para determinar la mediana y

los otros cuartiles, los datos deben estar ordenados de menor a mayor.

La forma de calcular los cuartiles es por medio de los percentiles con las

siguientes igualdades:

=

=

=

Los Deciles:

Son casos particulares de los percentiles y se define en en forma análoga a la de

los percentiles. Los deciles dividen al conjunto de datos en diez partes iguales, y

solo existen nueve de ellos.

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96 | P á g i n a

La forma de calcular los deciles al igual es los cuartiles es por medio de los

percentiles con las siguientes igualdades:

Medidas de Variabilidad o Dispersión

Las medidas de posición en un conjunto de datos permiten describir mediante uno

o pocos valores el comportamiento de la distribución, sin embargo, resulta

importante preguntarse: ¿cuándo es que una medida de posición representa

adecuadamente al conjunto de observaciones? Y esto sucederá cuando las

observaciones estén cerca de la medida de posición buscada, pues así todos los

datos se parecerán mucho a la misma. Por tal motivo, es vital estudiar la

variabilidad o la dispersión de los datos pues esto nos permitirá, entre otras cosas,

juzgar la confiabilidad de nuestra medida de tendencia central.

Es la diferencia o grado de semejanza que existe entre los valores que toma la

variable de estudio. Así, un conjunto que tenga mucha variabilidad es un conjunto

que sus datos son muy distintos, mientras que si es baja variabilidad, sus datos

son muy similares

Existen varias medidas de variabilidad entre ellas: el recorrido o rango, La

desviación media, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.

A continuación se describen las características de cada una de estas medidas:

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97 | P á g i n a

Rango o Recorrido: el rango lo representamos con: .

Datos no agrupados en tablas

Dónde:

Datos agrupados en tablas

Dónde:

La desviación media:

∑ | |

Ejemplo 1: Calcule la desviación media para los siguientes datos: .

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98 | P á g i n a

Varianza y desviación estándar: Para determinar la varianza y la desviación

estándar se utilizan las siguientes fórmulas:

Para datos sin agrupar:

Población Muestra

Dónde:

Dónde:

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99 | P á g i n a

Para datos agrupados:

Población Muestra

Dónde:

Dónde:

Nota: de lo anterior, tenemos que la desviación estándar de es

√ y representa “que tanto” se desvían los datos respecto al promedio

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Ejemplo para datos NO AGRUPADOS: la siguiente tabla presenta el ingreso

mensual de la muestra de familias de cierta región (las cantidades están en

dólares). Calcule la desviación estándar e interprete el resultado.

Observaciones Media

863

903

957

1041

1138

1204

1354

1624

1698

1745

1802

1883

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101 | P á g i n a

Ejemplo para datos agrupados: a continuación se le presenta una distribución de

frecuencia sobre los salarios mensuales de los trabajadores de cierta compañía de

Alajuela (cantidades dadas en dólares). Calcule la desviación estándar de los

salarios.

Clases Punto

Medio

Frecuencia

750 4

850 7

950 8

1050 10

1150 12

1250 17

1350 13

1450 10

1550 9

1650 7

1750 2

1850 1

TOTALES 100

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102 | P á g i n a

Coeficiente de Variación:

Puesto que las medidas vistas hasta ahora son medidas absolutas, por lo tanto

están afectadas por la unidad de medida en que está expresada la característica.

Por ejemplo, si las observaciones están expresadas en metros, el promedio y la

desviación estándar quedan también expresadas en metros. Esto causa

problemas para comparar la dispersión de dos o más conjuntos de datos porque:

No podemos comparar unidades distintas.

Hay casos donde no tiene sentido comparar cifras de magnitud distinta (aun

cuando estén expresadas en la misma unidad de medida).

Para solucionar estos problemas se utiliza el coeficiente de variación (CV), este es

un número relativo y por lo tanto, comparable aun cuando se presenten las dos

dificultades mencionadas antes. Es una medida relativa de dispersión que

proporciona una estimación de la magnitud de la desviación estándar con respecto

a la magnitud de la media. Esta representa la desviación estándar como

porcentaje de la media. La unidad de medida es el “por ciento”.

Ejemplo: cada día el técnico A del laboratorio realiza un promedio de 40 análisis

diarios con una desviación estándar de 5. El técnico B efectúa un promedio de 160

análisis diarios con una desviación estándar de 15. ¿Cuál de los dos técnicos

muestra menos variabilidad?

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103 | P á g i n a

Coeficiente de variación para A Coeficiente de variación para B

Interpretación: El técnico________ tiene un coeficiente de variación más alto lo

cual indica que hay mayor variabilidad en el conjunto de observaciones.

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104 | P á g i n a

PRÁCTICA

1. Calcule e interprete el Coeficiente de variación para un conjunto de datos que

tiene y

R/

2. Un hombre viaja en su auto de la ciudad de Alajuela a la ciudad de Heredia a

una velocidad media de ⁄ y vuelve de la ciudad de Heredia a la ciudad

de Alajuela por la misma ruta, con una velocidad media de ⁄ . Hallar la

velocidad media para el viaje completo.

R/ ⁄ .

3. Tome la distribución de frecuencias que se presentan a continuación y que

corresponde al ingreso mensual en dólares de 124 profesionales que trabajan

en el exterior y proceda a encontrar el percentil 80:

Clases

Más de 12

Más de 52

Más de 31

Más de 20

Más de 9

TOTAL 124

R/

4. Un zoólogo tiene como propósito recabar información para determinar el

estado en que se encuentran los animales de un refugio de vida silvestre. Para

ello espera que no exista mucha variabilidad entre los pesos de los animales

adultos. Selecciona una muestra aleatoria de 10 jaguares machos adultos y

una muestra de 10 tepezcuintles machos adultos. Los pesos en kilogramos

son:

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105 | P á g i n a

Jaguar 80 66 72 76 76 70 65 68 69 77

Tepezcuintle 5,5 6,4 7,0 7,7 6,6 7,5 8,11 6,3 7,7 6,9

A) Calcule para cada conjunto de datos el promedio, la mediana, varianza y

desviación estándar. Compare los resultados en un cuadro e interprete en

términos de variabilidad absoluta.

B) ¿Para qué animal, los pesos mostrados son relativamente más variables?

¿Llega a las mismas conclusiones que en la parte A?

5. Asocie cada concepto de la izquierda con la característica que le corresponda

a la columna de la derecha.

a) Desviación Estándar ____b____Toma en cuenta solo el valor

mayor y menor del conjunto.

b) Recorrido ____d____para su cálculo se utilizan

valores absolutos.

c) Coeficiente de Variación ___a____su cuadro recibe el nombre de

variancia.

d) Desviación Media ___d____se utilizan muy poco en la

práctica.

___c____es una medida de dispersión

relativa.

___a____utiliza los cuadrados de las

desviaciones con respecto al promedio.

___c____se utiliza cuando se quiere

comparar la variabilidad de dos o más

conjuntos dados.

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106 | P á g i n a

Tablas:

Clases Punto

Medio

Frecuencia

TOTALES

Observaciones Media

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107 | P á g i n a

FÓRMULAS

Media Armónica:

Media Geométrica:

Percentil:

Para datos No agrupados o

agrupados discretos

Para datos agrupados continuos

Dónde:

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108 | P á g i n a

La desviación media:

∑ | |

Varianza y desviación estándar:

Para datos sin agrupar

Población Muestra

Dónde:

Dónde:

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109 | P á g i n a

Para datos agrupados

Población Muestra

Dónde:

Dónde:

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110 | P á g i n a

Unidad

UNIDAD IV: INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES

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111 | P á g i n a

Introducción a las Probabilidades

¿Qué es Probabilidad?

La probabilidad es una disciplina, una rama de la matemática que tiene tres

principios básicos como teoría: su contenido lógico formal, el antecedente intuitivo

y sus aplicaciones.

Gómez (2003) lo define como: “Un valor numérico que debe cumplir con ciertas

condiciones o propiedades matemáticas, y que se asocia a un evento o suceso

determinado para expresar el grado de confianza que se tiene en la verificación

futura de dicho evento. (p. 356)

La teoría de las probabilidades se aplica actualmente en

muchos y diversos campos. Por ejemplo, desde

experiencias simples como: arrojar una moneda y tirar

un dado, hasta fenómenos físicos de masa y energía.

Así, como dice Feller (1983): “históricamente, el

propósito original de la teoría de la probabilidades

consistía en describir el dominio excesivamente estrecho de la experiencia

relativa a los juegos de azar, y el esfuerzo principal se dirigía al cálculo de algunas

probabilidades”.

En síntesis, las probabilidades son una forma intuitiva de responder ante un hecho

y comienza con experiencias simples.

El Azar

Torstein Frode cuenta que en Hising había una ciudad que estaba ligada en su

suerte tanto a Noruega como a Suecia. Los dos reyes convinieron entonces echar

suertes por ver quién de ellos les correspondería; arrojarían los dados y el

ganador sería aquel que obtuviera el total de puntos mayor.

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112 | P á g i n a

El rey de Suecia sacó dos seis y dijo que no valía la pena que el rey Olav probara

suerte, pero éste, mientras sacudía en la manos los dados, le respondió: “Hay

todavía dos seis en estos dados y no es difícil que Dios, mi Señor, los haga salir”.

Tiró los dados y obtuvo dos seis. El rey de Suecia volvió a echar los dados y

obtuvo de nuevo dos seis. Luego, el rey Olav tornó a jugar y uno de los dados

mostró todavía un seis pero el otro se quebró en dos pedazos, con tanta fortuna

que indicó un siete. Entonces la ciudad le tocó a él.

¿Se podría tener “suerte” de una manera perfectamente honesta, es el azar

independiente de toda manipulación humana?

El Azar se define como: La “casualidad” de que ocurra un determinado suceso, es

decir, son eventos inesperados, los cuales no tienen causa alguna de ser

provocados. Para algunos la incertidumbre que les genera la probabilidad hacen

que estudien al azar y la probabilidad como una teoría idéntica, sin embargo, para

la mayoría de científicos y matemáticos, el azar es la base de la probabilidad y se

le culpa de todo aquello que en la probabilidad carece de certeza o no se puede

predecir, es decir, de todo que se salió de alguna manera de las reglas ya

establecidas en la teoría de la probabilidad.

Experimento: Es cualquier proceso en el que se observó algo. Es decir, cualquier

acción cuyo resultado se registra como un dato. Ejemplo:

Se divide en dos tipos: Experimento determinista y experimento aleatorio.

1. Experimento Determinista: es aquél donde los posibles resultados se

conocen antes del experimento, es decir, el resultado se determina sin

necesidad de llevarlo a la práctica.

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113 | P á g i n a

2. Experimento Aleatorio: es imposible predecir sus resultados. Se dice que en

este experimento, los resultados dependen del azar. Los siguientes

aspectos caracterizan a un experimento aleatorio:

Cada experimento puede ser repetido bajo las mismas condiciones.

Aunque no se puede establecer un resultado particular del

experimento, podemos describir el conjunto de todos los resultados

posibles de este.

Si un experimento puede repetirse un gran número de veces

aparece un patrón de regularidad. Por ejemplo si se lanza una

moneda al aire un gran número de veces observaremos que la mitad

o aproximadamente la mitad de las veces aparece cara (siempre y

cuando la moneda no esté cargada). Y esto ocurre a pesar de cada

resultado individual aparecería de manera casi arbitraria e imposible

de predecir. Es precisamente esta regularidad la que hace posible

construir un modelo probabilístico para analizar u experimento

aleatorio.

Evento: Es una uno de los resultados posibles en un experimento. Ejemplo:

Lanzar una moneda.

Se clasifica en:

1. Evento Simple: cada uno de los elementos un espacio de un

evento determinado. Por ejemplo: al lanzar un dado, sus eventos

simples son seis: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

2. Evento Compuesto: Es la unión de varios eventos simples.

Ejemplos: al lanzar un dado, “que salga un número par”, es la

unión de los eventos simples: 2, 4 y 6.

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3. Evento Imposible: es un evento donde al realizarse un

experimento, se sabe que dicha situación o suceso no se puede

presentar. Se le denota como: . Por ejemplo: que al lanzar un

dado, salga el número 7.

4. Evento Seguro: es un evento donde al realizarse un experimento,

se sabe que dicha situación o suceso siempre se puede

presentar. Se le denota como el conjunto universal: .

5. Eventos Mutuamente Excluyentes: son los eventos que no

pueden ocurrir a la vez, por ejemplo: el evento seguro es

mutuamente excluyente con el evento imposible.

Punto Muestral: Son disjuntos, pues no ocurren dos al mismo tiempo y siempre

se relaciona con un evento simple.

Espacio Muestral: Es el conjunto de puntos muestrales posibles en un

experimento. Es una lista de todos los resultados posibles. Un tipo de espacio

muestral es el Discreto, en la cual se cumple que: hay una cantidad finita o

contable de puntos muestrales y lleva un orden.

TECNICAS DE CONTEO

1. Principio de la Suma: Si las formas o maneras de realizar un producto se

clasifica en “k” casos, y es el conjunto de todas las maneras de realizar el

proceso en el caso Se sigue que, | | | |+| |

| |. Es decir, que el número total de formas de realizar el proceso es la

suma de las cardinalidades de

Ejemplo 1: Supóngase que se desea viajar de Concepción a Santiago y debemos

decidir entre viajar en Tren, Bus, Auto o Avión. Si hay 1 ruta de tren, 2 rutas de

bus, 3 rutas de auto, y 1 ruta de avión, entonces el número total de rutas distintas

disponibles para el viaje es

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115 | P á g i n a

Ejemplo 2: En un colegio se tienen 5 grupos de undécimo, 9 grupos de décimo y

18 grupos de noveno. Una empresa regalará una fiesta a un grupo de tercer ciclo

o ciclo diversificado. Si el grupo se elige al azar. De cuantas maneras se puede

seleccionar.

2. Principio de la Multiplicación: la realización de un proceso se divide en k”

etapas. Sea el conjunto de las maneras de realizar la etapa

Entonces, | | | |+| | | |. Es decir, que el número total de

formas de realizar el proceso es el producto de las cardinalidades de .

Ejemplo 1: Un contrato de construcción ofrece casas con cinco tipos distintos de

distribución de las habitaciones, tres tipos de techo y dos tipos de alfombrado ¿De

cuantas maneras diferentes puede un comprador elegir una casa?

Ejemplo 2: ¿Cómo se puede formar un número de cuatro dígitos con números del

1 al 7?

Ejemplo 3: ¿Cómo se puede formar un número de cuatro dígitos con números del

1 al 7, pero sin repetir los números?

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116 | P á g i n a

3. Permutaciones y Combinaciones

Permutaciones de Objetos Distintos: una permutación de “n” objetos distintos es

un ordenamiento de ellos. El número total de permutaciones se denota por

Teorema:

Ejemplo 1: ¿Cuántas permutaciones se pueden formar con las letras de la palabra

“maestro”?

Ejemplo 2: ¿Cuántas permutaciones se pueden formar con los números

0,1,3,5,6,9?

a) Los números 1,3,5 están juntos.

b) El número 3 está después de la segunda posición y el número 6 debe ir en

cualquier lugar que esté posterior al 3.

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117 | P á g i n a

Arreglos tomados de objetos distintos: un arreglo o permutación de “r” objetos

tomados de “n” objetos distintos es una ESCOGENCIA ORDENADA de estos r

objetos. La notación utilizada es

Teorema:

Ejemplo 1: en una clase de 32 estudiantes desean formar una directiva

(presidente, vicepresidente, secretario, tesorero y fiscal), ¿De cuántas maneras se

pueden efectuar esta selección?

Combinaciones tomadas de objetos distintos: una combinación de “r” objetos

tomados de “n” objetos distintos es una selección de estos “r” objetos. La notación

es (

).

Teorema: (

)

Ejemplo 1: Para visitar un laboratorio de biotecnología deben seleccionarse 20

estudiantes de entre tres secciones en un colegio. Una de las secciones tiene 25

estudiantes, otra tiene 22 y la tercera tiene 28. ¿De cuántas maneras puede

hacerse la selección si se deben escoger 7 estudiantes de la primera sección, 5 de

la segunda y 8 de la tercera?

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118 | P á g i n a

Práctica #1

1) Se tienen 15 libros de matemáticas distintos, de los cuales tres son de

probabilidad. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar estos libros en un

estante, si el primer libro de probabilidad debe estar en la quinta o novena

posición?

R/

2) ¿Cuántas permutaciones se pueden formar con las letras de la palabra

“matemática”?

R/ 151200

3) Un proceso de ensamblaje en una fábrica incluye 4 etapas que puede

ejecutarse en cualquier orden. Si el fabricante desea estudiar, ¿cuánto tiempo

dura el proceso en cada orden posible?, ¿cuántas pruebas distintas deberá

estudiar?

R/ 24

4) Escriba el espacio muestral correspondiente si se tiene una caja con 6 bolas

(4 rojas y 2 blancas), se seleccionan consecutivamente 3 bolas con reemplazo

(cada bola es devuelta a la caja antes de una nueva selección).

5) De una urna que contiene los nombres de 30 empleados de una pequeña

empresa, se van a elegir aleatoriamente, sin reemplazo los nombres de 3. El

individuo cuyo nombre sale primero recibe 100 dólares, el siguiente en salir su

nombre recibe 50 dólares y el tercero recibe 25 dólares. ¿Cuántos puntos

muestrales se asocian con este experimento?

R/ 24 360

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119 | P á g i n a

6) Una operación de ensamblaje en una fábrica requiere tres etapas, que pueden

ejecutarse en cualquier orden. ¿En cuántas formas distintas se puede realizar

el ensamblaje?

R/ 6

7) Una línea aérea tiene programado seis vuelos diarios de New York a California

y siete de California a Hawai. Si los vuelos se programan para diferentes días,

¿Cuántas diferentes opciones de vuelo puede ofrecer la aerolínea de New York

a Hawai?

R/ 42

8) Un modelo de automóvil viene en cinco presentaciones, con cuatro clases de

motor, dos tipos de transmisión y ocho colores.

a) ¿Cuántos automóviles tiene que almacenar un distribuidor si incluye una

combinación de tipo de motor y transmisión?

R/ 8

b) ¿Cuántos automóviles tendrían que transportar un centro de

distribución, si se almacenan automóviles de todos los colores, de

acuerdo con la combinación del inciso a?

R/64

9) La directora de personal de una corporación contrató a diez nuevos ingenieros.

Si hay tres vacantes (distintas) en la plata de Cleveland, ¿de cuántas maneras

puede cubrir los puestos?

R/ 720

10) Los alumnos que asisten a la universidad de Florida pueden elegir 130

asignaturas, las cuales se identifican en los registros de admisión del

estudiante con un código de dos o tres letras (por ejemplo, la estadística se

identifica mediante STA y las matemáticas con MS). Algunos estudiantes

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120 | P á g i n a

eligen dos asignaturas y cumplen con los requisitos de las dos áreas

principales antes de la graduación. Se pidió al coordinador de admisiones que

asignara a estas materias dobles un código diferente a los establecidos y que

puedan identificarse en el sistema de registro de los estudiantes.

a) ¿Cuál es la cantidad máxima de asignaturas dobles de la que pueden

disponer los estudiantes de la universidad de Florida?

R/ 8325

b) Si está disponible algún código de 2 o 3 letras para identificar las

asignaturas sencillas o dobles, ¿entre cuántos códigos de asignatura se

puede elegir?

R/ 18252

c) ¿Cuántos códigos se requieren para identificar a los estudiantes que

tienen asignaturas sencillas o dobles?

R/ 8515

d) ¿Hay suficientes códigos disponibles para identificar a todas las

asignaturas sencillas o dobles en la universidad de Florida?

R/ Sí

11) Las proporciones de fenotipos sanguíneos A, B, AB y O en la población de

caucásicos en Estados Unidos son alrededor de ,

respectivamente. Se elige un caucásico en forma aleatoria de la población.

Elabore una lista del espacio muestral de este experimento.

12) Un vehículo que llega a un crucero puede dar la vuelta a la derecha, a la

izquierda o continuar al frente. El experimento consiste en observar la dirección

que toma un vehículo que pasa por el crucero. Elabore una lista del espacio

muestral de este experimento.

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121 | P á g i n a

13) Patricia le ofrece a su hijo Julio dos regalos para su cumpleaños, los cuales

pueden ser seleccionados del siguiente conjunto:

{ }

a) El ejemplo anterior, ¿corresponde a una permutación o una

combinación?

b) ¿Cuántas opciones puede armar Julio?

R/ 15

14) El banco “x” le pide a Noé crear una clave para su pin de tres dígitos (sin

repetir el número), los cuales debe seleccionar del conjunto:

a) El ejemplo anterior, ¿corresponde a una permutación o una

combinación?

b) ¿Cuántas claves puede ser creadas por Noé?

15) ¿Cuántas maneras hay de asignar los primeros cuatro lugares de un concurso

de creatividad que se realiza en una institución educativa de nuestro país, si

hay 14 participantes?

R/ 24024

16) ¿Cuántas maneras hay de que se asignen a 120 personas, tres premios de un

sorteo en donde el primero premio es un departamento, el segundo un auto y

el tercero un centro de cómputo? (sin reemplazo).

R/ 1685040

17) ¿Cuántas formas hay de asignar las primeras cinco posiciones de una carrera

de autos, si participan 26 autos en esta carrera?. Considere que la asignación

es totalmente al azar y sin reemplazo.

R/ 7893600

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Definición Clásica de Probabilidad: Es un evento donde todos los puntos

muestrales son igualmente probables, según Chaves (2012): “si un experimento

genera el espacio muestral S, el cual contiene n puntos muestrales, de los cuales

k puntos muestrales favorecen la ocurrencia de un evento A, entonces la

probabilidad de A, denotada por ( )P A viene dada por: ( )k

P An

”.(p.18).

Ejemplo #1: Obtener la probabilidad de sacar el número 1 en un dado:

1(1)

6P .

Ejemplo #2: En un curso de Bioestadística hay 30 alumnos, 10 de la carrera de

Bioquímica, 15 de Farmacia y 5 de Enfermería. El 70% del total son mujeres y el

resto varones. Se escoge uno al azar; hallar la probabilidad de que sea de la

carrera de:

Bioquímica:

Farmacia:

Enfermería:

¿Cuál será la cantidad de mujeres M?

Enfoque Frecuencial de la Probabilidad: Complementa la definición clásica

pues atiende casos que no pueden resolver con dicha definición.

Según Chaves (2012): “si se hace n número de observaciones de una

misma clase, donde n es grande y se encuentra que el evento A ocurre en k

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123 | P á g i n a

ocasiones, entonces la probabilidad del evento A es aproximadamente:

. Por tanto, con base en esta definición, se entiende como

Probabilidad de Ocurrencia de un evento a un cierto valor, generalmente

desconocido, al cual tienden las frecuencias relativas al aumentar el

número de observaciones en que están basadas”. (p.21)

Reglas básicas de Probabilidad: Supongamos que S es un espacio muestral

relacionado con un experimento. Para cada evento A en S (A es un subconjunto

de S), asignamos un número denominado Probabilidad de A, de tal manera

que se cumplan los siguientes axiomas:

I.

II. , “no hay espacios incompletos”

III. Si forman una sucesión de eventos mutuamente

excluyentes por parejas de S, es decir, si

entonces ∑

Nota: Como consecuencia de la definición, tenemos que la probabilidad de un

evento “Imposible” es cero. Por otro lado, dichas reglas corresponden en forma

parcial a los axiomas de Kolmogorov sobre el “Cálculo de Probabilidades”.

Ejemplo #1: Suponga que se lanza una moneda tres veces para observar si se

tiene escudo o corona, en cada lanzamiento. Vamos a suponer que la moneda

está equilibrada y los tres lanzamientos tienen las mismas condiciones:

Espacio Muestral:

Escudo: A

Corona: B

Donde, , 1 8iE con i son los eventos

probables

1

2

3

4

E AAA

E BBB

E AAB

E ABA

5

6

7

8

E BAA

E BBA

E BAB

E ABB

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B: Obtuve una Corona

3 4 5, ,B E E E

Solución: Asigne probabilidades a los eventos simples

, suponiendo que todos tienen igual probabilidad de

ocurrencia.

la suma, o los tres eventos simples de A.

La Ley de la Suma

A) Teorema:

Si A y B son mutuamente excluyentes entonces , así:

.

B) Teorema:

𝐸 𝐸 𝐸 𝐸

𝐸

𝐸 𝐸 𝐸

Eventos Simples

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Donde, P A significa la probabilidad del complemento de A.

Definición de Probabilidad Condicional de un Evento

Definición de Eventos Independientes:

, si A y B son independientes

Teorema: Ley Multiplicativa: Si A y B son dependientes:

⁄ ⁄

En resumen:

Dos Eventos A y B

Eventos NO Mutuamente Excluyentes

INDEPENDIENTES

DEPENDIENTES

Eventos Mutuamente Excluyentes

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Nota: “Algunas Leyes Importantes”

A) Leyes Distributivas:

a.

b.

B) Leyes de De Morgan:

a.

b.

Ejemplo 1: se tiene una canasta con 15 bolas numeradas del 1 al 15. Las bolas

con números entre 1 y 7 son rojas y las demás son verdes. Se elige una bola al

azar, considere los eventos:

A: la bola extraída es verde

B: la bola extraída es roja

C: la bola extraída tiene un número par

Determine: ⁄ ¿Son independientes los

eventos A y C?

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Ejemplo 2: Considere el ejemplo de lanzar dos dados:

Escriba el espacio muestral

Escriba el espacio muestral para cuando la suma sea par. Determine su

probabilidad.

Ejercicios

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados la suma sea un

número par o un número menor que cinco?

R/

2. Si se lanza un dado, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 ó 5?

R/

3. Considere el caso de una urna que contiene 7 bolas blancas y 5 negras, siendo

ellas en todo iguales, excepto su color. Se saca una bola al azar y luego otra

sin reemplazo de la primera. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea

blanca y la segunda sea negra?

R/

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4. Si de ocho grupos de sétimo cada uno de treinta estudiantes, desertaron en

total ochenta y cuatro estudiantes en el primer trimestre, ¿cuál es la

probabilidad que un estudiante cualquiera haya desertado en ese trimestre?

R/0,35

5. Supongamos que de 240 estudiantes, cien son hombres y de los 95 que

aprobaron el curso 55 eran hombres.

1. ¿cuál es la probabilidad que uno cualquiera de esos estudiantes sea

hombre o haya aprobado el curso?

R/0, 5833

2. ¿cuál es la probabilidad que sea mujer y haya aprobado el curso?

R/0, 1667

3. Si seleccionamos un estudiante cualquiera y sabemos que es mujer,

cual es la probabilidad de que haya aprobado el curso?

R/0, 2857

6. Suponga que en una familia hay dos visitantes de diferente edad y que nos

interesa conocer el sexo y la edad de estos visitantes. Se utiliza la letra H para

representar a un hombre, M para una mujer y HM para denotar que la persona

con más edad es mujer y el menor es hombre.

¿Cuál es el espacio muestral?

Sea A el subconjunto de todas las posibilidades que no incluyen varones

Sea B el subconjunto que contiene dos varones.

Sea C el subconjunto que contiene al menos un varón

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Distribución de Probabilidad: una distribución de probabilidad, p(x) ó una

función de probabilidad de masa, es una fórmula o función, tabla o gráfica, que

proporciona a cada posible valor de la variable aleatoria su probabilidad asociada.

Teorema: Si p(x) es la distribución de probabilidad de x, entonces,

i.

ii. ∑

Definición: Sea x una variable aleatoria discreta con función de probabilidad

p(x). Entonces, el valor esperado de x, se define como: ∑

además, (es decir, E(x)= La Media)

Medidas de Variabilidad del Conjunto de Datos:

a) Definición: se define varianza (o variancia) de una variable aleatoria

discreta x como [ ] [ ].

b) De la definición anterior se tiene que la desviación estándar de x es

√ y representa “que tanto” se desvían los datos

respecto al promedio.

c) Teorema: sea x una variable aleatoria discreta con función de

probabilidad p(x).

Entonces, [ ]

Teniendo las distribuciones de Probabilidad se puede utilizar el siguiente cuadro y

determinar la media, la varianza y la desviación estándar:

x P(x)

TOTAL = =