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Unidad Didáctica 2
Matemáticas 3o ESO Números reales • 1
NÚMEROS REALES
1. NÚMEROS IRRACIONALES: CARACTERIZACIÓN.
En el tema correspondiente a números racionales hemos visto que estos números tienen una característica esencial: su expresión decimal es exacta o periódica. Pero en el sistema decimal es posible escribir expresiones decimales ilimi-tadas no periódicas, por ejemplo, las siguientes:
0’110100100010000100000… 4’23123112311123111123…
Estas expresiones con infinitas cifras decimales no periódicas, y otras muchas que se pueden escribir, no son núme-ros racionales, pues la expresión decimal de un número racional es limitada o periódica. Estas expresiones son números irracionales (no pueden expresarse en forma fraccionaria, ya que no son periódicos).
Los números decimales ilimitados no periódicos se llaman números irracionales, que designaremos con la letra I.
Los números racionales e irracionales forman el conjunto de los números reales, conjunto que designa-remos con la letra R.
Los números reales (R) son una ampliación de los números racionales (Q), que a su vez abarcan a los números enteros (Z) y éstos a los números naturales (N).
• Un número irracional importante aparece al medir una circunferencia con el diámetro o al calcular el área de un cír-culo. Es el número π = 3’14159265…
El diámetro es 1.
La longitud de la circunferencia es π
• Otro número no periódico aparece al calcular la diagonal del cuadrado utilizando el teorema de Pitágoras. Su expre-
sión decimal es K4142135'12 =
Cada cateto mide 1.
La longitud de la hipotenusa es 211 22 =+=h
EJERCICIOS
1. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales.
a) 1’111222333111222333… b) 2’220200200020000… c) 3’112122122212222… d) 4’123321123321123321… e) 0’5349494949494949… f) 0’141144111444…
2. Di qué clase de número (natural, entero, racional o irracional) es cada uno de los siguientes.
a) 25
b) 15 c) 1575
d) −3 e) −1’023 f) 6’4444… g) 1’07007000700007…
2. LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales se puede representar en una recta, la recta
real, donde cada número se corresponde con uno de sus puntos.
2.1. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS EN LA RECTA REAL
Representación de números racionales
Para representar una fracción tenemos que dividir el segmento en el que se
encuentre en tantas partes como indique el denominador, utilizando el teo-
rema de Tales, y marcar el numerador.
Ejemplos
Representación de números irracionales
En general, nos resultará imposible representar con exactitud un número irra-
cional. Lo que se suele hacer es indicar el segmento donde se encuentra. Este
segmento puede ser tan pequeño como queramos, dependiendo del número
de decimales que utilicemos para aproximar.
Ejemplos
Representación de números irracionales de la forma
Estos números se pueden representar de forma exacta utiliz
de Pitágoras. Para ello tenemos que construir un triángulo
mida la raíz buscada y transportar esta distancia a la recta
Ejemplos
0 1 2 0 12
a
ando el teorema
cuya hipotenusa
con el compás.
22 3
1’2
1’25
1’3
1’26
1
1
1
2
2
2
0 1 2116
+ 146
+
Números decimales
Si queremos representar en la rectaun número racional expresado en for-ma decimal, simplemente tenemosque pasarlo a fracción y representarla.
R
Q
ZN
π
0
1–2
0’2
53
53
2El conjunto de los números reales está formado por el conjunto de losnúmeros racionales y el de los números irracionales. Este conjunto serepresenta con el símbolo R.
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La ordenación de los números permite definir algunos conjuntos de números que tienen una interpretación geomé-trica en la recta real.
3.1 Intervalos.
Los intervalos están determinados por dos números reales a y b, a < b, que se llaman extremos; en un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.
En la representación gráfica y notación se indica por:
• circulito negro o corchetes si el extremo se considera del intervalo;
• circulito blanco o paréntesis si el extremo no se considera del intervalo.
Según esto, se tienen los siguientes tipos de intervalos, en los que se da también la notación algebraica y el nombre. El intervalo cerrado [a, b] está formado por los números reales x compren-didos entre a y b, incluidos a y b.
Se expresa por [a, b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b }
a ≤ x ≤ b [a, b]
1 ≤ x ≤ 4 [1, 4]
El intervalo abierto (a, b) está formado por los números reales x comprendi-dos entre a y b, excluidos a y b.
Se expresa por (a, b) = { x ∈ R / a < x < b }
a < x < b (a, b)
1 < x < 4 (1, 4)
El intervalo abierto por la derecha [a, b) está formado por los números re-ales x comprendidos entre a y b, incluido a y excluido b.
Se expresa por [a, b) = { x ∈ R / a ≤ x < b }
a ≤ x < b [a, b)
1 ≤ x < 4 [1, 4)
El intervalo abierto por la izquierda (a, b] está formado por los números re-ales x comprendidos entre a y b, excluido a e incluido b.
Se expresa por (a, b] = { x ∈ R / a < x ≤ b }
a < x ≤ b (a, b]
1 < x ≤ 4 (1, 4]
2.2. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL.
El valor absoluto de un número real a se designa por | a | y coincide con el número si es positivo o nulo, y con su opuesto si es negativo.
<−≥
=0 si0 si
||aaaa
a
Ejemplo. a) | −7 | = 7 b) | 7 | = 7 c) | 5− | = 5
EJERCICIOS
3. Representa sobre la recta los siguientes números reales:-75/60 ; 24/36;
3. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS
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3.2 Semirrectas
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Las semirrectas están determinadas por un número; en una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.
Según que entre o no el número, indicado como anteriormente, se tienen los siguientes tipos de semirrectas: La semirrecta cerrada de origen a, [a, +∞), está formada por los números reales x mayores o iguales que a (se incluye a).
Se expresa por [a, +∞) = { x ∈ R / x ≥ a }
x ≥ a [a, +∞)
x ≥ 1 [1, +∞)
La semirrecta abierta de origen a, (a, +∞), está formada por los números reales x mayores que a (se excluye a).
Se expresa por (a, +∞) = { x ∈ R / x > a }
x > a (a, +∞)
x > 1 (1, +∞)
La semirrecta cerrada de extremo a, (−∞, a], está formada por los números reales x menores o iguales que a (se incluye a).
Se expresa por (−∞, a] = { x ∈ R / x ≤ a }
x ≤ a (−∞, a]
x ≤ 4 (−∞, 4]
La semirrecta abierta de extremo a, (−∞, a), está formada por los números reales x menores que a (se excluye a).
Se expresa por (−∞, a) = { x ∈ R / x < a }
x < a (−∞, a)
x < 4 (−∞, 4)
EJERCICIOS
4. Representa en la recta real los intervalos y semirrectas (−4, 0), [0, 5], [3, 7), (−4, −2], (−∞, 7) y [−3, +∞).
5. Expresa los siguientes intervalos y semirrectas utilizando los signos <, >, ≤ y ≥. a) [−2, 1] b) (3, 3’5) c) [0, 4) d) (−2, 5] e) [−1, +∞)
6. Escribe para cada conjunto de números su expresión como un intervalo o semirrecta. a) 3 < x < 5 b) −2 ≤ x < −1 c) 3 < x ≤ 14 d) 4 ≤ x ≤ 4’5 e) 6 < x ≤ 7 f) −3 ≤ x < 0 g) x ≥ 2 h) x < 0 i) x ≤ 0 j) x > −2
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4. APROXIMACIONES: REDONDEO
En determinados contextos es más razonable trabajar con aproximaciones de número reales que con valores exactos. Lee los siguientes ejemplos.
• El descubrimiento del número cero ocurrió hacia el año 400.
• Por el siglo X, Córdoba tenía una población de 500.000 habitantes.
• En el año 2025 sólo el 41 % de la población vivirá en zonas rurales.
En todos ellos se da una aproximación de una cantidad desconocida. Llamamos estimaciones a este tipo de aproxi-maciones.
Fíjate ahora en estos ejemplos:
• Si un medio de comunicación desea informar que los ingresos derivados del turismo ascienden a 235.467.342 €, lo daría del siguiente modo: «Los ingresos procedentes del turismo han alcanzado los 235 millones de euros».
• Si del número13/6 = 2’1666… eliminamos todas las cifras decimales a partir de la segunda, obtenemos el núme-
ro 2’16. Este número no es exactamente 13/6, pero es un número cuyo valor es ligeramente inferior al valor de 13/6. Aún sabiendo que cometemos un pequeño error, se puede utilizar como su sustituto en determinados cál-culos. En este caso estamos haciendo un truncamiento, truncamos, cortamos el número en las centésimas.
Podemos decir que 2’16 es una aproximación por defecto de 13/6, apreciando hasta las centésimas (dos cifras decimales significativas). En cambio 2'17 es una aproximación por exceso de 13/6.
El grado de aproximación depende del objetivo que se persiga. Por ejemplo, si dos ciudades distan 101 km, decirque la distancia es 100 km, 1 km de error sería aceptable; en cambio, en los talleres de precisión, los trabajos de ajuste pulido requieren medidas con un margen de error menor de 0’01 mm.
Hablamos de dos tipos de errores: El error absoluto: es la diferencia entre el verdadero valor y su aproximación en valor absoluto El error relativo: es el cociente entre el error absoluto y el verdadero valor expresado en porcentaje.
El método más utilizado para aproximar un número es el redondeo. Para ello, hay que tener en cuenta el valor de la primera cifra que se quiere suprimir:
• Si es cinco o mayor que cinco, añadimos una unidad a la última cifra considerada.
• Si es menor que cinco, suprimimos sin más la última cifra (truncamos).
Ejemplo.- Redondeamos 3’25 a una cifra decimal (décimas) y obtenemos 3’3.
Redondeamos 0’4444… a dos cifras decimales (centésimas) y obtenemos 0’44.
EJERCICIOS
7. Un segmento mide 3’4 metros con un error menor que una décima. ¿Qué significa?
8. Redondea los siguientes números. a) 45’00768 hasta las centésimas. b) 0’987125 hasta las milésimas. c) 5’6 hasta las unidades.
9. Da algunas aproximaciones por exceso y por defecto de la longitud de una circunferencia de radio 2 cm.
Ejemplo.- Si en lugar del número 2'35 tomo 2'4 cometo un error absoluto de |2'35 - 12'4 | = 0'05 y un error relativo de
0'05 : 2,35 = 2 %
Finalmente, al operar con números irracionales como PI o PHI necesitaremos tomar una aproximación decimal.
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales.
a) 1’111222333111222333… b) 2’220200200020000… c) 3’112122122212222… d) 4’123321123321123321… e) 0’5349494949494949… f) 0’141144111444… Son racionales (Q) a, d y e, e irracionales (I) b, c y f.
2. Di qué clase de número (natural, entero, racional o irracional) es cada uno de los siguientes.
a) 25
b) 15 c) 1575
d) −3 e) −1’023 f) 6’4444… g) 1’07007000700007…
a) Racional b) Irracional c) Natural d) Entero e) Racional f) Racional g) Irracional
3. Representa sobre la recta los siguientes números reales:
4. Representa en la recta real los intervalos y semirrectas (−4, 0), [0, 5], [3, 7), (−4, −2], (−∞, 7) y [−3, +∞).
75 5 24 2a) ;
60 4 36 3
17=16 + 1= 42+12
Basta dibujar un rectángulo de base 4 unidades y altura 1, a partir del origen.
La diagonal mide 17 , con el compás se toma la medida y se marca el punto correspondiente sobre la recta graduada..
5. Expresa los siguientes intervalos y semirrectas utilizando los signos <, >, ≤ y ≥. a) [−2, 1] b) (3, 3’5) c) [0, 4) d) (−2, 5] e) [−1, +∞) a) −2 ≤ x ≤ 1 b) 3 < x < 3’5 c) 0 ≤ x < 4 d) −2 < x ≤ 5 e) x ≥ −1
6. Escribe para cada conjunto de números su expresión como un intervalo o semirrecta. a) 3 < x < 5 b) −2 ≤ x < −1 c) 3 < x ≤ 14 d) 4 ≤ x ≤ 4’5 e) 6 < x ≤ 7 f) −3 ≤ x < 0 g) x ≥ 2 h) x < 0 i) x ≤ 0 j) x > −2 a) (3, 5) b) [−2, −1) c) (3, 14] d) [4, 4’5]] e) (6, 7] f) [−3, 0) g) [2, +∞) h) (−∞, 0) i) (−∞, 0] j) (−2, +∞)
7. Un segmento mide 3’4 metros con un error menor que una décima. ¿Qué significa? Que el verdadero valor del segmento oscila entre 3’3 y 3’5 metros.
8. Redondea los siguientes números. a) 45’00768 hasta las centésimas. 45’01 b) 0’987125 hasta las milésimas. 0’987 c) 5’6 hasta las unidades. 6
9. Da algunas aproximaciones por exceso y por defecto de la longitud de una circunferencia de radio 2 cm. L = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ 3’1416 ⋅ 2 = 12’5664 cm.
Unidades Décimas Centésimas Milésimas Aproximaciones por defecto 12 12’5 12’56 12’566 Aproximaciones por exceso 13 12’6 12’57 12’567