Unidad 8

La diferencial

Objetivos

Al terminar la unidad, el alumno:

Comprenderá el concepto de diferencial de una función.Aplicará la diferencial de funciones compuestas.Encontrará la diferencial de funciones implícitas.Encontrará la diferencial aplicando logaritmos.Utilizará las diferenciales en el cálculo de elasticidades.

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309

Matemáticas

Introducción

U na vez que se ha trabajado con elementos diversos del cálculo y sus aplicaciones, es pertinente hacer hincapié en la noción de diferencial, ya que de manera implícita se trabajó con ellas, pero no se estableció la

diferencia entre ésta y una derivada. La importancia de la diferencial se encuentra en la noción misma de derivada

dentro del cálculo, porque además de denotar cambios pequeños, lo hace a través de incrementos ocurridos en diversas variables que tienen un sinnúmero de aplicaciones prácticas.

incremento, el cual es aplicado en la vida diaria para determinar algunos resultados que se desean. Es pertinente mencionar que la aplicación de las diferenciales tiene diversos métodos para generar resultados, como la diferenciación implícita, la diferenciación compuesta y la diferenciación logarítmica, entre otros, las cuales

La aplicación que tiene la diferenciación logarítmica está directamente vinculada con un elemento que se trabajó en otra unidad, este elemento es la elasticidad, sólo que ahora será vista con otro enfoque.

8.1. Incremento de una función

Cuando se trabaja con diferenciales es necesario hacer referencia al denominado análisis de estática comparativa, el cual sugiere que se debe efectuar una comparación entre los distintos valores que toman las variables dependiente e independiente, con objeto de observar y medir sus cambios.

Un análisis estático comparativo puede ser de carácter cualitativo o cuantitativo. Por ejemplo, si únicamente interesa conocer si el consumo aumentará o disminuirá al incrementar el ingreso disponible de los consumidores, el análisis será cualitativo porque sólo se considera cómo habrá de cambiar el consumo si se mueve el ingreso, esto es, la dirección en la que se mueve el consumo (aumenta o disminuye) al moverse el ingreso.

Si se hace referencia a la magnitud del cambio en el consumo dado un cambio en el ingreso disponible, el análisis será cuantitativo. Al obtener un resultado cuantitativo, automáticamente se determina la dirección del cambio, que depende del signo algebraico del resultado, por lo cual el análisis cuantitativo siempre incluye al cualitativo.

310

Unidad 8

comparativa, ya que el cálculo diferencial tiene una relación directa con la noción de tasa de cambio.

Al considerar la función y = f (x) se plantea cómo se verá afectada la variable y al estar en función de la variable xel comportamiento de la función.

Como ya se mencionó, la noción de cambio ocupa un lugar relevante, requiriéndose un símbolo especial para representarlo. Cuando la variable x cambia de x0 a un valor nuevo x1, el cambio se mide por la diferencia x1–x0, denotando el cambio como ; así, el cambio o incremento de una variable es:

x = x1–x0

Para representar el valor de la función f(x) al considerar los distintos valores de x, se emplea la notación f(xi f(x) cuando x = xi, es decir, el subíndice i muestra que la variable x puede tomar distintos valores dentro de un intervalo; por ejemplo, si i = 0,1,2,...,9 se observa que existen 10 valores diferentes para la variable x.

Por ejemplo, si se tiene la función f(xi) = 8 + xi3, con xi = i para i = 0,1,2,...,

n los valores de la función serán f(x0) = 8 + (x0)3 = 8 + 0 = 8, f(x1) = 8+(x1)

3 = 8 + 1 = 9, etcétera.

Cuando x cambia de un valor inicial x0 a uno nuevo x1 = (x0 + x), el valor que toma la función y = f(x) cambia de f(x0) a f(x0+ x).

El cambio que se da en la variable y si la variable x cambia es:

y f x x f x( ) ( )0 0

y = f (x1) – f (x0)

Figura 8.1 . Incrementos.

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311

Matemáticas

Si suponemos que la función y = f(x) muestra que la oferta está en función del precio, donde y es la oferta de un artículo y x es el precio, y se quiere conocer qué pasa con la oferta al incrementarse el precio, consideremos que el punto x0 denota el precio inicial o de equilibrio y y0 = f(x0) indica la oferta inicial. Al incrementarse el precio se estará en x1, con un nuevo nivel de oferta y1 = f(x1). El incremento en el precio se mide por x = x1 – x0, mientras que el cambio en la oferta se determina por y = f(x1) – f(x0). Como puedes observar, existe una relación directa entre las variables, y puede esperarse que al aumentar el precio de un artículo, la oferta aumentará debido a que ese incremento incentiva al productor a colocar una mayor cantidad de producto en el mercado.

Ejemplo 1

Una empresa quiere determinar en qué magnitud deberá aumentar su nivel de gastos si se incrementa la producción como resultado de un incremento de la demanda de sus artículos en el mercado. Para ello la empresa determina la siguiente función:

G(x) = 2x2 – 1 200

Donde se indica que los gastos G(x) están en función de la producción x. La producción inicial es x

0 = 25.

si la producción aumenta a x1 = 30.b) Calculemos la razón de los incrementos que debe darse en los gastos al

incrementarse la producción en una unidad.

Solución: a) La producción inicial es x0 = 25, por lo que los gastos iniciales son:

G(x0) = 2 02x – 1 200 = 2(25) 2 – 1 200 = 2(625) – 1 200 = 1 250 – 1 200 = 50

Esto muestra que al tener un nivel de producción de 25, los gastos ascienden a 50.

Como la producción a la que se piensa llegar por las necesidades existentes en el mercado es x1 = 30, el nivel de gastos es:

G(x1) = 2 12x – 1 200 = 2(30) 2 – 1 200 = 2(900) – 1 200 = 1 800 – 1 200 = 600

312

Unidad 8

De ello se desprende que con un nivel de producción de 30, se incurre en un

Figura 8.2 . Incremento en el nivel de gastos.

el incremento de los gastos es de 550, y se concluye que ante un incremento de 5 artículos en la producción, los gastos se incrementan 550 unidades.

b) De los datos:

x0 = 25; G(x0) = 50 x1 = 30; G(x1) = 600

x = x1 – x0 = 30 – 25 = 5

Por lo tanto:

G = G(x1) – G(x0) = 600 – 50 = 550

Si se emplea la fórmula Gx

G x x G xx

( ) ( )0 0

Se tiene: =Gx

G G( ) ( )25 5 255

= 600 50

5 =

5505

= 110

Con el resultado se observa que al incrementarse en 5 unidades la producción, los gastos se incrementan en 550 unidades, por lo cual se deduce que al incrementarse la producción en una unidad, los gastos aumentan 110 unidades.

x = 30 –25 = 5

2

313

Matemáticas

Ejemplo 2

Una agencia de publicidad desea conocer en qué magnitud se incrementa el

planes estratégicos que lleven a que los consumidores gasten mayor parte de su ingreso en ciertos artículos. Para efectuar el estudio, la agencia cuenta con la siguiente función de consumo:

C = 10 + 0.8(Yd)

Donde C es el consumo y Yd es el ingreso disponible de los consumidores.

se tiene un nivel de ingreso de 100 y se espera que se incremente el ingreso a 120.

b) Calculemos la razón de los incrementos que tendrá el consumo al aumentar el ingreso.

Solución: a) Los datos muestran que inicialmente se tiene un ingreso Yd

0 = 100 con un consumo C0 = 10 + 0.8(Yd0) = 10 + 0.8(100) = 10 + 80 = 90.

Yd1 = 120, con lo que el consumo que se espera es: C1 = 10 + 0.8(120) = 10 + 96 = 106. Esto es:

Yd0 = 100 Yd1 = 120 C0 = 90 C

1 = 106

Figura 8.3 . Incremento en el consumo.

= C(yd1) – C(yd0)

= 106 – 90 = 16

yd

C

yd = 120 – 100 = 20

314

Unidad 8

En la gráf ica puede apreciarse que al incrementarse el ingreso en 20 unidades, el consumo aumentará 16 unidades, es decir, que si el ingreso de los consumidores se incrementa en $20, por ejemplo, el consumo aumentará en $16 o, lo que es lo mismo, de esos $20 que se incrementa el ingreso, los consumidores destinarán $16 a consumir.

b) Para realizar el cálculo empleamos los datos:

Yd0 = 100 Yd1 = 120 C0 = 90 C1 = 106

C = C1 – C0 = 106 – 90 = 16 Yd = Yd1 – Yd0 = 120 – 100 = 20

CYd

=1620

= 0.8

El resul tado indica una relación directa (por el signo) en la cual al incrementarse el ingreso en una unidad, el consumo aumentará en 0.8 unidades, esto es, la agencia puede esperar que por cada peso que se incremente el ingreso de los consumidores, destinen 80 centavos a consumir, por lo que es posible establecer una estrategia de mercado encaminada a atraer ese dinero al consumo de los artículos que interesan a la agencia.

Ejercicio 1

1. Con la función y = f(t) = t2 – 6t + 9 con t0 = 10 calcula la razón de los incrementos que tendrá y al aumentar t en 3 unidades.

2. Partiendo de la función y = f(x) = 4x3 – 9x2 + 6x + 2 con x0 = 5, calcula la razón de los incrementos que tendrá y al aumentar x en 2 unidades.

3. Siendo C(x) el costo total de la fabricación de x juguetes en dólares, con una producción inicial de 50 unidades, y teniendo la siguiente función: C(x) = 110 + 4x + 0.02x2, calcula la razón de los incrementos que tendrá el costo al aumentar la producción de juguetes x en 20 unidades.

2

315

Matemáticas

4. Si I(x) es el ingreso total de una compañía por la venta de x mesas,

con una venta inicial de 100 mesas, e I(x) = 300x – 12

2x , calcula la razón

de los incrementos que tendrá el ingreso al aumentar la venta de mesas x

en 50 unidades.

5. Los gastos de una persona son f(t) miles de pesos t días después de adquirir un negocio, donde G = f(t) = 98.6 + 1.2t – 0.12t2 con 0 t 10. Calcula la razón de los incrementos que tendrán los gastos al transcurrir 3 días.

6. Se estimó que un trabajador en una tienda donde se fabrican marcos para pinturas, puede pintar y marcos en x horas después de comenzar a trabajar. Con x0 = 5, se tiene y = 3x + 8x2 – x3. Calcula la razón de los incrementos que tendrá la cantidad de marcos pintados al transcurrir 4 horas.

8.2. Diferencial de una función

Como recordarás, para representar la derivada de y con respecto de x, se

emplea la notación de Leibniz teniéndose dydx

, pero esta expresión no debe

considerarse como una relación, sino como un sinónimo de f (x), es decir, como

un símbolo para denotar el límite de yx

cuando x tiende a cero. Las cantidades

dy y dx se denominan operadores de diferenciación, porque indican la operación de diferenciación que es el proceso de calcular una derivada.

Si se tiene f(x), la función f es diferenciable en x si es posible obtener la derivada de la función f (x).

Si f (x) es la derivada de y = f(x) para x, y x es una variación o incremento de x asignado arbitrariamente, denominado también como la diferencial de la variable independiente dx, esto es, dx = x; entonces, la diferencial de y, es decir, la diferencial de la variable dependiente y, denotada por el símbolo df(x) o bien por dy

dy = f (x) dx =

dydx

x

316

Unidad 8

I nterpretación geométrica de la diferencial

Si observamos en la f igura 8.4, vemos que el punto P (x, f (x)) está sobre la curva y = f (x), y que PR es la tangente en P, por lo que f (x) representa la pendiente de PR. Suponiendo que x cambia en x, tenemos un nuevo valor x + x, el valor de la función es f(x+ x) y el punto sobre la curva es Q (x+ x, f (x+ x)). Si la pendiente es la razón de la elevación entre el recorrido, tenemos entonces de x a x + x un recorrido PS, donde PS = x = dx, en este caso la tangente PR tiene una elevación TS, de tal manera que:

Pendiente de la línea tangente PR = elevaciónrecorrido

TSPS

f x'( )

Si TSPS

f x'( ) , entonces TS f x PS f x dx dy

dy f x dx

'( ) '( )

'( )

de donde

es claro observar que si bien dx = x, la diferencial dy no es lo mismo que el incremento en y; x y y son los incrementos de x y yde la función, mientras que dx y dy son los incrementos a lo largo de la recta tangente. Por consiguiente, cuando dx está cercano a cero dy es una aproximación a y, y dy.

Figura 8.4

Ejemplo 3

Dada y = 3x2 – 2x, encontremos dy para:

a) Cualesquiera x y dx.b) x = 2 y dx = 0.5c) x = 2 y dx = 0.05

2

317

Matemáticas

Solución: a) Como y = 3x2 – 2x , sea f(x) = 3x2 – 2x f (x) = 2(3x) – 2 = 6x – 2y como: dy = f (x) dx dy = (6x – 2) dx

b) y = 3x2– 2x con x = 2 y dx = 0.5, sustituimos en la fórmula para obtener la diferencial de y:

dy = (6x – 2) dx = (6(2) – 2)(0.5) = (12 – 2)(0.5) = (10)(0.5) = 5 dy = 5

La diferencial de y es de 5, e indica que el cambio de la variable dependiente es de 5 unidades cuando la variable independiente cambia en 0.5 unidades.

c) Como y = 3x2 – 2x con x = 2 y dx = 0.05, para obtener la diferencial de y se emplea:

dy = (6x – 2) dx = (6(2) – 2)(0.05) = (12 – 2)(0.05) = (10)(0.05) = 0.5 dy = 0.5

La diferencial de y es de 0.5, lo cual indica que el cambio de la variable dependiente es de 0.5 unidades cuando la variable independiente tiene un cambio de 0.05 unidades.

Ejemplo 4

Dada y x x4 con x = 2 y dx = 0.03, calculemos dy.

Solución: como y x x4 , sea f(x) = 4x1/2 – x

f (x) = 42

11 2x /

dy = f (x) dx = ( / )2 12

11 2x dxx

dx

Sustituimos los datos del problema:

dy

xdx

21

2

21 0 03 1 4142 1 0 03 0 01( . ) ( . ) . .

dy = 0.01

318

Unidad 8

La diferencial de y es 0.01, por lo cual se indica que el cambio en la variable dependiente es de 0.01 unidades cuando la variable independiente cambia en 0.03 unidades.

Ejercicio 2

1. Dada y = 4x2 – 3x + 1, encuentra dy para:

a) Cualesquiera x y dx b) x = 2 y dx = 0.1c) x = 2 y dx = 0.01

2. Siendo y = x2 – 3x con x = 2 y dx = 0.02, calcula dy.

3. Partiendo de la función y = x2 +1, donde x = 1 y dx = 0.5, calcula dy.

4. Se tiene la función y x x( )( )3 62 , donde x = 1 y dx = 0.1, calcula dy.

5. Con la función yx x

x

2 4 16

, donde x = 5 y dx = 0.5, calcula dy.

6. Partiendo de la función yx

x

3

2

16, donde x = 2 y dx = 0.1, calcula dy.

8.3. Diferencial de funciones compuestasRecordemos qué se entiende por composición de funciones: aquella operación

matemática consistente en construir una función a partir de dos funciones, donde estas funciones guardan una relación cercana por las variables que las conforman.

8.3.1. Funciones compuestasEn general, dadas dos funciones cualesquiera, f y g, se inicia con un número

x en el dominio de g y se calcula su imagen g(x). Si el número g(x) se encuentra en el dominio de f, se puede calcular el valor f(g(x)). El resultado es una función, h(x) = f(g(x)), que se obtiene al sustituir g en f. Esto nos l leva a:

Dadas dos funciones, f y g, la función compuesta f o g (también llamada composición de f y g

(f g)(x) = f(g(x))

2

319

Matemáticas

Ejemplo 5

Supongamos que una empresa recibe una cierta cantidad de materia prima (input) para producir una artículo (output). Para obtener el producto terminado es necesario que la materia prima pase por un proceso en una máquina A y posteriormente se l leve a un segundo proceso en la máquina B y de esa manera obtener un producto terminado. Si a la empresa le interesa obtener una manera para representar lo anterior, ¿cuál es el diagrama de la función compuesta y su dominio?

Solución: aquí puede suponerse la función f(g(x)) donde:

u = g(x) = Proceso en la máquina A que está en función de la materia prima x.

y = f(u) = Obtención del producto terminado que está en función del proceso en la máquina B donde se emplea el producto del proceso de la máquina A.

f(g(x)) = y = f(u) El diagrama del proceso es:

Diagrama 1. Flujo input-output para la producción de una empresa.

Como puede apreciarse, el dominio de la función g está dado por las materias primas a utilizar, la función g indica que las materias primas x deben pasar por un proceso en la máquina A, de donde se obtendrá un producto sin acabar

g(x). La función f muestra que se emplea el producto intermedio para darle un acabado en la máquina B, por lo que el dominio de f lo conforman esos productos intermedios.

En resumen el dominio de la composición son las materias primas y el contradominio el producto terminado.

Ejemplo 6

Determinemos la función compuesta de f o g yf(x) = x2 y g(x) = x – 3.

xEntrada(input)

g (proceso enla máquina A)

g(x)Producto

intermedio

f (proceso enla máquina B)

f(g(x))Salida(output)

320

Unidad 8

Solución: se tiene:

f(x) = x2

g(x) = x – 3 (f o g)(x) = f(g(x))

Por lo que: (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x – 3) = (x – 3)2

Esto indica que como f(x) es una función de g(x), primero hay que sustituir g(x) por x – 3 y se tiene f(x – 3), pero como f(x) = x2, entonces hay que elevar al cuadrado la función g, teniéndose f(x – 3) = (x – 3)2.

(f o g)(x) = f(g(x)) = (x – 3)2

Diagrama 2. Dominios de la función compuesta.

El dominio de f o g está dado por todo el conjunto de los números reales, ya que al existir el cuadrado, no importa el signo de la diferencia.

8.3.2. Diferenciación de funciones compuestasPara calcular la diferencial de una función compuesta es necesario aplicar la

regla de la cadena, que como recordarás es uno de los teoremas más importantes en cálculo. Esto es, se tiene una función y = f(u), donde u es a su vez función de otra variable x, es decir, u = g(x). Entonces la diferencial de y es igual a la derivada de y con respecto de u multiplicada por la derivada de u con respecto de x y el producto de esas derivadas se multiplica por la diferencial de x.

dy

dydu

dudx

dx f u g x dx' '( ) ( )

Sobre la base de la función u = g(x) se puede expresar la función y = f(u) como y = f(g(x)), que es una función compuesta, es decir, es una función de otra función.

f o g = (x – 3)2

g f

g(x) = x – 3 f (g(x)) = (x – 3)2x

2

321

Matemáticas

Ejemplo 7

Sean y = f(u) = u2 + 5u + 5 y u = g(x) = x + 1. Obtén la función compuesta y diferencia la función compuesta empleando la regla de la cadena.

Solución: a) Con las funciones:

y = f(u) = u2 + 5u + 5 u = g(x) = x + 1

La función compuesta es:

y = f(g(x)) = (x + 1)2 + 5(x + 1) + 5 = (x2 + 2 x + 1) + 5 x + 5 + 5 = x2 + 7x + 11 (f o g)(x) = f(g(x)) = x2 + 7x + 11

Para diferenciar las funciones empleamos (f ° g) (x) dx = dy = dydu

dudx

dx

Como y = f(u) = u2 + 5u + 5, derivamos:

dydu

= (2u + 5) u = g(x) = x + 1

dudx

= 1

Por lo tanto, la diferencial de la función compuesta es:

dy = dydu

dudx

dx = (2u + 5)(1)dx = (2u + 5)dx

Sustituyendo u = x + 1:

dy = (2(x + 1) + 5)dx = (2x + 7)dx

Así, el cambio que tenga y es dy = (2x + 7)dx

Sean u = g(x) y y = f(u) dos funciones cualesquiera, tales que existen sus derivadas dudx

, dydu

y si y = f g y (x)= f g(x) = f (g(x)),

entonces la diferencial dy existe y está dada por el producto

dy = dydu

dudx

dx

322

Unidad 8

Ejemplo 8

Si y = (x2 + 1)2/3 es una función compuesta, determinemos dy.

Solución: en primer lugar, se definen las funciones. Sea u = x2 + 1; entonces y = (u)2/3

Derivando las funciones:

dydu

u23

1 3/

como u = x2 + 1

dudx

= 2x

Por lo tanto, la diferencial de la función compuesta es:

dy =dydu

dudx

dx23

21 3u x dx/ ( )

Sustituyendo u = x2 + 1

dy x x dxx x

dxx

x23

1 24 1

34

3 12 1 3

2 1 3

2 1( ) ( )

( )( )

//

/

33

dx

Así, el cambio que tenga y será dyx

x4

3 12 1 3 ( ) / dx

Ejemplo 9

Los dueños de diversas tiendas de venta de juguetes compran productos importados a un almacén que se dedica a la venta de artículos de importación. El administrador del almacén realiza un estudio sobre la demanda de esos productos

(diciembre a enero 6), la población de vendedores es una función f (x), donde x es el número de compradores en el mercado, el cual a su vez es una función g(t), donde tventa. Si se tiene la siguiente función:

y = f(x) = 148

x2 – 2x + 50 y x = g(t) = 4t + 52

2

323

Matemáticas

Donde 0 t 15, encontremos:

a) La función compuesta del número de vendedores dependiendo del número

conozca la posible demanda que habrá de los artículos que vende. b) La diferencial del número de vendedores en función del número de días

cantidad de vendedores al transcurrir los días.

Solución: a) La población de vendedores t días después del cierre de la temporada alta de ventas está dada por f(g(t)), por lo cual:

(f g)(t) = f(g(t))

f(x) = 148

x2 – 2x + 50 y g(t) = 4t + 52

g(t) = 4t + 52 Población de compradores en el mercado dependiendo de los

f(g(t)) = f(4t + 52)

f(g(t)) = 148

(4t + 52)2 – 2(4t + 52) + 50

La fórmula anterior proporciona la función compuesta del número de

número de días transcurridos a partir de que ésta terminó.

b) Con los datos que se proporcionan se tiene que las derivadas de las funciones son:

y =148

x2 – 2x + 50

dydx

xx2

482

242

x = 4t + 52

dxdt

4

324

Unidad 8

La diferencial de la función compuesta es:

dyx

dtx

dtx

dt24

2 4424

86

8( )

Al sustituir x = 4t + 52

dyx

dtt

dtt

dt

t

68

4 526

846

526

8

23

263

243

23

23

2 23

dtt

dtt

dt

Del resultado se deduce que el cambio que existe en el número de vendedores

dy

tdt

2 23

Ejercicio 3

Calcula la diferencial de las siguientes funciones compuestas empleando la regla de la cadena:

1. Sean y = f(u) = u3 y u = g(x) = 2x – 1

2. Si y = u3 + u2 + 1 y u = 2x2 – 1

3. Con y = u2 y u = x2 + 2x + 3

4. Si y = u2 – 2u + 3 y ux

x5 6

1

5. Sabiendo que y = u3 y ux xx

2 22

2

325

Matemáticas

8.4. Diferenciación implícita

diferenciar una función simple y una función compuesta, donde se emplea la regla

de diferenciarla, así como su utilidad.

Un ejemplo muestra que si se tiene la función y = f(x) = 4x3, se observa que ésta es una función explícita al indicar que y está en función de x, pero si la función se escribe y – 4x3 = 0, ya no se tiene una función explícita, porque y ya no está en función de x, dado que ahora se tiene una ecuación que muestra la diferencia entre los elementos de la función, entonces, la ecuación y = f(x) = 4x3

implícitamente por la ecuación y – 4x3 = 0.

por ejemplo, si se tiene una ecuación como x4 – 3x = 3y4 + y3 – y2, ésta no puede resolverse para y en términos de x ya que existe más de un elemento para y.

Si tenemos una ecuación como x4 – 3x = 3y4 + y3 – y2 y sabemos que y = f(x), entonces la ecuación se puede resolver mediante la diferenciación implícita ya que cualquier valor de y será sustituido por f(x)

x4 – 3x = 3(f(x))4 + (f(x))3 – (f(x))2

Así la ecuación se cumple para todos los valores de x en el dominio de f. En tal caso, la función f implícitamente por una ecuación dada.

La ecuación x4 – 3x = 3y4 + y3 – y2 es un tipo especial en donde aparecen x y y debido a que puede escribirse de manera que los términos que contienen x estén en un miembro de la ecuación y los términos en y se ubiquen en el otro miembro.

El miembro izquierdo de la ecuación (x4 – 3x) es una función de x y el miembro de la derecha (3y4 + y3 – y2) es una función de y. Sea F la función

Gderecho, se tiene:

F(x) = x4 – 3x G(y) = 3y4 + y3 – y2

La diferenciación implícita es un proceso mediante el cual puede obtenerse la diferencial dy cuando se parte de una ecuación y no de una función, pudiendo existir más de un elemento de la variable y.

326

Unidad 8

En donde y es una función de x, y = f(x), de modo que x4 – 3x = 3y4 + y3 – y2

F(x) = G(y) F(x) = G(f(x))

Se dice entonces que la ecuación F(x) = G(f(x)) se satisface para todos los valores de x del dominio de f para los cuales G(f(x)) existe. Si f es diferenciable para todos los valores de x, d(x4 – 3x) = d(3y4 + y3 – y2)

Diferenciando el miembro izquierdo tenemos d(x4 – 3x) = (4x3 – 3)dx

Al diferenciar el miembro derecho tenemos d(3y4 + y3 – y2) = (12y3 + 3y2 – 2y)dy

Como d(x4 – 3x) = d(3y4 + y3 – y2)

Obtenemos (4x3 – 3)dx = (12y3 + 3y2 – 2y)dy

Despejamos dyx

y y ydx

4 312 3 2

3

3 2

Al emplear la diferenciación implícita se obtuvo una expresión para dy que contiene a las variables x y y. Esta expresión muestra el cambio existente en y.

Ejemplo 10

Dada la función x4 + y4 = 16, determinemos la diferencial dy.

Solución: como puede observarse, la función, tal y como está dada, es una función implícita, por lo que:

F(x) = x4 G(y) = y4

Diferenciamos:

d(x4) + d(y4) = d(16)

d(x4) = 4x3 dx

d(y4) = 4y3 dy

2

327

Matemáticas

d(16) = 0 Recuerda que la derivada de una constante es cero, ya que el cambio que tiene una constante es nulo.

Con lo anterior:

d(x4) + d(y4) = d(16)

4x3 dx + 4y3 dy = 0

4y3 dy = – 4x3 dx

Despejamos:

dy

xy

dx44

3

3

La diferencial de y para la función implícita dada es:

dy

xy

dx3

3

Ejemplo 11

Sea x2 + y2 = 16 una función determinada, obtengamos dy.

Solución: la función que se presenta es implícita y con ello se tiene:

F(x) = x2

G(y) = y2

Al diferenciar tenemos:

d(x2) + d(y2) = d(16)

d(x2) = 2x dx

d(y2) = 2y dy

d(16) = 0

328

Unidad 8

Con lo anterior:

d(x2) + d(y2) = d(16)

2x dx + 2y dy = 0

2y dy = – 2x dx

dy

xy

dxxy

dx22

La diferencial de y para la función implícita dada es: dyxy

dx

Ejemplo 12

Una fábrica produce un líquido mediante un proceso químico y la función del costo total C está dada por:

C(x) = 6 + 4 x donde x es la cantidad de litros producidos.

Determinemos:

a) El cambio en el costo cuando se producen 16 litros.b) El número de litros producidos cuando el cambio en el costo es de $2 por

litro y el cambio en la producción es de 5 litros.

Solución: a) En primer lugar hay que diferenciar la función de costo y para eso se debe indicar el radical como exponente, por lo que la función es:

C(x) = 6 + 4 x = 6 + 4x1/2

Diferenciando obtenemos:

dC(x) = d(6) + d(4x1/2)

d(6) = 0

2

329

Matemáticas

d x x dx x dx x dxx

( )/ / / //4 4

12

42

2 211 2 1 2 1 2 1 21 2 dx

xdx

2

d xx

dx( )/421 2

Sustituimos:

dC

xdx

2

Lo cual muestra la fórmula del cambio en el costo. Como necesitamos

tenemos:

x = 16

dC

xdx dx dx dx

2 2

16

24

12

dC= 0.5 dx

El cambio en el costo, si suponemos que dx = 1, es de $0.5 por litro, esto es, que al incrementar la producción en un litro, el costo aumentará 50 centavos siempre y cuando la producción inicial sea de 16 litros.

b) Si el cambio en el costo es de $2 por litro y partimos de la ecuación de costo, se tiene:

dC

xdx

2

El número de litros producidos x es:

x

dCdx

2

xdCdx

xdx

dC

2

2

330

Unidad 8

x

dxdc

4 2

2

( )( )

Sustituyendo dC = 2 y dx = 5

x

dxdC

4 4 52

1004

252

2

2

2

( )( )

( )( )

cinco litros, la producción total es de 25 litros.

Ejercicio 4

Para las siguientes funciones calcula dy.

1. Sea x2 + y2 = 25

2. Sea x2 – y3 = 8

3. Dada 4x2 + 9y2 = 36

4. Si x y 4

5. El número de dólares del costo total por producir x unidades de cierto artículo está dado por C(x) = 40 + 3x + 9 2x . Determina el incremento en el costo, dado un incremento en la producción, cuando se producen 25 unidades.

6. La producción diaria de una fábrica es y = f(x) unidades cuando el capital invertido es x miles de dólares, y y – 200 2 1x = 0. Si la capitalización actual es de $7 600, calcula la variación en la producción cuando el capital

8.5. Diferenciación logarítmica y elasticidad

La función exponencial f(x) = ax con a > 0 y a 1, es creciente si a > 1 o decreciente si 0 < a < 1, por tanto tiene una función inversa f –1, llamada función logarítmica con base a, representándose por loga.

2

331

Matemáticas

Si se emplea la formulación de la función inversa expresada por f(y) = x, f –1(x) = y

Entonces logax = y por lo cual ay = xAsí, si x > 0, logax es el exponente al que se debe elevar la base a para

obtener x.Usualmente se emplea la notación del logaritmo natural ln donde:

logex = lnx

por tanto

si lnx = y, entonces ey = x

donde x pertenece al conjunto de los números reales.

tienen que ver con el hecho de que una función sea creciente o decreciente y están relacionados en gran medida con los exponentes.

Una manera de entender la relación de los logaritmos y sus características es mostrando sus propiedades, como se detalla a continuación:

a) Para obtener el logaritmo de una potencia, se tiene que multiplicar el exponente por el logaritmo de la base.

ln ax = x ln a

b) El logaritmo del producto de dos variables es igual a la suma de los logaritmos de esas variables:

ln (ab) = ln a + ln b

c) El logaritmo del cociente de dos variables es igual a la diferencia de los logaritmos de esas variables:

lnab

= ln a – ln b

8.5.1. Diferenciación logarítmica

Lo anterior sirve para trabajar con diferenciales logarítmicas ya que el cálculo de derivadas de funciones donde intervienen productos, cocientes

diferenciación logarítmica .

332

Unidad 8

Al diferenciar logarítmicamente se emplea la fórmula de la derivada de un logaritmo:

d

dxx

xln

1

con lo cual, si y es una función diferenciable de x, entonces d ln x = 1x

dx

Lo anterior implica que para diferenciar logarítmicamente, primero hay que aplicar el logaritmo a una función, diferenciar implícitamente con respecto a x y

despejar dydx

de la ecuación resultante.

Ejemplo 13

Empleando la diferenciación logarítmica a la función y =x x

x

3 4 2

3

13 2

/

( )obtén dy.

Solución: en primer lugar, hay que aplicar logaritmos a cada extremo de la

existen muchos exponentes en la función:

ln y = ln = ln = ln ln lnx x x3 4 2 1 2 31 3 2/ /( ) ( )

=34

12

1 3 3 22ln ln lnx x x( ) ( )

Diferenciando implícitamente tenemos:

dln y = 34

12

1 3 3 22d x d x d xln ln ln( ) ( )

En este caso, la diferencial 12

12d xln( ) se obtiene multiplicando la constante

12

por la diferencial del logaritmo d xx

ln( )2211

1 y por la diferencial de

d(x2 + 1) = 2x, con lo cual 12

12d xln( ) = 12

11

22xx

2

333

Matemáticas

Cuando diferenciamos la función tenemos:

1 34

11

12

11

2 31

3 22ydy

x xx

x( ) ( ) ( ) ( )3 dx

1 34 1

93 22y

dyx

xx x

dx

Despejamos para obtener dy:

dy = y34 1

93 22x

xx x

dx( )

Como y = x x

x

3 4 2

3

13 2

/

( )

Al sustituir en dy, el cambio de la variable y debido a un cambio en x es:

dy =x x

x xx

x xdx

3 4 2

3 2

13 2

34 1

93 2

/

( )

Ejemplo 14

Calculemos dy si tenemos la función y = (5x – 4)(x2 + 3).

Solución: aplicamos logaritmos a la función para facilitar la diferenciación:

ln y = ln((5x – 4)(x2 + 3)) = ln (5x – 4) + ln (x2 + 3)

Diferenciando obtenemos:

dln y = dln (5x – 4) + dln (x2 + 3)

334

Unidad 8

1y

dy =1

5 45

13

22x xx dx( ) ( ) =

55 4

232x

xx

dx

1y

dy = 5

5 42

32xx

xdx

Despejamos para obtener dy:

dy = yx

xx

55 4

232 dx

Sustituimos el valor de y en la fórmula para denotar el cambio que existe en y x:

dy = ( )( )5 4 35

5 42

32

2x xx

xx

dx

Ejemplo 15

Los administradores de una empresa saben que cuando se inicia una campaña de ventas, el número de ventas por día se incrementa, siendo las ventas promedio S = 1 000. Sin embargo, observaron que el número de ventas extras diarias disminuye conforme el impacto de la campaña disminuye. Para una campaña

S(t) ventas extras diarias como resul tado de la campaña y han transcurrido t días desde que la campaña terminó, entonces:

S(t) = t

t

2

2 3

11( ) /

Calculemos el monto en el cual las ventas extras diarias crecen cuando:

a) t = 4 b) t = 6

2

335

Matemáticas

Solución: la función que se tiene es S(t) =t

t

2

2 3

11( ) / =

( )( )

/

/

tt

2 1 2

2 3

11

, por lo que

al emplear logaritmos tenemos:

ln S(t) = ln( )( )

/

/

tt

2 1 2

2 3

11

= ln ln( ) ( )/ /t t2 1 2 2 31 1 =12

123

12ln( lnt t) ( )

Diferenciando obtenemos:

dln S(t) = 12

123

12d t d tln ln( ) ( )

1S

dS =12

11

223

11

12t

tt

dt( ) ( ) = 2

2 12

3 12

tt t

dt( ) ( )

1S

dS = t

t tdt2 1

23 1( )

Despejamos para obtener dS:

dS = St

t t( ) ( )2 12

3 1dt

a) Conociendo las ventas promedio S = 1 000 y que han pasado t = 4 días

dS = ( )( ) ( )

1 0004

4 12

3 4 12 dt = ( )

( )1 000

416 1

23 5

dt

= ( )1 0004

152

15 dt = ( )1 000

215

dt

dS =2 000

15

dt = 133.3333 dt

336

Unidad 8

El monto en el que las ventas extras diarias crecen cuando las ventas promedio son 1 000 y han pasado 4 días desde que la campaña terminó es de 133.3333 dt.

b) Se conoce que las ventas promedio son S = 1 000 y que han pasado t = 6 días desde que la campaña terminó.

dS = ( )( ) ( )

1 0006

6 12

3 6 12 dt = ( )( ) ( )

1 0006

36 12

3 7 dt

= ( )1 000635

221

dt

dS = (1 000)(0.1714 – 0.0952) dt = (1 000)(0.0762) dt = 76.2 dt

El monto en el que las ventas extras diarias crecen cuando las ventas promedio son 1 000 y transcurrieron 6 días desde que la campaña terminó es de 76.2 dt. Con ello se muestra que al pasar el tiempo, el impacto de la campaña ha perdido fuerza.

8.5.2. ElasticidadComo se ha visto, dada una función y = f(x), la derivada de y mide el cambio

instantáneo o crecimiento de y.

En el caso de la elasticidad, recordemos que se define como la razón del cambio porcentual en la demanda x al cambio porcentual en el precio, teniendo como expresión:

xy

dydx

Podemos encontrar otra expresión de la elasticidad en términos de logaritmos.

xy

dydx

xdx

dyy dx

x

dyy

1

2

337

Matemáticas

Sabemos que:

d y

ydy d x

xdxln ln

1 1

por lo tanto 1

d xd y

d yd x(ln )

(ln )(ln )(ln )

Ésta es una vía alternativa para hallar la elasticidad en un punto de una función usando logaritmos, los cuales suelen proporcionar una fácil aproximación si la función dada aparece como una expresión multipl icativa o en forma de cociente.

Esta noción de elasticidad es similar a la tratada en la unidad 5, sólo que aquí se emplean logaritmos, porque se acepta que existen funciones exponenciales y es necesario facil i tar su cálculo, pero la definición de la elasticidad es la misma.

Ejemplo 16

Hallar la elasticidad en un punto de la demanda, dada Q =kP

, donde k es

una constante positiva.

Solución: en primer término se aplican logaritmos a la ecuación, quedando:

ln Q = lnkP

= ln k – ln P

La elasticidad de la demanda (Q con respecto a P) es en realidad:

=d Qd P( )( )lnln

=d kd P

( )( )lnln

–d Pd P

( )( )lnln

= –1

La elasticidad indica en qué magnitud habrá de cambiar la variable

338

Unidad 8

Puede observarse, en la derivación anterior, que al derivar el logaritmo de k con respecto al logaritmo de P, como k no contempla ningún elemento P, la derivada es cero, además de que k es una constante y la derivada de una constante es cero ya que no tiene ningún cambio, por lo que sólo queda derivar el logaritmo de P con respecto de P, cuyo resultado es 1, pero ya que al logaritmo de P le precede un signo negativo, la elasticidad tiene signo negativo. Esto quiere decir que si se incrementa el precio en una unidad, la demanda disminuirá una unidad.

Ejemplo 17

Hallemos la elasticidad de la demanda, si Q = kP3 .

Solución: aplicamos logaritmos a la ecuación: ln Q = lnkP3 = ln k – 3 ln P

La elasticidad de la demanda (Q con respecto a P) es:

d Qd P

( )( )lnln

= d kd P

( )( )lnln

– 3 d Pd P

( )( )lnln

= – 3

La elasticidad de la demanda para la función dada es –3, esto es, que al incrementarse el precio en una unidad monetaria, la demanda disminuirá 3 unidades.

Ejercicio 5

1. Si yx

x1

2, determina dy.

2. Partiendo de la función yxx

2 21

, calcula dy.

3. Sea yx

x

3

2 4, obtén dy.

2

339

Matemáticas

4. Si yxx

2 12

calcula dy.

5. Dada la función de demanda Qd = kPn

, donde k y n son constantes

positivas, halla la elasticidad en un punto de la demanda.

Ejercicios resueltos

1. Una empresa quiere determinar en qué magnitud deberá aumentar su nivel de ventas si se incrementa la demanda de sus artículos en el mercado. Para ello la empresa determina la siguiente función:

V = 3x2 – 3 000

donde se indica que las ventas V están en función de la demanda x. La demanda inicial es x0 = 32.

ventas si la demanda aumenta a x1 = 40.b) Calculemos el incremento que debe darse en las ventas al incrementarse

la demanda en 8 unidades.

Solución: a) La demanda inicial es x0 = 32, por lo que el nivel de ventas inicial es:

V0 = 3x0 2 – 3 000 = 3(32) 2 – 3 000 = 3(1 024) – 3 000 = 4 800 – 3 000 = 72

Esto muestra que para tener un nivel de demanda de 32 es necesario que exista un nivel de ventas de 72.

Como la demanda a la que se piensa llegar debido a las necesidades existentes en el mercado es x1 = 40, el nivel de ventas que se deberá tener es:

V1= 3x12 – 3 000 = 3(40) 2 – 3 000 = 3(1 600) – 3 000 = 4 800 – 3 000 = 1 800

De ello se desprende que para un nivel de demanda de 40 es necesario que exista un nivel de ventas de 1 800.

340

Unidad 8

Figura 8.5. Incremento en el nivel de ventas.

mientras que el incremento que se da en las ventas es de 1 728, concluyéndose que para que se pueda lograr un incremento de 8 unidades en la demanda es necesario que las ventas se incrementen en 1 728 unidades.

b) De los datos:

x0 = 32; V0 = 72; x = x1 – x0 = 40 – 32 = 8

x1 = 40; V1 = 1 800; V = V1 – V0 = 1 800 – 72 = 1 728

se tiene vx

1 7288

216

Con el resul tado se observa que al incrementarse en 8 unidades la demanda, las ventas deben incrementarse en 1 728 unidades, por lo cual se deduce que al incrementarse la demanda en una unidad, las ventas deben aumentar 216 unidades.

2. Dada y = 3x2 – 2x con x = 4 y dx = 0.5, calcula dy.

Solución: a) Como y = 3x2– 2x , sea f(x) = 3x2 – 2x entonces y = f(x) y dy = f (x) dx:

f(x) = 3x2 – 2x f (x) = 6x – 2 dy = f (x) dx = (6x – 2) dx

Al sustituir los datos del problema tenemos:

dy = (6x – 2) dx = (6(4) – 2)(0.5) = (24 – 2)(0.5) = (22)(0.5) = 11 dy = 11

2

341

Matemáticas

La diferencial de y es de 11, indicando que el cambio de la variable dependiente es de 11 unidades.

3. Sean y = f(u) = 3u2 + 2u y u = g(x) = 3x + 1.

Calculemos la diferencial de la función compuesta empleando la regla de la cadena.

Solución: empleando la regla de la cadena:

y = 3u2 + 2u

dydu

u6 2

u = 3x + 1

dudx

3

La diferencial de la función compuesta es:

dy u dx u dx[( )( )] ( )6 2 3 18 6

Al sustituir u = 3x + 1 tenemos:

dy u dx x dx x dx x dx( ) ( ( ) ) ( ) ( )18 6 18 3 1 6 54 18 6 54 24

Del resultado se deduce que el cambio que existe en y es dy = (54x + 24)dx

5. Sea 6x2 + 3y2 = 9 una función implícita determinada, obtengamos dy.

Solución: como puede observarse, la función, tal y como está dada, es una función implícita, por lo que:

F(x) = 6x2 G(y) = 3y2

Diferenciamos y obtenemos:

d(6x2) + d(3y2) = d(9)

d(6x2) = 12x dx

342

Unidad 8

d(3y2) = 6y dy

d(9) = 0 Con lo anterior:

d(6x2) + d(3y2) = d(9)

12x dx + 6y dy = 0

6y dy = – 12x dx

Despejando dy = 126

2xy

dxxy

dx

La diferencial de y para la función implícita dada es dy = 2xy

dx

6. Calcul emos dy empleando la di f erenci aci ón l ogarítmi ca si y = (3x – 4)2 (x2 + 1)

Solución: aplicando logaritmos a la función:

ln y = ln((3x – 4) 2 (x2 + 1)) = 2ln (3x – 4) + ln (x2 + 1)

Diferenciamos y obtenemos dln y = 2dln (3x – 4) + dln (x2 + 1)

1y

dy = ( ) ( ) ( )21

3 43

11

22x xx dx =

63 4

212x

xx

dx

1y

dy = 6

3 42

12xx

xdx

Despejamos para obtener dy:

dy = yx

xx

dx6

3 42

12

Sustituyendo y en la fórmula, el cambio que existe en yx es:

2

343

Matemáticas

dy = (( ) ( ))3 4 16

3 42

12 2

2x xx

xx

dx

Ejercicios propuestos

1. Con la función y = f(x) = 7x2 – 4x – 2 y x0 = 7, calcula yx

si x1 = 9.

2. Dada y = 9x2 – 3x con x = 2 y dx = 0.2, calcula dy.

3. Sean y = f(u) = 6u3 + 5u2 + u y u = g(x) = 5x – 2, calcula la diferencial de la función compuesta empleando la regla de la cadena.

4. Sea 4x3 + 5y2 = 12 una función determinada, obtén por diferenciación implícita dy.

5. Calcula por diferenciación logarítmica dy si y = x

x

2

24 3

Autoevaluación

1. Sea y = f(x) = 2x2 – x + 2 con x = 25, y dx = 0.05, dy es:

a) 5.95b) 4.95c) 3.95d) 2.95

2. Si se tiene la función y = 8x2 – x con x = 3 y dx = 0.6, dy es:

a) 28.2 b) 28.7c) 27.8d) 26.8

3. La diferencial compuesta de y = f(u) = 8u2 – 2u y u = g(x) = 5x + 1 es:

a) [60(5x + 1) – 10] dxb) [80(5x + 1) – 5] dx

344

Unidad 8

c) [80(5x + 1) – 10] dxd) [60(5x + 1) – 5] dx

4. Sea 3 x + 3y2 = 5 una función determinada, la diferencial implícita dy es:

a) 1

4y xdx

b) xy

dx4

c) 1

y xdx

d) y

xdx

4

5. La diferencial logarítmica de y = 4 5

12

xx

es:

a) 4 5

11

4 5 12 2

xx x

xx

dx

b) 4 5

11

4 52

12 2

xx x

xx

dx

c) 4 5

15

4 5 12 2

xx x

xx

dx

d) ( )

( )

4 5

15

2 4 52

12 2

x

x xx

xdx

6. Una empresa determina que su función de ingresos por ventas esI = 6x3 – 4 000. Si el nivel de producción es de x = 40 artículos, ¿cuál es el cambio que se da en el ingreso cuando se producen y venden x = 50 artículos?

2

345

Matemáticas

7. Si tenemos la función y = 4x3 – 6x con x = 3 y dx = 0.3, ¿cuál es el cambio que se da en y?

8. La diferencial compuesta de las funciones y = f(u) = 6u3 + 3u y u = g(x) = 12x + 3 es:

9. Con la función 14y2 – 5x2 = 6, calcula la diferencial dy.

10. Con la función y = (6x3 – 2)(x4 + 3)2, calcula mediante diferenciación logarítmica la diferencial dy.

11. El costo que tiene una empresa para producir cierta cantidad de artículos es C = (15x2 + 1)(x3 – 3). Calcula el cambio que hay en el costo cuando se

12. Calcula la diferencial dy con la función 3x2 – 2y2 = 3.

2

347

Matemáticas

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1. yx

= 17

2. yx

= 334

3. Cx

= 6.4

4. Ix

= 175

5. Tt

= 0.84

6. yx

= –36

Ejercicio 2

1. a) dy = (8x – 3)dx b) dy = 1.3 c) dy = 0.13

2. dy = 0.02

3. dy = 1

4. dy = 1.15

5. dy = – 6

6. dy = – 0.3

348

Unidad 8

Ejercicio 3

1. dy = 6(2x – 1)2 dx

2. dy = [12x(2x2 – 1)2 + 8x(2x2 – 1)]dx

3. dy = [(2x2 + 4x + 6)(2x + 2)]dx

4. dy = 14 121 3

xx

dx( )

5. dy = 322

2 2

2

( )( )x xx

dx

Ejercicio 4

1. dyxy

dx

2. dyxy

dx23 2

3. dyxy

dx49

4. dyy

xdx

5. dc dx4 27.

6. dy = 1.622 dx

Ejercicio 5

1. dyx

x x xdx

12

12 1

12( )

2. dyxx

xx x

dx2

2

21

22

11

2

349

Matemáticas

3. dyx

x xx

xdx

3

2 243 2

4

4. dyxx

xx x

dx( )( ) ( ) ( )

2

2

12 1

12 2

5. =lnln

d Qd P

n

Respuestas a los ejercicios propuestos

1. yx

= 108

2. dy = 6.6

3. [90(5x – 2)2 + 50(5x – 2) + 5] dx

4. dyxy

dx65

2

5. dyx

x xx

xdx

2

2 24 32 8

4 3( ) ( )

Respuestas a la autoevaluación

1. b)

2. a)

3. c)

4. a)

350

Unidad 8

5. d)

6. El incremento que se da en el ingreso es 366 000.

7. dy = 9

8. dy = [216 (12x + 3)2 + 36]dx

9. dy

xy

dx5

14

10. dy x xx

xx

xdx( )( )

( ) ( )6 2 3

186 2

83

3 4 22

3

3

4

11. dC x xx

xx

xdx( )( )

( ) ( )15 1 3

3015 1

33

2 32

2

3

12. dyxy

dx32