5.1 IntroduccinLa integracin es un concepto fundamental de las matemticas avanzadas, especialmente en los campos del clculo y del anlisis matemtico. Bsicamente, una integral es una suma de infinitos suman dos, infinitamente pequeos.El clculo integral, encuadrado en el clculo infinitesimal, es una rama de las matemticas en el proceso de integracin o antiderivacin, es muy comn en la ingeniera y en la matemtica en general y se utiliza principalmente para el clculo de reas y volmenes de regiones y slidos de revolucin.

Fue usado por primera vez por cientficos como Arqumedes, Ren Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este ltimo y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del clculo integral, que propone que la derivacin y la integracin son procesos inversos.

Dada una funcin f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

es igual alreade la regin del plano xy limitada entre lagrficade f, el eje x, y las lneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las reas por debajo del eje x.

La palabra "integral" tambin puede hacer referencia a la nocin de primitiva: una funcin F, cuyaderivadaes la funcin dada f. En este caso se denominaintegral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artculo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distincin entre integrales primitivas e indefinidas.

5.2 Integral de lnea

Una integral de lnea acumula elementos a lo largo de una curva.El concepto de integral se puede extender a dominios de integracin ms generales, tales como las lneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de lnea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la fsica cuando se trata concampos vectoriales.Unaintegral de lneaes una integral donde lafuncina integrar es evaluada a lo largo de unacurva. Se utilizan varias integrales curvilneas diferentes. En el caso de una curva cerrada tambin se la denomina integral de contorno.La funcin a integrar puede ser uncampo escalaro uncampo vectorial. El valor de la integral curvilnea es la suma de los valores del campo en los puntos de la lnea, ponderados por alguna funcin escalar de la curva (habitualmente lalongitud del arcoo, en el caso de un campo vectorial, elproducto escalardel campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderacin distingue las integrales curvilneas de las integrales ms sencillas definidas sobreintervalos.

Muchas frmulas sencillas de la fsica tienen de forma natural anlogas continuas en trminos de integrales de lnea; por ejemplo, el hecho de que eltrabajosea igual a lafuerzamultiplicada por la distancia se puede expresar (en trminos de cantidades vectoriales) como:

que tiene su paralelismo en la integral de lnea

\que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y as calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a travs de un campo, como por ejemplo un campo elctrico o un campo gravitatorio.

La integral de lnea tiene varias aplicaciones en el rea de ingeniera, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de lnea de un campo escalar.En matemtica, una integral de lnea o curvilnea es aquella integral cuya funcin es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama tambin INTEGRAL DE CONTORNO.Ejemplos prcticos de su utilizacin pueden ser:

El clculo de la longitud de una curva en el espacio;El clculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una funcin (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva; tambin para el clculo del trabajo que se realiza para mover algn objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que acten sobre el mismo.

Una funcin vectorial definida endiferenciable y acotada enla parametrizacin de una trayectoria enSe llama integral de lnea de F sobrea la integral:

Una forma ms utilizada para expresar la integral de lnea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva tambin se pude expresar as:

Entonces despus de resolver el producto punto obtenemos:

5.3 Integrales iteradas dobles y triples

Integrales iteradas triples.Se llama prisma rectangular o intervalo tridimensional al siguiente subconjunto de R3:

R = [a, b] [c, d] [e, h] = {(x, y, z) 2 R3: a x b, c y d, e z h}

Donde a < b, c < d, e < h son nmeros reales fijos.Sean: D1 _ [a, b] [c, d] 7! [e, h] dos funciones continuas tales que (x, y) (x, y) para todo (x, y) 2 D1, donde D1 es un dominio simple (respecto de x o respecto de y) en el rectngulo[a, b] [c, d] del plano x, y.Hgase un dibujo en el espacio, con tres ejes coordenadas x, y, z: el dominio D1 est en el plano horizontal z = 0 y proyectndose sobre el, en el espacio, estn las grficas de las funciones(x, y) y (x, y).Consideremos el dominio D (tridimensional) contenido en el prisma rectangular R = [a, b] [c, d] [e, h] definido como:D = {(x, y) 2 D1, (x, y) z (x, y)} (1)En el dibujo realizado antes D es el slido comprendido entre las grficas de las funciones y , que se proyecta verticalmente sobre el dominio plano D1 del plano x, y.Para cada (x, y) fijos en el dominio plano D1, el segmento (bastn ) vertical _(x, y) z (x, y) est contenido en el slido D. Al mover el punto (x, y) 2 D1, este bastn vertical barre el slido D.DefinicinEl dominio D que cumple (1) se llama dominio (tridimensional) simpleRespecto de x, y, si su proyeccin D1 sobre el plano z = 0 es simple respecto de x; y se llamaDominio (tridimensional) simple respecto de y, x si su proyeccin D1 sobre el plano z = 0 esSimple respecto de y.El anlisis del solido D a continuacin debe seguirse con figuras tridimensionales, como laExplicada antes de la definicin 3.1.1:Consideremos primero el dominio (bidimensional) simple D1, simple respecto de x. Entonces,Por la definicin 3.1.1, el dominio D (tridimensional) definido en (1) es simple respecto a x, yAdquiere la forma siguiente:D = {a _ x _ b, _(x) _ y _ (x), _(x, y) _ z _ (x, y)} (1b)Se puede mirar a D de la forma que describimos ms abajo, en vez de verlo como generado por

Bastones verticales para cada (x, y) fijo en D1, que recorren D cuando (x, y) se mueve en D1. ParaCada x = x0 2 [a, b] fijo, la interseccin del solido D con el plano vertical x = x0 (este plano esPerpendicular al eje de las x) es un dominio plano, tajada o feta del solido D al cortarlo con unPlano vertical, que tiene por ecuacin:D \ {x = x0} = {(y, z) : _(x0) _ y _ (x0), _(x0, y) _ z _ (x0, y)} (1c).5.4 aplicaciones a reas y solucin de problemas

Aplicaciones a reas y solucin de problemaSuma y resta de vectores: mtodo grfico y analtico.

Cuando necesitamos sumar 2 o ms magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritmticamente. Por ejemplo, 2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2;3h + 4h = 7h; 200K + 100K = 300K. Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes tienen direccin y sentido, debemos utilizar mtodos diferentes a una simple suma aritmtica. Estos mtodos pueden ser grficos o analticos, pero ambos casos se consideran adems de la magnitud del vector, su direccin y su sentido.Resolucin de problemas de suma de vectores

Un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y despus 4km al oeste.

Calcular:

Cul es la diferencia total que recorren?

Cul es su desplazamiento?

Solucin:

Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritmticamente las dos distancias:

Dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km

para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una direccin particular entre dos puntos(el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte, representado por d1, despus el segundo desplazamiento de 4 Km. al oeste representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizaday su direccin se determina por el nguloque forma. As, encontramos que R =5 Km. con un ngulode 37 en direccin noroeste.

Descomposicin y composicin rectangular de vectores por mtodos grficos y analticos.

Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un nmero mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene un nmero mayor de vectores, el procedimiento se llama descomposicin. Si el sistema equivalente tiene un nmero menor de vectores, el procedimiento se denomina composicin.

En la siguiente, se muestra un vector a cuyo punto de aplicacin se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector a trazamos una lnea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y, los vectores a x y a y as formados, reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector a.se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si un ngulo (90).

Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composicin. Un ejemplo: encontrar grfica y analticamente las componentes rectangulares del siguiente vector.

Solucin por mtodo grafico

Para encontrar de manera grafica las componentes rectangulares o perpendiculares del vector, primero tenemos que establecer una escala. Para este caso puede ser: 1cm = 10N

Trazamos nuestro vector al medir el ngulo de 30 con el transportador. Despus a partir del extremo del vector, trazamos una lnea perpendicular hacia el eje delas X y otra hacia el eje de las Y. en el punto de interseccin del eje X quedara el extremo del vector componente Fx. En el punto de interseccin del eje Y quedara el extremo del vector componente Fy. En ambas componentes su origen ser el mismo que tiene el vector F = 40N, el cual estamos descomponiendo:

Par encontrar el valor de la componente en X del vector F o sea Fx, basta medir con regla la longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso mide aproximadamente 3.4cm que representan 34N.Para hallar el valor de la componente de Y del vector F o sea Fy, es suficiente medir con la regla la longitud, y segn la escala encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de 20N.

Solucin por mtodo analticoCalculo de Fy:Sen 30 = cateto opuesto = FyHipotenusa FDespejemos Fy: Fy = F sen 30 = 40N x 0.5 = 20NCalculo de Fx: Cos 30 = cateto adyacente = Fx Hipotenusa FDespejemos Fx: Fx = F cos 30 = 40N x 0.8660 = 34.64N

Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de Fy Y Fx de manera grfica y analtica, encontraremos una pequea diferencia. Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes grficamente estamos expuestos a cometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes. En cambio, de manera analtica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es obtenido con mayor precisin

Algunas integrales dobles son mucho ms fcil de calcular en forma polar que en formarectangular. Esto es especialmente cierto para regiones circulares, en forma de cardiode o deptalo de curvas derosa, y paraintegrados donde aparezcax2 +y2.La relacin entre Las coordenadas polares ( r, 0 )y las rectangulares ( x,y ) de un punto, a saberX=rcos0ey=rsen0R2 =x2+y2ytg0=y/xPara definir la integrar doble de una funcin continua = f ( x,y ) en coordenadas polares,consideremos una regin R acotada por las graficas de r= g 1 (0 ) y r= g2 ( 0 )y por las rectas 0= x0 =B. Envez dedividir R en pequeos rectngulos, ladividimos enpequeossectorespolar formadopor semirrectasradiales y crculos. Los sectores polares R1 cuya norma //A //esla diagonal mas grande entre todas lasde sus sectores polares.

5.6 Definir las coordenadas cilndricas.Son un sistema de coordenadas para definir la posicin de un punto del espacio mediante un ngulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la direccin del eje. Es una extensin de las coordenadas polares para tres dimensiones. Representar grficamente las coordenadas cilndricas.L a representacin de coordenadas cilndricas de un punto (r, , z), donde r y son las coordenadas polares de la proyeccin de P en plano polar y z es la distancia dirigida desde el plano hasta P.

Escribir las formulas para transformar las coordenadas rectangulares a cilndricas y de cilndricas a rectangulares y hacer un ejemplo de cada uno.x = rCos , y = rSen , z = z.r2 = x2 + y2, tan = x/y, z = z.Ejemplo 1.Obtenga una ecuacin en coordenadas cartesianas para la superficie cuya ecuacin se ha expresado en coordenadas cilndricas, e identifique la superficie: r = 6Sen.r = 6Sen. (r)r2 = 6rSen.x2 + y2 = 6y.x2 + (y - 3)2 = 9.Es un cilindro circular recto, cuya seccin transversal en el plano xy es la circunferencia con centro (0, 3) y radio 3.Ejemplo 2.Obtenga una ecuacin en coordenadas cilndricas para la superficie cuya ecuacin se ha dado en coordenadas cartesianas, e identifique la superficie: x2 - y2 = z.x2 - y2 = z.r2Cos2 - r2Sen2 = z.Cos2 - Sen2 = Cos2.r2Cos2 = z.La grafica es un paraboloide elptico. Mencionar y explicar los casos de coordenadas cilndricas, representarlo grficamente cada uno de ellos y hacer un ejemplo de cada caso. Definir el sistema de coordenadas esfricas.Se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posicin espacial de un punto mediante una distancia y dos ngulos. Representar grficamente las coordenadas esfricas.La representacin en coordenadas esfricas de un punto P es (, , ), donde = |OP|, es la medida en radianes del ngulo polar de la proyeccin de P en el plano polar y es la medida en radianes no negativa del ngulo menor medido desde la parte positiva del eje z a la recta OP.

Escribir las formulas para transformar las coordenadas de rectangulares a esfricas, de cilndricas a esfricas, esfricas a cilndricas y de esfricas a rectangulares hacer un ejemplo de cada uno.Rectangulares a esfricas, ,Cilndricas a esfricas, ,Esfricas a cilndricas, ,Esfricas a rectangularesEjemplo 1. (Rectangulares a esfricas)Una ecuacin cartesiana para el plano 3x + 2y + 6z = 0. Utilizando las formulas ya antes mencionadas esta ecuacin se hace directamente sustituyendo.3x + 2y + 6z = 03 Sen Cos + 2 Sen Sen + 6 Cos = 0.

5.7SISTEMA CARTESIANO

Un sistema bidimensional de coordenadas rectangulares o cartesiano es usado para asociar pares ordenados de nmeros reales con los puntos de un plano.El nombre es debido al filsofo matemtico francs Ren Descartes quien, junto con Pierre Fermat, sent las bases de la geometra analtica, la cual constituye un punto de apoyo del anlisis matemtico.

El sistema cartesiano es aquel que esta formado por dos lneas, una horizontal y otra vertical, que se cruzan en su origen.El eje horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas y el vertical eje Y o eje de las ordenadas.La coordenada "x" es la que indica la direccin y distancia del punto que se graficara hacia la derecha o izquierda del eje Y.La coordenada "y" es la que indica la direccin y distancia del punto P hacia arriba o abajo del eje X.

Los ejes coordenados al cortarse determinan en el plano cuatro regiones, estas regiones son llamadas "cuadrantes" y el punto de corte "origen de coordenadas".

Hacia la izquierda y hacia abajo seconsideran coordenadas negativas.Se conoce como cuadrante I donde los valores (x, y) son ambos positivos, donde (x, y) son negativo y positivo es el cuadrante II, donde (x, y) son ambos negativos es el cuadrante III; y donde (x, y) son positivo y negativo es el cuadrante IV.Frecuentemente se presentan los ejes con una graduacin que facilitan ubicar puntos en el plano cartesiano dadas sus coordenadas rectangulares.

Observe que hay una correspondencia uno a uno entre los puntos del plano cartesiano y los elementos del conjunto de todos los pares ordenados de nmeros reales. Esto se conoce como el teorema fundamental de la geometra analtica.

SISTEMA CILINDRICO

Las coordenadas cilndricas son un sistema de coordenadas para definir la posicin de un punto del espacio mediante un ngulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la direccin.Este sistema es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetra de tipo cilndrico o acimutal. Se trata de una versin en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometraanaltica plana.

Las coordenadas cilndricas constituyen una generalizacin de las coordenadas polares del plano, a base de extenderlas al espacio paralelamente a una recta (el eje ), perpendicular al plano , como sigue:

La coordenada radial, , es la distancia (en valor absoluto) del punto al eje .La coordenada acimutal, , es el ngulo que la proyeccin del vector de posicin sobre el plano forma con el eje .La coordenada vertical, , es la distancia (con signo) al plano.

A diferencia de las distancias en cartesianas, que tienen un signo indicando a qu lado del plano se encuentran, la coordenada radial cilndrica es siempre positiva.

SISTEMA ESFERICOSe utiliza para determinar la posicin espacial de un punto mediante una distancia y dos ngulos.El sistema de coordenadas esfricas se puede definir utilizando las siguientes variables r, rho, theta, donde rho se mide desde el eje Z y theta desde el eje X.Las relaciones entre r, rho, theta y x, y, z son las siguientes:

x=r*sin(rho)*cos(theta)y=r*sin(rho)*sin(theta)z=r*