Calculo vectorial

Trabajo de investigacinUnidad 2 y 3

Nombre del Profesor: Miguel ngel Lpez Ensastiga

Nombre de los integrantes:Gonzales Osorno VicenteHernndez nava AndrsNues crdoba Jos David

25/MAYO/2013TURNO: MATUTINOGRUPO: 3SIS1

UNIDAD 2 Curvas en R2 yEcuacionesParamtricas

2.1 Ecuacin paramtrica de la lnea recta

La recta constituye una parte fundamental de las matemticas. Existen numerosas formas de representar una recta, lo que incluye tantola formapara mtricacomo la vectorial. Un espacio tridimensional puede ser utilizado para determinar una ecuacin vectorial que denote una lnea recta. El parmetro es sencillamente una variable cuyo objetivo principal es describir una relacin particular con la ayuda de los parmetros. Por tanto, una ecuacinpara mtricaes una ecuacin que est basada en una variable en particular. Una ecuacinpara mtrica en trminos generales, se conoce tambin como representacinpara mtrica Ejemplo: Considere la ecuacin x = 2 + 3t. En esta ecuacin, t denota el parmetro y la ecuacin se conoce como ecuacinpara mtricaen trminos de t.Si as consta, por lo general, las ecuaciones de la forma x = x0 + ta; y = y0 + tb; z = z0 + tc representan las ecuacionespara mtricasde lnearecta. Para conseguir un punto particular en la recta, todo lo que tenemos que hacer es tomar el valor de t de cualquiera de las ecuaciones e insertarlo en otra ecuacin. Como resultado, obtenemos las coordenadas reales de un punto determinado en la recta. Consideremos un ejemplo con el fin de encontrar una ecuacinpara mtricapara una recta entre los puntos (1, 3) y (1, 1).Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (1, 3) como punto inicial.Paso 2: Ahora, tomemos las coordenadas x para los rangos indicados. Es posible observar que 1 est a 2 unidades de distancia del 1. Por tanto, x = 1 + 2tPaso 3: Del mismo modo, teniendo en cuenta las coordenadas y para los rangos indicados, es posible ver que el 3 est a 2 unidades de distanciadel 1. Por tanto, y = 3 - 2t. Por consiguiente, las ecuacionespara mtricaspara la recta entre los puntos (1, 3) y (1, 1) son x = 1 + 2t e y = 3 - 2t. Otra forma de ecuacinpara mtricaen el campo del clculo vectorial se denomina ecuacin vectorial. El clculo de la ecuacin vectorial se basa en el concepto del clculo de la ecuacinpara mtrica. Por ejemplo: Suponga que queremos encontrar una ecuacin vectorial para una lnea entre los puntos (1, 3) y (1, 1).Se procede de la siguiente manera:Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (1, 3) como punto inicial.Paso 2: Un vector de direccin es calculado. Es el vector que muestra movimiento desde el punto inicial hasta el punto final. Ahora, con el fin de alcanzar al punto (1, 1), debemos mover a x e y a 2 y 2 unidades, respectivamente. Por tanto, el vector de direccin viene a ser (2, 2).Paso 3: Por consiguiente, la ecuacin vectorial toma la forma de: (1, 3) + (2, 2) t.La principal diferencia entre la ecuacinpara mtricay la vectorial de la recta es el hecho de que con la ayuda de la ecuacin vectorial de la recta, la forma del vector es conocida, mientras que la formapara mtricaayuda a conocer las coordenadas reales del punto.

2.2 Curvas planas.CURVA PLANAUna curva plana es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada. La representacin grfica de una funcin real de una variable real es una curva plana.Una curva geomtrica mente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el trmino curva por oposicin a recta o lnea poligonal, habra que excluir de esta nocin los casos de, aquellas lneas que cambian continuamente de direccin, pero de forma suave, es decir, sin formar ngulos. Esto las distingue de las lneas rectas y de las quebradas. Estaran fuera de esta nocin los casos de movimiento rectilneo. Sin embargo, utilizando la definicin matemtica, una lnea recta es un caso.Particular de curva. Curva: Es el caso lmite de poligonal en que los saltos discretos de los segmentos son infinitesimales. Tambin en este caso se dice curva plana, tambin llamada de simple curvatura por el ngulo de contingencia, si tiene todos sus puntos en un mismo plano; y curva alabeada, llamada de doble curvatura por los dos ngulos el de contingencia y el de torsin, en caso que todos sus puntos no estn en un mismo plano.A continuacin se van a definir las principales caractersticas de las curvas planas. La recta secante de una curva es la que une dos puntos de la curva separados una distancia finita. El orden de una curva es el nmero mximo de puntos de corte con una secante. En la figura se muestra una curva de 4 orden.

La recta tangente a una curva en un punto es el lmite a que tiende la secante cuando los dos puntos de corte tienden a confundirse. De esta forma la tangente puede ser de primera especie cuando el punto de tangencia est quieto y el otro se aproxima al primero, de segunda especie cuando los dos puntos se aproximan simultneamente hacia el de tangencia.

La clase de una curva es el nmero mximo de tangentes que se pueden trazar desde un punto exterior. Por ejemplo, la circunferencia es una curva de clase dos.La recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente por el punto de tangencia. Segn esta definicin por un punto de la curva existirn infinitas normales. Para las curvas planas la ms importante de estas normales es la coplanaria con la curva, que es la normal principal.ECUACIONES PARAMTRICASReciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, estn expresadas en funcin de la misma tercera variable. Segn esto, designando por la letra z la tercera variable, comnmente llamada variable paramtrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general:x = F (z)y = F (z)Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramtricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos.Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramtricas.En forma directa se le asignan valores ordenados al parmetro con lo cual las ecuaciones paramtricas determinan los valores correspondientes a x, y, que representan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos as determinados resulta una curva, que es la representacin grfica de las ecuaciones para mtricas.

Ecuaciones de una recta en el espacio.Sea A (a1, a2, a3) un punto cualquiera del espacio tridimensional y un vector del mismo. La ecuacin de la recta que pasa por el punto A y tiene la direccin del vector, puede adoptar las siguientes formas:a. Vectorial:

Donde son los vectores de posicin (con origen en el centro de coordenadas) de un punto genrico de la recta y del punto A respectivamente, y t es un parmetro al que dando valores cualesquiera vamos obteniendo diversos de los infinitos puntos de la recta.Grficamente la situacin es la representada en la figura siguiente:

b. Paramtricas: Adoptan la forma:

c. Continua:

d. Explcitas:

Que representan la recta como la interseccin de dos planos en el espacio. Problemas tpicos sobre las ecuaciones de la recta.a. Recta que pasa por dos puntos A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3): Tomamos A como punto base de la recta y el vector como vector director con lo que ya podemos escribir las paramtricas y derivar de ellas las dems formas.b. Determinar si tres puntos A, B y C estn alineados: Escribimos la ecuacin de la recta que pasa por dos de ellos y comprobamos si el tercero satisface dicha ecuacin.c. Recta que corta a otras dos r y s, perpendicularmente: Ponemos r y s en paramtricas. Obtenemos de cada una un punto genrico (A y B respectivamente) y el vector director respectivo. Hallamos las componentes del vector. Como este vector ha de ser ortogonal a , los productos escalares siguientes ern nulos:

Y del sistema de ecuaciones formado podemos despejar los dos parmetros. Sustituyendo los valores hallados para los parmetros en las expresiones genricas de A y B, obtenemos estos puntos. Calculamos la recta que pasa por A y B como se ha descrito en el apartado b)

Ecuaciones del plano en el espacio.Para determinar un plano en el espacio necesitamos conocer:1. Un punto del mismo A y dos vectores directores linealmente independientes. 2. Tres puntos A, B y C no alineados. 3. Un punto A y un vector normal al plano. Las diferentes formas de ecuaciones del plano en el espacio afn tridimensional son:a. Vectorial:

Donde en la siguiente figura se observa el significado de cada uno de los elementos y p, q son dos parmetros dando valores a los cuales obtenemos sucesivos puntos del plano:

b. Paramtricas:

c. Implcita o general:

Donde el vector es perpendicular (normal) al plano.d. Segmentara o cannica: Si el plano corta a los ejes de coordenadas en los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuacin adopta la forma: Problemas tpicos de ecuaciones del plano.1. Recta que pasa por un punto y es perpendicular a un plano. El vector normal al plano es el vector director de la recta.2. Ecuacin del plano determinado por tres puntos A, B y C: Basta tomar como base uno de los puntos, por ejemplo el A y los vectores como directores. O bien resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas (A, B y C) formado al sustituir las coordenadas del los tres puntos en la ecuacin general del plano buscado, despus de haber obtenido uno de los coeficientes como unidad.3. Ecuacin de un plano paralelo a otro por un punto dado: Al ser los dos planos (el dado y el buscado) paralelos, ambos tendrn el mismo vector normal, por lo que bastar escribir iguales los coeficientes A, B y C de la ecuacin implcita y determinar D sustituyendo las coordenadas del punto dado.4. Plano que contiene a una recta r y a un punto A exterior a la recta: Hallamos un punto B de r y su vector director. Entonces el punto A lo tomamos como base y los vectores como directores del plano.5. Haz de planos secantes a una recta: Dada la recta:

Los infinitos planos que pasan por ella (haz de planos de arista r) son:

Donde para cada valor del parmetro obtenemos un plano del haz.

Posiciones relativas de dos rectas.Sean las rectas:

Al tratar de encontrar los posibles puntos de interseccin de ambas hay que resolver el sistema de 4 ecuaciones con tres incgnitas:

Y segn el Teorema de Rouch, teniendo en cuenta que y que , siendo A y B las matrices de los coeficientes y ampliada respectivamente, pueden ocurrir los siguientes casos: . Sistema incompatible. Las rectas se cruzan en el espacio. . Sistema compatible y determinado. Las rectas se cortan en un nico punto. . Sistema incompatible. Las rectas son paralelas. . Sistema compatible e indeterminado con un grado de libertad. Las rectas son coincidentes.

Posiciones relativas de una recta y un plano.Sean la recta y el plano:

Al tratar de resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas:

Pueden darse los siguientes casos: . Sistema compatible y determinado. La recta y el plano se cortan en un nico punto. . Sistema incompatible. La recta y el plano son paralelos. . Sistema compatible e indeterminado con un grado de libertad. La recta est contenida en el plano.

Posiciones relativas de dos planos.Sean los planos:

Al tratar de resolver el sistema de dos ecuaciones con tres incgnitas:

Pueden darse los siguientes casos: . Sistema compatible e indeterminado. Los planos se cortan en una recta. . Sistema incompatible. Los planos son paralelos. . Sistema compatible e indeterminado con dos grados de libertad. Los planos son coincidentes.

Posiciones relativas de tres planos.Del estudio del sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas que forman las ecuaciones implcitas de los tres planos, podemos obtener los siguientes casos: . Sistema compatible e indeterminado con 2 grados de libertad. Los 3 planos coinciden:

. Sistema incompatible. Los planos son, o dos coincidentes y el otro paralelo, o los tres paralelos:

Sistema compatible e indeterminado con un grado de libertad. Los planos se cortan en una recta los tres o bien, dos son coincidentes y el otro se corta con ellos en una recta:

Sistema incompatible. Los planos pueden ser dos paralelos y otra secante a ambos o los tres formando una superficie prismtica:

. Sistema compatible y determinado. Los tres planos se cortan en un nico punto:

Distancia entre dos puntos.La distancia entre los puntos A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3) es:

Distancia de un punto a una recta.Si A es un punto de la recta y su vector director y adems P es el punto exterior, la distancia de P a r es: Siendo el numerador el mdulo del producto vectorial. Distancia de un punto a un plano.Sean:

Y P (p1, p2, p3)La distancia entre ambos es:

Distancia entre dos rectas.Si las rectas son secantes o coincidentes, su distancia es nula. Si son paralelas o se cruzan puede ocurrir: paralelas: basta calcular un punto de una de ellas y la distancia entre l y la otra. Se cruzan: Sean A y B dos puntos de r y s respectivamente y Sus vectores directores, se tiene que: Siendo el numerador el mdulo del producto mixto y el denominador el mdulo del producto vectorial. Distancia de una recta a un plano.Es la distancia entre un punto de la recta y el plano (slo en el caso de que ambos sean paralelos), pues en los dems casos la distancia es nula. Distancia entre dos planos.Si no son paralelos la distancia es nula. Si lo son, la distancia se calcula obteniendo un punto del primero y averiguando su distancia hasta el segundo. ngulo de dos rectas.Si las rectas son secantes o se cruzan, el ngulo ser el mismo que el formado por sus vectores directores y habr de cumplir:

ngulo de recta y plano.Si la recta es secante al plano el ngulo que forman es el complementario del que forman el vector normal al plano y el director de la recta, esto es:

ngulo de dos planos.Si son secantes es ngulo es el mismo que formen sus vectores normales, es decir:

Problemas tpicos en el espacio mtrico.1. rea del paralelogramo ABCD Ser:

2. rea del tringulo ABC:

3. Volumen del paraleleppedo ABCDEFGH:

4. Volumen del tetraedro ABCD:

Simetras.a. Simtrico de un punto A respecto a una recta: Hallamos el plano perpendicular a r por A Hallamos el punto M de corte de la recta con el plano. Hallamos A' con la condicin de que M sea el punto medio del segmento AA'. a. Simtrico de un punto respecto a un plano: Hallar la recta r perpendicular al plano por A. Hallar el punto M de corte de r con el plano Hallar A' con la condicin de que M es el punto medio del segmento AA'.

2.3 Ecuaciones paramtricas de algunas curvas y su representacin grfica.

ECUACIONES PARAMTRICASSi en la ecuacin vectorial se sustituyen los vectores por sus coordenadas, queda as: (x, y) = (p1,p2) + t (d1,d2) Expresando por separado cada coordenada se obtiene las ecuaciones paramtricas:

(x,y) son las coordenadas de un punto cualquiera desconocido de la recta (p1,p2) son las coordenadas de un punto conocido de la recta (d1,d2) son las coordenadas de un vector paralelo a la recta t es un parmetro. Para cada valor que le demos a t se obtiene un punto (x,y) de la recta.La recta queda determinada por un punto fijo P0 y un vector ^v = a^i + b^j + c^k, el conjunto de los puntos P, tales que PoP es paralelo a ^v, es decir, que satisfacen d(P0, P) = t^v para algn nmero real t. Si r = OP y r0 = OP son los vectores de posicin de P y P0, respectivamente, entonces: P0P = t^v P0P = r r0 r = r0 + t^v (1) Si escribimos r = (x, y ,z) y r0 = (x0, y0. z0) e igualamos los componentes en (1) tenemos, x = x0 + at; y = y0 + bt ; z = z0 + ct

Y stas se denominan ecuaciones paramtricas

Si despejamos t de las ecuaciones paramtricas obtenemos las ecuaciones simtricas o estndar: (X x0) / a = (y y0) / b = (z z0) / c

2.4 Derivada de una funcin dada paramtricamente.

El siguiente teorema nos proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una funcin dada en forma paramtrica.TeoremaSean f y g funciones derivables supongamos que f tiene una inversa Derivable en ese intervalo.

Entonces en cada punto donde f(+) 0, las ecuaciones, implican

que existe una funcin derivable F tal que, y adems Ejemplos: 1. Determine

Solucin: Por el teorema anterior se tiene que

Luego: Por lo que

2. Determinar los puntos de la curva con ecuaciones en los que es cero la pendiente de la recta tangente a la curva. Solucin:

Recuerde que la pendiente de la recta tangente est dada por. Como entonces

La pendiente de la recta tangente es cero cuando, en este caso

2.5 Coordenadas polares.

DEFINICION: Las Coordenadas son grupos de nmeros que describen una posicin: posicin a lo largo de una lnea, en una superficie o en el espacio. La latitud y longitud o la declinacin y ascensin recta, son sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera: en el globo de la Tierra o en el globo de los cielos. Las coordenadas polares.- se definen por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto considerado, mientras que la segunda es el ngulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos. En muchos casos, es til utilizar las coordenadas cartesianas para definir una funcin en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy complicado, hacer uso de las coordenadas polares o esfricas puede simplificarnos mucho la vida.

Otra forma de determinar numricamente un vector es indicando su intensidad y el ngulo que forma con el eje de abcisas: son las coordenadas polares de un vector. Al determinar sus coordenadas cartesianas es inmediato, ya que en la figura x= r*cos (deg) y y=r*sen (deg), donde r es la intensidad del vector y deg el ngulo que forma con el eje de abcisas.

Las coordenadas cartesianas (x, y) no son la nica forma de designar un punto P en el plano con un par de nmeros. Existen otras formas y pueden ser ms tiles en circunstancias especiales.

Un sistema (llamado de "coordenadas polares") usa la longitud r de la lnea OP desde el origen hasta P y el ngulo que forma esa lnea con el eje x. Los ngulos se denominan, a menudo, con letras griegas y aqu seguimos las convenciones designndolo como (f griega). Observe que mientras en el sistema cartesiano x e y tiene roles muy similares, aqu estn divididos: r denota la distancia y la direccin.Las dos representaciones estn muy relacionadas. De las definiciones de seno y coseno:

x = r cos

y = r sin

Esto permite que (x, y) se deduzcan de las coordenadas polares. Para ir en sentido inverso y deducir (r, ) de (x, y), observe que de las ecuaciones superiores o del teorema de Pitgoras se puede deducir r: r2 = x2 + y2 Una vez que se conoce r, el resto es fcil

cos = x/r

sin = y/r

Estas relaciones solo fallan en el origen, donde x = y = r = 0. En ese punto, est indefinido y se puede escoger para l lo que uno quiera. En el espacio tridimensional, la designacin cartesiana (x, y, z) es exactamente simtrica, pero algunas veces es conveniente seguir el sistema de coordenadas polares y designar la distancia y la direccin por separado. La distancia es fcil: se toma la lnea OP desde el origen hasta el punto y se mide su distancia r. tambin puede deducirse del teorema de Pitgoras, como en este caso: r2 = x2 + y2 + z2

2.6 Graficacin de curvas planas en coordenadas polares.

GRAFICAS DE ECUACIONES POLARES.Veamos la siguiente grfica:

De ella podemos decir que x = rCos() , y = rSen(), por tanto, podemos representar el punto P(x, y)mediante otro sistema denominado coordenadas polares que toma en cuenta la magnitud r y el ngulo , as, el punto P(x, y) lo podemos escribir como P(r, ).

UNIDAD 3 Funciones vectoriales de una variable real

3.1 Definicin de funcin vectorial de una variable real.

Utilizando coordenadas cartesianas, una funcin vectorial A ( t ) es un vector dependiente de la variable escalar t y definido en el espacio x, y, z, o sea:A( t ) = Ax( t )i + Ay( t )j + Az( t )k Por lo tanto todos los conceptos y definiciones de las funciones ordinarias son aplicables a las funciones vectoriales hacindolo a cada una de las componentes del vector.

Definicin de una funcin vectorialEs la coleccin de pares ordenados (t,V) donde t es un nmero real y V es un vector de tercera dimensin. Como es usual, no hay dos pares que tengan el mismo primer elemento.Es una representacin de una fuerza par que se grafica independientemente de las variables dependientes o constante ah consideradaConsiste en una representacin de una integral indefinida en el plano cartesiano con muchas variables aleatorias que se tienen que tomar en consideracinTenemos que pensar que las variables de una funcin no se pueden definir desde un patrn de comportamiento de comportamiento eminentemente probabilsticaNo se pude considerar como una definicin categrica de las variables involucradas en el tema visto con anterioridad sin perder de vista la fase en tercera dimensin. Definicin de una funcin vectorialEs un conjunto de pares ordenado, donde nunca se repite el primer elementoEs una fuerza centrpeta que genera un solo primer elemento de distorsinEs una relacin equipolente de varias variables con relacin a una funcin cartesiana.Es una sola fuerza que acta en el plano de tres dimensiones con variables aleatorias constantesNo se puede considerar una definicin acertada que se pueda comparar con las dems Definicin de funcin vectorialSe conceder un conjunto de pares ordenado, donde el primer electo no se repiteSe conceder una fuerza centrpeta que tiene como centro de gravedad una variableSe conceder una integral doble en combinacin de una solo transformada de la placeSe toma en cuenta las caractersticas de la las funciones impares y pares y su punto de inflexinE solamente tiene en cuenta las fases de los puntos de inflexin y concavidades

Definicin de funcin vectorialDado dos pares ordenado de puntos, no pueden tener el mismo primer elementoDado una fuerza desconocida no puede saberse el punto de aplicacin de tal puntoDado una integral definida no se puede conocer el proceso de integracin Dado una permutacin es posible asociar una idea de una variable disfuncionalCon ese criterio no se puede conocer la variable aleatoria simple de la transformacin Definicin de funcin vectorialContiene una coleccin de pares ordenados, donde no se puede tener un mismo primer elemento.Se puede tomar como una combinacin circular que nos da una trasformada de la placeEs una fuerza que tiene que ver mucho con el movimiento de los planetas del sistemaEs una relacin de fuerzas encontradas que tiene que parecerse a las probabilidades aleatoriasNo se puede definir con absoluta certeza de los conceptos que se tiene en este momento

3.2 Graficacin de curvas en funcin de parmetro t

El sistema de coordenadas polares no es muy diferente de un sistema de coordenadas Cartesianas. Mientras en un sistema de coordenadas Cartesianas tenemos una cuadrilla rectangular de rectas verticales y horizontales que representan los ejes x e y respectivamente, en un sistema de coordenadas polares tenemos un polo en el centro el cual es equivalente al origen en el sistema de coordenadas Cartesianas, y tenemos muchos crculos concntricos que tienen su origen en el polo y algunas rectas que pasan por el polo formando ngulos diferentes en el mismo.

La longitud de estas rectas forma la coordenada radial del sistema, es decir, r y el ngulo en el cual subtienden con respecto al eje x forma las coordenadas polares del sistema, esto es, t, el cual est en radianes. Por lo tanto, el sistema de coordenadas polares est representado por un par de coordenadas tales como (r, t).

Una curva polar slo puede ser graficada en un sistema de coordenadas polares para alcanzar precisin. Trazar una curva polar es muy parecido a trazar una curva Cartesiana. Es necesario tomar en cuenta dos tcnicas mientras grafica una curva polar, la primera, y bastante frecuente, es el trazado de los puntos y, la segunda, comprobar la simetra de la curva.

La mayor parte de las curvas polares son simtricas en los cuadrantes opuestos y por tanto, pueden graficarse completamente solo por simetra. El trazado del punto se realiza de forma similar al del sistema de coordenadas Cartesianas. En un sistema de coordenadas Cartesianas, se calcula sencillamente la salida de la curva para diferentes valores de x, y en un sistema de coordenadas polares calculamos la salida de la curva para diferentes valores de t. La salida son los diferentes valores de r.

Existen algunas pruebas que pueden realizarse con el fin de comprobar la simetra de la curva:

1. Calcule la salida de la curva para un valor opuesto de t, el cual ya est trazado. Si el valor resulta ser equivalente a la salida del valor real de t, entonces la curva es simtrica respecto al eje polar.

2. Sustituya t con un valor opuesto a ella y, r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuacin equivalente como la anterior, la curva dada es simtrica con respecto a t = / 2.

3. Sustituya a r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuacin equivalente igual a la anterior, la curva dada es simtrica alrededor del polo.

Existen varias curvas que son estudiadas fundamentalmente bajo este sistema. Algunas de estas son los cardiodes, los caracoles de Pascal, la Rosa polar, la espiral equiangular etc.

3.3 Derivacin de funciones vectoriales y sus propiedades.

El clculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido tambin para ser aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una funcin vectorial, es en realidad, una funcin compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funciones constituyentes es una funcin independiente que determina el efecto del cambio de variable en su direccin correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a travs de la funcin compuesta, esta es la funcin vectorial.Puesto que una funcin vectorial es una funcin compuesta, esta no puede ser diferenciada directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cada una de sus funciones constituyentes por separado. Las tcnicas utilizadas para integrar una funcin Cartesiana se pueden aplicar para diferenciar una funcin vectorial debido a que las funciones constitutivas de la misma son funciones valoradas reales.Asuma que es la funcin vectorial que ser diferenciada para obtener dr/dt o . Aqu la diferenciacin se lleva a cabo con respecto al tiempo t porque una funcin valorada vectorial se define con respecto a la variable tiempo. Entonces la derivada de esta funcin se denota como,lim = [ (t + h) - (t)]/ hLos conceptos del clculo Cartesiano son aplicables aqu tambin, lo que significa que esta derivada de la funcin vectorial representara la tangente a la curva de la funcin dada en algn punto.Hay ciertas cosas que deben tenerse en cuenta mientras se diferencia la funcin: 1. (t) es real en el tiempo t slo existe una derivada de en t.2. Para un intervalo abierto (a, b) si el valor de (t) existe en cada punto, entonces podemos decir que la funcin dada es diferenciable para ese intervalo.Al considerar los lmites de un lado esta diferenciacin se puede extender tambin al intervalo cerrado.Ahora diferenciemos una funcin valorada vectorial.(t) = t cos (t), 2 sin (t)>f(t) = t cos (t) g(t) = 2 sin (t) d(f(t))/ dt = cos (t) t sin (t) d(g(t))/ dt = 2 cos (t) (t) = < cos (t) t sin (t), 2 cos (t)Existen ciertas propiedades de la derivada de una funcin vectorial. Algunas de ellas se analizan a continuacin.Asuma que y son dos funciones vectoriales cuya derivada se puede determinar en el instante de tiempo t. Tambin que es una funcin valorada real que puede ser diferenciada en el instante de tiempo t, y que s es una cantidad escalar. Entonces,1. La diferenciacin del producto de una cantidad escalar con una funcin vectorial es producto de esa cantidad escalar con la derivada de la funcin vectorial.2. La diferenciacin de la suma de dos funciones vectoriales valor es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones vectoriales.Esta regla tambin es aplicable a la diferencia de dos funciones valoradas vectoriales.3. La diferenciacin del producto de una funcin vectorial y una funcin valorada real es igual a la suma del producto de la funcin real con la derivada de la funcin vectorial y la derivada de la funcin real con la funcin vectorial.

3.4 Integracin de funciones vectoriales.

Integrales.

(4.49)

Integracin vectorial Si un vector a es funcin de un escalar t, y sus componentes son funciones integrables, se define la integral indefinida de a (t) como

De manera que, en general,

En donde c es un vector arbitrario y constante (que no depende de t).La integral definida de la misma funcin vectorial a (t) entre los lmites a y b ser

De manera que, en general,

3.5 Longitud de arco.

Longitud de arco

Vamos a calcular la longitud de una curva en un intervalo cuya derivada sea continua en; a esta porcin de grfica se le llama arco.

Para aproximar la longitud del arco s se va a usar ahora segmentos de recta que aproxime la longitud en cada intervalo. Se hace una particin (puede ser regular) del intervalo; para P y para P de manera que el segmento PP tiene longitud calculada por el teorema de Pitgoras

Si se suma la longitud de cada segmento, PPPP,., PP se obtiene una aproximacin a la longitud total s.

Para poder ahora tomar el lmite de la suma cuando la norma de la particin, utilizaremos que la funcin es derivable y continua en (condicin que se puso para que fuera un arco) y por lo tanto lo es en cada subintervalo por lo que satisface el teorema del valor medio.

Luego existe tal que remplazando s . Si s Ejemplo 1: Encontrar la longitud del segmento de parbola en el intervalo s . Resolviendo ahora con

s (Unidades lineales) Ejemplo 2 : Encontrar la longitud de la curva Como y no es contnua en el intervalo propuesto, podemos utilizar el hecho de que la longitud de la curva ser la misma para (es prcticamente utilizar la inversa) y ahora con lo cual s que es la calculada en el ejemplo1.

Ejemplo 3: Calcular la longitud de la curva para Pero no se puede encontrar antiderivada de por lo tanto se puede Aproximar con algn mtodo numrico como Regla de Simpson con, o (ejercicio) Si llamamos s(x) la funcin longitud de arco para un arco s(x) s s

3.6 Vector tangente, normal y binormal.

VECTOR TANGENTE, NORMAL Y BINORMALVector tangente unitario y vector normal unitario principal: sea C una curva en el espacio descrita por r (t) = f (t) + g (t) +H (t) k, en donde f g y h tienen segundas derivadas.

Vector tangente unitario T = r (t) / r (t)Vector binormal unitario.- Vector unitario definido mediante B = T X NLos tres vectores unitarios T, N, B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientacin derecha, llamado triedo mvilRadio de curvatura.-El reciproco de la curvatura, p = 1/k se llama radio de curvatura. El radio de curvatura en un punto p de una curva es el radio de una circunferencia que se ajusta a la curva mejo que cualquier otra.

Por ejemplo, un automvil que recorre una pista curvada. Puede considerarse que se mueve sobre una circunferencia.

3.7 Curvatura.En la forma cartesiana La expresin cartesiana de la curvatura de la curva es:

En la forma paramtrica La expresin paramtrica de la curvatura formando la curva como es:

3.8 Aplicaciones.

Las relaciones entre rapidez, longitud de arco y aceleracin hacen acto de presencia en muchos problemas prcticos de fsica y de ingeniera, en particular cuando acta una fuerza de rozamiento.Supongamos un mvil de masa m en contacto con un objeto estacionario, la fuerza total requerida para producir una aceleracin a a lo largo de una cierta trayectoria es

La porcin de esta fuerza que es ejercida por el objeto en reposo se llama fuerza de rozamiento(o de friccin).As, si un automvil toma una curva a una velocidad constante, la carretera ejerce una fuerza de rozamiento que impide que el automvil se salga de ella. Si el coche no desliza, la fuerza de rozamiento es perpendicular a la direccin del movimiento y su magnitud es igual a la componente normal de la aceleracin. La fuerza de rozamiento en una curva puede aumentarse peraltando la carretera.