1EstadsticaLicenciatura en RadiologaINSTITUTO SUPERIOR DE TECNOLOGA MDICA

Unidad 4: ProbabilidadProfesores: Javier Bussi, Fernanda Mndez

Cul es la probabilidad de aprobar Bioestadstica?

Cul es la probabilidad de no encontrarme un atasco cuando voy a clase?

Todos los das nos hacemos preguntas sobre probabilidad e incluso los que hayan visto poco de la materia en cursos anteriores, tienen una idea intuitiva lo suficientemente correcta para lo que necesitamos de ella en este curso.

En este tema vamos a: Ver qu entendemos por probabilidad. Mostrar algunas reglas de clculo. Ver cmo aparecen las probabilidades en las ciencias de la salud. Aplicarlo a algunos conceptos nuevos de inters en ciencias de la salud.

2 Frecuentista (objetiva): Probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa (%) de veces que ocurrira el sucesoal realizar un experimento repetidas veces.

Subjetiva (bayesiana): Grado de certeza que se posee sobre un suceso. Es personal.

En ambos tipos de definiciones aparece el concepto de suceso. Vamos a ver qu son y algunas operaciones que se pueden realizar con sucesos.

Nociones de probabilidad

OSTEOPOROSIS

OSTEOPENIA

NORMAL

0 10 20 30 40 50Porcentaje

CLASIFICACION OMSCLASIFICACION OMS

469 46,9%467 46,7%64 6,4%

1000 100,0

NORMALOSTEOPENIAOSTEOPOROSISTotal

VlidosFrecuencia Porcentaje

Sucesos Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son

posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (E).

Se llama suceso a un subconjunto de dichos resultados.

Se llama suceso contrario (complementario) de un suceso A, A, al formado por los elementos que no estn en A

Se llama suceso unin de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que estn en A o en B (incluyendo los que estn en ambos.

Se llama suceso interseccin de A y B, AB o simplemente AB, al formado por los elementos que estn en A y B

E espacio muestral

E espacio muestral

AA

E espacio muestral

A

B

E espacio muestral

A

B

E espacio muestral

A

B

UNIN INTERS.

3 Se llama probabilidad a cualquier funcin, P, que asigna a cada suceso A un valor numrico P(A), verificando las siguientes reglas (axiomas)

P(E)=1

0P(A) 1 P(AUB)=P(A)+P(B) si AB=

es el conjunto vaco.

Definicin de probabilidad

E espacio muestral

100%

B

E espacio muestral

A

EJEMPLOS

B

E espacio muestral

A

P(A)=3/9=1/3E espacio muestral

A

B

P(B)=5/9P(AUB)=6/9=2/3P(AB)=2/9P(A)=6/9=2/3P(B)=4/9

P(A)=3/9=1/3P(B)=2/9P(AUB)=5/9P(AB)=0P(A)=6/9=2/3P(B)=7/9

P(A)=3/9=1/3E espacio muestral

A

B

P(B)=2/9P(AUB)=3/9=1/3P(AB)=2/9P(A)=6/9=2/3P(B)=7/9

P(B)=?P(A)=?

P(AUB)=?P(AB)=?P(A)=?P(B)=?

P(B)=?P(A)=?

P(AUB)=?P(AB)=?P(A)=?P(B)=?

P(B)=?P(A)=?

P(AUB)=?P(AB)=?P(A)=?P(B)=?

4A

Probabilidad condicionada Se llama probabilidad de A condicionada a B, o

probabilidad de A sabiendo que pasa B:E espacio muestral

B

Error frecuentiiiiiisimo: No confundan probabilidad condicionada con interseccin. En ambos medimos efectivamente la interseccin, pero

En P(AB) con respecto a P(E)=1 En P(A|B) con respecto a P(B)

P(A | B) = P(A B)P(B)

EJEMPLOS

B

E espacio muestral

A

P(A)=3/9=1/3E espacio muestral

A

B

P(B)=5/9P(AUB)=6/9=2/3P(AB)=2/9P(A)=6/9=2/3P(B)=4/9

P(A)=3/9=1/3P(B)=2/9P(AUB)=5/9P(AB)=0P(A)=6/9=2/3P(B)=7/9

P(A)=3/9=1/3E espacio muestral

A

B

P(B)=2/9P(AUB)=3/9=1/3P(AB)=2/9P(A)=6/9=2/3P(B)=7/9

P(A|B)=2/5 P(B|A)=2/3

P(A|B)=0 P(B|A)=0

P(A|B)=1 P(B|A)=2/3

P(A|B)=? P(B|A)=?

P(A|B)=0 P(B|A)=0P(A|B)=? P(B|A)=?

P(A|B)=? P(B|A)=?

5Intuir la probabilidad condicionada

B

A

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0,10

B

A

Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?P(A|B)=1 P(A|B)=0,8

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0,08

Intuir la probabilidad condicionada

A

B

A

B

Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?P(A|B)=0,05 P(A|B)=0

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0,005

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0

6 Cualquier problema de probabilidad puede resolverse en teora mediante aplicacin de los axiomas. Sin embargo, es ms cmodo conocer algunas reglas de clculo:

P(A) = 1 - P(A)

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)

P(AB) = P(A) P(B|A)= P(B) P(A|B)

Prob. de que pasen A y B es la prob. de A y que tambin pase B sabiendo que pas A.

Algunas reglas de clculo prcticas

Recuento

189 280 469108 359 467

6 58 64303 697 1000

NORMALOSTEOPENIAOSTEOPOROSIS

CLASIFICACIONOMS

Total

NO SIMENOPAUSIA

TotalEjemplo (I)

Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a una mujer de una poblacin muy grande. El resultado est en la tabla. Cul es la probabilidad de que una mujer tenga

osteoporosis? P(Osteoporosis)=64/1000=0,064=6,4%

Nocin frecuentista de probabilidad

Cul es la probabilidad de que una mujer no tenga osteoporosis? P(No Osteoporosis)=1-P(Osteoporsis)=1-64/1000=0,936=93,6%

7Recuento

189 280 469108 359 467

6 58 64303 697 1000

NORMALOSTEOPENIAOSTEOPOROSIS

CLASIFICACIONOMS

Total

NO SIMENOPAUSIA

TotalEjemplo (II)

Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis? P(OsteopeniaUOsteoporosis)=P(Osteopenia)+P(Osteoporosis)-

P(OsteopeniaOsteoporosis)=467/1000+64/1000=0,531 Son sucesos disjuntos Osteopenia Osteoporosis=

Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia? P(OsteoporosisUMenopausia)=P(Osteoporosis)+P(Menopausia)-

P(Osteoporosis Menopausia)=64/1000+697/1000-58/1000=0,703 No son sucesos disjuntos

Probabilidad de una mujer normal? P(Normal)=469/1000=0,469 P(Normal)=1-P(Normal)=1-P(OsteopeniaUOsteoporosis) =1-0,531=0,469

Ejemplo (III)

Si es menopusica probabilidad de osteoporosis? P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098

Probabilidad de menopausia y osteoporosis? P(Menop Osteoporosis) = 58/1000=0,058

Otra forma:

Recuento

189 280 469108 359 467

6 58 64303 697 1000

NORMALOSTEOPENIAOSTEOPOROSIS

CLASIFICACIONOMS

Total

NO SIMENOPAUSIA

Total

058,01000/5869758

1000697

)|()()(===

== MenopisOsteoporosPMenopPisOsteoporosMenopP I

8Ejemplo (III)

Si tiene osteoporosis probabilidad de menopausia? P(Menopausia|Osteoporosis)=58/64=0,906

Probabilidad de menopausia y no osteoporosis? P(Menop No Osteoporosis) = 639/1000=0,639

Si tiene no tiene osteoporosis probabilidad de no menopausia? P(No Menopausia|NoOsteoporosis)=297/936=0,317

Recuento

189 280 469108 359 467

6 58 64303 697 1000

NORMALOSTEOPENIAOSTEOPOROSIS

CLASIFICACIONOMS

Total

NO SIMENOPAUSIA

Total

Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno, no aade informacin sobre el otro.

A es independiente de B

P(A|B) = P(A) P(AB) = P(A) P(B)

Independencia de sucesos

9Ejemplo (IV)

Son independientes menopausia y osteoporosis? Una forma de hacerlo

P(Osteoporosis)=64/1000=0,064 P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098

La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la menopausia. Aade informacin extra. No son independientes!

Otra forma? P(Menop Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058 P(Menop) P(Osteoporosis)= (697/1000) x (64/1000) = 0,045

La probabilidad de la interseccin no es el producto de probabilidades. No son independientes.

Recuento

189 280 469108 359 467

6 58 64303 697 1000

NORMALOSTEOPENIAOSTEOPOROSIS

CLASIFICACIONOMS

Total

NO SIMENOPAUSIA

Total

Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

A1 A2

A3 A4

Son una coleccin de sucesos

A1, A2, A3, A4

Tales que la unin de todos ellos formanel espacio muestral, y sus interseccionesson disjuntas.

Recordis cmo formar intervalos en tablas de frecuencias?

Sucesoseguro

A1

A2

A3

A4

10

Divide y vencers

A1 A2

A3 A4

B

Todo suceso B, puede ser descompuestoen componentes de dicho sistema.

B = (BA1) U (BA2 ) U ( BA3 ) U ( BA4 )

Nos permite descomponer el problema B en subproblemas ms simples. Creedme . Funciona.

Sucesoseguro

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

Teorema de la probabilidad totalA1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces

podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(BA1) + P(BA2 ) + P( BA3 ) + P( BA4 )

=P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+

Sucesoseguro

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

P(A1)

P(A2)P(A3)

P(A4)

P(B|A1)

P(B|A2)

P(B|A3)

P(B|A4)

11

Ejemplo: En un centro hay dos quirfanos. El 1 se usa el 75% de veces para operar. En el 1 la frec. de infeccin es del 5% y en el 2 del 10%.

Qu probabilidad de infeccin hay? P(I) = P(Q1I) + P(Q2I)

= P(Q1)P(I|Q1) + P(Q2)P(I|Q2)=0,75 x 0,05 + 0,25 x 0,1

= 0,0625

Paciente

Q1No infec

Q2

Infec

No infec

Infec

0,75

0,05

0,10,25

0,9

0,95

Teorema de Bayes

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces

si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)=P(BA1) + P(BA2 ) + P( BA3 ) + ( BA4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) +

P(B)Ai) P(B

B)|P(Ai =

12

Ejemplo:En un centro hay dos quirfanos. El 1 se usa el 75% de veces para operar. En el 1 la frec. de infeccin es del 5% y en el 2 del 10%.

Qu probabilidad de infeccin hay? P(I) = 0,0625 Se ha producido una infeccin. Qu probabilidad hay de que sea en el Q1?

Paciente

Q1No infec

Q2

Infec

No infec

Infec

0,75

0,05

0,10,25

0,9

0,95

6,00625,0

05,075,0)(

)1|()1()(

)1()|1(

=

=

=

=

=

IPQIPQP

IPIQPIQP

Ejemplo de prueba diagnsticas: Diabetes Los carbohidratos ingeridos terminan como glucosa en la sangre. El exceso

se transforma en glucgeno y se almacena en hgado y msculos. Este se transforma entre comidas de nuevo en glucosa segn necesidades.

La principal hormona que regula su concentracin es la insulina. La diabetes provoca su deficiencia o bien la insensibilidad del organismo a su presencia. Es una enfermedad muy comn que afecta al 2% de la poblacin (prevalencia)

Una prueba comn para diagnosticar la diabetes, consiste en medir el nivel de glucosa. En individuos sanos suele variar entre 64 y 110mg/dL. El cambio de color de un indicador al contacto con la orina suele usarse como

indicador (resultado del test positivo)

Valores por encima de 110 mg/dL se asocian con un posible estado pre-diabtico. Pero no es seguro. Otras causas podran ser: hipertiroidismo, cancer de pncreas,

pancreatitis, atracn reciente de comida Supongamos que los enfermos de diabetes, tienen un valor medio de

126mg/dL.

13

Funcionamiento de la prueba diagnstica de glucemia Valor lmite: 110mg/dL

Superior: test positivo. Inferior: test negativo.

Probabilidad de acierto: Para enfermos

Verdadero positivo (sensibilidad)

Para sanos Verdadero negativo

(especificidad)

Probabilidad de error Para enfermos

Falso Para sanos

Falso +

Cmo definir el punto de corte de la prueba diagnstica?

No es simple. No es posible aumentar sensibilidad y especificidad al mismo tiempo. Hay que elegir una solucin de compromiso: Aceptable sensibilidad y especificidad.

14

Una prueba diagnstica ayuda a mejorar una estimacin de la probabilidad de que un individuo presente una enfermedad.

En principio tenemos una idea subjetiva de P(Enfermo). Nos ayudamos de Incidencia: Porcentaje de nuevos casos de la enfermedad en la poblacin. Prevalencia: Porcentaje de la poblacin que presenta una enfermedad.

Para confirmar la sospecha, usamos una prueba diagnstica. Ha sido evaluada con anterioridad sobre dos grupos de individuos: sanos y enfermos. As de modo frecuentista se ha estimado: P(+ | Enfermo)= Sensibilidad (verdaderos +)= Tasa de acierto sobre enfermos. P(- | Sano) = Especificidad (verdaderos -)= Tasa de acierto sobre sanos.

A partir de lo anterior y usando el teorema de Bayes, podemos calcular las probabilidades a posteriori (en funcin de los resultados del test): ndices predictivos P(Enfermo | +) = ndice predictivo positivo P(Sano | -) = ndice predictivo negativo

Pruebas diagnsticas: aplicacin T. Bayes.

Individuo

EnfermoT-

Sano

T+

T-

T+

P. a priori de enfermedad: incid., preval., intuicin,

Sensibilidad,verdaderos +

Falsos +

Especificidad,Verdaderos -

Falsos -

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Ejemplo: ndices predictivos La diabetes afecta al 2% de

los individuos.

La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes.

Su sensibilidad es de 0,945.

La especificidad de 0,977.

Calcular los ndices predictivos.

456,0023,098,0945,002,0

945,002,0)|()()|()(

)|()()(

)()|(

=

+

=

+++

+=

+

+=+

EnfTPEnfPSanoTPSanoPEnfTPEnfP

TPTEnfPTEnfP I

Individuo

T- T+T- T+

0,9450,0230,977

0,055

0,020,98

999,0055,002,0977,098,0

977,098,0)|()()|()(

)|()()(

)()|(

=

+

=

+

=

=

EnfTPEnfPSanoTPSanoPSanoTPSanoP

TPTSanoPTSanoP I

Observaciones

En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad.

A continuacin se le pasa una prueba diagnstica que nos aportar nueva informacin: Presenta glucosuria o no.

En funcin del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que est enfermo. Nuestra opinin a priori ha sido

modificada por el resultado de un experimento.

-Qu probabilidad tengo de estar enfermo?

- En principio un 2%. Le haremos unas pruebas.

- Presenta glucosuria. La probabilidad ahora es del 45,6%.

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Qu hemos visto? lgebra de sucesos

Unin, interseccin, complemento Probabilidad

Nociones Frecuentista Subjetiva o Bayesiana

Axiomas Probabilidad condicionada Reglas de clculo

Complementario, Unin, Interseccin Independencia de sucesos Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

Teorema probabilidad total. Teorema de Bayes

Pruebas diagnsticas A priori: Incidencia, prevalencia. Eficacia de la prueba: Sensibilidad, especificidad. A posteriori: ndices predictivos.