unidad 3 simulacion

5/12/2018 UNIDAD 3 Simulacion - slidepdf.com

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UNIDAD 3

SISTEMAS DINAMICOS

Un sistema dinámico es un sistema cuyo estado evoluciona con el tiempo. El

comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los límites del

sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se puede elaborar modelos que

buscan representar la estructura del mismo sistema.

Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las funciones

que lleva a cabo cada componente en la ingeniería de control, por lo general se usa

una representación denominada diagrama de bloques.

Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones

que lleva a cabo cada componente. Tal diagrama muestra las relaciones existentesentre los diversos componentes.

En un diagrama de bloques se enlazan una con otra todas las variables del sistema,

mediante bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un

símbolo para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace

el bloque para producir la salida.

La figura muestra un elemento del diagrama de bloques. La punta de flecha que

señala el bloque indica la entrada, y la punta de flecha que se aleja del bloque

representa la salida. Tales flechas se conocen como señales.

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Observe que las dimensiones de la señal de salida del bloque son las dimensiones dela señal de entrada multiplicadas por las dimensiones de la función de transferencia

en el bloque.

Un diagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento

dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema. Enconsecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse

mediante el mismo diagrama de bloques.

Los diagramas a bloques son usados para describir las partes que conforman a unsistema. Un bloque es usado para indicar una relación entre las señales de entrada y

de salida de un sistema. Un sumador es usado para mostrar la adición y sustracción de

señales.Un sumador puede tener una infinidad de señales de entrada, pero una única salida.

Una unión indica que una señal se distribuye en varios caminos.

Observe que las dimensiones de la señal de salida del bloque son las dimensiones de

la señal de entrada multiplicadas por las dimensiones de la función de transferencia

en el bloque.Un diagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento

dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema. En

consecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarsemediante el mismo diagrama de bloques.

Los diagramas a bloques son usados para describir las partes que conforman a un

sistema. Un bloque es usado para indicar una relación entre las señales de entrada y

de salida de un sistema. Un sumador es usado para mostrar la adición y sustracción deseñales.

Un sumador puede tener una infinidad de señales de entrada, pero una única salida.

Una unión indica que una señal se distribuye en varios caminos.

Un sistema de control puede constar de cierta cantidad de componentes. Para mostrar las funciones que realiza cada componente se acostumbra usar representaciones

esquemáticas denominadas Diagrama en Bloques. Este tipo de diagramas emplea tressímbolos:

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Operaciones elementales

Dos son las operaciones elementales definidas para los Diagramas en bloque. Una la

que define la función del bloque y que se esquematiza como sigue:

La variable de entrada es 'a', perfectamente individualizada por la dirección de la

flecha. La variable de salida es 'b' y la relación matemática entre ambas es:

b = G a

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Se quiere poner de manifiesto una relación causa-efecto. La variable de entrada 'a'

influye (causa) en el sistema determinado por el bloque G que genera una variable de

salida (efecto). Esta variable de salida es la consecuencia de la entrada 'a' y de la

naturaleza del sistema 'G'. Cada bloque tiene una sola entrada y una sola salida.

La combinación de señales se hace a través del sumador al que ingresan dos señales

de entrada y de la que resulta una salida, la suma (o resta) de las entradas:

Cuando una de las señales se resta, debe indicarse explícitamente en la proximidad

del sumador con el signo '(-)'. Toda la representación de un sistema físico en el que

existen diversos subsistemas y en que se relacionan diversas variables se debe

describir con estos tres elementos.

El diagrama de bloques es útil para la representación gráfica de sistemas de control

dinámico y se utiliza extensamente en el análisis y diseño de sistemas de control. Otro

procedimiento alternativo para representar gráficamente la dinámica del sistema de

control, es el método de los gráficos de flujo de señal , atribuido a S.J. Mason.

Un gráfico de flujo de señal es un diagrama que representa un conjunto de

ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. Al aplicar el método de gráficos de flujo

de señal al análisis de sistemas de control, primero hay que transformar las

ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas en s (continuos).

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Un gráfico de flujo de señal consiste en una red en la cual los nodos están conectado

por ramas con dirección y sentido. Cada nodo representa una variable del sistema y

cada rama conectada entre dos nodos, actúa como un multiplicador de señal. La señal

fluye solamente en un sentido. El sentido del flujo de señal se indica por una flecha

ubicada en la rama y el factor de multiplicación aparece a lo largo de la rama. El

gráfico de flujo de señal despliega el flujo de señales de un punto de un sistema a otro

y da las relaciones entre las señales.

Como se indicó anteriormente, un gráfico de flujo de señal contiene esencialmente la

misma información que un diagrama de bloques.

La Fórmula de ganancia de Mason, se utiliza para obtener las relaciones entre las

variables del sistema sin necesidad de efectuar la reducción del gráfico.

Definiciones.

• Nodo: Un nodo es un punto que representa una variable o señal.

• Transmitancia: Es la ganancia entre dos nodos. Tales ganancias pueden expresarse

en términos de la función de transferencia entre dos nodos.

• Rama: Una rama es un segmento de línea con dirección y sentido, que une dos

nodos. La ganancia de una rama es una transmitancia.

• Nodo de entrada o fuente: Nodo de entrada o fuente es un nodo que sólo tiene

ramas que salen. Esto corresponde a una variable independiente.

• Nodo de salida o sumidero: Un nodo de salida o sumidero es un nodo que sólo

tiene ramas de entrada. Esto corresponde a una variable dependiente.

• Nodo mixto: Nodo mixto es un nodo que tiene tanto ramas que llegan, como ramas

que salen.

• Camino o trayecto: Camino o trayecto es un recorrido de ramas conectadas en el

sentido de las flechas de las ramas. Si no se cruza ningún nodo más de una vez, el

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camino o trayecto es abierto. Si el camino o trayecto finaliza en el mismo nodo del

cual partió, y no cruza ningún otro más de una vez, es un camino o trayecto cerrado.

• Lazo: Un lazo es un camino o trayecto cerrado.

• Ganancia de lazo: La ganancia de lazo es el producto de las ganancias de ramas de

un lazo.

• Lazos disjuntos: Son disjuntos los lazos que no tienen ningún nodo común.

• Trayecto o camino directo: Trayecto directo es el camino o trayecto de un nodo de

entrada (fuente) a un nodo de salida (sumidero), sin cruzar ningún nodo más de una

vez.

• Ganancia de trayecto directo: La ganancia de trayecto directo es el producto de

las ganancias de rama de un camino o trayecto directo.

Un nodo suma las señales de todas las ramas de entrada y transmite esa suma a todas

las ramas de salida.

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Equivalencias entre los diagramas de bloque y los diagramas de flujo de señal

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Fórmula de ganancia de Mason para gráficos de flujo de señal En muchos casos prácticos se desea determinar la relación entre una variable de entrada y

una variable de salida en el gráfico de flujo de señal. La ganancia entre un nodo de

entrada y un nodo de salida es la ganancia total, entre esos dos nodos.

La fórmula de ganancia de Mason, que es aplicable a la ganancia total, está dada por:

Ejemplo 1

Obtener la función de transferencia C(s)/R(s) del siguiente diagrama de bloques,

utilizando la fórmula de Mason.

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El gráfico de flujo de señal de este diagrama de bloques es:

En este sistema hay una sola trayectoria directa entre la entrada R(s) y la salida C(s).

La ganancia de trayectoria directa es:

P= G1 G2 G3

Existen tres lazos, cuyas ganancias son:

L1= G1 G2 H1

L2= -G2 G3 H2

L3= - G1 G2 G3

Para ser lazos disjuntos estos lazos no deben de tener ni ramas ni nodos en común,

por lo que no existen lazos disjuntos.

El determinante es:

El número de cofactores del determinante es el número de trayectorias directas entre

la entrada y la salida, como en este sistema solo hay una trayectoria directa, solo

existe un cofactor del determinante.

Se obtiene el cofactor del determinante a lo largo del trayecto directo que conecta el

nodo de entrada con el nodo de salida, retirando los lazos que tocan este trayecto.

Como el trayecto P1 toca los tres lazos, se obtiene

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Por tanto, la ganancia total entre la entrada R(s) y la salida C(s) o función detransferencia de lazo cerrado, está dada por:

Ejercicios

Hallar la función de transferencia de lazo cerrado C(s)/R(s) de los siguientes sistemas,utilizando la fórmula de Mason.

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Algebra de Bloques

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Ejemplo 1

Simplifique aplicando el álgebra de bloques, el siguiente diagrama de bloques.

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Ejercicios

Simplifique los siguientes diagramas de bloques

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