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INSTITUTO TECNOLOGICO DE TAPACHULA

Alumnos:

Vázquez Miranda William Samuel

Rodríguez Escobar Cristian Alberto

Urbina Santiz Jorge Raúl

Quiñonez Aguilar Jesús Alberto

Samorano Lopez Leny Fabiola

Catedrático:

MILTON CARLOS HERNANDEZ RAMIREZ

Asignatura:

Simulación

Números pseudoaleatorios

Semestre:

5°

Carrera:

Ingeniería en Sistemas Computacionales

Lugar y Fecha:

Tapachula Chiapas, a 5 de noviembre de 2013

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INDICE

Introducción------------------------------------------------------------------------------------------3

2.1 Métodos de generación de números Pseudoaleatorios------------------------------5

2.2 Pruebas estadísticas.--------------------------------------------------------------------------6

2.2.1 De uniformidad. (Chi cuadrada, kolmogorov Smimov).--------------------------------6

2.2.2 De aleatoriedad. (Corridas arriba y debajo de la media y longitud de corridas)-11

2.2.3 De independencia. (Autocorrelación, prueba de huecos, de poquer y de Yule)-13

2.3 Método de Monte Carlo----------------------------------------------------------------------20

2.3.1 Características Método de Monte Carlo.-------------------------------------------------22

2.3.2 Aplicaciones Método de Monte Carlo.----------------------------------------------------26

2.3.3 Solución de problemas Método de Monte Carlo.---------------------------------------27

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NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS.

En los experimentos de simulación es necesario generar valores para lasvariables aleatorias representadas estas por medio de distribuciones deprobabilidad.

Para poder generar entradas estocásticas (probabilísticas) para un modelo desimulación, se debe contar con un generador de números pseudoaleatorios. Conestos y métodos de generación de variables aleatorias, se pueden simular lasentradas incontrolables para un modelo de simulación.

Inicialmente los números aleatorios se generaban en forma manual o mecánicautilizando técnicas como ruedas giratorias, lanzamientos de dados, barajas.También existen métodos aritméticos que permiten generan un gran conjunto denúmeros aleatorios, pero el advenimiento de la computadora ha permitido creargeneradores que permitan generar de manera sucesiva todo los númerosaleatorios que se requieran.

Un número pseudoaleatorio no es más que el valor de una variable aleatoria x quetiene una distribución de probabilidad uniforme definida en el intervalo (0, 1). Sesabe que la función de densidad f(x) de una variable aleatoria x con unadistribución de probabilidad uniforme en el intervalo [a, b] es:

La función acumulativa F(x), que representa la probabilidad de que las variablealeatoria x sea menor o igual a un valor específico de x está dada por:

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La figura 6, muestra la función de densidad y acumulativa para dicha variablealeatoria.

El valor esperado y la varianza de una distribución de probabilidad uniforme sonrespectivamente.

Al definir la función de densidad de la distribución de probabilidad uniforme en elintervalo [0, 1], una variable aleatoria R tendría una función de densidad f(R) y unafunción acumulada F(R), dadas por:

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Los valores de la media y la varianza, están dados por:

La variable aleatoria R es continua y debe ser estadísticamente independiente.Finalmente para que para que un conjunto de números sean consideradosaleatorios deben cumplir las siguientes características:

• Deben estar uniformemente distribuidos.

• Deben ser estadísticamente independientes.

• Su media debe ser estadísticamente igual a ½.

• Su varianza debe ser estadísticamente igual a 1/12.

• Deben ser reproducibles.

Propiedades de los números pseudoaleatorios.

Es deseable que los números pseudoaleatorios uniformes posean las siguientescaracterísticas:

1. Uniformemente distribuidos.2. Estadísticamente independientes.3. Reproducibles.4. Periodo largo.5. Generados mediante un método rápido.6. Generados mediante un método que no requiera mucha capacidadde almacenamiento de la computadora.

2.1. MÉTODOS PARA GENERAR NÚMEROSPSEUDOALEATORIOS.Métodos Manuales: son los métodos más simples y lentos, ejemplo de estosmétodos son lanzamientos de monedas, dados, cartas y ruletas. Los númerosproducidos por estos métodos cumplen las condiciones estadísticas mencionadasanteriormente, pero es imposible reproducir una secuencia generadas por estosmétodos.

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Tablas de números aleatorios: estos números se pueden generar por medio deuna hoja de cálculo o por cualquier generador de cualquier lenguaje deprogramación razón por la cual su comportamiento es totalmente determinístico.

Mediante el computador digital: existen tres métodos para producir númerosaleatorios mediante un computador:

• Provisión externa.

• Generación interna a través de un proceso físico aleatorio.

• Generación por medio de una regla de recurrencia.

Métodos aritméticos para generar números pseudoaleatorios.

Métodos de Cuadrados Medios: el procedimiento de obtención de númerospseudoaleatorios con este tipo de generador es el siguiente:

• Se define una semilla.

• Se eleva la semilla al cuadrado.

• Dependiendo de la cantidad de dígitos que se desea tenga el númeropseudoaleatorio, se toman de la parte central del número resultante en el pasoanterior el número de dígitos requeridos. Si no es posible determinar la partecentral, se completa el número agregando ceros al principio o al final.

2.2 PRUEBAS ESTADÍSTICAS.Los números pseudoaleatorios producidos mediante un programa decomputadora no son aleatorios debido a que tales números están completamentedeterminados por los datos iníciales y tienen una precisión limitada. Sin embargo,en la medida en que esos números pseudoaleatorios pasen determinadas pruebasestadísticas, pueden considerárseles como verdaderos números aleatorios. Lassiguientes pruebas son de las más usadas para la comprobación de laaleatoriedad.

2.2.1 DE UNIFORMIDAD (CHI CUADRADA, KOLMOGOROV-SNIMOV)

CHI-CUADRADA

La prueba Chi-Cuadrada en lugar de medir la diferencia de cada punto entre lamuestra y la desviación verdadera, checa la desviación del valor esperado.

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Donde n es el número de intervalos de clase (ejemplo: Oi es el número observadoen la clase iva, y Ei es el número esperado en cada clase iva, y n es el número declases. Para una distribución uniforme, Ei el número en cada clase está dado por;

Para clases igualmente espaciadas, donde N es el número total de observaciones.Puede ser mostrado que la distribución de la muestra Chi-Cuadrada estaaproximadamente a la distribución Chi-Cuadrada con n-1 grados de libertad.

Ejemplo:Use la prueba Chi-Cuadrada con =0.05 para probar si los datos dados acontinuación en la tabla 1 están uniformemente distribuidos.

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Haciendo 10 intervalos de 0 a 1 con incrementos de .1 (de igual longitud) tenemosla tabla siguiente:

El valor de X2 en el apéndice de tablas es X2calculada=3.4. Esto comparado con el

valor crítico X20.05,9=16.9. Debido a que X2

calculada < que el valor de X20.05,9 de la

tabla, la hipótesis Nula de que no existe diferencia entre la distribución de lamuestra y la distribución uniforme se Acepta.

SMIRNOV-KOLMOGOROV

Esta es otra prueba de bondad y ajuste. Surgió en 1939. Kolmogorov y Smirnovsupusieron que la distribución de probabilidad que se encontraba a prueba eracontinua y que se conocía la media y la varianza de la población. La prueba seemplea para probar el grado de concordancia entre la distribución de datosempíricos de la muestra y alguna distribución teórica específica.

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Esta prueba sirve para verificar o negar la hipótesis que un conjunto deobservaciones provienen de una distribución. La estadística D que se utiliza enesta prueba es una medida de la diferencia máxima observada entre ladistribución empírica y la teórica supuesta. D es una variable aleatoria. Se utilizaesta prueba para verificar o negar que un conjunto de números pseudoaleatoriostienen una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0,1].

Estos tests son de tipo no paramétrico para diferencias entre dos distribucionestotales o acumulativas. El test uní-muestral se refiere a la concordancia entre unadistribución acumulativa observada de valores de una muestra y una función dedistribución continua especificada; es decir, se trata de una prueba de bondad deajuste.

Para muestras pequeñas, debe usar Kolmogorov-Smirnov o cuando tenemos quecombinar clases adyacentes a fin de usar la (ji-cuadrada). Para muestras grandes,la prueba chi cuadrado es poderosa (n>=100) la selección del número de claseses importante, ya que esta determina los grados de libertad de la prueba, ymientras más grados de libertad puede usar uno, más discriminadora será laprueba.

El estadístico de prueba está dado por la diferencia existente entre la frecuenciaobservada relativa y la frecuencia esperada relativa:

Estadístico de prueba = Valor absoluto (Frecuencia acumulada observada-Frecuencia acumulada teórica)Estadístico de prueba = Valor absoluto (Fn(x)-Fo(x))

PROCEDIMIENTO.

1. Formular la hipótesis nula, H0. Teniendo en cuenta que los números que sevan a generar provienen de una distribución uniforme.

2. Se selecciona una muestra de tamaño n de números pseudoaleatorios n.3. Se hallan los parámetros de acuerdo a la distribución que se esté utilizando

y demás datos que sirvan de base para la realización de la prueba. Ej.: parael caso de una distribución normal se deben hallar los parámetrosrespectivos (Media, desviación estándar) y otros datos de utilidad.

4. Se debe calcular la función de distribución acumulada para después hallarlas frecuencias respectivas.

5. Antes de poder hallar el estadístico de prueba se debe hallar la frecuenciaobservada y la frecuencia relativa de cada uno de los intervalosestablecidos de acuerdo al rango.

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6. Se aplica la ecuación D= Frecuencia observada relativa-Frecuenciaesperada relativa para hallar la discrepancia de las mismas o errorestadístico.

7. Posteriormente, se halla el estimador Smirnov-Kolmogorov que es: Valormáximo entre todos los valores hallados para cada intervalo. En Excel sería=Máx. [Frecuencia observada relativa-Frecuencia esperada relativa].

8. Se hallan también los grados de libertad de acuerdo a la distribuciónestadística utilizada. A su vez se establece un nivel de significancia deacuerdo al planteamiento.

9. Con base a lo anterior se consulta la tabla de límites de aceptación para laprueba de Kolmogorov-Smirnov para un tamaño de muestra n y undeterminado nivel de riesgo alfa, Si el estimador de la prueba es menor alvalor buscado en la tabla se acepta H0 o hipótesis nula, en caso contrariose rechaza.

Ejemplo:En este ejemplo se usa la prueba KS para examinar bajo un nivel de significanciade a=0.05 si un conjunto de datos representa números aleatorios (por ejemploesta la distribución uniforme entre 0 y 1). Suponga que cinco datos son dados:0.53, 0.35, 0.03, 0.94, y 0.22

Solución. Para la distribución Uniforme la fdp es F(x)= 1/(b-a) a≤x≤b Para estecaso particular a=0 y b=1. Por lo tanto F(x)=x. Ahora se ordenan los valores enforma ascendente y se realizan los cálculos relativos.

La tabla siguiente resume los cálculos realizados:

De acuerdo a los cálculos, D = Max (0.27, 0.14) = 0.27. El valor crítico de KS de latabla en el apéndice de tablas para un tamaño de 5 y un nivel de significancia de0.05 es 0.565. Debido a que D es menor que este valor crítico, la hipótesis de quelos datos dados pertenecen a una distribución Uniforme es aceptada.

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2.2.2 PRUEBAS ESTADÍSTICAS DE ALEATORIEDAD. (CORRIDAS ARRIBA YDEBAJO DE LA MEDIA Y LONGITUD DE CORRIDAS).

PRUEBA DE LAS CORRIDAS:

Existen dos versiones de la prueba de las corridas: la prueba de corridas arriba yabajo del promedio y la prueba de corridas arriba y abajo.

Prueba de corridas arriba y abajo del promedio:

La prueba de corridas arriba y abajo del promedio es un caso ligeramentemodificado de la prueba de la distancia en la cual α=0 y β=0.5. En esta versión dela prueba de las corridas, una secuencia de números pseudoaleatorios U1,…Un esgenerada. En seguida una secuencia binaria es obtenida, en la cual el i th términoes 0 si UI < 0.5 y 1 si UI>0.5. Una vez obtenida la secuencia binaria, el siguientepaso es determinar la cantidad de veces que una misma longitud de corrida serepite (frecuencia observada de la corrida de longitud i). Una sucesión de i ceros(unos), enmarcada por unos (ceros) en los extremos representa una corrida delongitud i. El número total esperado de corridas y el número esperado para cadatamaño de corrida, se obtienen las siguientes expresiones:

E (total de corridas) = N+1/2FEi = (N-i+3)/2i+1

Estas frecuencias esperadas son comparadas con las observadas a través de unadistribución chi-cuadrada y una decisión sobre la aleatoriedad de los númerospseudoaleatorios generados es tomada.

PRUEBA DE CORRIDAS ARRIBA Y DEBAJO DE LA MEDIA

Este procedimiento consiste en determinar una secuencia de unos y ceros deacuerdo a la comparación de cada número ri que cumpla con la condición de sermayor a 0.5 (en el caso de los unos) o ser menor a 0.5 (en el caso de los ceros).

Luego se determina el número de corridas coy los valores de n0 y n1

Valores que se emplean:

co= Número de corridas en la secuencian0= Cantidad de ceros en la secuencia S

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n1= Cantidad de unos en la secuencia de Sn = Cantidad de númerosEl n se halla de la siguiente manera:

Posteriormente se calcula el valor esperado, la varianza del número de corridas yel estadístico Z0 con las siguientes ecuaciones:Valor esperado:

Varianza del número de corridas:

El estadístico:

Para saber si el estadístico Z0 está fuera delintervalo se emplea la siguiente fórmula:

Si la condición anterior se cumple, entonces se concluye que los númerosevaluados son independientes, de lo contrario se rechaza al conjunto.

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2.2.3 PRUEBAS ESTADÍSTICAS DE INDEPENDENCIA. (AUTO-CORRELACIÓN, PRUEBA DE HUECOS, PRUEBA DEL PÓQUER, PRUEBA DEYULE).

PRUEBA DE AUTOCORRELACIÓN

Correlación es la relación recíproca entre dos o más cosas (elementos). A vecesun grupo de números generados pueden parecer aleatorios, pero existe unarelación entre cada cierto número de ellos a partir de alguno específico.

Amplitud de autocorrelación: Es la distancia que existe entre los números de lalista que tiene la relación entre sí. Se da cada n-ésimo número aleatorio e inicia enel elemento i.

Esta prueba se aplica con la suposición de los números aleatorios tiene unadistribución uniforme e independiente sobre el intervalo de 1 a 0.

Conceptos y parámetros que usamos en auto correlación

Para analizar la correlación general para todos los pares sucesivos de númerosaleatorios se utiliza la estadística:

Densidad de probabilidad

Dónde:

N es el total de números en toda la serie; Tamaño de la muestra.

i es el primer número donde empieza la amplitud de autocorrelación.

m es la amplitud de la autocorrelación.

M es el entero mayor tal que i+ (M+1)*m<N

Este valor, se obtiene de acuerdo a los valores dados cuidando que se cumpla lacondición. Es un parámetro de la fórmula:

Cumpliéndose la condición: i + ( M + 1 ) m < M

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Desviación estándar de la autocorrelación

La estadística para determinar la significancia de la autocorrelación para lasecuencia propuesta de

M+1 números es:

Z significancia de la autocorrelación que tiene una distribución Normal, con mediacero y una varianza de uno, bajo la suposición de independencia.

Nivel de significancia

Si se define el nivel de significancia por medio de a y Z 1 - a /2 el valor de Z haceque:

Paradeterminar

laautoc

orrelación se establecen las siguientes Hipótesis;

Hipótesis Nula

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Los números aleatorios están correlacionados (No son Aleatorios)

Hipótesis Alternativa

Los números aleatorios No están correlacionados (Sí son aleatorios)

Criterio de rechazo

Entonces, si: Se rechaza la hipótesis de aleatoriedad..

Y si Se acepta la hipótesis de aleatoriedad.

Ejemplo 1

Tenemos la Siguiente serie de Números:

A la primera vista, estos números pueden parecer aleatorios. No obstante, alexaminar de cerca estos números se ve que existe una relación clara entre cadasexto número, a partir del segundo. Cada uno de estos números varía enmagnitud sucesivamente de muy grande a muy pequeño.

PRUEBAS DE HUECOS

La prueba de huecos (GAP) es usada para asegurar que la recurrencia de cadadígito particular en un flujo de números suceda con un intervalo aleatorio. Sepueden usar dos pruebas para comparar estos intervalos con la longitud esperadade los huecos:

La prueba Chi-Cuadrada (Ȥ2) y la prueba Kolmogorov – Smirnov (KS) es entoncesusada para comparar

La prueba Kolmogorov – Smirnov (KS)

Para determinar si los números aleatorios generados cumplen con las propiedadesespecificadas (uniformidad e independencia) se tendrán las hipótesis siguientes :

H0 si Dcalculada < Dconfiabilidad; se aprueba que los dígitos están ordenadosaleatoriamente.

H1 si Dcalculada > Dconfiabilidad; se rechaza que los dígitos están ordenadosaleatoriamente.

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La prueba de huecos se utiliza para determinar la significancia de los intervalosentre la repetición de cierto dígito. Si el dígito k va seguido por x dígitos distintosde k, antes de que vuelva a parecer k, se dice que existe un hueco de tamaño x.Por ejemplo:

Se puede tomar cualquier números aleatorio; en este caso se toma el númerocero, el cual aparece 13 veces y por ende habrá 12 huecos. El primero de longitud2, el segundo de 19, el tercero de 8, etc. Otro ejemplo tomamos el número cuatro,el cual aparece 15 veces y tendrá 14 huecos. El primero de longitud 16, elsegundo de 12, el tercero de 5, etc. Para fines de esta prueba, nos interesa lafrecuencia con la que se presentan los diversos huecos.

Para una secuencia dada de dígitos, anotamos el número de veces que aparecenlos huecos de longitudes 0, 1, 2,..... Podemos aplicar este procedimiento a undígito simple entre 0 y 1. Después de tomar nota de la frecuencia con que aparececada hueco, comparemos la frecuencia acumulativa relativa (Sx) observada con lafrecuencia acumulativa teórica. Suponiendo que los dígitos están ordenadosaleatoriamente, la distribución de frecuencias acumulativas relativas está dadapor:

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PRUEBA DE PÓQUER

La prueba POKER se utiliza para analizar la frecuencia con la que se repiten losdígitos en números aleatorios individuales. Para determinar si los númerosaleatorios generados cumplen con las propiedades especificadas (uniformidad eindependencia) se tendrán las hipótesis siguientes:

H0 si X2confiabilidad > £ (Oi – Ei)2 / Ei; se aprueba que los dígitos están ordenados al

azar.

H1 si X2confiabilidad < £ (Oi – Ei)2 / Ei; se rechaza que los dígitos están ordenados al

azar.

Se utiliza para analizar la frecuencia con la que se repiten los dígitos en númerosaleatorios individuales. Por ejemplo, si nos ocupamos de números aleatorios decinco dígitos, nos interesara la frecuencia con que ocurre lo que sigue en losnúmeros individuales:

1.- Los cinco son diferentes.

2.- Hay exactamente un par.

3.- Dos pares diferentes.

4.- Tres dígitos iguales.

5.- Tres dígitos iguales y un par.

6.- Cuatro dígitos iguales.

7.- Cinco dígitos iguales.

Por supuesto, el número de esas combinaciones que se pueden dar depende delnúmero dígitos que constituyen cada uno de los números aleatorios.

Para aplicar la prueba del póquer:

a) Escogemos primeramente un nivel de significancia, a, y enumeramos el gradode repetición de los dígitos.

b) A continuación, calculamos la probabilidad de aparición de cada una de esascombinaciones.

c) Luego, se examina la frecuencia con que se presenta cada combinación en lasecuencia de números estudiados.

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d) Posteriormente, se puede comparar la frecuencia observada con que aparececada combinación con la frecuencia esperada, mediante la prueba de la jicuadrada. Para comprobar que los datos pertenecen a una distribución Uniforme,se debe de cumplir la condición de que X2

Calculada < x2 a/1,g.l.. Donde x2 a/2,g.l seobtiene de la tabla de la distribución Ji cuadrada, con un nivel de significancia Į y ylos grados de libertad g.l. = No. de parámetros de la distribución de probabilidad aprobar menos l. (en nuestro caso estamos probando la uniformidad y ladistribución uniforme no tiene parámetros )

Como ejemplo, supóngase que tenemos que aplicar la prueba de póquer a Nnúmeros aleatorios de cinco dígitos. Calcularemos la probabilidad de aparición decada una de esas combinaciones, bajo la suposición de que los dígitos sepresentan de una manera completamente aleatoria.

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Para obtener el número de veces que se puede esperar cada una deesas combinaciones, se multiplica cada probabilidad por N. Porsupuesto, el número de esas combinaciones que se pueden producirdepende del número de dígitos que constituyen cada uno de losnúmeros aleatorios.

PRUEBA DE YULE O X2

La prueba de X2, como todas las pruebas estadísticas, asume que la Hipótesisnula es cierta y realiza el siguiente razonamiento: si los dos fármacos tienenidéntica eficacia, lo que sabemos es que en toda la población se han curado el52% de los pacientes (104/200), por lo que en el caso del fármaco nuevodeberíamos haber encontrado 52 pacientes que mostrasen mejoría al haberestudiado a 100 pacientes. De la misma manera, en el caso del fármaco clásicodeberíamos haber obtenido éxito en 52 de los 100 pacientes.

A estos valores se les denomina «esperados» en contraposición a los valores«observados» en el experimento. Para calcular estos valores esperados semultiplica el total de fila por el total de la columna y se divide por el total general.En este caso para calcular los pacientes que deberíamos esperar se curaran conel fármaco nuevo multiplicamos 104 por 100 y los dividimos por 200. En una tablacomo esta (2 x 2) el resto de los esperados sale por diferencia.

La prueba de X2 consiste en comprobar si la discrepancia entre los valoresobservados y los valores esperados es pequeña (en cuyo caso no podríamos

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afirmar las diferencias), o es lo suficientemente grande como para ratificar nuestrasospecha inicial. Esta discrepancia se mide mediante la fórmula de Pearson:

Con el fin de poder tomar una decisión referente a la eficacia de los fármacosdeberemos comprobar si nuestro resultado encontrado puede ser justificado o nopor el azar. Para ello deberemos comparar el valor calculado mediante la fórmulade X2 y un valor teórico que nos encontraremos en la tabla de X2 en función delos grados de libertad que tengamos.Estos grados de libertad se calculan multiplicando el número de filas menos 1 porel número de columnas menos 1.

2.3 MÉTODO DE MONTECARLO.El método de Monte Carlo es un método no determinístico o estadístico numéricousado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluarcon exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Montecarlo(Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta ungenerador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático delos métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraronenormemente con el desarrollo de la computadora.

El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación,proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante lasegunda guerra mundial en los Álamos. Este trabajo conllevaba la simulación deproblemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión deneutrones en el material de fusión, la cual posee un comportamientoeminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmosde trazado de rayos para la generación de imágenes sintéticas.

Los primeros experimentos de simulación se realizaron en el año 1940 en EEUUbajo el nombre de análisis Montecarlo. Los pioneros fueron Von Neumann y Ulamque publicaron un artículo intitulado "The MonteCarlo method" en 1949.

El método en si ya era conocido en estadística, disciplina donde muchosproblemas se resuelven utilizando muestras aleatorias (de hecho, aplicando estemétodo).

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Entonces podemos definir el método Montecarlo como el método numérico desimulación que permite resolver problemas matemáticos mediante la simulaciónde variables aleatorias.

Descripción del método de Montecarlo

Existen 5 pasos ideales a seguir para el método.

1. Establecer distribuciones de probabilidad. La idea inicial es la generación devalores para las variables que componen el modelo a efectuar. Existen unagran variabilidad de ejemplos donde se llega anotar este punto, algunos deellos son: el tiempo de descompostura de una máquina, la demanda de uninventario sobre una base diaria o semanal, el tiempo de servicio, etc.

Y una manera fácil de establecer una distribución de probabilidad de unavariable es a través de examen histórico. La frecuencia relativa para cadaresultado de una variable se encuentra al dividir la frecuencia de laobservación entre el número total de observaciones.

2. Construir una distribución de probabilidad acumulada para cada variable.Aquí se tiene que convertir una distribución de probabilidad regular a unadistribución de probabilidad acumulada. Esto quiere decir que laprobabilidad acumulada para cada nivel de demanda no es más que lasuma del número en la columna de la probabilidad agregada a laprobabilidad acumulada anterior.

3. Establecer intervalos de números aleatorios. En este paso se debe asignarun conjunto de q represente a cada valor posible. Estos están establecidoscomo intervalos de números aleatorios que surgieron un proceso aleatorio(tomando el número de dígitos requeridos).

4. Generación de números aleatorios. Estos números se pueden generar de dosmaneras: la primera es, si se tiene un problema grande y el proceso involucramiles de ensayos, lo conveniente es utilizar algún software especializadopara generarlos; la segunda, si la simulación se tiene que hacer a mano, losnúmeros se pueden seleccionar en una tabla establecida de númerosaleatorizados. Existe una tabla para esta última manera.

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En esta tabla los números aleatorios se leen de arriba hacia abajo,comenzando por la esquina superior izquierda.

5. Simular el experimento. No es más q poner en práctica la simulación dedicho experimento, mediante varios ensayos para poder concluircorrectamente, ya que al hacer pocos ensayos podríamos comer erroresque perjudicarían el experimento o en el peor de los casos echarlo aperder.

2.3.1 PROPIEDADES Y CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES DEL M.M.C.

1) Algoritmo de estructura muy sencilla.

Como regla se elabora primero un programa para la realización de una pruebaaleatoria (una muestra, por ejemplo: escoger un punto aleatorio en una superficie,y comprobar si ese punto pertenece o no a una figura de la superficie). Estaprueba se repite N veces de modo que cada experimento sea independiente delos restantes, y se toma la media de todos los resultados de los experimentos.

2) El error del valor obtenido como regla proporcional.

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El error del valor obtenido es como regla proporcional a la magnitud s 2 / N siendos2 la varianza (constante) y N el número de pruebas. De esta forma, para disminuirel error 10 veces deberemos aumentar N (volumen de trabajo) 100 veces.

Es de notar que es imposible alcanzar una elevada exactitud, por eso el MétodoMonte Carlo resulta especialmente eficaz en la solución de problemas en los quese necesita conocer los resultados con una exactitud del 5 al 10% (intervalo deconfianza 95%, 97,5%). La exactitud de los resultados se puede mejorar contécnicas de reducción de varianza, sin tener que aumentar el volumen de trabajo(N).

Un mismo problema puede ser resuelto utilizando distintas variantes del método,es decir mediante la simulación de distintas variables aleatorias.

El método es aplicable en situaciones de diversa índole:

a) Problemas aleatorios diversos, orientados a eventos o no.

Se resuelven creando un modelo probabilístico artificial, que cumpla con las leyesde probabilidad que se dan en el sistema real.

Ejemplos:

• estudio de la demanda de energía eléctrica en un cierto período: dependede factores puramente aleatorios, como el clima

• juegos de azar• estudio de la cantidad de barcos llegados a un puerto por día

b) Problemas matemáticos determinísticos.

Cuando los problemas determinísticos son imposibles de resolver analíticamente omuy complicados se puede llegar a una solución aproximada mediante el uso deun modelo artificial cuyas funciones de distribución y densidad satisfagan lasrelaciones funcionales del problema determinístico.

Ejemplos:

• cálculo de integrales múltiples• ecuaciones diferenciales de orden mayor que dos.

Por ello se puede hablar del MMC como un método universal de resolución deproblemas matemáticos.

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Utilicemos el método para calcular el área de un cuadrado de lado <1.

Planteamos un experimento aleatorio tal que colocamos una tabla como en lafigura:

Y hacemos que alguien con los ojos vendados tire dardos a la tabla.

Los dardos van a perforar la tabla en N puntos aleatorios. ¿Cómo podemosestimar el área del cuadrado S a partir de esos puntos?

Nos fijamos cuántos puntos están dentro de S (sean N'); supongamos que N'=5,siendo N=40. Entonces la estimación del área de S está dada porN'/N=5/40=1/8=0,125, siendo el valor exacto en este dibujo 0,3*0,3=0,09.

Nótese que el área buscada cumple la relación N'/N (independiente de la forma delárea incógnita) y que cuanto mayor sea N más nos vamos a acercar a la relaciónS/1.

Para que este método de calcular el área tenga validez, los puntos aleatoriosdeben estar distribuidos en forma uniforme en la superficie total, y deben serobtenidos en forma independiente.

Cálculo de π

Veremos, a modo de ejemplo, como calcular una aproximación del valor π,mediante el método Montecarlo (este problema tiene soluciones eficientes enforma analítica o numérica).

1) Tomamos un círculo de radio 1 centrado en el origen, sabemos que el área delcuarto de círculo inscrito en el ortante positivo es π /4.

2) Sorteamos puntos en el ortante positivo de lado 1 y lo hacemos obteniendo dosvalores, uno para x (abscisa) y otro para y (ordenada) cada vez, obteniendo unpunto (x,y).

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3) Contamos cuantos puntos de los sorteados caen dentro del área del cuarto decírculo (In) y cuántos fuera (Out), sabiendo que si x2+y2>1 el punto está fuera, y sino dentro.

4) El valor estimado del área que queremos hallar es In/(In+Out), y ese valor seráaproximadamente el de π /4, por lo que p será aproximadamente igual a 4*In/(In+Out) (en este caso, N=In+Out).

Esta forma de calcular π es relativamente lenta y poco precisa, pero muestra laforma de utilizar Montecarlo, que en el caso de otras constantes es el únicométodo disponible.

Justificación teórica

Sea X una v.a. con esperanza E(X) = m y varianza Var(X) = s². Tomo unasucesión de n v.a. Xi independientes y con igual distribución, siendo E(Xi) = m yVar(Xi) = s².

Por el teorema Central del Límite la v.a. Z = X1 + X2 + X3 + .... + Xn se aproxima(y es asintóticamente igual) a una v.a. con distribución normal N(nm, ns²).

Aplicando la "regla de las 3s", tenemos que para una v.a. Y de distribución N(a,s²):

Siendo fY (t) la función de densidad de la v.a. Y, por lo que

Aplicando esto a la V.A. Z tenemos

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Lo que significa que podemos estimar m, es decir la esperanza o valor medio de lav.a. X, calculando el promedio de las distintas muestras obtenidas:

,

Sabiendo que con probabilidad muy cercana a 1, el error de este promedio estáacotado por la cifra 3s/√N. Esto sugiere que para que el método tenga un buenresultado N debe ser grande y s pequeña, por lo que es importante saber cuál esel valor de la varianza obtenida, con ello sabemos cuál es la dispersión de lasmuestras obtenidas.

La varianza s2 se estima con el siguiente cálculo:

Se debe tener especial cuidado en que todas las N corridas sean independientesentre sí, para asegurar que los valores Xi son muestras de v.a. independientes yque por lo tanto estamos dentro de las hipótesis del teorema central del límite.

2.3.2 APLICACIONES

Diseño de reactores nuclearesCromo dinámica cuánticaRadioterapia contra el cáncerDensidad y flujo de tráficoEvolución estelarEconometríaPronóstico del índice de la bolsaProspecciones en explotaciones petrolíferasDiseño de VLSIFísica de materialesEcologíaCriptografía

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Valoración de cartera de valoresProgramas de ordenadorMétodos cuantitativos de organización industrial

2.3.3 SOLUCIÓN DE PROBLEMA.

Ejemplo

Se desea conocer la demanda diaria de un comercio alimenticio, dondeelaboran emparedados. Por medio de la distribución de probabilidad del métodode Montecarlo, en un periodo de 30 días.

Aplicando los pasos en la tabla. El primer paso en identificar la demandaque recibe por días. El siguiente paso es construir otra columna con lasumatoria consecutiva de cada ocurrencia de los valores.

En esta tabla se hace presente el paso 3, que trata de colocar los intervalos delos números aleatorios, simplemente se colocan los números empezando por el

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01 hasta el valor de la probabilidad acumulada. Y después se sigue con el otrovalor comenzando por número en el que se quedó.

Una manera simple de ver la simulación es mediante esta simplificación delejemplo en un periodo de 10 días.

Por último se emplean los pasos 4 y 5 en la tabla que continua se busca unnumero aleatorio en la tabla 1 expuesta en el paso 4. Después se compara elnumero aleatorio obtenido con el intervalo de la tabla 3, a verificar en queintervalo cae se colocara el valor de la demanda en la tercer columna.

Por último se saca la demanda esperada que se demuestra por la

siguiente fórmula:

= (.17x41)+ (.33x45)+ (.20x48)+ (.13x52)+ (.17x56)

= 47.7La demanda esperada en las mayorías de sus ensayos será similar a la demandapromedio.

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BIBLIOGRAFIA

http://es.scribd.com/doc/51960661/Numeros-Pseudoaleatorios

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r92011.PDF

http://es.scribd.com/doc/111374197/simulacion