UNIDAD 12

ÍNDICE

• OBJETIVO 1

• OBJETIVO 2

• OBJETIVO 3

• OBJETIVO 4

• OBJETIVO 5

• OBJETIVO 6

OBJETIVO 1

ÍNDICE

1. Gráficamente ¿qué puntos tienen abscisa 3?

• Como la abscisa es constante, son todos los puntos que se encuentran a 3 unidades a la derecha del eje y, en una recta paralela a él.

2. ¿Donde quedan situados los puntos que tienen la abscisa igual a la ordenada?

• Si la abscisa y la ordenada son siempre iguales, se trata de una recta a 45º que cruza los cuadrantes I y III

3. Tres vértices de un rectángulo son A(-3, 0), B(3, 0) y C(3, 3) ¿cuáles son las coordenadas del cuarto vértice y cuál es su perímetro y su área?

• Para completar el rectángulo, el otro vértice tiene que encontrarse al desplazarse en ángulo recto a partir de los dos extremos, de modo que:

• D(-3, 3)

• Perímetro:

2(6) + 2(3) =

12 + 6 = 18 unidades.

• Área: b x h =

6 x 3 = 18 unidades cuadradas.

Índice

OBJETIVO 2

ÍNDICE

a) Distancia entre dos puntos.

1. Encuentra la distancia del origen al punto A(a, b)

SOLUCIÓN:

22 00 bad

22 ba

2. Encuentra el valor de x necesario para que el punto P(x, 3) sea equidistante de los puntos A(3, –2) y B(7, 4).

22 323 xdPA 253 2 x

22 347 xdPB 17 2 x

Para que P equidiste de A de B:

PBPA dd

253 2x 17 2 x

253 2x 17 2 x

114492569 22 xxxx

25914914622 xxxx

168 x

2x

El punto P(2, 3) equidista de los puntos A(3, –2) y B(7, 4).

3. Si los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2, 3) y B(5, 8), calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo que limita.

22 3825ABd 22 53 34Diámetro =

d 34

unidades 18.3185 menteaproximada;341416.3

2

34r

4342 r

Circunferencia =

2r 4

34 menteaproximada ,u 26.70364

341416.3 2Área del círculo =

b) Coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada.

1. Si A(2, 3) es un extremo del segmento cuyo punto medio es P(5, 4), encuentra las coordenadas del otro extremo, B.

221 xx

x

2

25 2x

2210 x 82 x

221 yy

y

2

34 2y

238 y 52 y

de modo que: B(8, 5)

2. Encuentra la longitud de la mediana del lado del triángulo cuyos vértices son A(–2, –2), B(6, 0) y C(2,8). (La mediana es la recta que une el punto medio de un cateto del triángulo con el vértice opuesto).

Coordenadas del punto medio del segmento AB

2

21 xxx 2

2

62

221 yy

y 12

02

P(2, -1)

Distancia del punto P al vértice C

22 8122PCd 290 981

La mediana del cateto AB al vértice C tiene una longitud de 9 unidades.

3. Los extremos de un segmento son los puntos A(7, 4) y B(-1, -4) . Encuentra la razón en que el punto P(1, –2) divide al segmento.

PB

AP

r

rxxx

1

21 211 rxxrx 12 xrxrxx

xxxxr 12

2

1

xx

xxr

11

17r 3

2

6

La razón en que el punto P(1, –2) divide al segmento .3esAB

Índice

OBJETIVO 3

ÍNDICE

Se aplican los problemas de los objetivos siguientes

OBJETIVO 4

ÍNDICE

1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–2, –3) y B(5, 1)

112

121 xx

xx

yyyy

2

25

313

xy

225

313

xy 27

43 xy

2437 xy 84217 xy

1347 xy

2. Encuentra la ecuación de la recta que intersecta al eje de las ordenadas 7 unidades hacia abajo del origen y tiene una pendiente de

5

2

;7;5

2 bm

bmxy

75

2y

3. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos A ,B(0, 5) y C(–5, 8). Encuentra las ecuaciones de los lados que pasan por AB y por BC.

0,

2

11

Ecuación del lado que pasa por A y B:

2

11a 5b 1

b

y

a

x 15

2

11

yx1

511

2

yx

Ecuación del lado que pasa por B y C: B(0, 5); C(–5, 8)

112

121 xx

xx

yyyy

005

585

xy

xy5

35

5

5

3 xy

4. Encuentra la ecuación de una recta perpendicular a eje y, que pase por el punto (h, k)

α = 0º; tan α = 0

11 xxmyy hxky 0

0 ky

ky Índice

OBJETIVO 5

ÍNDICE

1. Determina la posición relativa de las rectas:

011014:1 yxR

011014:1 yxR 3145

2:2 x

yR

Para

3145

2:2 x

yR

5

7

10

14m

Para 03214

5

yx

0143142

1414

514

y

x

04275 yx7

5

7

5

B

Am

21

1

RR m

m

Por lo tanto, las rectas son perpendiculares.

2. Demostrar que las siguientes rectas forman un cuadrado:

065 :R1 yx 0225 :R2 yx

0325:R3 yx 045:R4 yx

Posiciones relativas entre las rectas:

51

51

Rm

5

12 Rm 5

1

53

Rm

5

14 Rm

R1 y R3 son paralelas; R2 y R4, son paralelas. R1 es perpendicular con R2 y con R4; R3 es perpendicular con R2 y con R4.

• Punto de intersección entre R1 y R2:

065 yx

65 xy 0225 yx

022655 xx

0223026 x

2 26

52x

4) P1(2, 4 625 y

• Con el mismo procedimiento encuentras que otros puntos de intersección son:

R1 y R4: P2(1, –1)

R3 y R2: P3(7, 3)

R3 y R4: P4(6, –2)

• También puedes determinar otros punto para graficar:

0225 :R2 yx

0325:R3 yx

045:R4 yx

065 :R1 yx Si x = 3 y = 9 → P1(3, 9);

Si x = –3 y = 5 → P2(–3, 5);

Si x = 8 y = 8 → P3(8, 8);

Si x = 1 y = –1 → P4(1, –1)

Longitudes de los lados:

2221 1412PP 26251

2231 3472PP 26125

2242 2161PP 26125

2243 2367PP 26251

Los cuatro lados tienen la misma longitud, y las rectas forman un cuadrado. Índice

OBJETIVO 6

ÍNDICE

1. Calcula la longitud del radio de la circunferencia con centro en el punto (2, 3) y que es tangente a la recta 0334 yx

Radio de la circunferencia = distancia del centro de la circunferencia a la tangente.

22

11

BA

CByAxd

22 34

3)3(3)2(4

25

3984

5

20

radio = 4 (unidades de longitud)

2. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son P1(2, 1), P2(8, 2) y P3 (3, 6)

2 Área

hb

Base del triángulo: cualquiera de los tres lados, por ejemplo, 21PP

Usando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados:

228

121

xy 26

11 xy

266 xy

046 yx

Longitud de la base:

distancia 212

21221 )( yyxxPP

22 )12()28(

136 37Altura del triángulo: distancia del otro vértice, P3 (3, 6), a la base:

22

11

BA

CByAxd

22 )6(1

4)6)(6(3

37

4363

37

29

37

29

2

37

2937

triángulodel Área )superficie de (unidades 2

29

3. Si la abscisa de P es 2, encuentra su ordenada cuando la distancia dirigida de la recta a un punto P es -3. 01052 yx

Distancia dirigida: 22

11

BA

CByAxd

C < 0 signo del radical positivo, y para el punto P (2, y):

22 52

105)2(23

y

29

653

y 65)29)(3( y

29365 y La ordenada es:5

2936 y

y, por tanto:

5

2936,3

Índice