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Unidad 1
Movimiento rectilíneo
• Estudiar el movimiento de una partícula a lo largo de una línea
recta y representar gráficamente este movimiento.
• Escribir y aplicar ecuaciones que describan la posición de
un objeto en movimiento con velocidad constante y con
aceleración constante.
Ob
jeti
vo
s
�
IntroducciónLa física es una ciencia que estudia de manera sistemática a un grupo de fenómenos
naturales, los cuales son evidencias de propiedades básicas del universo y de las interacciones
que se presentan en él. En el contexto a estudiar se considera que las interacciones son
entre objetos cercanos y que un conjunto de interacciones y grupos de objetos son llamados
sistema. Un sistema puede estar limitado por fronteras físicas o imaginarias, por lo que
puede haber sistemas físicos muy pequeños, donde el objeto de estudio son las partículas
elementales, o tan grandes como el universo mismo.
La física se divide en varios campos de estudio. Uno de ellos es la mecánica, la cual
se encarga del estudio del movimiento de los cuerpos y su evolución en el tiempo bajo la
acción de fuerzas. La cinemática, parte de la mecánica, relaciona la posición, la velocidad
y la aceleración y puede predecir la trayectoria de un objeto en función del tiempo.
La mecánica de cuerpos rígidos está dividida en dos partes: estática y dinámica.
La estática estudia el equilibrio de las fuerzas sobre un cuerpo rígido. La cinemática,
parte de la dinámica, se refiere a la descripción del movimiento sin tomar en cuenta
las causas que lo producen; sólo describe el cómo y no el por qué del movimiento. La
cinética, parte de la dinámica, estudia las causas del movimiento de los objetos y se
ocupa de las leyes que lo rigen.
1.1 Movimiento
Para empezar a estudiar el concepto de movimiento de una manera muy simple,
tenemos que considerar a los objetos de nuestro estudio como partículas. Una partícula
o punto masa es un cuerpo dotado de masa del que se hace abstracción del tamaño y de
la forma, pudiéndose considerar como un punto.
C inemátiCa y dinámiCa
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Podemos considerar para su estudio a los diferentes objetos como partículas si lo que nos interesa es
el comportamiento de éstos como un todo.
El movimiento ocurre cuando un objeto cambia de posición en un determinado espacio con respecto
a un punto de referencia y mientras transcurre un cierto tiempo. Los movimientos que efectúan los
cuerpos en nuestro entorno son por lo general muy complejos, por lo tanto, resulta más conveniente
estudiar primero movimientos sencillos para aplicarlos en el estudio de movimientos más complicados.
El caso más sencillo para describir un movimiento es aquel que lleva a cabo una partícula en una línea
recta, es decir, en una dimensión, llamado movimiento rectilíneo.
Para describir el movimiento rectilíneo de una partícula se toma como referencia una trayectoria en
el eje de las x, usando un punto 0 de la línea como origen. La localización a la derecha o a la izquierda
del origen se denotará con un signo algebraico para x.
0x
ix
f
ti
t f
x
+
—
Figura 1.1.
Cuando se describe el movimiento de una partícula se define dónde se encuentra con respecto al
origen en un determinado instante de tiempo; hay que precisar que a un tiempo t la coordenada tiene
un determinado valor x, hecho que se denota como x(t). Esta función es llamada la trayectoria de la
partícula; de esta manera, si se conoce la relación x(t) para cualquier tiempo, está determinado dónde se
encuentra la partícula y cómo se mueve.
La información incluida en x(t) se puede representar por medio de una gráfica.
Ejemplo 1
El movimiento de un auto se define por ( ) 20 5x t t= + , y en forma tabular como:
x (en m) 20 25 30 35 40t (en s) 0 1 2 3 4
¿Qué tipo de gráfica tendrá el movimiento del auto?
11
Unidad 1
Es una línea recta, lo que significa que el movimiento es rectilíneo uniforme (no hay cambios de
velocidad).
1.2 Velocidad media y velocidad instantánea
Cuando se mueve una partícula, cambia de posición y se intuye que en un tiempo ti la partícula está
en una coordenada xi y que al tiempo t
f la partícula estará en una coordenada x
f.
ti
t f
0 xi x
fx
Figura 1.2.
La razón del cambio de posición de una partícula entre dos puntos que están en una línea recta se
define como el desplazamiento representado por el símbolo Δx, o sea Δx = xf – x
i, donde el signo de Δx
nos dará la dirección de la partícula:
Si xf > x
i, Δx es positivo. Si x
i > x
f, Δx es negativo
xi es la coordenada inicial y x
f es la coordenada final.
De manera análoga, se establece el cambio del tiempo o el intervalo de tiempo como Δt = tf – t
i.
A diferencia de lo que ocurre con el cambio de posición, Δt sólo puede ser positivo o cero.
La velocidad media (v) se define como el cambio de desplazamiento con respecto a un intervalo
de tiempo:
xv
t
Δ= Δ (1.1)
C inemátiCa y dinámiCa
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Donde Δx es el desplazamiento de la partícula y Δt es el tiempo transcurrido. De esta definición
se observa que la velocidad media tiene dimensiones de longitud entre tiempo (l/t); en el Sistema
Internacional de Unidades (SI) está en m/s y en el sistema inglés en ft/s.
Si la gráfica posición-tiempo de la figura 1.3 representa el movimiento de un objeto, y si se requiere
describir el comportamiento de éste en el intervalo de tiempo de ti a t
f, la pendiente de la recta que
une a los puntos A y B es la tangente del ángulo que forma esta recta con el eje horizontal, o sea que la
velocidad media corresponde a la tangente del ángulo θ de inclinación de la línea AB:
tanv = θ
t
x
t
xv∆∆
=
0 ti tf
Δtx i
x f
Δx
A
B
θ
Figura 1.3.
Hay que reconocer que existe una diferencia entre desplazamiento y distancia recorrida. El
desplazamiento es el cambio de posición y es una cantidad que tiene tanto magnitud como dirección,
por lo que es una cantidad vectorial; la distancia se refiere sólo a la longitud de una trayectoria seguida
por una partícula y siempre es positiva.
Es muy frecuente en el lenguaje habitual el uso similar de velocidad y rapidez, pero existe una
diferencia entre ambos términos. La rapidez media de una partícula es una cantidad escalar, mientras
que la velocidad nos indica la magnitud de qué tan rápido se mueve una partícula, así como en qué
dirección se mueve.
La rapidez se define como:
distancia recorridarapidez media =
tiempo transcurrido (1.2)
xv
t
Δ= Δ
13
Unidad 1
La rapidez media siempre va a ser positiva, mientras que la velocidad media puede tomar valores
positivos, negativos y de cero, dependiendo de la dirección en la cual se mueva nuestra partícula. El
signo indicará la dirección en el caso de la velocidad media.
En el caso de que el movimiento sea en línea recta y en un sólo sentido, la distancia y el desplazamiento
coinciden y se puede hablar indistintamente de rapidez y velocidad.
Ejemplo 2
Aplicando las definiciones anteriores, evalúa la velocidad media para un número de intervalos de
tiempo en la figura 1.4.
Figura 1.4.
Para ti = 1 s y t
f = 2 s:
12
f i
f i
(7 4) m3 m/s
(2 1) m
x xxv
y t t
−Δ −= = = =Δ − −Para t
i = 2 s y t
f = 4 s:
24
f i
f i
(9 7) m1 m/s
(4 2) m
x xxv
y t t
−Δ −= = = =Δ − −Para t
i = 3 s y t
f = 4 s:
34
f i
f i
(9 9) m0 m/s
(4 3) m
x xxv
y t t
−Δ −= = = =Δ − −Para t
i = 4 s y t
f = 5 s:
45
f i
f i
(4 9) m5 m/s
(5 4) m
x xxv
y t t
−Δ −= = = =Δ − −
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Se observa que el valor de la velocidad media depende del intervalo de tiempo escogido. La velocidad
media para Δt = 0 es nula (no hay desplazamiento); y donde Δt tiene un valor negativo, la velocidad media
es negativa (movimiento hacia el origen).
¿Cuál fue la rapidez de la partícula?
Ejemplo 3
La gráfica x-t del movimiento de un cuerpo se muestra en la figura 1.5. Obtener las velocidades
medias de la partícula a partir del instante t = 2 h para los intervalos de tiempo entre 2 h y 4 h.
2 3 4 5 6
10
15
20
25
30
35
40
x(km)
t(hr)
A
B
CD
a
Figura 1.5.
Para el Δt = 2 h corresponde una trayectoria de A a B:
35 km 20 km 15 kmxΔ = − =15 km
7.5 km/h2 h
xv
t
Δ∴ = = =ΔPara el Δt = 4 h corresponde una trayectoria de A a C:
20 km 20 km 0 kmxΔ = − = , el cambio de posición es nulo.
0 km0 km/h
4 h
xv
t
Δ∴ = = =Δ
15
Unidad 1
Tomando como punto inicial el punto A, se tendrán tantas velocidades medias diferentes como
intervalos se tomen.
Como se observa en la gráfica Δx = xf – x
i = BD, el intervalo Δt = t
f – t
i = DA, por lo tanto:
BDtan
DA
xv
t
Δ= = ≡ aΔLa velocidad media es la tangente del ángulo de inclinación de la línea que une los puntos A y B.
Dicho de otra manera, la velocidad media corresponde a la pendiente de la recta AB, por lo que una
línea con pendiente cero indica reposo.
Ejercicios 1
1. Describe el movimiento de una partícula de acuerdo con lo indicado en la figura 1.6.
x
A
B
C
D
E
F
x1
x5
x0
x3
tt1
t2
t3 t
4t
5
0
Figura 1.6.
2. Construye una gráfica x(t) con los datos de la tabla y describe el movimiento que realiza la
partícula.
t (s) x (m)0 3.31 5.72 2.43 –4.54 –7.85 –3.76 –1.3
C inemátiCa y dinámiCa
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3. Una persona camina 300 m hacia el este y luego gira y camina de regreso una distancia de 75 m.
¿Cuál es el desplazamiento y cuál fue la distancia total recorrida?
4. Un corredor da una vuelta a una pista de 400 m en un tiempo de 1.5 minutos. ¿Cuál es la velocidad
media y la rapidez media?
5. Calcula la velocidad media de una partícula si la función x(t) se comporta de acuerdo con lo mostrado
en la siguiente tabla:
t (s) x (m)0 3.21 4.32 1.83 –2.54 –4.55 –3.66 –2.2
Realiza los cálculos con Δt = 1 s y 2 s.
Velocidad instantánea
Para caracterizar la velocidad de una manera correcta se debe determinar la velocidad instantánea,
es decir, la velocidad en cualquier instante de tiempo en un solo punto, haciendo el intervalo de
tiempo tan pequeño como se pueda de modo que no ocurran cambios en el estado de movimiento en
un instante de tiempo. Dicho de otra manera, la velocidad instantánea es la velocidad media evaluada
sobre un intervalo de tiempo infinitesimal (cuando Δt tiende a cero).
Gráficamente podemos ilustrar el concepto de la velocidad instantánea de la siguiente manera:
x
t
tΔxΔ
Figura 1.7.
17
Unidad 1
Donde el Δt es tan pequeño que no puede distinguirse con claridad que es una línea recta. Se puede
observar que la velocidad instantánea corresponde a la tangente de la curva x-t y que es el límite de la
velocidad promedio para un pequeño intervalo cuando el tiempo tiende a cero.
La magnitud de la velocidad instantánea se puede determinar como:
0velocidad instantánea lim
t
x dxv
t dt
→Δ →
Δ= = =Δ (1.3)
Observamos que ésta es la definición de la derivada de x con respecto al tiempo; así entonces
obtenemos la velocidad instantánea evaluando la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo.
Por otro lado, de una curva tiempo-velocidad podemos encontrar el desplazamiento total como el
área total bajo la curva o, en el lenguaje del cálculo integral, como:
0
f i
t
t
vdtx x= + ∫ (1.4)
Este resultado nos dice que si conocemos la velocidad instantánea en el intervalo (0,t), podremos
calcular la coordenada xf o x(t).
Ajustando un número de rectángulos en la figura 1.8, cada uno con un ancho Δt bajo la curva, para
un intervalo de tiempo la velocidad se puede considerar constante. Por lo tanto, el desplazamiento
correspondiente Δx es vΔt que es el área del rectángulo sombreada. La suma de todos los rectángulos es
el desplazamiento total.
Figura 1.8.
Ejemplo 4
El desplazamiento de una partícula que se mueve unidimensionalmente está dado por
x = 6t2 + 3, donde x se expresa en metros y t en segundos. Calcula su velocidad media en el intervalo de
tiempo entre: a) 4 s y 5 s, b) 4 s y 4.5 s, c) 4 s y 4.01 s, y d) la velocidad instantánea a los 4 s.
v
v tΔ
t
C inemátiCa y dinámiCa
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a) Para t = 4 s, y usando la función, llegamos a xi = 6(4)2 + 3 = 99 m.
El Δt = (5 – 4) s = 1 s. Para t = 5 s, el valor de x = 6(5)2 + 3 = 153 m. Así entonces:
(153 99) m54 m/s
1 s
xv
t
Δ −= = =Δb) Para t = 4.5 s, tenemos que el Δt = (4.5 – 4), s = 0.5 s, x = 6(4.5)2 + 3 = 124.5 m. Por lo tanto:
(124.5 99) m51 m/s
0.5 s
xv
t
Δ −= = =Δc) Para t = 4.01 s, tenemos que el Δt = (4.01 – 4) s = 0.01 s, x = 6(4.01)2 + 3 = 99.4806 m. Por lo
tanto:(99.4806 99) m
48.06 m/s0.01 s
xv
t
Δ −= = =Δd) El valor de la magnitud de la velocidad instantánea cuando t = 4 s se calcula de la siguiente
forma:
2(6 3) 12dx d
v t tdt dt
= = + =
Para t = 4 s, obtenemos que v = 12(4) = 48 m/s.
Ejemplo 5
La gráfica de la trayectoria del movimiento de una partícula a lo largo de una línea recta se muestra
como:
Determina la velocidad media de la partícula.
Figura 1.9.
1�
Unidad 1
La velocidad media se determina por la pendiente de la línea Δx/Δt; podemos formar un triángulo
con esta línea como hipotenusa y tomar los siguientes datos:
Figura 1.10.
Por el triángulo mostrado en la figura 1.10, tenemos:
–33 cm cm0.50 5 10 m/s
6 s s
x
t
Δ = = = ×ΔÉsta es también la velocidad en el punto B y en todos los puntos sobre la línea recta de la gráfica.
Ejercicios 2
1. ¿Cuál será la velocidad instantánea de un tren de alta velocidad en t = 1.5 s que viaja en línea recta
y cuya posición varía con el tiempo según la expresión x(t) = At4 + Bt, donde x está en metros y t en
segundos; las constantes tienen los siguientes valores: A = 5.2 m/s4 y B = –2.1 m/s.
2. La trayectoria de un insecto se representa en una gráfica x-t de la figura 1.11. Encuentra la velocidad
instantánea al tiempo t = 5 s.
Figura 1.11.
0
10
20
30
40
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
t(s)
x(m)
C inemátiCa y dinámiCa
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3. Obtén la posición y la velocidad instantánea de un objeto en el instante de 3 h cuya función
x(t) = x0 + At, donde x
0 = 4 km y A = –5 km/h.
4. La gráfica de posición-tiempo para un determinado movimiento de una partícula se muestra en la
figura 1.12:
Figura 1.12.
Encuentra la velocidad instantánea de la partícula en t = 2.5 segundos.
5. Obtén la expresión de la velocidad instantánea para una trayectoria que tiene la función/
0( ) t rx t x e
−= .
1.3 Aceleración media y aceleración instantánea
En la descripción de muchos movimientos de la vida real se encuentra que algunos de éstos tienen
comportamientos arbitrarios. La velocidad de una partícula cambia conforme pasa el tiempo; visto de
otra manera, hay un cambio de velocidad (un Δv) en función del tiempo. A esta cantidad se le denomina
aceleración y es la razón de variación de la velocidad con respecto al tiempo.
La aceleración media se define como el cambio de velocidad con respecto a un intervalo de tiempo.
f i
f i
cambio de velocidadaceleración media
tiempo transcurrido
v v va
t t t
− Δ= = = =− Δ (1.5)
Donde Δv es el cambio en la velocidad de una partícula y Δt es el intervalo de tiempo transcurrido.
Al igual que en la descripción de la velocidad media, se observa en la figura 1.13 que la aceleración
media es la pendiente de la recta entre dos puntos en una curva tiempo-velocidad.
21
Unidad 1
Es posible conocer ahora la aceleración instantánea, que es el valor límite de la aceleración media
cuando el intervalo Δt es muy pequeño, por lo tanto, la magnitud de la aceleración instantánea se
puede determinar como:
0aceleración instantánea lim
t
v dva
t dt
→Δ →
Δ= = =Δ (1.6)
Figura 1.13.
Por lo tanto, se puede obtener la aceleración instantánea evaluando la derivada de la velocidad con
respecto al tiempo y, al igual que en el caso anterior, representa la pendiente de la línea tangente a la curva
de v en función de t. Otra manera de representar la magnitud de la aceleración instantánea está dada por:
2
2
( / )d v d d x dt d xa
dt dt dt
→ → →→ = = = (1.7)
Donde la aceleración representa la segunda derivada de la función que describe la posición con
respecto al tiempo. La aceleración tiene unidades de velocidad dividida por el tiempo. Sus dimensiones
son longitud entre tiempo al cuadrado, o sea (l/t2).
La velocidad es la pendiente de la curva tiempo-posición y la aceleración es la pendiente de la
curva tiempo-velocidad. Inversamente, el desplazamiento es el área bajo la curva tiempo-velocidad y la
velocidad es el área bajo la curva tiempo-aceleración como se mencionó anteriormente.
Ejemplo 6
La velocidad de un cohete que se mueve unidimensionalmente cambia con el tiempo de acuerdo con la
siguiente función v(t) = x0k sen (kt), donde t es en segundos, x
0 = 10 m y k = 5 s–1.
a) Encuentra la aceleración media en el intervalo t = 0 y t = 2 s.
b) Encuentra la magnitud de la aceleración instantánea en t = 25 s.
C inemátiCa y dinámiCa
22
a) Calculando las velocidades en ti = 0 s y t
f = 2 s al sustituir estos valores en la función que
describe a la velocidad:
1 1i (10 m)(5 s ) sen(5 s )(0 s) 0 m/sv
− − = =
1 1i (10 m)(5 s ) sen(5 s )(2 s) 8.68 m/sv
− − = =
La aceleración media es 2f i
f i
(8.68 0) m/s4.34 m/s
(2 0) s
v va
t t
− −= = =− −
b) Derivando la función de la velocidad de la siguiente manera:
20 0 0sen( ) (cos • ) cos
dv da x k kt x k kt k x k kt
dt dt= = = =
Sustituyendo valores en esta expresión:
2 –1 2–1 cos(5 s •25 s) 143.39 m/s(10 m)(5 s )a = = −
Ejemplo 7
En la figura 1.14 se muestra una gráfica x-t para el movimiento de una partícula. Obtener a) la gráfica
v-t, y b) la gráfica a-t.
Figura 1.14.
23
Unidad 1
a) Calculando primero las pendientes de tres puntos cualesquiera de la gráfica x-t de la figura
1.15.
Figura 1.15.
Al observar la escala de la gráfica en la figura 1.15 vemos que la línea A tiene una pendiente de
0.75 m/s, la línea B tiene una pendiente de cero y la línea C tiene una pendiente de –0.25 m/s. Estos
tres valores corresponderán a tres puntos de una gráfica v-t (recuerda que el valor de la pendiente es el
mismo para cualquier punto que esté sobre la línea).
Figura 1.16.
b) Las pendientes de las líneas tangentes de una gráfica v-t (figura 1.16) en cada punto nos dan los
valores de la aceleración.
v
C inemátiCa y dinámiCa
24
Cualquier punto en la línea D tiene una pendiente de –0.1 m/s2. La pendiente de la línea E tiene
un valor de –0.09 m/s2 y en la línea F su pendiente es de cero. La gráfica de la aceleración-tiempo se
muestra en la figura 1.17.
Figura 1.17.
Ejercicios 3
1. Una bicicleta lleva una velocidad de 16 km/h en el instante inicial; posteriormente en el instante
2 h tiene una velocidad de 24 km/h. ¿Qué aceleración media tiene la bicicleta?
2. Una partícula se encuentra inicialmente en reposo. Actúa sobre ella una aceleración de 4.7 m/s2
hacia la derecha. ¿Qué velocidad tendrá la partícula después de 0.3 s?
3. ¿Cuál será la aceleración instantánea de un tren de alta velocidad en t = 3 s que viaja en línea recta
y cuya posición varía con el tiempo según la expresión x(t) = At4 + Bt, donde x está en metros y t en
segundos; las constantes tienen los siguientes valores: A = 5.2 m/s4 y B = –2.1 m/s.
4. Un auto viaja en el sentido positivo del eje x en línea recta. El piloto aplica los frenos en el momento
que la velocidad es de 54 km/h y le toma 5 segundos frenar a una velocidad de 18 km/h. ¿Cuál será
la aceleración media del auto en m/s2?
5. Una partícula presenta en t = 0 una velocidad de 15.5 km/h hacia la derecha y sobre ella se aplica
una aceleración de 3.2 m/s2 en el mismo sentido. ¿Qué velocidad tendrá la partícula en el instante
de t = 5 segundos?
25
Unidad 1
1.4 Movimiento uniforme acelerado
El movimiento uniforme es aquel donde la velocidad tiene el mismo valor durante todo el intervalo
de tiempo, es decir, la velocidad se mantiene constante, esto quiere decir que la aceleración es cero y que
no hay cambio de velocidad o que un determinado objeto permanece en reposo.
El movimiento uniforme acelerado es el que realiza una partícula que experimenta la misma aceleración
durante todo el tiempo, es decir una aceleración constante que puede ser negativa o positiva.
A partir de una gráfica velocidad-tiempo donde se considera la aceleración constante, se puede
obtener la siguiente información:
Figura 1.18.
Usando además la expresión de la aceleración media pero con un ti = 0, encontramos que:
f i
f 0
v va
t
−= − (1.8)
Despejando la vf llegamos a la siguiente expresión:
f i fv v at= + (1.9)
Ésta tiene la forma de la ecuación de una línea recta, donde vi es la ordenada al origen y a la
pendiente de la recta, tal y como se muestra en la figura 1.18. Además, también nos proporciona la
velocidad en función del tiempo sólo en términos de la velocidad inicial, la aceleración y el tiempo
transcurrido, como se observa de la figura 1.18.
C inemátiCa y dinámiCa
26
Encontramos ahora una expresión para el desplazamiento x en términos del tiempo, de la aceleración
y de la velocidad inicial. Como se dijo anteriormente se puede encontrar el desplazamiento conociendo
el área bajo la curva de una gráfica velocidad-tiempo, la cual para este caso corresponde al área de un
rectángulo vit más el área de un triángulo recto ½(at)(t); así entonces se tiene que:
212f i ix x v t at= + + (1.10)
Esta ecuación nos da la posición final de una partícula en función del tiempo, tomando en cuenta
situaciones en que la partícula no parta del origen.
Es posible encontrar otra ecuación con base en la velocidad media, considerando que tiene una
aceleración constante, usando el promedio de la velocidad final e inicial:
i f
2
v vv
+= (1.11)
Para un ti = 0, y utilizando la expresión 1.8, se obtiene la siguiente ecuación:
12f i i f( )( )x x v v t= + + ó x
f = x
i + v
+=t (1.12)
Esta ecuación nos da la posición como función de la velocidad y el tiempo.
Aún se puede encontrar otra expresión que nos proporcione la velocidad sin necesidad de conocer el tiempo;
de la ecuación 1.9, despejando el tiempo y sustituyéndolo en la 1.12 para obtener la siguiente ecuación:
2 2f i f i2 ( )v v a x x= + − (1.13)
Esta ecuación nos da la velocidad final en función del desplazamiento.
Existen cuatro ecuaciones cinemáticas que se utilizan para relacionar velocidad, posición,
desplazamiento, tiempo y aceleración; son válidas solamente cuando la aceleración es constante.
f i fv v at= + (1.14a)
212f i ix x v t at= + + (1.14b)
12f i i f( )x x v v t= + + ó x
f = x
i + v
+=t (1.14c)
2 2f i f i2 ( )v v a x x= + − (1.14d)
27
Unidad 1
Ejemplo 8
Hallar las ecuaciones del movimiento con aceleración constante usando el concepto de la integral
indefinida.
Tomando en cuenta que la aceleración es constante y de su definición, podemos obtener lo
siguiente:
( )dv
a tdt=
Integrando y resolviendo a favor de la velocidad llegamos a:
( )dv a t dt=∫ ∫( ) Cv a t dt= +∫
Por lo tanto, 1Cv at= +Suponiendo ahora que v = v
i, cuando t = 0, entonces:
i 10v C= + y iv v at= +De la definición ( )
dxv t
dt= , podemos análogamente hacer el siguiente desarrollo:
2( ) ( ) ( ) Cdx v t dt dx v t dt x v t dt= ⇒ = ⇒ = +∫ ∫ ∫Sustituyendo la expresión de v en la última expresión:
212i i 2( ) Cx v at dt v t at= + = + +∫
Si x = 0 cuando t = 0, entonces C2 = 0 y, por lo tanto, 21
2ix v t at= +Conociendo que:
( )dv dv dx dv
a v vdv a x dxdt dx dt dx
= = ⋅ = ⋅ ⇒ =∫ ∫Resolviendo se llega a: 2
3C2
vax= +
Si a = cte y con v = vi cuando x = 0, por lo tanto
2i
3C2
v= y así se tiene que:
2 2i 2v v ax= +
C inemátiCa y dinámiCa
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Ejemplo 9
Un ingeniero desea diseñar en la selva una pista para aviones bombarderos F-15, un tipo de avión
que podría usar esta pista debe alcanzar una velocidad de 410 km/h antes de despegar y puede acelerar
hasta 12 m/s2. Si la pista tiene sólo 400 m de largo, a) ¿pueden alcanzar estos aviones la velocidad
adecuada para despegar?, y b) ¿cuál sería el mínimo de longitud necesaria para la pista?
a) Usando la ecuación 1.14d, 2 2f i f i2 ( )v v a x x= + − con los siguientes datos:
xi = 0, v
i = 0, x
f = 400 m, a = 12 m/s2 sustituyendo en la fórmula se tiene:
2 2 2 2 2f i(0) 2(12 m/s )(400 m 0) 9600 m /sv = + − =
98 m/s 352.8 km/hv = =Los aviones no pueden alcanzar la velocidad para despegar en una pista de 400 m.
b) Utilizando la misma ecuación 1.14d, pero ahora despejando el desplazamiento:
2 2f i
f i( )2
v vx x
a
− = −Sustituyendo, llegamos a:
2
f i2
(113.88 m/s) 0( ) 540.36 m
2(12 m/s )x x
− = − =
Ésta sería la longitud mínima de la pista para que los aviones puedan despegar.
Ejercicios 4
1. Un automóvil viaja a 55 km/h en una carretera recta, y disminuye su velocidad uniformemente
hasta 25 km/h en 10 s.
a) Encuentra la aceleración.
b) ¿Qué distancia ha recorrido en 10 s?
2�
Unidad 1
2. Hacer la gráfica de velocidad contra tiempo de dos naves en movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado, suponiendo que ambas se empiezan a mover en el mismo instante a partir de posiciones
iniciales idénticas. Los dos movimientos tienen las siguientes características:
Naves Velocidad inicial (m/s) Aceleración
A 3 0.5
B 9 –1.5
a) Determinar gráficamente el tiempo y la distancia recorrida por la nave B hasta que su velocidad
sea cero.
b) Determinar el instante en que las velocidades de las naves son iguales y la distancia que ha
recorrido cada nave.
3. Una bala de fusil parte del reposo y sale del cañón con una velocidad de 800 m/s. La longitud del
cañón es de 1.5 m y la aceleración producida por los gases de la pólvora sobre la bala es constante.
a) ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en recorrer el cañón?
b) ¿Qué valor tiene la aceleración?
4. Un auto viaja con aceleración constante y recorre un tramo de 540 m que separa dos
sitios distantes en 15 segundos; su velocidad cuando pasa por el segundo sitio es de
55 km/h.
a) ¿Cuál es su aceleración?
b) ¿Cuál es su velocidad en el primer sitio?
5. Un electrón que se mueve a una velocidad de 65 10 m/s× es disparado contra una lámina cuyo
espesor es de 42 10 cm−× . Sale de la lámina con una velocidad de 62 10 m/s× . ¿Cuál es el tiempo
que emplea el electrón en atravesar la lámina?
1.5 Caída libre de cuerpos
Un claro ejemplo de un movimiento uniformemente acelerado es el de la caída libre cerca de la
superficie de la Tierra. El movimiento de caída libre es unidimensional y es acelerado con una magnitud
que es casi constante ocasionada por la Tierra.
Cualquier objeto que se mueva libremente bajo la influencia de la gravedad, sin importar si es hacia
arriba o hacia abajo, se considera objeto en “caída libre”.
C inemátiCa y dinámiCa
30
Cualquier objeto cae realmente en “caída libre” sólo cuando se mueve a través del vacío. El tipo de
movimiento que vamos a estudiar aquí es aquel en el que se considera despreciable la resistencia del
aire. Si el aire influye en la caída, entonces el valor de la aceleración sería diferente y además es probable
que el movimiento ya no sea uniformemente acelerado.
La aceleración de un objeto en caída libre no depende de la masa del objeto. Cualquier objeto que
cae cerca de la superficie terrestre, cae con una aceleración constante de aproximadamente 9.81 m/s2.
Esta aceleración es muy importante en la física, se le designa con el símbolo g y es llamada aceleración
de la gravedad.
El valor de g no es una constante. Su valor difiere en varios lugares de la superficie terrestre; g decrece
al aumentar la distancia desde el centro de la Tierra.
Ejemplo 10
Se lanza una roca hacia arriba en dirección vertical con una velocidad de 100 m/s desde el techo de
un edificio de 400 m de altura. Encontrar a) el tiempo necesario para alcanzar la máxima altura, b) la
máxima altura que alcanza la roca sobre el suelo, y c) la velocidad al llegar al suelo.
Podemos utilizar las ecuaciones 1.14, pero en lugar de a usaremos el valor de g. Como el movimiento
es vertical, en lugar de la variable x usaremos la variable y. Además, ten en consideración que en
estas ecuaciones la aceleración es hacia abajo, por lo tanto, usando –g, el signo negativo indica que la
aceleración de un objeto en caída libre es hacia abajo.
Figura 1.19.
31
Unidad 1
a) Usando la 1.14a:
En la posición de máxima altura vf = 0, por lo tanto:
2f i f 0 100 m/s ( 9.81 m/s )( )v v gt t= + = = + − , despejando t:
t = 10.2 s
b) En este caso, usando la ecuación 1.14d:
2 2 21 12 2max i i 400 m (100 m/s)(10.2 s) ( 9.81 m/s )(10.2 s)y y v t gt= + + = + + −
max 909.7 my =c) Se tiene que saber primero el tiempo en que tarda en llegar al suelo; para esto consideremos la
posición del suelo como cero.
2 2 21 12 2i i0 400 m (100 m/s) ( 9.81 m/s )y v t gt t t= + + = + + −
Tenemos una ecuación de segundo grado en t, sus raíces son:
t = –3.42 s y t = 23.81 s. La respuesta negativa no tiene sentido físico, por lo que usaremos el
valor positivo en la 1.14a.
2f i f 100 m/s ( 9.81 m/s )(23.81 s) 133.6 m/sv v gt= + = + − = −
El signo indica que la roca se desplaza hacia abajo.
Ejemplo 11
Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba a 110 km/h. a) ¿Cuál es su desplazamiento después de
4 s? b) ¿Cuál es su velocidad después de 4 s?
a) Consideramos una velocidad inicial de 110 km/h o de 30.6 m/s y una aceleración de
–9.81 m/s2. Deseamos encontrar el desplazamiento en y para un t = 4 s, por lo que usaremos la
ecuación 1.14b, pensando en un desplazamiento vertical.
2 2 21 12 2f i i ( ) (30.6 m/s)(4 s) ( 9.81 m/s )(4 s) 44 my y v t g t y− = + − ⇒ Δ = + − =
C inemátiCa y dinámiCa
32
b) Para resolver esta pregunta usaremos la ecuación 1.14a.
2 2f i (30.6 m/s) ( 9.81 m/s )(4 s)v v at= + ⇒ + − == –24 s) 8.7 m/s= + ⇒ + − =
Cuatro segundos después de que el objeto se lanza, está a 44 m arriba del suelo y viaja hacia abajo
con una rapidez constante de 8.7 m/s.
Ejercicios 5
1. Una caja fuerte es lanzada verticalmente hacia abajo desde un edificio muy alto con una velocidad
de 9 m/s.
a) ¿Cuál será su velocidad después de 2 s?
b) ¿Qué distancia habrá recorrido en 2 s?
c) ¿Cuál será su velocidad después de descender 9 m?
2. Una maceta cae libremente de un edificio; al pasar por el piso 65 tiene una velocidad de 14 m/s y
al llegar al piso 20 tiene una velocidad de 33 m/s.
a) ¿Cuál es la distancia entre los pisos 65 y 20?
b) ¿En cuánto tiempo recorre la distancia calculada?
3. Desde el borde de un acantilado se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad
de 40 m/s. La altura del acantilado sobre la playa es de 117 m.
a) ¿Dónde se encuentra la piedra 6 s después de haber sido lanzada?
4. a) ¿Con qué velocidad ha de ser lanzada verticalmente hacia arriba una piedra para que alcance una
altitud de 25 m?
b) ¿Cuánto tiempo estará en el aire?
5. Se lanza una roca verticalmente hacia arriba en Marte y regresa a su punto de partida en 2 segundos. La
aceleración ocasionada por la gravedad en ese lugar es de 3.74 m/s2. Determina la velocidad inicial.
33
Unidad 1
Resultados de los ejercicios
Ejercicios 1
Velocidad media
1. Todo el movimiento es en una sola dimensión.
2.
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6
t (s)
x (m)
Todo el movimiento es en una sola dimensión
3. Distancia total recorrida = 375 m, desplazamiento = 125 m.
4. Velocidad media = 0, rapidez media = 4.44 m/s.
5.
t (s) x (m) Δt = 1 s Δt = 2 s
0 3.2 1.1 –0.7
1 4.3 –2.5 –3.15
2 1.8 –4.3 1.15
3 –2.5 –2
4 –4.5 0.9
5 –3.6 1.4
6 –2.2
(m)x
(s)t
C inemátiCa y dinámiCa
34
Ejercicios 2
Velocidad instantánea
1. 68.1 m/s.
2. 1.875 m/s.
3. x(3h) = 19 km, (3h) = 5 km/h.
4. 6 m/s.
5. /0( )e t r
x r−−
Ejercicios 3
Aceleración media
1. 2 4 24 km/h (3.08 10 m/s )−× .
2. 1.41 m/s.
3. 561.6 m/s2.
4. –2m/s2.
5. 68.89 m/s.
Ejercicios 4
Movimiento uniforme acelerado
1. a) –0.83 m/s2.
b) 111.45 m.
2. a) t = 6 s, x = 27 m.
b) t = 3 s, xA = 11.25 m, x
B = 20.25 m.
35
Unidad 1
3. a) t = 3.75x10-3 segundos.
b) 213.33x103 m/s2.
4. a) –2.76 m/s2.
b) 56.68 m/s (204.04 km/h).
5. 135.71 10 s−× .
Ejercicios 5
Caída libre
1. a) 28.6 m/s.
b) 37.6 m.
c) 16.04 m/s.
2. a) 45.56 m.
b) 1.94 s.
3. a) 63.6 m sobre el acantilado, cayendo.
4. a) 22.15 m/s.
b) 4.5 s.
5. 7.48 m/s.