Unidad 1 Conceptos y Criterios Económicos y el Valor del Dinero a Través del Tiempo

CUESTIONARIO

1.- EXPLIQUE QUE ES LA INGENIERIA ECONOMICA Y LA IMPORTANCIA DE ESTA PARA LOS INGENIEROS Y OTROS PROFESIONISTAS.

Es la disciplina que se preocupa de los aspectos económicos de la ingeniería; implica la evaluación sistemática de los costos y beneficios de los proyectos técnicos propuestos, se encarga del aspecto monetario de las decisiones tomadas por los ingenieros al trabajar para hacer que una empresa sea lucrativa en un mercado altamente competitivo.(http://www.buenastareas.com/ensayos/Importancia-De-La-Ingenieria-Economica/1496877.html).Es la rama que calcula las unidades monetarias, las determinaciones que los ingenieros toman y aconsejan a su labor para lograr que una empresa sea altamente rentable y competitiva en el mercado económico.(http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_econ%C3%B3mica)En si lo que nos dice es que la ingeniería económica es importante porque permite adquirir conocimientos para un mejor manejo de los insumos dentro de la empresa permitiendo así el desarrollo de la misma.Es importante para los ingenieros ya que los ayuda a actuar con mayor eficiencia , obteniendo mayor producción con el insumo que se le da, extendiendo en ellos la capacidad de análisis en lo que respecte a la economía , como dicen es importante porque el manejo correcto de los insumos con los que cuenta la empresa

son indispensable para que esta pueda sustentarse dentro del mercado. (http://html.rincondelvago.com /ingenieria-economica_2.htm)

Es importante para otros profesionistas ya que les permite tomar mejores decisiones los cuales influyen posteriormente, previniéndose de aspectos importantes como flujo de efectivo, tasa de interés y su tiempo de ocurrencia. (http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_econ%C3%B3mica).

2.- SEÑALAR LA IMPORTANCIA DE LA INGENIERIA ECONOMICA EN LA TOMA DE DECISIONES.

Bueno es importante esta toma de decisión porque en ella se deben tener en cuenta los siguientes elementos: flujo de efectivo, tasa de interés y el tiempo que tendrán cambios estos aspectos.

Permitiendo así que la decisión que se tomen las precauciones necesarias para evitar la quiebra de la empresa ya que el dinero cambia su valor a través del tiempo.

3.-EXPLIQUE QUE ES EL FLUJO DE EFECTIVO Y SU DIAGRAMA

Es un estado contable básico que informa sobre los movimientos de efectivo y sus equivalentes, distribuidas en tres categorías: actividades operativas, de inversión y de financiamiento. (http://es.wikipedia.org /wiki/Estado_de_flujo_de_efectivo)Es útil porque suministra a los usuarios de los estados financieros las bases para evaluar la capacidad que tiene la empresa para generar efectivo y equivalentes al efectivo, así como sus necesidades de liquidez.(http://www.monografias.com/trabajos66/finanzas-publicas/finanzas-publicas2.shtml)[)9)9()))===987908

(http://www.monografias.com/trabajos29/flujos-efectivo/flujos-efectivo.shtml)

4.- ¿CÓMO DEBEMOS ENTENDER EL VALOR DE DINERO A TRAVES DEL TIEMPO?

Es un concepto basado en la premisa de que un inversor prefiere recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo monto en una fecha futura pero queda igual si no lo tocas ni lo usas ni pides prestado.(http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_tiempo_del_dinero)Esto es porque conforme pasa el tiempo el valor del dinero va cambio es decir no es estático el valor que tiene sino que cambia conforme el tiempo pasa.

5.- EXPLIQUE QUE ES LA CAPITALIZACION.

Término utilizado en finanzas, bancos, títulos y valores financieros.Es la que implica la agregación de los intereses al Capital de tal forma que se reinvierten en el siguiente período al mismo tipo de Interés.( http://es.mimi.hu/economia/capitalizacion.html)

Consiste en invertir el dinero o prestarlo produciéndonos intereses durante el tiempo que dure la inversión o el préstamo.

6.- EXPLIQUE QUE ES LA QUIVALENCIA

El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés acumulada conjuntamente genera el concepto de equivalencia esto significa que diferentes sumas de dinero en diferentes tiempos pueden tener igual valor económico.

7.- EXPLIQUE LA DIFERENCIA ENTRE INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO.

El sistema de interés simple se caracteriza por el hecho de que los intereses producidos por el capital en el período no se acumulan al mismo para generar intereses en el próximo período.

El sistema de interés compuesto se caracteriza por el hecho de que los intereses producidos por el capital en el período se acumulan al mismo para generar intereses en el próximo período.- Por lo que si al vencimiento de la operación se renueva la misma por un nuevo período al incorporarse los intereses al capital original; se podrá observar que los intereses que ganará en este segundo período serán mayores a los generados en el primero.

Es decir que el interés simple no se acumula y el compuesto sí.

Desarrollo UNIDAD 1

Fundamentos de ingeniería económica, valor del dinero a través del tiempo y frecuencia de capitalización de interés.

1.1.            Importancia de la ingeniería económica

¿Por que es tan importante la ingeniería económica?

      En la vida cotidiana se toman decisiones de toda índole prácticamente a diario. Sin duda alguna, las decisiones que el individuo toma en un determinado momento y lugar, generan repercusiones que pueden afectar en gran o pequeña medida su futuro. Al momento de tomar una decisión, el individuo toma en cuenta factores económicos y no económicos, o factores tangibles e intangibles, lo que sustenta en gran medida la decisión que vaya a seleccionar.

     Dejando a un lado los factores subjetivos, el individuo toma decisiones basándose principalmente en los factores económicos que implican estas. Es ahí donde radica la importancia de la ingeniería económica. La ingeniería económica hace referencia a la determinación de los factores y criterios económicos utilizados cuando se considera una selección entre un o más opciones. Dicho de otro modo, la ingeniería económica aplica un enfoque racional para evaluar los aspectos económicos implicados en la toma de decisiones.

      De lo mencionado anteriormente, se puede inferir que la importancia de la ingeniería económica, radica en el instrumental que le proporciona al agente económico para tomar o seleccionar las decisiones más racionales. Prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. Las opciones que se tomen cambian la vida de las personas poco y algunas veces considerablemente. Por ejemplo, la compra en efectivo de una nueva camisa aumenta la selección de ropa del comprador cuando se viste cada día y reduce la suma de dinero que lleva consigo en el momento. Por otra parte, el comprar un nuevo automóvil y suponer que un préstamo para automóvil nos da opciones nuevas de transporte, puede causar una reducción significativa en el efectivo disponible a medida que se efectúan los pagos mensuales. En ambos casos, los factores económicos y no

económicos, lo mismo que los factores tangibles e intangibles son importantes en la decisión de comprar la camisa o el automóvil.

     Los individuos, los propietarios de pequeños negocios, los presidentes de grandes corporaciones y los dirigentes de agencias gubernamentales se enfrentan rutinariamente al desafío de tomar decisiones significativas al seleccionar una alternativa sobre otra. Éstas son decisiones de cómo invertir en la mejor forma los fondos, o el capital, de la compañía y sus propietarios. El monto del capital siempre es limitado, de la misma manera que en general es limitado el efectivo disponible de un individuo. Estas decisiones de negocios cambiarán invariablemente el futuro, con la esperanza de que sea para mejorar. Por lo normal, los factores considerados pueden ser, una vez más, económicos y no económicos, lo mismo que tangibles e intangibles. Sin embargo, cuando las corporaciones y agencias públicas seleccionan una alternativa sobre otra, los aspectos financieros, el retorno del capital invertido, las consideraciones sociales y los marcos de tiempo con frecuencia adquieren mayor importancia que los aspectos correspondientes a una selección individual.

1.1.1.       La importancia de la Ing. Económica en la toma de decisiones

     La gente toma decisiones; los computadores, las metodologías y otras herramientas no lo hacen. Las técnicas y los modelos de ingeniería económica ayudan a la gente a tomar decisiones. Puesto que las decisiones afectan lo que se realizará, el marco de tiempo de la ingeniería económica es generalmente el futuro. Por consiguiente, los números utilizados en un análisis de ingeniería económica son las mejores estimaciones de lo que se espera que ocurra.

     Es común incluir resultados en un análisis de hechos observados. Éste utiliza los métodos de la ingeniería económica para analizar el pasado, puesto que no se toma una decisión de seleccionar una alternativa (futura) sobre otra. En lugar de ello, el análisis explica o caracteriza los resultados. Por ejemplo, una corporación puede haber iniciado una división de pedidos por correo hace 5 años. Ahora ésta desea conocer el retorno real sobre la inversión (RSI) o la tasa de retorno (TR) experimentada por esta división.

     El análisis de resultados y la decisión de alternativas futuras se consideran el dominio de la ingeniería económica.

¿Cuál es el papel de la ingeniería económica en la toma de decisiones?

     Un procedimiento muy popular utilizado para considerar el desarrollo y selección de alternativas es el denominado enfoque de solución de problemas o proceso de toma de decisiones. Los pasos habituales en el enfoque son los siguientes:

Pasos en la solución de problemas

1. Entender el problema y la meta.2. Reunir información relevante.3. Definir las soluciones alternativas.4. Evaluar cada alternativa.5. Seleccionar la mejor alternativa utilizando algunos criterios.6. Implementar la solución y hacer seguimiento a los resultados.

     La ingeniería económica tiene un papel importante en los pasos 2, 3 y 5, y es la técnica principal en el paso 4 para realizar el análisis de tipo económico de cada alternativa. Los pasos 2 y 3 establecen las alternativas y la ingeniería económica ayuda a estructurar las estimaciones de cada uno. El paso 4 utiliza uno o más modelos de la ingeniería económica para completar el análisis económico sobre el cual se toma una decisión.

Tipo de decisiones de la ingeniería económica. (Primera parte)

Algunas de las preguntas, que en general se hacen los Ingenieros cuando ejercen su profesión, son:

¿Cuál de los diseños que concursan se debe seleccionar?¿Se debe sustituir la máquina que se está usando?Con capital disponible limitado, ¿qué parte de la Inversión se debe consolidar?Por seguridad, ¿es preferible seguir un programa conservador, o uno que contiene mayores riesgos pero que pueden redituar mejores dividendos?

     Entre varios proyectos de inversión del capital, que en esencia producen utilidades equivalentes, pero que gastan recursos de manera diferente, ¿cuál es preferible?

     Los beneficios que se espera que produzcan los proyectos del servicio público, ¿son lo bastante grandes como para que los costos sean aceptables?

Deben ser evidentes dos características en las preguntas anteriores, la primera es que en cada una se elige entre varías alternativas, y la segunda es que todas están relacionadas con consideraciones económicas. La amplitud de los problemas, la profundidad de análisis y el panorama, de aplicación que un Ingeniero encuentra en su trabajo varían mucho. A los ingenieros recién graduados se les asigna regularmente a proyectos de reducción de costos, y se espera que tengan conciencia de los costos en la totalidad de sus actividades. A medida que logran experiencia pueden convertirse en especialistas en ciertos terrenos de aplicación, o enfrentarse a responsabilidades más generales como gerentes. Los principiantes se ven limitados habitualmente a tomar decisiones a corto plazo, correspondientes a operaciones de política que afectan grandes cantidades de dinero, a la vez, que resultan Influenciadas por muchos factores de consecuencias futuras a largo plazo. A ambas situaciones se aplican los principios y las prácticas de la economía aplicada a la ingeniería

Tipo de decisiones de la ingeniería económica. (Segunda parte)

     La mayoría de las grandes decisiones, incluso las de carácter personal, tienen resonancia económica. Este empleo repetido hace que el tema de la Ingeniería económica resulte tan desafiante como plagado de recompensas. Aparte del trabajo tradicional realizado con los hombres de ciencia para desarrollar nuevos descubrimientos sobre la naturaleza y convertirlos en productos útiles, se espera ahora que los ingenieros no solamente generen soluciones tecnológicas nuevas, sino que también hagan análisis financieros bien fundados acerca de los efectos de la implementación. En las relaciones, actualmente tan estrechas y confusas entre la     Industria, el público y el gobierno, los análisis de costo y valor se supone que han de ser más detallados y amplios (por ejemplo, la seguridad de los trabajadores, los efectos ambientales, la protección, del consumidor) que lo eran anteriormente. Sin tales análisis un proyecto entero puede fácilmente convertirse en una carga en lugar de ser un beneficio.

     El proceso para desarrollar un nuevo proyecto de inversión es el siguiente: alguien tiene una buena idea, la desarrolla bien y obtiene buenos resultados. Las ideas de proyectos pueden originarse en diversos niveles de la organización. Como algunas ideas serían buenas en tanto que otras no, es necesario establecer procedimientos para le selección de proyectos. Muchas de las grandes compañías cuentan con una división especializada de análisis de proyectos que en forma activa se dedica a buscar nuevas ideas, proyectos y actividades.

Tipo de decisiones de la ingeniería económica (tercera parte)Una vez identificadas las ideas de proyectos, por lo general se clasifican como:                    Proyectos de expansión y productos nuevos                    Destinados a incrementar las ventas y las ganancias:Introducir productos nuevos.

     Los productos nuevos difieren de los existentes en lo que respecta al uso, función o tamaño, y su propósito es

aumentar las ventas llegando a nuevos mercados o clientes, o satisfaciendo requisitos de uso final que antes no se cubrían. La venta de estos productos generalmente es adicional a las ventas existentes. Las decisiones relacionadas con proyectos nuevos se basan en si los flujos de entrada de efectivo esperados por la venta del producto nuevo tienen la magnitud suficiente para justificar la inversión en equipo, capital circulante y otros costos necesarios para elaborar e introducir el producto.

Proporcionar instalaciones para satisfacer oportunidades de ventas actuales o previstas de productos existentes.

     El punto central en este caso es si debe comprarse o construirse, una instalación nueva. Los flujos de entrada de efectivo anticipados son los ingresos adicionales por los bienes y servicios producidos en las nuevas instalaciones.

Proyectos de mejora de productos

     Esta clase incluye gastos orientados a mejorar la posibilidad de venta de productos existentes y proporcionar productos que reemplacen a los existentes. El propósito de estos gastos es mantener o mejorar la posición competitiva de los productos existentes. Los nuevos productos difieren de los existentes únicamente en lo que se refiere a diseño, calidad, color o estilo, y no se pretende con ellos alcanzar nuevos mercados o clientes ni satisfacer requisitos de uso, final que no se hayan cumplido antes.

Tipo de decisiones de la ingeniería económica. (Cuarta parte)

Proyectos de mejora de costos

Esta clase incluye proyectos diseñados para: Reducir los costos y gastos de las operaciones existentes, manteniendo el volumen de producción anual existente.

 Evitar aumento en costos previstos que incurrirían con el volumen presente de producción anual.

 Evitar futuros aumentos en costos que se incurrirían al aumentar el volumen de producción anual.

Proyectos de reemplazo

     Los proyectos de esta clase son los necesarios para reemplazar activos existentes que ya son obsoletos o están desgastados; si no se reemplazan, el resultado seria operaciones más lentas o la imposibilidad de llevarlas a cabo. En el caso de proyectos de reemplazo hay que justificar el reemplazo en lugar de la reparación del equipo existente. Cualquier ingreso incremental que genere un proyecto de reemplazo se considera como beneficio adicional al evaluar el proyecto.   Los flujos de entrada de efectivo que se esperan de un proyecto de reemplazo son los ahorros en costo, obtenidos por una reducción en los costos operativos, los ingresos por el aumento en el volumen de producción gracias al nuevo equipo, o ambos.1.1.2 Tasa de interés y tasa de rendimientoTasa de interés

     Es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero".

     En términos generales, a nivel individual, la tasa de interés (expresada en porcentajes) representa un balance entre el riesgo y la posible ganancia (oportunidad) de la utilización de una suma de dinero en una situación y tiempo determinado. En este sentido, la tasa de interés es el precio del dinero, el cual se debe pagar/cobrar por tomarlo prestado/cederlo en préstamo en una situación determinada. Por ejemplo, si las tasas de interés fueran la mismas tanto para depósitos en bonos del Estado, cuentas bancarias a largo plazo e inversiones en un nuevo tipo de industria, nadie invertiría en acciones o depositaria en un banco. Tanto la industria como el banco pueden ir a

la bancarrota, un país no. Por otra parte, el riesgo de la inversión en una empresa determinada es mayor que el riesgo de un banco. Sigue entonces que la tasa de interés será menor para bonos del Estado que para depósitos a largo plazo en un banco privado, la que a su vez será menor que los posibles intereses ganados en una inversión industrial.

Historia del concepto

     Aparentemente el cobro de interés se remonta a la antigüedad más remota. Por ejemplo, en textos de las religiones brahmánicas se aconseja contra el cobro de interés excesivo.

     Posteriormente, en la Edad Media europea el cobro de interés fue, bajo la influencia de las doctrinas católicas, considerado inaceptable: el tiempo se consideraba propiedad divina, cobrar entonces por el uso temporal de un objeto o bien (dinero incluido) era considerado comerciar con la propiedad de Dios, lo que hizo que su cobro fuese prohibido bajo pena de excomunión.

     Posteriormente, Tomás de Aquino adujo que cobrar interés es un cobro doble: por la cosa y por el uso de la cosa. Consecuentemente, cobrar interés llego a ser visto como el pecado de Usura

     Esta situación empezó a cambiar durante el Renacimiento. Los préstamos dejaron de ser principalmente para el consumo y empezaron (junto al movimiento de dineros) a jugar un papel importante en la prosperidad de ciudades y regiones. Frente a eso, la escuela de Salamanca propone una nueva visión del interés: si el que recibe el préstamo lo hace para beneficiarse, el que lo otorga tiene derecho a parte de ese beneficio dado que no sólo toma un riesgo pero también pierde la oportunidad de beneficiarse de ese dinero usándolo de otra manera, el llamado coste de oportunidad.

     Con esas nuevas proposiciones se empiezan a crear las bases para la percepción del dinero como una mercadería, la cual, como cualquier otra, puede ser comprada, vendida o arrendada. Una importante contribución a esta visión se origina con Martín de Azpilcueta, uno de los más prominentes miembros de esa escuela. De acuerdo con él, un individuo prefiere recibir un bien en el presente a recibirlo en el futuro. Esa "preferencia" implica una diferencia de valor, así, el interés representa un pago por el tiempo que un individuo es privado de ese bien.

Época moderna

     Los primeros estudios formales del interés se sitúan en los trabajos de Mirabeau, Jeremy Bentham y Adam Smith durante el nacimiento de las teorías económicas clásicas. Para ellos, el dinero está sujeto a la ley de la oferta y demanda transformándose, por así decirlo, en el precio del dinero. Posteriormente, Karl Marx ahonda en las consecuencias de esa transformación del dinero en mercadería, que el describe como la aparición del capital financiero.

     Esos estudios permiten, por primera vez, al Banco Central de Francia intentar controlar la tasa de interés a través de la Oferta de dinero (cantidad de dinero en circulación) con anterioridad a 1847.

     A comienzos del siglo XX, Irving Fisher incorpora al estudio del fenómeno diferentes elementos que lo afectan (tal como la inflación) introduciendo la diferencia entre las tasas de interés nominal y real. Fisher retoma la idea de la escuela de Salamanca y aduce que el valor tiene una dimensión no solo cuantitativa sino también temporal. Para este autor, la tasa de interés mide la función entre el precio futuro de un bien con relación al precio actual en términos de los bienes sacrificados ahora a fin de obtener ese bien futuro.

     En la actualidad la concepción de la tasa de interés tanto entre académicos como en la práctica en instituciones financieras esta fuertemente influida por las visiones de John Maynard Keynes y Milton Friedman.

Los tipos de interés como instrumento de la política monetaria

     Desde el punto de vista de la política monetaria del Estado, una tasa de interés alta incentiva el ahorro y una tasa de interés baja incentiva el consumo. De ahí la intervención estatal sobre los tipos de interés a fin de fomentar ya sea el ahorro o la expansión, de acuerdo a objetivos macroeconómicos generales.

Dado lo anterior, las tasas de interés "reales", al público quedan fijadas por:

 La tasa de interés fijada por el banco central de cada país para préstamos (del Estado) a los otros bancos o para los préstamos entre los bancos (la tasa interbancaria). Esta tasa corresponde a la política macroeconómica del país (generalmente es fijada a fin de promover el crecimiento económico y la estabilidad financiera).

 La situación en los mercados de acciones de un país determinado. Si los precios de las acciones están subiendo, la demanda por dinero (a fin de comprar tales acciones) aumenta, y con ello, la tasa de interés.

 La relación a la "inversión similar" que el banco habría realizado con el Estado de no haber prestado ese dinero a un privado. Por ejemplo, las tasas fijas de hipotecas están referenciadas con los bonos del Tesoro a 30 años.

Las tasas de interés en la banca

En el contexto de la banca se trabaja con tasas de interés distintas:

 Tasa de interés activa: Es el porcentaje que las instituciones bancarias, de acuerdo con las condiciones de mercado y las disposiciones del banco central, cobran por los diferentes tipos de servicios de crédito a los usuarios de los mismos. Son activas porque son recursos a favor de la banca.

 Tasa de interés pasiva: Es el porcentaje que paga una institución bancaria a quien deposita dinero mediante cualquiera de los instrumentos que para tal efecto existen.

 Tasa de interés preferencial: Es un porcentaje inferior al "normal" o general (que puede ser incluso inferior al costo de fondeo establecido de acuerdo a las políticas del Gobierno) que se cobra a los préstamos destinados a actividades específicas que se desea promover ya sea por el gobierno o una institución financiera. Por ejemplo: crédito regional selectivo, crédito a pequeños comerciantes, crédito a ejidatarios, crédito a nuevos clientes, crédito a miembros de alguna sociedad o asociación, etc.

Tipos de intereses nominales y reales

     Los tipos de interés se modulan en función de la tasa de inflación. Una tasa de inflación superior al tipo de interés nominal implica un tipo de interés real y, como consecuencia, una rentabilidad negativa para un inversor.

Tipos de interés del mercado

     El mercado, en el que se negocian valores tales como bonos, acciones, futuros, etc.), por efecto de la oferta y la demanda, fija para cada clase de activos un tipo de interés que depende de factores tales como:

 Las expectativas existentes sobre la tasa de inflación.

 El riesgo asociado al tipo de activo: los inversores exigen un tipo de interés mayor como contrapartida por asumir mayores riesgos.

 La preferencia por la liquidez: cuanto menos líquido sea el activo, mayor compensación exigirán los inversores. Por este motivo los inversores suelen exigir retribuciones mayores por inversiones a mayor plazo.

Tasa de rendimiento

     Tasa de rendimiento: (Rate earned). Porcentaje que, aplicado al monto de inversión. Muestra la ganancia de la inversión. Tasa de rendimiento interna (TRI): (internal rate of return). Es la tasa que se gana en una proposición de inversión, siendo la tasa de interés la que corresponde con la inversión inicial (1) con el valor actual (VA) de futuras entradas de efectivo, es decir, a la TRI, 1 = VA, o bien, VAN (valor actual neto) = 0. De acuerdo con el método de la tasa de rendimiento interna, la regla de decisión es: Aceptar el proyecto si la TRI excede el costo de capital; de otra manera, rechazar dicha proposición.

Tasa de rendimiento simple:

     Es una medida de rentabilidad que se obtiene, dividiendo los ingresos netos anuales esperados en el futuro entre la inversión requerida. También se conoce como la tasa de rendimiento contable, o bien, la tasa de

rendimiento no ajustada. Algunas veces, se utiliza la inversión promedio en lugar de la inversión inicial original, la cual se llama la tasa de rendimiento promedio.

Tasa de rendimiento sobre la inversión

     Es el porcentaje anual de rendimiento después de impuestos que realmente se genera o se anticipa de una inversión. Por ejemplo, si se realiza una inversión de $100,000 en acciones y el rendimiento sobre las mismas después de impuestos asciende a $8,000, la tasa de rendimiento es del 8%. La tasa de rendimiento se expresará en términos de porcentaje, y deberá indicar la cantidad de mercancías que se aprovechará y las mermas, subproductos y desperdicios, con indicación de sí estos últimos, son comercializables o no. Dicha tasa es requisito indispensable en la matriz insumo producto.

1.1.3 Introducción a las soluciones por computadoras

     La solución de un problema por computadora, requiere de siete pasos, dispuestos de tal forma que cada uno es dependiente de los anteriores, lo cual indica que se trata de un proceso complementario y por lo tanto cada paso exige el mismo cuidado en su elaboración. Los siete pasos de la metodología son los siguientes: 1. Definición del problema 2. Análisis de la solución 3. Diseño de la solución 4. Codificación 5. Prueba y Depuración 6. Documentación 7. Mantenimiento Definición del problema. Es el enunciado del problema, el cual debe ser claro y completo. Es fundamental conocer y delimitar por completo el problema, saber que es lo se desea realice la computadora, mientras esto no se conozca del todo, no tiene caso continuar con el siguiente paso. Análisis de la solución. Consiste en establecer una serie de preguntas acerca de lo que establece el problema, para poder determinar si se cuenta con los elementos suficientes para llevar a cabo la solución del mismo, algunas preguntas son:      ¿Con qué cuento? Cuáles son los datos con los que se va a iniciar el proceso, qué tenemos que proporcionarle a la computadora y si los datos con los que cuento son suficientes para dar solución al problema.      ¿Qué hago con esos datos? Una vez que tenemos todos los datos que necesitamos, debemos determinar que hacer con ellos, es decir que fórmula, cálculos, que proceso o transformación deben seguir los datos para convertirse en resultados.      ¿Qué se espera obtener? Que información deseamos obtener con el proceso de datos y de que forma presentarla; en caso de la información obtenida no sea la deseada replantear nuevamente un análisis en los puntos anteriores.      Es recomendable que nos pongamos en el lugar de la computadora y analicemos que es lo que necesitamos que nos ordenen y en que secuencia para producir los resultados esperados. Diseño de la solución. Una vez definido y analizado el problema, se procede a la creación del algoritmo (Diagrama de flujo ó pseudocódigo), en el cual se da la serie de pasos ordenados que nos proporcione un método explícito para la solución del problema.      Es recomendable la realización de pruebas de escritorio al algoritmo diseñado, para determinar su confiabilidad y detectar los errores que se pueden presentar en ciertas situaciones. Éstas pruebas consisten en dar valores a la variable e ir probando el algoritmo paso a paso para obtener una solución y si ésta es satisfactoria continuar con el siguiente paso de la metodología; de no ser así y de existir errores deben corregirse y volver a hacer las pruebas de escritorio al algoritmo. Codificación. Consiste en escribir la solución del problema (de acuerdo al pseudocódigo); en una serie de instrucciones detalladas en un código reconocible por la computadora; es decir en un lenguaje de programación (ya sea de bajo o alto nivel), a esta serie de instrucciones se le conoce como PROGRAMA. Prueba y Depuración. Prueba es el proceso de identificar los errores que se presenten durante la ejecución del programa; es conveniente que cuando se pruebe un programa se tomen en cuenta los siguientes puntos:

1. - Tratar de iniciar la prueba con una mentalidad saboteadora, casi disfrutando la tarea de encontrar un error. 2. - Sospechar de todos los resultados que arroje la solución, con lo cual se deberán verificar todos. 3. - Considerar todas las situaciones posibles, normales y aún las anormales. La Depuración consiste en eliminar los errores que se hayan detectado durante la prueba, para dar paso a una solución adecuada y sin errores. Documentación. Es la guía o comunicación escrita que sirve como ayuda para usar un programa, o facilitar futuras modificaciones. A menudo un programa escrito por una persona es usado por muchas otras, por ello la documentación es muy importante; ésta debe presentarse en tres formas: EXTERNA, INTERNA y AL USUARIO FINAL. Documentación Interna. Consiste en los comentarios o mensajes que se agregan al código del programa, que explican las funciones que realizan ciertos procesos, cálculos o fórmulas para el entendimiento del mismo. Documentación Externa. También conocida como Manual Técnico, está integrada por los siguientes elementos: Descripción del Problema, Nombre del Autor, Diagrama del Flujo y/o Pseudocódigo, Lista de variables y constantes, y Codificación del Programa, esto con la finalidad de permitir su posterior adecuación a los cambios. Manual del Usuario.Es la documentación que se le proporciona al usuario final, es una guía que indica el usuario como navegar en el programa, presentando todas las pantallas y menús que se va a encontrar y una explicación de los mismos, no contiene información de tipo técnico. Mantenimiento. Se lleva a cabo después de determinado el programa, cuando se ha estado trabajando un tiempo, y se detecta que es necesario hacer un cambio, ajuste y/o complementación al programa para que siga trabajando de manera correcta. Para realizar esta función, el programa debe estar debida mente documentado, lo cual facilitará la tarea. ---Estoy invitando a todos los maestros y profesionales de esta área y/o carrera a colaborar construyendo este sitio dedicado a esta hermosa y útil profesión aportando el material apropiado a cada uno de los más de 1,000 temas que lo componen.

1.1.4 Flujo de  efectivo: estimación y diagramación

     El propósito básico de la estimación de los flujos de efectivo es proporcionar información sobre los ingresos y pagos efectivos de una entidad comercial durante un período contable. Además, pretende proporcionar información acerca de todas las actividades de inversión y financiación de la empresa durante el período.

Así, un estado de flujo de efectivo debe ayudar a los inversionistas, acreedores y otros usuarios en la evaluación de aspectos tales como:a) La capacidad de la empresa para generar flujo efectivo positivo en períodos futuros.b) La capacidad de la empresa para cumplir con sus obligaciones.c) Razones para explicar diferencias entre el valor de la utilidad neta y el flujo de efectivo neto relacionado con la operación.d) Tanto el efectivo como las transacciones de inversión de financiación que no hacen uso de efectivo durante el período.

     Las empresas muestran por separado los flujos de efectivos relacionados con actividades de operación, de inversión y de financiación.

Los flujos efectivos relacionados con las actividades de inversión incluyen : Ingresos de efectivo: Efectivo producto de la venta de inversiones o activo fijo.Efectivo producto del recaudo de valores sobre préstamos.

Pagos efectivos:Pagos para adquirir inversiones y activos fijos.Valores anticipados a prestatarios.

Los flujos efectivos clasificados como actividades de financiación, incluyen:Ingreso de efectivo:Productos de préstamos obtenidos a corto y largo plazo.Efectivos recibidos de propietarios (ejemplo, por emisión de acciones).Pagos de efectivo:Pagos de valores prestados (excluye pagos de intereses).Pagos a propietarios, como dividendos en efectivo.

     Los ingresos y los pagos de intereses se clasifican como actividades de operación porque el flujo de caja neto proveniente de las actividades de operación reflejará los efectos en el efectivo de aquellas transacciones que se incluyen en la determinación de la utilidad neta.

     El flujo de efectivo proveniente de operaciones posee una esencial importancia; a largo plazo, se espera que una empresa genere flujo de efectivos positivos provenientes de sus operaciones si la empresa desea sobrevivir. Una empresa con flujo de efectivos negativos provenientes de operaciones no será capaz de obtener efectivo indefinidamente de otras fuentes. En efecto, la capacidad de una empresa para obtener efectivo a través de actividades de financiación depende considerablemente de su capacidad para generar efectivo proveniente de operaciones.

     En la mayoría de las empresas, se prepara el estado del flujo de efectivos examinando el estado de resultados y los cambios durante el período de todas las cuentas del balance general, excepto caja.

     Generalmente el diagrama de flujo de efectivo se representa gráficamente por flechas hacia arriba que indican un ingreso y flechas hacia abajo que indican un egreso. Estas flechas se dibujan en una recta horizontal cuya longitud representa la escala total de tiempo del estudio que se esté haciendo. Esta recta se divide en los periodos de interés del estudio, la duración de estos periodos debe ser la misma que el periodo en el cual se aplica la tasa de interés.

1.2 El valor del dinero a través del tiempo

     De todas las técnicas que se utilizan en finanzas ninguna es más importan te como la del valor del dinero a través del tiempo o análisis de flujo de efectivo descontado (DCF). La línea del tiempo es una herramienta que se utiliza en el análisis del valor del dinero a través del tiempo, es una representación gráfica que se usa para mostrar la periodicidad de los flujos de efectivo.

                    Flujo de salida es el depósito, un costo o cantidad pagada

                    Flujo de entrada, son los ingresos en una fecha determinada

                    FVn = PV (1+i)n

     El dinero juega un papel fundamental en la vida diaria de las personas.  Se trabaja entre otras razones por dinero, se compra con dinero y se vende con dinero.  Es más, se dice  que casi todo se puede comprar con el dinero.  La aparición del dinero solucionó los inconvenientes que tenía el trueque para poder realizar los intercambios de bienes y servicios en la sociedad.

     Hay un fenómeno económico conocido como inflación, el cual consiste en la pérdida de poder adquisitivo del dinero con el paso del tiempo. Ningún país en el mundo está exento de inflación, ya sea que tenga un valor bajo, de 2 a 5 % anual en países desarrollados, o por arriba del 1000 % anual, como en algunos países de América del Sur. Nadie puede escapar de ella. De la misma forma, nadie sabe con certeza por qué es necesaria la inflación o por qué se origina en cualquier economía. Lo único en que se hace énfasis, es que el valor del dinero cambia con el tiempo debido principalmente a este fenómeno, de lo contrario, es decir, si no hubiera in-flación, el poder adquisitivo del dinero sería el mismo a través de los años y la eva luación económica probablemente se limitaría a hacer sumas y restas simples de las ganancias futuras (sin embargo, no debe

olvidarse la capacidad todavía más importante del dinero de generar ganancias o generar riqueza en el transcurso del tiempo).

1.2.1 Interés Simple e interés compuesto

     El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.

     Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.

     La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año).

     Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza.

Fórmula general del interés simple:

 Valor actual

     La longitud de una escalera es la misma contada de arriba abajo como de abajo arriba. El valor futuro VF puede considerarse como la cima vista desde abajo y el valor actual VA como el fondo visto desde arriba.

     El valor actual de una cantidad con vencimiento en el futuro, es el capital que a un tipo de interés dado, en períodos también dados, ascenderá a la suma debida.

     Si conocemos el monto para tiempo y tasa dados, el problema será entonces hallar el capital, en realidad no es otra cosa que el valor actual del monto. Derivamos el VA de la fórmula general:

     Siendo ésta la fórmula para el valor actual a interés simple, sirve no sólo para períodos de año, sino para cualquier fracción del año.

     El descuento es la inversa de la capitalización. Con ésta fórmula calculamos el capital equivalente en un momento anterior de importe futuro.

Otras fórmulas derivadas de la fórmula general:

Si llamamos I a los intereses percibidos en el período considerado, convendremos:

La diferencia entre VF y VA es el interés (I) generado por VA.

     Y también, dada la fórmula general, obtenemos la fórmula del importe de los intereses:

I = VA (1+n*i) - VA = VA + VA*n* i - VA

I = (principal)*(tasa de interés)*(número de períodos)

(Inversiones) I = monto total hoy - inversión original

(Préstamos) I =saldo de deuda - préstamo inicial

Con la fórmula [8] igual calculamos el interés (I) de una inversión o préstamo.

Sí sumamos el interés I al principal VA, el monto VF o valor futuro será.

VF = VA(1+i*n)

Despejando éstas fórmulas obtenemos el tipo de interés y el plazo:

     El tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa.

Al utilizar tasas de interés mensual, el resultado de n estará expresado en meses. En estas fórmulas la tasa de interés (i) está indicada en forma decimal.

Nomenclatura:

I = Interés expresado en valores monetarios

VA= Valor actual, expresado en unidades monetarias

VF = Valor futuro, expresado en unidades monetarias

n = Periodo de capitalización,  unidad de tiempo, años, meses, diario,...

i= Tasa de interés, porcentaje anual, mensual, diario, llamado también tasa de interés real.

Interés Compuesto

      El concepto y la fórmula general del interés compuesto es una potente herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero.

El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.

     Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto.

     El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.

Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto:

1. El capital original (P o VA)2. La tasa de interés por período ( i)3. El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción ( n).Por ejemplo:

Sí invertimos una cantidad durante 5½ años al 8% convertible semestralmente, obtenemos:

El período de conversión es: 6 meses

La frecuencia de conversión será: 2 (un año tiene 2 semestres)

Entonces el número de períodos de conversión es:

(Número de años)*(Frecuencia de conversión) = 5½ x 2 = 11

Fórmulas del Interés Compuesto:

La fórmula general del interés compuesto es sencilla de obtener:

VA0,

VA1 = VA0 + VA0i = VA0 (1+i),

VA2 = VA0 (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)2

VA3 = VA0 (1+i) (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)3

Generalizando para n períodos de composición, tenemos la fórmula general del interés compuesto:

Fórmula para el cálculo del monto (capital final) a interés compuesto. Para n años, transforma el valor actual en valor futuro.

El factor (1 + i)n es conocido como Factor de Acumulación o Factor Simple de Capitalización (FSC), al cual nos referiremos como el factor VF/VA (encontrar VF dado VA). Cuando el factor es multiplicado por VA, obtendremos el valor futuro VF de la inversión inicial VA después de n años, a la tasa i de interés.

Tanto la fórmula del interés simple como la del compuesto, proporcionan idéntico resultado para el valor n = 1.

VF = VA (1+ni) = VF = VA (1+i)n

VA (1+1i) = VA (1+i)1

VA (1+i) = VA (1+i)

Si llamamos I al interés total percibido, obtenemos:

I = VF - VA luego I = VF - VA = VA (1+i)n - VA

1.2.2 Concepto de equivalencia     Es un concepto de mucha importancia en el ámbito financiero; utilizado como modelo para simplificar aspectos de la realidad.      Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta indiferente recibir una suma de dinero hoy (VA - valor actual) y recibir otra diferente (VF - valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período; expresamos este concepto con la fórmula general del interés compuesto:       Fundamental en el análisis y evaluación financiera, esta fórmula, es la base de todo lo conocido como Matemáticas Financieras. Hay dos reglas básicas en la preferencia de liquidez, sustentadas en el sacrificio de consumo.1. Ante dos capitales de igual valor en distintos momentos, preferiremos aquel más cercano. 2. Ante dos capitales presentes en el mismo momento pero de diferente valor, preferiremos aquel de importe más elevado.      La preferencia de liquidez es subjetiva, el mercado de capitales le da un valor objetivo a través del precio que fija a la transacción financiera con la tasa de interés.      Para comparar dos capitales en distintos instantes, hallaremos el equivalente de los mismos en un mismo momento, y para ello utilizamos las fórmulas de las matemáticas financieras.      Como vimos, no es posible sumar unidades monetarias de diferentes períodos de tiempo, porque no son iguales. Cuando expusimos el concepto de inversión, vimos que la persona ahorra o invierte UM 10 para obtener más de UM 10 al final de un período, determinamos que invertirá hasta cuando el excedente pagado por su dinero, no sea menor al valor asignado al sacrificio de consumo actual, es decir, a la tasa a la cual está dispuesta a cambiar consumo actual por consumo futuro.       Equivalencia no quiere decir ausencia de utilidad o costos; justamente ésta permite cuantificar el beneficio o pérdida que significa el sacrificio de llevar a cabo una operación financiera. Un modelo matemático representativo de estas ideas, consiste en la siguiente ecuación: VF = VA + compensación por aplazar consumo Donde: VF = Suma futura poseída al final de n períodos, Valor Futuro. VA = Suma de dinero colocado en el período 0, Valor Actual.

El valor actual (VA) es equivalente a mayor cantidad en fecha futura (VF), siempre y cuando la tasa de interés sea mayor a cero. Diagrama de equivalencia de capitales      Al cabo de un año UM 100 invertido al 9% anual, es UM 109. Entonces decimos: el valor futuro de UM 100 dentro de un año, al 9% anual, es UM 109. En otras palabras: el valor actual de UM 109 dentro de un año, al 9% anual, es UM 100. Es decir UM 100 es equivalente a UM 109 dentro de un año a partir de hoy cuando la tasa de interés es el 9% anual. Para una tasa de interés diferente al 9%, UM 100 hoy no es equivalente a UM 109 dentro de un año. Aplicamos el mismo razonamiento al determinar la equivalencia para años anteriores. UM 100 hoy es equivalente a UM 100 / 1.09 = UM 91.74, es decir: UM 91.74 hace un año (anterior), UM 100 hoy y UM 109 dentro de un año (posterior) son equivalentes entre sí al 9% de capitalización o descuento. Con esto establecemos que: Estas tres sumas de dinero son equivalentes al 9% de interés anual, diferenciado por un año.       Las fórmulas financieras que permiten calcular el equivalente de capital en un momento posterior, son de Capitalización Simple o Compuesta, mientras aquéllas que permiten calcular el equivalente de capital en un momento anterior las conocemos como fórmulas de Descuento Simple o Compuesto. Estas fórmulas permiten también sumar o restar capitales en distintos momentos. Desarrollamos ampliamente el concepto de equivalencia cuando tratamos las clases de interés.

1.2.3 Factores de pago único

     Para esta condición debemos satisfacer dos requisitos: 1) Debe utilizarse la tasa periódica para i, y 2) las unidades en n deben ser las mismas que aquéllas en i. Luego, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente forma:

VA = VF (VA/VF), i periódica, número de períodos VF = VA (VF/VA), i periódica, número de períodos

Así, para la tasa de interés del 18% anual compuesto mensualmente, podemos utilizar variedad de valores para i y los valores correspondientes de n como indicamos a continuación con algunos ejemplos:

Tasa de interés efectiva i Unidades para n 1.5% mensual Meses 4.57% trimestral Trimestres 9.34% semestral Semestral 19.56% anual Años 42.95% cada 2 años Período de dos años 70.91% cada 3 años Período de tres años

Los cálculos de la tasa periódica, lo hacemos aplicando la ecuación [43]. Como ejemplo desarrollaremos el proceso para la obtención de la tasa efectiva trimestral:

j = 1.5 * 3 = 4.5% (0.045); m = 3; i =?

El mismo procedimiento es aplicable para la obtención de la tasa efectiva de un número infinito de unidades de n.

Ejercicio 121 (Capitalización de depósitos variables)

Si depositamos UM 2,500 ahora, UM 7,500 dentro de 3 años a partir de la fecha del anterior abono y UM 4,000 dentro de seis años a la tasa de interés del 18% anual compuesto trimestralmente. Deseamos saber cuánto será el monto acumulado dentro de 12 años.

Solución: Como sabemos, en las ecuaciones sólo utilizamos tasas de interés efectivas o periódicas, por ello, primero calculamos la tasa periódica trimestral a partir de la tasa nominal del 18%:

j = 0.18; n = 4; i =?

Utilizando la tasa periódica de 4.5% por trimestre y luego períodos trimestrales para n, aplicamos sucesivamente la fórmula.

n1..3 = (12*4) = 48, (8*4) = 32 y (6*4) = 24

Respuesta: El monto que habremos acumulado dentro de 12 años, capitalizados trimestralmente es UM 62,857.55

1.2.4 Factores de valor presente y recuperación de capital

     Cuando utilizamos uno o más factores de serie uniforme o gradiente, debemos determinar la relación entre el período de capitalización, PC, y el período de pago, PP. Encontramos esta relación en cada uno de los 3 casos:

1. El período de pago es igual al período de capitalización, PP = PC 2. El período de pago es mayor que el período de capitalización, PP > PC 3. El período de pago es menor que el período de capitalización, PP < PC

Para los dos primeros casos PP = PC y PP > PC, debemos: a) Contar el número de pagos y utilizar este valor como n. Por ejemplo, para pagos semestrales durante 8 años, n = 16 semestres. b) Debemos encontrar la tasa de interés efectiva durante el mismo período que n en (a). c) Operar en las fórmulas de los tres grupos de problemas sólo con los valores de n e i.1.2.5 Factor de fondo de amortización y cantidad compuestaMétodo de fondo de amortización de salvamento      Cuando un activo tiene un valor de salvamento terminal (VS), hay muchas formas de calcular el VA.      En el método del fondo de amortización de salvamento, el costo inicial P se convierte primero en una cantidad anual uniforme equivalente utilizando el factor A/P. Dado normalmente, su carácter de flujo de efectivo positivo, después de su conversión a una cantidad uniforme equivalente a través del factor A/F, el valor de salvamento se agrega al equivalente anual del costo inicial. Estos cálculos pueden estar representados por la ecuación general:VA = -P(A/P,i,n) + VS(A/F,i,n) ; naturalmente, si la alternativa tiene cualquier otro flujo de efectivo, éste debe ser incluido en el cálculo completo de VA.     Ejemplo: Calcule el VA de un aditamento de tractor que tiene un costo inicial de $8000 y un valor de salvamento de $500 después de 8 años. Se estima que los costos anuales de operación de la máquina son $900 y se aplica una tasa de interés del 20% anual.VA = -8000(AP,20,8[0.26061]) + 500(AF,20,,8[0.06061]) - 900 = -2954.58     Ejemplo: una pizzería local acaba de comprar una flota de cinco mini vehículos eléctricos para hacer entregas en un área urbana. El costo inicial fue de $4600 por vehículo y su vida esperada y valores de salvamento son 5 años y $300 respectivamente. Se espera que los costos combinados del seguro, mantenimiento, recargo y lubricación sean de $650 el primer año y aumenten en $50 anuales de ahí en adelante. El servicio de entrega generará una cantidad extra estimada de $1200 anuales. Si se requiere un retorno del 10% anual, use el método del VA para determinar si la compra debió haberse hecho.VA = 5*4600(AP,10,5[0.2638]) + 5*300(AF,10,5[0.1638])-650 - 50(AG,10,5[1.8101] + 1200 = -$5362.21Puesto que VA es menor < 0 y se espera un retorno del 10%, la compra no se justifica.Interés Compuesto

     El concepto y la fórmula general del interés compuesto es una potente herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero.      El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.      Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto.      El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación. Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto: 1º. El capital original (P o VA) 2º. La tasa de interés por período (i) 3º. El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n).

1.3 Frecuencia de capitalización de intereses. Frecuencia de capitalización     En un sistema de capitalización, se define la frecuencia como el número de veces que los intereses producidos se acumulan al capital para producir nuevos intereses, durante un período de tiempo.

     Es decir, si consideramos un período de tiempo anual (n = 12 meses), la frecuencia será 2 si los intereses se capitalizan semestralmente, 3 si se capitalizan cuatrimestralmente, 4 si se capitalizan trimestralmente, 12 si se capitalizan mensualmente. Generalizando la frecuencia de capitalización m, se dará cuando los intereses se capitalicen n/m

1.3.1 tasa de interés nominal y efectiva

     Tasa de interés nominal. Se refiere al regreso de los ahorros en términos de la cantidad de dinero que se obtiene en el futuro (un tiempo determinado) para un monto dado de ahorro reciente.

     La tasa efectiva anual (TEA) aplicada una sola vez, produce el mismo resultado que la tasa nominal según el período de capitalización. La tasa del período tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva.

Tasa Nominal      La tasa nominal es el interés que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa convencional o de referencia lo fija el Banco Federal o Banco Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. Es una tasa de interés simple.

Siendo la tasa nominal un límite para ambas operaciones y como su empleo es anual resulta equivalente decir tasa nominal o tasa nominal anual. La ecuación de la tasa nominal es:

j = tasa de interés por período x número de períodos

Ejercicio 116 (Calculando la TEA) ¿A cuánto ascenderá un préstamo de UM 1,000 al cabo de un año si el interés del 36% capitaliza mensualmente? ¿Cuál es la TEA? Solución: VA = 1,000; i = 0.03 (36/12); n = 12; VF = ?; TEA = ?

Luego la TEA del préstamo es:

Como vemos el préstamo de UM 1,000 ganó 42.58% de interés en un año. Esto es, a la tasa nominal del 36%, el Banco en un año ganó la tasa efectiva del 42.58%, la misma que representa la tasa efectiva anual (TEA).

Tasa Efectiva      Con el objeto de conocer con precisión el valor del dinero en el tiempo es necesario que las tasas de interés nominales sean convertidas a tasas efectivas.

     La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización del interés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa globalmente el pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operación financiera implique. La tasa efectiva es una función exponencial de la tasa periódica.

     Las tasas nominales y efectivas, tienen la misma relación entre sí que el interés simple con el compuesto (Capítulo 3). Las diferencias están manifiestas en la definición de ambas tasas.

     Con el objeto de conocer con precisión el valor del dinero en el tiempo es necesario que las tasas de interés nominales sean convertidas a tasas efectivas. Por definición de la palabra nominal «pretendida, llamada, ostensible o profesada» diríamos que la tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real, genuina o efectiva.

     La tasa de interés nominal puede calcularse para cualquier período mayor que el originalmente establecido. Así por ejemplo: Una tasa de interés de 2.5% mensual, también lo expresamos como un 7.5% nominal por trimestre (2.5% mensual por 3 meses); 15% por período semestral, 30% anual o 60% por 2 años. La tasa de interés nominal ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual capitaliza el interés. La tasa efectiva es lo opuesto. En forma similar a las tasas nominales, las tasas efectivas pueden calcularse para cualquier período mayor que el tiempo establecido originalmente como veremos en la solución de problemas.

     Cuando no está especificado el período de capitalización (PC) suponemos que las tasas son efectivas y el PC es el mismo que la tasa de interés especificada. Es importante distinguir entre el período de capitalización y el período de pago porque en muchos casos los dos no coinciden.

Por ejemplo:      Si una persona coloca dinero mensualmente en una libreta de ahorros con el 18% de interés compuesto semestralmente, tendríamos: Período de pago (PP) : 1 mes Período de capitalización (PC) : 6 meses Análogamente, si alguien deposita dinero cada año en una libreta de ahorros que capitaliza el interés trimestralmente, tendríamos: Período de pago (PP) : 1 año Período de capitalización (PC) : 3 meses A partir de ahora, para solucionar los casos que consideren series uniformes o cantidades de flujos de efectivo de gradiente uniforme, primero debemos determinar la relación entre el período de capitalización y el período de pago.

Derivación de la fórmula de la tasa efectiva      Una forma sencilla de ilustrar las diferencias entre las tasas nominales y efectivas de interés es calculando el valor futuro de UM 100 dentro de un año operando con ambas tasas. Así, si el banco paga el 18% de interés compuesto anualmente, el valor futuro de UM 100 utilizando la tasa de interés del 18% anual será:

VF = 100 (1 + 0.18)1 = UM 118

     Ahora, si el banco paga intereses compuestos semestralmente, el valor futuro incluirá el interés sobre el interés ganado durante el primer período. Así, a la tasa de interés del 18% anual compuesto semestralmente el banco pagará 9 % de interés después de 6 meses y otro 9% después de 12 meses (cada 6 meses).      El cuadro no toma en cuenta el interés obtenido durante el primer período. Considerando el período 1 de interés compuesto, los valores futuros de UM 100 después de 6 y 12 meses son: VF6 = 100 (1 + 0.09)1 = UM 109.00 VF12 = 109 (1 + 0.09)1 = UM 118.81

     9% representa la tasa efectiva de interés semestral. Como vemos, el interés ganado en 1 año es UM 18.81 en lugar de UM 18. Luego, la tasa efectiva anual es 18.81%.

La fórmula para obtener la tasa efectiva a partir de la tasa nominal es: i = tasa periódica j = tasa nominal m = número de períodos de capitalización

     Despejando la fórmula obtenemos la fórmula de la tasa nominal de interés en función de la tasa efectiva equivalente: El subíndice m de j indica el número de veces por año que capitaliza.

Fórmulas para calcular la tasa periódica      Tasa periódica: Tasa de interés cobrada o pagada en cada período. Por ejemplo, semanal, mensual o anual. Tiene la particularidad de ser simultáneamente nominal y efectiva.

Fórmula que permite calcular la tasa periódica a partir de la tasa efectiva dada. Fórmula que permite calcular la tasa efectiva anual (TEA) a partir de la tasa periódica dada.

Calculando las tasas efectivas      Con la fórmula podemos calcular las tasas efectivas de interés para cualquier período mayor que el de capitalización real. Por ejemplo, la tasa efectiva del 1% mensual, podemos convertirla en tasas efectivas trimestrales, semestrales, por períodos de 1 año, 2 años, o por cualquier otro más prolongado. En la fórmula las unidades de tiempo en i y j siempre deben ser las mismas. Así, si deseamos la tasa de interés efectiva, i, semestral, necesariamente j debe ser la tasa nominal semestral. En la fórmula la m siempre es igual al número de veces que el interés estará compuesto durante el tiempo sobre el cual buscamos i.

Ejercicio 117 (Tasa efectiva)      Un préstamo no pagado al Banco tiene la tasa de interés del 3% mensual sobre el saldo pendiente de pago. 1) Determinar la tasa efectiva semestral. 2) Si la tasa de interés es de 7% por trimestre, calcular las tasas efectivas semestrales y anuales. 3) Con las cifras del (2) determinar las tasas nominales j. Solución (1): La tasa de interés es mensual. Como lo solicitado es la tasa efectiva semestral aplicamos la fórmula:

TEASEMESTRAL = (1 + 0.03)6 -1 = 0.1941

Solución (2): Para la tasa de 7% por trimestre, el período de capitalización es trimestral. Luego, en un semestre, m = 2. Por tanto:

TEASEMESTRAL = (1 + 0.07)2 -1 = 0.1449 TEAANUAL = (1 + 0.07)4 -1 = 0.3108

Solución (3): (1) i = 0.07; n = 2; j = ?

j = 0.07*2 = 0.14 semestral j = 0.07*4 = 0.28 anual

Ejercicio 118 (Cálculo de tasas a partir de la tasa nominal)      Calcular las tasas efectivas (i) para 0.25%, 7%, 21%, 28%, 45%, 50% tasas nominales (j) utilizando la fórmula [43] con períodos de capitalización (m) semestral, trimestral, mensual, semanal y diaria:

j = 0.0025; m = 2; i =? j = 0.07; m = 4; i =? j = 0.21; m = 12; i =? j = 0.28; m = 52; i =? j = 0.50; m = 365; i =?

     Los resultados son tasas efectivas anuales equivalentes a tasas nominales. Aplicando este proceso hemos elaborado el cuadro, para todas las tasas nominales y períodos de capitalización indicados.

Ejercicio 119 (Calculando la TEA, el FSA)      Una institución financiera publicita que su tasa de interés sobre préstamos que otorga es 1.86% mensual. Determinar la tasa efectiva anual y el factor simple de capitalización (FSA o VA/VF) para 12 años.

Solución: Para calcular la tasa efectiva anual: j = 0.0186; n = 12; TEA =? [43B] TEA = (1 + 0.0186)12 -1 = 0.2475 Hay dos formas de calcular el factor FSA: TEA = 0.2475; m =12; FSA =? 1º Por interpolación entre i=0.24 e i= 0.26 y n =12: Graficando: Interpolando: Utilizando el factor de la fórmula [29] o la función VA, es la forma más fácil y precisa de encontrar el valor del factor: i = 0.2475; n = 12; FSA =?

1.3.2 cuando los periodos de interés coinciden con los periodos de pago.

     Las fórmulas del interés continuo simplifican frecuentemente la solución de modelos matemáticos complejos. En todas las fórmulas anteriores hemos utilizado el convenio de fin de período para pagos globales a interés discreto. A partir de ahora, en la solución de los ejemplos y/o ejercicios utilizaremos cualquiera de estos dos métodos según el requerimiento de cada caso.

     Cuando el interés capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito, la fórmula puede escribirse de forma diferente. Pero antes es necesario, definir el valor de la constante de Neper (e) o logaritmo natural que viene pre programada en la mayoría de calculadoras representado por ex.

Ecuación que define la constante de Neper

     Cuando m se acerca a infinito, el límite de la fórmula lo obtenemos utilizando j/m = 1h, lo que hace m = hj.      Ecuación para calcular la tasa de interés efectiva continúa. De aplicación cuando la relación m = j es muy pequeña. En caso contrario operamos con la fórmula, sin embargo, debemos aclarar que al utilizarla cuando m /

j es pequeña lleva al mismo resultado obteniendo dicho valor a través de la notación; es decir, el enunciado anterior no es más que un caso práctico de la expresión.

Ejercicio 120 (Calculando la tasa continua) 1) Para la tasa nominal del 18%, la tasa efectiva anual continua será: j = 0.18; e = 2.71828; i =? i = (2.71828)0.18 - 1 = 0.1972 TEA

2) Calcular la tasa efectiva anual y mensual continua (TEAC) para la tasa de interés de 21% anual compuesto continuamente. i = (2.71828)0.0175-1 = 0.01765 tasa efectiva mensual continua i = (2.71828)0.21 - 1 = 0.233678 TEAC

3) Una persona requiere el retorno efectivo mínimo de 22% sobre su inversión, desea saber cuál sería la tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar la capitalización continua. En este caso, conocemos i y deseamos encontrar j, para resolver la ecuación en sentido contrario. Es decir, para i = 22% anual, debemos resolver para j tomando el logaritmo natural (ln). ej - 1 = 0.22 ej = 1.22 ln ej = ln 1.22 j = 0.1989 (19.89%) tasa nominal

La fórmula general para obtener la tasa nominal dada la tasa efectiva continua es: , aplicando al numeral (3), obtenemos: j = ln(1.22) = 19.89% tasa nominal

1.3.3 Cuando los periodos de interés son menores que los periodos de pago

     Esta parte corresponde a la relación 3, de la sección 2.3.2. Caso en que el período de pago es menor al período de capitalización (PP < PC). El cálculo del valor actual o futuro depende de las condiciones establecidas para la capitalización entre períodos. Específicamente nos referimos al manejo de los pagos efectuados entre los períodos de capitalización. Esto puede conducir a tres posibilidades: 1. No pagamos intereses sobre el dinero depositado (o retirado) entre los períodos de capitalización. 2. Los abonos (o retiros) de dinero entre los períodos de capitalización ganan interés simple. 3. Finalmente, todas las operaciones entre los períodos ganan interés compuesto.

     De las tres posibilidades la primera corresponde al mundo real de los negocios. Esto quiere decir, sobre cualquier dinero depositado o retirado entre los períodos de capitalización no pagamos intereses, en consecuencia estos retiros o depósitos corresponden al principio o al final del período de capitalización. Esta es la forma en que operan las instituciones del sistema financiero y muchas empresas de crédito.

1.3.4 Cuando los periodos de interés  son mayores que los periodos de pago.

     En los casos en que el período de capitalización de un préstamo o inversión no coincide con el de pago, necesariamente debemos manipular adecuadamente la tasa de interés y/o el pago al objeto de establecer la cantidad correcta de dinero acumulado o pagado en diversos momentos. Cuando no hay coincidencia entre los períodos de capitalización y pago no es posible utilizar las tablas de interés en tanto efectuemos las correcciones respectivas.

     Si consideramos como ejemplo, que el período de pago (un año) es igual o mayor que el período de capitalización (un mes); pueden darse dos condiciones: 1. Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar los factores del 1º Grupo de problemas factores de pago único (VA/VF, VF/VA). 2. Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar series uniformes (2º y 3º Grupo de problemas) o factores de gradientes.

1.3.5 Tasa de interés efectiva para capitalización continúa

     A medida que el periodo de capitalización disminuye el valor de m, número de periodos de capitalización por periodo de interés, aumenta. Cuando el interés se capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito.

Se utiliza la siguiente fórmula:Ejemplo:Cambiar tasa efectiva anual de 10 % a capitalización continua i = 20,10 - 1i = 0,10517i = 10,51 %

Ejercicio 120 (Calculando la tasa continua) 1) Para la tasa nominal del 18%, la tasa efectiva anual continua será: j = 0.18; e = 2.71828; i =? [45] i = (2.71828)0.18 - 1 = 0.1972 TEA

2) Calcular la tasa efectiva anual y mensual continua (TEAC) para la tasa de interés de 21% anual compuesto continuamente. [45] i =( 2.71828)0.0175-1 = 0.01765 tasa efectiva mensual continua [45] i = (2.71828)0.21 - 1 = 0.233678 TEAC

3) Una persona requiere el retorno efectivo mínimo de 22% sobre su inversión, desea saber cuál sería la tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar la capitalización continua. En este caso, conocemos i y deseamos encontrar j, para resolver la ecuación [43] en sentido contrario. Es decir, para i = 22% anual, debemos resolver para j tomando el logaritmo natural (ln). [45] ej - 1 = 0.22 ej = 1.22 ln ej = ln 1.22 j = 0.1989 (19.89%) tasa nominal La fórmula general para obtener la tasa nominal dada la tasa efectiva continua es: , aplicando al numeral (3), obtenemos: j = ln (1.22) = 19.89% tasa nominal