1MDULO CIENTFICO TECNOLGICOPROGRAMACIN DEL MDULO VOLUNTARIODEL PCPIMATERIA MATEMTICASFICHA DE TEORA Un. 1. NMEROS ENTEROS1. NMEROS ENTEROS.Los NMEROSENTEROS ( ) sonunconjuntodenmerosqueincluyealosnmerosnaturalesdistintos de cero (1, 2, 3,...), los negativos de los nmeros naturales (..., 3, 2, 1) y el cero, 0.Elconjuntodetodoslosnmerosenterosserepresentaporlaletra queprovienede lapalabranmero en alemn (Zahlen).= {..., 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3,...}Los signos + y - que llevan los nmeros enteros no son signos de operaciones (suma, resta), sino queindican simplemente la cualidad de ser positivos o negativos.Los nmeros enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo 783 y 154 son nmeros enteros, pero 45,23y 34/95 no son nmeros enteros.Sellama VALORABSOLUTO deunnmeroenteroalnmeronaturalqueresultadeprescindirdelsigno. Se expresa encerrando este nmero entre dos barras.Valor absoluto: 6 6 = 6 6 = 1 1 = 2 2 =Losenterosnegativos sonmenoresquetodoslosenterospositivos(1,2,...)yqueelcero. Paraentender cmo estn ordenados se utiliza la Recta Real:Hay ciertas situaciones, como la temperatura o los pisosdeunparquinsubterrneo, quenosepuedenexpresarmatemticamenteutilizandolosnmerosnaturales(sinusarlosnmerosnegativos),paraestoscasoshacemosuso de los nmeros enteros. Observa el ejemplo y piensaun poco.ACTIVIDAD 1. Ordena de menor a mayor.a) +6, -5, -10, +12 b) +4, -20, -7, -4ACTIVIDAD 2. Completa adecuadamentea) |-5| = b) |+7| = c) |+6|= d) |-4|=2ACTIVIDAD 3. Completa las siguientes frases segn el cuadro. La gaviota est volando a _________ m _________ el nivel del mar. El nio est buceando a _________ m _________ el nivel del mar. El pez est nadando a _________ m _________ el nivel del mar. El cangrejo se encuentra a _________ m _________ el nivel del mar. El pelcano vuela a _________ m _________ el nivel del mar.ACTIVIDAD 4. Enlasiguientetablase muestranalgunassituacionesdescritas con nmeros enteros. Asigna el nmero entero correspondiente a aquellas situaciones que nolo tengan y aade un par de ejemplos propios en los espacios vacos.SITUACIN N ENTEROLa temperatura ambiente es de 2 bajo cero -2 CLa temperatura ambiente es de 2 sobre cero +2 CLa ciudad se encuentra a 800 m sobre el nivel del marEl buzo est nadando a 20 m de profundidad -20 mEstamos justo al nivel del marJulin tiene un deuda de 5.000 El avin est volando a 9.500 metros de alturaEl saldo deudor de la libreta de ahorro es de 12.356 Los termmetros marcaron una temperatura de 3 bajo ceroLa altura del monte Aconcagua es de 7.010 metrosLa profundidad de la fosa marina es de 10.882 metrosJennifer debe 11.650 Andrs tiene 3.580 ACTIVIDAD 5. Responde a las siguientes preguntas. Cuntos nmeros enteros hay entre -6 y +6? En Aracena,ciertodaalas6delamaanaeltermmetromarc 1C.Almediodalatemperatura mxima fue de 14 C. Cul fue, en grados, la variacin de temperatura ese da? De un depsito que contena 520 litros de agua se sacaron primero 170 litros y despus 145 litros,ms tarde se echaron 210 litros. Cuntos litros contiene ahora el depsito?32. OPERACIONES CON NMEROS ENTEROS(Suma, resta, multiplicacin y divisin).Suma de nmeros enteros:Cuando tienen el mismo signo: Se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son positivossigno positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del nmero se entiendeque es +.(+5) + (+4) = 5 + 4 = 9(-5) + (-4) = -5 - 4 = -9Cuandotienendistintosigno: Serestansusvaloresabsolutosyseponeelsignodelsumandodemayor valor absoluto. (Se resta el mayor al menor y se deja el signo del ms grande).(+20) + (-10) = 20 - 10 = 10 (20 - 10 = 10, el ms grande es +20, por lo tanto el resultado es +)(-8) + (+3) = -8 + 3 = -5 (8 - 3 = 5, el ms grande es el - 8, por lo tanto el resultado es - )(+ 11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9 (11 - 2 = 9, el ms grande es el +11, por lo tanto el resultado es +)ACTIVIDAD 6. Realiza las siguientes sumas de nmeros enteros.(-4) + (-4)=(-14) + (-4)=(-4) + (-12)=(-10) + (-4)=(+4) + (-41)=(-12) + (-4)=(+4) + (-12)=(-10) + (-40)=(-5) + (+9) =(-2) + (+8) =(-3) + (+4) =(-4) + (+10) =(-5) + (+7) =(-9) + (+4) =(-10) + (+6) =(-8) + (+1) =(-5) + (+4) =(-7) + (+3) =(-5) + (-6) =(-3) + (-4) =(-2) + (-7) =(-6) + (-3) =(+8) + (-11) =(+4) + (-9) =(+2) + (-8) =(+7) + (-1) =(+8) + (-4) =(+10) + (-5) =(+12) + (-7) =(+13) + (-6) =Resta de nmeros enteros:Cuando trabajamos con nmeros enteros podemos decir que no existen diferencias entre la suma y laresta, ambas operaciones las podemos expresar en forma de suma. Una resta no es ms que la sumade un nmero entero negativo.Observa: 5 3 = (+5) + (-3)Tenemosquetenerencuentaapartirdeahoraundetalle: Nopodemosescribirdossignosseguidos, debemos separarlos mediante un parntesis.Entonces qu significan las expresiones? + (+3) + (-3) -(+3) -(-3). Pues es bien sencillo:Si los dos signos son iguales el resultado positivo: + (+a) = +a -(-a) = +aSi los dos signos son distintos el resultado es negativo: + (-a) = -a -(+a) = -aPor ejemplo: +(+2) = +2 -(-2) = +2 - (+2) = -2 +(-2) = -24Por lo tanto para realizar una resta o diferencia deberemos seguir los siguientes pasos:1) Eliminar los parntesis2) Operar adecuadamente los n resultantesPor ejemplo: (+3) - (-5) = +3 + 5 = +8(-2) + (+4) = -2 + 4 = +2ACTIVIDAD 7. Realiza las siguientes restas de nmeros enteros.(-4) (-4)=(-14) (-4)=(-4) (-12)=(-10) (-4)=(+4) (-41)=(-12) (-4)=(+4) (-12)=(-10) (-40)=(-5) + (-9) =(-2) + (-8) =(-3) + (-4) =(-4) (+10) =(-5) + (-7) =(-9) + (-4) =(-10) (+6) =(-8) (+1) =(-5) (+4) =(-7) (+3) =(-5) (-6) =(-3) (-4) =(-2) (-7) =(-6) (-3) =(+8) (-11) =(+4) (-9) =(+2) (-8) =(+7) (-1) =(+8) (-4) =(+10) (-5) =(+12) (-7) =(+13) (-6) =Lo anterior tambin es vlido si nos encontramos ms de un trmino en la operacin. Si tenemosms de un trmino procederemos de la siguiente forma:1 Quitaremos los parntesis.2 Sumaremos los enteros de igual signo.3 Operaremos adecuadamente los nmeros resultantes.Mira los siguientes ejemplos:(-2) (-5) + (-3) (-2) = -2 + 5 3 + 2 = -5 + 7 = +2(-3) + (-4) (-3) + (-1) = -3 4 + 3 1 = -8 + 3 = -5ACTIVIDAD 8. Calcula el resultado de las siguientes expresiones (Recuerda primero suma los nmerosde igual signo y despus realiza la operacin que corresponda):(+7) + (+15) + (-18) + (-3) =(-21) + (+45) + (-20) =(+9) + (+20) + (+3) + (-24) =(-16) + (+20) + (-8) + (+2) =-(+3) + (+1) (-4) =-(+2) - (+1) (+5) =-(+2) + (-1) + (-4) (-5)=-(+1) - (+3) - (-4) (-5)=(+8) (+12) (-6) =-5 21 (-26) =2 + (3) + 4 (+5) - 15 2 6 =2 (+3) + (-5) 2 (-3) (+6) + 10 + 5 7=5Multiplicaciones y divisiones de nmeros enteros: LA REGLA DE LOS SIGNOS.Regladelossignos,nosindicaelsignodelresultadodeunamultiplicacinodivisinde nmerosenteros.Esla siguiente:Paramultiplicar dosnmerosenterossemultiplicansusvaloresabsolutosyseaplicalaregla delossignos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando parntesis., ) , ) 24 3 8 = + + (8 por 3 es 24, + por + es +), ) , ) 6 2 3 = (3 por 2 es 6, - por - es +), ) , ) 4 1 4 = + (4 por 1 es 4, + por - es -), ) , ) 8 4 2 = + (2 por 4 es 8, - por + es -)Paradividir sedivideeldividendoentreeldivisoryseaplicalaregladelossignos.Unadivisinesexacta cuando el resto es 0., ) , ) 2 4 8 = + + (8 entre 4 es 2, + entre + es +), ) , ) 2 2 4 = (4 entre 2 es 2, - entre - es +), ) , ) 5 2 10 = + (10 entre 2 es 5, + entre - es -), ) , ) 2 4 8 = + (8 entre 4 es 2, - entre + es -)ACTIVIDAD 9. Calcula el resultado de las siguientes expresiones:(+4)(+3) =(-2 )(-5 ) =(+4)(-2 ) =(-6 )(+4) =(+24):(+3) =(-20 ):(-5 ) =(+14):(-2 ) =(-16 ):(+2) =(+4)(+3) =(+5)(-2) =(-4)(-5) =(-3)(+7) =(-30):(+6) =(-14):(-2) =(+15):(-3) =(+24):(+3) =Operaciones combinadas:Llamamosoperacionescombinadasalosejerciciosenlosquenosencontramosmsdeunsignodistinto, es decir hay que realizar varias operaciones distintas simultneamente.En estos casos tenemos que tener en cuenta las siguientes prioridades:1. Cuando no hay ni parntesis ni corchetes, hacemos primero las multiplicaciones y divisiones en elorden que aparezcan. Despus realizamos las sumas y las restas, tambin en el orden que aparezcan.Por ejemplo: -4:2 - 32 4:2 +10 = -2 6 2 + 10 = 0ACTIVIDAD 10. Calcula el resultado de las siguientes expresiones:+7 + (-9)(+5) =5 + (-6):(+6) =+1-(-36):(-3) =+1 + (+6)(+5) =6 (+3) -(-5):(+5) =+8:4 + (-7)(-9) =62. Cuando hay parntesis, hacemos primero los clculos del parntesis teniendo en cuenta la prioridaddelasoperaciones, despusparaquitarelparntesis aplicamoslaregladelossignos,signoquehayadelantedelparntesisporsigno quehayadentro.Luego continuamosdelamisma forma queelpunto anterior.Por ejemplo: (-4:2 - 7) + (-32 4:2 + 5 - 8) = (-2 - 7) + (-6 2 + 5 - 8) = (-9) + (-16 + 5) = -9 + (-11) = -20ACTIVIDAD 11. Calcula el resultado de las siguientes expresiones:-(+2 3 + 5) + (-2 + 6 4 + 7) =(+4 6 - 9) + (-4 + 5 - 2) =(+3 2 - 1) + (-5 + 7 + 4) =+(-3 + 5 + 2 + 1) - (-8 4 9 - 5) =+(-4 + 7 + 2) + 9 - (-3 + 4 - 3) =-(5 + 6 3 + 6) + 3 - (+5 2 + 1) =+(-8 3 - 9) + 4 + (-2 + 9) =(-5 - 3) - (+4 + 7 + 2 + 3) =2 - 4 + (-8 + 4 6 + 7) =3 + (-5 + 4) - (-8 + 3 + 9) =4 - (-7 + 4 - 5) + (-5 + 1) =2 + (-4 + 5) - (+6 + 6) + 7 =3 - (+4 6 7 5 + 6) 7 + 5 =+(-3 5 + 6) - (-4 5 - 9) =+(-3 5 + 4) - (+4 + 5 + 6) =(-4 + 5 - 6) - (+7 3 + 6) - 5 =3. Cuando hay parntesis y corchetes ( j ), hacemos primero los parntesis, los quitamos aplicandola regla de los signos. Despus hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos.Luego hacemos los productos y divisiones y por ltimo las sumas.Por ejemplo: -7 +3 - [-(10 - 5) - (8 -10)] = -7 + 3 [-(+5) (-2)] = -7 + 3 [-5 + 2] = -7 + 3 [-3] == -7 +3 + 3 = -1ACTIVIDAD 11. Calcula respetando la jerarqua de operaciones:4 (+24):(+1-9) (-1-2) =6 [+7 +(+1)(-1)] =+7 +[+1 -(+10):(+5)] =+4 +[+2 +(+8)(-6)-(-7+6)] =[+7 +(-5)]:(-7+2) (+1-6) =-2 [-6 +(-4):(-2)-(+7-5)] =+1 -[-4 +(-10):(-5)]+[+3+(-9):(-9)] =+1 -[+3 -(-8)(+8)]+[+6+(+8):(+4)] =ACTIVIDAD 11. Teniendoencuentatodoloaprendidosolucionaestosproblemashaciendoelplanteamiento numrico necesario:11. 1. El termmetro marca ahora 7C despus de haber subido 15C. Cul era la temperatura inicial?11.2. Porla maanaun termmetro marcaba9 bajocero.La temperaturabaja 12Calolargo delamaana. Qu temperatura marca al medioda?11.3. Una persona vive en la planta 2 de un edificio y su plaza de garaje est en el stano 1Cuntasplantas separan su vivienda de su plaza de garaje?11.4. Elena tena ayer en su cartilla 234 euros y hoy tiene 72euros. Desde ayer ha ingresado o hagastado dinero? Qu cantidad?11.5. El saldo de la cartilla de ahorros de Elena es hoy 154 . Paga una factura de 313 Cul es elsaldo ahora?73. POTENCIAS.Potencias de un entero.QU ES UNA POTENCIA?Unapotenciaesunaformadeescribirel productodefactoresiguales(multiplicacionesdeunnmeropor l mismo varias veces). El factor que se repite se llama base y el nmero de veces que se repite sellama exponente. Mira el ejemplo.243 3 3 3 3 3 35= =, ) 16 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 24= = CASOS PARTICULARES DE POTENCIAS:Un nmero elevado al exponente 1 es igual al mismo nmero. Por ejemplo: 21= 2; 31= 3.Un nmero elevado al exponente 0 es igual a uno. 40= 1; 523510= 1.SIGNO DE UNA POTENCIAAl calcular potencias de baseun nmero entero,prestaatencinalsignodelabaseyalexponente.Tambin debes distinguir a qu nmero exactamente est afectando la potencia.No es lo mismo -34que (-3)4Una potencia de base positiva, el valor de la potencia ser siempre positivo.Si la base es negativa y el exponente par o cero, el valor de la potencia ser positivo.Si la base es negativa y el exponente es impar, el valor de la potencia ser negativo.ACTIVIDAD 12. Completa el cuadro.Potencia 324354658791010111520BaseExponenteACTIVIDAD 13.Escribe en forma de potencia los siguientes productos.8 x 8 x 8 =7 x 7 x 7 x 7 =9 x 9 x 9 x 9 x 9 =15 x 15 x 15 x 15 x 15 =8 x 8 x 7 x 7 x 7 =5 x 5 x 5 x 6 x 6 =7 x 7 x 9 x 9 x 9 =10 x 10 x 10 x 8 x 8 x 8 =ACTIVIDAD 14. Halla el valor de las siguientes potencias.71=80=92=83=110=251=22x 33=23x 32=42x 52=42x 52x 30=53x 22x 33=62x 33x 70=ACTIVIDAD 15. Expresa como producto:84( 5) =5( 3) =7( 4) =ACTIVIDAD 16. Expresa como potencia:(-5)(-5)(-5) (-5)(-5)= 555555= (-3)(-3)(-3)=ACTIVIDAD 17. Calcula el valor de las potencias:-35=(-3)5=(-3)0=-30=42=-42=(-4)2=-40=ACTIVIDAD 18. Indica si el signo del resultado es positivo o negativo:(-6)7=52=(-4)4=(-12)13=-33=-42=ACTIVIDAD 19. Calcula el valor de las siguientes potencias:(2)7=(3)5=(5)3=(10)3=(1)16=(1)17=(-5)3=(-12)4=(-2)7=(-7)2=Operaciones con potencias.PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.El producto de dos o ms potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponentees la suma de los exponentes.Ejemplos:9 4 2 3 4 2 32 2 2 2 2 = = + +13 6 4 3 6 4 33 3 3 3 3 = = + +ACTIVIDAD 19. Escribeenformadeunasolapotencialossiguientesproductos. Despus,calculasuvalor. (Recuerda que si la potencia no presenta exponente se considera como si ste fuera uno 2 = 21)Ejemplo 22x 22= 22+2= 24= 1622x 23=23x 2 =24x 2 =32x 32=33x 3 =32x 33=33x 33=34x 3 =43x 40=22x 2 x 23=3 x 32x 3 =62x 62x 6 =72x 7 x 7 =82x 8 x 83=92x 92x 9 =9 x 92x 90=10 x 100x 102=ACTIVIDAD 19. Completa los exponentes que faltan.9Ejemplo 26x 2(2)= 2823x 2( )= 2764x 6( )= 61073x 7( )= 71184x 8( )= 81295x 9( )= 913108x 10( )= 1014119x 11( )= 1115123x 124x 12( )= 1210145x 146x 14( )= 1418157x 152x 15( )= 1513238x 239x 23( )= 2320357x 356x 35( )= 3524429x 425x 42( )= 4219537x 534x 53( )= 5322615x 612x 61( )= 6119756x 752x 75( )= 7520817x 812x 81( )= 8115COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.Elcociente odivisin dedospotenciasdeigualbaseesotrapotenciadelamismabaseycuyoexponente es la resta de los exponentes.Ejemplos:3 3 6 3 6362 2 2 222= = =6 2 8 2 8283 3 3 333= = =ACTIVIDAD 20. Escribeenformadeunasolapotencialossiguientescocientes. Despus,calculasuvalor.Ejemplo: 38: 35= 38-5= 33= 2754: 53=69: 67=710: 78=812: 810=913: 911=103: 10 =112: 112=123: 12 =134: 132=205: 202=306: 303=407: 404=704: 700=805: 80 =906: 902=1007: 100 =112: 11 =ACTIVIDAD 21. Completa los exponentes que faltan.48: 4( )= 4659: 5( )= 5478: 7( )= 7689: 8( )= 83910: 9( )= 971016: 10( )= 10101115: 11( )= 1141216: 12( )= 12121312: 13( )= 1393515: 35( )= 35124120: 41( )= 415018: 50( )= 5096217: 62( )= 6247519: 75( )= 7528021: 80( )= 80108230: 82( )= 82219045: 90( )= 90209532: 95( )= 9517POTENCIA DE UNA POTENCIA.10Lapotenciadeunapotenciaesotrapotenciadeigualbaseycuyo exponente eselproductodelosexponentes.Ejemplos:6 2 3 2 32 2 ) 2 ( = =12 3 4 3 43 3 ) 3 ( = =ACTIVIDAD 22. Escribe en forma de una sola potencia.(32)3=(43)2=(52)2=(64)3=(75)2=(84)5=(97)3=(104)2=(115)6=(127)9=ACTIVIDAD 23. Calcula y completa los exponentes que faltan.(24)( )= 28(32)( )= 36(43)( )= 412(5( ))4= 516(6( ))8= 624(7( ))4 = 736POTENCIA DE UN PRODUCTO.La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado a dicha potencia.Ejemplos:2 2 23 5 ) 3 5 ( = 3 3 3 35 2 4 ) 5 2 4 ( = ACTIVIDAD 24. Escribe el resultado como producto de potencias.(2 x 3)3=(8 x 9)5=(7 x 10)2=(2 x 3 x 4)2=(10 x 11 x 12)6=(13 x 14 x 15)7=ACTIVIDAD 25. Escribe en forma de una sola potencia.56x 76x 86=47x 97x 57=117x 127X 137=148x 158X 168=Potencias de 10. Notacin cientfica.Todapotenciadebase10esigualalaunidadseguidadetantosceroscomo unidadesindicaelexponente.Ejemplos: 1000 10 10 10 103= =1000000 10 10 10 10 10 10 106= =Losnmerosdemuchascifrasqueacabanencerostienenunaescriturams cmodautilizandopotencias de base 10. A esto lo llamamos notacin cientfica.Ejemplos:710 12 10000000 12 120000000 = =810 2 100000000 2 200000000 = =11Tambin podemos usar la notacin cientfica para escribir nmeros muy pequeos, ms pequeos queuno. Aunque estos no son nmeros enteros y no entraran en este tema es ms fcil explicarlos aqu.Para escribir cmodamente estos nmeros utilizamos tambin las potencias con base diez pero en estecasoconelexponenteennegativo,elexponenteserelnmerodeposicionesquesehamovidolacoma hacia la derecha.Ejemplos:210 01 , 0=310 001 , 0=Losnmerosconmuchosdecimalestambinpodemosescribirlosdeestemodo.Escribiremos,portanto,el nmero enterosincomamultiplicadopordiezelevadoalnmeroenteronegativocorrespondiente, es decir el nmero de veces que hemos movido la coma hacia la derecha.Ejemplos:310 25 025 , 0 =210 203 03 , 2 =2510 324 00354 0000000000 0000000000 , 0 =ACTIVIDAD 26. Calcula:104=106=109=1010=1011=1012=ACTIVIDAD 27. Escribe, utilizando potencias de base 10, los siguientes nmeros.3.000 =40.000 =600.000 =7.000.000 =80.000.000 =130.000.000 =200.000.000 =320.000.000 =1.000.000.000 =2.000.000.000 =ACTIVIDAD 28. En la siguiente tabla aparece la distancia media en kilmetros de algunos planetas alSol. Escribe esas distancias utilizando potencias de base 10.Tierra Urano Neptuno PlutnDistancia media al Sol (km) 149.500.000 2.873.000.000 4.498.000.000 5.910.000.000Potencias de base 10124. RACES CUADRADAS. Larazcuadradadeunnmeroesaquelnmeroquesucuadradoseaigualalprimernmero.Dichocon palabras suena un poco complicado pero no es as, mira el ejemplo y vers.b a = tal que a b =2Por ejemplo 3 9 = porque 9 32= Si tenemos en cuenta todo lo aprendido en este tema y pensamos un poco nos daremos cuenta que unnmero positivo tiene dos races cuadradas, es decir:b a = ya que a b =2y a b = 2) (Por ejemplo 3 9 = porque 9 ) 3 ( 32 2= = La raz cuadrada de un nmero negativo no existe, porque no existe ningn nmero que al cuadrado deunnmeronegativo.(Recuerda:sielexponenteespar,comoesel2,todoslosresultadossonpositivos).Por lo tanto: -/ = a (esto se lee: La raz cuadrada de a negativo no existe)Por ejemplo: -/ = 9 En una serie de operaciones combinadas en la que aparezcan potencias y races, el orden que debenefectuarselasoperacioneses:primerolaspotenciasyraces,despusmultiplicacionesydivisionesyporltimosumasyrestas.Siexistenparntesis,efectuamosprimerolasoperacionesdesuinteriorsiguiendo este mismo orden para luego continuar de igual forma.Por ejemplo: 29 28 1 4 7 5 : 5 2 7 5 : 252= + = + = + , ) , ) , ) 10 16 6 2 8 2 3 2 8 2 9 2 3 5 2 9 2 3 : 9 5 2 9 2 3 : 3 5 2 92 = = = = + = + = + ACTIVIDAD 29. Calcula las siguientes potencias y races cuadradas(+3)2=(-5)3=(-3)4=(-3)5=(-2)4== 16= 125= 9= 9= 25= 16ACTIVIDAD 30. Calcula las siguientes operaciones combinadas., ) = + 32 25 5= + 10 5 4 23= 2 25 32= +16 125, ) = + 9 16 5 22= +2 48 49 2 16= 23 8 : 36 16= + 3 210 300 5 225, ) = + 16 2 : 16 1443, ) = + 25 2 49 64 32 2= + 3 83 5 2 144= + 12 64 2 : 27 10= + 49 16 3 25 : 754, ) = + 2 62 9 : 2 2813Calculo de races cuadrada sin calculadora:No sabemos si recordars o si has realizado alguna vez este tipo de operaciones. Vamos a repasar conayuda de un ejemplo como se realizan las races cuadradas. No temas no es tan complicado.Reneelnmeroengruposdedoscifras,dederechaaizquierda: en el ejemplo 75 y 9.Buscaelnmerocuyocuadradoseacerquelomximo(sinsuperarlo)alprimer grupodelaizquierda,ennuestrocasopara el 9 es el 3, ya que 32=9.Este nmero lo apuntamos en el recuadro de la derecha comoel primero del resultado y su cuadrado se lo restamos al primergrupo. En nuestro caso apuntamos 3 a la derecha y restamos 9.Acontinuacinbajamoslasdoscifrassiguientes, 75enelejemplo.Bajo el recuadro de la solucin ponemos el doble del que estescrito, es decir bajo el 3 escribimos su doble, 6.Buscamoselnmero quepuestojuntoal anterior ymultiplicadoporlnosdunnmerocercanoalquehemosbajado.Unnmeroquejuntoal6ymultiplicadoporlnosdelms cercano a 75 sin pasarse.622=124 se pasa, 611=61 s sirve. Restamos 75-61 = 14.Ponemos dos ceros y una coma en el radicando.Abajoescribimoseldoblede31, osea 62 yseguimoscomoenelpasoanterior. Buscamosunnmeroquepuestojuntoal 62 ymultiplicadoporlmismonosd elmscercanoa1400sinpasarseEl2es elmscercano yaque 6222=1244,coneltresnospasaramos (6233=1869).Parahallarmsdecimales, deberamosescribirdoscerostrasel156 y repetir el proceso.Por tanto 2 , 31 975 ~ACTIVIDAD 30. Realiza sin ayuda de la calculadora las siguientes races cuadradas, llegando hasta lascentsimas en las ocasiones que sea posible.= 98= 102= 324= 769= 1236= 1453= 5453= 15625MDULO CIENTFICO TECNOLGICOPROGRAMACIN DEL MDULO VOLUNTARIODEL PCPIMATERIA MATEMTICASFICHA DE EJERCICIOS Un. 1. NMEROS ENTEROSACTIVIDAD 1. Qu nmeros asocias a los puntos A, B, C y D?ACTIVIDAD 2. Escribe tres elementos ms de las siguientes series numricas:0, 1, -1, 2, -2,-21, -20, -18, -15, -11,6, 4, 2, 0, -2,8, 7, 5, 2, -2,20, 15, 10, 5, 0,ACTIVIDAD 3. Asocia un nmero positivo o negativo a cada uno de los enunciados siguientes:Jennifer tiene en el banco 2500:Miguel debe 150:Vivo en el sptimo piso:Tengo el coche aparcado en el segundo stano:El termmetro marca dieciocho grados:El termmetro marca tres grados bajo cero:Debo dos euros a mi amigo Jose:He ganado 60 en mi trabajo de repartidor:El ascensor ha bajado cuatro plantas:El termmetro ha subido cinco grados:He perdido un billete de diez euros:ACTIVIDAD 4. Representa en la recta real y ordena de mayor a menor los siguientes nmerosenteros:-7, +4, -1, +7, +6, -4, -5, +3, -11ACTIVIDAD 5. Ordena de mayor a menor la siguiente serie numrica:+6, +2, 0, +4, -7, +3, - 2, -5, -9, +10, -1ACTIVIDAD 6. Calcula el valor de las siguientes expresiones:3 5 = 4 + 1 =3 + 2 7 =12 25 + 1 =12 + 4 20 =5 4 20 =20 8 3 + 5 =11 + 13 5 45 + 2 =9 12 + 11 4 3 =7 + 12 5 + 3 10 =5 + 4 3 22 + 9 13 =6 7 + 5 4 + 3 + 15 =8 5 4 7 + 21 11 =18 15 + 6 7 + 8 5 =ACTIVIDAD 7. Realiza las siguientes sumas y restas:4 (-3) = 4 (-3) = (3) (-3) =15 8 + 4 =15 (8 + 4) =20 11 4 =20 (11 4) =3 2 5 =12 + (-4) 2 =4 2 (-5) =2 (-3) 1 =2 3 + (-4) =-3 (-4 + (-2)) =4 (4 2) =5 (-12 + 4) =3 (-12 2) =2 3 (4) = 4 (3) (-3) =2 3 (3) =-4 (-2 3) 1 =-2 (-2) 2 (-2) =4 2 (3) (-1) =-3 (-2) (-1) 6 =-10 (-2) (-1) (-3) =-1 (-2) + (-2) (-3) (-1) =6 (4 + 5) 2 (5 3) =-2 (3 6) 5 (6 10) =2 (-4 + 1) + 7 (2 3) =-10 (-1 5) (-5 3) =-6 (12 5) 3 (-5 3) =3 (4 1 6) 4 (2 3 + 6) =ACTIVIDAD 8. Realiza las siguientes operaciones combinadas:6 + 2 4 =15 7 2 =(6 + 2 ) 4 =(15 7) 2 =5 3 + 2 4 3 6 =25 (4 2) 3 + 8 =(3 2) (1 6) 5 (2 1) =5 (4 5) 7 (3 + 2) =6 : (2 4) + 5 (3 1) =5 + 4 : 2 4 + 3 (5 2) =(24 14 : 2) 325 (9 8 15+ 7) =18 (24 3) 4 =(7 + 14 + 33) : (17 9) =ACTIVIDAD 9. Calcula los siguientes productos:3 (-2) =- 5 (+3) =(+3) (-8) =4 (+5) =(- 2) (-4 ) =(-9) (- 3) =8 (-6) =- 6 (+ 3) =(- 5) (-7) =(-6) (+4) =ACTIVIDAD 10. Calcula:(7) (+11) =(6) (8) =(+3) (-5) (+2) =(-2) (-7) (-2) =(-4) (-1) (+6) =(+5) (-4) (-3) =(+5) (+7) (1) =(2) (3) (4) =ACTIVIDAD 11. Calcula el cociente:(-8) : (+2) =(-4) : (+3) =(-15) : (-3) =(+42) : (-7) =(+20) : (-10) =(+20) : (-7) =(+32) : (+8) =(-48) : (-8) =(-12) : (-4) =(-1) : (+6) =(-36) : (+9) =(+54) : (+6) =( 45) : (+3) =(+85) : (+17) =(+36) : (12) =(85) : (5) =ACTIVIDAD 12. Calcula:5 3 7 + 1 + 8 =2 3 + 4 + 1 8 + 2 =1 3 + 5 7 + 9 11 =2 + 4 6 8 + 10 12 + 14 =ACTIVIDAD 13. Quita parntesis y despus opera:1 (7 2 10) (3 8) =(8 4 3) (5 8 1) =(3 5) (1 4) + (5 8) =3 (5 8) (11 4) + (13 9) =ACTIVIDAD 14. Calcula operando primero dentro de los parntesis:(2 6 3) + (5 3 1) (2 4 6) =(8 11 5) (12 13) + (11 + 4) =15 + (6 18 + 11) (7 + 15 19) + (1 3 6) =ACTIVIDAD 15. Quita parntesis y calcula:3 [(5 8) (3 6)] =1 (3 [4 (1 3)]) =(2 + 7) (5 [6 (10 4)]) =ACTIVIDAD 16. Opera las expresiones siguientes:(+400) : (40) : (5) =(+400) : [(40) : (5)] =(+7) (20) : (+10) =(+7) [(20) : (+10)] =(+300) : (+30) (2) =(+300) : [(+30) (2)] =ACTIVIDAD 17. Calcula:6 4 5 6 2 3 =15 6 3 + 2 5 4 3 =5 ( 4) + (2) 4 6 (5) 3 (6) =18 3 5 + 5 ( 4) 3 (2) =ACTIVIDAD 18. Opera estas expresiones:(5) (8 13) =(2 + 3 6) (2) =(+4) (1 9 + 2) : (3) =(12 10) : (2 6 3) =ACTIVIDAD 19. Calcula:13 [8 (6 3) 4 3] : (7) =5 (8 3) 4 (2 7) 5 (1 6) =12 (12 14) 8 (16 11) 4 (5 17) =ACTIVIDAD 20. Realiza las operaciones siguientes:18 40 : (5 + 4 1) 36 : 12 =4 + 36 : 9 50 : [12 + (17 4)] =48 : [5 3 2 (6 10) 17] =3 4 15 : [12 + 4 (2 7) + 5] =ACTIVIDAD 21. Opera:[(+80) : (-8)] : (-5) =[(-70) : (-2)] : (-7) =(+50) : [(-30) : (+6)] =(-40) : [(+24) : (+3)] =ACTIVIDAD 22. Calcula teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones:(-8) (+2) + (-5) (-3) =(+40) : (-8) (-30) : (+6) =(-2) (-9) + (-24) : (-3) (-6) (-4) =(+27) : (-3) (+3) (-5) (-6) (-2) =ACTIVIDAD 23. Realiza las siguientes operaciones combinadas con corchetes:4 [(3 + 2) 5] =5 [12 + (4)] =2 [(4 2) 3(2)] =6 + [5 (4 2) + 3] 3=7 [6 (5)] 4(5 3) =10 [3 2 (5 4) 2 (4 2)] =4 [3 2 (5 + 4) 2 (4 + 2)] =2 [3 (3 5(6 + 4) 12 + 3) 7 20] + 5 =6 [2 (3 4(5 + 4) 2 + 3) 7 7] + 4 3 =2 [8 (3 + 5(6 + 4) 2 3) 5 6] (4) =ACTIVIDAD 24. Calcula:6 + [5 + (7 + 2)] =15 [2 (6 10)] =(-6) + [5 + (2 12)] =8 + [4 (3 + 5)] =15 [10 (8 + 4)] =(-7) [3 (4 - 9)] =10 [6 + (2 + 7)] =12 [7 (2 10)] =ACTIVIDAD 25. Calcula:(2 - 10) + [5 (8 + 2)] =[9 (+5)] + [7 + (- 10)] =[8 (6 + 4)] (5 7) =(12 -3) [1 (2 -6)] =[10 (-2)] [5 (+12)] =[1 + (6 - 9)] (8 12) =[(+6) (-4)] : (-3) =(-5) [(+12) : (-3)] =[(-15) (-2)] : (+6) =[(-5) (+12)] : (-3) =ACTIVIDAD 26. Calcula:5 (-4) + 2 (-3) =2 (-8) 3 (-7) 4 (+3) =20 : (-5) 8 : (+2) =6 : (+2) + 5 (-3) 12 : (-4) =(-3) [(-2) + (-4)] =(+6) : [(+5) (+7)] =[(+8) + (+7)] (-3) =(+4) [(-5) + (+2)] =(-20) : [(-6) (-2)] =[(-9) + (-3)] : (+6) =19 (-3) [5 (+8)] =12 [13 (-7)] : (-5) =(-2) (5 7) (-3) (8 6) =12 + (-5) [8 + (-9)] =10 (+20) : [7 + (-3)] = (9 6) (-2) + (13 + 3) : (-4) =ACTIVIDAD 27. Realiza las siguientes operaciones:13 [8 (6 3) 4 3] : ( 7) =5 (8 3) 4 (2 7) 5 (1 6) =12 (12 14) 8 (16 11) 4 (5 17) =[(6 + 1 + 3) (5 + 6)] (3) ={[( 4 + 6) ( 1 + 6)] + [(3 + 1)]} (5) =[( 4 + 6) ( 3 4)] [( 3 + 1) ( 5)] =[(6) + (5) + (2)] : ( 8) =[ 6 (12) + ( 3) + (5)] : (2) =18 40 : (5 + 4 1) 36 :12 =4 + 36 : 9 50 : [12 + (17 4)] =48 : [5 3 2 (6 10) 17] =3 4 15 : [12 + 4 (2 7)+ 5] =[( 5)( 3)(2)] + [( 5 + 6 7) ( 8 + 9)] =ACTIVIDAD 28. Calcula como los ejemplos y observa las diferencias:Ej.: (-3)2= (-3) (-3) = +9-32= -3 3 = -9(-2)4=-24=(+2)4=(-2)3=-23=(+2)3=(-5)2=-52=(+5)2=(-3)3=-33=(+3)3=ACTIVIDAD 29. Observa el ejemplo y completa la siguiente tabla:Producto Potencia Base Exponente Valor6 6 6 6 646 4 1296354 37 495 -32(-5)3-125ACTIVIDAD 30. Calcula(+2)5=(+3)4=(+10)5=(-2)6=(-3)4=(-10)5=(-5)3=(-4)3=ACTIVIDAD 31. Calcula:110=(2)2=23=(3)4=ACTIVIDAD 32. Calcula mentalmente:(-1)28=(-1)59=(-1)30=(-1)31=(-10)3=(-10)4=(+10)0=(+10)6=(-10)2=(-10)6=ACTIVIDAD 33. Expresa en forma de potencia siguiendo el ejemplo:Ej.: (-3)6: (-3)4= (-3)6-4= (-3)2(-4)2 (-4)3= (-4)23= (-4)652: 54=(-4)2 (-4)3=57 5-3=(-7)15: (-7)4=87: 8-2=(-3)5 (-3)2=(-5)4: (-5)-3=62: 65=(-4)8: (-4)5=(-3)10: (-3)6=(-15)4: (-15)4=(+6)7: (+6)5=(-8)5: (-8)3=(+12)3: (+12)2=ACTIVIDAD 34. Expresa en forma de una sola potencia:Ej.: (3-2)5= 3(-2)5= 3-10(8-3)5=[(-4)-2]-6=[(-4)5]-6=(32)-5=ACTIVIDAD 35. Observa el ejemplo y calcula aplicando esta propiedad de las potencias:am bm= (a b)my am: bm= (a:b)mEj.: (-5)3 (-2)3= [(-5) (-2)]3= (+10)3= 1000(-12)6: (-6)6= [(-12) : (-6)]6= (+2)6= +64(-2)5 (+5)5=(-6)4: (+3)4=(-15)4: (-5)4=(+4)3 (-2)3=(-5)7: (+5)7=(+32)5: (-16)5=ACTIVIDAD 36. Resuelve:[(-2)4 (-2)6] : (+2)8=(+5)8: [(-5)2 (-5)4] =[(+3)4 (-3)3] : (-3)6=(-7)7: [(-7)4 (-7)3] =ACTIVIDAD 37. Calcula:(2)3+ (3)3 (4)3=(5)2 (2)2+ (+3)2 (3) =(2)2 [(5)2 (+4)2] =(6)3: (3)3+ (8)2: (4)2=ACTIVIDAD 38. Calcula:[(-2)3]2 (-2)-3=[(-2)3]-4: (-2)8=[(-3)-2]3: (-3)-6=(5-2)-4: 5-6=(73)-4 78=[(-2)3]2: (-2)5=ACTIVIDAD 39. Expresa en notacin cientfica las siguientes expresiones.10000 =10000000 =0,1 =0,001 =0,000012000 =0,002 =230000 =0,00024 =0,120 =0,000567 =0,00000082 =ACTIVIDAD 40. Escribe con todas las cifras los siguientes nmeros:3,254 106=8,35 107=4,3 105=9,5 10-2=3,5 10-3=2,576 10-8=7,54 10-5=3,01 104=ACTIVIDAD 41. Realiza mentalmente las siguientes operaciones: ) 4 ( 64 ) 1 ( 81 36 100ACTIVIDAD 42. Realiza las siguientes operaciones: 225 324 289 15625 1453 5453 24336MDULO CIENTFICO TECNOLGICOPROGRAMACIN DEL MDULO VOLUNTARIODEL PCPIMATERIA MATEMTICASFICHA DE EVALUACIN Un. 1. EvaluacinNombre y apellidos: _________________________________________________________Curso: _______________ Fecha: ________________ACTIVIDAD 1. Representa en la recta real y ordena de mayor a menor los siguientes nmerosenteros:-6, +3, -2, +5, +6, -3, -5, +4, -10ACTIVIDAD 2. Realiza las siguientes sumas y restas:6 (4 + 5) 2 (5 3) =-2 (3 6) 5 (6 10) =2 (-4 + 1) + 7 (2 3) =-10 (-1 5) (-5 3) =-6 (12 5) 3 (-5 3) =3 (4 1 6) 4 (2 3 + 6) =ACTIVIDAD 3. Realiza el siguiente problema:En una tienda de ropa, el cajero utiliza una nica caja y anota cada una de las operaciones efectuadas.Hoy ha hecho las siguientes anotaciones: Venta de una camisa de 38 . Entrega de 32 a un cliente por unos pantalones que ha devuelto. Venta de 3 camisas de 47 cada una. Pago de una factura de 200 .Cunto dinero habr en la caja al medioda si por la maana haba 189 ?Qu variacin se ha producido?Expresa en forma de operacin combinada los resultados obtenidos.ACTIVIDAD 4. Realiza las siguientes operaciones combinadas con corchetes:7 [6 (5)] 4(5 3) =4 [3 2 (5 + 4) 2 (4 + 2)] =2 [3 (3 5(6 + 4) 12 + 3) 7 20] + 5 =2 [8 (3 + 5(6 + 4) 2 3) 5 6] (4) =ACTIVIDAD 5. Realiza las siguientes operaciones:{[( 4 + 6) ( 1 + 6)] + [(3 + 1)]} (5) =[( 4 + 6) ( 3 4)] [( 3 + 1) ( 5)] =3 4 15 : [12 + 4 (2 7)+ 5] =[( 5)( 3)(2)] + [( 5 + 6 7) ( 8 + 9)] =ACTIVIDAD 6. Expresa en forma de potencia:(52: 54) (57 5-3)=[(-4)2 (-4)3] : [(-4)8: (-4)5] =[(-5)4: (-5)-3] 5 =[87: 8-2] : [(-8)5: (-8)3] =ACTIVIDAD 7. Calcula:[(-2)3]2 (-2)-3=[(-3)-2]3: (-3)-6=(73)-4 78=[(-2)3]2: (-2)5=ACTIVIDAD 8. Expresa en notacin cientfica las siguientes expresiones.0,1 =0,000012000 =0,002 =230000 =0,00024 =0,120 =0,00000082 =ACTIVIDAD 9. Escribe con todas las cifras los siguientes nmeros:3,254 106=8,35 107=4,3 105=9,5 10-2=3,5 10-3=2,576 10-8=7,54 10-5=3,01 104=ACTIVIDAD 10. Realiza las siguientes operaciones: 81 100 289 1453 256 241362