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H. Bosch, M. Bergero, L. Carvajal, M. Di Blasi, A. Dimitrijewits, M. Geromini, M. Rampazzi, S. Segura

Un Marco de Enseñanza de Cálculo para Ingeniería

Red de Investigación Educativa en Matemática Experimental para Ingeniería y Tecnología

Unidades Académicas de la Universidad Tecnológica Nacional, Argentina, que integran la Red

Facultad Regional Gral. Pacheco (FRGP) Facultad Regional Mendoza (FRM) Instituto Nacional Superior del Profesorado Técnico (INSPT)

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL SECRETARÍA DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA

PROYECTO RIEMEIT

PID 25 G/J01 (2009-2012)

Red de Investigación Educativa en Matemática Experimental para Ingeniería y Tecnología

Unidades Académicas de la Universidad Tecnológica Nacional, Argentina, que integran la Red

Facultad Regional Gral. Pacheco (FRGP) Facultad Regional Mendoza (FRM) Instituto Nacional Superior del Profesorado Técnico (INSPT)

Claustro responsable de la conducción académica del Proyecto Director de Proyecto: Dr. Horacio E. Bosch (hbosch@fibertel.com.ar ) Co-Director de Proyecto: Lic. Hugo Fernández (hafernandez@fibertel.com.ar) Coordinadores de nodos: Lic. Sandra Segura (FRM) ( Lic. Mario Di Blasi Regner (FRGP) (mario.diblasi@gmail.com ) Mag. Leonor Carvajal (INSPT) (le.carvajal@gmail.com ) Investigadores: Mercedes S. Bergero (INSPT) (msbergero@gmail.com ) Horacio E. Bosch (FRGP) (hbosch@fibertel.com.ar Leonor Carvajal (INSPT) (le.carvajal@gmail.com ) Mario Di Blasi Regner (FRGP) (mario.diblasi@gmail.com) Andrea Dimitrijewits (INSPT) (aedimi@gmail.com ) Noemí Geromini (INSPT) (noegero@gmail.com ) Delmiro Gil (INSPT) (delmirog@yahoo.com.ar ) María C. Rampazzi (FRGP) (mcrampazzi@gmail.com ) Giovanni Ruiz (FRGP) ( gruizfaundes@yahoo.com.ar) Sandra Segura (FRM) (sandrams_1968@hotmail.com ) Andrea Seoane (FRGP) (seoane_andrea@yahoo.com.ar ) Institución auspiciante: Fundación FUNPRECIT ( www.funprecit.org.ar ; info@funprecit.org.ar )

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¿Qué idea nos impulsó a organizar este Proyecto? A principios de la década del 90 la Universidad de Illinois planteó el problema de in-novar en la enseñanza del Cálculo y encargó a sus profesores la presentación e im-plantación de un nuevo Proyecto. Entre esos profesores se encontraba el matemático argentino y amigo, Dr. Horacio Porta, quien, junto a sus colegas Davis y Uhl, publi-caron un libro trascendente de innovación en la enseñanza de matemática: “Calculus&Mathematica”. Como consecuencia del conocimiento de este Proyecto hemos tratado de emularlo, guardando las distancias, proponiendo el desarrollo del Proyecto RIEMEIT.

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Resumen

El trabajo realizado por el grupo de investigación se ha orientado a cambiar el para-digma de la enseñanza de matemática de una concepción del Siglo XIX a una con-cepción actual para la segunda década del Siglo XXI. El corrimiento de paradigma está basado principalmente sobre una concepción expe-rimental de matemática mediante la utilización de los actuales sistemas algebraicos computacionales. Siguiendo caminos similares abiertos por otros Proyectos expuestos en Europa y EE. UU., se han desarrollado unidades llamadas “Experimental Dynamic Calculus Units” para que profesores y alumnos perfeccionen actividades sobre conceptos y re-presentaciones correspondientes a temas de Cálculo. Ello implica también el cambio del aula clásica donde el profesor explica escribiendo en la pizarra y los alumnos copiando, por un ambiente de laboratorio donde el profe-sor promueve las actividades de los alumnos. Se ha interactuado con grupos externos de investigación y se han propuesto una serie de trabajos con contenidos trans disciplinarios de ciencia y matemática. La matemáti-ca aplicada a la ingeniería ha dejado de ser una ciencia abstracta para transformarse en una herramienta para modelizar los problemas de la vida real utilizando las herra-mientas tecnológicas perfeccionadas en la última década. La organización de investigaciones en red ha demostrado ser el camino apropiado elegido por la Sociedad actual.

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Índice

1. Introducción

1.1. Situación sobre enseñanza de ciencias y actitudes de los alumnos 1.2. La educación en ciencias y matemática en el Siglo XXI 1.3. ¿Cuál es nuestra estrategia?: el desafío de la innovación Objetivos específicos Ejes fundamentales Metodología Experimentación en matemática Criterios de pertinencia del nuevo paradigma Desarrollo operativo

2. Desarrollo del Proyecto

2.1. Producción de “Experimental dynamic units” 2.2. Organización de Workshops

3. Modelo de “Experimental Dynamic Calculus Unit”

Quadratic function model 3.1. Initial problem 3.2. Quadratic function y = mx² 3.3. Sum of functions f1(x) = m·x² and f2(x) = b·x 3.4. Sum of functions f1(x) = mx² and f2(x) = c 3.5. Sum of functions f1(x) = m·x², f2(x) = b·x, f3(x) = c 3.6. General properties of quadratic functions 3.7. Problems to be solved by using Mathematica commands 3.8. Geometric properties of a parábola Parabola as a geometric locus Geometric properties of a parabolic trajectory 4. Interdisciplinariedad entre análisis de problemas de la vida real

y su descripción mediante modelos

4.1. Modelo de desplazamiento de un cuerpo dentro de un fluido por efecto de la acción de la gravedad de la tierra y de la fuerza de arrastre del fluido sobre el

cuerpo Fuerza de arrastre Observación experimental de la velocidad límite Desarrollo de una experiencia de caída libre de un cuerpo. Obtención de registros de velocidad Formulación del modelo del movimiento de caída del cuerpo

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Primera suposición Predicción del modelo del movimiento de caída del cuerpo en función del tiempo Segunda suposición Predicción del modelo del movimiento de caída del cuerpo en función del tiempo Validación de las predicciones del modelo con la experiencia

5. ¿Qué proyectos similares se desarrollan en otras partes? 5.1. Políticas propuestas por los Estados Unidos de América 5.2. Proyectos específicos de la Unión Europea 6. Necesidad de realizar nuevas investigaciones y de crear grupos interdisciplinarios 6.1. Para formar nuevas generaciones de alumnos la solución no es darles un instrumento 6.2. Desarrollo conjunto de prácticas

7. Impacto del Proyecto en profesores y alumnos

Conclusiones

Publicaciones efectuadas por el grupo de investigadores del Proyecto

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1. Introducción

1.1. Situación sobre enseñanza de ciencias y actitudes de los alumnos El problema que plantea la Sociedad del Conocimiento es que para ingresar en ella es necesario tener conocimientos sólidos en ciencia y tecnología y poseer solvencias para el saber hacer. Lamentablemente los alumnos que egresan de las escuelas secundarias cada vez tienen una deficiencia mayor en su educabilidad y, por lo tanto, no pueden acceder a los pues-tos de trabajo de la Sociedad, ni tampoco están en condiciones de acceder a la Universi-dad. La deficiente educabilidad de estudiantes secundarios es un problema que se refleja en muchos países, aun en los más avanzados. La deserción estudiantil secundaria y univer-sitaria, la falta de interés por estudiar ciencias, ingenierías y matemática, la disminución de egresados en ciencia, ingeniería y matemática, son indicadores básicos que ponen en evidencia el peligro de pérdida de competitividad de las Sociedades. Esa complejidad se traduce, entre otras cosas, en carreras educativas truncadas, bajos aprendizajes y diversas formas de violencias, frustraciones, desencantos y fracasos. El proceso de enseñanza y aprendizaje de cada una de las disciplinas, y entre ellas la ma-temática, se da en el marco de un clima enrarecido, frente al cual los docentes carecen de recursos adecuados para cumplir con sus objetivos. Entre las causas que podrían estar incidiendo en la deserción, se destacan factores vin-culados con la pedagogía y la educación en ciencia y matemática. Esto incluye cuestio-nes relativas a dificultades para el aprendizaje, inadecuación de los contenidos respecto de las expectativas adolescentes y escasa utilización de recursos pedagógicos; todos ele-mentos indispensables para el desarrollo de un temperamento crítico y una mejor apre-ciación de la dinámica de las prácticas científicas. Si se realiza un estudio de cómo se enseñan las ciencias naturales y matemática tanto en el nivel medio y terciario como en el universitario, en la mayoría de los casos ocurre que dicha enseñanza es dictada por el profesor frente a la pizarra escribiendo en ella la teoría correspondiente a cada capítulo. Es decir, se enseña las ciencias en la misma for-ma en que están descritas en los libros. Esta situación viene ocurriendo desde largo tiempo atrás y, a pesar de los adelantos extraordinarios ocurridos en los últimos 30 años de la ciencia y de la tecnología, éstos no se incorporan en la enseñanza de las ciencias y de matemática. Es decir, la ciencia y la tecnología progresan a pasos agigantados y la enseñanza de las ciencias y matemática sigue la tradición sin modificaciones sustancia-les. Con los aprendizajes clásicos que provee la estructura educativa no es posible enca-rar los desafíos que enfrenta la humanidad y satisfacer su demanda. La Sociedad se en-cuentra exánime ante la impotencia de la general falta de conocimientos, de habilidades y de capacidades de alumnos universitarios. Los aprendizajes realizados en los últimos cincuenta años no son suficientes para crear las competencias necesarias para resolver los problemas de la Sociedad hoy y en los próximos veinte años. El desafío más impor-tante es crear nuevas competencias.

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1.2. La educación en ciencias y matemática en el Siglo XXI

Por décadas se han editado variados libros de ciencias y matemática siguiendo la línea clásica del pensamiento científico del Siglo XIX y del Siglo XX. Estas líneas han sido difíciles de entender y aprender por los estudiantes de ciencias, ingenierías y ciencias afines. Los libros clásicos, ejercicios y métodos tradicionales de enseñanza de ciencias y ma-temática, todavía omnipresentes en la primer década del Siglo XXI, enseñan cómo se resuelven las ecuaciones, pero en general no explican porqué se plantean y mucho más importante, qué uso tienen en el mundo real. Esta brecha entre cómo se enseña y su re-lación con la vida real todavía se ha ampliado más con la introducción de herramientas informáticas en la Sociedad, las cuales han dejado a la enseñanza tradicional totalmente anticuada y fuera de lugar, pues la validación de la solución matemática debe relacio-narse con el mundo real de hoy. Este es el paradigma que ha subsistido durante 150 años aproximadamente. Después de una declinación continua en la educación de ciencias y matemática, dejando miles de alumnos fuera de las carreras universitarias, se ha prendido una luz de alarma diciendo que las sociedades necesitarán más científicos e ingenieros en el futuro. La mayoría de estudiantes demuestran poco interés por las ciencias y matemática, parti-cularmente debido a las barreras creadas por una visión equivocada de la educación de las ciencias y matemática. Desde el punto de vista de educación, la formación de nuevas generaciones implica, ne-cesariamente, la reformulación de los sistemas educativos. Un ejemplo contundente lo ha dado Singapur, que ha debido implantar un nuevo sistema educativo para formar gente capaz de gestionar su puerto, el más grande del mundo. El problema fundamental que plantea el diagnóstico de la enseñanza de las ciencias y de matemática es la necesidad de abandonar una concepción anticuada de mediados del si-glo XX para pasar a una concepción actualizada para profesores y alumnos del siglo XXI, con proyección al 2020. Para que se produzca esta transición es preciso analizar la utilización de los recursos tecnológicos del mercado al día de hoy y concebir una nueva metodología para su inte-gración con el contenido de las ciencias y de matemática. La incorporación de recursos tecnológicos actuales es mandatario para mejorar la enseñanza, el aprendizaje, la inves-tigación y la gestión institucional. En este Siglo los niños y jóvenes se encuentran inmersos en una ola de comunicación global por medio de computadoras y teléfonos celulares. Esta comunicación es infor-mal, desestructurada y en la mayoría de los casos banal. De cualquier manera existe un aprendizaje informal ligado fuertemente a las tecnologías de comunicación el cual cuen-ta con poco o ningún apoyo tecnológico estructurado para aprender ciencias y matemá-tica. Este aprendizaje convive con el aprendizaje formal escolar.

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1.3. ¿Cuál es nuestra estrategia?: el desafío de la innovación

Necesidades de los estudiantes en el Siglo XXI Es preciso que los estudiantes desarrollen destrezas y conceptos correspondientes a las necesidades de la Sociedad del Siglo XXI. Hasta ahora, salvo excepciones, la praxis de la enseñanza de matemática corresponde a las necesidades de la Sociedad de los siglos XIX y XX. Por lo tanto, es indispensable cambiar de praxis, o sea desarrollar nuevas formas de aprendizaje y de trabajar en ciencias y matemática.

Los estudiantes necesitan lograr una habilidad en el manejo de herramientas matemáti-cas y conceptos al inicio de sus carreras sin perderse en el laberinto de demostraciones y de pruebas que no corresponden a los fines del estudio. Ello puede lograrse hoy median-te un cambio paradigmático del enfoque de la enseñanza de matemática, particularmente de Cálculo: aprender haciendo, aprender experimentando de forma tal que el alumno pueda verificar sus propias conjeturas Los estudiantes deben asimilar la metodología de la experimentación y simulación en el aprendizaje de matemática, interpretación de gráficos, resolución de problemas y escri-tura de sus conjeturas provisorias acerca de las experimentaciones, utilizando para ello problemas de la vida real conocidos pero no sistematizados formalmente. Desde hace varios años se pueden utilizar las facilidades de interactividad, graficación y cálculo que proveen los sistemas “Computer Algebra Systems” (CAS) o Sistemas Algebraicos Computacionales (SAC), como por ejemplo, “Mathemática”, “MATLAB”, así como también los software libres como “GeoGebra”.

Este proyecto ha sido concebido como una Red Interinstitucional integrada en sus comien-zos por tres Unidades Académicas de la Universidad Tecnológica Nacional de Argentina: Facultad Regional Gral. Pacheco (FRGP), Facultad Regional Mendoza (FRM) e Instituto Nacional Superior del Profesorado Técnico (INSPT). Se espera realizar una integración con otras universidades latinoamericanas. El objetivo general de este Proyecto es proponer acciones pedagógicas que de manera sistemática y crítica procuren la transformación de la forma de enseñar matemática, in-troduciendo una nueva modalidad enfocada en la experimentación. Objetivos específicos Desarrollar actividades de investigación educativa en ciencias y tecnologías con el

objeto de diseñar materiales didácticos y actividades actualizados con destino al per-feccionamiento profesional de docentes de niveles secundario, terciario y universi-tario.

Incorporar la concepción integrada STEM (Sciences, Technology, Engineering and Mathematics) para apoyar centros escolares y mejorar sus condiciones de laborato-rios científicos y tecnológicos así como el perfeccionamiento docente, a los efectos de posibilitar la participación de variadas comunidades en promoción, producción y uso del conocimiento científico-tecnológico.

Colaborar asociativamente con empresas, instituciones y organismos públicos y pri-vados para desarrollar la Propuesta.

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Se ha creado un área de investigación educativa en Matemática Experimental donde se prueban las últimas tendencias en la integración de ciencias, tecnología, ingeniería y ma-temática. Este proyecto se transfiere a alumnos para que adquieran habilidades para explo-rar, experimentar y conjeturar, así como para introducirse en la problemática de la matemá-tica del siglo XXI. Ejes fundamentales Se propone desarrollar tres ejes fundamentales: a) Mejorar sensiblemente las carreras docentes de investigación educativa en ciencias (incluido ciencias de la computación) y tecnología, mediante una educación continua proveniente de instituciones que investigan en educación de ciencias y aplicaciones tec-nológicas. b) Integrar las ciencias naturales y exactas, la tecnología y la educación. Es fundamental que hoy se utilicen tecnologías electrónica e informática para adquisición de datos y procesamiento de información y sus múltiples aplicaciones a diferentes áreas de uso por la Sociedad. c) Promover la difusión de la cultura científica en la Sociedad. Metodología La metodología fundamental del Proyecto está basada sobre la concepción del modelo cíclico de relaciones entre producción de conocimiento y mejoramiento de prácticas, el cual parte de la etapa de desarrollo de investigaciones sobre educación en áreas de STEM y afines, lo cual da lugar a la etapa de creación de nuevos materiales de enseñan-za-aprendizaje. Se introduce una tercera etapa de desarrollo profesional actualizado de docentes, quienes aplicarán las innovaciones educativas (Etapa 4), cerrando el ciclo con evaluaciones de aprendizaje y adquisición de competencias (Etapa 5), que retro alimenta la primera etapa. Gráficamente, se obtiene el esquema siguiente.

Etapa 1 Desarrollo de in-vestigaciones so-bre enseñanza de áreas de STEM

Etapa 2 Creación de nuevos materiales de ense-ñanza - aprendizaje

Etapa 3 Desarrollo profesio-nal de docentes

Etapa 4 Docentes aplican con los alumnos las inno-vaciones (materiales y metodologías)

Etapa 5 Evaluación de aprendi-zaje y adquisición de competencias por parte de alumnos

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Experimentación en matemática Mucho menos conocida que la experimentación en ciencias, la experimentación en matemática es una realidad didáctica que debe concebirse en la enseñanza de esta disci-plina para carreras en ciencias, tecnologías e ingeniería. La experimentación en matemática es posible gracias al desarrollo de nuevas herramien-tas informáticas no existentes hasta hace 20 años. Éstas son para matemática como el microscopio para biología y el telescopio para astronomía, instrumentos indispensables para estudiar las ciencias. Hoy en día no se concibe ningún estudio de ciencias e inge-niería que no sea asistido por alguna herramienta informática específica. El formidable avance que ha tenido la informática en los últimos veinte años ha permitido crear herramientas e instrumentos que han ayudado a resolver problemas de ciencias e inge-niería y a encarar experimentaciones metodológicas para su enseñanza. Las clases de matemática también deben desarrollarse en laboratorios (computadora y herramienta informática). El alumno debe desarrollar relaciones numéricas, graficacio-nes y experimentaciones basadas sobre modelos que le permitan variar parámetros y re-conocer cómo impactan esos cambios en gráficos y deducir conclusiones. Es necesario que establecimientos educativos introduzcan nuevas metodologías y nue-vos instrumentos. Para estudios de matemática se debe contar con herramientas compu-tacionales de aplicación en ingeniería. Es preciso contar con ayuda de representaciones gráficas en tiempo real y automáticas, de tal manera que se observen resultados a medi-da que se ejecuta la experiencia. Es de esperar que si muchos laboratorios escolares dis-pusieran de herramientas descritas con previa capacitación de docentes en su uso y apli-caciones, los alumnos se sentirían más motivados para indagar y satisfechos por obten-ción inmediata de resultados. La necesidad de capacitar a docentes en el manejo de las nuevas tecnologías (NN.TT.) bajo proyectos pedagógicos muy bien estructurados, es prioritaria, incluso antes de pro-veer a los alumnos de computadoras. La tecnología por si, no puede hacer nada, si de-trás no hay maestros comprometidos, capacitados, creativos y con un pensamiento crí-tico acerca del proceso cognitivo. Es fundamental elaborar nuevos recursos pedagógicos para que docentes y alumnos se capaciten en estudios trans disciplinarios de las ciencias e ingenierías. Es preciso que los estudiantes practiquen la observación sistemática, midan, clasifi-quen, definan, infieran, predigan, controlen variables, experimenten, visualicen, descu-bran relaciones y conexiones y aprendan a comunicarlas. La lectura de gráficos, su construcción e interpretación resulta una herramienta fundamental para el aprendizaje conceptual. Este corrimiento de paradigma de la didáctica de Matemática trae aparejado un cambio drástico en la propuesta de cómo deben enseñarse los capítulos de Matemática, orienta-dos a la modelización de sistemas de la vida real.

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Se debe promover en la educación la generación de contenidos como un valor de suma importancia en la utilización de las NN.TT. El intercambio de los desarrollos de conte-nidos también resulta de gran conveniencia. Los métodos actuales de docencia y aprendizaje no son suficientes y eficientes para pre-parar a una cantidad cada vez mayor de jóvenes. Razón por la cual el aprendizaje debe ocurrir también en otros ambientes diferentes a los tradicionales de la escuela y univer-sidad. Surge de esta manera la necesidad de introducir nuevas instituciones abiertas para el aprendizaje, a los efectos de capacitar a los jóvenes para adquirir competencias e in-gresar en puestos de trabajo. Es necesario introducir cursos de tutorías para un mejor aprendizaje de los jóvenes y de docentes, particularmente en ciencias y matemática, de tal manera que puedan explorar con mayor capacidad de comprensión las carreras de ciencias e ingeniería. Así podrán adquirir competencias necesarias para participar plenamente en las diferen-tes esferas de la vida, afrontar las exigencias y desafíos de la sociedad, acceder a un em-pleo digno y desarrollar un proyecto de vida. Se propone fortalecer y potenciar la creación de contenidos educativos digitales, gene-rando nuevas alianzas de colaboración. Se apoyarán iniciativas innovadoras que incor-poren las NN.TT en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las diferentes materias, a través de la convocatoria de concursos de experiencias y de buenas prácticas. En el marco de esta nueva concepción de corrimiento de paradigma en la enseñanza de matemática y teniendo en cuenta los adelantos extraordinarios de la tecnología electró-nica e informática, hemos elaborado nuevos materiales estructurados para el desarrollo de “Workshops” de Matemática. Criterios de pertinencia del nuevo paradigma Dada la complejidad de nuevas ideas, experiencias y materiales desarrollados en los úl-timos años en el mundo, no es posible sintetizar en una frase el contenido del nuevo pa-radigma. Se destaca a continuación los criterios de pertinencia básicos a tener en cuenta. Enfoque transdisciplinario Desde hace varias décadas las ciencias y matemática se han enseñado en compartimen-tos estancos. Particularmente la matemática, herramienta fundamental para la resolución de problemas científicos, se ha enseñando como ciencia abstracta; se enseña cómo se re-suelven las ecuaciones pero no se enseña porqué se resuelven, y lo más importante, qué uso tienen en el mundo real. El enfoque multidisciplinario es básico para entender los fenómenos de la naturaleza y resolver los problemas que plantea la sociedad, cada vez más complejos.

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Constitución de Redes Para que los programas tengan impacto y se diseminen en una Región o continente, de-ben constituirse redes y consorcios entre diferentes centros de investigación. Con la constitución de redes se produce la interacción entre investigadores, docentes, autoridades educativas, autoridades políticas, universidades, organizaciones de la socie-dad civil y actores de la Región. Centralizar las acciones de apoyo en docentes secundarios y universitarios Lo docentes son los constructores de las generaciones pasadas, presentes y futuras. Son los verdaderos actores de la efectividad de las experiencias de laboratorio. Ayudan a los alumnos a aprender conceptos de ciencia y matemática provocando discusiones y con-testando preguntas. Es el docente el que integra el aprendizaje del alumno con los pro-cesos y contenidos de las ciencias. Se debe procurar que un número significativo de docentes se incorpore a proyectos ba-sados sobre el nuevo paradigma proveyéndoles entrenamiento y acceso a nuevas tecno-logías innovadoras y metodología científica. Todos los programas mencionados prece-dentemente centralizan el foco en la preparación docente. El entrenamiento debe basarse sobre Workshops sistemáticos y extensos para que ad-quieran la práctica de la experimentación con materiales específicamente desarrollados. En su tarea diaria el docente tiene escasas oportunidades de mejorar su enseñanza de la-boratorio. Por otra parte, las oportunidades de aprender ciencia experimental son muy insuficientes. Por regla general, pocos docentes tienen acceso a laboratorios. Por otra parte los docentes requieren entender cuáles son las ideas científicas y prácticas de los alumnos, sus conceptos básicos y los conocimientos disciplinares. Además, para hacer progresar a los alumnos en esos conceptos los docentes requieren conocer especí-ficamente la pedagogía de las ciencias y de matemática. Los docentes necesitan aprender cómo usar los modelos científicos y las discusiones de clase con los alumnos sobre dichos modelos. Un curso sobre ello no es suficiente, de-ben realizarse Workshops específicos. Lamentablemente no hay un programa de capacitación de docentes en ciencias que pro-vea dicho conocimiento, dado que lo que aprenden los docentes siendo alumnos de cur-sos terciarios no es suficiente ni siquiera aproximado a lo que ellos realmente necesitan para ejercer su profesión. El desarrollo profesional docente no sólo debe ser rico en prácticas científicas y de in-geniería, conceptos básicos y conocimientos disciplinares sino que también deben

Los docentes son la fuente fundamental de la enseñanza de ciencias y matemática, en este caso particular, y por lo tanto, el vehículo para im-plantar las nuevas estrategias y tecnologías en las escuelas y universi-dades.

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aprender las necesidades que tienen los profesores en sus clases diarias. La interacción de los docentes con los estudiantes en la clase es el factor determinante para que éstos aprendan ciencia y matemática. Por ello los docentes constituyen el eje principal de la educación científica, tanto en la escuela media como en la Universidad. Utilización de nuevas tecnologías para experimentación Respecto de la utilización de tecnologías educativas actuales para la enseñanza de cien-cias y matemática particularmente en la Región, la única tecnología que ha sido total-mente incorporada es la calculadora electrónica, que ha irrumpido en el mercado en forma ubicua desde la década de 1970. La tecnología informática, desarrollada en forma masiva a principios de la década de 1980 con la PC, no ha sido asimilada totalmente para la enseñanza de matemática y otras ciencias. Todavía no se ha incorporado, generalmente, el concepto de adoptar una nueva tecnolo-gía, de su uso y de su gestión para la educación científica y matemática. Precisamente se deben utilizar las tecnologías electrónica e informática para producir nuevos artefactos de experimentación y nuevos sistemas de registro, procesamiento y representación de información, así como también utilizar apropiadamente los valiosos programas de matemática para cálculo y graficación. Hay que recrear o transformar las clásicas experiencias de física, química y biología en nuevas experiencias con los sistemas descriptos. Para ello es necesario desarrollar sis-temáticamente en cada región un prototipo de experimentación, tanto para ciencias co-mo para matemática, que pueda multiplicarse para entrenar a varios grupos de cohortes de docentes. Producción de nuevos recursos didácticos Para alentar este cambio se requiere la producción de nuevos materiales innovadores di-ferentes a los disponibles de décadas pasadas, los cuales deben usarse en entornos de aprendizajes diferentes al aula con nuevas prácticas de enseñanza (experimental). El au-la ha sido, y lo sigue siendo, el escollo más importante para actualizar la enseñanza de ciencias. El mundo del aula es obsoleto, hay que cambiarlo por otros ambientes que permitan que el alumno trabaje, discuta y desarrolle nuevas capacidades de aprendizaje. Tanto la preparación de nuevos materiales como el entrenamiento docente para su uso deben realizarse en un ambiente conjunto de investigadores, profesores universitarios y docentes de escuelas terciarias y secundarias. Transferencia Los usuarios finales de estos materiales son, en primer término, los profesores de cáte-dra universitarios y secundarios y sus alumnos. La transferencia de resultados de inves-tigación a las cátedras es uno de los objetivos fundamentales para una enseñanza actua-lizada de ciencias y matemática. En segundo término, los docentes secundarios y sus

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alumnos. Tanto uno como otros deben enseñar y aprender lo que se enseña y aprende en el mundo actual y no lo que se enseñaba a principios del siglo pasado. De esta manera no sólo se diseminarán nuevos conocimientos y métodos, sino también nuevas formas de desarrollo de habilidades y competencias para adquirir nuevos conocimientos y tener una idea más clara de la relación entre matemática y las ciencias e ingeniería del mundo real del Siglo XXI. Para la transferencia de conocimientos es indispensable el desarrollo de Workshops conjuntos entre los que proveen el conocimiento y los que lo reciben. Es un compromi-so mutuo interactivo personal. Ciencia de interés público La ciencia está concebida según dos propósitos, uno explorar la frontera del conoci-miento, creando nuevas ciencias, nuevos conocimientos, nuevos conceptos. El otro pro-pósito es de interés público, como ser, reducción de la pobreza, desarrollo sustentable, energía, desarrollo sanitario, transporte, comunicación y desarrollo de infraestructura. La primera concepción de la ciencia fue llamada ciencia de primera clase. La segunda concepción fue desestimada como ciencia y se la ha considerado de segunda clase. Pero la realidad nos muestra en todo momento que la ciencia así llamada ciencia para la So-ciedad es cada día más importante para resolver los problemas que aquejan a la humani-dad. Esta realidad ha conducido a un corrimiento de paradigma en la educación de cien-cias y matemática, la cual ha pasado a ser de interés público. La clave consiste en considerar que la educación en ciencias exactas y naturales tiene que ser parte de la ciencia de interés público. Es decir, no sólo aprender ciencia de pri-mera clase, sino también ciencia de interés público. Se debe aprender ciencias exactas y naturales para resolver problemas, que es la demanda de la Sociedad. El paradigma de enseñanza de ciencias y matemática para docentes y estudiantes de cien-cias e ingeniería de esta década debe ser diferente del paradigma de siglos anteriores. Este es el desafío que se enfrenta, el cual engloba las necesidades de conocimiento de la Socie-dad actual y las necesidades de los puestos de trabajo, particularmente para ciencias e in-geniería. Los desarrollos de las ciencias e ingeniería conducen a la formulación de modelos y uso de procedimientos computacionales complejos como construcción de edificios altos, sus vibraciones y acústica, ingeniería química, nanotecnología, electrónica de infrarrojo y fotónica, biomimética de superficies biológicas, mecanismos de difusión, transmisión y propagación de enfermedades virósicas, dando lugar a una nueva especialidad, la epi-demiología matemática, entre unos pocos ejemplos de los cientos que hay que resolver.

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Desarrollo operativo Diseñar e implantar actividades de experimentación (“hands – on”), con provisión

de equipamiento específico. Organizar Workshops de investigación educativa, demostrativos y activos, para do-

centes de ciclos secundario, terciario y universitario con desarrollo de nuevos mate-riales, análisis de datos y metodología científica.

Organizar Escuelas de Investigación Educativa en Ciencias y Matemática, de un par de semanas en cada una de las ciencias, en lo posible de carácter latinoamericano o internacional.

Organizar actividades para que docentes practiquen con sus propios alumnos. Desarrollar Cuadernos de Experimentación y Libros de Lecciones Experimentales

de Ciencias relacionados con temas de física, química, biología, medioambiente, matemática y ciencias de computación como material innovador para el aprendiza-je experimental de STEM.

Participar en congresos, seminarios y reuniones para difundir y enriquecer el Pro-yecto.

Desarrollar un Sitio Web del Proyecto para que docentes, alumnos de escuelas y po-blación en general puedan participar del conocimiento expuesto en dicho Sitio, faci-litando la promoción de la cultura científica.

Producir publicaciones relacionadas con actividades del Proyecto. Establecer convenios de cooperación con otros centros de la Región que desarro-

llen actividades similares a las del Proyecto. Invitar a otros organismos de las Sociedades Iberoamericanas a participar en la pro-

puesta.

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2. Desarrollo del Proyecto El Proyecto RIEMEIT se basa sobre el principio que la enseñanza de Matemática en las instituciones educativas debe ser experimental, participativa, cooperativa y motivadora para conjeturar. Para estudios de Matemática se considera un enfoque experimental como en las otras ciencias, mediante la incorporación de Sistemas Algebraicos Computacionales (SAC). Con ellos es posible diseñar materiales que permitan a docentes y alumnos desarrollar experiencias. Se desarrollan módulos de experimentación llamados “Experimental dynamic Calculus units”. La estructura de sus contenidos se diferencia de los de un libro y de las explicaciones clásicas del profesor en la pizarra. Este método permite la interactividad permanente del alumno con el material propuesto, con sus pares y sus docentes. Ello no significa que deba prescindirse del libro, la clase integradora del profesor y la realización de tareas especiales u obligatorias. Es tarea del profesor inducir al alumno a completar su cono-cimiento mediante la lectura de libros y resolución de otros problemas para afianzar su aprendizaje tanto práctico como la formalización de la teoría correspondiente. 2.1. Producción de “Experimental dynamic Calculus units” El Claustro responsable de la conducción del Proyecto ha elaborado una colección de “Experimental dynamic units”, serie que se seguirá publicando a medida que se des-arrollen nuevas experiencias. Se trata de una publicación original con experiencias ex-plicadas con metodología científica y resultados relacionados con problemas de ingenie-ría y tecnología. Se mencionan a continuación, a título de ejemplo, el desarrollo de algunas Unidades.

RESUMEN Se describen las etapas de experimentación y planteo del Modelo Lineal. Se describen las actividades para que alumnos practiquen tanto con el empleo del SAC Mathematica como de GeoGeobra.

Experimentación con la variación de la pendiente en la relación lineal F(x) = m·x.

“Experimental Dynamic Unit” Estudio del Modelo Lineal

4 2 1 2 3 4 5x

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5y

20

En el ”mathltet” pueden verse tres rectas que modelizan el aumento de la cantidad de agua (en litros) que tienen tres tanques (A, B y C), en el transcurso del tiempo expresado en minutos.

RESUMEN Se describen las etapas de experimentación y planteo del Modelo Cuadrático. Se describen las actividades para variación de coeficientes de términos de polinomio de segundo grado.

Visualización de obtención de una función de segundo grado por suma de términos indepen-diente, lineal y cuadrático

“Experimental Dynamic Unit” Modelo Cuadrático

5 3 1 1 3 5x1

9

25y

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RESUMEN

Se describen las etapas de experimentación y planteo del Modelo Exponencial. Se describen las actividades correspondientes a funciones exponenciales y logarítmicas

Gráficas de los pares de fun-ciones el intervalo (0;10].

1

2 10

10log

xyy x

H( x ) (1.36 ).ln( x ) 1.19 M( x ) 2,07.ln( x ) 2,04

Factor de riesgo como razón entre la cantidad total de colesterol en la sangre y la cantidad de colesterol de lipopro-teínas de alta densidad en sangre. Se indica el riesgo de sufrir un ataque cardía-co para un hombre y una mujer.

“Experimental Dynamic Unit” Modelo Exponencial

104x

10

0.602

4.00

y

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RESUMEN Se describen las etapas de experimentación y planteo del Modelo Armónico. Se describen las actividades correspondientes a funciones armónicas y sus combinacio-nes.

Gráfica de la función y = sen (x) e y = seno(x + ) para =3 ./2

Proyección sobre el eje x del movimiento circular uniforme de dos pasajeros en distintas ruedas concéntricas, uno en cada rueda. Suma de ambas proyecciones. Las amplitudes de los movimientos armónicos son, respectivamente, iguales a los radios de las ruedas R1 y R2. Gráfica correspondiente a las funciones x1(t), x2(t) y x(t) considerando R1 = 20 m, R2 = 10 m, = 2,5 constante , 1 0.1 y . 2 0 2. RESUMEN

Se describen tres herramientas para experimenta-ción, que son MATEMÁTICA, Microsoft VISUAL BASIC y GEOGEBRA.

Se desarrollan aplicaciones con cada una de ellas relacionados con temas de Cálculo Estos instrumentos permiten crear “ambientes de exploración” en los que el estudiante puede asumir un rol activo en el descubrimiento matemático y la formulación de conje-turas.

“Experimental Dynamic Unit” Modelo armónico

22 2

32

2 52

3x

1

1

y

“Experimental Dynamic Unit” para experimentación en mate-mática y aplicaciones

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Cálculo de área por suma superior e inferior de rectángulos con GeoGebra.

Cálculo de área con Mathematica

2.2. Organización de Workshops

Sobre la base de la descripción de experiencias desarrolladas, se han organizado varios Workshops con la participación de profesores investigadores involucrados en el Proyec-to.Se han desarrollado Workshops con demostraciones ante pares externos evaluadores. También se han desarrollado Workshops sistemáticos para profesores de enseñanza me-dia de los Colegios relacionados con el Proyecto.

Se muestra una captura de pantalla de una acti-vidad (sumas de Rie-mann) realizada con GeoGebra que facilitará la “experimentación”. Se incluye el protocolo de construcción de la misma.

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Alumnos del Instituto Nacional Superior del Profeso-rado Técnico UTN Buenos Ai-res) trabajando en el aula-laboratorio en una clase de “Cálculo”. La profesora Mónica Zalabardo en lugar de escribir la lección en la pizarra “conver-sa” con los alumnos sobre la temática que desarrollan.

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3. Modelo de “Experimental Dynamic Calculus Unit”

Quadratic function model

3.1. Initial problem Let us assume that a student starts walking along a straight path and measure the time that elapses during the walk. The data are recorded in Table 1.

Time t (s) 0 1 2 3 4 5 7 9 10

Displacement D (m) 0 2 4 9 16 25 49 81 100

Table 1. Recording time (s) and corresponding displacement (m)

The displacement D as a function of time t must be analyzed.

Activity 1

Plot a graph using the data given in Table 1. a) What is the numerical relation between each pair of numbers? b) Write a mathematical expression. c) Write your answers. d) What type of function does it look like?

Figure 1. Representation of

pairs of numbers from Table 1

Time (s)

Displacement (m)

26

Activity 2 If the acceleration is a, according to the kinematics equations, one has

1 2D t a t2

( ) (1)

Figure 2. Displacement as a function of time.

Activity 3

Try substituting different values of coefficient a into the function, and compare the cor-responding graphs.

27

y 2 x2 y3

2x2

Figure 3. Graphs corresponding to different values of a > 0.

3.2. Quadratic function y = mx²

Activity 4

Let us consider the function y = m·x². Table 2 contains values of y and x.

a) What is the value of coefficient m? Plot a graph.

x -10 -8 -5 -3 -1 0 1 3 5 8 10 y 100 64 25 9 1 0 1 9 25 64 100

Table 2. Pairs of values corresponding to y = m· x2.

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y x x2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012345678910x

92536

64

100

92536

y x

Figure 4. Visualization

b)Is the graph symmetric with respect to the y axis? c) What is the graph corresponding to the symmetric function with respect to the x axis? d) Plot a graph with coefficient a = -7

29

Figure 5. Visualization.

3.3. Sum of functions f1(x) = m·x² and f2(x) = b·x

Activity 5 Let f1(x) = 2x2 and f2(x) = 3x. Tables 3 and 4 list the corresponding values for specific x values.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f1(x)= 2x2 18 4 2 0 2 8 18 32 30

Table 3. Values of f1 for different x values in the interval [-3,5].

x -3 -2 ¿? 0 1 ¿? 3 4 ¿? f2 (x) = 3x -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15

Table 4. Values of f2 for different x values in the interval [-3,5]. a) Using these tables, complete the following table by summing up the values of f1 and f2 for each value of x. b) Plot the functions f1(x) y f2(x) and f1 + f2.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 f1(x) + f2(x) ¿? ¿? ¿? ¿? ¿? ¿? ¿? ¿? ¿?

Table 5. Function f(x) = f1 + f2 for discrete values of x.

30

Figure 6. Visualization

c) For the different values of coefficients m and b given in Table 6, plot the corresponding functions.

m 1 1 1 -1 1

2

b 0 3 -3 3 -2

Table 6. Values of coefficients m and b.

31

Figure 7. Graphs for different values of m and b from Table 6. 3.4. Sum of functions f1(x) = mx² and f2(x) = c

Activity 6 Let f1(x) = 2 x2, f2 (x) = 9 and see Tables 7 and 8. a) Using these tables, complete the following table by summing up the values of f1 and

f2 for each value of x (see Table 9).

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 f1(x)= 2x2 18 8 2 0 2 8 18 32 50

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 f1(x)+f2(x) ¿? ¿? ¿? ¿? ¿? ¿? ¿? ¿? ¿? Table 9. Discrete values of f1 + f2 for different x values. b) Plot the functions f1(x) y f2(x) and f1 + f2.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 f2(x)= 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 Table 8. Discrete values of f2 for different x values.

Table 7. Discrete values of f1 for different x values

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. Figure 8. Visualization.

3.5. Sum of functions f1(x) = m·x², f2(x) = b·x, f3(x) = c

Activity 7

Let f1(x) = 2 x2, f2 (x) = 3 x, f3(x) = 9. a) Find the function f(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) and plot its graph. b) Try different real values of coefficients m, b, and c, and plot the corresponding sum functions.

33

3.6. General properties of quadratic functions

Activity 8 Let f(x) = 2x2 + 4x -9. Examine with the sliders aid.

Figure 10. Graph of function f(x).

Figure 9. Visualization.

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a) Is the function increasing or decreasing over the total interval? b) Indicate the intervals in which the function increases and decreases, respectively. c) At which values of x does the function change from a decreasing to an increasing function? d) What is the relationship between the roots and the abscissa of the vertex?

Activity 9 a) Plot the function f(x) = -3x2 + 6x + 4 and see Table 10. b) Complete Table 11.

Figure 11. Graph of the data listed in Table 10.

x 0 1.9 1.99 1.999 1.9999 2 2.0001 2.001 2.01 2.1 2.3 f(x) 4 5.57 4.057 4.0059 4.0005 4 3.9993 3,9939 3,9397 3,37 1,93

Table. 10. Incremental x values approaching the value x = 2 from left to right. Decreasing x values approaching the value x = 2 from right to left.

Function If x0

When f(x) approaches the value x0 from the left

When f(x) approaches the value x0 from the right

-1 ¿? ¿? f(x) = -3x2 + 6x +4 1 ¿? ¿? Table 11. Indicate the corresponding values.

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3.7. Problems to be solved by using Mathematica commands

Problem 1 In a laboratory one observes the growth in the number of flies of type and the growth in the number of worms of type . They are represented, respectively, by the functions

2 4 0x y ; 5 0x y in the time interval of 30 days. a) Plot the corresponding functions on the same graph. b) Find: - The days on which the number of flies is equal to the number of worms

A.: 0 and 20 - The time interval during which the number of worms is greater than the number of flies

A.: 30;20 Problem 2

A stone is ejected vertically upwards with an initial velocity of 40 ms

. If the gravity ac-

celeration is set at g = 9.8 m/s², obtain the stone displacement function.

a) What is the maximum height attained by the stone? b) At what time does the stone hit the floor?

3.8. Geometric properties of a parabola Parabola as a geometric locus A parabola is a set of points in the same plane that are the same distance from a fixed point and a fixed straight line. The point is called the focus and the straight line the di-rectrix (see Fig. 12). The central point between the focus and the directrix is called the vertex. The line which contains the focus and the vertex is called the parabola axis. Let us suppose that the axis is vertical and the vertex has the coordinates V (h, k). The focus is at distance p from the vertex. The coordinates of the focus are F(h, k + p). The equation of the directrix is x = h – p.

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Figure 13. Geometric elements corresponding to a parabola: focus, directrix, axis, and vertex.

Accordingly, we have

Figure 12. If point P changes its position, then the parabola is drawn.

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The corresponding coordinates for the focus and vertex are

Activity 10

Let the equation of the parabola be

2y ax bx c . (a) What is the focus and vertex coordinates in terms of coefficients a, b, and c? (b) How do they change when the coefficients change? (c) What is the “trajectory” of the focus when a, b, and c are varied?

Figure 14.a. Coefficients a and b are fixed; c is vari-able

Figure 14.b. Coefficients a and c are fixed, b is variable

2

2

( , )2 4

( , )2 4 4

b bfoco ca a

b b avértice ca a

focus

vertex

38

Figure 14.c. Coefficients b and c are fixed; a is variable.

Figure 15. One light ray parallel to the axis is reflected and passes through the focus.

Geometric properties of a parabolic trajectory

In a parabolic mirror, a light ray that passes through the focus is reflected parallel to the axis. One ray parallel to the axis is reflected and passes through the focus (see Fig. 15).

Activity 11

Let different projectiles be launched with the same initial velocity and different initial angles with respect to the horizontal plane. Each projectile follows a parabolic trajec-tory. What is the equation corresponding to the plot of the heights of the maxima of dif-ferent trajectories? (See Fig. 16.)

Figure 16. The angle alpha changes while the velocity v is the same for all trajectories. The maxima points also form a parabola.

39

Activity 12

Find the equation corresponding to the “security curve”. The projectiles are launched again with the same initial velocity and different initial angles. All trajectories are lim-ited by a surrounding curve, which is also a parabola. No trajectory may be outside this security curve. (See Figs. 17.a and b.)

Figure 17.a. Representation of envelope curve sur-rounding to all parabolas.

Figure 17.b. By changing the alpha angle, one ob-tains the corresponding parabolas and the envelope curve

height

range

40

41

4. Interdisciplinariedad entre análisis de problemas de la vida real y su descripción mediante modelos

4.1. Modelo de desplazamiento de un cuerpo dentro de un fluido por efecto de la

acción de la gravedad de la tierra y de la fuerza de arrastre del fluido sobre el cuerpo

En general, se plantean problemas de caída de cuerpos en el aire y se supone que el ro-zamiento entre el cuerpo y las moléculas de aire es despreciable. Pero, como se demos-trará a continuación, si el cuerpo es liviano y tiene una superficie suficientemente gran-de, el aire ejerce una fuerza de frenado, llamada fuerza de arrastre. Fuerza de arrastre Este es el caso de un filtro de café que cae desde una cierta altura. El cuerpo cae por efecto de la acción de la gravedad de la tierra, pero el aire ejerce una fuerza de arrastre o fricción que lo empuja hacia arriba. Observación experimental de la velocidad límite Para tener una apreciación cuantitativa del efecto de la fuerza de arrastre sobre el cuer-po, es preciso realizar una experiencia y observar que la velocidad no siempre es pro-porcional al tiempo. Existe un quiebre de la linealidad hacia una velocidad constante, llamada velocidad límite, a partir de un determinada instante. Luego el cuerpo se mueve con velocidad límite constante. Desarrollo de una experiencia de caída libre de un cuerpo. Obtención de registros de velocidad ¿Cómo observamos, cómo experimentamos, qué sistemas de registro de datos utiliza-mos? Se utiliza un radar ultrasónico para determinar la velocidad y desplazamiento del filtro de café en su caída en el aire. El radar se acopla a una interfaz y ésta a una computado-ra. La Fig. 1 muestra el arreglo experimental. En la Fig. 2 se ilustra el gráfico de la veloci-dad en función del tiempo, mostrando claramente que la velocidad llega a un valor máximo, llamado velocidad límite, constante. Su valor se estima en

v = 2, 97 ms

. (1)

42

Velocidad (m/s)

Tiempo (s) Figura 1. Arreglo experimental para de-terminar la velocidad de caída en el aire de un filtro de café. Se utiliza en radar ultrasónico colocado arriba del filtro y una interfaz conectada a una computa-dora.

Figura 2. Registro de la velocidad de caí-da del filtro de café en el aire. Antes de tocar el suelo se registra la velocidad límite.

Formulación del Modelo del movimiento de caída del cuerpo Primera suposición La fuerza de arrastre es la que influye sobre la velocidad del cuerpo hasta que ésta resulta constante. La fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad Se supone que la fuerza de arrastre que ejerce el aire sobre el cuerpo es proporcional a la velocidad de caída. Consecuentemente, la resultante de las fuerzas actuantes sobre el cuerpo se expresa F(t) = m·a· ey = m·g· ·ey – k m· v· ey. (1) Donde ey es el versor unitario que apunta hacia el centro de la tierra. De la relación (1) se deriva la ecuación diferencial dv = g – k·v dt o bien dv = dt (2) g – k·v Con la condición inicial t = 0 es v = v0 ; y = y0 = 0.

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Predicción del Modelo del movimiento de caída del cuerpo en función del tiempo De acuerdo con el arreglo experimental, el cuerpo cae desde la posición donde es solta-do con velocidad inicial nula, v0 = 0. Luego

g k tv (1 e )k

. (3)

La velocidad límite es v = gk

, (4)

Obteniéndose la expresión de la velocidad v(t) = 2,97· (1- e –3,3·t). (5) La función exponencial (5) constituye la predicción del modelo de caída del filtro de ca-fé en el aire, suponiendo que la fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad.

Segunda suposición La fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad del cuerpo Pero también cabe suponer que el efecto de la fuerza de arrastre es más fuerte, o sea proporcional al cuadrado de la velocidad del cuerpo. Consecuentemente, la resultante de las fuerzas actuantes sobre el cuerpo se expresa

F(t) = m· a· ey = m· g· ey – k·m·v² · ey. (6)

dando lugar a la ecuación diferencial

2dv dt

( g k v ) (7)

Con el objeto de homogeneizar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, la constante k se expresa en función de dos parámetros, g y ² tal que

2gk .

La constante debe tener la dimensión de velocidad y su valor se fija igual al de la ve-locidad límite.

= 2.97 ms

.

Por lo tanto la ecuación diferencial (7) se expresa

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2

2

dv g dtv1

. (8)

Con la condición inicial t = 0 ; v = v0 = 0. Predicción del Modelo del movimiento de caída del cuerpo en función del tiempo La solución de la ecuación (8) se obtiene mediante el empleo de un Sistema Algebraico Computacional, resultando

1 1v 0 gtanh tanht

(9)

De donde v(t) = 2,97·tanh(3,3·t). (10) La función (10) constituye la predicción del modelo de caída del filtro de café en el aire, suponiendo que la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad del cuerpo.

Validación de las predicciones del modelo con la experiencia El gráfico de la Fig. 3 muestra la representación de las dos funciones (5) y (10) y la fun-ción experimental de la Fig. 2, para el intervalo de tiempo en donde la fuerza de fricción o de arrastre actúa claramente, es decir en el intervalo de tiempo [1,1 ; 1,5] s. De acuerdo con estos gráficos, se concluye que la aproximación más apropiada a los re-sultados experimentales es que la fuerza de arrastre sea proporcional a la velocidad del cuerpo que cae dentro del fluido.

VELOCIDAD DE CAÍDA DEL FILTRO DE CAFÉ (m/s)

Figura 3. Gráficos de velo-cidad de caída del cuerpo (filtro de café) en el aire, de acuerdo con los resultados experimentales y las pre-dicciones del modelo (5) y (10), suponiendo en el pri-mer caso que la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad y en el segundo, proporcional al cuadrado de la velocidad.

1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10

0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50

Tiempo (s)

Modelo (5)

Modelo (10)

Experiencia

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Comentarios Las ecuaciones diferenciales se han tratado en variados libros de matemática, pero no se ha hecho mención, por lo general, a ningún problema real y a la experiencia, que es la que decide qué tipo de fuerza de fricción actúa sobre el cuerpo. Los textos indican cómo se integran las ecuaciones, pero no se sabe qué solución es la que resuelve el pro-blema real de caída de un cuerpo en un fluido. Se ha demostrado que el enfoque multidisciplinario entre matemática y otras ciencias experimentales es el verdadero camino para la enseñanza de matemática.

5. ¿Qué proyectos similares se desarrollan en otras partes?

5.1. Políticas propuestas por los Estados Unidos de América

Como consecuencia de las necesidades de conocimiento en ciencias e ingeniería, los países más desarrollados han impulsado nuevas políticas educativas. En los Estados Unidos de América, el propio Presidente ha anunciado la campaña “Educación para in-novación”, un esfuerzo nacional para ayudar a alcanzar la meta de promover el avance académico de los estudiantes estadounidenses.

5.2. Proyectos específicos de la Unión Europea

La Unión Europea ha creado una Red “Developing Quality in Mathematics Education (DQME I, II)”, integrada hasta ahora por 11 países de Europa Central, desde 2004 hasta 2010. Esta Red ha producido nuevos materiales de acuerdo con las demandas actuales sobre educación matemática, teniendo en cuenta el corrimiento de paradigma al Siglo XXI.

También se ha implantado el Proyecto REMATH liderado por el Educational Techno-logy Lab at the University of Athens en un consorcio compuesto por varios otros cen-tros de Europa. Este Proyecto ha creado nuevas herramientas de software así como también planes pedagógicos para profesores, a los efectos de usarlos como guía en las currícula nacionales de cada país en diferentes escuelas europeas, mostrando el rol que desempeña la matemática en el mundo real.

Representing Mathematics with Digital Media (ReMath)

Intenta considerar el problema de la insatisfacción con el estado de la educación mate-mática en Europa y el débil impacto de la investigación educativa utilizando las herra-

mientas informáticas

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El Consejo Directivo de la Organización de Estados Iberoamericanos para la Edu-cación, la Ciencia y la Cultura (OEI) señaló la importancia de fortalecer la ense-ñanza de las ciencias y la matemática como necesidad manifiesta de los sistemas educativos con el fin de que los ciudadanos iberoamericanos representen un salto en calidad en la educación científica. El Instituto Iberoamericano de la Enseñanza de las Ciencias y la Matemática (IBERCIENCIA) como un desarrollo institucional de carácter virtual y descentrali-zado que tenga nodos articuladores en diferentes Oficinas de la OEI.

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6. Necesidad de realizar nuevas investigaciones y de crear grupos interdisciplinarios Esta situación ha creado la necesidad de realizar nuevas investigaciones basadas sobre nuevos conceptos, nuevas concepciones, y sobre todo, sobre las necesidades de crear grupos interdisciplinarios de conocimientos, de organizar redes de experimentaciones para pruebas de nuevos modelos, de formar nuevas generaciones de científicos y técni-cos capaces de resolver los nuevos desafíos. Por lo expuesto, debemos introducir nuevas concepciones sobre enseñanza de ciencias y matemática, desarrollar nuevas prácticas pedagógicas con mentores, a los efectos de formar nuevas generaciones que sean capa-ces de encarar los problemas planteados y muchos otros que no sabemos cuáles son hoy, pero que aparecerán inexorablemente en el futuro, como ser los nuevos puestos de tra-bajo que requerirán las empresas. 6.1. Para formar nuevas generaciones la solución no es darles un instrumento En el país ha habido propuestas puntuales intrascendentes para generar estas reformas educativas como llevar científicos a las escuelas para que hablen sobre la importancia de las ciencias. Se intenta donar computadoras, tanto por parte de autoridades de Go-biernos como de empresas, sin pensar que la computadora es sólo un instrumento elec-trónico, al cual hay que acompañarlo con contenidos y metodología de estudio y, fun-damentalmente, su uso determinado por el docente. Es necesario remarcar que el uso de tecnología en sí misma no mejora el aprendizaje. Lo que interesa es cómo se usa la tecnología. El que tiene que mostrar cómo se estudia y se trabaja con la computadora y los materiales es el docente. Por ello, lo más importante es preparar nuevos recursos didácticos para que los docentes practiquen y aprendan có-mo usarlos con sus alumnos.

“La introducción del uso de computadoras en las escuelas no se refiere solamente a utilizar un nuevo instrumento o un dispositivo innovador, y menos aún a la crea-ción de nuevos rituales pretendidamente científicos o técnico-instrumentales, basa-dos sobre el entretenimiento. Se trata, en cambio, del establecimiento de variadas fuentes de consulta e investi-gación; de diferentes posibilidades de interacción. Es importante destacar que el potencial de uso pedagógico de la tecnología no existe por sí solo, sino que, por el contrario, exige un contexto y una propuesta. La integración de las TICs en la escuela- Organización de Estados Iberoamericanos

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6.2. Desarrollo conjunto de prácticas

Las nociones sobre transferencia de conocimientos y transferencias de prácticas son, por lo general, muy poco conocidas entre los docentes. El significado corriente de transfe-rencia está asociado al traspaso de paquetes prácticos preconformados que se entregan a los profesores. Sugerimos, como ocurre en otras partes del mundo, no usar el término transferencia, sino la expresión más completa: desarrollo conjunto de prácticas. Se trata de una práctica común entre los que ofrecen el conocimiento y los que lo reci-ben. Debe haber una interacción entre ambos grupos. Es indispensable que haya un mutuo compromiso entre ambos. Debe haber una suerte de ambiente de confianza en el proceso de desarrollo conjunto de prácticas, lo cual sólo es posible mediante una inter-acción interpersonal.

Por lo expuesto, la metodología de transferencia del conocimiento más apropiada utili-zada por los grupos de investigación ha sido la organización de Workshops con docen-tes de escuelas secundarias. Hasta el momento se han realizado Workshops sistemáticos sobre temas de Física, Química, Biología, Ecología y Matemática.

Se invita a docentes de universidades y de establecimientos secundarios a incorporarse a esta Red de enseñanza de ciencias y matemática para participar en las actividades permanentes y en particular en Workshops de aplicación de los recursos didácticos disponibles de la Red. De esta manera pueden incorporar nuevas capacidades didácticas integradas con herramientas, instrumentos y equipos de última generación que constituyen la plataforma de la nueva tecnología educativa. También participar en un sistema de transferencia de conocimientos y experiencias para la educación de ciencias y matemática formando parte como integrante de las próximas publicaciones.

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7. Impacto del Proyecto en profesores y alumnos

Si bien los sujetos y los resultados de experiencias elegidas son conocidos, la originali-dad reside en que son encarados con nuevas tecnologías que no se han aplicado todavía en escuelas, institutos y universidades argentinas. Los resultados que se obtienen con la nueva tecnología son mucho más precisos y mucho más demostrativos, pues se obtienen graficaciones de parámetros en tiempo real, así como mucho más accesibles para su re-producción, archivo, impresión e indagación sobre qué pasaría si se cambia de paráme-tros. Esta situación resulta casi imposible de sustentar con las viejas prácticas. Uno de los objetivos fundamentales del Proyecto consiste en cambiar el enfoque, la me-todología y los ambientes de enseñanza de matemática e ingeniería, es decir, pasar de una situación clásica que ha permanecido durante décadas sin modificar, a otra situación actual correspondiente al Siglo XXI. Este cambio de paradigma impacta directamente sobre profesores y alumnos. El aula clásica donde el profesor escribe en la pizarra y los alumnos copian, que se viene repitiendo desde el Siglo XIX, se transforma en un labo-ratorio donde los alumnos trabajan y los profesores los guían en sus experimentaciones. Este cambio paradigmático requiere que los profesores se adecuen a otra praxis de en-señanza de ciencias, así como también los alumnos se acostumbren a pasar de una acti-tud pasiva fuera de contexto con lo que pasa en el mundo real, que los aburre, a una ac-titud más activa, más parecida a lo que pasa fuera del aula. Otro de los objetivos del proyecto es modernizar la infraestructura tecnológica de escue-las y universidades, que en muchos casos, al menos en Argentina, ha quedado estancada durante varias décadas. Al modernizarse tecnológicamente las instituciones educativas crean otro contexto más parecido al contexto del mundo real, con lo cual profesores y alumnos se sentirán más confortables y no sentirán un cambio de mundo cada vez que entran a la escuela o universidad. Estos dos objetivos son los que han producido mayor impacto en la transferencia que el Grupo de investigación ha realizado al implantarlos parcialmente en algunas cátedras de al menos dos instituciones de la UTN, la FRGP y el INSPT. Se ha renovado completamente el material de experimentación, así como las guías de trabajos prácticos y se ha encarado una transformación en la capacitación de los ayudan-tes y jefes de trabajos prácticos. Es decir, se ha producido un verdadero cambio de la gestión académica. Los profesores de matemática e ingeniería han aprendido nuevas tecnologías, nuevas metodologías de enseñanza y nuevos conceptos del saber hacer. Va-rios profesores realizan esta nueva tarea con entusiasmo y satisfacción al ver que sus alumnos trabajan también con entusiasmo y mayor concentración. Los alumnos que han cursado asignaturas en donde se ha aplicado esta nueva tecnología educativa, también se han sentido mucho más satisfechos, llamando la atención el in-cremento en su concentración y ánimo para resolver las actividades. Profesores y alumnos han respondido acordemente con los objetivos de la transferencia, lo cual indica que el Proyecto es pertinente para producir el cambio deseado.

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Conclusiones

Ante el problema planteado de búsqueda de acciones que den una respuesta más clara que las obtenidas hasta el presente respecto del aprendizaje de matemática, se ha des-arrollado un Proyecto que comprende una serie de investigaciones educativas relaciona-das con enseñanza experimental de ciencias, ingeniería y matemática asistidas por tec-nologías electrónica e informática. Se han producido publicaciones originales con el objeto de ayudar a profesores secunda-rios y universitarios a enseñar en forma actualizada, con nuevas tecnologías y metodo-logías, de tal manera que puedan ser asimilados por alumnos de una manera más ami-gable y comprometida. Consecuentemente, se ayuda a alumnos secundarios y universitarios a que puedan al-canzar puestos de trabajo ofrecidos, los cuales exigen y exigirán mucho más en el futu-ro, aptitudes, actitudes y conocimientos básicos sobre ciencia, tecnología e ingeniería y matemática. En particular esta publicación resume la tarea desarrollada durante los seis últimos años, orientada al enfoque transdisciplinario de ciencias y matemática, con la asistencia de sistemas computaciones que han evolucionado velozmente también durante estos últi-mos seis años. Se inicia la formulación del Proyecto con un somero análisis sobre la educación en ciencias y matemática en el Siglo XXI efectuando una crítica sobre la falta de actualiza-ción de la enseñanza de matemática con la evolución de las investigaciones científicas, así como una crítica a los libros de texto, que no han cambiado sustancialmente sus en-foques y desarrollos durante 50 años. Esta es la razón fundamental de la propuesta: pre-sentar unidades didácticas con enfoques totalmente diferentes a los de los libros de tex-to. La Idea Fuerza que se propugna es crear un conjunto de proyectos y servicios que pro-muevan los estándares para la educación de matemática en los primeros años universita-rios, a los efectos de responder a las necesidades de las instituciones en el siglo XXI. Se ha tratado de seguir los lineamientos planteados por otras instituciones del mundo, tomando contacto permanente y personal co los conductores de tales proyectos. Si bien los medios e infraestructura física y de recursos que ellos disponen son inconmensura-blemente mayores, se ha podido intervenir sistemáticamente con nuestros aportes en numerosos congresos internacionales. Se han fijado paradigmas, lineamientos y producciones conducentes con las ideas y pu-blicaciones desarrolladas en el exterior. Resulta un ejemplo modesto de lo que se debe hacer en la enseñanza de matemática para el Siglo XXI. Esperamos que se sumen a este Proyecto más colegas tanto del país como de otros paí-ses y entre todos, podamos establecer una base firme de enseñanza transdisciplinar de matemática. En el curso de los últimos cinco años se han desarrollado experiencias con profesores, docentes auxiliares y profesores de enseñanza secundaria utilizando la tecnología edu-cativa mencionada. Como resultado, se han publicado libros y cuadernos con un enfo-que nuevo, diferente a los libros de texto convencionales.

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Se espera que se pueda hacer una transferencia más masiva de estos conocimientos y metodologías a los efectos de tener un impacto apropiado. Para esta transferencia se re-quieren fondos, dado que hay que multiplicar los equipos, las publicaciones y becar a docentes para que aprendan a utilizar la nueva tecnología educativa que se propugna. Este es nuestro aporte al servicio de la educación para carreras de ingeniería y la educa-ción tecnológica. Esperamos haber elegido el camino apropiado y seguir produciendo más materiales para las nuevas generaciones de profesores.

Como todo Proyecto de investigación y trascendente, se debe lograr su difusión por me-dio de presentaciones a Congresos y Workshops, publicación de Cuadernos y libros.

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Publicaciones efectuadas por el Grupo de investigadores del Proyecto (1) Bosch, H. E. Bergero, M., Di Blasi, M., Geromini. N.(2006). Education for the 21st Century: Impact of ICT and Digital Resources . 19th IFIP WCC , 20-25 August, Santi-ago, Chile. Proceedings (pp. 423- 424). Amsterdam: Springer. (2) Bosch, H. E., Bergero, M., Carvajal, L., Di Blasi, M., Guzner, C., Zalabardo, M. (2006). Experimentaciones en el aula en temas de cálculo asistido por medios Informá-ticos. TISE 2006. Taller internacional de software educativo, 5-7 diciembre, Universi-dad de Chile, Santiago, Chile. (3) Bosch, H. E., Bergero, M., Carvajal, L., Di Blasi, M., Geromini, N., Guzner, Segu-ra, S. (2007). Actividades de Matemática Experimental en el Aula. XII Conferencia In-ter americana de Educación Matemática. 15-17 julio, Escuela Normal del Estado de Querétaro, Santiago de Querétaro, México. (4) Bosch, H. E. y Di Blasi, M. A. (2008). Una mirada experimental para la enseñan-za de análisis matemático. 11th International Congress in Mathematical Education, Monterrey, Mexico, 18 de julio, 2008. (5) Bosch, H. E., Bergero, M., Di Blasi, M., Geromini, N., Guzner, León, O. (2008). New Experimental Mathematics textbook Assisted by Information Technology. ICME 11- International Congress on Mathematical Education. 6-13 July, Monterrey, México. (6) Bosch, H.E, Bosio, D.O., Pelem, M., Scaiola, M.V., Sterzovsky, M. N., Bergero, M.S., Di Blasi, M., Geromini, N. (2008). La enseñanza experimental de las ciencias na-turales y exactas. BTM 2008. Encuentro Internacional de Educación, Tecnologías y Formación, 27 de junio. Punta del Este, Uruguay. (7) Bosch, H.E., Bosio, D.O., Di Blasi Regner M. A, Pelem, M.E., Rampazzi, M.C., Scaiola, M.V., Sterzovsky, M. N., Bergero, M.S., Carvajal, L., Ge-romini, N., Manili, C.(2009). Educación en Ciencias, tecnología, ingeniería y matemá-tica en el Siglo XXI. BTM 2009. Encuentro Internacional de Educación, Tecnologías y Formación, 29 y 30 de junio. Punta del Este, Uruguay (8) Bosch, H.E., Guzner, C., Bergero, M.S., Carvajal, L.,Di Blasi, M. A., Schilardi , A. (2009). Innovations in Educational Research and Teaching of Calculus”. International conference on models in developing mathematics education. 11-15 September. Dresden, Alemania. (9) Bergero, M.S., Bosch, H. E., Carvajal, L., Di Blasi, M. A., Geromini, N. S. (2009). Innovaciones en investigación y enseñanza experimental de Cálculo”. Editorial Dunken, Buenos Aires. ISBN 978-987-02- 3799-0.

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(10) Bosch, H.E., Bosio, D.O., Di Blasi Regner M. A, Pelem, M.E., Rampazzi, M.C.,Scaiola, M.V., Sterzovsky, M. N., Bergero, M.S., Geromini, N. (2009). Enseñanza Experimental en Ciencias Naturales y Matemática”. Congreso in-ternacional de educación en ciencias naturales, 15-18 de julio, Cartagena de Indias, Co-lombia. (11) Bosch, H.E, Bosio, D.O., Pelem, M., Scaiola, M.V., Rampazzi, M.C., Sterzovsky, M. N., Bergero,.S.,Carvajal, L., Di Blasi, M., Geromini, N.(2010). Nuevo paradigma pedagógico para enseñanza de ciencias y matemática. BTM 2010. Encuentro Interna-cional de Educación, Tecnologías y Formación, 17 y 18 de setiembre. Punta del Este, Uruguay (12) Bergero, M.S., Bosch, H. E., Carvajal, L., Di Blasi, M. A., Geromini, N.S. (2010).Paradigma de enseñanza de matemática en el siglo XXI. Congresso Internacional de Ensino da Matemática, 20,-23 de octubre de 2010. Canoas, Brasil. (13) Bosch, H. E., Bosio, D. O., Pelem, M. E., Rampazzi, M. C., Scaiola, M. V., Strer-zovsky, M. N., Bergero, M. S., Carvajal, L., Di Blasi, M. A., Geromini, N., Seone, A.(2010). Nuevos diseños de gestión de enseñanza de ciencias e ingeniería integrados con tecnología educativa.”. “La tecnología educativa al servicio de la educación tecnológica”. Editores U. Cukier-man y M. Virgili.ISBN 978-987-25855-9-4. Editorial de la Universidad Tecnológica Nacional, Argentina. (14) Bosch, H. E., Bosio, D. O., Pelem, M. E., Rampazzi, M. C., Scaiola, M. V., Strerzovsky, M. N., Bergero, M. S., Carvajal, L.. Di Blasi, M. A Geromini, N.(2010). Propuesta de educación de ciencias y matemática asistidas por nuevas tecnologías frente a las exigencias de la sociedad del conocimiento. Primer Congreso Argentino de Tecnología de Información y Comunicaciones. Buenos Aires, 21 de octubre 2010. (15) Bosch, H. E., Bosio, D. O., Pelem, M. E., Rampazzi, M. C., Scaiola, M. V., Strer-zovsky, M. N., Bergero, M. S., Carvajal, L.. Di Blasi, M. A Geromini, N.(2010). Ense-ñanza integrada de ciencias, Ingeniería y matemática como paradigma del Siglo XXI.” Revista de Telecomunicaciones de la Asociación Iberoamericana de centros de inves-tigación y empresas de telecomunicaciones. Año XXVIII. Nº 124. Octubre- diciembre 2010. (16) Bosch, H. E., Bergero, M. S., Carvajal, L., Di Blasi Regner, M. A., Geromini, N. S. (2011). Integración de ciencias, tecnología, ingeniería y matemática. Modelización de sistemas de la vida real. XIII conferencia Interamericana de Educación Matemática. Recife, Brasil, Julio 2011.

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(17) Bosch, H. E., Bergero, M. S., Bosio, D. O., Di Blasi Regner, M. A., Pelem, M. E., Rampazzi, M. C., Scaiola, M. A., Sterzovsky, M. N. (2011). Educación para Ingeniería asistida por tecnologías informática y Electrónica. I Jornada de Ense-ñanza de la Ingeniería. JEIN 2011. 1 de setiembre, Campus FRBA, UTN. Provincia de Buenos Aires. (18) Bosch, H. E., Bergero, M. S., Di Blasi Regner , M. A., Dimitrijewits, A., Geromi-ni, N., M. E., Pérez, M., Rampazzi, M. C., Scaiola, M. V., Scalella, G. (2011). La formación docente en ciencias naturales y matemática como foco de planeamiento es-tratégico educativo. Encuentro Internacional BTM, Punta del Este, Uruguay, septiembre 2011. (19) Bosch , H. E., Bergero, M. S., Carvajal, L., Di Blasi Regner, M. A. , Geromini, N. S., Pelem, M. E. (2011). Nuevo paradigma pedagógico para enseñanza de ciencias y matemática. Revista Avances en Ciencias e Ingeniería, Vol. 2(3), pp. 131-140 (2011). (20) Bergero, M. S., Bosch, H. E., Carvajal, L., Di Blasi Regner, M. A., Geromini N. S., Guzner.(2011).Multidisciplinary focus on science and mathematics for solving Real Life problems.. 11th International Conference of The Mathematics Education into the 21st Century Project. Rhodes University, Grahamstown, South Africa, Setiembre 2011. (21) Bergero, M. S., Bosch, H. E., Carvajal, L., Di Blasi Regner, M. A., Geromini. (2011).Transversal Mathematical Teaching Focus across other Sciences. 16th Asian Technology Conference in Mathematics.Integration of Technology into Mathematics Education: past, present and future. Bolu,Turquía. Septiembre 2011. (22) Bergero, M. S., Bosch, H. E., Di Blasi Regner, M. A., Rampazzi, M. C.(2012). Research, education and problem solving as a virtuous circle. 2nd International Sympo-sium on Integrating Research, Education, and Problem Solving: IREPS 2012. March 25th - 28th, 2012 – Orlando, Florida, USA (23) Bergero, M. S., Bosch, H. E., Carvajal, L., Di Blasi Regner, M. A., Geromini, N., Pérez, M., Rampazzi, M.C., Scalella, G. (2012).Un marco didáctico para la enseñanza de cienicas, tecnología, ingeneiería y matemática. Encuentro Internacional BTM, Punta del Este, Uruguay, septiembre 2012. (24) Bosch, H. E., Bergero, M. S., Carvajal, L., Di Blasi Regner, M. A., Geromini, N. , Rampazzi, M. C.(2012). Educación en ciencias, tecnología, ingeniería y matemática para alentar a la juventud hacia la ingeniería. World Engineering Educa-tion Forum 2012, Buenos Aires, 15 -18 noviembre 2012 (25) Bosch, H. E., Bergero, M. S., Carvajal, L., Di Blasi Regner, M. A., Geromini, N. , Rampazzi, M. C.(2012). Modelización de problemas de la vida real. II Jornadas de tecnología y enseñanza de ingeniería, JEIN 2012 Facultad Regional San Nicolás, 2 de agosto de 2012.