Presentacin de la Materia 1er Semestre 2011ESTADSTICA 2 UE Siglo 21CR. Juan A. Miranda

PresentacinPresentacin PersonalBibliografa a utilizar* Estadstica Bsica en Administracin (Berenson y Levine)* Filminas* Archivos ExcelMateriales Necesarios: Calculadora con anlisis de regresin y TablasMetologa de evaluacin en parcialesExmenes Q (muchos prcticos)Tercera Nota4 Parcialitos , y se promedian las 3 mejores notas.CR. Juan A. Miranda

Unidad 1EstimadoresESTADSTICA 2 UE Siglo 21CR. Juan A. Miranda

ObjetivosDesarrollar el concepto de distribucin muestral.Examinar el teorema del lmite central.Desarrollar estimaciones de intervalos de confianza para la media y la proporcin.Determinar el tamao de la muestra necesario para obtener un intervalo de confianza deseado.CR. Juan A. Miranda

Introduccin Presentaremos los conceptos fundamentales de la inferencia estadstica que permiten usar los resultados de una muestra para obtener conclusiones acerca de la poblacin.

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Distribuciones MuestralesUna meta importante del anlisis de datos es usar estadsticos como la media muestral y la proporcin muestral para estimar los parmetros correspondientes en las poblaciones respectivas.Una Inferencia Estadstica busca obtener conclusiones respecto a la poblacin y no a la muestra.De manera hipottica, para usar el estadstico muestral para estimar el parmetro de la poblacin, debe examinarse cada muestra posible que pueda ocurrir. Si esta seleccin de todas las muestras posibles de hecho se realizara, se hara referencia a la distribucin de los resultados como la distribucin muestral.

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Distribuciones MuestralesDistribucin muestral de la mediaLa medida de tendencia central de uso ms amplio es la media aritmtica. Tambin es la mejor medida si puede suponerse que la poblacin sigue una distribucin normal.Propiedades de la media aritmtica: Es no sesgada: se refiere a que el promedio de todas la medias muestrales posibles ser igual a la media poblacional u1 - tabla muestral.xls

Es eficiente: se refiere a la precisin del estadstico muestral como estimador del parmetro de la poblacin.

Es consistente: se refiere al efecto del tamao de la muestra en la utilidad de un estimador. Al aumentar la muestra mejor es la estimacin.

CR. Juan A. MirandaDistribuciones MuestralesError estndar de la mediaLa fluctuacin de la media aritmtica de una muestra a otra se expresa en trminos estadsticos por el valor de la desviacin estndar de todas las medias muestrales posibles. Se conoce como error estndar de la media La fluctuacin en la media muestral es menor a la fluctuacin de la poblacin real. Esto debido a la Ley de los grandes nmeros. Una media muestral especfica promedia todos los valores de la muestra.

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u1 - tabla muestral.xlsDistribuciones MuestralesMuestreo de poblaciones con distribucin normalDe una poblacin con distribucin normal con media y desviacin estndar la distribucin muestral de la media tambin ser una distribucin normal para cualquier tamao n, con media , y tiene un error estndar de la media

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Distribuciones MuestralesMuestreo de poblaciones con distribucin normalEjercicio1: Media Poblacional = 368 gr. por cajaDS de la poblacin = 15 gr. por cajaMedia Muestral = 365 gr. por cajan = 25Pregunta1: Que probabilidad existe de que la muestra de 25 cajas tenga una media muestral menor a 365?

Pregunta2: Que porcentaje de cajas individuales tendrn menos de 365 gramos?

CR. Juan A. MirandaDistribuciones MuestralesMuestreo de poblaciones con distribucin normalDel estudio de la distribucin normal se sabe que el rea bajo la curva para cualquier valor X se encuentra al convertirlo en unidades Z estndar y encontrar el valor adecuado en la tabla de la distribucin normal acumulada.

El valor involucrado es una media muestral por lo tanto, la formula resulta:

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Distribuciones MuestralesMuestreo de poblaciones con distribucin normalPregunta1: Que probabilidad existe de que la muestra de 25 cajas tenga una media muestral menor a 365?

Rta1: El 15.87% de las muestras de tamao 25 tendrn una media menor a 365

Pregunta2: Que porcentaje de cajas individuales tendrn menos de 365 gramos?

Rta2: Se espera que el 42.07% de las cajas individuales contengan menos de 365 gramos.

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Distribuciones MuestralesMuestreo de poblaciones con distribucin normalTambin podemos estar interesados en determinar un intervalo dentro del cual se encuentra una proporcin fija de las muestras (medias)Donde;

Para el ejemplo anterior buscamos el intervalo que contenga el 95% de las muestras:

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Distribuciones MuestralesMuestreo de poblaciones SIN distribucin normalEn muchos casos ya sea que se tenga conocimiento que la poblacin:no sigue una distribucin normalo que es poco realista suponer la normalidad,es necesario examinar la distribucin muestral de la media.

Esto nos lleva a un teorema importante en estadstica: TEOREMA DEL LMITE CENTRAL

CR. Juan A. MirandaDistribuciones MuestralesMuestreo de poblaciones SIN distribucin normalTLC: Cuando el tamao de la muestra (nmero de observaciones en cada muestra) es suficientemente grande, la distribucin muestral de la media se puede aproximar por la distribucin normal. Esto se cumple sin importar la forma de la distribucin de los valores individuales de la poblacin.

Que tan grande? Para muchas distribuciones poblacionales, si el tamao de la muestra es por lo menos 30, la distribucin muestral de la media se puede aproximar por la normal. (pueden aplicarse con muestras mas pequeas si se conocen aspectos de la poblacin).

CR. Juan A. MirandaDistribuciones MuestralesMuestreo de poblaciones SIN distribucin normalEl TLC es fundamental al hacer inferencias estadsticas para llegar a conclusiones sobre una poblacin.

Permite hacer inferencias acerca de la media de la poblacin sin tener que conocer la forma de la distribucin poblacional.

CR. Juan A. MirandaDistribuciones MuestralesMuestreo de poblaciones SIN distribucin normal

CR. Juan A. MirandaDistribuciones MuestralesMuestreo de poblaciones SIN distribucin normal

CR. Juan A. MirandaDistribuciones MuestralesMuestreo de poblaciones SIN distribucin normal

CR. Juan A. MirandaIntervalos de ConfianzaLa inferencia estadstica es le proceso de usar resultados muestrales para obtener conclusiones respecto a las caractersticas de una poblacin.Existen dos tipos principales de estimadores, estimadores puntuales y de intervalo.Un estimador puntual consiste en un solo estadstico muestral que se usa para estimar el valor verdadero de un parmetro poblacional verdadero.Un estimador de intervalo toma en cuenta que los estimadores puntuales varan de una muestra a otra porque depende de los elementos seleccionados, considerando la distribucin muestral.

CR. Juan A. MirandaEstimacin del Intervalo de Confianza Para la media ( conocida)Vimos que se puede usar el teorema del lmite central y/o conocimiento de la distribucin de la poblacin para determinar el porcentaje de medias muestrales que estn dentro de cierta distancia de la media poblacional.

En la prctica, la media poblacional es la cantidad desconocida que se tiene que estimar.

Entonces en lugar de tomar para encontrar los lmites superior e inferior se toma como el intervalo en el cual se estima la desconocida.Z = valor correspondiente de un rea de (1-)/2 desde el centro de una distribucin normal estndar.

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Estimacin del Intervalo de Confianza Para la media ( conocida)Ejercicio1:Confianza= 95% => Z=1.96 (valor crtico)n=25= 362.30= 369.50= 360.00= 362.12= 373.88

= 368

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Estimacin del Intervalo de Confianza Para la media ( conocida)En la prctica nunca se sabe con seguridad si el intervalo especfico obtenido incluye la media poblacional.

Una estimacin de un intervalo de 95% de confianza se interpreta as: si se toman todas las muestras posibles del mismo tamao n y se calculan sus medias muestrales, 95% de ellas incluyen la media poblacional en algn punto del intervalo alrededor de esas medias muestrales y slo 5% no lo hace.

El nivel de confianza se denota por (1-) x 100%, donde es la proporcin de las colas de la distribucin que queda fuera del intervalo de confianza.

CR. Juan A. MirandaEstimacin del Intervalo de Confianza Para la media ( desconocida)Al igual que no se conoce , tampoco se suele conocer . Por lo tanto es necesario estimar utilizando los estadsticos y S.

Si la variable aleatoria X tiene una distribucin normal, entonces el estadstico

tiene una distribucin t con n-1 grados de libertad.

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Estimacin del Intervalo de Confianza Para la media ( desconocida)Propiedades de la distribucin t:La distribucin t es muy similar a la normal, ambas son simtricas y formas de campana.Tiene mayor rea en las colas, esto porque el valor de no es conocido. Por esto los valores de t tienen mayor variacin que Z.Cuando aumenta el nmero de grados de libertad, la distribucin t se acerca poco a poco a la distribucin normal hasta que las dos son casi idnticas. (con muestras >120).

Intervalo de confianza para la media ( desconocida)

Donde tn-1 es le valor crtico de la distribucin t con n-1 grados de libertad para un rea de /2 en la cola superior

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Estimacin del Intervalo de Confianza Para la media ( desconocida)Ejercicio1:Muestra = 100 facturas= $110.27S = $ 28.95Confianza= 95% =>t99=1.9842Respuesta:

=>

Ejercicio2:oiluse.xls

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Estimacin del Intervalo de Confianza Para la proporcinAqu analizamos los intervalos de confianza con datos categricos para estimar p a travs de una proporcin ps.Cuando los valores de np como n(1-p) es por lo menos 5 la distribucin binomial se puede aproximar por la distribucin normal.Esto quiere decir que tanto el nmero de xitos como de fracasos deben ser 5 o ms.

Sabiendo que se puede establecer el siguiente intervalo de confianza de (1-) x 100% para la proporcin de la poblacin p:

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Estimacin del Intervalo de Confianza Para la proporcinEjercicio:Encuentre el intervalo de confianza para:Muestra: 100 facturas y 10 con errorPs= 0,10 (10/100)Confianza= 95% => Z=1.96

Respuesta:

=>

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Determinacin del tamao de la muestra Para la mediaPara determinar el tamao de la muestra necesario para estimar la media, debe tenerse en cuenta la cantidad de error de muestreo aceptable y el nivel de confianza deseado.Sabemos que:

Si despejamos, podemos obtener:

Entonces el error de muestreo se define como:

Y para determinar el tamao de la muestra:

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Es tambin conocido como error de muestreo e

Determinacin del tamao de la muestra Para la mediaEntonces se deben conocer:El intervalo de confianza deseado: 0.90(1.65), 0.95 (Z=1.96), 0.99 (2.58)El error de muestreo (e) aceptable. Aqu no debe pensarse en qu cantidad de error se desea, sino cuanto se puede tolerar para proporcionar conclusiones adecuadas.La desviacin estndar Se puede saber por investigaciones anteriores o de convertir el rango/6 (implcita la idea de 6 alrededor de la media)Ejercicio:Confianza: 0.95 => Z=1.96e= +/- 5= 25n= ?? Rta: 96.04 => 97

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Determinacin del tamao de la muestra Para la proporcinLos mtodos de determinacin del tamao de la muestra requerido para estimar la proporcin de la poblacin son similares a los empleados para estimar una media. Partiendo de: podemos obtener:

Y si reemplazamos, podemos obtener:

Entonces el error de muestreo se define como:

Y para determinar el tamao de la muestra:

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Es tambin conocido como error de muestreo e

Determinacin del tamao de la muestra Para la proporcinEntonces se deben conocer:El intervalo de confianza deseado: 0.90(1.28), 0.95 (Z=1.96), 0.99 (2.32)El error de muestreo (e) aceptable. Aqu no debe pensarse en qu cantidad de error se desea, sino cuanto se puede tolerar para proporcionar conclusiones adecuadas.La proporcin verdadera de xito pprimero se puede contar con informacin histrica, sino cuando no se tiene un conocimiento o estimacin previos de la proporcin verdadera p se debe usar p=0.5Ejercicio:Confianza: 0.95 => Z=1.96e= +/- 0.07p= 0.15 => (1-p)=0.85n= ??Rta: 99.960 =>100

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MUCHAS GRACIASCR. Juan A. Miranda