6. estimadores puntuales - ejercicios resueltos y propuestos (1)

6.- Estimadores Puntuales

– Ejercicios Resueltos –

Propiedades de Insesgamiento y Varianza Menor

Estimación de Máxima Verosimilitud

Propiedad de Invarianza

Aplicaciones

6. Estimadores Puntuales – Ejercicios Resueltos

ANÁLISIS ESTADÍSTICO

Página 118 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

1.- La resistencia de una plancha es una variable aleatoria continua X cuya función de

densidad es: 𝒇 𝒙,𝜽 = 𝟒𝜽𝒙𝟑𝒆−𝜽𝒙𝟒, 𝒄𝒐𝒏 𝜽 > 0;𝑥 > 0. Su función de distribución de probabilidad

es: 𝑭 𝒙 = 𝟏 − 𝒆−𝜽𝒙𝟒, con desconocido. Sea (𝒙𝟏 ,𝒙𝟐… , 𝒙𝒏) una m.a. (n) de X, determine el

estimador máximo verosímil de .

Sobre la base de una muestra aleatoria de 5 planchas, las resistencias observadas fueron: 0,5;

0,5; 0,8; 0,9 y 1. Determine la probabilidad que una plancha, elegida al azar, tenga resistencia

inferior a 0,7.

1) Solución: La primero que debemos hacer es calcular la “función de verosimilitud”, lo que se lleva a

cabo, por medio de la siguiente fórmula:

𝐿 𝜃 = 𝑓 𝑥𝑖 ,𝜃

𝑛

𝑖 = 1

= 4𝜃𝑥13𝑒−𝜃 𝑥1

4 ∙ 4𝜃𝑥2

3𝑒−𝜃 𝑥24 ∙∙∙∙∙∙ 4𝜃𝑥𝑛 − 1

3𝑒−𝜃 𝑥𝑛−14 ∙ 4𝜃𝑥𝑛

3𝑒−𝜃 𝑥𝑛4

𝐿 𝑥1,𝑥2,… ,𝑥𝑛 ,𝜃 = 4𝑛 𝜃𝑛 𝑒− 𝜃 𝑥 𝑖4 𝑥𝑖

3

𝑛

𝑖 = 1

Luego, tenemos que determinar el logaritmo natural de 𝐿 𝜃 , como se muestra a continuación:

ln 𝐿 𝑥1 ,𝑥2,… , 𝑥𝑛 ,𝜃 = ln 4𝑛 𝜃𝑛 𝑒− 𝜃 𝑥 𝑖4𝑛

𝑖=1 𝑥𝑖3

𝑛

𝑖=1

ln 𝐿 𝑥1,𝑥2 ,… ,𝑥𝑛 ,𝜃 = 𝑛 ln 4 + 𝑛 ln𝜃 − 𝜃 𝑥𝑖4

𝑛

𝑖=1

+ ln 𝑥 𝑖3

𝑛

𝑖=1

En seguida, se obtiene el valor de 𝜃 que maximiza 𝐿 𝜃 , lo que se logra derivando ln 𝐿 𝜃 con

respecto a los parámetros desconocidos 𝜃 e igualando a cero dicha derivada, es decir:

𝜕 ln 𝐿 𝑥1,𝑥2 ,… ,𝑥𝑛 ,𝜃

𝜕𝜃= 0 →

𝜕(𝑛 ln 4 + 𝑛 ln 𝜃 − 𝜃 𝑥 𝑖4𝑛

𝑖=1 + ln 𝑥𝑖3𝑛

𝑖=1 )

𝜕𝜃= 0 →

𝑛

𝜃 − 𝑥 𝑖

4

𝑛

𝑖=1

= 0

Después, se despeja 𝜃 de la expresión anterior, para así obtener el estimador máximo verosímil de 𝜃,

como se ve a continuación:

𝜃 =𝑛

𝑥 𝑖4𝑛

𝑖=1

→ 𝐸.𝑀.𝑉. 𝜃 =𝑛

𝑥𝑖4𝑛

𝑖=1

Posteriormente, sobre la base de la muestra aleatoria de 5 planchas, calculamos el valor de 𝜃

𝜃 =5

0,54 + 0,54 + 0,84 + 0,94 + 14 =5

2,1907= 2,282

Finalmente, calculamos probabilidad requerida por el ejercicio:

𝑃 𝑥 < 0,7 = 𝐹 𝑥 = 0,7 = 1 −𝑒−2,282 ∙ 0,74= 0,4218

Respuesta: La probabilidad que una plancha, elegida al azar, tenga resistencia inferior a 0,7, es igual

a 0,4218.



Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 119

2.- En una fábrica se ha medido el tiempo X, en horas, transcurrido entre dos detenciones

provocadas por averías en las máquinas, en una muestra aleatoria se obtuvo los siguientes

tiempos: 3, 1, 7, 3, 8, 11, 7, 1, 8, 4 en horas. Se sabe que la función de distribución que sigue

dicho tiempo es

𝑭 𝒙 = 𝟏 − 𝒆−(𝒙𝜷)𝜶 𝑿 ~ 𝑾𝒆𝒊𝒃𝒖𝒍𝒍 (𝜶 = 𝟐,𝜷)

2.1) Sea 𝒙𝟏,𝒙𝟐 ,… ,𝒙𝒏 una muestra aleatoria de X, con β desconocido, determine el estimador

máximo verosímil del parámetro β.

2.2) ¿Cuál la probabilidad de que en la fábrica transcurran más de 8 horas sin averías?

2.1) Solución: Sabemos que la derivada de la función de distribución, es igual a la función de

densidad, es decir:

𝑓 𝑥 ,𝛽 =𝑑

𝑑𝑥𝐹 𝑥 → 𝑓 𝑥, 𝛽 =

𝑑

𝑑𝑥 1 − 𝑒− 𝑥𝛽

2 = −𝑒− 𝑥𝛽

2 −2𝑥𝛽2

𝑓 𝑥, 𝛽 = 2𝛽2𝑥𝑒− 𝑥𝛽 2

Luego, definimos la “función de verosimilitud”:

𝐿 𝛽 = 𝑓 𝑥𝑖,𝛽

𝑛

𝑖 = 1

𝐿 𝑥1,𝑥2 ,… ,𝑥𝑛 ,𝛽 = 2𝛽2𝑥1𝑒− 𝑥1𝛽

2 ∙ 2𝛽2𝑥2𝑒

− 𝑥2𝛽 2 ∙∙∙ 2𝛽2𝑥𝑛−1𝑒

− 𝑥𝑛−1𝛽 2 ∙ 2𝛽2𝑥𝑛𝑒

− 𝑥𝑛𝛽 2

= 2𝑛 𝛽2𝑛 𝑒−𝛽2 𝑥 𝑖

2 𝑥 𝑖

𝑛

𝑖 = 1

Determinamos el logaritmo natural de 𝐿 𝛽 :

ln 𝐿 𝑥1,𝑥2 ,… , 𝑥𝑛 ,𝛽 = ln 2𝑛 𝛽2𝑛 𝑒−𝛽2 𝑥 𝑖

2 𝑥𝑖

𝑛

𝑖 = 1

ln 𝐿 𝑥1 ,𝑥2,… ,𝑥𝑛,𝛽 = 𝑛 ln2 + 2𝑛 ln𝛽− 𝛽2 𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

+ ln𝑥 𝑖

𝑛

𝑖=1

Derivando con respecto a 𝛽, e igualamos a cero:

𝜕 ln[𝐿 𝑥1 ,𝑥2,… , 𝑥𝑛 ,𝛽 ]

𝜕𝛽= 0 →

2𝑛

𝛽 − 2𝛽 𝑥𝑖

2

𝑛

𝑖=1

= 0

Despejamos 𝛽 , quedando de la siguiente forma:

2𝑛

𝛽 = 2𝛽 𝑥𝑖

2

𝑛

𝑖=1

→ 𝛽 2 =𝑛

𝑥 𝑖2𝑛

𝑖=1

→ 𝛽 = 𝑛

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

= 𝐸.𝑀.𝑉 𝛽




2.2) Solución: Utilizando la muestra que nos proporciona el ejercicio, calculamos el Estimador Máximo

Verosímil, como se ve a continuación:

𝛽 = 10

32 + 12 + 72 + 32 + 82 + 112 + 72 + 12 + 82 + 42 = 10

383= 0,1616

En seguida, determinamos la probabilidad que nos solicita el problema:

𝑃 𝑥 > 8 = 1− 𝑃 𝑥 ≤ 8 = 1−𝐹 8 = 1 − 1− 𝑒− 8∙0,1616 2 = 0,188

Respuesta: La probabilidad de que en la fábrica transcurran más de 8 horas sin averías, es igual a

0,188.

3.- La distancia 𝒙 entre un árbol cualquiera y el árbol más próximo a él, en un bosque, sigue

una distribución de Rayleigh con función de densidad:

𝒇 𝒙 = 𝒙𝒆

− 𝒙𝟐

𝟐𝜽𝟐

𝜽𝟐 𝒙 ≥ 𝟎; 𝜽 ≥ 𝟎 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆

𝟎 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐

𝑬 𝑿 = 𝜽 𝝅

𝟐

𝑽 𝑿 =𝟒 − 𝝅

𝟐𝜽𝟐

3.1) Determine el estimador máximo verosímil 𝜽𝟐, a partir de una muestra aleatoria de 𝒙, de

tamaño 50, obtenida la siguiente información.

𝒙𝒊 = 𝟏𝟒𝟔,𝟐𝟖 𝒚 𝒙𝒊𝟐 = 𝟓𝟏𝟎,𝟓𝟖

𝟓𝟎

𝒊=𝟏

𝟓𝟎

𝒊=𝟏

3.2) Determine si el estimador 𝜽 𝟐 es insesgado.

3.1) Solución: Definimos la “función de verosimilitud”, la que está dada por:

𝐿 𝜃 = 𝑓 𝑥𝑖,𝜃2

𝑛

𝑖 = 1

𝐿 𝑥1,𝑥2… , 𝑥𝑛 ,𝜃2 = 𝑥1𝑒

− 𝑥1

2

2𝜃2

𝜃2 ∙

𝑥2𝑒− 𝑥2

2

2𝜃2

𝜃2 ∙∙∙

𝑥𝑛−1𝑒− 𝑥𝑛−1

2

2𝜃2

𝜃2 ∙

𝑥𝑛𝑒− 𝑥𝑛

2

2𝜃2

𝜃2

𝐿 𝑥1,𝑥2… ,𝑥𝑛 ,𝜃 = 𝑒−

𝑥 𝑖2

2𝜃2𝑛𝑖=1 𝜃−2𝑛 𝑥 𝑖

𝑛

𝑖 = 1

Calculamos el logaritmo natural de 𝐿 𝑥1,𝑥2 … ,𝑥𝑛 ,𝜃2 :

ln 𝐿 𝑥1 ,𝑥2… , 𝑥𝑛 ,𝜃2 = ln 𝑒−

𝑥 𝑖2

2𝜃2𝑛𝑖=1 𝜃−2𝑛 𝑥𝑖

𝑛

𝑖 = 1

= −1

2𝜃2 𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

− ln 𝜃2𝑛 + ln 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1




A continuación, derivamos ln 𝐿 𝑥1,𝑥2… , 𝑥𝑛,𝜃2 , con respecto a 𝜃2 e igualamos a cero, es decir:

𝜕 ln 𝐿 𝑥1,𝑥2… , 𝑥𝑛 ,𝜃2

𝜕𝜃2 = 0 → 1

2𝜃 4 𝑥𝑖

2

𝑛

𝑖=1

−𝑛

𝜃 2= 0

𝜃 4

𝜃 2= 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

2𝑛 → 𝜃 2 =

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

2𝑛= 𝐸.𝑀. 𝑉. 𝜃2

Luego, con la información que nos brinda el ejercicio, calculamos el valor de 𝜃 2

𝜃 2 = 𝑥 𝑖

2𝑛𝑖=1

2𝑛=

510,58

100= 5,1058

3.2) Solución: Sabemos que para que estimador 𝜃 2 sea insesgado, se debe cumplir que la esperanza

de estimador sea igual al estimador, es decir:

𝐸 𝜃 2 = 𝜃2 → 𝐸 𝜃 2 = 𝐸 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

2𝑛 =

𝐸(𝑥𝑖2

)𝑛𝑖=1

2𝑛

Luego, determinamos por medio de propiedades la esperanza de 𝑥 𝑖2, de la siguiente forma:

𝑉 𝑥 = 𝐸 𝑥2 − 𝐸 𝑥 2 → 𝐸 𝑥2 = 𝑉 𝑥 + 𝐸 𝑥 2

𝐸 𝑥𝑖2 =

4−𝜋

2𝜃2 + 𝜃

𝜋

2

2

=4𝜃2 −𝜋𝜃2 + 𝜋𝜃2

2= 2𝜃2

Posteriormente, calculamos la expresión antes definida:

𝐸 𝜃 2 = 𝐸 𝑥𝑖

2 𝑛𝑖=1

2𝑛= 2𝜃2𝑛𝑖=1

2𝑛=

2𝜃2 𝑛

2𝑛= 𝜃2

Finalmente, como se cumple la igualdad, el estimador es insesgado.

4.- Sea 𝒙𝟏 ,𝒙𝟐 ,… ,𝒙𝒏, muestra aleatoria de una población 𝒙 ~ 𝒆𝒙𝒑 (𝜶); 𝜶 > 0 y desconocido:

4.1) Encuentre el estimador máximo verosímil de α.

4.2) Si las observaciones de una muestra aleatoria para la variable X son: 1,1; 0,9; 1,4; 1,2;

0,7. Estime la probabilidad de que la variable aleatoria no sea inferior a 1.

4.1) Solución: Lo primero que debemos hacer es definir la función exponencial con variable α, la que

se expresa de la siguiente forma:

𝑓 𝑥 = 𝛼 𝑒−𝛼 𝑥 ; 𝛼 > 0

Determinamos la “función de verosimilitud”:

𝐿 𝛼 = 𝑓 𝑥𝑖 ,𝛼

𝑛

𝑖 = 1

𝐿 𝑥1,𝑥2 … , 𝑥𝑛 ,𝛼 = 𝛼 𝑒−𝛼 𝑥1 ∙ 𝛼 𝑒−𝛼 𝑥2 ∙∙∙ 𝛼 𝑒−𝛼 𝑥𝑛−1 ∙ 𝛼 𝑒−𝛼 𝑥𝑛 = 𝛼𝑛 𝑒−𝛼 𝑥 𝑖𝑛𝑖=1




En seguida, calculamos el logaritmo natural de 𝐿 𝑥1,𝑥2… , 𝑥𝑛 ,𝛼 :

ln 𝐿 𝑥1,𝑥2 … ,𝑥𝑛 ,𝛼 = 𝑛 ln𝛼 − 𝛼 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

Derivando e igualando a cero:

𝜕 ln 𝐿 𝑥1 ,𝑥2… ,𝑥𝑛,𝛼

𝜕𝛼= 0 →

𝑛

𝛼 − 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

= 0

𝛼 =𝑛

𝑥𝑖𝑛𝑖=1

=1

𝑥 = 𝐸.𝑀. 𝑉 𝛼

4.2) Solución: Utilizando los datos de la muestra aleatoria que nos entrega el problema,

determinamos el estimador puntual 𝛼 :

𝛼 =1

𝑥 =

11,1+0,9+1,4+1,2+0,7

5

=1

1,06

𝑃 𝑥 ≥ 1 = 𝑓(𝑥)

∞

𝑥 = 1

𝑑𝑥 = 1

1,06 𝑒−

1

1,06 𝑥

∞

𝑥 = 1

𝑑𝑥 = 0− −𝑒−

1

1,06 = 0,3893

Respuesta: En base a la muestra aleatoria, la probabilidad estimada de que la variable aleatoria no

sea inferior a 1, es igual a 0,3893.

5.- Sea 𝒙𝟏 ,𝒙𝟐 ,𝒙𝟑 muestra aleatoria proveniente de una distribución normal con media µ y

varianza 2, cuya función densidad es:

𝒇 𝒙,𝝁,𝝈𝟐 =𝟏

𝟐𝝅𝝈𝟐∙ 𝒆

− 𝒙 − 𝝁 𝟐

𝟐𝝈𝟐 𝒔𝒊 − ∞ < 𝑥 < ∞

Se propone a las siguientes estadísticas como estimadores de µ:

𝝁 𝟏 =𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐+ 𝟑𝒙𝟑

𝟔 𝝁 𝟐 =

𝟒𝒙𝟐 −𝒙𝟏𝟑

5.1) Pruebe si estos estimadores son insesgados e indique cual es más eficiente.

5.2) Encuentre el estimador máximo verosímil de µ.

5.3) Compare el estimador obtenido por el método de máxima verosimilitud con los dos

propuestos, ¿Cuál es mejor estimador para µ? Justifique su respuesta.




5.1) Solución: Lo primero que debemos corroborar es, si se cumple que la esperanza del estimador

puntual es igual al estimador puntual, sabiendo que la media y la varianza de 𝑥1,𝑥2 ,𝑥3 es µ y 2,

respectivamente, como se ve a continuación:

𝐸 𝜇 1 = 𝐸 𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3

6 =

𝐸 𝑥1 + 2𝐸 𝑥2 + 3𝐸(𝑥3)

6=𝜇 + 2𝜇 + 3𝜇

6=

6𝜇

6= 𝜇

𝐸 𝜇 2 = 𝐸 4𝑥2 − 𝑥1

3 =

4𝐸 𝑥2 − 𝐸(𝑥1)

3=

4𝜇 − 𝜇

3=

3𝜇

3= 𝜇

Es decir, ambos estimadores puntuales de µ son insesgados.

En seguida, debemos determinar la varianza de cada uno de los estimadores, para así ver cuál de los

dos estimadores es más eficiente:

𝑉 𝜇 1 = 𝑉 𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3

6 =

𝑉(𝑥1) + 22𝑉(𝑥2) + 32𝑉(𝑥3)

62 =2 + 42 + 92

36=

7

182

𝑉 𝜇 2 = 𝑉 4𝑥2 −𝑥1

3 =

42𝑉 𝑥2 + 𝑉(𝑥1)

32 =162 + 2

9=

17

92

Debido a que 𝑉 𝜇 1 es menor que 𝑉 𝜇 2 , se llega a la conclusión que el estimador puntual 𝜇 1 es más

eficiente que el estimador puntual 𝜇 2.

5.2) Solución: En este ítem lo primero que debemos hacer es definir la “función de verosimilitud”:

𝐿 𝑥1 ,𝑥2,𝑥3;𝜇 = 𝑓 𝑥𝑖 ;𝜇

3

𝑖=1

𝐿 𝑥1,𝑥2,𝑥3;𝜇 = 1

2𝜋𝜎2∙ 𝑒

− 𝑥 𝑖 − 𝜇

2

2𝜎2

3

𝑖=1

=1

2𝜋𝜎2 3 ∙ 𝑒

− 𝑥 𝑖 − 𝜇

2

2𝜎23𝑖=1

Calculamos el logaritmo natural de 𝐿 𝑥1,𝑥2,𝑥3;𝜇 :

ln 𝐿 𝑥1,𝑥2 ,𝑥3;𝜇 = −3

2ln 2𝜋𝜎2 −

𝑥 𝑖 − 𝜇 2

2𝜎2

3

𝑖=1

Derivamos e igualamos a cero:

𝜕 ln𝐿 𝑥1,𝑥2,𝑥3;𝜇

𝜕𝜇= 0 → −

−2

2𝜎2 𝑥𝑖 − 𝜇

3

𝑖=1

= 0 → 1

𝜎2 𝑥𝑖 − 𝜇

3

𝑖=1

= 0

𝑥𝑖

3

𝑖=1

= 3𝜇 → 𝜇 = 𝑥𝑖

3𝑖=1

3= 𝑥 = 𝐸.𝑀.𝑉(𝜇)




5.3) Solución: Empezamos por determinar si el estimador puntual de 𝜇 que determinamos en el ítem

anterior es insesgado, lo que llevamos a cabo de la siguiente forma:

𝐸 𝜇 = 𝐸 𝑥𝑖

3𝑖=1

3 =

𝐸(𝑥𝑖)3𝑖=1

3=

3𝜇

3= 𝜇

Por lo tanto, el estimador puntual de 𝜇 es insesgado, luego, determinaremos la varianza de dicho

estimador, para ver si mejor estimador, como se ve a continuación:

𝑉 𝜇 = 𝑉 𝑥 𝑖

3𝑖=1

3 =

𝑉( 𝑥𝑖3𝑖=1 )

32 =3𝜎2

9=𝜎2

3

En seguida, como la varianza de 𝜇 es menor en comparación a las varianza de 𝜇 1 e 𝜇 2, se concluye

que el estimador puntual, 𝜇 , es más eficiente, es decir, mejor.

6.- En un estacionamiento el número de veces (𝒙) que se debe subir la barrera en un intervalo

de 10 minutos, para que pasen vehículos en un sector de alta seguridad, se considera una

variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro λ desconocido.

6.1) En una muestra aleatoria de 8 intervalos de 10 minutos cada uno, elegidos en forma

independiente, se registra para cada intervalo el valor que toma la variable en estudio 𝒙.

𝒙 3 5 8 7 4 5 6 2

Encuentre la estimación máximo verosímil de .

6.2) Sea (𝒙𝟏 ,𝒙𝟐,… , 𝒙𝒏) una muestra aleatoria tamaño n de 𝒙 ~ Poisson()

Si 𝝀 𝟏 = 𝒙𝒊

𝒏

𝒏𝒊=𝟏 ; 𝝀 𝟐 =

𝒙𝟏+𝟑𝒙𝒏

𝟒; son estimadores del parámetro . Determine cuál de ellos es

el mejor estimador del parámetro .

6.1) Solución: Utilizaremos la siguiente variable:

𝑥 = “Número de veces que se debe subir la barrera en un intervalo de 10 minutos, para que pasen

vehículos en un sector de alta seguridad”

Luego, sabemos que dicha variable tiene una distribución de Poisson, como se muestra a

continuación:

𝑥 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 () 𝑓 𝑥, = 𝑒−

𝑥

𝑥 ! 𝑥 = 0,1,2,…

0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

En seguida, definimos la “función de verosimilitud”:

𝐿 = 𝑓 𝑥𝑖 ;

𝑛

𝑖=1

𝐿 𝑥1,𝑥2… , 𝑥𝑛, = 𝑒− 𝑥1

𝑥1! ∙

𝑒− 𝑥2

𝑥2! ∙∙∙

𝑒− 𝑥𝑛−1

𝑥𝑛−1! ∙

𝑒− 𝑥𝑛

𝑥𝑛 ! = 𝑒− 𝑛 ∙

1

𝑥𝑖 !

𝑛

𝑖=1

∙ 𝑥 𝑖𝑛𝑖=1




Determinamos el logaritmo natural de 𝐿 𝑥1,𝑥2… ,𝑥𝑛 , :

ln 𝐿 𝑥1,𝑥2… ,𝑥𝑛, = ln 𝑒− 𝑛 ∙ 1

𝑥𝑖 !

𝑛

𝑖=1

∙ 𝑥 𝑖𝑛𝑖=1 = − 𝑛 + ln

1

𝑥𝑖 !

𝑛

𝑖=1

+ 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

ln


𝜕 ln 𝐿 𝑥1,𝑥2… ,𝑥𝑛 ,

𝜕= 0 → −𝑛 +

𝑥 𝑖𝑛𝑖=1

= 0

= 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛= 𝑥 = 𝐸.𝑀. 𝑉()

En seguida, utilizando la muestra aleatoria, obtenemos el valor del estimador máximo verosímil, como

se ve a continuación:

=3 + 5 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 2

8=

40

8= 5

Respuesta: En una muestra aleatoria de ocho intervalos de 10 minutos cada uno, elegidos en forma

independiente, la estimación máxima verosímil corresponde a 5.

6.2) Solución: Lo primero que se debe hacer es determinar si estos estimadores son o no insesgados,

lo que se sabe si se cumple que la esperanza del estimador es igual al mismo estimador, es decir:

𝐸 1 = 𝐸 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛 =

𝐸(𝑥𝑖𝑛𝑖=1 )

𝑛=𝑛

𝑛=

𝐸 2 = 𝐸 𝑥1 + 3𝑥𝑛

4 =

𝐸 𝑥1 + 3𝐸(𝑥𝑛)

4= + 3

4=

4

4=

Por lo tanto, ambos estimadores son insesgados. Entonces, el paso a seguir es determinar la

varianza de cada estimador puntual, lo que se hace de la siguiente manera:

𝑉 1 = 𝑉 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛 =

𝑉 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛2 =𝑛

𝑛2 =

𝑛

𝑉 2 = 𝑉 𝑥1 + 3𝑥𝑛

4 =

𝑉(𝑥1) + 32𝑉(𝑥𝑛)

42 =10

16=

5

8

En conclusión, la efectividad de los estimadores depende del tamaño de la muestra, ya que, si la

muestra es igual a uno, el estimador más eficiente es 2, en cambio, si la muestra es mayor a uno, el

mejor estimador es 1.

7.- Sea 𝒙𝟏,𝒙𝟐,𝒙𝟑,𝒙𝟒,𝒙𝟓 una muestra aleatoria de una variable aleatoria con distribución Normal

con media (𝝁− 𝟓) y varianza 𝝈𝟐.

Se proponen los siguientes estimadores:

𝝁 𝟏 = 𝒙𝒊

𝟓

𝒊=𝟏

𝝁 𝟐 = 𝟖𝒙𝟐 −𝟑𝒙𝟓

Determine cuál es el mejor estimador para 𝝁. Justifique su respuesta.




7) Solución: Debemos determinar si los estimadores que nos proponen son o no insesgados, como se

muestra a continuación:

𝐸 𝜇 1 = 𝐸 𝑥𝑖

5

𝑖=1

= 5(𝜇 − 5)

𝐸 𝜇 2 = 𝐸 8𝑥2 − 3𝑥5 = 8𝐸 𝑥2 − 3𝐸 𝑥5 = 8 𝜇 − 5 − 3 𝜇 − 5 = 5(𝜇− 5)

Debido a que ambos estimadores propuestos son sesgados, se debe determinar el sesgo o error del

estimador, lo que se calcula con la siguiente fórmula:

𝑠𝑒𝑠𝑔𝑜(𝜇) = 𝐸 𝜇 − 𝜇

𝑠𝑒𝑠𝑔𝑜 𝜇1 = 𝐸 𝜇 1 − 𝜇 = 5 𝜇 − 5 − 𝜇 = 5𝜇 − 25− 𝜇 = 4𝜇 − 25

𝑠𝑒𝑠𝑔𝑜 𝜇 2 = 𝐸 𝜇 2

− 𝜇= 5 𝜇 − 5 − 𝜇 = 5𝜇 − 25−𝜇 = 4𝜇 − 25

En seguida, calculamos la varianza de cada uno de lo estimadores propuestos:

𝑉 𝜇 1 = 𝑉 𝑥 𝑖

5

𝑖=1

= 5 𝑉 𝑥 = 5𝜎2

𝑉 𝜇 2 = 𝑉 8𝑥2 − 3𝑥5 = 82𝑉 𝑥2 − 32𝑉 𝑥5 = 73 𝜎2

Finalmente, calculamos el error cuadrático medio del estimador, para así saber cuál de los dos

estimadores puntuales es mejor, lo que se realiza con la siguiente fórmula:

𝐸.𝐶.𝑀 𝜇 = 𝑉 𝜇 + 𝑠𝑒𝑠𝑔𝑜 𝜇 2

𝐸. 𝐶.𝑀 𝜇 1 = 𝑉 𝜇 1 + 𝑠𝑒𝑠𝑔𝑜 𝜇 1 2 = 5 𝜎2 + 4𝜇 − 25 2

𝐸.𝐶 .𝑀 𝜇 2 = 𝑉 𝜇 2 + 𝑠𝑒𝑠𝑔𝑜 𝜇 2 2 = 73 𝜎2 + 4𝜇− 25 2

Respuesta: Debido a que el error cuadrático medio de 𝜇 1 es menor que el error cuadrático medio

de 𝜇 2, se concluye que el mejor estimador para 𝜇, es 𝜇 1 = 𝑥𝑖5𝑖=1 .

8.- Sea 𝒕 la variable aleatoria continua, que indica el tiempo de desintegración de un átomo,

con distribución exponencial truncada con parámetro 𝜶 (𝜶 > 0) es decir, que toma sólo

aquellos valores de 𝒕 superiores a 𝒕𝟎. Sea (𝒕𝟏 , 𝒕𝟐 ,… , 𝒕𝒏) una muestra aleatoria tamaño n de 𝐓.

8.1) Determine el estimador máximo verosímil de 𝜶, si la función de distribución de

probabilidad de la exponencial truncada es:

𝑭 𝒕 = 𝟏 − 𝒆−𝜶(𝒕−𝒕𝟎) 𝒕 > 𝒕𝟎

8.2) Encuentre la estimación puntual del parámetro a para el valor 𝒕𝟎 = 𝟏 cuando se ha

observado los siguientes tiempos de desintegración de un átomo (u.t.): 3, 7, 5, 8, 4, 1, 5,

2, 9 y 6.




8.1) Solución: Sabemos que la derivada de la función de distribución es igual a la función de densidad, es decir:

𝑓 𝑡 =𝑑

𝑑𝑡𝐹 𝑡 𝑓 𝑡 =

𝑑

𝑑𝑡 1− 𝑒−𝛼 𝑡−𝑡0 = −𝑒−𝛼 𝑡−𝑡0 (−𝛼)

𝑓 𝑡 = 𝛼 𝑒−𝛼 𝑡−𝑡0 𝑡 > 𝑡0

En seguida, definimos la “función de verosimilitud”:

𝐿 𝛼 = 𝑓 𝑡𝑖 ,𝛼

𝑛

𝑖=1

𝐿 𝑡1, 𝑡2,… , 𝑡𝑛 ;𝛼 = 𝛼 𝑒−𝛼 𝑡1−𝑡0 ∙ 𝛼 𝑒−𝛼 𝑡2−𝑡0 ∙∙∙ 𝛼 𝑒−𝛼 𝑡𝑛−1−𝑡0 ∙ 𝛼 𝑒−𝛼 𝑡𝑛−𝑡0

𝐿 𝑡1, 𝑡2,… , 𝑡𝑛; 𝛼 = 𝛼𝑛 𝑒−𝛼 𝑡𝑖−𝑡0 𝑛𝑖=1

Aplicamos logaritmo natural:

ln 𝐿 𝑡1 , 𝑡2,… , 𝑡𝑛 ;𝛼 = ln 𝛼𝑛 𝑒−𝛼 𝑡𝑖−𝑡0 𝑛𝑖=1

ln 𝐿 𝑡1, 𝑡2,… , 𝑡𝑛 ;𝛼 = 𝑛 ln𝛼−𝛼 𝑡𝑖 − 𝑡0

𝑛

𝑖=1


𝜕 ln 𝐿 𝑡1, 𝑡2,… , 𝑡𝑛;𝛼

𝜕𝛼= 0 →

𝑛

𝛼 − 𝑡𝑖 − 𝑡0

𝑛

𝑖=1

= 0

𝑛

𝛼 = 𝑡𝑖− 𝑡0

𝑛

𝑖=1

→ 𝛼 =𝑛

𝑡𝑖 − 𝑡0 𝑛𝑖=1

=𝑛

𝑡𝑖𝑛𝑖=1 −𝑛𝑡0

=1

𝑡𝑖𝑛𝑖=1

𝑛−

𝑛𝑡0𝑛

𝛼 =1

𝑡 − 𝑡0= 𝐸.𝑀.𝑉 𝛼

8.2) Solución: Considerando la muestra que nos entrega el ejercicio, tenemos que:

𝑡0 = 1 ; 𝑡 =3 + 7 + 5 + 8 + 4 + 1 + 5 + 2 + 9 + 6

10=

50

10= 5

Reemplazando:

𝛼 =1

𝑡 − 𝑡0=

1

5 − 1=

1

4= 0,25

Respuesta: La estimación puntual del parámetro 𝛼 para el valor 𝑡0 = 1, con las diez observaciones

dadas por el problema, es igual a 0,25.




9.- Sea (𝒙𝟏 ,𝒙𝟐… , 𝒙𝒏) una muestra aleatoria de 𝒙, distribuida según 𝒇 𝒙,𝜽 , con 𝜽 desconocido.

Donde 𝒙 representa el tiempo máximo necesario para terminar un proceso, en segundos:

𝒇 𝒙,𝜽 = 𝜽+ 𝟏 𝒙𝜽 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏 ; 𝜽 > −1 𝟎 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐

9.1) Determine el estimador máximo verosímil de 𝜽.

9.2) En base a una muestra aleatoria de 𝒙, determine la estimación máximo verosímil de 𝜽,

donde la muestra está constituida por los siguientes datos: 0,7; 0,9; 0,6; 0,8; 0,9; 0,7;

0,9; 0,8. Estime la probabilidad del tiempo máximo necesario para terminar un proceso,

el cual exceda los 0,5 segundos, y a la vez no supere los 0,75 segundos.

9.3) Determine el estimador máximo verosímil de: a) 𝜽 + 𝟏. b) 𝟐𝜽 − 𝟏

𝜽 − 𝟏

9.1) Solución: Determinamos la “función de verosimilitud”:

𝐿 𝜃 = 𝑓 𝑥𝑖 ,𝜃

𝑛

𝑖=0

𝐿(𝑥1,𝑥2… ,𝑥𝑛 ,𝜃) = 𝜃 + 1 𝑥1𝜃 ∙ 𝜃 + 1 𝑥2

𝜃 ∙∙∙ 𝜃 + 1 𝑥𝑛−1𝜃 ∙ 𝜃 + 1 𝑥𝑛

𝜃

𝐿(𝑥1,𝑥2… ,𝑥𝑛 ,𝜃) = 𝜃 + 1 𝑛 𝑥 𝑖𝜃

𝑛

𝑖=0

En seguida, calculamos el logaritmo natural de 𝐿(𝑥1,𝑥2… , 𝑥𝑛 ,𝜃):

ln[𝐿(𝑥1 ,𝑥2… ,𝑥𝑛 ,𝜃)] = ln 𝜃 + 1 𝑛 𝑥𝑖𝜃

𝑛

𝑖=0

ln[𝐿(𝑥1,𝑥2… , 𝑥𝑛,𝜃)] = 𝑛 ln 𝜃 + 1 + 𝜃 ln 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=0

= 𝑛 ln 𝜃 + 1 + 𝜃 ln 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=0

Derivamos e igualamos a cero:

𝜕 ln[𝐿(𝑥1,𝑥2… ,𝑥𝑛 ,𝜃)]

𝜕𝜃= 0 →

𝑛

𝜃 + 1+ ln 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=0

= 0

𝑛

𝜃 + 1= − ln 𝑥 𝑖

𝑛

𝑖=0

→ 𝜃 = −𝑛

ln 𝑥𝑖𝑛𝑖=0

− 1 = 𝐸.𝑀. 𝑉(𝜃)

9.2) Solución: Determinamos el estimador máximo verosímil de 𝜃, con los datos de la muestra que

nos entrega el ejercicio:

𝜃 = −8

ln(0,7 ∙ 0,9 ∙ 0,6 ∙ 0,8 ∙ 0,9 ∙ 0,7 ∙ 0,9 ∙ 0,8)− 1

𝜃 = 4,0271 − 1 → 𝜃 = 3,0271




Luego, estimamos que la probabilidad de 𝑥 ∈ ]0,25; 0,75[

𝑃 0,25 < 𝑥 < 0,75 = 𝑓 𝑥, 𝜃

0,75

𝑥 = 0,25

𝑑𝑥 = 𝜃 + 1 𝑥𝜃

0,75

𝑥 = 0,25

𝑑𝑥 = 4,0271 𝑥3,0271

0,75

𝑥 = 0,25

𝑑𝑥

𝑃 0,25 < 𝑥 < 0,75 = 0,3102

Respuesta: En base a una muestra aleatoria de 𝑥, que nos otorga el ejercicio, el estimador máximo

verosímil de 𝜃, corresponde a 3,0271, y al estimar que la probabilidad del tiempo máximo necesario

para terminar un proceso, exceda los 0,25 segundos, y a la vez no supere los 0,75 segundos es igual

0,3102.

9.3) Solución: Debido a que determinamos 𝜃 , que corresponde al estimador máximo verosímil de 𝜃,

por lo tanto, las expresiones pedidas las calculamos por medio de propiedades:

a) 𝐸.𝑀.𝑉 𝜃 + 1 = 𝐸.𝑀. 𝑉 𝜃 + 1 = 𝜃 + 1 = 3,0271 + 1

𝐸.𝑀.𝑉 𝜃 + 1 = 4,0271

b) 𝐸.𝑀.𝑉 2𝜃 – 1

𝜃 – 1 =

2𝐸.𝑀 .𝑉 𝜃 −1

𝐸.𝑀 .𝑉 𝜃 −1=

2𝜃 −1

𝜃 −1=

2∙3,0271−1

3,0271−1=

5,0542

2,0271

𝐸.𝑀.𝑉 2𝜃 – 1

𝜃 – 1 = 2,4933

06. Estimadores Puntuales – Ejercicios Propuestos



1.- El comportamiento del esfuerzo vibratorio en la paleta de una turbina de viento, a una velocidad

particular en un túnel de viento se modela según la distribución de probabilidad de Rayleigh, cuya

función de densidad es:

𝑓 𝑥 = 𝑥

𝜃 𝑒 −

𝑥2

2𝜃 𝑠𝑖 𝑥 > 0 𝜃 > 0


𝐸 𝑥 = 𝜃 ∙ 𝜋

2 𝐸 𝑥2 = 2 ∙ 𝜃 𝑉 𝑥 = 𝜃 ∙

4−𝜋

2

1.1) Sea 𝑋1, 𝑋2, . . . , 𝑋𝑛 una m.a. de X. Encuentre el estimador máximo verosímil para θ.

1.2) Analice el insesgamiento del estimador encontrado.

2.- La vida útil de las baterías de fabricación nacional (Y) es una variable aleatoria que de acuerdo a

la información que se dispone presenta la siguiente función de densidad: función de densidad:

𝑓 𝑦 = 𝑒−

𝑦

𝜃

𝜃 ∙ 𝜋 ∙ 𝑦 , 𝑦 > 0


Obtenga el estimador máximo verosímil del parámetro a partir de una muestra aleatoria de tamaño

n

3.- Como es sabido, el Departamento de Fiscalización del Ministerio de Transporte realiza controles

de opacidad (Humos) a los buses licitados, elegidos aleatoriamente en la calle. La opacidad se mide

con un instrumento (Snap), cuyas mediciones se distribuyen con la siguiente función de densidad:

𝑓 𝑥 = 𝑥

𝜃2 ∙ 𝑒 − 𝑥2

2 𝜃2 𝑥 > 0, 𝜃 > 0


Donde es el verdadero valor de opacidad de un microbús en particular, pero es desconocido.

Sean 𝑋1 ,𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 una muestra aleatoria de las mediciones realizadas al microbús con el instrumento.

Determine el estimador máximo verosímil para el verdadero valor de opacidad del microbús.

4.- Suponga que 𝜃 1 , 𝜃 2 y 𝜃 3 son estimadores de . Se sabe que 𝐸 𝜃 1 = 𝐸 𝜃 2 = 𝜃, 𝐸 𝜃 3 ≠ 𝜃,

𝑉𝑎𝑟 𝜃 1 = 12, 𝑉𝑎𝑟 𝜃 2 = 10 y 𝐸 𝜃 3 −𝜃 2

= 6. Compare estos tres estimadores. ¿Cuál es el mejor

estimador? Justifique.




5.- La variable aleatoria X tiene la siguiente función de cuantía:

𝑝 𝑥 =𝛽 𝑥 – 4 𝑒𝛽

𝑥 − 4 ! 𝑥 = 4,5,…

5.1) Obtenga el estimador máximo verosímil de basándose en una muestra aleatoria de tamaño

“n” de 𝑥.

5.2) Verifique si el estimador obtenido en 5.1) es insesgado.

6.- De acuerdo a una investigación realizada por los ingenieros a cargo del sistema de redes, el

tiempo (X), en segundos, transcurrido entre dos peticiones de acceso consecutivas en un sistema

interconectado, es una variable aleatoria distribuida exponencialmente con media igual a 2 segundos.

6.1) El sistema de redes colapsa cuando en un intervalo de tiempo entre dos peticiones de acceso

consecutivo es inferior a 0,1 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que el 4° intervalo de

tiempo, entre dos peticiones de acceso, elegidos independientemente y al azar, sea el primero

en que el sistema de redes colapse?

6.2) Sea (𝑥1 ,𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) una muestra aleatoria de 𝑥 ~ exp(θ), con parámetro desconocido.

Determine el estimador máximo verosímil de θ y la estimación máximo verosímil de (θ + 0,15)

en base a una muestra aleatoria de 8 intervalos, obtenidos entre dos peticiones consecutivas

de acceso a la red, donde se registraron los siguientes tiempos: 3,0 ; 2,5 ; 4,0 ; 2,2 ; 2,8 ; 3,0 ;

1,5 ; 1,0. (en segundos).

7.- En una empresa del rubro de la construcción se ha observado el comportamiento que presenta el

número de vehículos que semanalmente presentan fallas mecánicas graves. La función de

probabilidad es:

𝑓 𝑥; 𝛼 = 𝛼 ∙ 1−𝛼 𝑥 − 1 𝑥 = 1,2,… ; 0 < 𝛼 < 1

7.1) Obtenga el estimador máximo verosímil de α

7.2) Al seleccionar al azar 10 semanas, el número total de vehículos que presentaron fallas

mecánicas graves fue de 15. Basándose en esta información, determine la probabilidad que

durante una semana, el número de vehículos que presentan fallas mecánicas graves, sean a

lo más dos.

(*) 8.- Considere la muestra aleatoria (𝑋1, 𝑋2,… , 𝑋𝑛) de la variable aleatoria 𝑥, distribuida según una

exponencial desplazada, con parámetro λ desconocido, con función de densidad de probabilidad:

𝑓 𝑋 = 𝜆 𝑒−𝜆 (𝑋− 𝜃) ; 𝑋 ≥ 𝜃; 𝜆 > 0; 𝜃 > 00 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

8.1) Obtenga el estimador máximo verosímil de 𝜆.

8.2) Para estudiar el tiempo, expresado en segundos, entre dos vehículos que llegan a una plaza

de peaje, distribuido según una exponencial desplazada, se toma una muestra aleatoria de

tamaño seis, obteniendo los siguientes tiempos: 3.11 – 0.64 – 2.55 – 2.20 – 5.44 – 3.42.

Determine la estimación máxima verosímil de 𝜆, si θ = 0.5 segundos, que corresponde al

tiempo mínimo posible entre dos vehículos.




9.- El ingreso de las personas, en u.m., que viven en la ciudad A, se considera una variable aleatoria

con distribución de Pareto, con parámetro α desconocido, cuya función de densidad está dada, por:

𝑓 𝑥; 𝛼 = 𝛼

500

500

𝑥 𝛼+1

𝑠𝑖 𝑥 > 500 𝛼 > 0


En una muestra aleatoria de los ingresos, en u.m., se obtuvo:

551 – 556 – 740 – 606 – 742 – 2311 – 852 – 3691 – 592 – 570 – 724 – 642.

Determine la estimación máxima verosímil del parámetro α.

10.- La resistencia del material de cierto espécimen se considera una variable aleatoria X, con

distribución de probabilidad:

𝑓 𝑥 = 2

𝛽2 𝑥 𝑒−

𝑥

𝛽

2

𝑠𝑖 𝑥 > 0; 𝛽 > 0


Si se toma una muestra aleatoria de 10 especímenes y se obtienen los siguientes datos con respecto

de su resistencia.

6,11 3,20 1,86 5,23 2,76 4,12 6,79 4,43 8,56 6,82

Encuentre la estimación máxima verosímil para 𝛽.




Soluciones: 06. Estimadores Puntuales

1.1) 𝐸.𝑀.𝑉. 𝜃 = 𝑥 𝑖

2𝑛𝑖=1

2𝑛=

𝑥2

2 1.2) Insesgado 6.1) 0,4199 6.2) 𝐸.𝑀.𝑉 𝜃 + 0,15 = 2,65

2) 𝐸.𝑀. 𝑉. 𝜃 =2 𝑦𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛= 2 𝑦 7.1) 𝐸.𝑀.𝑉. 𝛼 =

1

𝑥 7.2) 0,889

3) 𝐸.𝑀. 𝑉. 𝜃 = 𝑥 𝑖

2𝑛𝑖=1

4𝑛=

𝑥2

4 8.1) 𝐸.𝑀.𝑉. =

1

𝑥 − 𝜃 8.2) 0,417

4) El mejor estimador es 𝜃 3 9) 𝐸.𝑀.𝑉. 𝛼 =𝑛

−𝑛 𝑙𝑛 500+ 𝑥 𝑖𝑛𝑖=1

= 1,9464

5) 𝐸𝑀𝑉 𝛽 = 𝑥 − 4 10) 𝐸.𝑀.𝑉. 𝛽 = + 𝑥 𝑖2𝑛𝑖=1

𝑛= 5,3711

6. estimadores puntuales - ejercicios resueltos y propuestos (1)

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