tuberías conceptos

MECANICA DE FLUIDOS II 1

MECANICA DE FLUIDOS II

UNIVERSIDAD ALAS

PERUANAS

TRABAJO DE INVESTIGACION

ALUMNOS:

EPIFANIO CONDORI CCAHUANA

HENRY RIVAS ALFARO

JUAN CARLOS QQQUECCAO YUCA

ERICSON FREDIE CHECYA MAMANI

JUNIOR JONATHAN DE LA TORRE VARGAS

DOCENTE:

ING. GORKI ASCUE SALAS


Ley de Darcy

Fue encargado del estudio de la red de

abastecimiento de agua de la ciudad. En 1847, el

agua entubada llega a todos los pisos de todos los

edificios de Dijon, transformando as a esta ciudad

en la segunda ciudad europea en lo que se refiere a

abastecimiento de agua, despus de Roma. Se

interes en el diseo de filtros de arena para purificar

el agua.

Observando que se presentaba una cada de presin en el agua al pasar a

travs de una columna de arena, procede a cuantificar el fenmeno. Midi el

gasto de agua Q y la cada de presin , que pasa a travs de la columna de

arena de rea transversal A:


Adems, concluy que la razn de proporcionalidad dependa del tipo de arena

o medio poroso por donde flua el agua. De esta forma, planteo lo siguiente:

Experimentos subsiguientes sobre flujo en medio porosos, han permitido

conocer sobre la dependencia de la constante de permeabilidad K:

Para no confundir con el tpico central de este tema que es el abordar a los

fluidos cuando fluyen, en esta seccin de entrada abordamos el movimiento de

un fluido como un todo. Del Tema I.1, podemos resumir lo siguiente:

Estudiamos a los fluidos en reposo.

La descripcin de los fluidos en reposo se sustenta en las Leyes de Newton.


Las fuerzas de superficie que ejercen los fluidos en reposo deben ser

compresoras y normales.

La superficie de un lquido en reposo es horizontal.

La distribucin de presiones en el fluido satisface la

Ecuacin Fundamental de la Esttica de Fluidos.

dp = gdy

p2 = p1 + gh

En el Tema I.2, hemos abordado a los fluidos ideales que fluyen por conductos

y para ello hemos establecido lo siguiente:

Flujo:


La descripcin del flujo se sustenta en la conservacin de masa y las Leyes de

Newton:

La distribucin de velocidades en el flujo satisface la Ecuacin de Continuidad:

Av = cte.

La distribucin de presiones dependiendo de la velocidad del flujo y la altura del

mismo satisface la Ecuacin de Bernoulli:

dp = vdv gdy

Qu suceder si ahora el recipiente que contiene al fluido se mueve

aceleradamente? Veamos algunos situaciones y empecemos con la mas

sencilla el Movimiento Vertical con Aceleracin Uniforme:


Movimiento de traslacin horizontal con acelaracin uniforme:

Movimiento Circular Uniforme:

Cuando los fluidos se mueven de la forma ilustrada anteriormente se dice que

se mueven como cuerpos rgidos Partiendo de la aplicacin de la Segunda ley

de Newton y de las consideraciones sobre el tipo de movimiento acelerado, es

posible obtener:

- La forma de la distribucin de presin en el interior del fluido.


- La forma de la superficie libre que ahora NO necesariamente ser horizontal.

(Para mas adelantesegn tiempos)

RGIMEN LAMINAR

Nmero de Reynolds.

En nmero de Reynolds es un parmetro adimensional que se utiliza para determinar el

tipo de

Flujo que circula por una tubera o conduccin, su expresin es la siguiente:

Segn el valor del nmero de Reynolds el flujo puede ser caracterizado como

laminar, turbulento o crtico.

El flujo laminar constituye un movimiento totalmente ordenado, de forma que el

fluido se mueve en lminas paralelas. En este tipo de rgimen, llamado

tambin viscoso, predominan las fuerzas viscosas sobre las de inercia y, por lo

tanto, est asociado a nmeros de Reynolds pequeos (R4000).

Se define el movimiento como crtico cuando se produce el paso de laminar a

turbulento. Esto tiene lugar de forma paulatina a medida que aumenta la


velocidad de un fluido que en principio se encuentra en rgimen laminar.

Primero aparecen ondulaciones (rgimen crtico) y si prosigue el aumento de la

velocidad se alcanza el rgimen turbulento. En rgimen crtico el nmero de

Reynols se sita entre 2000 y 4000.

Flujo en rgimen laminar a travs de tuberas.

En tuberas, tanto horizontales como verticales, se produce flujo siempre y

cuando haya diferencia de presiones entre los extremos del tubo, de tal manera

que habr movimiento de menor a mayor presiones. El movimiento en una

tubera estar determinado por las fuerzas gravitatorias y por las fuerzas de

rozamiento viscosas. Tendremos en cuenta que la velocidad es nula en el

punto de contacto del fluido con la tubera y alcanzar su valor mximo en el

centro del tubo.

Tubo horizontal.

El tubo horizontal, es igual que el vertical, salvo que ahora, en vez de ser la

fuerza gravitatoria la que provoca el movimiento, es la diferencia de presiones

entre los extremos del tubo lo que hace que el fluido discurra por la tubera, por

lo tanto, la ecuacin de la que partimos es:


En donde, igual que antes, hemos tenido en cuenta que la velocidad del fluido

en el punto de contacto con la tubera es nula, as, la ecuacin para la

velocidad queda:

El perfil de velocidades para los tubos es del tipo del que se muestra en la siguiente

figura:

Tubo vertical.

Para resolver la cuestin, se ha de igualar el peso de la columna de fluido con

la fuerza debida a la viscosidad:


El caudal, lo calcularemos haciendo la integral:

Lo que da lugar a la siguiente integral, de donde se saca el caudal:

Ejemplo Disponemos de una tubera de 200 m de longitud por la que discurre un fluido

de viscosidad dinmica 0,015. El caudal que circula por dicha tubera es de 20 l/s.

Sabiendo que densidad relativa del lquido es 0,76 y que la tubera tiene 100 cm de

dimetro y que a lo largo de este recorrido se produce una prdida de 0,003 atmsferas

calcula:

a) Velocidad del fluido

b) Prdidas a lo largo de 100 metros de esa tubera.

a) Para calcular la velocidad a lo largo de la tubera usaremos el dato del caudal, a partir

del cual, se puede calcular la velocidad como:


ECUACIN DE COLEBROOK-WHITE

INTRODUCCIN

En la literatura se ha reportado que en las redes de distribucin de agua

potable, existen tramos que funcionan en rgimen laminar o crtico, Hansen6.

Los modelos computacionales existentes utilizan para el clculo de prdidas

por cortante (friccin), la ecuacin de Colebrook-White, es decir aceptan que

el comportamiento del flujo en todos los casos es turbulento.

Para calcular las prdidas en rgimen laminar se utiliza la ecuacin de

Poiseuille. Sin embargo an es necesario desarrollar herramientas para

analizar el comportamiento del flujo en la zona crtica, 2000 Re 4000, donde

Re es el nmero de Reynolds. An ms, se requiere una ecuacin que pueda

ser resuelta independientemente del tipo de rgimen, en otras palabras,

conviene evitar los problemas de convergencia provocados por la

discontinuidad existente entre las ecuaciones de Poiseuille y Colebrook-White.


ANTECEDENTES

En 1850, Darcy-Weisbach dedujeron experimentalmente una ecuacin para

calcular las

prdidas por cortante (friccin), en un tubo con flujo permanente y dimetro

constante:

A continuacin se muestra el desarrollo de los mtodos de solucin propuestos.

Cada uno de ellos fue mejorando la convergencia hasta llegar a la propuesta

final, la cual permite obtener el valor del coeficiente de prdidas por cortante

"f", en cualquier rgimen de flujo debido a que simula la unin entre las

ecuaciones de Poiseuille y de Colebrook-White, adems de que presenta la

particularidad de ser explcita, pues como se observa, ecuacin 3, esta ltima

es implcita.

Ecuacin modificada de Colebrook-White


Guerrero4 propuso en 1995 la ecuacin modificada de Colebrook-White (4),

para el clculo del coeficiente de prdidas en flujos turbulentos. sta es

explcita, y los resultados obtenidos con ella se ajustan suficientemente bien a

los calculados con la frmula implcita de Colebrook-White.

Con la cual se puede obtener la prdida de energa que existente en un flujo

turbulento, es decir cuando Re > 4000.

Unin de las ecuaciones de Poiseuille y de Colebrook-White por medio de

una recta

En el Diagrama de Moody se puede apreciar que las ecuaciones de Poiseuille y

de Colebrook-White, para un valor de e /D=0.05, tienen el comportamiento que

se muestra en la figura


Una primera propuesta consiste en unir la discontinuidad existente entre las

ecuaciones de Poiseuille y de Colebrook-White utilizando una recta en escala

logartmica, segn se muestra en la figura


El procedimiento anterior se integr al programa de cmputo Modelacin

Integral de Redes de Agua Potable (MIRAP), Guerrero5, reflejando una gran

mejora en la convergencia de los nodos principales. Sin embargo, el clculo de

toda la red presentaba problemas de convergencia. Esto se debe al cambio tan

fuerte de pendiente en los puntos de unin y se propuso encontrar una forma

de suavizarla

Propuesta final

S. H. Chue4 en 1984, con base en los estudios de Barr5, propuso una nueva

opcin para el clculo del coeficiente de prdidas f, aplicable para ambos

regmenes de flujo, as como para el paso por la zona de transicin o flujo

crtico. Todo esto basado en un factor de intermitencia para establecer la

unin entre el flujo laminar y turbulento. Esta unin facilita la evaluacin del

factor de prdidas del flujo en tuberas usando solamente una ecuacin para

cubrir completamente todos los nmeros de Reynolds. La propuesta de Chue

tiene la desventaja de ser implcita


DIAGRAMA DE MOODY

El diagrama de Moody es la representacin grfica en escala doblemente

logartmica del factor de friccin en funcin del nmero de Reynolds y la

rugosidad relativa de una tubera, diagrama hecho por Lewis Ferry Moody.

En la ecuacin de Darcy-Weisbach aparece el trmino \lambda que representa

el factor de friccin de Darcy, conocido tambin como coeficiente de friccin. El

clculo de este coeficiente no es inmediato y no existe una nica frmula para

calcularlo en todas las situaciones posibles.

Se pueden distinguir dos situaciones diferentes, el caso en que el flujo sea

laminar y el caso en que el flujo sea turbulento. En el caso de flujo laminar se

usa una de las expresiones de la ecuacin de Poiseuille; en el caso de flujo

turbulento se puede usar la ecuacin de Colebrook-White adems de algunas

otras cmo ecuacin de Barr, ecuacin de Miller, ecuacin de Haaland.

En el caso de flujo laminar el factor de friccin depende nicamente del nmero

de Reynolds. Para flujo turbulento, el factor de friccin depende tanto del

nmero de Reynolds como de la rugosidad relativa de la tubera, por eso en

este caso se representa mediante una familia de curvas, una para cada valor

del parmetro k/D, donde k es el valor de la rugosidad absoluta, es decir la

longitud (habitualmente en milmetros) de la rugosidad directamente medible en

la tubera.

En la siguiente imagen se puede observar el aspecto del diagrama de Moody.


Prdidas de Energa Total

Fluidos compresibles e incompresibles

Los fluidos incompresibles son aquellos en los que el volumen permanece

constante independientemente de las fuerzas aplicadas, mientras que los

fluidos compresibles son aquellos cuyo volumen puede cambiar cuando se les

aplica una fuerza.

Los principios fsicos ms importantes en el estudio del flujo de fluidos son:

balance de materia "Ecuacin de continuidad",

balance de energa Ecuacin de Bernoulli,

el de cantidad de movimiento

Restricciones de la ecuacin de Bernoulli

Soloesvalidaparafluidosincompresiblesw1=w2

tiene en cuenta dispositivos que agreguen energa al sistema W=0

hay transferencia de calor Q=0

hay perdidas por friccin ft=0

Los factores que afectan la velocidad son:

Tipo de fluido

Longitud del sistema de flujo

tipo de tubera

cada de presin permitida

, accesorios, vlvulas que puedan conectar para manejar las

velocidades especficas

temperatura, la presin y el ruido

debe tener en cuenta que las tuberas de gran dimetro producen baja

velocidad y viceversa, tubos de pequeo dimetro altas velocidades.

APLICACIONES

fluidos agrandes distancias desde los depsitos de almacenamiento

hasta las unidades de proceso, produce una importante cada de presin, tanto

en las tuberas como en las propias unidades.

o es necesario el clculo de la potencia para el bombeo y el diseo del

sistema de tuberas.


Ecuacin de Energa Total


Prdidas de energa debido a la friccin hf

Prdidas por friccin en flujo Turbulento

En rgimen de flujo turbulento no se puede calcular el factor de friccin (f)

como se hizo con el flujo laminar, razn por la cual se debe determinar

experimentalmente.

El factor de friccin depende tambin de la rugosidad () de las paredes del

conducto.


Prdidas Menores

Los componentes adicionales (vlvulas ,codos ,conexiones en T, etc.)

contribuyen a la prdida global del sistema y se denominan prdidas menores.

La mayor parte de la energa perdida por un sistema se asocia a la friccin en

las porciones rectas de la tubera y se denomina prdidas mayores.

Por ejemplo , la prdida de carga o resistencia al flujo a travs de una vlvula

puede ser una porcin importante de la resistencia en el sistema .As , con la

vlvula cerrada la resistencia al flujo es infinita ; mientras que con la vlvula

completamente abierta la resistencia al flujo puede o no ser insignificante.


Prdidas Menores: Condiciones de flujo de entrada

Cuando un fluido pasa desde un estanque o depsito hacia una tubera, se

generan prdidas que dependen de la forma como se conecta la tubera al

depsito (condiciones de entrada):

Prdidas Menores: Contraccin repentina o sbita


Hazen Williams

Para algunas aplicaciones, algunas frmulas empricas se pueden aplicar, y cuando se usan dentro de sus

lmites, se pueden obtener resultados confiables. Hazen y Williams desarrollaron una frmula emprica para el

agua a 60 F. La viscosidad del agua vara con respecto a la temperatura, por lo que se pueden tener algunas

desviaciones cuando se usar para otras temperaturas. Frmula Hazen-Williams para prdidas por friccin

(cabeza) en pies:


El flujo de agua que fluye en diferentes materiales y dimetros se puede

comprar a usando la siguiente ecuacin. Los subndices 1 y 2 se refieren a la

tubera de la que se conocen los datos y de la que no se conocen. El flujo

=100(d2 / d1) * (C2 / C1)0.3806

Manning

Para el flujo de agua en un canal abierto bajo una pendiente constante y una

seccin transversal uniforme del canal, la ecuacin Manning puede ser usada.

Un flujo de canal abierto existe cuando en una tubera que opera parcialmente

llena. Como la formula Hazen-Williams, la ecuacin de Manning est limitada

para agua o lquidos con la viscosidad cinemtica igual al agua.

Ecuacin de Manning

En donde:

V= velocidad de flujo, pies/segundo.

n = coeficiente de rugosidad, adimensional (tabla 8).

r = radio hidrulico, pies.

D =dimetro del tubo, pies

d = dimetro del tubo, pulgadas


Para flujo lleno de la tubera en pies cbicos por segundo se puede calcular

usando:

El flujo a tubo lleno en galones por minuto puede ser estimado usando:

MTODO DE HARDY CROSS PARA LA DETERMINACIN DEL REPARTO

DE CAUDALES EN LAS REDES DE DISTRIBUCIN DE AGUA

Hardy Cross, naci en 1885 en Virginia, fue un ingeniero de estructuras y

creador del mtodo de clculo de estructuras conocido como mtodo de Cross

o mtodo de distribucin de momentos, concebido para el clculo de grandes

estructuras de hormign armado. Este mtodo fue usado con frecuencia entre

el ao 1935 hasta el 1960, cuando fue sustituido por otros mtodos. El mtodo

de Cross hizo posible el diseo eficiente y seguro de un gran nmero de

construcciones de hormign armado durante una generacin entera.

Adems tambin es el autor del mtodo de Hardy Cross para modelar redes

complejas de abastecimiento de agua. Hasta las ltimas dcadas era el mtodo

ms usual para resolver una gran cantidad de problemas.


HARDY CROSS

PRIMEROS AO DE HARDY CROSS

Obtuvo el ttulo de Bachillerato de Ciencia en ingeniera civil del Instituto de

Tecnologa de Massachusetts en 1908, y despus ingres en el departamento

de puentes de los Ferrocarriles del Pacfico de Missouri en St. Louis, donde

permaneci durante un ao. Despus volvi a la academia de Norfolk en 1909.

Un ao despus de su graduacin estudi en Harvard donde obtuvo el ttulo de

MCE en 1911. Hardy Cross desarroll el mtodo de distribucin de momentos

mientras trabajaba en la universidad de Harvard. Luego trabaj como profesor

asistente de ingeniera civil en la universidad de Brown, donde ense durante

7 aos. Despus de un breve regreso a la prctica de ingeniera en general,

acept un puesto como profesor de ingeniera estructural en la Universidad de

Illinois en Urbana-Champaign en 1921. En la Universidad de Illinois Hardy

Cross desarrollo su mtodo de distribucin de momentos e influy en muchos

jvenes ingenieros civiles. Sus estudiantes en Illinois tuvieron con l un duro

momento argumentando porque l era difcil de escuchar.

MTODO DE CROSS PARA REDES DE AGUA


Otro mtodo de Hardy Cross es famoso por modelar flujos de Red de

abastecimiento de agua potable. Hasta dcadas recientes, fue el mtodo ms

comn para resolver tales problemas.

El recibi numerosos honores. Entre ellos tuvo un grado Honorario de Maestro

de Artes de la Universidad Yale , la medalla Lamme de la Sociedad Americana

para Educacin en Ingeniera (1944), la medalla Wason del Instituto Americano

del Concreto (1935), y la medalla de oro del Instituto de Ingenieros

Estructurales de Gran Bretaa (1959).

MTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED

El Mtodo de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, est basado en el

cumplimiento de dos principios o leyes:

Ley de continuidad de masa en los nudos;

Ley de conservacin de la energa en los circuitos.

El planteamiento de esta ltima ley implica el uso de una ecuacin de prdida

de carga o de "prdida" de energa, bien sea la ecuacin de Hazen Williams o,

bien, la ecuacin de Darcy Weisbach.

La ecuacin de Hazen Williams, de naturaleza emprica, limitada a tuberas de

dimetro mayor de 2", ha sido, por muchos aos, empleada para calcular las

prdidas de carga en los tramos de tuberas, en la aplicacin del Mtodo de

Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de

rugosidad, C, de la superficie interna de la tubera, lo cual hace ms simple el

clculo de las "prdidas" de energa.

La ecuacin de Darcy Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal,

casi nunca se ha empleado acoplada al mtodo de Hardy Cross, porque

involucra el coeficiente de friccin, f, el cual es funcin de la rugosidad, k, de la

superficie interna del conducto, y el nmero de Reynolds, R, de flujo, el que, a

su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo

en las tuberas.

Como quiera que el Mtodo de Hardy Cross es un mtodo iterativo que parte

de la suposicin de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de

Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un

valor particular, Q, en cada iteracin se deben calcular los caudales actuales

o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el clculo de los valores de R


y f de todos y cada uno de los tramos de tuberas de la red, lo cual sera

inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a ua" con una calculadora

sencilla. Ms an, sabiendo que el clculo del coeficiente de friccin, f, es

tambin iterativo, por aproximaciones sucesiva.

Lo anterior se constitua, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no

obstante ser la manera lgica y racional de calcular las redes de tuberas.

Hoy, esto ser no slo posible y fcil de ejecutar con la ayuda del programa en

lenguaje BASIC, sino tambin permitir hacer modificaciones en los dimetros

de las tuberas y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red

completamente cuantas veces sea conveniente.

FUNDAMENTOS DEL MTODO DE HARDY CROSS

El mtodo se fundamenta en las dos leyes siguientes:

1. Ley de continuidad de masa en los nudos: "La suma algebraica de los

caudales en un nudo debe ser igual a cero"

Donde:

Qij: Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.

qi : Caudal concentrado en el nudo i

m : Nmero de tramos que confluyen al nudo i.

2. Ley de Conservacin de la energa en los circuitos: "La suma

algebraica de las "prdidas" de energa en los tramos que conforman un

anillo cerrado debe ser igual a cero".

Donde:

hf ij : Prdida de carga por friccin en el tramo


n : Nmero de tramos del circuito i

CLCULO DE REDES DE TUBERAS

En esta actividad se va a resolver la red de tuberas mostrada, utilizando el

mtodo Hardy-Cross.

Datos del problema:

Longitud de cada tramo: 1000 m.

Dimetro interior de las tuberas: 400 mm.

Fluido transportado: agua.

Viscosidad cinemtica: 1e-6 m2/s.

Descripcin del mtodo:


1) = Numerar los tramos de tuberas y asignarles un sentido (esta eleccin es

arbitraria). Este paso ya se ha hecho en el dibujo.

2) = Elegir las mallas y un sentido de recorrido (ya hecho en el dibujo).

3) = Asignar un valor numrico a cada caudal de forma que se cumpla la

conservacin de la masa en cada nodo. El signo del caudal es negativo si se

opone al sentido de recorrido de la malla.

4) = Calcular el coeficiente Ci de cada lnea: 22

ii

KC

A

, donde Ki es el

coeficiente de prdidas de carga lineales iL

K fD

. Se recomienda calcular el

coeficiente de friccin con la frmula aproximada 2.5

1.02 log Ref

.

5) = Calcular la correccin a los caudales de cada malla: 0.5i i i

i i

C Q QQ

C Q

.

6) = Aplicar la correccin de cada malla a los caudales que la componen. En el

caso de que un caudal pertenezca a dos mallas, la correccin de otras mallas

tendr signo negativo si el recorrido de la malla tiene distinto sentido que en la

primera malla. Esta situacin ocurre con la lnea 1.

7) = Repetir la iteracin.

EJERCICIOS

Ejercicio 1:

Desarrollar la expresin empleada en el estudio de de los caudales en redes de

tubera:


Qo

Qo

A B

CD

Solucin:

El mtodo del clculo, por Hardy Cross consiste en suponer unos caudales en

todas las ramas de la red y a continuacin hacer un balance de las prdidas de

carga calculadas. En el laso o circuito nico, mostrado en la figura 10, para que

los caudales en cada laso de la rama sean el correcto se habr de verificar

Para aplicar esta expresin, la prdida de carga en funcin del caudal habr

que ponerse en la forma, . En el caso de utilizar la formula de Hazen

Williams, la expresin anterior toma la forma

Como se suponen unos caudales , el caudal verdadero en una tubera

cualquiera de la red puede expresarse , donde es la correccin

que habr de aplicarse a . Entonces mediante el desarrollo del binomio,

Se desprecian los trminos a partir del segundo pro ser tan pequeos

comparado con .

Para el laso o circuito mostrado en la figura, al sustituir en la ecuacin (I) se

obtine:

Despejando .

En general para un circuito ms complicado se tiene:


Pero y por lo tanto,

Ejercicio 2:

En el sistema de tuberas en paralelo, mostrado en la fig. 2, determinar, para

, los caudales en los dos ramales del circuito utilizado en el mtodo

de Hardy Cross.

1500m - 30cm D

C1 = 120

900m - 40cm D

C1 = 120

WQ Z Q

Solucin:

Se supone que los caudales Son iguales, respectivamente, a

y los clculos se realizan en la tabla que sigue (obsrvese que se ha

puesto ), procediendo asi se calculan los valores de S mediante el

Diagrama B, o por cualquier otro procedimiento, luego y a

continuacin se determinan . se notara que cuanto mayor sea ms

alejados de los correctos estarn los caudales . (los valores de se han

elegido deliberadamente distintos de los correctos para que den lugar a valores

grandes de y as ilustrar en el procedimiento.)

D

cm

L

m

supuesto

m

30

40

1500

900

150

-306

25.5

-14.4

0.170

0.046

-27.8

-27.8

122.2

-333.8

0.216 456


Entonces, los valores de sern y

. Repitiendo de nuevo el proceso de clculo:

16.5

-17.1

0.135

0.051

+3.2

+3.2

125.4

330.6

0.186 456

No es necesario hacer una nueva aproximacin ya que el diagrama B no puede

conseguirse una mayor precisin de 3l/s aproximadamente. Tericamente, HL

deberan ser igual a cero, pero esta condicin se obtiene muy raramente.

Se observa que el caudal que fluye por la tubera de 30cm era el 26,4% de

456l/s, es decir, 120.4l/s lo que constituye una comprobacin satisfactoria.

Ejemplo 3.- Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal.

Considerar H C = 100 en todas las tuberas.

Solucin. Para la solucin de esta red vamos a aplicar el mtodo de Hardy

Cross. La ecuacin de descarga en cada tubera es. 1.85

fh KQ


5

1.85 7,866

1,72 10

H

x Lk

C D

Estas ecuaciones corresponden a la frmula de Hazen y Williams, que es la

que utilizaremos, dado que el coeficiente de resistencia est en los datos

referido a dicha frmula. Si ste no fuera el caso se utilizara las ecuaciones

correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno

de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido

contrario de las agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podra ser

al contrario.

Haremos tambin, tentativamente, una suposicin con respecto a la

distribucin de caudales. En consecuencia cada caudal vendr asociado a un

signo. Habr caudales positivos y negativos. Por consiguiente las prdidas de

carga en cada tramo tambin estarn afectadas del correspondiente signo.

Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las prdidas de carga tienen

signo. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condicin 1

que debe satisfacer una red. Se obtiene as:

La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido

arbitrariamente, cuidando tan slo que se cumpla la ecuacin de continuidad en

cada nudo (en valores absolutos naturalmente).

Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar as el

clculo de la prdida de carga con los diferentes caudales que nos irn

aproximando sucesivamente a la solucin final.

CIRCUITO I CIRCUITO II

BN

NM

MB

0,03367

0,02806

MB

CM

MN

NC

0,00969

0,02806

0,00830

Calculemos ahora los valores de la prdida de carga f0 h en cada circuito

aplicando la ecuacin de descarga.

CIRCUITO I CIRCUITO II


BN

NM

MB

0fh

+87.23

- 7.16

-56.35

+23.72

CM

MN

NC

0fh

-57.93

+7.16

+34.23

-16.54

Aplicamos ahora la ecuacin

0

0

0

1.85

f

f

h

h

Q

Para obtener la correccin que debe aplicarse al caudal supuesto en cada

ramal. Se obtiene para cada circuito.

23.72

6.31.85 2.04

Qx

16.547.1

1.85 1.26Q

x

6Q 7Q

Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la prdida de carga hF

son los siguientes.

Calculamos nuevamente Q

5.44

1.371.85 2.15

Qx

6.12

2.281.85 1.42

Qx

1Q 2Q

Los nuevos caudales y los correspondientes valores de hf son

Calculamos ahora nuevamente la correccin Q

0.47

0.121.85 2.12

Qx

0.160.06

1.85 1.41Q

x


0Q 0Q

En consecuencia los caudales son:

Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red.

Obsrvese que la condicin 1, hf=0 para cada circuito es la expresin de

conceptos bsicos del flujo en tuberas. Aplicada, por ejemplo, al circuito I,

debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en

paralelo, tal como se ve a continuacin.

Por lo tanto se debe cumplir la ecuacin fundamental.

BM MN BNf f fh h h

Como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos.

Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones

0MC MN NCf f f

h h h

BNC BMCf fh h

La condicin 3 queda tambin satisfecha. Tomemos un ramal cualquiera (NC).

8"

100

0.6

37.83

H

f

D

C

L km

k m

2.63 0.540.00426 100 8 63.05

194.7

.

Q x x x

Qs

Valor que est dentro del error aceptado

MECANICA DE FLUIDOS II

TABLA

CALCULOS DEL EJEMPLO 3

K aQ 0fh 0fh Q Q hf fh Q Q hf fh Q

BN

NM

MB

Circuito 1

0,03367

0,02806

0,00692

+70

-20

-130

87,23

-7,16

-56,35

+23,72

-6

-13

-6

+64

-33

-136

+73,91

-18,09

-61,26

-5,44

+1

+3

+1

+65

-30

-135

+76,06

-15,16

-60,43

+0,47

0

0

0

CM

MN

NC

Circuito 2

0,00969

0,02806

0,00830

-110

+20

+90

57,93

+7,16

+34,23

-16,54

+7

+13

+7

-103

+33

+97

-51,29

+18,09

+39,32

+6,12

-2

-3

-2

-105

+30

+95

-53,15

+15,16

+37,83

-0,16

0

0

0

Al aplicar el mtodo de Hardy-Cross se sugiere realizar una tabulacin como la aqu presentada, que corresponde al ejemplo 5.9.


EJEMPLO 4.-

Resolver la malla de la figura, suponiendo los coeficientes de prdidas de carga

k constante.

Datos:

12 1800k

23 20000k

34 1800k

14 680k

Resolucin

En primer lugar, debe hacerse una suposicin de caudales:

Malla I: 12 14 24350 / 650 / 110 /Q l sQ l s Q l s

Malla II: 23 34 24240 / 760 / 110 /Q l sQ l s Q l s

En primera iteracin ser:

Tubera Qi hpi hpi lQi Q1

Malla I

1-2

1-4

2-4

2-3

0.35

-0.65

0.11

0.24

220.5

-287.3

72.6

115.2

630

442

660

4800

-0.0016

Malla II 3-4

2-4

-0.76

-0.1084

-1039.6

-70.5

1368

650.4 -0.03


Ahora se corrigen los caudales con los valores obtenidos Qi. Ntese que el

caudas Q24 en la malla II ya se ha corregido con el valor QI=-0.0016 obtenido

previamente en la malla I. A continuacin se repite el proceso:

Tubera Qi hpi hpi lQi Q1

Malla I

1-2

1-4

2-4

2-3

0.348

-0.652

0.111

0.237

217.9

-289

73.9

112.3

326.4

443.3

666

4740

-0.0008

Malla II

3-4

2-4

-0.763

-0.11

-1047.9

-72.6

1373.4

660 -0.00018

La aproximacin es suficiente, por tanto los valores correctos para el caudal

son los siguientes:

3

12 0.3472 /Q m s

3

14 0.6528 /Q m s

3

23 0.2368 /Q m s

3

34 0.7632 /Q m s

3

24 0.1104 /Q m s


EJEMPLO 5.-

Se trata de analizar la red de la figura, aplicando las dos versiones del mtodo

de Cross.

Esquema de la red de tuberas del ejemplo.

Los resultados del anlisis de la red

Luego de analizar la red de la figura, aplicando los dos mtodos, se obtuvieron

los resultados consignados en la figura 3 y la tabla 1.

Tabla1. Datos de la red resultados obtenidos

DATOS INICIALES DE LA RED

C = 125; k = 0.15 mm

METODO DE CROSS-

HAZEN & WILLIAMS

METODO DE CROSS-

DARCY & WEISBACH

Circuito

No. Tramo Longitud Dimetro Qinicial

No. Circuito

adyacente QDEF Hf V QDEF hf v

m pulg mm l/s l/s m m/s l/s m m/s

I

1-1 600 16 400 180 0 195.711 3.526 1.557 196.076 3.094 1.560

*1-2 300 12 300 60 2 76.268 1.251 1.079 76.358 1.077 1.080

*1-3 300 8 200 10 3 25.011 1.144 0.796 25.249 1.004 0.804

*1-4 600 12 300 -70 4 -46.509 -1.001 -0.658 -45.841 -0.809 -0.649

1-5 600 16 400 -250 0 -234.289 -4.919 -1.864 -233.924 -4.367 -1.862

hf = 0.001 hf = -0.001

II

*2-1 300 12 300 -60 1 -76.268 -1.251 -1.079 -76.358 -1.077 -1.080

2-2 300 12 300 70 0 69.443 1.051 0.982 69.718 0.904 0.986

*2-3 300 8 200 -10 3 -11.257 -0.261 -0.358 -11.109 -0.212 -0.354

2-4 300 12 300 45 0 44.443 0.460 0.629 44.718 0.386 0.633

hf = -0.001 hf = -0.001

III

*3-1 300 8 200 -10 1 -25.011 -1.144 -0.796 -25.249 -1.004 -0.804

*3-2 300 8 200 10 2 11.257 0.261 0.358 11.109 0.212 0.354

3-3 300 8 200 25 0 25.700 1.203 0.818 25.827 1.049 0.822

*3-4 300 12 300 -45 4 -36.521 -0.320 -0.517 -36.091 -0.257 -0.511

hf = 0.000 hf = 0.000

IV

*4-1 600 12 300 70 1 46.509 1.001 0.658 45.841 0.809 0.649

4-2 300 12 300 -80 0 -87.779 -1.622 -1.242 -88.082 -1.420 -1.246

*4-3 300 12 300 45 3 36.521 0.320 0.517 36.091 0.257 0.511

4-4 300 8 200 60 0 52.221 4.469 1.662 51.918 4.050 1.653

4-5 900 8 200 -20 0 -27.779 -4.168 -0.884 -28.082 -3.695 -0.894

hf = 0.000 hf = -0.001

* Significa que el tramo pertenece a dos circuitos, simultneamente.

CONCLUSIONES

Si bien la ecuacin de Hazen & Williams es muy prctica en el

clculo de las prdidas de carga en tuberas, deja tambin un poco

de inconformidad en cuanto que el coeficiente de resistencia, C,

permanece constante, an con las variaciones del caudal y del

nmero de Reynolds.

Como consecuencia de lo anterior, las "prdidas" de energa por

friccin, hf, sern sobreestimadas en comparacin con las calculadas

con la ecuacin de Darcy Weisbach.

As mismo, el dimensionamiento de una red determinada, analizada

con el Mtodo de Cross y la ecuacin de Hazen & Williams,

conducira a la especificacin de dimetros mayores que los que se

obtendran si se aplicara el mismo mtodo con la ecuacin de Darcy

& Weisbach. Ello se comprobara cuando, de cumplir requerimientos

de cargas de presin mnima y mxima, se trata.

RECOMENDACIONES

Se recomienda la difusin y el uso ms generalizado del Mtodo de

Cross con la ecuacin de Darcy Weisbach, en conjuncin con la

ecuacin de Colebrook White.

Es ms confiable un valor de k que el correspondiente a C.

El valor del coeficiente de viscosidad cinemtica, v, debe introducirse

lo ms acertado posible, es decir, para una temperatura del agua lo

ms real posible.

BIBLIOGRAFIA

Mecnica de fluidos II de F Ugarte

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Mecnica de los fluidos y hidrulica de Ronald V. Giles

Hidrulica de canales de Arturo Rocha

tuberías conceptos

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