TRANSFORMACIONES LINEALES INVERTIBLES

DEFINICIÓN Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Sea la

colección de todos los operadores lineales . El operador

lineal definida por para todo x en V se llama transformación

identidad sobre V. Un operador lineal se llama invertible o no

singular si y sólo si existe una transformación S en L tal que

se llama inverso de T.

TEOREMA Si es una transformación lineal no singular,

entonces es una transformación lineal.

DEMOSTRACIÓN

Sean , como tiene dominio V, existen vectores

tales que y . Aplicando T a ,

tenemos y

.

Entonces

por ser T transformación lineal

porque

Entonces

Ahora supongamos que es un escalar.

Sea . Entonces y

(T es lineal)

De donde y es una transformación lineal.

Es claro que existe una relación entre la transformación lineal y

la matriz . La matriz A depende tanto de la base de como

de la base de . Al trabajar con un operador lineal ,

generalmente es conveniente usar y escribimos , en lugar

de . Si se dice que A es la matriz de T referida a la base

. Si su representación matricial es una matriz cuadrada y no todas estas matrices tienen inversa. Dada la relación entre la

transformación y su matriz, se puede esperar que no todos los operadores lineales tengan inverso. De hecho, un operador tendrá

inverso si y sólo si la matriz referida al operador tiene inversa, referida a

cualquier base.

Ejemplo Determine si las siguientes transformaciones lineales tienen inversa.

a.

Sea la base estándar , y

Por tanto la matriz de T referida a la base estándar para R3 es

y , existe y .

Sea

Por tanto . Además .

Entonces . De donde, S es la inversa de T.

b.

, y

donde A referida a la base canónica es

Como la columna 1 y 2 son iguales, entonces , no existe. De

donde T no es invertible.

TEOREMA Sea un operador sobre un espacio vectorial V con

base . T es no singular si y sólo si la matriz es no

singular. Aún mas cuando existe.

PRUEBA. Sea y suponga que existe. Sea una

transformación lineal tal que . Entonces

y

Entonces, la matriz producto

Por tanto

Entonces y T es no singular.

Recíprocamente, si T es no singular, entonces y

(ver problema 5 de la siguiente sección de ejercicios).

Además, . Por tanto, , esto implica

que .