transformaciones lineales

[

A Transformaciones Lineales

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Matemtica para Economistas utilizando Microsoft Excel y MATLAB.....] ]

2

1.1. Transformaciones lineales ] ] 1.1.1. Espacios vectoriales

Se denomina espacio vectorial V sobre un cuerpo K a un conjunto de elementos, llamados vectores, junto con dos operaciones: adicin (ley de composicin interna) y multiplicacin por escalares (ley de composicin externa), tales que dos vectores cualesquiera: v1 y v2 determinan unvocamente un vector suma v1 + v2 y cada vector v de V y cada escalar k de K determinan un producto por escalar k . v en V, con las siguientes propiedades: 1. (v1 + v2) + v3 = v1 + (v2 + v3) (asociatividad) 2. v1 + v2 = v2 + v1 (conmutatividad) 3. v1 + = v1 (exist. de elem. neutro: vector nulo) 4. k . (v1 + v2) = k . v1 + k . v2 (distributividad con respecto a la suma de vectores) 5. (k1 + k2) . v = k1 . v + k2 . v (distributividad con respecto a la suma de escalares) 6. (k1 . k2) . v = k1 . (k2 . v) (asociatividad) 7. 1 . v1 = v1 (existencia de elemento neutro multiplicativo) Se nota (V, +, K, .) SUBESPACIO VECTORIAL: un subconjunto no vaco W del espacio vectorial V es un subespacio de V si para cada par de vectores w1 y w2 de W, w1 + w2 y k . w1 (para todos los escalares k) estn contenidos en W. Se puede verificar que todo subespacio de un espacio vectorial V es tambin un espacio vectorial. COMBINACIN LINEAL: se dice que un vector v V es combinacin lineal de los vectores v1, v2, ..., vr (vi V) si v =

i

r

=

1

ki . vi ki

El conjunto de todos los vectores de la forma i

r

=

1

ki . vi donde las ki son

nmeros reales arbitrarios, es un espacio vectorial sobre DEPENDENCIA LINEAL: se dice que los vectores v1, v2 ..., vr de un espacio vectorial V son linealmente dependientes si existen nmeros reales k1, k2,

[ [...... Seccin 1.1: Transformaciones lineales

3

... kr, no todos nulos, tales que i

r

=

1

ki . vi = Si es as, por lo menos uno de dichos vectores podr expresarse como combinacin lineal de los otros vectores dados.

Por ejemplo: si k1 0 k1. v1 = i

r

=

2

ki . vi v1 = 1k1 ir

=

2

ki . vi

INDEPENDENCIA LINEAL: recprocamente, los vectores vi son linealmente

independientes si la nica combinacin lineal i

r

=

1

ki . vi = es aquella para la cual k1 = k2 = ... = kr = 0 Observacin: todo subconjunto de un espacio vectorial que contiene al vector nulo es linealmente dependiente. GENERADORES: se dice que un conjunto de vectores v1, v2, ..., vr engendra o genera un espacio vectorial V si cualquier vector v V puede expresarse como combinacin lineal de los vectores dados. BASE: una base de un espacio vectorial V es cualquier subconjunto suyo linealmente independiente que engendra el espacio entero. La repre-sentacin de un vector en un espacio vectorial V como combinacin lineal de los vectores de una base dada, es nica. DIMENSIN: la dimensin de un espacio vectorial es igual al nmero de vectores de cualquiera de sus bases, o lo que es lo mismo, al mayor nmero de vectores L.I. en el espacio. Existen espacios que no son de dimensin finita: por ejemplo, el espacio de todos los polinomios (de todos los grados posibles). Tales espacios se dicen de dimensin infinita. COORDENADAS o COMPONENTES de un vector: si el conjunto B = {v1, v2, ..., vn} es una base del espacio vectorial V sobre K, entonces cada vector de V puede expresarse de modo nico como C.L. de esa base, o sea: si a V, entonces, existen y son nicos los escalares a1, a2, ..., an


4

tales que a =i

n

=

1

ai vi. Respecto de la base B, el vector a queda

caracterizado por los coeficientes de la C.L., o sea por la n-upla de elementos de K: (a1, a2, ..., an). Los escalares ai se llaman coordenadas o componentes del vector a V, respecto de la base B. Si se elige otra base en el espacio V entonces el mismo vector a admite otras coordenadas o componentes. En general, si elegimos p vectores L.I. podemos formar un espacio vectorial de p dimensiones y los p vectores elegidos constituirn una base de dicho espacio. Geomtricamente, lo que hacemos es seleccionar un sistema de coordenadas. PRODUCTO INTERIOR o INTERNO: un producto interior en un espacio vectorial V es una funcin que a cada par de vectores v1 y v2 en V asocia un nmero real de tal modo que se satisfagan las siguientes propiedades: P1) = P2) = + P3) = k P4) 0; = 0 v1 = Un espacio vectorial que tiene definido un producto interior se denomina espacio vectorial con producto interior. Si v1 y v2 son vectores de un espacio vectorial con producto interior, entonces 2 (desigualdad de Cauchy-Schwarz). NORMA: si V es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma (o longitud) de un vector v V se define como la raz cuadrada positiva del producto interior del vector por s mismo.

>


5

DISTANCIA: se denomina distancia entre dos vectores v1 y v2 de un espacio V con producto interior a la norma de su diferencia:

d(v1, v2) = v1 v2 Propiedades: D1) d(v1, v2) 0 ; d(v1, v2) = 0 v1 = v2 D2) d(v1, v2) = d(v2, v1) D3) d(v1, v3) d(v1, v2) + d(v2, v3) (desigualdad triangular) ORTOGONALIDAD: dos vectores v1 y v2 de un espacio vectorial V con producto interior se llaman ortogonales y se nota v1v2 cuando se verifica que su producto interior es nulo:

v1v2 = 0 Propiedades: 01) v1v2 v2v1 02) v1v2 k1 v1 k2 v2 k1 , k2 03) ; v v V 04) si a v1, a v2, ..., a vh a

i

h

=

1

ki vi

(si un vector a es ortogonal a un conjunto de vectores, es tambin ortogonal a todos los vectores del subespacio generado por ese conjunto de vectores). ESPACIO EUCLDEO: es un espacio vectorial E sobre en el cual se ha definido un producto interior que se denomina eucldeo:

Si a = (a1, a2, ..., an) y b = (b1, b2, ..., bn) son dos vectores de En (espacio eucldeo de dimensin n), entonces

= a . bT = i

n

=

1

ai bi

Definido este producto interior, la norma de un vector a ser:

a = >< aa, = 21

i

n

ia

= esta norma eucldea se denomina tambin

mdulo y se nota a .

La distancia entre los vectores a y b ser: d(a,b) = 2

1)( ii

n

iba

=


6

VECTORES UNITARIOS o NORMALES: son aquellos cuyo mdulo es 1: u = 1

Para normalizar un vector v (obtener un vector unitario en su misma direccin y sentido) se dividen sus componentes por su mdulo:

u = vv

=

vv

vv

vv n,,, 21

BASES ORTONORMALES: se denominan a las bases constituidas por vectores ortogonales y normales (u ortonormales), es decir, vectores ai tales que: 1) ai = 1 i 2) ai aj si i j Los vectores ortogonales y no nulos de un espacio vectorial eucldeo son L.I.; por lo tanto, un conjunto de vectores ortogonales que engendran E constituyen una base para E. Si, adems, dichos vectores son normales o unitarios, dicha base ser ortonormal. Todo espacio eucldeo de dimensin finita admite una base ortonormal. ORTONORMALIZACIN DE UNA BASE: a partir de una base cualquiera de E, por ej.: B = {v1, v2, ..., vn} podemos obtener una base ortonormal de E (proceso de Gram-Schmidt): 1) hallamos un vector unitario en la direccin de v1 (normalizamos v1):

u1 = vv

1

1

2) hallamos un vector ortogonal a u1 de la siguiente forma: y2 = v2 u1

3) lo normalizamos: u2 = yy

2

2

4) hallamos un vector ortogonal a u1 y a u2 de la siguiente forma: y3 = v3 u2 u1


7

5) lo normalizamos: u3 = yy

3

3

en general: yh+1 = vh+1 i

h

=

1

ui donde ui = yy

i

i

VECTORES CANNICOS o VERSORES: vectores ortonormales cuyas componentes son todas nulas salvo una, que es la unidad: e1 = (1, 0, 0, ..., 0) e2 = (0, 1, 0, ..., 0) e3 = (0, 0, 1, ..., 0) ............................. en = (0, 0, 0, ..., 1)

eh = ( )naaa ,,, 21 " donde

===hisiahisia

i

i

10

Base cannica de n = {e1, e2, ..., en} Ejemplo: supongamos que B = {(1, -2, 0, 2); (0, -1, 2, 2); (-1, 0, 1, 2)} es una base de un subespacio de 4 y queremos obtener una base ortonormal para dicho subespacio. Sea v1 = (1, -2, 0, 2) v2 = (0, -1, 2, 2) v3 = (-1, 0, 1, 2) 1) hallamos un vector unitario en la direccin de v1 (normalizamos v1) y lo

llamamos u1: como v1 = 1 4 4+ + = 3 u1=( 13

, 23

, 0, 23

)

2) hallamos un vector ortogonal a u1 de la siguiente forma:

y2 = v2 u1 = (0,-1,2,2) u1=

= (0,-1,2,2) 2( 13

, 23

, 0, 23

) = (23

,13

, 2, 23

) podemos verificar

que y2 es ortogonal a u1 hallando su producto interno ( = 0)

3) normalizamos y2: como y2 = 5 u2=( 23 5

, 1

3 5,

25

,2

3 5)

4) hallamos un vector ortogonal a u2 y a u1:


8

y3 = v3 u2 u1 = = (-1,0,1,2) u2

u1 =

= (-1,0,1,2) 45

(2

3 5,

13 5

,25

,2

3 5) ( 1

3,23

,0,23

) =

= (-1,0,1,2) ( 815

,4

15,85

, 815

) ( 13

,23

,0,23

) = ( 45

25

35

45

, , , )

5) normalizamos y3: como |y3| = 4525

= 35

u3 =5

3 ( 45

25

35

45

, , , )

La base ortonormal es B =

;53

2,5

2,53

1,532;

32,0,

32,

31

1554,

1553,

1552,

1554

Teorema: si B={u1, u2, ..., un} es una base ortonormal para un espacio con producto interno eucldeo V entonces cualquier vector a de V puede expresarse como a = u1 + u2 + ... + un Dem.: si B es una base de V, el vector a puede expresarse en forma unvoca como a = k1 u1+ k2 u2+...+ ki ui+...+ kn un (1) para cada vector ui de B se tiene que = = k1+ k2+...+ ki+...+ kn =k1 0 + k2 0 +...+ ki 1+...+ kn 0 (por producto interno de vectores ortonormales) = ki (2) reemplazando (2) en (1) a = u1 + u2+...+ un (3) que es lo que se quera demostrar. De (3) obtenemos un = a u1 u2 ... un-1 que es la frmula que se usa para hallar cada vector ortogonal a los anteriores en el proceso de Gram-Schmidt.


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1.1.2. Transformaciones lineales Sean V y W espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K. Una aplicacin o funcin t:VW se llama transformacin lineal de V en W si y slo si: 1) la imagen de la suma de dos vectores cualesquiera de V es igual a la

suma de sus imgenes en W: t(v1 + v2) = t(v1) + t(v2) = w1 + w2 2) la imagen del producto de cualquier escalar k de K por cualquier vector v

de V es igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector:

t(k v) = k t(v) = k w Estas dos condiciones se pueden resumir en una sola: t: VW es una TL t(k1 v1 + k2 v2) = k1 t(v1) + k2 t(v2) = k1 w1+k2 w2 cualesquiera que sean k1 y k2 en K y v1 y v2 en V. Se puede demostrar por induccin completa que si t: VW es una TL entonces se verifica: t ( k vi

i

i

n

=

1

) = kii

n

=

1

t(vi) = k wii

i

n

=

1

esto nos permite

afirmar que las transformaciones lineales preservan las combinaciones lineales.

Ejemplo 1: la funcin f: 32 definida por f(x1, x2, x3) = (x1x3, x2x3) es una TL, ya que se verifican las 2 condiciones: 1) f [(a1, a2, a3) + (b1, b2, b3)] = f(a1+b1, a2+b2, a3+b3) = = (a1+b1a3b3, a2+b2a3b3) (1) f(a1, a2, a3) + f(b1, b2, b3) = (a1a3, a2a3) + (b1b3, b2b3) = = (a1a3+b1b3, a2a3+b2b3) (2) (1) = (2) 2) f [k(a1, a2, a3)] = f(ka1, ka2, ka3) = (ka1ka3, ka2ka3) Ejemplo 2: la funcin f: 32 / f(x1, x2, x3) = (x1x3, x2x3+1) no es una TL, pues:

1) f [(a1, a2, a3) + (b1, b2, b3)] = f(a1+b1, a2+b2, a3+b3) = = (a1+b1a3b3, a2+b2a3b3+1) (1) f(a1, a2, a3) + f(b1, b2, b3) = (a1a3, a2a3+1) + (b1b3, b2b3+1) = = (a1a3+b1b3, a2a3+1+b2b3+1) (2)

(1) (2) 2) f [k(a1, a2, a3)] k[f(a1, a2, a3)]


10

Nota: basta que no se cumpla una de las condiciones para que no sea TL. Toda matriz Amxn representa una transformacin lineal del espacio eucldeo de n dimensiones En en el espacio eucldeo de m dimensiones Em, ya que dado cualquier vector x En, existe un vector nico y Em tal que y = Ax. La transformacin es lineal, puesto que si x1 En, x2 En, k K: A(x1+x2) = Ax1 + Ax2 ; A k x = k A x IGUALDAD: se dice que dos transformaciones t1 y t2 de V en W son iguales si para cada vector v V, t1(v) = t2(v) SUMA: la suma de dos TL de V en W es tambin una TL: (t1+ t2) (v) = t1(v) + t2(v) v V La suma de dos matrices A=[aij] y B=[bij] se puede realizar slo si ambas son de la misma dimensin A + B = [aij + bij] PRODUCTO POR UN ESCALAR: el producto de una TL de V en W por un escalar es tambin una TL: (k t) (v) = k t(v) v V El producto de una matriz Amxn por un escalar k K es la matriz Bmxn= k A = [k aij] COMPOSICIN DE TL: sean f:VU y g:UW dos TL. La funcin compuesta (gof):VW es tambin una TL. Si el espacio vectorial V es de dimensin n: d(V)=n, d(U)=p y d(W)=m las transformaciones lineales f y g quedan caracterizadas por las matrices Apxn y Bmxp. La TL compuesta (gof): V W est asociada a la matriz producto B.A de dimensin mxn Dem: 1) (gof)(v1+v2) = g [f(v1+v2)] = g [f(v1) + f(v2)] por ser f TL = g [f(v1)] + g [f(v2)] por ser g TL = (gof)(v1) + (gof)(v2) 2) (gof)(kv) = g [f(kv)] = g [k f(v)] por ser f TL


11

= k g [f(v)] por ser g TL = k (gof)(v) TRANSFORMACIONES LINEALES ESPECIALES: Transf. nula: una aplicacin z:VW se denomina transformacin nula si para todo vector v V tenemos z(v) = donde es el vector nulo de W. La matriz asociada a esta transformacin es la matriz nula. Transf. idntica: una aplicacin i: VW se denomina idntica si para todo vector v V tenemos y(v) = v. La matriz asociada es la matriz identidad: I Transf. escalar: k: VW es una transformacin escalar si para todo vector v V tenemos k(v) = kv. La matriz asociada es la matriz escalar: k I Transf. opuesta: sea t:VW una transformacin lineal. Existe una transformacin lineal t llamada la opuesta de t, tal que para todo vector v V tenemos t(v) = t(v). La matriz asociada es la opuesta de la matriz identidad: I OPERADOR DERIVACIN: sea V el espacio vectorial de todas las funciones reales f derivables en un intervalo abierto (a, b). La TL que aplica cada funcin f de V en su derivada f se llama operador derivacin y se designa por D. Entonces D:VW / D( f )= f OPERADOR INTEGRACIN: sea V el espacio vectorial de todas las funciones reales continuas en un intervalo cerrado [a, b]. Si f V,

definamos bxadttfxgb

a

= si)()( Esta TL se llama operador integracin. DOMINIO: de una TL es el conjunto de elementos a los que se aplica la transformacin. En t : VW, V es el dominio. CODOMINIO: de una TL es el conjunto al cual pertenecen los elementos transformados: W RECORRIDO o CONJUNTO IMAGEN: de una TL es el conjunto de elementos transformados o imgenes de los elementos del dominio:


12

Rt= {w/w W, w=t(v) para algn v V} Rt W; Rt es un subespacio de W. RANGO: de una TL se denomina a la dimensin del espacio recorrido de la TL: r(t) = d(Rt) NCLEO: de una TL se denomina al conjunto de elementos del dominio cuya imagen o transformado es el vector nulo: Nt = {v/v V, t(v)=} Nt V; Nt es un subespacio de V. NULIDAD: de una TL se denomina a la dimensin del ncleo de la transformacin: n(t) = d(Nt). Si t: V W es una TL d(V) = r(t) + n(t) Si t: nm /Ax = b el ncleo de t consta de todos los vectores x que son solucin del sistema homogneo Ax = ; el recorrido de t consta de todos los vectores b tales que el sistema Ax = b tiene al menos una solucin. RANGO DE UNA MATRIZ: si la matriz Amxn representa la TL t: EnEm y = Ax la matriz A puede escribirse como una fila de vectores columna:

),,,( 21 naaaA = donde

=

mj

j

j

j

a

aa

a #2

1

y, entonces, y = A x = x1 a1 + x2 a2 +...+ xn an el subespacio generado por las y es el subespacio de Em generado por las columnas de A. Por lo tanto, la dimensin de ese subespacio es igual al mayor nmero de columnas LI de A. De modo que el rango de la TL es igual al mayor nmero de columnas LI de A. Como A tiene slo n columnas, dicho rango no puede ser mayor que n (dimensin del dominio de t). El rango de la matriz A asociada a la TL t es igual al rango de la transformacin (dimensin de su recorrido), es decir, es igual al mayor nmero de columnas LI de A. Se demuestra que este nmero es igual al mayor nmero de filas LI de A y se nota r(A). Como sabemos que un determinante es nulo si y slo si hay dependencia lineal entre sus lneas (filas y columnas), basta encontrar el determinante de mayor orden en A que no se anule. El orden de dicho determinante es igual al rango de A. El rango de una matriz no se altera si se realizan con sus filas y columnas algunas operaciones llamadas elementales:


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1) intercambio de dos filas (o columnas) 2) multiplicacin de una fila (o columna) por un escalar k 0

3) adicin a una fila i (o columna j) del resultado de multiplicar otra fila h (h i) (o columna l j) por un escalar k 0 Ejemplo: la TL t: 43 / t(x1, x2, x3, x4) = (2x1x4, x2+3x4, 6x14x3) puede

representarse por la matriz:

=

040630101002

A aplicada a cualquier

vector x 4 (dominio de la TL) resulta un vector y 3 (codominio de la TL): A x = y

=

=

3

2

1

4

3

2

1

040630101002

yyy

xxxx

A

=

+

+

+

4321

031

400

010

602

xxxx

3

2

1

yyy

de modo que cualquier vector imagen y puede expresarse como CL de los vectores columna de la matriz A. El recorrido o conjunto imagen de la TL es el subespacio de 3 generado por los vectores columna de A. Si estos vectores son LI constituirn una base del recorrido; si no lo son, podemos hallar una base escalonando la matriz A:

340030101002

3 13 FF una base es:

=

400

,010

,002

B , otra es

la base cannica de 3, ya que en este caso el recorrido es 3; el rango de la TL es r = 3, que es tambin el rango de la matriz A El ncleo de la TL es el conjunto de vectores del dominio (4) cuya imagen es el vector nulo del codominio (3), o sea, la solucin del sistema homogneo A x = :


14

=

000

040630101002

4

3

2

1

xxxx

==

=

43

42

41

433

21

xx

xx

xx

Todos los vectores de la forma (12

x4, 3x4, 34 x4, x4)T = k(

12

,3, 34

, 1)T

pertenecen al ncleo; para base podemos tomar uno cualquiera de ellos, por ejemplo: (2, 12, 3, 4)T ; la nulidad es n(t)=1; la suma de la nulidad ms el rango es igual a la dimensin del dominio: 4 Ejemplo econmico de TL: supongamos que los costos directos de produccin de 3 bienes Y1, Y2, Y3, estn dados por las ecuaciones:

(1)

=+=+=+

3232131

2222121

1212111

cpapacpapacpapa

o sea A p = c donde las pj

corresponden a los precios de los insumos Xj y forman el vector columna

=2

1

pp

p , las ci corresponden a los costos directos de los bienes Yi ,

formando el vector columna

=

3

2

1

ccc

c y las aij representan la cantidad del

insumo xj necesaria para producir una unidad del bien Yi. Cada vector de precios de 2 se transforma en un vector de costos de 3; el vector c es la imagen del vector p; la matriz A es la matriz de la transformacin: t(p) = c A p = c El sistema lineal (1) tambin puede expresarse en la forma

=

+

3

2

1

32

22

12

2

31

21

11

1

ccc

aaa

paaa

p donde se ve que es consistente si y


15

slo si c es CL de los vectores columna de la matriz A: la imagen de la TL (recorrido) es el espacio vectorial generado por los vectores columna de A; si son LI constituyen una base del recorrido de la TL, si no lo son, se puede escalonar la matriz y elegir el mayor nmero de columnas LI como base del recorrido. Ejemplo:

=+=+=+

321

221

121

32

cppcppcpp

donde

=

311211

A como los vectores

columna de A son LI forman una base del recorrido de la TL y su dimensin es, por lo tanto, 2: r (A) = 2 El ncleo de la TL es el espacio solucin del sistema A p = En este caso, la nica solucin posible es la trivial, por lo tanto el ncleo es el subespacio de 2 cuyo nico elemento es el vector nulo, su dimensin (nulidad de la TL) es 0. MATRIZ ELEMENTAL: la que se obtiene realizando una sola operacin elemental en la matriz identidad. MATRICES EQUIVALENTES: se denominan las matrices que representan la misma TL, para diferentes bases. Sean A y B dos matrices de dimensin mxn. Se dice que B es equivalente a A si y slo si B puede ser obtenida de A por un nmero finito de operaciones elementales fila y columna. O sea, una matriz B es equivalente a una matriz A si y slo si existen dos matrices no singulares P y Q tales que B = P A Q donde P representa la aplicacin sucesiva de matrices elementales con operaciones sobre filas y Q representa la aplicacin sucesiva de matrices elementales con operaciones sobre columnas. FORMA CANNICA: una matriz Nmxn equivalente a una matriz dada A con rango r(A) = r se dice que es la forma cannica general bajo equivalencia de A o tambin la forma normal de A si posee las siguientes propiedades:

1) los primeros r elementos aij con i = j son iguales a 1. 2) cualquier otro elemento de la matriz es 0.

En realidad, dos matrices rectangulares de la misma dimensin son equivalentes si y slo si tienen el mismo rango.


16

TRANSFORMACIN INVERSA: una TL t-1 de un subespacio de W en V se dice que es la inversa de la TL t:VW si y slo si t t-1 = i: WW y t-1t = i: VV La matriz asociada es la matriz inversa A-1 tal que A-1A = A A-1 = I TRANSFORMACIN NO SINGULAR o REGULAR: se denomina a toda transformacin que admite inversa. Sea t:VW una TL, con recorrido Rt. Entonces, se dice que t es no singular si y slo si existe una transformacin t-1: RtV tal que t-1t = t t-1 = I donde t-1t representa la transformacin idntica sobre V y t t-1 la transformacin idntica sobre W. El dominio y el recorrido de una transformacin no singular tienen la misma dimensin: d(V) = d(Rt) Las transformaciones idntica, escalar y elemental son no singulares o regulares. Una matriz cuadrada A se dice que es no singular o regular si y slo si existe A-1 tal que A-1A = A A-1 = I. Si una TL es no singular, tiene una TL inversa t-1 y las filas (y columnas) de cualquier matriz A que represente a t son LI. Por lo tanto, el determinante de A no es nulo. Si t es singular o no regular, no tiene inversa y las filas (y columnas) de cualquier matriz A asociada con t son LD. Por lo tanto, el determinante de A es nulo. Si el producto t1t2 de dos TL es la identidad, entonces ambas son no singulares y cada una de ellas es la inversa de la otra:

t1t2 = I t1 = t2-1, t2 = t1-1 COMPOSICIN DE TL NO SINGULARES: Si las TL t1:VU y t2:UW son ambas no singulares entonces la TL compuesta t2 t1: VW es tambin no singular y su inversa es igual al producto de la inversa de t1 por la inversa de t2: (t2 t1)-1 = t1-1 t2-1: WV Si dos matrices A y B tienen inversa y son conformables para el producto: (A B)-1 = B-1A-1


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Si t:VW es una TL no singular (t-1)-1 = t y (k t)-1 = k1

t-1 k 0

Si la matriz A es no singular (A-1)-1 = A y (k A)-1 = 1k

A-1 k 0 MATRIZ TRASPUESTA de la matriz A se denomina a aquella que resulta al permutar sus filas y columnas: Am = [aij]mxn AT=[aji]nxm Propiedades: T1) (A+B)T = AT+ BT T2) (A B)T = BT AT T3) (AT)T = A T4) (k A)T = k AT T5) Si A es cuadrada: |AT| = |A| ADJUNTO o COFACTOR del elemento aij de una matriz cuadrada A se denomina al determinante que resulta de suprimir la fila i y la columna j de A, precedido del signo de (-1)i+j MATRIZ ADJUNTA de una matriz cuadrada A es la traspuesta de la matriz cuyos elementos son los cofactores o adjuntos de los elementos de A. El producto de una matriz por su adjunta es igual al producto de su determinante por la matriz identidad: A Adj(A)= Adj(A) A = |A| I

Si A es una matriz no singular: A-1= 1

| |A Adj(A)

TRANSFORMACIONES ORTOGONALES: una transformacin lineal t:VV se denomina ortogonal si conserva el valor absoluto o mdulo de cualquier vector v, de modo que | t(v) | = | v | Propiedades: TO1) |v1 v2| = |t(v1) t(v2)| TO2) = TO3) v1 v2 t(v1) t(v2) TO4) cos (v1, v2) = cos (tv1, tv2) Una TL ortogonal es no singular.


18

Con relacin a cualquier base ortonormal, una matriz A representa una TL ortogonal si y slo si, considerando las columnas de A como vectores, cada columna tiene longitud o mdulo unidad y dos columnas cualesquiera son ortogonales, es decir, si todas sus columnas son vectores ortonormales. MATRIZ ORTOGONAL: se denomina a una matriz cuadrada si sus columnas (o sus filas) son un conjunto de vectores ortonormales. Tambin se define una matriz ortogonal como aquella cuya inversa es igual a su traspuesta: A-1 = AT A es ortogonal Estas definiciones de matriz ortogonal son equivalentes. Si consideramos la matriz A formada por vectores columna v j:

AT A = I

==

)2(),,2,1(1)1(

njvjhsivv

j

jh

(1) (todos los vectores columna son ortogonales entre s) (2) (todos los vectores columna son normales: mdulo = 1).

Dem.: ( )( )

( )[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

=

=

nTnTnTn

nTTT

nTTT

n

Tn

T

T

T

vvvvvv

vvvvvvvvvvvv

vvv

v

vv

IAA

####

#

21

22212

12111

212

1

,,,

=

=

>==1), es decir que v1, v2, ..., vk son LI. Consideremos la ecuacin c1 v1+ c2 v2 + ... + ck-1 vk-1 + ck vk = (1) premultiplicando por A resulta c1 A v1 + c2 A v2 + ... + ck-1 A vk-1 + ck A vk = como A vi = i vi tenemos c1 1 v1 + c2 2 v2 + ... + ck-1 k-1 vk-1 + ck k vk = (2) multiplicando (1) por k obtenemos c1k v1 + c2 k v2 + ... + ck-1 k vk-1 + ck k vk = (3) restando (2) (3) resulta c1(1 k) v1 + c2(2 k) v2 + ... + ck-1(k-1 k) vk-1 = (4) como los vectores v1, v2, ..., vk-1 son LI la ecuacin (4) se verifica slo si todos los coeficientes son nulos, es decir: ci(i k) = 0 (i=1,2,...,k1) pero como i k (i=1,2,...,k1) entonces, debe ser ci = 0 (i=1,2,...,k1) y la ecuacin (1) queda reducida a ck vk = como vk es vector propio no es el vector nulo y debe ser ck = 0 de modo que los k vectores propios son LI. 1.2.1 Diagonalizacin de matrices Se dice que una matriz Anxn es diagonalizable sii es semejante a una matriz diagonal que tiene en su diagonal principal los valores propios de A, o sea, si existe una matriz P no singular tal que P-1A P= La condicin necesaria y suficiente para que una matriz Anxn sea diagonalizable es que se puedan extraer n vectores LI del conjunto de sus vectores propios. La matriz P (o matriz modal) se forma con n vectores propios LI (uno asociado a cada valor propio) ordenados como vectores columna. Si la ecuacin caracterstica de A admite n races o valores propios diferentes, entonces hay n vectores propios LI y es diagonalizable sobre el cuerpo de los complejos. Ejemplo 1: en el ejemplo anterior la matriz de paso sera


24

=

220111

121P cuya inversa es

=

2/111011

2/1101P

podemos verificar que P-1A P = =

300020001

el orden en que aparecen

los valores propios de depende del orden en que tomamos los vectores propios para formar la matriz P.

Ejemplo 2:

===+=

=

ii

IAA2

204

31313

2

12

Para 1 = 2i tenemos

==

=

ivxix

xx

ii

231

)23(00

2313123 1

122

1

Para 2 = 2i tenemos

+=+=

=

++

ivxix

xx

ii

231

)23(00

2313123 2

122

1

La matriz modal puede ser

+

+==

+=

123123

44

232311 1

iiiPiP

iiP

(recordar que ii

=1 ) Si la ecuacin caracterstica admite races mltiples, la matriz puede no ser diagonalizable. La condicin para que una matriz Anxn sea diagonalizable es que a toda raz i de orden de multiplicidad m corresponda un sistema (A - iI) x = de rango (n-m) que determina m vectores caractersticos LI, es decir, que la dimensin del espacio caracterstico correspondiente al valor propio i sea m. Ejemplo 3:

[ [........Seccin 1.8: Resolucin utilizando Microsoft Excel

25

====++=

=4

201612

466353331

3

213

IAA

si tomamos para x2 y x3 dos pares de valores no proporcionales obtenemos dos vectores LI que constituyen la base del espacio solucin corres-pondiente al valor propio 2 de orden de multiplicidad 2; por ejemplo:

=

=

011

101

21 vv

para 3 = 4

=

=

=211

18361818

066393333

4 3vIA

La matriz modal puede ser

=

111131022

21

201110131

1P

podemos verificar que

==

400020002

1APP

Ejemplo 4:

====+=

=

10

01004311293

3

2123

IAA

para 1 = 2 = 0 tenemos (A 0 I) = A; como el rango de esta matriz es 2 y tiene 3 columnas su nulidad es 1 y, por lo tanto, slo podemos obtener un vector LI como solucin del sistema (A 0 I) x = ; efectivamente, todos los vectores solucin sern de la forma (3x2, x2, 0)T y no podemos obtener dos vectores propios LI correspondientes al valor propio 0 cuyo orden de multiplicidad es 2. Por lo tanto, la matriz A no es diagonalizable.


26

FORMA CANNICA DE JORDN: cuando el nmero de vectores propios linealmente independientes de A es menor que n, la diagonalizacin es imposible. Sin embargo, siempre es posible someter A a una transformacin semejante VAVJ 1= , donde V es una matriz no singular que reduce la matriz A a su forma cannica de Jordn. La forma cannica de Jordn de cualquier matriz cuadrada A es una matriz cuadrada J de la misma dimensin que A con las siguientes propiedades: 1) los elementos de su diagonal principal son los valores propios de A, apareciendo los valores propios mltiples en posiciones adyacentes. 2) los elementos de la diagonal arriba de la diagonal principal son cero o la unidad. Solamente los elementos que estn a la derecha de un valor propio que va a ser repetido pueden ser iguales a la unidad. 3) todos los dems elementos de la matriz son ceros.

por ejemplo

=

4

3

2

1

000100000001

J donde 1=2 y 3=4

En el ejemplo 3 la matriz de Jordn es

=

400020012

J

y en el ejemplo 4

=

100000010

J

Si todas las races son diferentes la matriz de Jordn coincide con la matriz diagonal . CLCULO DE LOS VECTORES PROPIOS POR ADJUNTOS: para obtener un vector propio vi correspondiente al valor propio i debemos resolver el sistema (A iI) vi = (1).


27

Si llamamos Bi a la matriz (A iI) y Bi* a su adjunta resulta |Bi| = |(A - iI)| = 0 (2) y Bi . Bi* = |Bi| I = , ya que el producto de una matriz por su adjunta es la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son iguales al determinante de la matriz. Si i es raz simple de la ecuacin caracterstica (2) el rango de Bi es (n-1); existe, entonces, por lo menos un adjunto no nulo, por lo que el rango de la matriz Bi* ser tambin, al menos, 1. Pero el rango de esta matriz es, como mximo, el orden de la matriz menos el rango de Bi: n (n1) = 1 (si el rango de la matriz Amxp es r y si la matriz Bpxn es tal que A.B = , el rango de B no puede ser mayor que pr). Por lo tanto, el rango de Bi* es 1; esto significa que toda columna de Bi* es CL de las restantes (son todas proporcionales entre s). Si llamamos ki* a una columna cualquiera k de la matriz Bi* resulta Bi. ki* = por lo tanto ki* es solucin de la ecuacin (1) y es un vector propio correspondiente al valor propio i, siempre que no sea el vector nulo. En lugar de construir la matriz adjunta Bi* se puede obtener directamente una de sus columnas calculando los adjuntos de una fila cualquiera de Bi (siempre que no sean todos nulos) y formando con ellos el vector columna vi.

Ejemplo 1:

===

=++=

=

21

1022

220041670

3

2

123

IAA

( )

=

20624701

TIA

+

==

7)4(226)2(2

)4(612)2(7)2)(4()(*

IAAdjB


28

B1* (para 11 = ) =

422633

1899 cualquiera de su columnas es un

vector propio correspondiente a 1 pero tambin podramos haberlo

obtenido directamente de

=

320031671

1B tomando, por ejemplo, los

adjuntos de la 1 fila:

=239

1v

De manera similar obtenemos

=

215

2v y

=

124

3v

=

122213459

P

Ejemplo 2:

===

==

=

331

0)9)(1(9012

010609

3

2

12

IAA

=

10012000608

1B no podemos tomar los adjuntos de la primera fila ni

los de la tercera, porque se anulan todos, pero s los de la segunda:

=

=

010

08

011 vov

=

12012020606

2B tomando los adjuntos de la 1 fila:


29

=

101

24024

2 v

=

60120406012

3B tomando los adjuntos de la 1 fila:

=

201

48024

3 v

La matriz modal ser

=

210001110

P cuya inversa es

=101102

0101P

PROPIEDADES DE LAS MATRICES SEMEJANTES: S1) A B y B C A C (transitiva) Dem.: A B A = P-1 B P si premultiplicamos por P y posmultiplicamos por P-1 resulta P A P-1 = B (1)

B C B = Q-1 C Q (2) de (1) y (2) P A P-1 = Q-1 C Q A = P-1 Q-1 C Q P haciendo Q . P = R R-1 = P-1 . Q-1 A = R-1 C R Si dos matrices son semejantes: S2) tienen la misma traza A B tr(A) = tr(B) Dem.: A B A = P-1 B P tr(A) = tr(P-1 B P ) = tr[(P-1 B) P] (por propiedad asociativa de producto de matrices)


30

= tr[P(P-1 B)] (por prop. conmutativa de la traza de producto de matrices) = tr[(P P-1)B] (por propiedad asociativa de producto de matrices) = tr(B) S3) tienen igual determinante A B |A| = |B| Dem.: A B A = P-1 B P |A| = |P-1 B P| = |P-1| |B| |P| (por propiedad del determinante de producto de matrices) = |B| |P-1| |P| (por propiedad conmutativa del producto de nmeros reales y complejos) = |B| |P|-1 |P| (porque |P-1| = |P|-1 ) = |B|

S4) tienen el mismo rango: A B r(A) = r(B) porque son matrices equivalentes (representan la misma TL) S5) tienen igual polinomio caracterstico y, por lo tanto, iguales valores y vectores propios: A B |A I| = |B I|

Dem.: A B A = P-1 B P A I = P-1 B P I = P-1 B P P-1 P = P-1 (B I) P (A I) (B I) |AI| = | B I| (prop. S3) S6) si A B An = P-1 Bn P Dem.: A B A = P-1 B P A2 = (P-1 B P) (P-1 B P) = P-1 B P P-1 B P = P-1 B2 P A3 = (P-1 B2 P) (P-1 B P) = P-1 B2 P P-1 B P = P-1 B3 P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . si Ak = P-1 Bk P Ak+1= (P-1BkP) (P-1 B P) = P-1 Bk+1 P q.q.d. OBSERVACIONES sobre las relaciones entre los coeficientes del polinomio caracterstico, los valores propios y los elementos de la matriz A:

Si P() = |A I| = ()n + 1 ()n-1 + 2 ()n-2 + ... + n-1 () + n 1) la suma de los valores propios de A es igual al coeficiente 1 y es igual a la traza de A:

1 = =

n

1ii =

=

n

1iiia = tr(A)

2) el producto de los valores propios de A es igual al coeficiente n y es


31

igual al determinante de A: n = i=n

1i = |A|

3) los coeficientes i son iguales a las sumas de todos los menores de orden i de |A| que contienen en su diagonal principal elementos de la

diagonal principal de A. Hay

in

menores principales de orden i.

Tambin son iguales a la suma de todos los productos posibles de los

valores propios de A tomados de i en i. Hay

in

productos posibles.

La observacin 1) corresponde a i = 1 y la 2 a i = n 4) si la matriz A es diagonalizable el nmero de valores propios no nulos

de A es igual al rango de A. Para probar las primeras tres observaciones con respecto a los valores propios de A recordamos que si A es diagonalizable es semejante a una

matriz diagonal

=

n

""""""

"""

000

000000000

3

2

1

donde i son los valores

propios de A. Como las matrices semejantes tienen igual polinomio caracterstico: | I| = |A I |. Supongamos que sea de dimensin 3 x 3

==

= ))()((

000000

321

3

2

1

I

+++++++=

== ii

321

3212132312

3213 )()()(

Si es una matriz 4x4 == ))()()(( 4321 I


32

+

++++==

34321

4 )()(1

i

+++++++ 24342324131212

)(

+++++= i

43

4321432431421321 )(

De manera similar se procede para una matriz de dimensin nxn. Si la matriz A no es diagonalizable es siempre semejante a una matriz de Jordn y tienen el mismo polinomio caracterstico. Como la matriz de Jordn es una matriz triangular, tambin lo es la matriz (J I) de modo que |J I| = (1) (2) ... (n) = |AI| Para probar las primeras tres observaciones con respecto a los elementos de la matriz A, lo haremos considerando una matriz de dimensin 3x3; de manera similar se procede con una matriz nxn.

+

=

=

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

IA

=

+

3332

2322

1312

00

aaaaaa

+

+

3331

2321

1311

333231

232221

131211

0

0

aaaaaa

aaaaaaaaa

=

+

+

33

23

13

3332

2322

1312

000

0

00

aaa

aaaaaa

+

++

+=

0

000

0

000

31

21

11

3331

2321

1311

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaaaaa


33

=

+

+

+

+

000000

000

0

0000

00

33

23

13

32

22

12

3332

2322

1312

aaa

aaa

aaaaaa

+++++= )()()()(3332

2322211

3331

1311

2221

1211 aaaa

aaaaa

aaaa

A

=+++ 3233222 )()()( aa ++++

=

2

)(

3322113 )()()(

1

Atr

aaa

N3

2

)(3332

2322

3331

1311

2221

1211

Aaaaa

aaaa

aaaa +

+++

Con respecto a la cuarta observacin, si A es diagonalizable es semejante a la matriz y, por lo tanto, tienen el mismo rango. El rango de una matriz diagonal est dado por el nmero de elementos no nulos de su diagonal principal.

Ejemplo 1:

==

==++=

=

31

0032

220110111

3

2

123

IAA

1 = 2 2 = -3 3 = 0 1) Con valores propios: 1 = i = 0 -1+3 = 2 2 = 12+13+23 = 0(-1) + 0.3 + (-1)3 = -3 3 = i = 0 (-1) 3 = 0 2) Con elementos de la matriz: 1= tr(A) = -1+1+2 = 2 3201

2011

2211

1011

2 =+=++= 3 = |A| = 0


34

Ejemplo 2:

==

==

=i

IAA27

21

10232

120021041

3,2

123

1 = i = 1 12 + 27

i 12

- 7

2i = 2 = tr(A)

2 = (1) ( 12 +7

2i) + (1) ( 1

2 7

2i) + (

12

+ 7

2i) (

12

72

i) =

= 12

72

i + 12

+ 7

2i +

14

74

i2 = 3

312210

0112

022141

2 =+=++

=

3 = i = 1( 12 +7

2i) (

12 7

2i) = ( 1

4 +

74

) = 2 = |A|

Ejemplo 3:

=1002

012010312001

A

===

=++=3

31

091264

4,3

2

1234

IA

1 = i = 4 + 3 i 3 i = 4 = tr (A) 4 = i = 3. 3 i ( 3 i) = 9=|A| 2 = 1.3 + 1. 3 i 1. 3 i + 3. 3 i 3. 3 i 3 i 3 i = 6

610

0110

131203

1221

1001

3101

2 =+++++=


35

3 = 1.3 3 i + 1.3 ( 3 i) + 3. 3 i ( 3 i) + 1. 3 i ( 3 i) = 12

12100

012103

102010201

102131201

120031001

3 =

+

+

+=

Teorema: ninguna raz caracterstica de la matriz cuadrada A puede tener mdulo mayor que la mxima suma de los mdulos de los elementos de cada fila ni que la mxima suma de los mdulos de los elementos de cada columna, o sea || min { }CF , donde denota cualquier raz caracterstica de la matriz A,

===

n

jijii

iaFFF

1

max

=

==n

iijjjjaCCC

1max

Dem.: si es raz caracterstica de A, entonces, existe un vector no nulo

=

nx

xx

x #2

1

tal que x=Ax o sea 1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn n

x a x a x a xx a x a x a x

x a x a x a x

= + + + = + + + = + + +

""

""""""""

(1)

tomando mdulos m. a m. la 1 ecuacin resulta: |x1| |a11x1| + |a12x2| + ... + |a1nxn| por desigualdad triangular || |x1| |a11| |x1| + |a12| |x2| + ... + |a1n| |xn| por mdulo de producto de escalares. Operando de modo similar con las dems ecuaciones, el sistema (1) resulta

+++

++++++

nnnnnn

nn

nn

xaxaxax

xaxaxaxxaxaxax

""""""""""

2211

22221212

12121111


36

sumando m. a m. estas desigualdades y sacando factor comn || en el 1er. miembro y |xi| en cada columna del 2do. miembro obtenemos: ( ) ( ) +++++++ 11211121

1

xaaaxxxC

nn ""

( ) +++++ 2222122

xaaaC

n " ( ) nC

nnnn xaaan

"" +++++ 21

como Cj C resulta || (|x1| + |x2| + ... + |xn|) C (|x1| + |x2| + ... + |xn|) como x es un vector propio sus componentes no pueden ser todas nulas, de modo que la suma de sus mdulos ser positiva; dividiendo m. a m. por dicha suma || C Como una matriz cuadrada A y su traspuesta AT tienen el mismo polinomio caracterstico, y por lo tanto, iguales races, partiendo de la ecuacin x = Atx se demuestra que || F

FyCsi

min {F, C} que es lo que se quera demostrar.

MATRIZ IDEMPOTENTE: una matriz cuadrada es idempotente sii es igual a

su cuadrado: A = A2 por ejemplo:

=2/12/12/12/1

A

Todas sus races caractersticas son iguales a 0 a 1 MATRIZ INVOLUTIVA: una matriz cuadrada es involutiva sii su cuadrado es

la matriz identidad: A2 = I por ejemplo:

= 1001

A

Todas sus races son iguales a 1 a 1 MATRIZ NILPOTENTE: una matriz cuadrada es nilpotente sii cierta

potencia suya es la matriz nula: Ak= (k 1) por ejemplo:

=0200

A

El menor exponente para el cual la potencia de A es nula se denomina ndice de nilpotencia (en el ejemplo, el ndice es 2). Todas sus races son nulas.


37

1.2.2. Diagonalizacin de matrices simtricas Los valores propios de una matriz simtrica real son todos reales. Los vectores propios asociados a diferentes valores propios de una matriz simtrica son ortogonales. A cada valor propio de una matriz simtrica corresponden tantos vectores propios LI como el orden de multiplicidad del valor propio. Por lo tanto, toda matriz simtrica real es diagonalizable sobre el campo de los reales con una matriz de paso (o modal) ortogonal. Ejemplo 1:

===

=++=

=

963

01629918520262

027

3

2

123

IAA

=

=

=

221

2442

220232

0243 1vIA

2121 0 vvvv =><

=

=

=

212

2424

120202

0216 2vIA

3232 0 vvvv =><

=

=

=

12

24

48

8

420232

0229 3vIA

3131 0 vvvv =>< como los vectores propios son ortogonales entre s, basta normalizarlos: u1= 1/3 v1, u2= 1/3 v2, u3= 1/3 v3 entonces podemos diagonalizar la matriz simtrica A mediante la matriz ortogonal P


38

=122212

221

31P de modo que

==

900060003

APPT

Ejemplo 2:

=

7212102

127A

=

===++=

12

6043218024

3

2123

IA

=

121242

1216 IA las soluciones del sistema A - 6I = son de

la forma 321 2 xxx = . Si x2 = x3 =1 tenemos el vector propio [ ]Tv 1,1,11 = . Para cada par de valores no proporcionales a los ya dados

tendremos un vector propio LI de v1. Como nos interesa que sean ortogonales pedimos que su producto interno sea 0 1.x1 + 1.x2 + 1.x3 = 0; como tambin debe ser vector propio para =6 debe ser x12 x2 + x3 = 0. La solucin de este sistema implica

==

0231

xxx

entonces puede ser

[ ]Tv 1,0,12 =

=

=

=

12

16

46126

521222

12512 3vIA

podemos comprobar que v3 es ortogonal a v1 y a v2; para obtener una matriz de paso ortogonal debemos normalizarlos:


39

como |v1| = 3 ; |v2| = 2 ; |v3| = 6

=

61

21

31

620

31

61

21

31

P

Ejemplo 3:

====+=

=

20

0210

02001

3

2123

IA

i

iA

A 0I = A es una matriz de rango 2 de modo que no pueden obtenerse 2 vectores propios LI (la nulidad es 1) y la matriz A no es diagonalizable. Ejemplo 4:

====++=

=6

305427

124222421

3

213

IAA

==

=+120

22424212424

3 1132 vxxxIA para obtener v2

ortogonal a v1 resolvemos el sistema

==++

132

321

220120

xxxxxx

una solucin es

=

425

2v


40

=

=2

12

524282425

6 3vIA podemos comprobar que los tres

vectores propios son ortogonales entre s, los normalizamos para obtener la matriz de paso ortogonal:

=

=5243

5265250

531

32

534

51

31

532

52

32

5350

P

=

=

600030003

APPT

Teorema: los autovalores (o valores propios) de una matriz simtrica real son todos reales. Dem.: sea A una matriz simtrica real y P()= |AI| su polinomio caracterstico (con coeficientes reales por ser A una matriz real). Si existiera una raz compleja 1= + i existira su conjugada 2 = i. Formamos la matriz B = (A1I) (A2I) = [A (+i) I] [A (iI)] = A2 A +Ai I A i A + (2+2) I2 = A2 2A + 2 I2 + 2 I2 = (A I)2 + 2 I teniendo en cuenta que A es simtrica se puede expresar B = (A I)T (A I) + 2 I . Como B es una matriz singular (producto de dos matrices singulares de la forma A iI) existe un vector x / Bx= Si premultiplicamos esta ltima igualdad m.a m. por xT xTB x = xT = 0 reemplazando: xTB x = xT (A I)T (A I) x + xT 2 I x = 0 = [(A I) x]T [(A I) x] + 2 I x = 0 = + 2 = 0 como el primer trmino del 2do. m. es el cuadrado de la norma de (A I)x es no negativo y en el segundo trmino es el cuadrado de la norma de x que debe ser positiva por ser x un vector propio, de modo que para que


41

se verifique la igualdad deben ser ambos trminos nulos. El segundo trmino slo puede anularse si = 0, lo que implica que no puede haber races complejas, en ese caso = y el producto (A I) x . (A I) x es el vector nulo, cuya norma es cero, de modo que el primer trmino tambin se anula. Teorema: los autovectores (o vectores propios) de una matriz simtrica asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Dem.: sea la matriz simtrica A y 12 autovalores de A; sean x1 y x2 autovectores asociados a 1 y 2, respectivamente. Se tiene que A x1 = 1 x1 y A x2 = 2 x2 (1) por definicin de producto interior eucldeo: = (A x1)T x2

= (x1)T AT x2 = (x1)T Ax2 = resulta entonces = por (1) = 1 = 2 (1 2) = 0 como 1 2 debe ser = 0 entonces x1 y x2 son ortogonales 1.2.3. Teorema de Cayley-Hamilton Toda matriz cuadrada satisface a su propia ecuacin caracterstica, es decir, si Anxn tiene por ecuacin caracterstica |A I| = 0, siendo |A I| un polinomio de grado n en : P() = c0 + c1 + c22 + ... + cn-1 n-1 + cnn (1) se verifica P(A) = o sea c0 I + c1 A + c2 A2 + ... + cn-1 An-1 + cn An = (2) Dem.: llamemos M a la matriz (A I) y M a su adjunta como M-1 =

1| |M

Adj(M) = 1

| |M M ser M = |M| M-1

premultiplicando por M M M = |M| I M M = P() I (3) pero la matriz M es una matriz cuyos elementos son polinomios de grado a lo sumo (n1) en (los determinantes adjuntos de cada elemento de la matriz traspuesta de M) y por lo tanto puede escribirse como un polinomio matricial de grado (n1) en , o sea:


42

M = M0 + M1 + M2 2 + ... + Mn-2 n-2 + Mn-1 n-1 (4) donde las Mi son matrices Por otro lado M M = (A I) M M M = A M M (5) igualando (3) y (5) resulta A M M = P() I reemplazando M por (4) y P() por (1): A (M0 + M1 + M22 + ... + Mn-2 n-2 + Mn-1 n-1) (M0 + M1 + M22 + ... + +Mn-2 n-2 + Mn-1 n-1) = (c0 + c1 + c2 2 + ... + cn-1 n-1 + cn n) I efectuando las operaciones indicadas: A M0 + (A M1 M0) + (A M2 M1) 2 + ... + (A Mn-2 Mn-3) n-2 + + (A Mn-1 Mn-2) n-1 Mn-1n = =c0 I + c1 I + c2 I 2 + ... + cn-2 I n-2 + cn-1 I n-1 + cn I n (6)

Igualando coeficientes homlogos en (6)

premultiplicados por

resulta

A M0 = c0 I I A M0 =c0 I A M1 - M0 = c1 I A A2 M1 - A M0 = c1 A A M2 - M1 = c2 I A2 A3 M2 - A2M1 = c2 A2 ..................................... .......................... ............................................. A Mn-2 - Mn-3 = cn-2 I An-2 An-1 Mn-2 - An-2 Mn-3 = cn-2 An-2 A Mn-1 - Mn-2 = cn-1 I An-1 An Mn-1 - An-1 Mn-2 = cn-1 An-1 -Mn-1 = cn I An -An Mn-1 = cn An

sumando m. a m. las igualdades de la ltima columna obtenemos (2) q.q.d. Otro mtodo para calcular A-1: si A es una matriz no singular no hay valores propios nulos y, por lo tanto, c0 0. Si multiplicamos m. a m. (2) por A-1 y despejamos: A-1 =

10c

(c1I + c2 A + c3 A2 + ... + cn-1 An-2 + cn An-1)

Ejemplo 1: 64102021201

23 +=

= IAA


43

( )

+

+

=+=

408084804

504243

405

614

61 21 IAAA

=

+

204231

402

61

100010001

Ejemplo2:

51233

101231002120

0031

234 ++=

= IAA

( )

+

+

=++=

339120391893612

189273

84192321264113101561513

123351 231 IAAAA

=

+

+27746162112

11123331

51

12000012000012000012

30369300

63600093

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages false /GrayImageDownsampleType /None /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages false /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages false /MonoImageDownsampleType /None /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages false /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

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transformaciones lineales

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