transformaciones lineales

Transformaciones lineales

Enrique Morales [email protected]; [email protected]

Resumen

La ultima parte del curso de algebra lineal esta destinada a las transformacioneslineales. Estas notas inician desde la definicion de transformacion lineal y finalizacon diagonalizacion, ya en la parte de la matriz asociada a una transformacion linealy que son los temas hasta donde abarcara la ultima evaluacion parcial del curso enel semestre de primavera 2015.

Indice

3. Transformaciones lineales 23.1. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.1.1. Definicion de transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.2. Nucleo e imagen de una transformacion lineal . . . . . . . . . . . . 33.1.3. Nulidad y rango de una transformacion lineal . . . . . . . . . . . . 43.1.4. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2. Matriz de una transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.1. Matriz asociada a una transformacion lineal y matriz de cambio de

base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.2. Valores y vectores propios de una transformacion lineal . . . . . . . 113.2.3. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1

Transformaciones lineales

3. Transformaciones lineales

3.1. Transformaciones lineales

Las transformaciones son funciones que mapean un espacio vectorial V en un espaciovectorial W y se denota por:

T : V W (1)

y se usa la terminologa estandar para las funciones, esto es, V se llama dominio de T yW se llama codominio de T .

Si v V y w W tal queT (v) = w (2)

entonces w se llama imagen de v bajo T .El conjunto de todas las imagenes de los vectores en V se llama rango de T y el

conjunto de todos los v V tal que T (v) = w se denomina preimagen de w

3.1.1. Definicion de transformacion lineal'

&

$

%

Definicion de transformacion linealSean V y W espacios vectoriales. La funcion T : V W se llama transfor-macion lineal de V en W si las dos propiedades siguientes se cumplen paratodo u y v en V y para cualquier escalar c

1. T (u+ v) = T (u) + T (v)

2. T (cu) = cT (u)

Teorema 6.1 (Propiedades de las transformaciones lineales)Sea T una transformacion lineal de V en W , donde u, v V . Entoncesse cumple que:

1. T ( 0V

) = 0W

2. T (v) = T (v)

3. T (u v) = T (u) T (v)

4. Si v = c1v1 + c2v2 + + cnvn, entoncesT (v) = T (c1v1 + c2v2 + + cnvn)T (v) = c1T (v1) + c2T (v2) + + cnT (vn)

2Algebra lineal - primavera 2015

Transformaciones lineales Transformaciones lineales

Ejemplo: Sea T : R3 R3 una transformacion lineal tal que:

T (1, 0, 0) = (2,1, 4)T (0, 1, 0) = (1, 5,2)T (0, 0, 1) = (0, 3, 1)

determinar T (2, 3,2).Solucion:Dado que (2,3,-2) puede escribirse como la combinacion lineal de la base canonica de

R3(2, 3,2) = 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) 2(0, 0, 1),entonces la propiedad del Teorema 6.1 se puede escribir:

T (2, 3,2) = 2T (1, 0, 0) + 3T (0, 1, 0) 2T (0, 0, 1)= 2(2,1, 4) + 3(1, 5,2) 2(0, 3, 1)= (7, 7, 0)

99K fin del ejemplo L99

3.1.2. Nucleo e imagen de una transformacion lineal

Para cualquier transformacion T : V W , se tiene que T ( 0V

) = 0W

. Queremos

saber si existen otros vectores v V que produzcan que T (v) = 0. El conjunto de todosestos vectores se llamara kernel o nucleo de la transofrmacion T .

Definicion de kernel

Sea T : V W una trasformacion lineal. Entonces, el conjunto de todos losvectores en V que cumplen que T (v) = 0 se denomina kernel de T y se denotapor ker(T ).

Ejemplo:Encuentre el kernel de la transformacion lineal T : R3 R2 definida por T (x) = Ax,

donde

A =

[1 1 2

1 2 3

]

Solucion:El kernel es el conjunto de todos los x = (x1, x2, x3) R3 tales que T (x1, x2, x3) = (0, 0)



De donde se obtiene el siguiente sistema homogeneo

[1 1 2

1 2 3

]x1

x2

x3

=[0

0

];

x1 x2 2x3 = 0

x1 + 2x2 + 3x3 = 0

Al escribir la matriz aumentada del ultimo sistema lineal, tenemos:

[1 1 2 0

1 2 3 0

]De donde se obtiene que

x1 = x3

x2 = x3

Con el parametro t = x3 se obtiene la familia de soluciones

x1

x2

x3

= tt

t

= t

1

1

1

Por lo tanto, el kernel de T esta definido por

ker(T ) = {t(1,1, 1) : t es un numero real}

( Ejercicio 1:

Realizar todos los calculos de este ejemplo. Cuenta para calificacion )


3.1.3. Nulidad y rango de una transformacion lineal

El kernel es uno de los dos subespacios crtico asociados a una transformacion, el otroes el rango (o alcance).

Definicion del rango y la nulidad de una transformacion lineal

Sea T : V W una trasformacion lineal. La dimension del kernel de T sellama nulidad de T y se denota como nulidad(T ). La dimension del rangode T se denominarango de T y se denota como nulidad(T )



Teorema 6.5 (Suma del rango y la nulidad)Sea T : V W una trasformacion lineal de un espacio vectorial Vn-dimensional a un espacio vectorial W . Entonces, la suma de las di-mensiones del rango y el kernel es igual a la dimension del dominio. Esdecir:

rango(T ) + nulidad(T ) = n

o bien,dim(rango) + dim(kernel) = dim(dominio)

Ejemplo:Sea T : R3 R3 una transformacion lineal definida por la matriz

A =

1 0 2

0 1 1

0 0 0

Encontrar la nulidad de T .

Solucion:Dado que A esta en forma escalonada por renglones y contiene dos renglones diferentes

de cero, su rango es igual a 2. As el rango de T es 2 y la nulidad de T esta dada pornulidad=dim(dominio)-rango= 3 2 = 1.


3.1.4. Isomorfismos

Hasta esta parte del curso hemos usado indistintamente vectores y matrices; de hecho,hemos utilizado las mismas operaciones para unos y para otras, por ejemplo, para espaciosvectoriales R3 y M3,1 las operaciones utilizadas son las mismas, por lo que podramosconsiderarlos esencialmente lo mismo. De hecho isomorfo es una palabra griega quesignifica de la misma forma (iso=igual, morfos=forma).

Definicion de isomorfismo

Una transformacion lineal T : V W en la que existe un elemento de W paracada elemento de V y tanto el espacio vectorial V como el espacio vectorial Wson de dimension n, entonces la transformacion es un isomorfismo.


Transformaciones lineales Matriz de una transformacion lineal

Teorema 6.9 (Espacios isomorfos y dimension)Dos espacios vectoriales V y W son isomorfos si y solo si tienen la mismadimension.

Ejemplo:Los siguientes espacios vectoriales son isomorfos entre s:

a) R4 = espacio de 4 dimensiones

b) M4,1 = espacio de todas las matrices de 4 1

c) M2,2 = espacio de todas las matrices de 2 2

d) p3 = espacio de todos los polinomios de grado menor o igual a 3

e) V = {(x1, x2, x3, x4, 0) : xi es un numero real} (subespacio de R5)

En este ejemplo se establece que los elementos de los espacios vectoriales enumeradosse comportan de la misma forma que los vectores, aun cuando son entidades matematicasdistintas.

3.2. Matriz asociada a una transformacion lineal

3.2.1. Matriz asociada a una transformacion lineal y matriz de cambio debase

Matriz asociada a una transformacion lineal

Una transformacion puede representarse al menos de dos maneras:

T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2 x3,x1 + 3x2 2x3, 3x2 + 4x3) (3)

o

T (x) = Ax =

2 1 1

1 3 2

0 3 4

x1

x2

x3

(4)La segunda representacion es mejor que la primera al menos por tres razones: Es

mas facil de escribir, mas facil de leer y se adapta mejor para utilizarse en tareas decomputo. Ademas, ofrece ventajas teoricas y en esta parte del curso veremos que una



transformacion lineal con espacios vectoriales de dimension finita siempre es posible larepresentacion matricial.

La clave para representar una transformacion lineal T : V W por medio de unamatriz es determinar como actua T sobre una base de V .

Recordemos que la base estandar de Rn, escrita en notacion de columna, esta definidapor:

B = {e1, e2, . . . , en} =

1

0

...

0

,

0

1

...

0

, ,

0

0

...

1

(5)

Teorema 6.10 (matriz estandar de una transformacion lineal)Sea T : Rn Rm una transformacion lineal tal que:

T (e1) =

a11

a21

...

am1

, T (e2) =

a12

a22

...

am2

, , T (en) =

a1n

a2n

...

amn

.

Entonces la matriz de m n cuyas n columnas corresponden a T (ei),

A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n...

.... . .

...

am1 am2 amn

es tal que T (v) = Av para toda v en Rn. A se denominamatriz estandarpara T .

Ejemplo:Determine la matriz estandar de la transformacion lineal T : R3 R2 definida por:

T (x, y, z) = (x 2y, 2x+ y). (6)



Solucion: Se empieza por encontrar las imagenes de e1, e2 y e3:Para e1, le aplicamos la transformacion definida en la ecuacion (6):El primer vector de la base, esta dado por T (1, 0, 0), con x = 1, y = 0 y z = 0, por lo

que al sustituir estos valores en la ecuacion 6, tenemos:

T (e1) = [1 2(0), 2(1) + 0] = (1, 2)

que escrito en su forma matricial, tenemos:

T (e1) = T

1

0

0

=

[1

2

].

De la misma manera, procedemos con los vectores base restantes y obtenemos:

T (e2) = T

0

1

0

=

[2

1

].

y

T (e3) = T

0

0

1

=

[0

0

].

Aplicando el teorema 6.10, tenemos que las columnas de A constan de T (e1), T (e2) yT (e3), entonces:

A = [T (e1) : T (e2) : T (e3)] =

[1 2 0

2 1 0

]. (7)


NOTA: Veamos que por simple inspeccion (con un poco de practica) podemos es-

cribir la matriz de transformacion escribiendo en cada renglon los coeficientes de cadacomponente de la transformacion: en nuestro ejemplo, en la matriz (7), el primer renglon



corresponde al primer componente de la transformacion y como no tiene zeta le corres-pondio un cero; en la ecuacion (6): 1x 2y + 0z y en la matriz (7): 1 2 0.

Ejemplo: 2: Por simple inspeccion escribir la matriz de la transformacion dada por:

T (x1, x2, x3) = (x1 2x2 + 5x3, 2x1 + 3x3, 4x1 + x2 2x3)

Solucion:

A =

1 2 5

2 0 3

4 1 2


Matriz de cambio de base

Sea V un espacio vectorial de dimension finita y sean B = (b1, b1, . . . , b1) y B =

(b1, b1, . . . , b

1) dos bases ordenadas para V . Nuestro trabajo en esta parte del curso es

encontrar una matriz C que transforme el vector columna vb del vector v V , en elvector columna vb , esto es, debe cumplirse que:

Cvb = vb (8)

Y para ello enunciamos el siguiente teorema:

Teorema (matriz de cambio de base)

Sean B = (b1, b1, . . . , b1) y B = (b1, b

1, . . . , b

1) bases ordenadas para

el espacio vectorial V . La matriz C de cambio de base respecto a lasbases B, B que satisface la ecuacion (8) se halla reduciendo la matrizaumentada: [

b1, b1, . . . , b1 | b1, b1, . . . , b1]

a [I|C].Esta matriz C es invertible y su inversa es la matriz de cambio de baserespecto a B, B

Ejemplo: 1:Considerar la base ordenada B = [(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)] para R3. Hallar la matriz

de cambio de base respecto a las bases E, B, donde E es la base ordenada canonica paraR3.



Solucion:Recordemos que la base canonica para R3 es:

E =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Aplicando el teorema, ya con B escrita en forma matricial, tenemos:

1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0

0 1 1 0 0 1

a la cual hay que aplicarle la reduccion de Gauss-Jordan, para obtener( Ejercicio 2: Realizar la reduccion Gauss-Jordan que menciona este ejemplo. Cuenta para calificacion ):

1 0 0 1

212

12

0 1 0 12

12

12

0 0 1 12

12

12

Por lo tanto la matriz de cambio de base C es:

C =

12

12

12

12

12

12

12

12

12


Ejemplo: 2:Sea el vector definido en la base canonica en R3:

2

2

4

10

Algebra lineal - primavera 2015


Usando la matriz de cambio de base del ejercicio anterior, encontrar las coordenadasde dicho vector respecto a B.

Solucion:Sabemos que CvE = vB, as que multiplicamos:Ejercicio 3:

Realizar la multiplicacion indicada en este ejemplo. Cuenta para calificacion

12

12

12

12

12

12

12

12

12

2

2

4

=

2

4

0

As que con respecto a la base B, el vector tiene coordenadas:

2

4

0

Significado de este ejemplo: Ya debemos saber que la mencionada base canonica

no es otra cosa que los ejes coordenados x, y y z (del sistema cartesiano), as que lascoordenadas del vector son las distancias perpendiculares del final del vector hacia cadauno de los ejes. La nueva base significa que se ha definido un nuevo sistema cartesianollamado B y las nuevas coordenadas (el resultado del segundo ejemplo) son las distanciasperpendiculares del final del mismo vector pero ahora con respecto a los nuevos ejes. Encursos mas adelantados se vera algo parecido que se llamara rotacion de ejes.


3.2.2. Valores y vectores propios de una transformacion lineal

En la literatura generalmente se maneja el nombre de eigenvalor para el valor propioy eigenvector para el vector propio, esto debido a que en aleman eigenwert significa,precisamente, valor propio.

Si consideramos a una matriz A de n n, nuestro interes se centra en descubrir siexisten vectores x Rn tales que sean multiplos escalares precisamente del vector x,esto es, que cumplan que:

Ax = x (9)

El valor escalar se llama eigenvalor y el vector x se llama eigenvector .



'

&

$

%

Definicion de eigenvalor y eigenvectorSea A una matriz de nn. El escalar se denomina eigenvalor de A si existeun vector x diferente de cero tal que

Ax = x

El vector x se llama eigenvector de A correspondiente a .

Ejemplo:Comprobar que x = (1, 0) es un eigenvector de la matriz A correspondiente al eigen-

valor = 2

A =

[2 0

0 1

]

Solucion:Multipliquemos A por x:

Ax =

[2 0

0 1

][10

]=

[20

]= 2

[10

]Por lo que podemos concluir que efectivamente, = 2 y el vector x es el mismo, tanto

para la matriz A como para el eigenvalor.

Teorema 7.2 (Eigenvalores y eigenvectores de una matriz)Sea A una matriz de n n

1. Un eigenvalor de A es un escalara tal que

det(I A) = 0 (10)

2. Los eigenvectores de A correspondientes a son las soluciones di-ferentes de cero de

(I A)x = 0 (11)

La cantidad entre parentesis de la ecuacion 10 se llama ecuacion caracterstica de A ycuando se desarrolla en forma de polinomio, este se llama polinomio caracterstico, estoes:



|I A| = cnn + cn1n1 + + c11 + c0 (12)

La determinacion de los eigenvalores y de los eigenvectores es uno de los principalesproblemas que se solucionan en ingeniera. A continuacion veremos ejemplos para deter-minarlos.

Ejemplo: Encontrar los eigenvalores y los eigenvectores de la matriz:

A =

[2 12

1 5

](13)

Solucion:Primera parte: encontrar los eigenvaloresFormemos la ecuacion caracterstica de la matriz; necesitamos (IA), entonces, para

nuestro caso, I es:

I =

[1 0

0 1

]Al multiplicar por , tenemos: I =

[1 0

0 1

]=

[ 0

0

]

Y si a este resultado le restamos A, tenemos

|I A| =

[ 0

0

]

[2 12

1 5

]=

[ 0

0

]+

[2 12

1 5

]=

[ 2 12

1 + 5

]

y procedemos a encontrar el determinante:

det

[ 2 12

1 + 5

]= ( 2)(+ 5) (1)(12)

= 2 + 3 10 + 12= 2 + 3+ 2

= (+ 1)(+ 2) (14)

Entonces las races del polinomio caracterstico (14) son los eigenvalores de la matriz(13):

1 = 1 (15)2 = 2 (16)



Segunda parte: encontrar los eigenvectoresPara ello aplicamos la reduccion Gauss-Jordan para resolver dos veces el sistema lineal

homogeneo dado por (I A)v = 0, primero para 1 = 1 y despues para 2 = 2.Para 1 = 1, la matriz de coeficientes es:

(1)I A =

[1 2 12

1 1 + 5

]=

[3 12

1 4

]

y al aplicarle la reduccion de Gauss-Jordan, tenemos:[1 4

0 0

]

Que indica que para el sistema lineal existe un numero infinito de soluciones, entonces,de la ecuacion del primer renglon:

x1 4x2 = 0 (17)

Tomamos el parametro x2 = tpor lo que todo eigenvector de 1 es de la forma:

x =

[x1

x2

]=

[4t

t

]= t

[4

1

], t = 0

Procedemos de la misma panera para 2 = 2, y tenemos:

(2)I A =

[2 2 12

1 2 + 5

]=

[4 12

1 3

]

y al aplicarle la reduccion de Gauss-Jordan, tenemos:[1 3

0 0

]

Ahora, si tomamos el parametro x2 = t en x2 3x2 = 0, todo eigenvector para 2 esde la forma:

x =

[x1

x2

]=

[3t

t

]= t

[3

1

], t = 0




NOTA:En realidad encontrar los eigenvalores es un tanto complicado ya que se deben

encontrar las races del polinomio caracterstico, cosa que no siempre resulta facil, pues ennuestro ejemplo tenemos un polinomio de segundo grado ya que la matriz era de 2 2; sila matriz es de 33 el polinomio sera de tercer grado y as por el estilo. En este curso nosdedicamos exclusivamente a las races reales del polinomio caracterstico, pero no siempreexisten solo races reales.

3.2.3. Diagonalizacion

Para enfrentar este tema debemos primero estudiar sobre la semejanza de matrices.

Matrices semejantes'

&

$

%

Definicion de matrices semejantesPara matrices cuadradas A y A de orden n, se dice que A es semejante a Asi existe una matriz invertible P tal que:

A = P1AP

Ejemplo: Las matrices

A =

[2 2

1 3

]y A =

[3 2

1 2

]

son semejantes ya que A = P1AP con

P =

[1 1

0 1

]

( Ejercicio 4: Realizar la comprobacion haciendo la multiplicacion P1AP )

Diagonalizacion

Recordemos que una matriz cuadrada diagonal es aquella cuya diagonal principal estaformada por valores diferentes de cero y las zonas triangulares por encima y por abajo dela diagonal principal estan formadas por ceros 1

Definicion de matriz diagonalizable

Una matriz de nn es diagonalizable si A es semejante a una matriz diagonal.Es decir, A es diagonalizable si existe una matriz invertible P tal que P1APes una matriz diagonal.

1Como en las matrices identidad I, pero ahora en la diagonal pueden estar valores diferentes de 1



Ejemplo: 1: Verificar si la matriz

A =

1 3 0

3 1 0

0 0 2

es diagonizable con P :

P =

1 1 0

1 1 0

0 0 1

Solucion:Debe demostrarse que las matrices cumplen que:

P1AP =

4 0 0

0 2 0

0 0 2

( Ejercicio 5: Encontrar P1 y realizar la multiplicacion P1AP )

Ejemplo: 2:Demostrar que la matriz

A =

1 1 1

1 3 1

3 1 1

es diagonalizable y determinar una matriz P que cumpla que P1AP sea diagonal.

Solucion:Primero debemos encontrar la matriz P , Esto se logra encontrando los eigenvalores y

los eigenvectores de A.El polinomio caracterstico de A es:

|I A| =

1 1 1

1 3 1

3 1 + 1

= ( 2)(+ 2)( 3)16

Algebra lineal - primavera 2015


( Ejercicio 6: Realizar las operaciones indicadas para llegar al resultado mostrado )

Por lo tanto los eigenvalores son 1 = 2, 2 = 2 y 3 = 3. Usando los eigenvalores,podemos encontrar los eigenvectores, y son, respectivamente:

Ejercicio 7: (VALOR: DOS PUNTOS)

Entregar en hojas blancas correctamente encontrados los eigenvectores.

Pueden consultar la pagina 440 del libro, valido solo con todos los calculos

1

0

1

,

1

1

4

y

1

1

1

y seran las columnas de la matriz P :

P =

1 1 1

0 1 1

1 4 1

La inversa de P es:

P1 =

1 1 015

0 15

15

1 15

( Ejercicio 8: Realizar las operaciones indicadas para encontrar P1 )

Entonces se concluye que:

P =

2 0 0

0 2 0

0 0 3

( Ejercicio 9: Realizar la multiplicacion P1AP )

FIN de las notas

Transformaciones linealesTransformaciones linealesDefinicin de transformacin linealNcleo e imagen de una transformacin linealNulidad y rango de una transformacin linealIsomorfismosMatriz de una transformacin linealMatriz asociada a una transformacin lineal y matriz de cambio de baseValores y vectores propios de una transformacin linealDiagonalizacin

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