transformaciones lineales

OBJETIVO

Resolver problemas relacionados con transformaciones lineales, mediante la interpretación y representación en

términos de matrices, determinantes, rango e inversa y sistemas de ecuaciones lineales, en situaciones reales,

propias de la ingeniería.

CONTENIDO:

7.1 DEFINICIONES Y PROPIEDADES

7.2 REPRESENTACION MATRICIAL. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE

7.3 ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES

7.4 NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

7.5 TRANSFORMACIONES LINEALES INVERSIBLES

7.6 TRANSFORMACIONES GRAFICAS EN R2


7.8 FORMAS LINEALES. ESPACIO DUAL

7.9 CUESTIONARIO

7.1 DEFINICIONES Y PROPIEDADES

En esta sección se definirán y estudiarán transformaciones lineales de un espacio vectorial U a un espacio

vectorial V. Analizaremos y demostraremos sus propiedades más importantes. La atención se centrará en una

clase especial de tales funciones denominadas transformaciones lineales. Las transformaciones lineales son

fundamentales en el estudio del álgebra lineal y tienen muchas aplicaciones importantes.

En este capítulo, estudiaremos un tipo especial de función definida en un espacio

vectorial U y que toma los valores que son vectores en el mismo o en otro espacio

vectorial V, las cuales no alteran a las combinaciones lineales. Esta función se llama

transformación lineal. Estas transformaciones se pueden representar por medio de

matrices, en el mismo sentido que los vectores se representan por medio de n-adas.

Esta representación requiere que se definan las operaciones de adición,

multiplicación por escalares y multiplicación de matrices, de modo que correspondan

a estas operaciones con las transformaciones lineales.

La matriz que representa a una transformación lineal de U hacia V, depende de la

elección de una base en U y una base en V. Nuestro primer problema, que se repite

siempre que se usan matrices para representar cualquier cosa, es ver en qué forma un

cambio en la elección de las bases determina un cambio correspondiente en la matriz

que representa a la transformación lineal. Dos matrices que representan la misma

transformación lineal con respecto a conjuntos diferentes de bases, deben tener

algunas propiedades en común. Esto conduce a la idea de relaciones de equivalencia

entre dos matrices. La naturaleza exacta de esta relación de equivalencia depende de

TRANSFORMACIONES LINEALES

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314

las bases que se permitan. En este capítulo no se imponen restricciones sobre las

bases que se permiten y obtenemos la clase de equivalencia más amplia.

DEFINICION 7.1.1

Sean U y V dos espacios vectoriales, ambos definidos sobre el mismo

cuerpo K. Una transformación lineal f de U hacia V es una aplicación

uniforme de U en V que asocia a cada elemento u de U, un elemento único

f(u) de V de tal forma que se cumplen los axiomas siguientes:

1.- Para todo u, v de U, entonces: f(u + v) = f(u) + f(v);

2.- Para todo u de U y para todo escalar , entonces: f(u) = f(u).

Observe que en esta identidad, la adición y la multiplicación escalar del primer

miembro, tienen lugar en U, mientras que las del segundo miembro tienen lugar en

V. A f(u) se le da el nombre de imagen de u bajo la transformación lineal f. Además

vemos que, para tener una transformación lineal,

f(u + v) = f(u) + f(v) y f(u) = f(u).

Hablando en términos generales, la imagen de la suma es la suma de las imágenes

y la imagen del producto es el producto de las imágenes. Este lenguaje descriptivo

se tiene que interpretar con cierta amplitud, ya que las operaciones antes y

después de aplicar la transformación lineal pueden llevarse a cabo en espacios

vectoriales diferentes.

EJEMPLO 7.1.1

Determinar cuál de las siguientes funciones f : R3 R

3, define una transformación

lineal:

a.- f((a, b, c)) = (a + 2b – 3c, 3a - b + 5c, a – b – c);

b.- f((a, b, c)) = (a + b + c, a + b + c, a + b + c);

c.- f((a, b, c)) = (2a - 2b + 3c, a – b + c, 3a - 5b + 3c);

d.- f((a, b, c)) = (3a - 5b, 2a - 2b, a + b2).

SOLUCION

Sean u = (m, n, p) y v = (r, s, t) dos vectores del espacio de salida R3 y sean ,

escalares, entonces:

u + v = (m + r, n + s, p + t).

a.- f(u + v) = (m + r + 2n + 2s - 3p - 3t, 3m + 3r - n - s + 5p +

+ 5t, m + r – n - s - p - t)

= (m + 2n - 3p, 3m - n + 5p, m - n - p) + (r + 2s - 3t,

3r - s + 5t, r - s - t)

= (m + 2n - 3p, 3m - n + 5p, m - n - p) + (r + 2s - 3t, 3r - s + 5t, r - s - t)

= f(u) + f(v).

Por lo tanto f es transformación lineal.

b.- f(u + v) = (m + r + n + s + p + t, m + r + n + s + p + t,

m + r + n + s + p + t)


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315

= (m + n + p, m + n + p, m + n + p) + (r + s + t, r + s + t,

r + s + t)

= (m + n + p, m + n + p, m + n + p) + (r + s + t, r + s + t, r + s + t)

= f(u) + f(v).


c.- f(u + v) = (2m + 2r - 2n - 2s + 3p + 3t, m + r - n - s + p +

t, 3m + 3r – 5n - 5s + 3p + 3t)

= (2m - 2n + 3p, m - n + p, 3m - 5n + 3p) + (2r - 2s + 3t,

r - s + t, 3r - 5s + 3t)

= (2m - 2n + 3p, m - n + p, 3m - 5n + 3p) + (2r - 2s + 3t, r - s + t, 3r - 5s + 3t)

= f(u) + f(v).


d.- f(u + v) = (3m + 3r - 5n - 5s, 2m + 2r - 2n - 2s, m + r + (n

+ s)2)

= (3m + 3r - 5n - 5s, 2m + 2r - 2n - 2s, m + r + 2n

2 + 2ns

+ 2s

2)

= (3m - 5n, 2m - 2n, m + 2n

2 + 2ns) + (3r - 5s, 2r - 2s, r

+ 2s

2)

f(u) + f(v).

Por lo tanto f no es transformación lineal.

EJEMPLO 7.1.2

Determinar cuál de las siguientes funciones f : P2 P2 define una transformación

lineal:

a.- f(p(x)) = p(x) – p(0); b.- f(p(x)) = p(x - 1) – p(1); c.- f(p(x)) = p(1 + x) – 2.

SOLUCION

Sean q(x) = d + ex + fx2 y h(x) = m + nx + kx

2 dos polinomios del espacio de

salida P2 y sean , escalares, entonces:

q(x) + h(x) = (d + m) + (e + n)x + (f + k)x2.

a.- Como p(x) = a + bx + cx2 y p(0) = a, obtenemos p(x) - p(0) = bx + cx

2,

entonces

f(a + bx + cx2) = bx + cx

2.

Aplicando la definición de transformación lineal, tenemos:

f(q(x) + h(x)) = (e + n)x + (f + k)x2

= (ex + fx2) + (nx + kx

2)

= (ex + fx2) + (nx + kx

2)

= f(q(x)) + h(x)).


b.- Como p(x - 1) = (a – b + c) + (b – 2c)x + cx2 y p(1) = a + b + c, obtenemos

p(x - 1) - p(1) = -2b + (b – 2c)x + cx2

entonces

f(a + bx + cx2) = -2b + (b – 2c)x + cx

2.


f(q(x) + h(x)) = -2(e + n) + (e + n - 2f - 2k)x + (f + k)x2

= {-2e + (e - 2f )x + fx2} + {-2n + (n - 2k)x + kx

2}

= {-2e + (e - 2f )x + fx2} + {-2n + (n - 2k)x + kx

2}

= f(q(x)) + h(x)).


c.- Como p(1 + x) = (a + b + c) + (b + 2c)x + cx2, obtenemos

p(x + 1) - 2 = (a + b + c – 2) + (b + 2c)x + cx2,

entonces

f(a + bx + cx2) = (a + b + c – 2) + (b + 2c)x + cx

2.


f(q(x) + h(x)) = (d + m + e + n + f + k – 2) + (e + n + 2f + 2k)x +


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316

+ (f + k)x2

= {(d + e + f - 2) + (e + 2f)x + fx2} + {(m + n + k) + (n + 2k)x

+ kx2}

= {(d + e + f - 2) + (e + 2f)x + fx2} + {(m + n + k) + (n + 2k)x + kx

2}

f(q(x)) + h(x)).


La observación acerca de la multiplicación escalar es inexacta, ya que no aplicamos

la transformación lineal a escalares; la transformación lineal se define únicamente

para vectores en U. Aún así, la transformación lineal conserva las operaciones

estructurales en un espacio vectorial y ésta es la razón de su importancia. Al conjunto

U sobre el cual está definida la transformación lineal f se le conoce como dominio de

f. Decimos que V, el conjunto en el cual están definidas las imágenes de f, es el

codominio de f.

Hablando estrictamente, una transformación lineal debe especificar el dominio y el

codominio así como la aplicación. Consideremos ahora las transformaciones lineales

desde el punto de vista geométrico, tomando en cuenta situaciones en el espacio

euclidiano tridimensional, para obtener una interpretación intuitiva de lo que

significa una transformación lineal.

Una consecuencia de la definición es que una transformación lineal siempre aplica el

vector cero de U en el vector cero de V; es decir, f() = . Esta afirmación puede

ser establecida haciendo a = 0 en f(au) = af(u). Si f es una transformación lineal,

entonces f(au) = af(u), afirma que f aplica au sobre un vector f(au), cuya relación con

f(u) en términos de magnitud y dirección es la misma relación de au con u. Como u y

au son vectores paralelos, tenemos que f aplica vectores paralelos en vectores

paralelos. La ecuación f(u + v) = f(u) + f(v) con u, v R2 afirma que f aplica un

paralelogramo junto con sus diagonales sobre un paralelogramo junto con sus

diagonales.

El enfoque geométrico es útil para entender cómo es que una transformación lineal

actúa.

La aplicación que envía cada vector en U sobre el vector cero en V es claramente

una transformación lineal de U en V para todos los U y V. Esta transformación, se

denomina transformación cero, y se indica por el símbolo . La aplicación que envía

cada vector en U sobre sí mismo, se denomina transformación idéntica, y se indica

por el símbolo i. La ecuación que define a i es i(u) = u, para cualesquier u de U.

EJEMPLO 7.1.3

Demuestre que la transformación identidad f : V V es una transformación lineal.

SOLUCION

Sea f : V V definida por f(v) = v. Entonces


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317

f(u + v) = u + v = f(u) + f(v) y f(u) = u = f(u)

lo cual implica que f es una transformación lineal.

La transformación lineal f(u) = u se conoce como dilatación de u con factor si

> 1, y como contracción de u con factor si 0 < < 1. Geométricamente, la

dilatación estira a cada vector de u por un factor , y la contracción de u comprime a

cada vector de u por un factor .

EJEMPLO 7.1.4

Sea la transformación f : R2 R

2 definida por:

a.- f((a, b)) = (a, 5a + b); b.- f((a, b)) = (a + 5b, b).

Verificar que f es lineal y dar su interpretación geométrica.

SOLUCION

a.- Para la verificación, debemos utilizar la definición de transformación lineal. Es

decir

f(ku + rv) = f(k(a, b) + r(c, d))

= f((ka + rc, kb + rd))

= (ka + rc, 5ka + 5rc + kb + rd)

= (ka, 5ka + kb) + (rc, 5rc + rd)

= k(a, 5a + b) + r(c, 5c + d)

= kf(u) + rf(v).

Obsérvese que, en esta transformación particular, la coordenada u permanece fija

mientras que a la coordenada v se le suma cinco veces la coordenada u. La figura

muestra lo que pasa con el vector (1, 2). El extremo o terminación del vector

f((1, 2)) se encuentra sobre la recta que pasa por el extremo del vector (1, 2) y es

paralela al eje v. Dicha transformación se denomina transformación lineal cizallante

en la dirección v con factor 5.

b.- Para la verificación, debemos utilizar la definición de transformación lineal. Es

decir

f(ku + rv) = f(k(a, b) + r(c, d))

= f((ka + rc, kb + rd))

= (ka + rc + 5kb + 5rd, kb + rd)

= (ka + 5kb, kb) + (rc + 5rd, rd)

= k(a + 5b, b) + r(c + 5d, d)

= kf(u) + rf(v).

Podemos observar que, en esta transformación, la coordenada v permanece fija

mientras que a la coordenada u se le suma cinco veces la coordenada v. La figura

muestra lo que pasa con el vector (1, 2). El extremo o terminación del vector f((1, 2))

se encuentra sobre la recta que pasa por el extremo del vector (1, 2) y es paralela al

eje u.

Dicha transformación se denomina transformación lineal cizallante en la dirección u

con factor 5.


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318

DEFINICION 7.1.2

Dos transformaciones lineales f : U V y g : U V son iguales, si

ellas son iguales como transformaciones, esto es, f = g si y solamente si

f(u) = g(u), para todo u de U.

TEOREMA 7.1.1

Sea f una transformación lineal de U en V. Sean u1, u2, ..., un elementos de

U y a1, a2, ..., an escalares. Entonces:

f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un).

DEMOSTRACION

Utilizando la definición de transformación lineal, obtenemos

f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = f(a1u1) + f(a2u2 + ... + anun)

= f(a1u1) + f(a2u2) + f(a3u3 + ... + anun)

= a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un).

TEOREMA 7.1.2

Si es el elemento neutro del espacio vectorial U, f() es el elemento

neutro de V.

DEMOSTRACION

Como

f(u + ) = f(u) + f() = f(u).

Por lo tanto, f() es el elemento neutro de V.

TEOREMA 7.1.3

Si - u es el elemento opuesto de u, entonces se verifica que f(-u) = - f(u).

DEMOSTRACION

Como

f(u + (-u)) = f(u) + f(-u) = f(u) – f(u) = f().

Por lo tanto, f(-u) = - f(u); es decir, la imagen del opuesto de un vector es el opuesto

de la imagen del vector.

TEOREMA 7.1.4

Sean U y V espacios vectoriales. Sea S = {u1, u2, ..., uk} una base cualquiera

de U y sea S´ = {v1, v2, ..., vk} un conjunto cualquiera de k vectores en V, no

necesariamente linealmente independientes. Entonces existe una

transformación lineal determinada en forma única por f : U V tal que

f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(uk) = vk.

DEMOSTRACION

Demostremos primero que la transformación lineal f : U V está completamente

determinada cuando se conocen los valores de f(u1), f(u2), ..., f(uk). Para esta

demostración, supóngase que g : U V también es una transformación lineal y que

f(u1) = g(u1), f(u2) = g(u2), ..., f(uk) = g(uk). Deseamos demostrar que f = g. Para ello,

debemos demostrar que f(u) = g(u) para todo u en U. Por tanto, sea u = a1u1 + a2u2 +

... + akuk un vector arbitrario de U, donde ai K. Si aplicamos f a cada miembro y


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319

utilizamos f(ui) = g(ui) para todo i N, obtenemos

f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + akuk)

= f(a1u1) + f(a2u2 + ... + akuk)

= f(a1u1) + f(a2u2) + f(a3u3 + ... + akuk)

= a1f(u1) + a2f(u2) + ... + akf(uk)

= a1g(u1) + a2g(u2) + ... + akg(uk)

= g(a1u1 + a2u2 + ... + akuk)

= g(u).

En consecuencia, f(u) = g(u) para todo u en U. Por tanto, f = g. Hemos demostrado

así que los vi son vectores dados de V, hay a lo más una transformación lineal

f : U V tal que f(ui) = vi. Demostraremos ahora que siempre hay una

transformación lineal f : U V con f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(uk) = vk. Para

demostrar la existencia de f, presentamos primero una función f : U V. Más

adelante demostraremos que nuestra f es una transformación lineal. A continuación

se dará una definición de f : U V. Sea u un vector arbitrario de U, entonces u

puede expresarse en función de la base S, como u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk, los

escalares ai K se determinan en forma única por u.

Definimos una función f : U V especificando que f(u) = a1v1 + a2v2 + ... + akvk.

Esta función f : U V queda ahora definida completamente puesto que todos los

valores f(u), u U, se han determinado. Para demostrar que f es una transformación

lineal, sea v = b1u1 + b2u2 + ... + bkuk, otro vector de U. Sean a y b escalares

arbitrarios. Deseamos demostrar que f(au + bv) = af(u) + bf(v). De v = b1u1 + b2u2 +

... + bkuk y nuestra definición de f, tenemos f(v) = b1v1 + b2v2 + ... + bkvk.

Multiplicando cada miembro de u por a y cada miembro de v por b, y sumando

luego, obtenemos

au + bv = a(a1u1 + a2u2 + ... + akuk) + b(b1u1 + b2u2 + ... + bkuk)

= (aa1 + bb1)u1 + (aa2 + bb2)u2 + ... + (aak + bbk)uk.

Por la definición de f, vemos que

f(au + bv) = (aa1 + bb1)f(u1) + (aa2 + bb2)f(u2) + ... + (aak + bbk)f(uk)

= aa1v1 + aa2v2 + ... + aakvk + bb1v1 + bb2v2 + ... + bbkvk

= a(a1v1 + a2v2 + ... + akvk) + b(b1v1 + b2v2 + ... + bkvk)

= af(u) + bf(v).

Por lo tanto f(au + bv) = af(u) + bf(v). En consecuencia, la función f : U V es una

transformación lineal. Es fácil observar, por f(u) = a1v1 + a2v2 + ... + akvk, que

f(ui) = vi.

EJEMPLO 7.1.5

Sea f una transformación lineal de R3 en R

3, suponga que

f((1, 0, 1)) = (1, -1, 3), f((2, 1, 0)) = (0, 2, 1), f((1, -1, 1)) = (3, -1 2)

Determine f((-1, -2, 3)).

SOLUCION

Hacemos la combinación lineal con el vector (-1, -2, 3):

(-1, -2, 3) = a(1, 0, 1) + b(2, 1, 0)

resolvemos el sistema generado:

2 1

3

2

a b

a

b

3

2

a

b

.

Encontramos la imagen pedida:

f((-1, -2, 3)) = 3f((1, 0, 1)) – 2f((2, 1, 0))

= 3(1, -1, 3) – 2(0, 2, 1) = (3, -7, 7).

EJEMPLO 7.1.6

Sea f una transformación lineal de R3 en P2 tal que

f((1, 1, 1)) = 1 – 2x + x2, f((2, 0, 0)) = 3 + x – x

2, f((0, 4, 5)) = 2 + 3x + 3x

2

Determine f((2, -3, 1)).


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SOLUCION

Hacemos la combinación lineal con el vector (2, -3, 1):

(2, -3, 1) = a(1, 1, 1) + b(2, 0, 0) + c(0, 4, 5)

resolvemos el sistema generado:

2 2

4 3

5 1

a b

a c

a c

1 2 0 2

1 0 4 3

1 0 5 1

1 2 0 2

0 2 4 5

0 2 5 1

1 0 4 3

0 2 4 5

0 0 1 4

1 0 0 19

0 2 0 21

0 0 1 4

.

Encontramos la imagen pedida:

21((2, 3,1)) 19 ((1,1,1)) ((2, 0, 0)) 4 ((0, 4, 5))

2f f f f

2 2 22119(1 2 ) (3 ) 4(2 3 3 )

2x x x x x x

241 121 35

2 2 2x x .

EJEMPLO 7.1.7

Sea S = {u1, u2, u3}, un conjunto de vectores linealmente independientes en R3.

Determine una transformación lineal f de R3 en R

3 tal que el conjunto {f(u1), f(u2),

f(u3)} sea linealmente dependiente.

SOLUCION

Sea f : R3 R

3 definida por f((x, y, z)) = (0, 0, 0). Entonces si {u1, u2, u3} es

cualquier conjunto de vectores en R3, el conjunto {f(u1), f(u2), f(u3)} = {, , } sea

linealmente dependiente.

La aplicación que envía cada vector en U sobre el vector cero en V es claramente

una transformación lineal de U en V para todos los U y V. Esta transformación, se

denomina transformación cero, y se indica por el símbolo . La aplicación que envía

cada vector en U sobre sí mismo, se denomina transformación idéntica, y se indica

por el símbolo i. La ecuación que define a i es i(u) = u, para cualesquier u de U.

EJEMPLO 7.1.8

Determinar cuál de las siguientes funciones f : (n, n) (n, n) define una

transformación lineal:

a.- f(A) = ATA; b.- f(A) = AB + A

T; c.- f(A) = Det(A); d.- f(A) = PAP

-1;

e.- f(B) = A-1

BA; f.- f(A) = AT + A

+; g.- f(A) = AC + CA.

SOLUCION

Sean B y C dos matrices del espacio de salida (n, n) y sean , escalares,

entonces:

a.- f(B + C) = (B + C)T(B + C) = (B

T + C

T)(B + C)

= 2B

TB + B

TC + C

TB +

2C

TC B

TB + C

TC.


b.- f(C + D) = (C + D)B + (C + D)T = CB + DB + C

T + D

T

= (CB + CT) + (DB + D

T) = f(C) + f(D).


c.- f(C + D) = det(C + D) det(C) + det(D).


d.- f(C + D) = (C + D)E + E(C + D) = CE + DE + EC + ED

= (CE + EC) + (DE + ED) = f(C) + f(D).



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e.- f(B + C) = A-1

(B + C)A = A-1

(BA + CA) = A-1

BA + A-1

CA

= (A-1

BA) + (A-1

CA) = f(B) + f(C).


f.- f(B + C) = (B + C)T + (B + C)

+ = (B)

T + (C)

T + (B)

+ + (C)

+

T T + +

T T + +

αB +βC +αB +βC α (B) +β (C), α, β C=

αB +βC +αB +βC = α (B) +β (C), α, β R

f f

f f

.

Por lo tanto f es transformación lineal si , R.

g.- f(B + D) = (B + D)C + C(B + D) = BC + DC + CB + CD

= (BC + CB) + (DC + CD) = f(B) + f(D).


EJEMPLO 7.1.9

Determinar cuál de las siguientes funciones define una transformación lineal en el

espacio de los polinomios de grado menor o igual a 3:

a.- f(p(x)) = (p(x))2; b.- f(p(x)) = p(x + 1) - p(x);

c.- f(p(x)) = p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x); d.- f(p(x)) = p(x + 1) – p´(0).

SOLUCION

Sean p(x) = ax3 + bx

2 + cx + d, q(x) = ex

3 + fx

2 + gx + h dos polinomios del espacio

de salida P3 y sean , escalares, entonces:

q(x) + h(x) = (a + e)x3 + (b + f)x

2 + (c + g)x + (d + h).

a.- f(p(x) + q(x)) = (p(x) + q(x))2 =

2p

2(x) + 2p(x)q(x) +

2q

2(x)

f(p(x)) + f(q(x)).


b.- f(p(x) + q(x)) = (p + q)(x + 1) - (p + q)(x)

= p(x + 1) + q(x + 1) - p(x) - q(x)

= [p(x + 1) + p(x)] + [q(x + 1) + q(x)]

= [p(x + 1) + p(x)] + [q(x + 1) + q(x)]

= f(p(x)) + f(q(x)).


c.- f(p(x) + q(x)) = (p + q)´´(x) - 2(p + q)´(x) + 3(p + q)(x)

= p´´(x) + q´´(x) - 2p´(x) - 2q´(x) + 3p(x) + 3q(x)

= [p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x)] + [q´´(x) - 2q´(x) + 3q(x)]

= [p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x)] + [q´´(x) - 2q´(x) + 3q(x)]

= f(p(x)) + f(q(x)).


d.- f(p(x) + q(x)) = (p + q)(x + 1) - (p + q)´(0)

= p(x + 1) + q(x + 1) - p´(0) - q´(0)

= [p(x + 1) + p´(0)] + [q(x + 1) + q´(0)]

= [p(x + 1) + p´(0)] + [q(x + 1) + q´(0)]

= f(p(x)) + f(q(x)).


Considere la transformación lineal que aplica a todo vector de U sobre el vector cero

de V. Esta aplicación se llama aplicación cero. Si W es cualquier subespacio de V,

existe también una aplicación cero de U hacia W, y esta aplicación tiene el mismo

efecto sobre los elementos de U, como la aplicación cero de U hacia V. Sin embargo,

son transformaciones lineales diferentes, ya que tienen codominios diferentes.

Este lenguaje descriptivo se tiene que interpretar con cierta amplitud, ya que las

operaciones antes y después de aplicar la transformación lineal pueden llevarse a

cabo en espacios vectoriales diferentes. Además, la observación acerca de la

multiplicación escalar es inexacta, ya que no aplicamos la transformación lineal a

escalares; la transformación lineal se define únicamente para vectores en U. Aún


JOE GARCIA ARCOS

322

así, la transformación lineal conserva las operaciones estructurales en un espacio

vectorial y ésta es la razón de su importancia. Una consecuencia de la definición

es que una transformación lineal siempre aplica el vector cero de U en el vector

cero de V; es decir, f() = . Esta afirmación puede ser establecida haciendo

a = 0 en f(au) = af(u).

EJEMPLO 7.1.10

Considérese ahora C como un espacio vectorial sobre C. Defínase una función f de

C en C por ( )f z z . ¿Es f una transformación lineal?

SOLUCION

Sean u = a + ib y v = c + id dos vectores del espacio de salida C y sean ,

escalares, entonces:

f(u + v) = f((a + c) + i(b + d)) ( ) ( )a c i b d

= (r + x) - i(b + d) = (a - ib) + (c - id)

f(u) + f(v).


EJEMPLO 7.1.11

Considere el espacio vectorial de los números complejos C sobre R. Sea a un

número complejo fijo. Defínase f una aplicación de C en C por f(z) = (3 - 2i)z + a.

Determine el valor de a para que f sea transformación lineal.

SOLUCION

Tomamos el número complejo nulo y luego encontramos su imagen:

f(0 + i0) = (3 – 2i)(0 + i0) + a = 0 + i0 + a = a.

Para que f sea transformación lineal, debe cumplirse que f(0 + i0) = 0 + i0, de donde

a = 0.

EJEMPLO 7.1.12

¿Es la multiplicación de cada vector geométrico por su longitud una transformación

lineal?

SOLUCION

En este caso tenemos que ( )f u u u . Sean v y w dos vectores del espacio de

salida y sean , escalares, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )( )f v w v w v w v w v w


EJEMPLO 7.1.13

a.- Muestre que la línea que pasa por los vectores u y v en Rn puede escribirse en la

forma paramétrica x = (1 – t)u + tv.

b.- El segmento de línea de u a v es el conjunto de los puntos de la forma (1 – t)u +

tv para 0 t 1. Muestre que una transformación lineal f transforma este segmento

de línea sobre un segmento de línea o sobre un punto.

SOLUCION

a.- La línea que pasa por u y v es paralela al vector v – u. Puesto que la línea pasa a

través de u, una ecuación paramétrica de la línea es

x = u + t(v – u) = u – tu + tv = (1 – t)u + tv.

b.- Por la linealidad de f:

f((1 – t)u + tv) = (1 – t)f(u) + tf(v) para 0 t 1.

Si f(u) y f(v) son distintos, las imágenes forman el segmento de línea entre f(u) y

f(v). De otro modo, todas las imágenes coinciden con un punto, f(u).


JOE GARCIA ARCOS

323

PROBLEMAS

7.1.1 Verifíquese que cada uno de los siguientes es

transformación lineal de U en V:

a.- U = C0; 1, V = V1, T(f) = f(0).

b.- U = C0; 1, V = V1, T(f) = f(0) + f(1).

c.- U = C0; 1, V = V2, T(f) = (f(0) + f(1)).

d.- U = V2, V = Ca; b, T(x1, x2) = x1ex + x2e

2x.

e.- U = C0; 1, V = C0; 1, T(f) = f(x)Cosx.

f.- U = C(1)a; b, V = Ca; b, T(f) = f ´(x)Senx.

g.- U = C(2)a; b, V = Ca; b,

T(f) = xf ´´ - f ´ + exf.

h.- U = C(3)a; b, V = Ca; b,

T(f) = f ´´´ + f ´´ + f ´ + f.

i.- U = Ca; b, V = Ca; b, 0

( ) ( )x tT f e f t dt .

j.- U = C(1)a; b, V = Ca; b,

0( ) ( ) 3 (́ )

xT f f t dt f x .

7.1.2 Demuestre que la transformación f definida por

f((x, y)) = (4x – 2y, 3y) no es lineal.

7.1.3 Suponga que f : R2 R

2 tal que f((1, 0)) = (1, 0) y

f((0, 1)) = (0, 0). Determine f((x, y)) en R2 y dé una

interpretación geométrica de f.

7.1.4 Sean U y V espacios vectoriales sobre K, siendo U

bidimensional. Sean S = {u1, u2} una base de U, y v1 y v2

dos vectores cualesquiera de V. Defínase f de U en V de la

siguiente manera: Si u U, entonces u = au1 + bu2 para los

únicos escalares a y b. Hágase f(u) = av1 + bv2. Demuestre

que f es transformación lineal.

7.1.5 Sea f : R2 R

2 una transformación lineal que

transforma u = (1, 5) en (2, 0) y transforma v = (3, 1) en

(1, -4). Use el hecho de que f es lineal para encontrar las

imágenes bajo f de 2u y 3u + 5v.

7.1.6 Sea V un espacio con producto interior con un

subespacio que tiene a S = {w1, w2, ..., wk} como una base

ortonormal. Demuestre que la función f : V V dada por

f(u) = v w1w1 + v w2w2 + ... + v wkwk

es una transformación lineal.

7.1.7 Se da el espacio vectorial de los vectores u = ae1 +

be2 + ce3 + de4, donde a, b, c, d son todos los números

reales posibles. Sea k un número real fijo. ¿Es lineal la

transformación f definida por la igualdad

f(u) = ae1 + be2 + ce3 + de4?

7.1.8 Verifíquese que si a1, b1, a2, b2 son números reales,

entonces

T(x1, x2) = (a1x1 + a2x2, b1x1 + b2x2)

Es transformación lineal de R2 en R

2.

7.1.9 Sea f : (n, n) R definida por Tr(A) = a11 + a22 +

... + ann. Demuestre que f es una transformación lineal.

7.1.10 Sea V un espacio con producto interior. Para un

vector fijo w en V, se define f : V R por f(v) = v w. Demuestre que f es una transformación lineal.

7.1.11 Para cada uno de los conjuntos de condiciones

que se enuncian, determínese si existe una

transformación lineal T de U en V que cumpla con las

condiciones dadas:

a.- U = V2, V = V2, T(1, 1) = (1, 2),

T(1, -1) = (0, 3).

b.- U = V2, V = V2, T(1, 1) = (1, 0),

T(1, -1) = (3, 0), T(2, 3) = (1, 0).

c.- U = V2, V = V2, T(1, 2) = (1, 3),

T(2, 1) = (2, 0), T(1, 1) = (1, 1).

d.- U = P, V = P, T(1) = 0,

T(xn) = x

n+1 para n 1.

e.- U = P, V = P, T(1) = x, T(x + 1) = x2,

T(x2 - 1) = x

3.

f.- U = P, V = P, T(1) = x2, T(x - 1) = x,

T(x2 + x) = x, T(x

2) = x

2.

7.1.12 Sea f una transformación lineal de P2 en P2 tal que

f(1) = x, f(x) = 1 + x y f(x2) = 1 + x + x

2.

Determine f(2 – 6x + x2).

7.1.13 Suponga que f : R2 R

2 tal que f((1, 0)) = (0, 1)

y f((0, 1)) = (1, 0). Determine f((x, y)) en R2 y dé una

interpretación geométrica de f.

7.1.14 Sea f : R R tal que ( ) vf u proy u , donde

v = (1, 1):

a.- Determine f((x, y)).

b.- Determine f((3, 4)) y f(f((3, 4))) y dé una interpretación

geométrica del resultado.

7.1.15 Trazar la imagen del cuadrado unitario cuyos

vértices son los puntos (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1) bajo

la transformación lineal dada:

a.- f es una reflexión en el eje x.

b.- f es una reflexión en la recta y = x.

c.- f es la contracción f((x, y)) = (x/2, y).

7.1.16 Sea f la transformación lineal de R2 en R

2

definida por

f((a, b)) = (aCos - bSen, aSen + bCos).

Determine:

a.- f((4, 4)) para = 45°;

b.- f((2, -1)) para = 30°;

c.- f((5, -1)) para = 120°.


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324

7.1.17 Determinar la imagen del cubo unitario cuyos

vértices son

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1),

(1, 1, 1) y (0, 1, 1)

cuando es rotado 45° alrededor del eje Z, y cuando es

rotado 90° alrededor del eje X.

7.1.18 Demuéstrese que, si ninguno de los espacios U y

V es el espacio cero y si uno de ellos es de dimensión

infinita, entonces el conjunto de las transformaciones

lineales de U en V es un espacio vectorial de dimensión

infinita.

7.1.19 Una traslación es una función de la forma f((x, y)) =

(x – h, y – k), donde por lo menos una de las constantes h o

k es diferente de cero:

a.- Demuestre que una traslación en el plano no es una

transformación lineal.

b.- Para la traslación f((x, y)) = (x – 2, y + 1), determine las

imágenes de (0, 0), (2, -1) y (5, 4).

c.- Demuestre que una traslación en el plano no tiene

puntos fijos.

7.1.20 Sean u, v vectores en Rn. Puede demostrarse que

el conjunto S de todos los puntos del paralelogramo

determinado por u y v tiene la forma u + v, para 0

1, 0 1. Sea f : Rn R

n una transformación

lineal. Explique por qué la imagen de un punto en S bajo

la transformación f yace en el paralelogramo

determinado por f(u) y f(v).

7.1.21 Un vector u es un punto fijo de una transformación

lineal f : V V si f(u) = u:

a.- Demuestre que es un punto fijo de cualquier

transformación lineal f : V V.

b.- Demuestre que el conjunto de puntos fijos de una

transformación lineal f : V V es un subespacio de V.

c.- Determine todos los puntos fijos de la transformación

lineal f : R2 R

2 dada por f((x, y)) = (x, 2y).

d.- f es la dilatación definida por f((x, y)) = (x, 3y).

e.- f es la deformación por esfuerzo cortante definida

por f((x, y)) = (x + 2y, y).

f.- f es la deformación por esfuerzo cortante definida por

f((x, y)) = (x, 3x + y).

7.1.22 Dado v y u en Rn, la línea que pasa por u en

la dirección de v, tiene la ecuación paramétrica w = u +

tv. Demuestre que una transformación lineal f : Rn R

n

transforma esta línea sobre otra línea o sobre un único

punto.

7.1.23 Si S es transformación lineal de R3 en R

2 y si

S(1, 0, 0) = (a1, b1), S(0, 1, 0) = (a2, b2),

S(0, 0, 1) = (a3, b3),

entonces T y S son la misma transformación.

7.1.24 Sean e1, e2, u = (3, -5) y v = (-2, 7), y sea

f : R2 R

2 una transformación lineal que transforma e1

en u y e2 en v. Encuentre las imágenes de (7, 6) y de

(x, y).

7.2 REPRESENTACION MATRICIAL. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE

En esta sección se demostrará que si U y V son espacios vectoriales de dimensiones finitas, entonces con un poco

de ingenio cualquier transformación lineal f de U en V se puede expresar en forma matricial como f(u) = Au, en

cualesquiera bases.

Se pueden usar las matrices para representar una gran variedad de diferentes

conceptos matemáticos. La forma en que se manejan las matrices, depende de los

objetivos que representen. Considerando la amplia variedad de situaciones en las

cuales las matrices tienen aplicación, existe una notable semejanza en las

operaciones que se efectúan con las matrices en estas situaciones. Sin embargo,

también existen diferencias y, para entenderlas, debemos entender el objeto

representado y qué información se puede esperar trabajando con las matrices. Las

matrices no solamente nos proporcionan un medio conveniente para realizar todo

cálculo necesario con las transformaciones lineales, sino que la teoría de los espacios

vectoriales y las transformaciones lineales también demuestra ser una herramienta

poderosa en el desarrollo de las propiedades de las matrices.

A continuación damos a conocer un método general para construir la matriz de la

transformación lineal que actúa del espacio vectorial U en el espacio vectorial V.

Suponga que a los vectores de la base S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio vectorial U les

están asignados unos vectores y S2 = {v1, v2, ..., vn} del espacio vectorial V. En

este caso existe una transformación lineal f y es, además, única, que actúa de U en V


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325

y que transforma todo vector de S1 en el vector correspondiente de S2. Suponga que

la transformación buscada f existe. Tómese un vector arbitrario u de U y represéntelo

en forma de un desarrollo u = a1u1 + a2u2 + ... + anun, entonces

f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + anun)

= a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un)

= a1v1 + a2v2 + ... + anvn.

El segundo miembro de esta identidad se determina unívocamente por el vector u

y las imágenes de la base. Por esta razón, la igualdad obtenida demuestra la

unicidad de la transformación f, si éste existe. Por otra parte, podemos definir la

transformación f precisamente mediante esta igualdad, es decir, poner f(u) = a1v1

+ a2v2 + ... + anvn. La transformación obtenida, es una transformación lineal que

actúa de U en V y transforma, a la vez, todo vector de S1 en el vector

correspondiente de S2. El dominio de la transformación f coincide con el

subespacio generado por el sistema de vectores S2.

Ahora podemos enunciar el siguiente teorema:

TEOREMA 7.2.1

La transformación lineal f que actúa del espacio U en el espacio V está

completamente definido mediante la totalidad de imágenes f(u1), f(u2), ...,

f(un) para cualquier base definida S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio U.

DEMOSTRACION

Fijemos en el espacio U la base S1 = {u1, u2, ..., un} y en el espacio V, la base

S2 = {v1, v2, ..., vm}. El vector u1 se transforma por la transformación f en cierto

vector f(u1) del espacio V, el cual, como todo vector de este espacio, puede ser

desarrollado por vectores básicos

f(u1) = a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm

f(u2) = a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm

. . .

f(un) = an1v1 + an2v2 + ... + anmvm

Los coeficientes aij de estas combinaciones lineales determinan una matriz A de m

filas y n columnas

11 21 1

12 22 2

1 2

A

m

m

n n mn

a a a

a a a

a a a

que se denomina matriz de la transformación f en bases elegidas. Como columnas de

la matriz de la transformación sirven los coeficientes de la cada combinación, en

otras palabras, las coordenadas de los vectores f(u1), f(u2), ..., f(un) respecto de la base

S2. Con el fin de determinar el elemento aij de la matriz de la transformación f hace

falta aplicar la transformación al vector uj y tomar la i-ésima coordenada en la

imagen f(uj). En lo sucesivo haremos uso del método descrito para determinar los

elementos de la matriz de la transformación. Considere un vector arbitrario u de U y

su imagen v = f(u). Aclaremos de qué modo se expresar las coordenadas del vector v

en términos de las coordenadas del vector u y los elementos de la matriz de la

transformación. Sea

u = a1u1 + a2u2 + ... + anun

y

v = b1v1 + b2v2 + ... + bmvm

calculamos

f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + anun)

= a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un)

= a1[a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm] + a2[a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm] + ... + an[an1v1 +

an2v2 + ... + anmvm]


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326

= [a1a11 + a2a21 + ... + anan1]v1 + [a1a12 + a2a22 + ... + anan2]v2 + ... + [a1a1m +

a2a2m + ... + ananm]vm

Al comparar el segundo miembro de estas igualdades con el desarrollo de v,

concluimos que deben cumplirse las igualdades

a11a1 + a21a2 + ... + an1an = b1

a12a1 + a22a2 + ... + an2an = b2

. . .

a1ma1 + a2ma2 + ... + anman = bm

De esta manera, toda transformación lineal genera, cuando están definidas las

bases en los espacios U y V, las identidades antes mencionadas que relacionan

entre sí las coordenadas de la imagen y las de la preimagen. Con el fin de

determinar las coordenadas de la imagen según las coordenadas de la preimagen

basta calcular los primeros miembros de estas identidades.

Siendo determinadas las bases en los espacios U y V, la igualdad coordenada permite

investigar totalmente la acción de una transformación lineal. Evidentemente, cuanto

más simple es la forma de la matriz de una transformación, tanto más eficaz será la

realización de dicha investigación. Generalmente las matrices de las

transformaciones dependen de las bases y la tarea inmediata consiste en aclarar esta

dependencia.

Sean S1 = {u1, u2, ..., um} y S2 = {v1, v2, ..., vm} dos bases del espacio vectorial U. Los

vectores de S2 se definen unívocamente mediante sus descomposiciones

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

...

...

...

...

m m

m m

m m m mm m

v a u a u a u

v a u a u a u

v a u a u a u

(1)

según los vectores de S1. Los coeficientes aij determinan la matriz

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...P

... ... ...

...

m

m

m m mm

a a a

a a a

a a a

la cual se denomina matriz de la transformación de coordenadas al pasar de la base

S1 a la base S2.

Tómese un vector arbitrario u de U y descompóngase según los vectores de ambas

bases. Sea

u = b1u1 + b2u2 + ... + bmum = c1v1 + c2v2 + ... + cmvm

De acuerdo con (1) tenemos

b1u1 + b2u2 + ... + bmum = c1v1 + c2v2 + ... + cmvm

= c1(a11u1 + a12u2 + ... + a1mum) + c2(a21u1 + a22u2 + ... +

a2mum) + ... + cm(am1u1 + am2u2 + ... + ammum)

= (a11c1 + a21c2 + ... + am1cm)u1 + (a12c1 + a22c2 + ... +

am2cm)u2 + ... + (a1mc1 + a2mc2 + ... + ammcm)um.

Comparando los coeficientes ui en el primero y segundo miembros de las

correlaciones, encontramos

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

...

...

...

...

m m

m m

m m m mm m

b a c a c a c

b a c a c a c

b a c a c a c

(2)

Estas fórmulas se denominan fórmulas de transformación de las coordenadas.


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327

Designemos, como hasta ahora, mediante 1

XS y 2

XS las matrices de dimensiones

m x 1, formadas por las coordenadas del vector u en las bases correspondientes. Las

fórmulas (2) muestran que 1 2S SX = PX . La matriz de la transformación de

coordenadas debe ser no singular, puesto que en el caso contrario tendrá lugar la

dependencia lineal entre sus columnas y, por tanto, entre los vectores de S2. Por

supuesto, cualquier matriz no singular es una matriz de cierta transformación de

coordenadas definida mediante 1 2S SX = PX . Al multiplicar a la izquierda de la

igualdad por la matriz P-1

, obtendremos

1 2

-1 -1S SP X = P PX

2 1

-1S SX = P X .

Supongamos ahora que en el espacio vectorial U vienen dadas tres bases S1, S2 y S3.

El paso de la primera base a la tercera puede realizarse con ayuda de dos

procedimientos: o bien directamente de la primera a la tercera o bien primero de la

primera a la segunda, y después de la segunda a la tercera. No es difícil establecer la

conexión entre las matrices correspondientes de la transformación de coordenadas.

De acuerdo con 1 2S SX = PX , tenemos:

1 2S SX = PX 2 3S SX = RX

1 3S SX = QX .

De las primeras dos correlaciones se desprende

1 2 3 3 3S S S S SX = PX = P(RX ) = (PR)X = QX .

De este modo, cuando las coordenadas se transforman de manera consecutiva, la

matriz de la transformación resultante será igual al producto de matrices de las

transformaciones intermedias.

Examinemos otra vez la transformación lineal f que actúa de U en V. Elijamos en el

espacio U dos bases S1 y S2, y en el espacio V otras dos bases S3 y S4. En las

primeras dos bases, a una misma transformación f le corresponde la igualdad

coordenada

1

3 13

SS SS

Y = A X (3)

y en las otras dos bases, la igualdad

2

4 24

SS SS

Y = A X (4)

En concordancia con estos pares de bases, para una misma transformación f tenemos

dos matrices 1

3

S

SA y 2

4

S

SA . Designemos con P la matriz de la transformación de

coordenadas al pasar de la base S1 a la base S2 y con Q, la matriz de la

transformación de coordenadas al pasar de S3 a S4.Se tiene

1 2S SX = PX , 3 4S SY = QY .

Sustituyendo estas expresiones para 1SX y

3SY en (3), obtenemos

1

4 23

SS SS

QY = A PX

De donde se deduce que

1

4 23

S-1S SS

Y = Q A P X .

Al comparar la igualdad obtenida con (4), concluimos que

2 1

4 3

S S-1S S

A = Q A P .

Esto es precisamente la correlación buscada que liga las matrices de una misma

transformación en diferentes bases. La transformación lineal f que actúa del espacio

U en el espacio V está completamente definido mediante la totalidad de imágenes


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328

f(u1), f(u2), ..., f(un) para cualquier base definida S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio U.

EJEMPLO 7.2.1

En un espacio vectorial de dimensión 4, se examina una transformación lineal f.

Escribir esta transformación en la forma de coordenadas si

f(e1) = e3 + e4, f(e2) = e1 + e4,

f(e3) = e1 + e2, f(e4) = e2 + e3.

SOLUCION

f((1, 0, 0, 0)) = (0, 0, 1, 1), f((0, 1, 0, 0)) = (1, 0, 0, 1),

f((0, 0, 1, 0)) = (1, 1, 0, 0), f((0, 0, 0, 1)) = (0, 1, 1, 0).

La matriz de la transformación f es

0 1 1 0

0 0 1 1A

1 0 0 1

1 1 0 0

.

Por lo tanto, la transformación f se escribe en forma de coordenadas de la siguiente

manera:

f((a, b, c, d)) = (b + c, c + d, a + d, a + b).

EJEMPLO 7.2.2

Sea f la transformación lineal de (2, 2) en (3, 1) definida por

2 3

2 2

3 4

a b ca b

f a b c dc d

a b c d

.

Encuentre la representación matricial de f.

SOLUCION

Tómese las bases canónicas de (2, 2) y (3, 1), es decir

1

1 0 0 1 0 0 0 0, , ,

0 0 0 0 1 0 0 1

S y 2

1 0 0

0 , 1 , 0

0 0 1

S

obtenga la matriz 2

1f

S

S. Primeramente, determinaremos cuáles son las imágenes de

los vectores de la base S1 de (2, 2):

21 0

10 0

1

f

;

30 1

20 0

1

f

;

10 0

11 0

3

f

;

00 0

20 1

4

f

.

Obsérvese que en este caso, como se está tomando la base canónica S2 de (3, 1), se

tiene lo siguiente:

21 S

2

(E ) 1

1

f

; 22 S

3

(E ) 2

1

f

; 23 S

1

(E ) 1

3

f

; 24 S

0

(E ) 2

4

f

,

de modo que

2

1

2 3 1 0

1 2 1 2

1 1 3 4

f

S

S.


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329

EJEMPLO 7.2.3

Considérese f la transformación lineal de P4 en P4 definida por f(p) = p'(x). Obtenga

[f]S en la base canónica de P4.

SOLUCION

La base canónica de P4 es S = {1, x, x2, x

3, x

4}. A continuación determinamos las

imágenes con respecto a cada elemento de S, es decir:

[f(1)]S = [(1)']S = [0]S = 0(1) + 0(x) + 0(x2) + 0(x

3) + 0(x

4);

[f(x)]S = [(x)']S = [1]S = 1(1) + 0(x) + 0(x2) + 0(x

3) + 0(x

4);

[f(x2)]S = [(x

2)']S = [2x]S = 0(1) + 2(x) + 0(x

2) + 0(x

3) + 0(x

4);

[f(x3)]S = [(x

3)']S = [3x

2]S = 0(1) + 0(x) + 3(x

2) + 0(x

3) + 0(x

4);

[f(x4)]S = [(x

4)']S = [4x

3]S = 0(1) + 0(x) + 0(x

2) + 4(x

3) + 0(x

4).

Por lo tanto

0 1 0 0 0

0 0 2 0 0

0 0 0 3 0

0 0 0 0 4

0 0 0 0 0

f

S .

Mediante esta matriz, podemos derivar p(x) = 5 + 8x - 10x2 + 6x

3 - 7x

4, es decir

0 1 0 0 0 5 8

0 0 2 0 0 8 20

( ) ' 0 0 0 3 0 10 18

0 0 0 0 4 6 28

0 0 0 0 0 7 0

f p p f p

S S S S .

Por lo tanto, p'(x) = 8 - 20x + 18x2 - 28x

3.

EJEMPLO 7.2.4

Sea f la transformación lineal de R3 en R

4 definida por

f((a, b, c)) = (a + 3b – c, 2a + b + 3c, -3a - 14b + 8c, 3a + 4b + 2c)

Obtenga fS en las bases canónicas.

SOLUCION

Tómense las bases canónicas de R3 y R

4:

S1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

y

S2 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}

A continuación, obtenemos las imágenes correspondientes

f((1, 0, 0)) = (1, 2, -3, 3), f((0, 1, 0)) = (3, 1, -14, 4), f((0, 0, 1)) = (-1, 3, 8, 2)

obtenemos la matriz

2

1

1 3 1

2 1 3

3 14 8

3 4 2

f

S

S.

EJEMPLO 7.2.5

Encuentre la matriz de la transformación lineal D definida en el conjunto de

polinomios en t sobre R de grado a lo sumo igual a 2 mediante D(p(t)) = p´(t), en

relación con la base.

a.- S1 = {1 + t, t, 1 + 2t + t2}; b.- S2 = {1/2(1 - t), 1/2(1 + t), t

2}.

SOLUCION

a.- D(1 + t) = 1 = 1(1 + t) + (-1)t + 0(1 + 2t + t2)

D(t) = 1 = 1(1 + t) + (-1)t + 0(1 + 2t + t2)

D(1 + 2t + t2) = 2 + 2t = 2(1 + t) + 0t + 0(1 + 2t + t

2)


JOE GARCIA ARCOS

330

1 1 2

D 1 1 0

0 0 0

.

b.- D(1/2(1 - t)) = - 1/2 = (-1/2)1/2(1 - t) + (-1/2)1/2(1 + t) + 0t2

D(1/2(1 + t)) = 1/2 = 1/21/2(1 - t) + 1/21/2(1 + t) + 0.t2

D(t2) = 2t = (-2)1/2(1 - t) + 21/2(1 + t) + 0t

2

1/ 2 1/ 2 2

D 1/ 2 1/ 2 2

0 0 0

.

EJEMPLO 7.2.6

Sea V el espacio de todas las funciones de la forma aet + be

2t + ce

3t. Si se define

D : V V mediante D(f(t)) = f ´(t), obtenga:

a.- La matriz de D con respecto a la base 1 = {et, e

2t, e

3t};

b.- La matriz de D con respecto a la base 2 = {et + e

2t, e

2t + e

3t, e

t + e

3t}.

SOLUCION

a.- D(et) = e

t = 1e

t + 0e

2t + 0e

3t ; D(e

2t) = 2e

2t = 0e

t + 2e

2t + 0e

3t

D(e3t) = 3e

3t = 0e

t + 0e

2t + 3e

3t

1 0 0

D 0 2 0

0 0 3

b.- D(et + e

2t) = e

t + 2e

2t = 3/2(e

t + e

2t) + 1/2(e

2t + e

3t) + (-1/2)(e

t + e

3t)

D(e2t + e

3t) = 2e

2t + 3e

3t = (-1/2)(e

t + e

2t) + 5/2(e

2t + e

3t) + 1/2(e

t + e

3t)

D(et + e

3t) = e

t + 3e

3t = (-1)(e

t + e

2t) + 1(e

2t + e

3t) + 2(e

t + e

3t)

3 11

2 2

1 5D 1

2 2

1 12

2 2

.

EJEMPLO 7.2.7

Se examina el espacio vectorial de los vectores u = ae1 + be2 + ce3 + de4, donde a, b,

c, d son escalares reales. Demostrar que la transformación f definida por f(u) = be1 +

ce2 + de3 + ae4 es lineal, y hallar su representación matricial.

SOLUCION

Sabemos que f(u) = f((a, b, c, d)) = (b, c, d, a). Encontramos las imágenes con

respecto de la base canónica de R4:

f((1, 0, 0, 0)) = (0, 0, 0, 1); f((0, 1, 0, 0)) = (1, 0, 0, 0);

f((0, 0, 1, 0)) = (0, 1, 0, 0); f((0, 0, 0, 1)) = (0, 0, 1, 0)

Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma:

0 1 0 0

0 0 1 0A

0 0 0 1

1 0 0 0

f

.

EJEMPLO 7.2.8

Sea V = P4 el espacio de todos los polinomios de grado menor o igual a 4, en la

indeterminada t y defínase f de P4 en P4 por ( ( )) ´́ ( ) 2 (́ ) ( )f p t p t p t p t .

Representar a f mediante una matriz respecto a la base canónica de P4.


JOE GARCIA ARCOS

331

SOLUCION

Sabemos que

p(t) = a + bt + ct2 + dt

3 + et

4,

p´(t) = b + 2ct + 3dt2 + 4et

3,

p´´(t) = 2c + 6dt + 12et2.

De donde:

f(a + bt + ct2 + dt

3 + et

4) = (a + 2b + 2c) + (b + 4c + 6d)t + (c + 6d + 12e)t

2 +

+ (d + 8e)t3 + et

4.

Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de P4:

f(1) = 1 + 0t + 0t2 + 0t

3 + 0t

4; f(t) = 2 + t + 0t

2 + 0t

3 + 0t

4;

f(t2) = 2 + 4t + t

2 + 0t

3 + 0t

4; f(t

3) = 0 + 6t + 6t

2 + t

3 + 0t

4;

f(t4) = 0 + 0t + 12t

2 + 8t

3 + t

4.


1 2 2 0 0

0 1 4 6 0

A 0 0 1 6 12

0 0 0 1 8

0 0 0 0 1

f

.

EJEMPLO 7.2.9

Considérese la transformación lineal f : P3 P2 definida por

f(at3 + bt

2 + ct + d) = (a + b + c)t

2 + (2b – c + 4d).

Determine la matriz de f en las bases canónicas.

SOLUCION

Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de P3 y luego cada una

de éstas, las expresamos como combinación lineal de la base canónica de P2:

f(t3) = t

2 + 0t + 0; f(t

2) = t

2 + 0t + 2; f(t) = t

2 + 0t – 1; f(1) = 0t

2 + 0t + 4.


1 1 1 0

A 0 0 0 0

0 2 1 4

f

.

EJEMPLO 7.2.10

Considérese la transformación lineal f : C2 C

2 definida por f((a, b)) = (a + b, ib).

Determine la matriz de f en las bases canónicas.

SOLUCION

Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de C2 y luego cada una

de éstas, las expresamos como combinación lineal de la base canónica de C2:

f((1, 0)) = (1, 0), f((0, i)) = (i, -1).


1A

0 1f

i

.

PROBLEMAS

7.2.1 La transformación lineal definida en el ejemplo

anterior es uno a uno, es decir, f no aplica a dos vectores

diferentes sobre el mismo vector. Por tanto, existe una

transformación lineal que aplica a (3, -1) sobre (1, 0) y a

(-1, 2) sobre (0, 1). Esta transformación lineal invierte la

aplicación dada por f. Determine la matriz que la

representa con respecto a las bases canónicas.

7.2.2 Encuentre la representación matricial A de la

transformación lineal f, use A para encontrar la imagen

del vector v y trace la gráfica de v y su imagen:

a.- f es la reflexión a través del origen en R2:

f((x, y)) = (-x, -y), v = (3, 4).

b.- f es la reflexión en la recta y = x en R2:

f((x, y)) = (y, x), v = (3, 4).


JOE GARCIA ARCOS

332

c.- f es la rotación de 135° en sentido antihorario en R2,

v = (4, 4).

d.- f es la rotación de 60° en sentido horario en R2,

v = (1, 2).

e.- f es la reflexión a través del plano de coordenadas

XY en R3: f((x, y, z)) = (x, y, -z), v = (3, 2, 2).

f.- f es la reflexión a través del plano de coordenadas YZ

en R3:

f((x, y, z)) = (-x, y, z), v = (2, 3, 4).

g.- f es la rotación de 180° en sentido antihorario en R2,

v = (1, 2).

h.- f es la rotación de 45° en sentido antihorario en R2,

v = (2, 2).

i.- f es la proyección sobre el vector w = (3, 1) en R2:

( ) proywf v v , v = (1, 4).

j.- f es la proyección sobre el vector w = (-1, 5) en R2:

( ) proywf u u , u = (2, -3).

k.- f es la reflexión con respecto al vector w = (3, 1) en

R2, v = (1, 4). (La reflexión de un vector v a través de w

está definida por ( ) 2proywf v v v ).

7.2.3 Rote 90° alrededor del punto (5, 3) en sentido

antihorario el triángulo cuyos vértices son (3, 5), (5, 3) y

(3, 0). Graficar los triángulos.

Encuentre las matrices que representan a esta

transformación lineal con respecto a las bases canónicas

de R2 y {(1, 1), (1, -2)}.

7.2.4 Sea la transformación lineal f : R2 R

3 que

aplica a (1, 1) sobre (0, 1, 2) y a (-1, 1) sobre (2, 1, 0).

Determine la matriz que representa a f con respecto a las

bases S1 = {(1, 0), (0, 1)} en R2 y S2 = {(1, 0, 0),

(0, 1, 0), (0, 0, 1)} en R3.

7.2.5 Sea 1 0

A0 1

, u = (5, 2) y v = (3, -1). Sea

f(w) = Aw para w en R2:

a.- En un sistema de coordenadas rectangulares, grafique

los vectores u, v, f(u) y f(v).

b.- Dé una interpretación geométrica de lo que f hace a un

vector w en R2.

7.2.6 Sea f una transformación lineal tal que f(u) = u

para u en Rn. Encuentre la matriz A para f.

7.2.7 Sea f una transformación lineal de R2 hacia sí

mismo que aplica a (1, 1) sobre (2, -3) y a (1, -1) sobre

(4, -7). Determine la matriz que representa a f con

respecto a las bases canónicas.

7.2.8 Una transformación afín f : Rn R

m tiene la

forma f(u) = Au + b, siendo A una matriz de m x n y con

b en Rm. Demuestre que f no es una transformación lineal

cuando b .

7.2.9 Decimos que una recta se aplica sobre sí misma,

si cada punto de la recta se aplica sobre un punto de la

recta, pero no todos sobre el mismo punto, aún

considerando que los puntos en la recta se pueden

mover de un lado a otro:

a.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre

(-1, 0) y a (0, 1) sobre (0, -1). Demuestre que cada recta

que pasa por el origen se aplica sobre sí misma.

Demuestre que cada una de esas rectas se aplica sobre sí

misma con el sentido de la dirección invertido. Esta

transformación lineal se llama inversión con respecto al

origen. Encuentre la matriz que representa a esta

transformación lineal con respecto a la base canónica de

R2.

b.- Una transformación lineal aplica a (1, 1) sobre

(-1, -1) y deja fijo a (1, -1). Demuestre que toda recta

perpendicular a la recta x1 + x2 = 0 se aplica sobre sí

misma, con el sentido de la dirección invertido.

Pruebe que cada punto sobre la recta x1 + x2 = 0 se deja

fijo. ¿Cuáles rectas de las que pasan por el origen se

aplican sobre sí mismas?. Esta transformación lineal se

llama reflexión alrededor de la línea x1 + x2 = 0.

Encuentre la matriz que representa a esta transformación

lineal con respecto a la base canónica en R2. Encuentre

la matriz que representa a esta transformación lineal con

respecto a la base {(1, 1), (1, -1)}.

c.- Una transformación lineal aplica a (1, 1) sobre

(2, 2) y a (1, -1) sobre (3, -3). Demuestre que las rectas

que pasan por el origen y por los puntos (1, 1) y (1, -1)

se aplican sobre sí mismas y que ningunas otras rectas

se aplican sobre sí mismas. Encuentre las matrices que

representan a esta transformación lineal con respecto a

las bases, canónicas en R2 y {(1, 1), (1, -1)}.

d.- Una transformación lineal deja fijo a (1, 0) y aplica

(0, 1) sobre (1, 1). Demuestre que cada recta de la forma

x2 = c se aplica sobre sí misma y se traslada dentro de sí

misma una distancia igual a c. Esta transformación

lineal se llama deslizamiento. ¿Cuáles rectas que pasan

por el origen se aplican sobre sí mismas? Encuentre la

matriz que representa a esta transformación lineal con

respecto a la base canónica de R2.

e.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre

(5/13, 12/13) y a (0, 1) sobre (-12/13, 5/13). Demuestre

que toda recta que pasa por el origen se hace girar en un

ángulo = ArcCos(5/13), en sentido antihorario. Esta

transformación lineal se llama rotación. Encuentre la

matriz que representa a esta transformación lineal con

respecto a la base canónica de R2.

f.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre

(2/3, 2/3) y a (0, 1) sobre (1/3, 1/3). Demuestre que cada

punto sobre la recta 2x1 + x2 = 3c se aplica sobre el

único punto (c, c). La recta x1 – x2 = 0 se deja fija. La

única otra recta que pasa por el origen y se aplica sobre

sí misma, es la recta 2x1 + x2 = 0. Esta transformación

lineal se llama proyección sobre la recta x1 – x2 = 0

paralela a la recta 2x1 + x2 = 0.


JOE GARCIA ARCOS

333

7.2.10 Sea S = {1, x, x2, x

3} una base de P3 y sea

f : P3 P4 la transformación lineal definida por

0( )

xk kf x t dt :

a.- Encuentre la matriz A para f con respecto a S y a la

base canónica de P4.

b.- Use A para integrar p(x) = 15 + 6x – 2x2 + 5x

3.

7.2.11 Use la matriz de rotación en R2 en sentido

antihorario para rotar 90° alrededor del origen el

triángulo cuyos vértices son (3, 5), (5, 3) y (3, 0).

Grafique los triángulos.

7.2.12 Sean

S1 = {(1, 3), (-2, -2)} y S2 = {(-12, 0), (-4, 4)}

bases de R2, y sea

3 2A

0 4

la matriz de f : R2 R

2

con respecto a S1:

a.- Determine la matriz de transición P de S2 a S1.

b.- Aplique las matrices A y P para encontrar 1

[ ]v S y

1[ ( )]f v S , donde

2

1[ ]

2v

S .

c.- Determine B, la matriz de f con respecto a S2, y P-1

.

d.- Encuentre 2

[ ( )]f v S de dos formas: primero como

1

1P [ ( )]f vS y luego como

2B[ ]v S .

7.2.13 En R3 sean S1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y

S2 = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}. Encuentre la matriz de

transición P de S1 hacia S2 y la matriz de transición P-1

de S2 hacia S1.

7.2.14 Sea S1, S2 y S3 tres base de V. Sea P la matriz de

transición de S1 hacia S2 y Q la matriz de transición de S2

hacia S3. ¿Es PQ o QP la matriz de transición de S1 hacia

S3? Compare el orden de multiplicación de las matrices

de transición y de las matrices que representan

transformaciones lineales.

7.2.15 Sea f una transformación lineal de R2 hacía si

mismo que aplica a (1, 0) sobre (3, -1) y a (0, 1) sobre (-

1, 2). Determine la matriz que representa a f con respecto

a las bases canónicas.

7.2.16 Sea S = {1, x, ex, xe

x} una base de un subespacio

U del espacio de funciones continuas y sea Dx el

operador diferencial sobre U. Encuentre la matriz para Dx

con respecto a la base S.

7.2.17 Sea S = {e2x

, xe2x

, x2e

2x} una base de un

subespacio U del espacio de funciones continuas y sea Dx

el operador diferencial sobre U. Encuentre la matriz para

Dx con respecto a la base S.

7.2.18 Sea u = (x, y), v = (-7, 4) y w = (3, -8), y sea

f : R2 R

2 una transformación que transforma u en

v + w. Encuentre una matriz tal que f(u) sea Au para

cada u.

7.2.19 La transformación lineal definida por una matriz

diagonal cuyos elementos en la diagonal principal son

positivos se denomina amplificación. Encontrar las

imágenes de (1, 0), (0, 1) y (2, 2) bajo la transformación

definida por 2 0

A0 3

e interpretar gráficamente los

resultados.

7.2.20 Considere los números complejos de la forma

x + iy y represente tales números complejos por las

diadas (x, y) en R2. Sea a + ib un número complejo fijo.

Considere la función f definida por la regla

f(x + iy) = (a + ib)(x + iy) = u + iv:

a.- Demuestre que esta función es una transformación

lineal de R2 hacia sí mismo que aplica a (x, y) sobre

(u, v).

b.- Encuentre la matriz que representa a esta

transformación lineal con respecto a la base canónica.

c.- Encuentre la matriz que representa a la

transformación lineal que se obtiene usando c + id en

lugar de a + ib. Calcule el producto de estas dos

matrices. ¿Se pueden conmutar?

d.- Determine el número complejo que se pueda usar en

lugar de a + ib para obtener una transformación

representada por este producto de matrices. ¿Cómo está

relacionado este número complejo con a + ib y c + id?

7.2.21 En el espacio C0; 1, definamos T(f) como Mf,

donde Mf es la función de x definida de la manera

siguiente, Mf(x) = máximo de f en 0; x, 0 x 1. De

esto tenemos un ejemplo en un termómetro que registra

la temperatura máxima. Se puede demostrar que Mf(x)

es función continua en 0; 1 cuando f también lo es:

a.- Encuéntrese T(f) en

f(x) = x – x2, f(x) = e

-x, f(x) = Sen3x, f(x) = x

2 – x.

b.- ¿Es T transformación lineal?

c.- Descríbanse las funciones f para las cuales T(f) es la

función cero.

d.- Descríbanse las funciones f para las cuales T(f) = f.

7.2.22 Sea f : R3 R

3 la transformación lineal

determinada por la matriz

0 0

A 0 0

0 0

a

b

c

donde a, b y c son números positivos. Sea S la esfera

unitaria, cuya superficie limitante tiene la ecuación 2 2 21 2 3 1x x x :


JOE GARCIA ARCOS

334

a.- Demuestre que f(S) está delimitada por el elipsoide

que tiene la ecuación 22 231 2

2 2 21

xx x

a b c .

b.- Utilice el hecho de que el volumen de la esfera

unitaria es 4/3 para determinar el volumen de la región

acotada por el elipsoide de a).

7.3 ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES

En esta sección se analizarán las operaciones que se pueden realizar entre transformaciones lineales.

Enunciaremos sus propiedades más importantes.

Comenzamos el estudio sistemático de las transformaciones lineales con la

descripción de varias maneras en que pueden formarse nuevas transformaciones

partiendo de otras. De entre ellas la más simple es la adición de dos

transformaciones lineales, cada una de las cuales aplica un espacio vectorial dado

U en el espacio V.

DEFINICION 7.3.1

Sean U y V espacios vectoriales, ambos sobre el mismo cuerpo K. La suma

f + g de las transformaciones lineales f de U en V y g de U en V está dada

por (f + g)(u) = f(u) + g(u) para cada vector u de U.

Ciertamente f + g es función de U en V. No obstante, es natural preguntarse si f + g


TEOREMA 7.3.1

La suma f + g de las transformaciones lineales f de U en V y g de U en V,


DEMOSTRACION

Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean a y b escalares arbitrarios de K. Para

demostrar que f + g sea una transformación lineal, debemos probar que

(f + g)(au + bv) = a(f + g)(u) + b(f + g)(v).

Es decir

(f + g)(au + bv) = f(au + bv) + g(au + vb)

= [af(u) + bf(v)) + (ag(u) + bg(v))]

= [af(u) + ag(u)) + (bf(v) + bg(v))]

= a[f(u) + g(u)] + b[f(v) + g(v)]

= a(f + g)(u) + b(f + g)(v).

La adición de transformaciones lineales tiene un gran número de propiedades

familiares y sugerentes. En primer lugar f + (g + h) = (f + g) + h y f + g = g + f,

siempre que f, g y h sean transformaciones lineales de U en V. En segundo lugar, la

transformación cero de U en V actúa como un cero para esta adición, ya que f + =

+ f = f para toda f de U en V. Finalmente, si f es cualquier transformación lineal de

U en V y si definimos –f por la ecuación (-f)(u) = - f(u), para toda u de U, obtenemos

una transformación lineal de U en V con la propiedad de que f + (-f) = (-f) + f = .

A continuación detallaremos la matriz asociada a la transformación lineal f + g. Sean

S1 = {u1, u2, ..., un} y S2 = {v1, v2, ..., vm} bases de los espacios vectoriales U y V

respectivamente, y sean

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...A

... ... ...

...

n

nf

m m nm

a a a

a a a

a a a

y

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...B

... ... ..

...

n

ng

m m nm

b b b

b b b

b b b

las matrices asociadas a las transformaciones lineales f y g respecto de las bases


JOE GARCIA ARCOS

335

consideradas anteriormente. Calculamos los transformados de los elementos de la

base S1, para determinar la matriz asociada a la transformación f + g:

(f + g)(u1) = f(u1) + g(u1)

= (a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm) + (b11v1 + b12v2 + ... + b1mvm)

= (a11 + b11)v1 + (a12 + b12)v2 + … + (a1m + b1m)vm

(f + g)(u2) = f(u2) + g(u2)

= (a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm) + (b21v1 + b22v2 + ... + b2mvm)

= (a21 + b21)v1 + (a22 + b22)v2 + … + (a2m + b2m)vm

. . .

(f + g)(un) = f(un) + g(un)

= (an1v1 + an2v2 + ... + anmvm) + (bn1v1 + bn2v2 + ... + bnmvm)

= (an1 + bn1)v1 + (an2 + bn2)v2 + … + (anm + bnm)vm

Por tanto, la matriz asociada en las bases consideradas vendrá dada por

11 11 21 21 1 1

12 12 22 22 2 2

1 1 2 2

...

...A B

... ... ...

...

n n

n nf g

m m m m nm nm

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

es decir, la matriz asociada a la transformación lineal f + g se obtiene sumando

término a término los elementos de las matrices asociadas a la transformaciones

lineales f y g.

EJEMPLO 7.3.1

La transformación lineal f consiste en que cada vector del plano está vuelto en el

ángulo = /4. Hallar en la forma de coordenada la transformación lineal f + i.

SOLUCION Tenemos que

2 2( )

4 4 2 2f i iCos jSen i j

;

3 3 2 2( )

4 4 2 2f j iCos jSen i j

Por consiguiente

2 2

2 2A

2 2

2 2

f

.

Como Ii es la matriz identidad de 2 x 2, entonces

2 2 2 21

1 02 2 2 2A I

0 12 2 2 21

2 2 2 2

f i

.

La transformación lineal Af + Ii se puede escribir como

2 2 2 2( )(( , )) 1 , 1

2 2 2 2f i a b a b a b

.

EJEMPLO 7.3.2

Se dan dos transformaciones lineales

f((a, b, c)) = (a + 2b + 3c, 4a + 5b + 6c, 7a + 8b)

g((a, b, c)) = (a + 3b + c, a – 3b + 2c, a + c).

Hallar 3f – 2g.

SOLUCION

Como 3f – 2g : R3 R

3, entonces:

3f((a, b, c)) – 2g((a, b, c)) = 3(a + 2b + 3c, 4a + 5b + 6c, 7a + 8b) - 2(a + 3b + c,

a – 3b + 2c, a + c)


JOE GARCIA ARCOS

336

= (3a + 6b + 9c, 12a + 15b + 18c, 21a + 24b) - (2a + 6b + 2c, 2a – 6b + 4c, 2a + 2c)

= (a + 7c, 10a + 21b + 14c, 19a + 24b – 2c).

Para completar lo que ahora debe ser una sucesión obvia de ideas, presentamos

una multiplicación escalar en el conjunto de las transformaciones lineales de U en

V.

DEFINICION 7.3.2

El producto escalar af de un escalar a de K y una transformación lineal f

de U en V está dada por (af)(u) = af(u) para todo vector u de U.

En otras palabras, af es la función cuyo valor en u se calcula formando el producto

escalar de a y el vector f(u).

TEOREMA 7.3.2

El producto escalar af de un escalar a de K y una transformación lineal f de

U en V, es una transformación lineal.

DEMOSTRACION

Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean k y r, escalares arbitrarios. Para

demostrar que af es una transformación lineal, debemos probar que

(af)(ku + rv) = k[(af)(u)] + r[(af)(v)].

Es decir

(af)(ku + rv) = a[f(ku + rv)]

= a[kf(u) + rf(v)]

= (ak)f(u) + (ar)f(v)

= k[af(u)] + r[af(v)]

= k[(af)(u)] + r[(af)(v)].

Sean S1 = {u1, u2, ..., un} y S2 = {v1, v2, ..., vm} bases de los espacios vectoriales U y

V respectivamente, y sea

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...A

... ... ...

...

n

nf

m m nm

a a a

a a a

a a a

la matriz asociada a la transformación lineal f en las bases consideradas

anteriormente.

Calculamos los transformados de los elementos de la base S1, para determinar la

matriz asociada a la transformación af:

(af)(u1) = af(u1) = a(a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm)

= aa11v1 + aa12v2 + ... + aa1mvm

(af)(u2) = af(u2) = a(a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm)

= aa21v1 + aa22v2 + ... + aa2mvm

. . .

(af)(un) = af(un) = a(an1v1 + an2v2 + ... + anmvm)

= aan1v1 + aan2v2 + ... + aanmvm

por tanto, la matriz asociada en las bases consideradas vendrá dada por

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...A

... ... ...

...

n

nf

m m nm

aa aa aa

aa aa aaa

aa aa aa

es decir, la matriz asociada a la transformación lineal af se obtiene multiplicando el

escalar a por todos los elementos de la matriz asociada a la transformación lineal f.


JOE GARCIA ARCOS

337

Al conjunto de transformaciones lineales f de U en V, se designa por L(U, V). Si

U y V son ambos de dimensión finita, entonces L(U, V) es de dimensión finita, y de

hecho dimL(U, V) = dimUdimV.

TEOREMA 7.3.3

Con la adición y la multiplicación escalar como se definieron antes,

L(U, V) es un espacio vectorial sobre K.

DEMOSTRACION

Es necesario verificar, uno por uno, que los axiomas de la definición de espacio

vectorial son satisfechos. Para comprobar el primer axioma, debemos demostrar que

la suma f + g de las transformaciones lineales es una transformación lineal. Esto ya

se demostró antes. Para comprobar el axioma 6 se debe demostrar que el producto af

del escalar a y la transformación lineal f es una transformación lineal. Esto también

lo hicimos antes. La demostración se termina ahora con el siguiente razonamiento:

L(U, V) es un subconjunto de V(U), y las operaciones de adición y multiplicación

por escalares en L(U, V) y V(U), son las mismas. Como L(U, V) no es vacío y

satisface los dos axiomas 1 y 6, se desprende que L(U, V) es un espacio vectorial. El

espacio L(U, V) es un subespacio de V(U).

Para definir esta multiplicación, sean U, V y W espacios vectoriales, y

consideremos un par de transformaciones lineales f : U V y g : V W.

Entonces, para todo u de U, f(u) es un vector en V, y tiene por ello sentido hablar

de aplicar g a f(u) para obtener el vector g(f(u)) de W. Así, f y g pueden

combinarse, o multiplicarse, para producir una transformación de U en W, la que

denotaremos por gf, y llamaremos el producto de f y g en ese orden, es decir, primero

f, luego g.

DEFINICION 7.3.3

El producto, gf de las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W

se define por (gf)(u) = g(f(u)) para todo vector u de U.

TEOREMA 7.3.4

El producto gf de las transformaciones lineales f de U en V y g de V en

W es una transformación lineal.

DEMOSTRACION

Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean a y b escalares arbitrarios. Para

demostrar que gf es una transformación lineal, debemos probar que

(gf)(au + bv) = a[(gf)(u)] + b[(gf)(v)].

Es decir

(gf)(au + bv) = g[f(au + bv)]

= g[af(u) + bf(v)]

= ag[f(u)] + bg[f(v)]

= a[(gf)(u)] + b[(gf)(v)].

Antes de proseguir, es conveniente un comentario sobre la notación. A primera vista

parecería más razonable denotar la composición de f y g por fg en lugar de gf como

arriba aparece. La explicación de no adoptar esta notación es muy simple. Si se usara

gf tendría que cambiarse para que tuviéramos fg(u) = g(f(u)), y la escritura de

ecuaciones se convertiría en una clara invitación al error. Una vez que se ha

establecido la convención de que el símbolo gf es el que se emplea para la

composición de f y g, en ese orden, observamos que esta composición está definida

solamente cuando la imagen de f está contenida en el dominio de g. Así pues, una de

las composiciones fg ó gf puede existir y el otro no. Pero incluso cuando tanto f como

g transformen un espacio vectorial dado en sí mismo, en cuyo caso fg y gf son

transformaciones lineales en el mismo espacio, no es cierto en forma alguna que


JOE GARCIA ARCOS

338

deban ser iguales. En resumen la composición de transformaciones lineales es

anticonmutativa.

A continuación damos la representación matricial de la transformación lineal gf.

Sean S1 = {u1, u2, ..., un}, S2 = {v1, v2, ..., vr} y S3 = {w1, w2, ..., wm} bases de los

espacios vectoriales U, V y W respectivamente, y sean

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...A

... ... ...

...

n

nf

r r nr

a a a

a a a

a a a

y

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...B

... ... ...

...

r

rg

m m rm

b b b

b b b

b b b

las matrices asociadas a las transformaciones lineales f y g respecto de las bases

consideradas anteriormente. Calculamos los transformados de los elementos de la

base S1, para determinar la matriz asociada a la transformación gf:

(gf)(u1) = g(f(u1))

= g(a11v1 + a12v2 + ... + a1rvr)

= a11g(v1) + a12g(v2) + … + a1rg(vr)

= a11(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + a12(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm) + … +

a1r(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm)

= c11w1 + c12w2 + ... + c1mwm

(gf)(u2) = g(f(u2))

= g(a21v1 + a22v2 + ... + a2rvr)

= a21g(v1) + a22g(v2) + … + a2rg(vr)

= a21(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + a22(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm) + … +

a2r(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm)

= c21w1 + c22w2 + ... + c2mwm

. . .

(gf)(un) = g(f(un))

= g(an1v1 + an2v2 + ... + anrvr)

= an1g(v1) + an2g(v2) + … + anrg(vr)

= an1(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + an2(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm) + … +

anr(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm)

= cn1w1 + cn2w2 + ... + cnmwm

donde

c11 = a11b11 + a12b21 + ... + a1rbr1

c21 = a11b12 + a12b22 + ... + a1rbr2

. . .

cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + airbrj

. . .

cnm = an1b1m + an2b2m + ... + an rbr m

y la matriz asociada a la transformación lineal gf respecto de las bases consideradas,

será:

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...B A

... ... ...

...

n

ng f

m m nm

c c c

c c c

c c c

esto es, los elementos cij de la matriz asociada a la transformación lineal gf se

obtienen sumando los productos que resultan de multiplicar los elementos de la fila

que ocupa el lugar j en la matriz Bg por los elementos de la columna que ocupa el

lugar i de la matriz A.

Relacionando las operaciones de adición y multiplicación de transformaciones

lineales, tenemos dos leyes distributivas.


JOE GARCIA ARCOS

339

TEOREMA 7.3.5

Sean f y g transformaciones lineales de U en V y h y t transformaciones

lineales de V en W. Entonces tenemos:

a.- h(f + g) = hf + hg;

b.- (h + t)f = hf + tf.

DEMOSTRACION

a.- Como f + g va de U en V y h va de V en W, entonces h(f + g) es una función de

U en W. Análogamente, hf va de U en W y hg va de U en W y así hf + hg es una

función de U en W. Por tanto, para demostrar que h(f + g) = hf + hg, debemos

evaluar cada miembro en un vector arbitrario u de U y comprobar que los dos

resultados son siempre iguales. Es decir

[h(f + g)](u) = h[(f + g)(u)]

= h[f(u) + g(u)]

= h[f(u)] + h[g(u)]

= (hf)(u) + (hg)(u)

= (hf + hg)(u)

b.- Como h + t va de V en W y f va de U en V, entonces (h + t)f es una función de

U en W. Análogamente, hf va de U en W y tf va de U en W y así hf + tf es una

función de U en W. Por tanto, para demostrar que (h + t)f = hf + tf, debemos evaluar

cada miembro en un vector arbitrario u de U y comprobar que los dos resultados son

siempre iguales. Es decir

[(h + t)f](u) = (h + t)[f(u)] = h[f(u)] + t[f(u)] = (hf)(u) + (tf)(u) = (hf + tf)(u).

Obsérvese que en el primer producto, h aparece a la izquierda, mientras que en el

segundo producto, f aparece a la derecha. Debido a que la multiplicación de las

transformaciones lineales no es conmutativa, las dos fórmulas no pueden

comprimirse en una sola ley distributiva. La primera fórmula se llama ley

distributiva a la izquierda y, la segunda fórmula, ley distributiva a la derecha. Sean

las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W, y a un escalar arbitrario.

Entonces

a(gf) = (ag)f = g(af).

Hemos presentado los resultados básicos referentes a las sumas, a los productos

escalares y a los productos de transformaciones lineales.

Consideremos ahora el caso especial de las transformaciones lineales de V en V; esto

es, estudiaremos ahora L(V, V).

TEOREMA 7.3.6

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entonces L(V, V) cumple lo

siguiente:

a.- L(V, V) es un espacio vectorial sobre K;

b.- L(V, V) es cerrado bajo la multiplicación;

c.- f(gh) = (fg)h para toda f, g y h de L(V, V);

d.- Para cualesquiera f, g y h de L(V, V) tenemos

f(g + h) = fg + fh y (g + h)f = gf + hf;

e.- Para un escalar a de K y cualesquiera f y g de L(V, V), tenemos que


JOE GARCIA ARCOS

340

a(fg) = (af)g = f(ag);

f.- i(f) = f para toda f de L(V, V).

EJEMPLO 7.3.3

Se dan dos transformaciones lineales:

f((a, b, c)) = (a + b, b + c, c + a) y g((a, b, c)) = (b + c, a + c, a + b).

Hallar las transformaciones fg y gf.

SOLUCION

Las matrices de las transformaciones dadas tienen la forma

1 1 0

A 0 1 1

1 0 1

f

,

0 1 1

B 1 0 1

1 1 0

g

.

Hallamos los productos de estas matrices:

1 1 0 0 1 1 1 1 2

A B 0 1 1 1 0 1 2 1 1

1 0 1 1 1 0 1 2 1

f g

,

0 1 1 1 1 0 1 1 2

B A 1 0 1 0 1 1 2 1 1

1 1 0 1 0 1 1 2 1

g f

.

En este caso AfBg = BgAf, por eso las transformaciones fg y gf coinciden. La forma

de coordenadas de la transformación fg se escribe de la forma siguiente:

gf((a, b, c)) = fg((a, b, c) = (a + b + 2c, 2a + b + c, a + 2b + c).

EJEMPLO 7.3.4

Demuestre que si f : U V, g : V W y h : W X son tres transformaciones,

tenemos entonces que h(gf) = (hg)f.

SOLUCION

Las transformaciones h(gf) y (hg)f tienen ambas dominio U y valores en X. Para cada

u de V, tenemos

(h(gf))(u) = h((gf)(u)) = h(g(f(u))) y ((hg)f)(u) = (hg)(f(u)) = h(g(f(u)))

lo que demuestra que h(gf) y (hg)f.

EJEMPLO 7.3.5

Sea V = R2. Sea S = {e1, e2} la base canónica de R

2. Defínanse f y g en L(V, V) tales

que cumplan f(e1) = e2, f(e2) = , g(e1) = e1 + e2, g(e2) = . Demuestre que aunque

fg y gf están ambas en L(V, V), fg gf.

SOLUCION

Hacemos la combinación lineal con el vector (a, b):

(a, b) = (1, 0) + (0, 1) = (, ) a

b

.

f((a, b)) = af((1, 0)) + bf((0, 1)) = a(0, 1) + b(0, 0) = (0, a)

(a, b) = (1, 0) + (0, 1) = (, ) a

b

.

g((a, b)) = ag((1, 0)) + bg((0, 1)) = a(1, 1) + b(0, 0) = (a, a)

(fg)(a, b) = (0, a), (gf)(a, b) = (0, 0) fg gf.

Otra forma de resolver este problema, es el siguiente: Sabemos que S = {(1, 0),

(0,1)}, entonces:

f((1, 0)) = (0, 1), f((0, 1)) = (0, 0) 0 0

A1 0

f

;


JOE GARCIA ARCOS

341

g((1, 0)) = (1, 1), g((0, 1)) = (0, 0) 1 0

A1 0

g

.

0 0 1 0 0 0A A

1 0 1 0 1 0f g

, 1 0 0 0 0 0

A A1 0 1 0 0 0

g f

Por tanto f g g f .

EJEMPLO 7.3.6

Sea V un espacio vectorial. Sean f, g de L(V, V). Demuestre que

(f + g)2 = f

2 + 2fg + g

2

si y sólo si fg = gf.

SOLUCION

Como f : V V, g : V V, entonces por definición

f + g : V V y (f + g)2 : V V.

Por lo tanto

(f + g)2 = (f + g)(f + g) = f

2 + fg + gf + g

2.

Como fg = gf, entonces

(f + g)2 = f

2 + 2fg + g

2.

EJEMPLO 7.3.7

Sea V un espacio vectorial. Sea f de L(V, V). ¿Implica siempre f2 = , que f = ?

¿Por qué?

SOLUCION

Como f : V V, entonces f2 : V V. Por lo tanto f

2 = ff es la composición de f

consigo mismo, entonces la transformación lineal f es nula, para que f2 = .

EJEMPLO 7.3.8

Sean f : V V y g : V V transformaciones lineales. Si f y g conmutan, demostrar

que (fg)n = f

ng

n, para todo n 0.

SOLUCION

Como f : V V, g : V V, entonces por definición fg : V V y (fg)n : V V.

Por lo tanto

( ) ( )( ) ( )n

n veces

fg fg fg fg

Como por hipótesis tenemos que fg = gf, entonces (fg)n = f

ng

n.

EJEMPLO 7.3.9

Sea V un espacio vectorial. Si f y g conmutan, demostrar que

(f + g)2 = f

2 + 2fg + g

2 y (f + g)

3 = f

3 + 3f

2g + 3fg

2 + g

3.

Indicar cómo deben modificarse esas fórmulas si fg gf.

SOLUCION

Como f : V V, g : V V, entonces por definición

f + g : V V y (f + g)2 : V V.

Por lo tanto

(f + g)2 = (f + g)(f + g) = f

2 + fg + gf + g

2,

(f + g)3 = (f + g)

2(f + g)

= (f2 + fg + gf + g

2)(f + g)

= f3 + f

2g + fgf + fg

2 + gf

2 + gfg + g

2f + g

3.

Como por hipótesis tenemos fg = gf, entonces

(f + g)2 = (f + g)(f + g) = f

2 + 2fg + g

2,

(f + g)3 = (f + g)

2(f + g) = (f

2 + fg + gf + g

2)(f + g) = f

3 + 3f

2g + 3fg

2 + g

3.

Si fg gf, es decir las transformaciones lineales f y g no son conmutativas, entonces

(f + g)2 = (f + g)(f + g) = f

2 + fg + gf + g

2,

(f + g)3 = (f + g)

2(f + g) = (f

2 + fg + gf + g

2)(f + g)


JOE GARCIA ARCOS

342

= f3 + f

2g + fgf + fg

2 + gf

2 + gfg + g

2f + g

3.

EJEMPLO 7.3.10

Dadas las transformaciones lineales f : R3 R

3 y g : R

3 R

3, definidas por

f((a, b, c)) = (a + b, b – c, 2c) y g((a, b, c)) = (a, 2a + 3b, 4a + c),

describir las transformaciones lineales indicadas a continuación:

a.- 2f - g; b.- f2 + g

2; c.- 3f + 5g; d.- fg - gf; e.- f

2 + 2f + g.

SOLUCION

a.- Como 2f – g : R3 R

3, entonces:

2f((a, b, c)) – g((a, b, c)) = 2(a + b, b – c, 2c) – (a, 2a + 3b, 4a + c)

= (a + 2b, - 2a – b – 2c, - 4a + 3c);

b.- Como f2 + g

2 : R

3 R

3, entonces:

f2((a, b, c)) – g

2((a, b, c)) = (a + 2b – c, b – 3c, 4c) - (a, 8a + 9b, 8a + c)

= (2b – c, - 8a – 8b – 3c, - 8a + 3c);

c.- Como 3f + 5g : R3 R

3, entonces:

3f((a, b, c)) + 5g((a, b, c)) = 3(a + b, b – c, 2c) + 5(a, 2a + 3b, 4a + c)

= (8a + 3b, 10a + 18b – 3c, 20a + 11c);

d.- Como fg – gf : R3 R

3, entonces:

fg((a, b, c)) – gf((a, b, c)) = (3a + 3b, - 2a + 3b – c, 8a + 2c) – (a + b, 2a + 5b – 3c,

4a + 4b + 2c)

= (2a + 2b, - 4a – 2b + 2c, 4a – 4b)

e.- Como f2 + 2f + g : R

3 R

3, entonces:

f2((a, b, c)) + 2f((a, b, c)) + g((a, b, c)) = (a + 2b – c, b – 3c, 4c) + 2(a + b, b – c, 2c)

+ (a, 2a + 3b, 4a + c)

= (4a + 4b – c, 2a + 6b – 5c, 4a + 9c).

PROBLEMAS

7.3.1 Si P es el conjunto de los polinomios en x sobre R,

sean f : P P, definida por f(p(x)) = p´(x) y g : P P,

definida por 0

( ( )) ( )x

g p x p t dt . Pruebe lo siguiente:

a.- fg = i; b.- gf i.

7.3.2 En el espacio vectorial de todas las funciones

reales, cada uno de los siguientes conjuntos es

independiente y genera un subespacio V de dimensión

finita. Utilizar el conjunto dado como base para V y sea

D : V V el operador derivación. En cada caso, hallar

la matriz D y la de D2 relativa a la base que se elige:

a.- {Senx, Cosx}; b.- {x, x + ex, x + e

x + xe

x};

c.- {x, xex, x

2e

x}; d.- {e

2xSen3x, e

2xCos3x};

e.- {ex, xe

x, x

2e

x}; f.- {e

xSenx, e

xCosx}.

7.3.3 Encuéntrense ejemplos de transformaciones

lineales S, T tales que TS está definido, T O, S O y

TS = O.

7.3.4 Una transformación lineal f : R2 R

2 aplica los

vectores base e1 y e2 como sigue:

f(e1) = 3e1 + 5e2 y f(e2) = 2e1 – 3e2:

a.- Calcular f(9e1 – 7e2) y f2(9e1 – 7e2) en función de e1 y

e2.

b.- Determinar la matriz de f y de f2.

c.- Resolver la parte b) si la base canónica se reemplaza

por {2e1 – e2, e1 + 4e2}.


2 se define

de la siguiente manera: cada vector u R2 se

transforma en su simétrico respecto al eje Y y luego se

duplica su longitud para obtener f(u). Determine la

matriz de f y la de f2.

7.3.6 Encontrar la potencia indicada de A, la matriz de

la transformación lineal f:

a.- f : R3 R

3, reflexión en el plano XY. Encontrar A

2.

b.- f : R3 R

3, proyección sobre el plano XY.

Encuentre A2.

c.- f : R2 R

2, rotación de un ángulo en sentido

antihorario. Encontrar A3.

d.- f : P3 P3, operador diferencial. Encontrar A2.

7.3.7 Sea f : R3 R

3 la proyección ortogonal de R

3

sobre el plano XY. Demuestre que ff = f.

7.3.8 Sean f : Rn R

m, g : R

m R

s, h : R

m R

s

transformaciones lineales. Demuestre la propiedad

distributiva de la composición respecto de la suma:

f(g + h) = fg + fh.

¿Es esta propiedad válida para funciones en general?


JOE GARCIA ARCOS

343

7.3.9 Sea f : Rn R

m, g : R

m R

s, h : R

s R

t

transformaciones lineales. Demuestre la propiedad

asociativa de su composición. Es decir, demuestre que

las transformaciones lineales h(gf), (hg)f son

iguales. ¿Es esta propiedad válida para funciones en

general?

7.3.10 Sea f : R R definida por ( ) proyuf v v , en

donde u = (4, 3):

a.- Determinar A, y demuestre que A2 = A.

b.- Demuestre que (I – A)2 = I – A.

c.- Encuentre Av y (I – A)v para v = (5, 0).

d.- Trazar la gráfica de u, v, Av y (I – A)v.

7.3.11 Considere las transformaciones lineales

f : R3 R

2, f((a, b, c)) = (a - b, a + b),

g : R2 R

3, g((a, b)) = (b, a, a – b).

Determine expresiones explícitas para las

transformaciones lineales fg : R2 R

2 y gf : R

3 R

3.

Verifique en cada caso que la matriz que representa a la

composición de transformaciones es el producto de las

matrices que representan a cada una de las

transformaciones lineales que se componen.

7.3.12 Usando multiplicación matricial encuentre la

imagen del vector (3, -1, 2) cuando se hace girar:

a.- 30º en sentido antihorario con respecto al eje X;

b.- 45º en sentido antihorario con respecto al eje Y;

c.- 90º en sentido antihorario con respecto al eje Z.


proyección ortogonal de (3, -4) sobre:

a.- El eje X; b.- El eje Y.


proyección ortogonal de (-1, 3, -2) sobre:

a.- El plano XY; b.- El plano XZ; c.- El plano YZ.


imagen del vector (-1, 4, 7) cuando se hace girar:

a.- -30º en sentido horario con respecto al eje X;

b.- -45º en sentido horario con respecto al eje Y;

c.- -90º en sentido horario con respecto al eje Z.

7.3.16 Determine si fg = gf:

a.- f : R2 R

2 es la proyección ortogonal sobre el eje X y

g : R2 R

2 es la proyección ortogonal sobre el eje Y.

b.- f : R2 R

2 es la rotación en sentido antihorario hasta

describir un ángulo 1 y g : R2 R

2 es la rotación en

sentido antihorario hasta describir un ángulo 2.

c.- f : R2 R

2 es la reflexión respecto al eje X y g : R

2

R2 es la reflexión respecto al eje Y;

7.3.17 Encuentre la matriz estándar para la composición

de operadores lineales sobre R2 que se indica:

a.- Una rotación de 90º en sentido antihorario

b.- Una proyección ortogonal sobre el eje Y, seguida de

una contracción con factor k = ½;

c.- Una reflexión con respecto al eje X, seguida de una

dilatación con factor k = 3.

7.3.18 Sea T una transformación lineal de R2 con la

propiedad de que T(e1) = (1, 1), T(e2) = (0, 1), de

manera que T(x, y) = (x, x + y):

a.- Encuéntrense T2(e1) y T

2(e2) y, en consecuencia,

obténgase T2(x, y). A continuación, demuéstrese que

T2 - 2T + I = O y que (T – I)

2 = O, aunque T – I O.

b.- A partir de los resultados de a), verifíquese que

(T – I)4 = O y que T

4 = 4T

2 - 4T + I.

c.- A partir de los resultados de las partes a) y b),

dedúzcase que T4 = 4T - 3I y encuéntrense T

4(4, -2) y

T4(1, 4).

d.- De los resultados anteriores, demuéstrese que

T3 = 3T - 2I y evalúense T

3(5, 7) y T

3(1, 4).

7.3.19 Sean f : U V y g : U V transformaciones

lineales. Las funciones (f + g) : U V y (f - g) : U V

se definen como

(f + g)(u) = f(u) + g(u) y (f - g)(u) = f(u) - g(u).

Demuestre que f + g y f – g son transformaciones lineales.

Encontrar

(f + g)(a, b) y (f – g)(a, b)

si f : R2 R

2 y g : R

2 R

2 están definidas por las

fórmulas

f(a, b) = (-5b, 2a) y g(a, b) = (2b, 3a).

a.- Una reflexión respecto al plano YZ, seguida de una

proyección ortogonal sobre el plano XZ;

b.- Una rotación de 45º en sentido antihorario respecto al

eje Y, seguida de una dilatación con factor k = 3/2;

c.- Una proyección ortogonal sobre el plano XY, seguida

de una reflexión con respecto al plano YZ.

7.3.20 Sea U un espacio vectorial complejo y

unidimensional, de manera que se pueden representar

los vectores de U como números complejos z, Sean S, T

transformaciones lineales de U, definidas por

4( )

i

z e z

S , T(z) = iz. Demuéstrese que:

a.- T2 = -I; b.- T

4 = I; c.- S

2 = T; d.- S

4 = -I;

e.- STST = -T; f.- S8 = I; g.- ST = TS = S

3.

d.- f : R2 R

2 es la proyección ortogonal sobre el eje X

y g : R2 R

2 es la rotación en sentido antihorario hasta

describir un ángulo .

7.3.21 Sean f : U V una transformación lineal y un

escalar. La función f : U V se define como seguida

de una reflexión con respecto a la recta y = x; (f)(u) =

(f(u)). Demuestre que f es una transformación lineal.

Encontrar (5f)(a, b) si f : R2 R

2 está expresada por la

fórmula f(a, b) = (3a - b, 2b + a).


JOE GARCIA ARCOS

344



a.- f : R3 R

3 es una dilatación con factor k y g : R

3

R3 es la rotación en sentido antihorario con respecto al eje

Z hasta describir un ángulo ;

b.- f : R3 R

3 es la rotación con respecto al eje X hasta

describir un ángulo 1 y g : R3 R

3 es la rotación con

respecto al eje Z hasta describir un ángulo 2.

7.3.23 Determínese si las transformaciones lineales

siguientes son nilpotentes, idempotentes o ninguna de las

dos cosas:

a.- T(x, y) = (-x, -y); b.- T(x, y, z) = (y + z, z, 0);

c.- T(x, y) = (0, x); d.- T(x, y, z) = (z, x, y);

e.- T(x, y) = (x, 0); f.- T(x, y, z) = (x, 0, z).

7.3.24 Sea T una transformación lineal de R2 con la

propiedad de que T(e1) = (1, 2), T(e2) = (3, 1), de manera

que T(x, y) = (x + 3y, 2x + y):

a.- Encuéntrense T2(e1) y T

2(e2) y, en consecuencia,

obténgase T2(x, y); entonces, demuéstrese que T

2 = 2T +

5I.

b.- A partir del resultado de a), verifíquese que T4 = 4T

2

+ 20T + 25I.

c.- De los resultados de las partes a) y b), dedúzcase que

T4 = 28T + 45I y, en consecuencia, encuéntrense

T4(3, 2) y T

4(-1, 7).

d.- A partir de los resultados anteriores, demuéstrese

que T3 = 9T + 10I y, en consecuencia, encuéntrense

T3(5, 1) y T

3(0, 6).


imagen del vector (5, -2) cuando se hace girar un ángulo

de:

a.- = 30º; b.- = -60º; c.- = 45º; d.- = 90º.



a.- Una rotación de 60º en sentido antihorario seguida de

una proyección ortogonal sobre el eje X, seguida de una

reflexión con respecto a la recta y = x;

b.- Una dilatación con factor k = 2, seguida de una

rotación de 45º en sentido antihorario, seguida de una

reflexión con respecto al eje Y;

c.- Una rotación de 15º en sentido antihorario, seguida de

una rotación de 105º en sentido antihorario, seguida de

una rotación de 60º en sentido antihorario.



a.- Una reflexión respecto al plano XY, seguida de una

reflexión respecto al plano XZ, seguida de una proyección

ortogonal sobre el plano YZ;

b.- Una rotación de 30º en sentido antihorario respecto al

eje X, seguida de una rotación de 30º en sentido

antihorario respecto al eje Z, seguida por una contracción

con factor k = ½;

c.- Una rotación de 270º en sentido antihorario respecto

al eje X, seguida de una rotación de 90º en sentido

antihorario respecto al eje Y, seguida de una rotación de

180º respecto al eje Z.

7.4 NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

En esta sección se estudiarán el núcleo e imagen de una transformación lineal. Se enunciaran las propiedades más

importantes.

Desde el punto de vista de las transformaciones matriciales, el espacio nulo de A

consta de todos los vectores u en Rn que la multiplicación por A aplica o transforma

en 0, y el espacio columna consta de todos los vectores en Rm que son imágenes de

por lo menos un vector en Rn bajo la multiplicación por A.

DEFINICION 7.4.1

Sea f una transformación de U en V. El núcleo de la transformación lineal f,

es el conjunto de todos los vectores u de U tales que f(u) = , es decir:

Nuc(f) = {u / u U y f(u) = , V}

Entonces como ya hemos hecho notar, Nuc(f) siempre contiene al vector cero de U.

De hecho, podemos decir mucho más que esto, pues si f(u) = f(v) = , entonces:

f(au + bv) = af(u) + bf(v) = , para todo a, b K, y de ello se sigue que Nuc(f) es un

subespacio de U. A este subespacio le llamamos el espacio nulo o núcleo de f, y es

de fundamental importancia en el estudio del comportamiento de f en U.

TEOREMA 7.4.1

Sea f una transformación lineal de U en V. El núcleo o espacio nulo de

una transformación lineal f es un subespacio del dominio U.


JOE GARCIA ARCOS

345

DEMOSTRACION

Observe que f() = . Puesto que

f() = f( + ) = f() + f().

Sumando –f() a cada miembro, obtenemos = f(). Por tanto, siempre hay un

vector, es decir, el vector cero de U en el núcleo de f. Para demostrar que el núcleo

de f es un subespacio, admitamos que los vectores u y v de U están en el núcleo de f

y sean a y b escalares arbitrarios. Entonces f(u) = y f(v) = . Por tanto,

f(au + bv) = af(u) + bf(v) = a + b = .

Por consiguiente, au + bv está en el núcleo de f. En consecuencia, el núcleo de f es un

subespacio de U.

EJEMPLO 7.4.1

Sea f : R2 R

2 una transformación lineal tal que f((3, 2)) = (0, 0) y f((1, 3)) = u ,

demuestre que el núcleo de f es una recta en el plano XY que pasa por el origen.

Encuentre su ecuación.

SOLUCION

Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b):

(a, b) = (3, 2) + (1, 3) 3

2 3

a

b

1(3 )

7

1(2 3 )

7

a b

a b

De donde

1 1(( , )) ((3, 2)) ((1, 3)) (3 )(0, 0) (2 3 )( , )

7 7f a b f f a b a b x y

1

(2 3 , 2 3 )7

xa xb ya yb .

Por tanto encontramos el núcleo de la siguiente manera:

2 3 0

2 3 0

xa xb

ya yb

2 3 0

2 3 0

a b

a b

2a – 3b = 0

En este caso podemos darnos cuenta que el núcleo de f es una recta en el plano XY

que además pasa por el origen.

EJEMPLO 7.4.2

Sea (2, 2) el espacio vectorial de matrices 2 x 2 sobre R y 1 1

2 2

M . Sea

f : (2, 2) (2, 2) la transformación lineal definida por f(A) = MA. Hallar una

base y la dimensión del Nuc(f).

SOLUCION

Aplicando la definición de núcleo, tenemos que

Nuc(f) = {A (2, 2) / f(A) = , (2, 2)}

1 1 0 0

2 2 0 0

a b a b

c d c d

.

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos

Nuc( )a b a c

fc d b d

1 0 0 1BaseNuc( ) ,

1 0 0 1f

por lo tanto Dim Nuc(f) = 2.

EJEMPLO 7.4.3

Encuentre una transformación lineal f de R2 en R

2 cuyo núcleo sea la recta

2x + 5y = 0.


JOE GARCIA ARCOS

346

SOLUCION

Sabemos que Nuc(f) = {(x , y) / 2x + 5y = 0}, entonces la transformación lineal

f : R2 R

2 puede ser:

f((x, y)) = (2x + 5y, 2kx + 5ky), k 0.

De igual importancia que el espacio nulo de f es su imagen, Img(f), la cual definimos

a continuación.

DEFINICION 7.4.2

Sea f una transformación lineal de U en V. La imagen de U bajo f, es el

conjunto de todos los vectores v de V tales que v = f(u) para cierto u de U.

Es decir:

Img(f) = {v V / u U y v = f(u)}.

La imagen de f no es solamente el conjunto f(u), sino que a él se le considera con la

estructura de espacio vectorial, subespacio de V, ya que si v1 y v2 pertenecen a la

Img(f) con v1 = f(u1) y v2 = f(u2), entonces:

f(au1 + bu2) = af(u1) + bf(u2) = av1 + bv2

de donde av1 + bv2 está también en la imagen de f.

TEOREMA 7.4.2

Sea f una transformación lineal de U en V. El conjunto imagen de f es un

subespacio de V.

DEMOSTRACION

Considere que los vectores v y w de V están en el conjunto imagen de f. Entonces

v = f(u1) y w = f(u2) para ciertos vectores u1 y u2 de U. Sean a y b escalares

arbitrarios. Entonces

av + bw = af(u1) + bf(u2) = f(au1 + bu2).

Por tanto, av + bw es un valor funcional bajo la función f y, en consecuencia, av + bw

está en el conjunto imagen de f. En consecuencia el conjunto imagen de f es un

subespacio de V.

TEOREMA 7.4.3

Sea f una transformación lineal de U en V. Entonces

Dim Img(f) + Dim Nuc(f) = DimU.

DEMOSTRACION

Como la imagen de f es un subespacio del espacio V de dimensión finita, la imagen

de f es también de dimensión finita. Por esta razón, podemos hallar una base para la

imagen de f. Sea esta base S1 = {v1, v2, ..., vm} donde m = Dim Img(f). Como los

elementos de S1 están todos en la imagen de f hay vectores S = {u1, u2, ..., um} de U

tales que f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(um) = vm. Afirmamos que los elementos de S son

vectores linealmente independientes de U. Pues sean a1, a2, ..., am escalares

arbitrarios y consideremos que la ecuación a1u1 + a2u2 + ... + amum = . Aplicando la

transformación f a cada miembro y utilizando f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(um) = vm,

obtenemos a1v1 + a2v2 + ... + amvm = . Como los elementos de S1 son vectores

linealmente independientes de V, tenemos que a1 = a2 = ... = am = 0. Por tanto, en la

ecuación, todos los escalares a1, a2, ..., am deben ser cero. En consecuencia, los

elementos de S son linealmente independientes. Como el núcleo de f es un

subespacio de U, podemos hallar una base S2 = {w1, w2, ..., wk} del núcleo de f. Aquí,

k = DimNuc(f). Afirmamos que S3 = {w1, w2, ..., wk, u1, u2, ..., um} es una base de U.

Demostremos que los elementos de S3 generan U. Sea u de U. Entonces f(u) está en

la imagen de f, y así f(u) = b1v1 + b2v2 + ... + bmvm para ciertos escalares arbitrarios b1,

b2, ..., bm. Entonces

f(u – b1u1 - b2u2 - ... - bmum) = f(u) – b1v1 - b2v2 - ... - bmvm = .

Por tanto, u = b1u1 + b2u2 + ... + bmum está en el núcleo de f y, en consecuencia, es

igual a la combinación lineal c1w1 + c2w2 + ... + ckwk de los vectores de la base S2 del


JOE GARCIA ARCOS

347

núcleo de f. De manera que

u = b1u1 + b2u2 + ... + bmum + c1w1 + c2w2 + ... + ckwk.

Consiguientemente, los elementos de S1 generan U. Demostremos a continuación

estos generadores para la independencia lineal. Escribimos la ecuación

b1u1 + b2u2 + ... + bmum + c1w1 + c2w2 + ... + ckwk =

donde b1, b2, ..., bm, c1, c2, ..., ck son escalares. Aplicando la transformación f a cada

miembro de esta ecuación, y utilizando f(w1) = f(w2) = ... = f(wk) = , obtenemos

b1v1 + b2v2 + ... + bmvm = . En vista de la independencia lineal de S1, podemos ver

ahora que b1 = b2 = ... = bm = 0. Por tanto la ecuación se reduce a c1w1 + c2w2 + ... +

ckwk = y, debido a la independencia lineal de S2, tenemos c1 = c2 = ... = ck = 0. Por

consiguiente, vemos que todos los escalares son cero. De esta manera, hemos

demostrado que S3 es base de U. En consecuencia

DimU = m + k = DimImg(f) + DimNuc(f).

Sea f una transformación lineal de U en V. La dimensión del núcleo de f se llama

nulidad de f. La dimensión de la imagen de f se llama rango de f. Para expresarlo

más detalladamente, a continuación damos las definiciones.

DEFINICION 7.4.3

Dada una transformación lineal f de U en V, donde U es un espacio

vectorial de tipo finito, se denomina rango de f, y se representa por

Rang(f) a la dimensión del subespacio vectorial imagen. La nulidad de

una transformación lineal f es la dimensión del núcleo de dicha

transformación, en el caso de que sea finita dicha dimensión.

Según la definición, el rango de la transformación lineal f no puede exceder a la

dimensión de U, es decir: Rang(f) DimU, es también evidente que si V es de tipo

finito, también se satisface la desigualdad Rang(f) DimV. El resultado anterior, con

la definición de rango de una transformación lineal, puede expresarse en los términos

siguientes: Rang(f) = DimU – Dim Nuc(f).

EJEMPLO 7.4.4

Sea f : R2 R

3 tal que f(u1) = 2v1 + v2 – v3, f(u2) = - v1 – 3v2 + 2v3, donde {u1, u2}

forman una base para el conjunto R2 y {v1, v2, v3} una base para el conjunto R

3.

Hallar la imagen del vector u = (2, 1).

SOLUCION

f(u) = f(2u1 + u2) = 2f(u1) + f(u2) = 2(2v1 + v2 – v3) + (- v1 – 3v2 + 2v3) = 3v1 – v2.

La imagen del vector u es el vector f(u) de coordenadas (3, -1, 0).

EJEMPLO 7.4.5

Demuestre que si f y g son transformaciones lineales de U hacia V (DimU = n y

DimV = m), entonces Rang(f + g) mín{m, n, Rang(f) + Rang(g)}.

SOLUCION

Si f y g son transformaciones lineales de U hacia V, entonces:

Rang(f + g) = Dim(f + g)(U) Dim{f(U) + g(U)}

= Dimf(U) + Dimg(U) – Dim{f(U) g(U)}

Rang(f) + Rang(g).

EJEMPLO 7.4.6

Demuestre que Rang(f) – Rang(g) Rang(f + g).

SOLUCION

Como Rang(g) = Rang(-g), el ejemplo anterior también dice que

Rang(f – g) Rang(f) + Rang(g).

Entonces

Rang(f) = Rang(g – (f + g)) Rang(g) + Ran(f + g).


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348

Por simetría, Rang(g) Rang(f) + Rang(f + g).

EJEMPLO 7.4.7

Si U = R2, V = R

2 y f(u) es el complemento ortogonal de u respecto a la recta

y = x, es decir, si w es un vector unitario sobre la recta dada, entonces u ww es

la proyección sobre la recta y u - u ww es el complemento ortogonal, mostrar

que f es una transformación lineal. Encontrar núcleo y la imagen de f.

SOLUCION

Sabemos que f(u) = u - u ww, escogemos un vector unitario que está en la recta

dada y = x, 1

(1,1)2

w . Reemplazando este vector en la definición, obtenemos

1 1( ) (1,1) (1,1)

2 2f u u u . Para demostrar que f(u) es una transformación

lineal, aplicamos la definición general:

1 1

( ) ( ) ( ) (1,1) (1,1)2 2

f u v u v u v

1 1 1 1

(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)2 2 2 2

u v u v

1 1 1 1

(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)2 2 2 2

u u v u

( ) ( )f u f v

Por tanto f(u) es transformación lineal.

Siendo u = (a, b), entonces

1 1(( , )) ( , ) ( , ) (1,1) (1,1) ,

2 22 2

a b b af a b a b a b

.

Para calcular el núcleo y la imagen, hacemos uso de la definición

correspondiente:

02

02

a b

b a

0

0

a b

b a

0

0

a

b

.

Por tanto el núcleo de f es: Nuc(f) = {(a, b) / a = b = 0}

2

2

a br

b as

2

2

a b r

b a s

.

Por tanto la imagen de f es: Img(f) = {(r, s) / a – b = 2r, b – a = 2s}.

EJEMPLO 7.4.8

Sea f : R2 R

2 una transformación lineal tal que f((1, 1)) = (0, 0) y f((0, 1)) = (1, 1),

demuestre que tanto el núcleo como la imagen de f son rectas en el plano XY que

pasan por el origen. Encuentre las ecuaciones de estas rectas.

SOLUCION


(a, b) = (1, 1) + (0, 1) 1

a

b

De donde

f((a, b)) = f((1, 1)) + f((0, 1))

f((a, b)) = a(0, 0) + (b – a)(1, 1) = (b – a, b – a).


JOE GARCIA ARCOS

349


0

0

b a

b a

a – b = 0

Para encontrar la imagen de f, lo hacemos como sigue:

b a r

b a s

r – s = 0

En ambos casos podemos darnos cuenta que el núcleo y la imagen de f son rectas en

el plano XY que además pasan por el origen.

EJEMPLO 7.4.9

Una transformación lineal f : R2 R

3 aplica los vectores base de la siguiente

manera:

f(i) = (1, 0, 1), f(j) = (-1, 0, 1).

a.- Calcular f(2i - 3j) y determinar la dimensión del núcleo e imagen de f;

b.- Determinar la matriz de f.

SOLUCION

a.- Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b):

(a, b) = (1, 0) + (0, 1) a

b

De donde

f((a, b)) = f((1, 0)) + f((0, 1)) = a(1, 0, 1) + b(-1, 0, 1) = (a - b, 0, a + b).


0

0 0

0

a b

a b

a = b = 0 Nuc(f) = {(a, b) / a = b = 0}

BaseNuc(f) = {} DimNuc(f) = 0.

Para encontrar la imagen de f, lo hacemos como sigue:

0

a b r

s

a b t

Img(f) = {(r, s, t) / r = a – b, s = 0, t = a + b}

BaseImg(f) = {(1, 0, 1), (-1, 0, 1)} DimImg(f) = 2.

b.- Calculamos la imagen de cada uno de los elementos de la base canónica de R2:

f((1, 0)) = (1, 0, 1) y f((0, 1)) = (-1, 0, 1)

Por tanto la matriz de f es:

1 1

A 0 0

1 1

f

.

EJEMPLO 7.4.10

Defínase f : (3, 3) (3, 3) mediante f(A) = A - AT. Muéstrese que f es lineal.

Descríbase el núcleo e imagen de f.

SOLUCION

Para demostrar que f es una transformación lineal, aplicamos la definición general:

f(A + B) = (A + B) – (A + B)T

= A + B – AT - B

T

= (A – AT) + (B – B

T)

= (A – AT) + (B – B

T)

= f(A) + f(B).

Por tanto f(A) es transformación lineal.

Para determinar el núcleo y la imagen de f, aplicamos la definición correspondiente:

A – AT = O A = A

T Nuc(f) = {A (3 x 3) / A = A

T}.


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350

A – AT = B Img(f) = {B (3 x 3) / A - A

T = B}.

EJEMPLO 7.4.11

Sea V el espacio vectorial real de las funciones reales de una variable real, con las

operaciones usuales. Si f : R3 V es la transformación que a cada terna de R

3 le

asocia la función u aSen2u + bCos

2u + c. Es decir,

f((a, b, c)) = aSen2u + bCos

2u + c.

a.- Pruébese que f es lineal; b.- Hállese el núcleo y la imagen de f.

SOLUCION

a.- Para demostrar que f es una transformación lineal, aplicamos la definición

general:

f((a + d, b + e, c + f)) = (a + d)Sen2u + (b + e)Cos

2u + (c + f)

= (aSen2u + bCos

2u + c) + (dSen

2u + eCos

2u + f)

= (aSen2u + bCos

2u + c) + (dSen

2u + eCos

2u + f)

= f(A) + f(B).

Por tanto f(A) es transformación lineal.

b.- Para determinar el núcleo y la imagen de f, aplicamos la definición

correspondiente:

aSen2u + bCos

2u + c = 0 Nuc(f) = {(a, b, c) R

3 / aSen

2u + bCos

2u + c = 0}.

aSen2u + bCos

2u + c = r Img(f) = {r V / aSen

2u + bCos

2u + c = r}.

EJEMPLO 7.4.12

Sea f : R3 R

3 una transformación lineal tal que

f(k) = 2i + 3j + 5k, f(j + k) = i, f(i + j + k) = j - k.

a.- Calcular f(i + 2j + 3k) y determinar la dimensión del núcleo y el rango de f;


SOLUCION

a.- Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b, c):

(a, b, c) = (0, 0, 1) + (0, 1, 1) + (1, 1, 1)

a

b

c

b c

a b

a

De donde

f((a, b, c)) = f((0, 0, 1)) + f((0, 1, 1)) + f((1, 1, 1))

= - (b - c)(2, 3, 5) – (a – b)(1, 0, 0) + a(0, 1, -1)

= (- a – b + 2c, a – 3b + 3c, - a – 5b + 5c)

Por tanto f(i + 2j + 3k) es:

f((1, 2, 3)) = (3, 4, 4).


f((1, 0, 0)) = (-1, 0, 0), f((0, 1, 0)) = (-1, -3, -5) y f((0, 0, 1)) = (2, 3, 5).


1 1 2

A 0 3 3

0 5 5

f

.

EJEMPLO 7.4.13

Sean A y B vectores no nulos en el plano tales que no existe constante alguna k 0

tal que B = kA. Sea f una transformación lineal del plano en sí misma de tal manera

que f(e1) = A y f(e2) = B. Describir la imagen bajo f del rectángulo cuyos vértices son

(0, 1), (3, 0), (0, 0), (3, 1).

SOLUCION


(a, b) = (1, 0) + (0, 1) a

b


JOE GARCIA ARCOS

351

De donde

f((a, b)) = f((1, 0)) + f((0, 1)) = aA + bkA = (a + bk)A.

Por tanto:

f((0, 1) = kA, f((3, 0)) = 3A, f((0, 0)) = y f((3, 1)) = (3 + k)A.

EJEMPLO 7.4.14

Una transformación lineal f : R3 R

2 aplica los vectores base como sigue:

f(i) = (0, 0), f(j) = (1, 1), f(k) = (1, -1).

a.- Calcular f(4i - j + k) y determinar la dimensión del núcleo y el rango de f:

b.- Determinar la matriz de f;

c.- Utilizando la base estándar en R3 y la base {(1, 1), (1, 2)} en R

2, determinar la

matriz de f relativa a esas bases.

SOLUCION

a.- Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b, c):

(a, b, c) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, 1)

a

b

c

De donde

f((a, b, c)) = f((1, 0, 0)) + f((0, 1, 0)) + f((0, 0, 1))

= a(0, 0) + b(1, 1) + c(1, -1) = (b + c, b – c).

Por tanto f(4i - j + k) es:

f((4, -1, 1)) = (0, -2).


f((1, 0, 0)) = (0, 0), f((0, 1, 0)) = (1, 1) y f((0, 0, 1)) = (1, -1).


0 1 1A

0 1 1f

.

c.- Calculamos la imagen de cada uno de los elementos de la base canónica de R3, y

luego éste elemento lo expresamos como combinación lineal de los elementos de la

base de llegada:

f((1, 0, 0)) = (0, 0) = 1(1, 1) + 2(1, 2) 1 2

1 2

0

2 0

,

f((0, 1, 0)) = (1, 1) = 1(1, 1) + 2(1, 2) 1 2

1 2

1

2 1

,

f((0, 0, 1)) = (1, -1) = 1(1, 1) + 2(1, 2) 1 2

1 2

0

2 0

.

Resolvemos estos tres sistemas de ecuaciones y obtenemos la matriz de f:

1 1 0 1 1

1 2 0 1 1

1 1 0 1 1

0 1 0 0 2

1 0 0 1 3

0 1 0 0 2

0 1 3A

0 0 2f

.

EJEMPLO 7.4.15

Sea f una transformación lineal de R2 en sí misma, tal que

f(e1) = (1, 1) y f(e2) = (-1, 2).

Sea S el cuadrado cuyos vértices están en (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Demostrar que

la imagen bajo f de este cuadrado es un paralelogramo.

SOLUCION

La representación matricial de la transformación lineal f en la base canónica de R2 es

1 1A

1 2f

. Encontramos las imágenes de cada uno de los puntos del cuadrado:


JOE GARCIA ARCOS

352

1 1 0 0((0, 0))

1 2 0 0f

,

1 1 1 1((1, 0))

1 2 0 1f

,

1 1 1 0((1,1))

1 2 1 3f

, 1 1 0 1

((0,1))1 2 1 2

f

.

Graficando ambas figuras, demostramos que la imagen bajo f de este cuadrado, es un

paralelogramo.

EJEMPLO 7.4.16

Sea (n, n) el espacio de todas las matrices de n x n. Sea la transformación lineal

f(A) = ½(A - AT). Describir el núcleo e imagen de f y determine sus correspondientes

dimensiones.

SOLUCION

Como T1(A) (A - A )

2f , entonces:

T T1Nuc( ) A / (A - A ) = O {A / A = A }

2f

.

Para encontrar la dimensión del núcleo de f, hacemos lo siguiente:

n = 1 DimNuc(f) = 1

n = 2 DimNuc(f) = 3

n = 3 DimNuc(f) = 6

n = 4 DimNuc(f) = 10

. . .

n = k DimNuc( ) ( 1)2

kf k .

La imagen de f es:

T T1Img( ) B / (A - A ) = B ={B / A - A = 2B}

2f

.

La dimensión de la imagen de f, la calculamos de la siguiente manera:

DimU = DimNuc(f) + DimImg(f) 2 ( 1) DimImg( )2

nn n f

2DimIm ( ) ( 1) ( 1)2 2

n ng f n n n .

EJEMPLO 7.4.17

Considérense los números complejos C como un espacio vectorial sobre R. Defínase

la función ( )f z z , donde z es el complejo conjugado del número complejo z.

Demuestre que f es una transformación lineal. Hállese una base para el núcleo de f y

una base para la imagen de f.

SOLUCION

Si z = x + iy, entonces la transformación tiene la forma: f(x + iy) = x – iy. A

continuación demostramos

que f es lineal:

f((a + c) + i(b + d)) = (a + c) - i(b + d) = (a - ib) + (c - id)

= (a - ib) + (c - id) = f(z1) + f(z2)

Lo cual queda demostrado.

El núcleo de f es:

Nuc(f) = {x + iy / x – iy = 0 + i0} Nuc(f) = {x + iy / x = y = 0}

BaseNuc(f) = {0 + i0} DimNuc(f) = 0.


JOE GARCIA ARCOS

353

La imagen de f es:

Img(f) = {r + is / x – iy = r + is} Img(f) = {r + is / r = x, s = -y}

BaseImg(f) = {(1, 0), (0, i)} DimImg(f) = 2.

PROBLEMAS

7.4.1 Sea f : Rn R

m una transformación lineal.

Demuestre que si f transforma dos vectores linealmente

independientes sobre un conjunto linealmente dependiente,

entonces la ecuación f(u) = tiene una solución no trivial.

7.4.2 Sea f : R2 R

2 un operador lineal cuyo núcleo es

Nuc(f) = {(x, y) / x = y}. Demuestre que f no es

sobreyectiva. Más aún, pruebe que Img(f) es una recta

que pasa por el origen.

7.4.3 Sea f : R3 R


f(e3) = 2e1 + 3e2 + 7e3, f(2e2 + 3e3) = 2e1,

f(e1 – e2 + e3) = 2e2 – 3e3:

a.- Calcular f(2e1 – 3e2 + 5e3) y determine la dimensión

del núcleo y el rango de f.

b.- Determine la matriz de f.

7.4.4 Sea f : R3 R

3 un operador lineal cuya imagen es

Img(f) = {(x, y) / x = y = z}. Demuestre que el núcleo de

f es un plano en R3 que pasa por el origen.

7.4.5 Sea V un espacio vectorial sobre R que consiste en

todas las funciones f tres veces derivables que satisfacen la

ecuación diferencial f ´´´ + f ´ = 0. En este espacio V,

defínase la función g : V V por g(f) = f ´, la derivada de

f. Demuéstrese que g es una transformación lineal. Hállese

una base tanto para el núcleo de g como para la imagen de

g. ¿Cuál es el rango y la nulidad de g?

7.4.6 Sea V el espacio vectorial de todos los polinomios

reales p(x). Sean f el operador derivación y g la

transformación lineal que aplica p(x) en xp´(x).

a.- Poner p(x) = 2 + 3x - x2 – 4x

3 y determinar el núcleo e

imagen de p a través de cada una de las transformaciones

siguientes: f, g, fg, gf, fg - gf, g2f2 - f

2g

2;

b.- Determinar los polinomios p de V para los cuales

g(p) = p;

c.- Determinar los polinomios p de V para los cuales

(fg – 2f)(p) = .

7.4.7 Sea f : R3 R

3 definida por ( ) proyuf v v , en

donde u = (0, 1, 2):

a.- Determinar A, la matriz de f.

b.- Sea g la transformación lineal representada por

I – A. Demuestre que g es de la forma

1 2( ) proy proyw wg v v v ,

en donde w1 y w2 son vectores fijos en R3.

c.- Demostrar que el núcleo de f es la imagen de g.

7.4.8 Si f no es la transformación cero, entonces

Rang(f) = 1 si, y sólo si, existen números reales, t, que

no son ambos cero, tales que sa1 – tb1 = sa2 – tb2 = sa3 –

tb3 = 0. En este caso, Img(f) = Span(t, s) y, si además

a1 0, entonces Nuc(f) = Span{(a3, 0, -a1), (a2, -a1, 0)}.

7.4.9 Sea f : R3 R

3 la transformación lineal que

proyecta u sobre v = (2, -1, 1). Determine la nulidad y el

rango de f.

7.4.10 Sea S una transformación lineal de U en V, y

sea T una transformación lineal de V en W.

Demuéstrese que:

a.- Si S es sobre, entonces Rang(TS) = Rang(T);

b.- Si T es uno a uno, entonces Rang(TS) = Rang(S);

c.- Si TS es uno a uno, entonces S es uno a uno;

d.- Si TS es sobre, entonces T es sobre.

7.4.11 Sea la transformación lineal f : R3 R

3, definida

por

f((a, b, c)) = ((k – 2)a + 2b – c, 2a + kb + 2c, 2ka +

+ 2(1 + k)b + (1 + k)c)

Hállese, según los valores de k, el núcleo y su imagen.

7.4.12 En cada uno de los literales, se define una

transformación lineal f : V V mediante la fórmula

dada para f((x, y)), donde (x, y) es un punto cualquiera

de V. Determinar en cada caso si f es lineal. Si f es

lineal, decir cuáles son el núcleo y la imagen, y calcular

sus correspondientes dimensiones:

a.- f hace girar cualquier punto el mismo ángulo

alrededor del origen. Esto es, f aplica un punto de

coordenadas polares (r, ) en el punto de coordenadas

polares (r, + ), donde es fijo. Además, f aplica

en sí mismo.

b.- f aplica cada punto en su simétrico respecto a

una recta fija que pasa por el origen.

c.- f aplica cada punto de coordenadas polares (r, ) en

el punto de coordenadas (2r, ). Además, f aplica en

sí mismo.

d.- f aplica cada punto de coordenadas polares (r, ) en

el punto de coordenadas (r, 2). Además, f aplica en

sí mismo.

7.4.13 Verifíquese que la función de V2 en V2 definida

por f0(x1, x2) = (x1 – 3x2, x2) es transformación lineal.

Determínese su rango y su nulidad. Determínese la

preimagen en f0 de (a, b).


JOE GARCIA ARCOS

354

7.4.14 Sean u y v vectores linealmente independientes

en R3 y sea el plano a través de u, v y . La ecuación

paramétrica de es x = su + tv. Demuestre que una

transformación lineal f : R3 R

3 transforma sobre un

plano que pasa por o sobre una línea que pasa por o

sólo sobre el origen en R3. ¿Qué se les tiene que pedir a

f(u) y f(v) para que la imagen del plano sea un plano?

7.4.15 En cada uno de los literales, la transformación f :

V V es la que se indica. Determinar, en cada caso, si f

es lineal. Si lo es, decir cuáles son el núcleo y la imagen

y calcular sus dimensiones cuando sean finitas:

a.- Sea V el espacio vectorial de todos los polinomios

reales p(x) de grado n. Si p V, q = f(p) significa que

q(x) = p(x + 1) para todo real de x.

b.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones

reales derivables en el intervalo abierto (-1; 1). Si f V,

g = f(f) significa que g(x) = xf ´(x) para todo x (-1; 1).

c.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones

reales derivables dos veces en un intervalo abierto (a; b).

Si y V, definir f(y) = y´´ + Py´ + Qy siendo P y Q dos

constantes.

7.4.16 Sea V un espacio vectorial con producto interior.

Para un vector fijo u diferente de cero en V, sea f : V

R la transformación lineal f(v) = v u. Determinar el

núcleo y la imagen de f. Luego determinar la nulidad y

rango de f.

7.4.17 Sea f : R3 R


f((1, 1, 0)) = f((1, 1, 1)) = (0, 0), f((2, 3, -1)) .

Demuestre que el núcleo de f es un plano en R3 que pasa

por el origen. Halle su ecuación.

7.4.18 Sea f : V V la transformación lineal definida

así: Si f V, g = f(f) significa que

( ) [1 ( )] ( )g x Cos x t f t dt

:

a.- Demuestre que f(V), la imagen de f, es de dimensión

finita y hallar una base para f(V).

b.- Determinar el núcleo de f.

c.- Hallar todos los números reales c 0 y todas las

funciones f no nulas de V tales que f(f) = cf.

7.4.19 Sea f : R R una transformación lineal. Hallar

la nulidad y el rango de f y dé una descripción

geométrica del núcleo e imagen de f:

a.- f es la rotación de 45° en sentido antihorario con

respecto al eje Z:

2 2 2 2(( , , )) , ,

2 2 2 2f x y z x y x y z

.

b.- f es la reflexión con respecto al plano de coordenadas

YZ:

f((x, y, z)) = (-x, y, z).

c.- f es la proyección sobre el vector v = (1, 2, 2):

2 2(( , , )) (1, 2, 2).

9

x y zf x y z

d.- f es la proyección sobre el plano de coordenadas

XY:

f((x, y, z)) = (x, y, 0).

7.4.20 Sea f : nxn nxn definida por f(A) = A – AT.

Demuestre que el núcleo de f es el conjunto de las

matrices simétricas de n x n.

7.4.21 Sea u = (1, -1, 7) y sea

1 3 4 3

A 0 1 3 2

3 7 6 5

¿Está u en el rango de la transformación lineal?

7.4.22 Considere la transformación lineal gf : Rm

Rs. Demuestre que

Nuc(f) Nuc(gf), Img(gf) = Img(g).

7.4.23 Determinar si las transformaciones f : V V son

lineales. Si lo son, decir cuáles son el núcleo y la imagen y

calcular sus dimensiones:

a.- Sea V el espacio vectorial de todos los polinomios

reales p(x) de grado menor o igual a n. Si p V, q = f(p)

significa que q(x) = p(x + 1), para toda x R;

b.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones

reales derivables en el intervalo abierto (-1; 1). Si f V,

g = f(f) significa que g(x) = xf '(x) para toda x (-1; 1);

c.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones reales

continuas en [a; b]. Si f V, g = f(f) significa que

( ) ( ) ( )b

ag x f t Sen x t dt , para toda x [a; b].

7.4.24 Sea S = {1, x, Senx, Cosx} una base de un

subespacio W del espacio de funciones continuas, y sea

Dx el operador diferencial sobre W. Encuentre la matriz

de Dx con respecto a la base S. Encuentre el núcleo e

imagen de Dx.

7.4.25 Sea u = (9, 5, 0, -9) y sea

1 2 7 5

0 1 4 0A

1 0 1 6

2 1 6 8

¿Está u en el rango de la transformación lineal?

7.4.26 Si U = R3, V = R

3 y f(u) es el complemento

ortogonal de u respecto del plano representado

implícitamente por u + v + w = 0, mostrar que f es una

transformación lineal. Encontrar el núcleo y la imagen de

f.


JOE GARCIA ARCOS

355

7.4.27 Sea f : Rn R


Demuestre que si n < m, f no puede ser sobreyectiva.

¿Puede ser inyectiva?


2 aplica los

vectores base de la siguiente manera: f(e1) = , f(e2) =

(1, -1), f(e3) = (-1,1):

a.- Calcular f(2e1 – 5e2 + 3e3) y determinar la dimensión

del núcleo y el rango de f.

b.- Determine la matriz de f.

c.- Utilizando la base canónica de R3 y la base {(1, -1),

(-1, -1)} en R2, determine la matriz de f relativa a esas

bases.

d.- Hallar las bases {u1, u2, u3} para R3 y {v1, v2} para

R2 para las cuales la matriz de f tenga la forma diagonal.

7.4.29 Demuéstrese que la derivada es una

transformación lineal de P en sí mismo, que no es uno a

uno, aunque sí es sobre.

7.4.30 Sean S, T transformaciones lineales de U en V:

a.- Verifíquese que

Nuc(S + T) Nuc(S) Nuc(T).

b.- Póngase un ejemplo en el cual

Nuc(S + T) = Nuc(S)Nuc(T).

c.- Póngase un ejemplo en el cual no se verifique la

igualdad de la relación de la parte b).

d.- Verifíquese que existen S, T, con

Rang(S) = Rang(T) = mín(DimU, DimV),

tales que Rang(S + T) puede tener cualquier valor desde

0 hasta mín(DimU, DimV).

7.4.31 Sean S, T, M, N transformaciones lineales de R3

en R4 que se describen en la tabla siguiente:

e1 e2 e3

S e1 – e2 e2 - 5e3 e1–e2+e3

T 4e1–2e2+e3 e1–2e2+5e3 3e1 - 4e3

M e2 + e3 3e3 0

N e1+e2+3e3 – 2e2 + 6e3 4e3

a.- Determínese el rango y núcleo de S, T, M y N.

b.- Descríbanse las transformaciones lineales S + T, S +

M, S + N, T + M, M + T + S y N - S al dar sus valores en

una base de R3. Además, determínense el rango y núcleo

de cada uno.

c.- Encuéntrense transformaciones lineales A y B de

rango 3 de R3 en R

3 tales que Rang(A + B) = 2.

d.- Encuéntrense transformaciones lineales A y B de

rango 3 de R3 en R

3 tales que Rang(A + B) = 1.

7.4.32 Sea f : Rn R


Demuestre que si n > m, f no puede ser inyectiva. ¿Puede

ser sobreyectiva?

7.4.33 Demuéstrese que la derivada es una

transformación lineal de Pm en sí mismo, que no es uno a

uno ni es sobre.

7.4.34 Sean U y V dos espacios vectoriales, ambos de

dimensión 2 y con la misma base {u, v}. Sea f : U V

una transformación lineal tal que

f(2u – v) = 2u + v y f(2u + 5v) = 2u – 3v:

a.- Calcular f(u – v) y determinar la dimensión del

núcleo y el rango de f.

b.- Determine la matriz de f relativa a la base dada.

c.- Utilizar para V la base {u, v} y hallar una nueva

base de la forma {2u + v, 3u + v} para V, para la cual

la matriz de f tenga la forma diagonal.


3 aplica los

vectores base de la siguiente forma: f(e1) = (-1, 2, 1),

f(e2) = (1, -1, -1):

a.- Calcular f(5e1–2e2) y determinar la dimensión del

núcleo y el rango de f.


c.- Hallar bases {u1, u2} para R2 y {v1, v2, v3} para R

3,

para las cuales la matriz de f tiene forma diagonal.

7.4.36 Demuéstrese que, si f es transformación lineal

uno a uno de U en W y si u1, …, un es base de U,

entonces f(u1), …, f(un) es base de Img(f).

7.4.37 Sea f la transformación lineal de R4 en R

3 con la

propiedad de que

f(1, 0, 0, 0) = (2, 3, 6), f(0, 1, 0, 0) = (1, 2, 0),

f(0, 0, 1, 0) = (-1, 2, -3), f(0, 0, 0, 1) = (0, 2, -1).

a.- Encuéntrese la matriz que corresponde a f si S1 es la

base canónica de R4 y si S2 es la base canónica de R

3.

b.- Encuéntrese la matriz que corresponde a f si

S1 = (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1)

es la base R4 y si S2 es la base canónica de R

3.

c.- Encuéntrese la matriz que corresponde a f si

S1 = (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1)

es la base de R4 y si S2 = (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)

es la base de R3.

d.- Encuéntrese el núcleo e imagen de f.

e.- Sea u1, u2, u3 una base del núcleo de f y extiéndase

esta base a una base de R4.

7.4.38 Sean f : V U y g : U W transformaciones

lineales:

a.- Demostrar que si ambas g y f son uno a uno,

entonces también lo es gf .

b.- Demostrar que el núcleo de f está contenido en el

núcleo de gf .

c.- Demostrar que si gf es sobreyectiva, entonces

también lo es g.

7.4.39 En cada una de las transformaciones lineales de

Vn en V2, determínense la imagen, el núcleo y la

preimagen de (0, 1); además, determínese si la

transformación lineal es uno a uno y si es sobre:

a.- f(x1, x2, x3) = (x1 – x2, x2 + x3);


JOE GARCIA ARCOS

356

b.- f(x1, x2, x3) = (x1, x2 - x3);

c.- f(x1, x2) = (x1 – x2, x1 + x2);

d.- f(x1, x2, x3, x4) = (x1 + x4, x2 + x3).

7.4.40 Sean f : Rn R

s y g : R

n R

s dos operadores

lineales. Demuestre que si g es inyectiva, entonces

Nuc(f) = Nuc(gf), y si f es inyectiva, entonces Img(g) =

Img(gf).

7.5 TRANSFORMACIONES LINEALES INVERSIBLES

En esta sección se analizarán las transformaciones lineales uno a uno y sobreyectivas. Demostraremos que una

transformación lineal inversible es también una transformación lineal. Enunciaremos y demostraremos sus

propiedades más importantes.

Ahora que hemos presentado el espacio nulo y la imagen de una transformación

lineal nos proponemos examinar más de cerca aquellas transformaciones lineales

f : U V para las cuales Nuc(f) = {} o Img(f) = V, o ambas. La segunda de estas

ecuaciones nos dice que f aplica U sobre V, e implica que para cada v V existe al

menos un u U tal que v = f(u). La primera, dice que el espacio nulo de f contiene

solamente al vector nulo, resulta ser equivalente a la afirmación de que f es inyectiva

en el sentido de la siguiente definición.

DEFINICION 7.5.1

Una transformación lineal f de U en V se dice que es inyectiva, si y sólo

si f(u) = f(v) donde u = v.

En otras palabras, f es inyectiva si, y sólo si f aplica vectores distintos en U sobre

vectores distintos en V; de aquí el nombre.

DEFINICION 7.5.2

Se dice que una transformación lineal f de U en V, es un isomorfismo si es

inyectiva. Se dice entonces que los espacios vectoriales U y V son

isomorfos si existe un isomorfismo de U sobre V.

TEOREMA 7.5.1

Sea f una transformación lineal de U en V. Entonces f es inyectiva, si y

solamente si, Nuc(f) = .

DEMOSTRACION

Primero considere que Nuc(f) = . Suponga que f(u) = f(v). Debemos demostrar que

u = v. De f(u) = f(v), obtenemos f(u – v) = . Por tanto, u – v está en Nuc(f) y, en

consecuencia tenemos que u – v = . Por consiguiente, u = v. Ahora considere que f

es inyectiva. Suponga que el vector u está en Nuc(f). En consecuencia, f(u) = y,

por supuesto, f() = . Debido a que f es inyectiva, debemos tener u = . Por

consiguiente, f() = .

DEFINICION 7.5.3

Sea f una transformación lineal de U en V. Diremos que f es sobreyectiva

si la imagen de la transformación f es todo U.

TEOREMA 7.5.2

Sea f una transformación lineal de U en V. Si U es un espacio vectorial

de tipo finito, una transformación lineal f es sobreyectiva si, y sólo si,

Img(f) = U.

DEMOSTRACION

Esta afirmación, no es más que la definición de sobreyectividad, puesto que Img(f) es

el valor de los valores funcionales bajo f, y f es sobreyectiva, si y sólo si este

conjunto de valores funcionales coincide con U. Es decir:


JOE GARCIA ARCOS

357

a.- En el supuesto de ser f una transformación lineal inyectiva, todo sistema

independiente de V se transforma en sistema independiente de f(U); por tanto, una

base de U se transforma en un sistema generador e independiente de f(U), es decir,

en una base del espacio imagen; en consecuencia, las bases de U e Img(f) tienen

igual número de elementos, luego,

Dim(U) = DimImg(f).

b.- Suponiendo ahora que Dim(U) = DimImg(f), hay que demostrar que f es

inyectiva, es decir, que Nuc(f) ={}. Si no fuese así, al Nuc(f) pertenecería al menos

un vector u1 ; en este supuesto {u1} es sistema independiente, que puede ser

ampliado adecuadamente con unos vectores u2, u3, ..., un hasta construir una base de

U y, entonces, {f(u2), f(u3), ..., f(un)}, que es un sistema generador de f(U), sería tal

que f(u1) = y, por tanto, sistema dependiente de generadores de Img(f), lo que trae

consigo que

DimImg(f) < n = Dim(U),

contra la hipótesis.

TEOREMA 7.5.3

Sea f una transformación lineal de U en V y sea DimU = DimV.

Entonces f es biyectiva si y sólo si f es sobreyectiva.

DEMOSTRACION

Tenemos que DimImg(f) = DimU – DimNuc(f). Supóngase que f es inyectiva.

Entonces tenemos que Nuc(f) = y, por tanto, DimNuc(f) = 0. Por consiguiente,

DimImg(f) = DimU y vemos que, DimImg(f) = DimV, puesto que DimU = DimV.

Pero la imagen de f es un subespacio de V, de manera que DimImg(f) = DimV obliga

a que Img(f) = V. Así pues, como f es sobreyectiva, además de ser inyectiva, f es

biyectiva. Suponga ahora que f es sobreyectiva. Entonces Img(f) = V. Por tanto,

DimImg(f) = DimV, y DimImg(f) = DimU. Pero DimU = DimImg(f) + DimNuc(f) y,

por consiguiente, DimNuc(f) = 0. El único subespacio de U con dimensión cero es el

subespacio cero. En consecuencia, Nuc(f) = , y así, f es inyectiva. De manera que f

es inyectiva y también es sobreyectiva. Consecuentemente, f es biyectiva.

DEFINICION 7.5.4

Las transformaciones lineales que son a la vez inyectivas y sobreyectivas,

se llaman isomorfismos, y se dice que son inversibles.

Empleamos f -1

para designar la inversa de una transformación lineal. Así pues, si f

tiene una inversa, decimos que f es inversible. En este caso, si f se define sobre U y

toma valores en V, entonces f -1

se define en V y toma valores en U.

TEOREMA 7.5.4

Sea f una transformación lineal de U en V, y supóngase que esta

transformación tiene una transformación inversa f -1

de V en U. Entonces,

f -1


DEMOSTRACION

Sean v1, v2 V. Debemos demostrar primero que f -1

(v1 + v2) = f -1

(v1) + f -1

(v2). Sean

v1 = f(u1) y v2 = f(u2), entonces

f(au + bv) = af(u) + bf(v) = av1 + bv2.

Si u = f -1

(v), donde f(u) = v, implica que

f -1

(av1 + bv2) = au1 + bu2 = af -1

(v1) + bf -1

(v2)

con lo que concluimos que f -1


Es evidente que recurriendo al rango de una transformación lineal, los

homomorfismos inyectivos y sobreyectivos, f : U V, entre espacios de tipo finito,

pueden caracterizarse de la manera siguiente: f es inyectiva si, y sólo si Rang(f) =

DimU y f es sobreyectiva si, y sólo si Rang(f) = DimV.


JOE GARCIA ARCOS

358

TEOREMA 7.5.5

Sean U y V espacios vectoriales de dimensión finita con DimU = DimV y

sea f una transformación lineal de U en V. Entonces:

a.- Cualquier inversa a la izquierda de f es una inversa bilateral;

b.- Cualquier inversa a la derecha de f es una inversa bilateral.

DEMOSTRACION

Si f : U V tiene una inversa a la izquierda f -1

: V U, entonces, sabemos que f es

inyectiva y f también es sobreyectiva. Por tanto, f es biyectiva y, en consecuencia, f

tiene una inversa bilateral que es igual a f -1

. Esto demuestra la primera parte. Si

ahora f -1

: V U es una inversa a la derecha de f, entonces f es sobreyectiva. Por

consiguiente, f es biyectiva y, en consecuencia f tiene una inversa bilateral que es

igual a f -1

. Hemos completado la demostración de la segunda parte.

EJEMPLO 7.5.1

Determine todos los valores del número real k tales que la transformación lineal

f : R2 R

2, definida por f(e1) = e1 + ke2, f(e2) = e1 – ke2, no sea inversible. Aquí

S = {e1, e2} es la base canónica de R2. Cuando f sea inversible, hállese f

-1(e1) y

f -1

(e2). Cuando f no sea inversible, hállense la nulidad de f y el rango de f.

SOLUCION

Hacemos la combinación lineal con el vector (a, b):

(a, b) = (1, 0) + (0, 1) = (, ) a

b

.

f((a, b)) = af((1, 0)) + bf((0, 1)) = a(1, k) + b(1, -k) = (a + b, ka - kb).

Esta transformación lineal, tiene como representación matricial la matriz:

1 1

k k

Para que esta transformación lineal no sea inversible, entonces el determinante de la

representación matricial debe ser cero. Es decir:

1 10

k k

k = 0.

Para encontrar la transformación lineal inversa, hacemos f((a, b)) = (r, s) y luego

resolvemos el sistema que genera:

a b r

ka kb s

1 1 r

k k s

1 1

0 2

r

k kr s

2 0

0 2

k kr s

k kr s

Y obtenemos

2

2

kr sa

k

kr sb

k

1(( , )) ,2 2

kr s kr sf r s

k k

,

1 1 1((1, 0)) ,

2 2f

, 1 1 1((0,1)) ,

2 2f

k k

, k 0.

Si f no es inversible, entonces k = 0 y f((a, b)) = (a + b, 0), entonces:

a + b = 0 a = -b Nuc(f) = {(a, b) / a = -b};

BaseNuc(f) = {(-1, 1)} Nul(f) = 1.

0

a b r

s

Img(f) = {(r, s) / r = a + b, s = 0};

BaseImg(f) = {(1, 0)} Rang(f) = 1.

Por supuesto, con las transformaciones lineales f de U en V, donde DimU = DimV y

no infinita, no tenemos que preocuparnos acerca de las inversas a la izquierda o a la

derecha, puesto que hemos demostrado que una inversa a la izquierda o a la derecha


JOE GARCIA ARCOS

359

es siempre una inversa bilateral. Además, sabemos que dicha inversa es siempre una


TEOREMA 7.5.6

Sean U, V y W espacios vectoriales sobre K de dimensión finita con

DimU = DimV = DimW. Sean las transformaciones lineales f de U en V

y g de V en W. Entonces:

a.- gf es inversible si y sólo si tanto f como g son inversibles;

b.- Si f y g son inversibles, tenemos que (gf)-1

= f -1

g –1

;

c.- Si f es inversible, entonces también lo es f -1

y (f -1

)-1

= f.

DEMOSTRACION

Suponga que gf es inversible. Sea h de W en U la inversa de gf. Entonces

h(gf) = i(U) y (gf)h = i(W). Por tanto, (hg)f = i(U) lo que implica que f tiene una

inversa a la izquierda hg. Además, g(fh) = i(W) lo que implica que g tiene una

inversa a la derecha fh. Por consiguiente, si gf tiene una inversa, entonces tanto g

como f tienen inversas. Suponga ahora que g y f tienen inversas. Entonces g y f

son biyectivas, de modo que gf es biyectiva y, en consecuencia, tiene una inversa;

además, (gf)-1

= f -1

g -1

. Si f tiene inversa entonces f es biyectiva, como

demostramos anteriormente f -1

es una transformación lineal de V en U y si f -1

es

biyectiva, entonces (f -1

)-1

también es una transformación lineal y (f -1

)-1

= f, que es

la transformación lineal original.

EJEMPLO 7.5.2

Verificar que la transformación lineal f : R3 R

3 definida por

f((a, b, c)) = (2a + c, 2c + a, 2a + b)

es inyectiva.

SOLUCION

Nuc(f) = {u R3 / f(u) = , R

3}

= {(a, b, c) / (2a + c, 2c + a, 2a + b) = (0, 0, 0)}

Resolviendo el sistema de ecuaciones

2 0

2 0

2 0

a c

a c

a b

obtenemos

Nuc(f) = {(a, b, c) / a = b = c = 0} Dim Nuc(f) = 0.

Por lo tanto f es inyectiva.

EJEMPLO 7.5.3

En un espacio vectorial con base {e1, e2} se da la transformación lineal f. Hallar la

matriz de la transformación inversa si f(e1) = e2, f(e2) = e1.

SOLUCION


(a, b) = (1, 0) + (0, 1) a

b

De donde

f((a, b)) = f((1, 0)) + f((0, 1)) = a(0, 1) + b(1, 0) = (b, a).

Por tanto:

f -1

((r, s) = (s, r) 1

0 1A

1 0f

.

EJEMPLO 7.5.4

Encuentre la transformación lineal f –1

de la transformación f : R3 R

3 definida

por f((a, b, c)) = (2b + c, 2c + a, 2a + b).


JOE GARCIA ARCOS

360

SOLUCION

Por definición, tenemos que

2

2

2

b c r

a c s

a b t

Resolvemos este sistema de ecuaciones

0 2 1

1 0 2

2 1 0

r

s

t

0 2 1

1 0 2

0 1 4 2

r

s

s t

0 2 1

1 0 2

0 0 9 4 2

r

s

r s t

0 9 0 4 2

9 0 0 2 4

0 0 9 4 2

r s t

r s t

r s t

La solución del sistema es

2 4

9

4 2

9

4 2

9

r s ta

r s tb

r s tc

La transformación lineal inversa es

1 2 4 4 2 4 2(( , , )) , ,

9 9 9

r s t r s t r s tf r s t

.

EJEMPLO 7.5.5

La transformación lineal f consiste en girar cada vector del plano X0Y un ángulo /4.

Hallar la matriz de g = f + f -1

.

SOLUCION

La transformación lineal f está dada por las ecuaciones:

f((e1)) = e1Cos(/4) + e2Sen(/4) y f((e2)) = e1Cos(3/4) + e2Sen(3/4)

Lo que es lo mismo:

2(( , )) ( , )

2f a b a b a b

1 12A

1 12f

Por consiguiente, la transformación lineal inversa es:

1 1(( , )) ( , )

2f r s r s r s 1

1 11A

1 12f

La matriz de la transformación lineal g = f + f –1

, está dada por:

1

1 1 1 1 2 02 1A A A

1 1 1 12 2 0 2g f f

.

EJEMPLO 7.5.6

La transformación lineal f consiste en girar cada vector del plano X0Y en el ángulo

/4. Hallar la representación matricial f -2

.

SOLUCION

La transformación lineal f está dada por las ecuaciones:

f((e1)) = e1Cos(/4) + e2Sen(/4) y f((e2)) = e1Cos(3/4) + e2Sen(3/4)

Lo que es lo mismo:

2(( , )) ( , )

2f a b a b a b


JOE GARCIA ARCOS

361

Por consiguiente, la transformación lineal inversa es:

1 1(( , )) ( , )

2f r s r s r s 1

1 11A

1 12f

La matriz de la transformación lineal f –2

, está dada por:

2 1 1

1 1 1 1

0 12 2 2 2A A A

1 1 1 1 1 0

2 2 2 2

f f f

.

PROBLEMAS

7.5.1 Sea V un espacio vectorial. Sea f de L(V, V).

Demuestre que si f es inversible, entonces f2 = f implica

siempre que f = i. ¿Es esto necesariamente cierto para f no

inversible?

7.5.2 Demuéstrese que cada uno de las transformaciones

lineales siguientes es no singular, y encuéntrese la

transformación lineal inversa que le corresponde:

a.- f(x, y) = (x, 2y);

b.- f(x, y) = (3x + y, 5x + 2y);

c.- f(x, y, z) = (x + y, y + z, z);

d.- f(x, y, z) = (x, x – y, y – z);

e.- f(x, y, z) = (y, x + z, y – z);

f.- f(x, y, z) = (x + y, y + 2z, x + y + z).

7.5.3 Sea B una matriz no singular de n x n. Demuestre

que la transformación lineal f : definida por

f(A) = AB es un isomorfismo.

7.5.4 Sean a, b, c, d números dados y considere la

función ( )ax b

f xcx d

. Sea g otra función de la misma

forma. Demuestre que gf donde gf(x) = g(f(x)) es una

función que también se puede escribir en la misma

forma. Demuestre que cada una de estas funciones se

puede representar por una matriz, de tal modo que la

matriz que representa a gf es el producto de las matrices

que representan a g y f. Demuestre que la función inversa

existe sí y sólo si ad - bc 0. ¿A qué se reduce la

función si ad – bc = 0?

7.5.5 Una transformación lineal f de V en V es nilpotente

si para algún entero positivo k, fk = . Demuestre:

a.- Si f es inversible, entonces f no es nilpotente. ¿Es cierta

la recíproca de esta afirmación?

b.- Si f es nilpotente, entonces i + f es inversible.

Demuestre que (i + f)-1

= i – f + f2 – f

3 + ... + (-1)

k-1fk-1

.

7.5.6 Suponga que U = SpanSenx, Cosx, Sen2x, Cos2x,

…:

a.- Verifíquese que D es transformación lineal no

singular de U.

b.- Determínese la inversa de D.

c.- Verifíquese que I + D, I – D e I – D2 son

transformaciones lineales no singulares de U.

d.- Demuéstrese que I + D2 es transformación lineal

singular de U.

e.- Examínese la singularidad o no singularidad de

I + aD, donde a es entero.

f.- Examínese la singularidad o no singularidad de

I + aD2, donde a es entero.

7.5.7 Sea V el espacio vectorial de todos los polinomios

p(x). Sean f, g y h funciones que aplican un polinomio

cualquiera p(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anx

n de V en los

polinomios r(x), s(x) y t(x) respectivamente, siendo

r(x) = p(0),

1

1

( )n

kk

k

s x a x

, 1

0

( )n

kk

k

t x a x

a.- Poner p(x) = 2 + 3x – x2 + x

3 y determinar la imagen

de p a través de cada una de las transformaciones

siguientes: f, g, h, gh, hg, (hg)2, h

2g

2, g

2h

2, hfg, fgh.

b.- Demuestre que f, g y h son lineales y determinar el

núcleo y la imagen de cada una.

c.- Demuestre que f es uno a uno en V y determine su

inversa.

d.- Si n 1, expresar (hg)n y g

nh

n en función de I y f.

7.5.8 Sea

f(x, y, z, u) = (0, x, y + 2x, z + 2y + 3x).

Demuéstrese que:

a.- f4 = O;

b.- I – f es no singular;

c.- I + f + f2 + f

3 = (I – f)

-1;

d.- I + f es no singular;

e.- I + 2f es no singular;

f.- Si a es no negativo, I – af es no singular.

7.5.9 Suponga que U = Spanex, e

2x, …, e

nx, ….

Demuéstrese la validez de los enunciados siguientes:

a.- La derivada D es transformación lineal no singular

de U y su inversa es la integral ( )x

f t dt .

b.- I + D es transformación lineal no singular de U;


JOE GARCIA ARCOS

362

c.- I – D es transformación lineal singular en U.

d.- Si a es un entero no negativo, aI – D es singular.

e.- Si a es entero no negativo mayor que 1, I – aD es no

singular.

7.5.10 Sea V un espacio vectorial. Sea f de L(V, V).

Suponga que para algunos escalares a1, a2, ..., an de K, y

algún entero positivo n, tenemos que fn + a1f

n-1 + a2f

n-2 + ...

+ an-1f + ani = . Demuestre que si an 0, entonces f es

inversible. Hállese f -1

en función de f en este caso.

7.5.11 Sea f : 2x3 3x2 definida por f(A) = AT.

Demuestre que f es un isomorfismo y determine la matriz

para la inversa de f.

7.5.12 Demuestre que una transformación lineal

f : Rn R

m con n m, no puede ser inversible.

7.5.13 Sea f una transformación lineal de R3 con la

propiedad de que

f(e1) = e2 + e3, f(e2) = e3 + e1, f(e3) = e1 + e2:

a.- Encuéntrense f2(ei) y f

3(ei) para i = 1, 2, 3, y, en

consecuencia, verifíquese que f3 = 3f + 2I.

b.- Verifíquese que 1 21( 3 )

2f f I .

7.5.14 Sean f : Rn R

m, g : R

m R

n transformaciones

lineales. Demuestre que si n > m, el operador lineal

gf : Rn R

n no puede ser inversible. ¿Puede ser

inversible el operador fg : Rm R

m? Explique.

7.5.15 Sea f una transformación lineal de R3 con la

propiedad de que f(e1) = e2, f(e2) = e3, f(e3) = e1:

a.- Encuéntrense f2(ei) y f

3(ei) para i = 1, 2, 3, y, en

consecuencia, verifíquese que f3 = I.

b.- Verifíquese que f -1

= f2.

c.- Dé una interpretación geométrica de f.

7.5.16 Sea V = {0, 1}. Describir todas las funciones

f : V V. En total son cuatro. Desígnense con g, h, r, s

y construir una tabla de multiplicación que muestre la

composición de cada par. Indicar cuáles son uno a uno

en V y dar sus inversas.

7.5.17 Sea V = {0, 1, 2}. Describir todas las funciones

f : V V para las cuales f(V) = V. En total son seis.

Desígnense con f1, f2, f3, f4, f5, f6 y construir una tabla de

multiplicación que muestre la composición de cada par.

Indicar cuáles son uno a uno en V, y dar sus inversas.


Es fundamental para todos los sistemas de gráficas por computadora la capacidad de simular tanto el movimiento

como el manejo de objetos. Estos procesos se describen en términos de traslaciones, rotaciones, puestas en escala

y reflexiones. El objetivo aquí es explicar estas operaciones en una forma matemática adecuada para su

procesamiento por computadora, y mostrar la forma en que se emplean para lograr los fines del manejo y

movimiento de objetos.

Existen dos puntos de vista complementarios para describir el movimiento de

objetos. El primero es que el objeto mismo se mueve en relación con un sistema

coordenado estacionario o fondo. El planteamiento matemático de tal punto de vista

se explica mediante transformaciones geométricas aplicadas a cada punto del objeto.

El segundo punto de vista sostiene que el objeto se mantiene estacionario mientras

que el sistema coordenado se mueve con relación a dicho objeto. Este efecto se

obtiene a través de la aplicación de transformación de coordenadas. Un ejemplo

incluye el movimiento de un automóvil relacionado con un fondo escénico. Es

posible simular esto trasladando el automóvil mientras se mantiene el fondo fijo

(transformación geométrica). También se puede conservar fijo el automóvil mientras

se mueve el escenario del fondo (transformación de coordenadas). En algunas

situaciones, se emplean ambos métodos.

TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS

Considérese un sistema coordenado sobre un plano. Un objeto en el plano puede

considerarse como un conjunto de puntos. Cada punto objeto P tiene coordenadas

(x, y), de manera que el objeto es la suma total de todos sus puntos coordenados.

Si el objeto se traslada a una nueva posición, puede considerarse como un nuevo

objeto ´, cuyos puntos coordenados P´ pueden obtenerse a partir de los puntos


JOE GARCIA ARCOS

363

originales P mediante la aplicación de una transformación geométrica.

En la traslación, un objeto se desplaza una distancia y dirección determinadas a

partir de su posición original. Si el desplazamiento está dado por el vector

v = txi + tyj, el nuevo punto objeto P´(x´, y´) puede obtenerse al aplicar la

transformación Tv a P(x, y)

P´ = Tv(P)

donde x´ = x + tx y y´ = y + ty.

En la rotación, el objeto se rota º con respecto al origen. La convención es que la

dirección de rotación es antihoraria si es un ángulo positivo, y en el sentido

horario si es un ángulo negativo. La transformación de rotación R es

P´ = R(P)

donde x´ = xCos - ySen y y´ = xSen + yCos.

La puesta en escala, es el proceso de expandir o comprimir las dimensiones de un

objeto. Se utilizan constantes positivas de puesta en escala sx y sy para describir

los cambios en longitud con respecto a las direcciones x y y, respectivamente.

Una constante de prueba en escala mayor de uno indica una expansión de

longitud, y menos de uno, compresión de longitud. La transformación de escala

s ,sSx y

está dada por

s ,sP´ S (P)x y

en donde x´ = sxx y y´ = syy.

Obsérvese que después de efectuar una transformación de escala, el nuevo

objeto está localizado en una posición diferente con relación al origen. En

realidad, en una transformación de escala el único punto que permanece fijo es el

origen.

Si ambas constantes de puesta en escala tienen el mismo valor S, la

transformación de escala se dice que es homogénea. Además, si s > 1, es una

amplificación y para s < 1, una reducción.

Si el eje X o Y se considera como un objeto, el objeto tiene una imagen de espejo

o reflexión. Ya que la reflexión P´ de un punto objeto P está localizada a la misma

distancia del espejo que P. La transformación de reflejo de espejo Mx con


JOE GARCIA ARCOS

364

respecto al eje x está dada por

P´ = Mx(P)

donde x´ = x y y´ = -y.

De manera semejante, la reflexión de espejo en relación con el eje Y es

P´ = My(P)

donde x´ = -x y y´ = y.

Toda transformación geométrica tiene una inversa, descrita con la operación

contraria efectuada por la transformación:

Traslación: 1T Tv v

, o traslación en la dirección opuesta.

Rotación: 1R R , o rotación en la dirección opuesta.

Puesta en escala: 1s ,s 1 1

,s s

S Sx y

x y

Reflexión de espejo: 1M Mx x y 1M My y

TRANSFORMACION DE COORDENADAS

Supóngase que se tienen dos sistemas coordenados en el plano. El primer sistema

está localizado en un origen O y tiene ejes coordenados XY. El segundo sistema

coordenado se ubica en el origen O´ y tiene ejes coordenados X´Y´. Ahora cada

punto del plano tiene dos descripciones coordenadas: (x, y) o (x´, y´), dependiendo

del sistema coordenado empleado. Si se considera que el segundo sistema X´Y´

surge de una transformación aplicada al primer sistema XY, se dice que se ha

aplicado una transformación de coordenadas. Es posible describir esta

transformación determinando cómo están relacionadas las coordenadas (x´, y´) de

un punto P con las coordenadas (x, y) del mismo punto.

Si el sistema coordenado XY se desplaza a una nueva posición en donde la

dirección y distancia del desplazamiento están dadas por el vector v = txi + tyj, las

coordenadas de un punto en ambos sistemas están relacionados por la

transformación de traslación Tv :

( ,́ )́ T ( , )vx y x y

donde x´ = x – tx y y´ = y – ty.

El sistema XY se rota º con respecto al origen. Entonces, las coordenadas de un

punto en ambos sistemas están relacionadas por la transformación de rotación

R :

( ,́ )́ R ( , )x y x y

donde


JOE GARCIA ARCOS

365

x´ = xCos + ySen y y´ = -xSen + yCos.

Supóngase que se forma un nuevo sistema coordenado sin modificar el origen, ni

los ejes coordenados, pero introduciendo distintas unidades de medición a lo largo

de los ejes X y Y. Si se obtienen nuevas unidades a partir de las unidades

anteriores con una escala de sx unidades a lo largo del eje X y sy unidades a lo

largo del eje Y, las coordenadas en el nuevo sistema están relacionadas con las

coordenadas en el sistema anterior a través de la transformación de escala s ,sSx y

:

s ,s( ,́ )́ S ( , )x y

x y x y

donde 1

´x

x xs

y 1

´y

y ys

Si en el nuevo sistema coordenado se obtiene por reflexión del sistema anterior

con respecto al eje X o eje Y, la relación entre coordenadas está dada por las

transformaciones coordenadas Mx y M y :

( ,́ )́ M ( , )xx y x y

donde x´ = x y y´ = -y.

Para la reflexión con respecto al eje Y

( ,́ )́ M ( , )yx y x y

donde x´ = -x y y´ = y.

Cada transformación de coordenadas tiene una inversa, que puede obtenerse al

aplicar la transformación opuesta:

Traslación: 1

T Tv v

, o traslación en la dirección opuesta.

Rotación: 1

R R , o rotación en la dirección opuesta.

Puesta en escala: 1

1 1s ,s ,

s sS S

x yx y

Reflexión de espejo: 1

M Mx x y

1M My y

TRANSFORMACIONES COMPUESTAS

Es posible construir transformaciones geométricas y de coordenadas más

complejas a partir de las transformaciones básicas descritas cuando se estudió el

proceso de composición de funciones. Operaciones tales como la rotación con

respecto a un punto distinto del origen o la reflexión con relación a líneas que no

sean los ejes pueden construirse a partir de las transformaciones básicas.

DESCRIPCION MATRICIAL DE LAS TRANSFORMACIONES BASICAS

Las transformaciones de rotación, puesta en escala y reflexión, pueden

representarse como funciones matriciales:

Transformaciones geométricas Transformaciones de coordenadas

RCos Sen

Sen Cos

R

Cos Sen

Sen Cos

s ,s

s 0S

0 sx y

x

y

s ,s

10

sS

10

s

x y

x

y


JOE GARCIA ARCOS

366

1 0M

0 1x

1 0M

0 1x

1 0M

1 1y

1 0

M0 1

y

La transformación de traslación no puede expresarse como una función matricial

de 2 x 2. Sin embargo, cierto artificio permite introducir una función matricial de

3 x 3 que efectúa la transformación de traslación. Se representa el par ordenado

(x, y) de un punto P por medio de la tríada (x, y, 1). Esta es simplemente la

representación homogénea de P. Entonces, la traslación en la dirección v = txi +

tyj puede expresarse por medio de la función matricial

1 0

T 0 1

0 0 1

x

v y

t

t

Entonces

1 0

0 1

10 0 1 1

x x

y y

t x x t

t y y t

A partir de esto se extrae el par coordenado(x + tx, y + ty).

La ventaja de introducir una forma matricial para la traslación es que ahora es

posible construir transformaciones complejas al multiplicar las transformaciones

matriciales básicas. En ocasiones, este proceso recibe el nombre de concatenación

de matrices. Aquí se está empleando el hecho de que la composición de funciones

matriciales es equivalente a la multiplicación de matrices. Debe ser posible

representar las transformaciones básicas como matrices coordenadas homogéneas

de 3 x 3 para que sean compatibles (desde el punto de vista de multiplicación

matricial) con la matriz de traslación. Esto se logra aumentando las matrices de

2 x 2 con una tercera columna y una tercera fila. Esto es

0

0

0 0 1

a b

c d

.

EJEMPLO 7.6.1

Encuentre la transformación que gira un punto objeto con respecto al origen.

Escríbase la representación matricial para esta rotación.

SOLUCION

La definición de las funciones trigonométricas nos da

´ ( )

´ ( )

x rCos

y rSen

y

x rCos

y rSen

Mediante identidades trigonométricas, se obtiene

( ) ( )

( ) ( )

rCos r Cos Cos Sen Sen xCos ySen

rSen r Sen Cos Cos Sen xSen yCos

ó

´

´

x xCos ySen

y xSen yCos

Escribiendo ´

P´´

x

y

, Px

y

, y RCos Sen

Sen Cos


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367

ahora puede escribirse P´ R P

.

EJEMPLO 7.6.2

Encuentre la matriz que representa la rotación de un objeto 30º con respecto al

origen. ¿Cuáles son las nuevas coordenadas del punto P(3, -5) después de la

rotación?

SOLUCION

Tomando la matriz del ejemplo anterior, tenemos que

30º

3 1

30º 30º 2 2R

30º 30º 1 3

2 2

Cos Sen

Sen Cos

Las nuevas coordenadas pueden obtenerse al multiplicar

3 1 5 3 3

32 2 2

51 3 3 5 3

2 2 2

.

EJEMPLO 7.6.3

Describa la transformación que gira un punto objeto Q(x, y), grados con

respecto a un centro fijo de rotación P(h, k).

SOLUCION

Se determina la transformación R,P en tres pasos:

1. Trasladar de manera que el centro de rotación P se encuentre en el origen.

2. Efectuar una rotación de grados con respecto al origen.

3. Trasladar de nuevo el origen a P.

Utilizando v = -hi – kj como vector de traslación, se construye R,P por la

composición de transformaciones ,O´R T R Tv v .

EJEMPLO 7.6.4

Descríbase la forma general de la matriz para la rotación con respecto a un punto

P(h, k).

SOLUCION

Por el ejemplo anterior tenemos ,P´R T R Tv v , donde v = -hi – kj. Mediante

la forma coordenada homogénea de 3 x 3 para las matrices de rotación y

traslación, se tiene

,

1 0 0 1 0

R 0 1 0 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1

P

h Cos Sen h

k Sen Cos k

0 0 1

Cos Sen hCos kSen h

Sen Cos hSen kCos k

.

EJEMPLO 7.6.5

Efectúe una rotación de 45º del triángulo con vértices en los puntos A(0, 0),

B(1, 1), C(5, 2):

a.- Con respecto al origen;

b.- Con respecto al punto P(-1, -1).

SOLUCION

Se representa el triángulo por medio de una matriz formada a partir de las

coordenadas homogéneas de los vértices


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368

A B C

0 1 5

0 1 2

1 1 1

a.- La matriz de rotación es

45º

2 20

2 245º 45º 0

2 2R 45º 45º 0 0

2 20 0 1

0 0 1

Cos Sen

Sen Cos

De manera que las coordenadas A´BĆ´ del triángulo girado ABC se obtienen

como

45º

2 2 3 20 0 0

2 2 20 1 5

2 2 7 2A´BĆ´ R ABC 0 0 1 2 0 2

2 2 21 1 1

0 0 1 1 1 1

De esta manera, obtenemos los nuevos vértices del triángulo rotado:

A´(0, 0), B´(0, 2), 3 2 7 2

C´ ,2 2

.

b.- La matriz de rotación está dada por 45º,P´ 45ºR T R Tv v , en donde v = i +

j. De modo que

,P

2 2 2 20 1

2 2 2 21 0 1 1 0 1

2 2 2 2R 0 1 1 0 0 1 1 2 1

2 2 2 20 0 1 0 0 1

0 0 1 0 0 1

Ahora

45º

2 21

2 20 1 5

2 2A´BĆ´ R ABC 2 1 0 1 2

2 21 1 1

0 0 1

1 1 3 2 1

9 2 22 1 2 2 1

2

1 1 1

De esta manera, obtenemos los nuevos vértices del triángulo rotado:

A (́ 1, 2 1) , B́ ( 1, 2 2 1) , 3 2 7 2

C´ ,2 2

.


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369

EJEMPLO 7.6.6

Determine la transformación que pone en escala (respecto al origen) en:

a.- a unidades en la dirección X;

b.- b unidades en la dirección Y;

c.- en forma simultánea a unidades en dirección X y b unidades en dirección Y.

SOLUCION

a.- La transformación de escala aplicada a un punto P(x, y) produce el punto

(ax, y). Esto puede escribirse en forma matricial como

,1S Pa ó 0

0 1

a x ax

y y

b.- Como en el literal anterior, la transformación requerida puede escribirse en

forma matricial como

1,S Pb ó 1 0

0

x x

b y by

c.- La puesta en escala en ambas direcciones está descrita por la transformación

x´ = ax y y´ = by. Al escribir esto en forma matricial como

,S Pa b ó 0

0

a x ax

b y by

.

EJEMPLO 7.6.7

Escriba la forma general de una matriz de puesta en escala con respecto a un

punto fijo P(h, k).

SOLUCION

Siguiendo el mismo procedimiento general, se escribe la transformación requerida

con v = -hi – kj como

, ,P ,

1 0 0 0 1 0 0

S T S T 0 1 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

a b v a b v

h a h a ah h

k b k b bk k

.

EJEMPLO 7.6.8

Amplifíquese el triángulo con vértices A(0, 0), B(1, 1) y C(5, 2) al doble de su

tamaño manteniendo fijo el vértice C(5, 2).

SOLUCION

Es posible escribir la transformación requerida con v = -5i – 2j como

2,2,C 2,2

1 0 5 2 0 0 1 0 5 2 0 5

S T S T 0 1 2 0 2 0 0 1 2 0 2 2

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

v v

Representando un punto P con coordenadas (x, y) por medio del vector columna

1

x

y

, se tiene

2,2,C

2 0 5 0 5

S A 0 2 2 0 2

0 0 1 1 1

; 2,2,C

2 0 5 1 3

S B 0 2 2 1 0

0 0 1 1 1

;

2,2,C

2 0 5 5 5

S C 0 2 2 2 2

0 0 1 1 1

De manera que A´(-5, -2), B´(-3, 0) y C´(5, 2). Obsérvese que ya que el triángulo

ABC está completamente determinado por sus vértices, podría haberse ahorrado

mucha escritura al representar los vértices con una matriz de 3 x 3


JOE GARCIA ARCOS

370

0 1 5

ABC 0 1 2

1 1 1

y aplicando 2,2,CS a esto. Entonces

2,2,C

2 0 5 0 1 5 5 3 5

S ABC 0 2 2 0 1 2 2 0 2 A´B´C´

0 0 1 1 1 1 1 1 1

.

EJEMPLO 7.6.9

Descríbase la transformación ML que refleja un objeto con respecto a una recta L.

SOLUCION

Considere que la línea L de la figura tiene una intersección con el eje Y en (0, b)

y un ángulo de inclinación de grados (respecto al eje X). Se reduce la

descripción a transformaciones conocidas:

1. Trasladar (0, b) al origen.

2. Rotar - grados de manera que la recta L se alinee con el eje X.

3. Efectuar una reflexión de espejo con respecto al eje X.

4. Girar de nuevo grados.

5. Trasladar el origen de nuevo al punto (0, b).

En notación de transformación, se tiene

L θ θM T R M R Tv x v

en donde v = -bj.

EJEMPLO 7.6.10

Obténgase la forma de la matriz para realizar reflexión con respecto a una recta L

de pendiente m e intersección con el eje Y en el punto (0, b).

SOLUCION

Aplicando el hecho de que el ángulo de inclinación de una recta está relacionado

con su pendiente m por la ecuación Tan = m, se tiene con v = -bj


1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Cos Sen Cos Sen

b Sen Cos Sen Cos b

.

Ahora, si Tan = m, la trigonometría elemental da

2

2

1

1

1

mSen

m

Cosm

Sustituyendo estos valores en vez de Sen y Cos después de la multiplicación de

matrices, se tiene

2

2 2 2

2

L 2 2 2

1 2 2

1 1 1

2 1 2M

1 1 1

0 0 1

m m bm

m m m

m m b

m m m

.


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371

EJEMPLO 7.6.11

Realice la reflexión del polígono en forma de diamante cuyos vértices están en

A(-1, 0), B(0, -2), C(1, 0) y D(0, 2) con respecto:

a.- La recta horizontal y = 1;

b.- La recta vertical x = 2;

c.- La recta y = x + 2.

SOLUCION

Se representan los vértices del polígono por medio de la matriz coordenada

homogénea

1 0 1 0

V 0 2 0 2

1 1 1 1

La matriz de reflexión puede escribirse como


a.- La recta y = 2 tiene intersección con el eje Y en el punto (0, 2) y forma un

ángulo de 0º con el eje X. De manera que con = 0 y v = -2j, la matriz de

transformación es

L

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

M 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 4

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Esta misma matriz podría haberse obtenido directamente utilizando los resultados

del ejemplo anterior con pendiente m = 0 e intersección con el eje Y en b = 0.

Para reflejar el polígono, se iguala

L

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0

M V 0 1 4 0 2 0 2 4 6 4 2

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Convirtiendo de coordenadas homogéneas A´(-1, 4), B´(0, 6), C´(1, 4), D´(0, 2).

b.- La recta vertical x = 2 carece de intersección con el eje Y y tiene pendiente

infinita. Puede utilizarse My, reflexión con respecto al eje Y, para escribir la

reflexión deseada:

1. Trasladando la recta dada dos unidades hacia arriba al eje Y;

2. Realizando reflexión con respecto al eje Y;

3. Trasladando hacia atrás dos unidades.

De manera que con v = -2i

L y

1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 4

M T M T 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

v v

Por último

L

1 0 4 1 0 1 0 5 4 3 4

M V 0 1 0 0 2 0 2 0 2 0 2

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Convirtiendo de coordenadas homogéneas A´(5, 0), B´(4, -2), C´(3, 0), D´(4, 2).

c.- La recta y = x + 2 tiene pendiente 1 e intersección con el eje Y en el punto

(0, 2). A partir del ejemplo anterior, con m = 1 y b = 2, se tiene

L

0 1 2

M 1 0 2

0 0 1

Ahora es posible determinar las coordenadas necesarias A´, B´, C´ y D´


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372

L

0 1 2 1 0 1 0 2 4 2 0

M V 1 0 2 0 2 0 2 1 2 3 2

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

De manera que A´(-2, 1), B´(-4, 2), C´(-2, 3) y D´(0, 2).

EJEMPLO 7.6.12

Un observador que se encuentra en el origen ve un punto P(1, 1). Si el punto se

traslada una unidad en la dirección v = i, su nueva posición coordenada es

P´(2, 1). Supóngase que, en vez de esto, el observador retrocede una unidad sobre

el eje X. ¿Cuáles serían las coordenadas aparentes de P con respecto al

observador?

SOLUCION

El problema puede plantearse como una transformación de sistemas coordenadas.

Si se traslada el origen O en la dirección v = -i (a una nueva posición en O´), las

coordenadas P en este sistema pueden obtenerse por medio de la traslación Tv :

1 0 1 1 2

T P 0 1 0 1 1

0 0 1 1 1

v

De manera que las nuevas coordenadas son (2, 1)´. Esto tiene la interpretación

que sigue: un desplazamiento de una unidad en una dirección dada puede lograrse

ya sea trasladando el objeto hacia delante o alejándose de él.

EJEMPLO 7.6.13

Un objeto está definido con respecto a un sistema coordenado cuyas unidades

están mediadas en pies. Si el sistema coordenado de un observador utiliza

pulgadas como unidad básica, ¿cuál es la transformación de coordenadas

empleada para describir las coordenadas del objeto en el sistema coordenado del

observador?

SOLUCION

Ya que hay 12 pulgadas en un pie, la transformación requerida puede describirse

por medio de una transformación de escala coordenada con 1

2s o

1/12

10

12 01/12S

1 0 120

1/12

y así

1/12

12 0 12S

0 12 12

x x x

y y y

.

EJEMPLO 7.6.14

Obténgase la ecuación del círculo (x´)2 + (y´)

2 = 1 en términos de coordenadas

XY, considerando que el sistema coordenado X´Y´ es el resultado de una puesta

en escala a unidades en la dirección X y b unidades en la dirección Y.

SOLUCION

A partir de las ecuaciones para una transformación de escala coordenada, se

obtiene

1´x x

a y

1´y y

b

Sustituyendo, se tiene


JOE GARCIA ARCOS

373

2 2

1x y

a b

Obsérvese que, como resultado de la puesta en escala, la ecuación del círculo se

transforma en la ecuación de una elipse en el sistema coordenado XY.

EJEMPLO 7.6.15

Obténgase la ecuación de la recta y´ = mx´ + b en las coordenadas XY si el

sistema coordenado X´Y´ es el resultado de una rotación de 90º del sistema

coordenado XY.

SOLUCION

Las ecuaciones de transformación de coordenadas de una rotación pueden

escribirse como

´ 90º 90º

´ 90º 90º

x xCos ySen y

y xSen yCos x

Sustituyendo, se tiene –x = my + b. Resolviendo para y, se tiene

1 by x

m m .

A continuación y de forma general, enumeramos los operadores en R2 que

transforman cada vector en su imagen simétrica con respecto a alguna recta y se

denominan operadores reflexión. Así mismo, encontramos los operadores

proyección ortogonal y rotación:

Reflexión respecto al eje Y:

´

´

x x

y y

1 0

0 1

Reflexión respecto al eje X:

´

´

x x

y y

1 0

0 1

Reflexión respecto a la recta y = x:

´

´

x y

y x

0 1

1 0

Proyección ortogonal sobre el eje X:

´

´ 0

x x

y

1 0

0 0


JOE GARCIA ARCOS

374

Proyección ortogonal sobre el eje Y:

´ 0

´

x

y y

0 0

0 1

Rotación a través de un ángulo :

´

´

x xCos ySen

y xSen yCos

Cos Sen

Sen Cos


El manejo, visión y construcción de imágenes gráficas tridimensionales requiere el empleo de geometría y

transformaciones coordenadas tridimensionales. Estas transformaciones están constituidas por la

composición de las transformaciones básicas de traslación, puesta en escala y rotación. Cada una de estas

transformaciones puede representarse como una transformación matricial. Lo cual permite construir

transformaciones más complejas al utilizar multiplicación o concatenación matriciales.

Como en las transformaciones bidimensionales, se adoptan dos puntos de vista

complementarios: el objeto o imagen se maneja directamente mediante el uso de

transformaciones geométricas, o el objeto permanece estacionario y el sistema

coordenado del observador se modifica al utilizar transformaciones coordenadas.

Además, la construcción de objetos e imágenes complejas se facilita al emplear

transformaciones de instancia, que combinan ambos puntos de vista. Las

transformaciones y los conceptos aquí presentados son generalizaciones directas

de as demostradas para transformaciones bidimensionales.

TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS

Con respecto a algunos sistemas coordenados tridimensionales, un objeto se

considera como un conjunto de puntos = {P(x, y, z)}.

Si el objeto se traslada a una nueva posición, puede considerársele como un nuevo

objeto ´, del que todos los puntos coordenados P´(x´, y´, z´) pueden obtenerse a

partir de los puntos coordenados originales P(x, y, z) de aplicando una

transformación geométrica.

Un objeto es desplazado ciertas distancias y dirección a partir de su posición

original. La dirección y el desplazamiento de la traslación están prescritos por un

vector v = ai + bj + ck. Las nuevas coordenadas de un punto trasladado pueden

calcularse al utilizar la transformación

´

T : ´

´

v

x x a

y y b

z z c

.

A fin de representar esta transformación como matricial, es necesario utilizar

coordenadas homogéneas. Entonces, la transformación matricial homogénea


JOE GARCIA ARCOS

375

requerida puede expresarse como

´ 1 0 0

´ 0 1 0

´ 0 0 1

1 0 0 0 1 1

x a x

y b y

z c z

El proceso de puesta en escala modifica las dimensiones de un objeto. El factor de

escala s determina si la escala es una amplificación, s > 1, o una reducción, s < 1.

En la puesta en escala con respecto al origen, donde dicho origen permanece fijo,

se efectúa por la transformación

, ,

´

S : ´

´

x y z

x

s s s y

z

x s x

y s y

z s z

En forma matricial, tenemos

, ,

0 0

S 0 0

0 0

x y z

x

s s s y

z

s

s

s

La rotación en tres dimensiones es mucho más compleja que la rotación en dos

dimensiones. En dos dimensiones, una rotación está prescrita por un ángulo de

rotación y un centro de rotación P. Las rotaciones tridimensionales requieren la

prescripción de un ángulo de rotación y de un eje de rotación.

Las rotaciones canónicas están definidas cuando se elige uno de los ejes

coordenados positivos X, Y o Z como eje de rotación. Entonces la construcción

de la transformación de rotación procede igual que la de una rotación en dos

dimensiones, con respecto al origen.

Rotación con respecto al eje Z

,

´

R : ´

´

k

x xCos ySen

y xSen yCos

z z

Rotación con respecto al eje Y

,

´

R : ´

´

j

x xCos zSen

y y

z xSen zCos

Rotación con respecto al eje X

,

´

R : ´

´

i

x x

y yCos zSen

z ySen zCos

Obsérvese que la dirección de un ángulo positivo de rotación se elige de acuerdo

con la regla de la mano derecha respecto al eje de rotación. Las transformaciones

matriciales correspondientes son

,

0

R 0

0 0 1

k

Cos Sen

Sen Cos

; ,

0

R 0 1 0

0

j

Cos Sen

Sen Cos

;


JOE GARCIA ARCOS

376

,

1 0 0

R 0

0

i Cos Sen

Sen Cos

.

El caso general de rotación en relación con un eje L puede construirse a partir de

estas rotaciones canónicas mediante la multiplicación de matrices.

TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS

También es posible lograr los efectos de traslación, puesta en escala y rotación al

mover al observador que ve el objeto y manteniendo estacionario el objeto. Este

tipo de transformación se denomina transformación de coordenadas. Primero se

fija un sistema coordenado al observador y después se le traslada junto con el

sistema coordenado agregado. A continuación, se vuelven a calcular las

coordenadas del objeto observado respecto al nuevo sistema coordenado del

observador. Los nuevos valores coordenados serán exactamente los mismos que

si el observador hubiera permanecido estacionario y el objeto se hubiera movido,

correspondiendo a una transformación geométrica.

Si el desplazamiento del sistema coordenado del observador hacia una nueva

posición está prescrito por un vector v = ai + bj + ck, un punto P(x, y, z), en el

sistema coordenado original tiene coordenadas P(x´, y´, z´) en el nuevo sistema

coordenado, y

´

T : ´

´

v

x x a

y y b

z z c

La obtención de esta transformación es completamente análoga a la de la

transformación bidimensional. Obtenciones semejantes se cumplen para

transformaciones de puesta en escala de coordenadas y rotación de coordenadas.

Como en el caso bidimensional, se resumen las relaciones entre las formas

matricules de las transformaciones de coordenadas y las transformaciones

geométricas:

Transf. de coord. Transf. Geom.

Traslación Tv T v

Rotación R R

Puesta en escala , ,S

x y zs s s 1 1 1, ,

S

x y zs s s

Las transformaciones geométricas y de coordenadas inversas se construyen al

efectuar la operación inversa. En esta forma, para transformaciones de

coordenadas (y, de manera semejante, para transformaciones geométricas): 1

T Tv v

; 1

R R ;

1 1 1, ,

, ,S Sx y z

s s sx y z

s s s

TRANSFORMACIONES COMPUESTAS Y CONCATENACION DE

MATRICES

Transformaciones geométricas y coordenadas más complejas se forman a través


JOE GARCIA ARCOS

377

del proceso de composición de funciones. Sin embargo, para las funciones

matriciales el proceso de composición equivale a la multiplicación o

concatenación de matrices.

1. Av, u = alinear un vector v con un vector u.

2. R, L = rotación respecto a un eje L. El eje se prescribe dando un vector de

dirección v y un punto P a través del cual pasa el eje.

3. , ,Sx y zs s s = puesta en escala con respecto a un punto arbitrario P.

A fin de construir estas transformaciones más complejas mediante concatenación

de matrices, es necesario poder multiplicar matrices de traslación con matrices de

rotación y puesta en escala. Esto requiere el empleo de coordenadas homogéneas

y matrices de 4 x 4. Las matrices estándar de rotación y puesta en escala de 3 x 3

pueden representarse como matrices homogéneas 4 x 4 al agregar una fila y

columna extra, como sigue:

0

0

0

0 0 0 1

a b c

d e f

g h i

Estas transformaciones se aplican después a los puntos P(x, y, z) que tienen la

forma homogénea:

1

x

y

z

.

EJEMPLO 7.7.1

Se define inclinación como una rotación con respecto al eje X seguida por una

rotación con respecto al eje Y:

a.- Obténgase la matriz de inclinación;

b.- ¿Importa el orden que se efectúe la rotación?

SOLUCION

a.- Es posible obtener la transformación requerida T al componer (concatenar)

dos matrices de rotación:

, ,

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0T = R R

0 0 0 1

0 0 0 10 0 0 1

y x

y y

x xj i

y y x x

Cos Sen

Cos Sen

Sen Cos Sen Cos

0

0 0

0

0 0 0 1

y y x y x

x x

y y x y x

Cos Sen Sen Sen Cos

Cos Sen

Sen Cos Sen Cos Cos

b.- Se multiplican , ,R Rx yi j para obtener la matriz

0 0

0

0

0 0 0 1

y y

x y x x y

x y x x y

Cos Sen

Sen Sen Cos Sen Cos

Cos Sen Sen Cos Cos

Esta no es la misma matriz que en la parte a); por tanto, sí importa el orden de la

rotación.


JOE GARCIA ARCOS

378

EJEMPLO 7.7.2

Obténgase una transformación Av que alinea un vector dado v con el vector k a lo

largo del eje Z positivo.

SOLUCION

Según la figura a). Sea v = ai + bj + ck. Se realiza el alineamiento a través de la

secuencia siguiente de transformaciones, figura b) y c):

1. Se gira con respecto al eje X en un ángulo 1 de manera que v gira en la mitad

superior del plano XZ (como vector v1).

2. Se gira el vector v1 con respecto al eje Y en un ángulo -2 de manera que v1

gira al eje positivo Z (como vector v2).

Al poner en práctica el paso 1 a partir de la figura b), se observa que el ángulo

requerido de rotación 1 puede obtenerse al observar la proyección de v sobre el

plano YZ. (Se considera que b y c no son ambas cero). A partir del triángulo

OP´B:

12 2

12 2

bSen

b c

cCos

b c

La rotación requerida es

1

2 2 2 2

,

2 2 2 2

1 0 0 0

0 0

R

0 0

0 0 0 1

i

c b

b c b c

b c

b c b c

Al aplicar esta rotación a v se produce el vector v1 con componentes

2 2( , 0, )a b c .

Al realizar el paso 2 partiendo de la figura c), se ve que se necesita una rotación

de -2 y también a partir del triángulo OQQ´:

2 22 2 2

2 2

2 22 2 2

( )

( )

aSen Sen

a b c

b cCos Cos

a b c

Entonces

2

2 2

2 2 2 2 2 2

,2 2

2 2 2 2 2 2

0 0

0 1 0 0R

0 0

0 0 0 1

j

b c a

a b c a b c

a b c

a b c a b c

Ya que 2 2 2v a b c , introduciendo la notación 2 2b c , se obtiene


JOE GARCIA ARCOS

379

2 1, ,

0

0 0A R R

0

0 0 0 1

v j i

ab ac

v v v

c b

a b c

v v v

Si tanto b como c son cero, entonces v = ai, por lo que = 0. En este caso, sólo se

requiere una rotación de 90º con respecto al eje Y, de manera que si = 0, se

tiene que

2 ,

0 0 0

0 1 0 0A R

0 0 0

0 0 0 1

v j

a

a

a

a

En la misma forma se calcula la transformación inversa que alinea al vector k con

el vector v.

2 1

-1 -1, ,A (R R )v j i

1 2

-1 -1, - ,R Ri j

1 2, ,R Ri j

0 0

0

0

0 0 0 1

a

v v

ab c b

v v

ac b c

v v

.

EJEMPLO 7.7.3

Sea un eje de rotación L especificado por un vector v y un punto de localización

P. Obténgase la transformación para una rotación de con respecto a L.

SOLUCION

Es posible obtener la transformación requerida siguiendo los siguientes pasos:

1. Trasladar P al origen.

2. Alinear v con el vector k.

3. Girar con respecto a k.

4. Invertir los pasos 2 y 1.

De manera que 1 1

θ,L P , PR T A R A Tv k v

En este caso, Av es la transformación descrita en el ejemplo anterior.

EJEMPLO 7.7.4

La pirámide definida por las coordenadas

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0), D(0, 0, 1)

se gira 45º respecto a la recta L que tiene la dirección v = j + k y pasa a través del

punto C(0, 1, 0). Obtenga las coordenadas de la figura girada.

SOLUCION


JOE GARCIA ARCOS

380

Tomando de referencia el ejemplo anterior, la matriz de rotación R,L puede

encontrarse al concatenar las matrices 1 1

θ,L P , PR T A R A Tv k v

Con P(0, 1, 0) entonces

P

1 0 0 0

0 1 0 1T

0 0 1 0

0 0 0 1

Ahora v = j + k. Así que a partir del segundo ejemplo, con a = 0, b = 1, c = 1, se

obtienen 2 , 2v , y

1 0 0 0

1 10 0

2 2A

1 10 0

2 2

0 0 0 1

v

y -1

1 0 0 0

1 10 0

2 2A

1 10 0

2 2

0 0 0 1

v

También

45º,

1 10 0

2 2

1 10 0R

2 2

0 0 1 0

0 0 0 1

k

y -1P

1 0 0 0

0 1 0 1T

0 0 1 0

0 0 0 1

-

Entonces

,L

2 1 1 1

2 2 2 2

1 2 2 2 2 2 2

R 2 4 4 4

1 2 2 2 2 2 2

2 4 4 4

0 0 0 1

Para obtener las coordenadas de la figura girada, se aplica la matriz de rotación

R,L a la matriz de coordenadas homogéneas de los vértices A, B, C y D.

0 1 0 0

0 0 1 0C (ABCD)

0 0 0 1

1 1 1 1

De manera que

,L

1 1 20 1

2 2

2 2 4 2 2 21

R C 4 4 2

2 2 2 4 20

4 4 2

1 1 1 1

Las coordenadas giradas son


JOE GARCIA ARCOS

381

1 2 2 2 2A´ , ,

2 4 4

, 1 2 4 2 2 4

B́ , ,2 4 4

, C´ = (0, 1, 0),

2 2 2D´ 1, ,

2 2

.

EJEMPLO 7.7.5

Obtenga la transformación para reflejo de espejo con relación a un plano dado.

SOLUCION

Sea el plano de reflexión especificado por un vector normal N y un punto de

referencia P0(x0, y0, z0), para reducir la reflexión a una reflexión de espejo con

respecto al plano XY:

1. Se traslada P0 al origen.

2. Se alinea el vector normal N con el vector k normal al plano XY.

3. Se efectúa la reflexión de espejo en el plano XY.

4. Se invierten los pasos 1 y 2.

De manera que, con el vector de traslación v = -x0i – y0j – z0k

0

1 1N,P N NM T A M A Tv v

Aquí, AN es la matriz de alineamiento definida en el segundo ejemplo. Por tanto,

si el vector N = n1i + n2j + n3k, entonces a partir del segundo ejemplo, con

2 2 21 2 3N n n n y 2 2

2 3n n , se obtiene

1 31 2

3 2

N

31 2

0N N N

0 0A

0N N N

0 0 0 1

n nn n

n n

nn n

y

1

31 2 2

-1N

1 3 32

0 0N N

0N NA

0N N

0 0 0 1

n

nn n n

n n nn

Además

0

0

0

1 0 0

0 1 0T

0 0 1

0 0 0 1

v

x

y

z

y

0

01

0

1 0 0

0 1 0T

0 0 1

0 0 0 1

-v

x

y

z

Por último, la forma homogénea de M es

1 0 0 0

0 1 0 0M

0 0 1 0

0 0 0 1

.

EJEMPLO 7.7.6

Obténgase la matriz para la reflexión de espejo respecto al plano que pasa a través

del origen y tiene un vector normal cuya dirección es N = i + j + k.

SOLUCION

Basándose en el ejemplo anterior, con P0(0, 0, 0) y N = i + j + k, se obtienen

N 3 y 2 . Entonces


JOE GARCIA ARCOS

382

1 0 0 0

0 1 0 0T

0 0 1 0

0 0 0 1

v

y 1

1 0 0 0

0 1 0 0T

0 0 1 0

0 0 0 1

-v

N

2 1 10

3 2 3 2 3

1 10 0

A 2 2

1 1 10

3 3 3

0 0 0 1

, -1N

2 10 0

3 3

1 1 10

A 2 3 2 3

1 1 10

2 3 2 3

0 0 0 1

,

1 0 0 0

0 1 0 0M

0 0 1 0

0 0 0 1

La matriz de reflexión es

1 1N,O N N

1 2 20

3 3 3

2 1 20

M T A M A T 3 3 3

2 2 10

3 3 3

0 0 0 1

v v

.

A continuación y de forma general, enumeramos los operadores en R3 que

transforman cada vector en su imagen simétrica con respecto a alguna recta y se

denominan operadores reflexión. Así mismo, encontramos los operadores

proyección ortogonal y rotación:

Reflexión respecto al plano XY:

´

´

´

x x

y y

z z

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Reflexión respecto al plano XZ:

´

´

´

x x

y y

z z

1 0 0

0 1 0

0 0 1


JOE GARCIA ARCOS

383

Reflexión respecto al plano YZ:

´

´

´

x x

y y

z z

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Proyección ortogonal sobre el plano XY:

´

´

´ 0

x x

y y

z

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Proyección ortogonal sobre el plano XZ:

´

´ 0

´

x x

y

z z

1 0 0

0 0 0

0 0 1

Rotación ortogonal sobre el plano YZ:

´ 0

´

´

x

y y

z z

0 0 0

0 1 0

0 0 1

Rotación en sentido antihorario a través de un ángulo respecto al eje X positivo:

´

´

´

x x

y yCos zSen

z ySen zCos

1 0 0

0

0

Cos Sen

Sen Cos


JOE GARCIA ARCOS

384

Rotación en sentido antihorario a través de un ángulo respecto al eje Y positivo:

´

´

´

x xCos zSen

y y

z xSen zCos

0

0 1 0

0

Cos Sen

Sen Cos

Rotación en sentido antihorario a través de un ángulo respecto al eje Z positivo:

´

´

´

x xCos ySen

y xSen yCos

z z

0

0

0 0 1

Cos Sen

Sen Cos

Por completitud, se puede ver que la matriz estándar para una rotación en sentido

horario alrededor de un eje en R3 (determinado por un vector unitario arbitrario

u = (a, b, c) cuyo punto inicial está en el origen) por un ángulo , es 2

2

2

(1 ) (1 ) (1 )

(1 ) (1 ) (1 )

(1 ) (1 ) (1 )

a Cos Cos ab Cos cSen ac Cos bSen

ab Cos cSen b Cos Cos bc Cos aSen

ac Cos bSen bc Cos aSen c Cos Cos

.

7.8 FORMAS LINEALES. ESPACIO DUAL

En esta sección estudiaremos las transformaciones lineales que van de un espacio vectorial U en un espacio

unidimensional. Enunciaremos y demostraremos sus propiedades.

Las formas lineales son transformaciones lineales de un espacio vectorial en un

espacio vectorial de dimensión 1. Como tales, no son nuevas para nosotros. Pero,

debido a su gran importancia, han sido objeto de mucha investigación y se les ha

acumulado una gran cantidad de terminología especial.

DEFINICION 7.8.1

Dado un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K, una forma lineal en V es

toda transformación f : V K, que satisfaga el axioma siguiente:

u, v V y a, b K, entonces f(au + bv) = af(u) + bf(v).

Cualquier cuerpo se puede considerar como un espacio vectorial de dimensión 1

sobre sí mismo. Por tanto, el concepto de forma lineal en realidad no es algo

nuevo. Es la conocida transformación lineal, restringida a un caso especial.

Las operaciones que figuran en el primer miembro son las del espacio vectorial V

y las del segundo miembro son la adición y producto del cuerpo K. Considerando,

entonces, el cuerpo K como espacio vectorial sobre sí mismo, puede decirse que

las formas lineales en el espacio vectorial V son las transformaciones lineales de

V en su cuerpo base K, es decir; f : V K. Como las funciones lineales son un

caso especial de las transformaciones lineales, los conceptos y resultados

obtenidos anteriormente permanecen válidos y pueden aplicarse a las funciones

lineales.


JOE GARCIA ARCOS

385

TEOREMA 7.8.1

Si V es un espacio vectorial sobre K, de dimensión n, el conjunto de todas

las formas lineales sobre V es un espacio vectorial de dimensión n.

DEMOSTRACION

Para demostrar este teorema, probaremos en primer lugar que toda transformación

lineal f : V kV es una transformación lineal a la cual designaremos por kf. En

efecto, como

(kf)(au) = f(kau) = af(ku) = a(kf)(u), para todo k K.

(af)(u + v) = f(a(u + v)) = f(au) + f(av) = (af)(u) + (af)(v), para todo u, v V y a K.

En segundo lugar, también debemos probar que la transformación f de V en la suma

de las dos formas lineales g(u) + h(u) es también otra forma lineal, que designaremos

por (g + h)(u). En efecto, como

f(u) = g(u) + h(u) = (g + h)(u).

f(u) K, ya que g(u), h(u) K y, además, se cumplen las condiciones siguientes:

a.- f(u + v) = g(u + v) + h(u + v)

= g(u) + g(v) + h(u) + h(v)

= g(u) + h(u) + g(v) + h(v)

= (g + h)(u) + (g + h)(v)

= f(u) + f(v)

b.- f(ku) = g(ku) + h(ku)

= kf(u) + kh(u)

= k(g(u) + h(u))

= k(g + h)(u)

= kf(u)

Por tanto, el conjunto de las formas lineales cumple las condiciones necesarias y

suficientes para ser un espacio vectorial.

Por ser las formas lineales, en un espacio vectorial, unos homomorfismos especiales

entre espacios vectoriales, son válidas para ellas todos los resultados obtenidos para

éstos. En particular, dado un espacio vectorial V, la adición de dos formas lineales en

V es también una forma lineal en V, al multiplicar por un escalar una forma lineal en

V, se obtiene una nueva forma lineal en V; es también, entonces cierto que el

conjunto L(V, K), de las formas lineales en V, tiene, respecto de las mencionadas

operaciones, estructura de espacio vectorial. A este espacio vectorial, de las formas

lineales en V, se le da el nombre de espacio dual de V y se le representa por V*.

DEFINICION 7.8.2

Siendo V un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K, se llama

dual de V al espacio vectorial sobre K de todas las formas lineales sobre V.

La base del espacio dual V* de V guarda una relación especial con la base de V. Sea

S = {u1, u2, ..., un} la base de V. Se define el funcional lineal fi(u) por u = a1u1 + a2u2

+ ... + anun, donde fi(u) = ai K. A fi se le llamara la función coordenada i-ésima. Se

puede demostrar que fi es un funcional lineal.

TEOREMA 7.8.2

Si V es un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K, V* es

también de dimensión n.

DEMOSTRACION

Sea S = {u1, u2, ..., un} una base de V; si u V, tenemos, de modo único

u = a1u1 + a2u2 + ... + anun.

Sea fi la forma lineal sobre V definida por fi : V ai. Esta transformación fi es una

forma lineal, pues

fi(u + v) = ai + bi = fi(u) + fi(v); fi(ku) = kai = kfi(u).

Si f es una forma lineal cualquiera sobre V, es decir un elemento de V*,

f(u) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un)


JOE GARCIA ARCOS

386

por tanto, f está determinada por los valores ci = fi(u) que toma para los elementos de

la base de V. Como el cuerpo es conmutativo

f(u) = a1f1(u) + a2f2(u) + ... + anfn(u)

es decir

f = a1f1 + a2f2 + ... + anfn

Ahora bien, en V* las formas fi son linealmente independientes, pues si se pudiera

escribir

d1f1(u) + d2f2(u) + ... + dnfn(u) = V*

para valores di K no todos iguales a cero, tendríamos para todo u V

d1f1(u) + d2f2(u) + ... + dnfn(u) = 0 K

es decir

d1a1 + d2a2 + ... + dnan = 0.

Ahora bien, esto es imposible, pues si, por ejemplo, dn 0, basta tomar a1 = a2 = ... =

an-1 = 0 y an 0 K. Por tanto, toda forma f puede escribirse como f = a1f1 + a2f2 +

... + anfn y los fi son linealmente independientes. Esto significa que {f1, f2, ..., fn} es

base de V* y que V* es, por tanto, de dimensión n.

7.9 CUESTIONARIO

Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas,

indicar por que lo es:

7.9.1 Las matrices de una misma transformación lineal en

dos bases coinciden cuando, y sólo cuando, la matriz del

cambio de una de esas bases por otra es conmutativa con la

matriz de dicha transformación lineal en una de las bases

dadas.

7.9.2 La proyección de un espacio tridimensional sobre el

eje de coordenadas del vector e1 paralelamente al plano de

coordenadas de los vectores e2 y e3 no es una


7.9.3 Las transformaciones lineales de un espacio n-

dimensional con respecto a la adición y multiplicación por

un número forman de por sí un espacio vectorial.

7.9.4 Cualquier transformación lineal f de un espacio

unidimensional se reduce a la multiplicación de todos los

vectores por un mismo número.

7.9.5 Si f es una transformación lineal del espacio de

dimensión finita U a W, entonces la dimensión de W es

igual a la suma de la nulidad y el rango.

7.9.6 Si f es una transformación lineal de U en W, siendo

ambos de dimensión k, entonces el núcleo de f es igual a

si y sólo si la imagen de f es igual a U.

7.9.7 Si f es una transformación lineal de U en W, siendo

ambos de dimensión k, entonces f -1

existe si y sólo si el

núcleo de f es igual a W.

7.9.8 Si f es una transformación lineal sobreyectiva de U

en U, y U es n-dimensional, entonces f es inyectiva.

7.9.9 El giro de un espacio tridimensional en un ángulo

2/3 alrededor de una recta, prefijada en un sistema

rectangular de coordenadas mediante las ecuaciones

x1 = x2 = x3, es una transformación lineal.

7.9.10 El giro del plano en un ángulo alrededor del

origen de coordenadas es una transformación lineal.

7.9.11 Si f es una transformación lineal inyectiva de U

en U, y U es n-dimensional, entonces f es biyectiva.

7.9.12 Sea U un espacio vectorial de dimensión finita y

sea f una transformación lineal sobre U. Supóngase que el

rango de f 2 es igual al rango de f. Entonces la imagen y el

núcleo de f son disjuntos.

7.9.13 Una matriz B de orden n es semejante a una

matriz A de orden n si y sólo si existe una matriz C

singular tal que B = C-1

AC.

7.9.14 Si f es una transformación lineal de U en U y si A

y B son representaciones matriciales de f pero respecto

posiblemente a bases distintas, entonces B es semejante a

A.

7.9.15 Sean U y W dos espacios vectoriales y sea f una

transformación lineal de U en W. Si f es singular,

entonces f -1

es una transformación lineal de U en W.

7.9.16 Si f es una transformación lineal de U en W.

Entonces f es no singular si, y sólo si, f aplica cada

subconjunto linealmente independiente de U sobre un

subconjunto linealmente independiente de W.


JOE GARCIA ARCOS

387

7.9.17 Sea f una transformación lineal de U en W y sea

W n-dimensional. Entonces f es inyectiva si y sólo si el

rango de f es n.

7.9.18 Sea f una transformación lineal de R3 en R

2 y sea g

una transformación lineal de R2 en R

3. Entonces que la

transformación lineal gf es no singular.

7.9.19 Si U un espacio vectorial de dimensión finita n, f

una transformación lineal de U en W. Entonces f es no

singular si y sólo si es inyectiva.

7.9.20 Si U y W son espacios de dimensión finita.

Entonces U es isomorfo a W si y sólo si la dimensión de

U es igual a la dimensión de W.

transformaciones lineales

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