“AÑO DEL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD ALIMENTARIA”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD INGENIERIA MECÁNICA

1era Práctica Calificada

CURSO: CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS

PROFESOR: CUEVA PACHECO Ronald

ALUMNO: VERA RUIZ Jonathan Efraín

CÓDIGO: 20104004G SECCIÓN: “D”

LIMA - PERU

Septiembre – 2013

Tracción Simple

Índice

Enunciado del Problema............................................................................. 3

Solución...................................................................................................... 4

Grados de Libertad Nodales....................................................................... 5

Vector Carga............................................................................................... 6

Matriz de Rigidez........................................................................................ 7

Ecuación de Rigidez y Condición de Contorno........................................... 8

Esfuerzos y Resultados.............................................................................. 9

Diagrama de Flujo....................................................................................... 10

Uso de Matlab............................................................................................. 11

Conclusiones……………………………………………………………………. 14

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Tracción Simple

PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA

(TRACCION SIMPLE)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Dado la siguiente poste de luz de concreto de forma trapezoidal, cuyo espesor es

constante, t=150mm, calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el

apoyo. Utilizar tres elementos finitos.

Considerar:

PA = 50 KN

t (espesor) = 150 mm

E = 3.0x105 N/mm2

Y = 8.0gr-f/cm3 = 78,45x10-6 N/mm3

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Tracción Simple

SOLUCIÓN:

1. MODELADO DEL CUERPO REAL

Se consideraran tres elementos finitos. Para facilitar los cálculos los elementos finitos

tendrán longitud de 600, 400 y 200mm.

Y los espesores lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:

b1=(1000+500 )2

=750 mm

b2=(500+500 /3 )2

=333 .333 mm

b3 =500/32

=83 .333 mm

Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente:

Y las áreas se calculan de la siguiente relación: A1= b1 x t

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Tracción Simple

Cuadro de conectividad:

e

NODOS GDL le

(mm)

Ae

(mm2)(1) (2) 1 2

1 1 2 1 2 600 112500

2 2 3 2 3 400 50000

3 3 4 3 4 200 12500

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)

A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:

Luego el vector de desplazamiento será:

Q∫¿ =¿ [0 ¿ ] [Q 2¿ ] [Q3¿ ] ¿

¿¿¿

¿

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Tracción Simple

Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son

incógnitas que tendrán que ser calculadas.

3. VECTOR CARGA

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

F11=

y ( Axl )12

+R1 = 2647 .7+ R1 N

F21=y ( Axl )12

+PA = 52647 .7 N

F22=

y (Axl )22

= 784 .5 N

F32 =

y (Axl )22

= 784 .5N

F33 =

y (Axl )32

= 98.1 N

F43 =

y (Axl )32

= 98 .1 N

Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:

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Tracción Simple

F1= F11 = 2647 .7 + R1 N

F2= F21 + F2

2 = 53432.2 N

F3 = F32 + F3

3 = 882 .6 NF4 =F4

3 = 98 .1 N

Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera

F1= ¿ [F 1¿ ] [F 2¿ ] [F3 ¿ ] ¿¿

¿

4. MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada

por la siguiente ecuación:

Ki∫¿= (AEl )1 ¿

[1 −1 0 0 ¿ ] [−1 1 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ]¿¿

¿¿

+ ( AEl )2¿ [0 0 0 0 ¿ ] [0 1 −1 0 ¿ ] [ 0 −1 1 0 ¿ ]¿

¿¿− ( AEl )

3¿ [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 1 −1 ¿ ]¿

¿¿

Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad

obtenemos:

Ki∫¿= (112500 x 3x 105600 )

1¿

[1 −1 0 0 ¿ ] [−1 1 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ]¿¿

¿¿+ (50000 x3 x105400 )2¿ [0 0 0 0¿ ] [0 1 −1 0¿ ] [ 0 −1 1 0 ¿ ]¿

¿¿

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Tracción Simple

+ (12500 x3 x105200 )3¿ [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 1 −1 ¿ ]¿

¿¿

Finalmente:

Ki∫¿= 10

5x ¿

[ 562.5 −562 .5 0 0 ¿ ] [−562 .5 937 .5 −375 0 ¿ ] [ 0 −375 562.5 −187 .5¿ ]¿¿

¿¿

5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

F i = K i∫ Q∫¿¿

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:

¿ [2647 .7 + R1 ¿ ] [ 53432.2 ¿ ] [882 .56 ¿ ]¿¿

¿= 105 x ¿ [ 562.5 −562 .5 0 0 ¿ ] [−562 .5 937 .5 −375 0 ¿ ] [ 0 −375 562.5 −187 .5¿ ]¿¿

¿

Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:

¿ [ 53432 .2 ¿ ] [882.56 ¿ ]¿¿

¿= 105 x ¿ [ 937 .5 −375 0 ¿ ] [ −375 562 .5 −187 .5 ¿ ] ¿¿

¿Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

Q2 = 96 .734 x 10−5 mm

Q3 =99 .35 x10−5 mm

Q4 =99 .872 x10−5 mm

Y para obtener la reacción en el empotramiento tómanos la siguiente submatriz:

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Tracción Simple

[2647 .7 + R1 ] = 105 x [562 .5 −562.5 0 0 ]¿ [0 ¿ ] [Q2 ¿ ] [Q3 ¿ ] ¿¿

¿Resolviendo obtenemos:

R1=−57060 .5 N

6. ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente

ecuación:

σ e=( El )e

[−1 1 ] ¿ [ Qi ¿ ] ¿¿

¿

Y obtenemos lo siguiente:

σ 1= ( 3 x 105600 )1

[−1 1 ] ¿ [ 0 ¿ ] ¿¿

¿

σ 2= ( 3 x 105400 )2

[−1 1 ] ¿ [96 .734 ¿ ] ¿¿

¿

σ 31= ( 3 x 105200 )3

[−1 1 ] ¿ [ 99.35 ¿ ] ¿¿

¿

7. RESULTADOS Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:

R1 =−57060 .5 N

σ1 = 0 .48367N

mm2

σ 2= 0 .01961N

mm2

σ 3= 0 .007845N

mm2

8. DIAGRAMA DE FLUJO

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Tracción Simple

INICIO

INGRESO DE DATOSCONSTANTES : E, f, tVECTORES : L, A, P

CALCULO DE VECTORES

F=

[AL1 γ2

+R1

AL2 γ2

+ AL1 γ2

+P A

AL3 γ2

+ AL2 γ2

AL3 γ2

] ; K=

[EA1

L1−EA1

L10 0

−EA1

L1EA2

L2+EA1

L1−EA2

L20

0 −EA2

L2EA3

L3+EA2

L2−EA3

L3

0 0 −EA3

L3EA3

L3]

TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

[AL1 γ2

AL2 γ2

+ AL1 γ2

+P A

AL3 γ2

+ AL2 γ2

AL3 γ2

]=

[−1 −EA1

L10 0

0EA2

L2+EA1

L1−EA2

L20

0 −EA2

L2EA3

L3+EA2

L2−EA3

L3

0 0 − EA3

L3EA3

L3] [R1Q2Q3Q4

]IMPRESIÓN DE RESULTADOS

R1 , Q2 , Q3 , Q4 , E1 , E2 , E3

FIN

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Tracción Simple

9. USO DEL PROGRAMA DE MATLAB

SCRIPT

clcclear allR1=sym('R1');%datos de entradab0=1000 %input('Ingrese base superior(mm):')bn=0 %input('Ingrese base inferior(mm):')t=150 %input('Ingrese espesor(mm):')h=1200 %input('Ingrese altura(mm):')n=3 %input('Ingrese numero de elementos finitos:')E=300000 %input('Ingrese modulo de elasticidad(N/mm2):')y=0.00007845 %input('Ingrese densidad(N/mm3):')Pa=50000 %input('Ingrese carga(N):') %calculo de bases y áreas de elementosle=zeros(n,1); ho=zeros(n,1); bo=zeros(n,1); b=zeros(n,1); a=zeros(n,1); Fe=zeros(n+1,1);bo(1)=b0; ho(1)=h;for i=1:n if n>i le(i)=input('Ingrese longitud del elemento finito(mm):'); b(i)=(bo(i)+bn+(bo(i)-bn)*(ho(i)-le(i))/ho(i))/2; a(i)=b(i)*t; ho(i+1)=ho(i)-le(i); bo(i+1)=2*b(i)-bo(i); else le(i)=ho(i); b(i)=(bn+bo(i))/2; a(i)=b(i)*t; end enddisp('Bases(mm):')disp(b')disp('Longitudes(mm):')disp(le')disp('Areas(mm^2):')disp(a') %calculo de las fuerzasfor i=1:n Fe(i)=y*a(i)*le(i)/2;end for i=1:n+1 if i==1 F(i)=Fe(i); elseif i==n+1 F(i)=Fe(i-1); else F(i)=Fe(i-1)+Fe(i); endendF(2)=F(2)+Pa;

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Tracción Simple

disp('El vector de fuerzas(N):')disp(F') %calculo de la matriz rigidezk=zeros(n+1);for i=1:n x=zeros(n+1); x(i,i)=1;x(i+1,i)=-1;x(i,i+1)=-1;x(i+1,i+1)=1; k=k+(a(i)*E/(le(i)))*x;enddisp('La matriz de rigidez es(N/mm):')disp(k) %calculo de desplazamientosinv(k(2:n+1,2:n+1));((F(2:n+1))');Q=inv(k(2:n+1,2:n+1))*((F(2:n+1))');Q=[0;Q];disp('Los desplazamientos de los nodos son(mm):')disp(Q) %calculo de la reaccionk(1,:)*Q;R1=k(1,:)*Q-F(1);disp('La reaccion en el extremo es:')disp(R1) %calculo de esfuerzosfor i=1:n e(i)=(E/(le(i)))*[-1 1]*[Q(i); Q(i+1)];enddisp('Los valores de los esfuerzos son(N/mm^2):')disp(e');

VISTA EN EL COMMAND WINDOW DE MATLAB

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Tracción Simple

CONCLUSIONES

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Tracción Simple

Podemos apreciar, al utilizar más nodos, que las respuestas no varían enormemente, solo aumentan la precisión con la cual se presentan.

Se recomienda utilizar un número moderado de nodos, ya que las operaciones con matrices se vuelven demasiado engorrosas al ser de orden nxn donde n es el número de nodos.

Se puede apreciar que las deformaciones son realmente pequeñas (décimas de micras), además todas son hacia abajo que es el sentido positivo asumido como referencia.

En el ejemplo no desarrollamos todo estrictamente en el SI, nos referimos específicamente al uso de los metros, debido a las magnitudes de las elongaciones y esfuerzos; es por ello que se utilizó en el desarrollo milímetros en vez de metros.

Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de compresión para nuestro sistema de referencia.

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