3. a) Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n. Demostrar que AB

y BA tienen los mismos valores propios.

b) Probar que si A es una matriz diagonalizable, entonces AT es

diagonalizable.

c) Si A y B son matrices reales tales que B(A + AT)BT existe y es no

nula. Demostrar que esta última es diagonalizable ortogonalmente.

d) Demostrar que los valores propios del producto ATA son reales ≥ 0

Solución:

a) Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n. Demostrar que AB y BA

tienen los mismos valores propios.

Prueba:

λ1 es valor propio de A → Av = λ1v

λ2 es valor propio de B → Bv = λ2v

Luego:

ABv = A[Bv] = A[λ2v] = λ2[Av] = λ2λ1v = λ1λ2v

BAv = B[Av] = B[λ1v] = λ1[Bv] = λ1λ2v

→ AB y BA tienen los mismos valores propios.

b) Probar que si A es una matriz diagonalizable, entonces AT es

diagonalizable.

Prueba:

A es una matriz diagonalizable → Ǝ P invertible / P-1AtP = D

P.D. Ǝ P invertible / P-1ATP = D

Sabemos:

P-1AP = D

(P-1AP)T = DT

(AP)T(P-1)T = D

PTAT(PT)-1 = D /\ PT = P-1

PTAT(P-1)T = D

P-1AT(PT)T = D

P-1ATP = D

c) Si A y B son matrices reales tales que B(A + AT)BT existe y es no nula.

Demostrar que esta última es diagonalizable ortogonalmente.

Prueba:

Sea C = B(A + AT)BT

Si C es diagonalizable otrogonalmente → C es simétrica, es decir C = CT

Veamos:

C = B(A + AT)BT

CT = [B(A + AT)BT]T

CT = [(A + AT)BT]TBT

CT = (BT)T(A + AT)TBT

CT = B(AT + A)BT → C = B(A + AT)BT

Vemos que C = CT → C es simétrica → C es diagonalizable

ortogonalmente.

d) Demostrar que los valores propios del producto ATA son reales ≥ 0

Prueba:

λ es valor de A → Av = λv … (I)

Luego: Av = λv → (Av)T = (λv)T

vTAT = λvT … (II)

Entonces de (I) y (II):

vTATAv = (λvT)( λv)

vTATAv = λ2vTv

ATAw = λ2w

λ2 ≥ 0 → valores propios son ≥ 0

4. Sea la matriz de orden 3:

A=[ 4 a −a−b 5 ba a −b ]

Donde a, b € R y los valores propios de A satisfaces el polinomio

caraterístico P(λ) = λ3 – 11λ2 + 39λ – 45 = 0

a) Econtrar los valores y vectores propios de A.

b) Hallar los valores propios de A6

c) Halla A-1 utilizando el teorema de Cayley – Hamilton

d) A es diagonalizable ortogonalmente. Justificar.

Solucion:

A=[ 4 a −a−b 5 ba a −b ]

Hallando los valores propios de A

|A – λI| = 0

Det ([4−λ a −a−b 5− λ ba a −b− λ]) = 0

(4 – λ)|5−λ ba −b−λ|−a|−b b

a −b−λ|−a|−b 5− λa a |=0

(4 – λ)[(λ – 5)(λ + b) – ab] – a[b2 + bλ –ab] – a[-ab – a(5- λ)] = 0

(4 – λ)[λ2 + bλ - 5λ – 5b –ab] – a[b2 + bλ –ab] – a[-ab – 5a + λa] = 0

(4 – λ)[λ2 + (b - 5)λ – 5b –ab] – ab2 –abλ + a2b + a2b + 5a2 – λa2 = 0

λ2 + 4(b – 5)λ – 20b – 4ab – λ3 – (b – 5)λ2 + 5bλ + abλ – ab2 – abλ + 2a2b

+ 5a2 – λa2 = 0

-λ3 + (9 – b)λ2 + (4b – 20 + 5b + ab – ab – a2) – 20b – 4ab – ab2 + 2a2b

+ 5a2 = 0

λ3 + (b – 9)λ2 + (20 + a2 – 9b)λ + 20b + 4ab + ab2 – 2a2b – 5a2 = 0

Igualando con el polinomio característico:

b – 9 = - 11 → b = - 2

20 + a2 – 9b = 39 → 20 + a2 + 18 = 39 → a2 = 1 → a = ± 1

Veamos: 20b + 4ab + ab2 – 2a2b – 5a2 = - 45

a = 1 , b = 2 ; - 40 – 8 + 4 + 4 – 5 = - 45

a = -1 , b = 2 ; - 40 + 8 – 4 + 4 – 5 = - 45 → - 37 ≠ - 45 (NO CUMPLE)

Tomamos: a = 1 , b = -2

b) Hallar los valores propios de A6

λ1 = 56

λ2 = 36 = 729 (multiplicdad 2)

c) Halla A-1 utilizando el teorema de Cayley – Hamilton

Tenemos: P(A) = ɵ

A3 – 11A2 + 39ª – 45I = ɵ

45I = A3 – 11A2 + 39A

I = 1/45 (A3 – 11A2 + 39A)

A-1 = 1/45 (A2 – 11A + 39I)

A2=A . A=[ 4 1 −12 5 −21 1 2 ] [4 1 −1

2 5 −21 1 2 ]=[17 8 −8

16 25 −168 8 1 ]

Luego:

A−1= 145

{[17 8 −816 25 −168 8 1 ]−[ 44 11 −11

22 55 −2211 11 22 ]+[39 0 0

0 39 00 0 39]}

A−1= 115 [ 4 −1 1

−2 3 2−1 −1 6]

d) A es diagonalizable ortogonalmente. Justificar.

v1=(121) , v2=(−110 ) , v3=(101)Por el proceso de ortogonalización de Gran Schmidt:

v1=(121) (FIJO)

Luego:

v2´ = v2 – r v1

v1 ˪ v2´ → v1.v2´ = 0 → v1.( v2 – r v1) = 0 → r=v1 .v2

‖v1‖2 = 1/6

Entonces:

v ´ 2=(−110 )−16 (121)=(−7646

−16

)=16 (−74−1)⟹ v ´ 2=(−74−1)

De igual manera:

v3´ = v3 – r1 v´2 – r2 v1

v´3 ˪ v1 → v´3.v1 = 0 → (v3 – r1 v´2 – r2 v1).v1 = 0 → r2=v3. v1

‖v1‖2 = 1/3

v´3 ˪ v´2 → v´3.v´2 = 0 → (v3 – r1 v´2 – r2 v1). v´2 = 0 → r1=v ´ 2 . v1

‖v ´2‖2 = -4/33

v ´3=(101)+ 433 (−74−1)−13 (121)=(−6 /33−6 /3318 /33 )= 6

33 (−1−13 )⟹v ´ 3=(−1−1

3 ) Luego ortonormalizamos:

u1=v1

‖v1‖,u2=

v2‖v2‖

, u3=v3

‖v3‖

u1=(1

√62√61

√6) , u2=(

−7√64√6−1√6

) ,u3=(−1√11−1√113

√11)

Entonces la matriz ortogonal P que diagonaliza a A es:

P=[1

√62√61

√6

−7√64√6−1√6

−1√11−1√113

√11]