trabajo final postgrado

POSTGRADO EN INGENIERÍA COMPUTACIONAL

TRABAJO FIN DE POSTGRADO

RECIPIENTES A PRESIÓN DE COMPOSITE CON

‘LINER’ METÁLICO

JESÚS FRANCO OLIVA

Dirigido por Alfonso Corz Rodríguez

Algeciras, septiembre de 2011

Recipientes a presión de composite con ‘liner’ metálico

Postgrado Ingeniería Computacional. Universidad de Cádiz Página 1

RESUMEN

El primer objetivo de este trabajo es el de realizar el análisis de un cilindro de

material compuesto, sobre el que actúa una presión exterior, obteniéndose una

valoración del incremento de la resistencia a pandeo cuando se utiliza un ‘liner’

metálico. Como extensión de dicho análisis, también se ha evaluado la influencia que el

‘liner’ tiene cuando el cilindro está sometido a una presión interna.

Como segundo objetivo, se han establecido las bases para la realización de análisis

no lineales que permitan simular el comportamiento de los modelos en la fase de pos-

pandeo. Estos conocimientos y destrezas nos permitirán abrir futuras líneas de trabajo,

debido a que dichos análisis no lineales constituyen una herramienta imprescindible

para el estudio de los mecanismos de fallo por pandeo en materiales compuestos.

El estudio del fenómeno de pandeo responde a la demanda que existe en el campo

del diseño de vehículos submarinos, donde la estructura que mejor se adapta a las

exigencias de dichos vehículos es la cilíndrica. La extensión del estudio al caso de

solicitación con presión interior, responde a las exigencias que se presentan en los

depósitos que utilizan algunos submarinos, en los que se almacena hidrógeno como

combustible para su propulsión. Los recipientes de almacenaje han de ser capaces de

soportar altas presiones internas, para almacenar la mayor cantidad posible de

combustible y, al mismo tiempo, han de ser capaces de resistir la presión hidrostática de

inmersión, provocando esta situación la necesidad de evaluar la mejora que aporta el

‘liner’ en ambas situaciones.

Los análisis para la evaluación del aporte del ‘liner’ se realizan mediante el método

de los elementos finitos, consistiendo estos en: análisis estáticos para el caso de presión

interna, y de pandeo lineal para el caso de la presión externa. El análisis de pandeo no

lineal se efectúa sobre el cilindro sin ‘liner’, ya que su objetivo es simplemente el de

dominar la técnica, correspondiéndose con un análisis de elementos finitos estático bajo

la teoría de grandes deformaciones.



TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. MATERIAL COMPUESTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1. Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Constantes ingenieriles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Criterio de fallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1. Criterio de la máxima tensión . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.2. Criterio de la máxima deformación . . . . . . . . . . . 20

2.3.3. Criterio de Tsai-Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.4. Criterio de Tsai-Wu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. MÉTODO ELEMENTOS FINITOS . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. Descripción del elemento utilizado . . . . . . . . . . . . . 24

3.2. Análisis lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. Análisis no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1. Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2. Método del ‘arc-len’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. 4 ENSAYO VIRTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1. Cilindro de referencia del ensayo . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2. Modelo de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3. Ensayo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.1. Valoración del aporte del ‘liner’ para presión externa . . 49

4.3.2. Valoración del aporte del ‘liner’ para presión interna . . 52

4.4. Ensayo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5. CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS . . . . . . . 57

6. BIBLOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7. PUBLICACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61



INDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Submarino Clase S-80 (AIP) . . . . . . . . . . . . . . . 5

Figura 1.2 Detalle 'liner' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Figura 2.1 Rigidez/Peso de distintos materiales. . . . . . . . . . . . 10

Figura 2.2 Distintos tipos de materiales compuestos. . . . . . . . . . 11

Figura 2.3 Proceso de ‘filament-winding’. . . . . . . . . . . . . . . 12

Figura 2.4 Esquema de laminado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Figura 2.5 Esquema de laminado simétrico. . . . . . . . . . . . . . 13

Figura 2.6 Ejemplos de definición de secuencias de apilado. . . . . . 14

Figura 3.1 Geometría y sistema de referencia elemento shell181. . . 24

Figura 3.2 Interpretación resultados en el elemento. . . . . . . . . . 26

Figura 3.3 Distintas curvas carga/deformación. . . . . . . . . . . . 28

Figura 3.4 Zona de pos-pandeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Figura 3.5 Una iteración algoritmo Newton Raphson . . . . . . . . . 34

Figura 3.6 Evolución algoritmo Newton Raphson . . . . . . . . . . . 35

Figura 3.7 Múltiples pasos de carga en algoritmo Newton Raphson. . 36

Figura 3.8 Puntos límites en pos-pandeo. . . . . . . . . . . . . . . . 37

Figura 3.9 Punto donde diverge algoritmo Newton Raphson . . . . . 37

Figura 3.10 Restricción con superficies esféricas . . . . . . . . . . . . 39

Figura 3.11 Restricción con plano normal fijo . . . . . . . . . . . . . 40

Figura 3.12 Restricción con plano normal actualizado . . . . . . . . . 40

Figura 3.13 Aproximación mediante el arc-len de Forde-Stiemer . . . 41

Figura 3.14 Un paso de carga método de Forde-Stiemer . . . . . . . . 42

Figura 4.1 Esquema recipiente ensayado . . . . . . . . . . . . . . . 44

Figura 4.2 Esquema cámara de ensayo . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Figura 4.3 Modelo elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Figura 4.4 Esquema del apilado sin 'liner' . . . . . . . . . . . . . . . 47

Figura 4.5 Resultados análisis lineal del modelo ensayado . . . . . 49

Figura 4.6 Esquema apilado con 'liner' . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 4.7 Punto de control para análisis no lineal . . . . . . . . . . 54

Figura 4.8 Curvas carga-desplazamiento análisis no lineal . . . . . . 56



INDICE DE TABLAS

Tabla 2.1 Propiedades de las fibras de Carbono, Vídrio y Kevlar A 20 º . . . . . 15

Tabla 2.2 Propiedades típicas de las resinas de epoxi y poliéster. . . . . . . . . 15

Tabla 2.3 Contenidos volumétricos en función del proceso de fabricación. . . . 18

Tabla 4.1 Propiedades resistentes lámina composite . . . . . . . . . . . . . . 47

Tabla 4.2 Comparación carga crítica ensayo/simulación . . . . . . . . . . . . . 48

Tabla 4.3 Propiedades mecánicas materiales ‘liner’. . . . . . . . . . . . . . . 50

Tabla 4.4 Resultados análisis lineal a presión externa . . . . . . . . . . . . . . 51

Tabla 4.5 Propiedades resistentes lámina composite . . . . . . . . . . . . . . . 52

Tabla 4.6 Resultados análisis lineal a presión interna . . . . . . . . . . . . . . 53

Tabla 4.7 Resultados análisis no lineal para distintos tamaño de defecto . . . . 55



1 INTRODUCCIÓN

Durante décadas la investigación sobre materiales compuestos ha tenido su

exponente más importante en la ingeniería aeronáutica. Sin embargo, hay otros campos

de suma importancia que también demandan la atención de este tipo de tecnología: es el

caso de los vehículos submarinos (Committee on Future Needs in Deep Submergence,

2004) [12]. La utilización de materiales compuestos en los modernos submarinos,

mejoran aspectos importantes como la resistencia a la corrosión, o la disminución de

masa y por tanto de inercia, permitiendo incrementar sus prestaciones. También, dichos

materiales facilitan la disminución de espesores en el casco, dotando a estos vehículos

de mayor espacio interior para la tripulación y el equipamiento. Para un vehículo

submarino que tiene que operar a cientos de metros de profundidad, el pandeo

provocado por la presión hidrostática condiciona el rendimiento de su estructura y, por

tanto, la profundidad de operación. Siendo la forma estructural cilíndrica, la que mejor

se adapta a las exigencias de estos vehículos. Un estudio de esta problemática puede ser

consultado en (CHO-CHUNG et al. 2002) [7], cuyo objetivo es la optimización del

diseño del casco de presión de submarinos, fabricados mediante paneles sándwich de

material compuesto.

Figura 1.1 - Submarino Clase S-80 (AIP)



Por otro lado, el actual desarrollo de la tecnología asociada a la utilización del

hidrógeno como vector energético, tropieza con el problema del almacenamiento de

dicho combustible. En cualquiera de las tecnologías empleadas, se está realizando un

gran esfuerzo para conseguir una mayor densidad de almacenamiento, a base de

incrementar la resistencia a presión interna de los recipientes. Podemos encontrar

antecedentes de estudios realizados al respecto en (V. P. McCONNELL, 2002) [22],

donde se hace mención a los avances que han realizando los principales fabricantes de

automóviles, para conseguir mejores sistemas de almacenamiento de hidrógeno. O en el

estudio publicado por (KAWAHARA & McCLESKEY, 1996) [1], en el que se describe

el diseño, fabricación y ensayo de un recipiente del alto rendimiento (COPV), para

almacenamiento de helio como sistema de propulsión en un satélite.

La nueva serie de submarinos, no nucleares, que se están desarrollando

actualmente están dotados de sistemas AIP (Air Independent Propulsión), utilizando

como combustible durante la inmersión, el hidrógeno almacenado en recipientes a

presión. Dichos recipientes pueden estar ubicados fuera del casco de presión del

submarino y, por lo tanto, sometidos a la presión hidrostática correspondiente a la

profundidad donde se esté operando en ese momento (A. PSOMA & G. SATTLER,

2002) [14]. Con lo cual, dichos recipientes han de ser capaces de soportar la presión

interna necesaria para almacenar la mayor cantidad de combustible y, al mismo tiempo,

ser capaces de resistir la presión externa hidrostática a la profundidad de la inmersión.

Cuando un recipiente es sometido a una presión externa, puede llegar a entrar en

un estado de inestabilidad, provocándose el pandeo del mismo. El problema del pandeo

de recipientes de materiales compuestos no ha sido tratado tan ampliamente como el

correspondiente a la presión interna, sin embargo, podemos encontrar antecedentes de

estudios sobre el mismo en (BISAGNI, 2000) [6], donde se aborda el problema del

pandeo y pos-pandeo de cilindros de material compuesto sometidos a compresión axial.

Y en (HILBURGER & STARNES, 2004) [5], que trata sobre estudios experimentales y

analíticos del efecto de las imperfecciones iniciales en la respuesta a inestabilidades por



cargas de compresión, en cilindros de pared delgada realizados con material compuesto.

Más recientemente, en (CHUL-JI et al, 2010) [3], se analiza el fallo por pandeo bajo

presión externa, de cilindros de material compuesto de moderado espesor, fabricados

mediante ‘filamente winding’. Y por último, referenciamos el excelente trabajo de

(ROSS et al, 2009) [2], en el que se describen y analizan ensayos realizados sobre 44

cilindros de material compuestos, sometidos a presión externa. Los cilindros analizados

estaban fabricados con material compuesto, en los que se utilizaron tres tipos de fibras

de carbono y dos tipos de fibras de vidrio. Los resultados experimentales fueron

contrastados con modelos numéricos utilizando los programas de elementos finitos:

MisesNP y Ansys.

El desarrollo de la propulsión utilizando el hidrógeno como combustible, ha hecho

necesario el desarrollo de recipientes a presión con valores de presión interna de hasta

1000 bares, al objeto de tener una densidad de energía almacenada que haga utilizable

este sistema de almacenamiento. Por otra parte, hay que tener en cuenta que la Tierra

está cubierta en un 70% de agua, y que sus mares tienen una profundidad media de 3500

metros, llegándose en el punto más profundo a 11034 m en el abismo Challenger, en las

Fosa de las Marianas. Los actuales submarinos tripulados alcanzan una profundidad de

400 m, lo cual hace pensar que solo hemos explorado apenas un 0.1% de esa imponente

masa de agua, por lo tanto, parece lógico que en los próximos años se realice un gran

desarrollo de todo lo relacionado con un aumento de la profundidad operacional de los

vehículos submarinos en general (ROSS et al, 2009) [2].

Como consecuencia, se presentan condiciones que hacen inviable la utilización

razonable de materiales metálicos para este tipo de elementos. Unos cálculos realizados

en (ROSS, 2006) [21], nos dan para un diámetro de 10 m, un espesor en acero de alta

calidad de 2.3 m para una profundidad de 11000 m, frente a unos cálculos estimativos

de una pared de composite, GFRP, de 1m. Por lo tanto, vemos que es necesario mejorar

el conocimiento de este tipo de elementos, de cara a un futuro inmediato, que permita

un desarrollo económico y seguro de la exploración submarina.

http://es.wikipedia.org/wiki/Abismo_Challenger



El tipo cilindro analizado está construido mediante la técnica de ‘filament

winding’, la cual necesita de un molde sobre el que bobinar la fibra impregnada en

resina. Con el término ‘liner’ se hace referencia a ese molde. El ‘liner’ puede ser de

distintos materiales, algunos que incluso permiten su eliminación al final del proceso,

quedando solo el material compuesto. En nuestro caso, al ser metálico, quedaría

permanentemente adherido al material compuesto, formando una capa más en el interior

del cilindro y aportando rigidez al conjunto. Para dar más generalidad al estudio, hemos

considerado un ‘liner’ fabricado con distintos materiales: titanio, acero y aluminio.

Figura 1.2 - Detalle 'liner'

En este trabajo se realiza un estudio de un cilindro de material compuesto

sometido a presión exterior/interior, valorándose el aporte que supone considerar un

‘liner’ metálico como elemento colaborador, junto con el material compuesto. Como

referencia para realizar los análisis, se ha tomado un cilindro del que se disponen de

ensayos, que nos han permitido validar el modelo de elementos finitos que hemos

construido. Estos ensayos han sido obtenidos del trabajo publicado por (MYUNG-HUN

et al, 2010) [4], en el cual se realizan ensayos de cilindros de material compuesto,

fabricados mediante la técnica de ‘filament winding’. Dichos cilindros son idénticos al

de nuestra simulación, pero sin disponer de un ‘liner’ metálico que le aporte resistencia.



Los análisis para evaluar el aporte del ‘liner’ han sido realizados mediante

simulaciones lineales. Sin embargo, las nuevas técnicas de análisis empiezan a permitir

que la realización de simulaciones no lineales sean viables para estudiar modelos reales.

Aunque no exentas de gran dificultad y elevado coste computacional. Es por ello que,

hemos incluido en este trabajo el análisis no lineal del cilindro ensayado, con el objetivo

de situar nuestra capacidad de simulación al nivel del estado del arte actual. Para reducir

la complejidad del modelo, el análisis no lineal se ha realizado sobre el cilindro de

material compuesto sin el ‘liner’. La simulación no lineal mejora a la lineal en dos

aspectos importantes: nos permite obtener la carga crítica con mayor exactitud y

predecir el comportamiento del cilindro en la fase de pospandeo. Convirtiéndose en una

técnica imprescindible para estudiar el fallo en materiales compuestos sometidos a

pandeo.



2 MATERIAL COMPUESTO

2.1 Descripción

Un material compuesto se puede definir como la combinación a escala

macroscópica de dos o más materiales, con interfaces de separación entre ellos, para

formar un nuevo material. Estos materiales adquieren notables capacidades en ciertas

propiedades de gran utilidad en las aplicaciones en las que se centra este estudio:

recipientes a presión de uso tanto en superficie como sumergidos a grandes

profundidades. Dichas propiedades son la resistencia mecánica, la resistencia a la

corrosión y el peso. En la figura 2.1 se puede ver la posición de los materiales

compuestos, frente a otros tipos de materiales. Dicha gráfica evidencia que los

materiales compuestos tienen un reducido peso, manteniendo la rigidez con valores

equivalente al de las aleaciones ingenieriles.

Figura 2.1 - Rigidez/Peso de distintos materiales



Básicamente, el compuesto que nos interesa estará constituido por dos tipos de

materiales, uno en forma de fibras largas y continuas, la cuales aportan las capacidades

resistentes, y otro en forma de adherente que envolverá a las fibras para dar cuerpo y

consistencia al conjunto y que se denomina matriz. Existen otros tipos de compuestos

en los que el refuerzo se consigue mediante fibras de corta longitud, o incluso mediante

partículas. En la figura 2.2 se puede ver un esquema de la clasificación de los materiales

compuestos.

Figura 2.2 - Distintos tipos de materiales compuestos



En cuanto a la forma de fabricación, también existen distintos métodos. El que

mejor se adapta a las exigencias de los recipientes, dadas las formas de estos, es el

denominado método de ‘filament winding’. El cual consiste en bobinar sobre un molde,

denominado ‘liner’, la fibra impregnada de la matriz. En la figura 2.3 se puede observar

un esquema y un proceso real de fabricación.

Figura 2.3 - Proceso de 'filament winding'

El material producido mediante este método de ‘filamente winding’ consistirá en

un laminado, de espesor prácticamente uniforme, formado por múltiples láminas o

capas. En cada una de dichas láminas las fibras tendrán una orientación distinta, que

vendrá marcada por las exigencias resistentes del modelo. En la figura 2.4 vemos un

esquema de una zona cualquiera del laminado.

Figura 2.4 - Esquema de laminado



La unidad básica de un laminado se denomina lámina, en nuestro caso, en dichas

láminas el refuerzo será mediante fibras largas y paralelas entre sí, constituyendo lo que

se denomina una lámina unidireccional. El espesor de una lámina puede estar

comprendido entre una décima de milímetro y un milímetro.

El laminado estará formado por un conjunto de láminas, apiladas unas sobre

otras, y entre las que debe existir continuidad de la matriz en la dirección perpendicular

al laminado. Cada lámina puede tener sus fibras con una orientación distinta a la del

resto. Este mecanismo de orientar las fibras en cada lámina, proporciona al ingeniero la

posibilidad de diseñar laminados optimizados para cada tipo de uso.

Un tipo de laminado que se suele utilizar con mucha frecuencia es el

denominado laminado simétrico. Para definirlo, es necesario establecer el concepto de

plano medio o plano de simetría. Este plano separa en dos mitades, del mismo espesor,

al laminado. Sobre este plano medio se define un sistema de referencia en el que los ejes

x e y estarán contenidos en dicho plano y el z será perpendicular al laminado. En la

figura 2.5 se representa un laminado simétrico.

Figura 2.5 – Esquema laminado simétrico



Para definir el apilado del laminado se emplean los siguientes criterios

(NAVARRO, 2011) [8]:

a) Se definen las láminas desde el exterior hacia el interior del laminado

b) Se indica con un número el ángulo que forman las fibras con la dirección de

referencia (normalmente el eje x) y, mediante un subíndice, el número de

láminas seguidas que poseen esta orientación.

c) Cuando se define la secuencia de apilamiento de todas las láminas del laminado,

se emplea el subíndice T, indicando que el laminado ha sido definido en su

totalidad. Cuando se trata de un laminado simétrico, solo se expresará la

secuencia de apilado de uno de los lados y se utiliza el subíndice S para indicar

que el lamiado es simétrico. Si una lámina estuviese justo en el plano de

simetría, ésta se destacaría en la nomenclatura mediante una raya superior sobre

el valor del ángulo. Ejemplos de definición de secuencias de apilado de

laminados se pueden ver en la figura 2.6

Figura 2.6 - Ejemplos de definición de secuencias de apilado

En cuanto a los materiales empleados en la fabricación, las fibras más utilizadas

son de las de carbono y vidrio; también para usos específicos se utilizan fibras orgánicas



como las de Kevlar. En la tabla 2.1 se muestran las propiedades de distintos tipos de

fibras.

Tabla 2.1 - Propiedades de las fibras de Carbono, Vidrio y Kerlar a 20ºC

Para la fabricación de la matriz los materiales más utilizados son las resinas

epoxi y poliéster, con gran variedad en sus propiedades mecánicas y químicas. En la

tabla 2.2 se recogen las principales propiedades de las resinas epoxi y poliéster.

Tabla 2.2 - Propiedades típicas de las resinas epoxi y poliéster



Debido a nivel de prestaciones mecánicas y a su precio en el mercado, se suelen

combinar fibras de carbono con matriz de epoxi y fibras de vidrio con matriz de

poliéster. El material compuesto utilizado en nuestro estudio está formado por la

primera combinación: fibra de carbono y matriz de resina epoxi.

2.2 Constantes ingenieriles

Las capacidades resistentes del laminado dependen de las propiedades

mecánicas de las láminas que forman el laminado. En nuestro caso, dichas propiedades

mecánicas se establecen mediante las reglas de la micromecánica de materiales

compuestos de fibra larga.

Las láminas de material compuesto son, por definición, un material heterogéneo,

estando sus propiedades mecánicas condicionadas por las de la fibra y la matriz. La

micromecánica de láminas nos permite obtener los parámetros que marcan el

comportamiento mecánico de las láminas, asemejándolas a un material homogéneo

ortótropo equivalente.

Los materiales ortótropos tienen un comportamiento elástico caracterizado por

una serie de constantes elásticas asociadas a tres direcciones mutuamente

perpendiculares. El comportamiento elástico de un material ortótropo queda

caracterizado por nueve constantes independientes: 3 módulos de elasticidad

longitudinal (E1, E2, E3), 3 módulos de rigidez (G12, G23, G31) y 3 coeficientes de

Poisson (ν 12, ν23, ν31). Que en el caso de una lámina quedan reducidas a 4: E1, E2, G12 y

ν12 ; siendo G21=G12 y

. Donde la dirección de las fibras se indica mediante

el subíndice 1 y la dirección transversal a las fibras con el subíndice 2; ν21 es el

coeficiente de Poisson en la dirección de las fibras y ν12 es el mismo coeficiente en la

dirección transversal.



Previamente a la obtención de las propiedades mecánicas de una lámina en

función de las de sus constituyentes, establecemos una definición de los parámetros que

marcan los contenidos de fibra y matriz. Así, se define como contenido másico de

refuerzo (Mf) de una lámina a:

(2.1)

Denominando Mm al contenido másico de matriz:

(2.2)

Verificándose que Mf + Mm = 1

Análogamente, para el volumen:

(2.3)

(2.4)

Verificándose que Vf + Vm = 1

Los contenidos volumétricos de fibras más usuales que se obtienen en los

materiales compuestos dependen, en gran medida, de su sistema de fabricación. En la

tabla 2.3 se resumen algunos valores típicos de este parámetro en función del tipo de

proceso de fabricación:



Tabla 2.3 - Contenidos volumétricos en función del proceso de fabricación

A continuación se indican las expresiones que permiten obtener las propiedades

mecánicas de una lámina unidireccional, también denominadas constantes ingenieriles

de la lámina.

Densidad

(2.5)

Módulo de elasticidad en la dirección de las fibras

( ) (2,6)

Módulo de elasticidad en dirección transversal a las fibras

(

( )

) (2.7)

Módulo de rigidez

(

( )

) (2.8)



Coeficiente de Poisson en la dirección de las fibras

(2.9)

2.3 Criterio de fallo

Para determinar el nivel de cargas que provoca la rotura de una lámina ortótropa,

existen diversos criterios de rotura. Los más utilizados son (PARIS et al, 2006) [9]:

Teoría de la máxima tensión

Teoría de la máxima deformación

Criterio de Tsai-Hill

Criterio de Tsai-Wu

En general, una lámina dentro de un laminado se encuentra sometida a un estado

de tensión biaxial y de cortante, soportando tensiones σ1, σ2 y σ12 distintas de cero.

Para identificar los límites resistentes, se utiliza la siguiente nomenclatura:

Xt = Resistencia a la tracción en la dirección de las fibras.

Xc= Resistencia a la compresión en la dirección de las fibras.

Yt= Resistencia a la tracción en la dirección transversal a las fibras.

Yc= Resistencia a la compresión en la dirección transversal a las fibras.

S = Resistencia a cortadura.

Xεt= Máxima deformación normal de tracción admisible en la dirección 1

Xεc= Máxima deformación normal de compresión admisible en la dirección 1

Yεt= Máxima deformación normal de tracción admisible en la dirección 2

Yεc= Máxima deformación normal de compresión admisible en la dirección 2

Sε= Máxima deformación tangencial admisible.



2.3.1 Criterio de la máxima tensión

Predice que el fallo no se producirá si:

σ1 < Xt (σ1>0) (2.10)

σ2 < Yt (σ2>0) (2.11)

|σ12| < S (2.12)

para estados de tracción y:

|σ1| < Xc (2.13)

|σ2| < Yc (2.14)

para estados de compresión.

2.3.2 Criterio de la máxima deformación

Predice que el fallo se producirá si no se satisface alguna de las siguientes

expresiones:

ε 1< Xεt (ε1>0) (2.15)

ε 2< Yεt (ε2>0) (2.16)

|γ12|<Sε (2.17)

para los estados de tracción y:

|ε 1|< Xεc (ε1<0) (2.18)

|ε 2|< Yεc (ε2<0) (2.19)

para los estados de compresión.



2.3.3 Criterio de Tsai-Hill

Este criterio para una lámina viene regido por la siguiente expresión:

(2.20)

donde X, Y y S son las resistencias mecánicas en la dirección de las fibras, en la

dirección transversal a las fibras y de cortadura respectivamente.

2.3.4 Criterio de Tsai-Wu

Este criterio, aplicado a una lámina, se rige mediante la expresión:

(2.21)

donde

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

[ (

) (

) ] (2.28)

Este criterio es el que se ha utilizado en este trabajo para detectar el fallo en las

láminas del compuesto.



3 MÉTODO ELEMENTOS FINITOS

Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que gobiernan el

comportamiento de las placas y láminas utilizadas en la fabricación de los materiales

compuestos, no pueden ser resueltas de forma exacta, cuando las geometrías y

condiciones de contorno son complejas. El uso de métodos numéricos facilita la

solución de estas ecuaciones. Entre los distintos métodos numéricos disponibles, el

métodos de los elementos finitos es el más efectivo para analizar estos problemas.

De forma básica, el método transforma el problema desde un espacio de

variables infinito, a un espacio con un número finito de incógnitas. Para ello, se divide

el dominio (estructura) en trozos denominados elementos. En nuestro caso, dichos

trozos tendrán forma triangular o cuadrangular, con un determinado espesor, tal que, se

adapten a la geometría de las láminas de material compuesto. A los vértices de los

elementos se les denomina nodos, siendo dichos nodos los nexos de unión entre los

elementos.

Las variables fundamentales de nuestro problema serán los desplazamientos. El

objetivo primero del método será la obtención de los desplazamientos en los nudos.

Posteriormente, a partir de dichos desplazamientos se obtendrán el resto de variables

secundarias: deformaciones, esfuerzos y tensiones. Quedando el problema totalmente

resuelto.

La formulación necesaria para conseguir el objetivo se basa en la interpolación

de estas variables sobre la geometría de los elementos, a partir de sus valores en los

nudos. La interpolación se realiza mediante funciones polinómicas, siendo las más

comunes las de primer y segundo orden. A partir de este punto y mediante la aplicación

del principio de los trabajos virtuales, se obtienen las expresiones de las rigideces de

cada elemento, que consistirán en matrices cuyas dimensiones dependen del número de

nodos de cada elemento y del número de grados de libertad en cada nodo. En nuestro



caso, tenemos seis gdl en cada nodo: desplazamientos en X, Y y Z; y rotaciones

alrededor de dichos respectivos ejes. También se obtendrán los vectores de cargas y

restricciones de los elementos, correspondientes a las condiciones de contorno sobre la

estructura.

La unión, formalmente denominada ensamblaje, de todos los elementos para

formar el modelo completo de la estructura, condicionada a que en cada nodo ha de

haber un equilibrio de fuerzas, produce la obtención de un sistema de ecuaciones que

nos permite obtener los desplazamientos en dichos nodos. A parir de dichos

desplazamientos y mediante las funciones de interpolación se obtienen el resto de

variables secundarias del problema.

Cuando estudiamos el cilindro sometido a presión interna, estaremos frente a un

problema estático lineal, y la formulación empleada para resolverlo produce un sistema

de ecuaciones de coeficientes constante, abordable mediante los clásicos algoritmos

directos o iterativos disponibles para tal fin.

Pero cuando estudiamos al cilindro sometido a presión externa, estamos frente a

un problema de pandeo. Dicho problema de pandeo se puede abordar mediante

métodos lineales o no lineales. La utilización de métodos lineales obliga a la

manipulación del sistema hasta desembocar en un problema de autovalores y

autovectores, para el que también existen conocidos algoritmos. Si lo que se intenta

resolver es el problema del pandeo no lineal, el sistema que se obtiene dispondrá de una

matriz de coeficientes dependiente de los propios desplazamientos incógnitas. En tal

caso, hay que emplear métodos especiales para su resolución. En este trabajo se

describe el más aceptado, denominado método ‘arc-len’.



3.1 Descripción del elemento utilizado

El elemento utilizado para modelar el recipiente es el Shell-181, de la librería de

Ansys (Ansys Element Reference) [10]. Dicho elemento dispone de un comportamiento

basado en la teoría de Reissner-Mindlin, por lo que permite abordar problemas no solo

de láminas delgadas, sino también de láminas gruesas.

La geometría por defecto del elemento es la de cuadrilátero, constituido por

cuatro nodos con seis grados de libertad en cada uno: traslación en las direcciones X, Y

y Z; y rotaciones alrededor de dichos respectivos ejes. Cuando se le activa el

comportamiento de membrana, solo permite los grados de libertad de traslación.

También permite una forma degenerada con solo tres nodos, tomando el aspecto de

triángulos, útil para relleno cuando se utiliza con los algoritmos de generación de

mallas.

La elección de este elemento para nuestro análisis viene condicionada por las

necesidades de modelar un material compuesto, simulando el comportamiento no lineal

del mismo. Este elemento dispone de opciones en su configuración que le permiten

adaptarse a dichas necesidades.

La representación geométrica de este elemento y el sistema de coordenadas que

utiliza se muestran en la figura 3.1

Figura 3.1 - Geometría y sistemas de referencia elemento shell181



Las funciones de forma (funciones de interpolación) para la formación de la matriz de

rigidez son (Ansys Theory Manual) [11]:

) ) ) ) ) ) ) )) (3.1)

) ) ) ) ) ) ) )) (3.2)

) ) ) ) ) ) ) )) (3.3)

) ) ) ) ) ) ) )) (3.4)

) ) ) ) ) ) ) )) (3.5)

) ) ) ) ) ) ) )) (3.6)

Donde , y son los desplazamientos en las direcciones X, Y y Z; y , y

son las rotaciones respecto a dichos ejes. I, J, K y L son los nodos del elemento.

Siendo s y t las coordenadas naturales.

En nuestro análisis necesitamos aplicar una presión sobre los elementos, esta

carga repartida normal al elemento se interpola sobre las caras del mismo mediante una

ley bilineal y sobre los ejes mediante una ley lineal.

Cuando este elemento es utilizado para modelar materiales compuestos, permite

asignar propiedades geométricas y de material a cada una de las capas. Esto nos ha

permitido poder tratar el ‘liner’ como una capa más del compuesto. Así mismo, se

pueden obtener como resultados de los análisis, las tensiones de Von Mises o el valor

del índice del criterio de fallo de Tsai-Wu en cada una de las capas.

En la Figura 3.2 se puede observar un esquema de la forma en que son tratados

los resultados, pudiéndose incluso obtener dichos resultados para las zonas superior,

media o inferior de cada lámina.



Figura 3.2 - Interpretación resultados en el elemento

La formulación de este elemento considera los siguientes comportamientos:

Los esfuerzos de lámina son calculados para el plano medio del

elemento.

La deformación cortante perpendicular a la placa se considera constantes

en todo el espesor.

Se consideran las deformaciones por tensión cortante.

También se considera el cambio de espesor debido al propio proceso de

deformación.

Las tensiones se pueden obtener para las fibras superior, media o inferior

de cada capa.



3.2 Análisis lineal

Un análisis lineal de inestabilidad implica la realización de un cálculo de los

autovalores y autovectores del sistema (ecuación 3.7). El análisis de pandeo mediante

autovalores predice la carga crítica de pandeo de una estructura ideal lineal y elástica, es

decir, el punto de bifurcación en la curva carga-desplazamiento de la estructura.

[ ] [ ]){ } { } (3.7)

Donde

[ ] = Matriz de rigidez tangente

[ ] = Matriz de rigidez geométrica (stress stiffness matrix)

= Autovalores (el menor se corresponde con la carga crítica)

{ } = Autovectores

Este método se corresponde con el método clásico del análisis de pandeo

elástico. El el análisis de pandeo mediante autovalores y autovectores de un cilindro

hueco de radio R, de espesor de pared constante h y sometido a compresión pura debida

a una fuerza axil, el resultado se corresponderá con la solución clásica (TIMOSHENKO

& GERE, 1985) [13] (ecuación 3.7). Donde es el valor crítico clásico.

√ )

(3.8)

Sin embargo, las imperfecciones geométricas y las variaciones de propiedades

del material, hacen que la mayoría de las estructuras que podemos encontrar en la vida

real no alcancen esta carga crítica clásica de pandeo, sino que la carga real de pandeo

será menor que la prevista por el análisis lineal. Por ello, este análisis solo debe hacerse

como paso previo de un análisis no lineal, o como una primera aproximación a la carga

crítica de una estructura, ya que proporciona valores de la carga crítica mayores a los



reales y que son, por tanto, no seguros. Además, mediante un análisis lineal se puede

analizar una estructura con una curva de comportamiento carga-desplazamiento como

la mostrada en la figura 3.3a, mientras que si el comportamiento mostrado por la

estructura es el de la figura 3.3b, un método lineal no podrá completar el análisis de

forma correcta.

Figura 3.3 -Distintas curvas Carga/deformación

Hemos tenido en cuenta en nuestro análisis lineal de pandeo, el fenómeno de

‘stress stiffening’. Este es el fenómeno por el cual las fuerzas de membrana (axiles),

influyen en la rigidez a deflexión lateral. Dicho fenómeno de 2º orden conocido como

‘stress stiffening’, se tiene en cuenta al realizar el análisis de pandeo de autovalores,

ejecutando un cálculo tensional previo, mediante un análisis estático lineal, para incluir

los efectos de las tensiones de membrana en la matriz de rigidez geométrica (‘stress

stiffness matrix’), que se sumará a la matriz obtenida con la teoría de primer orden.

El menor de los autovalores nos proporciona la carga crítica de pandeo, y su

autovector es el modo de pandeo. Los autovectores obtenidos están normalizados de

manera que el componente más grande es 1,0. Por tanto, las tensiones asociadas a los

modos de pandeo, deben ser interpretadas como una distribución relativa de tensiones y



no directamente como el estado tensional. Hacemos notar que la inestabilidad, cuando el

primer autovalor es negativo, se presenta para una carga aplicada en el sentido opuesto.

Existen varios métodos para la extracción de los autovalores. Los más utilizados

para matrices simétricas son:

1. El método reducido: Este método emplea matrices reducidas, asociadas a una

serie de g.d.l. maestros que han de ser elegidos previamente. El proceso de

solución es más rápido que con otros métodos, pero menos exacto, ya que las

matrices reducidas sólo permiten obtener una solución aproximada. Es adecuado

para encontrar todos los modos de modelos pequeños o medio tamaño (menores

de 10000 gdl). También es adecuado para encontrar pocos modos (alrededor de

40) de grandes modelos, con la adecuada selección de los gdl maestros. Aunque

la exactitud de la solución dependerá de los gdl maestros seleccionados.

2. El método de sub-espacios: Este método permiten obtener un determinado

número de autovalores y autovectores, fijado de antemano. En este caso, no

resulta necesario definir g.d.l. maestros. Es adecuado para encontrar pocos

modos de grandes modelos. Se recomienda su uso siempre que el modelo esté

mallado con elementos tanto sólidos como tipo láminas, pero estos elementos

han de tener unas geometrías regulares, sin ángulos interiores muy pequeños.

Puede dar buenos resultados de rendimiento aunque el sistema no disponga de

gran cantidad de memoria.

3. El método de Block Lanczos: Válido en los mismos casos que el método del

sub-espacio, pero tiene una convergencia más rápida. Aplicable en problemas de

autovalores con matrices simétricas grandes. Es el más eficiente en el caso de

que haya autovalores próximos. Se pueden resolver grandes modelos,

obteniendo para los mismos más de 40 autovalores. Produce buenos resultados

incluso si los elementos tienen geometría no tan regular como la exigida en el



método del sub-epacio. Sus necesidades de memoria rondan el 50% más de

memoria que el método del sub-espacio.

También se utilizan variantes de estos métodos, que permitan un mayor rendimiento

en el análisis, como es la combinación del método de Block Lanczos con el algoritmo

de solución del gradiente conjugado. Existen otros métodos aplicables cuando las

matrices no son simétricas o cuando se hace necesario incluir el amortiguamiento en la

simulación.

En nuestro análisis hemos optado por la utilización del método de Block Lanczos.

Como ya se ha comentado anteriormente, el método de extracción de autovalores de

Block Lanczos permite operar con problemas de gran tamaño de autovalores con

simetría. Típicamente, este algoritmo es aplicable al tipo de problemas resolubles con el

método de autovalores del subespacio, pero consigue una tasa de convergencia más

rápida.

El algoritmo de pivote por bloques de Lanczos , como se detalla en (GRIMES,

1994) [15], es la base teórica de este extractor de autovalores. El algoritmo de Block

Lanczos es una variación del algoritmo de Lanczos clásico, donde las recursiones de

Lanczos se efectúan usando un bloque de vectores, en lugar de un solo vector. Más

detalles sobre el método clásico de Lanczos se pueden encontrar en (RAJAKUMAR &

ROGERS, 1991) [16].

El uso del método de Lanczos por bloques (o método Block Lanczos) para resolver

grandes modelos (más de 100.000 gdl) con muchas restricciones, puede requerir una

cantidad de memoria bastante significativa. Por esta razón, algunos programas, como es

el caso de Ansys, utilizan los Multiplicadores de Lagrange para tratar las ecuaciones de

restricción en el extractor de Lanczos por bloques, en lugar de eliminar dichas

ecuaciones explícitamente antes de formar las matrices completas.



El método de Block Lanczos es especialmente potente cuando busca frecuencias

de autovalores en partes determinadas del espectro de autovalores de un sistema. Siendo

esta característica muy útil en el problema del pandeo, ya que en este caso los

autovalores suelen estar próximos entre sí.

3.3 Análisis no lineal

Básicamente, el objetivo de un análisis no lineal de pandeo es estimar la carga

máxima que una estructura puede alcanzar antes de que se vuelva inestable o colapse.

Hay que hacer notar que lo perseguido es el valor máximo de las cargas, siendo su tipo

y distribución fijados de antemano para cada análisis.

Una vez que se ha alcanzado el punto donde la estructura inicia el pandeo, hecho

que ocurre cuando la carga adquiere el valor que denominamos como ‘carga crítica’

(punto A en la figura 3.4), se inicia una fase que se denomina pos-pandeo (‘post-

buckling’). Durante esta fase de pos-pandeo, la estructura puede colapsar

inmediatamente, con lo cual la carga crítica nos condicionaría el diseño; o bien, puede

adoptar nuevas formas que le permitan incrementar su rigidez, hasta el punto de que

llegue a soportar cargas mayores incluso que la crítica, siendo en ese caso importante el

estudio de dicha fase de pos-pandeo. Sobre todo, si la deformación que ha de sufrir la

estructura para poder soportar de nuevo una carga igual a la crítica (punto A’ en la

figura 3.4), es pequeña; dicha fase entre los puntos A y A’, se denomina ‘Snap-

through’. Por lo tanto, cuando el ‘Snap-through’ es suficientemente pequeño, el colapso

correspondiente al punto A no tiene por qué ser definitivo, permitiéndose que la

estructura soporte mayores cargas que la crítica, sin dejar de ser funcional.



Figura 3.4 - Zona de pos-pandeo

Para un correcto análisis no lineal, se hace necesaria la introducción de defectos

iniciales en la geometría del modelo. Dichos defectos persiguen poner de manifiesto las

debilidades de la estructura frente a las cargas aplicadas. Ya que, si la geometría es

perfectamente cilíndrica y la presión exterior perfectamente homogénea, como ocurre

en nuestro caso, no se producirá inestabilidad, por muy elevada que sea la presión.

Como se ha comentado, estos defectos deben buscar las formas más vulnerables ante el

fenómeno de pandeo, para las cargas aplicadas. Precisamente, los modos de pandeo

derivados del análisis lineal, son las formas que cumplen con dicha condición. Por ello,

es habitual utilizarlos como defecto sobre la geometría inicial del modelo. El escalado

de dichos defectos debe hacerse adecuadamente. Así, para amplitudes muy pequeñas del

defecto, la solución no lineal se aproxima a la lineal. Mientras que, conforme

aumentamos el escalado del defecto, iremos consiguiendo valores de carga crítica

menores que la obtenida por el análisis lineal. Produciéndose el mecanismo de pandeo

únicamente para cierto rango de valores del defecto, ya que, a partir de cierta magnitud

de los mismos, la estructura en su proceso de deformación con el aumento de las cargas,

no presentará los cambios bruscos e instantáneos típicos del mecanismo de pandeo.

Junto al mecanismo de no linealidad geométrica, pueden también existir no

linealidades en el comportamiento del material (plasticidad, viscoplasticidad, etc…),

así como en las condiciones de contorno (contactos). En nuestro análisis solo hemos

considerado las no linealidades geométricas.



3.3.1 Método de Newton-Raphson

El proceso de discretización de los elementos finitos produce una serie de

ecuaciones simultáneas:

[ ]{ } { } (3.9)

donde:

[ ] = Matriz de rigidez

{ } = Vector de desplazamientos incógnitas

{ } = Vector de cargas aplicadas

Si la matriz de coeficientes [K], es ella misma función de los grados de libertad, que

son incógnita, entonces la ecuación 3.8 es una ecuación no lineal. El método de

Newton-Raphson es un proceso iterativo para resolver las ecuaciones no lineales que

puede ser escrito como (BATHE, 1996) [17]:

[ ]{ } { } {

} (3.10)

{ } { } { } (3.11)

donde:

[ ] = Jacobiano de la matriz de rigidez (matriz tangente)

i = Subíndice que representa la iteración de equilibrio actual

{ } = Vector de las fuerzas restauradoras debido a los desplazamientos en

los nodos.

Ambos [ ] y {

} se evalúan basándose en los valores dados por { }. La

parte derecha de la ecuación 3.9 es el residuo o vector de cargas desequilibradas. En la

figura 3.5 se muestra la iteración i-ésima del algoritmo de Newton-Raphson aplicado a

un problema de un solo grado de libertad.



Figura 3.5 - Una iteración algoritmo Netown Raphson

El mecanismo de resolución descrito necesita de múltiples iteración para obtener

una solución que converja, dicha convergencia de presenta cuando el vector residuo es

cero o está cerca del cero, con una tolerancia fijada de antemano. El algoritmo general

para realizar las iteraciones es como sigue:

1. Se supone { } =0

2. Calcular la matriz de rigidez tangente [ ] y el vector de cargas

restauradoras { } a partir del vector { }

3. Calcular { } mediante la ecuación 3.10

4. Añadir { } a { } para obtener la nueva aproximación { }, ecuación

3.11

5. Repetir los pasos desde el 2 al 4 hasta obtener la convergencia

La solución obtenida al final del proceso iterativo corresponderá con el nivel de

carga { }. Dicha solución obtenida estará en equilibrio, de forma que el vector de

cargas restauradoras { } igualaría al vector de cargas aplicadas { }, o al menos

estaría dentro de cierta tolerancia. Ninguna de las iteraciones intermedias estaría en

equilibrio. En la figura 3.6 se puede ver gráficamente la evolución del proceso iterativo.



Figura 3.6 - Evolución algoritmo Netown Raphson

El proceso de Newton-Raphson garantiza la convergencia, sí y solo si, la

solución en cualquier iteración { } está cerca del equilibrio. Para conseguir esto, el

nivel de carga total { } se aplica de forma gradual, empezando por un porcentaje

pequeño de dicha carga e incrementándola en sucesivos pasos hasta llegar al nivel total.

Al aplicar el algoritmo iterativo antes descrito a cada paso de carga, se provocará que al

final del paso, la solución esté en equilibrio o cerca de él. Descomponiendo el problema

en el número adecuados de pasos de carga, se garantizará en todo momento la

convergencia del método. Además, este mecanismo de descomposición de la aplicación

de la carga en pasos, también es obligado cuando intervienen no linealidades

dependientes de la trayectoria, como la plastificación. Con este planteamiento de los

pasos de carga, la ecuación 3.9 quedaría:

[ ]{ } {

} { } (3.12)

donde:

[ ] = Es la matriz tangente para la iteración i del paso de carga n

{ } = Vector de fuerzas totales aplicadas en el paso n

{ } = Vector de las fuerzas restauradoras de la iteración i del paso de carga n

Esta variación del método que acabamos de describir se denomina “Procedimiento

Incremental de Newton-Raphson”. En la Figura 3.7 se esquematiza la evolución del

mismo.



Figura 3.7 - Múltiples pasos de carga en algoritmo Newton Raphson

Como se ha observado, la matriz tangente es recalculada en cada iteración, en tal

caso, el método pasa a denominarse “Solución completa de Newton-Raphson”. No

obstante, el recalculo de la matriz tangente puede restringirse a la primera o segunda

iteración de cada paso de carga, pasando el método a denominarse en ese caso

“Procedimiento Modificado de Newton-Raphson”. Cuanto menos recálculo de la

matriz tangente se realicen, más lenta es la convergencia, pero menos cálculos habrá

que realizar en cada iteración.

Además de las variantes comentadas, existen otras modificaciones del método de

Newton-Raphson como la búsqueda lineal y el “descenso adaptativo” (‘adaptive

descent’). Estas variantes persiguen igualmente la mejora de la convergencia.

3.3.2 Método del ‘arc-len’

Las estructuras con comportamientos no lineales contienen a menudo puntos

límite en los cuales la trayectoria de equilibrio tiene tangente horizontal, como se

observa en la figura 3.8. La región comprendida entre dos puntos críticos es inestable,

porque la recta tangente a la trayectoria de equilibrio es negativa, lo que indica un

aumento de los desplazamientos al disminuir las cargas. Como ya se ha comentado, a

este fenómeno se le denomina ‘snap-through’. Otro mecanismo que se observa en el



pos-pandeo se presenta al descargar la estructura, cuando la carga cae por debajo del

segundo punto límite, se produce otro salto brusco de desplazamientos que se denomina

‘snap-back’.

Figura 3.8 - Puntos límites en pos-pandeo

La presencia de puntos críticos de estabilidad y trayectorias de equilibrio

inestables, son las principales dificultades que las soluciones numéricas deben superar

para capturar completamente la respuesta no lineal. En dichos puntos límites la matriz

de rigidez tangente es nula (figura 3.9), provocando el fallo del método de Newton-

Raphson. Por ello, predecir “snap-through” y “snap-back” es difícil y resulta

computacionalmente costoso. También es difícil hallar cuánta carga adicional puede

soportar con seguridad una estructura bajo estas circunstancias. El método del “arc-

length” se presenta como el adecuado para predecir la respuesta correcta de estructuras

con comportamientos complejos del tipo ‘snap-through’.

Figura 3.9 - Punto donde diverge algoritmo Newton Raphson

En realidad el método ‘arc-len’ se desglosa en una familia de métodos de

resolución de ecuaciones no lineales llamados genéricamente métodos del ‘arc-len’. El

método general del ‘arc-len’ usado para análisis estructural surge como una variación



del método general de Newton-Raphson, ideada para superar las dificultades de éste

para pasar por puntos críticos. Fue desarrollado originalmente por (RIKS, 1971) [18],

(WEMPNER,1971) [19]. La técnica se asemeja mucho al método de Newton-Raphson,

excepto en que en este caso el incremento de carga aplicado pasa a ser una incógnita

adicional en el problemas.

En este método, la carga pasa a ser referenciada mediante un factor de carga (λ),

que toma valores entre 0 y 1. En una iteración cualquiera del método, el valor de la

carga a aplicar se denota por λ·Fa. Básicamente, el método consiste en añadir al

algoritmo de Newton-Raphson una ecuación de restricción, que fija la longitud del

vector incremental que une los puntos representativos de los estados inicial y final de

cada incremento de carga, en el espacio de cargas y desplazamientos; en contrapartida a

esta nueva ecuación, el incremento del factor de carga pasa a ser considerado como una

incógnita adicional. Resultando ahora un nuevo vector de incógnitas, formado por los

gdl y por el factor de carga { }, de dimensiones n+1.

La restricción antes comentada consiste en definir una superficie que corte a la

curva de carga-desplazamiento. Una manera de garantizar dicha intersección se

consigue utilizando superficies cerradas alrededor del punto de equilibrio (figura 3.10).

La más sencilla de estas superficies es una (hiper) esfera de radio l, cuya ecuación

sería:

( ) ( )

(3.13)

Donde

= Vector grados de libertad del modelo

= Factor para homogenizar unidades

= Incremento del factor de carga en la iteración

= Longitud del arco de la superficie de restricción



Figura 3.10 - Restricción con superficie esférica

Es posible, de manera más sencilla, obtener convergencia en la mayoría de los

casos utilizando en lugar de superficies cerradas, un (hiper) plano normal a la tangente

de la curva de equilibrio, en el punto de equilibrio anterior (figura 3.11). Expresado por

la condición de ortogonalidad siguiente:

( ) (3.14)

donde

= Vector grados de libertad del modelo, para la primera

iteración del paso de carga

= Vector normal al

= Factor de carga de la primera iteración del paso de

carga

= Componente del vector normal correspondiente al

factor de carga.



Figura 3.11 - Restricción con plano normal fijo

Puede asegurarse la convergencia si se utiliza en cada iteración un plano distinto,

normal no a la tangente inicial del paso de carga, sino a una secante actualizada (figura

3.12), sin más que utilizar la condición siguiente:

( ) (3.15)

Figura 3.12 - Restricción con plano normal actualizado



El método del ‘arc-len’ usado por Ansys está sustentado en los trabajos de

(FORDE & STEIMER, 1987) [20], y es una evolución de inicial debido a Risk y

Wempner basándose en principios de ortogonalidad. En dicho procedimiento la

ecuación no lineal 3.10, se replantea asociada al factor de carga total λ:

[ ]{ } { } {

} (3.16)

donde λ está comprendido en el rango -1.0 ≤ λ ≤ 1.0.

Si escribimos el factor proporcional de carga λ de forma incremental, tendremos

para el paso de carga n y la iteración i:

[ ]{ } { } ){

} { } { } (3.17)

Figura 3.13 - Aproximación mediante el arc-length de Forde-Stiemer

Observando la figura 3.13, el desplazamiento incremental { } puede escribirse en

dos partes:

{ } { } {

} (3.18)



Definiéndose cada una de dichas partes mediante:

{ } [

] { } (3.19)

{ } [

] { } (3.20)

En cada iteración del ‘arc-len’, se utilizarán las ecuaciones 3.19 y 3.20 para

obtener { } y {

}. Además, la ecuación de restricción 3.13 del método de Riks-

Wempner, pasa a tomar la siguiente forma:

{ } { } (3.21)

donde es la suma de todos los desplazamientos incrementales del paso de

carga.

En la figura 3.14 se puede ver con más detalle la evolución del método de Forde-

Stiemer usado por Ansys:

Figura 3.14 - Un paso de carga método de Forde-Stiemer



El radio del arco utilizado durante las iteraciones de un mismo paso de carga, se

mantiene constante e igual al de la primera iteración de paso de carga. El radio del arco

de la primera iteración del primer paso de carga, se denomina ‘radio inicial o de

referencia del arc-len’, y es fijado por el analista. El radio de la primera iteración de los

subsecuentes pasos de carga, deben ser calculados por el programa en base a valor en el

paso de carga anterior y del comportamiento del algoritmo.

Utilizando las ecuaciones 3.18 y 3.19 se obtiene la solución convergida para

cada paso de carga ). De las distintas alternativas que existen para la

manipulación de dichas ecuaciones, el método propuesto por Forde y Steimer aproxima

el mediante lo que se denomina ‘iteración esférica explicita’. Resultando la

siguiente expresión para el factor de carga incremental:

{ }

{ }

{ } { }

(3.22)

donde el residuo para la iteración explicita en una esfera (ri) , es calculado de antemano

como producto escalar de unos vectores normal y tangencial en un punto arbitrario a la

curva carga-desplazamiento.



4 ENSAYO VIRTUAL

4.1 Cilindro de referencia del ensayo

Como referencia para realizar el modelo de elementos finitos, se ha tomado un

cilindro del que conocemos los resultados de ensayos publicados (MYUNG-HUN et al,

2010) [4]. El ensayo publicado consiste en someter al cilindro a una presión externa,

obteniéndose como resultado del mismo, la presión crítica de pandeo. Dicho cilindro, de

unos 70 cm de largo y 30 cm de diámetro, fue ensayado en una cámara similar a la

mostrada en la figura 4.2.

Figura 4.1 - Esquema recipiente ensayado

El cilindro dispone en un extremo de una brida que lo une a la cámara, y en el

otro extremo dispone de un cierre formado por una tapa de acero, siendo únicamente su

cuerpo de material compuesto. El cuerpo del cilindro es totalmente de material

compuesto, no disponiendo de ‘liner’. El sistema de ensayo consiste en llenar de agua la

cámara, y posteriormente presurizarla hasta producir una presión externa sobre el

cilindro, suficiente para que éste pandee.



Figura 4.2 - Esquema cámara de ensayo

El cilindro ensayado está fabricado con un compuesto formado por un apilado

consistente en una zona interior de 6.6 mm de espesor (82.5% del material), formada

por capas orientadas alternativamente a ±30°; y otra zona exterior de 1.4 mm de espesor

(17.5% del material), formada por capas orientadas a 90°. Obteniéndose finalmente un

compuesto de 8 mm de espesor total. Siendo la fibra utilizada la T700 y la resina de

tipo epoxy. Se ensayaron cuatro cilindros iguales, obteniéndose una presión crítica de

pandeo promediada de 4.3 MPa

4.2 Modelo de elementos finitos

Se ha realizado un modelo de elementos finitos del cilindro descrito en el

apartado anterior. Dicho modelo ha sido realizado mediante el software comercial

ANSYS Inc. Ver 13. En dicho modelo se ha considerado la tapa de cierre de acero y el

cuerpo del cilindro de material compuesto. No ha sido necesario modelar la brida, ya

que su aporte se ha conseguido mediante la imposición de las condiciones de contorno



adecuadas. Tal y como se ha producido en el ensayo, se ha aplicado una presión externa

tanto sobre la virola de material compuesto, como sobre la tapa de acero. En la figura

4.3 se puede observar una vista del modelo, en la que se ha eliminado parte de mismo

para una mejor visualización.

Figura 4.3 - Modelo elementos finitos

Se ha utilizado el elemento tipo SHELL181, de la librería de elementos del

programa, el cual tiene cuatro nodos y seis gdl por nodo. Este elemento permite

modelar un material compuesto con múltiples capas, con distinto material, distinto

espesor y distinta orientación de las fibras en cada una de las capas. Las propiedades

mecánicas de la lámina de compuesto han sido obtenidas de la publicación del ensayo,

dichas propiedades se pueden consultar en la tabla 4.1.

Propiedades de la



Propiedades de la lámina

(ply)

E1 = 120 Gpa

E2 = E

3= 8.5 Gpa

G12

= 3.4 Gpa

G13

= G23

= 2.7 Gpa

ν12

= 0.25

ν13

= ν23

= 0.42

Tabla 4.1 - Propiedades mecánicas lámina composite

Utilizando las capacidades del elemento finito utilizado, se ha modelado un

apilado consistente en una capa exterior de 1.4 mm de espesor, con la fibra orientada a

90º; y en el interior 32 capas con la fibra orientada alternativamente a ±30º, sumando

6.6 mm de espesor. Resultando un apilado final de 8 mm de espesor. La tapa de acero se

ha modelado con el mismo tipo de elemento. En este caso de una sola capa de material

isótropo (acero). El tamaño medio del elemento se ha fijado en 1 cm. Dando lugar a una

malla de 7532 elementos. Un detalle del apilado se puede ver en la figura 4.4.

32 capas ±30° (6.6 mm)

capas 90° (1.4 mm)

Figura 4.4 - Esquema del apilado sin 'liner'



Con el objeto de validar el modelo virtual con los modelos ensayados, se ha

realizado un análisis de pandeo lineal, comparándose el resultado del mismo con la

presión crítica obtenida en los ensayos. Para este análisis de autovalores y

autovectores, se utiliza el método Block Lanczos, obteniéndose la presión crítica de

pandeo para el primer modo de pandeo, el cual se puede ver en la figura 4.5, donde se

observan los clásicos lóbulo. La presión crítica de pandeo de 4.33 MPa obtenida en la

simulación, coincide con el valor promedio de los ensayos (Tabla 4.2)

Ensayo

Carga critica

ensayos

(MPa)

Carga critica

promedio ensayos

(MPa)

Carga crítica

simulación

(MPa)

1º 4.3

4.3 4.3 2º 4.4

3º 4.4

4º 4.1

Tabla 4.2 – Comparación carga critica ensayo/simulación

En general, un análisis lineal modela bien el inicio de un mecanismo de pando o

colapso, cuando las deformaciones anteriores al pandeo o colapso, son pequeñas. En

caso de que no sea así, lo aconsejable es realizar un análisis no lineal. En nuestro

problema, dada la forma y simetrías del modelo, es de esperar que el pandeo se

produzca con deformaciones pequeñas. Éste es quizás el motivo fundamental de la

bondad del análisis lineal de nuestro modelo.

Además, el pandeo en los ensayos, se suele producir a presiones más bajas que

las obtenidas en un análisis lineal, debido a la existencia de defectos de fabricación, que

no son contemplados en el modelo. En este caso, la técnica de ‘filamente-winding’



utilizada para fabricar los cilindros, ayuda a evitar dichos defectos de fabricación, ya

que permite generar geometrías con muy pocos defectos.

Figura 4.5 - Resultados análisis lineal del modelo ensayado

Con este análisis conseguimos validamos nuestro modelo virtual del cilindro,

constatando que tanto la geometría, el apilado y las propiedades del material compuesto,

la aplicación de la presión, el tipo de elemento utilizado, la densidad de malla y las

condiciones de contorno en la brida, son las correctas.

4.3 Ensayo lineal

4.3.1 Valoración del aporte del ‘liner’ para presión externa

El siguiente paso consiste en añadir el ‘liner’ al modelo que ya tenemos

construido, para valorar la mejora que provoca en su comportamiento. Para dar más

generalidad al estudio, hemos utilizado tres tipos de materiales metálicos para modelar

el ‘liner’. Las propiedades mecánicas de dichos materiales se pueden consultar en la

tabla 4.3.



Material 70 % límite plastificación

(MPa)

Módulo elástico

(GPa)

Coeficiente

Poisson

Aluminio 6061-T6 212.31 68.9 0.33

Titánio TI-6AL-4V 676.92 113.8 0.34

Acero 4130 553.85 205.8 0.27

Tabla 4.3 - Propiedades mecánicas materiales ‘liner’

La incorporación del ‘liner’ al modelo la realizamos considerando una capa más

en el interior del apilado, con un espesor de 1.5 mm. El tipo de elemento finito que

estamos utilizando, nos permite definir para cada capa, un material distinto. Tal que, las

capas que ya teníamos definidas quedaran constituidas por material ortótropo y ésta

nueva de material isótropo. En la figura 4.6 se puede ver un detalle de dicho apilado.

Se han construido tres modelos, cada uno de ellos incorporando un ‘liner’

metálico de titanio, acero y aluminio respectivamente. Se han realizado análisis lineales

de pandeo, similares al realizado para validar el modelo inicial, sobre cada uno de los

32 Capas a ±30º (6.6 mm)

Capa exterior a 90º (1.4 mm) ‘Liner’ (1.5 mm)

Figura 4.6 - Esquema apilado con 'liner'



nuevos modelos con ‘liner’. Obteniéndose una presión crítica en cada caso. En la tabla

4.4 se pueden ver los resultados obtenidos, donde en la primera fila tenemos el resultado

del ensayo, del cilindro sin ‘liner’. Y en las tres siguientes podemos ver los resultados

al utilizar un ‘liner’ del material indicado.

Análisis de pandeo a presión externa

Material

‘Liner’

Mod. E

(Gpa)

Presión crítica

(MPa)

Factor de

Mejora

Sin ‘liner’ - 4.33 -

Aluminio 6061-T6 68.9 13.58 3.1

Titanio TI-6AL-4V 113.8 17.04 3.9

Acero 4130 205.8 21.55 5.0

Composite - 6.65 1.5

Tabla 4.4 - Resultados análisis lineal a presión externa

Se ha construido un cuarto modelo, en el que en lugar de incorporar un ‘liner’

metálico’, se ha considerado una capa interna de compuesto, del mismo espesor que el

‘liner’ y con las fibras a 90º. Resultado un cilindro completamente de material

compuesto y del mismo espesor total que los que tienen ‘liner’ metálico, cuyos

resultados se muestran en la última fila de la tabla 4.4. Esto nos permite comparar el

aporte del ‘liner’ metálico en igualdad de espesor.

También se ha añadido una columna en la que se indican los factores de mejora

respecto al cilindro sin ‘liner’. Se aprecia que si aumentamos en 1.5 mm el espesor del

compuesto el factor es de 1.5, en cambio, si añadimos un ‘liner’ metálico del mismo



espesor, dicho factor puede llegar a valer 5.0. Además, el factor de mejora tiene una

relación proporcional al módulo elástico del material utilizado como ‘liner’

4.3.2 Valoración del aporte del ‘liner’ para presión interna

Además de la valoración del aporte del ‘liner’ a presión externa, se han realizado

análisis del cilindro con el ‘liner’, soportando una presión interna, en los que se ha

obtenido la presión interna máxima soportada por el conjunto. Para lo cual se han

tenido que utilizar los criterios de fallo adecuados a cada material. Así, en el material

compuesto se ha utilizado el criterio de Tsai-Wu, mientras que en el ‘liner’ metálico se

ha utilizado el criterio de Von Mises.

En la tabla 4.5 se pueden consultar los valores de la resistencia de la lámina, para

su utilización con el criterio de Tsai-Wu, en el material compuesto. Solo se indican los

valores a tracción, ya que son los únicos que tienen utilidad en este caso. Para la

evaluación del criterio de Von Mises, se utiliza como tensión admisible el 70% de la

tensión de plastificación del material metálico, dichas tensiones se pueden consultar en

la tabla 4.6.

Resistencia del Ply (MPa)

Xt 2060

Yt 32

Yz 32

XY 45

XZ 45

YZ 64

Tabla 4.5 - Propiedades resistentes lámina composite



El análisis del cilindro sometido a presión interna, consiste de un análisis

estático convencional. Se han evaluado las tensiones en la zona central del cilindro, para

obtener valores promedio evitando las perturbaciones que se pueden producir en los

extremos, debidas a las condiciones de contorno impuestas. Al igual que antes, también

incluimos aquí el caso de ‘liner’ de composite, para realiza la comparación.

En la tabla 4.6, se pueden ver los resultados de los análisis. El titanio se muestra

como el material que mejor se comporta. No obstante el incremento de la resistencia a

presión interna, al utilizar el ‘liner’ metálico, no es tan acusado como en el caso

anterior.

Análisis estático a presión interna

Material

‘Liner’

70% tensión

plastificación

(Mpa)

Fallo en Presión

máxima (MPa)

Factor de

Mejora

Sin ‘liner’

- 8.2 -

Aluminio 6061-T6 212.31 ‘Liner’ 8.2 1.0

Titanio TI-6AL-4V 676.92 Composite 14.5 1.8

Acero 4130 553.85 ‘Liner’ 12.0 1.5

Composite

- 8.8 1.1

Tabla 4.6 - Resultados análisis lineal a presión interna



4.4 Ensayo no lineal

También se ha realizado un análisis no lineal del cilindro sometido a presión

externa. Tal y como se comentó en la introducción, el objetivo de este análisis ha sido el

de dominar la técnica, aprovechando el modelo que tenemos validado, contrastando el

resultado con el obtenido en los ensayos.

En este caso, el análisis no lineal ha consistido en un análisis estático bajo

grandes deformaciones, utilizando el método ‘arc-len’ descrito anteriormente. Como ya

se ha comentado, debido a la simetría de carga y geometría en el modelo, se ha hecho

necesaria la imposición de un defecto inicial para facilitar que se desencadene el

mecanismo de pandeo. Se ha tomado como plantilla para modelar dicho defecto, el

primer modo obtenido en el análisis lineal.

Debido a que bajo esta situación, la evolución de la deformación del modelo

adopta formas proporcionales a dicho primer modo, se ha tomado como punto para

evaluar la amplitud de la deformación en centro de un lóbulo del propio modo. (Figura

4.7)

Figura 4.7 - Punto de control para análisis no lineal



El análisis se ha repetido ajustando el tamaño del defecto máximo a los valores

indicados en la tabla 4.7 , observándose que conforme el defecto va disminuyendo la

solución converge con la del análisis lineal y por lo tanto con la del ensayo.

Defecto

máximo (mm)

Pcrt

(Mpa)

0.5 4.11

0.1 4.25

0.03 4.34

Pcrt

promedio ensayo 4.3 MPa

Tabla 4.7 - Resultados análisis no lineal para distintos tamaño de defecto

En la figura 4.8 se muestran las curvas obtenidas para las distintas

amplitudes del defecto. En ellas se puede observar la zona de ‘snap-through’, con los

puntos A y A’ referenciados en la figura 3.4. Una vez que la carga alcanza el valor

crítico, se produce una deformación brusca que llegará a alcanzar unos 18 mm de

amplitud, en el punto de control. A partir de dicha situación habrá que seguir

incrementando la carga para que el modelo siga deformándose.



Figura 4.8 - Curvas carga-desplazamiento análisis no lineal

Se puede observar en la figura 4.8 el punto donde se produce la bifurcación, en

cada una de las curvas. Siendo dicho punto el que nos marca la carga crítica de pandeo.

Vemos que cuando el defecto inicial es del orden de 0.03 mm, y por lo tanto muy

pequeño, dicha carga crítica prácticamente coincide con el valor obtenido en el análisis

lineal (4.3 MPa). Para valores del defecto inicial algo mayores, aunque susceptibles de

que se puedan producir en el proceso normal de fabricación, la carga crítica toma

valores menores que la obtenida mediante el análisis lineal.



5 CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS

De los análisis realizados sobre el modelo representativo del cilindro ensayado,

se deduce que la utilización de un ‘liner’ metálico incrementa notablemente la

resistencia bajo la acción de presión externa. No siendo tan notable la mejora bajo la

acción de presión interna. Además, los mejores resultados en cada caso se obtienen con

distintos materiales en el ‘liner’. En el caso de solicitación con presión externa, es el

acero el que mejor resultado presenta; mientras que en el caso de solicitación con

presión interna, es el titanio.

En el análisis no lineal realizado sobre el cilindro sin ‘liner’, hemos constatado

que el método del ‘arc-len’ se muestra como una excelente herramienta para sobrepasar

los puntos límites en la curva carga-desplazamiento y predecir el comportamiento del

modelo en la fase de pos-pandeo. La utilización de esta metodología hace abordable este

tipo de análisis, aunque con un alto coste computacional, y no exentos de dificultades

para conseguir la convergencia.

La notable mejora conseguida al utilizar un ‘liner’ metálico bajo solicitación de

presión externa, invita a profundizar en dicho estudio, haciendo intervenir mecanismos

de fallo que contemplen la delaminación que se ha de producir, tanto entre las propias

láminas de material compuesto, como entre el material compuesto y el ‘liner’, cuando

las deformaciones alcancen valores suficientes en las fase de pos-pandeo. Bajo estas

condiciones, las técnicas de análisis no lineal se hacen imprescindibles.

El hecho de que no sean las mismas soluciones constructivas, las que produzcan

los mejores resultados para los dos estados de solicitación: presión interior y exterior,

demanda la utilización de algoritmos de optimización que sopesen las mejoras en ambos

casos y permitan obtener diseños óptimos, para los recipientes que han de soportar

simultáneamente ambas situaciones de carga. Este es el caso de los recipientes

utilizados para los sistemas AIP, ubicados fuera del casco de presión del submarino.



Por último, como resultado de este trabajo se presentó al IX Congreso Nacional

de Materiales Compuestos celebrado en julio de 2011 (Gerona), la ponencia:

RECIPIENTES A PRESIÓN DE COMPOSITE, CON ‘LINER’ METÁLICO A

PRESIÓN EXTERIOR.



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7 PUBLICACIONES

1. J.FRANCO, A.CORZ; Recipientes a presión de composite, con ‘liner’ metálico

sometidos a presión exterior; Congreso materiales compuestos. MATCOM2011

trabajo final postgrado

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