DISEÑO DE UN PLAN DE MUESTREO POR ATRIBUTOS André s Acosta, Cé sar Blanco, Hans Corté s, Marí a Férnanda Sa nchéz

Estadí stica – Ing. José dé la Hoz Ramí réz. Octubré 28 dé 2014

Para la industria es de suma importancia el aseguramiento de la calidad de los productos

terminados que salen al mercado ya que esto se traduce al final en una mayor demanda por

parte del cliente y, por consiguiente, en una mejora notable de las finanzas de las empresas. La

estadística ofrece muchas herramientas de mucha utilidad en la realización de controles de

calidad y diseño de procedimientos de análisis para comprobar el estado de los productos

finales y verificar que el proceso de producción sea óptimo.

En el presente trabajo se especificará un plan de muestreo por atributos al calcular (por método

iterativo o de prueba y error) el tamaño de la muestra a analizar (n) y el número de artículos

defectuosos en la misma (c). Acto seguido, con esta información se construirá la curva de

operación característica (curva OC) de este plan. Se suministra la siguiente información:

𝑁 = 195 𝛼 = 5% 𝐴𝑄𝐿 = 1% 𝛽 = 10% 𝑇𝑃𝐷𝐿 = 7%

Donde N es el tamaño del lote, α es el error tipo I (probabilidad de rechazar un lote bueno),

AQL (Aceptable quality level) es el porcentaje acordado entre proveedor y cliente de artículos

defectuosos en el lote que será aceptado, β es el error tipo II (probabilidad de aceptar un lote

de mala calidad) y TPDL es el porcentaje de artículos defectuosos tolerables en el lote

Para calcular n y c se hace uso de la distribución hipergeométrica, la cual se define como:

𝑃(𝐴) = ∑(

𝑘𝑥

) (𝑁 − 𝑘𝑛 − 𝑥

)

(𝑁𝑛

)

𝑐

𝑥=0

(1)

En la cual:

𝑘 = 𝑝 ∙ 𝑁

En la ecuación (1), P(A) es la probabilidad de aceptación del lote, k es la cantidad de artículos

defectuosos en el mismo, y p es la proporción de artículos defectuosos en dicho lote.

Se debe tener en cuenta que la curva OC pasa por los puntos (AQL, 1-α) y (TPDL, β) de lo cual

se tiene que para dichos puntos:

𝑘1 = 𝐴𝑄𝐿 ∙ 𝑁

𝑘2 = 𝑇𝑃𝐷𝐿 ∙ 𝑁

Ahora se procederá a encontrar las ecuaciones con las que se buscará n asumiendo valores de

c.

Para la primera iteración, se asume c = 0, con lo cual se obtiene:

𝑃(𝐴) = ∑(

𝑘𝑥

) (𝑁 − 𝑘𝑛 − 𝑥

)

(𝑁𝑛

)=

(𝑘0

) (𝑁 − 𝑘

𝑛)

(𝑁𝑛

)

0

𝑥=0

Nótese que:

(𝑘0

) = 1

Por lo que:

𝑃(𝐴) =(

𝑁 − 𝑘𝑛

)

(𝑁𝑛

) (2)

Cuando p = AQL, P(A) = 1-α

(𝑁 − 𝑘1

𝑛)

(𝑁𝑛

)= 𝑃(𝐴)1

(𝑁 − 𝐴𝑄𝐿 ∙ 𝑁

𝑛)

(𝑁𝑛

)= 1 − 𝛼

(

𝑁[1 − 𝐴𝑄𝐿]𝑛

)

(𝑁𝑛

)= 1 − 𝛼 (3)

Cuando p = TPDL, P(A) = β

(𝑁 − 𝑘2

𝑛)

(𝑁𝑛

)= 𝑃(𝐴)2

(𝑁 − 𝑇𝑃𝐷𝐿 ∙ 𝑁

𝑛)

(𝑁𝑛

)= 𝛽

(

𝑁[1 − 𝑇𝑃𝐷𝐿]𝑛

)

(𝑁𝑛

)= 𝛽 (4)

Se calculan ahora los valores requeridos en las ec. (3) y (4)

𝑁[1 − 𝐴𝑄𝐿] = 195[1 − 0,01] = 193,05 ≅ 𝟏𝟗𝟑

𝑁[1 − 𝑇𝑃𝐷𝐿] = 195[1 − 0,07] = 181,35 ≅ 𝟏𝟖𝟏

1 − 𝛼 = 1 − 0,05 = 𝟎, 𝟗𝟓

Sustituyendo en estas ecuaciones se tiene:

(

𝟏𝟗𝟑𝒏

)

(𝟏𝟗𝟓

𝒏)

= 𝟎, 𝟗𝟓 (𝟓)

(

𝟏𝟖𝟏𝒏

)

(𝟏𝟗𝟓

𝒏)

= 𝟎, 𝟏 (𝟔)

En las cuales se sustituyen valores de n de selección arbitraria. Obsérvese que la solución

simultánea de estas dos expresiones generará dos valores diferentes de n con los que se

comprobará si se ha llegado a una solución mediante la siguiente condición:

𝑛2

𝑛1 ≤ 1,6

Donde n1 y n2 son los resultados obtenidos de las ecuaciones (5) y (6), respectivamente.

La siguiente tabla muestra los valores de n1, n2, P(A)1, P(A)2 y n2/n1 obtenidos (con ayuda de

Excel) usando prueba y error.

n1 P(A)1 n2 P(A)2

1 0,989743590 1 0,928205128

2 0,979540048 2 0,861904762 3 0,969389374 3 0,800652647

4 0,959291568 4 0,744040844

5 0,94924663

5 0,691696262

10 0,482991631

20 0,241827884 30 0,125091266

33 0,103254287 n2/n1 6,6

Tabla 1. Resultados de la primera iteración.

Como n2/n1 > 1,6 se realiza una segunda iteración, suponiendo que c = 1, con lo cual se tiene

que:

𝑃(𝐴) = ∑(

𝑘𝑥

) (𝑁 − 𝑘𝑛 − 𝑥

)

(𝑁𝑛

)=

(𝑘0

) (𝑁 − 𝑘

𝑛)

(𝑁𝑛

)+

(𝑘1

) (𝑁 − 𝑘𝑛 − 1

)

(𝑁𝑛

)

1

𝑥=0

Aquí, (𝑘0

) = 1 y (𝑘1

) = 𝑘, entonces:

𝑃(𝐴) =(

𝑁 − 𝑘𝑛

)

(𝑁𝑛

)+

𝑘 (𝑁 − 𝑘𝑛 − 1

)

(𝑁𝑛

) (7)

De manera análoga a la primera iteración, se obtiene el siguiente set de ecuaciones evaluando

los valores de k1, k2 en la distribución de probabilidad:

(𝑁[1 − 𝐴𝑄𝐿]

𝑛)

(𝑁𝑛

)+

(𝐴𝑄𝐿 ∙ 𝑁) (𝑁[1 − 𝐴𝑄𝐿]

𝑛 − 1)

(𝑁𝑛

)= 1 − 𝛼

(𝑁[1 − 𝑇𝑃𝐷𝐿]

𝑛)

(𝑁𝑛

)+

(𝑇𝑃𝐷𝐿 ∙ 𝑁) (𝑁[1 − 𝑇𝑃𝐷𝐿]

𝑛 − 1)

(𝑁𝑛

)= 𝛽

Se calculan ahora los valores de k1 y k2:

𝑘1 = 𝐴𝑄𝐿 ∙ 𝑁 = 0,01 ∙ 195 = 1,95 ≅ 𝟐

𝑘2 = 𝑇𝑃𝐷𝐿 ∙ 𝑁 = 0,07 ∙ 195 = 13,65 ≅ 𝟏𝟒

Sustituyendo los valores de k1 y k2, además de N[1-AQL], N[1-TPDL] y 1-α en las anteriores

ecuaciones se tiene:

(

𝟏𝟗𝟑𝒏

)

(𝟏𝟗𝟓

𝒏)

+𝟐 (

𝟏𝟗𝟑𝒏 − 𝟏

)

(𝟏𝟗𝟓

𝒏)

= 𝟎, 𝟗𝟓 (𝟖)

(

𝟏𝟖𝟏𝒏

)

(𝟏𝟗𝟓

𝒏)

+𝟏𝟒 (

𝟏𝟖𝟏𝒏 − 𝟏

)

(𝟏𝟗𝟓

𝒏)

= 𝟎, 𝟏 (𝟗)

Con este conjunto de expresiones se aplica nuevamente el método de prueba y error para

encontrar y comparar los valores de n1 y n2.

n1 P(A)1 n2 P(A)2

5 0,99947312 33 0,27673756 10 0,99762094 35 0,24393461

20 0,98995506 40 0,17498845 25 0,98413957 43 0,14176928

30 0,97700238 44 0,13191873

35 0,96854348 45 0,12264014 40 0,95876289 46 0,11390982

42 0,95448057 47 0,10570424 44 0,94998678 48 0,09800005

n2/n1 1,14285714 Tabla 2. Resultados de la segunda iteración.

Como n2/n1 < 1,6 se puede asegurar que se ha encontrado una solución al problema. Como se

obtienen dos valores distintos de n, esto implica que se originen dos curvas OC para cada plan

característico. A continuación se procede a expresar la ecuación con la que se construirá la

curva OC tomando los dos valores de n a fin de realizar una comparación sobre la exigencia de

los dos planes, tras lo cual se escogerá el más exigente, esto es, cuya curva OC esté más

desplazada hacia la izquierda, acercándose a la curva OC ideal.

Teniendo en cuenta que k = p*N = 195*p se obtiene (para n = 44):

𝑷(𝑨)𝟏 =(𝟏𝟗𝟓[𝟏 − 𝒑𝟏]

𝟒𝟒)

(𝟏𝟗𝟓𝟒𝟒

)+

(𝟏𝟗𝟓 ∙ 𝒑𝟏) (𝟏𝟗𝟓[𝟏 − 𝒑𝟏]

𝟒𝟑)

(𝟏𝟗𝟓𝟒𝟒

) (𝟏𝟎)

Para n = 48:

𝑷(𝑨)𝟐 =(

𝟏𝟗𝟓[𝟏 − 𝒑𝟐]

𝟒𝟖)

(𝟏𝟗𝟓𝟒𝟖

)+

(𝟏𝟗𝟓 ∙ 𝒑𝟐) (𝟏𝟗𝟓[𝟏 − 𝒑𝟐]𝟒𝟕

)

(𝟏𝟗𝟓𝟒𝟖

) (𝟏𝟏)

A partir de las ecuaciones (10) y (11) se obtienen los valores de P(A) con los cuales se grafican las

curvas para cada plan, mostrándose los mismos en la siguiente tabla:

p1 P(A)1 P(A)2

0,000 1 1

0,005 0,994358974 0,99384615

0,010 (AQL) 0,949986783

(1-𝛂) 0,94036479

(1-𝛂)

0,015 0,871727759 0,84952152

0,020 0,780017966 0,74590341

0,025 0,684626977 0,64101946

0,030 0,591746277 0,54165572

0,035 0,505057624 0,45143975

0,040 0,426515245 0,37194092

0,045 0,356913137 0,30343468

0,050 0,296291946 0,24542536

0,055 0,244226899 0,19699716

0,060 0,200028201 0,15794390

0,065 0,162877582 0,12441440

0,070 (TPDL) 0,131918733

(𝛃) 0,09800005

(𝛃)

0,075 0,106314857 0,07678326

0,080 0,085283101 0,05986033

Tabla 3. Valores de la curva OC para los planes.

Figura 1. Curvas OC de los planes de muestreo en azul para n = 44 y en naranja para n = 48.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

P(A

)

p

Curva OC de los planes de muestreo

P(A)1

P(A)2

(AQL, 1-𝛂)

(TPDL, 𝛃)

De la figura 1 se observa que la curva característica del plan de muestreo 2 (n = 48) está más

desplazada hacia la izquierda que la curva OC del plan 1 (n =44), con lo cual se escogerá la

primera, ya que es la más se acerca a la OC ideal y por tanto, representa al plan de muestreo

más exigente. A continuación se muestra la gráfica del plan 2.

Figura 2. Gráfica de la curva OC del plan de muestreo 2 (n = 48) con coordenadas de los puntos

(AQL, 1-𝛼) y (TPDL, 𝛽).

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

P(A

)

p

Curva OC del plan de muestreo 2

CONCLUSIONES

Se han determinado los valores del tamaño de la muestra y la cantidad de artículos

defectuosos en la misma para una probabilidad de aceptación de 95% (p = AQL) y de 10%

(p = TPDL), los cuales son n1 = 44, n2 = 48, c = 1.

Al construir y graficar en un mismo plano la curva de operación característica de cada

plan de muestreo se puede observar que el plan 2 (curva OC de color naranja) es más

exigente respecto al plan 1 (curva OC de color azul) ya que éste se encuentra desplazado

a la izquierda, acercándose así a la curva OC ideal. Nótese que para un mismo valor de

AQL y TPDL, la probabilidad de aceptación es más baja en el plan 2, como se muestra en

la tabla 3. De lo anterior, la curva característica del plan de muestreo con las

especificaciones dadas inicialmente será la correspondiente al plan 2 (n = 48).

Para graficar la curva OC también es válido tomar un promedio de los dos valores

obtenidos de n, sin embargo, se escoge la curva OC del plan 2 como la curva de operación

que representa el plan de muestreo planteado inicialmente debido a lo anteriormente

mencionado. Esto con el fin de que la gráfica pase exactamente por al menos una de las

coordenadas (AQL, 1-α) o (TPDL,β). Una curva OC promedio no pasará exactamente por

ninguna de éstas coordenadas, pero sí de forma aproximada.

Una forma de comprobar la exigencia de los planes de muestreo es encontrar la relación

(c/n)*100, esto es, la proporción porcentual de artículos defectuosos en la muestra. Así

pues, dicho porcentaje es 2,273% para el plan 1 y 2,083% para el plan 2, con lo que

nuevamente se concluye que el último es el más exigente. Por consiguiente, la

probabilidad de aceptación del lote disminuye, lo cual es conveniente para el cliente

pero no para el proveedor.