FACULTAD DE MECANICA

ESCUELA DE MANTENIMIENTO

MATERIA:

ANALISIS MATEMATICO III

TEMA:

CONSULTA DE APLICACIONES DEECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

ORDEN

NOMBRE:

HUMBERTO JARAMILLO

TUTOR:

ING. RAFAEL ALBUJA

FECHA:

24/04/2012

APLICACIONES DE LA ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

APLICACIONES A LA QUÍMICA:

Hay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales a los procesos químicos. Algunasde estas serán indicadas en los siguientes ejemplos.

Ejemplo:

Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada en la cual estándisueltos 5lb de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3lb de sal por gal que entra altanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.

¿Cuanta sal está presente después de 10min?

¿Cuanta sal está presente después de un tiempo largo?

Formulación Matemática:

Sea A el numero de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego dA / dt es latasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y esta dada por:

dA / dt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida

Puesto que entran 2gal/min. conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la cantidad de salque entra por minuto es:

2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min. Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto quesiempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t,la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal. La cantidad de sal que sale porminuto es, por tanto,

Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.

de: (dA / dt),(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dA / dt = 6 - A/5.

Puesto que inicialmente hay 5lb. de sal, tenemos que A = 5 en t = 0. Así, la formulaciónmatemática completa es:

dA / dt =6 - A/5 A = 5 en t = 0

solución:

Usando el método de separación de variables, tenemos:

" (dA / 30 - A) = " (dt / 5) ó - ln (30 - A) = t / 5 + c

Puesto que A = 5 en t = 0, c = - ln 25. Así,

- ln (30 - A) = t/5 - ln 25 = ln[(30 - A)/25] = A = 30 - 25 e

La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.

Al final de los 10min. la cantidad de sal es A = 30 - 25 e ² = 26.6 lb.

Después de un tiempo largo, esto es, cuando t!", vemos que A!30 lb., Esto también podríaser visto desde la ecuación diferencial haciendo dA / dt = 0, puesto que también A es unaconstante cuando se alcanza el equilibrio.

Mezclas químicas:

Ejemplo:

Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa ala cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes.La formación requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sí 10lb. de A y 20lb. de B estánpresentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ; Encontrar la cantidad delquímico C en cualquier tiempo.

Formulación Matemática:

Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas. Luego dx / dt es la tasade su formación para formar x lb. de C, necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x / 3lb.) de B,puesto que se necesita que el químico A sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de Apresente al tiempo t cuando se forman x lb. de C es 10 - 2x/3, y la cantidad de B en estetiempo es 20 - x/3. Por tanto:

dx / dt = K [10 - (2x/3)] * [20 - (x/3)]; Donde K es la constante de la proporcionalidad. Estaecuación puede escribirse de la siguiente manera: dx / dt = k[(15 - x) (60 - x)] donde k esotra constante. Hay dos condiciones. Puesto que el químico C inicialmente no estápresente, tenemos x = 0 en t = 0. También x = 6 en t = 1/3. Necesitamos dos condiciones,una para determinar k, y la otra para determinar la constante arbitraria de la solución de laecuación diferencial.

La formulación completa es:

dx / dt = k[(15 - x) (60 - x)] x = 0 en t = 0 ; x = 6 en t = 1/3

solución:

La separación de variables produce:

" dx / [(15 - x) (60 - x)] = " k dt = kt + C1

Ahora " dx / [(15 - x) (60 - x)] = " 1/45 [(1/15 - x) - (1/60 - x)] dx

= 1/45 ln [(60 - x) / (15 - x)]; así podemos mostrar que:

60 - x / 15 - x = C e

Puesto que x = 0 en t = 0, encontramos c = 4. Así

( 60 - x ) / ( 15 - x ) = 4 e

Puesto que x = 6 en t = 1/3, tenemos e = 3/2. Así, [(60 - x) / (15 - x)] = 4(e )³t = 4(3/2)³t ó x= 15 [ 1 - (2/3)³t]

1 - (1/4)(2/3)³t

Cuando t!", x!15lb.

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS”

Considérese el flujo de la corriente eléctrica en un circuito sencillo en serie. La corrienteI=0(fi)(t) (medida en amperes) es una función del tiempo t. La resistencia “R” (ohms), lacapacitancia “C” (en farads) y la inductancia “L” (en henrys) son todas positivas y, engeneral, pueden depender del tiempo t y la corriente I. Para una gran variedad deaplicaciones, esta dependencia puede despreciarse; se supondrá que “R, C y L” sonconstantes conocidas. El voltaje aplicado “E” (volts) es una forma dada del tiempofrecuentemente de la forma Eo Cos watt. Otra consideración física que aparecerá enestas condiciones es la carga total:

Dado en coulombs del capacitor, en el instante t. La carga Q está relacionada con lacorriente I por:

El flujo de corriente en el circuito bajo condiciones dichas se expresa por la segunda leyde Kirchhoff: “En un circuito cerrado, el voltaje aplicado es igual a la suma de las caídasdel voltaje en el resto del circuito”.

De acuerdo a las leyes fundamentales de electricidad, se sabe que:

a) Caída de voltaje a través de la resistencia = IR

b) Caída de voltaje a través del capacitor = (1/c)(Q)

c) Callad de voltaje a través de la inductancia = L (dT7dt)

Por lo tanto:

La teoría de los circuitos eléctricos, que consisten de inductancias, resistores ycapacitares, se basa en las leyes de Kirchhoff: “El flujo neto de corriente a través de cadanodo es cero es cero”.

“La caída neta de voltaje alrededor de cada circuito cerrado es cero”.

Además de las leyes de Kirchhoff, se tiene la relación entre la corriente I en amperes, através de cada elemento del circuito, y la caída de voltaje V en volts, a través de eseelemento; a saber,

V=RI R= resistencia en ohms

C (dv/dt) C= capacitancia en farads

L (di/dt) L= inductancia en henrys

Las leyes de Kirchhoff y la relación corriente- voltaje para cada circuito proporcionan unsistema de ecuaciones algebraicas y diferenciales, a partir de las cuales puededeterminarse el voltaje y la corriente en todo el circuito.

Aplicaciones a la Economía:

En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a laeconomía. Sin embargo, puesto que la economía involucra muchos factoresimpredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemáticade sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas deciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente serprobado a la luz de la realidad.

Oferta y Demanda

Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien poralguna unidad especificada ( por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t.Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p (t) es el precio en el tiempot.

El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo encualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Estademanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sinotambién de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, estoes, la tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en

tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar.En símbolos esta dependencia de D en p (t) y p´ (t) puede escribirse:

D = (p(t)),p´(t)

Llamamos la función de demanda.

Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible porunidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o brevementeS. Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si losprecios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir mas, laoferta disponible tiende a incrementar anticipándose a precios más altos. En símbolo estadependencia de S en p(t) y p´(t) puede escribirse:

S = g(p(t), p´(t)

Llamamos g a la función oferta.

Principio económico de la oferta y la demanda:

El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por la condiciónde que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática esto quiere decir:

(p(t),p´(t)) = g(p(t),p´(t))

Las formas que debería tener y g son las siguientes:

D = (p(t),p´(t)) = A1p(t) + A2p´(t) + A3

S = g(p(t),p´(t)) = B1p(t) + B2p´(t) + B3

donde A´S y B´S son constantes, en ese caso la formula matemática se transforma a lasiguiente expresión:

A1p(t) + A2p´(t) + A3 = B1p(t) +B2p´(t) + B3

(A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 - A3

Asumamos que A1"B1, A2"B2 y A3"B3. Entonces podríamos escribir la formula como:

p´(t) + (A1-B1/A2-B2)p(t) = B3-A3/A2-B2

Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da comoresultado:

p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e

Caso I: Si Po = (B3-A3)/(A1-B1) y p(t)=Po entonces, los precios permanecen constantesen todo tiempo.

Caso II: Si (A1-B1)/A2-B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de precios.

Caso III: Si (A1-B1)/A2-B2)<0. en este caso vemos que de la ecuación p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e que el precio p(t) crece indefinidamente a medida que t crece,asumiendo que Po > (B3-A3)/A1-B1),esto es, tenemos inflación continuada o inestabilidadde precio. Este proceso puede continuar hasta que los factores económicos cambien, locual puede resultar en un cambio a la ecuación (A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 -A3.

Ejemplo:

La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por D = 48 - 2p(t) +3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades,encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o inestabilidad deprecio.

Solución: El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es,

48 - 2p(t) + 3p´(t) = 30 + p(t) + 4p´(t) = p´(t) + 3 p(t) = 18

Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da comoresultado: p(t) = 6 + 4e

De este resultado vemos que, sí t!", p!6. Por tanto tenemos estabilidad de precio, y elprecio de equilibrio es de 6 unidades.

Inventarios:

Si la oferta es mayor a la demanda, entonces los productores tiene una cierta cantidad debien en su posesión, la cual se llama inventario del bien, el cual esperan vender. Por otrolado, si la demanda es mayor que la oferta, entonces los productores deben adquiririnventario.

Formulación Matemática:

Sea q(t) la cantidad o numero de unidades de un bien C disponible en tiempo t. Entoncesq(t + "t) = q(t) + "q es la cantidad disponible en tiempo t + "t. Así tenemos que:

Cantidad acumulada en intervalo t a t + "t = "q = q(t + "t) - q(t).

S = numero de unidades de C ofrecidas de tiempo por los productores en tiempo t.

D = numero de unidades de C demandadas por unidad de tiempo por los consumidoresen tiempo t.

Entonces el numero de unidades ofrecidas por los productores y demandas por losconsumidores entre t y t +"t están dados aproximadamente por S"t y D"t respectivamente,donde los resultados son precisos excepto por términos que involucran ("t)² y mayores.

Así, cantidad acumulada en el intervalo t a t + "t es igual a:

S"t - D"t + términos con ("t)² o mayores.

Así "q/"t = S - D + términos con ("t)² o mayores.

tomando el limite cuando "t!0, dq/dt = S - D.

De esta ultima ecuación podremos decir que servirá de base para el posterior análisissobre precios. Como una ilustración, supongamos que un productor desea proteger susutilidades al requerir que la tasa a la cual incrementara el precio sea proporcional a la tasaa la cual declina el inventario. En ese caso tenemos que:

dp/dt = - dq/dt

Donde > 0 es la constante de proporcionalidad que seasume conocida, de modo que usando la ecuación dp/dt = -(S - D). Puesto que S y D se pueden expresar en términos de p, la ecuación dp/dt = -

(S - D) es una ecuación diferencial para p.

Ejemplo:

Suponga que la oferta y la demanda están dadas en términos de precios p por S = 60 +2P, D = 120 - 3P, respectivamente, la constante de proporcionalidad es

= 4. Escriba la ecuación diferencial para p y determine elprecio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0

Solución: de la formula

dp/dt = - dq/dt la ecuación diferencial requerida para p es:dp/dt = -4(60 + 2P - 120 + 3p) o dp/dt + 20 p = 240 resolviendo esta ultima ecuacióndiferencial tenemos que p = 12 + ce

usando (p = 8 en t = 0 da c = - 4 y así p = 12 - 4e) ejercicios de aplicación de los temas deconsulta

APLICACIONES LOGÍSTICAS

El modelo de Malthus tiene muchas limitaciones. Por ejemplo, predice que una poblacióncrecerá exponencialmente con el tiempo, que no ocurre en la realidad. Si la especieconsiderada dispone de todos los medios para vivir, como espacio, aire, alimento,entonces su crecimiento será de tipo exponencial; pero si los recursos escasean,entonces habrá competencia para acceder a ellos (peleas, guerras a veces, supervivenciade los más fuertes...) y la razón de crecimiento no será la misma. Por esta razón almodelo de Malthus se le llama de crecimiento irrestricto, mientras que el modelopresentado a continuación se denomina modelo de crecimiento con restricciones.El modelo llamado de crecimiento logístico, fue introducido por Pierre François Verhulsten 1838 y supone que la razón de crecimiento es proporcional conjuntamente tanto a lapoblación misma como a la cantidad faltante para llegar a la máxima poblaciónsustentable. Escribiremos dicho modelo como