1. De la siguiente elipse: 3x2 + 5y2 – 6x - 12 = 0. Determine: a. Centro b. Focos c. Vértices

SOLUCIONBuscamos la ecuación de la forma general a la forma canónica

3x² + 5y² - 6x - 12 = 0

Tenemos 3x² - 6x + 5y² = 12

factorizamos3(x² - 2x) + 5y² = 12

3(x² - 2x + 1²) + 5y² = 12 + (3)(1)

binomio al cuadrado3(x - 1)² + 5y² = 15

dividimos entre 15(x - 1)²/5 + y²/3 = 1

(x - 1)²/(√5)² + (y - 0)²/(√3)² = 1

ecuación de una elipse horizontal de la forma(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1

centro (h, k) ⇒ (1, 0)a = √5b = √3

vértices(h ± a, k) ⇒ (1 + √5, 0) (1 - √5, 0)

focos(h ± c, k) ⇒ (1 + √2, 0) (1 - √2, 0)

2. De la siguiente hipérbola: 4y2 – 9x2 + 16y + 18x = 29. Determine:

a. Centro b. Focos c. Vértices

SOLUCION

4y² - 9x² + 16y + 18x = 29

ordenamos4y² + 16y - 9x² + 18x = 29factorizamos4(y² + 4y) - 9(x² - 2x) = 29

completamos 4(y² + 4y + 2²) - 9(x² - 2x + 1²) = 29 + (4)(4) - (9)(1) 

convertimos a binomio al cuadrado4(y + 2)² - 9(x - 1)² = 36

dividimos entre 36(y + 2)²/9 - (x - 1)²/4 = 1(y + 2)²/(3)² - (x - 1)²/(2)² = 1

ecuación de una hipérbola con eje focal paralelo al eje Y de la forma(y - k)²/(a)² - (x - h)²/(b)² = 1donde(h, k) = centro ⇒ (1, -2)a = semi eje real o transverso ⇒ 3b = semi eje imaginario o conjugado ⇒ 2

focos(h, k ± c) ⇒ (1, -2 ± √13) ⇒ (1, -2 + √13) (1, -2 - √13) de la igualdadc² = a² + b²c² = 9 + 4c² = 13c = √13vértices(h, k ± a) ⇒ (1, -2 ± 3) ⇒ (1, -5) (1, 1)

3. Analice la siguiente ecuación: x2 + y2 – 6x – 8y + 9 = 0. Determine: a. Centro b. Radio

SOLUCION

Completamos cuadrados.

x²- 6x +9 - 9 + y²-8y +16 - 16 + 9 = 0 

(x - 3) ²+ (y - 4) ²- 16 = 0 

(x - 3) ²+ (y - 4) ²= 4²

Centro : C = (3, 4) 

Radio: r = 4 

4. De la siguiente parábola: x2 + 6x + 4y + 8 = 0. Determine: a. Vértice b. Foco c. Directriz

SOLUCION

x² + 6x + 4y + 8 = 0

Organizamos x² + 6x = - 4y - 8

Completamos el trinomio : x² + 6x + (b/2)² = - 4y - 8 + (b/2)²x² + 6x + (6/2)² = - 4y - 8 + (6/2)²x² + 6x + 3² = - 4y - 8 + 3²x² + 6x + 9 = - 4y - 8 + 9x² + 6x + 9 = - 4y + 1 , factorizamos (x + 3)² = -4(y - ¼)

De la forma: (x - h)² = 4p(y - k)Vértice: (h, k)- h = 3 ⇒ h = - 3- k = - ¼ ⇒ k = ¼ V(-3, ¼ )

Foco: F(h, k + p) 

4p = - 4 p = - 4/4 p = -1

F[-3, ¼ + (-1)]F(-3, ¼ - 1)F(-3, - ¾)

Directriz: 

L: y = k - p ⇒ y = ¼ - (-1) ⇒ y = ¼ + 1 ⇒ y = 5/4