trabajo colaborativo 2 grupo 109

7/24/2019 Trabajo Colaborativo 2 Grupo 109

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SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES, RECTAS, PLANOS Y ESPACIOS

VECTORIALES

EDISON ALBERTO BETANCUR GALVIS1017174279

JOHNATAN MAZO RAMIREZ1036657121

WILFREDO RIOS1116156558

GRUPO 109

TUTORA

GLORIA AL EJANDRA RUBIO

ALGEBRA LINEAL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES

MEDELLÍN, OCTUBRE 20 DE 2015



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INTRODUCCIÓN

En el desarrollo del trabajo podemos comprender un mundo abstracto de espacios vectorialesarbitrarios lo cual es importante si establecemos una cierta propiedad sobre espacios vectoriales engeneral, podemos aplicar dicha propiedad a todo espacio vectorial.

En el presente trabajo podemos comprender el conjunto de conocimientos relacionados con losfundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los sistemas lineales deecuaciones, rectas, planos y espacios vectoriales a través del estudio y análisis de fuentesdocumentales y situaciones particulares en diferentes campos del saber.



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DESARROLLO DEL TRABAJO

Punto 1.

Utilice el método de eliminación de Gauss Jordan para encontrar todas las soluciones, si existen,

para los sistemas dados.a. – x-4y-7z = -4

7x-7y-3z = -7-9x+5y+6z = 5

Solución:Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el métodode eliminación de Gauss-Jordan

-1 -4 -7 -4

7 -7 -3 -7-9 5 6 5

Dividamos 1-ésimo por -1 1 4 7 47 -7 -3 -7-9 5 6 5

de 2; 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 7; -9 1 4 7 4

0 -35 -52 -350 41 69 41

Dividamos 2-ésimo por -35 1 4 7 40 1 52/35 10 41 69 41

de 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 4; 41 1 0 37/35 0

0 1 52/35 10 0 283/35 0

Dividamos 3-ésimo por 283/35 1 0 37/35 00 1 52/35 10 0 1 0



4

de 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por 37/35; 52/35 1 0 0 00 1 0 10 0 1 0

Resultado: x1 = 0

x2 = 1

x3 = 0

http://matrix.reshish.com/gaussSolution.php






5

b. 3x-7y-z+ 4w = 15x-y-8z-2w = -1

Solución:

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el métodode eliminación de Gauss-Jordan

3 -7 -1 4 15 -1 -8 -2 -10 0 0 0 00 0 0 0 0

Dividamos 1-ésimo por 3 1 -7/3 -1/3 4/3 1/3

5 -1 -8 -2 -10 0 0 0 00 0 0 0 0

de 2 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 5 1 -7/3 -1/3 4/3 1/30 32/3 -19/3 -26/3 -8/30 0 0 0 00 0 0 0 0

Dividamos 2-ésimo por 32/3 1 -7/3 -1/3 4/3 1/30 1 -0.59375 -0.8125 -0.250 0 0 0 00 0 0 0 0

de 1 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por -7/3 1 0 -1.71875 -0.5625 -0.250 1 -0.59375 -0.8125 -0.250 0 0 0 0

0 0 0 0 0Resultado:

x1 + (-1.71875)x3 + (-0.5625)x4 = -0.25

x2 + (-0.59375)x3 + (-0.8125)x4 = -0.25



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7

c. 2x-y-7z = 23x-y-2z = 3-7x+2y +z= -7

Solución:

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el métodode eliminación de Gauss-Jordan

2 -1 -7 23 -1 -2 3-7 2 1 -7

Dividamos 1-ésimo por 2 1 -0.5 -3.5 13 -1 -2 3

-7 2 1 -7

de 2; 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 3; -7 1 -0.5 -3.5 10 0.5 8.5 00 -1.5 -23.5 0

Dividamos 2-ésimo por 0.5 1 -0.5 -3.5 10 1 17 0

0 -1.5 -23.5 0

de 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por -0.5; -1.5 1 0 5 10 1 17 00 0 2 0

Dividamos 3-ésimo por 2 1 0 5 10 1 17 00 0 1 0

de 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por 5; 17 1 0 0 10 1 0 00 0 1 0

Resultado: x1 = 1x2 = 0



8

x3 = 0







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Punto 2.

Encuentre las soluciones (si las hay) de los sistemas dados:

A. 2x - 3y = 4-3x + 7y = -6

Utilizare el método de Cramer para la solución de este sistema de ecuaciones dos por dos.Para esto se deben encontrar los determinantes del sistema, de “x”, y de “y “. ∆ = 5

∆ = 1 0

∆ = 0

∆ =

2 −3−3 7

= (2).(7) - (-3)(-3)

= 14 - 9

= 5

∆ =

4 −3−6 7

= (4) . (7) - (-3) . (-6)

= 28 - 18

= 10

∆ = 2 4−3 −6



10

= (2) . (-6) - (4) . (-3)

= -12 + 12

= 0

Después de encontrar los tres determinantes, nos queda faltando encontrar los valores de lasincógnitas X y Y mediante la siguiente fórmula:

= ∆∆ = 105 = 2

= ∆∆ = 05 = 0

= (2, 0)

R/. Este sistema de ecuaciones tiene solución única, puesto que ambas rectas se interceptan en unúnico punto, la cual se representa mediante la pareja (2, 0)

Se verifica el resultado y se grafica mediante WolframAlpha:



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b. 3x + y = 5

x + 3y = 5

∆ = 8∆ = 1 0∆ = 1 0

∆ = 3 11 3

= (3) . (3) – (1) (1)

= 9 – 1

= 8

∆= 5 15 3

= (5) . (3) - (1) . (5)

= 15 – 5

= 10

∆= 3 5 1 5

= (3) . (5) – (5) . (1)

= 15 – 5

= 10

Después de encontrar los tres determinantes, nos queda faltando encontrar los valores de lasincógnitas X y Y mediante la siguiente fórmula:



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= ∆∆ = 108 =1.25

= ∆∆ = 108 =1.25

= (1.25,1.25)

R/. Este sistema de ecuaciones tiene solución única, puesto que ambas rectas se interceptan en unúnico punto, la cual se representa mediante la pareja (1.25, 1.25)




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Punto 3.

3. Encuentra las ecuaciones paramétricas y las simétricas de la recta indicada:

a. Contiene a (5,-7,9) y (-1,5,-3)

b. Contiene a (6,3,-7) y es paralela a la recta (−9) /7 = (−10) / −8 = (−8)/ 3

Solucion:

a. Contiene a (5,-7,9) y (-1,5,-3)

Solución

Ecuaciones paramétricas:

X=X1+at

Y=Y1+bt

Z=Z1+ct

Ecuaciones simétricas:

(X-X1) /a = (Y-Y1)/b = (Z-Z1)/c

Buscamos el vector:

= PQ= (-1-5)i + (5-(-7))j + (-3-9)k

=PQ= -6i + 12j – 12k

a= -6 b=12 c=-12

ECUACIONES PARAMETRICAS

X=5-6t

Y= 12t-7

Z= 9-12t

ECUACIONES SIMETRICAS

(X-5) /-6 = (Y+7) /12 = (Z-9) /-12



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http://www.wolframalpha.com/

b. Contiene a (6,3,-7) y es paralela a la recta (−9) /7 = (−10) / −8 = (−8)/ 3

(X, Y, Z) = (6,3,-7) + t (7,-8,3)

ECUACIONES PARAMETRICAS

X=6-7tY= 3t-8

Z= 3t-7

Despejamos y nos quedan

ECUACIONES SIMETRICAS

t=(X-6) / 7

t= (Y-3) /8t = (Z+7) /3

t=(X-6) / 7 = (Y-3) /8 = (Z+7) /3



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Punto 4.

Encuentre la ecuación del plano que:

a. P= (-1,3,3); n = 2i + 3j + k

Reemplazamos en la ecuación para hallar d y obtener la ecuación del plano:

+ + + = 0

2 + 3 + + = 0

2(−1) + 3(3) + 1(3) + = 0

− 2 + 9 + 3 + = 0

= 2 − 9 − 3

= − 1 0

R/= 2 + 3 + − 1 0 = 0

b. Contiene a los puntos P = (-4, -5,9), Q= (5, -1,-3) y R= (-3,1,5)

Hallamos vector:

= (9,4,6) = (1,6,−4)

| 9 4 61 6 − 4|= (−16−36) − (− 3 6 + 6) + (5 4 − 4)

Entonces tenemos = (−52,30,50) y = (−4,−5,9), solo nos queda reemplazar en laecuación para hallar d y obtener la ecuación del plano:

+ + + = 0

−52(−4) + 30(−5) + 50(9) + = 0

2 0 8 − 1 5 + 4 5 0 + = 0

5 0 8 + = 0

= − 5 0 8

R/= − 5 2 + 3 0 + 5 0 − 5 0 8 = 0



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Punto 5.

Hallar todos los puntos de intercepción de los planos:

1 = 7 − 9 − = 1 0 ( 1 )2 = −2 − 5 − 7 = 9 (2)

Para solucionar los puntos de intercepción se debe encontrar la ecuación simétrica de la recta:

− 1 = − 2 = − 3

Debemos encontrar a la x en función de “y” y encontrarla en función de “z” e igualar.

Empezamos por eliminar la “y” para dejar “x” en función de “z”

(1) × −5 + (2) × 9

−35+ (−18) = −53(45) + (−45) = 0

(5) + (−63) = 58

(−50) + 81 = 31−53+58=31

Ahora despejamos la x en función de z:

= 31−58−53

Ahora eliminamos las z para que nos quede la x en función de y:

(1) × −7 + (2) × 1

(−49) + (−2) = −5163+ (−5) =587 + (−7) = 0

−70 + 9 = −61

Multiplicamos la primera ecuación por -5, más la

ecuación 2 por 9



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−51 58 = −61 = −61−58−51

Ya tenemos la x, tanto en función de z como de y, ahora escribimos la ecuación cinética de larecta intercepción de estos dos planos:

= −61−58−51 = 31−58−53

Esta es la ecuación de la recta que representa todos los puntos de intercepción entre estos dos planos utilizando el método por reducción.



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CONCLUSIONES

1. En la solución a un sistema de ecuaciones dos por dos, se pueden aplicar varios métodos para susolución, como lo es por igualación, método gráfico, por reducción o método de cramer o

determinantes, en este caso fue utilizado este último puesto que es mucho más práctico, no obstante,hay que tener mucha precaución al multiplicar y restar las operaciones de cada uno de losdeterminantes.

2. Para hallar los planos de intersección de dos planos se utilizó la ecuación simétrica de la recta locual consiste en encontrar a la x en función de y, luego en función de z e igualar mediante dichaecuación.



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BIBLIOGRAFIA

1. Zúñiga Guerrero, Camilo Arturo. (2008). Protocolo del Curso Académico Álgebra Lineal.Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD.

2. Ríos Gallego, Julio. (2010). Julioprofe. Sistema de ecuaciones lineales dos por dos por métodode Cramer. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=yVRpljpObDU

3. Cuartas Roberto. (2011). Tareas plus, Ecuación de una recta que es intersección de dos planos,recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=KV_lpowVN08

4. Cuartas Roberto. (2011). Tareas plus, ejemplo ecuación plano dados tres puntos, recuperadode: https://www.youtube.com/watch?v=TZCILa1WHfo

https://www.youtube.com/watch?v=yVRpljpObDU



https://www.youtube.com/watch?v=KV_lpowVN08


https://www.youtube.com/watch?v=TZCILa1WHfo






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