I N T R O D U C C I O N

EL DIBUJO Y LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA REQUIEREN PARA LA SOLUCIÓN DE MUCHOS PROBLEMAS, DE QUE AL LECTOR SE HALLE FAMILIARIZADO CON LOS DIFERENTES MÉTODOS DE EJECUCIÓN DE LAS CONSTRUCCIONES

GEOMÉTRICAS.

LA TECNOLOGÍA A USARSE REQUERIRÁ DEL LECTOR EL DOMINIO DE INSTRUMENTOS SIMPLES (ESCUADRAS, COMPAS, REGLA, TRANSPORTADOR Y LÁPIZ), POR

CUANTO NO SIEMPRE CONTARA CON LAS VENTAJAS QUE PROPORCIONA UNA MÁQUINA DE DIBUJAR, ESCUADRAS

GRADUABLES O CIERTOS INSTRUMENTOS SOFISTICADOS.

ESTE PEQUEÑO TRABAJO CONTIENE UNA SELECCIÓN ADECUADA Y ORGANIZADA DE TODO LO REFERENTE A

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS.

LAS CONSTRUCCIONES QUE SE DISPONEN SON

SUMAMENTE SENCILLAS Y DETALLADAS, LAS QUE SE EFECTÚAN A PARTIR DE CIERTOS DATOS DISPUESTOS PARA SU EJECUCIÓN.

ESTAS CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS TIENEN APLICACIONES IMPORTANTES TANTO EN LA

ELABORACIÓN DE DIBUJOS COMO EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEOMETRÍA DESCRIPTIVA, TODO LO QUE POR SER DE SUMA IMPORTANCIA DEBE EL LECTOR

DOMINARLO CONVENIENTEMENTE

O B J E T I V O S

EL TRABAJO ESTA DIRIGIDO A REALIZAR METODOS EFICACES, VARIADOS PARA LA CORRECTO TRAZO DE LAS CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS.

COMO SEGUNDO OBJETIVO PLANTEADO ES LA RAPIDEZ DEL TRAZO POR EL MOTIVO DE HABER UNA VARIEDAD DE

METODOS QUEDANDO A ELECCION DEL LECTOR EL METODO A USAR.

COMO TERCER OBJETIVO PROPONEMOS UNA SUCESIÓN CLARA DE LOS PASOS A REALIZAR PARA LA

CONSTRUCCION DESEADA.

J U S T I F I C A C I Ó N

EL TRABAJO SE BASA SIMPLEMENTE EN QUE UN PLANO SIEMPRE VA DISPONER DE DISTINTAS CONSTRUCCIONES GEOTRICAS. NO NECESARIAMENTE LAS MAS

COMPLICADAS PERO, SI ALGUNAS CON CIERTO GRADO DE DIFICULTAD

POR TAL MOTIVO DEBEMOS TENER EN CLARO LOS PASOS A EMPLEAR PARA EL CORRECTO TRAZO DE LA CONSTRUCCION DESEADA Y ADECUADA PARA

CONTRIBUIR A LA BELLEZA DEL PLANO

C O N S T U C C I O N E S G E O M E T R I C A S

DADO UN SEGMENTO DE RECTA TRAZAR UNA PERPENDICULAR A ELLA

Que pase por punto medio.

Método 1: De la mediatriz

- Con centro en uno de los extremos del segmento dado y radio arbitrario "r", trazamos un arco de circunferencia.

-Con centro en el otro extremo y radio "r”, trazamos un segundo arco de circunferencia que cortara al primero en dos puntos X e Y

-La recta buscada (Mediatriz), será la que pase por los puntos X e Y; o simplemente, perpendicular bajada desde X

Que pase por los extremos del segmento

Método 1: De los arcos arbitrarios

-Con centro en el extremo elegido, tal como B se traza un arco de circunferencia de radio arbitrario “r” que corta al segmento dado en el punto 1

-Con centro en 1 y radio "r", ubicamos el punto 2 Igualmente, con centro en 2, hallamos el punto 3.-Haciendo centro en 2 y luego en 3, trazamos dos arcos de igual radio, que se cortaran en el punto X-La recta perpendicular buscada pasara por los puntos B y X

Método 2: Del arco y la prolongación

-Con centro en uno de los extremos(B), trazamos un arco de radio arbitrario “r”, que corta al segmento dado en el punto 1 -Con el mismo radio r y centro 1, hallamos el punto 2.

-Prolongamos el segmento 12, y con centro en 2 y radio r, hallamos el punto X

-La recta que pase por X y B será la solución

Que pase por un punto exterior al segmento.

Método 1: Del radio arbitrario y los arcos.

-Con centro en el punto dado (P) y radio arbitrario r, trazamos un arco que cortara al segmento AB o su prolongación en los puntos 1 y 2 -Con centro en 1, y luego en 2, trazamos dos arcos de igual radio que se cortaran en el punto X -La recta buscada pasara por P y X

Método 2: Del arco capaz

-A partir del punto P, trazamos un segmento cualquiera PQ, tal que Q pertenezca al segmento AB

-Con centro en el punto medio(O) del segmento PQ, trazamos una semicircunferencia, que cortara al segmento AB, en el punto R.

Método 3: De las escuadras

-Se realiza con ayuda de las escuadras, por tanto se usa instrumento que en consecuencia ahorra tiempo y hace a un lado los métodos anteriores.

TRAZAR UNA PARALELA A UNA RECTA DADA POR UN PUNTO EXTERIOR DADO

Método 1. De los radios y arcos

-Con centro en un punto cualquiera de la recta dado y con radio 1P, trazamos un arco que cortara a la recta en el punto 2

-Con centro en 2 y luego en P, y con el mismo radio, trazamos arcos que se cortan en X

-La recta que pase por estos puntos P y X será la recta paralela buscada

Método 2: De las escuadras

-Como el anterior, este método implica utilización de instrumento por tanto es mas rápido que el anterior.

EMPLEO DE LAS ESCUADRAS DE 30º, 45º Y 60º EN LA OBTENCION DE ANGULOS DIVERSOS.

Disponiendo de escuadras de 45º y de 30º-60º se podrá obtener en los múltiples posiciones (como se muestra en el siguiente gráfico) ángulos diversos, que nos posibilitara usarlos en el diseño y el trazado geométrico

BISECCION DE UN ANGULO

Consiste en dividir mediante una bisectriz un ángulo dado

Caso 1: Cuando se conoce el vértice del ángulo

-Dado el ángulo AVB, con centro en V y radio arbitrarior, tramos un arco que cortara a los lados VA y BV según los puntos 1 y 2 respectivamente.

-Con centro en 1 y luego en 2 respectivamente.

-Con centro 1 y luego en 2 trazamos dos arcos estos cortaran en un punto X

-La recta que pase por X y por V será la bisectriz

Caso 2: Cuando no se conoce el vértice del ángulo

-Dados las rectas m y n, a igual distancia de ambas rectas, tramos otras dos, paralelas a las dadas. Dichas rectas se cortaran en el punto I

-La bisectriz del ángulo que forman estas rectas, será también la bisectriz del ángulo formado por las rectas dadas. Luego del ángulo formado por las rectas dadas. Luego, la recta que pasa por el punto X e I en la solución

POR UN PUNTO SITUADO ENTRE DOS RECTAS, TRAZAR UNA RECTA TAL QUE CONCURRA EN EL MISMO PUNTO DE LAS OTRAS DOS

Método: De la reducción homotética

(Se utiliza para los casos donde el punto de concurrencia de las rectas se halle fuera de los límites del papel)

-Sean L y M rectas, y P el punto entre ellas. -Unimos P con un punto cualquiera de cada recta, formándose de este modo un triángulo, tal como PAB.

-Trazamos CD paralela a AB -Desde los puntos C y D trazamos paralelas a AP y BP respectivamente, obteniendo de este modo el punto Q.

-La recta que pase por los puntos P y Q será la solución

DESDE UN INACCESIBLE, DONDE CONVERGEN DOS RECTAS DADAS, TRAZAR UNA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA DE CENTRO “O”

Método:

-Siendo PQ y MN las rectas que convergen en un punto X fuera del papel y O el centro de la circunferencia dada:

-Trazamos 12 que pasa por O, y R en cualquier punto de la circunferencia formándose el triángulo 12R

-Luego, trazamos 1’2’, 1’R’ y 2’R’ paralelos a 12, 1R y 2R respectivamente y finalmente O’R’ paralelo OR.

-La recta tangente a las circunferencias, es aquella que trazando desde el punto inaccesible X, es tangente a la circunferencia de centro O.

RECTIFICADO DE UNA CIRCUNFERENCIA.(Verdadera magnitud de una circunferencia distendida)

Método 1: Procedemos como se indica en el grafo, con lo que obtendremos la longitud distendida π rde la circunferencia de radio “r”, con un error porcentual de 2 x10−5

NOTA:Longitud de lacircunferencia=πr

PROCESO DE TRANSFERIR UN TRIANGULO

-Dado un triánguloABC (fig... A), llevamos la longitud de uno de los dos lados a una posición deseada (fig.b).

-Luego, llevamos la longitud de las aristas como radios dispuestos desde su punto correspondiente AB Y CB (fig.b), trazando arcos que se intersectan en punto común B

-En la fig.c, el triángulo transferido A’B’C’ conserva sus dimensiones originales tomadas del triángulo ABC.

REPRODUCIR UN ANGULO SEMEJANTE A UNO DADO.

Método:

Tomamos de radio P que corta a OS y OR según M y N respectivamente, lo que llevamos a O’S’ encontrando M’ y trazando un arco. Luego tomamos una distancia q de M a N con lo que trazamos un arco desde M’ hallando N’.

El ángulo θº es igual al ángulo βº

EMPALME

EMPALME DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA MEDIANTE UN TERCERO:

Paso1: Trazar arcos de circunferencia con centros en O1 y O2, con radios R1 y R2.

Paso2: nuevamente Trazar arcos de circunferencia concéntricas en O1 y O2 y aumentándoles un radio Re en ambos arcos.Paso3: finalmente, trazamos un arco de circunferencia (curva de empalme) con centro en Oe y radio Re que une I con E.

10.2 EMPALME DE DOS RECTAS MEDIANTE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA:

Paso1: Graficamos dos rectas cualesquiera en diferente dirección, cada una de ellas con su respectiva recta paralela.Paso2: a las rectas paralelas se les ha asignado una distancia Re con respecto a las otras dos rectas.Paso3: en los puntos I; Oe; F, se denota un arco de circunferencia de radio Re, la misma que se le ha asignado como distancia entre las rectas paralelas.Paso4: trazamos un arco de circunferencia (curva de empalme) de radio Re y con centro en Oe, desde I hasta F.

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CONSTRUCCIONES DE POLIGONOS REGULARES

PENTÁGONOMétodo 1: inscrito en una circunferencia -Trazamos una circunferencia y dos cualesquiera diámetros perpendiculares -Desde el punto medio (M) de un radio, trazamos un arco de radio MA que corte al diámetro (al que pertenece M), en un punto tal como P. -El segmento formado AP, será la longitud buscada del lado del pentágono, con lo que construimos el pentágono.

HEXÁGONOa) Inscrito en una circunferenciaMétodo 1: -Con radio igual al de la circunferencia y con centro en los extremos de un diámetro, trazamos dos arcos de circunferencia que cortaran cada uno a la circunferencia primitiva en dos puntos.Uniendo adecuadamente dichos puntos con los extremos del diámetro y entre sí, obtendremos el hexágono buscado.

Método 2: De las escuadras y los extremos de un diámetro -A partir de los extremos de un diámetro y con ayuda de la escuadra de 60° tal como se muestra en el grafico

b) Circunscrito a una circunferenciaMétodo 3:Con ayuda de las escuadras y del ángulo 30° trazamos tangentes a la circunferencia por los puntos de tangencia hallados previamente con ayuda del ángulo de 60°, tal como se muestra en el grafico.

HEPTÁGONOMétodo 1: Inscrito en una circunferencia -Trazamos una circunferencia y un diámetro cualesquiera. -Por uno de los extremos de este diámetro, tal como M, trazamos un arco de circunferencia de radio igual a la circunferencia primitiva, que cortara a esta ultima en dos puntos: P y Q.

CONSTRUCCION DE UN POLIGONO DADA LA LONGITUD DE UNO DE SUS LADOS

Método: De la reducción homotética -Con centro en O, trazamos una circunferencia que de radio arbitrario. -Con los métodos descritos anteriormente, construimos un polígono regular inscrito con igual número de lados que el polígono que se requiere, tal como el hexágono 123456 o el triangulo 123.

- Unimos el centro O de la circunferencia con cada vértice del polígono - En uno cualquiera de los lados del polígono, determinaremos la longitud L dada, y mediante el trazo de rectas paralelas hallamos los lados del polígono pedido; tal como el hexágono ABCDEF, y el triángulo ABC

CONSTRUCCIONES DE CURVAS CONICASCONSTRUCCION DE ELIPSESMétodo 1: De las circunferencias -Trazamos, 2 circunferencias concéntricas con diámetros igual a los ejes principales de la elipse, respectivamente. -Luego; trazamos un numero conveniente de líneas radiales, cada una de las cuales cortara a ambas circunferencias en dos puntos. Desde cada par de puntos, trazamos paralelas a los ejes de la elipse; la intersección de dichas paralelas nos determinaran puntos de la elipse.

Método 2: Del Paralelogramo -Construimos un rectángulo de lados iguales a los ejes de la elipse, y lo dividimos en cuatro partes iguales. -Dividir el semieje menor y la paralela al semieje mayor en igual número de partes iguales.( En el grafico hemos dividido el semieje menor y la paralela al semieje mayor en tres partes iguales ). -Unimos los puntos extremos del eje mayor según la numeración establecida. -La intersección de estas rectas nos dan los puntos de la elipse.

Construccion de un ovoide conociendo el eje no simétrico:

Método:- Dado el eje no simetrico PQ, tomamos este eje como diametro de una

circunferencia de centro O.- De O trazamos una perpendicular que corta a la circunferenica en C; tocando este

punto trazamos dos rectas PB y QA.- Los puntos P, C, Q seran los centros de los arcos QB, BA y PA de radios PQ, CB y PA

respectivamente.- Con lo que cooncluis¿mos la construccion del ovoide deseado.

CONSTRUCCION DE PARABOLAS:CASO 1: Dados el foco y la directriz de la parabolaMetodo 1: Trazando segmentos del foco a la directriz- Desde el punto F (foco de la parabola), trazamos un numero conveniente de

segmentos hacia la directriz tales como: FA, FB, FC y FD- Intersectando las rectas perperndiculares a la directriz por los puntos A, B, C y D,

con las mediatrices de los segmentos trazados, determinamos los pntos de la parabola.

Metodo 2: Trazando paralelas a la directriz- Trazamos un numero adecuado de paralelas al la directriz, que cortan al eje de la

parabola según los puntos A, B y C.- Con centro en F y radio igual a la distancia entre la directriz y una de las paralelas,

trazamos un arco que corta a esta misma paralela en dos puntos, seran los puntos de la parabola buscada.

Caso 2: Dados las luz ( L ) y la sagita ( S )Metodo 1: Metodo del rectangulo - Construimos un rectangulo de lados iguales a las dimensiones dadas .- Por el centro de la luz trazamos una linea que dividira al rectangulo en dos partes

iguales y nos dara la ubicación del vertice V de la parabola sobre uno de sus lados.- Dividir dos lados adyacentes del rectangulo nuevo en igual numero de partes iguales

(4 para el ejemplo). - Las rectas paralelas trazadas por los puntos que dividen la luz, y los segmentos que

unen alon los puntos que dividen la sagita nos determinaran los puntos de la parabola.

XI Construcción de HIPÉRBOLAS, dados el eje transversal y los focosMETODO: Selección de puntos y trazado de arcos

Sean F1 y F2, los focos, y AB, el eje transversal. Seleccionamos, sobre el eje transversal un punto X cualquiera. Con centro en F1 y F2 y radio BX, trazamos dos arcos que se intersectarán con los

arcos de radio AX trazados desde los mismos centros, según los puntos 1, 2, 3 y 4; éstos serán los primeros puntos de la hipérbola buscada.

Para hallar otros puntos de la hipérbola, seleccionamos nuevos puntos sobre el eje transversal, tales como W, Y, Z y con igual procedimiento definimos la hipérbola.

CONSTRUCCIÓN DE ESPIRALES E INVOLUTAS

CASO 1: Construcción de ESPIRALES

METODO: De la circunferencia y el aumento de distancias contínuas

(Espiral de Arquímedes: Es la curva plana originada por el movimiento uniforme de un punto alrededor de otro fijo, y que aumenta en forma continua su distancia a él).

Dividir la circunferencia dada en un número adecuado de partes iguales. Dividir un radio en igual número de partes iguales a partir del centro O. Los puntos de intersección entre los arcos de las circunferencias concéntricas, con

las líneas divisorias, determinan la espiral de Arquímedes. Estos puntos se unen con la plantilla de curvas.

CASO 2: Construcción de INVOLUTAS

INVOLUTAS, son curvas a manera de espirales que se logran en base a segmentos de recta, polígonos regulares o una circunferencia.

A. INVOLUTA DE UN SEGMENTODado el segmento AB y con centro en B y radio BA, trazamos un arco AC.Con centro en A y radio AC, trazamos el arco CD.Con centro en C y radio CD, trazamos el arco DE.Y así sucesivamente.

B. INVOLUTA DE UN TRIÁNGULODado el triángulo ABC, prolongamos los lados del triángulo tal como se muestra

en la figura.Con centro en A y radio AC, trazamos el arco CD.Con centro en B y radio BD, trazamos el arco DE.Con centro en C y radio CE, trazamos el arco EF; y así sucesivamente.

C. INVOLUTA DE UN CUADRADODado el cuadrado ABCD, prolongamos sus lados tal como se muestra en la figura.Con centro en B y radio BA, trazamos el arco AE; siguiendo luego el mismo

proceso que para hallar la involuta del triángulo.

D. INVOLUTA DE UNA CIRCUNFERENCIADividimos la circunferencia dada en un número conveniente de partes iguales y

trazamos las tangentes de éstos puntos de división.Con centro en 2 y radio 2B, trazamos un arco hasta cortar la siguiente tangente

en C.Se sigue el mismo procedimiento hasta completar la involuta.

TRAZADO DE CURVAS CICLOIDALES

11.1 Construcción de un CICLOIDE

CICLOIDE: Es la curva descrita por un punto de la circunferencia que se desplaza rodando sobre una recta como base.

METODO:

Dividir la circunferencia en un número adecuado de partes iguales. Determinar posiciones sucesivas de la circunferencia y de un punto sobre ésta.

11.2 Construcción de un EPICICLOIDE y un HIPOCICLOIDE

EPICICLOIDE: Es la curva descrita por un punto de una circunferencia que se desplaza rodando sobre la convexidad de una línea circular.

METODO: (Se aplica el mismo criterio anterior).

HIPOCICLOIDE: Es la curva descrita por un punto de una circunferencia que rueda sobre la concavidad de una línea circular.

METODO: (Se aplica el mismo criterio anterior).

CONSTRUCCION DE LEMNISCATA DE GEROMO

Paso1: Dibujamos circunferencia de diámetro AB y rectas tangentes por dichos puntos.

Paso2: trazamos desde P rectas que cortan a “r” y “s”; la recta “m” corta a “s” en el punto M.

Paso3: desde m trazamos perpendicular a la recta “s” hasta cortar a la curva en el punto N.

Paso4: se traza desde N una paralela a “s” hasta cortar a la secante “m” en el punto E de la curva y se repite el proceso con el resto de los puntos.

CONSTRUCCION DE LEMNISCATA DE BERNOUILLI

Paso1: Se traza rectas dos perpendiculares “r” y “s”.

Paso2: dibujamos una circunferencia cualquiera tangente a las rectas.Paso3: trazamos rectas secantes a la circunferencia desde P. Paso4: en cada secante, desde P tomamos la distancia PA MN. Paso5: finalmente los puntos A; B; C; D; E;…… determinan la curva.

CONSTRUCCION DE LA ESPIRAL DE ARQUIMEDES

Sea OM el paso de la espiral:

Paso1: se dibuja la circunferencia con centro en el punto O y radio OM.

Paso2: se divide esta circunferencia en un número de partes iguales, por ejemplo en 16. Numerando cada uno de estos puntos 1i; 2i; 3i; 4i;…

Paso3: se divide e segmento OM en el mismo número de partes iguales en que se halla dividido al circunferencia, es decir 16, numerados a partir del centro todos los puntos 1; 2; 3;…..

Paso4: se trazan las circunferencias concéntricas con centros en el punto O y radios O1; O2; O3…

Paso5: los untos de intersección de estas circunferencias con los radios O1i; O2

i; O3i….nos

dan los puntos A; B; C;... que unidos a mano alzada o con plantilla definen la espiral.

CONSTRUCCION DE UNA VOLUTA DE VARIOS CENTROS

Sea “p” el paso de la voluta:

Paso1: el segmento AB = p se divide en tantas partes como centros tenga la voluta; en este caso lo dividimos en cuatro partes.

Paso2: se construye en polígono regular cuyo lado mida lo mismo que una de las divisiones anteriores; en este caso construiremos un cuadrado MNPQ de lado L = p/4. A continuación prolongamos los lados del polígono.

Paso3: con centro en un vértice cualquiera, por ejemplo en M, y radio MQ = p/4 se traza un arco hasta cortar a la prolongación de uno de los lados en R.

Paso4: con centro en el vértice N y extremo en punto R del arco anterior, se traza el arco RS hasta cortar a la prolongación del siguiente lado del cuadrado.Paso5: con centro en el siguiente vértice P y extremo en el punto S del arco anterior, se traza el arco Sr.

Paso6: con centro en siguiente vértice Q y extremo en el punto T del arco anterior, se traza el arco TU, completando así una vuelta. El proceso se sigue hasta completar el número de vueltas deseado.