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Tema 1. Introduccin

Curso 2015/16

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Qu es una serie temporal (ST)?

Es una secuencia de datos (valores, observaciones, etc) observados a lo largo deltiempo.

En general, los datos se obtienen a intervalos regulares de tiempo.

A diferencia de lo que ocurre con los datos de corte transversal, los datos vienendados en un determinado orden temporal. (Y

t: t T)

Dependencia temporal. La mayora de series temporales (y tambin la mayora delas series econmicas) estn relacionadas con su pasado, por lo que raramente sepodr suponer que las observaciones son temporalmente independientes.

2

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El estudio de una ST puede realizarse a travs de diferentes mtodos.

El anlisis de una ST pretende, entre otros objetivos,

Extraer informacin relevante sobre la dinmica de la misma.

Predecir su comportamiento.

Las ST exhiben una gran variedad de comportamientos diferentes.

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4

La naturaleza de los datos econmicos

Ejemplos de series temporales: el Producto Interior Bruto, el precio de lasacciones, la compra de viviendas, la oferta monetaria, el ndice de precios alconsumo, los ingresos por turismo, etc.

Frecuencia de los datos. En Economa las ms habituales son las frecuenciasdiarias, mensuales, trimestrales y anuales.

Las siguientes diapositivas muestran la evolucin temporal de diferentes seriestemporales de naturaleza econmica. En ellas podremos observar diferentesevoluciones a lo largo del tiempo.

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5

Algunas series temporales muestran una evolucin creciente en eltiempo (o viceversa).

100,000

125,000

150,000

175,000

200,000

225,000

250,000

275,000

300,000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

PIBPC

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6

Otras series temporales tienen una tendencia positiva interrumpida porcadas muy marcadas, seguidas de nuevo por una tendencia positiva. O

viceversa

4

6

8

10

12

14

16

90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

tipo interes preferencial aplicado por las entidades de credito

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7

Otras series tienen un comportamiento que se repite de maneraregular(peridica) y que puede ser observada cuando los datostienen una frecuencia inferior al ao.

0

1,000,000

2,000,000

3,000,000

4,000,000

5,000,000

6,000,000

96 98 00 02 04 06 08 10

TURISMOING

ingresos por turismo

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8

Algunas series temporales en economa tienden a deambulara lo largo deltiempo.

Grficos: unidades monetarias por Euro

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08

DOLAR

0.55

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08

LIBRA_ESTERLINA0

1.45

1.50

1.55

1.60

1.65

1.70

97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08

FRANCO_SUIZO01

80

100

120

140

160

180

97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08

YEN

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9

La volatilidad de determinadas series temporales no es constante a lo largodel tiempo: anlisis de formas dinmicas de heterocedasticidad

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

96 98 00 02 04 06 08 10 12

INDICE_IBEX_35_BASE_1989

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Existen algunas similitudes entre las series anteriores? Hay evidentes diferencias

entre ellas?

Cmo podemos describir adecuadamente cada una de estas series?

Muestran comportamientos sistemticos? Son, por el contrario, completamentealeatorias?

Cules son los mtodos o tcnicas ms habituales para analizar el comportamientode una ST?

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Prediccin estocstica y prediccin determinista

Uno de los principales objetivos en el contexto de las series temporales es laprediccin. Es decir, dados Y1,Y2,...,YT queremos estimar YT+h.

Dos tipos de modelos:

Modelos deterministas

Modelos estocsticos

Un modelo determinista es un modelo que no est basado en la teora de laprobabilidad. (ver anexo)

Modelo estocstico. Las series temporales econmicas satisfacen el requisito de ser elresultados de variables aleatorias. Desconocemos cuanto crecer el PIB en el aoprximo, o en que nivel cerrar el ndice de la Bolsa de Madrid maana. Puesto quedesconocemos su valor de antemano, deben ser consideradas como variables

aleatorias.

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Componentes de una Serie Temporal

Los componentes de una serie temporal Yt son:

Tendencia (T)

Ciclo (C)

Componente estacional (S)

Componente irregular (I)

Podemos escribir Yt como una funcin de esos componentes:

Yt = (Tt, Ct, St, It)

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Tendencia: movimiento creciente (o decreciente) a largo plazo de la serie. Estgeneralmente asociada a los determinantes del crecimiento econmico (progresotcnico, stock capital fsico, fuerza de trabajo)

Ciclo: oscilaciones repetidas perocon periodo y amplitud variables, en torno a latendencia. No siempre es fcil separarlo de la tendencia. Se entiende que el perodode cada ciclo es superior al ao (en general, al menos dos aos). Est vinculado alos cambios en la actividad econmica.

Estacionalidad: Proceso que se repite de manera regular (peridica), en series conperiodicidad inferior al ao. Se debe a factores tales como clima, sociales,institucionales (ej. Vacaciones, horarios comerciales).

Componente irregular: no sigue un patrn determinado, y si un comportamientoerrtico. Describe influencias aleatorias.

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Anlisis clsico de Series Temporales

Estos componentes pueden estar presente en una serie temporal siguiendo diversasestructuras. Las mas habituales son:

El modelo aditivo es mas apropiado si la magnitud de las fluctuaciones estacionaleso de las variaciones en torno al ciclo-tendencia no vara con el nivel (tendencia) de laserie.

Por el contrario, si la variacin en el componente estacional o en el ciclo-tendenciaes proporcional al nivel (tendencia) de la serie el modelo apropiado es el

multiplicativo. Es el modelo ms habitual en economa.

Una alternativa al modelo multiplicativo es

: aditivo

: multiplicativo

: mixto

t t t t t

t t t t t

t t t t t

Y T C S I

Y T C S I

Y T C S I

log(Yt) log(Tt) log(Ct) log(St) log(It)

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En una serie concreta no tienen por qu estar presentes los cuatro componentes

La idea es identificar cada uno de los componentes de una ST con el objeto deseparar el componente aleatorio del resto.

El modelo subyacente (aislado el componente irregular) puede ser, a su vez,descompuesto en cada uno de sus componentes.

En este tema I, se estudiar la descomposicin clsica de una serie temporal.

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Descomposicin de una Serie Temporal

La descomposicin de una ST es un mtodo para aislar los distintos componentesde la misma. En el enfoque clsico, el proceso de descomposicin de una serie serealiza mediante un proceso secuencial de identificacin y separacin decomponentes.

El orden habitual de identificacin de componentes depende del mtodo elegido ola estructura de los componentes. El ms habitual es el siguiente:

- Estacionalidad- Tendencia-ciclo- componente irregular

Antes de analizar cada uno de estos componentes, estudiaremos brevemente el mtodode las medias mviles, puesto que esta tcnica se puede utilizar tanto para aislar

el componente estacional como la tendencia

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MTODO DE LAS MEDIAS MVILES

El mtodo de las medias mviles es una tcnica para suavizar una serie temporal.Es decir, permite suavizar las irregularidades y fluctuaciones de una serie.

Idea general: Cada observacin es reemplazada por la media de esta observacin ylas de su entorno temporal.

La media mvil es una media aritmtica de un orden (longitud) determinado (p < nobservaciones). Es importante determinar el orden apropiado,

Cuanto mayor es la longitud, mejor se eliminarn las irregularidades de la serie.A mayor p ms suavizada estar la serie.

Si la longitud es pequea, la media mvil refleja con mayor rapidez los cambiosen la serie.

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Medias mviles simples y medias mviles centradas.

Las medias mviles simple corresponden a un pimpar. El valor de la media

mvil se asigna al punto central del intervalo.

Si pes par, el punto central no corresponde a ninguna observacin. Se calculauna nueva media mvil de orden 2. En notacin: 2*4 MA.

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mviles.mediaslasunequelnealaestendenciaLa:

as.consecutivmvilesmediasdoscadaentremvilesmediasnuevasobtienensedespusy

,y

,y

,y

ordendemvilesmediasdeseriesiguientelaformaseparesSi

,y

,y

,y

ordendemvilesmediasdeseriesiguientelaformaseimparesSi

2113221

2113221

Nota

p

yy

p

yy

p

yy

pp

p

yy

p

yy

p

yy

pp

ppp

ppp

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Ingresos por turismo (miles de Euros). Serie original, ajuste media mvil 5 y 12

Perodo: 1990.01-2008.04

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Ajuste estacional

Con frecuencia el componente estacional de una serie enmascara al resto de loscomponentes impidiendo captar el verdadero movimiento subyacente de laserie, as como otras caractersticas no estacionales de inters para el analista.

Si no estamos interesados en este componente, se suele desestacionalizar laST, que pasa a denominarse serie ajustada de estacionalidad o simplementeserie desestacionalizada.

Cuando hay estacionalidad en una ST no es correcto hacer comparacionesentre meses consecutivos.

Antes de desestacionalizar (ajuste estacional) la ST se debe analizar si hayefecto Pascua y/o nmero de das laborables cada mes diferentes. Sedenominan series corregidas de calendario.

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Supongamos que somos capaces de identificar de forma separada los componentesde una ST. En este caso, es posible eliminar el componente estacional de la ST.

22

Si la descomposicin es aditiva, la serie ajustada de estacionalidad, Z es

Si la descomposicin es multiplicativa, la se

t

t t t t t t Z Y S T C I

rie ajustada de estacionalidad, Z es

t

tt t t t

t

YZ T C I

S

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Por tanto, el Ajuste estacional ( y efecto calendario):

Aisla y elimina el componente estacional de una ST , lo que posibilitadetectar mejor las caractersticas no estacionales de la misma.

Permite la comparacin entre meses consecutivos.

Proporciona ndices estacionales.

Si una ST presenta un clara tendencia o un fuerte componente irregular es difcil

identificar y aislar la estacionalidad si esta es dbil. En estos casos puede resultarinapropiado el ajuste estacional que, adems puede introducir un elementoestacional artificial.

Hay diversas formas de eliminar el componente estacional. Los ms frecuentesson:

Diferencias sobre la media mvil (modelo aditivo). Ratios sobre la media mvil (modelo multiplicativo).

Mtodo X-11/X-12-ARIMA.

Mtodo de variables binarias.

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Diferencias sobre la media mvil (aditivo)

Sea Yt la serie a estudiar. Los pasos a seguir para obtener una nueva seriemensual (p=12) sin componente estacional son:

1. Se calcula la media mvil centrada de Yt, (2*12 MA)

2. Se calcula

3. Se obtienen los ndices estacionales (im). Para datos mensuales elndice para un mes concreto, m, es la media de los valores de la seriediferencia (dt) obtenida en el paso 2, usando nicamente lasobservaciones de ese mes.

12

5.0......5.0 655612 ttttttyyyyy

MMx

ttt xyd

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25

4. Se ajustan los ndices estacionales para que sumen cero:

5. La serie ajustada se obtiene restando el factor estacional Sm de la serie Yt

nota: este mtodo asume que los factores estacionales son constantes

: es la media de todos los ndices estacionales

factor de escala.

interpretacin:

la serie es mayor en el perodo en relacin

con la serie ajustada.

m m

m

m

s i i

donde i

s

y s m

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Ratio sobre la media mvil (multiplicativo)

Pasos.

1. idem paso 1 en diferencias sobre la media mvil

2. Se calcula el ratio

3. Se obtienen los ndices estacionales. Para datos mensuales elndice, im, para un mes concreto, m, es la media de los valores de la serie ratio,obtenida en el paso 2, usando nicamente las observaciones de ese mes.

t

tt

x

yr

12

5.0......5.0 655612 tttttt

yyyyyMMx

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4. Se ajustan estos ndices para que su producto sea la unidad.

5. La serie ajustada se obtiene dividiendo cada valor de la serie originalpor el correspondiente factor de escala.

121 2 12

: factor de escala.

interpretacin: la serie es por ciento ms alta en el perodo

en relacin con la serie ajustada

m

m

m

m

i

s i i i

s

y s m

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Mtodo X-11

Aplicacin iterativa de varios filtros a la serie original. En el primer paso se

obtiene una estimacin del componente tendencia-ciclo mediante la aplicacinde una media mvil a la serie original. Despus se obtiene una estimacin delcomponente estacional y del componente irregular. Se aplica un nuevo filtro demedia mvil para eliminar el componente irregular y se obtiene una estimacindel componente estacional y finalmente se obtiene la serie desestacionalizada.

Dos opciones: modelos aditivos y multiplicativos.

Los factores estacionales pueden cambiar de ao a ao.

Frecuencia mensual o trimestral.

Se requiere un mnimo de cuatro aos completos y un mximo de 20 aos paraseries mensuales y 30 aos para series trimestrales.

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29

0

000000

000000

000000

000000

000000

000000

90 92 94 96 98 00 02 04 06 08

mtodo multiplicativomtodo aditivox-11 multiplicativo

X-11 aditivoINGTURISMO

000000

000000

0

000000

000000

90 92 94 96 98 00 02 04 06 08

ESTAC ESTAC1

estac: m. multiplicativo. estac1: x-11 multiplicativo

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30

100,000

125,000

150,000

175,000

200,000

225,000

250,000

275,000

300,000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

PIB PIB_SA

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Mtodo variables binarias

Se construyen m variables (m es la frecuencia estacional) tal que

Se realiza una regresin incluyendo como variables explicativas

m-1 variables binarias y la constante, o

m variables binarias y se excluye la constante

Los residuos de la regresin sern los valores de la serie desestacionalizada.

1 en el mes j.0 en otro caso

jtS

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Tendencia

Existen diversos mtodos para extraer la tendencia de una serie temporal.

Ajustes de funciones de tiempo.

Son modelos deterministas, en el sentido que dados los parmetros ,,yun valor de t se obtiene un valor perfectamente determinado de yt, por lo quese aade un trmino aleatorio de error t y se estiman los parmetros

desconocidos (MCO, MCNL, MV). La serie ajustada nos da el componentetendencial, y los residuos del modelo la serie sin tendencia.

2

2 3

: modelo de nivel constante

: lineal. La serie aumenta (o disminuye) a un ritmo constante

: cuadrtica. Suele tener slo un mximo o un mnimo

: tendencia po

t

t

t

t

y

y t

y t t

y t t t

linmica.

exp : exponencial. La serie aumenta (o disminuye) a intervalos cada vez mayores

log : los datos aumentan (o disminuyen) rpidamente y despus la serie se estabiliza

t

t

y t

y t

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34

2 3

t 1 2 3 4Modelo de tendencia polinmica : y ...t t t

0

5

10

15

20

25

20 40 60 80 100 120 140

Y

y = 2.5 + 0.5*@trend - 0.003*(@trend)^2

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35

modelo de tendencia exponencial,bta

t ey

, btayt )log(

1.7

1.8

1.9

2.0

2.1

96 97 98 99 00 01 02 03

EXP(0.3+.002*t)

0

20

40

60

80

100

96 97 98 99 00 01 02 03

EXP(0.3+.02*t)

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36

0

1

2

3

4

5

20 40 60 80 100 120 140

W

w = log(2.5 + 0.5*t)

Modelo de tendencia logartmica

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37

500000

000000

500000

000000

500000

000000

500000

000000

90 92 94 96 98 00 02 04 06 08

x-11 multipl icativo INGTURISA3ADJ

ingresos por turismo

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Ciclo-tendencia

No siempre resulta sencillo separar la tendencia del ciclo, por lo que a veces seobtienen de forma conjunta, eliminando el componente irregular de una seriedesestacionalizada, y que se denomina serie ciclo-tendencia.

Para ello se obtiene una media mvil de orden bajo (2,3, ) a la serie sin componenteestacional.

Cuando ajustamos una funcin tomando el tiempo como variable explicativa,obtenemos una representacin explcita de la tendencia. Mediante medias mvilesobtenemos una funcin suavizada de una serie, ya que al promediar varios valores seelimina una parte de los movimientos irregulares.

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El componente irregular, It, se obtiene como sigue

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Si la descomposicin es aditiva,

Si la descomposicin es multiplicativa,

t t t t

tt

t t

I Y S TC

YIS TC

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Obtencin del ciclo-tendencia con datos estacionales. Descomposicinclsica.

Si la descomposicin es aditiva:

Se estima el componente ciclo-tendencia (TC) mediante una media mvil de ordenapropiado.

Tenemos por tanto una serie sin el componente ciclo-tendencia : Yt - TCt = St It

Se asume que la variacin estacional es constante de un ao a otro. Por tanto, se puedeestimar el componente estacional , calculando la media de la serie sin ciclo-tendencia paracada mes (o trimestre, o etc) . As se obtienen los ndices estacionales, que se ajustan paraque sumen cero. El componente estacional se obtiene enlazando todos los ndicesestacionales. Una vez obtenido St , se calcula el componente irregular: It = Yt - TCt - St .

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Si la descomposicin es multiplicativa

Se estima el componente ciclo-tendencia (TC) mediante una media mvil de ordenapropiado. Esto permite eliminar las fluctuaciones a corto plazo, de tal forma que seidentifica de forma ms clara el componentente ciclo-tendencia.

Tenemos por tanto una nueva serie: Yt / TCt = St * It

Se obtiene la serie desestacionalizada con una media mvil de orden apropiado.

Se asume que la variacin estacional es constante de un ao a otro. Por tanto, se puedeestimar el componente estacional , calculando la media de la serie sin ciclo-tendencia para

cada mes (o trimestre, o etc).

El clculo del componente estacional se obtiene dividiendo a la serie original entre la serieya sin CT ni componente estacional.

Los ndices estacionales se obtienen calculando la media de todos los componentesestacionales de los mismos periodos.

El ciclo se puede obtener tras regresar la serie media mvil sobre el tiempo, guardar losvalores estimados. Finalmente, el factor cclico se obtiene dividiendo la serie centrada entrelos valores estimados de la regresin anterior.

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Supongamos que disponemos de una serie estacional con frecuencia trimestral (s =

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Supongamos que disponemos de una serie estacional con frecuencia trimestral (s =4). Primero se obtiene una media mvil de orden 4 a la serie original y acontinuacin una media mvil de orden 2 a la serie transformada (2*4-MA), Tt.

La serie final obtenida tendr poca o ninguna variacin estacional.

La descomposicin clsica asume que el componente estacional se repite ao a ao.Este supuesto es muy restrictivo, y en general no es razonable en series largas. Losmtodos de descomposicin clsica no puede capturar los cambios estacionales.

El mtodo clsico es, adems, un mtodo poco robusto ante valores inusuales de laserie (ej: huelgas, etc)

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OTROS MTODOS PARA SUAVIZAR SERIES

1. Alisado exponencial

1.1 Alisado simple: Series sin tendencia ni componente estacional1.2 Alisado doble: series con tendencia y sin componente estacional

2. Mtodo Holt-Winters

2.1 Multiplicativo: series con tendencia (lineal) y estacionalidadmultiplicativa

2.2 Aditivo: series con tendencia (lineal) y estacionalidad aditiva.

3. Filtro de Hodrick-Prescott.

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Alisado exponencial

Tienen estructura recursiva las predicciones se revisan de formaautomtica a medida que se dispone de nueva informacin.

Fciles de aplicar

No tienen una base estadstica terica

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45

Alisado simple:

Para series que se mueven aleatoriamente en torno a una media constante. La

nueva serie se calcula de forma recursiva,

T.departiraconstantessonesprediccionlasdecir,Es0.kpara,paraorelegir val

deinicialesnesobservaciolasdemediala

opcionesdos:parainicialvalor

tiempo.elcondisminuyennesponderacioLaspasados.

valoreslosdeponderadamedialaesserienuevaladenesobservacioLa

)1(

como,anteriorexpresinlareescribirpodemosnte,repetidamedosustituyen

serie.ladeoalisamientmenos,espequeomsCuantoalisado.deecoeficient:

.10donde

)1(

11

1

0

1

TkT

t

st

t

s

s

t

ttt

yy

yy

y

y

yy

yyy

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4646

Alisado doble.Se aplica el alisado simple dos veces, usando el mismo parmetro. Es un mtodo

apropiado para series con tendencia.

recursivo.procesoel

iniciasedeydeobtienensequevaloreslosdepartirApendiente.

ladeyinterceptodelesestimacionobtienenseyMCOporestimaSe:nota

1:pendiente

2:intercepto

12

11

12

:Prediccin

10donde

alisadodoble:)1(

simplealisado:)1(

1

1

tt

tT

tt

tTttttkT

ttt

ttt

DS

DS

DS

kDSDSDk

Sk

y

DSD

SyS

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4747

Mtodo Holt-Winters

Multiplicativo. Es un mtodo apropiado para series con tendencia lineal y una

variacin estacional multiplicativa.

es.estacional

escoeficientlosdeinicialesvalorescomousarpuedensetivomultiplica

modelodelpartiraobtenidosestacionalvariacindendicesLos

nalizada.desestacioserielaarectaunaajustandoobtenerpuedensey

tivomultiplicaestacionalfactor:

rectaladependiente:

o)(interceptpermanentecomponente:

donde,

ba

c

b

a

cbkay ktkt

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4848

t1 1

t

1 1

t

recursivamente se obtienen (y por este orden):

y 1c

1

y1

0 , , 1

: frecuencia estacional

las predicciones se calculan como sigue

t t t

t s

t t t t

t tt t s

t

t k

a a b

b a a b

c ca

donde

s

y

T k sa T b T k c

Aditivo

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Aditivo.

Mtodo adecuado para series con tendencia lineal y variaciones estacionales aditivas

1 1

1 1

donde,

: componente permanente (intercepto)

: tendencia

: factor estacional aditivo

recursivamente se obtienen:

1

1

1

t k t k

t tt t s t t

t t t t

t tt t

y a bk c

a

b

c

a y c a b

b a a b

c y a

0 , , 1 y : frecuencia estacional

las predicciones se calculan como sigue

t t s

t k T k s

c

donde s

y a T b T k c

Filtro Hodrick-Prescott

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5050

Filtro Hodrick-Prescott

Es un mtodo muy utilizado en macroeconoma para obtener una estimacin suavizadadel componente tendencial a L.P de una serie.

Se basa en minimizar la varianza de y en torno a s, siendo s la serie suavizada. Estefiltro elige por tanto el st que minimiza,

mensualesdatospara14400

lestrimestradatospara1600

anualesdatospara100

.resultanteserielaser

suavizadamses,mayorCuantoserie.laden'suavizaci'lacontrolaparmetroel

1

2

2

11

1

2

T

t

tttt

T

t

tt sssssy

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Para obtener el componente cclico utilizando este mtodo se procede como sigue:

Sea Yt la ST original, y sea Tt la serie suavizada obtenida anteriormente.

Sea CIt = Yt Tt .

Como CIt contiene todava al componente irregular, para obtener el componentecclio hay que filtrar a la serie CIt

La nueva serie suavizada, Ct es el componente cclico.

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