Razonamiento Lógico

Profesor Numa Tortolero

Universidad Simón Bolívar

Notas sobre Lógica Simbólica

1. La formalización (uso de lenguajes arti�ciales o formales especiales) esuna técnica que agiliza el análisis de los argumentos al ofrecer en formaclara su estructura, poniendo en evidencia las relaciones existentes entrelas diversas proposiciones que conforman el argumento.

2. Componente y parte de un enunciado compuesto: un componentede un enunciado compuesto no es lo mismo que una parte de un enunci-ado que es un enunciado. Por ejemplo: �El hombre que disparó a Lincolnera un actor�. En este enunciado, la parte �Lincoln era un actor� podríaconsiderarse un enunciado, pero no es un componente. Para que una partede un enunciado se pueda considerar un componente, debe ser un enun-ciado y debe ser posible que al reemplazarla por otro enunciado todo elenunciado compuesto tenga sentido.

3. Enunciados veritativo-funcionales: de�nimos un componente de unenunciado compuesto como veritativo funcional si cuando todas las apari-ciones del componente se reemplazan en el enunciado por otro componentecon el mismo valor de verdad (sustituyendo uniformemente todas las apari-ciones iguales del componente) , el enunciado resultante tendrá el mismovalor de verdad que el enunciado original. De�nimos ahora un enunciadocompuesto como un enunciado compuesto veritativo funcional si todos suscomponentes son componentes veritativo funcionales.

4. Nota sobre la disyunción: el latín distingue dos sentidos de la disyun-ción �o�: débil o inclusiva en la palabra vel, y fuerte o exclusiva en la pal-abra aut. El silogismo disyuntivo es una regla de inferencia que permitededucir un enunciado a partir de una disyunción. Su forma se caracterizadiciendo que su primera premisa es una disyunción; su segunda premisaes la negación del primer disyunto de la primera premisa y su conclusiónes el segundo disyunto de la primera premisa. Es evidente que el silogis-mo disyuntivo así de�nido es válido bajo cualquier interpretación de lapalabra �o�, esto es, independientemente de si se trata de una disyuncióninclusiva o exclusiva. Puesto que el argumento típico válido que descansaen una premisa disyuntiva es, como el silogismo disyuntivo, válido bajo

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cualquier interpretación de la palabra �o�, se puede efectuar una simpli�-cación traduciendo la palabra �o� con el símbolo lógico �v� sin importarqué signi�cado en español tenga la �o�.

5. Nota sobre la implicación o condicional: "implicación" tiene más deun signi�cado:

A. Si todos los humanos son mortales y Sócrates es humano, entoncesSócrates es mortal.

B. Si Leslie es soltera, entonces Leslie no está casada.

C. Si se coloca una pieza de papel tornasol en ácido, entonces esa piezade papel se volverá roja.

D. Si el equipo estatal pierde el partido, entonces me comeré mi sombrero.

El consecuente de A se sigue lógicamente de su antecedente.

El consecuente de B se sigue de su antecedente por la de�nición mismadel término "soltero", que signi�ca no casado.

El consecuente de C no se sigue de su antecedente ni por lógica ni por lade�nición de los términos; su conexión se descubre empíricamente, porquela implicación que se presenta es causal.

Por último, el consecuente de D no se sigue de su antecedente ni porlógica ni por de�nición, ni es resultado de una ley causal, en el sentidousual del término. La mayoría de las leyes causales, por ejemplo aquellasdescubiertas por la física o por la química, describen lo que sucede en elmundo independientemente de las esperanzas o deseos de las personas.Por supuesto, tales leyes no están involucradas con el enunciado D. Eseenunciado reporta una decisión del hablante de hacer algo determinadobajo circunstancias especí�cas.

Los cuatro énunciados condicionales examinados en el párrafo anterior sondiferentes en el sentido de que cada uno a�rma un tipo diferente de impli-cación entre su antecedente y su consecuente, pero no son completamentediferentes, todos ellos a�rman tipos de implicación.

Cualquier enunciado condicional con la forma �si p entonces q� se con-sidera falso en el caso de que la conjunción p ∧ ¬q sea verdadera, estoes, en el caso en que su antecedente sea verdadero y su consecuente seafalso. Para que un condicional sea verdadero, entonces la conjunción indi-cada debe ser falsa, esto es, su negación ¬(p∧¬q) debe ser verdadera. Enotras palabras, para que cualquier condicional �si p entonces q� sea ver-dadero, ¬(p ∧ ¬q), la negación de la conjunción de su antecedente con lanegación del consecuente debe ser verdadera. Podemos, entonces, recono-cer a ¬(p ∧ ¬q) como una parte del signi�cado de �si p entonces q�. Cadaenunciado condicional signi�ca negar que su antecedente sea verdadero ysu consecuente sea falso, pero no necesariamente agota su signi�cado. Un

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condicional como a), (si todos los humanos...), también a�rma una conex-ión lógica entre su antecedente y su consecuente; uno como B a�rma unaconexión de�nicional; C una conexión causal; y D una conexión decisional.Pero no importa qué tipo de implicación a�rme un condicional, parte de

su signi�cado es la negación de la conjunción de su antecedente con la

negación de su consecuente.

6. Implicación material: �si p entonces q no se trata del mismo tipo deimplicación que cualquiera de los mencionados antes. Los lógicos le llamanimplicación material y al darle un nombre especial admiten que es unanoción especial, la cual no debe confundirse con los otros tipos más usualesde implicación. La implicación material es un quinto tipo que se puedea�rmar en el discurso ordinario.

La implicación material no sugiere ninguna "conexión real" entre el an-tecedente y el consecuente. Todo lo que a�rma es que es un hecho que noes el caso de que el antecedente sea verdadero cuando el consecuente es fal-so; debemos notar que el símbolo de implicación material es un conectivoveritativo funcional, como los símbolos para la conjunción y la disyunción.Como tal, se de�ne mediante la tabla de verdad.

Al traducir los enunciados condicionales en nuestros simbolismos, los trata-mos meramente como implicaciones materiales. Por supuesto, muchos delos enunciados condicionales, si no la mayoría de ellos, a�rman más queuna implicación material entre los antecedentes y los consecuentes. Así,nuestra propuesta equivale a sugerir que ignoramos la "forma abstracta"del signi�cado de un enunciado condicional cuando lo traducimos en ellenguaje simbólico.

7. Nota histórica sobre la implicación material Los �lósofos griegosde la escuela estoicista desarrollaron una polémica en el siglo XXXXXen torno a la distinción entre implicación material e implicación estric-ta. En oposición a la implicación material, que no supone vinculo algunoentre el contenido del antecedente y el consecuente, más allá del signi�ca-do atribuido al símbolo por las tablas de verdad, la implicación estrictasupone entre antecedente y consecuente de una implicación un lazo nece-sario, de manera tal que no es posible la verdad del consecuente si quetanbién sea verdad el antecedente.

La polémico se dio especí�camente entre XXX y YYY. XXX sostenía queWWW. YYY cuestionaba la tesis de XXX, y pensaba que ZZZ.

8. Proposiciones hipotéticas: Una proposición hipotética, la cual espresa unaimplicación estricta o lógica, es una proposición condicional, ya que elantecedente formula condiciones bajo las cuales se realiza el consecuente:para que sea plausible una proposición tal, suele ser necesario que podamosver la realización del antecedente como signi�cativa para la realización delconsecuente. Ejemplo: �Si llueve se suspenderá el partido�. Sin embargo,en esta expresión no hay implicación entre antecedente y consecuente, ya

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que es posible que el partido se suspenda auqnue no haya llovido. A pesarde la relación causal entre antecedente y consecuente, el esquema �si ...entonces ...� no expresa una implicación lógica.

Hay una disparidad importante entre una proposición con la forma �Si p,q� y la forma �p → q�. La proposición �Si llueve se suspenderá el partido�es incompatible con la proposición �Si llueve no se suspenderá el partido�,y en el lenguaje ordinario ambas son contrarias: Si una es verdadera, laotra es falsa. Sin embargo, en el cálculo lógico �p → q� no es incompatiblecon �p → ¬q�, ya que ambas pueden ser verdaderas, pues basta con que psea falsa.

Cuando decimos �Si p, q�, a�rmamos lo que ocurre en una condición p da-da. Esta a�rmación queda desmentida si, aunque se satisfaga la condición,no se satisface el consecuente. Esto di�ere de la forma �p → q�, donde lala expresión es verdadera si el antecedente p es falso. Pero en el caso de�si p, q� no dice nada acerca de lo que ocurrirá si p no es el caso, sólodice qué ocurrira en caso de que p (la condición) no se realice, como en elejemplo `Si llueve se suspenderá el partido'.

Como la forma �p → q� no recoge completamente el signi�cado de laproposiciones hipotéticas, las que tiene la forma �si p, q�, se de�ne laforma �p → q� como una abreviatura de �¬p ∨ q� o de �¬(p ∧ ¬q)�.

9. Condición necesaria - Condición su�ciente: Las nociones de condi-ciones necesarias y su�cientes proporcionan otra formulación para losenunciados condicionales. Para cualquier suceso especi�cado hay muchascircunstancias necesarias para establecerlo.

En general, �q es una condición necesaria para p� y �p sólo si q� se repre-sentan por la forma p → q. Por ejemplo: �Si Juan es soltero, entonces noestá casado�.

En general, �p es una condición su�ciente para q� se representa por laforma p → q.

Si p es una condición su�ciente para q, tenemos p → q y q debe ser unacondición necesaria para p. Si p es una condición necesaria para q, ten-emos p → q y q debe ser una condición su�ciente para p. Por tanto, si pes una condición necesaria y su�ciente para q, entonces q es una condi-ción necesaria y su�ciente para p (o podríamos decir que q es necesaria ysu�ciente para p, puesto que la conjunción es conmutativa).

10. Validez: para probar la invalidez de un argumento, basta con formularotro argumento que

a) tenga exactamente la misma forma y

b) tenga premisas verdaderas y conclusión falsa.

Este método se basa en el hecho de que la validez e invalidez son caracterís-ticas puramente formales de los argumentos, es decir, que cualesquiera dos

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argumentos que tienen exactamente la misma forma son o bien válidos oinválidos, independientemente de las diferencias en el tema de que traten.

11. Formas argumentales: Un argumento dado exhibe su forma muy clara-mente cuando los enunciados simples que aparecen en él se abrevian conletras mayúsculas. Si estamos interesados en discutir formas de argumen-tos más que argumentos particulares, necesitamos algún método para sim-bolizar las formas argumentales. Para tenerlo, introducimos la noción deuna variable. En las secciones anteriores, usamos letras mayúsculas parasimbolizar enunciados particulares simples. Para evitar confusiones, us-aremos letras minúsculas de la parte media del alfabeto, p, q, r, s... comovariables enunciativas. Una variable enunciativa es simplemente una letrapara la cual, o en lugar de la cual, se puede sustituir un enunciado. Losenunciados compuestos, lo mismo que los enunciados simples, se puedenponer en lugar de variables enunciativas.

De�nimos una "forma argumental" como cualquier arreglo de símbolosque contiene variables enunciativas pero no enunciados, de tal modo que,cuando los enunciados se sustituyen uniformemente a las variables enun-ciativas, el resultado es un argumento.

Cualquier argumento que resulta de la sustitución de variables enunciati-vas por enunciados en una forma argumental se llama instancia de susti-tución de esa forma argumental. Es claro que cualquier instancia de susti-tución de una forma argumental tiene la misma forma y que cualquierargumento que tiene cierta forma es una instancia de sustitución de esaforma.

12. Forma especí�ca: En caso de que un argumento se produzca sustituyen-do un enunciado diferente simple para cada variable enunciativa diferentede la forma argumental, la forma argumental es la forma especí�ca de eseargumento.

13. La técnica de refutación por analogía lógica: Si la forma especí�ca de unargumento dado tiene cualquier instancia de sustitución cuyas premisasson verdaderas y cuya conclusión es falsa, entonces el argumento dado esinválido. Podemos de�nir el término "inválido" como aplicable a formasargumentales como sigue: una forma argumental es inválida si y sólo sitiene por lo menos una instancia de sustitución con premisas verdaderas yconclusión falsa. La refutación por analogía lógica está basada en el hechode que cualquier argumento cuya forma especí�ca es inválida es tambiénun argumento inválido. Cualquier forma argumental que no sea inválidadebe ser válida.

Para probar una forma argumental, examinamos todas las posibles instan-cias de sustitución para ver si cualquiera de ellas tiene premisas verdaderasy conclusión falsa. Por supuesto, cualquier forma argumental tiene in�ni-tas instancias de sustitución, pero no debemos preocuparnos de tener queexaminar cada una de ellas. Porque estamos interesados solamente en los

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valores de verdad involucrados en ellas. Los argumentos que aquí nos in-teresan contienen solamente enunciados simples y enunciados compuestosconstruidos a partir de los enunciados simples por medio de las conectivasveritativo funcionales. Por ende, obtenemos todas las posibles instanciasde sustitución cuyas premisas y conclusiones tienen diferentes valores deverdad, examinando todos los arreglos diferentes posibles de los valores deverdad de los enunciados que se pueden sustituir en lugar de las diferentesvariables enunciativas que aparecen en la forma argumental.

Un argumento válido puede tener solamente instancias de sustitución queson argumentos válidos. Esto se prueba por medio de la tabla de verdadque prueba la validez de la forma argumental válida, que demuestra queno hay instancias de sustitución posibles que tengan premisas verdaderasy conclusión falsa. Se debe enfatizar que aunque una forma argumentalválida tiene solamente argumentos válidos como instancias de sustitución,una forma argumental inválida puede tener tanto argumentos válidos comoinváli- dos como formas de sustitución. Así, al probar que un determinadoargumento es inválido, debemos probar que la forma especí�ca de eseargumento es inválida.

14. Forma Enunciativa: "una forma enunciativa es cualquier secuencia desímbolos que contiene variables enunciativas pero no enunciados, tal quecuando las variables enunciativas se sustituyen por enunciados, la mismavariable por el mismo enunciado cada vez que aparezca, el resultado es unenunciado".

15. Distinguimos la forma especí�ca de un enunciado determinado como laforma enunciativa de la cual resulta ese enunciado al sustituir un enunciadosimple distinto por cada variable enunciativa diferente.

16. Tautología: Una forma enunciativa que tiene solamente instancias desustitución verdaderas se llama enunciado tautológico o tautología.

17. Contradicción: Una forma enunciativa que tiene solamente instancias desustitución falsa se dice que es contradictoria o que es una contradiccióny es lógicamente falsa.

18. Contingencia: Las formas enunciativas que tienen entre sus instanciastanto enunciados verdaderos como falsos se dice que son formas enuncia-tivas contingentes.

19. Equivalencia lógica y material: Se dice que dos enunciados son mate-

rialmente equivalentes en su valor de verdad cuando ambos son verdaderoso falsos a la vez.

Dos enunciados son lógicamente equivalentes cuando el enunciado de suequivalencia material es una tautología.

La diferencia entre la equivalencia lógica y la material es grande y muyimportante. Dos enunciados son lógicamente equivalentes sólo cuando es

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absolutamente imposible que tengan diferentes valores de verdad. Por lotanto, los enunciados lógicamente equivalentes tienen el mismo signi�cadoy se pueden sustituir uno por otro en cualquier contexto veritativo fun-cional sin que se modi�que el valor de verdad en ese contexto. Pero dosenunciados son materialmente equivalentes (aun si no tienen conexiones defacto entre sí) si meramente tienen el mismo valor de verdad. Por lo tanto,los enunciados que son simplemente equivalentes no pueden reemplazarseuno por el otro.

El contenido o signi�cado es totalmente irrelevante respecto a la impli-cación material, que es una función de verdad. Lo único que interesa aquíes la verdad y la falsedad. No tiene nada de paradójico a�rmar que to-da disyunción con al menos un disyunto verdadero es verdadera y estoes lo que a�rman los enunciados de la forma �p → (¬q ∨ p)� y la for-ma �¬p → (¬p ∨ q)� que son lógicamente equivalentes a los enunciados"paradójicos". Ya hemos dado una justi�cación para tratar la implicaciónmaterial como un sentido del "si-entonces" así como del recurso lógicoconsistente en traducir cualquier ocurrencia de "si-entonces" a la notación"→". La justi�cación residía en el hecho de que la traducción de "si-entonces" a "o" conserva la validez de todos los razonamientos del tipoque nos ocupa en esta etapa de nuestros estudios lógicos. Se han propuestootras formas de simbolización, adecuadas a otros tipos de implicación, peroque pertene- cen a partes más avanzadas de la lógica y que se hallan másallá de los alcances del presente libro.

En algunos sentidos de ella, es perfectamente cierto que ningún enunciadocontingente puede implicar otro enunciado contingente cuyo contenido esajeno al del primero. Es cierto en el caso de la implicación lógica, de lade�nicional y de la causal; posiblemente lo es también en el caso de laimplicación decisíonal, si bien en este caso la noción de atinencia o perti-nencia debe ser considerada en términos más amplios. Pero el contenidoo signi�cado es totalmente irrelevante respecto a la implicación material,que es una función de verdad. Lo único que interesa aquí es la verdad yla falsedad. No tiene nada de paradójico a�rmar que toda disyunción conal menos un disyunto verdadero es verdadera y esto es lo que a�rman losenunciados de la forma p → (¬q∨p) y los de la forma ¬p → (¬p∨q) que sonlógicamente equivalentes a los enunciados �paradójicos�. Ya hemos dadouna justi�cación para tratar la implicación material como un sentido del"si-entonces" así como del recurso lógico consistente en traducir cualquierocurrencia de "si-entonces" a la notación "→". La justi�cación residía enel hecho de que la traducción de "si-entonces" a "o" conserva la validez detodos los razonamientos del tipo que nos ocupa en esta etapa de nuestrosestudios lógicos.

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