topografia y sus aplicaciones

T op o graf ay sus ap l icacione s

PRIMERA EDICIN EBOOKMXICO, 2014

COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL

T OP OGRAFAY SUS APL ICACIONES

Dante A. Alcntara GarcaProfesor titular de tiempor completoUniversidad Autnoma Metropolitana

Unidad Azcapotzalco

Direccin editorial: Ing. Javier Enrique CallejasCoordinadora editorial: Ing. Estela Delfn RamrezRevisin tcnica: Ing. Ma. del Alba Camacho Reyes ESIA-Zacatenco Profesora de la Academia de Vas Terrestres

Diseo de interiores: Cesar Leyva AcostaDiseo de portada: Milton Comunicaciones

Topografa y sus aplicacionesDerechos reservados respecto a la primera edicin:@ 2014, Dante A. Alcntara Garca@ 2014, GRUPO PATRIA CULTURAL S.A. DE C.V.bajo el sello de Compaa Editorial ContinentalRenacimiento 180, Colonia San Juan TlihuacaDelegacin Azcapotzalco, Cdigo Postal 02400, Mxico, D.F.

Miembro de la Cmara Nacional de la Industria EditorialRegistro Nm. 43

ISBN: 978-607-438-943-2

Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrnicas o mecnicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en MxicoPrinted in Mexico

Primera edicin ebook: 2014

Reconocimientos ........................................................................................................................... ixPrlogo ................................................................................................................................... xi

Tema1.Introduccin .................................................................................................................. 1 1.1 Definicin y objeto de la topografa ..................................................................................... 2 1.2 Aspecto histrico ................................................................................................................. 2 1.3 Actividades y divisiones para su estudio .............................................................................. 4 1.4 Aplicaciones a diversas profesiones ...................................................................................... 5 1.5 Cadenas .............................................................................................................................. 5 1.6 Valores ................................................................................................................................. 7

Tema2.Planimetra .................................................................................................................... 9 2.1 Coordenadas de los puntos .................................................................................................. 9 2.2 Distancias entre dos puntos de poligonales .......................................................................... 9 2.3 Determinacin de ngulos .................................................................................................... 25 2.4 Levantamientos topogrficos que se pueden realizar con la brjula o con el teodolito ......... 56 2.5 Convenciones de representacin grfica ................................................................................ 60 2.6 Determinacin de reas por medida directa ......................................................................... 65 2.7 Determinacin de valores mediante el clculo ...................................................................... 68 2.8 Compensacin angular de una poligonal .............................................................................. 70 2.9 Clculo de los rumbos de los lados de una poligonal ........................................................... 71 2.10 Compensacin lineal de una poligonal ................................................................................. 71 2.11 Precisin .............................................................................................................................. 77 2.12 Coordenadas en funcin de ngulos y distancias ................................................................. 79 2.13 Distancias y ngulos ............................................................................................................ 80 2.14 Clculo de reas .................................................................................................................. 81 2.15 Ejemplo de aplicacin de un levantamiento realizado con trnsito y cinta mediante

una poligonal auxiliar .......................................................................................................... 84 2.16 rea bajo la curva ............................................................................................................... 87 Problemas ............................................................................................................................ 88

Tema3.Altimetra ....................................................................................................................... 99 3.1 Conceptos generales ............................................................................................................. 99 3.2 Tipos de nivelacin .............................................................................................................. 99 3.3 Comprobaciones de una nivelacin ....................................................................................... 111 3.4 Nivelacin trigonomtrica o indirecta ................................................................................... 113 3.5 Nivelacin baromtrica ........................................................................................................ 115 3.6 Determinacin de valores por clculo .................................................................................. 117 3.7 Errores y tolerancias ............................................................................................................ 119 3.8 Compensacin de una nivelacin .......................................................................................... 121

con T enido

i Topografa y sus aplicaciones

3.9 Volmenes por secciones transversales y por prismas .......................................................... 122 Problemas ............................................................................................................................ 125

Tema4.Planimetrayaltimetrasimultneas,determinacindevalores .................................. 191 4.1 Descripcin ......................................................................................................................... 131 4.2 Estada ................................................................................................................................ 131 4.3 Configuracin de un terreno ................................................................................................ 136 4.4 Determinacin de valores mediante el clculo ...................................................................... 140 4.5 Taqumetro autorreductor .................................................................................................... 143 4.6 Plancheta ............................................................................................................................. 146 Problemas ............................................................................................................................ 148

Tema5.Nocionessobreelproyectogeomtricodecaminos ....................................................... 151 5.1 Generalidades ...................................................................................................................... 151 5.2 Alineamiento horizontal ..................................................................................................... 157 5.3 Alineamiento vertical ........................................................................................................... 171 5.4 Replanteo del camino .......................................................................................................... 184 Problemas ............................................................................................................................ 187

Tema6.Agrodesia ....................................................................................................................... 191 6.1 Divisin de terrenos ............................................................................................................. 191 6.2 Fraccionamientos ................................................................................................................. 196

Tema7.Orientacinastronmica ................................................................................................ 209 7.1 Generalidades ...................................................................................................................... 209 7.2 Repaso de cosmografa ........................................................................................................ 212 7.3 Repaso de trigonometra esfrica y su relacin con el tringulo astronmico ....................... 219 7.4 Determinacin de la latitud (f) de un punto cualquiera de la superficie terrestre ................ 226 7.5 Determinacin del valor del acimut de una lnea por mtodos de la astronoma de posicin 236 7.6 Determinacin del acimut de una lnea utilizando un girscopo .......................................... 245

Tema8.Fundamentosdelatriangulacinytrilateracintopogrficas ...................................... 249 8.1 Triangulacin ....................................................................................................................... 249 8.2 Trilateracin ........................................................................................................................ 263

Tema9.Nocionesdetopografasubterrnea .............................................................................. 267 9.1 Generalidades ...................................................................................................................... 267 9.2 Formas de penetracin al terreno ....................................................................................... 269 9.3 Lumbreras y tneles ............................................................................................................ 271 9.4 Levantamientos subterrneos .............................................................................................. 275 9.5 Determinacin de volmenes ............................................................................................... 277

Tema10.Breveestudiodelafotografaarea ............................................................................ 281 10.1 Antecedentes ....................................................................................................................... 281 10.2 Definiciones ......................................................................................................................... 281 10.3 Fotografa de eje vertical, inclinado y alto inclinado ............................................................ 282 10.4 Geometra de una fotografa ................................................................................................ 282

ii

10.5 Elementos necesarios ........................................................................................................... 286 10.6 Fotografa area en blanco y negro ...................................................................................... 288 10.7 Fotografa area en color ..................................................................................................... 289 10.8 Estereoscopia ....................................................................................................................... 289 10.9 Mosaicos fotogramtricos ..................................................................................................... 293 10.10 Apoyo topogrfico ................................................................................................................ 294 10.11 Propagacin del apoyo terrestre ........................................................................................... 296 10.12 Restitucin fotogramtrica ................................................................................................... 299 10.13 Aplicaciones ......................................................................................................................... 302 10.14 Fundamentos de fotointerpretacin ...................................................................................... 303 10.15 Cartografa aplicada ............................................................................................................ 315 Problemas ............................................................................................................................ 319

Tema11.Levantamientosenlagos,rosycostas ......................................................................... 321

Tema12.SistemadePosicionamientoGlobal(GPS) .................................................................. 331 Apndice A. Conjunto de instrumentos topogrficos ..................................................................... 357 Bibliografa ................................................................................................................................... 373 ndice alfabtico ............................................................................................................................ 377

ixIntroduccin

La realizacin de un libro tcnico requiere del apoyo de diversos elementos y, sobre todo, la colaboracin de varias personas. En ese sentido, esperando no cometer omisiones (y de haberlas tengan la seguridad de que estas seran involuntarias), hago patente mi agradecimiento a las siguientes personas:

Al ingeniero Leoncio Olvera Escorcia, quien al escribir el prlogo del presente libro le confiri otra dimensin, adems de su permanente apoyo para la realizacin de este material.

Al seor ingeniero Sabro Higashida Miyabara (q.p.d.), quien en diferentes ocasiones me asesor y orient.

Adems, desde estas lneas, quiero rendir un homenaje al ingeniero Higashida por su trayectoria como profesional y catedrtico de topografa, como autor de varios libros y publicaciones, pero fundamentalmente como ser humano, razones por las que siempre estar presente entre quienes tuvimos el honor de conocerlo.

Por sus comentarios, as como por el material que elaboro y me proporciono acerca del tema: Estudio breve de la fotografa area, expreso mi agradecimiento al ingeniero Ramn lvarez Valadez.

Al doctor Ignacio Canals Navarrete por su participacin en la deduccin de la frmu-la para determinar la latitud de un lugar por medio de dos posiciones del Sol, incluida en el tema de Orientacin astronmica.

Al ingeniero Jos L. Higuera Moreno por el material proporcionado y sus comentarios para la realizacin de los contenidos de Orientacin astronmica.

A los ingenieros Alfredo Fernndez, Fernando Garca y Alfredo Gonzlez de la Comisin Federal de Electricidad por el material proporcionado para el tema de Levantamientos en lagos, ros y costas.

Quiero agradecer tambin a los ingenieros Ricardo Lpez Ramrez (ESIA-Zacatenco IPN), Jos Antonio Dimas Chora (FES-Aragn), Carlos A. Herrera Anda (Universidad La Salle), Ren Gmez Daz (CETIS Nm. 33 SEP), y en especial al Doctor Jorge Caire Lomel (Facultad de Filosofa y Letras UNAM) por la evaluacin tcnica que realizaron

reconocimien T os

Topografax

del manuscrito, cuyos comentarios y sugerencias fueron de gran utilidad para mejorar el texto. As mismo, agradezco a la Maestra Mara Alba Camacho (ESIA-Zacatenco IPN) por su revisin tcnica, que fue de gran ayuda para mejorar el material. Agradezco al ingeniero Antonio Velasco Calva su colaboracin en la preparacin de los problemas que se incorporaron al libro.

Por ultimo expreso mi agradecimiento, tanto por su anuencia para mencionar sus productos as como los de las empresas que representan como por el material fotogrfico que cortsmente me proporcionaron para ilustrar el libro, a las siguientes firmas comer-ciales (por orden alfabtico):

Abreco. Precisin Topogrfica Leica de Mxico, S. A. Taller Topogrfico Quintero

Topografa y sus aplicaciones

No hay ninguna discusin en cuanto a que el avan-ce tecnolgico ha revolucionado el mundo, y des-de luego la topografa no es la excepcin. Dicho avance ha permitido el desarrollo de los equipos y mtodos de medicin y, sobre todo, se ha popula-rizado en el uso que han alcanzado los sistemas de posicionamiento por satlite.

Lo anterior permite que en la actualidad la toma de informacin en el campo sea cada vez ms fcil y segura en cuanto a la certidumbre y calidad de los datos recolectados, as como a que esta reco-leccin masiva de informacin nos permita repre-sentar en los planos situaciones ms fidedignas en un terreno real.

En diversas ocasiones escucho la preocupacin del profesional involucrado en la ingeniera topo-grfica referente a que con todos estos nuevos m-todos y equipamientos, su trabajo se encuentra en peligro, situacin que desde mi punto de vista es errnea, ya que todos estos cambios nicamente generan ms posibilidades de desarrollo para l.

Actualmente es comn recolectar informacin a travs de mtodos por satlites y por sistemas en los que estn referidas estas tecnologas, por lo que es imprescindible el trabajo de un profesional de la Ingeniera Topogrfica para realizar el manejo adecuado de los diferentes sistemas de coordena-das empleados, as como un manejo preciso de las diferentes proyecciones utilizadas.

p rl ogo

Por todo esto, es importante contar con bases apropiadas que permitan un conocimiento adecua-do y eficaz para poder adaptarnos a estos cambios de tecnologa, ya que es de tomarse en cuenta que el peligro que se corre con todo el desarrollo del nuevo equipamiento es de que terminemos convir-tindonos en aprieta botones sin tener la certe-za del cmo y porqu de los resultados obtenidos.

Si bien este libro est dirigido a estudiantes de las distintas ramas de la ingeniera que requie-ren de conocimientos de topografa, tales como Ingeniera Topogrfica, Civil, Geologa, Geofsica; as como para estudiantes de Arquitectura y alum-nos de bachillerato con capacitacin tecnolgica, todos deben estar conscientes de lo mencionado en las primeras lneas de este prlogo, ya que en su desarrollo profesional convivirn de una u otra manera con la Topografa, por lo que en la medida de cada una de las necesidades e intereses el contar con bases slidas les permitir a lo largo del tiem-po una mejor y ms duradera relacin en el caso de que el involucrado desee continuar con sus estudios de Ingeniera Topogrfica.

As pues, para el profesional de la Ingeniera Topogrfica le vienen buenos tiempos gracias a los nuevos mtodos y equipamientos, los cuales ven-drn de la mano de una mayor preparacin perso-nal y del manejo de la personalidad adecuada que le permita afrontar este reto que tambin implica

xii Reconocimientos

un cambio en la imagen que hasta ahora se ha tenido.

Finalmente, considero que todos los usuarios de este texto encontrarn la informacin desarrollada de una manera adecuada para adquirir los conoci-mientos bsicos de la Topografa y generar inquie-tudes en aquel o aquellos usuarios que requieran profundizar ms en cada uno de los temas.

Quiero agradecer al Ing. Dante Alfredo Alcntara Garca por el honor de permitirme es-

cribir estas notas en su libro, y asimismo felicitarlo por su iniciativa en generar material que permita al futuro profesional involucrarse en esta discipli-na, presentndole el material adecuado que lo gue de una manera lgica y clara en el conocimiento bsico y fundamental para el logro de sus objeti-vos, e incluso que le sirva de apoyo en su trabajo cuando, de ser el caso, viva de la Topografa.

Leoncio Olvera EscorciaIng. Topgrafo y Fotogrametrista

Ex Presidente del xvi Consejo Directivo del Colegio de Ingenieros Topgrafos, A.C.

Gerente Regional para Mxico y Centroamrica de Leica Geosystems

INTRODUCCIN

1TEMA

L a topografa es de gran importancia para to-dos los que desean realizar estudios de bachi-llerato tecnolgico con capacitacin en topografa, o para quienes realizan estudio de licenciatura en disciplinas como la ingeniera, as como para los estudiantes de arquitectura, no slo por los cono-cimientos y habilidades que puedan adquirir, sino por la influencia didctica de su estudio. En el pa-sado, en Mxico se impartan conocimientos bsi-cos de topografa en la enseanza primaria, en el cual se empleaba como libro de texto el Curso ele-mental de topografa prctica, de Manuel M. Zayas (Ed. Herrero H. Suc., Mxico [1906]). En este libro se destaca lo necesario y conveniente desde el punto de vista pedaggico, del estudio de esta disciplina, y se menciona: suministra el mtodo y los proce-dimientos adecuados para realizar una gran parte de la educacin cientfica de los jvenes por medio de esta asignatura. La intencin y el contenido del libro no pretende que los estudiantes llegaran a ser expertos en la materia, como pudiera serlo un in-geniero o un tcnico topgrafo, o de cualquier otra disciplina que hubiese llevado cursos de este tipo, pero s resulta un puente muy importante entre los conocimientos tericos, de aritmtica y geometra, y la prctica. Tambin resulta muy importante para otros cursos, como el de geografa, por la

posibilidad de entender e interpretar mapas. En fin, abre un horizonte ms amplio para la asimilacin de otros conocimientos y quita la aridez que a veces se considera a ciertas materias. En la actualidad no se imparten cursos de este tipo a los nios, por la diversidad de temas que se cubren en los programas de estudio. Los libros de texto gratuito incluyen algunos temas tericos de la topografa, pero sera ms provechoso que se dieran nociones y prcticas de esta ciencia.

Con la referencia anterior se desea despertar la inquietud y el inters de quienes esto lean. Es clara la utilidad de ese ejercicio mental, a nivel de edu-cacin primaria; pero es ms evidente la utilidad y la necesidad del conocimiento de la topografa para estudiantes de ingeniera y arquitectura.

Este libro de consulta bsica podr lograr cubrir los aspectos antes mencionados y que constituya un estmulo para el lector, que lo impulse a profun-dizar el tema y auxilie a quienes lo consulten. Para ello, se ha tratado de exponer en forma accesible los conocimientos bsicos de la topografa.

Tanto la organizacin y la distribucin de los temas obedecen a una larga experiencia basada en una compilacin de diversos autores, apuntes de clases, etc., as como en la labor docente y el ejer-cicio profesional del autor.


b = 6 378206.4 mma = 6 356583.8

a

b

1.1 Definicin y objeto de la topografaEs una ciencia aplicada que se encarga de determi-nar las posiciones relativas o absolutas de los pun-tos sobre la Tierra, as como la representacin en un plano de una porcin (limitada) de la superficie terrestre; es decir, estudia los mtodos y procedi-mientos para hacer mediciones sobre el terreno y su representacin grfica o analtica a una escala determinada. Tambin ejecuta replanteos (trazos) sobre el terreno para la realizacin de diversas obras de ingeniera, a partir de las condiciones del proyecto establecidas sobre un plano. Asimismo, realiza trabajos de deslinde, divisin de tierras (agrodesia), catastro rural y urbano, as como le-vantamientos y trazos en trabajos subterrneos.

En la prctica de la topografa es necesario te-ner conocimientos de matemticas, as como un adiestramiento sobre el manejo de instrumentos para hacer mediciones. Para comprender mejor esta ciencia y profundizar en ella, es necesario te-ner conocimientos de fsica, cosmografa, astrono-ma, geologa y otras ciencias.

Adems, la topografa est en estrecha relacin con la geodesia y la cartografa. La primera se en-carga de determinar la forma y dimensiones de la Tierra, y la segunda de la representacin grfica, sobre una carta, mapa o un plano, de una parte de la Tierra o de toda ella.

Entre la topografa y la geodesia hay diferen-cia en los mtodos y procedimientos de medicin y clculo, pues la primera realiza sus trabajos en porciones relativamente pequeas de la superficie terrestre, considerndola como plana, en tanto que la geodesia toma en cuenta la curvatura terres-tre, y sus mediciones son sobre extensiones ms grandes: poblados, estados, pases, continentes o la Tierra misma.

La representacin grfica de estas mediciones la realiza otra ciencia, la cartografa, que proyecta sobre un plano las partes del esferoide terrestre; en cambio el dibujo topogrfico proyecta las medidas sobre una superficie en un plano.

Para ilustrar una idea general, veamos lo si-guiente:

Si se compara la diferencia angular entre un tringulo plano y uno esfrico, proyectados sobre

la superficie terrestre, cuyas reas midan 200 km2 de superficie, habr una diferencia angular de slo un segundo de arco. Los errores se pueden pre-sentar por considerar una superficie plana y sern importantes en la medida en que se incremente su tamao y se requiera mayor precisin. As, sera necesaria una topografa ms precisa a la interven-cin de procedimientos geodsicos.

Para comprender mejor lo anterior, vanse las figuras 1-1 y 1-2.

Figura 1-2. Se exagera el tamao del tringulo, a fin de resaltar la explicacin dada en el texto.

Figura 1-1.

1.2 Aspecto histricoSe desconoce el origen de la topografa, y se cree que fue en Egipto donde se hicieron los primeros trabajos topogrficos, segn referencias por esce-nas representadas en muros, tablillas y papiros, de hombres realizando mediciones del terreno.

Fueron los egipcios los primeros que conocan la ciencia pura, que luego los griegos lo bautiza-ron como geometra (medida de la Tierra) y su aplicacin, en lo que se consider como topogra-fa, o mejor dicho etimolgicamente, topometra. Desde hace ms de 5 000 aos exista la divisin de parcelas con fines fiscales, as como para marcar linderos ante las avenidas del Nilo.

Introduccin

A partir de que el hombre se hizo sedentario y comenz a cultivar la tierra, naci la necesidad de hacer mediciones o, como seala el ingeniero ge-grafo francs P. Merln, la topografa naci al mis-mo tiempo que la propiedad privada.

La realidad histrica de la topografa se ha pre-sentado en forma aislada, como tablilla de barro encontrada en Ur, en Mesopotamia, que data de tres siglos antes de nuestra era, y los testimonios en-contrados en diversas partes del mundo; pero es en Egipto donde se han obtenido mejores referencias.

En Egipto, las mediciones hechas por los prime-ros cadeneros o estira cables, como los llamaban, se realizaban con cuerdas anudadas, que correspon-dan a unidades de longitud convencionales, como el denominado codo. Cada nudo estaba separado en la cuerda por el equivalente de 5 codos, equiva-lentes a 2.5 metros.

Tener la necesidad de medir regiones ms o menos extensas gest conocimientos empricos y rudimentarios que despus evolucionaron. Al prin-cipio el hombre us como patrones de medida las cosas que le eran familiares, incluso su propio cuer-po; por ejemplo, la alzada de un caballo era me-dida en palmos, es decir, tantas veces la anchura de la mano. La distancia entre las puntas del dedo meique y del dedo pulgar, con la mano totalmen-te extendida, era considerada como medio codo, y sta era la distancia entre el codo y la punta de los dedos. El pie fue otra medida y se le consideraba como las tres cuartas partes del codo.

La altura del hombre o braza era considerada de cuatro codos, pero estas unidades de medida presentaban dificultades debido a las distintas ta-llas entre los individuos. Por eso, hacia el ao 3000 a.C. se estableci en Egipto el codo real como pa-trn de medida convencional, tal vez basado en la medida del codo de algn faran, cuya dimen-sin era de 52.3 centmetros. Luego se construy un cuadrado de un codo por lado y la diagonal resultante, llamada doble ramen, la hicieron su unidad de medida para la medicin de terrenos.

Por otra parte, sumerios, persas y griegos dieron otras diferentes longitudes a la unidad de medida llamada codo; otros pueblos tambin la usaban, y as en la Biblia aparecen referencias a estas

unidades para mediciones de objetos, de terrenos, construcciones, etc. Tambin hay datos relativos a elementos utilizados en topografa. A continuacin se transcriben algunos versculos que ilustran lo antes dicho.

I Reyes 6:2

Y la casa que el Rey Salomn le edifi-c al Seor, tena sesenta codos de longitud y veinte de anchura y treinta de altura.

I Reyes 6:3

Y el prtico enfrente del templo tena veinte codos de longitud enfrente de lo an-cho de la casa. Tena diez codos de fondo enfrente de la casa.

Ams 7:7

Esto es lo que me hizo ver, y mir el Seor estaba apostado en un muro hecho con plomada, y tena una plomada en la mano!

Ezequiel 40:47

Y se puso a medir el patio (interior). La longitud era de cien codos y la anchura de cien codos.

Josu 18:14

Consganse tres hombres de cada tri-bu y djenme enviarlos para que levanten y recorran la tierra y delineen mapas de acuerdo con su herencia y que vengan a m.

Hay muchas referencias en la Biblia respecto a las unidades. Algunas hebreas son: un dedo = 0.023 m, una palma = 0.0927 m = 4 dedos; un pal-mo = 0.278 = 3 palmas; un codo = 0.347 m; una jornada de sabat = 1 281 m, etctera.

Tambin los griegos buscaron explicaciones ra-cionales del porqu y la lgica de las cosas, y dieron forma a lo que designaron como geometra (medida de la Tierra) unos 500 aos a.C. Son no-tables las aportaciones que hicieran a la geometra por parte de Tales de Mileto, Pitgoras y Euclides. Todos ellos y posteriormente Arqumedes y Apolonio de Prgamo continuaron con el desarrollo de esta


ciencia. Varios siglos permaneci un tanto estan-cado el avance de la geometra, porque ni griegos, romanos, rabes o persas hicieron aportaciones. Ya en los albores de nuestra era, Hern, Tolomeo y Papo dieron nuevas aportaciones. Hern encontr la frmula para la determinacin del rea de un tringulo en funcin de sus lados:

A 5 12

P(P 2 a)(P 2 b)(P 2 c)

en la que P es el semipermetro y es igual aa 1 b 1 c

2

donde a, b y c son los lados de un tringulo; adems fue una figura destacada y una autoridad entre los topgrafos de su poca. Escribi varias obras dedi-cadas a procedimientos y mtodos de medicin que fueron utilizados por ingenieros de esa poca.

Por ejemplo, Tolomeo demostr la inscripcin de cuadrilteros a la circunferencia, en donde el producto de sus diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos, tambin Papo fue clebre por el clculo de superficies generadas por una lnea que gira sobre un eje situado en su plano, as como de volmenes producidos por rota-cin de superficies alrededor de un eje.

Con un sentido ms prctico, los romanos de-sarrollaron la arquitectura y la ingeniera, aplican-do los conocimientos heredados de los egipcios y griegos.

Adems trazaron mapas con fines blicos y ca-tastrales, construyeron caminos, ciudades, presas, puentes, canales, etc., debido a la expansin de su imperio; para ello era indispensable el desarrollo de mtodos e instrumental topogrfico.

En el siglo I d.C., Frontino escribi el Tratado de topografa; luego en el siglo IV apareci el Codex Acerianus y el Arte de medir la Tierra, escrito por Inocencio, en los que se constatan las aportaciones romanas a la topografa.

En la Edad Media los rabes lograron avances, sobre todo, en la astronoma y la geografa.

Gracias a los grandes descubrimientos se avanz en la elaboracin de mapas y planos, con lo cual los trabajos de topografa y los geodsicos avanzaron en su tcnica e instrumental. Con la aparicin del telescopio a finales del siglo XVI y principios

del XVII, tuvieron un gran avance, y se realiza-ron trabajos espectaculares en el aspecto de la for-ma y tamao de la Tierra. Nombres como Picard, Snellius y Casini fueron muy importantes para el conocimiento y desarrollo de la topografa y el es-tablecimiento de los fundamentos de la geodesia y de la cartografa modernas.

El aumento de la poblacin mundial, as como las necesidades de comunicacin, vivienda, desa-rrollo de la produccin agrcola y expansin te-rritorial, hicieron que esta disciplina superara la poca de sus mtodos primitivos.

La topografa avanz notablemente despus de los grandes movimientos blicos a travs de la historia. En la actualidad existe una urgente ne-cesidad de elaborar planos y mapas topogrficos con alta precisin, para determinar lmites entre pases, tareas en las que se complementa con la geodesia.

El aumento del costo de los terrenos y el pro-greso de la ltima parte del siglo XIX y, sobre todo, del siglo XX, hizo que se inventaran instrumentos y mtodos en forma vertiginosa. En efecto, sobre todo en las ltimas dcadas, se han conseguido ms avances cientficos y tecnolgicos que en todos los siglos anteriores. As, ahora contamos con teo-dolitos de alta precisin, tanto pticos como elec-trnicos, distancimetros electrnicos de fuente lu-minosa y de fuente electromagntica, colimadores lser, la percepcin remota por medio de fotogra-fas areas, imgenes de satlites artificiales y el radar, que facilitan los trabajos topogrficos.

1.3 Actividades y divisiones para su estudioLas actividades principales de la topografa se rea-lizan en el campo y el gabinete. En el primero se efectan las mediciones y recopilaciones de datos suficientes, y en el segundo para dibujar en un pla-no una figura semejante al terreno que se desea representar. A estas operaciones se les denomina levantamientos topogrficos (figura 1-3).

Sobre los planos se hacen proyectos (urbani-zaciones, caminos, instalaciones deportivas, etc.), cuyos datos y especificaciones deben replantearse posteriormente sobre el terreno, a esta operacin se le conoce como trazo.

Introduccin

PV

PH

1

1

2

2

2

3

3 3

4

4

5

5

Entre las actividades de gabinete se encuen-tran los mtodos y procedimientos para el clculo y el dibujo.

La topografa se divide en: planimetra o plano-metra, altimetra, planimetra y altimetra simult-neas, triangulacin, trilateracin y fotogrametra.

1.4 Aplicaciones a diversas profesionesLa topografa tiene aplicaciones en la ingeniera agrcola, tanto en levantamientos como trazos, deslindes, divisiones de tierra (agrodesia), deter-minaciones de reas (agrimensura), nivelacin de terrenos, construccin de bordos, canales y drenes. En la ingeniera elctrica: levantamientos previos y trazos de lneas de transmisin, construccin de plantas hidroelctricas, instalacin de equipo para plantas nucleoelctricas, etc. En la ingeniera mecnica e ingeniera industrial: Para la instala-cin precisa de mquinas y equipos industriales, conf iguraciones de piezas metlicas de gran preci-sin, etc. En la ingeniera minera: Para el levan-tamiento y trazo de tneles, galeras y lumbreras, cuantificaciones de volmenes extrados, etc. En la

ingeniera geolgica: En la relacin de las formacio-nes geolgicas, determinacin de configuraciones de cuencas hidrolgicas, como apoyo fundamental de la fotogeologa, etc. En la ingeniera civil: En los trabajos topogrficos antes, durante y despus de la construccin de obras, como carreteras, ferroca-rriles, edificios, puentes, canales, presas, fracciona-mientos, servicios municipales, etctera.

Existen otras ramas, como la ingeniera hi-drulica, forestal, ambiental o la arquitectura, pero la topografa, al hacer por medicin directa o por clculo, o bien, por restitucin fotogramtrica, la representacin grfica del terreno constituye el punto de partida de diversos proyectos que requie-ren informacin de la posicin, dimensiones, forma del terreno, etc., sobre el cual se va a realizar cual-quier obra o un estudio determinado.

1.5 CadenasDefiniciones

Ya se mencion que la topografa es una aplicacin de la geometra, en la que tenemos una correspon-dencia entre los elementos geomtricos y su mate-rializacin sobre el terreno.

As, en geometra, una cadena (puede ser abier-ta o cerrada) es una sucesin de elementos geom-tricos (figura 1-4).

Figura 1-3. Obtencin de planos por fotogrametra.

Figura 1-4.


PM

PV

P

PPH

x

r

d

X y

Y z

(Norte)

Eje polar Cenit Plano meridiano

P. V

ert.

W Meridiano

Norte

Nadir

Tierra

S

E

(Este)

1

50

40

30

20

10

PH

Dist.Eleva

cion

es

102050 40

30

Elemento geomtrico. La geometra forma par-te de un todo; por ejemplo, sus elementos son: los puntos, las lneas rectas y curvas, el sentido de una lnea.

Objeto geomtrico. Es algo de lo que se habla en geometra; pueden ser elementos en forma in-dividual o ligada; por ejemplo, los puntos, las rec-tas, las curvas, diagonales, contornos, superficies, cuerpos, etctera.

Cadena geomtrica. Es un conjunto de elemen-tos geomtricos ligados entre s.

Cadena topogrfica

Esta cadena es una sucesin de elementos auxi-liares, como vrtices y lados, que se materializan sobre el terreno y se proyectan sobre un plano, para identificarlos como puntos, lneas, etc., como elementos de una cadena geomtrica o poligonal.

La planimetra o cadena planimtrica es una de las divisiones de la topografa, que consiste en pro-yectar sobre un plano horizontal los elementos de la cadena o poligonal sin considerar su diferencia de elevacin (figura 1-4).

La altimetra o cadena altimtrica, es la parte de la topografa que estudia la elevacin de los puntos sobre la superficie terrestre, para dar su posicin relativa o absoluta, y la proyecta sobre un plano vertical; referida a un plano de compara-cin cualquiera o a una superficie de comparacin como el nivel del mar. La determinacin de los valores correspondientes se consigue mediante su operacin fundamental, que recibe el nombre de nivelacin y puede considerarse como un tipo de levantamiento (figura 1-4).

La planimetra y altimetra simultneas, son la parte de la topografa que estudia los mtodos y procedimientos de medicin y representacin grfi-ca de los elementos que componen las cadenas pla-nimtrica y altimtrica simultneamente (figura 1-5).

Sistemas de referencia

Los planos del meridiano, del horizonte y el ver-tical, se usan en topografa para proyectar sobre ellos los objetos geomtricos para conocer su posi-cin en dos o tres dimensiones, formando sistemas de coordenadas (x, y), (x, y, z), (n, e), (r, ), que

son distancias a los ejes de referencia contenidos en los planos ya mencionados (figura 1-6).

Figura 1-5.

Figura 1-6.

Introduccin

Medidas de longitud

Sistema inglsSistema Internacional

de Unidades (en metros)

milmetro 0.03937 pulg 0.001

centmetro 0.39370 pulg 0.010

decmetro 3.93700 pulg 0.100

metro 1.09360 yard3.28080 pies

39.37000 pulg 1.000

decmetro 10.93600 yard 10.000

hectmetro 109.36100 yard 100.000

kilmetro 0.62137 millas 1000.000

pulgada 0.08330 pies 0.0254

pie 12.00000 pulg 0.3048

yarda 3.00000 pies

36.00000 pulg 0.9144

milla 1 760.00000 yard

5 280.00000 pies 1609.3410

vara 0.8380

legua 4019.0000

Plano meridiano. Es el que pasa por un punto cualquiera de la Tierra, y contiene el eje polar; di-vide la esfera celeste en dos partes iguales, descri-biendo un crculo mximo por el cual pasa la lnea cenit-nadir (vertical del lugar).

Plano del horizonte. Es un plano perpendicular a la vertical que pasa por un punto cualquiera de la Tierra, describiendo otro crculo mximo, como el que se describe del plano meridiano.

Meridiano. Es la lnea que resulta de la in-terseccin del plano-meridiano con el plano del horizonte. Se le conoce como lnea norte-sur o me-ridiana.

Plano vertical. Es un plano perpendicular a los planos del horizonte y del meridiano y contiene la vertical del lugar.

1.6 ValoresEn este apartado estudiaremos los valores corres-pondientes a los diversos elementos geomtricos, en forma aislada o concatenada.

Valores conocidos

Siempre es posible conocer o establecer las coorde-nadas de un punto.

Valores desconocidos

Son las distancias entre los puntos o vrtices de una poligonal, sus ngulos, las direcciones de sus lados, el rea del terreno o de una poligonal y, en su caso, los volmenes que se requieran.

Sistema de unidades

En general, se usan las unidades del Sistema Internacional de Unidades, y se incluyen las equi-valencias con el sistema ingls; tambin se usan unidades de medida usadas en el pasado, pero que se presentan en escrituras y documentos de tipo legal, en relacin con terrenos, deslindes, etctera.

De acuerdo con las consideraciones anteriores, a continuacin se da un cuadro de las medidas ms usuales en topografa, as como sus equivalencias.

reas Sistema ingls Sistema Internacional (m2)

metro cuadrado 1.196 yard cuadr.

10.764 pies cuadr.

1 550.000 pulg cuadr. 1.000

rea 119.600 yard cuadr. 1 00.000

hectrea 100.000 reas

2.471 acres 1 000.000

kilmetro cuadrado

100.000 hectreas

0.386 mill. cuadr. 1 000 000.000

pulgada cuadrada

0.007 pies cuadr. 0.000542

pie cuadrado 144.000 pulg cuadr. 0.078027

yarda cuadrada 9.000 pies cuadr.

1 296.000 pulg cuadr. 0.836130

acre 4 840.000 yard cuadr.

43 560.000 pies cuadr.

0.405 hectreas 4 046.870

varas cuadradas 0.7072


Volumen Sistema ingls Sistema Internacional (m3)

metro cbico 1.308 yarda cbica

35.315 pies cbicos

264.189 galones 1.000

pie cbico 0.037 yarda cbica

1 728.000 pulg cbica

7.473 galones 0.0217956

pulgada cbica 0.000579 pies cbicos 0.00001261

galn 231.000 pulg cbica 0.0037853

Otras equivalencias tiles

360 = 400g

0.9 = 1cg = 0.0157097 rad

0.01g = 1c = 0.009 = 000032.4

0.0001g = 1cc = 0.00009 = 000000.324

en los que:

= grados, minutos y segundos de arco, sexagesimales

g c cc = grados, minutos y segundos de arco, centesimales

rad = radianes

p = 3.141592654

F = (9/5)(C + 32)

C = (5/9)(F - 32)

g = 9.81 m/s2

= 32.16 pies/s2

en las que:

F = Grados Fahrenheit

C = Grados Centgrados

g = Aceleracin de la gravedad a nivel del mar y con una latitud igual a 45

p = Nmero pi

1 kg = 2.20462 libras

1 atmsfera = 1.03322 kg/cm2

= 14.695 lb/pulg2

1 kg/cm2 = 0.967831 atmsferas

= 14.223 lb/pulg2

PLANIMETRA

2TEMA

U na vez que ya se conocen los elementos geomtricos para los trabajos de topografa, en este tema veremos cmo se determinan los va-lores correspondientes, ya sea por medida directa o por clculo.

2.1 Coordenadas de los puntosEs posible leerlas de manera directa sobre un plano o mediante coordinatgrafos.

2.2 Distancias entre dos puntos de poligonalesPara determinar una distancia entre dos puntos, se hace mediante instrumentos y procedimientos, ya sean elementales o complicados y sofisticados, se-gn los objetivos que se persigan, as las longitudes por medir y los instrumentos de que se disponga.

Las distancias se pueden determinar por refe-rencias, a pasos, con longmetros o cintas de di-versos tipos, con odmetros, con telmetros, por procedimientos indirectos o taquimtricos (vase el tema 4), mediante distancimetros electrnicos (de fuente luminosa o electromagntica), etctera.

As veremos algunos de ellos, y en temas sub-secuentes se vern los otros.

Para levantamientos a pasos es importante co-nocer la distancia promedio de nuestros pasos nor-males, as como el nmero de ellos al recorrer una distancia dada.

Para conocer la longitud de nuestros pasos, primero localizamos una lnea recta de longitud conocida y la recorremos n veces; luego contamos el nmero de pasos, y los resultados los sumamos y los dividimos entre n. As obtendremos el promedio.

Existe un dispositivo llamado podmetro para el conteo de pasos, que se coloca en una pierna y al terminar el recorrido, basta con multiplicar el nmero de pasos por su longitud para conocer la distancia.

Nmero de pasos SentidoDistancia conocida

(m)*

318 A-B 250

315 B-A 250

317 A-B 250

318 B-A 250

316 A-B 250

317 B-A 250

Nota: El procedimiento es ms adecuado en el caso de terrenos planos o sensiblemente planos; si se desea medir una distancia inclinada, se tendr que determi-nar la longitud del paso en estas condiciones.

Promedio 5 316.833 pasos

Distancia 5 250.000316.833

5 0.789 > 0.80 m/paso

Topografa y sus aplicaciones10

Cubierta de nylon

Alma de acero

Cubierta de PVC

Fibra de vidrio

0.20 m 0.20 m

Medidas de distancias con longmetros y ele-mentos auxiliares. Hay diversos tipos de longme-tros y se mencionan algunos a continuacin:

a) Cadena de agrimensor

b) Cintas de lienzo

c) Cintas de nylon

d) Cintas de dacrn reforzadas con fibras de plstico

e) Cintas de fibra de vidrio

f) Cintas de nylon con alma de acero

g) Cintas de acero cubiertas con polmero

h) Hilos de metal invar

a) Cadenas de agrimensor (figura 2-1). Que en la actualidad no se usan, son varios eslabones de hierro unidos unos a otros, que forman una cadena con empuaduras en sus dos extre-mos. Cada eslabn est formado por un alam-bre grueso terminado en un anillo por sus dos extremos y se unen cada dos eslabones por otro anillo intermedio. La longitud de cada eslabn es de 20 centmetros, incluyendo las empuaduras en los extremos de la cadena. En Mxico se fabricaron cadenas de 10 y 20 metros, muy pesadas, razn por la cual ya no se usan.

b) Cintas de lienzo. Se fabrican con base en hilo tejido con refuerzo de hilos metlicos (cobre) o con fibra de vidrio, con un recubrimiento de plstico.

Figura 2-1.

Figura 2-2. Cinta de lienzo.

c) Cintas de nylon. Se fabrican en este material y vienen en cajas circulares o en crucetas, que son de metal o de plstico de alto impacto.

d) Cintas de dacrn reforzadas con fibras de plstico. Son parecidas a las anteriores y su cartula est graduada, tanto en unidades del sistema ingls como del sistema mtrico deci-mal.

e) Cintas de fibra de vidrio. Tienen un alma de fibra de vidrio y una cubierta de polivinilo de cloruro (PVC), como se muestra en la figura 2-3.

f) Cintas de nylon con alma de acero. Estn en una gran variedad de combinaciones; en las figuras 2-4 y 2-5 se presentan dos tipos.

g) Cintas de acero cubiertas con polmero. Construidas en acero con coeficiente de dila-tacin 0.000011 C; deben ser resistentes a la oxidacin y corrosin. Adems, su graduacin tiene que ser resistente a la abrasin, pues las marcas van desapareciendo al medir, al extraerlas de la cruceta y al enrollarlas (figura 2-6).

Figura 2-3.

Figura 2-4.

11Planimetra

1.5 mm

Cubierta de fosfato

Cubierta de nylonresistente a la

abrasin

Alma de acero

Fichas

h) Hilos de metal invar. Para medidas de ma-yor precisin (figura 2-8) se utilizan los hilos de nvar, inventados por el doctor Carlos E. Guillaume en 1907, ganador del Premio Nobel en 1920. Es una aleacin de hierro (Fe), n-quel (Ni) y cobalto (Co), con una proporcin de 63.6, 36 y 0.4%, respectivamente.

Figura 2-5.

Figura 2-6.

El nquel tiene un coeficiente de dilatacin casi nulo (0.0000009 C).

Los hilos se construyen de seccin cuadrada o circular, aproximadamente de 1.5 mm, terminados en los extremos por pequeos cilindros con una ra-nura para hacer pasar una plomada, y estn unidos a manerales con dinammetros de resorte (figura 2-7). Con una tensin determinada, la catenaria o curva que forma el hilo extendido equivale a la separa-cin entre las ranuras fijas, ya conocida, de 20, 30 m, etctera.

Figura 2-7.

Figura 2-8.

Figura 2-10. Diversos tipos de longmetros con cruceta y una ficha de alambrn.

Figura 2-9. Cruceta.

Como las cintas b, c, d y e son muy frgiles, son para trabajos de menor precisin y para mediciones urbanas o de predios construidos, en tanto que las cintas f, g y h son ms resistentes para trabajos de campo; adems, tienen ms precisin por la menor deformacin ante los cambios de temperatura.


A a b

c

d

B

Para hacer las mediciones y los trazos con cinta es necesario contar con elementos auxiliares como plomadas, estacas o trompos, fichas, niveles tubu-lares de burbuja, balizas (jalones), etctera (figuras 2-11 y 2-12).

Figura 2-11. Plomada.

Figura 2-12. Balizas desmontable y rgida.

Algunos problemas que suelen presentarse en mediciones y trazos topogrficos se pueden solucio-nar por medio de cintas y elementos auxiliares. Los puntos que se indican en los problemas siguientes se pueden marcar con fichas, estacas, trompos, et-ctera.

Dada una lnea AB, levante una perpendicular por el punto a (figura 2.13).

Solucin: Marcar el punto c equidistante al punto a. Sobre la prolongacin del lado bc, marcar el punto d a una distancia bc a partir del punto c. El punto d es la solucin del problema.

Baje una perpendicular a la lnea AB desde un punto d (figura 2-14).

Figura 2-13.

Figura 2-14.

Solucin: Marcar el punto b sobre la lnea AB y luego el punto c a la mitad de db. A partir de c se mide una distancia igual a cb y se marca el punto a sobre la lnea AB. El punto a resuelve el problema.

Los problemas anteriores se pueden resolver por medio de los nmeros pitagricos 3, 4, 5 (figura 2-15).

Figura 2-15.

A B a b

c

d

A B a

12 m

0 m 3 m3

4 5

b

Detalle

13Planimetra

A B a b c

a

b

c

A

B

C

D a b

d e

A B

a b

c

d e

Solucin: Colocar la cinta en el punto a, se intro-duce una ficha a 3 m de distancia (punto b) y se marca otro punto c a 8 m. La operacin debe hacerse hasta que coincida en el punto a la marca de 12 m de la cinta.

En un punto d trace una paralela a la recta AB (figura 2-16).

Solucin: Marcar los puntos a y b sobre AB; luego marcar el punto c a la mitad del segmento db y sobre la lnea ac marcar el punto e a partir del punto c, a una distancia a 5 ac. El punto e resuelve el problema.

El problema anterior tambin se puede resol-ver estableciendo un cuadriltero que contenga dos puntos de la recta Ab al punto d, para que los puntos abd queden a la mitad de su lado correspon-diente (figura 2-17).

Figura 2-16.

Prolongacin de un alineamiento cuando hay un obstculo.

Solucin: Llevar una lnea ABa que libre el obs-tculo. Por los puntos a, b y c se levantan, de manera perpendicular, y se definen tringulos semejantes, para hallar las distancias bb y cc con las que se pueden marcar los puntos b y c que resuelven el problema (figura 2-18).

Figura 2-17.

Distancias conocidas: Aa, Ab, Ac y aa; por tanto:

bb = aaAbAa

5 cc 5 aaAcAa

[ aa 5 K (constante) bb 5 KAbccAbcc 5 KAcc

Levantamiento con cinta

Por radiacin. El levantamiento se efecta descom-poniendo el polgono en tringulos (figura 2-19).

Figura 2-18.

Figura 2-19.

Figura 2-20.


Y

X

X = Unidad X

Y Y Y Y Y0 1 2 3 4

X X X X

A 1

1

1

2

2 2

B

C

D

A

B

C

D E d1

d1

d1 d

1

d1

d2

d2

d2

d2

d2

d3

d3

d3

d3

d3

Radiaciones desde un vrtice de polgono

Slo es necesario medir los lados del contorno y las radiaciones del punto 0 a cada vrtice del po-lgono.

Por lados de liga. Se miden las distancias del contorno y los ngulos se definen midiendo peque-as distancias a partir de cada vrtice, como se indica en la figura 2-21. Convienen valores de 5 o 10 m para las distancias en los lados del contorno para facilitar el clculo.

Por prolongacin de alineamientos. Se define un polgono envolvente sobre el cual se miden las distancias entre los puntos que resultan de la pro-longacin de los alineamientos del polgono (figura 2-22).

Figura 2-21.

Figura 2-22.

Se miden las distancias A1, A2, B 1, B 2, C 1, D 2, etctera.

Por coordenadas. Primero se define un sistema de ejes coordenados x y y, desde cada vrtice del polgono se llevan perpendiculares a los ejes de proyeccin; bastar medir cada x y y de los vrtices que forman el polgono. Este mtodo es bueno para medir un terreno sin obstculos (figura 2-23).

Levantamiento de una curva. Dada una curva, se puede definir una lnea que la corte en sus extre-mos y, a partir de uno de ellos, se levantan perpen-diculares cada unidad. El levantamiento se hace midiendo la x y la y correspondiente (figura 2-24).

Figura 2-23.

Figura 2-24. Criterio para la medicin lineal en terreno horizontal y en terreno inclinado (x = unidad).

Terreno horizontal

Se requieren dos operadores para medir longitudes con la cadena de agrimensor, quienes definirn la alineacin recta que se trata de medir; luego se su-jeta la cadena por cada extremo, y se coloca detrs el operador ms experimentado, quien habr de dirigir la medicin.

Como equipo complementario de medicin es necesario un juego de fichas o agujas (11 tantos) y dos balizas.

Despus el cadenero de atrs sustituir la ba-liza origen por una ficha y colocar el cero de la cinta, mientras el otro operador que tiene las 10 fichas restantes mantiene la cinta bien tensa a ras del suelo sin tocarlo, y colocar en la alineacin, tangente a una nueva ficha bien vertical en la

15Planimetra

Sealamiento

Pintura Estaca Trompo

Plano del horizonteT1

T2

T3

D

lectura previamente establecida; por ejemplo, 10 m, 20 m, etctera. Luego el primer operador, enfi-lando la visual por las dos fichas, dirigir la alinea-cin hasta verlas con las balizas.

Despus que dej clavada la ficha delantera, el primer operador arrancar la que sirvi de origen y los dos avanzarn hasta alcanzar la ficha clavada, que utilizar como referencia para la nueva alinea-cin de la cinta.

As continuar clavando fichas el operador de-lantero, y el operador de atrs ir recogiendo las fichas, hasta que tenga 10 en su mano y una clava-da, que servir de origen a la medicin siguiente. En ese momento entregar las 10 fichas al opera-dor delantero, al mismo tiempo que anotar haber medido un hectmetro si la medida fue de 10 m, o el doble si fue de 20 metros.

En el primer caso, la medicin total ser tantos hectmetros como el nmero de veces que haya hecho el cambio de fichas; ms tantos decmetros como fichas tenga en la mano el operador de atrs o decmetros, centmetros y milmetros que se ob-servan sobre la cinta.

Es muy importante mantener la alineacin co-rrecta y la tensin constante y apropiada.

En la actualidad, bsicamente el procedimien-to es el mismo que el empleado con la cadena, so-lamente que, en vez de usarse sta, se utiliza una cinta de acero o lienzo. En las longitudes de medi-da de precisin conviene clavar estacas a distancias de 20 a 30 m, segn lo permita el terreno, y una vez colocados se procede a efectuar la medida de las longitudes parciales. La medida total ser la suma de las longitudes parciales.

Terreno inclinado

En el caso de que el terreno est inclinado, convie-ne clavar estacas o fichas a lo largo de la lnea por medir, de manera que permitan poner horizontal la cinta, y que el desnivel permita tomar con seguri-dad la cinta y la plomada en el extremo donde se tiene que elevar la cinta para conseguir la horizon-talidad. Poner el cero en la estaca o ficha de mayor nivel, si el terreno va descendiendo, y en el otro ex-tremo se realiza la lectura extrema de la cinta, sus-pendiendo una plomada sobre el punto preciso de la

estaca que limita la medida. Para mayor precisin, se puede colocar la cinta horizontal por medio de un nivel de mano (figuras 2-25 y 2-26).

Figura 2-25. Proyeccin horizontal de lados y medidas de tramos.

Si se presentan algunos errores al medir distan-cias, pueden compensarse si se hacen con una cinta corregida o comparada con un metro patrn, si se buscan mtodos de levantamiento y registros para hacer comprobaciones en el campo, si se toman en cuenta los factores de temperatura, alineamiento, tensin, catenaria y otros; el error se reducir, y aumentar la precisin.

El error por catenaria se presenta por efecto del peso de la cinta, que impide extenderla en toda su longitud y en forma horizontal (cuando no est apoyada directamente sobre el terreno). Entonces, describe una curva parecida a la parbola que re-cibe el nombre de catenaria.

Figura 2-26. Tramo medido entre un vrtice de poligonal y un punto alineado.


Ficha

Baliza

Donde: T = Tensin aplicada en ambos extremos, controlada mediante balizas y dinammetros o mediante poleas y pesas A, B = Extremos de la cinta X = Longitud nominal de la cinta, est o no comparada W = Peso unitario de la cinta en kg/m h = Flecha de la catenaria

Figura 2-27. Alineacin de puntos.

En un desarrollo basado en las caractersticas de la parbola, y considerando un momento res-pecto al punto B, se tiene que:

5 Th 2 WX2

X41 2 WX

2

8Th 2 5 0

h 5 WX 2

8TEl valor de h se sustituye en la serie de la pa-

rbola desarrollada, despreciando por su pequeez los trminos del tercero en adelante. Entonces, el desarrollo queda:

X 1 11 28h23X 2 1 ...

Como el error por catenaria es de signo nega-tivo, la correccin se aplicara con signo contrario, as:

Correccin 5 2c 5 desarrollo de la catenaria 2X, finalmente:

c 5 X 2 X1 1 83X 2

(WX 2)2

8T( )( )

5 8X 2X 2

(3)(8 2)T 2(X 2)5 W

2X 3

24T 2

Se evita el error por horizontalidad del long-metro, usando un nivel de burbuja. Si se trata de terreno plano se debe cuidar de que los extremos estn a la misma distancia del piso. Cuando el te-rreno est inclinado, se procurar que la separa-cin de la cinta y el terreno sea semejante al des-nivel entre ambos puntos, haciendo tantos escalo-nes como sea necesario. Este error se presenta con signo negativo, pero con la prctica ser mnimo o nulo.

Figura 2-29.

Otro error es cuando parte de la cinta se apoya o se atora en alguna rama o piedra. Este error es negativo, pero basta dar una sacudida vertical a la cinta o levantarla ms hasta que quede libre de obstculos (figura 2-29).

Cuando no se alinean correctamente los puntos de los tramos por medir, en una distancia mayor que la longitud de la cinta, puede ocasionar graves errores tambin de signo negativo. Esto significa

A B

x

x /2

h

x /4Figura 2-28.

17Planimetra

A

B

C

A

A

B

B

C

C

L

L

d

a)

b)

que el alineamiento se hace con poco cuidado, o que se aline a ojo con ayuda de las balizas, en lugar de utilizar un teodolito.

Si se cuenta con una cinta comparada en caso de requerirse mayor precisin, se deben hacer co-rrecciones por tensin y por temperatura a las me-diciones realizadas, respecto a las utilizadas por la comparacin, que estn anotadas en el certificado que extiende la Direccin General de Normas de la Secretara de Industria y Comercio. O tambin con la tensin y temperatura observadas al contrastar la cinta a su vez con otra ya comparada.

La forma de aplicar esta correccin es: CT 5 K(T 2 To)L, en donde: CT 5 Correccin por temperatura K 5 Coeficiente de dilatacin del material con

que est hecha la cinta T 5 Temperatura de la cinta al momento de ha-

cer la medicin To 5 Temperatura de la cinta al hacer la compa-

racin L 5 Longitud medida (puede ser o no la longi-

tud nominal de la cinta)De igual manera:

ct 5 (t 2 to)E(s)

en la que:

ct 5 Correccin por tensin t 5 Tensin en kilogramos sobre la cinta en el

momento de hacer la medicin to 5 Tensin en kilogramos aplicada a la cinta

al hacer la comparacin con el modelo pa-trn

Figura 2-30a

E 5 Mdulo de elasticidad del material de la cinta (el acero tiene un mdulo de elastici-dad de 18 a 20 000 kg por mm2)

s = rea de la seccin de la cinta, midiendo me-diante micrmetro el ancho y el espesor.

Figura 2-30b.

Debe considerarse el desnivel entre los extre-mos de la cinta. Si se determina el desnivel entre los dos puntos de apoyo, se har correccin por inclinacin. Asimismo, se har la reduccin al ho-rizonte cuando se conozca el ngulo de inclinacin (figura 2-30).

BC 2 1 AC 2 5 AB 2

BC 5 d

d 2 1 AC 2 5 AB 2

AC 2 5 AB 2 2 d 2

AC 5 AB 2 2 d 2

Correccin c 5 AC 2 ABc 5 2AB 1 AB 2 2 d 2

En otra forma:Si la correccin c = AC 2 AB, multiplicando y

dividiendo entre (AC + AB) se tiene:

c =

(AC 2 AB)(AC 1 AB )(AC 1 AB)

=(AC 2 2 AB2)(AC 1 AB)

como d 2 = (AC 2 2 AB 2) segn el tringulo rectn-gulo ABC, queda entonces:

c =d 2

(AC 1 AB)

considerando que AC 1 AB es aproximadamente el doble del tramo medido, es decir, AC 1 AB = 2L; por ltimo, queda la correccin:

c =d 2

2L


Profundidad nguloparalctico

Ojo derecho

1

2

Ojo izquierdo

Indicador de la distancia

Bastn extensible

Metros

Decmetros

Botn para puestaen ceros

Esta correccin no se hace cuando no es nece-sario hacer la reduccin.

Para medir con cinta, hay que evitar las equi-vocaciones; para ello se mide varias veces la dis-tancia en ambas direcciones y se apoya en distintos puntos intermedios.

Ms adelante se explicarn ms ampliamente los errores sistemticos por defectos de la cinta, que disminuyen si se tienen en cuenta con mucho cuidado las verificaciones y correcciones ya expli-cadas. Pero los errores accidentales suelen presen-tarse como sigue:

No colocar de manera vertical una ficha al mar-car los pequeos tramos por medir o al moverla lateralmente con la cinta.

Que el cero de la cinta no coincida con el punto donde se inicia una medicin.

Variaciones de tensin, pues si la medicin se hace con dinammetro se presentan pequeas variaciones a pesar de que se d la misma tensin.

Lectura extrema de la cinta, en toda su lon-gitud (nominal) o un tramo de ella, puede no estar sobre el punto a medir, o que las frac-ciones que se interpretan no coincidan con el lugar exacto del punto.

Figura 2-31. Odmetro y detalle de lectura.

Mediciones con odmetros o ruedas perambula-doras. Estos aparatos se utilizan para mediciones simples en banquetas, paredes, pisos, etc. Aunque tambin se llegan a usar en levantamientos topo-grficos expeditos, no tienen gran precisin.

El odmetro es una rueda cuyo dimetro est bien definido y posee un contador de vueltas que indica en forma digital las medidas realizadas (fi-gura 2-31).

En la construccin se emplea para cuantifica-cin de instalaciones, trazo de lneas, etctera.

Mediciones con telmetro. Este instrumento resulta muy til en terrenos muy accidentados y de difcil acceso, pues no requieren equipos auxiliares como balizas o estadales, a menos que el telmetro posea un limbo horizontal para medidas angulares y pueda ser colocado sobre un trpode. En este caso ser necesario precisar las visuales hacia pun-tos de poligonal o radiados.

El fundamento de este tipo de aparatos es que se presenta a nuestros ojos para distinguir la ter-cera dimensin o profundidad, es decir, la visin estereoscpica, cuando con ambos ojos dirigimos la mirada a un punto en que la imagen de uno y otro ojo se sobreponen fundindose en una sola (figura 2-32).

Figura 2-32. Visin estereoscpica.

1Planimetra

Telmetro lser

TelescopioLentes del ocular

Prismas

Filtro amarillo

Filtro azulEscala

Lentes del objetivo

Figura 2-33. Principios del telmetro ptico.

Este aparato posee una caja, circular o cua-drangular, de unos 60 cm. Unos al centro, y otros en uno de los extremos, posee un telescopio con una escala graduada que, segn el recorrido hori-zontal se funden las imgenes para proporcionar las distancias en relacin con la base del aparato definida al momento de hacer la medicin por la distancia entre los dos prismas pentagonales extre-mos y el ngulo paralctico (figura 2-33).

Rango de mediciones del telmetro: De 7.5 a 1 000 m

Longitud de la base: 0.5 m

Longitud total: 0.6 m

Precisin: Hasta 300 m 6 1% De 300 a 500 6 2% De 500 a 1 000 6 5%

Amplificacin del telescopio: De 2X a 4X

ngulo de cobertura: Hasta de 630'

Determinacin de distancias por medio del distancimetro electrnico (DE)

Estos instrumentos han tenido gran desarrollo a partir de la Segunda Guerra Mundial por las apli-caciones del RADAR, cuyo principio es el chillido que emiten los murcilagos. Segn la intensidad del eco se determinan la direccin y la distancia al objeto que refleja el sonido.

Este principio ha permitido disear aparatos de medicin de distancias largas, que haban sido siempre muy engorrosas por otros medios.

Los actuales distancimetros electrnicos, que funcionan con ondas luminosas y electromagnti-cas, nos remiten a los primeros experimentos para determinar la naturaleza de la luz. En 1666, el f-sico ingls Isaac Newton (1642-1727) consigui es-tablecer la descomposicin de la luz en sus colores primarios y enunci los postulados de su naturale-za corpuscular.

Ms adelante, el fsico y gemetra holands Cristian Huygens (1629-1695) dise y construy el muelle espiral de los relojes e hizo estudios sobre la refraccin de la luz y propuso la teora de que la luz tena una naturaleza ondulatoria.


Espejo reflector

720 dientes

25 revoluciones/min

Fuente luminosa

Lentes8633 m Lente 2 Lente 1

Observador

Espejo semitransparente

0

1 2

W

Figura 2-34.

Uno de los ms notables intentos fue del ma-temtico, fsico y astrnomo Galileo (1564-1642), quien con mtodos rudimentarios intent medir la velocidad de la luz sin conseguirlo, pero sus traba-jos constituyeron un precedente notable como todo lo que realiz.

Luego el astrnomo dans Olaf Roemer (1644-1710), en 1676 determin la velocidad de la luz mediante estudios realizados en los eclipses de Jpiter, y encontr un valor de 299 000 km/s.

El astrnomo ingls James Bradley (1693-1762), quien descubri la aberracin de la luz, de-termin un valor ms aproximado de la velocidad de la luz en 1728. Sin embargo, fue en 1849 cuando el fsico francs Armand Hippolyte Louis Fizeau (1819-1896) determin un valor ms aproximado de la luz mediante una rueda giratoria dentada, un espejo semitransparente, un reflector y una fuen-te luminosa. Con esos elementos pudo determinar una velocidad de 313 000 km/s despus de un gran nmero de observaciones (figura 2-34).

El fsico francs Len Foucault (1819-1868) de-mostr el movimiento de rotacin de la Tierra me-diante pndulos y, en forma experimental, calcul un valor de 300 000 km/s para la velocidad de la luz.

Sin embargo, los mtodos de Fizeau y Foucault fueron mejorados por el fsico estadounidense

Albert A. Michelson (1852-1931), quien recibi el Premio Nobel en 1902. En 1926, en sus experimen-tos modific la trayectoria de la luz y obtuvo un valor de 299 796 km/s para la velocidad de la luz. Luego, midiendo la velocidad de la luz en el vaco, intent dar un valor ms preciso; pero sus expe-rimentos los concluyeron, tres aos despus de su muerte, sus colaboradores Pease y Pearson. Ellos despus de 2 885 medidas diferentes encontraron un valor promedio para la velocidad de la luz de 299 744 km/s, que entonces era el valor ms preciso.

Otro estudio fue realizado por el tambin fsico estadounidense Raymond T. Birge (1887), quien concluy que el valor ms probable era 299 790 km/segundo.

La Unin Internacional de Geodesia y Geofsica (IUGG) estableci un patrn en el vaco para la luz visible y las microondas de radio, una velocidad de 299 792.4 6 0.4 km/s, pero se sabe que en el espacio la velocidad adquiere otros valores.

A continuacin se dan los antecedentes de las ondas electromagnticas que tienen la misma velo-cidad de la luz en el vaco y que tambin se utilizan para hacer mediciones de distancias.

James Clerk Maxwell (1831-1879), fsico es-cocs, descubri que la velocidad de las ondas electromagnticas es la misma que la velocidad de

21Planimetra

Fuente luminosa

Luz no polarizada

Condensador Polarizador

Luz polarizadacon un ngulo Clula de

Kerr

Polarizador con unngulo de polarizacinde 90 +

90 +

la luz, puesto que la misma luz es una radiacin electromagntica.

Gustavo Hertz (1877-1975), fsico alemn, rea-liz los experimentos para detectar las ondas elec-tromagnticas y demostr que se reflejaban en los objetos slidos de la misma manera que los rayos luminosos. Hertz recibi el Premio Nobel en 1925.

Guillermo Marconi (1874-1937), fsico italiano, Premio Nobel de 1909, descubri que las ondas cortas eran tiles para la comunicacin.

En 1935, el fsico escocs Robert Alexander WatsonWatt (1862) logr realizar las primeras medi-ciones de distancias con microondas, pues logr seguir un avin aprovechando las reflexiones de las micro-ondas que ste le enviaba en lo que posteriormen-te se convirti en el RADAR (Radio Detection and Ranging). En 1948 surgi un distanciamiento elec-trnico de fuente luminosa, denominada Geodmetro (Geodetic Distance Meter), creado por el geodesta sueco Erick Bergstrand. Con los experimentos de Fizeau y conociendo la velocidad de la luz, sustitu-y la rueda dentada y el espejo semitransparente por dispositivos pticos, elctricos y electrnicos, para de-terminar distancias (figura 2-37), basndose en expre-siones como:

Distancia 5 T (seal recibida) 2 T (seal emitida)2

5 Velocidad de la luz

D 5 TL VL2

, en donde:

D 5 Distancia TL 5 Tiempo empleado por las ondas luminosas en su recorrido de ida y regreso

VL = Velocidad de las ondas luminosas en el vaco 299 792.4 6 0.4 km/s

As, en la pantalla correspondiente, se lea la lectura de la distancia, a la cual se aplican las co-rrecciones por temperatura y presin y se reduce al horizonte por medio del ngulo vertical lo que contribua a medir largas distancias con una preci-sin muy aceptable.

Para los primeros geodmetros se utilizaba una radiacin monocromtica visible, como onda porta-dora. Eran instrumentos electropticos que usaban una lmpara de tungsteno o de vapor de mercu-rio, cuyo haz luminoso se regulaba por medio de una clula de Kerr y se transmita mediante un sistema coaxial hasta un prisma reflector, que al recibir los rayos reflejados y transformados en im-pulsos elctricos se poda determinar por diferen-cias de fases la distancia entre el punto de estacin y el prisma reflector. Con un sistema especialmen-te adaptado para el efecto, alcanzaba precisiones de 5 mm 6 1 mm por kilmetro y un error medio cuadrtico de 20 mm en 5 km, como el geodmetro AGA 6B. De esa manera, era posible medir distan-cias de 5 km durante el da y 15 km por la noche, sin niebla, vapor de agua o partculas slidas que impidieran la propagacin de los rayos luminosos.

En la actualidad, este sistema se ha superado gracias al uso del rayo lser, con el que se puede medir, de da o de noche, distancias hasta de 60 km en una forma totalmente automatizada. Por ejemplo, los geodmetros AGA 8 y AGA 700, que son los ms avanzados, se ilustran mediante foto-grafas y figuras en pginas posteriores.

Figura 2-35. Principio del geodmetro.


Para continuar en el aspecto histrico de los distancimetros electrnicos (DE), en 1957 el in-gls T.L. Wadley utiliz ondas electromagnticas en lugar de ondas luminosas. Estas ondas de radio eran emitidas por una estacin maestra y las reci-ba y reflejaba una estacin remota, ubicada en los extremos de la lnea que una ambos puntos con la caracterstica de poderse intercambiar la maestra en remota, y viceversa, con slo operar una tecla. Dicha onda de radio, de frecuencia y amplitud mo-dulada, haca diferencias importantes respecto al geodmetro. Por eso Wadley bautiz este aparato como telurmetro, del latn telluris, tierra y del grie-go metron, medida, para diferenciarlo del anterior.

El telurmetro requiere intervisibilidad entre las estaciones remota y maestra, y salvo en caso de lluvia, las mediciones pueden hacerse tanto de da como de noche sin alteraciones por niebla, va-por de agua, polvo, etc. Debido a que se trata de distancias grandes, es necesario reducirlas al ho-rizonte y, dado el caso, considerar el elipsoide de revolucin que describe la Tierra.

Las diferencias importantes del telurmetro son las de poseer intercomunicacin, circuitos electrnicos muy compactos que lo hacen ligero, y sus accesorios son tan livianos y manejables como un teodolito.

Se han construido distintos tipos de telur-metros a partir del Tellurometer MRA 1, MRA2, MRA5 y el CA 1000. Tambin estn Wild DI 50 y DI 60, utilizados en topografa de precisin, en el apoyo terrestre para fotogrametra y en geodesia, pues la precisin que arrojan es de 3 millonsimas de la distancia medida ms un error adicional del aparato de 12.5 mm, aunque influyen las condi-ciones meteorolgicas.

Otros aparatos, como los de la empresa Hewlett Packard y los Auto Ranger de la compaa Keuffel and Esser, poseen en el aparato una seccin emi-sora y una receptora en el mismo distancimetro electrnico y un prisma reflector (figura 2-36).

La expresin de la distancia es similar a la del geodmetro:

D = TR VR2

en donde:

D = Distancia TR = Tiempo empleado por las ondas de radio en su recorrido de ida y vuelta

Figura 2-36.

VR = Velocidad de propagacin de las ondas de radio en el vaco (299 792.4 6 0.4 km/s)

Tanto el geodmetro como el telurmetro son aparatos para medir distancias entre 100 m y 100 km con precisin, ya sea para trabajos de topogra-fa o geodesia. Aunque en el pasado eran aparatos pesados y de manejo complicado, resultaron un gran avance en las mediciones de distancias.

A finales de la dcada de los sesenta surgieron los DE de fuentes, tanto luminosa como electro-magntica, con grandes avances en sus caractersti-cas electropticas, de manejo sencillo, bajo peso y tamao, as como elevada precisin. Han evolucio-nado en forma vertiginosa, que algunos de los que aqu aparecen quiz pronto estn descontinuados.

El principio de estos instrumentos consiste en determinar el tiempo que tarda una onda lumi-nosa o electromagntica en hacer el recorrido de ida y vuelta. Estos aparatos emplean la tcnica de medicin de diferencia de fase y utilizan como onda portadora la radiacin infrarroja, que se lo-gra por medio de un emisor de arseniuro de galio o por rayo lser (light amplification by stimulated emission of radiation [amplificacin de la luz me-diante emisin estimulada por radiaciones]), ya sea de rub o de gas helio-nen. As, el rayo emitido llega a un prisma reflector y regresa, de modo que en funcin del tiempo de recorrido proporciona la distancia inclinada, la que ser necesario corregir por temperatura y presin, as como reducirla al horizonte.

Seccinemisora

Prisma

Seccinreceptora

23Planimetra

Figura 2-37. Distancimetro Mini-Red-II Sokkia, montado sobre teodolito, mide hasta 800 m con rayo infrarrojo y prisma reflector.

La onda luminosa de rayo infrarrojo tiene me-nos alcance que la producida por el lser, mientras que los DE con base en rayo infrarrojo pueden me-dir distancias desde 800 hasta 7 000 m. Con el lser es posible medir desde 12 hasta 60 km. Veamos lo siguiente.

Ranger IV, distancimetro electrnico de la casa Keuffel and Esser que utiliza el rayo lser de helio-nen modulado en frecuencias mltiples para realizar una medida de fase entre el haz emitido y el reflejado por el prisma, puede medir desde 1 m hasta 12 km. Otros instrumentos de esta casa tie-nen las siguientes caractersticas:

Autorranger, de 1 m a 2 kmMicrorranger II, de 1 m a 3 kmRanger IV, de 1 m a 12 kmRanger V, de 1 m a 25 kmRanger Master, hasta 60 kmLos distancimetros electrnicos (DE) con

rayos infrarrojos se pueden observar en las figuras 2-38 y 2-39.

Figura 2-38. Distancimetro electrnico sobre teodolito (Leica) equi-valente a una estacin total primitiva.

Los prismas reflectores son el factor ms im-portante en la precisin y alcance de los distan-cimetros elctricos, y se consideran, bsicamente, los aspectos de potencia en la emisin, el tamao y nmero de prismas y las condiciones atmosfricas.

Son prismas de tipo recto que reflejan los rayos en la misma direccin en que llegan. Sus carac-tersticas de precisin (figura 2-39) se deben a los lados del cristal, cuyas caras deben ser perfecta-mente paralelas, as como por la perpendicularidad precisa de las caras. El tamao y nmero de los prismas definen tanto la precisin como las distan-cias mximas, segn la potencia de emisin de la fuente de radiacin utilizada. La distancia mxima ideal no se alcanza debido a los distintos factores atmosfricos: refraccin, absorcin y dispersin, partculas de polvo, humos, vapor de agua, lluvia, etctera.

Figura 2-39. Distancimetro Sokkia ED2L de luz infrarroja mide hasta 7 000 m en condiciones ptimas.

Figura 2-40. Prisma sencillo abatible.

Las variaciones en la presin atmosfrica y la temperatura son elementos importantes en las co-rrecciones por refraccin y al introducir las cons-tantes de los aparatos.

La radiacin que produce el suelo en longitudes de onda de luz visible, tanto como el infrarrojo,


Graficador

DiscoImpresora

Computadora

CRT monitor

RS-232interfase

Libreta de campo electrnica Nikon DR-1

Teodolito estacintotal DTM-1 Nikon

Cartucho de datos

causa lecturas diferentes en una misma medicin. Esto sucede cuando el distancimetro electrni-co apunta en direccin del Sol o en una direccin prxima. El efecto puede disminuir o eliminarse fcilmente cuanto se mide en direccin contraria, o haciendo mediciones mientras el Sol cambia su posicin para despus rectificar la medida.

En los distancimetros electrnicos de fuente electromagntica, en ocasiones la onda sufre des-viaciones o reflexiones accidentales por: obstcu-los, zonas arboladas, etc. Se puede apreciar que las fuentes del error son mltiples; por tanto, ser necesario en cada trabajo hacer las consideracio-nes pertinentes segn las caractersticas propias de cada aparato.

Figura 2-41. Estacin total Sokkia C-4.

El tiempo es muy importante para los trabajos de topografa si se dispone de este tipo de instru-mentos, porque al acelerar los trabajos de campo se abaten los costos, sobre todo los DE de fuente lu-minosa que nos proporcionan: distancia inclinada alimentando el ngulo vertical (algunos aparatos lo hacen en forma automtica), la temperatura y pre-sin atmosfrica directas o con los valores corres-pondientes de las tabulaciones que los fabricantes proporcionan, as como las respectivas constantes de aparatos. Se puede obtener tambin la distan-cia reducida al horizonte y corregida por factores meteorolgicos, as como el desnivel entre las dos estaciones, para anotarlas en una libreta de campo tradicional, en una libreta de campo electrnica (figura 2-42) o en cinta magntica, para que pasen a una computadora y sean procesados segn un itinerario previo (figura 2-43).

Figura 2-42. Libreta electrnica de campo para pasar luego a la computadora los datos de campo en forma directa.

Figura 2-43. Modernos sistemas de procedimiento y representacin de terrenos.

Hay varios aparatos para hacer mediciones o levantamientos topogrficos, como los taqumetros autorreductores, las planchetas, mtodos estadim-tricos, etc., los que se vern con detalle en el tema 4. Todos ellos sirven para determinar distancias horizontales, o sea planimtricas, tema que se est tratando aqu.

25Planimetra

Exterior

Interior izquierdo Deflexin izquierda

Interior derecho

A

B

C

A

B

C PH

0 0

Desde hace mucho tiempo existen varios ti-pos de gonimetros, pero aqu expondremos slo la brjula y el teodolito. Las mediciones anulares se pueden realizar con el sentido del giro, a la iz-quierda o a la derecha; es decir, en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario. El valor angular interno o externo en las poligonales puede medirse desde un vrtice, por vuelta de horizonte, cuantos ngulos sea necesario. Tambin se puede medir el ngulo de deflexin que resulta de la pro-longacin de un lado con el que le sigue, ya sea el anterior o el posterior (figura 2-46).

2.3 Determinacin de ngulosEs un elemento geomtrico muy importante en la realizacin de levantamientos topogrficos. La pro-yeccin de dos lados consecutivos sobre el plano del horizonte describe una abertura que define un sector de un crculo. Si coincide el centro del crculo con el vrtice, dicho sector o arco se puede medir en forma similar al uso de un transportador en geometra (fi-gura 2-44), mediante un gonimetro (del griego gnia, ngulo y metrn, medida), con las mismas condicio-nes del transportador sobre la hoja de papel, slo que en el terreno y proyectando sobre el sistema de referencia que da el plano horizontal (figura 2-45).

Figura 2-44. Dibujo de un ngulo con transportador.

Figura 2-45.

1

2

3

4

5

0

Figura 2-46. Levantamiento polar de vuelta de horizonte.

A los ngulos se les pueden asignar valores sexagesimales, centesimales o radianes.

Con los gonimetros se pueden medir ngulos sexagesimales o centesimales, segn el caso, para lo cual tienen dispositivos adecuados. Los radianes se utilizan en el clculo, en especial cuando se dispo-ne de computadoras para las funciones trigonom-tricas de los ngulos.

En Amrica y sobre todo en Mxico, los goni-metros estn graduados en grados sexagesimales, en tanto que en Europa la gran mayora de los instru-mentos topogrficos modernos tienen graduacin centesimal, que representa muchas ventajas.

En el sistema sexagesimal se hace una divi-sin del crculo en 360 partes iguales, denominadas grados (o). A su vez, un grado se subdivide en 60 partes iguales, denominadas minutos(), y un mi-nuto dividido entre 60 da los segundos (). As, el valor angular de un arco de 10 grados, 10 minutos


0

90

180

270

360

N = 10 / 9 NN = 9 /10 N

g

g

0

100

200

300

400

g

g

g

g

g

y 10 segundos, se escribira en la siguiente forma: 101010.

Ante la posibilidad de encontrar un gonimetro de graduacin centesimal, en este caso el crculo se subdivide en 400 partes iguales. As, una lectura de diez grados, diez minutos y diez segundos, se es-cribira 10g10c10cc, aunque los gonimetros se pre-sentan con lecturas digitales en grados y decimales de grado. Y esto constituye una gran ventaja para fines de clculo, por ejemplo, 105.8224g.

El crculo sexagesimal se subdivide en cuatro cuadrantes de 90 cada uno, en tanto que para el crculo centesimal, cada cuadrante equivale a 100g. Por ello, las conversiones, de ser necesarias, se ha-ran en la siguiente forma (figura 2-47):

N 5 9/10 (75.1633g) 5 67.64697. Si se desea conocer el valor en grados, minutos y segundos de arco sexagesimal se procede as:

0.64697 3 60 5 38.81820.8182 3 60 5 40.09, por lo que 75.1633g 5

673840.09Los radianes. Esta medida del arco de crculo

debera estar en el tema correspondiente a valores que se determinan por medio del clculo; sin em-bargo, debido a la secuencia relativa a las conver-siones, mencionaremos que un radin se define por la relacin existente entre un arco de crculo y su correspondiente radio; = A/R, en donde A es el arco y R el radio expresados en unidades de medi-da longitudinal, por lo que es un nmero. As, en geometra se cumple que:

/180 5 /N y como 5 A/R, entoncesN 5 180 3 (/) para ngulos sexagesimales

y con un razonamiento anlogo:Ng 5 200 3 (/) para ngulos centesimales.

Mtodos para la medicin de ngulos

En topografa el uso de cualquier gonimetro o ins-trumento para medir ngulos, como el teodolito, tiene como fundamento lo siguiente.

Ante todo veremos cmo se mide un ngulo mediante el uso de un transportador, del arco de crculo descrito por dos lneas rectas: primero se apoya el transportador en el plano, de manera que describan tres planos paralelos, que finalmente los consideramos como uno en su proyeccin.

Luego se pone el centro del crculo en coinci-dencia con el vrtice definido por las dos rectas; el cero de la graduacin del crculo en coincidencia con una de las lneas y la interseccin de la otra lnea con el crculo descrito por el transportador, dar el valor correspondiente al ngulo deseado (fi-gura 2-48).

En los trabajos topogrficos las mediciones se realizan sobre el terreno, pero tienen la misma con-cepcin geomtrica, como aparece en la figura 2-48.

El eje de giro 1 debe ser perpendicular al plano del horizonte y pasar precisamente por el vrtice del ngulo por medir; por tanto, el crculo graduado deber estar en un plano perpendicular a dicho eje, es decir, paralelo al plano del horizonte. El eje 2 es perpendicular al eje 1, as como a la lnea de

Figura 2-47. Sistemas sexagesimal y centesimal.

En muchos textos se incluyen tablas de con-versin; sin embargo, es sencillo realizar cualquier conversin debida a textos editados en Espaa o en Europa en general, o por proyectos de ingeniera elaborados por ingenieros europeos. A continua-cin se dan algunos ejemplos de conversiones.

Convertir 10 30 36 a grados centesimales.Paso 1. Convertir el ngulo a grados y decima-

les de grado:36/60 5 0.6; 30 + 0.6 5 30.6; 30.6/60 5

0.51; por tanto, 10 30 36 5 10.51Paso 2. Usemos la frmula correspondiente:Ng 5 10/9 (10.51) 5 11.6778 que es el valor

centesimal correspondiente.El ejemplo contrario. Si tenemos un ngulo

centesimal de 75.1633g (17g 6c 33cc), aplicaremos la otra frmula:

27Planimetra

0

0

Izquierda

Derecha

puntera, lnea de colimacin o lnea de la visual (colimacin es el fenmeno fsico que consiste en dirigir la vista en una direccin y a un punto deter-minado). Todo lo anterior tiene por objeto reunir las condiciones geomtricas necesarias para reali-zar la medicin del ngulo BAC, como se hace con el transportador.

0

Eje ptico

Eje 1Eje 2

Lnea de la visual

A B

C

A B

C

La mayora de los instrumentos topogrficos tienen dispositivos pticos y mecnicos que per-miten hacer las mediciones con la garanta de que renen todas las condiciones geomtricas. Al des-cribir ms adelante la brjula y el teodolito, se ver con mayor precisin y claridad lo antes dicho. Primero se mencionarn los mtodos que se utili-zan en las mediciones angulares:

Mtodo simple. Este mtodo consiste en colo-car como origen de medicin cero grados sobre la lnea que une al vrtice con cualquier punto de re-ferencia. A partir de all se puede medir el ngulo interno, externo o de deflexin en sentido positivo (sentido de las manecillas del reloj) o en sentido negativo (contrario a las manecillas del reloj), has-ta el siguiente punto de referencia que defina el ngulo. Luego se lee en el crculo graduado el valor correspondiente al arco descrito entre las dos lneas (figuras 2-49 y 2-50).

Mtodo de reiteracin. En este caso el origen se toma de manera arbitraria en una lectura cualquie-ra definida de antemano, para ratificar

topografia y sus aplicaciones

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