topografia ii curso clase (1,2,3,4) en formato pdf

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11/04/2012 TOPOGRAFIA II 1

TOPOGRAFIA II JORGE E. URIBE SAAVEDRA

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OBJETIVO

Complementar conocimientos de Topografa I. - Precisin

- Utilizacin de equipos mecnicos y digitales.

- Se trabajar con Estacin total, teodolito y eclmetro (en ese orden de porcentaje de participacin)

Presentar sus aplicaciones en proyectos viales, hidrulicos, urbanos, energticos y mineros

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Programa Topografa II 1.- Resumen de conceptos Topografa I

2.- Resumen de conceptos Topografa I -Medicin de ngulos por reiteracin

3.- Topografa automatizada

4.- Redes de apoyo en planimetra, pothenot

5.- Precisin de Redes de nivelacin- Mnimos Cuadrados

6.- Medicin de distancias y ngulos-Mnimos cuadrados

7.- Aplicaciones seminario examen parcial

EXAMEN PARCIAL

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Levantamiento topogrfico

Etapas levantamiento topogrfico

Recopilacin de informacin ,

Planificacin del levantamiento

Trabajo de Campo

Trabajo de Gabinete

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Levantamiento Topogrfico

1.-RECOPILACIN DE INFORMACIN

Internet

Reconocimiento(de ser posible)

Gente del lugar

Planos anteriores

Informacin complementaria:

-Clima(temperatura, lluvias, sol, nieve)

-Transporte, Hospedaje, Alimentacin, Campamento

-Personal

-Equipos

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2.- Planificacin del Levantamiento

- Precisin deseada- Equipo(costo)

- Tiempo disponible- Personal y equipos(costo)

- De acuerdo a condiciones de la zona : Acceso, condiciones meteorolgicas, personal y equipo disponible en la zona, hospedaje, alimentacin, campamento y envo de informacin etc.

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3.- Trabajo de campo

-Revisar equipos antes de salir al campo

-Croquis y registros de campo

- Validar los registros de campo

- Validar los objetivos diarios propuestos

4.- Trabajo de gabinete

-Gabinete campamento

-Gabinete oficina central

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REDES DE APOYO

- Poligonacin

- Triangulacin

En funcin de:

- Condiciones de zona a

levantar( Dificultad, rea)

- Precisin

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Poligonacin cerrada

1.- Ubicar vertices que permitan levantar la mayor parte de la zona.

2.- Debe poder observarse los vertices vecinos

3.- La poligonal no encierra necesariamente la zona de trabajo

4.- De ser necesario evaluar la utilizacin de poligonales secundarias

5.- Orientar la poligonal

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Poligonacin Cerrada-

continuacin 6.-Los errores angulares

y lineales deben ajustarse a lo requerido por el proyectista. Error Relativo

Etotal=Eang(rad)+Elin

Erelativo=Etotal/perimetro

7.- Calculo de coordenadas

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Poligonacin-Resumen Un levantamiento topogrfico debe plasmar sobre

un plano detalles planimetricos y altimetricos(ambos); complementado con un informe.

Los valores altimetricos de precisin se realizn con el nivel de ingeniero(cotas de los vertices o puntos topogrficos)

La medicin de distancias de los lados del poligono debe realizarse como minmo con cinta de acero.(resultado al que se le hara las correcciones respectivas).

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Poligonacin cerrada

A

B

C

D

E

F G

Si tenemos detalles no observables

desde la poligonal principal, podemos

crear una poligonal secundaria

E,F,G,C,D

Control Angular E1 +F+G+C1+D

Control de descomposicin lineal

E1

C1

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Poligonacin cerrada

Curvas de Nivel

A

-Croquis con los detalles del rea

(hondonadas, canales, etc)

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Poligonal abierta Poligonal utilizada para proyectos y obras de desarrollo

longitudinal,

Como:

-Carreteras

-Ferrocarriles

-Canales

Norte

magntico

A

B

C

Zab

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Poligonal abierta Se miden ;

- Acimut

-ngulos( entre alineamientos, por deflexin, etc)

-Distancias de alineamientos

Controles:

-Acimut trasladado , contrastado contra el medido en esa posicin.

-Coordenadas

A

B

C

D1

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BIBLIOGRAFA

Topografa Tcnicas Modernas- Jorge Mendoza

Topografa Automatizada- Jorge Mendoza

Topografa para ingenieros-Phillip Kissan

Tcnicas modernas en Topografa- Bannister-Raymond-Baker

Topografa Dante Alcntara

Topografa- Miguel Montes de Oca

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Medicin de ngulos

Redes de apoyo I- Repeticin

Acumulamos medidas- promedio del total acumulado

1medida) 503010

4 y ltima medida)2020048

PROMEDIO= 503012

II- Reiteracin

Diferentes inicios- promedio considerando todas las medidas

Ejemplo: Inicios referenciales( 0 , 90, 180, 270)

Medidas: 00010-503020= 503010

900012- 1403025= 503013

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Medicion de angulos

horizontales:REITERACIN Segmento= 360/# de series

A mayor nmero de series mayor precisin

Ejemplo 1: 360/4 series= 90

SERIE INICIO REAL-campo

1 0|0000 000040

2 900000 900050

3 1800000 1800210

4 2700000 2700430

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REITERACIN:ejemplo #2

. est pv Lectura directa

Lectura inversa

Promedios parciales

B 000006 1800019

C 1730606 3530622 1730602

B 900022 2700029

A C 2630634 830638 1730610

B 1800039 000042

C 3530645 1730642 1730603

B 2700020 900016

C 830622 2630622 1730604

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REITERACIN

Promedio Estacin

P.E= 1730602+1730610+1730603+ 1730604/4 = 1730605

Nota.- Apartir de una estacin se miden uno(01) o ms ngulos.

____________________________________

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Reiteracin

Ofrece ms precisin que el de repeticin

Posee un error accidental ligeramente mayor que el de repeticin

Se utiliza en triangulaciones y levantamientos geodesicos d 1 y 2 orden

La precisin de los teodolitos son menores o iguales a 1

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Topografa Automatizada

Levantamientos con Teodolito digital

Levantamiento con Estacin Total

Estacin Total es:

- Teodolito digital y

- Distanciometro

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TEODOLITO ELECTRONICO

Teodolito digital

Medida en pantalla digital de cristal cuarzo

Limbos codificados y sensor electrnico para convertir valor analgico a digital

Sistemas de lectura:

- Incremental

- Absoluto

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Teodolito electrnico

INCREMENTAL

- Diferencia entre dos alineamientos

- Limbos con Franjas transparentes y oscuras

- Poseen dos escalas, una ms precisa

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Teodolito Digital-Sistemas de lecturas

ABSOLUTO

-Limbo codificado con cero absoluto

Esttico

Fotosensor inmvil y limbo gira con la alidada con micrometro

Para los minutos y segundos

Dinmico

Dos fotosensores, uno origen de lectura y otro mvil con la

alidada

Franjas transparentes y oscuras

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Distanciometro Base y prisma(reflector) o

superficie reflectante de color claro(baja la precisin)

Base junto con teodolito

La onda se refleja en primer cuerpo en el camino

En el recorrido no debe haber obstaculos (ramas, etc)

long.onda

Distanciometro

Prisma

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Distanciometro

Correcciones en las mediciones debido a:

-Temperatura

- Hmedad

- Presin

-La medicin varias ondas de diferente frecuencia

- Dependiendo de la distancia se emiten ondas para 10,000

1000, 100, 10 y decimales

-Puede ser rayos

infrarojos hasta 8 km

Lser-hasta 60 km

- Error (ppm) partes por millon

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Distanciometro

Libreta elctronica -01 prisma

-03 prismas

-09 prismas

Libreta-colectora de datos, conectada a l teodolito electronico yo

Distanciometro.

Despus del campo se conecta a una computadora, y procesarlos

con algn software predeterminado

-Necesitamos un orden o croquis de trabajo.

Algunas realizan correcciones y hasta clculos de coordenadas

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Estacin total

Teodolito digital y Distanciometro en un solo equipo,

Adicionalmente tienen libreta electrnica y microprocesador

Alta precisin y gran ahorro de tiempo, con los principios bsicos

Mide ngulos horizontales , ngulos verticales y distancias

inclinadas; que se procesan

Puede medir alturas de edificaciones , rboles y replanteos.

Archivos de pc a Estacin total

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Estacin Total

Mtodos Planimtricos Considerar

Espalda.- Visual a punto , alineamiento con

acimut conocido

Frente .- Visual al punto que se le desea asignar

coordenadas

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Revisin de Conceptos de

Topografa I Redes de Apoyo- Levantamiento topogrfico

- Poligonacin

- Triangulacin

Antes de la aparicin y propagacin en uso de la Estacin Total(teodolito digital y distanciometro)

La triangulacin era la solucin para trabajar en terrenos de grandes obstculos de trabajo (grandes desniveles, arbolados,etc). Ya que requiere de menor nmero de mediciones de distancias.

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Triangulacin-red de apoyo

- Divide el terreno en tringulos con lados comunes.

- Se miden los ngulos de los tringulos y un lado, que se utilizar como base de apoyo.

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Triangulacin-Clases 1 Orden

-Bases 1/1000000

-Cierre de triangulos 1

-Cierre en longitud:

Clase I: 1/100000 Plano de ciudades

Clase II: 1/50000 Red bsica

Clase III: 1/25000 Todo lo dems

2 Orden

Clase I .-Bases: 1/1000000; C. triangulos: 1,5; Cierre long: 1/20000

Red regional y redes auxiliares

Clase II.-Base:1/500000; C.triangulos:3; Cierre long. 1/10000

Red costera, ros , obras de ingeniera

3 Orden

-Bases:1/250000; C.Triangulos: 5; Cierre long.: 1/5000

Mapas topogrficos

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Triangulacin Cadena de tringulos

Cadena de polgonos, triangulos dentro de los poligonos

Cadena de cuadrilteros,Cuatro triangulos

La de triangulos es la ms sencilla y de menor precisin

Coeficiente R

MANEJAMOS LA PRECISIN RELATIVA DE LAS FIGURAS

Cuanto menor es R, la figura tiene mayor precisin

Ejm.- Triangulacin de 3 orden R< 25 para una figura y R

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Triangulacin-Coeficiente R C=(n-s +1)+(n-2s+3) # de condiciones que debe cumplir la fig.

n= # total de lados de la red, incluyendo las bases

n= # de lados observados en ambas direcciones,incluida la base

s= # total de estaciones

s= # de estaciones de observacin

D= # de direcciones observadas

A; B= dif. Log. De los senos, expresadas con seis cifras cifras deci-

males correspondientes a la variacin de 1 en los ngulos opuestos A y B de

un triangulo, que son los ngulos que se oponen, respectivamente, al

lado conocido y al que se trata de conocer.

R= ((D-C)/D ) (A+ A.B+b)

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Triangulacin-Coeficiente R

Se requiere calcular el coeficiente de precisin del cuadriltero ABCD

para determinar el lado CD, partiendo de la base AB, habiendose

observado todos los lados en sus dos direcciones opuestas.

A B

D C

Lado

comun

Cadena Ang.

Opues

tos

(A+ A.B+b) R

A.;B

AC ACB

ACD

60;43

40;36

9.8; 22.2 32 19

AD ADB

ACD

90;53

104;40

2.4 ;5.2 7.6 5

BC BAC

BCD

77;60

89;47

2.0 ;3.7 5.7 3

BD BAD

BCD

53;37

47;44

15.2 ;12.8 28.0 17

C=(6-4+1)+

(6-8+3)=4

(D-C)/D=(10-

4)/10=0.6

R= ((D-C)/D ) (A+ A.B+b)

La cadena de mas precisin, es la formada por los

BAC y BCD s

60 44

40 37

36 53

47 43

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Compensacin-Triangulacin

1 Condicin angular

- Triangulo: 180

- Poligono formado por varios triangulos: 180 (n-2)

- Angulos alrededor de un punto: 360

2 Calculo de lados del triangulo, a partir de un lado base(medido con la mayor precisin); por medio de la ley de senos

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Cuadrilatero con

diagonales

A

C D

B

41 2 4

5 6

7 8

Ecuaciones de Condicin

1+2+3+4+5+6+7+8=360

1+8=4+5 ; 2+3=6+7

Relacionamos lados y angulos

Base

AB/AD= sen 8/sen 3

AB= DA sen 8/sen 3

DC= DA sen 1/sen 6 BC= DA sen 8 sen 2/ sen3 sen5

BC= DA sen1 sen 7/sen 6 sen 3

Sen1 sen3 sen5 sen7 /sen2 sen4 sen6 sen8= 1

(logsen1+logsen3+logsen5+logsen7)-(logsen2+logsen4+logsen6+logsen8)

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Se deben considerar variaciones que ayuden a satisfacer la ecuacin

Log sen(1+v1)

Para las diferencias logaritmicas se considera log sen(1+v1)=log sen(1+dl1v1)

dl1v1+dl3v3+dl5v5+dl7v7-dl2v2-dl4v4-dl6v6-dl8v8=(logsen1+logsen3+logsen5+logsen7-logsen2-logsen4-logsen6-logsen8= W

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Las variaciones deben ser prioporcionales a las diferencias logaritmicas

v1/dl1= v3/dl3=v5/dl5=v7/dl7=K

v2/dl2= v4/dl4=v6/dl6=v8/dl8= -K

v1=K dl1

K dli2= W

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Triangulacin: cuadrilatero

condiciones-resumen

B

A D

C

8 7

6

5 4 3

2

1

1+2+3+4+5+6+7+8=360 COND.#1

1+2=5+6 COND.#2 3+4=7+8COND.#3

log sen1+log sen3+log sen5+log sen7-(log sen2

+log sen4+log sen6+log sen8)=0 COND#4

(1+v1)+(2+v2)+(3+v3)+(4+v4)+(5+v5)+

(6+v6)+(7+v7)+(8+v8)=360 .......I

v1+v2+v3+v4+v5+v6+v7+v8=E1

E1=360-(1+2+3+4+5+6+7+8)

(1+v1)+(2+v2)=(5+v5)+(6+v6)

v1+v2-v5-v6=E2=5+6-(1+2)

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v3+v4-v7-v8=E3=7+8-(3+4)

log sen(1+v1)-log sen(2+v2)+log sen(3+v3)-...

.....log sen(8+v8)=0

log sen1+d1v1-log sen2-d2v2+..........

.......-logsen8-d8v8=0

d1v1-d2v2+d3v3-.......-d8v8=E4=log sen2+

log sen4+log sen6+log sen8-(log sen1+

log sen3+log sen5+log sen7)

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D1=(d1-d2)+(d3-d4)+(d5-d6)+(d7-d8)

D2=(d1-d2)-(d5-d6)

D3=(d3-d4)-(d7-d8)

D4=(d1)+(d2)+.......+(d8) (di) elemento al cuadrado

E4-(1/8 E1D1+1/4 E2D2+1/4 E3D3)

K4= -----------------------------------------------

D4-(1/8 (D1) +1/4(D2) +1/4(D3))

K3= (E3-K4D3) ; K2=(E2-K4D2);K1=1/8(E1-K4D1)

v1=K1+K2+d1K4 v5=K1-K2+d5K4

v2=KI+K2-d2K4 v6=K1-K2-d6K4

v3=K1+K3+d3K4 v7=K1-K3+d7K4

v4=K1+K3-d4k4 v8=K1-K3-d8K4

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Ejemplo nmerico

Angulos medidos d d2 logaritmos senos

(1) 461850 2.00(*) 4.00 9.859219

(2) 532610 1.57 2.46 9.904820

(3) 421130 2.32 5.38 9.827118

(4) 38 340 2.70 7.29 9.789935

(5) 581910 1.30 1.69 9.929924

(6) 412540 2.40 5.76 9.820646

(7) 344300 3.07 9.42 9.753862

(8) 454130 2.07 4.28 9.854665

3600030 D4=40.28 39.370123 39.370066

E1=-30 E4= 39.370066-39.370123=-57 x (10)-6

(*)d1=log sen461850-log sen461851=2.0 x(10)-6

log sen461850= -01407808586 +10=9.859219

E2=461850+532610-(581910+412540)=-10

E2= -10 ;E3=+20

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d1-d2=2.00-1.57=+0.43

d3-d4=2.32-2.70=-0.38

d5-d6=1.30-2.40=-1.10 d1-d2 =+0.43 d3-d4=-0.38

d7-d8=3.07-2.07=+1.00 -(d5-d6)=+1.10 -(d7-d8)=-1.00

--------- --------- -----------

D1=-0.05 D2=+1.53 D3=-1.38

(D1)=0.0025 1/8(D1)= 0.0003 1/8 E1D1=+0.187

(D2)= 2.3409 (D2) = 0.5852 E2D2= -3.825

(D3)=1.9044 (D3) = 0.4761 E3D3= -6.900

--------- ----------

1.0616 -10.538

-57-(-10.538) +20-1.185x 1.38

K4= -------------------= -1.185 ; K3= ---------------------=+4.59

40.28-1.062 4

-10+1.185x1.53 -30-1.185x0.05

K2= -------------------- =-2.047; K1=---------------------=-3.757

4 8

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v1=-5.80-2.00x 1.18=-8.16=-8; v5=-1.71-1.30x1.18= -3.24=-3

v2=-5.80+1.57x1.18=-3.95=-4; v6=-1.71+2.40x1.18=+1.12=1

v3=+0.83-2.32x1.18=-1.91=-2; v7=-8.35-3.07 x1.18=-11.97=-12

v4=+0.83+2.70x1.18=+4.02= 4; v8=-8.35+2.07x1.18=-5.91=-6

Se redondeo a 1

Angulos compensados y su comprobacin

(1) 461842 9.859203 461842+ 581907+

(2) 532606 9.904814 532606 412541

(3) 421128 9.827113 ------------ -------------

(4) 380344 9.789946 994448 994448

(5) 581907 9.929920

(6) 412541 9.820648 421128+ 343348

(7) 343348 9.753825 380344 454124

(8) 454124 9.854653 ------------- ------------

----------------- ------------ ------------ 801512 801512

360 0000 39.370061 39.370061

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Compensacin de cuadrilatero

con diagonales:ejemplo pag1

D

C

B

A 1 2

3 4

5 6

7 8 1 242210.75

2 585434.92

3 684657.32

4 225344.60

5 292400

6 743710.08

7 530323.6

8 275733.75

Suma 3595935

Error angular 25

48


Compensacion de cuadrilatero

con diagonales:ejemplo pag2

E3= 360-3595935=25

C3= 25/8= 3.125

E2= angs 7+6- angs 2+3=127 4033.68-1274132.24=58.56

C2=58.46/4=14.64

E1=angs1+8-angs4+5=521944.5-521744.60=159.9

C1=120/4=30

dl =(log sen del ang. Corregido ms un segundo)-

(log sen del ang. Corregido); en el ejemplo

Tenemos dl=log sen 242144.875-log sen 242143.875=0.46

K=sumatoria log/sumatoria dl alcuad=84.39/0.82

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Comprobacin con E2 y E1

Ang 7+6-ang 2+3= 1274058-1274115= E2= 17 C2=17/4=4.25

ang1+8-ang 4+5=521844-521903=E1=19 C1= 19/4=4.75

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Compensacin de cuadrilatero

con diagonales:ejmplo pag 3 Ang C1/C2 C3 Ang. corregi logsen

1 -30 3.125 242143.875 9.6154

2 -14.64 3.125 585423.405 9.9326

3 -14.64 3.125 684645.805 9.9695

4 +30 3.125 225417.725 9.5901

5 +30 3.125 292433.125 9.6911

6 +14.64 3.125 743727.845 9.9842

7 +14.64 3.125 530341.365 9.9027

8 -30 3.125 27576.875 9.6709

360000.02 0.00084

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continuacin dl dl2 C4() Corregido

0.46 0.21 -47 242056.875

0.13 0.02 +13 585436.405

0.08 0.01 -08 684637.805

0.50 0.25 +51 22558.725

0.38 0.14 -39 292354.125

0.05 0.0 +05 743732.845

0.16 0.03 -16 530325.365

0.4 0.16 +41 275747.875

0.82

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CONTINUACION C1/C2() Ang.correg logsen dl dl2

+4.75 242101.625 4.6

-4.25 585432.155 1.3

-4.25 684633.55 0.8

-4.75 22553.975 5

-4.75 292344.375 3.7

+4.25 743737.095 1.7

+4.25 530329.615 1.6

+4.75 275752.625 3.9

0 360000.01 .000027 82.84

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continuacin

Ang 7+6-ang4+5= 521853-521854 E2= 1

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Nivelacin de alta precisin

1.-Nivelacin Topogrfica

2.-Nivelacin Geodsica

Nivelacin Topogrfica de alta precisin

Ep= 0.004 distancia ruta en kilometros

- Niveles de gran precisin y gran sensibilidad

- Comprobar y corregir el equipo diariamente

Proteger equipos del sol

Puntos sobre planchas

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Errores en Nivelacin

Topogrfica

Ec=Error por Curvatura Terrestre=0.078 K

K en Kilometros

Ec,r= 0.068 K

Er= -0.010 K

Ec,r=Error Curvatura T. y Refraccin Atmosfrica

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Nivelacin topogrfica de alta

precisin -Visuales mximas de 80 metros

- Distancias iguales vista atrs y vista

adelante, medidas con estada

-Lecturas con los tres hilos horizontales y aprox de 0.25 mm

- Trabajar con dos miras

- No operar con viento o aire muy caliente

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Nivelacin de alta precisin

Mtodo de los tres hilos Hilo superior

Hilo reticular

Hilo inferior

p V.Atras V.Ade COTA D(m)

A h.s 1,765

h.c 1,655

h.i 1.545

P= 1,655

109.910 108.255 50,0

1 1,800

1,723

1,644

P=1,722

108,188 55,00

54,00

58

Redes de nivelacin

A

B

C

D

E

24 Km

6.879 19 Km

+3.282

45 Km

+6.312

27 Km

-1.569

18 Km

+5.373

41 Km

-2.676

21 Km

-8.145

Ec=0.063

Ec=0.096

Ec=0.12 Aproximaciones sucesivas

-Iniciar con el circuito de

mayor error y seguir de

acuerdo al tamao de error

59

itine lado K /% I Desn ICorr IDesCo IIDesn IVDesn

B BC 19/17 +3.282 +0.02 +3.302 +3.302 +3.293

C CD 45/40 +6.312 +0.05 +6.362 +6.362 +6.342

D DE 21/19 -8.145 +0.02 -8.125 -8.105 -8.111

E EB 27/24 -1.569 +0.03 -1.539 -1.520 -1.524

B total 112/100 -0.12 +0.12 0.0 +0.039 0.0

A AE 18/22 -5.373 -0.016 -5.389 -5.379

E ED 21/26 +8.125 -0.020 +8.105 +8.110

D DA 41/52 -2.676 -0.040 -2.716 -2.711

A total 80/100 +0.076 -0.076 0.0 0.0

E EA 18/26 +5.389 -0.013 +5.376 +5.379

A AB 24/35 -6.879 -0.017 -6.896 -6.902

B BE 27/39 +1.539 -0.019 +1.520 +1.523

E total 69/100 +0.049 -0.049 0.0 0.0

60


Ajuste por Minimos cuadrados

Introduccin

Al evaluar comportamientos en ingeniera; debemos buscar la funcin que nos permita bosquejar en un gran porcentaje su comportamiento.

Un mtodo para el caso de funciones lineales es el de Mnimos Cuadrados

Vamoas a buscar y= f(x) que puede ser lineal,exponencial o logaritmica

61


Mnimos Cuadrados

Normalmente se realiza una evaluacin de

los pares extraidos como valores de campo

La evaluacin considera la consistencia de estos datos, como generadora( coeficiente)

Como paso previo debe realizarse una extraccin de aquellos valores puntuales que perturban un probable comportamiento. Esta separacin debe ser como mximo el 30%

La funcin encontrada nos permitir realizar evaluaciones en diferentes condiciones .

62


Minimos cuadrados-ejemplo

X 2 3.0 4.0 5.0 6.0

Y 1 2.2 2.9 4.0 5.1

Funcin y= ax+b

63


Minimos cuadrados

Las diferencias son debido a todos lor errores que se suceden en el momento de la medicin. Estan distribuidos a cada lado de la recta, pero definenla tendencia lineal

e1 e2

L a tendencia ser e1+e2+e3+e4+e5+ .....+ei=casi 0

e1+e2+e3+e4+..........+ei= mnimo

64


Minimos cuadrados

y1= ax1+b+e1 y2=ax2+b+e2

y3= ax3+b+e3

E total= e1+e2+e3+.......+ei= Mnimo

dE/da=0

dE/db=0

65

Red de nivelacin-Mnimos cuadrados

A

C

D

E

24 Km

6.879 19 Km

+3.282

45 Km

+6.312

27 Km

-1.569

18 Km

+5.373

41 Km

-2.676

21 Km

-8.145

Ec=0.063

Ec=0.096

Ec=0.12 Condiciones:

f1:Vab+Vbe+Vea-0.063=0

f2:Vda-Vea-Vde-0.096=0

f3:Vbc+Vcd+Vde-Vbe-0.12=0

B

F= Vab+Vbe+Vea+Vda+Vde+Vbc+Vcd=Mn.

Ec.Lagrange: U=F-21f1-22f2-23f3

F mnimo U/Vab=0 2Vab-21(1)=0 Vab=1

U/Vbe=0 2Vbe-21(1) -23(-1) Vbe= 1-3

66

Red de nivelacin-Mnimos cuadrados

Ec.Lagrange: U=F-21f1-22f2-23f3 F mn

U/Vab=0 2Vab- 21(1)=0 Vab=1

U/Vbe=0 2Vbe-21(1)-23(-1) =0 Vbe= 1-3

U/Vea=0 2Vea-21(1)-22(-1) =0 Vea=1-2

U/Vda=0 2Vda-22(1) =0 Vda= 2

U/Vde=0 2Vde-22(-1) -23(1)=0 Vde= 3-2

U/Vbc=0 2Vbc-23(1) =0 Vbc= 3

U/Vcd=0 2Vcd-23(1) =0 Vcd= 3

f1:Vab+Vbe+Vea-0.063= 1+ 1-3 + 1-2 =3 1 -2 -3-0.063 =0

f2:Vda-Vea-Vde-0.096= 2-(1-2 )-(3-2)=3 2- 1- 3-0.096=0

f3:Vbc+Vcd+Vde-Vbe-0.12=3+ 3+(3-2)-(1-3 )=

4 3- 2- 1-0.12=0

F= Vab+Vbe+Vea+Vda+Vde+Vbc+Vcd=Mn

67


Mnimos Cuadrados angular Caso. ngulos internos de un triangulo

2 v1+v2+v3=180-(A+B+C)

1 3 f1=v1+v2+v3-E=0

F=v1+v2+v3=Mnimo

Ecuacin de Lagrange : U=F-21f1

Como f1=0 U=F

Fmnimo: U/v1=0 2v1-2 1(1)=0 v1= 1

U/v2=0 2v2- 2 1(1)=0 v2= 1 y v3= 1

F1= 1 + 1 + 1 E=0 1=E/3

v1=v2=v3=E/3

68


Mnimos cuadrados

Compensacin con datos de

diferente precisin f1=v1+v2+v3-E=0

F= P1v1+ P2v2+ P3v3=Mnimo

Lagrange: U=F-21f1

Dado que f1=0 U=F

F mnimo : U/v1= U/v2= U/v3=0

U/v1=0 2P1v1- 21(1)=0 v1=1/P1

U/v2=0 2P1v2- 21(1)=0 v1=1/P2

U/v3=0 2P1v3- 21(1)=0 v1=1/P3

F1=1/P1+1/P2+ 1/P3

69

Mnimos cuadrados Nivelacin-diferente precisin

No olvidar que la

distancia recorrida es

inversamente

proporcional a la

precisin o peso del

recorrido.

A

C

D

E

24 Km

6.879 19 Km

+3.282

45 Km

+6.312

27 Km

-1.569

18 Km

+5.373

41 Km

-2.676

21 Km

-8.145

Ec=0.063

Ec=0.096

Ec=0.12

B

Condiciones:

f1:Vab+Vbe+Vea-0.063=0

f2:Vda-Vea-Vde-0.096=0

f3:Vbc+Vcd+Vde-Vbe-0.12=0

F= PabVab+PbeVbe+PeaVea+PdaVda+PdeVde+PbcVbc+PcdVcd=Mn.

F= 1/24Vab+1/27Vbe+1/18Vea+1/41Vda+1/21Vde+1/19Vbc+1/45Vcd=Mn

Mnimos cuadrados Nivelacin-

diferente precisin


Ec.Lagrange: U=F-21f1-22f2-23f3

U=1/24Vab+1/27Vbe+1/18Vea+1/41Vda+1/21Vde+1/19Vbc

+1/45Vcd-21f1-22f2-23f3

U/Vab=0 1/12Vab- 21(1)=0 Vab=241

topografia ii curso clase (1,2,3,4) en formato pdf

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