UNIVERSIDAD AUTóNOMA METROPOLITANA U N I DAD IZTAPALAPA

Casa abierta al tiempo DIVISIóN DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

TESIS PROFESIONAL LICENCIATURA EN MATEMATICAS APLICADAS

PRESENTA JUAN VILLEGAS CORTEZ

ASESOR DR. FELIPE PEREDO RODRÍGUEZ

MÉXICO, D.F. 1996

Salmo 127 ( 1 26)

Tabla de contenido. Introducción. Capítulo 1 Fenómeno tipo Poisson. Capítulo 2 Implementación de SLAM System.

SLAMSystem. Comencemos. Estableciendo el proyecto. Estableciendo el escenario. Construyendo el modelo. Construyendo el archivo de control. Asociando con el escenario. Documentando la red de trabajo. Simulación de la red. Observando los resultados de la simulación.

Capítulo 3 Aplicación a inventarios.

Elementos de un sistema de inventarios. Simulación aplicada a control de inventarios.

Listado de I-IAD-WHI en Turbo Pascal. Simulación aplicada a control de inventarios con demanda estocástica de distribución normal. Aplicación de CMOM. Simulación aplicada a líneas de espera. Introducción a líneas de espera. Implementación. Uso de LINESP. Algoritmos de “una cola - un servidor - población finita” & “una cola - servidores en paralelo - población infinita”.

USO de lIAD-WI-II.

Una cola - un servidor - población finita . Una cola - servidores en paralelo - población infinita.

Capítulo 4 Simulación aplicada a economía

Uso de TSP para regresión multilineal. Uso de mínimos cuadrados en dos etapas. Proyecto sobre las operaciones financieras mediante un modelo de dos ecuaciones en diferencias lineales y estocá

Anexo 1. Anexo 2. Anexo 3. Láminas. Bibliografía.

stic as.

1

2

9 1 1 13 14 14 15 17 19 19 20 21

28 30 3 o 34

37

40 41 41

48 49 56

60 65

68 77 78 82 87 89

L a aplicación de la simulación matemática es hoy en día una realidad en la industria y empresa, por lo cual es necesario profundizar en su estudio y desarrollo. Cuando se habla del desarrollo de la simulación se habla también (en segundo termino) del uso de

las computadoras como herramienta para alcanzar su objetivo; y es por demás mencionar los beneficios que trae la simulación misma para las empresas que la aplican, el principal de ellos es la planeación de recursos económicos y humanos, así como la predicción fimdamentada de desarrollos de intereses para el buen desempeño de las empresas.

Un servidor ha tenido experiencia en el manejo de la simulación para nlodelos matemáticos (continuos y discretos) deterministas; pero estos tienen su lugar en los fenómenos de la fisica newtoniana y en las ciencias biológicas dentro de fenómenos que involucran aspectos relativos a la fisica. Recordemos que un modelo matemático de carácter continuo está dado por un conjunto dc ecuacioncs difcrcnciales (las cuales se procura scan ordinarias), mientras que cn un sistcma discreto las ccuacioncs son en diferencias. A raíz de las cxpcricncias anteriores me surgió el deseo de continuar con este estudio, pero ahora analizando los fenómenos involucrados con la economía y las finanzas, pues algunos de estos no tienen un carácter determinista, sino más bien aleatorio, ¡.e. las variables a considerar dentro de la simulación toman valores al azar, cumpliendo con determinadas características sefíaladas por la teoría de la probabilidad; es así que se decidió tomar para el presente seminario el estudio del mencionado tema.

Como meta principal me he planteado dos objetivos:

1. tener un conocimiento mejor acerca de la aplicación de esta rama de las matemáticas a los fenómenos cotidianos dentro de la economía y las finanzas para brindar soluciones fkndamentadas a las necesidades que así lo requieran,

2. brindar al futuro lector del presente trabajo las herramientas necesarias para que éI las pueda aplicar, tcniendo et1 claro los conocimientos preliminares de una formación matemitica.

Así pues, si ve alcanzaran ambos objetivos creeré que mi labor h e fecunda.

1

Tgcnicns de Simulación Matenláticn

Capítulo

Fenómeno

1

tipo Poisson.

Esta primera parte está dada por el desarrollo del siguiente problema, el cual es muy común dentro de las empresas que tienen su propia planta de vehículos repartidores.

Problema: Una empresa transportista ha encontrado que las descomposturas diarias d e sus camiones sigue una distribución de Poisson de parhmetro h = 0.2 El número de días requeridos por un mechnico para reparar un cami6n descompuesto tiene una distribución normal con media = 6 días, y desviación esthndar = 1 día. El costo diario por cami6n descompuesto es d e N$ 1500.00, y el salario d e u n mechnico es de N$180.00 diarios, y lo recibe independientemente de que este haciendo reparación o este de ocioso. Simule el funcionamiento del sistema durante 10 días y estime el costo mediano diario de las descomposturas. Suponga que se tiene a u n mec6nico por descompostura.

Desarrollo. Para la simulación del problema notemos que de entrada se nos proporciona el dato de

que el fenómeno del ruítnero de desconpostwas diarias sigue una distribución de Poisson con parámetro h = 0.2, y también se nos indica que los días requeridos por ut1 nlechico para realizar la reparaciótl cumple con una distribución normal de 6 días, etc. Así, como primer paso de la simulación hay que generar aleatoriamente números de descomposturas diarias para un intervalo de 10 días, pero estos números deben cumplir con una distribución de Poisson con el parámetro h indicado, i.e. no es válido generarlos sin apego a las características del fenómeno; una vez hecho esto se procede a generar para cada una de las descomposturas un número aleatorio de tiempo (I) en el cual se hará la reparación, de la misma forma, estos números t, deben ser generados de tal forma que cumplan con una distribución normal con la media y la desviación estándar requeridas; después de lo anterior ya se pueden realizar los cálculos de costos, que abarcan: costo por paro de vehículo y sueldo del mecánico; dicha suma dará el costo total por reparación de una sola unidad.

Se aclara que cuando un vehículo es reparado antes del medio día (o hasta el medio día) se supone que entrará en operación inmediatamente, representando para la empresa solo medio día de pérdida (N$ 750.00), y para el mecánico, si este trabajó aunque sea una fracción del día,

2

Ticnicas de Sinlulacibn Matenldlica

se le pagará el día entero, i.e. para un tiempo 1 = 1.3, se considera un redondeo a 1.5 para el calculo de costo por paro de vehictrlo, y de 2 para el srreldo del mechico.

Para simular una distribución de Poisson con parámetro X, nos podemos servir ventajosamente de la relación conocida entre las distribuciones exponenciales y de Poisson. Se puede justificar que si

I ) el número total de eventos que ocurren durante un intervalo de tiempo dado es independiente del número de eventos que ya han ocurrido previamente al inicio del intervalo,

2) la probabilidad de que un evento ocurra en el intervalo de t a !+At es aproximadamente hAf para todos los valores de t , entonces:

a) la función de densidad del intervalo t entre las ocurrencias de eventos

b) la probabilidad de que ocurran x eventos durante el tiempo i es consecutivos esf(Q

-Al (1 r )" f (x) = c

X !

Un método para generar valores de variable aleatoria con distribución de Poisson deberá considerar la generación de intervalos t l , tL ..., distribuidos en forma exponencial con un valor esperado igual a 1. Una vez generados estos intervalos aleatorios, se acumulan hasta que su suma exceda al valor de h.

En términos matemáticos el valor de Poisson para x se determina haciendo uso de la siguiente desigualdad:

X 4 1

<A<Cf, (x=O,1,2 ,...) ¡=O i=O

donde los valores de la variable aleatoria t i se generan por medio de la fórmula

ti = - Log r,

con una media unitaria. Un método más rápido para generar los valores poisonianos x es el que consiste en reformular la ecuación ( l . 1) de la manera sibwiente:

i=O ¡=O

Este proceso se codifica en el siguiente seudocódigo:

1. - Inicializar X:=O, TR:=l, P:=h.

2. - Calcular B:=e '.

3

Técnicas de Simulncihn Matenráticn

3. - Generar aleatoriamente R.

4. - Calcular TR:=TR*R.

5. - Si TR-B 2 O entonces X:= x+l y saltar a instrucción (3).

con distribución de Poisson con parámetro X). Si TR-B < O entonces N:=X (se obtiene el primer número aleatorio

El programa para este seudocódigo ha sido elaborado en lenguaje Turbo Pascal Versión 6.0, dentro del mismo la variable h es representada por P. El listado del programa se presenta a continuación: Program GeneraNumPoisson; ( $N+ 1 uses crt, printer; (Programa para generar nfrneros aleatorios con distribucicn de Poisson]

Var k , X, j : integer; prom, cont, TR, P, R ,B: real; resp, respl: char;

D F X I N [ p r l l r c i p a l ) clrscr; randomize; write('1nqrese la cantidad de nmeros a l ~ ~ l t ~ f - i o s a generar:= I ) ;

readln(k); write ( " 1 J . z a r - impresora S/N? ' ) ; rendln(resp1); cont ::-O; if respl='s' then

begin writeln(lst, 'k # ' I ; writeln(lst,'-----------' 1 ;

end ELSE begin

writeln ( ' k # I ) ;

writeln(""""""" end;

1 ;

for j :=1 to k do BEGIN

x:=O; ( PASO 1 ) TR:=l; I

P:=O.2 ; [VAI.oR DE 1 . A ~ I l ' ~ l l A ) U : = E % P ( - P ) ; ( P A S o 2 ) R:=random; { PASO 3 1 TR:=TR*R; {PASO 4 ) while ('I'R-B)>=O do ( PASO 5 )

X:=Xtl; R:=random; ( PASO 3) TR:=TR*R; ( PASO 4 1

begin

end; if respl='s' then

begin

end else

writeln(lst,j,' ' , x ) ;

writeln(j,' ' , : J . ) ; (PASO 6 )

END; prom:=cont/k; write ( ' O. k. Para continuar pulse una tecla...'); resp:=readkey;

cont:=contiX;

end.{principal)

4

Técnicas de Simulacicin hlatenrática

Dado que se pide una simulación del problema para 10 días entonces se le pide al programa que genere los 10 números aleatorios. En la siguiente ilustración se muestra la corrida del programa anterior así como los diez números obtenidos en la pantalla.

I n g r e s e l a c a n t i d a d d e n ú m e r o s a l e a l n r i o s a q e n e r a r := 10

k #

1 1 2 O 3 O 4 1 5 1 6 2 7 O B O 9 O 10 O

;Usar impresora S/N? n

""""""

O . k. P a r a c o n t i n u a r pulse una t e c l a . . .

Por lo tanto los diez números generados mostrados en la ilustración de la pantalla pasada son los que se usarán. Según éstos, en los diez días hay un total de 5 descomposturas, una en el primero, cuarto y quinto día; y dos en el día sexto.

Nuestro siguiente paso es la generación de los tiempos de reparación de cada descompostura, esto se hace apegándonos a la teoría de la variable aleatoria con distribución normal, corno nos lo afirma la información dcl problema.

A continuación se explica el desarrollo de la teoría del generador de números aleatorios con distribución normal.

La función de densidad de distribución normal está dada por

para generar números aleatorios distribuidos de acuerdo af('), se deriva la variable x con media p y desviación estándar G por la transformación:

El método de aproximación más usado es el que se toma sumiendo que los números aleatorios generados por la computadora tienen una distribución uniformes, a estos números generados así se les determina ri , se toman una colección de estos para formar uno solo de acuerdo a la fórmula

Técnicas de Sintulación Matemática

Pero por definición, z es un valor de variable aleatoria con distribución normal estándar que se puede escribir en la forma sugerida por (1.3), donde x es un valor de variable aleatoria distribuido en la forma normal que se va a simular, con media p y varianza d. Igualando las ecuaciones (1.3) y (1.4) a z, obtenemos:

y resolviendo para x, se tienc que

x = -;)+ p (1 .S)

Por lo tanto, mediante la ecuación (1.5) se puede proporcionar una formulación muy simple para generar valores de variable alcatoria normalmente distribuidos, cuya mcdia sea igual a p y la varianza 02. Veamos que para generar un solo valor de x (un valor de variable aleatoria con distribución normal) bastará con sumar k números aleatorios definidos en el intcrvalo O a 1 . Sustituycntlo cI1 valor dc cstn s u m ctl la ecuación (1,5), así co111o tarlhidn los valores de p y cs para la distribución deseada, encontraremos que se ha determinado un valor particular de x. Se puede apreciar que el proceso se puede repetir tantas veces como valores de variable aleatoria normalmente distribuidos se requieran.

El valor de k que debe aplicarse a la fórmula usualmente se determina al establecer las condiciones de balance entre eficiencia de computo y precisión. Al considerar la convergencia asintótica implicada por el procedimiento del límite central, es deseable que k corresponda a un número muy grande. Considerando el tiempo que comprende la generación de k valores uniformes por cada valor de variable aleatoria normal, sería preferible que k estuviera asociada a un número muy chico. Según algunos autores, el valor menor deseado para k es 10 en la práctica. Sin embargo, con k = 12 se logra una cierta ventaja computacional, ya que en la ecuación (1.5) se puede evitar una multiplicación constante. No obstante este valor de k trunca la distribución a los límites +6, y además se ha encontrado que no es confiable para valores de x mayores que tres de la desviación estándar, aunque pese a lo anterior, la experiencia muestra que este criterio conduce a programas de razonable rapidez. Con el fin de obtener mayor precisión se deben considerar valores mayores para k (del orden k =’24). Cabe aclarar que la técnica aquí mostrada no es la única existente para calcular valores de variable aleatori distribuida normalmente, existen otros los cuales pueden ser consultados en mayor detalle en el libro de Naylor mencionado en la bibliografia.

Tkcnicas de Sinlulación hfatembtico

A continuación se muestra el programa elaborado en Turbo Pascal Versión 6.0 en el cual se implementa esta subrutina para generar los valores deseados con K := l i m := 24.

'rograrn GeneradorNum; SR+ I $N+ I

genrador de n fmeros a lea tor ios con d i s t r ibuc iCn normal on media = M, y desv iac iCn e s t anda r = D)

ses c r t , p r i n t e r ;

a r M, D, k, i , lirn : INTEGER; V, suma, prom, cont : r e a l ; r e s p : c h a r ; X : a r r a y [ 1 . . 2 1 1 of r e a l ;

( e l l i m i t e d e l a r r a y es hast.a el v a l o r de 1,114)

E G I N randomize; c l rscr ; suir13 : = O ; cont : = O ; prom: = O ; lim:=24; I a q u i s e d e c l a r a e l v a l o r d e K para l a proximacion) f o r i : = 1 t o l i m do . bcyln

end; x[i]:-0

{ingreso de l a media(M) y D e s v . E s t . ( D ) ) D:=l; M : = G ; w r i t e ( ' 1 n q r e s e 1 3 c a n t i d q d d v nfmoros a l - l t ~ i - i o . 9 a 3 ~ n e r a r : - I ) ;

r e a d l n ( k ) ; wri t e ln ; w r i t . e l n ( ' II 1 , ' V I ) ; w r i t e l " ( ~""""""""""""~"l ) ;

€or k:=l t o k do begin

for i:=l t o l i m do begin

end; f o r i :=l t o l i r n do begin

suma:=sumatx[i] end;

X [ i ] :=random;

{ a c o n t i n u a c i o n s e c a l c u l a e l numero generado)

V:=D1(12/litn)+(sunln-(l~m/?))+M;

cont : =cont.l v; suma : = O

Wri te ln ( ' ',k,' ',V:l:l);

end; pruin: =cotll./k; w r i t e ( O . k . . . . p a r a c o n t l n u a r p u l s e una t e c l a ' ) ; resp :=readkey

:ND.

Los números así generados fueron 5, pues heron 5 el número total de descomposturas generadas para los 10 días por el generador de números con distribución de Poisson. Estos se muestran en la corrida muestra del programa a continuación:

7

'IYcnicas de Sintulncidn hífatemdtica

Ingrese l a cantidad d e números aleatorio5 a r l - n p r a r := 5

# V "-""""""""""""

1 5.1 2 6 . 3 3 6 . 0 4 5 . 8 5 6.7

O. k . ...p ara continuar pulse una tecla

Los cálculos de los costos se muestran en la tabla siguiente

3 1 0 1 I I I I C 4 1 d2 6.3 6.5 7 97x 5 1 d3 6 6 6 9ooc

11010

1 o080

8

Técnicas de Simulacidn Akternática

Capítulo 2

Implementación de Slamsystem

Hoy en día dado el avance en el área de la simulación matemática, se han desarrollado varios programas de computo (soffrvnre) para la implementación de los mismos en problemas ya definidos en base a su estructuración modelada previamente. Cuando el problema a simular resulta ser un sistema de ecuaciones en diferencias o de ecuaciones diferenciales (sistemas de ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos) tradicionalmente lo que se analiza en la simulación es el comportamiento de las trayectorias de cada una de las variables que entran en la simulación con respecto del tiempo, dado que no siempre se puede dar una solución explícita del modelo, esto dado a su complejidad, baste saber como ejemplo el modelo matemático de un reactor atómico (fisión nuclear) que trabaje con presión de vapor de agua’, en el cual se tiene un sistema de treinta y cinco ecuaciones diferenciales más diez de relación que hacen un total de cuarenta y cinco ecuaciones; obviamente el resolver explícitamente un sistema como el mencionado resultaría prácticamente imposible, pero con la ayuda de un software adecuado se puede analizar en detalle su comportamiento con la precisión deseada, siempre y cuando se cuente con el equipo de computo necesario.

AI hablar de un equipo de computo adecuado me refiero a contar como mínimo con una computadora personal2 (PC) de compatibilidad IBM o Apple-Machintosh, la más común por costo económico es IBM, esta debe tener para trabajar óptimamente con un procesador tipo 80286 o 80386 DX (Le. con coprocesador matemático integrado), dos megabytes de memoria RAM (como mínimo), monitor VGA (en color de preferencia), disco duro con veinte megabytes disponibles y mouse (ratón); esto es como configuración mínima recomendable, se aclara por supuesto que de contar con u n nlcjor equipo se tome en cuenta, pues esto redituará en menor consumo de tiempo y comodidad para el manejo de los resultados.

Para quc cl Icctor pucda tcncr una mejor visualizacirin de la utilidad dcl sollwarc, por ejemplo en el problcma dcl reactor lo que sc persigue observar como resultado principal es la cantidad de potencia de energía generada por el mismo, si se sabe que de acuerdo con las características de construcción el reactor se planea para la generación de 20 M w de energía, soportando un máximo de 35 Mw, si en la simulación se pide visualizar en la pantalla de la computadora la variable / J I . ~ s ¡ ~ H , obteniéndose que a un tiempo determinado, por ejemplo 1=5 seg., que la presión es mayor a 35 entonces lo que se interpreta es que el reactor trabajando con las condiciones de arranque tomadas explotaría a los cinco segundos del arranque.

Si desea analizar con detalle este problema del reactor y st1 simulación, el mismo fue desarrollado por un servidor como parte de un curso de Simulación en la UAM - I, por si desea usted realizar una consulta el-mismo está a su disposición con el autor.

I’ersonnl ~ o ~ n p u t c r : IT .

9

Técnicas de Sin~ulación Afaatemática

Para problemas en los cuales la modelación tiene una estructura como la mencionada (de ecuaciones en diferencias o diferenciales) se cuenta con programas tales como Phase? y ~Inlnon~.

En el presente capítulo se procederá a implementar el problema abordado en el capítulo uno, pero ahora con la ayuda de la herramienta de un software diseñado específicamente para realizar simulaciones de este tipo llamado Slan~.systenr5 versión 2.1 para Windows, este programa esta disefíado para abordar diversos tipos de modelos, entre ellos los que se modelan en base a una red de servicio (manufacturas, ensambladoras, etc.), dada la estructura de nuestro problema, este se puede representar de acuerdo a la figura 2. l .

I L . ___, U Taller de

reparaci6n

I Llegada dc carnioncs - -

I

Figura 2.1. Esquema de funcionamiento del problema de reparaciones de camiones repartidores del capítulo l . Aquí podemos considerar al taller de reparaciones como una estación de trabajo

(Work Station).

Unidadcs rcpnrndw

Antes de continuar es válido mencionar los pasos fundamentales para la rnodelación de una red para un problema específico, a su vez también se pasa como consecuencia a la primera fase de utilización del programa Slannsystem.

Pasos a seguir para la modelación de la red de trabajo (network):

l. ldentificar las identidades' a ser modeladas; 2. construir un modelo gráfico del flujo de las identidades a través del sistema; 3. transcribir el modelo gráfico con los comandos de representación del programa

Slamsystem.

7écnica.s de Sin~ulaciór~ Matemática

Analizando el dibujo de l a figura 2.1 ., podemos considerar al taller de reparación como una estación de trabajo (del ingles Work Station), así tenemos al problema planteado en una red de trabajo, la primera etapa es la llegada de las unidades descompuestas que cumple con una distribución de Poisson de parámetro h=0.2 ; la segunda es la primera estación de trabajo (en este problema es la única existente) en la cual un mecánico repara a cada unidad en un número de días que cumplen una distribución normal con media de seis días y desviación estándar de un día. Así queda estructurado gráficamente nuestro sistema a simular.

En base a lo anterior se desprende el hecho de que la variables-identidades a observar son:

1. el número de unidades descompuestas en el periodo a simular; y 2. la utilización de la estación de trabajo (taller - tiempo de reparación, promedio total).

Todo lo anterior para poder estimar costos en un lapso de 10 días que es el periodo a considerar en la simulación.

Antes de continuar harcnlos un brcve paréntesis para hablar acerca de cómo está estructurado el programa Slamsystem y corno trabaja.

Slamsystem.

El programa Slamsystem es un sistema de sirnulación el cual da soporte a la construcción de modelos7, análisis de los rnodelos usando l a sirnulaci6n y la presentación de los resultados de la simulación. Slamsystem se desarrolla en el ambiente Microsoft' Windows para PC's, esto simplifica e1 trabajo de ingreso de la formación gráfica y textual que conforma al modelo mismo en sus datos y estructura de datos, así conlo proyectos de información. Un nmrtlenedor. (asisten/e) de proyecto (proyect maintainer) automáticamente realiza las tareas requeridas para analizar el sistema usando la simulación. Las capacidades de presentación de los resultados del programa incluyen la animación para visualizar la dinámica, estructura y control logic0 de un modclo tal corno las grhlicas y los reportes lo Ilacen para presentar cuarltitativarllclltc el desempeiio de la silnulaci6n de uno o más escenarios.

Es claro por lo anterior dicho, dado que el programa es bajo ambiente Windows, el usuario tiene grandes ventajas en el uso del programa, pues el trabajo principalmente se reduce a saber usar la interface9 gráfica, la cual tiene u n manejo muy similar en todas las aplicaciones

' Entiéndase por esto a n/oddos nrafenlriticos.

* Microsoll cs U I I ~ n l m x rcgistrocla Jc Microsoll Corp.

hlterface (interfaz): Una conexión e interacción entre hardware, soltware y usuario . Las interfaces de hardware son los conectores, z6calos y cables que transportan las sefinles elkctricas en un orden prescrito. Las interfaces de software son los lenguajes, ccidigos y mcnsajcs que utilizan los programas pnra comunicarse unos con otros, tal como un programa de aplicaciOn y e1 sislclno opcrativo (DOS: Disk Opcrating System - Sistema Operativo de Disco). Las inlerfaces dc usutlrio so11 los teclados, ratones, dihlogos, lcnguajes dc co1nando y mcnús empleados para la conwnicacibn entre el usuario y la

7kcnicas de Sinrulncidn Afntemáticn

que son para trabajo bajo este ambiente de cornputadoras personales. Esto es con respecto a l a operación de los comandos (las ordenes) para el programa. Así Slamsystem está implementado usando Microsoft Windows (versión 2.3 o superior) e incorpora el lenguaje Slam 11 (versión 4, 5, 6). Podemos decir entonces apoyándonos en lo anterior dicho, que Slamsystem provee un soporte total para un proyecto de simulación.

Una característica de Slamsystem es que permite múltiples proyectos para ser desarrollados consecuentemente. Slamsystem trabaja bajo el soporte de una estructura para desarrollar cada proyecto.

Un proyecto es una colección de escetlnrios. Un escenario incluye:

0 un modelo, 0 resultados de la simulación y 0 notas de documentación.

El modelo describe al sistema a simular de interés. El lenguaje Slam I1 provee de una representación matetn~ltica-lógica del uso de un sistema usando una representación en rcd y un control, así corno opcionalmente inserciones del usuario y datos del mismo para recrear el patrón de comportamiento de l a operación del sistema. La red de flujo del sistema y las inserciones del usuario son desarrolladas desde una construcción de modelación por parte de Slam 11. Un control espccifica las rncdicias de función para el desempefío, análisis, procedimientos y las condiciones bajo las cualcs se harán las corridas del sistema. Los datos del usuario caracterizan los objetos, patrones y rasgos de un sistema y es típicamente retomado desde las operaciones del sistema. Estos datos son entrados al modelo con una inserción del usuario.

L a animación gráfica muestra los cambios en el sistema respecto del tiempo. La facilidad del diagrama describe al sistema con figuras elementales y es la pantalla de fondo para la animación. El llamado Scripf dice que tanto los eventos de la simulación son animados por los cambios y movimientos sobre la misma facilidad del diagrama. En el presente trabajo no se desarrolla por falta de tiempo la parte de descripción detallada de esta herramienta.

El nombre dcl escenario da rct’crencia de los resultados producidos por la sitnulacicin del modelo. Estos resultados incluyen observaciones de valores individuales de las variables y resúmenes estadísticos de estos mismos. Los reportes, gráficas y animación son tres maneras de presentar los resultados para proyectar y personalizar el control del sistema dado. Las notas para documentación, describiendo cualquier aspecto de un escenario, son entradas y mantenidas usando el propio Slamsystem.

computadora. EIl discfio y conslrucci611 de intclI:,lccs constituye U I M parte principal del trabajo de los ingellieros, programadores y consultorcs. Los usuarios “dialogan” con cl sohvare. E 1 soRware “dialoga” con otro hardware, así corno con otro soltwarc. El hardware “dialoga” con otro hard\vare; y todo este “dialogo” no es lnhs que el uso de interfaces. Dcbcn scr disefiadas, dcsnrrollatlas, probadas y rcdisefindas, y con cada encarnación nace una nueva eslxcikción que puede convertirse c11 1111 cstrirdar, de hecho o rcgulodo.

12

Técnicm de Simulacidn Mdenrblicn

Slamsystem soporta una via de modelación iterativa, dando un ambiente para definir, desarrollar, refinar, actualizar, modificar y extender los modelos. El proyec! mnir~tniner de Slamsystem desarrolla las tareas requeridas para cada iteración. Así, cada modelo ya existente sirven como una base para el desarrollo de modelos futuros. Slamsystem brinda la capacidad para construir en lenguaje Slam I1 redes interactivas y gráficas. Los datos del usuario, tan bien como los eventos discretos del lenguaje Slam I1 y los modelos continuos son ingresados como texto. La información para el control es ingresada en una serie de formas las cuales son de fácil acceso y son dadas en los mismos campos de uso de los comandos dentro del ambiente Windows.

Las gráficas y reportes de los resultados de l a simulación son seleccionados por el usuario. Por medio del mismo programa se pueden seleccionar diversos resúmenes estadísticos o histogramas del reporte general, así como series de tiempo de valores individuales recolectados por los comandos Record y Vnr. Hago la aclaración de que en el presente capítulo por medio del programa mencionado se analiza la simulación tomando resultados generales, i.e. se hace una evaluación general del tiempo empleado en la reparación de unidades, diferencia de como se expuso en el capítulo anterior en el que se detallaba cada número generado para cada caso.

A partir de lo anterior podemos decir que sabemos lo necesario para comenzar a trabajar con el programa Slamsystem".

Comencemos.

Una vez que el usuario tenga instalado el programa es muy sencillo comenzar a usarlo, si aún no está dentro del ambiente Windows ingrese escribiendo en el prompt del DOS:

WIN J

Una vez dentro del ambiente Windows en la ventana de Ayficaciorles busque el icono titulado Sim? System Z'ri/skw, seleccione" y de doble click para activar al programa; si se encuentra en el caso de no contar con el icono creado dentro de dicha ventana entonces proceda a la ventana Pritlcipf y active el Admitlistrodor de Archivos, busque en el árbol de directorios el subdirectorio S'/m~~sys\/Ji~~ y de doble click en el nombre de archivo Sfn~n.exe, así obtendrá la entrada al sistema.

Cuando se activa el programa aparece la leyenda de los derechos reservados, de u n click en el botón de OK, a continuación tendrá en frente a la ventana ejecutiva de Slamsystem.

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Esta es similar a la de todas las aplicaciones Windows, cuenta con una barra de título, barra de menú, botones de maxirnización y mininlización de ventanas, etc. La barra de menús cuenta con las opciones de I<i‘lc ( ~ ~ t d ~ i v o ) , Build (cotls/txit~, Sitnuldc (sintular), Animate (~wi tmr) , I-3qmrt (reporte), Graph (grc$fico.s), Optioru (opcioues), Ulilities (rrtilerías) y Help (ayda); éstas son las knciones del programa. El espacio (la caja) en medio de la ventana muestra los componentes de los cuales comprenden un escenario. Esto se muestra en la figura 2.2 siguiente12.

Current Scenario

eatltF”dr% : &.m&*

Figura 2.2. Ventana ejecutiva de Slamsystem.

€stab/eciendo el proyecto.

Corno prinner paso a seguir es dar nombre a nucstro proyecto con el cual vamos a trabajar

A continuación se dan los pasos a seguir:

1. Seleccione File de la barra de menú y escoja en selección la opción New. 2, Por defecto, el prompt aparecerá en el apartado listo para escribir el nuevo nombre,

3. Teclee el nombre del proyecto, es este caso para ejemplificar escriba S-1 . 4. Selecciones el botón New.

en caso de no ser así seleccione usted mismo la misma caja.

Estableciendo e/ escenario.

A menudo, un proyecto de simulación evalúa alternativas del sistema. El programa Slamsystem llama a cada una de estas alternativas un escetmio. Para el presente ejemplo, sólo será analizado un escenario. El siguiente paso es nombrar al escenario.

I ’ Hago la aclaracihn de que l a ventana aquí mostrada difiere de la que usted tendrá por el detalle en la barra dc título en la esquina dcrecha a l mostrar la hora en cual file capturada, esta característica dentro del sistema está dada por el programa Clock Man de Graphical 1)ynarnics Inc., cstc es un shareware disponible c11 l a compra de libros especiali7ados sobre l a operación dcl alnbielltc Windows.

i’ecnicns de Sintulaci6n hfatemálica

1, Dentro de la ventana, seleccione Scerlnrio. 2. Por defecto, el apartado bajo “ S C ~ J K I ~ ~ O ” estará seleccionado, de no ser así hágalo

3. Teclee el nombre del escenario, en este caso: E’en~plo. 4. Selecciones el botón New.

usted mismo.

Construyendo el modelo.

Paso siguiente, construyamos nuestra red de trabajo para nuestro sistema de una estación de trabajo. La gráfica completa de la red terminada se muestra en la figura 2.3. Los comandos de red, los cuales son automáticamente %enerados por Slamsystem, son mostrados bajo el modelo gráfico. Los campos de los comandos de red de izquierda a derecha correspondientes con los campos sobre las formas de entrada para los símbolos de la red. Las unidades a ser procesadas por la estación de trabajo entran al sistema generadas por el nodo CZZATE. El nodo QUEUE nombrado WSZ (Work Station 1 := Estación de Trabajo 1) y la línea de servicio ACTZJWY que sale de éI modelan a nuestro problema representado por solo una estación de trabajo. El nodo COLCII’ rotulado C’I observa el tiempo en el sistema para las unidades terrninadas (¡.e. reparadas).

RNORM[G.I). I ,+ , INT(1) INF TIEMPO TALLER

@ U

Figura 2.3. Gráfica de la red de trabajo y los comandos de linea correspondientes que se

CREATE,NPSSN(0.2),, 1; ACTIVITY;

WS1 QUEUE(l).,.; AC‘~lVl’rY(SO)/ l , f~NOf~M((, , 1 ) ; COLCT,lNT( l),TlEMPO TALLER; ACTIVITY; TERMINATE; END;

elaboran automáticamente desde Slam 11, pero que en el ambiente de interface gráfica son hechos por el Project Mcrintnirrer.

Para construir la red síganse los siguientes pasos:

l . Seleccione Network de la lista que esta dentro de la ventana. 2. Seleccione el botón New para ingresar al asistente (constructor) de redes (Network

BuiIdctj.

Dentro del asistente de red se ingresará la red para nuestro modelo en Slam 11. El primer nodo del modelo es un nodo tipo CZUiAYE el cual se ingresa de la siguiente manera:

l . Seleccione CI(I;;A 772 dentro de la lista. 2. Seleccione el botón OK. 3. Seleccione la posición para el nodo en la tablilla punteada de fondo, esta será su

posición dentro de la red. 4. Dé al nodo CREAIE parámetros en la plantilla desplegada. EL cursor vertical

parpadeante en línea indica el campo en el cual el respectivo dato-parámetro será ingresado. Los caracteres con ingresados a la izquierda del cursor, si se comete algún error este se puede remediar borrando con la tecla de retroceso (hack space). Pulsando la tecla TAB se cambia al siguiente campo de la plantilla o bien seleccionando el campo deseado con el ratón. Para el nodo CZEAIE en el campo “Time between” escriba NZ1SS‘(0.2), con esto activa un generador de números aleatorios con distribución de Poisson con parámetro h = 0.2, después en el campo “Marking attrib” escriba I , y los campos restantes tómelos con sus valores por defecto.

5. Cuando todos los valores de los campos son ingresados o tomados por defecto, seleccione el botón OK o bien pulse la tecla ENTER (-I).

Si por alguna causa se quiere editar un campo, ya sea por mal ingreso de un dato o por simplemente querer verificar en la plantilla, simplemente seleccione el respectivo nodo con doble click y activará en pantalla la respectiva plantilla con los valores ingresados; posteriormente pulse nuevamente la tecla ENTER.

A continuación, repita de manera similar los pasos anteriores para ingresar un nodo QUEUE con sus respectivos parámetros, después una al nodo C I E A I E con una flecha-nodo ACTIVI7Y.

l . Seleccione ACUVZTY de la lista. 2. Seleccione OK. 3. Localice el inicio de AC77VIZY tornando un punto en el nodo C I E A I E y una la

4. Dé a ACII(VZ7’Y parámetros en la plantilla resultante, en este caso tome los

5. Una vez ingresado los datos seleccione OK.

parte final (de la flecha) al nodo QUIIUE.

parámetros por defecto.

Los nodos restantes y actividades son ingresadas de manera similar. Para asistencia respecto a los campos de los respectivos nodos puede consultar la ayuda presentada en ~antalla’~. La red debe quedar al finalizar como la mostrada en la figura 2.3.

Técnicas de Sintulacidn Afatenthtica

Hago la observación de que en la presente simulación se considera que se cuenta con un número de 50 mecánicos disponibles para realizar las reparaciones, es por esto que en la línea de ACTIVIIY de la red se seiialan 50 servidores (Le. cada servidor de la estación de trabajo es quien realiza la tarea representada con la duración estipulada, aquí cada servidor es igual a un mecánico, se da por hecho de que todos los servidores son idénticos)

Una vez concluida la construcción de la red, esta debe ser salvada y salirnos del asistente de red. Para esto siga los siguientes pasos:

1. Selecciones File de l a barra de menú del constructor de red y escoja la opción Save

2. Por defecto estará el prompt dentro del apartado para el nombre de la red construida.

3. Teclee el nombre de la red, en este caso IELII, en el apartado Save as. 4. Seleccione OK. 5. Seleccione File de l a barra de menú y escoja Exit de las opciones resultantes.

as.

De no ser así, hágalo usted mismo.

Construyendo el archivo de Control.

El archivo de control brinda la información necesaria para el proceso de simulación en la simulación del modclo. lJn control consiste en 1111 conjunto de comandos en lenguaje Slam I I . Cada comando consiste de un conjunto de campos a los cuales se ingresan datos por medio de una plantilla desde el asistente de control (control builder). El control completo es mostrado en la figura 2.4.

GEN,JUAN VILLEGAS CORTEZ,REPARACIONES,7/27/1995,1 ,Y,Y,YN,Y,Y/1,72; LIMITS,I ,2,400; NETWORK; MONTR,TRACE; INITIALIZE,,IO,Y; FIN;

Figura 2.4. Archivo de control para el modelo.

Construir el archivo de control es nuestro siguiente paso:

l. Seleccione COIVIROL en la ventana. 2. Seleccione New para ingresar al asistente de control.

Una vez que se ha entrado al asistente, los comandos requeridos GEN, LIMITS y FIN son mostrados en su estructura dada por defecto. Para nuestro ejemplo, los campos de GEN y LIMITS se cambiarán y los comandos NLY'WUXK, MON7R e INIT se agregarán. El comando GEN proporciona información general acerca del modelo con el que se está trabajando, y el comando LIMITS dice cuantas identidades de Slam I1 son necesarias. El comando NETWORK relaciona a la red compuesta dentro del control. El comando INIT proporciona el tiempo final

17

Técnicos de Simulacibn Matemítico

de la simulación y el comando MUNU( con la opción 77¿4CZ< es usada para grabar (escribir) cada evento de la simulación. El comando I2IA4I7'S se edita de la siguiente forma:

l. De doble click en el listado de pantalla sobre la palabra I,IMZTS. 2. En pantalla aparecerá la plantilla para el ingreso de parámetros para el comando con

valores dados por defecto. Ingrese el respectivo valor para cada campo de manera similar a como lo hizo con la plantilla para el asistente de red. En este caso en el campo lfi'les escriba 2, en At/ibutes escriba 4, y en Entities escriba 400.

3. Una vez que haya terminado seleccione OK.

El comando GEN se edita de la misma manera. Para el nombre (Name), el proyecto (Prujecr), y fecha (%/e), escriba su nombre (en este caso tome si gusta como ejemplo el mio - J~mn Villegas Curtez - para que le sirva como referencia para comparar resultados), Reparacioms y la fecha actual 07/27/1995 respectivamente. En un principio se hará una corrida, posteriormente realizaremos 10 corridas (recordemos que cada una comprende de 10 días), esto con la finalidad de realizar un promedio de comportamiento general.

Paso siguiente, editemos al comando INI'l'de l a siguiente forma:

I . Seleccione la línea de comando I<IN. 2. De la barra de menú seleccione Ellit y escoja Itrsert. 3. En la caja de dialogo resultante seleccione lNIUALZZf< de la lista. 4. Seleccione OK. 5. De valores en la plantilla resultante. En este caso, seleccione el campo Ltlditlg tinre,

y escriba 10 pues haremos l a simulación del problema para 10 unidades de tiempo, aquí cada unidad de tiempo representa un día. Deje los campos restantes con sus valores dados por defecto. *

6. Seleccione OK.

Así usted puede ingresar el comando NII7'CVOf<K de la nlisnla forma. Primero seleccione la linea de comando INIT y después inserte como se hizo con las instrucciones anteriores el comando NI~7W'ORK. Deje todos los valores de la plantilla con los dados por defecto. De forma sindar ingrese el comando MON'lX. Una vez más, seleccione primero la línea de comando INIT, en la plantilla resultante especifique 1K4CE en el campo de Option, deje con los valores por defecto a todos los dernás campos de la plantilla.

Paso siguiente, salve el archivo de control recien elaborado y salga del asistente. Si tiene duda de como hacerlo guiase de los siguientes pasos:

1. De la barra de menú seleccione File, y escoja la opción Save as del menú resultante. 2. Por defecto, el prompt estará dentro del campo para dar nombre al nuevo archivo, de

3. Escriba dentro del campo el notnbre para el archivo, en este caso escriba W S E D . 4. Seleccione OK. 5. Seleccione de la barra de menú f;i'lc. y la opción Exit del menú resultante.

no ser así seleccione usted mismo dicho campo.

18

Técnicas de Simulación hlaternática

Asociando con el escenario.

La red de trabajo y el archivo de control recien elaborado deben de asociarse con el escenario EJEi'dPLO. Para hacerlo aquí le digo como:

l . Seleccione la opción NE7'WOZK de la ventana de Slamsystem. 2. De la lista que aparecerá, seleccione I X D f . 3. Seleccione el botón de Set Clrrretlt. 4. Seleccione OK. 5. Seleccione la opción CONIROL de la ventana de Slamsystem. 6. De la lista que aparecerá, seleccione WSZED. 7. Seleccione el botón de Set C~rrrerlt. 8. Seleccione OK.

Documentando la red de trabajo (Network).

Respecto a la documentación, al igual que cuando se programa en un lenguaje al cual se esté acostumbrado a operar Slamsystem no es la excepción. Es por el usuario bien sabido las ventajas de poner notas a los listados de nuestros programas para que en una ocasión futura que se recurra a ellos, por medio de las notas, recordemos rápidamente con referencias concretas la operación del mismo. En este caso lo que nos interesa documentar es el significado de los atributos de las identidades usadas, las cuales se grabaran en una nota, tal como se muestra en la figura 2.5. Tome los siguientes pasos.

l. Seleccione la opción Noles de la ventana de Slamsystem. 2. Seleccione la opción New en la ventana que aparece. 3. En el asistente de notas, escriba la documentación requerida tal como aparece en la

4. Seleccione I?/e de la barra de nnenú y escoja la opción Save as. 5. Por dcfecto el prompt estará en la caja de dialogo para el nombre de la nota, de no

6. Escriba el nonlbre de la nota, en este casa JVSA I N . 7. Seleccione OK. 8. Seleccione File de la barra de menli, y escoja Exit. 9. Seleccione Noks en la ventana de Slamsystem. 10.Seleccione WSA 7'XZ en la lista que aparece de lado derecho de la lista. 1 1 .Seleccione el botón Add 12.Seleccione OK.

figura 2.5.

ser así, hágalo usted mismo.

19

Simulacidn de la red.

Una de las características de la ventana ejecutiva del Slamsystem es que integra la función de simular el proyecto basado en el estatus de componentes dado por el escenario. Una vez simulado el escenario, la salida de resultados por medio de reportes es seleccionada. L a ventana ejecutiva determinará cuales pasos serán necesarios para desplegar los reportes seleccionados que reflejen los componentes del escenario en turno.

Los pasos para la simulación son:

1, Construya y asocie un archivo de control con el escenario actual. 2. Construya y asocie una red de trabajo con el escenario actual (opcional en el sentido

3. Traslade el control y la red (esto lo hace de forma automática Slamsystem en esta

4. Construya y asocie inserciones del usuario (como notas) con el modelo (opcional). 5. Compile y depure las inserciones del usuario, por si hubiera algún error durante l a

6. Simule el modelo (esto se hace desde l a ventana ejecutiva de Slamsystem). 7. Presentc los rcsultados obtc~~idos de forma gráfica o textual,

de construir, pudo haber sido construida con anterioridad).

versión).

simulación.

Los pasos anteriormente dados son hechos por l a ventana ejecutiva de Slamsystem basado en los componentes que integran el escenario. Estos pasos pueden hacerse de forma manua~'~.

I4 EII la antigua version de Slam, que file desarro~~ada para DOS todo se Ilacia de roma ~ n a n u a ~ ; esta es tula gran ventaja que ofrecell los progl-mas inlcgrados a una interface gr:ifica con~o l a de Microson Windows, pucs nllorran siglliticaliv~uncnte ticnlpo en la elaboración de ordenes largas disminuyendo la posibilidad de errores en l a elaboracion de las ordenes y la ejccuci6n de varias fhcioncs al mismo tienyo (esto ultimo en DOS es imposible de hacer). Es de aclarar que Windows no es la hita interface gr6fica para PC basada en compatibilidad IBM operada bajo DOS, pero si es l a m6s famosa en uso por SII versatilidad y sencillez de opcraci6n; hoy en día la scgunda en uso es la OSNOS de JBM, ambas son 100% colnpatibles CII operaciOn cn sus ultimas versiones dada la conqxtcncia en el mercado.

20

Ticnicas de Simulación Matembtica

Observando los resultados de la simulacibn.

Los resultados de la simulación pueden observarse gráficamente usando gráficas de pae, histogramas, barras, y puntos así como textualmente en un reporte general (resumen) de la simulación.

El reporte resumen de la simulación (Sumary) es examinado en el Text Browser como se muestra en la figura 2.6.

11 I S L A M I t S U M M A R Y R E P O R T

SIMULATION PROJECT REPARACIONES BY JUAN VILLEGAS C O R T E

DATE 712711 995 RUN NUMBER 1 OF 1

CURRENT TIME .1000E+02 STATISTICAL ARRAYS CLEARED AT TIME .0000E+00

"STATISTICS FOR VARIABLES BASED ON OBSERVATION'*

MEAN STANDARD COEFF. OF MINIMUM MAXIMUM NO.OF VALUE DEVIATION VARIATION VALUE VALUE OBS

TIEMPO TALLER .616E+01 .671E+00 .109E+00 . 471E+01 .733E+01 25

"FILE STATISTICS"

FILE AVERAGE STANDARD MAXIMUM CURRENT AVERAGE NUMBER LABELTYPE LENGTH DEVIATION LENGTH LENGTH WAITTIME

1 WSl QUEUE ,000 ,000 O O ,000 2 CALENDAR 30.91 O 13.852 51 50 1.241

"SERVICE ACTIVITY STATISTICS"

ACT ACT LABEL OR SER AVERAGE STD CUR AVERAGE MAX IOL MAX BSY ENT NUMSTARTNODE CAP UTlL DEV UTlL BLOCK TMUSER TMUSER CNT

1 1 WS1 QUEUE 50 29.910 13.85 49 .00 50.00 5 0 . 0 0 25 1 Figura 2.6. Reporte general de la simulación en el Text Browser.

A continuación se dan los pasos a seguir:

l . Seleccione Repurl de la barra de menú y escoja Outpuf del menú resultante. 2. Seleccione Szrntnry (resumen). Slamsystem presentará una ventana como se muestra

en la figura 2.7. Esta fimción requerirá hacer la traslación del archivo de control y de la red, y simular el escenario antes de ver el reporte. Seleccione OK para realizar estas tareas.

3. Si no se hallaron errores es los pasos anteriores, el Report Browser pantalla conteniendo en la ventana el reporte resumen. Maximice la tener una mejor visión del mismo.

aparecerá en ventana para

21

Técnicas de Simulnciótl Matemática

-Required Updates: ~ , ~ T ~ o Cornpi LE! t1:ier i.nsor%s

ranslation . . . . . , , . , . .. . . ... . .... o f .... network . . . . .. . . .. . . . .. and ... .. .. controls; . ... . . . .. . . .. . .......

-0p t ions : @Update Scenario

OContinue without updating scenario

Figura 2.7.

Si fueron hallados errores durante la traslación o la simulación, estos tienen que ser corregidos antes de continuar.

a) Si en l a traslación del control y la red (Le. Simclufe / 7rcr1rsh,e) se tienen errores, seleccione la opción Echo en l a lista de reportes y analice los errores en éste mismo.

b) Si en la simulación o en la ani~nación’~ ocurre un error del tipo “run-time error” (Le. Simukrte / Rwl), seleccione la opción Iflfermediafe y analice en éste el posible error.

Después de dctectarse la(s) f’uente(s) del error, seleccione la opción Cirrlcef en la lista, rcgresc al asistente apropiado y haga los canlbios necesarios para corregir los errores y vuelva al paso l.

4. Para salir del I<eprf Hrowser, seleccione de la barra de menú la opción File y después l h i f .

Interpretando la infornlación del reporte vemos que se tuvo u n total de 25 observaciones, aquí representan 25 días totales empleados en la reparación de las unidades,

I s Esta característica avanzada de Slalnsystem no scrh tomada en el prescntc trabajo, pero si tiene interés en la nlistna consulte la guía dc rcl‘crencia dcl progralna.

22

esto se ve muy claro en el renglón de TIEMPO TALLER, además se obtuvo un valor medio de 6.16 con una desviación estándar de 0.671, y el mínimo tiempo de reparación fue de 4.7 1 y el máximo de 7 .33 días; así también de la planta con 50 mecánicos disponibles se tuvo que se mantuvo ocupada un 29.91 %.

La utilización de cualquier actividad de servicio puede visualizarse en una gráfica de pae como se muestra en la figura 2.8, en este caso la actividad a visualizarse es el porcentaje de uso del total de los 50 mecánicos que se tienen para realizar las reparaciones, esto se hace de la siguiente forma:

l. Seleccione Graph de la barra de menú y escoja Olrtpt del menú resultante. 2. Seleccione el botón con la opción Pie Clmrt. 3. Seleccione el número de servicio de la actividad de interés de la lista resultante. J. Seleccione OK. 5. Para salir de la gráfica, seleccione OK.

UTIL. OF FICTIUITY: 1

BUSY( 609.)

IDLE( 40%)

Figura 2.8. Gráfica de pae.

Como comentario podemos ver, a partir de la información de la gráfica, que se mantuvo en un 40% ocupada la planta de 50 mecánicos (podríamos decir que puede darse un recorte de personal al 50%, esto tiene que fkndamentarse aún más con otras corridas de la simulación).

El número promedio de espera en la cola de la estación de trabajo en esta ocasión es cero (como lo marca el reporte general), lo que nos interesa observar es el número de unidades de tiempo (en este caso cada unidad de tiempo es un día), recordemos que para nuestro caso la estación de trabajo representa al taller, se muestra en una gráfica de barras como se muestra en la figura 2.9, de la siguiente forma:

l. Seleccione el botón Bar Chart de la misma lista de opciones. 2. Seleccione UbserwdMenn de la lista resultante.

23

Técnicos de Simulacih Matenrcitico

3. 4. 5. 6. 7.

Seleccione OK. Seleccione 77EMPO TALLER, así se asociará esta a la barra 1. Seleccione OK para dibujar la gráfica. Para salir seleccione OK. Para dar por terminada la generación de gráficas seleccione Cancel.

Obserued Mean 6.164

4.931

M 3.698 Q

1.233

o. O00 I TIEMPO TALLER

S T A T I S T I C LABEL

Figura 2.9. Gráfica de barras para la media observada de la única actividad dentro de nuestro problema (recordemos que es l a actividad del taller).

De esta forma he mostrado los pasos a seguir para hacer la simulación dentro de Slamsystem, espero haya quedado claro el procedimiento, es de aclarar que la ayuda en línea presentada dentro del programa es escasa en relación a las actuales aplicaciones para Windows; pero tomemos en cuenta de que este es un programa de 1990 año en el cual apenas estaba en boga la versión 3.0 de Windows, en ésta aim 110 estaba disponible el modo 386 mejorado y otras herramientas que se añadieron y otras que se mejoraron con la versión 3.1, y posteriormente se refinaron en la versión 3.1 I para trabajo en grupo16.

Lo que a continuación se realiza es la sinlulación (corno ya se había mencionado párrafos anteriores) de la simulación de 10 corridas, cada una de 10 días, para así poder formular criterios en base a un mayor número de observaciones.

Para realizar lo que nos proponemos ábrase el archivo de control (seleccione C o m d en la ventana de Slamsystem), y seleccione el comando GEN, en este en la opción de plantilla Number of runs escriba 10. Guarde el archivo y vuelva a la ventana de Slamsystem, pida

Mago la observación del hecho de quc el prcscllte trabajo, dcstlc la simulaci6n y la redacción del presente reporte se elaboró en una nxiquina con procesador 80486 DX con la vcrsi6n 3.1 1 de Windows, en estos momentos esta en espera el lanzamiento al mercado de l a versión 95’, dentro de la cual se hnbr6 superado las famosas “caídas de sistema” que son muy conlunes cualdo ~ n a aplicación sc sale de lo prcdisprlcsto e11 cantidad de recursos del sistema para su operaci611, tenidndose conlo consecuencia que se “aborta” hacia 110s pcrcliCndose toda l a infomlación de las aplicaciones existentes a l momento de la falla.

nuevamente la opción Ikporí, Output, Swmry, etc. Ahora en el listado tendrá el resumen de las diez corridas. Usted puede visualizar una a una maximizando la ventana o bien para mayor comodidad imprima los resultados.

He resumido los resultados obtenidos, así como los cálculos de promedios generales en las siguientes páginas que presento junto con las respectivas gráficas.

Resumen de corridas

40 T

5""""""""""""""".""""""""".

O I I I I I 1 I I I

1 2 3 4 5 6 7 0 9 1 0

Coridas

Valor medio de reparación

6.4 T 6.2

6

5.4

5 1 I I I 0 I I I 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

Días

25

J) m%

25 0 0 %

20 00%

15 00%

10 0 0 %

5 00%

o m% I) 1 I 2

3

Olas de reparacl6n-promedio plunldad

' b Max. gral.

Prom Min

Promedlo de uso de personal con 60 rnec.

I 5 6

corridas

7 8 9 1 O 11

Técnicas de Sinwlnción Alatermitica

Costo Prom p/paro vehlculo = N$ 35.550 O0 Costo Prom plpago mecbrllco = N$ 4.266 O0

Costo Prom Total-= N$ 39.816 O0

27

Técnicas de Sintulación A Iatentátich

Capítulo

Aplicación

3

a Inventarios.

Elementos de,un sistema de inventarios.

Se comprende por inventario corno un conjunto de recursos litifes que se encuentran ociosos en algún momento. Podemos ver como ejemplo el llamado slock que se maneja en almacen como .

reserva para determinado fin (mercados, tiendas departamentales, etc ...). El objetivo en los problemas de inventarios consiste en minimizar los costos (totales o esperados) del sistema, sujeto a la restricción de que se debe satisfacer una demanda (conocida o aleatoria).

Existen dos cuestiones fundamentales al controlar el inventario de un producto, o grupo

i. ¿Cuanto ordeno o produzco? ii. ¿Qué tan frecuente ordeno o produzco?

Con el fin de que queden más claros los componentes de un sistema de inventarios, en

de productos:

la siguiente página se muestra un cuadro sinoptico (figura 3.1).

La teoría de inventario se divide de acuerdo a la combinación de los siguientes factores: a) Detelminística o estocástica, según el tipo de demanda. b) Demarlda comtallte o variable según el tiempo. c) De u11 producto, t~tr~ltiprodr~ctos o productos s~rbstitutos, productos perecederos. d) Con tiempos de et1 ftvga dctermi~~isticos o estocásficos. e) Con tienpos de elltrega irlstarltáneos o no itlstautáueos. í) Con costos pemles o sin costos p e d e s . g) Con costosjijos o sir1 coslosjijos. h) Con costos litleales o 110 lineales (discontímos, concavos o convexos).

Aún más, la teoría de inventarios puede dividirse en función de la forma como se toma una decisión. Existen decisiones a partir de revisiones coiltimras o revisiolles periodicas del inventario.

En el primer caso se toma una decisión (cuánto comprar o producir) cuando el nivel del inventario alcanza un cierto valor; en el segundo, se toma cuando ha transcurrido un periodo de tiempo prefijado.

Los sistemas de inventarios pueden clasificarse teóricamente en función al número de periodos de tiempo que se van a analizar, siendo este un núrnero3finito o inJrlito. Finalmente los inventarios se pueden clasificar en función al número de niveles relacionados con 10s

28

Técnicas de Simulncidn A4ntenralicn

posibles puntos de almacenamiento de un producto. En este caso el sistema de inventarios se llama multinivel, cuando se trata de un solo nivel no recibe un nombre especial. En el presente reporte se aborda el tema de Sim~lrl~~cicir~ nplicadu a Control de Inventarias.

Figura 3 . l . Cuadro sinoptico.

Componentes dcl sistema de inventarios

* costos de acarreo (csliba,

* hlantcnirniento

* Fijos * de * Penales

carga, descarga)

* administrativos * de Producción o almaccnan~iento

Rcordcn * seguros.

costos

* Corlstantc o Estática * V;lriable o Ditlrlmica Dcnlanda

* Sustitutos * por unidac * p o r lote * pereccderc

0 Productos varios

0 Tiempo de entrega y producción

Horizontes de planeación

* duradero * divisible * indivisible

Simulación aplicada a Control de lnventarios.

Aqui se toma una extensión para el modelo del lote económico para el caso estocástico, se considera que la demanda es estocástica, se tiene una distribución de probabilidad conocida, y las desiciones de producción y reorden se hacen en forma corrlirara, entiendase esto último, en función de nivel de inventario (no en forma periódica).

Considerando que se decide producir u ordenar Y unidades cada vez que el nivel de inventario alcanza un punto crítico R, el modelo ideado por Hadley y Whitin, calcula los valores optimos de Y y X que minimizan el costo total esperado del inventario por unidad de tiempo (día, mes, año, etc ...).

Se define como ciclo al intervalo de tiempo que transcurre entre la llegada de dos órdenes consecutivas. Como el tiempo de entrega es a su vez una variable aleatoria con distribución de probabilidad conocida", la medida de los ciclos es diferente; además, se pueden tener varios ciclos por unidad de tiempo. Se supone que la demanda insatisfecha se difiere al futuro, a un costo penal determinado, que la distribución de la demanda durante u n tiempo de entrega es independiente del periodo en que esto ocurre y que el valor esperado de la demanda, durante el tiempo de entrega, nunca es mayor a X, con objeto de no tener varias órdenes diferidas de demanda insatisfecha.

El costo total esperado para este modelo incluye al costo fijo promedio, el costo esperado de mantenimiento y costo esperado penal.

Uso de HAD- WHI.

Usando el programa HAD-WI-lI'* se resuelven los siguientes tres problemas de inventarios con demanda estocástica, distribuciones de probabilidad uniforme o exponencial y revisión continua.

3 . l. Un comerciante vende piezas de cerámica para uso industrial cuya demanda mensual (promedio) es de 240 unidades al mes, el costo fijo de ordenar es de $150, el costo de mantenimiento mensual es de $3 por pieza, y la demanda durante el tiempo de entrega es una variable aleatoria con distribución uniforme cuyo rango es el intervalo de O a 24 (piezas). Si el costo penal por unidad es de $20. ¿Cuál es el tamaño del lote y el punto de reorden que minimizan el costo total del inventario de este producto?, ¿cuál es el costo esperado mensual?.

Técnicas de Simulación hdatemálica

PROGRAMA DE CALCULO DEL TAMARO DEI, LOTE PARA IN'JEIITARIO DE U N PRODUCTO CON DEMANDA ESTOCASTICA Y REVISTOH CONTIHIJA (t4ODELO DE HADLEY-WHITIN)

D i s t r i b u c i 6 n de l a d e m a n d a e n u n tiempo de e n t r e g a : U n i f o r m e

T a s a de d e m a n d a d e l p r o d u c t o 2 4 0 ( p i e z a s / Mes)

C o s t o f i j o de r e o r d e n 150 ( $

C o s t o de m a n t e n i m i e n t o 3 ( $ / p i e z a s Mes 1

C o s t o p e n a l 2 0 ( $ / p i e z a s Mes )

L i m i t e i n f e r i o r d e l i n t e r v a l o de d e m a n d a 0 ( p i e z a s )

L i m i t e supe r io r d e l i n t e r v a l o de d e m a n d a 2 4 ( p i e z a s 1

I n d i q u e e l M a r g e n de a p r o x i m a c i S n ( m a y o r ~ I J C c ~ r o ) deseado 0.0001

E s c p a r a i r a preg a n t

1 L I S T 2RUNU 3LOAD" I S A V E " SCOH'I'II fj,"l,F"I'1 'I'1'RONU 8'l'ROF'm 9KEY OSCREEN

Figura 3.2. Ejemplo de pantalla de captura para el programa HAD-WHI para el primer problema.

A continuación se muestran los datos obtenidos de la corrida del programa: """""""""~""""""""""""""""""""""""""- ! DATOS DF:I. P!IOBL,EMA I !"""""""""""""""""""""""""""""""""""! I TASA DE DEMANDA 2 4 0 ( p i e z a s / Mes) ! I"""""""""""""""""""""""""""""""""""! ! cos'ro FIJO DE REORDEN 150 ( $ I I I""""""""""""""""""""""""""""""""""" I ! COSTO DE MANTENIMIENTO 3 ( $ / p i e z a s Mes ) ! I""""""""""""""""""""""""""""""""""" 1 I COSTO PENAL 2 0 ( $ / p i e z a s Mes ) ! l"""""""""""""""""""""""""""""""""""1

! DISTRIBUCION DE LA DEMANDA EN I I U N TIEMPO DE ENTREGA U N 1 FORME ! I"""""""""""""""""""""""""""""""""""1

I L I M I T E I N F E R I O R DE L A I I DISTRIBUCION DE LA DEMANDA O ( p i e z a s ) ! 1"""""""""""""""""""""""""""""""""""l

I L I M I T E S U P E R I O R DE L A ! ! UISTRIBUCION DE LA DEMAllI3A 2 1 ( [ ~ i e z ~ l s ] ! .................................... I I VALOR ESPERADO DE LA DEMANDA ! ....................................

....................................

I SOLUCION ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""" I ! TAMANO DEL LOTE 1 5 6 . 1 ( p i e z a s ) I I"""""""""""""""""""""""""""""""""""!

! PUNTO DE REOKDEN 2 1 . 7 ( p i e z a s ) ! I""""""""""""""""""""""""""""""""""" I I COSTO TOTAL ESPERADO 4 9 7 . 2 6 ( $ / Mes ) ! ["""""""""""""""""""""""""""""""""""I I NUMERO ESPERADO DE ORDENES I ! POR Mes 1 . 5 4 ! I-----------------------------------"""""""""""""""""-l

! MARGEN DE APROXIMACION o. 0001 I """""""""""""""""""""""""""~""""""""-

31

7écnicas de Sintulacidn Matem6lico

De este listado tenemos los optimos que minimizan que el costo total del inventario para el tamaíío del lote es de 156.1 piezas y del punto de reorden de 21.7 piezas, y el costo esperado mensual es de $497.26, estos datos con una aproximación de

3.2. Resuelva el problema anterior suponiendo que la demanda durante el tiempo de entrega tiene distribución exponencial con media 12 manteniendo los demás datos iguales, compare los resultados de ambos ejercicios para indicar cuál de los dos requiere de un lote mayor de inventario, Les esta la solución más costosa de las 2?

lngresando los datos como se marca se obtiene el siguiente listado: """""""""""""""""""""""""""""""~""""- ! DATOS DEL PROBLEMA I 1"""""""""""""""""""""""""""""""""""l

! TASA DE DEMANDA 2 4 0 ( p i e z a s / Mes) I I"""""""""""""""""""""""""""""""""""1

I COSTO FIJO DE REORDEN 1 5 0 I ) ! !""""""""""""""""""""""""""""""""""" I I COSTO DE MANTENIMIENTO 3 ( $ / p i e z a s Mes ) ! I""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! I COSTO PENAL 2 0 I $ / piezas Mes I

I DISTRIRUCION DE LA DEMANDA EN I"""""""""""""""""""""""""""""""""""1

! UN TIEMPO DE ENTREGA L X W ~ ! ~ l ~ t J ~ . ~ I A L ! I""""""""""""""""""""""""""""""""""" I ! L I M I T E I N F E R I O R DE L A ! ! DISTRIBUCION DE LA DEMAHDA ! I""""""""""""""""""""""""""""""""""" I ! L I M I T E S U P E R I O R DE LA ! DISTRIBUCION DE LA DEMANDA

! !

I""""""""""""""""""""""""""""""""""" I I VALOR ESPERADO DL: LA IIEMAIIIJA 12 ( F i C ' Z ; I Z ) I

I SOLUCION I I""""""""""""""""""""""""""""""""""" I ! TAMANO DEL LOTE I G 7 . 4 ( p i m z . 3 ~ ) I ~""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! ! PUNTO DE REORDEN ? 7 . 1 ( p i p z a s ) !

! COSTO TOTAL ESPERADO 1"""""""""""""""""""""""""""""""""""l

5 4 7 . 4 2 ( $ / Mes ) I ~""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! ! NUMERO ESPERADO DE ORDENE:; I POR Mes 1 . 4 3

! I

I""""""""""""""""""~"""~""""""""""""" I ! MARGEN DE APROXIMACION o . OUOl I

r

""""""""""""""""""""""""""""""""""""

....................................

De acuerdo a este illtinlo listado, los optimos que minimizan el costo total del inventario para el tamarlo del lote es de 167.4 piezas y del punto de reorden de 27.1 piezas, y el costo esperado mensual es de $547.42 , estos datos con una aproximación de

Comnarando. - - .~~

156.1 21.7 497.26 1.54 167.4 27.1 547.42 1.43

De aqui que para el 3.2. se requiera de un lote mayor de inventario pero generando un costo total esperado minim0 mayor en $49.84 con referencia al primero, y el punto de reorden como era de esperarse es mayor para el 3.2. En resumen como vemos hay una aumento

32

Técnicas de Sirwlncion A fntertlirticn

sustancial en el Coslo to ld e.spcrcrdo y el t l r i n w o esperado de arderles por tnes no aumenta, teniendo que este segundo caso resulta ser mas costoso

3.3. Regresando al enunciado del problema 3. l . y considerando la demanda durante el tiempo de entrega con distribución uniforme (como ahí se indica), suponga que una mejora en los procedimientos administrativos de la empresa permite reducir en un 20% los costos fijos de las ordenes (pedidos), calcule la nueva solución (i.e. tamaño del lote y punto de reorden) que minimizan el costo del inventario. ¿En cuanto se reduce el costo mensual del inventario con respecto a la solución anterior?

Aquí tenemos que ahora el costo fijo de ordenar es igual a $120, así aplicando el software obtenemos:

"""""""""""""""""""""""~""""""~"""""-- ! DATOS DE:L PROBLEElA ! !"""""""""""""""""""""""""""""""""""I

! TASA DE DEMANDA 2 4 0 ( p t r z , l s / M E S ) I )"""""""""""""""""""""~"""""""""""""- I ! C O S T O F I J O DE REORDEN 1 2 0 ( $ I I""""""""""""""""""""""""""""""""""" I

! COSTO DE MANTENIMIENTO 3 ( C. / p i r z a s Mes ) I

I COS'I'O PENAL 70 ( $ / [ ' i f'Z;\s Me3 1 I

! DISTRIBUCION DE LA DEMANDA EN I I UN TIEMPO DE ENTREGA UN1 FORI,IE I

! L I M I T E I N F E R I O R DE LA ! DISTRIBUCION DE LA DEMANDA

I O ( p i e z a s ) I

("""""""""""""""""""""""""""""""""""I

! L I M I T E S U P E R I O R DE LA ! DISTRIBUCION DE LA DEMANDA

! 24 ( p i e z a s ) !

l"""""""""""""~"""""""""""""""""""""~ I ! VALOR ESPERADO DE L A DEMANDA I

~""""""""""""""""""""""""""""""""""" I

!""""""""""""""""""""""""""""""""""" I

!"""""""""""""""""""""""""""""""""""I

.....................................

! SOLUCI@I.I I l"""""""""""""""""""""""""""""""""""1

! TAMANO DEL LOTE 1 3 9 . 6 ( p i e z a s ) I I""""""""""""""""""""""""""""""""""" I ! PUNTO DE REORDEN 2 1 . 9 ( p i e z a s ) I l""""""""""""""""""""""""""""""""""" I ! COSTO TOTAL ESPERADO 4 4 8 . 5 6 ( $ / Mes ) I I"""""""""""""""""""""""""""""""""""1

I NUMERO ESPERADO DE ORDENES I ! POR Mes 1 . 7 2 I l""""""""""""""""""""""""""""""""""" I ! MARGEN DE APHOXIMACION o . noel I

ComDarando:

156.1 21.7 497.26 1.54 139.6 21.9 448.56 1.72

Como vemos el nuevo coslo lofa1 esperado disminuye $48.7 con respecto al primero, pero aumenta a 1.72 el ruínlero de órderles por mes lo que significa que cada tres meses se harían un poco más de dos órdenes para volver a poner el tamaño del lote del inventrario a su punto optimo de 139.6 piezas, lo que se compensa con la baja del costo total esperado.

33

Listado de HAD-WHI en Turbo Pascal.

' Complementando se hizo la traducción del programa original de BASIC a lenguaje Turbo Pascal" , el listado en el nuevo código se muestra en las siguientes líneas".

program HAD-WHI; 1 I Sn+ I USES CRT, PRINTER;

var A, B, X, H, P, Dl K, LM, TOL,, YO, RO :real; CT, NP, Y, R, EO, E l . , AUX :real;

Resp, resp2, resp3 :char; TD :byte;

TD2, uni, peri :st.ring[l2];

[""------"--Aqui se ingresan las funciones ..................... 1 FUNCTION E(x:real) : real; begin

[E:=-LM*Ln(H*X/(P*D)); primera funcitrl) E:=LM*Ln( D+P*EXP(k/LM)/( H*X*EEXP(k/LM)+DCP ) ;

end; FUNCTION U(X:real) : real; begin

end; U:=B-(H*X*(B-A))/(P*D);

("""""""""""""""""""-""""""""""""""""" 1 PROCEDURE UNIE'ORME; (este es el procedimiento para cuando se tiene " 1 " 1 BEGIN (inicio del procedure1

write( 'L,imite inferior del intervalo de demanda readln(A); write('Lirnite superior del intervalo de demanda readln(B); write(' Indique la TOLERANCIA:= I ) ;

readln(T0L);

(',uni,') := ) ;

( ' , u n i , ' ) := I ) ;

writeln('Se1eccione el dispositiv9 en que se listaran los resultados:'); write('(1) Pantalla o (2) Impresora := I ) ;

readln(resp1;

IF (P*D/H < SQRT(2*D*(KtP*(AtB)/2)/ti)) and (A<=B) THEN BEGIN

writeln('E1 algoritmo de Hadley-Whitin NO ES APLICABLE A ESTE PROGRAMA'); write1n;writeln;writeln; writeln('Para continuar pulse cualquier tecla...');

END ELSE BEGIN

YO:=sqrt(2+D*K/II); RO:=U(YO); Y:=SQRT(2*D*(KtP*SQR(B-RO)/(2*(B-A)))/H); R:=U(Y); WHILE (ABS(Y-YO)>TOL) AHD (ABS(R-RO

BEGIN YO:=Y; RO: =R; Y:=SQRT(2+D1(KtP*SQR(B-RO)/ R:=U(Y);

END; END; (del else]

END;[del procedure)

)>TOL) W

(2'(B-A))

(""""""""""""""""""""""""""""-"""""""" 1

Versión 6 de Borland.

Obscrvnción: la instrucción ($N+} indica el uso dcl co-procesndor matemático (i.e se redirecciolmn las operaciones aritmkticas involucradas con los calculos a nivcl hardwarc).

lécnicas de Simulación Matematicn

PROCEDURE EXPONENCIAL; (este es el procedimiento para cuando se tiene "TD-2" ) BEGIN

write( I Valor esperado de la DE:MAtJDA:= I ) ;

readln(LM); write(' Indique la TOLERAtICIA:= ' 1 ; readln(T0L); writeln('Se1eccione el dispositivo en que s e listaran los resultados:'); write('(1) Pantalla o ( 2 ) Impresora :-= ' 1 ;

AUX:=LM-(LMtK)*EXP(-K/LM); readln(resp);

IF P+D/H < SQR~(2*D*(KtPtAUX)/H) THEN BEGIN

writeln('E1 alqoritmo de Hadley-Whitin NO ES APLICABLE A ESTE PROGRAMA'); write1n;writeln;writeln; writeln('Para continuar pulse cualquier tecla...');

END ELSE

YO:=sqrt (2*DfK/H) ; RO:=E(YO); Y:=SQRT(2*Df(KtP*LM*EXP(-RO/Lf.l) )/HI;

BEGIN

(verificar que la formula este correcta)

WHILE (ABS(Y-YO)>TOL) AND (ABS(R-RO)>TOL) Do R:=E(Y);

BEGIN YO:=Y;

Y:=SQR'I(2*D+(Kt(PtLM*E%P(-RO/LM)))/H); R:=E(Y);

RO : =R;

END;

END; (del procedure] (""""""""""""""""""""""""""""""""""""-

[ PRINCIPAL] BEGIN

END; (del ELSE)

I

resp2:='l'; WHILE RESPP='l' DO BEGIN

clrscr; writeln('Programa del c lculo del tamaoo del lote para inventario de un'); writeln(' producto con demanda estoc s t i c a y revisiCn continua'): writeln( ' "MODELO DE HADLEY-WHITIN" ' ) ; writeln; writeln; writeln(' Indique las UNIDADES del producto en inventario'); write ( I e . g . piezas, cajas, . . . := ' readln(uni);

) ;

writeln(' Indique la unidad de tiempo para un PERIOW'); write ( ' e.g. minuto, hora, semana, dia, mes, . . . readln(peri);

:= ' 1;

writeln(' Indique la TASA DE DEMANDA d e l producto (',uni,' / ',peri.')'); write ( ' write ( ' Indique el COSTO FIJO DE REORDEN ( S ) readln(K); writeln(' Indique el COSTO DE MANTENIMIENTO ( S /',uni,' ',peril ' ) ' ) ; write ( ' := I ) ; read(H); writeln(' Indique el COSTO E'ENAI, ( S /',u~li,' ',perí,')'); write ( I

writeln('Se1eccione la DistribUci.Cn de la demanda en un tiempo de entrega:'); := I ) ; read(P);

writeln ( ' 1 . UNIFORME'); writeln( ' 2 . EXPONENCIAL'); write ('pulse el n€mero acorde a la selecciCn : I ) ;

readln (TD) ;

IF TD=1 THEN UNIFORME; IF TD=2 THEN EXPONENCIAL;

NP:=D/Y; IF TD=1 THEN

:= I ) ; read([)); := ' 1;

BEGIN EO:=(AtB)/2; El:=(sqr(B-R))/(2'(B-A)); CT:=NP~Kttl'(Y/2IR-Eil)tP*NF*i~:l; END

35

Técnicas de Sinrulacibn Matemdtica

ELSE BEGIN EO:=LM; El:=L,M*EXP(-R/I,M); C T : = N P t K t H * ( Y / 2 t R - E O ) t € " N P ' E l ; END;

IF RESP='l' THEN (Resultados en Pantalla} BEGIN

clrscr; writeln( ' DATOS DEL PROBLEMA' ) ; writeln('~A~~ DE DEMANDA ...................... ',D:8:1,' (',UNI,' / ',PERI,')'); writeln('COST0 FIJO DE REORDEIJ . . . . . . . . . . . . . . . . ' , K : 8 : 1 , ' ( $ 1 ' ) ; writeln('COST0 DE MANTENIMIEIITO . . . . . . . . . . . . . . . ',H:8:1,' (',UNI,' / ',PERI,'l'); writeln('C0~~0 PENAL .......................... ',P:E:l,' (',UNI,' / ',PERI,')'); writeln( 'DISTRIBUCION DE LA DEMANDA EN' ) ; write ('UN TIEMPO DE ENTREGA . . . . . . . . . . . . . . . . . I ) ;

IF TD=1 then writelnl 'UNIFORME') ELSE writeln( 'EXPONENCIAL'); IF TD=1 THEN BEGIN

writeln( 'LIMITE INFERIOR DE LA' ) ;

writeln('LIM1TE SUPERIOR DE L A ' ) ; writeln ( 'DISTRIBUCIOIJ DE LA DEMAI4DA.. ......... ', B: 8: 1, ' ' ,UN11 ;

writeln('DISTRIBUCIOt1 DE LA DEMANDA. .......... ' , A : 8 : 1 , ' ',UNI);

END; IF TD=2 THEN BEGIN

writeln('VAL0R ESPERADO DE LA DEtW4DA ......... ',LM:8:1); END;

writeln; writcln( ' S o I , II c I o N'); writeln('I'AMAY0 DEL LO'I'E . . . . . . . . . . . . . . . . ' writeln('PUNT0 DE REORDEN . . . . . . . . . . . . . . . ' writeln('COST0 TOTAL ESPERADO . . . . . . . . . . . ' writeln('NUMER0 ESPERADO DE ORDENES . . . . . ' writeln("ARGEN DE APROX. (Tolerancia).. ' writeln(' + + + + + * ' I ; write('"Quiere volver a usar el programa: S

readln(resp2); END; (del RESP='l']

IF RESP='Z' THEN (Resultados en Impresora) BEGIN

(clrscr; 1 writeln(' . . . prepare la impresora!');

, Y : 8 : ? , ' (',\JNI,')' , R : 8 : 2 , ' (',UNI,')' ,CT:8:2,' ($/',PERI, ,NP:8:2,' POR ',UN11 , TOL: 1 ) ;

.i=1, no=2 : I ) ;

writeln( 'PULSE CUALQUIER TECLA PARA IMFRIMIR.. . ' ) ; writeln(lst, ' resp3:=readkey;

DATOS DEL PROBLEMA writeln (lst, 'TASA DE DEMANDA.. . . . . . . . . . writeln(lst, 'COSTO FIJO DE RE0RDF:N.. . . . writeln(lst, 'COSTO DE MANTEIIIMIENTO.. . . writeln( lst, 'DISTRIBUCION DE LA DEMANIIA write (lst,'UN TIEMPO DE ENTREGA...... IF TD=1 then writeln(lst,'UNIFOKME') E IF TD-1 TllEN

writeln(lst, 'COSTO PEIJAL.. . . . . . . . . . . . . .

BEGIN

t

1,

) ; . . . . . . . . . . ',D:8:1,' (',UNI,' / ',PERI,')'); . . . . . . . . . . ' , K : 8 : 1 , ' ( $ ) ' I ; . . . . . . . . . . ',H:8:1,' (',UNI,' / ' , P E R l , ' ) ' ) ; . . . . . . . . . . ',P:8:1,' (',UNI,' / ' , P E R I , ' ) ' ) ; Et1 ' ) ; . . . . . . . . . . ' 1 ; SE writeln(lst,'EXPONENCIAL');

writrlrr(lst, ql,IMl'I'k; IIII.'E:KIOR IX I A ' ) ; writeln(lst,'DISTRIBUCION DE LA UEl.lAfJDA ........... ',A:8:1,' ',UNI); writeln(lst,'LIMITE SUPERIOR DE LA'); writeln(lst,'DISTRIBUCION DE LA DEMANDA ........... ' , B : 8 : 1 , ' ',UNI);

END; IF T W 2 THEN BEGIN

END; writeln(lst,'VALOR ESPERADO DE LA DEMANDA ......... ',LM:8:1);

writeln (1st I ; writeln(lst, ' S O L U C I O N'); wrj tell\ ( I s C , 'TAMAYO l ) C I , I,CYl'l<. . . . . . . . . . . . . . . . . , Y : O : I , . ( . ,UEII, . ) . ) ; writeln(lst,'PUNTO DE I<EORDt,:PJ . . . . . . . . . . . . . . . ',R:8:1, . (',UNI,')'); writeln(lst,'COSTO TOTAL ESPERADO . . . . . . . . . . . ',CT:8:1,' ($/',PERI,')'); writeln(lst,'NUMERO ESPERADO DE ORDEPIES. .... ',NP:8:1,' POR ',UNI); writeln(lst,'MARGEN DE APROX. (Tolerancia).. ',TOL:2); writeln(lst, * * *C. * + I ) ;

writeln; writeln; write('"Quiere volver a U B ~ K el proqram,l: si=l, no=2 : I ) ;

36

Técnicas de Sinwlaciórl Alatemrjtica

r e a d l n ( r e s p 2 ) ; END; ( d e l R E S P = ' 2 ' ]

END; ( d e l W h i l e ] I F R E S P 2 = ' 2 ' THEN

BEGIN w r i t e l n ; w r i t e l n ( ' w r i t e l n ( '

t t , 1; * . . . . . . . . . . . . . . . ok!');

END. ( P R I N C I P A L ] END;

I

Este programa se probó usando el problema 3. l . obteniéndose los siguientes resultados:

DATOS DEL PROBLEMA TASA DE DEMANDA ...................... 2 4 0 . 0 ( p i e z a s / mes) COSTO F I J O DE REORDEN . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0 . 0 ( S ) COSTO DE M A N T E N I M I E N T O . . . . . . . . . . . . . . . 3.0 ( p i e z a s / m e s ) COSTO PENAL .......................... DISTRIBUCION DE LA DEMANDA EN

2 0 . 0 ( p i e z a s / mes)

U N TIEMPO DE ENTREGA., ................ U t 4 1 FORNE L I M I T E I N F E R I O R DE LA DISTRIBUCION DE LA DEMANDA . . . . . . . . . . . 0.0 p i e z a s L I M I T E S U P E R I O R DE LA DISTRIBUCION DE LA DEMANDA . . . . . . . . . . . 2 4 . 0 p i e z a s

S O L U C I O N TAMARO DEI, L O T E . . . . . . . . . . . . . . . . 156 .09 (pl<,:n:;) PlJNTO DE REORDEN.. . . . . . . . . . . . . . 2 1 . G 6 ( p i e z a : ; ) COSTO TOTAL ESPERADO . . . . . . . . . . . 4 9 7 . 2 6 ( $ / m e s ) NUMERO ESPERADO DE O R D E N E S . . . . . 1.54 POR p i e z a s MARGEN DE APROX. ( T o l e r a n c i a ) . . 1 . O E - 0 0 0 4

¿ Q u i e r e v o l v e r a u s a r e l p r o q r a r n ~ : si'l, n o = 2 : * * ** * *

Como vemos los resultados son iguales a la corrida con el sistema original, salvo que aqui se muestran las cantidades con 2 cifas decimales y se tiene una mejor aproximación.

Al final se muestra el diagrama de flujo del algoritmo de HAD-WHI en la lámina 1

Simulación aplicada a Control de Inventarios con demanda estocástica de distribución normal.

Aplicaci&n de CMOM.

A partir del uso del programa para Sistemas de Inventario CMOM (Computer Models for Operation Management) se trata el siguiente problema.

3.11.1. Jack Burton, el gerente de producción de la compañia impresora Ajax, estima que l a demanda del próximo aÍio de papel bond será de 12000 cajas. El precio de cada caja es de $IO.= y el costo de colocar y procesar una orden es de $IO.=. Jack estima que los costos de mantenimiento del inventario son del 2% de precio unitario por cada caja y por cada mes. Debido a la incertidumbre que existe en la demanda de servicios de impresión, el Sr. Burton considera que la demanda durante el tiempo de reorden (i.e. mientras se hace, se

37

lkcnicas de Sinlulación Maatenuitico

envía y se surte un pedido) es de 20 cajas en promedio con una desviación estándar de 4.5 . Además el costo de penalización por falta de producto (Shortage cost) es de $1 por caja por mes. El tiempo que se tarda en entregar un pedido es de 3 días. Se desea encontrar el nivel optimo de reorden y la cantidad de cajas en cada pedido que minimicen el costo total del inventario.

LOS datos del problema se ingresan en la pantalla de edición de 10s mismos según se muestra a continuación:

08-21-1996 i n p u t f i l e : SEM2-22.IDD 21:19:38

Independent Dprnand I n v e n t o r y S y s t e m s S t o c h a s t i c Demand

Data Entered

Demand 1 0 0

C o s t p e r O r d e r 1 0

H o l d i n g C o s t p e r , u n i t 2

Lead Time ( % o f p e r i o d ) 1

Demand over Lead Time 2 0

S tandard Devia t ion over Lead T ime : 4.5000

S h o r t a g e C o s t p e r u n i t 1

Obteniéndose la siguiente solución:

Independent Demand I n v e n t o r y S y s t e m s S t o c h a s t i c Dem3nd

O p t i m a l O r d e r Q u a n t i t y : Reorder Leve l S a f e t y S t o c k S t o c k o u t s p e r P e r i o d : O r d e r i n g C o s t s H o l d i n g C o s t s S a f e t y S t o c k C o s t s S h o r t a g e C o s t s T o t a l I n v e n t o r y C o s t s :

S o l u t i o n

31.6228 1

-1 9 59.9220 31.6228 31.6228

59.9220 85.1676

-38

Ahora nuestro objetivo es resolver el problema usando la técnica del método de Had-Whi que se usó previamente en el reporte pasado, pero ahora implementando una subrutina que involucre el calculo de la función de distribución normal.

38

Técnicas de Sintulncidn Afnfenlcitica

La aproximación de la fbnción de distribución normal se hace con el método de regla de Simpson, considerándose una partición de 100 para asegurar tener una tolerancia de 5 cifras decimales, que creo es bastante, misma que se usa para las aproximaciones numéricas de la esperanza E[s(E)].

Con diferencia a lo hecho anteriormente, en el pasado algoritmo, ahora se solicita además los valores de p y o respectivos que involucra la demanda; con la característica especial de que se necesita tener cuidado al implementar el cálculo de los valores de /(I a partir de

con I?/ > O. Para hacer este cálculo se consideró lo siguiente: veamos que

En el programa lo que se busca es encontrar el respectivo X I para el cual el valor de la función de distribución normal sea el valor constante (Cte.) ya conocido. En un primer intento se trata de usar algo similar al método de bisección para hallar raíces de funciones; más no se puede usar directamente dado que el intervalo es abierto a la derecha, por lo tanto se procede a partir de un valor para el límite superior de la ultima integral muy próximo a cero, incrementándose consecutivamente con un 6 hasta obtener una aproximación con cierta tolerancia (sea de de momento), la variación de 6 se hace dentro de un intervalo asignado de [B +-a]; y una vez que esta se alcance entonces se considera a la cota superior como el valor de XI, es así que este proceso se repite en cada iteración.

Con respecto al diagrama de flujo, este no tiene variante relevante con respecto al de la actividad pasada, puesto que aqui ahora ya de entrada se supone que el fenómeno tiene distribución de tipo normal (recuerdese que anteriormente se escogía entre tipo exponencial o uniforme), así ahora adicionalmente se piden los valores para p y 0. Hago la observación de que cuando se calculan las inicializaciones de R; se hacen implementando la subrutina del calculo inverso para la función de distribución normal, la cual aparece en el anexo 2. Al final en la lámina 2 se muestra el mismo.

39

Técnicas de Sinrulncion hfafembfico

Simulación aplicada a Lineas de Espera

Los modelos de líneas de espera permiten discernir un buen balance que equilibra por un lado el costo social de la espera y por otro el costo del servicio.

Infroducci6n a h e a s de espera.

A continuación se muestran los conceptos que se usan en la simulación matemática aplicada al fenómeno de las líneas de espera.

Sistema: Conjunto de clientes que están formados en un área de espera para ser atendidos por uno o más servidores. Un sistema de varios servidores tiene estructura en paralelo cuando los clientes pueden recibir su servicio de cualquier servidor indistintamente; tiene estructura en serie cuando cada cliente debe recibir el servicio de cada servidor en una cierta secuencia; o puede tener una estructura combinada o mixta.

Periodo: Lapso de duración definida en que ocurre la llegada de clientes y la prestacihn de servicios.

Servidor: Componente del sistema que efectua l a prestación de servicios atendiendo a una cierta política, con tiempos aleatorios de servicio regidos por una cierta distribución, a la que se asociará una tasa de servicio esperda por periodo.

Población: Es el conjunto de clientes que pueden llegar a requerir un servicio en el sistema. La población se considera finita cuando su tamaño es conocido y cada cliente es fácilmente identificable*' . En algunos sistemas de líneas de espera la población se subdivide en función del tipo de servicio (más o menos urgente) que requieren diversos grupos de clientes, y la política de atención se modifica para dar prioridad a los clientes que requieren el servicio con mayor urgencia.

Políticas de servicio: Reglas arbitrarias pero aceptadas que determinan el orden de atención a la clientela. La política puede ser: primero en formarse, primero en atenderse o último en formarse, primero en atenderse; de acuerdo con la prioridad del cliente puede ser o no abortivd2 .

Paramétrico: Rango de análisis de un sistema de líneas de espera según un número mínimo y un número máximo de servidores.

21 Una población se puede considerar infinita cuando su tamafio, a pesar de ser finito, no es conocido, y cada cliente no es por lo general fácilmente identificable.

22 Política no abortiva significa que la llcgada de un clientc con prioridad más alta no implica que se suspenda el servicio al que cstá atendiendo.

Técnicas de Sindacidn Matemática

Factor de utilización: Es el cociente de la ttrscl p u m t i i o de llegada entre la fusa pro11m.h de servicio para el caso de un solo servidor. Los modelos de líneas de espera requieren que este factor sea menor a uno, por lo que la fosa de llegadas debe ser menor que la tasa de servicio. Para el caso de servidores múltiples en paralelo, este factor es el cociente que resulta de dividir la tasa promedio de llegadas entre una tasa global de servicio, esta ultima definida como el yroducto de la tasa de servicio por el mintero de servidores.

Implementacibn.

Problema 3.111 : Una compañía aerea tiene cuatro aviones tipo 747, se ha observado que el número de aviones que presentan fallas en la turbina es una variable aleatoria con distribución Poisson corn media 1 (i.e. un promedio de falla al año). El tiempo promedio de revisión y compostura de una turbina es de 72 días. Só10 hay un equipo de mecánicos para hacer las reparaciones y se dan servicio a los aparatos en el orden que llegan. La dirección de la conlpaíiia está considerando la posibilidad de reemplazar el equipo de laboratorio para reparación de las turbinas, pero no se conoce con certeza cómo afectará el tiempo requerido para dar servicio a un avión con el nuevo equipo, por lo cual se harán tres estimaciones, una optimista de 36 días, una conservadora de 45 días y una pesimista de 60 dias. Para calcular el costo de estar un avión en espera de ser reparado se considera lo siguiente:

El ingreso generado por avión y por hora de vuelo es de $20, OOO.= El costo ahorrado en combustible y mantenimiento si el avión no vuela es de

El número de horas de vuelo promedio al día es de 18. $ 2,000.= por hora y pór avión.

Uso de LINESP.

Ejecutar el programa LINESP para obtener los valores esperados de tiempos perdidos mientras son atendidos los aviones (para c/u de los tres casos mencionados), y en c/u de ellos calcular el costo estimado anual de espera.

Solución: Este problema es del tipo z l t m cola - 11t1 servidor - poblrció~~Jj~~ita, dado que se considera al laboratorio como el servidor. El periodo que se considera es de un año, dado que un mes se toma como 30 días, por lo tanto en la presente simulación se considerará a 360 días = 1 aíio (i.e. 12 * 30), así:

41

Tdcnicns de Simulacidn Aíatemálicn

Como vemos la tasa de llegada es de 1 cliente por ario (aviódaño), la tasa de servicio es 5 y el tamaño de la población es finito (m). La corrida del programa es la siguiente23:

Una cola, un servidor, poblacion infinita Una cola, un servidor, poblacion finita

Una cola, servidores multiples en paralelo, poblacion infinita

Tasa de llegada 1 (Clientes/AUo)

Tasa de servicio 5 (Servicios/A#o)

Tamaho de la poblacihn 4 (Clientes)

Seleccione el dispositivo e n que se listar6n l o s resultados

O Pantalla Impresora

Utilice O o O para sehalar; Return para seleccionar

""""""""""""""""~""""""""""""""""""""""- ! DATOS DEI, PROBLEMA LIE ! ! Una cola, un servidor, poblacion finita I (""""~"""""""""""""""""""""""""""""""""-~

! TASA DE LLEGADA 1.00 (Clientes/A#o) ! I"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" !

I TASA LIE SERVICIO 5 . 0 0 (Sr-rvir,lc~::/A#o) 1 ....................................... I I TAMANO DE LA POBLACION 4 (Clientes) I ........................................

~""""""""""""""""""""""""""""""""""""""~

I DESCRIPCION DEL sIzrEtm I ....................................... I

I I-NO. PROB HALLAR PROB tIALLAR ! I=NO. PROB HALLAR PROB HALLAR I I CLTES I CLIENTES t [?E I CL,TS ! CLTES I CLIENTES t DE I CLTS I

! ! ! ! ! O O . 3983 0.6017 ! 1 0.3187 O. 2830 I ! 2 0.1912 0.0918 ! 3 0.0765 O. 0153 ! ! 4 O. 0153 - .o000 ! ! I ! ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l

! VALOR ESPERADO DE OCUPACION DEL SISTEMA 0.99 (Clientes) I I"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! ! VALOR ESPERADO DE LONGITUD DE LA COLA 0.39 (Clientes) ! l"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! ! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN EL SISTEMA O A#o 3.9 Mes ! ~"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" I ! VALOR ESPERADO DE TIEMPO El4 L A COLA O Ano 1.5 Mes I """""""""""""""""""""""""""""""""""""""

Interpretando, la probabilidad de que no se encuentre ningún avión en el sistema de compostura es de 39.83% en el tiempo t . Similarmente la probabilidad de que se encuentre un avión en mantenimiento y otro en espera es de 19.12% y la probabilidad de tener los cuatro aviones en el sistema es de 1.53% (es minima). El número promedio de aviones que esperan servicio de 1 año es de 0.39 aviones, mientras que el número promedio de aviones en el sistema (eseprando en la cola y en el taller) es de 0.99 aviones. El tientpo promedio de espera en la cola para recibir el servicio es de 1.5 meses (i.e. 45 días), y el tientpo promedio en el sislenla es de 3.9 meses (i.e. 175.5 días, casi 4 meses).

'' esta corrida es para un día, para cada u110 de los casos propuestos en el enunciado se necesitan cuatro corridas del programa.

42

Técnicas de Simulación híatentbtica

Haciendo las conversiones a años para los cálculos de las estimaciones, como el número de horas promedio de vuelo por día por avión es de 18 entonces

( )("-) = 6570 el avión vuela, 365 dias 18 hrs 1 año 1 dia

como 1 año= 8760 horas entonces 8760 - 6570 = 2190 hrs/año está parado el avión en tierra, es así que el costo total atlrtalyor nvih es de

(6570 hrs. vuelo/ailo)(20000 pesos/hr.vuelo) + i- (2190 hr.tierra/ailo)(2000 pesos/hr.tierra)= 135.78 millones de pesodaAo-avi6n

(explícitamente, éste sería el costo del tiempo que está parado), por lo tanto, si un avión esta parado 36 días (0.09863 año) en el sistema de compostura, el costo asociado a ese tiempo muerto es:

(135.78 millones $/ailo-avi6n)(0.09863 ailo) = 13.392 millones gavi6n.

si para 45 días (O. 12328 año) el costo asociado es:

(135.78 millones $/aiio-avi6n)(O. 12328 ailo) = 16.74 millones Qavi6n.

si para 60 días (O. 1643 año) el costo asociado es:

(135.78 millones $/ailo-avi6n)(0.1643 aAo) = 22.32 millones Qevi6n.

. . ...... . .e ,..... . ........... ..

Problema 3.IV : En un cruce fronterizo entre dos países con un tráfico intenso, la carretera se bifurca en 5 garitas de inspección migratoria y aduana, suponga que las llegadas de automoviles tienen una distribución de Poisson con media de 15 automóviles por hora, mientras que el número de servicios tiene una distribución exponencial negativa con un valor esperado de 8 servicios por hora. Por razones legales las garitas proporcionan servicio en cuanto se desocupan y se atienden a los automóviles en el orden en que llegan. Se han estimado los costos de operación de cada garita por hora en $ 800.= , y el costo promedio de espera de cada automóvil por hora en $ 1200.=. Se desea averiguar si hay un número de garitas (entre 2 y 7) que minimice el costo total ( = costo de operación + costo de espera), para determinarlo ejecute el programa LINESP con número de servidores de 2 a 7 (con opción de análisis paramétrico).

Solución:

corrida con los datos respectivos se lista a continuación: Este es un problema de tipo cola - servidores et] paralelo - poblaciotl ilfinita. La

Técnicas de Sirnulacion Matentajlica

Una cola, un servidor, poblacion infinita Una cola, servidores multiples en paralclo, poblacion infinita I

An6lisis pararnetrico de la descripci6n del s i s t respecto al número de serv I Tasa de llegada 1 5 (Clientes/Hora)

Tasa de servicio 8 (Servicios/Hora)

Número minim0 de servidores 2 Número msximo de servidores 7

I Seleccione el dispositivo en que se listar6n los resultados

O Pantalla Impresora

Utilice O o O para sehalar; Return para seleccionar

""""""""""""""""""""""~""""""""""""""""- ! DATOS DEL PROBLEMA DE ! ! Una cola, servidores multiples en paralelo, poblacion infinita !

........................................ !

I"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! ! TASA DE LLEGADA 1 5 . 0 0 (Clientes/tlora) !

! TASA DE SERVICIO 8 . 0 0 (Servicios/Hora) ! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""

........................................

! DESCRIPCION DEL SISTEMA CON 2 SERVIWRES I ~""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l

! I=NO. PROB HALLAR PROB HALIAR ! I=NO. PROB HALLAR PROB HALLAR ! ! CLTES I CLIENTES + DE I CLTS ! CLTES I CLIENTES + DE I CLTS ! l"""""""""""""""""""f""""""""""""""""""-l

I ! ! ! O O . 0 3 2 3 0 . 9 6 7 7 ! 1 O . 0 6 0 5 0 . 9 0 7 3 ! ! 2 O . 0567 O . 8 5 0 6 ! 3 O . 0 5 3 2 0 . 7 9 7 4 ! ! 4 0 . 0 4 9 8 0 . 7 4 7 6 ! 5 0 . 0 4 6 7 0 . 7 0 0 8 ! ! 6 0 . 0 4 3 8 0 . 6 5 7 0 ! 7 0 . 0 4 1 1 0 . 6 1 6 0 ! ! 8 O . 0 3 8 5 0 . 5 7 7 5 ! 9 O . 0 3 6 1 0 . 5 4 1 4 ! ! 1 0 O . 0 3 3 8 0 . 5 0 7 5 ! 1 1 0 . 0 3 1 7 0 . 4 7 5 8 ! ! 1 2 0 . 0 2 9 7 0 . 4 4 6 1 ! 1 3 0 . 0 2 7 9 0 . 4 1 8 2 ! ! 14 O . 0 2 6 1 0 . 3 9 2 1 ! 1 5 0 . 0 2 4 5 0 . 3 6 7 6 I ! 1 6 O . 0 2 3 0 0 . 3 4 4 6 ! 17 0 . 0 2 1 5 0 . 3 2 3 1 ! ! 1 8 o . 0 2 0 2 0 . 3 0 2 9 ! 1 9 0 . 0 1 8 9 0 . 2 8 3 9 ! ! 2 0 0 . 0 1 7 7 0 . 2 6 6 2 ! 2 1 0 . 0 1 6 6 0 . 2 4 9 5 ! ! 2 2 0 . 0 1 5 6 0 . 2 3 4 0 ! 2 3 0 . 0 1 4 6 0 . 2 1 9 3 ! ! 24 0 . 0 1 3 7 0 . 2 0 5 6 ! 2 5 0 . 0 1 2 9 0 . 1 9 2 8 ! ! 2 6 0 . 0 1 2 0 0 . 1 8 0 7 ! 27 0 . 0 1 1 3 0 . 1 6 9 4 ! ! 2 8 0 . 0 1 0 6 0 . 1 5 8 8 ! 29 O . 0 0 9 9 0 . 1 4 8 9 ! ! 3 0 O . 0 0 9 3 0 . 1 3 9 6 ! 31 O . 0 0 8 7 0 . 1 3 0 9 I I 32 o . 0 0 8 2 0 . 1 2 2 7 ! 33 O . 0 0 7 7 0 . 1 1 5 0 ! ! 34 O . 0 0 7 2 0.10'18 ! 35 O . 0067 0 . 1 0 1 1 ! I 3 6 O . 0 0 6 3 0 . 0 9 4 B ! 37 O . 0 0 5 9 0 . 0 8 8 9 ! ! 38 O . 0 0 5 6 0 . 0 8 3 3 ! 3 9 O . 0 0 5 2 0 . 0 7 8 1 ! ! 4 0 0 . 0 0 4 9 0 . 0 7 3 2 ! 4 1 0 . 0 0 4 6 0 . 0 6 8 6 ! ! 4 2 0 . 0 0 4 3 0 . 0 6 4 4 ! 43 0.0040 O . 0 6 0 3 I ! 4 1 O . 0 0 3 8 0 . 0 5 6 6 ! 45 O . 0 0 3 5 O . 0 5 3 0 I ! 46 O . 0 0 3 3 0 . 0 4 9 7 ! 47 O . 0 0 3 1 0 . 0 4 6 6 ! ! 4 8 0 . 0 0 2 9 0 . 0 4 3 7 ! 49 O . 0 0 2 7 0 . 0 4 1 0 ! ! 50 O . 0 0 2 6 0 . 0 3 8 4 ! 51 O . 0 0 2 4 0 . 0 3 6 0 ! ! 52 o . 0 0 2 2 0 . 0 3 3 7 ! 5 3 0 . 0 0 2 1 0 . 0 3 1 6 ! ! 54 o . O020 0 .0297 I 5 5 0 . 0 0 1 9 0 . 0 2 7 8 I ! 5 6 0 . 0 0 1 7 0 . 0 2 6 1 ! 57 0 . 0 0 1 6 0 . 0 2 4 4 I ! 58 O . 0 0 1 5 0 . 0 2 2 9 ! 5 9 0 . 0 0 1 4 0 , 0 2 1 5 ! ! 6 0 O . 0 0 1 3 0 . 0 2 0 1 ! 61 O. 0013 0 . 0 1 8 9 ! ! 62 o . 0 0 1 2 0 . 0 1 7 7 ! 6 3 0 . 0 0 1 1 0 . 0 1 6 6 ! ! 6 4 0 . 0 0 1 0 0 . 0 1 5 6 ! 6 5 0 . 0 0 1 0 0 . 0 1 4 6 ! ! 6 6 o . O009 0 . 0 1 3 7 ! 67 o . O009 0 . 0 1 2 8 I l""""""""""""""""""""""""""""""""""""""~

! VALOR ESPERADO DE OCUPACION DEL SISTEMA 1 5 . 4 8 (Clientes) ! !""""""""""""""""""""""""""""""""""""""~ ! VALOR ESPERADO DE LONGITUD DE LA COLA 1 3 . 6 1 (Clientes) ! l""""""""""""""""""""""~"""""""""""""""~ I

1 Hor 1 . 9 Min ! ! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN EL SISTEMA

Técnicas de Simulacibn hfatenratica

~"""~"""""""""""""""""""""""""""""""-------~ ! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN LA COLA O Hor 5 4 . 4 M i n ! .......................................

""""""""""""""""""""""""""""""""""""--"-- ! DESCRIPCION DEL SISTEMA COI4 3 SERVIDORES ! l"""""""""""""""""""""""""""""""""""------~

! I=NO. PROB HALLAR PROB HALLAR ! I=NO. PROB HALLAR PROB HALLAR ! ! C L T E S I C L I E N T E S t DE I C L T S ! C L T E S I C L I E N T E S t DE I CLTS ! I"""""""""""""""""""I""""""""""""""---------~

! ! O

! 0 . 1 3 2 2 0 . 8 6 7 8 ! 1 0 . 2 4 7 9 0 . 6 1 9 8 !

!

! 2 0 . 2 3 2 4 0 . 3 8 7 4 ! 3 0 . 1 4 5 3 0 . 2 4 2 1 ! ! 4 O . 0 9 0 8 0 . 1 5 1 3 ! 5 O . 0 5 6 7 0 . 0 9 4 6 ! ! 6 O . 0 3 5 5 0 . 0 5 9 1 ! 7 o . 0 2 2 2 0 . 0 3 6 9 ! ! 8 0 . 0 1 3 9 0 . 0 2 3 1 I 9 O . 0087 0 . 0 1 4 4 ! ! 10 O . 0 0 5 4 0 . 0 0 9 0 ! 1 1 O . 0034 O . 0 0 5 6 ! ! 12 o . 0 0 2 1 0 . 0 0 3 5 ! 1 3 0 . 0 0 1 3 o . 0 0 2 2 ! ! 1 4 o . O008 0.0014 ! ! ! ! I .........................................

! VALOR ESPERADO DE OCUPACION DEL SISTEMA 2 . 5 2 ( C l i e n t e s ) ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l

I VALOR ESPERADO DE LONGITUD DE LA COLA 0 . 6 5 ( C l í e n t e s ) ! !""""""""""""""""""""""""""""""""""""""I

! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN EL S ISTEMA O Hor 10 .0 M i n ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l

! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN LA COLA O Hor 2 . 5 M i n ! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""

"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

I DESCRIPCION DEL SISTEMA Col i '1 SERVIDORES ! ....................................... ! ! I = N O . PROB HALLAR PROB HALLAR ! I=P.IO. PROB HALLAR PROB HALLAR ! ! C L T E S I C L I E N T E S t DE I C L T S ! CLTES I C L I E N T E S t DE I C L T S ! I"""""""""""""""""""I""""""""""""""""""-l

! ! ! ! O 0 . 1 4 9 2 0 . 8 5 0 0 ! 1 0 . 2 7 9 8 0 . 5 7 0 9 ! ! 2 O . 2 6 2 3 0 . 3 0 0 6 ! 3 0 . 1 6 4 0 0 . 1 4 4 7 ! ! 4 0 . 0 7 6 9 0 . 0 6 7 8 ! 5 O . 0 3 6 0 0 . 0 3 1 8 I ! 6 0 . 0 1 6 9 0 . 0 1 4 9 ! 7 0 . 0 0 7 9 0 . 0 0 7 0 ! ! 8 O . 0 0 3 7 0 . 0 0 3 3 ! 9 0 . 0 0 1 7 0 . 0 0 1 5 ! ! 10 O . 0008 O . 0007 ! ! !"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" I ! VALOR ESPERADO DE OCUPACION DEL SISTEMA 2 . 0 0 ( C l i e n t e s ) I 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l

! VALOR ESPERADO DE LONGITUD DE LA COLA 0 . 1 3 ( C l i e n t e s ) ! !""""""""""""""""""""""""""""""""""""""I

I VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN EL S ISTEMA O Hor 8 . 0 M i n !

! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN LA COLA O Hor 0 . 5 Min I 1L--------------------------------------------------------------------------- I

........................................

.......................................

! DESCRIPCION DEL SISTEMA CON 5 SERVIDORES ! l"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! ! I = N O . PROB HALLAR PROD tWJ,I.AR ! I = t J O . FROB HALLAR PROB HALLAR ! ! CLTES I C L I E N T E S t D'Z I CL.1'S ! CLTES I C L I E N T E S + DE I C L T S ! ~"""""""""""""""""""l""""""""""""""""""~

! I I

I O O . 1 5 2 5 0 . 8 4 7 5 ! 1 O . 2 8 6 0 I

! 2 O . 2 6 8 1 0 . 2 9 3 3 ! 3 0 . 5 6 1 4 !

O . 1 6 7 6 ! 4

0 . 1 2 5 7 ! 0 . 0 7 8 6 0 . 0 4 7 1 ! 5 0 . 0 2 9 5

! 6 0 . 0 1 7 7 !

0 .0110 0 . 0 0 6 6 ! 7 0 . 0 0 4 1 ! 8 O . 0 0 1 6 o . O009 ! 9 O . 0 0 0 6 O . 0 0 0 3 !

O . 0 0 2 5 !

!""""""""""""""""""""""""""""""""""""""I

! VALOR ESPERADO DE OCUPACION DEL SISTEMA 1 . 9 0 ( C l i e n t e s ) ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l

! VALOR ESPERADO DE LONGITUD DE LA COLA 0 . 0 3 ( C l i e n t e s ) ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l

! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN E L SISTEMA O Hor 7 . 6 Min I l""""""""""""""""""""""""""""""""""""""~

! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN LA COLA O Hor 0 . 1 M i n ! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""

"""""""""""""""~"""""""""""""""""""""""~

! DESCRIPCION DEL SISTEMA COH 6 S E R V I N R E S ! I"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" !

Técnicas de Sirnulacidn hfatenlaticn

! I=NO. PROB HALLAR PROB HALLAR ! I = N O . PROB HALLAR PROB HALLAR ! ! CLTES I C L I E N T E S t DE I C L T S ! CLTES I C L I E N T E S t DE I C L T S ! !"""""""""""""""""""I""""""""""""""""""- ! ! ! ! ! O 0 .1532 0 .8468 ! 1 0 .2873 0 .5595 ! ! 2 O . 2693 0 .2902 ! 3 0 .1683 0 .1219 ! ! 4 0.0789 0 .0430 ! 5 O. 0296 0 .0134 ! ! 6 O. 0092 0 .0042 ! 7 0 . 0 0 2 9 0 . 0 0 1 3 I ! 8 o. O009 O . 0004 I 9 O. 0003 o. 0001 ! I ! ! I""""""""""""""""""""""""""""""""""""""!

! VALOR ESPERADO DE OCUPACION DEL SISTEMA 1 . 8 8 ( C l i e n t e s ) ! I""""""""""""""""""""""""""""""""""""""1

! VALOR ESPERADO DE LONGITUD DE LA COLA 0 .01 ( C l i e n t e s ) ! I""""""""""""""""""""""""""""""""""""""1

! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN EL SISTEMA O Hor 7 . 5 M i n ! I""""""""""""""""""""""""""""""""""""""1

! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN LA COLA O Hor 0 . 0 M i n !

.......................................

! D E S C R I P C I O N D E L S I S T E I G COll 7 SERVIDORES ! 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l

! I=NO. PROB HXLAR PROB HALLAR ! I=HO. PROB HALLAR PROB HALLAR ! ! CLTES I C L I E N T E S t DE I C L T S I CLTES I C L I E N T E S + DE I C L T S ! ~"""""""""""""""""""l""""""""""""""""--"-~

! ! ! ! O O. 1533 0 .8467 ! 1 0 .2875 0 .5592 ! ! 2 O. 2695 0 .2891 ! 3 O. 1 6 8 5 0 . 1 2 1 2 ! ! 4 O. 07 90 0.0422 ! 5 0 .0296 0 .0126 ! I 6 O . 0093 o. 0031 ! 7 0 . 0 0 2 5 0 . 0 0 0 9 I I 8 O. 0007 O.OOO? ! I I""""""""""""""""""""""""""""""""""""""1

! VALOR ESPERADO DE OCUPACION DEL SISTEMA 1 . 8 8 ( C l i e n t e s ) ! I""""""""""""""""""""""""""""""""""""""l

! VALOR ESPERADO DE LONGITUD DE LA COLA 0 . 0 0 ( C l i e n t e s ) ! ....................................... ! ! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN EL S ISTEMA O Hor 1 . 5 M i n ! I""""""""""""""""""""""""""""""""""""""1

! VALOR ESPERADO DE TIEMPO EN LA COLA O Hor 0 . 0 M i n ! !""""""""""""""""""""""""""""""""""""""I

Resumiendo el listado:

No garitas Val. esp. de Val. esp. de Val. esp. de Val. esp. de ocupaci6n del tiempo en la cola tiempo en el longitud de la cola

sistema (clientes) (min) sistema (min.) (clientes)

2 54.4 61.9 13.61 15.48 i

3

O 7.5 O 1.88 7 O 7.5 0.01 1.88 6

o. 1 7.6 O. 03 1.9 5 0.5 8 0.13 2 4 2.5 10 O. 65 2.52

Analizando el costo total (costo de operación + costo de espera), el costo de oyeracicin se calcula multiplicando el tiempo del Valor de eJpera de tiempo en el sistema convertido de minutos en horas por el costo de operncih por garita por hora ($ SOO), analogamente para el costo de espera, se obtiene multiplicando el valor esperado de tientyo en la cola por el costo prontedio de espera de cada ntrtonu3vil por hora ($ 1200); ambos productos, cada uno se multiplica por el número de garitas.

46

Técnicas de Simulocicin Matenrdtica

Veamos gráficamente los valores del costo total:

3500

3UlO

# 2M0

1500

I (XI0

500

~3 Cost. Operaah m Cost. E spera 0 Cost. TOTAL

2 3 4 5 6 7

Garita3

De acuerdo a lo resumido podemos ver que con 4 garitas obtenemos un mínimo costo de operación y por ende un bajo costo total que es (por una minima diferencia) aun menor a la operación con 5 garitas, por lo tanto nos quedamos con la operación de 4 modulos de servicio.

47

Tkcnicas de Simulación Mdembtica

Algoritmos de “Una cola - un servidor - población finita” & “Una cola - servidores en paralelo - población infinita”

En el presente escrito se explicará como fkncionan los mencionados algoritmos.

A continuación se muestra la notación usada:

:Número promedio de llegadas ai sistema por unidad de tiempo. :Número promedio de servicios por unidad de tiempo. :Factor de utilización del sistema con un servidor. :Número de servidores en el sistema. :Factor de utilización de un sistema con servidores múltiples. :Esperanza (valor esperado) del tiempo de espera para que se proporcione servicio a la última llegada de la cola. :Esperanza del tiempo de espera para que la última llegada de la cola abandone el sistema una vez que se le haya proporcionado el servicio. :Tiempo promedio que transcurre entre dos llegadas consecutivas. :Tiempo promedio de servicio de un cliente. :Número esperado de llegadas de nuevos clientes por unidad de tiempo, cuando ya existen n en el sistema. :Número esperado de servicios por unidad de tiempo, cuando existen II clientes en el sistema. Representa la tasa combinada de servicios a la cual trabajan todos los servidores ocupados. :Valor esperado del número de gentes formadas en la cola. :Valor esperado del número de gentes en el sistema, (i.e. esperando en la cola y recibiendo un servicio). :Probabilidad de que en el momcnto f dc arribo a la cola se encuentren m personas en el sistema, S recibiendo servicio, en el caso de S (S 2 I) servidores, y m-S formados en la cola. :Probabilidad de que en el momento f dc arribo a la cola, el sistema se encuentre vacío. :Número esperado de clientes que no requieren de un servicio en el momento de arribar al sistema (esto sólo tiene sentido para el caso de población finita). :Utilización promedio de cada uno de los S servidores (S 2 I), dada en porcentaje del tiempo.

Técnicas de Sirnulncidn Alaterncitica

Una cola - Un s,ervidor - Población finita

Para poder comprender el hncionamiento y el razonamiento del algoritmo tma cola - t o 1

sewidor - yoblacih jhlita, primero se explicará el algoritmo cuando se considera que la población es infinita, i.e. se supone que el número de clientes que requieren el servicio en una periodo de tiempo determinado en infinito, obviamente este caso no corresponde a la realidad ya que una población es por regla finita. La disciplina de la cola es “primero que llega primero que se le proporciona el servicio”.

Se supone una población finita y una sala de espera de capacidad ilimitada. El tiempo de llegada tiene una distribución de Poisson, con media I/h. Esto quiere decir que si, por ejemplo, llegan 5 clientes en promedio cada minuto (h=5), la media de la distribución es 0.2 minutos (lA), es decir 12 segundos24. La media representa el tiempo promedio que transcurre entre llegadas. El tiempo de servicio tiene una distribución exponencial negativa con tiempo medio de servicio25 l/p,

Analíticamente lo anterior quiere decir que si A([) es el número de llegadas en u n intervalo de tiempo t , con una distribución de Poisson, entonces la probabilidad de que A(I) sea igual a k llegadas está dada por:

Z’(A(t) = k } = e-&(&)‘

mientras que si Z representa el tiempo aleatorio de servicio, con distribución exponencial negativa, la probabilidad de que este tiempo sea mayor a I unidades está dado por:

ahora se derivan las fórmulas generales de este sistema.

Se inicia con el desarrollo de la fórmula general para P,,,(z), la probabilidad de que en el momento de arribo a la cola (tiempo t ) se encuentren m personas (m 2 U) en el sistema ( 1 recibiendo servicio, y ni-Z formadas).

Se escoge un intervalo de tiempo At U bastante pequeño y se supone que la probabilidad de más de una llegada en At es prácticamente nula, así se tienen las siguientes expresiones:

a) Probabilidad de que no lleguen clientes en At = 1 - h A t (3.1.1) b) Probabilidad de no requerir servicio en At= 1- p A t

24 Probabilidad de x llegadas por unidad de tiempo = (h” e-’) 1 x!

” Probabilidad de que se sirvan x clientes por unidad de tiempo = p e”“

(3.1.2)

Técnicas de Sinrulacidn Matenrática

Con esta información la probabilidad de tener m personas en el sistema en cualquier tiempo t + At, denotada por P, (t + A t), es la suma de las probabilidades asociadas a eventos independientes específicos

ABC + DBE + I;GC + AGE (3.1.3)

donde los términos A, B, C, D, E, F y G significan respectivamente lo siguiente:

pm (0 : Probabilidad de que existan m personas en el sistema en el tiempo t , una recibiendo servicio y m-1 formadas (A).

( I - h A I) : Explicada en (3.1.1) (B). (I - p A 1) : Explicada en (3.1.2) (C). Pmt,(o : Probabilidad de que existan m - I personas en el sistema en el tiempo 1, 1

p A( t) : Complemento de (3.1.2), i.e. probabilidad de un servicio en el tiempo A t, (E). P,.,(t) : Probabilidad de que existan m-1 personas en el sistema en el tiempo t , 1

recibiendo servicio y m formadas (U).

recibiendo servicio y m-2 formadas (F). h A t : Complemento de (3. l. l) , i.e. probabilidad de una llegada en el tiempo At (G).

Por lo tanto 3.1.3 queda explicitamente como:

que desarrollada conduce a

si a esta última expresión se le resta /’,,,(I) en ambos términos y se divide entre At (A I >,O), se tiene:

cuando At + O, la última parte de la expresibn anterior tiende a cero, y ]’,,,(I)= P,,,(t~i I), por lo que:

Técnicas de Sinrulacibn Matentálica

La expresión (3.1.4) se analiza por inducción. Para n1=0 (no existe nadie en el sistema), la expresión queda:

sin embargo, pPo(t)=O; porque no habiendo gente en el sistema no se puede dar servicio a nadie y

que finalmente queda como:

Para m = l , la expresión (3.1.4) se convierte en:

sustituyendo (3.1.5) en (3.1.6) se obtiene:

En forma análoga, para m=2 se obtiene:

y para el caso general:

(3.1.5)

(3.1.6)

(3.1.7)

Técnicas de Sinlulncidn hlatenrática

De la teoría de probabilidad sabemos que la suma de todas ellas:

por lo que

(3.1.8)

(3.1.9)

o lo que es lo mismo:

acorde con lo que se sabe de series, la serie infinita dentro del paréntesis de (3.1.9) es una progresión geomdtrica de la forma:

1 1-a

1 +a + a'+ ...+ am+ ...= - tal que a < 1

así (3.1.9) queda de la forma:

entonces (3. l . 1 O) genera en (3. l . 8)

(3.1.10)

(3.1.1 1)

Desarrollando la fómula para W, el número esperado de personas en el sistema (en cola y en servicio).

Por definición de valor esperado se tiene:

m

w= Po(t)(0)+I:(t)(l)+P,(t)(2)+ ...+P,( t ) ( k ) + ...= CPm(l).(m) (3.1.12) m = O

52

TPcnicas de Simulación Afa!enrtj!ica

de (3.1.11) se obtiene en (3.1.12)

m

W=Cpm(l-p)*~=(1-p)(p+2p2 + 3 ~ ~ + . . . ) = ( 1 - ~ ) p ( l + 2 p + 3 p ~ + . . . ) m=O

como ya sabemos, tenemos que:

m

por lo que

siempre que p < 1

El número esperado de gente en la cola, L, se define como:

m

L=lP, ( t )+2P, ( i ) t3P, ( r )+ . . . + ~ ~ ~ + , ( r)+ ...=C( m-l)P , ( r ) m- 2

(3.1.13)

(3.1.14)

Usando (3. l . 12) y (3. l . 14) en la expresión W-L se obtiene:

m

Por definición, C Pm(t) = 1, así la expresión (3.1.15) es igual a 1-Po(O, por 10 que: m- O

w - L = l -&(t) L=W-l+P , ( f )

(3.1.16)

Usando (3.1.10) y (3.1.13) se obtiene, en (3.1.16)

53

Técnicas de Simulación hlatemática

Por último, el tiempo esperado en la cola antes de recibir el servicio, I;, y el tiempo esperado para abandonar el sistema, Tw , se obtienen a partir del siguiente razonamiento:

Po(f) es la probabilidad de que nadie esté en el sistema en el tiempo f ; I-Po(t) es la probabilidad de que nlgrrten esté en el sistema recibiendo un servicio. Entonces:

(3.1.18)

donde B,, es el número esperado de personas a las cuales se les proporciona servicio en una unidad de tiempo. Si al tamaño esperado de la cola, L, se le divide por el producto del número promedio de servicios por unidad de tiempo y por B, se obtiene T, , es decir:

R2

Con esta expresión se concluye que si un individuo debe esperar en promedio 7; unidades de tiempo antes de recibir un servicio que dura, en promedio, 1/p unidades de tiempo, entonces T, , el tiempo total esperado en el sistema, es:

1 T, = 7j + - P

(3.1.20)

Todas las expresiones anteriores permiten calcular:

a) La probabilidad de que el número de gentes en el sistema, W , sea mayor a Z:

b) La probabilidad de que la espera total en la cola, Ts , sea mayor a g unidades de tiempo:

c) La probabilidad de que la espera total en el sistema T,, sea mayor a h unidades de tiempo:

Técnicos de Sinwlación Motenlático

Ahora a continuación se aborda el caso que nos interesa, cuando la población se considera finita. Suponiendo que una población finita de m elementos (O<nt<a) requiera servicios de un sistema similar al anteriormente explicado, ahora las series infinitas resultantes en el análisis se convierten en seriesJij1ita.s y generan de manera análoga los siguientes resultados.

Si n? es la población que pudiera requerir un servicio determinado y 11 ( r K n 1 ) elementos de esa población piden ese servicio, entonces PO(u se calcula mediante el uso simultáneo de las expresiones (3.1.20) y (3.1.21) definidas a continuación26:

Una vez conocida P& se calcula L, W, T,, T, de:

a - L = m - - 1 (1 - 1; ( 9 ) /t

W=L+(l-P,(t))

T,= d l - Po 1

L

1

lu T,=T,+-

Obviamente, conocida Po(t) se calcula P,,(t) de ( 3.1.20), de la siguiente manera:

(3.1.20)

(3.1.21)

(3.1.22)

(3.1.23)

(3.1.24)

(3.1.25)

(3.1.26)

Técnicas de Simulación Matematica

Una cola - Servidores en paralelo - Poblacidn infinita.

Se supone un sistema con una cola, a la cual pueden llegar un número infinito de clientes en espera de recibir un mismo servicio por parte de S (S>f ) servidores en paralelo. La política del sistema es que se sirve a los clientes en el orden de su llegada; el servicio lo proporciona el primer servidor que se haya desocupado. Todos los servidores están desocupados al principio y se irán ocupando en forma progresiva (primero el servidor 1, después el 2 y así sucesivamente) en la medida en que vayan llegando los clientes.

El número promedio de llegadas por unidad de tiempo es h.y se supone que este tiene una distribución de Poisson.

El número promedio de servicios de cada servidor por unidad de tiempo es el mismo y se denota por p. Se supone que este número tiene una distribución exponencial negativa.

Se observa que cuando el número de elementos en la cola y en las estaciones de servicio, nt, es mayor que el número de servidores, S, (rn>S), la probabilidad de que algún cliente abandone el sistema (después de recibir su servicio) en el intervalo de tiempo At es SpAt. En caso contrario (Dm), dicha probabilidad es m,uAt.

Esta observación incorporada a la expresión (3.1.3) origina:

It, ( t + Al) = Zk (I)( 1 - ,Ut)( 1 - S/rAt)

+ ~ m J w P A ~ ) ( l - U t )

+ P W l (t)(AAt)(l- SpAt) -t- Zi(Z)(A,At)(SpAt) (3.1.27)

En la expresión anterior P,,,-,(o no tiene sentido cuando m = O , por lo que una vez agrupados los términos se obtiene:

Restando en ambos lados ZJo(o y dividiendo entre At, se tiene:

Po(t + A t ) - Po(t) = -P, ( I )A - P, ( t)Sp + P, ( t)SpAA/

At

Tomando el límite cuando At +O genera:

7écnica.s de Sirnulacidn Afatenráticn

por lo que

;1 4 ( 0 = y, ( W + -1 (3.1.28)

SP

El límite cuando At +O de la expresión general (3.1.27) para m = Z , genera

e ( t + A t ) - e ( t ) dP(I) lim -"-=o

Al-10 Af -

df

sustituyendo (3.1.28) en (3.1.29)

L

Generalizando (3.1.30) para un valor m - Z cualquiera se obtiene

que se puede reescribir:

(3.1.29)

(3.1.30)

(3.1.31)

Para el caso en que m<S, se sigue el mismo razonamiento cambiando el término SpAt de (3.1.27) por nzpAt, para obtener

(3.1.32)

m

Una fórwula explícita de Po(t) se genera despejando este término de z P m ( t ) = 1, nr= O

arrojando la expresión:

S7

Ticnicm de Simulacidn hialenrálica

(3.1.33)

Combinando (3.1.33) con (3.1.3 1) y (3.1.32) y tomando el límite cuando nt -+ 00 se construye la expresión final para P0(Q dada por

(3.1.34)

El largo de la cola L, lo dará la expresión

UI

L = Z ( m - s)r;(t) m=S+I

que una vez desarrollada, utilizando (3.1.3 1) y agrupando términos27, genera la fórn~ula

El número de elementos en el sistema W, es igual a

1 W = L + - P

El tiempo de espera en la cola, T, , es:

mientras que el tiempo de espera en el sistema, T,

1 qv = Ts +- P

n-l an -1 l7 recuerdcse que nk = - con a # 1

k=O a-1

(3.1.35)

(3.1.36)

(3.1.37)

(3.1.38)

Técnicas de Sirrrulacibn hiatenráticn

;1

P Así como en’el caso de un servidor se supone que - < 1 (para que no se formen colas

de tamaño infinito), en el caso de servidores múltiples se requiere que se cumpla la condición A A - < 1, la cual se puede reescribir como - < S . SP P

Se puede desmostrar que

donde

S- ]

Z’{ 2; = o} = c 1;

Y

Tdcnicas de Sirnulación A!íaternáfica

La gráfica de los residuos:

50

25

O

-25

- 50

r 90

- B O

- 70

- 60

- 50

- 40

- 30

- 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . / ’%>. . . . . . . .

”.,,. A . ,

$< / ....... .‘I. . . I , . . . . . . . . . . . . . . . . $ . .,L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1% (’ ”%.,,.,”.” / j

‘4 l/

.......... RESIDUAL “.-ACTUAL .“FITTED (TI-Type (PI-Print (S)-Sa!e (O)-Options (F)-Plotter 8, HPCL (R)”Redew ( X I - e X i ’

Grci/ica 4 - 1

Acorde con los resultados los coeficientes son:

= -33.197854, p2 = 0.0193303, P j =15.479647, p4 = 0.8101972

y se tiene que el coeficiente de correlación de Neyman-Pearson R2=0.2747 el cual no es muy próximo a I por lo cual a partir de esto se puede decir que la regresión no es muy buena, es decir, no existe una fuerte relación lineal entre las variables independientes (el irlb.re.sofcrtnilitrr protmw’io, el tanttrZo nledio de la fatnilia y In tcrsa de tlesenlpleo) con respecto a la variable dependiente (el yorceutnje en Iafitcrza de ttanOtrjo de las familias como participacicin).

El estadístico de la prueba de Durbin-Watson da 2.404697 de lo cual podemos decir a partir de que como valor de esta prueba (d) toma valores O < d < 4; consultando en tablas el límite superior e inferior de margen con 11=15 observaciones y k ’ = 4 número de variables explicativasincluyendo la constante: dt-0.685 y du=1.977, a un nivel de significancia de 95% . Esquematizando los intervalos para la prueba:

62

Técnicas de Simulación Matemática

Capítulo 4

Simulación aplicada a Economía

Antes de aplicar dicho modelo para la simulación de varios escenarios propuestos, es necesaria la estimación estadística de los coeficientes en las ecuaciones.

Uso de TSP para regresidn multilineal.

El problema siguiente se resuelve usando el software TSP versión 6.

Problema: Para estudiar la participación de la herza de trabajo de familias pobres urbanas, se obtuvieron a partir del censo de población de 1970 las cifras que aparecen a continuación :

Participación de la fuerza de trabajo, familias pobres urbanas: áreas del censo, ciudad de Nueva York, 1970 Area No % en la fuerza de Ingreso familiar Tamailo medio Tasa de

'x1 = % de la fierza de trabajo civil dcscmplcada. Fuente: Census Tracts: New York, Bureau o f ff~e Ccnsus, U.S. Department of commerce, 1970.

a) Utilizando un modelo de regresión lineal:

y = P, + Pzx2( I ) + P3x3(1) + P 4 X 4 ( 0 + 40

Técnicas de Sintulacidn Matenldtica

obtenga una estimación de los coeficientes e interprete las estadísticas R, t's y de Durbin-Watson del reporte de TSP.

b) Obtenga intervalos de confianza con un nivel de confiabilidad de 95% para los cuatro coeficientes estimados (en base a los resultados de la regresión).

c) ¿Cuales son los signos "a priori" (desde el punto de vista de la economía) de los coeficientes de la regresión?, Len la estimación efectuada por computadora se obtuvieron los signos correctos de dichos coeficientes?

Resultados: Se ingresaron los valores de la tabla mostrada a TSP y se obtuvo el siguiente listado:

I LS / / Dependent Variable is Y I Date: 9-16-1996 / Time: 23:39 SMPL range: 1 - 15 Number of observations: 15 .................................. """"""""""""""""""""""""""""""""""

VARIABLE COEFFICIENT STD. ERROR T-STAT. 2-TAIL SIG.

C -33.197 854 48.750098 -0.6809803 0.510 x2 0.0193304 0.0192793 l. 0026508 O . 338 x3 15.479647 9.4755912 1.6336339 O. 131 x4 0.8101972 1.9116215 0.4238272 O. 680

__P=_PPP_P_P___P3P___=====~==~~=====*====P======-=================="-

"""""""""" " " " " " " " " " " ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

R-squared 0.274726 Mean of dependent var 63.64667 Adjusted R-squared 0.076924 S.D. of dependent var 19.14258 S.E. of regression 18.39159 Sum of squared resid 3720.756 Durbin-Watson stat 2.404697 F-statistic 1.388893 Log likelihood -62.63632 .................................. ..................................

......................................................................

Coefficient Covariance Matrix

c , c 2376.572 C , X2 -0.583732 c , x3 -309.6027 C,X4 -31.18092 x2, x2 0.000372 X2,X3 -0.022569

x3, x4 0.978492 X4,X4 3.654297

.................................. ..................................

X2,X4 O . 0051 91 X3, X3 89.78683

P===PP___I=P==_EPPP==*=============================================~

"""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""

Residual Plot obs RESIDUAL ACTUAL FITTED - 3 P P " P P P P I P P P P P P - P ~ - = = ~ ~ = ~ = ~ ~ ~ ~ ~ = * ~ = ~ = = = = ~ = = = = = = = ~ = = = = ~ = = = = = ~ = ~ = ~ ~ ~

I I

I * : I 1 9.83915 64.3000 54.4609 I *

I * I 2 1.67829 45.4000 43.7217

I I 3 -36.2173 26.6000 62.8173 I I

I * : I 4 10.9892 87.5000 76.5108 * I 5 -0.03635 71.3000 71.3364 I I * : I 6 15.3570 82.4000 67.0430 I * : I I 7 -29.1223 26.3000 55.4223 I I * I

I 8 3.88030 61.6000 57.7197 * I

I I 9 -7.05745 52.9000 59.9575

I * I I 10 -4.40323 64.7000 69.1032

: * I I

I 11 -9.79031 64.9000 74.6903 I * : I 12 10.1142 70.5000 60.3858

I I I

I 13 26.9883 87.2000 60.2117 * I

I I 14 -1.75291 81.2000 82.9529

I * : I 15 9.53348 67.9000 58.3665

- *

I ................................... ----"""-"""""""""""""""""""""""""""~~~ I

Técnicas de Sirnulncidn Afaalenráticn

Ilcchnznr 1-10

positiva positiva autocorrelacibn autocorrelación Evidencia de indecisibn o ambas indecisibn Evidencia de Ilccllazclr I IO Zona dc Aceptar I IO o I I{ Zonn de

O dL=O. 685 &=l. 9 77 2 4- d"= 2.023 4- dl.=3.315 4 Ho : No hay autocorrelacibn positiva. 13; : NO hay autocorrelación negativa.

Como el valor obtenido no cae dentro de este intervalo, sino que se sitúa en la zona de indecisión no podemos aseverar que no exista autocorrelación positiva.

Interpretando el estadístico T para los coeficientes PI ,..., P 4 con ayuda de la prueba que aparece a un lado (2-Tail Sig), la cual calcula la probabilidad de que el coeficiente sea muy próximo a cero, y este es para /?4, es así que en una posterior regresión nos podemos justificar en esta prueba para quitar este cociente de nuestro modelo de regresión.

Obteniendo los intervalos de confianza para los coeficientes con el 95% de confiabilidad, estos están dados por

donde

y cii es el coeficiente de la matriz (X'X)" con X acorde a la estructura matricial del modelo lineal general: Y=X,O+&, explícitamente:

la misma queda de 15x4 (15: el que este procedimiento es para el

tamaño de la muestra, 4: el número de coeficientes). Aclaro caso donde el modelo es de regresión lineal simple, pero aquí

estamos tratando una regresión multilineal, el proceso es similar, sólo que cambia la estructura de la matriz, pues aquí tenemos tres variables independientes. Para obtener los respectivos cii me auxilie de la corrida de la misma regresión dentro del programa NCSS2*, la misma se muestra en el anexo, de esta se toman los respectivos valores para i=2,3,4.

28 Number Cruncher Statistical System Version 5.03 9/92. Ver [7] .

Tecnicas de Sir?lulacit>n Alatenrtjtica

Considerando el listado, con los valores de los errores estátdar respectivos podemos calcular respectivamente también los intervalos de confianza de acuerdo a la fórmulaz9 :

p, rfi tl-% n-(&+I) es$,) con es(),): error estandar de b,

el error estándar aparece a un lado de la aproximación del coeficiente respectivo en el listado. En tablas para la t con a=0.05 se tiene: t:b75 = 2.199, así:

Interpretando estos resultados (con una confianza del 95%), tenemos para PZ que en el largo plazo en 95 de cada 100 casos intervalos como (-0.02306687, 0.06172771) contendrán el verdadero p2, pero no podemos decir que existe una probabilidad del 95% de que este intervalo específico contenga el verdadero valor de p2 porque este intervalo es ahora fijo, dejando por lo tanto, de ser aleatorio; en consecuencia, p 2 está o no está en el intervalo: la probabilidad de que el intervalo fijo que se especifique contenga el verdadero valor de pz es, por tanto, 1 ó O. Análogamente para los demás coeficientes. Podemos analizar los valores de Y entre el valor calculado y el real en la gráfica 5-1 de la página 3.

Puedo concluir que a partir de los estadísticos de prueba R, T y Drrrbin- Wcrfsm no se obtuvieron unos coeficientes “buenos” en la regresión, y con respecto al signo, para PI el signo pegativo no tiene una interpretación que se refleje en la realidad, o a lo más creo que lo pudiéramos interpretar que cuando es nulo el ingreso familiar promedio, el tamaíio de la familia y la tasa de desempleo hay pérdida con un porcentaje de 33.2% , , p i la tasa de desempleo es nula?, bueno aquí no hay coherencia (para cuando hay valores cero en las variables). Analizando la ecuación resultante de la regresihn se tiene que la contribución más significativa para el porcentaje a calcular, es el t trwrt7o n7edio t k la firmilia (contribuye con u n índice de 15.47), y que el irgresofiwzilicrr pro/?wclio no es muy preponderante (pues contribuye con un índice 0.0 19).

Nota: Consultar anexo 3 para ver la solución del problema con el uso de NCSS.

29 Ver: [5]. Cnp.5.

Tdcnicns de Simulacidn A~aiemática

Uso de Mínimos Cuadrados en Dos Etapas.

Continuando con los antecedentes al último tema, se considera el siguiente nlodelo de dos ecuaciones simultáneas:

R, = P o + PIM, + P 2 K + u,, Y, = a, + a,& + a21, + uzr

donde: R : tasa de interés, Y : nivel de ingreso, M : oferta monetaria (variable exógena"), I : Irn~ersión (variable exógena), u l , 212 : perturbaciones estocásticas.

Esto representa un modelo tasa de irrterés - Nivel de irlgreso, el cual se trabaja a continuaciim utilizando los datos de la tabla 4.2, se estiman los coeficientes del modelo usando regresión por dos etapas. Acorde con los rótulos de la tabla tenemos las siguientes equivalencias:

X=&, Y=Y, , M=Y2, I=X,

En las siguientes líneas se muestra el desarrollo analítico de la regresión en dos etapas.

Primera etapa: aplicamos la regresión considerando las variables exógenas.

R, = ir,, + ir,,^, + fiI2lf +e, , if = i r l O + f I I IM, + fi,21,

A

R, = R, +e,,

Segunda etapa, ahora reemplazamos

y así aplicamos la regresión a la ecuación resultante (4.4)

(4.3)

6 predetcnninada del sistema. ~~

Tkcnicas de Sinlulacidn Matemática

N" y3 x3 x2 X1 y2 Y1 ( P W (PNU rrzngado) (YO tasa de hlterks) (gastos de (gnstos de (ofertn de dtnero)

Datos macroccon6micos sclcccionados, Estados Unidos, 1970-1984. Todas las cifras excepto X3 están en millones de dólares y X3 es un porcentaje. Fttente: Economic Renort of the President. 1986.

Tabla 4.2

La regresión la aplicamos en base a TSP bajo la siguiente línea de comando3':

TSLS Y1 C X3 @ Y2 C X1

el comando TSLS ordena a TSP hacer la regresión en dos etapas.

El listado resultante se muestra a continuación:

ITSLS / / Dependent Variable is Y1 Date: 10-16-1996 / Time: 23:24 SMPL range: 1 - 16 Number of observations: 16 Instrument list: C Y2 X1

VARIABLE COEFFICIENT STD. ERROR T-STAT. 2-TAIL SIG. C ' -2023.1821 x3

941.08518 -2.1498396 0. 050 480.09363 102.700'13 4.6746859 o. O00

R-squared 0.382266 Mean of dependent var 2275.756 Adjusted R-squared 0.338142 S . D . of dependent var 982.5971 S.E. of regression 799.3885 Sum of squared resid 8946307. Durbin-Watson stat Log likelihood

0.895504 F-statistic 8.663470 -128.5763

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Coefficient Covariance Matrix c, c x3, x3

885641.3 C, X 3 10547.44

-94445.73

66

í'ecnicas de Simulncidn hlatenlática

Residual Plot obs R E S 1 DUAL

I I * * 1 I * .

I

I

, , * I

t f

I

. * I

. * I

I I * . I I * .

$ . + I f I

I * . I

* I

, 9 * I +

I

I

I

I *

I I * . I * .

f I

ACTUAL F I T T E D 1 1 - 4 6 1 . 2 0 0 1 2 4 1 3 . 3 5 3 f 3 489 .847 1 4 4 5 . 8 3 1 5

1 6 2 5 . 6 8 1 0

f 8 8 0 1 . 8 5 6 f 9 2 9 2 . 9 0 6

f 5 - 2 5 8 . 3 5 0

1 7 5 5 5 . 7 4 8

f 1 0 - 1 3 0 . 3 2 7 1 1 - 7 8 9 . 8 9 9

1 12 - 1 8 5 6 . 7 7 1 1 3 - 1 0 1 3 . 6 3 f 14 4 0 7 . 8 0 4 f 1 5 8 9 . 5 6 8 6 1 1 6 1 3 8 7 . 5 8

1 0 1 5 . 5 0 1 1 0 2 . 7 0 1 2 1 2 . 8 0 1 3 5 9 . 3 0 1 4 7 2 . 8 0 1 5 9 8 . 4 0 1 7 8 2 . 8 0 1 9 9 0 . 5 0 2 2 4 9 . 7 0 2 5 0 8 . 2 0 2 7 3 2 . 0 0 3 0 5 2 . 6 0 3 1 6 6 . 0 0 3 4 0 1 . 6 0 3 7 7 4 . 7 0 3 9 9 2 . 5 0

1 4 7 6 . 7 0 6 8 9 . 3 4 7 7 2 2 . 9 5 3 1 3 1 3 . 4 7 1 7 3 1 . 1 5 1 5 7 2 . 7 2 1 2 2 7 . 0 5 1 1 8 8 . 6 4 1 9 5 6 . 7 9 2 6 3 8 . 5 3 3 5 2 1 . 9 0 4909 .37 4 1 7 9 . 6 3 2 9 9 3 . 8 0 3 6 8 5 . 1 3 2 6 0 4 . 9 2

La gráfica de los residuos resultantes es:

RESIDUAL -ACI'UAL -FITTED1

Es de verse a partir del coeficiente de regresión ( 0.3822) que la misma no es muy buena, agregado a que la misma gráfica de los residuos muestra como es que estos se disparan, i.e. que la aproximación obtenida no satisface favorablemente, los residuos como podemos apreciar estan dentro de la banda de -2000 a 1400 aproximadamente; ¿por qué?, bueno, consideremos que el fenómeno consiste de más variables de entorno, no sólo las aqui contempladas, por un lado, por otro, el tamaño de la muestra que estamos considerando es muy pequeño en relación a la magnitud de lo que pretendemos alcanzar. Consideremos que también el obtener más datos para la muestra muchas veces, si no es que casi siempre, resulta demasiado constoso en tiempo y dinero.

Este ejercicio es un ensayo para la siguiente actividad, en la cual ya contemplaremos un mayor número de variables y por ende la regresión en dos etapas será más detallada.

67

Técnicas de Sinrulación Matematicn

Proyecto sobre las operaciones financieras3* mediante un modelo de dos ecuaciones en diferencias lineales y estocásticas.

Continuando, ahora se examinan los datos de la cartera del Banco Wells Fargo, se trabaja la estimación por mínimos cuadrados en dos etapas y l a solución de modelos simultáneos.

Se tienen los datos anuales del banco comenzando en 1963 y terminando en 1983. También se tienen algunos datos económicos de California para ese periodo. Las series que se usan son:

S E W LOAN RSECU RLOAN SALES RCPGM CONTR TREND

Valorcs dc scguridad dcl banco, en milloncs dc dólarcs. Los valores de prkstamos. Porcentaje obtcnido por el banco sobrc valores. Porccnhjc obtcnido sobrc prdslamos. Mínimo dc vcntas en California, cn ntillollcs dc d6larcs. Tasa de intcrés sobre títulos (papeles comerciales) a 6 meses (%). Valor de contratos de construcción en California, en millones de dólares. Tiempo de tendcncia, comenzando con 1 en 1963.

Tubla 4.3

El archivo creado para trabajar los datos en TSP es “A”, las bases ya generadas se hallan en archivos de texto (con extensión *.db). A partir de los datos de las series arriba expuestas, mismas que aparecen en la Tabla 4.3, se generan las nuevas variables:

32 Manejo de una “cartera” de prestamos y acciones.

68

Tgcnicas de Sinrulncicin hintenrálico

PORT = LOAN + SECU TatnaiIo total de la cartera del banco. SPREAD = RLOAN + RCPGM Extensión del porcentaje entre el inter& obtenido sobre préstamos

LOARAT = LOAN / PORT Proporción dc la cartera en prkstamos. LOASAL = LOAN/SALES Radio de los préstamos del banco para ventas en el estado. CONSAL = CONTR/SALES Radio de construcción para ventas minilnas.

y los títulos conlcrcialcs a 6 nicscs.

Lo que se pretende alcanzar es entender la determinación de la tasa que el banco gana sobre sus préstamos y la proporción de su cartera que asigna para los mismos (los préstamos). Así tenemos en consideración estas dos variables, para las cuales hay que tomar la relación entre las mismas a partir de lo siguiente:

1. Lo más que el banco gana sobre los préstamos en relación a los valores, lo más de su cartera que se gustara asignar para prestamos. La oferta de préstamos, en otras palabras, depende positivamente de la tasa de interés de los préstamos.

2. A fin de tener más clientes que soliciten más prestado, el banco tendrá que hacer que la tasa de interés de los mismos sea más atractiva en relación a tasas alternativas, tales como las tasas de interés para los títulos de inversión. La demanda de préstamos depende negativamente de la tasa de interés de los mismos.

Nuestro objetivo es ordenar ambas consideraciones y esto es lo que hace el método de ntininlos cuadrados en dos erapas. Una involucra una relación positiva entre los préstamos y la tasa de interés de los mismos, y la otra involucra una relación negativa. De esto rápidamente vemos que no podemos hacer regresión sobre la tasa de interés de préstamos en alguna medida sobre el volumen de los préstamos. Ya sea que el coeficiente de regresión sea positivo o negativo, esto no nos dirá separadamente el coeficiente positivo de la oferta o bien el coeficiente negativo.

A menos que sepamos algo más acerca del problema, no hay manera de separar el comportamiento de oferta y de la demanda. Pero se tiene una información adicional. Específicamente sabemos que el mercado de la demanda de oferta está hertemente influenciado por la actividad de la construcción. Los constructores, desarrolladores y propietarios de casas- Ilabitación típicamente no tienen acceso al mercado de títulos de inversión. Cuando la actividad de la construcción es fuerte, se esperaría que la tasa de interés sobre préstamos fuera alta en relación a otras tasas. Por otro lado, no hay razón obvia para el porqué el banco cambiase su cartera tan solo porque pase algo en el mercado de la construcción. Por supuesto que cuando la tasa de interés sobre préstamos se alza en relación a otras tasas, el banco cambiase su cartera en relación a préstamos, pero esto es así en consecuencia a la tasa de interés, no como consecuencia directa del boom de la construcción.

Nuestra experiencia respecto de la demanda del mercado de prestamos nos da una referencia respecto a la oferta. Cuando el mercado de los préstamos se robustece por el boom de la construcción, esperamos ver una más alta tasa de interés y esperamos que el banco cambie su cartera hacia los préstamos. Más aún el monto del cambio revela la magnitud de la respuesta de la oferta de la cual nosotros estamos interesados. Si aislásemos los cambios en la tasa del

Tkcnicas de Sinlulación Maatenrcitica

préstamo que son causadas por las altas y bajas de la industria de la construccih, y entonces hacemos regresión de la variable de préstamo sobre la versión de la tasa de interés, esperaríanlos encontrar un coeficiente que mida la respuesta de la oferta.

El método de mínimos cuadrados en dos etapas toma una variable como la coratmcción, considerada exógena al mercado de préstamos, y la usa para encontrar la componente de otra variable, la tasa de interés del préstamo en este caso, esto es atribuible a la variable exógena. Este proceso es la primera etapa de la regresión. Entonces se corre una segunda regresión de la variable de interés, la proporción de la cartera del banco que asignará para préstamos en este caso, sobre la componente aislada de la primera etapa.

Recordemos que el banco desea hacer préstamos sin que dependa mucho sobre el nivel absoluto de la tasa de interés de préstamo como sobre la relación de la tasa de préstamo a la tasa de interés sobre valores. Es así que se incluye la tasa de interés sobre valores con la tasa de préstamo en la ecuación. Se considera la tasa sobre valores como una variable exógena y la usamos como una instrumental. Además el banco no se puede mover muy rápidamente cuando los cambios en las tasas sugieren un movimiento hacia dentro o íüera de los préstamos. Algunos préstamos son conciliados este año del año pasado. Se puede considerar a cuenta esta consideración incluyendo la proporción del último año de préstamos en la cartera como una variable en la ecuación y como una instrumental. Así también existen otros factores en comparación al nivel de actividad de la construcción que son influencias exógenas sobre el mercado de préstamos. Las únicas variables que incluimos como instrumentales son PORT, tamaíío total de la cartera del banco, SALES, mínimo de ventas en California, y TREND, el periodo.

Dados los valores de la tabla 4.2, consideramos la muestra de 1964 a 1983. La regresión en dos etapas que se aplica en TSP es:

TSLS LOARAT C RLOAN RSECU LOARAT(-1) @ C RSECU LOARAT(-1) LOASAL(-I) CONSAL PORT SALES TREND

de aquí se desprende el modelo:

LOARAT = a. + al RLOAN + a2 RSECU + a3 LOARAT(-1) LOARAT = bo + b l RSECU + b2 LOARAT(-1 ) + b3 LOASAL(-I)

+ b4 CONSAL + bg PORT + bs SALES + b7 TREND.

70

Técnicas de Sirwlación Matentálica

Z1 listado de resultados aquí se muestra:

PSLS / / Dependent Variable i s LOARAT Date: 10-03-1996 / Time: 20:40 SMPL range: 1964 - 1983 Number of o b s e r v a t i o n s : 20 Ins t rument l i s t : C RSECU LOARAT(-l) LOASAL(-l) COPJSAL PORT SALES TREND

VARIABLE COEFFICIENT STD. ERROR T-STAT. 2-TAIL SIC. C 0.2463987 0 .1029943 2 .3923534 0 . 0 2 9

RLOAN 0.0278675 O . 0086550 3 .2198186 O . 0 0 5 RSECU -0 .0273581 0 .0110880 -2.4673574 O . 025

LOARAT(- l ) 0.6360296 O . 1667083 3 .8152246 o. 002

R-squared 0.916910 Mean of dependent var 0.782730 Adjusted R-squared 0.901331 S.D. of dependent var 0.074260 S.E. of r e g r e s s i o n 0 . 0 2 3 3 2 6 Sum of squa red r e s id 0 . 0 0 8 7 0 6 Durbin-Watson s t a t 1.961604 F - s t a t i s t i c 58.85402 Log l i k e l i h n n d 4 9 . 0 1 6 2 1

La ecuación con coeficientes numéricos resultante es:

LOARAT = 0.2463 + 0.0278 * RLOAN - 0.0273 * RSECU + 0.6360 * LOARAT(-1 )

Notemos que el coeficiente de la tasa de interés es positivo, como se esperaba, mientras que prácticamente en la misma magnitud lo es, pero negativo, el de la tasa de interés de los valores. Sólo la diferencia entre las dos tasas de interés actualmente importa para la decisión que tome el banco respecto a la asignación de su cartera. Para cada punto porcentual para el que la tasa de interés de préstamo se eleve hacia la tasa de valores, el banco intercambiará cerca de 2.7% de su cartera para préstamos. Esta ecuación se salva en disco para incorporarle adelante en un modelo más completo con el nombre de “SUPPLY”.

Ahora veamos el caso de la demanda del mercado de préstamos. Nuevamente queremos encontrar influencias de otras fkentes que causen el declive de la tasa de interés de préstamo tal que sea necesario obtener más clientes que pidan préstamos adicionales. Un factor obvio es el tamaño de la cartera del banco. Cuando el banco cuenta con más dinero en cuenta, se tendrá una ligera baja en sus tasas de interés (de préstamos) a fin de que los clientes adquieran más préstamos. Si pudiésemos aislar una componente del volumen de prestamos que esta asociado con el tamaíio de la cartera, podremos Ilaccr rcgresi6n de la tasa de interés de prés~an~os sobre esa cornpoaente a fin de encontrar que tallto la tasa tiende a declinar para adaptar mis prestamos.

Es conveniente en este caso asumir que importante es la diferencia entre la tasa de préstamo y otras mayores, la tasa de títulos comerciales. La diferencia es la serie SPREAD. Las variables a considerar en la siguiente ecuación son LOASAL, el retraso del valor de LOASAL, CONSAL y TREND. Las variables instrumentales son LOASAL(-]), CONSAL y TREND, además RSECU, SALES y PORT.

Nuestra regresión queda en TSP como:

71

Técnicas de Sinlulaciór? Matemática

TSLS SPREAD C TREND LOASAL LOASAL(-I) CONSAL @ RSECU LOARAT(-I) LOASAL(-I) CONSAL PORT SALES TREND

los resultados son:

TSLS / / Dependent Variable is SPREAD Date: 10-03-1996 / Time: 23:46 SMPL range: 1964 - 1983 Number of observations: 20 Instrument list: C RSECU LOARAT(-l) LOASAL(-1) CONSAL PORTSALES TREND

VARIABLE COEFFICIENT STD. ERROR T-STAT. 2 - T A I L S I G . C -4.2774769 3.8759064 -1.1036069 O . 287

TREND 0.1052452 0.0587144 1.7924946 O . 093 LOASAL -112.24961 24.107582 -4.6561953 o . O00

LOASAL(-1) 103.59053 31.657386 3.2722387 O . 005 CONSAL 20.451396 6.9567454 2.9397 937 o . 010

R-squared 0.736807 Mean of dependent var 1.664186 Adjusted R-squared 0.666622 S.D. of dependent var 1.007083 S.E. of regression 0.581478 Sum of squared resid 5.071757 Durbin-Watson stat 2.252218 F-statistic 10.49811 Log likelihood -14.65832

La ecuación resultante es:

SPREAD = -4.2774 + 0.1052 *TREND - 112.2496 * LOASAL + 103.59 * LOASAL(-I) + 20.4513 * CONSAL

Como se esperaba, la tasa de interés de préstamos cae cuando el banco pone fondos extras para préstamos. El coeficiente -1 12 significa que cuando el banco alcanza sus préstamos totales del 10% de ventas a 1 1% sus tasas de préstamos declinan en l . 12 porcentual en relación a los títulos comerciales. Veamos que el radio de ventas de construcción, CONSAL, tiene un importante efecto positivo sobre las tasas de interés de prestamos, tal como la teoría lo había sugerido. Si la construcción se eleva de 30% de ventas a 31%, la tasa de interés de préstamo se eleva en base de 20 puntos (0.2 puntos porcentuales). La ecuación se salva en disco con el nombre de “DEMAND”.

En resumen hasta aquí tenemos que la primera ecuación nos dice como el banco toma sus decisiones sobre su cartera basado sobre las tasas de interés de los prestamos y los valores, la segunda ecuación nos dice como los clientes del banco se les necesita ofrecer una tasa más baja en orden de quc ellos pidan mhs prestado.

Ahora se necesita resolver las ecuaciones conjuntamente en orden de encontrar que nivel de préstamos y tasas de interés de prestamos prevalecerán bajo condiciones dadas.

En TSP ensamblamos en un archivo modelo para resolver el modelo planteado. El archivo contiene las ecuaciones del modelo y toda la información necesaria para resolverlo (los valores de las variables, ecuaciones, etc.) . Tres tipos de sentencias aparecen en el mismo. Primero ASSIGN que agrega conveniencia al proceso de la solución, pero no es esencial; con esta sentencia se colocan los valores resueltos para una serie dentro de una serie con diferente nombre, de esta manera no revolvemos con los anteriores valores originales. Los ASSIGN se designan generalmente poniendo una “P” como prefijo a los nombre originales de las series.

72

Técnicas de Sirrlulaciórt Adatenrritica

El segundo tipo de sentencia es la identidad. No todo modelo tendrá identidades, pero generalmente se agregan a la conveniencia del proceso. En nuestro caso las identidades son importantes. Estas nos informan el proceso de solución que la variable LOAN es el producto de las variables LOARAT y PORT, y que la variable LOASAL es el radio de LOAN para SALES. Estas también nos dicen que RLOAN puede ser calculada como la suma de SPREAD y RCP6M.

El tercer tipo de sentencia es l a ecuación estimada. Estas se colocan dentro del archivo de las ecuaciones que se almacenaron en las pasadas corridas (las salvadas bajo el comando STOREQ.

El archivo a editar queda como:

ASSIGN LOARAT PLORAT LOAN PLOAN SPREAD PSPRED ASSIGN RLOAN PRLOAN LOASAL PLOASA LOAN=LOARAT*PORT RLOAN=SPREAD+RCPGM LOASAL=LOAN/SALES LOARAT= 0.2463987 +0.0278675*RLOAN -0.0273581 *RSECU +0.6360296* LOARAT(-1 ) SPREAD = -4.2774769 +O. 1052452TREND -1 12.24961 *LOASAL + I 03.59053*LOASAL(-I) +20.451396*CONSAL

el mismo se edita en TSP con el comando EDlT LOAN, se transcribe como tal, pero al momento de escribir las ecuaciones de LOART y SPREAD, dado que ya están salvadas en el disco entonces las podemos mandar a llamar con el comando " .F '' y después escribir el respectivo nombre con el cual se grabaron (.F SUPPLY, .F DEMAND). Se sale del editor con el comando " .X " , Así nuestro archivo modelo queda salvado bajo el nombre de LOAN.

Como primer tarea se creará una solución base. Para esta solución se usarán los actuales datos históricos para las variables exógenas. Los valores resueltos para las variables endógenas (LOAN y RLOAN, y las variables derivadas de ellas) sin embargo, no serán exactamente igualcs a los valores históricos. No hay modelo que fije los datos precisamente. Las diferencias entre los valores resueltos y los actuales de las variables endógenas son llamadas los residuos estructurales.

Esta simulación sólo tomará la ultima parte de los valores de la muestra, de 1976 a 1983. Esto se hace en TSP de la siguiente manera:

SMPL 76 83 SOLVE LOAN

a continuación se crean la siguiente serie adicional:

73

Técnicas de Sirttulnción Matemática

GENR PSECU = PORT - PLOAN

y entonces creamos una tabla para comparar las soluciones base (con los nombres iniciando con "P") a los datos históricos:

SHOW LOAN PLOAN SECU PSECU RLOAN PRLOAN

obteniéndose la siguiente tabla:

""""""_ " - - - - - "_ - - - "_ " - - - " .. - -. - - " - - - - - - - - - - - - - - " " - - . - - - - " - - - .. .. - . .. - - " - obs LOAN PLOAN SECU PSECU RLOAN PRLOAN

.........................................

1 9 7 6 1 9 7 7

5 8 4 5 . 0 0 0 5 9 0 9 . 2 8 6 1 8 7 2 . 0 0 0 1 8 0 7 . 7 1 4 8 . 5 0 8 5 3 1 8 . 4 6 5 4 1 4

1 9 7 8 6 7 0 9 . 0 0 0 6 9 5 5 . 1 7 7 2 1 9 7 . 0 0 0 1 9 5 0 . 8 2 3 8 . 8 7 4 9 5 8 8 . 4 1 5 4 2 2

1 9 7 9 8 7 7 9 . 0 0 0 8 8 6 3 . 0 0 5 2 0 1 8 . 0 0 0 1 9 3 3 . 9 9 5 1 0 . 0 6 9 6 7 10 .19654 1 1 3 7 4 . 0 0 1 1 5 4 7 . 6 4 1 9 8 6 . 0 0 0 1 8 1 2 . 3 6 0 1 1 . 5 8 8 7 2 1 1 . 9 4 0 5 3

1 9 8 0 1 3 3 1 0 . 0 0 1 3 3 4 2 . 2 6 1 7 8 1 . 0 0 0 1 7 4 8 . 7 4 0 1 2 . 8 8 0 8 2 1 2 . 5 7 9 0 4 1 9 8 1 1 4 5 3 5 . 0 0 1 5 1 7 2 . 0 0 1 7 5 7 . 0 0 0 1 1 2 0 . 0 0 0 1 4 . 8 7 1 1 4 1 4 . 9 1 9 5 5 1 9 8 2 1 9 8 3

1 5 3 8 3 . 0 0 1 5 1 5 1 . 8 8 1 2 0 2 . 0 0 0 1 1 3 3 . 1 2 0 1 3 . 5 9 9 3 3 1 3 . 1 7 2 0 2 1 6 1 4 9 . 0 0 1 5 7 2 7 . 2 4 1 0 5 9 . 0 0 0 1 4 8 0 . 7 6 0 1 1 . 9 0 5 8 5 1 2 . 3 6 2 1 1

------"""""""""""""""""""""""""""""""""""~""- """ ~

Excepto para algunos movimientos de valores en 1981 y 1983, el modelo hace u n trabajo razonable de registro en historial en esta solución base, veamos que es aquí donde hay mayores residuos.

A continuación se pide al modelo que simule el mercado de préstamos se la construcción ha sido 10% más alta de 1976 a 1983. Temporalmente se cambia la serie CONSAL:

GENR CONSAL = l.l*CONSAL

Volvemos a usar EDIT para editar un archivo modelo idéntico que LOAN, excepto que la sentencia ASSIGN llevará "S" en lugar de "P" al inicio de los nombres de las series. De esta manera podemos comparar las simulaciones de l a solución base. El nuevo modelo se guarda en un archivo llamado SIMLN. Se resuelve indicando en la línea de comando de forma igual:

SOLVE SIMLN

y también generamos la nueva serie:

GENR SSECU = PORT - SLOAN

74

Tdcnicas de Simulacibn Afatenrdtictl

obteniéndose la siguiente tabla: ~~~~~~~~~ ~~ ~

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

obs PLOAN S L O W PSECU SSECU PRLOAN SR LOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 9 7 6 5 9 0 9 . 2 8 6 5 9 0 9 . 2 8 6 1 8 0 7 . 7 1 4 1 8 0 7 . 7 1 4 8 . 4 6 5 4 1 4 8 . 4 6 5 4 1 4 1 9 7 7 6 9 5 5 . 1 7 7 6 9 5 5 . 1 7 7 1 9 5 0 . 8 2 3 1 9 5 0 . 8 2 3 8 . 4 1 5 4 2 2 8 . 4 1 5 4 2 2 1 9 7 8 8 8 6 3 . 0 0 5 8 8 6 3 . 0 0 5 1 9 3 3 . 9 9 5 1 9 3 3 . 9 9 5 1 0 . 1 9 6 5 4 1 0 . 1 9 6 5 4 1 9 7 9 1 1 5 4 7 . 6 4 1 1 5 4 7 . 6 4 1 8 1 2 . 3 6 0 1 8 1 2 . 3 6 0 1 1 . 9 4 0 5 3 1 1 . 9 4 0 5 3 1 9 8 0 1 3 3 4 2 . 2 6 1 3 3 4 2 . 2 6 1 7 4 8 . 7 4 0 1 7 4 8 . 7 4 0 1 2 . 5 7 9 8 4 1 2 . 5 7 9 8 4 1 9 8 1 1 5 1 7 2 . 0 0 1 5 1 7 2 . 0 0 1 1 2 0 . 0 0 0 1 1 1 9 . 9 9 9 1 4 . 9 1 9 5 5 1 4 . 9 1 9 5 5 1 9 8 2 1 5 4 5 1 . 8 8 1 5 4 5 1 . 8 8 1 1 3 3 . 1 2 0 1 1 3 3 . 1 2 0 1 3 . 1 7 2 8 2 1 3 . 1 7 2 8 2 1 9 8 3 1 5 7 2 7 . 2 4 1 5 7 2 7 . 2 4 1 4 8 0 . 7 6 0 1 4 8 0 . 7 6 0 1 2 . 3 6 2 4 4 1 2 . 3 6 2 4 4 .......................................

Recordemos,que la íüerte construcción significa más demanda de préstamo. Ambos, el volumen de préstamos y la tasa de interés sobre préstamos son más altas en la simulación que en la solución base.

Antes de continuar con otras simulaciones, restauremos el valor de la variable CONSAL a sus valores originales con el comando:

GENR CONSAL = CONSAUI .I

Nuestra siguiente simulación busca el impacto del cambio de oferta en el mercado de préstamos. Ahora nos interesa como se verían las cosas si la cartera del banco íüera 10% más klta, esto se hace en la línea de comando como:

GENR PORT = PORT * 1 .I

Una vez más resolvemos la versión del archivo SlMLN, pero ahora cambiamos a las variables en lugar de una "S" al inicio de los nombre le ponemos una "Q", y le llamamos al archivo SIMLN2. Análogamente pedimos resolver el nuevo modelo y generamos la nueva serie QSECU.

Obteni6ndose la siguiente tabla:

~ ~ ~ ~ P P P * ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ 3 ~ ~ 3 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - ~ . - ~ ~ ~ ~ . ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - ~ ~ ~ ~ ~ - - - " - - - - " ~ ~ - , " . ~ - " - ~ ~ "

obs PLOAN QLOAN PSECU QSECU FRLOAN Ql<l.OAlr

1 9 7 6 5 9 0 9 . 2 8 6 6242 .584 1 8 0 7 . 114 2 2 4 6 . 1 1 6 8 . 4 6 5 4 1 4 7 . 3 7 3 5 9 4 1 9 7 7 6 9 5 5 . 1 7 7 7 2 9 2 . 2 8 1 1 9 5 0 . 8 2 3 2 5 0 4 . 3 1 9 8 . 4 1 5 4 2 2 7 . 8 0 0 4 6 8 1 9 7 8 8 8 6 3 . 0 0 5 9 2 7 3 . 8 5 0 1 9 3 3 . 9 9 5 2 6 0 2 . 8 5 1 1 0 . 1 9 6 5 4 9 . 5 9 1 5 6 2 1 9 7 9 1 1 5 4 7 . 6 4 1 2 0 6 4 . 4 3 1 8 1 2 . 3 6 0 2 6 3 1 . 5 7 0 1 1 . 9 4 0 5 3 1 1 . 2 9 7 5 3 1 9 8 0 1 3 3 4 2 . 2 6 1 3 9 4 9 . 7 1 1 7 4 8 . 7 4 0 2 6 5 0 . 3 9 0 1 2 . 5 7 9 8 4 1 2 . 0 0 0 6 1 1 9 8 1 1 5 1 7 2 . 0 0 1 5 9 1 5 . 7 1 1 1 2 0 . 0 0 0 2 0 0 5 . 4 8 9 1 4 . 9 1 9 5 5 1 4 . 3 7 2 0 9 1 9 8 2 1 5 4 5 1 . 8 8 1 6 2 3 9 . 5 8 1 1 3 3 . 1 2 0 2 0 0 3 . 9 2 0 1 3 . 1 7 2 8 2 1 2 . 6 6 7 1 3 1 9 8 3 1 5 7 2 7 . 2 4 1 6 5 3 4 . 2 3 1 4 8 0 . 7 6 0 2 3 9 4 . 5 7 0 1 2 . 3 6 2 4 4 1 1 . 8 5 5 2 5

""_""""""""""""""""" ~ ~ ~ - ~ " - . ~ ..

Como vemos una más alta oferta hace que el volumen de préstamos elevarse (comparar QLOAN con PLOAN) pero provoca una caída en la tasa de interés de préstamo.

75

Técnicas de Sirnulaciórl Malenralicn

Esta última simulación supuso que la tasa sobre valores y títulos comerciales había sido en base 50 puntos más alta

GENR RSECU = RSECU + 0.50 GENR RCPGM = RCPGM + 0.50

los resultados son:

.......................................

obs PLOAN QLOAN PSECU QSECU PRLOAN QRL0AI.J

1 9 7 6 5 9 0 9 . 2 8 6 6 2 4 2 . 5 8 4 1 8 0 7 . 7 1 4 2 2 4 6 . 1 1 5 8 . 4 6 5 4 1 4 7 . 3 7 3 5 9 4 1 9 7 7 6 9 5 5 . 1 7 7 7 2 9 2 . 2 8 1 1 9 5 0 . 8 2 3 2 5 0 4 . 3 1 9 8 . 4 1 5 4 2 2 7 . 8 0 0 1 6 8 1 9 7 8 1 97 9

8 8 6 3 . 0 0 5 9 2 7 3 . 0 5 0 1 9 3 3 . 9 9 5 2 5 0 2 . 0 5 1 1 0 . 1 9 5 5 4 9 . 5 9 1 5 6 7

1 9 8 0 1 1 5 1 7 . 6 4 1 2 0 5 4 . 4 3 1 0 1 2 . 3 6 0 2 5 3 1 . 5 7 0 1 1 . 9 4 0 5 3 1 1 . 2 9 ' 1 5 3

1 9 8 1 1 3 3 4 2 . 2 5 1 3 9 4 9 . 7 1 1 7 4 8 . 7 4 0 2 6 5 0 . 3 9 0 1 2 . 5 7 9 8 4 1 2 . 0 0 0 6 1

1 9 8 2 1 5 1 7 2 . 0 0 1 5 9 1 5 . 7 1 1 1 2 0 . 0 0 0 2 0 0 5 . 4 8 9 1 4 . 9 1 9 5 5 1 4 . 3 7 2 0 9 1 5 4 5 1 . 8 8 1 6 2 3 9 . 5 8 1 1 3 3 . 1 2 0 2 0 0 3 . 9 2 0 1 3 . 1 7 2 8 2 1 2 . 6 6 7 1 3

1 9 8 3 1 5 7 2 7 . 2 4 1 6 5 3 4 . 2 3 1 4 8 0 . 7 6 0 2 3 9 4 . 5 7 0 1 2 . 3 5 2 4 4 1 1 . 8 5 5 2 5

""" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

""- ~ """ ~ . - . "" ~_. . ~

Técnicas de Sintulación A4atemáfica

Anexo l. Hasta aquí se ha explicado el proceso de la simulación para este problema, pero nuestro trabajo no para aquí, cuando se hace una simulación lo que se persigue es poder predecir en base a varios casos de la misma, i.e. para los casos extremos e intermedios hablando de número de descomposturas y en total del monto promedio de estas durante el tiempo trabajado en el proceso, para este caso se trabajó para 10 días.

Basándome en lo anterior se ha procedido a realizar otras simulaciones del proceso obteniéndose los resultados condensados en la tabla que aparece al final de la sección presente.

A continuación se muestra en resumen lo obtenido:

I Descomposturas I Costo Promedio (N$) I O

11,385 2 O

3 9.270 5 10.452 I

Como puede verse en el ejemplo muestra del capítulo sucedió el caso extrenlo en que ocurrieron cinco descomposturas, mientras que en otras corridas se tuvieron cero, dos y tres; pero el caso extremo en costo promedio se obtuvo para el caso de dos descomposturas. Así entonces podemos hacer la recomendación - tomando la cota máxima de costo - al encargado de dicha área de que cuente con la cantidad de N$ 1 1400 para poder hacer frente a esta situaci6n en el caso extremo.

77

Anexo 2.

Algoritmo para el cálculo de tablas de valores de la función de distribución de la variable aleatoria normal estándar.

El algoritmo permite calcular la fhción de distribución a partir de la hnción de densidad, tal como muestran las ecuaciones:

@(E) = j‘ -m #(E)JE = 0.5 + r#(~)d~, O

P = 1 -@(E).

Para la aproximación numérica de las integrales se usa el método de Simpson con una partición de N=80 para asegurar una buena aproximación.

Dada la simetría de la distribución normal respecto al origen, sólo se considera la mitad de la misma, los cálculos se realizan en tres pasos fundamentales:

l . Los valores de q$ son calculados de acuerdo a los correspondientes q =jh para

2. Los valores son obtenidos en los puntos alternosj=O, 2, 4, ..., II donde u es par, j=O, 1,2 ,... ,H.

por repetidas iteraciones de la regla de Simpson

3. El valor de cP correspondiente a I), ¡.e. para @=l-Z’ se encuentra por interpelación lineal para E entre dos consecutivos valores de 0.

El diagrama de flujo para el algoritmo se presenta a continuación.

78

Tdcnicm de Simulncidn hlatemdticn

.................................................................. v

n, q. h, j=O, 1, ..., n + El t j h ' PI. PA ... S,

................................................................................................... I + .I

h 1 2 < D l +4mj-, +@,I j=2,4, ..,n <Do t-

..............................................................

t v

'Yk j=O. 2, ..., n m, ' Y & A

..................................................................... \

El programa elaborado en lenguaje Turbo Pascal es el siguiente:

lprogram dist-normal; (programa para el calculo de l a funcion de Distribucion de l a variable aleatoria Normal) uses crt, printer;

type VECTORl-array[O..lOO] of real; VECTORZ=array[l..20] of real;

var m, N, k , NPROBS, j : integer;

CAPPHI, PHI, XI : VECTOR1; PROB, X, Y : VECTORZ;

sigma, mu, DXI, R : real;

resp :char;

BEGIN 1 PRINCIPAL) clrscr; sigma : =1; (varianza , media) mu:-O; R:=l/(sigma+sqrt(2+pi)); N:-80; (particien para Simpson's rule)

I

79

Tkcnicns de Sintulocidn Motentdtico

DXI:=0.05; [tamaoo del paso "h"1

writeln( ' PROGRAMA PARA EL CALCULO DE LA EWNCION DE DISTRIBUCION'); writeln( ' DE UNA VARIABLA ALEATORIA NORMAL'); writeln; writeln ( ' Se considera para la aproximacien num,rica'); writeln ( ' un Tamaoo de paso h-0.05 y una particien de n-80'); write1n;writeln; writeln('1ngrese los datos siguientes: ' ) ; write('Tamaoo de la muestra: ' 1 ; readln(NPROBS1; FOR k:-1 to NPROBS DO

[a continuacicn se piden los datos de entradal

begin write('Muestra ',k,' : '1 ; readln(PROB(k1);

FOR j:=O to N DO end;

begin XI[j] :=j*DXI; PHI[j]:=R*exp(-sqr( XIIj1-mu )/(2*sqr(sigma)));

end ;

CAPPHI[Ol:-0.5;

FOR j:-1 to 40 DO [Termina hasta la mitad de la particicn N-801 begin

end; CAPPHI[2rj]:=CAPPHI[2*j-21+DXI*(PHI[2*j-2]t4*FHI[~*~-l~tPH~[~*j~ )/3;

[del while)

FOR k:-1 to NPROBS DO begin

Y[kJ:~l-PROB[k]; rn:=O; while (rn<=40) DO begin

j :=2+rn; IF CAPPHI(j1 > Y[kl THEN

begin X[k]:=XI[j-Z]t2~DXI+(Y[k]-CAPPHI(J-2])/(CAPFHI[j~-CAPPHI[j-2l~; m:=41;

ELSE end

BEGIN rn:=mtl; END;

end; end;

writeln('A continuacicn se mostraran los resultados.');

[a continuacicn se listan los resultados1 writeln('V.N.E. FunciCn de FunciCn de ' 1 ; writeln(' (Xi) densidad distribuciCn'); FOR j:-O to 40 DO

begin writeln(XI[2+jl:l:3,' ',PHI(2*jI:l:5,' ',CAPPHI[Z+JI:1:5); if (j=15) or (j-30) then

begin writeln('pu1se una tecla para continuar...'); resp:=readkey; resp:=readkey;

end; end;

writeln; writeln ( ' PROB XI'); FOR k:=l to NPROBS DO begin

I END. { PRINCIPAL] end;

writeln(PROB[kj : 1 : 4 , ' ',X[kJ:1:4);

I

Como ejemplo se corrió el programa con seis valores de probabilidad: 0.2, O. 1, 0.05, 0.02, 0.01, 0.005, 0.002, 0.001; obteniendose la siguiente corrida:

80

Tdcnicas de Simulacidn h~atembtica

'ROGRAMA PARA EL CALCULO DE LA FUNCION DE DlSTRlBUClON DE UNA VARIABLA ALEATORIA NORMAL

Se considera para la aproximaci6n nurnbrica un TamaAo de paso h=0.05 y una partici6n de n=80

Ingrese los datos siguientes: TqmaAo de la muestra: 8 Muestra 1 : 0.2 Muestra 2 : 0.1 Muestra 3 : 0.05 Muestra 4 : 0.02 Muestra 5 : 0.01 Muestra 6 : 0.005 Muestra 7 : 0.002 Muestra 8 : 0.001

A continuaci6n se mostraran los resultados.

V.N.E. Funcl6n de Funcidn de 2.500 0.01753 0.99379 (XI) densidad distrlbucl6n 2.600 0.01358 0.99534 0.OOO 0.39894 0.5oooO 2.700 0.01042 0.99653 0.100 0.39695 0.53983 2.800 0.00792 0.99744 0.200 0.391 O4 0.57926 2.900 0.00595 0.99813 0.300 0.38139 0.61 791 3.000 0.00443 0.99865 0.400 0.36827 0.65542 3.100 0.00327 0.99903 0.500 0.35207 0.69146 3.200 0.00238 0.99931 0.600 0.33322 0.72575 3.300 0.00172 0.99952 0.700 0.31 225 0.75804 3.400 0.00123 0.99968 0.800 0.28969 0.78814 3.500 0.00087 0,99977 0.900 0.26609 0.81594 3.600 O.ooo61 0,99984 1 .o00 0.24197 0.84134 3.700 0.00042 0.99989 1.100 0.21785 0.86433 3.800 0.00029 0.99993 1.200 0.1 941 9 0.88493 3.900 O.OOO20 0.99995 1.300 0.17137 0.90320 4.000 0.00013 0.99997 1 .W 0.1 4973 0.91924 1.500 0.1 2952 0.9331 9 PROB XI 1 .S00 0.11092 0.94520 0.2OoO 0.8427 1.700 0.09405 . 0.95543 0.1 000 1.2825 1.800 0.07895 0.96407 0.05oO 1.6469 1.900 0.06562 0.971 28 0.0200 2.0563 2.000 0.05399 0.97725 0.0100 2.3287 2.100 0.04398 0.98214 O.OO50 2.5781 2.200 0.03547 0.98610 0.0020 2.8805 2.300 0.02833 0.98928 0.0010 3.0915 2.$00 0.02239 0.99180

81

Tkcnicas de Sirttulacih Matem6tica

Anexo 3. Tambitn se implement6 el programa NCSS para comparar la aproximaci6n y obtener los intervalos de confianza para los padmetros, el listado generado por el mismo se presenta a continuacibn, los valores se resumen al final:

I '. I "_""--""""_"-"~"-"- Multiple Regression------------------------------ Date/Time 09-17-1996 00:05:32 Data Base Name C:\MATE\NCSS\SEMIZ-S Description Data base created at 23:44:48 on 09-16-1996

Co 1 umn x2 x3 x4 Y

Descriptive Statistics

Mean Standard Deviation 1732.467 259.8183 3.828667 .5241301 5.046667 2.604081 63.64667 19.14258

Correlations

x2 x3 x4 Y x2 1.0000 0.1327 -0.1489 O. 3022 X3 0.1327 1.0000 -0.0727 0.4506 x4 -0,1489 -0.072J l. O000 0.0403 Y - O . 3022 0.4506 0.0403 1.0000

Multiple Regression Report

Dependent Variable: Y Independent Parameter Stndized Standard t-value Prob. Seq. Simple Variable Estimate Estimate Error (b=O) Level R-Sqr R-Sqr

x2 Intercept -33.19785 0.0000 48.7501 -0.68 0.5100

.1933E-01 0.2624 .1928E-01 1.00 0.3376 0.0913 0.0913 x3 15.47965 0.4238 9.475592 1.63 0.1306 0.2629 0.2031 x4 .E10197 O. 1102 1.911621 0.42 0.6799 0.2747 0.0016

Analysis of Variance Report

Dependent Variable: Y

Source df Sums of Squares Mean Square F-Ratio Prob. Level

Constant 1 60763.47 60763.47 Mode 1 3 1409.381 469.7938 1.39 0.298 Error 11 3720.756 338.2506 Total 1 4 5130.137 366.4 304

Root Mean Square Error 18.39159 Mean of Dependent Variable 63.64667 Coefficient of Variation .2889639

(Sequential)

R Squared Adjusted R Squared

0.2747 0.0769

82

Tkcnicas de Sinrulacibn Aídenrálicn

Individual Regressor Report

Dependent Variable: Y Independent Variable: X2

Parameter Estimate 1.933042202472733D-02 95% Conf. Int. for b -2.306687E-02 Std. Parameter Estimate .2623678 Standard Error 1.927932E-02 T for Parameter = O 1.002651

Simple Correlation O . 3022 Partial Correlation 0.2894

Sequential Sum Squares 468.4688 Last Sum Squares 340.0461

Mean 1732.467 Standard Deviation 259.8183 Diagonal of Inverse 1.098867E-06

6.172771E-02 (t =

Variance of Parameter Prob. Level

Simple R Squared Partial R Squared Sequential R Squared Overall U Squared

Model Sum of Squares Total Sum of Squares

2.199)

3.716922E-04 0.3376

0.0913 O . 0837 0.0913 0.2747

1409.381 5130.137

R Squared with other Xs 0.0371 Variance Inflation 1.038514 Tolerance O . 9629

Individual Regressor Report

Dependent Variable: Y Independent Variable: X3

Parameter Estimate 15.47964801857494 95% Conf. Int. for b -5.358191 36.31749 (t * 2.199) Std. Parameter Estimate .4238378 Standard Error T for Parameter = O

Simple Correlation Partial Correlation

Sequential Sum Squares Last Sum Squares

Mean Standard Deviation Diagonal of Inverse

Dependent Variable: Independent Variable:

Parameter Estimate q!)H Conf. lnt. for b

9.475592 Variance of Parameter 89.78684 1.633634 Prob. Level O. 1306

0.4506 Simple R Squared O . 2031 0.4419 Partial R Squared 0.1952

Sequential R Squared 0.2629 Overall R Squared 0.2747

880.1528 Model Sum of Squares 1409.381 902.7095 Total Sun of Squares 5130.137

3.828667 R Squared with other Xs 0.0205 .5241301 Variance Inflation .2654448

1.020893 Tolerance O . 9795

Individual Regressor Report

Y x4

.8101969718550184 -3.393663

Std. Parameter Estimate .110216 Standard Error 1.911621 T for Parameter = O .4238271

Simple Correlation 0.0403 Partial Correlation 0.1268

Sequential Sum Squares 60.75975 Last Sum Squares 60.75975

Mean 5.04 6667 Standard Deviation 2.604081 Diagonal of Inverse 1.080352E-02

5.014057 ( 1 - 2.199)

Variance of Parameter 3.654297 Prob. Level 0.6799

Simple R Squared 0.0016 Partial R Squared 0.0161 Sequential R Squared 0.2747 Overall R Squared 0.2747

Model Sum of Squares 1409.381 Total Sum of Squares 5130.137

R Squared with other Xs 0.0250 Variance Inflation 1.025657 Tolerance O . 9750

83

Tdcnicns de Simulación Matenrdticn

Residual Analysis

Row Actual

1 64.3 2 45.4 3 26.6 4 87.5 5 71.3 6 82.4 7 26.3 8 61.6 9 52.9 10 64.7 11 64.9 12 70.5 13 87.2 14 81.2 15 67.9

Y

Durbin - Watson

Predicted Std Err Value of Pred 54.46085 11.2783 43.72171 13.82452 62.81733 9.49375 76.51078 8.955902 71.33636 9.405558 67.04303 5.287903 55.42228 6.986746 57.7197 7.395299 59.95745 14.60645 69.10323 7.074633 74.69031 10.2189 60.38582 6.339139 60.21171 6.377019 82.9529 12.61393 58.36652 6.052013

Statistic 2.404697

Lower95% Mean 29.65866 13.32012 41.93956 56.8158 50.65253 55.41436 40.05768 41.45665 27.8363 53.54 535 52.21785 46.44537 46.18796 55.21353 45.0575

Upper95% Mean 79.26305 74.12331 83.69511 96.20577 92.02019 78.67169 70.78688 73.98276 92.0786 84.6611 97.16277 74.32626 74.23545 110.6923 71.67555

Residual

9.83915 1.678291

10.98922 -.364E-01 15.35697 -29.12228 3.880299 -7.057449 -4.403229 -9.790306 10.11418 26.98829 -1.752907 9.533478

-36.21733

Influence Analysis

Row Residual Rstudent Hat Diag Cov Ratio Dfflts M S E ( I ) Cook's D 1 9.83915 0.6597 .3760530 1.9789 .5121156 356.5601 .6911E-01 2 1.678291 0.1320 .5650169* 3.3425 .1504833 371.4281 .O062166 3 -36.21733 -3.0418* .2664631 0.1453 -1.833346* 193.2578 .4800952 4 10.98922 0.6666 .2371265 1.6128 .3716462 356.2456 .3637E-01 5 -.364E-01 -0.0022 .2615355 1.9826 -.131E-02 372.0754 .4685E-06 6 15.35697 0.8615 .O826663 1.1986 .2586273 346.3667 .1712E-01 7 -29.12228 -1.9055 .1443150 0.4956 -.7825583 272.9612 .123548 8 3.880299 0.2202 .1616862 1.7130 .9672E-01 370.2795 .2560E-02 9 -7.057449 -0.6133 .6307407*' 3.4205 -.EO15755 358.5871 .1702884 10 -4.403229 -0.2481 ,1479685 1.6767 -.lo33753 369.8001 .2921E-02 11 -9.790306 -0.6222 .3087237 1.8195 -.4157773 358.21 .4577E-01

0.5675 .1188015 1.4636 .2083701 360.4668 .1157E-O1 1.6917 .1202256 0.6081 .6253731 289.2853 .8362E-O1

14 -1.752907 -0.1250 .4703942 2.7473 -.117777 371.4955 .38096-02

12 10.11418 13 26.98829

15 9.533478 0.5307 .lo82832 1.4692 .le49357 361.8832 .9148E-02 Press 6159.405

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84

Técnicas de Sinrulocicin Alatenrdica

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85

Técnicas de Sinlulaciórl hiatenlátictl

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Hat Diagonals

Técnicas de Sinlulncibn hfntenraticn

Láminas.

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1 1I

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Lámina 1.

87

i

Lámina 2.

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