UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALAUNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICASFACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

ESCUELA DE CONTADURÍA PÚBLICA Y AUDITORÍAESCUELA DE CONTADURÍA PÚBLICA Y AUDITORÍA

CONTABILIDAD DE SOCIEDADESCONTABILIDAD DE SOCIEDADES

LA DERIVADA Y SU APLICACIÓN AL COSTO MARGINALLA DERIVADA Y SU APLICACIÓN AL COSTO MARGINAL

PRESENTADA APRESENTADA A

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICASFACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

GUATEMALA, 9 DE NOVIEMBRE DE 2010GUATEMALA, 9 DE NOVIEMBRE DE 2010

11

TITULAR: Ing. Diana DomínguezTITULAR: Ing. Diana Domínguez

LA DERIVADA Y SU APLICACIÓN AL COSTO MARGINALLA DERIVADA Y SU APLICACIÓN AL COSTO MARGINAL

Índice

MARCO CONCEPTUAL

Objetivos Generales…………………………………………………………..1

Objetivos Específicos…………………………………………………………1

Preguntas de la Investigación…………………………………………...…..2

Justificación……………………………………………………………...…….3

MARCO TEORICO

Derivada

Aplicación de la Derivada……………………………………………4

Incrementos…………………………………………………………...5

Pendiente……………………………………………………………...5

Definición……………………………………………………………...7

Formulas de la Derivación…………………………………………..8

Derivada Segunda……………………………………………………9

22

Máximas y Mínimas………………………………………..……….10

La Diferencia de una Función……………………………..11

Líneas de Derivación ……………………………………………...17

Costo Marginal……………………………………………………………..19

2.1. Cuando es Aplicado a función o cuando dan una función

Para determinar el Costo Total. …….………………………….…19

2.2. Cuando están los Costos Totales ya determinados……………...20

1.1. Ingreso Marginal…………………………………………………………..31Ingreso Marginal…………………………………………………………..31

MARCO METODOLÓGICOMARCO METODOLÓGICO

Entrevista al Sr. Hugo Zamberachi (propietario de la empresa)……………32

MARCO OPERATIVOMARCO OPERATIVO

Tabla de Costos de Producción e Ingresos…………………………….........36

Conclusión………………………………………………………………………..37

Bibliografía………………………………………………………………………..38

INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN

33

El presente trabajo trata sobre la importancia de la derivada dentro de las industrias y lasEl presente trabajo trata sobre la importancia de la derivada dentro de las industrias y las

distintas formas en las que se puede aplicar, y los distintos métodos como ingresosdistintas formas en las que se puede aplicar, y los distintos métodos como ingresos

marginales y el costo marginal.marginales y el costo marginal.

1.1. Marco Teórico; este consta de la definiciones generales y especificas de la derivada yMarco Teórico; este consta de la definiciones generales y especificas de la derivada y

los métodos en los cuales se puede aplicar, así como distintos ejemplos que hacenlos métodos en los cuales se puede aplicar, así como distintos ejemplos que hacen

referencia al tema los cuales puede ser de utilidad al lector para poder aplicarlosreferencia al tema los cuales puede ser de utilidad al lector para poder aplicarlos

luego en casos reales, así como formulas que son de utilidad para poder elaborar losluego en casos reales, así como formulas que son de utilidad para poder elaborar los

casos.casos.

2.2. Marco Metodológico; capitulo que consta de la descripción del método con el cual seMarco Metodológico; capitulo que consta de la descripción del método con el cual se

obtuvo la información para luego proceder a analizar y aplicar las formulas.obtuvo la información para luego proceder a analizar y aplicar las formulas.

3.3. Marco Operativo; con este se procedió a aplicar las formulas que constan en elMarco Operativo; con este se procedió a aplicar las formulas que constan en el

método teórico, además de analizar los costo e ingresos marginales con los que lamétodo teórico, además de analizar los costo e ingresos marginales con los que la

empresa cuenta, con el fin de saber si la empresa al final obtiene perdidas oempresa cuenta, con el fin de saber si la empresa al final obtiene perdidas o

ganancias por cada unidad producida. ganancias por cada unidad producida.

OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS

1.1. Obtener información sobre la derivada aplicándolo al tema de Costo Marginal.Obtener información sobre la derivada aplicándolo al tema de Costo Marginal.

2.2. Realizar análisis sobre la aplicación del Costo Marginal.Realizar análisis sobre la aplicación del Costo Marginal.

3.3. Aplicar el Costo Marginal a un caso real.Aplicar el Costo Marginal a un caso real.

OBJETIVOS GENERALESOBJETIVOS GENERALES

1.1. Saber para que se utiliza el Costo Marginal en Contabilidad.Saber para que se utiliza el Costo Marginal en Contabilidad.

2.2. Aplicar el costo Marginal como un método utilizable en contabilidad.Aplicar el costo Marginal como un método utilizable en contabilidad.

PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓNPREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN

44

1.1.¿Qué es la derivada?¿Qué es la derivada?

2.2.¿Para que se utiliza la Derivada?¿Para que se utiliza la Derivada?

3.3.¿Qué es el Costo Marginal?¿Qué es el Costo Marginal?

4.4.¿Para que se utiliza el Costo Marginal?¿Para que se utiliza el Costo Marginal?

5.5.¿Para que se es importante El Costo Marginal en Contabilidad?¿Para que se es importante El Costo Marginal en Contabilidad?

6.6.¿Cómo se aplica el Costo Marginal en un Caso Real?¿Cómo se aplica el Costo Marginal en un Caso Real?

JUSTIFICACIÓNJUSTIFICACIÓN

El modelo de la derivada es utilizado para diversos planes estratégicos como el deEl modelo de la derivada es utilizado para diversos planes estratégicos como el de

los costos de Producción Marginal dentro de una industria, y con el fin de saber cuallos costos de Producción Marginal dentro de una industria, y con el fin de saber cual

es la importancia de este modelo a corto plazo se decidió este tema teniendo comoes la importancia de este modelo a corto plazo se decidió este tema teniendo como

objetivos; saber cuales son los planes o decisiones que se pueden tomar conformeobjetivos; saber cuales son los planes o decisiones que se pueden tomar conforme

al análisis del mismo, ya que esta puede llegar a ser una de la funciones del auditoral análisis del mismo, ya que esta puede llegar a ser una de la funciones del auditor

o contador dentro de una industria (dedicado al área de costos).o contador dentro de una industria (dedicado al área de costos).

Como se decía anteriormente puede ser una función del auditor o contador dentroComo se decía anteriormente puede ser una función del auditor o contador dentro

de la industria esto no solo con el objeto de observarse como una obligación si node la industria esto no solo con el objeto de observarse como una obligación si no

también de la importancia e impacto que la toma de decisiones podría tener dentrotambién de la importancia e impacto que la toma de decisiones podría tener dentro

de una organización y el país.de una organización y el país.

Siendo los problemas más grandes que se presentan el que, cuanto, y comoSiendo los problemas más grandes que se presentan el que, cuanto, y como

producir, ya que entre más se produzca más recursos son necesarios.producir, ya que entre más se produzca más recursos son necesarios.

55

Sabiendo que toda empresa tiene que producir lo máximo con mínimos recursos yaSabiendo que toda empresa tiene que producir lo máximo con mínimos recursos ya

que estos son escasos.que estos son escasos.

La capacidad de producción de una sociedad está limitada por las técnicas deLa capacidad de producción de una sociedad está limitada por las técnicas de

producción disponibles en un momento dado y los recursos dados a su disposición,producción disponibles en un momento dado y los recursos dados a su disposición,

por lo que se considero importante el análisis del método de producción a cortopor lo que se considero importante el análisis del método de producción a corto

plazo según la capacidad de producción de cada individuo, llevando a recabar uplazo según la capacidad de producción de cada individuo, llevando a recabar u

observar porque muchas empresas no producen lo máximo contado con losobservar porque muchas empresas no producen lo máximo contado con los

recursos necesarios o en otro caso porque gastan más de lo que producen.recursos necesarios o en otro caso porque gastan más de lo que producen.

CAPITULO ICAPITULO I

MARCO TEORICOMARCO TEORICO

1. Derivadas

1.1. APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS1.1. APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturalezaLas derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza

permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega unapermiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una

unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo,unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo,

ingreso, beneficio o producción. En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en laingreso, beneficio o producción. En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la

variable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad ovariable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o

variable.variable.

Según la economía neoclásica, primero con Carnot, y luego con León Walras, Stanley Jevons ySegún la economía neoclásica, primero con Carnot, y luego con León Walras, Stanley Jevons y

Alfred Marshall; por ello se conoce a esta innovación analítica como la revolución marginalista. DeAlfred Marshall; por ello se conoce a esta innovación analítica como la revolución marginalista. De

hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de lashecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las

funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total. En ese orden de ideas, el procedimientofunciones de costo, ingreso, beneficio, producción total. En ese orden de ideas, el procedimiento

se reitera en el contexto de las funciones multivariadas. Mediante las derivadas parciales, es decirse reitera en el contexto de las funciones multivariadas. Mediante las derivadas parciales, es decir

estimar las razones de cambio de una variable independiente de una f(x,y) son las derivadasestimar las razones de cambio de una variable independiente de una f(x,y) son las derivadas

parciales respecto a x o y, manteniendo la(s) otra(s) fija(s). En consecuencia se pueden aplicarparciales respecto a x o y, manteniendo la(s) otra(s) fija(s). En consecuencia se pueden aplicar

las técnicas especiales como derivadas direccionales, gradientes, diferenciales, etc.las técnicas especiales como derivadas direccionales, gradientes, diferenciales, etc.……………...……………...

66

NO hay que olvidar que se requiere con frecuencia estimar los niveles donde una funciónNO hay que olvidar que se requiere con frecuencia estimar los niveles donde una función

cualesquiera se maximiza (minimiza) -sea cual sea el número involucrado de variablescualesquiera se maximiza (minimiza) -sea cual sea el número involucrado de variables

independientes-. De nuevo el cálculo diferencial es de gran ayuda en estas situaciones. Tambiénindependientes-. De nuevo el cálculo diferencial es de gran ayuda en estas situaciones. También

para la búsqueda de la optimización sujeta a restricciones se trata con derivación de las funcionespara la búsqueda de la optimización sujeta a restricciones se trata con derivación de las funciones

mediante los métodos de los multiplicadores de Lagrange o las condiciones de Kühn-Tucker (estamediante los métodos de los multiplicadores de Lagrange o las condiciones de Kühn-Tucker (esta

última para la eventualidad en que la función objetivo que se desea optimizar esté restringida conúltima para la eventualidad en que la función objetivo que se desea optimizar esté restringida con

desigualdades).desigualdades).

1.2. Incrementos

El incremento x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,

o bien

Si se da un incremento x a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x0 a x = x0 + x), la función y = f (x) se verá incrementada en y = f (x0 + x) - f (x0) a partir del valor y = f (x0). El cociente

Recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x0 a x = x0 + x.

1.3. Pendiente

Si h 0, entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)) determinan, como en la figura 6, una recta cuya pendiente es

77

Como indica la grafica siguiente, la 'tangente' en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí no hemos hablado nunca del 'límite' de rectas, pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a, f (a)) debería ser

88

1.4. Definición

[La función f es derivable en a si

  Existe.

En este caso el límite se designa por f' (a) y recibe el nombre de derivada de f en a. (Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de f.)

Definimos la tangente a la gráfica de f en (a, f (a)) como la recta que pasa por (a, f (a)) y tiene por pendiente f' (a). Esto quiere decir que la tangente en (a, f (a)) sólo está definida si f es derivable en a.

Para una función dada f, la derivada f' se designa a menudo por

No hace falta decir que las distintas partes de esta expresión carecen de todo significado cuando se consideran separadamente; las d no son números, no pueden simplificarse, y la expresión completa no es el cociente de otros dos números 'df (x)' y 'dx'. Esta notación se debe a Leibniz (generalmente considerado como el codescubridor independiente del cálculo infinitesimal junto con Newton) y es llamada afectivamente notación de Leibniz.

Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él consideraba no como el límite de los cocientes (f (a+h)-f (a))/h, sino como el 'valor' de este cociente cuando h es un número 'infinitamente pequeño'. Esta cantidad 'infinitamente pequeña' fue designada por dx y la correspondiente diferencia 'infinitamente pequeña' f (x+dx)-f (x) por df (x). Aunque es imposible reconciliar este punto de vista con las propiedades de los números reales, algunos encuentran simpática esta noción de la derivada. (Spivak, 190-1)]

[La derivada de y = f (x) con respecto a x se puede representar por uno cualquiera de los símbolos

99

1.5. Fórmulas de derivación

[En las fórmulas siguientes u, v y w son funciones derivables de x.

1.  , siendo c una constante.

2. 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7. 

8. 

9.

 

10.

 

11.

 

1010

1.6. Derivada segunda

[Para una función cualquiera f, al tomar la derivada, obtenemos una nueva función f' (cuyo dominio puede ser considerablemente más pequeño que el de f ). La noción de derivabilidad puede aplicarse a la función f', por supuesto, dando lugar a otra función (f' )', cuyo dominio consiste en todos los punta a tales que f' es derivable en a. La función (f' )' se suele escribir por lo general simplemente f'' y recibe el nombre de derivada segunda de f. Si f'' (a) existe, entonces se dice que f es dos veces derivable en a, y el número f'' (a) recibe el nombre de derivada segunda de f en a...

No existe razón alguna para detenerse en la derivada segunda; podemos definir f''' = (f'' )', f'''' = (f''' )', etc. Esta notación se hace pronto difícil de manejar, por lo que se suele adoptar la siguiente abreviación (se trata en realidad de una definición recursiva):

Las distintas funciones f (k), para k 2, son a veces llamadas derivadas de orden superior de f... De hecho, se puede dar una definición para f (0), a saber,

Debemos mencionar también la notación de Leibniz para las derivadas de órdenes superiores. El símbolo natural de Leibniz para f'' (x), a saber,

,

se abrevia poniendo

, o más frecuentemente  .

Una notación parecida se usa para f (n)(x).

1111

1.7. Máximos y mínimos

[Si f'(a) > 0, la función f(x) es creciente en el punto x = a y si f'(a) < 0, es decreciente en dicho punto. Cuando f'(a) = 0, diremos que la función es estacionaria en el punto x = a.

Una función y = f(x) tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto x = a, cuando f(a) es mayor (menor) que los valores de la función para los puntos inmediatamente anteriores y posteriores al considerado.

1.7.1. La diferencial de una función

La diferencial de una función surgió históricamente del concepto de “indivisible”. Este concepto, que desde un punto de vista moderno nunca estuvo muy claramente definido, era en su tiempo (en el siglo XVIII) fundamental en el análisis matemático. Las ideas referentes a él sufrieron cambios esenciales en el transcurso de varios siglos. Los indivisibles, y más tarde la diferencial de una función, se representaban como verdaderos infinitésimos, como algo de magnitud constante extremadamente pequeña, que sin embargo no era cero. La definición dada en esta sección es la aceptada en el análisis moderno. De acuerdo con esta definición, la diferencial es una magnitud finita para cada incremento x, y al mismo tiempo proporcional a x.

1212

La otra propiedad fundamental de la diferencial, el carácter de su diferencia respecto a y, sólo puede reconocerse 'en movimiento', por así decirlo: si consideramos un incremento x que se aproxima a cero (que sea un infinitésimo), entonces la diferencia entre dy e y será tan pequeña como se desee incluso comparada con x.

Esta sustitución de los incrementos pequeños de la función por la diferencial forma la base de la mayoría de las aplicaciones del análisis infinitesimal al estudio de la naturaleza. El lector verá esto de un modo particularmente claro en el caso de las ecuaciones diferenciales.

[Dada la función y = f(x) se define:

(a)  dx, leído diferencial de x, por la relación dx = x.

(b)  dy, leído diferencial de y, por la relación dy = f'(x)dx.

La diferencial de una variable independiente es, por definición, el incremento que experimenta; sin embargo, la diferencial de una variable dependiente o función no es igual a su incremento.

Si dx = x es relativamente pequeño con respecto a x, el valor de y se puede obtener aproximadamente hallando dy.

1313

1.8. LINEAS DE DERIVACION

Q Q

Q

Q

P

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Definiciones:

Línea secante: Es la línea que intercepta la curva en dos o más puntos (Fig. 1).

Línea tangente a una curva en un punto P de la misma: Es la línea resultante de la posición límite de las líneas secantes , siendo Q un punto de la curva acercándose al punto P, ya sea por la derecha o por la izquierda (Fig. 2).

Pendiente de una curva en un punto P de la misma: Es la pendiente, en caso de que exista, de la línea tangente a la curva en el punto P.

Cálculo de la pendiente de una curva en un punto :

Haciendo referencia a la Figura 3, sea , entonces . Ahora bien:

. Por tanto por las definiciones anteriores, se tiene que:

Ejemplos. Encontrar la pendiente de cada una de las siguientes curvas en el punto indicado:

1414

x

y

x

y

x

y

1

2

3

Derivada de una función

: Es la función denotada por y definida por:

Siempre que el límite exista. Geométricamente representa la pendiente de la línea tangente a la curva en cualquier punto de la misma.

Función diferenciable: Una función cuya derivada existe dentro de su dominio.

Diferenciación: El proceso de encontrar la derivada de una función.Ejemplos. Encontrar las derivadas de las siguientes funciones:

1

1515

2

Diferentes formas de representar la derivada de una función :

, y en el punto

1. Encontrar la derivada de:

Determinación de la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado

1 Encontrar que es la pendiente de la curva en el punto , es decir la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto.

2 Aplicar la expresión para encontrar la ecuación de una recta en su forma punto - pendiente: .

Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva en el

punto .

1616

O también

Reglas de diferenciación:

Demostraciones:

1 Sea

2 Se dará una demostración para el caso en que n sea un entero positivo:Sea

3 Sea

4 Sea

Hipótesis: son funciones diferenciables; c es una constante y n un número real.1. 4. 2. 5. 3.

1717

La derivada como razón de cambio.

Definición:

El intervalo se puede representar también como , en donde . Así

La razón de cambio instantánea se abrevia simplemente como razón de cambio .

Ejemplo: Si , representa la velocidad promedio de

y , es la velocidad instantánea para cualquier

valor de t.Si (s en metros y t en segundos), la velocidad promedio de 2 a 5 segundos es:

y la velocidad instantánea para cualquier

valor de t es: . Para y para las velocidades son:

.

Interpretación de la derivada como razón de cambio:

Si (es decir, es "muy pequeño") y si

.

Por tanto representa aproximadamente el cambio de y por cada cambio

unitario en x.

1818

Ejemplo: es la ecuación de la demanda del producto de un fabricante, donde q es el número de artículos demandados y p es su precio unitario en dólares. Determinar qué tan rápido está cambiando el precio del artículo con respecto a los artículos demandados, cuando éstos son 5.

. Es decir, cuando se demandan 5 artículos,

al incrementar la demanda en un artículo el precio del mismo disminuye en 20 dólares.

2. Costo Marginal

FORMULA DE LOS COSTOS TOTALES

Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad

CMg = ∂CT / ∂Q

2.1. Cuando es Aplicado a función o cuando dan una función para determinar el Costo Total.

Es la razón de cambio del costo total con respecto al número de artículos producidos y comercializados (es decir, el costo aproximado de una unidad extra producida).Si es la función del costo total de producción de q artículos

es la función del costo marginal.

Se interpreta como el costo extra unitario por cada unidad producida más, cuando el incremento en números de unidades es muy pequeño.

El costo total está dado por: , es decir la suma de los costos fijos y los costos variables.

1919

El costo medio unitario de producción de q artículos está dado por:

Ejemplos:

1. El costo total en dólares de producción de q libras de cierta sustancia química está dado por: . Determinar el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.

, es decir, si la producción se incrementa de 3 a 4

libras, el costo se incrementa 30 dólares.

2. El costo medio unitario en la producción de q unidades es

.

Determinar la ecuación del costo marginal y el costo marginal para producir 40 unidades.

Adicional producida.

3. El costo total por producir x unidades es . Determinar la razón de cambio de C con respecto a x cuando se producen 20 unidades. Determinar también la razón de cambio promedio cuando la producción se incrementa de 20 a 30 unidades.

pesos / unidad adicional

producida.

Pesos/unidad adicional.

2.2. Cuando están los Costos Totales ya determinados:

El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.

2020

Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad:

Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad

CMg = ∂CT / ∂Q

El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría microeconómica, debido a que se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos.

El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos.

Siguiendo la teoría neoclásica, el gráfico del costo marginal en el corto plazo tiene forma de U debido a que para pocas unidades producidas se tiene mucho capital (insumos fijos) y pocos trabajadores (insumos variables), por lo que los primeros trabajadores aumentan mucho la producción debido a que tienen mucho capital disponible. A medida que se van agregando trabajadores, la producción sigue aumentando pero cada vez menos, porque el capital se mantiene fijo. Llegará un punto en que el aumento de la cantidad producida por los trabajadores adicionales sea tan bajo que el costo total aumentará proporcionalmente mas que la cantidad producida, por lo que el costo marginal comenzará a elevarse. A partir de este punto, el costo medio de producción aumentará a medida que se agreguen trabajadores a la empresa, por ejemplo debido a que los insumos fijos por trabajador serán menores, por ejemplo maquinaria, herramientas, espacio físico, computadoras, etc.. Este es el principio de los rendimientos físicos marginales decrecientes. En un extremo puede suceder que trabajadores adicionales no añadan nada al producto, por ejemplo porque no tienen ninguna herramienta para trabajar.

En términos matemáticos, la función de producción relaciona el output con los inputs o factores de producción. En el corto plazo hay ciertos factores fijos. Introduciendo el precio de los factores se puede obtener el costo total en función de la cantidad producida. Derivando el costo total respecto a la cantidad se obtiene el costo marginal.

2121

3. Ingreso Marginal

Es la razón de cambio del valor total recibido con respecto al número de unidades vendidas (Es decir, el ingreso aproximado recibido por la venta de una unidad adicional producida).Si es la función del ingreso total por la venta de q unidades

es la función del ingreso marginal. Ingreso = (precio unitario)

(No. de unidades vendidas) :

Ejemplo: Un fabricante vende un producto a pesos/unidad. Determinar la ecuación del ingreso marginal y el ingreso marginal para

.

Razones de cambio relativas y porcentuales:

Si

Ejemplo: El ingreso recibido por la venta de q unidades está dado por: . Determinar la razón de cambio relativa y la razón de cambio

porcentual del ingreso, para .

y como

se tiene que:

3.75% , es decir, si se vende una unidad

adicional a 20, el ingreso aumenta aproximadamente en 3.75%.

2222

Reglas de diferenciación de productos y cocientes:

Hipótesis: f(x) y g(x) son funciones diferenciables.

1.

2.

Demostraciones:

1 Sea . Ahora bien:

Puesto que f(x) es diferenciable, entonces es continua. Por tanto:

. Por lo tanto: .

2 Sea

Ejemplos:

1

2323

2 Determinar la pendiente de la curva:

3

4

5 Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva:

en x = 2

o también :

6 La ecuación de la demanda del producto de un fabricante está dada por:

, en donde q son los artículos demandados y p es el precio de

cada artículo. Determinar la función del ingreso marginal y evaluarla cuando q = 100.

2424

. Es decir que, vender un artículo adicional más allá

de 100, proporciona aproximadamente $8 más de ingreso.

Propensión marginal al consumo y al ahorro.

Si es la función de consumo, en donde I es el ingreso nacional total y C el consumo nacional total, ambos en miles de millones de

dólares y S = I – C es el ahorro nacional total se define

como la propensión marginal al consumo (la razón de cambio del

consumo con respecto al ingreso) y se define como la

propensión marginal al ahorro.

Ejemplo: La función de consumo de cierto país está dada por:

. Determinar la propensión marginal al ahorro cuando el

ingreso es de 400,000 millones de dólares (I = 400).

, o sea que cuando el

ingreso nacional es de 400,000 millones de dólares, por cada 1,000 millones de dólares de ingreso adicionales, la nación ahorra 384 millones de dólares y consume 616 millones de dólares.

Regla de la cadena:

Hipótesis: f y g son funciones diferenciables.

2525

Se omite la demostración de este teorema.

Ejemplos:

1 . Determinar .

Otra forma:

2 Determinar

1 Determinar

2 Determinar

Regla de la potencia:

2626

Demostración:

. Otra forma de representar la

regla de la potencia es:

Ejemplos. Determinar las derivadas de las siguientes funciones:

1

2

3

4

5

Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva:

Si

2727

6

Producto del ingreso marginal:

Si un fabricante emplea m trabajadores para obtener q unidades de un producto por día y r es el ingreso total que el fabricante recibe por la venta

de las unidades producidas, entonces se denomina producto del

ingreso marginal. Por tanto, es la razón de cambio del ingreso con respecto al número de empleados, es decir, aproximadamente el cambio del ingreso cuando se emplea un trabajador adicional:

Recordar que , siendo p el precio unitario y es la ecuación de la demanda.

Ejemplos:

2828

1 Para cierto fabricante, la producción de q unidades por día en función del

número de empleados m está dada por: . La ecuación de la

demanda para el producto es: . Determinar el producto del

ingreso marginal si el número de empleados es 11.

2 Para cierto fabricante , en donde q es el

número total de unidades producidas por día con m empleados y p es el precio de venta por unidad. Determinar el producto del ingreso marginal para .

o

sea que si se contrata un empleado más, de los 60, los ingresos se incrementan en $108/día.

DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Repaso de conceptos y propiedades logarítmicas.Definición:

Abreviaciones:

2929

Propiedades: 1. 2. 3.

4. 5. 6.

Teoremas:

1 Si

2 Si

Demostraciones:

1 Sabemos que:

Sea

Sea

3 Sea . Como , regla de la cadena.

Sustituyendo en la regla de la cadena se tiene que:

Ejemplos

1

3030

2

3

4

5

6

7

8

3131

CAPITULO IICAPITULO II

MARCO METODOLÓGICOMARCO METODOLÓGICO

Taller de Calzado B y B, ubicado en 11 Av. 4-23 Z-19 Col. La Florida, proporciono información aproximada de los gastos y la producción de su Calzado, información que se obtuvo por medio de una entrevista realizada al contador y al Jefe de Producción datos que fueron los siguientes:

Entrevista al Sr. Hugo Zamberachi (propietario de la empresa):

Los costos fijos aproximados de la empresa son de Q.100.00 y los costos variables oscilan entre las cantidades Q.170.00, Q.280.00, Q. 350.00, Q.400.00, Q.450.00, Q.520.00, Q.630.00, Q.800.00, Q1050.00, Q.1400.00.

Siendo La producción de 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.

Contando con 17, 28, 35, 40, 45, 52, 63, 80, 105, 140,

Ingresos de: Q. 500.00, Q. 700.00, Q. 900.00, Q. 950.00, Q. 1000.00, Q. 1050.00, Q. 700.00, Q. 600.00, Q. 550.00, Q. 600.00

Con los datos anteriores se ha decidido elaborar el Costo Marginal para determinar cuanto gasta la empresa por unidad adicional que produce, esto con el fin de determinar sus costos de producción por unidad adicional.

3232

CAPITULO IIICAPITULO III

MARCO OPERATIVOMARCO OPERATIVO

TABLA DE LOS COSTOS DE PRODUCCIÓN E INGRESOS

q K L costo fijo

costo

variable

costo

total

costo

marginal

costo

medio PmgL It

Ingreso

Marginal

Ingreso

Medio

0 100 0 100 0 100 25     0   0

10 100 17 100 170 270 17 27 0.59 500 50 50

20 100 28 100 280 380 11 19 0.91 700 20 35

30 100 35 100 350 450 7 15 1.43 900 20 30

40 100 40 100 400 500 5 12.5 2 950 5 23.75

50 100 45 100 450 550 5 11 2 1000 5 20

60 100 52 100 520 620 7 10.33 1.43 1050 5 17.5

70 100 63 100 630 730 11 10.43 0.91 700 -35 10

80 100 80 100 800 900 17 11.25 0.59 600 -10 7.5

90 100 105 100 1050 1150 25 12.78 0.4 550 -5 6.11

100 100 140 100 1400 1500 15 0.29 600 6

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En las columnas vemos (por orden):- la cantidad total producida Q- la cantidad de capital K- la cantidad de trabajadores L- el costo fijo: se supone que el capital representa el costo fijo CF=K*r (r=1)- el costo variable: CV=L*w se utiliza un nivel de salario de 10- el costo total: es igual al costo fijo mas el costo variable CT=CF+CV- el costo marginal e Ingreso Marginal Cmg = ΔCT / ΔQ; Icmg = ΔIT / ΔQ- el costo medio o Ingreso Medio: es el costo total o Ingreso Total divido la cantidad total producida Cme = CT/Q; Ime = IT/Q- el producto marginal de cada trabajador PmgL = ΔQ / ΔL)

Gráfico 1Costo Marginal y Costo Medio

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Gráfico 2Costos Fijos, Costos Variables y Costos Totales

Análisis:

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En el gráfico 1 vemos que el costo marginal es decreciente hasta cierto punto para luego comenzar a elevarse, mientras que el costo medio sucede lo mismo pero el costo medio es más elevado que el costo marginal para las primeras unidades, interceptando a este en su punto mínimo para luego ascender pero por debajo del costo marginal.

En el gráfico 2 se observa que la diferencia entre el costo total y el costo variables es el costo fijo, que es constante e igual a 100. El costo total y el variable son siempre crecientes, pero para las primeras unidades crecen a tasas cada vez menores para luego llegar a un punto de inflexión, a partir del cual crecen a tasas cada vez mayores.

Análisis:

En el Gráfico 3. La pendiente de cualquier función es igual a la variación vertical dividido la variación horizontal. En el caso de la curva de costo total, en el eje vertical se representa el costo total y en el eje horizontal la cantidad producida, por lo que la pendiente del costo total es el costo margina. Si vemos conjuntamente ambos gráficos, nos damos cuenta que a medida que el costo total (abajo) se hace menos "empinado", el costo marginal arriba va disminuyendo.

Cuando llegamos a cierta cantidad vemos que la pendiente del costo total comienza a aumentar, lo que se ve reflejado en el gráfico de arriba por un aumento del costo marginal.

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Si dividimos la altura del costo total, por su distancia hasta el eje y, obtendremos el costo total dividido la cantidad, es decir, el costo medio. Si dibujamos un rayo desde el origen (punto 0,0) hasta algún punto del costo total, la pendiente de ese rayo es la altura del punto divida la distancia al eje y, es decir, la pendiente del rayo es el costo medio. Como vimos antes, el costo marginal es la pendiente de la curva de costo total, es decir, la tangente de la curva en ese punto. Entonces tenemos que la pendiente del rayo es el costo medio, y la pendiente de la tangente es el costo marginal.

Vemos que en el punto B, la pendiente del rayo es la mínima, y en este punto la pendiente del rayo es igual a la pendiente de la tangente. Es decir, es el mínimo del costo medio, y en ese punto el costo medio es igual al costo marginal. En el ejemplo de arriba, esto se da alrededor de las 65 unidades (ver gráfico 1).

Adicionalmente, podemos ver que cuando el costo medio está decreciendo, el costo marginal es inferior al costo medio, mientras que cuando el costo medio está aumentando, el costo marginal es mayor al costo medio.

CONCLUSIÓNCONCLUSIÓN

1. La derivada es un método u herramienta útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.

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2. El Costo Marginal; es la razón de cambio del costo total con respecto al número de artículos producidos y comercializados o es decir, el costo aproximado de una unidad extra producida.Para poder aplicar es método se puede observar el ejemplo de una empresa de las páginas 22-25, con las cuales se llego a la conclusión que:

2.1. Cundo la cantidad varíe de 10 a 20 su costo marginal será de Q.17.00 y su ingreso marginal de Q.50.00, por lo que aquí no se detectan perdidas.

2.2. Cundo la cantidad varíe de 20 a 30 su costo marginal será de Q.17.00 y su ingreso marginal de Q.20.00, por lo que aquí no se detectan perdidas, si no ganancias.

2.3. Cuando se llega a la cantidad de producción de 60 a 70 unidades se inicia detectar una perdida ya que sus costos marginales son de Q.7.00 y su ingreso marginal de Q.5.00 detectando una perdida de Q.2.00 por unidad, hasta la producción detallada en los cuadros anteriores.

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