LA MODELACIN MATEMTICA EN LA EDUCACIN MATEMTICA

REALISTA: UN EJEMPLO A TRAVS DE LA PRODUCCIN Y USO DE

MODELOS CUADRTICOS

SARA MARCELA HENAO

JHONNY ALFREDO VANEGAS

UNIVERSIDAD DEL VALLE

INSTITUTO DE EDUCACIN Y PEDAGOGA

REA DE EDUCACIN MATEMTICA

LICENCIATURA EN MATEMTICAS Y FSICA

SANTIAGO DE CALI

2012

i

LA MODELACIN MATEMTICA EN LA EDUCACIN MATEMTICA

REALISTA: UN EJEMPLO A TRAVS DE LA PRODUCCIN Y USO DE

MODELOS CUADRTICOS

SARA MARCELA HENAO SALDARRIAGA

JHONNY ALFREDO VANEGAS DIAZ

OCTAVIO AUGUSTO PABN RAMIREZ

Asesor

UNIVERSIDAD DEL VALLE

INSTITUTO DE EDUCACIN Y PEDAGOGA

REA DE EDUCACIN MATEMTICA

LICENCIATURA EN MATEMTICAS Y FSICA

SANTIAGO DE CALI

2012

ii

NDICE DE CONTENIDOS

Pgina.

Resumen

1

Introduccin

2

Captulo 1. Aspectos generales de la investigacin

7

1.1. Contextualizacin y formulacin del problema

8

1.2. Justificacin

12

1.3.

Objetivos 15

1.4. Estado del arte de la modelacin matemtica

16

Captulo 2. Marco de referencia conceptual

27

2.1. Los inicios de la Educacin Matemtica Realista

28

2.2. El enfoque de la Educacin Matemtica Realista (EMR)

29

2.3. Concepciones sobre la enseanza y el aprendizaje de las matemticas

en la EMR

30

2.4. Principios de la Educacin Matemtica Realista 32

2.4.1. Principio de actividad 34

2.4.2. Principio de realidad 35

2.4.3. Principio de niveles 36

2.4.4. Principio de reinvencin-principio de orientacin 41

2.4.5. Principio de interaccin 42

2.4.6. Principio de interconexin 43

2.5.

Dimensin matemtica de las nociones cuadrticas

44

iii

Captulo 3. La modelacin y los modelos cuadrticos en el trabajo

matemtico

52

3.1. Marco metodolgico de la investigacin 53

3.2. Diseo del estudio de caso 55

3.2.1. El contexto 55

3.2.2. Los sujetos participantes en el estudio 57

3.2.3. Los instrumentos 59

3.3. Momentos de intervencin con los estudiantes 62

3.4. Categoras de anlisis

65

3.5. Fundamentacin terica de las tareas 67

3.5.1. Anlisis fenomenolgico 67

3.5.2. Requerimientos de los contextos 71

3.6.

Diseo de las tareas

74

3.7. La secuencia 75

3.7.1. Tarea 1. A que no adivinas cuntos hay 76

3.7.2. Tarea 2. Apretones de mano 78

3.7.3. Tarea 3. Configuraciones navideas 80

3.8. Anlisis predictivo de las tareas 82

3.8.1. Tarea 1. A que no adivinas cuntos hay 82

3.8.2. Tarea 2. Apretones de mano 87

3.8.3. Tarea 3. Configuraciones navideas 92

3.9. Importancia del anlisis predictivo 98

Captulo 4. Resultados y conclusiones

99

4.1. Introduccin 100

4.2. Anlisis prospectivo de las tareas 100

4.2.1. Tarea 1. A que no adivinas cuntos hay 100

4.2.2. Tarea 2. Apretones de mano 112

4.2.3. Tarea 3. Configuraciones navideas 122

4.3. Consideraciones finales del anlisis prospectivo 130

4.4. Conclusiones y reflexiones finales 132

iv

Referencias

136

Anexos 142

Anexo 1. 142

Anexo 2. 144

v

NDICE DE FIGURAS

Pgina

Figura 1. Proceso de modelacin desde una perspectiva educativa 22

Figura 2. Ciclo de modelacin desde una perspectiva cognitiva 24

Figura 3. Niveles de comprensin 39

Figura 4. Grfica de las funciones ( ) ( ) 44

Figura 5. Variacin de la funcin ( ) 45

Figura 6. Variacin de la funcin ( ) 46

Figura 7. Variacin de la funcin ( ) 46

Figura 8. Variacin de la funcin ( ) 47

Figura 9. Variacin de la funcin ( ) cuando c > 0 y c < 0 48

Figura 10. Grfica de la parbola ( ) ( ) 50

Figura 11. Disposicin de los recursos tecnolgicos 62

Figura 12. Diagrama de correspondencia de la tarea 1. 85

Figura 13. Representacin grfica de la tarea 2. 87

Figura 14. Frmula de recurrencia de la tarea 2. 89

Figura 15. Modelo frmula de recurrencia 94

Figura 16. Modelo conteo de tringulos 96

Figura 17. Puesta en escena de la tarea 1. 101

Figura 18. Estudiantes empleando los palillos para representar la tarea 1. 103

Figura 19. Dibujos de algunos arreglos de la tarea 1. 104

Figura 20. Diagrama de correspondencias del grupo 2 en la tarea 1. 106

Figura 21. Aproximacin a una frmula de recurrencia 106

Figura 22. Acercamiento a la relacin general del fenmeno estudiado 108

Figura 23. Modelo algebraico de la tarea 1. 109

Figura 24. Modelo cuadrtico 111

Figura 25. Puesta en escena de la tarea 2. 113

Figura 26. Esquemas poligonales construidos por los grupos 1 y 3 114

Figura 27. Patrn de construccin encontrado por el grupo 1 115

Figura 28. Diagrama de correspondencia construido por el grupo 3 117

vi

Figura 29. Regularidades encontradas por el grupo 2 118

Figura 30. Modelo inicial del grupo 4 119

Figura 31. Expresin algebraica encontrada por el grupo 4 120

Figura 32. Uso de la frmula cuadrtica en el grupo 4 121

Figura 33. Puesta en escena de la tarea 3. 122

Figura 34. Modelo construido por el grupo 2 125

Figura 35. Modelo de tabla construido por el grupo 1 126

Figura 36. Esquema construido por el grupo 1 127

Figura 37. Razonamiento del grupo 1 127

Figura 38. Modelo inicial construido por el grupo 4 128

Figura 39. Modelo final construido por el grupo 4 129

vii

NDICE DE TABLAS

Pgina

Tabla 1. Clasificacin de las perspectivas sobre modelacin

matemtica

18

Tabla 2. Principios de la Educacin Matemtica Realista 33

Tabla 3. Cronologa de la prctica de modelacin 63

Tabla 4. Frmula de recurrencia de la tarea 1. 85

Tabla 5. Tabla de datos de la tarea 2. 88

Tabla 6. Demostracin frmula de recurrencia de la tarea 2. 89

Tabla 7. Tabla de valores de la tarea 3. 93

Tabla 8. Generalizacin del modelo frmula de recurrencia 95

1

RESUMEN

La presente investigacin se enmarca en el enfoque de la Educacin Matemtica Realista y

busca a partir de algunos de sus referentes tericos y metodolgicos fundamentar un diseo

relativo al trabajo con modelos cuadrticos que permita estudiar el proceso de modelacin

matemtica de estudiantes de los ltimos grados de educacin media (10 y 11), en

particular lo concerniente a los niveles de matematizacin y la incidencia de las tareas

diseadas en el aprendizaje de los modelos cuadrticos. La indagacin se plantea en

trminos del estudio de los niveles de matematizacin, como una posibilidad de analizar el

desempeo matemtico de los estudiantes y las implicaciones didcticas y cognitivas, en

relacin con el proceso de modelacin matemtica en el aula de matemticas.

Inicialmente se hace un recorrido a travs de los principios fundantes de la Educacin

Matemtica Realista, buscando entrelazar elementos tericos y metodolgicos que

permitan dimensionar y comprender este enfoque terico. En segundo lugar, y con el objeto

de caracterizar los niveles de matematizacin de los estudiantes, se propone el diseo e

implementacin de una serie de tareas fundamentadas en la Educacin Matemtica Realista

que a futuro puedan servir de insumos para el desarrollo de estrategias metodolgicas para

la enseanza y aprendizaje de las matemticas, en particular de los modelos cuadrticos.

Adicionalmente, se pretende mostrar la importancia de la modelacin matemtica como un

proceso matemtico que permite conjugar la matemtica y la realidad en la promocin de la

formacin de conceptos matemticos, aportando al conocimiento por parte de los docentes

de algunas estrategias de enseanza que podran contribuir a mejorar la enseanza de la

modelacin matemtica en los ltimos grados de la educacin media y a mejorar el

desempeo matemtico de los estudiantes.

Palabras claves: Educacin Matemtica Realista, modelos cuadrticos, niveles de

matematizacin, contexto, niveles de comprensin.

2

INTRODUCCIN

La presente investigacin se inscribe en la Lnea de formacin Didctica de las

Matemticas del Programa Licenciatura en Matemticas y Fsica, del Instituto de

Educacin y Pedagoga (IEP) de la Universidad del Valle y se realiz en el marco del

proyecto Caracterizacin de los vnculos entre los Recursos Pedaggicos y el

Conocimiento Matemtico en la Enseanza de las Matemticas en la Educacin Bsica,

que desarroll el Grupo de Educacin Matemtica, GEM. (Universidad del Valle

COLCIENCIAS, Contrato 110648925213).

Esta investigacin surge como resultado del reconocimiento de algunas problemticas y

preocupaciones recurrentes en la investigacin en Didctica de las Matemticas en relacin

con la bsqueda, el diseo e implementacin de nuevas propuestas de enseanza

formuladas para abordar el (sin) sentido comn de los estudiantes en la interpretacin y

resolucin de problemas en diferentes contextos.

De esta manera, emergen algunos interrogantes inciales, Por qu los estudiantes tienen

dificultades para aplicar sus conocimientos cientficos escolares en situaciones cotidianas?

De qu manera se deben presentar las situaciones matemticas para que tengan sentido

para los estudiantes? Cmo ayudar a los estudiantes a crear puentes que les permitan

pasearse entre lo concreto y lo abstracto?

En la discusin de tales preguntas, algunas investigaciones en el campo de la Didctica de

las Matemticas reconocen que los contextos constituyen un punto de partida importante en

la comprensin de los fenmenos asociados a los procesos de transferencia de los

conocimientos matemticos a actividades de la vida diaria (Arrieta, 2003; Martnez, Da

Valle, Bressan & Zolkower, 2002). Indican que los contextos ponen en juego elementos del

sentido comn de los estudiantes y conocimientos de lo que ellos saben acerca de cmo son

las cosas en el mbito extraescolar.

De este modo, argumentan que el sentido comn y las formas de razonamiento aprendidas

fuera de la escuela funcionan como fuente de estrategias para solucionar diferentes

problemas y direccionar el quehacer matemtico con sentido.

Bajo estas consideraciones la presente investigacin, asume como principal referente

terico el enfoque de la Educacin Matemtica Realista (en adelante, EMR) con sus

AnaNota adhesivapreferiria "vincular" la realidad concreta con el saber abstracto?

3

fundamentos acerca de la introduccin de conceptos matemticos mediante contextos

realistas o situaciones que los sujetos pueden imaginar fcilmente y que son razonables

dentro de lo que ellos conocen.

De hecho, las investigaciones que adoptan este enfoque terico indican que las tareas

propuestas desde contextos realistas presentan mejores perspectivas en el proceso de

aprendizaje matemtico de los estudiantes, en comparacin a los resultados obtenidos

cuando se trabaja desde contextos eminentemente matemticos, en gran parte porque los

estudiantes suelen sentirse ms atrados y motivados durante el proceso de adquisicin de

conocimientos cientficos cuando se enfrentan a contextos cercanos a su realidad. (Bressan,

A. & Zolkower B., s.f.; Arrieta, 2003). Incluso estas concepciones y justificaciones en

relacin con el uso de contextos en las clases de matemticas, aparecen con frecuencia en

diferentes investigaciones (Martnez & et al, 2002; Panhuizen, 2003; Valero, 2006; Arcavi,

2006). A nivel nacional por ejemplo, el MEN (2006) reconoce que:

La bsqueda de una relacin cercana con el contexto extraescolar o sociocultural de los

estudiantes es importante para despertar su inters y permitirles acceder a las

actividades con una cierta familiaridad y comprensin previa. (MEN, 2006, p. 71).

Adems, en la EMR la modelacin matemtica ocupa un papel central en la conjugacin de

las matemticas y la realidad, promoviendo la construccin de puentes que permiten que los

estudiantes se paseen entre lo abstracto y lo concreto.

En otras palabras, esta perspectiva favorece la capacidad de los estudiantes para analizar y

organizar los problemas presentados en el contexto mediante la produccin y uso de

modelos. Modelos que inicialmente estn asociados al uso de conocimientos informales,

pero que gradualmente adquieren un carcter ms general.

Para la EMR, los modelos son representaciones de las situaciones donde se reflejan

aspectos esenciales de los conceptos y relaciones matemticas que son relevantes para

solucionarla (Bressan, s.f., p. 4). Razn por la cual, los modelos representan no slo la

transformacin de una situacin problemtica a una expresin simblica, sino que adems

son el resultado de la compresin u organizacin de la actividad matemtica por parte de

los estudiantes. Es este proceso de organizacin lo que se reconoce dentro de la EMR como

modelacin matemtica o matematizacin.

4

En la discusin de este proceso de matematizacin, la EMR considera la existencia de dos

componentes: la matematizacin horizontal que implica el proceso de partir de la situacin

real hacia el mundo de lo simblico y la matematizacin vertical que describe los cambios

que sufre la expresin matemtica del modelo dentro del propio mundo de los smbolos.

Goffree (2000).

Evidentemente, el proceso de modelacin en la enseanza y aprendizaje de las matemticas

ocupa un lugar transcendental en las investigaciones de la comunidad de educadores

matemticos. Bsicamente, porque se vincula con la promocin de aspectos relacionados

con la transferencia de conocimientos matemticos en diferentes mbitos dentro y fuera

de la escuela. Por ejemplo, Goffree (2000), considera que la modelacin matemtica es

fundamental en el desarrollo de competencias y habilidades matemticas de los estudiantes,

en particular aquellas que se relacionan con saber estructurar el contexto, matematizar,

reinterpretar los resultados obtenidos de dicha matematizacin, revisar el modelo y tambin

modificarlo.

Sin embargo existen otras visiones. Entre ellas, se pueden citar los estudios realizados por

Biembengut y Hein (2004) quienes indican que la modelacin matemtica es un mtodo de

enseanza, puesto que permite aprender las matemticas aplicadas a otras ciencias y puede

mejorar la capacidad de los estudiantes para interpretar, formular y solucionar situaciones

problemas, as como tambin favorecer la conexin entre las matemticas y el mundo real.

Por su parte, Bosch, Garca, Gascn e Higuera (2006) en el marco de la Teora

Antropolgica de lo Didctico (TAD) plantean que la modelacin matemtica puede

estudiarse desde dos enfoques diferentes aunque no necesariamente independientes.

Estos autores indican que la modelacin matemtica es una herramienta a travs del cual

los estudiantes pueden aprender nociones matemticas, pero al mismo tiempo proponen

concebirla como una nocin matemtica que debe hacerse explicita en el aula.

De esta manera, se pone de manifiesto una amplia variedad de matices, usos y significados

del proceso matemtico de modelacin que se tornan particulares dependiendo de los

objetivos que se quieran alcanzar. As pues, para introducir la modelacin matemtica en el

mbito escolar existen diferentes perspectivas, algunas de ellas complementarias entre si y

otras sustancialmente diferenciables.

5

No obstante, e independientemente del marco de fundamentacin conceptual que se adopte,

los intereses alrededor de la modelacin matemtica confieren gran importancia a la

identificacin de fenmenos susceptibles de ser modelados mediante objetos matemticos y

que permitan estudiar dichos objetos. (Trivio, 2011).

En nuestra investigacin el objeto de inters a la luz de la EMR son los modelos

cuadrticos, en particular los que tienen un acercamiento hacia lo funcional (la funcin

cuadrtica), porque a travs de ellos se puede estudiar el proceso de modelacin, gracias a

que el concepto mismo se valid, inicialmente a travs de un referente emprico, el cual

poco a poco fue sometido a un sistema racional, hasta llegar a adquirir un estatus

matemtico y el posterior desarrollo de nuevos conceptos (Mesa & Villa, 2007).

De manera particular, la investigacin desarrollada busc enfatizar en los fenmenos

asociados al estudio de la modelacin matemtica, con el objeto central de responder

cules son las caractersticas de los niveles de matematizacin que presenta un grupo de

estudiantes de los ltimos grados de educacin media, cuando resuelven tareas diseadas

desde la EMR, especficamente tareas que promueven el uso y la produccin de modelos

cuadrticos?

En este sentido, se realiz el diseo y gestin de tareas matemticas vinculadas al trabajo

con modelos cuadrticos, a partir de algunos elementos tericos y metodolgicos de la

EMR. Adems, se tuvieron en cuenta algunos aspectos referentes a los estudios

cualitativos, en particular, un estudio de caso descriptivo, el cual enriqueci ampliamente la

investigacin, puesto que ayudo a caracterizar, identificar y describir los diferentes niveles

de matematizacin presentes en el grupo de estudiantes, pertenecientes al programa de

formacin semilleros de matemticas de la Universidad del Valle sede Cali.

Frente a lo expuesto anteriormente, la presente investigacin espera que a partir de su

desarrollo, surjan nuevos elementos tericos y metodolgicos que fortalezcan y mejoren los

procesos de formacin profesional de los futuros docentes de matemticas al promover un

acercamiento a las herramientas conceptuales de la EMR, as como al estudio de las

implicaciones de estos elementos en el aula de clases.

Para tal fin, la organizacin del trabajo se ha estructurado de la siguiente manera:

En el primer captulo, se presentan los aspectos generales de la investigacin, donde se

6

discuten algunas problemticas centrales de investigacin en didctica de las matemticas,

asociadas al problema de inters y cmo a partir de estas cuestiones, emerge la

problemtica propuesta. Adems se hace la revisin de diferentes documentos, a partir de

los cuales se abordan las principales perspectivas de la modelacin matemtica a nivel

internacional, su importancia, aportes y visiones. Desde tal literatura se ubica la perspectiva

epistemolgica y particularmente, el enfoque terico de la Educacin Matemtica Realista

como sustento de la investigacin.

En el segundo captulo, se presenta el marco de referencia conceptual que incluye el

enfoque de la Educacin Matemtica Realista con sus principales referentes tericos y

metodolgicos, as como el referente matemtico asociado al proceso de modelacin

matemtica que se esta estudiando. En este sentido, se define qu se entiende por lo

cuadrtico y se delimita el concepto matemtico bajo una perspectiva funcional, donde se

deja explcito un primer acercamiento en relacin con la produccin y uso de modelos.

En el tercer captulo, se presenta el diseo metodolgico de la investigacin, el cual se

llev a cabo en consideracin con los elementos de un estudio de caso de tipo descriptivo,

gracias a que permite comprender procesos presentes en contextos singulares al tiempo que

posibilita la explicacin de nuevos fenmenos.

Dicho estudio se centra principalmente en las producciones de un grupo de estudiantes de

los ltimos grados de educacin media pertenecientes al programa de formacin

semilleros de matemticas de la Universidad del Valle.

Adicionalmente, se aborda la fundamentacin terica de las tareas, basado en un anlisis

fenomenolgico de lo cuadrtico, los requisitos de los contextos y la gestin docente.

Tambin se incluyen las tareas diseadas y un anlisis predictivo de las mismas, en el que

se anticipan los posibles resultados de los estudiantes en el desarrollo de cada una de las

tareas.

En el captulo cuatro, se exponen las producciones elaboradas por los grupos, su

interpretacin a la luz de la teora y la manera en que estas permiten evidenciar

caractersticas del proceso de modelacin en los participantes de la investigacin. Adems

se hace mencin sobre algunas conclusiones generales y se abren algunos interrogantes

para nuevas rutas de investigacin.

7

Captulo 1

ASPECTOS GENERALES DE LA

INVESTIGACIN

8

1.1. CONTEXTUALIZACIN Y FORMULACIN DEL PROBLEMA

En la actualidad existe un inters creciente por desarrollar propuestas curriculares y

estrategias metodolgicas que permita a los estudiantes una mejor comprensin de las

matemticas. Para alcanzar este propsito, algunos investigadores consideran que la

atencin de los educadores debe centrarse en los procesos propios de las matemticas (la

resolucin de problemas y la modelacin matemtica) y en la enseanza de unas

matemticas ms humanas, que sean menos formales pero, a partir de las cuales el

conocimiento matemtico cobre sentido para los estudiantes (Font, 2008). De acuerdo con

esta visin, el MEN (1998) plantea que es necesario vincular los contenidos matemticos

con experiencias cercanas a la realidad de los estudiantes, de tal forma que los

conocimientos matemticos sean presentados y enseados desde situaciones matemticas

concretas para que faciliten su manejo y apropiacin, al tiempo que promuevan el

desarrollo de ciertas competencias en el pensamiento matemtico.

As mismo, el MEN (2006) considera que en una situacin problema, la modelacin

matemtica juega un papel preponderante porque posibilita que los estudiantes construyan

sus propios modelos matemticos en diferentes niveles de complejidad, a travs de los

cuales, los estudiantes pueden hacer predicciones, obtener resultados y evaluar que tan

razonables son esos modelos respecto a las condiciones inciales.

En consecuencia, el proceso matemtico de la modelacin matemtica permite a los

estudiantes observar, reflexionar, discutir, experimentar, evaluar, aplicar y de esta manera,

construir los conocimientos matemticos en forma significativa (MEN, 1998),

consolidndose as, como una estrategia de enseanza de las matemticas que favorece en

los estudiantes el tratamiento y la resolucin de problemas, pero tambin un mejor

aprendizaje de las matemticas.

Sin embargo, son diversas las dificultades que se pueden presentar al introducir la

modelacin en las clases de matemticas, debido a la complejidad que exige la produccin

de un modelo, el tiempo de convivencia de los docentes y de los estudiantes ante unos

mtodos de enseanza tradicionalistas, y esto a su vez, puede interferir de manera

negativa si los docentes que la usan no tienen la suficiente formacin para hacerlo

(Biembengut & Hein, 2004; Trigueros, 2009).

9

Eso sin considerar que la bsqueda, el diseo y la aplicacin de situaciones que promuevan

la construccin de modelos que sean inventados o reinventados por los mismos estudiantes,

se relega como tarea a los desarrollistas curriculares, puesto que los docentes admiten no

tener suficiente claridad para escoger situaciones apropiadas, ni contextos significativos

para sus estudiantes (Bressan, s.f.)

De esta manera, se pone de manifiesto la existencia de algunas dificultades de los docentes

para comprender cules contextos o situaciones favorecen la matematizacin y produccin

de modelos por parte de los estudiantes; manifestndose as, una necesidad primordial por

capacitar a los docentes en el reconocimiento de contextos paradigmticos a travs de los

cuales se despierte el inters de los estudiantes y se promueva el establecimiento de puentes

para pasearse entre lo abstracto y lo concreto, facilitando diversas conexiones matemticas

con temticas de todas las ciencias y la realidad.

En particular, el trabajo con contextos que promuevan la produccin y usos de modelos

matemticos, es ms factible cuando el objeto matemtico central que interviene en la

situacin-problema, tambin se ha desarrollado y comprendido a partir de consideraciones

de la realidad fsica junto a un proceso constante de matematizacin.

Uno de estos objetos es la funcin cuadrtica, fuertemente reconocida dentro de la

disciplina matemtica por su papel en la modelacin de fenmenos fsicos (cinemtica,

gravitacin, fuerza elctrica) y fundamental en el estudio de las matemticas escolares,

gracias a su poder modelizador y a sus mltiples presentaciones que permiten un mejor

acercamiento con otras disciplinas cientficas (Luna & Bravo, s.f.).

Sin embargo, pese a ser un concepto central en el proceso de aprendizaje de las

matemticas, su comprensin sigue siendo un asunto problemtico para los estudiantes

(Lacasta & Pascual, 1998; Azcrate & Deulofeu, 1990) que no se sienten atrados por las

estrategias de enseanza tradicionales, basadas en la construccin de tablas de valores y

representaciones grficas, que en otras cosas pueden presentar muchas imprecisiones y en

ocasiones obstaculizar los procesos de transferencia y aplicacin del conocimiento a otros

campos (Arboleda & Meneses, 1996).

10

Por su parte, y en consideracin con lo anterior (Trigueros, 2009; Martnez, Da valle,

Zolkower & Bressan, 2002) indican que los estudiantes presentan dificultades para aplicar

sus conocimientos matemticos en la solucin de un problema, especficamente cuando

dichos conocimientos son aprendidos desde un contexto eminentemente matemtico. De

hecho, Martnez y et al (2002), sealan que incluso ante situaciones de su cotidianidad los

estudiantes tienden a reaccionar de un modo mecnico, como si se tratara de un problema

matemtico formal (donde el papel del contexto es insignificante para la comprensin y

resolucin matemtica del problema).

Ante estas problemticas, algunos investigadores consideran que los conocimientos

matemticos deben construirse a partir de situaciones reales, en el ejercicio de las prcticas

sociales, en contextos, etc., es decir, donde se utilizan (Arrieta, 2003) y en consecuencia,

plantean que la dificultad de los estudiantes en la comprensin de los conceptos, an frente

a este tipo de actividades contextualizadas, es producto de muy poco trabajo con contextos

preponderantes que los acerquen a la produccin y uso de modelos matemticos. (Bressan,

s.f.)

En el caso de lo cuadrtico el vnculo que se puede establecer con fenmenos fsicos del

mundo real, favorece que pueda trabajarse significativamente en las clases matemticas y

acercar a los estudiantes hacia una mejor conexin entre el mundo matemtico y el mundo

real, ayudando tambin a que se fortalezca la articulacin e integracin de la modelacin

matemtica en el aula.

Surge de esta manera, un inters de tipo didctico relacionado con la bsqueda, el diseo y

la aplicacin de algunas situaciones problemticas a partir de las cuales se puedan estudiar

los procesos de matematizacin de los estudiantes cuando trabajan en la construccin y uso

de modelos cuadrticos, principalmente aquellos que tienen cierta cercana a lo funcional,

dejando abierta la posibilidad de que emerjan expresiones algebraicas y representaciones

grficas como la parbola.

11

As, la presente investigacin problematiza el asunto de las limitaciones, alcances y

posibilidades de la Educacin Matemtica Realista en la implementacin de la modelacin

matemtica en el mbito escolar, con miras a aportar elementos que permita atender a las

debilidades que se han pronunciado y especialmente a las dificultades de los docentes, en

relacin con el reconocimiento de situaciones que sean significativas para los estudiantes y

que puedan usarse como insumo en la enseanza y aprendizaje de lo cuadrtico.

Con base a los elementos anteriormente descritos, la presente investigacin se centra en

responder a la siguiente pregunta:

Cules son las caractersticas de los procesos de matematizacin de los estudiantes de

educacin media (10 y 11) cuando se involucran en tareas diseadas desde el enfoque de

la Educacin Matemtica Realista en la dinmica del trabajo con modelos cuadrticos?

En este orden de ideas se plantean dos hiptesis de investigacin:

1. La dinmica de trabajo con contextos y modelos matemticos desde el Enfoque de la

Educacin Matemtica Realista podra contribuir a una mirada alternativa a la integracin

de la modelacin matemtica en las aulas matemticas.

2. El trabajo con modelos matemticos desde el Enfoque de la Educacin Matemtica

Realista podra contribuir a un aprendizaje significativo de conceptos y procesos

matemticos asociados a los modelos cuadrticos.

12

1.2. JUSTIFICACIN

Dentro de los aspectos que sustentan la importancia de profundizar en el problema

formulado, se reconoce en primer lugar, la necesidad de adelantar trabajos en un enfoque

como la EMR, con desarrollos recientes en nuestro mbito acadmico y que eventualmente

podran llegar a constituirse en estrategias potentes para el trabajo en Didctica de las

Matemticas. De paso podra promoverse la discusin sobre la formulacin o integracin

de propuestas curriculares que reconozcan la importancia de involucrar el trabajo con

contextos en las aulas de matemticas, a nivel de la educacin secundaria, habida cuenta de

que la mayora de las investigaciones se han planteado para la educacin primaria.

De otra parte, esta investigacin podra ayudar a dimensionar el impacto del diseo, gestin

y evaluacin de tareas matemticas desde la EMR y su correlato con la construccin de

conceptos matemticos.

Adems, la discusin alrededor de esta problemtica permite ofrecer posiciones

fundamentadas sobre el papel de los contextos realistas en la modelacin matemtica que

amplen el horizonte terico y metodolgico de las propuestas curriculares para el rea de

matemticas. Ms an, aporta a la reivindicacin a nivel de las prcticas de docentes del

proceso mismo de la modelacin matemtica, que si bien aparece justificado en nuestras

propuestas curriculares, no se traduce necesariamente en estrategias de trabajo en las aulas.

Al respecto debe recordarse que el MEN (1998) plantea que:

La modelacin es un proceso muy importante en el aprendizaje de las matemticas que

permite a los estudiantes observar, reflexionar, discutir, explicar, predecir, revisar y de

esta manera construir conceptos matemticos en forma significativa. En consecuencia se

considera que todos los estudiantes necesitan experimentar procesos de matematizacin

que conduzcan al descubrimiento, creacin y utilizacin de modelos en todos los niveles

(p. 101)

Consideraciones a partir de las cuales se infiere que para el MEN (1998) la modelacin

matemtica o matematizacin es un eje central en la organizacin de los procesos de

aprendizaje de los contenidos matemticos y en el desarrollo del pensamiento matemtico.

13

No obstante, debe considerarse como sealan Villa y Ruiz (2009) que pese a este tipo de

disposiciones educativas, las prcticas en el aula de matemticas presentan una brecha

creciente en relacin con las primeras, en gran parte producto de la poca comprensin de

los elementos tericos que se discuten en esas disposiciones.

Sin embargo, bajo una mirada ms amplia, se pueden citar pases como Puerto Rico, el cual

a travs de los CRAIM (centros regionales de adiestramiento en instruccin matemtica) y

siguiendo los diseos de la EMR, ha desarrollado una amplia gama de materiales didcticos

y de evaluacin, con el fin de desarrollar un currculo contextual e integrado para la escuela

primaria, obteniendo resultados que han servido para re-direccionar el diseo de las

actividades de los libros de texto, as como las unidades de evaluacin para los estudiantes.

(Lpez & Velzquez, 2006)

Por otra parte, la discusin en torno a los niveles de matematizacin, pone de manifiesto

que la integracin de la modelacin matemtica en el saln de clases promueve la

aplicacin de las matemticas para solucionar diferentes problemas de la cotidianidad de

los estudiantes, generando una mejor comprensin del mundo en que viven, facilitando el

aprendizaje de la disciplina y la motivacin por seguir aprendiendo (Maab & Mischo, 2011)

As, desde un punto de vista educativo, la modelacin matemtica introduce una

presentacin ms humana de la actividad matemtica, que comparada con la postura

tradicionalista de situar la matemtica como un conjunto perfecto de conceptos y

procedimientos, resulta ser menos atractiva para los estudiantes, los cuales generalmente

suelen inclinarse por unos conocimientos matemticos significativos, lo cual implica que,

pueden aplicarlos para modelar y resolver problemas reales de su cotidianidad y de otras

disciplinas cientficas (Trigueros, 2009).

Adems, en lo que concierne al aprendizaje de las matemticas a travs de la modelacin

matemtica se plantea que este proceso matemtico facilita en los estudiantes la

construccin de nuevos conocimientos y habilidades durante el proceso de aplicacin y

socializacin de conocimientos previos (Biembengut & Hein, 2004).

14

Por ejemplo, en esta misma lnea de argumentacin, Godino (2010) encontr que dentro de

los problemas propuestos en el saln de clases, aquellas situaciones problemticas dentro

de un contexto real, proporcionan en principio, la base intuitiva en la que descansa la

construccin de nuevos conceptos y nociones matemticas.

De este modo, se pone de manifiesto la importancia de la modelacin matemtica en el

mbito escolar, as como el uso de contextos realistas para la enseanza y aprendizaje de las

matemticas en el marco de la EMR.

Una mirada a las propuestas curriculares en el contexto nacional permite reconocer una

conexin entre la caracterizacin de los contextos realistas desde la EMR y la manera en

que las primeras caracterizan el contexto en el aprendizaje de las matemticas. Para el

MEN (1998) el contexto se entiende como todo lo concerniente al entorno del estudiante y

que le da sentido a la matemtica que aprende. Sin embargo, el tratamiento matemtico de

los contenidos de la disciplina en el currculo nacional y la presentacin de las situaciones

problema pocas veces refleja la naturaleza y los aspectos fenomenolgicos del concepto

implicado (Villa & Ruiz, 2009). Debe reiterarse que estos son considerados como

elementos indispensables que favorecen los procesos de aprendizaje, puesto que ayudan a

cerrar la brecha entre el concepto y los fenmenos inciales donde surgi y se desarroll el

concepto (Puig, 1997). Pero, Cules conceptos o nociones matemticas son apropiados

para ilustrar los procesos de modelacin en su construccin?

Un recorrido histrico y epistemolgico en busca de la construccin y evolucin de

conceptos matemticos abordados alrededor del siglo XVII dejan entrever la presencia de

un vnculo estrecho entre las matemticas y los aspectos fenomenolgicos que dan origen a

esos objetos, de tal manera que la matemtica traduce la naturaleza y sta a su vez obedece

las leyes de la matemtica. A modo de ejemplo, el concepto de funcin que emerge

precisamente a partir de las indagaciones alrededor de la variacin y las dependencias entre

magnitudes como el tiempo y el espacio recorrido. Especficamente, los trabajos de Galileo

con situaciones de variacin cuadrtica ponen de manifiesto un proceso de modelacin

contina en la construccin de modelos cuadrticos, que emergen de un vnculo entre la

matemtica y el entorno fsico (Mesa & Villa, 2011).

15

En concordancia con estas ideas, la justificacin de la presente propuesta remite al

reconocimiento de que los modelos cuadrticos han estado ligados a la modelacin de

procesos de variacin y que su presencia permanente en el entorno cotidiano posibilita en

los estudiantes una mejor exploracin de los fenmenos que se pueden modelar mediante

un modelo cuadrtico, permitiendo que ellos establezcan algunas relaciones cuadrticas de

tales fenmenos. (Mesa & Villa, 2011)

1.3. OBJETIVOS

GENERAL

Caracterizar el proceso de modelacin matemtica desde los principios tericos y

metodolgicos de la Educacin Matemtica Realista, en un grupo de estudiantes de

educacin media cuando se involucran en el trabajo con modelos cuadrticos.

ESPECIFICOS

o Identificar elementos tericos y metodolgicos desde el enfoque de la Educacin

Matemtica Realista para disear tareas relativas a la modelacin matemtica.

o Disear y gestionar en el aula tareas desde el Enfoque de la Educacin Matemtica

Realista para el trabajo con modelos cuadrticos en educacin media.

o Identificar y caracterizar los niveles de matematizacin horizontal y vertical que se

configuran en los estudiantes durante el trabajo con las tareas diseadas.

16

1.4. ESTADO DEL ARTE DE LA MODELACIN MATEMTICA

En los ltimos aos, diversas investigaciones realizadas en Didctica de las Matemticas

han mostrado un inters creciente por estudiar la modelacin matemtica (Biembengut &

Hein, s.f.; Bassanezi & Biembengut, 1997; Blomhoj, 2004; Godino 2010, Trigueros, 2009).

Debido a este inters y como consecuencia de las concepciones e interpretaciones de

diversos investigadores, aparecieron significados diferentes a lo que inicialmente se

conoca como modelacin matemtica y que se entenda en el marco de las aplicaciones de

la matemtica. As pues, tal como indica Trigueros (2009) la modelacin matemtica ha

pasado de ser slo un dominio de quienes se dedican a las matemticas aplicadas a un rea

de inters para la educacin matemtica (p.77) y en consecuencia, ha ido adquiriendo un

reconocimiento fundamental en la enseanza misma de las matemticas, como una va que

permite contextualizar los conocimientos matemticos.

En consecuencia, es posible hablar de modelacin matemtica en el mbito escolar, aunque

con diferentes visiones y perspectivas segn la didctica y los objetivos que se persigan.

(Villa & Ruiz, 2009; Trigueros, 2009)

DIFERENTES PERSPECTIVAS DE LA MODELACIN MATEMTICA

En la actualidad existen diversas maneras de aproximarse a este proceso matemtico en la

escuela. Las dos perspectivas ms resonantes se refieren, por un lado, a la modelacin

matemtica como una herramienta curricular que debe hacerse explicita en la escuela, con

un programa a seguir, en un tiempo determinado, con un tema nico y una intencin

didctica definida, ubicando la modelacin como un objeto de enseanza.

De otra parte, hay quienes consideran que la modelacin matemtica, debe pensarse como

una herramienta didctica que promueve la construccin de conceptos matemticos, en

tanto que, los dota de sentido y posibilita la aplicacin de las matemticas en diferentes

contextos dentro y fuera de la disciplina, pensando la modelacin como una herramienta de

aprendizaje.

Estas posturas sern ampliadas y clasificadas en los siguientes prrafos. De hecho, un gran

nmero de investigadores han concentrado su atencin en la elaboracin de diversas

perspectivas de lo que podra significar la modelacin matemtica, tanto en la aplicacin de

la modelacin en el aula, como en las investigaciones para su uso.

17

Entre las investigaciones ms elaboradas y fundamentadas en este asunto se encuentran los

trabajos de Kaiser y Sriraman (2006); Kaiser y Schwarz (2010) donde se recogen diferentes

perspectivas en el mbito internacional, enfatizando no slo los fines que cada una de ellas

persigue, sino tambin los antecedentes que les han dado origen.

A continuacin se presenta un esquema de Kaiser y Sriraman (2006) destacando las siete

principales perspectivas que describen las tendencias actuales de investigacin, sin que ello

implique la consideracin de otras perspectivas que han ido apareciendo y que no haban

sido consideradas en esta clasificacin (ver tabla1):

18

Tabla 1. Clasificacin de las perspectivas sobre modelacin matemtica (versin

traducida del original, Kaiser & Sriraman, 2006. p.304)

Nombre de la perspectiva Propsito central Relacin con

perspectivas previas Antecedentes

Realstica o modelacin

aplicada

Objetivos pragmticos utilitaristas,

por ejemplo, resolver problemas del

mundo real, comprender el mundo

real, la promocin de competencias

de modelacin.

Perspectiva

pragmtica de

Pollak

Pragmatismo

anglo sajn y matemticas

aplicadas

Modelacin contextual

Objetivos relacionados con

contenidos temticos y objetivos

psicolgicos, por ejemplo, resolver

problemas verbales

Aproximaciones al

procesamiento de la

informacin

dirigidos a la

aproximacin a los

sistemas

Debate sobre la

resolucin de

problemas en

Norteamrica as

como tambin

prcticas escolares

cotidianas y

experimentos de

laboratorio de

carcter

psicolgico

Modelacin educativa.

Diferenciada en:

a) Modelacin didctica y

b) Modelacin conceptual

Objetivos pedaggicos y objetivos

relacionados con contenidos

temticos:

a) Estructuracin del proceso de

aprendizaje y su promocin.

b) Introduccin y desarrollo de

conceptos

Perspectivas

integradoras (Blum,

Niss) y desarrollos

adicionales de la

aproximacin

cientfica humanista.

Teoras didcticas

y teoras del

aprendizaje

Modelacin socio crtica Objetivos pedaggicos tales como la

comprensin crtica del mundo que

nos rodea

Perspectiva

emancipadora Aproximaciones

socio crticas en

sociologa poltica

Modelacin

epistemolgica o terica

Teora orientada a objetivos, por

ejemplo, la promocin del desarrollo

terico

Perspectiva

cientfica humanista

del temprano Freudenthal

Epistemologa

romana

Modelacin cognitiva Objetivos de investigacin

a) Anlisis de procesos cognitivos

que toman lugar durante los procesos

de modelacin y comprensin de esos

procesos cognitivos.

Objetivos psicolgicos

b) Promocin de procesos de

pensamiento matemtico a travs del

uso de modelos como imgenes

mentales o an como

representaciones fsicas o por el

nfasis en la modelacin como

proceso mental tal como la

abstraccin o la generalizacin.

Psicologa

cognitiva

19

De la clasificacin anterior, Crdoba (2011) citando a Kaiser y Schwarz (2010) indica que

es posible distinguir dos enfoques centrados en la matemtica escolar (los cuales fueron

mencionados al inicio de este apartado). El primero que considera la modelacin

matemtica como un contenido a ensear, el cual apunta al desarrollo de competencias para

solucionar problemas del mundo real y el segundo, que concibe la modelacin como una

estrategia que motiva el proceso de aprendizaje y brinda bases para el desarrollo de un

contenido matemtico particular.

A continuacin se hace un recorrido por cada una de las siete perspectivas, tomando como

referencia los aportes de Blomhoj (2009), ya que mantiene la misma clasificacin de Kaiser

y Sriraman (2006), pero enriquece este trabajo con la adicin de ejemplos concretos,

algunas cuestiones que se investigan y el papel del ciclo de modelacin, para cada una de

las perspectivas enunciadas.

PERSPECTIVA REALISTA

Para la perspectiva realista o aplicada de la modelacin, hay una tendencia hacia lo

pragmtico-utilitario en lo cual, lo importante es la solucin de problemas aplicados con un

fuerte nfasis en situaciones del mundo real. En esta perspectiva es fundamental que los

estudiantes trabajen con la modelacin de situaciones autenticas o del mundo real, ya que a

partir de estas, se apoya el desarrollo de competencias asociadas a la produccin y uso de

modelos que sean relevantes para la formacin profesional de los estudiantes. (Kaiser &

Sriraman, 2006).

El proceso de modelacin debe ser evaluado a travs de la validacin de datos reales y en

consecuencia, es necesario estudiar con profundidad la modelacin en diferentes

profesiones y reas de aplicacin que den lugar a la construccin de modelos matemticos.

(Blomhoj, 2009). En consecuencia, los contextos tomados del mundo real deben ser

comprensibles para los estudiantes y la modelacin como tal debera estar en el horizonte

para ellos. En esta perspectiva se puede ubicar el enfoque de la conceptualizacin

desarrollado por Biembengut y Hein (2004) quienes entienden la modelacin como un

proceso que tiene como objeto la obtencin de un modelo matemtico de un fenmeno o

una situacin problema.

20

Segn, Biembengut y Hein (2004) ese proceso de trasformacin requiere de una serie de

sub-procesos: eleccin del tema a modelar, reconocimiento de la situacin problema,

delimitacin del problema, familiarizacin con el tema que va ser modelado, referencial

terico, formulacin del problema e hiptesis, formulacin de un problema matemtico y

desarrollo, resolucin del problema, partir del modelo y aplicacin, interpretacin de la

solucin y validacin del modelo.

En otras palabras, la modelacin es el proceso que permite transformar una situacin del

mundo real, a travs de abstracciones y simplificaciones que se concretizan en la obtencin

de un modelo, el cual ser validado y reinterpretado en la situacin real que le dio origen.

(Crdoba, 2011).

PERSPECTIVA CONTEXTUAL

La perspectiva contextual defiende la importancia del contexto no slo en la formulacin,

sino tambin en la solucin de un problema de modelacin. Esta perspectiva de

investigacin se centra en desarrollar y probar los diseos para la modelacin, definida

como una actividad de solucin de problemas que son guiados, segn Lesh y Doerr (2003)

por seis principios:

1) Principio de realidad: la situacin debe ser significativa para los estudiantes y

relacionarse con sus experiencias anteriores.

2) Principio de construccin del modelo: la situacin debe crear la necesidad de que los

estudiantes desarrollen importantes construcciones matemticas.

3) Principio de auto-evaluacin: la situacin debe permitir a los estudiantes evaluar sus

propios modelos.

4) Principio de documentacin: la situacin y el contexto requieren que los estudiantes

expresen sus ideas acerca de la solucin del problema.

5) Principio de generalizacin de construccin: debe ser posible generalizar el modelo

como solucin a otras situaciones similares.

6) Principio de simplicidad: la situacin problema debe ser simple.

21

Entonces, el objetivo central de esta perspectiva es el diseo didctico de actividades que

apoyen el proceso de aprendizaje de los estudiantes mediante la modelacin matemtica,

entendida como un tipo particular de solucin de la situacin-problema.

Por esta razn, es especialmente til dentro de esta perspectiva, considerar los aspectos

psicolgicos asociados a la resolucin de problemas, los cuales actan como base para

comprender las dificultades de aprendizaje relacionadas con la modelacin matemtica y la

enseanza de modelos matemticos (Blomhoj, 2009).

PERSPECTIVA EDUCATIVA

Relacionada con la perspectiva anterior se encuentra la perspectiva educativa, centrada en

los procesos de aprendizaje y por tanto, en la promocin de la formacin de conceptos

matemticos. Desde esta perspectiva, la modelacin matemtica puede ser tratada como un

medio para el aprendizaje de las matemticas o como una meta educativa.

Al respecto, Blomhoj (2009) citando el documento de Hofe y et al. (TSG21) plantea que

la modelacin matemtica es vista como un medio para desafiar y desarrollar la

comprensin matemtica de los estudiantes, pero tambin es concebida como un objetivo

educativo en s mismo. En dicho documento inicialmente se presentan una serie de

conclusiones relativas al desarrollo de competencias adquiridas durante el trabajo de

modelacin y adems, los datos son utilizados para localizar debilidades en los procesos de

comprensin matemtica de los estudiantes, con la intencin de formar una base para el

diseo de materiales didcticos que ayuden a superar dificultades de aprendizaje

identificadas en el futuro. Estos autores tambin afirman que es en los procesos de

matematizacin e interpretacin que los estudiantes revelan sus creencias matemticas. En

la siguiente figura ilustra la conexin entre las creencias matemticas de los estudiantes y

su desempeo en las tareas de modelacin. (Ver figura1)

22

Figura 1. Proceso de modelacin desde una perspectiva educativa (Versin traducida

del original, Blomhoj, 2009, p.12).

En esta perspectiva las nociones bsicas asociadas a la modelacin; modelo, modelacin,

ciclo de modelacin, aplicaciones y competencias de la modelacin, as como el significado

de estas nociones en relacin con la enseanza de las matemticas, constituyen un elemento

central para estructurar el aprendizaje de las matemticas. (Blomhoj, 2009)

PERSPECTIVA SOCIO-CRITICA

La perspectiva socio-critica, tiene relacin con las dimensiones socioculturales de las

matemticas, centrndose particularmente en el papel que estas desempean dentro del

funcionamiento y formacin de la sociedad. En este sentido, esta perspectiva se enfatiza en

la necesidad de apoyar el pensamiento crtico alrededor del rol de las matemticas en la

sociedad, el rol y la naturaleza de los modelos matemticos y la funcin de la modelacin

matemtica en la sociedad. (Kaiser & Sriraman, 2006). La filosofa socio-critica sostiene

que el uso de la modelacin matemtica (en la sociedad) puede crear una motivacin

importante para el aprendizaje de las matemticas, pero tambin llevarlos a reflexionar

crticamente sobre problemas sociales.

23

Esto implica que en las prcticas de enseanza, los estudiantes trabajen con la modelacin

de situaciones que tienen un carcter real, pero que se relacionan con problemas de tipo

social, cultural o del medio ambiente.

Segn Crdoba (2011), en esta lnea de trabajo se pueden ubicar los trabajos de

DAmbrosio (1999), Barbosa (2006) y Araujo (2009). Adems, citando a Kaiser y Sriraman

(2006) seala que el discurso de tipo matemtico, tecnolgico y reflexivo representa un

papel crucial en el desarrollo del pensamiento crtico de los estudiantes y se constituye en

un aspecto fundamental en la enseanza de esta perspectiva.

PERSPECTIVA COGNITIVA

La perspectiva cognitiva tiene como principal objetivo analizar los procesos cognitivos

involucrados en la modelacin matemtica. En este sentido, dentro de esta perspectiva se

persigue entre otros aspectos, la reconstruccin de las rutas de modelacin individuales de

cada uno de los estudiantes y la identificacin de las barreras y dificultades de estos,

durante la actividad de modelacin. (Kaiser & Sriraman, 2006).

En esta perspectiva se puede ubicar el trabajo de Borromeo (2010). En dicho artculo, la

atencin se centra en la reconstruccin de rutas de aprendizaje y en la influencia que tienen

los estilos de pensamiento matemtico de los estudiantes en los procesos de modelacin.

Adems, plantea un ciclo de modelacin particular que tiene un importante papel como

instrumento para analizar las tareas y estudiar individualmente los procesos de modelacin

(ver figura 2.)

24

Figura 2. Ciclo de modelacin desde una perspectiva cognitiva (versin traducida del

original, Borromeo, 2010, p. 7)

La importancia de este ciclo reside en que es suficientemente detallado y por lo tanto puede

utilizarse como un instrumento adecuado para el anlisis de los procesos cognitivos. As

pues, adems de estructurar el proceso de modelacin, este ciclo tiene como fin identificar

las habilidades cognitivas necesarias para modelar una situacin dada (Blomhoj, 2009).

PERSPECTIVA EPISTEMOLGICA

En esta lnea de investigacin se puede ubicar el enfoque de la Teora Antropolgica de lo

Didctico (TAD), la aproximacin a las praxeologas de Chevallard y el contracto didctico

de Brousseau. A diferencia de la perspectiva realista, la perspectiva epistemolgica le da

menos importancia al trabajo con situaciones propias del mundo real.

25

En la TAD por ejemplo, cualquier actividad humana es susceptible de ser modelada

mediante praxeologas1 y en consecuencia la modelacin no se ve limitada a cuestiones

extra-matemticas (Kaiser & Sriraman, 2006).

Lo mismo ocurre con el enfoque de la Educacin Matemtica Realista (EMR) que tambin

se inscribe en esta perspectiva, debido a la tradicin adquirida por la perspectiva cientfico-

humanista2 principalmente determinada por los aportes de Freudenthal (1973) y

continuados por Treffers (1987).

Dentro de los trabajos que se aproximan a esta perspectiva se puede encontrar el artculo de

Andresen (TSG21) en el que se presenta y discute un modelo (en un sentido diferente) para

la enseanza de la modelacin matemtica que se basa en la combinacin de cuatro niveles

de actividad matemtica desarrollados en la EMR (niveles de comprensin). El modelo de

enseanza se ilustra con una serie de preguntas, que se refieren a tareas matemticas

especficas, destinadas a impulsar la reflexin de los estudiantes en cada uno de los cuatro

niveles (Blomhoj, 2009).

Finalmente, uno de los objetivos que persigue esta perspectiva, es lograr que los contenidos

fundamentales de la matemtica puedan ser re-inventados en el trabajo con la modelacin

de fenmenos reales, sin perder aspectos importantes de la epistemologa de los conceptos.

Aspectos que son ampliamente acogidos por la EMR (ver capitulo 2).

Este recorrido a travs de las diferentes perspectivas de la modelacin matemtica en la

enseanza y aprendizaje de las matemticas, permite identificar diferentes acepciones del

trmino, que si bien en algunos casos tienen elementos en comn, en otros muestran

diferencias importantes. Lo cual implica, entre otras cosas, la dificultad conceptual y de

implementacin de la modelacin en la enseanza de las matemticas (Crdoba, 2011).

1Todo sujeto al enfrentarse a una serie de problemas y situaciones en su vida diaria se ve obligado a recurrir a

tcnicas para resolverlos (praxis) as como a un conjunto de conocimientos (logos) que describen, explican y

justifican las tcnicas que se utilizan (praxeologas) (Bosch et al 2006).

2 En esta perspectiva se entenda la matemtica como una ciencia con ideales humanistas para la educacin.

Se centra en las habilidades de los estudiantes para establecer relaciones entre las matemticas y la realidad.

(Kaiser & Sriraman, 2006)

26

En conclusin, la exposicin de estas perspectivas tiene como finalidad, no solo ampliar la

comprensin alrededor de la modelacin en la enseanza y aprendizaje de las matemticas,

mediante el reconocimiento de similitudes y diferencias, sino tambin ir delimitando

gradualmente el enfoque terico que sirve de base a esta investigacin: La Educacin

Matemtica Realista (presentada en el capitulo 2) que ha sido reconocida, segn los

planteamientos anteriores, como una teora inscrita dentro de la perspectiva epistemolgica

para abordar el estudio de la modelacin en la matemtica escolar.

27

Captulo 2

MARCO DE REFERENCIA CONCEPTUAL

28

2.1. LOS INICIOS DE LA EDUCACIN MATEMTICA REALISTA

La presente investigacin relativa al proceso de modelacin matemtica, toma como

referencia las principales aportaciones tericas de la Educacin Matemtica Realista (EMR)

Los inicios de la EMR tiene sus races alrededor de los aos 70, perodo en el cual se hizo

ostensible la necesidad de revertir las situaciones de enseanza orientadas hacia la

matemtica moderna3, la cual haba ayudado a producir incontables fracasos de aprendizaje

en los estudiantes, gran perdida de la intuicin y perdida de comprensin sobre lo que se

haca. Al respecto, Santamara (2006) seala que alrededor de los aos ochenta se

reconoci la necesidad de recuperar la intuicin, la manipulacin operativa del espacio, y

de los mismos smbolos que se haban perdido en la incorporacin de la matemtica

moderna al currculo y, la cual gener que la matemtica se alejar an ms de la realidad

de los escolares.

En este proceso de construccin de un nuevo proyecto curricular para la enseanza

elemental de las matemticas, nace en Holanda un proyecto de reforma llamado Wiskobas

liderado por Freudenthal y sus colegas del antiguo IOWO (Instituto para el desarrollo de la

Educacin Matemtica) en el que se desarrollaron investigaciones alrededor de la

caracterizacin de las matemticas, su aprendizaje y su enseanza.

En la consolidacin de dicho proyecto fueron transcendentales las ideas de Freudenthal

acerca de su conocimiento profundo sobre las matemticas, su inters por la enseanza y

las experiencias recogidas de la prctica en el aula. A ttulo de ejemplo, Freudenthal

sostena que las matemticas son en esencia una actividad humana cuya finalidad es

organizar (matematizar) el mundo que nos rodea incluyendo la propia matemtica. En este

sentido, uno de los intereses de la EMR es que la matemtica este conectada a la realidad de

los estudiantes, a sus experiencias y adems, que sean pertinentes dentro de la sociedad

para rescatar as, su valor humano (Panhuizen, 2003).

3 En este trabajo la matemtica moderna se entiende como el movimiento de enseanza que incluy el

enfoque conjuntista-estructuralista en la educacin escolar.

29

Esta y otras ideas acogidas en el citado proyecto culminaron en la creacin y diseo del

actual enfoque de la EMR, como una teora especifica de instruccin de la educacin

matemtica, con continuos ajustes a nivel global y local, pero a partir de la cual se han

desarrollado numerosas investigaciones. (Goffree, 2000).

2.2. EL ENFOQUE DE LA EDUCACIN MATEMTICA REALISTA (EMR)

La EMR busca al igual que la gran mayora de teoras en Educacin Matemtica, favorecer

a los estudiantes en el desarrollo de herramientas matemticas y comprensin de conceptos

para resolver problemas. De esta manera, el actual enfoque de la EMR no se limita

nicamente a ensear conceptos matemticos, sino tambin a resolver problemas

enseando a construir modelos por medio de la matematizacin progresiva.

Segn, Panhuizen (2003) ambos procesos de aprendizaje son necesarios y se apoyan

mutuamente, pero es un error trabajar slo en la actitud de construccin de modelos, ya que

esto no es suficiente para que los estudiantes comprendan los contenidos matemticos.

De otra parte, la idea central que distingue este enfoque de muchos otros es que en la EMR

se trata de superar la dicotoma entre los conocimientos formales de la matemtica y los

conocimientos informales de los estudiantes, mediante el uso de una trayectoria de

aprendizaje que ayude a los estudiantes a reinventar las matemticas formales, apoyndose

para ello, en el uso de contextos o situaciones cercanas a la realidad que promuevan

procesos de matematizacin progresiva.

Esta aproximacin al uso de contextos y modelos pone especial atencin al proceso de

modelacin matemtica, sus dos formas de manifestacin y los posibles niveles de

comprensin que es posible distinguir y que tipifican el proceso de aprendizaje.

Con base a estas consideraciones, algunas investigaciones (Panhuizen, 2003) en EMR se

han limitado a responder cmo pueden los estudiantes desempear un papel activo en el

desarrollo de modelos, cmo evolucionan los modelos durante el proceso de enseanza-

aprendizaje y cmo los modelos promueven y apoyan la elevacin de nivel, entre otros.

30

Adems, en relacin con los intereses de esta investigacin, el GPDM (Grupo Patagnico

de Didctica de las Matemticas) y los CRAIM (Centro Regionales de Adiestramiento en

Instruccin Matemtica) han dedicado gran parte de sus investigaciones a analizar los

niveles de matematizacin en las clases, aportando significativamente a la comprensin de

la modelacin matemtica y la manera en que esta se puede generar en los estudiantes. Ms

an, dichas investigaciones han permitido consolidar algunas ideas generales sobre los

fenmenos asociados a la enseanza y aprendizaje de las matemticas, las cuales se ilustran

en el siguiente apartado.

2.3. CONCEPCIONES SOBRE LA ENSEANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS

MATEMTICAS EN LA EMR

Las ideas de Freudenthal acerca del aprendizaje de las matemticas trascendieron en la

construccin terica de la EMR y, en la actualidad este enfoque sostiene (al igual que lo

hacia Freudenthal) la existencia de una discontinuidad en el proceso de aprendizaje de las

matemticas, es decir que es ineludible la presencia de saltos repentinos en el proceso de

reinvencin, los cuales se reflejan en el uso de modelos de distintos niveles de

formalizacin.

Adems, para la EMR el aprendizaje de las matemticas debe partir de estructuras

complejas y ricas del mundo real para que gradualmente emerjan estructuras ms generales,

abstractas y formales de la matemtica. (Bressan, Zolkower & Gallego, 2004). En

consecuencia, los puntos de partida del proceso de aprendizaje deben partir de situaciones

cercanas a la realidad de los aprendices; situaciones que demanden ser organizadas a travs

de categoras que no estn predefinidas, sino que se desarrollan por los mismos estudiantes.

De esta manera, los estudiantes dotan de sentido y significado los objetos matemticos,

llegando a constituirlos en autenticas herramientas para matematizar diferentes situaciones

de su cotidianidad.

Con base a las ideas de Freudenthal, la EMR considera fundamental que los estudiantes

aprendan a travs del proceso de construccin de las estructuras matemticas y no de estas

ltimas como objetos acabados. En este sentido, la matemtica es vista como una actividad

de resolver y buscar problemas, a travs de los cuales, se posibilita la organizacin de la

disciplina, bien sea por medio de la realidad o de la matemtica misma.

31

As pues, la EMR insiste en que es necesario que los estudiantes aprendan a abordar la

matemtica por medio de situaciones-problemticas que generen la necesidad de utilizar

herramientas matemticas para su organizacin y solucin. (Bressan, Zolkower & Gallego,

2004).

En particular la EMR invita a cambiar la visin del estudiante pasivo, receptor de una

matemtica prefabricada, por la de un estudiante activo, reflexivo y crtico, que participe de

la creacin de modelos matemticos propios, a travs de la utilizacin de mtodos

informales, estrategias intuitivas o herramientas matemticas como elementos que

posibilitan la organizacin de diferentes situaciones-problema prximas a su realidad.

Por otra parte, la EMR considera fundamental que durante la matematizacin progresiva el

docente se convierta en un gua y promotor de los procesos de interaccin en el aula, ya sea

generando espacios de reflexin, que pueden efectuarse a travs de preguntas o sugerencias,

o bien, ocupando un lugar protagnico mediador entre las situaciones problemticas y los

estudiantes; entre las producciones de los estudiantes y las herramientas formales, ya

institucionalizadas por la disciplina. (Bressan & Gallego, 2011).

En general, para la EMR las actividades implementadas deben ser guiadas por un docente

con la capacidad de anticipar, organizar didcticamente y facilitar las trayectorias de

aprendizaje de sus estudiantes. Esto implica que el docente, debe prever las producciones

de sus estudiantes, utilizarlas para mejorar sus habilidades matemticas y procurar que su

clase funcione como una unidad, organizada en grupos heterogneos para que emerjan

diversas soluciones desde diferentes niveles de formalizacin, sin que esto justifique una

clasificacin de los estudiantes, pues lo que se piensa dentro de este enfoque es que los

estudiantes sigan sus propias trayectorias de aprendizaje.

En sntesis la enseanza de las matemticas en la EMR toma la forma de reinvencin

guiada, es decir un proceso en el que los estudiantes reinventan las matemticas mediante

la organizacin de situaciones-problema en interaccin con sus pares y bajo la gua del

docente, mientras el aprendizaje es concebido como un proceso discontinuo de

matematizacin progresiva que involucra distintos niveles y en el que los contextos y

modelos ocupan un lugar central como puente para favorecer el paso de un nivel a otro ms

avanzado.

32

2.4. PRINCIPIOS DE LA EDUCACIN MATEMTICA REALISTA

La EMR es una teora en construccin sujeta a un constante proceso de renovacin acerca

del qu y el cmo de la educacin matemtica. Dicha teora se concretiza en un conjunto de

teoras locales de enseanza de tpicos de la matemtica, las cuales descansan sobre unos

principios bsicos. Algunos de estos principios tienen relacin con la idea de que saber

matemticas es hacer matemticas, lo cual comporta, entre otros aspectos, usar la

realidad como punto de partida para la matematizacin progresiva y dar la oportunidad de

que los estudiantes reinventen los conceptos matemticos. Otro principio es que hay que

entrelazar los ejes de contenido de aprendizaje de las matemticas.

Goffree (2000) propone una clasificacin de estos principios que pone de relieve las

relaciones inherentes entre la enseanza y el aprendizaje de las matemticas (ver tabla 2).

33

APRENDIZAJE ENSEANZA

Construccin Bases concretas para la orientacin El aprendizaje de las matemticas es una

actividad constructivista.

Esto contradice la idea de que los estudiantes

simplemente absorben el conocimiento

matemtico que se les presenta y ubica a los

mismos como participantes activos en el proceso

educativo.

Hacer de las matemticas algo concreto, lo cual

no significa nicamente materializable, sino

tambin algo que los estudiantes puedan

imaginar fcilmente y para ello se deben crear contextos reconocibles a los cuales los

estudiantes puedan asignar sus propios

significados.

Subiendo el nivel Modelos El aprendizaje de las matemticas se da en algn

momento entre las matemticas informales

(relacionadas con el contexto) y las matemticas

formales. Esto implica que el proceso de

aprendizaje de cada alumno se da a diferentes

niveles de formalizacin. Los cambios de niveles

se dan de modo sbito y crean una discontinuidad

en el proceso de aprendizaje

Para conseguir el avance en los niveles durante el

proceso de enseanza y aprendizaje, es necesario

tener a su disposicin herramientas que les

permitan establecer un vnculo entre las

matemticas informales y las formales.

Una herramienta importante es el uso de modelos

(de pensamiento). La produccin de un modelo

de una situacin permite que los estudiantes

investiguen la situacin. Promover que lo usen en

otras situaciones y ayudarles para que lo

conviertan en un modelo para solucionar

problemas fuera y dentro de la matemtica

misma.

Reflexin Momentos de reflexin El aprendizaje de las matemticas se estimula

con la reflexin. La reflexin es el motor que

permite progresar o avanzar en el nivel de

aprendizaje.

El maestro debe encontrar el momento oportuno

para incluir la reflexin en la clase.

Cualquier conflicto cognitivo y cualquier

produccin propia del alumno hacen parte de los

momentos claves para la reflexin.

El contexto social Lecciones de matemticas interactivas El proceso de aprendizaje necesita otros actores

adems del nio que aprende. Los diferentes

actores comparten entre s procedimientos y

conceptos matemticos discuten sobre ellos y

generan ideas colectivamente.

El maestro debe organizar la actividad

matemtica de manera que la interaccin sea

parte natural de ella.

El profesor debe ser consciente que la interaccin

social puede obstaculizar el proceso de

aprendizaje

Estructuracin Entretejer los hilos del aprendizaje Si los estudiantes construyen sus propias

matemticas significativamente entonces las

nuevas ideas y reflexiones se incorporan a las que

ya se tienen. Esto significa que el conocimiento

matemtico est sujeto a constante

reformulaciones.

En este proceso de asimilacin y acomodacin

los estudiantes aprenden matemticas como un

todo coherente y no como partes separadas.

Se consigue entonces cerrar la brecha entre las

ideas matemticas y su conexin con el mundo

real

El maestro debe basar su enseanza de las

matemticas en situaciones del mundo real, como

fuente de ideas (matematizacin horizontal) y

como situaciones para poder aplicarlas

(matematizacin vertical).

Tabla 2. Principios de la Educacin Matemtica Realista (Goffree, 2000).

34

De la clasificacin anterior se pueden identificar, segn Santamara (2006) seis principios

bsicos de la teora general de la EMR, a saber, principio de actividad, principio de niveles,

principio de interaccin, principio de realidad, principio de reinvencin y principio de

interconexin. Los primeros tres principios estn ms conectados al aprendizaje de las

matemticas, en comparacin a los restantes, cuyo nfasis esta ms prximo a la enseanza

de las matemticas.

2.4.1. PRINCIPIO DE ACTIVIDAD

Desde la perspectiva de la EMR, la matemtica es ante todo una actividad humana que se

encarga de organizar el mundo que nos rodea incluyendo la matemtica misma. As pues y

en concordancia con las ideas de Freudenthal (1973) la matemtica es una actividad que se

aprende mejor haciendo y a la que todas las personas pueden acceder.

El quehacer matemtico es una actividad estructurante u organizadora de

matematizacin que esta al alcance de todos los seres humanos Freudenthal (1973, p. 14)

Desde esta visin la matematizacin se concibe como el proceso que permite organizar y

esquematizar las realidades en que viven los seres humanos, lo cual implica, entre otros

aspectos, la bsqueda y solucin de situaciones problemticas mediante la identificacin de

regularidades, patrones numricos, y en general, el uso de herramientas matemticas. Sin

embargo, para Freudenthal (1973) lo ms importante de este proceso de matematizacin es

que ayuda a los estudiantes a estructurar la matemtica misma.

Otra consecuencia de estas ideas, es la generacin de espacios donde los estudiantes puedan

hacer matemticas (matematizar), contraria a la visin tradicionalista determinada por el

papel pasivo de los estudiantes y el aprendizaje de unas matemticas ya acabadas,

sustentado en la falsa premisa de que el pensamiento matemtico puede ser transmitido a

los estudiantes (Santamara, 2006).

De esta manera, en la EMR los estudiantes no son vistos como simples receptores de

matemticas ya hechas, por el contrario, son tratados como participantes activos durante su

proceso de aprendizaje. Bsicamente el papel dinmico de los estudiantes en el proceso

educativo se consigue a travs de situaciones problemticas que generen la necesidad de

utilizar conocimientos (formales e informales) para su organizacin y solucin.

35

En particular, lo que pretende este enfoque terico es desarrollar en los estudiantes una

actitud matemtica desde edades tempranas, que los impulse a reinventar los conceptos

matemticos, mediante la organizacin y estructuracin de situaciones realistas.

Entonces, la importancia del principio de actividad reside en el hecho de que los estudiantes

se enfrentan a situaciones realistas, las cuales involucran algn contenido matemtico que

deben ser construidos por los estudiantes mediante el uso de estrategias informales y su

intuicin. Adems, dentro de esta reinvencin se dan negociaciones y discusiones que son

fundamentales para la construccin del aprendizaje que se sustentan en mtodos informales

que luego sern utilizados como base para la creacin de los conceptos formales (Bressan

& Gallego, 2011).

2.4.2. PRINCIPIO DE REALIDAD

En el principio de actividad se discuti sobre la importancia que tiene para los estudiantes

hacer matemticas y cmo a partir de la implementacin de situaciones realistas que

generen la necesidad de utilizar herramientas matemticas se puede conseguir tal objetivo.

Sin embargo, es importante aclarar que en la filosofa de la EMR una situacin realista no

se limita nicamente a las situaciones del mundo real, tambin incluye la consideracin de

situaciones que son experimentalmente realizables o imaginables por los estudiantes, como

son los cuentos de hadas y las fantasas.

Desde este punto de vista, el carcter de realidad en una situacin determinada, depende de

que tan real pueda ser en la mente de los estudiantes y en consecuencia el mundo fantstico

de los cuentos de hadas o el mundo formal de las matemticas representan escenarios

adecuados para crear situaciones problemticas, siempre y cuando los estudiantes puedan

imaginar la situaciones en cuestin. Inicialmente es conveniente que las situaciones

diseadas estn estrechamente relacionadas con lo concreto y lo cotidiano, pero es

necesario que se desprendan de esto, para que puedan adquirir un carcter ms general, es

decir, de modelos matemticos. (Santamara, 2006)

Es precisamente el nfasis en tratar de hacer algo real en la mente de los estudiantes lo que

le da el nombre a la EMR, pero uno de los objetivos que se persigue es poder fomentar en

las aulas de clases unas matemticas tiles para la sociedad, es decir, que los estudiantes

utilicen su comprensin y herramientas matemticas para resolver diversos problemas.

36

Es claro que esta visin, no asume las situaciones realistas como problemas de aplicacin,

pues adems, las enriquece ubicndolas como una fuente para aprender matemticas.

Al respecto, Bressan et al. (2004) defienden el aprendizaje de las matemticas desde una

fundamentacin en la realidad misma, indicando que la matemtica surge de un proceso de

matematizacin de la realidad. Aunque esto no implica de ningn modo restringir la

realidad a los fenmenos del mundo real, ya que esto limitara a los estudiantes a pasearse

por el mundo de las matemticas.

Entonces, tal como seala Goffree (2000) el principio de realidad consiste en hacer de las

matemticas algo concreto, que no significa nicamente materializable, sino adems

imaginable en la mente de los estudiantes y para ello es necesario que en la enseanza de

las matemticas se diseen contextos significativos para los estudiantes4; contextos que

posibiliten la asignacin de significados propios de los estudiantes y que adems puedan ser

organizados mediante la matemtica, para promover un proceso de reinvencin de las

herramientas matemticas que les permitir tener una mejor comprensin de los conceptos

matemticos.

Los contextos al ser significativos para los estudiantes se constituyen en puntos de partida

para su aprendizaje y para las actividades de matematizacin, promoviendo el uso del

sentido comn, la intuicin y las estrategias informales. No obstante, es importante recordar

que los contextos en los cuales se inscriben las situaciones realistas adquieren un carcter

relativo que depende de la experiencia previa de los estudiantes y de la capacidad de cada

uno de ellos para imaginarlos o visualizarlos. (Bressan & Gallego, 2011)

2.4.3. PRINCIPIO DE NIVELES

Dentro de este enfoque terico se considera que el aprendizaje de las matemticas se da en

algn momento entre las matemticas informales (relacionadas con el contexto) y las

matemticas formales. De esta manera, los estudiantes deben iniciarse en la matematizacin

de temas cercanos a su realidad para despus pasar a analizar su propia actividad

matemtica.

4 Para encontrar situaciones realistas, es decir contextos significativos, es necesario acudir a la fenomenologa

didctica, la cual se encarga de estudiar e indagar situaciones que puedan ser estructuradas por medio de

conceptos matemticos que deben ser descubiertos y reinventados por los estudiantes.

37

LA MODELACIN MATEMTICA COMO MATEMATIZACIN

Desde la perspectiva de la EMR no se habla directamente de modelacin matemtica, sino

de matematizacin en correspondencia con las ideas de Freudenthal, quin acuo el trmino

para referirse al proceso que describe el paso desde el conocimiento informal, relacionado

con los contextos, y las matemticas formales.

Literalmente para Freudenthal (1973) Matematizar es organizar la realidad con medios

matemticos incluida la matemtica misma. (p. 44)

El enfoque principal de Freudenthal (1973) fue en realidad, la matematizacin como un

proceso dinmico que conservar las matemticas dentro del sentido comn y la realidad de

los estudiantes. As, enfatiza en la importancia de iniciar a los estudiantes con problemas

derivados de un conjunto de contextos limitados, que puedan ser esquematizados

fcilmente para que sirvan como mediadores entre lo abstracto y lo concreto (asociado a

una situacin especfica).

En este sentido, la EMR interpreta la matematizacin como el proceso mediante el cual los

estudiantes organizan su actividad matemtica. Esto lo consiguen con la produccin de

modelos, ya que los estudiantes gradualmente van adquiriendo una comprensin particular

de la situacin-problema, descubren regularidades, encuentran patrones y posteriormente

aparecen medios cada vez ms avanzados, hasta finalizar con la construccin de un modelo

eficaz, a travs del cual pueden conectar varias situaciones con caractersticas similares.

En particular, la matematizacin se entiende como el proceso de trabajar la realidad

mediante conocimientos informales (relacionados con el contexto) y herramientas

matemticas (objetos matemticos, algoritmos, operaciones, modelos, etc.) concretando

este trabajo en dos direcciones; la matematizacin horizontal y la matematizacin vertical.

Direcciones que segn Freudenthal (1991) son claramente diferenciables, pese a que la

manera en que se relacionan ambos procesos no esta claramente definida.

Matematizacin horizontal; entendido como el proceso matemtico a travs del cual,

los estudiantes (con ayuda del docente) logran hacer una modelacin particular de la

situacin problema, en gran parte de los casos, trasladando el problema de su contexto

a algn tipo de matemticas, mediante mtodos informales o pre-formales a diferentes

niveles de abstraccin (Arcavi, 2006).

38

Este proceso se pone de relieve en actividades que buscan comprender la situacin-

problema, como son; la identificacin o descripcin de la matemtica que es relevante en la

situacin en cuestin, la esquematizacin, formulacin y visualizacin del problema desde

diferentes puntos de vista, y an en el instante en que se hallan semejanzas con otros

problemas.

Matematizacin vertical; que consiste en la elevacin del pensamiento abstracto

propiciando la reorganizacin de las ideas (alcanzadas en el nivel anterior) dentro del

mismo sistema matemtico. En palabras de Bressan y Gallego (2011) este proceso esta

sujeto a estrategias de reflexin, generalizacin, prueba y simbolizacin, logrando

mayores niveles de formalizacin matemtica. Son ejemplo de matematizacin vertical,

la representacin de una relacin como una frmula, la prueba de regularidades, la

generalizacin y la combinacin de diversos modelos matemticos.

LOS DIFERENTES NIVELES DE COMPRENSIN

La EMR admite que los modelos descriptivos producidos en el componente horizontal,

gradualmente van evolucionando en modelos prospectivos, los cuales constituyen el

ingrediente central que lleva de la matematizacin horizontal a la matematizacin vertical

al impulsar y elevar los niveles de comprensin. Dichos niveles de comprensin

(situacional, referencial, general y formal) representan el pasaje del conocimiento informal

al conocimiento formal y se caracterizan por distintos tipos de actividades cognitivas y

lingsticas, asociadas al uso de diferentes estrategias y modelos, pese a que no constituyen

una jerarqua estrictamente ordenada. (Bressan & Gallego, 2011).

El nivel situacional esta asociado al uso de estrategias ligadas totalmente al contexto de la

situacin misma. Lo cual implica que los estudiantes introducen sus conocimientos

informales, su sentido comn, su experiencia y estrategias situacionales para identificar y

descubrir la matemtica existente en el contexto. A este proceso se lo denomina

matematizacin horizontal

Los otros niveles estn enmarcados dentro de la matematizacin vertical y por lo tanto, se

caracterizan por la bsqueda de frmulas, el uso de la prueba y la generalizacin, entre

otros.

39

El nivel referencial es donde aparecen las representaciones o modelos grficos, materiales

o notacionales, y las descripciones, conceptos y procedimientos personales que

esquematizan el problema. De all que los modelos se consideren como modelos de en tanto

estn referidos a las situaciones particulares que les dieron origen.

El nivel general se desarrolla a travs de la exploracin, reflexin y generalizacin de lo

aparecido en el nivel anterior, pero propiciando una focalizacin matemtica sobre las

estrategias que supera la referencia al contexto. En este nivel, por la reflexin sobre los

conceptos, procedimientos, estrategias y modelos utilizados en el nivel anterior surgen

aspectos generalizables de los mismos y los estudiantes pueden concluir que son utilizables

en conjuntos de problemas, dando lugar a los modelos para la resolucin de los mismos.

El nivel formal esta relacionado con la comprensin, utilizacin de los conceptos,

procedimientos y notaciones convencionales que hacen parte de la matemtica vinculada al

contexto que se vena trabajando.

Recientemente Bressan y Gallego (2011) han producido una sntesis de estos niveles de

comprensin a travs de la figura 3 y de la cual, es posible inferir algunas relaciones

importantes.

Figura 3. Niveles de comprensin (Bressan & Gallego, 2011, p.7)

40

En primera instancia, que los estudiantes asciendan a niveles de comprensin ms

avanzados, si y solo si, reflexionan sobre las actividades realizadas en el nivel anterior. Esta

reflexin puede ser suscitada por la interaccin (estudiante-estudiante; estudiante-docente).

En segundo lugar, que los modelos sirven como un importante recurso para cerrar la brecha

entre la matemticas informales, relacionadas con los contextos, y las matemticas ms

formales. Inicialmente los estudiantes utilizan sus conocimientos y estrategias informales y

los introducen a la situacin, pero posteriormente ciertos aspectos del contexto adquieren

un carcter mas general, convirtindose en un modelo de especifico de la situacin, el

cual describe y esquematiza los conocimientos y procedimientos de la situacin problema.

Finalmente, se produce un desprendimiento total del contexto inicial construyndose as, un

modelo para, general y descontextualizado, el cual puede servir para organizar

matemticamente otras situaciones (Santamara, 2006)

Por ltimo, que la historia de la matemtica en los orgenes de cada conocimiento,

ejemplifica y brinda situaciones que dan pie a este proceso de matematizacin progresiva,

del mismo modo que tambin lo hacen, las producciones propias de los estudiantes con

todos sus conocimientos informales.

INTERPRETACIN DE LOS MODELOS EN LA EMR

En la EMR los modelos representan los instrumentos bsicos para que los estudiantes se

muevan por diferentes niveles de conceptualizacin y dado que el proceso de

matematizacin esta orientado a la produccin y uso de modelos, es importante esclarecer

como se conciben los modelos en este enfoque terico.

Segn Bressan (s.f.) para la EMR los modelos son representaciones de las situaciones

donde se reflejan aspectos fundamentales de los conceptos y relaciones matemticas que

son indispensables para solucionarla (p. 4). En este sentido, m