modelacion matematica de un levitron

Estabilización del Levitron a través de

forzamiento paramétrico

Abraham De la Rosa Ibarra

Índice general

Introducción ii

1. Modelo Matemático del Levitron 1

1.1. Energía Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Energía Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Ecuaciones de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1. Análisis Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2. Perturbaciones Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Análisis Numérico Sobre las Ecuaciones del Levitron 17

2.1. Modelo Hamiltoniano del Levitron . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.1. Solución Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2. Solución No Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Modelo del Levitron con Disipación . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3. Modelo con Disipación y Forzamiento Paramétrico . . . . . . . . 22

Conclusión 24

Introducción

El Levitron es un juguete que consiste de dos piezas; un pequeño cuerpoaxisimétrico (por ejemplo un pequeño trompo o peonza simétrica) de masa uni-forme y con magnetización paralela a su eje de simetría, la segunda pieza es unabase magnética especialmente construida de forma cuadrangular (como vere-mos mas adelante esto no es estrictamente necesario) con una región circular enel centro no magnetizada. El juego consiste en hacer girar la peonza simétricasobre la base magnética y después desplazar la peonza a una altura en dondepermanece levitando.

a

x

y

r

z

B(r)

Base magnética

Figura 1: Levitron sobre base magnética

La levitación magnética de cuerpos giratorios fue descubierta por el inven-tor Roy Harrigan, quien construyó una base cuadrangular que proporcionó uncampo magnético favorable para este tipo de fenómeno, calibró el volumen delcuerpo, su masa y encontró los momentos inerciales y magnéticos adecuadospara lograr la levitación persistente de este cuerpo. Harrigan obtuvo la patentede este juguete en 1983.

Si bien el teorema de Earnshaw de 1842 (ver [4]) establece las reglas de lev-itación magnética para dipolos estáticos no queda claro como es que el Levitron

iii

funciona. Uno de los primeros intentos por explicar como funciona el Levitronfue hecho por B. Hones en 1995, un fabricante de este juguete que tuvo relacióncon Harrigan, sin embargo dicha explicación no fue suficiente pues afirmaba quela levitación sobre una base circular era imposible, lo cual no es verdad. Losprimeros intentos teóricos por explicar la dinámica de este dispositivo fueronhechos en dos artículos principalmente el de M. V. Berry [1] y el de M. D. Si-mon, L. O. Heflinger y S. L. Ridgway [9] a finales de 1996. El primero de estosartículos ofrece un estudio teórico del dispositivo haciendo uso de la formulaciónHamiltoniana para plantear un sistema de 12 ecuaciones diferenciales (6 gradosde libertad), después con teoría adiabática demuestra que la levitación persis-tente es posible sólo para cierto rango de velocidades de giro, es decir que si lavelocidad de giro de la peonza es o muy pequeña o muy alta ésta caerá. Tam-bién hace patente la importancia de la precesión de la peonza para que puedalevitar persistentemente. El segundo de los artículos se refiere al de M. V. Berryhaciendo experimentos físicos y algunos numéricos para confirmar estos hechos.Más tarde H. R. Dullin y R. W. Easton [3] ofrecen otro estudio de las ecuaciones12 ecuaciones de movimiento del Levitron que permite predecir las velocidadesmáximas que puede tener la peonza para que no caiga. En particular el estu-dio local del punto de equilibrio del sistema asi como el de la región invarianteque encuentran, resultan útiles para el análisis numérico de las ecuaciones. Otrotrabajo que aporta nuevos elementos al estudio de la dinámica del Levitron esel de R. F. Gans, T. B. Jones y M. Washizu [5] ya que construyen constantesadimensionales para efectuar simulaciones numéricas de las ecuaciones lo quefacilita la reproducción de sus resultados.

El presente trabajo tiene como finalidad hacer un estudio numérico de lasecuaciones obtenidas por M. V. Berry, verificando la existencia del rango develocidades de giro en donde se encuentra levitación persistente. Dada la com-plejidad del sistema de doceavo orden no lineal, extenderemos la teoría en elámbito numérico haciendo un estudio un poco mas realista del dispositivo in-troduciendo un término disipativo que modele la fricción del aire y después dadoel estudio local de las ecuaciones proponer una forma de contrarrestar los efec-tos de la fricción utlizando resonancias paramétricas que simulen por ejemploel movimiento periódico de la base, esperando con esto introducir de algunamanera energía a los modos normales de rotación del sistema de tal forma quesea posible la levitación persistente de la peonza.

A continuación describiremos esencialmente dos formas de abordar el modelomatemático del Levitron, éstas se encuentran expuestas principalmente en elartículo escrito por M. Berry y reproducido con una función potencial un pocomas general por Dullin y en el artículo escrito por Roger F Gans, Thomas BJones y Masao Washizu, éste sigue esencialmente la línea trazada por Berry perodejando las ecuaciones de movimiento en términos de constantes adimensionales.Por las facilidades que ofrece para simular numéricamente las ecuaciones es éstasegunda aproximación la que tomaremos en el desarrollo ulterior de esta tesina.

Capítulo 1

Modelo Matemático delLevitron

En este capítulo se hará la deducción de las ecuaciones de movimiento delLevitron, desde la construcción de la función Lagrangiana hasta la formulaciónHamiltoniana, pasando por los distintos enfoques dados principalmente por M.V. Berry, H. R. Dullin y R. F. Gans.

1.1. Energía Cinética

La energía cinética del cuerpo giratorio es, como sabemos la suma de laenergía cinética traslacional del centro de masa mas la energía cinética que sedesprende de la rotación del cuerpo. Para abordar la cinemática de la peonzapensaremos en dos sistemas de referencia, el primero de ellos estará fijo en elcuerpo y con el origen en el centro de masa, así un punto del espacio en estesistema de referencia tendrá coordenadas Q. Un segundo sistema de referencia seencontrará fijo en el espacio y tendrá coordenadas q. De esta manera, podemospensar el espacio de cofiguración del fenómeno como R

3 × SO(3), pues unatraslación del cuerpo se puede pensar como un vector en R

3 y una rotación quedeja fijo el centro de masa como un elemento de

SO(3) = R ∈M3×3(R) | RRT = I, det(R) = 1.

De lo anterior, si ρ(Q) es la densidad de masa del cuerpo, tenemos que al integrarsobre los puntos que lo conforman se satisface

∫

ρ(Q)QdQ = 0 y∫

ρ(Q) dQ = m.

Por otro lado, el movimiento de dicho cuerpo está determinado por unacurva en el espacio de configuración del Levitron. Sea γ(t) = (r(t), R(t)) dichacurva, así el movimiento de una partícula Q del cuerpo visto desde el sistema de

1.1 Energía Cinética 2

referencia fijo en el espacio estaría determinado por la curva q(t) = R(t)Q+r(t),de esta manera la densidad de la energía cinética del volumen en movimiento es

dT (Q) =1

2ρ(Q)〈q, q〉 (1.1)

y por ende, la energía cinética es

T =

∫

dT (Q) dQ. (1.2)

Si expandimos en (1.1) el producto interior tenemos que

dT (Q) = dT1 + dT2 + dT3 (1.3)

con,

dT1 =1

2ρ(Q)〈r, r〉 (1.4)

dT2 = ρ(Q)〈r, RQ〉 (1.5)

dT3 =1

2ρ(Q)〈RQ, RQ〉 (1.6)

de este modo

T1 =

∫

dT1 dQ =m

2〈r, r〉 (1.7)

y como r no depende de Q, las siguientes igualdades son validas

T2 =

∫

dT2(Q) dQ

=

∫

〈r, RQ〉ρ(Q) dQ

=⟨

r, R

∫

Qρ(Q) dQ⟩

= 〈r, R · 0〉= 〈r, 0〉= 0.

Para el cálculo de T3 recordaremos la definición de la función producto cruzg : R

3 → (3) dada por

g(x) = x1S1 + x2S2 + x3S3 con x = (x1, x2, x3)T

y

S1 =

0 0 00 0 −10 1 0

, S2 =

0 0 10 0 0−1 0 0

, S3 =

0 −1 01 0 00 0 0

.

Dado que las matrices S1, S2 y S3 forman una base del álgebra de Lie (3) setiene que g es una isomorfismo. Es fácil comprobar que g satisface las siguientestres propiedades básicas para x,y ∈ R

3 y R ∈ SO(3)

1.1 Energía Cinética 3

(1) x × y = g(x)y

(2) g(x × y) = [g(x), g(y)]

(3) g(Rx) = Rg(x)RT

donde [·, ·] es el corchete de Lie en (3) definido por

[A,B] = AB −BA.

Haciendo uso de las propiedades anteriores se puede deducir que

〈x × y,x × y〉 = yT g(x)T g(x)y

= yT g(x)2y

= yT (|x|2I − xxT )y

= |x|2|y|2 − 〈x,y〉2 (1.8)

Así, podemos escribir

T3 =1

2

∫

〈RRTRQ, RRTRQ〉ρ(Q) dQ (1.9)

por otro lado, como R(t) ∈ SO(3) entonces R(t)R(t)T = I y entonces, si deriva-mos respecto del tiempo obtenemos

R(t)R(t)T +R(t)R(t)T = 0

de donde RRT es anti-simétrica, es decir RRT ∈ (3), así, tiene sentido definirw = g−1(RRT )(w es la velocidad angular del cuerpo en el sistema de referenciafijo en el espacio). Entonces de (1.9) y del primer inciso de la propiedades de gtenemos que

T3 =1

2

∫

〈w ×RQ,w ×RQ〉ρ(Q) dQ y por (1.8)

=1

2

∫

[

|w|2|RQ|2 − 〈w,RQ〉2]

ρ(Q) dQ

=1

2

∫

[

|w|2|Q|2 − wTRQQTRTw]

ρ(Q) dQ (1.10)

definimos ahora Ω = RTw (la velocidad angular en el sistema de referencia fijoen el cuerpo). Notamos que por el tercer inciso de las propiedades de g

g(Ω) = g(RTw) = RT g(w)R = RT RRTR = RT R

entonces (1.10) se puede escribir como

T3 =1

2

∫

[

ΩT |Q|2Ω − ΩTQQTΩ]

ρ(Q) dQ

=1

2ΩT[∫

(|Q|2I −QQT )ρ(Q) dQ

]

Ω

=1

2ΩTΘΩ (1.11)

1.2 Energía Potencial 4

donde Θ es el tensor de inercia del cuerpo. Como Θ es una matriz simétri-ca, el sistema coordenado del cuerpo puede ser escogido de modo tal que Θ =diag(A,B,C). En nuestro caso particular, dada la simetría axial del cuerpopodemos suponer que Θ = diag(A,A,C), finalmente la energía cinética se es-cribe

T =1

2m〈r, r〉 +

1

2ΩTΘΩ (1.12)

con Ω = g−1(RT R) y Θ = diag(A,A,C).

1.2. Energía Potencial

El cálculo de la energía potencial Ψ(r, R) involucra dos términos, uno aso-ciado a la fuerza de gravedad, mgz, donde m es la masa total del cuerpo y z esla altura del centro de masa y el otro asociado al campo magnético de la base.Dicho campo magnético en el punto r = (x, y, z)T esta determinado por B(r).Si ez es el vector canónico en dirección del eje z, entonces Rez es el vector uni-tario que apunta en dirección del eje de simetría del cuerpo y que supondremosalineado con su eje magnético. Si llamamos µ al parámetro negativo que modelala fuerza del dipolo (que supondremos situado en el centro de masa del cuerpogiratorio) tendremos que el momento magnético del cuerpo está descrito por elvector

µ = µRez.

Con esta orientación, el cuerpo es repelido por la base, pues µ apunta en sentidonegativo del eje z ya que µ < 0, además |µ| = |µ|. De esta forma la energíapotencial magnética es el producto interior del campo magnético de la base enel punto r con el vector del dipolo del cuerpo, es decir que la energía potencialtotal es

Ψ(r, R) = mgz − 〈B(r),µ〉 (1.13)

Por otro lado, B puede ser escrito como el gradiente de una función potencialescalar,

B(r) = −∇V (r)

pues tenemos un campo magnético estático. Para que B(r) satisfaga las ecua-ciones de Maxwell V (r) debe ser una función armónica, es decir

∆V (r) = 0

supondremos también simetría cilíndrica, por lo cual

V (r) = V0(z) + rV1(z) + r2V2(z) + · · · , r = |r|

así, V (r) será armónica siempre que

∆V (r) = V ′′0 (z) + rV ′′

1 (z) + V1(z)∆r + r2V ′′2 (z) + V2(z)∆r

2 + · · · = 0.

1.2 Energía Potencial 5

Haciendo uso de la expresión ∆rn = n2rn−2 y agrupando los terminos coniguales potencias de r, tenemos que al igualar a cero dichos coeficientes Vj(z) = 0para j impar y V2k+2(z) = −(1/(2k + 2)2)V ′′

2k(z) para k ∈ Z, así, si llamamos

Φk(z) =dk

dzkV0(z)

obtenemos que

V (r) = Φ0 −r2

4Φ2(z) ± · · · ,

y entonces el campo magnético se escribe como

B(r) = −∇V (r) =

xΦ2(z)/2 +O(r3)yΦ2(z)/2 +O(r3)

−Φ1(z)/2 + r2Φ3(z)/4 +O(r4)

como queremos que cerca de la base la peonza sea repelida necesitamos que elcampo apunte en dirección del eje z y en vista de la última expresión, necesita-mos que Φ1(z) < 0. Finalmente escribimos la energía potencial total

Ψ(r, R) = mgz − µ

(

1

2Φ2(z)(xR13 + yR23) +

(

− Φ1(z)

+1

4(x2 + y

2

)Φ3(z))

R33 + · · ·)

. (1.14)

Por otro lado, siguiendo la notación de Goldstein [6]1 para los angulos de Euler,tenemos que si θ representa la inclinación, ψ la precesión y φ el ángulo de girodel cuerpo, entonces

R13 = sin θ cosψ

R23 = sin θ sinψ

R33 = cos θ

La base magnética sobre la cual la peonza levitará, puede ser pensada comouna distribución en el plano de dipolos verticalmente orientados que propor-cionarán el campo magnético. Si dicha distribución tiene como densidad η(r)(con r = 0 el centro de la base), siguiendo a Jackson[7] tenemos que el potencialde la base está dado por

V0(z) = z

∫ ∫

base

η(r)

(r2 + z2)3/2d2r. (1.15)

La densidad η puede ser tomada como una constante positiva, esto es, contodos los dipolos de la base apuntando hacia arriba, lo cual es consistente con elhecho de que la tercer componente del vector µ es negativa pues de este modo

1El ángulo ψ está rotado π/2 respecto de la notación de Goldstein.

1.3 Ecuaciones de Movimiento 6

el pequeño trompo es repelido por la base. Si tomamos a la base con formacircular y con una región en el centro también circular y desmagnetizada (conel proposito de hacer girar el pequeño trompo sobre esta región antes de serlevantado sobre la base hasta la altura donde levitará) y efectuamos la integral(1.15) tenemos que

V0(z) = 2πηz

(

1√w2 + z2

− 1√a2 + z2

)

donde la base es un disco de radio a con la región desmagnetizada en el centrode radio w. Si integramos sobre una base cuadrangular de lado 2a y un hoyocircular en el centro de radio w entonces (1.15) da

V0(z) = 2πηz√

z2 + w2− 8η arcsin

[

z√

2(z2 + a2)

]

.

1.3. Ecuaciones de Movimiento

En nuestro caso, siguiendo la línea trazada por F. Gans [5], como no haydiferencias cualitativas en el comportamiento del sistema cerca del eje, mode-laremos la base como un anillo adimensional de dipolos con radio igual a a, eneste caso el cálculo de la integral en (1.15) es trivial pues sobre el anillo, r esconstante y z no depende de r. Así, como vimos antes, es posible escribir

V (r) =Me

4πR2[f0(z) − r2f2(z) +O(r4)] =

Me

4πR2Φ

con

f0(z) =z

(1 + z2)3/2f2(z) =

3(2z2 − 3)z

(1 + z2)7/2

Me es la fuerza global del anillo de dipolos y R es el radio efectivo, de estaforma Φ es el potencial magnetostático adimensional. De este modo, siguiendoa Goldstein (Ref) la expresión (1.12) para la energía cinética se escribe como

T =1

2

[

m(x+ y + z) +A(θ2 + ψ2 sin2 θ) + C(φ2) + ψ2 cos θ)2]

y de la expresión (1.13) para la energía potencial se sigue que el Lagrangianoadimensional es

L =1

2

[

x2 + y2 + z2 + a(θ2 + ψ2 sin2 θ) + c(φ+ ψ cos θ)2]

− µ

[

sin θ

(

cosψ∂Φ

∂x+ sinψ

∂Φ

∂y

)

+ cos θ∂Φ

∂z

]

− z (1.16)

donde

a =A

mR2c =

C

mR2µ =

MMe

4πmgR2(1.17)


son constantes adimensionales que caracterizan al sistema. Las dos primerascantidaes son parámetros inerciales y la última es el radio de energía magnéticay gravitacional. Para transformar este problema a la formulación Hamiltonianaelegimos como coordenadas generalizadas a las componentes del vector

q = (x, y, z, θ, ψ, φ)T .

Para obtener los momentos conjugados basta derivar el Lagrangiano respecto delas coordenadas generalizadas, obtenemos así el vector de momentos conjugados

p = [X, Y , Z, aθ, ψ(a sin2 θ + c cos2 θ) + cφ cos θ, c(φ+ ψ cos θ)]T .

En términos de las variables físicas y substituyendo las derivadas de las coorde-nadas generalizadas por los momentos conjugados obtenemos que

q =

(

px, py, pz,pθa,pψ − pφ cos θ

a sin2 θ,pφ[cos2 θ + (a/c) sin2 θ] − pψ cos θ

a sin2 θ

)T

.

Podemos ahora aplicar la transformación de Legendre, H = qTp − L, paraobtener el Hamiltoniano asociado que representa la energía total y que es unacantidad conservada, así,

H =1

2

(

p2x + p2

y + p2z +

p2θ

a+

[pψ − pφ cos θ]2

a sin2 θ+p2φ

c

)

+ µ

[

sin θ

(

cosψ∂Φ

∂x+ sinψ

∂Φ

∂y

)

+ cos θ∂Φ

∂z

]

+ z.

Las ecuaciones de movimiento quedan pues, de la siguiente manera

x = px (1.18)

y = py (1.19)

z = pz (1.20)

θ =pθa

(1.21)

ψ =[pψ − pφ cos θ]2

a sin2 θ(1.22)

φ = − cos θ · [pψ − pφ cos θ]2

a sin2 θ+pφc

(1.23)

px = 2µ [f2(z) sin θ cosψ + xf ′2(z) cos θ] (1.24)

py = 2µ [f2(z) sin θ sinψ + yf ′2(z) cos θ] (1.25)

pz = µ[

2f ′2(z) sin θ(x cosψ + y sinψ) + cos θ(−f ′′0 (z) + (x2 + y2)f ′′2 (z))]

− 1(1.26)

pθ = − (pφ cos θ − pψ)(pψ cos θ − pφ)

a sin3 θ


+ µ[

2f2(z) cos θ(x cosψ + y sinψ) − sin θ(−f ′0(z) + (x2 + y2)f ′2(z))]

(1.27)

pψ = 2µf2(z) sin θ(y cosψ − x sinψ) (1.28)

pφ = 0 (1.29)

1.3.1. Análisis Local

Una primera forma de enfrentar el problema de solucionar este sistema yque en el futuro nos dará una pauta para estudiarlo en presencia de disapaciónes el hecho de que posee un conjunto invariante.

Proposición 1.1. El conjunto

Inv = x = y = 0, θ = ψ = 0, px = py = 0, pθ = 0, pψ = pφ

es un conjunto invariante para las ecuaciones de movimiento del Levitron.

Demostración. Por la naturaleza de Inv basta ver que x = y = θ = ψ = px =py = pθ = pψ = 0 para todo tiempo siempre que comencemos de un punto enInv. De (1.18) tenemos x = 0 pues en Inv, px = 0, de manera análoga se ve quey = 0. Dado que en Inv θ = 0 entonces sin θ = 0 y entonces de (1.24) y (1.25)concluimos que px = py = 0 dado que x = y = 0 en Inv. Con un argumentosimilar se tiene que el primer término del lado derecho de (1.27) es cero, así,para concluir que pθ = ψ = 0 basta ver que

[pψ − pφ cos θ]2

a sin2 θ= 0

en Inv. Como en Inv se tiene que pψ = pφ basta demostrar que

(1 − cos θ)2

sin2 θ−→ 0 (θ → 0).

Sabemos que

cos θ = 1 − θ2

2+O(θ4)

sin θ = θ − θ3

6+O(θ5)

y entonces1 − cos θ

sin θ=θ2/2 +O(θ4)

θ +O(θ3)=O(θ2)

O(θ)= O(θ)

asi,(1 − cos θ)

2

sin2 θ= O(θ2)


y en virtud de (1.22) concluimos que ψ = 0. Por otro lado, en vista de lasigualdades anteriores tenemos

cos θ − 1

sin2 θ=

−θ2/2 +O(θ4)

[θ +O(θ3)]2=O(θ2)

O(θ2)

entoncescos θ − 1

sin2 θ−→ constante (θ → 0)

por tanto(

1 − cos θ

sin θ

)(

cos θ − 1

sin2 θ

)

−→ 0 (θ → 0)

luego, el primer término del lado derecho de (1.27) es cero, así concluimos quepθ = 0 y por tanto Inv es una región invariante de las ecuaciones de movimientodel Levitron.

Una observación que cabe hacer es el hecho de que en el artículo de H. R.Dullin se hace uso de una matriz R cuya última columna (la que tiene quever con el potencial electrostático dado en (1.14)) no guarda simetría entre lasvariables x y y lo cual no es muy consistente con el modelo físico pues deberíaser indistinto el papel que juegan estas variables. Las simulaciones numéricashechas con el potencial propuesto en dicho artículo arrojan resultados que noconcuerdan con la intuición física del problema. Ésta es una de las razones porlas cuales se decidió trabajar en la dirección marcada por el artículo de R.F. Gans, pues su potencial concuerda con el calculado por Goldstein en[6] y lassimulaciones numéricas como veremos en el capítulo siguiente arrojan resultadosmas consistentes. Otra observación importante es que aun cuando hemos elegidootra matriz R y por ende otro potencial electrostático es posible encontrar unaregión invariante como señala el trabajo de H. R. Dullin, por supuesto esta regiónse ve modificada. Sin embargo la modificación tiene una interpretación física quedespues será corroborada numéricamente, ésta es que cuando la peonza gira sinprecesar, la velocidad de giro se confunde con la velocidad de precesión, es decirpφ = pψ. Veremos que cuando simulamos numéricamente las regiones en dondeel comportamiento del pequeño trompo es mas estable es justo cuando pφ y pψson cercanas.

Si analizamos la dinámica en esta región tenemos que las ecuaciones se re-ducen al siguiente sistema

z = pz pz = −µf ′′0 (z) − 1 (1.30)

φ = pφ/c = σ pφ = 0 (1.31)

Este sistema puede ser obtenido del Hamiltoniano restringido HInv = H|Invdado por la siguiente ecuación

HInv =1

2

(

p2z +

p2φ

c

)

+ µf ′0(z) + z. (1.32)


Así, tenemos que en la región invariante la tasa de giro del cuerpo σ es constanteya que el momento conjugado de φ no cambia sobre orbitas de Inv. Lo único queresta por analizar es la dinámica de z, ésta puede ser vista localmente como lade un oscilador armónico. Para llevar acabo la linearización del sistema debemosencontrar los puntos de equilibrio de las ecuaciones (1.30), dado que en una estrivial encontrarlo basta analizar la ecuación

µf ′′0 (z) + 1 = 0 con f ′′0 (z) = f2(z) =3(2z2 − 3)z

(1 + z2)7/2.

o bien,

f ′′0 (z) = − 1

µ. (1.33)

Como vimos antes µ < 0 por lo que −1/µ > 0. De esta manera la ecuación(1.33) tiene solución cuando la función constante −1/µ intersecta a f2 como semuestra en la gráfica de la figura 1.1. Así, la ecuación anterior tiene soluciónsiempre que

− 1

µ≤ max

0≤z<∞f ′′0 (z).

Los puntos críticos de f2(z) = f ′′0 (z) se obtienen de resolver la ecuación f ′2(z) = 0o bien

−8z4 + 24z2 − 3 = 0

las cuatro raices de esta ecuación son

±

√

6 ±√

30

4.

Estamos interesados en las dos positivas, de estas dos raices tenemos que lamenor corresponde un punto crítico que minimiza a f2, el otro la maximiza. Deesta forma tenemos que al evaluar f2 en el punto crítico mas grande se tiene

max0≤z<∞

f ′′0 (z) =3√

30√

6 +√

30

4(

52 + 1

4

√30)7/2

= 0.122131

y entonces la ecuación (1.33) tiene solución (y por ende existe un punto deestabilidad para la coordenada z) siempre que

|µ| = −µ ≥ 1

0.122131= 8.187957392. (1.34)

Así el equilibrio del sistema sobre la región invariante existe siempre que (1.34)sea satisfecha. Veremos mas adelante que las soluciones estables obligan a que|µ| sea suficientemente grande. De hecho dado que f ′′0 sólo alcanza un máximo,es continua y después de ese máximo decrece monótonamente a cero, existensólo dos valores que satisfacen la ecuación de punto crítico (1.33), sean zu < zsdichos valores (ver figura 1.1). Dado que los puntos de equilibrio zu y zs son


f2(z)

zzu

−1.9323 b

zs

0.1221 b

b b−1/µ

Figura 1.1: Grafica de los puntos de equilibrio del potencial restringido VInv

puntos críticos del potencial restringido VInv, es decir satisfacen la ecuación

V ′Inv(z) = µf ′′0 (z) + 1 = 0

es fácil ver de la gráfica 1.1 (y fácil corroborar con cálculos formales) que cercay a la izquierda del valor zu se tiene que

−1/µ− f2(z) = −1/µ− f ′′0 (z) ≥ 0

o bienV ′Inv(z) = 1 + µf ′′0 (z) ≥ 0 (pues −µ ≥ 0)

análogamente se puede ver que

V ′Inv(z) ≤ 0

cerca y a la derecha de zu. Así, por el criterio de la primer derivada el maspequeño de ellos, zu, es inestable por ser el valor que maximiza VInv. De manerasimilar se demuestra que zs, por minimizar VInv, es un punto de equilibrioestable del sistema (1.30). Es claro que zu y zs coinciden cuando |µ| igualasu valor mínimo, es decir cuando |µ| = 8.187957392, así, la ecuación (1.33)determina un único valor para z siendo éste

zc = 1.693848849 . . . (1.35)

Este resultado replica el obtenido por R. F. Gans. En el siguiente capítulo seutilizará este resultado para iniciar una busqueda numérica de regiones establesdel sistema completo y se puntualizarán algunas diferencias respecto del trabajocitado.


El sistema (1.30) al ser linearizado cerca del punto (zs, 0) resulta ser laecuación de un oscilador armónico

z + V ′′Inv(zs)z = 0 (1.36)

tenemos pues que en la región invariante, z oscila con una frecuencia de√

µf ′′′0 (zs).

Así, la orbita periódica en el espacio fase del sistema completo está dada por

(q,p) = (0, 0, zs, 0, 0, σt, 0, 0, 0, 0, c σ, c σ). (1.37)

Las estimaciones obtenidas en esta sección nos darán mas adelante un puntode partida para buscar numericamente regiones invariantes de las doce ecua-ciones de movimiento del levitron en el espacio fase completo. El hecho de queel sistema tenga una región en donde la coordenada z se comporta como un os-cilador armónico nos sugiere que podríamos perturbar parametricamente dichacoordenada, simulando por ejemplo una oscilación vertical de la base, con unafrecuencia adecuada para que de este modo, en presencia de un término disi-pativo esta perturbación paramétrica contrarrestara el efecto de la fricción yasi presenciar el fenomeno de la levitación persistente del trompo con hipótesisun poco mas realistas. La esperanza es que las interacciones no lineales, de lapertubación paramétrica de la base, en el sistema completo cerca de la regiónInv aporten energía a la peonza y esta no caiga.

1.3.2. Perturbaciones Paramétricas

En ésta sección se analizarán de manera local, aprovechando el trabajo re-alizado, los efectos que una perturbación paramétrica de la base tiene sobre lacoordenada z. Como veremos, esta perturbación conducirá en virtud de (1.36)a la ecuación de Mathieu. Es por ello que acontinuación se trata brevemente laestructura de dicha ecuación.

Ecuación de Mathieu

La ecuación de Mathieu es

x+ (α+ β cos t)x = 0 (1.38)

o bien, como un sistema de ecuaciones[

xy

]

=

[

0 1−α− β cos t 0

] [

xy

]

. (1.39)

La matriz

P(t) =

[

0 1−α− β cos t 0

]


es una matriz periódica con periodo mínimo 2π la estructura de este tipo deecuaciones con coeficientes periodicos es lo que se conoce como teoría de Flo-quet2. De esta manera, dado que

TrP(t) = 0

tenemos queλ1 λ2 = e0 = 1 (1.40)

donde λ1 y λ2 son los números característicos de P(t), es decir, son valorespropios de la matriz de monodromía E, así, estos valores son solución al poli-nominomio en λ

det(E − λI) = 0

y entonces por (1.40) se tiene que la ecuación anterior se puede escribir como

λ2 − ϕ(α, β)λ+ 1 = 0. (1.41)

Las soluciones a esta ecuación están dadas por

λ1, λ2 =1

2

[

ϕ±√

ϕ2 − 4]

.

Aunque no conocemos explícitamente ϕ(α, β), pues esto significaría conocer unamatriz fundamental del sistema (1.39) es posible haciendo uso del teorema deFloquet3 ver que curvas de la forma

ϕ(α, β) = ±2 (1.42)

separan regiones donde existen soluciones no acotadas (|ϕ(α, β)| > 2) de regionesdonde todas las soluciones son acotadas (|ϕ(α, β)| < 2). Las curvas dadas por(1.42) son regiones de los parámetros α y β en donde soluciones 2π-periódicasy 4π-periódicas ocurren, dichas curvas son llamadas curvas de transición. Paravalores pequeños de |β| es posible usar métodos perturbativos para encontrarlas curvas de transición, es decir, suponer que

α = α(β) = α0 + βα1 + · · · ,y que su correspondiente solución tiene la forma

x(t) = x0(t) + βx1(t) + · · · ,donde x0, x1, . . . tienen periodo 2π o 4π. De esta forma es posible construir undiagrama de estabilidad para la ecuación de Mathieu. En este diagrama de esta-bilidad, las curvas de transición forman las llamadas Lenguas de Arnold, éstasse pueden ver en la figura 1.2, las regiones sombreadas corresponden a regionesinestables, es decir donde al menos una solución es no acotada, y las regiones enblanco corresponden a regiones en donde las soluciones son acotadas. Las líneasdiscontinuas representan valores de los parámetros en donde existen solucionesde periodo 2π y las líneas continuas representan valores de los parámetros endonde existen soluciones de periodo 4π.

2véase D. W. Jordan y P. Smith [8]3Ibidem


Figura 1.2: Lenguas de Arnold

Ecuación de Mathieu con disipación

Analizaremos aquí el caso de la ecuación de Mathieu con un término defricción, es decir, analizaremos la ecauación

x+ γx+ (α+ β cos t)x = 0 (1.43)

Si proponemos una solución de la forma x(t) = eδtz(t) obtenemos que

eδtz(t)[zδ2 + 2δz + z + γ(z + δz) + (α+ β cos t)z] = 0.

La condición para que el termino disipativo se cancele es que

2δ + γ = 0 o bien δ = −γ2

de donde

z + (α− γ2

4+ β cos t)z = 0.

Así, tenemos que para z(t) = e−δtx(t) se puede contruir un diagrama de esta-bilidad en donde las Lenguas de Arnold volverán a aparecer, la interpretaciónde esto es que algunas soluciones inestables se vuelven estables a consecuenciadel decaimiento exponencial, es decir que las Lenguas de Arnold se separan unpoco de los ejes para dar cabida a nuevas soluciones estables (ver figura 1.3).

Cabe mencionar el diagrama de estabilidad mostrado en la figura 1.3 corre-sponde a soluciones de la forma

x(t) = e−γ

2tz(t)

y por ende las regiones de inestabilidad, que son aquellas atrapadas por laslenguas, corresponden a soluciones que crecen exponencialmente, de hecho, en


β

α

Figura 1.3: Lenguas de Arnold para la ecuación de Mathieu con disipación

vista de la igualdad anterior corresponden a soluciones z con crecimiento may-or o igual que una exponencial con argumento mayor que γ/2. La región deestabilidad, que es aquella que contiene al eje horizontal corresponde a solu-ciones x que decaen exponencialmente pues las correspondientes soluciones zson acotadas. Podemos concluir pues que cuando se introduce un término disi-pativo en la ecuación de Mathieu los comportamientos se tornan extremos puesya no existen soluciones periódicas, sólo existen soluciones que o bien crecenexponencialmente o bien decrecen exponencialmente.

Perturbación paramétrica del Levitron

Una forma de modelar una perturbación paramétrica de la base magnéticasobre la cual el Levitron levita es pensar al punto de equilibrio estable del sistema(1.36) como un punto que oscila con cierta frecuencia y amplitud en lugar deser un punto fijo, esto es, cambiar

zs 7−→ zs + β cos(ωt)

entonces, la ecuación linearizada cerca del punto (0, zs) dada en (1.36) quedaescrita como

z + V ′′Inv(zs + β cos(ωt))z = 0. (1.44)

Consideremos la funciónF (τ) = V ′′

Inv(zs + τ)

donde,

V ′′Inv(z) = µf3(z) = µf ′′′0 (z) = µ

90z2(1 + z2) − 9(1 + z2)2 − 105z4

(1 + z2)9/2. (1.45)


Si expandemos en serie de Taylor F (τ) alrededor del punto τ = 0 obtenemosque

F (τ) = F (0) + F ′(0)τ +O(τ2)

o bien,V ′′Inv(zs + τ) = µf3(zs) + V ′′′

Inv(zs)τ +O(τ2) (1.46)

donde

V ′′′Inv(z) = µf4(z) = µf

(4)0 (z) = µ

225z(1 + z2)2 − 1050z3(1 + z2) + 945z5

(1 + z2)11/2.

(1.47)si ahora hacemos el cambio de variable

τ 7−→ β cos(ωt)

y consideramos sólo los términos lineales en la expresión (1.46), tenemos que laecuación (1.44) se transforma en

z + µ [f3(zs) + f4(zs)β cos(ωt)] z = 0. (1.48)

Los valores f3(zs) y f4(zs) están dados por las ecuaciones (1.45) y (1.47) respec-tivamente.

La ecuación (1.48) es una ecuación de Mathieu si hacemos un rescalamientodel tiempo, en notación del apartado anterior, α seria igual a µf3(zs) y β aµf4(zs)β. De este modo, una oscilación paramétrica de la base da como resultadouna ecuación de Mathieu para la coordenada z vista localmente. Esto nos sugierecual será el comportamiento del sistema completo: esperamos que los valores delos parámetros β y ω formen un diagrama de estabilidad para las soluciones delLevitron que tenga una estructura similar a las de la Lenguas de Arnold.

Por otra parte, al añadir un término disipativo en la ecuación esperamostambién que la perturbación introducida en la base, calibrando adecuadamentela amplitud y la frecuencia, introduzca energía y mantenga al trompo levitandopor mas tiempo. Por supuesto los valores de los parámetros β y ω deberán serencontrados numéricamente ya que el análisis local puede ser muy delicado.

Capítulo 2

Análisis Numérico Sobre lasEcuaciones del Levitron

En este capítulo se llevará acabo el análisis numérico de las ecuaciones (1.18)-(1.29), para ello será necesario escoger valores numéricos de las constantes in-volucradas, a saber a, c y µ. Seguiremos el trabajo de R. F. Gans para así tenerun punto de referencia con los resultados obtenidos, de este modo elegiremos

a = 0.089 y c = 0.139.

Estos valores corresponden a mediciones hechas sobre el modelo físico, siendo elradio efectivo R = 34.7mm. Este radio, como se vio en el capítulo uno determinalos momentos inerciales del trompo.

Como vimos en el capítulo anterior, la constante |µ| está acotada inferior-mente por 8.1880, elegiremos pues el valor de |µ| como esta cota inferior, puesademás tiene la ventaja de que los dos puntos de equilibrio del sistema lineariza-do coinciden en uno solo.

El siguiente paso es elegir un esquema numérico para integrar las ecuaciones.Dado que las ecuaciones de movimiento encontradas en el capítulo anterior for-man un sistema Hamiltoniano, resulta natural pensar que un integrador simpléc-tico podría funcionar bien. Sin embargo para los fines que perseguimos resultaun poco limitada esa aproximación a las ecuaciones del Levitron pues cuandointroduzcamos un término disipativo a las ecuaciones, el integrador simipléc-tico perderá sentido y entonces tendremos que recurrir a otro esquema. Se hapreferido pues, integrar las ecuaciones con un método numérico que nos permitaexplorar el sistema una vez que las disipaciones y resonancias sean incorporadas.Creemos también que no hay mucha ganancia en introducir un método simpléc-tico pues para tiempos no muy largos la preservación de energía en un sistemaHamiltoniano no difiere mucho si se integra con un esquema Runge-Kutta o conun simplético1.

1véase De la Rosa [2]

2.1 Modelo Hamiltoniano del Levitron 18

La rutina de integración que se eligió para el análisis numérico de las ecua-ciones del Levitron es un método Runge-Kutta de paso variable y de orden 7−8desarrollado por el grupo de sistemas dinámicos de la Universidad de Barcelona.Un método de integración de paso variable resulta también conveniente pues noestamos seguros si encontraremos regiones donde el sistema se vuelve rígido.

Un problema que podemos anticipar de la integración numérica de las ecua-ciones del Levitron es el hecho de que las ecuaciones (1.22), (1.23) y (1.27) sevuelven singulares cuando θ es cercana a 0 o a π lo cual nos conducirá a un er-ror de ejecución. Para resolver esto lo que se hizo es mantener control sobre losnumeradores de los cocientes en cuestion, por ejemplo, en el caso de la ecuación(1.22) lo que se hizo es mantener fija en 0 la entrada del campo correspondientea ψ cuando

|pψ − pφ cos θ| ≤ tol.

El mismo control se tuvo con los numeradores de los cocientes que se vuelvensingulares en las otras dos ecuaciones. El valor de tol fue calibrado numérica-mente, encontrando que no habia diferencias significativas con valores menoresa 0.0001 por lo cual este valor fue el asignado a tol. Por supuesto, como se hizoen el capítulo anterior resulta indispensable que pφ y pψ sean muy cercanas paraque el control que hacemos tenga sentido. Veremos que efectivamente las dosvelocidades, una asociada al ángulo de giro y la otra al de la precesión deben sercercanos para que el vuelo del trompo sea estable, esto corrrobora los resultadosencontrados por M. V. Berry. Es decir, debe existir un poco de precesión paraque la peonza tenga un comportamiento estable.

Con las constantes elegidas y el esquema numérico a seguir faltan sólo lascondiciones iniciales para comenzar. En virtud de la ecuación (1.33), tenemosque para el valor de µ escogido, el punto de equilibrio es zc = 1.693848849 . . . ,elegiremos éste como condición inicial.

2.1. Modelo Hamiltoniano del Levitron

2.1.1. Solución Simétrica

Como una primera simulación, elegiremos las velocidades angulares pφ =pψ, el valor en el que fueron fijadas fue encontradro a través de exploracionesnuméricas, corroborando que velocidades de giro muy altas no estabilizan lapeonza, como ya lo señala M. V. Berry, el valor en el cual se fijaron fue 5. Todaslas demas posiciones y velocidades las hemos fijado en cero. Los resultados semuestran en la figura 2.1.

Con la finalidad de encontrar regiones estables se hizo una exploraciónnumérica para calibrar mejor el valor de µ y de la zs. Se encontró que el valorde µ donde hallamos mayor estabilidad es µ = 11.022. Una manera de corrob-orar esto analíticamente es proponer2 una solución al sistema que tenga poca

2como en el trabajo de R. F. Gans

2.1 Modelo Hamiltoniano del Levitron 19

3.34

3.345

3.35

3.355

3.36

3.365

3.37

480 485 490 495 500

Figura 2.1: Estabilidad de la coordenada z para la solución simétrica

precesión, explícitamente proponemos

q = (r cos Ωt, r sinΩt, h, α,Ωt, ωt)T (2.1)

p = [−rΩsin Ωt, rΩcos Ωt, 0, 0,Ω(a sin2 α+ c cos2 α) + cω cosα, c(ω + Ωcosα)]T

(2.2)

donde, uno puede elegir libremente la velocidad de giro ω y entonces quedan pordeterminar las constantes r, α, h y Ω para que las ecuaciones de movimientosean satisfechas. De acuerdo con esta solución, las ecuaciones para q quedansatisfechas automáticamente así como la ecuación para pψ. Las primeras dosecuaciones para p son satisfechas si

r = 3|µ|h sinα(1 + h2)(h2 − 3)

(12h4 − 63h2 + 9)|µ| cosα+ 2(1 + h2)9/2Ω2. (2.3)

Esta expresión para r es positiva, como lo marca el artículo de R. F. Gans, si

(

21 −√

393

8

)1/2

= 0.3834 < h <√

3

y Ω2 no excede aµ cosα(12h4 − 63h2 + 9)

2(1 + h2)9/2.

En este rango, el numerador de (2.3) es negativo, asi como el primer términodel denominador. Como consecuencia de la otra cota para el equilibrio zs ≥1.693848849 . . . se infiere que

1.693848849 . . . < zs <√

3 = 1.732050808 . . .

2.2 Modelo del Levitron con Disipación 20

Sin embargo, la ecuación para r tambien es positiva si h es mayor o igual quela raíz mas grande del polinomio en el denominador, es decir si

(

21 +√

393

8

)1/2

= 2.258988369 < h.

Esta cota para h no contradice la que originalmente teníamos, por lo cual sielegimos como condición inicial zc = 3.34, tenemos de (1.33) que |µ| = 11.022.Éstos son finalmente los valores con los que trabajaremos en adelante.

2.1.2. Solución No Simétrica

Para el caso en el que la velociad de giro y la velocidad de la precesiónson diferentes pero muy cercanas se simuló con las mismas condiciones inicialessalvo que se elegió pψ = 5.0001, en este caso las gráficas que se obtuvieron semuestran en las figuras 2.2 y 2.3. Como se puede apreciar, a diferencia de la

3.34

3.345

3.35

3.355

3.36

3.365

3.37

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Figura 2.2: Estabilidad de la coordenada z para la solución no simétrica

solución simétrica las coordenadas (x, y) ya no permancen en el origen sino quetienen cierta movilidad, sin embargo la estabilidad del trompo permanece, puesla levitación se observa durante el mismo tiempo que para el caso simétrico. Enadelante trabajaremos con estos valores iniciales para las velocidades angularesde giro y precesión.

2.2. Modelo del Levitron con Disipación

La introducción de terminos disipativos en las ecuaciones de movimiento seha hecho en dos partes, una que está relacionada con la traslación de la peonzay la otra que tiene su razón de ser en la rotación de la misma, así han sidonecesarias dos constantes positivas de fricción: CR y CT . Los términos disipa-tivos que se han agregado a las ecuaciones (1.24)-(1.26) son −CT px, −CT py

2.2 Modelo del Levitron con Disipación 21

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

−0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03

Figura 2.3: Posición de las coordenadas (x, y) para la solución no simétrica

y −CT pz respectivamente. Esto es, que la fricción debida a la traslación de lapeonza es proporcional (con el signo negativo pues va en contra del movimientodel cuerpo) a la velocidad con la que se desplaza. Dado que la velocidad conla que gira el trompo es muy alta en relación con la velocidad de traslación,resulta conveniente modelar esta fricción con un término cuadrático, de estamanera los términos disipativos que se añadieron a las ecuaciones (1.27)-(1.29)son −CRpθ|pθ|, −CRpψ|pψ| y −CRpφ|pφ| respectivamente. El uso del valor ab-soluto es sólo para conservar el signo de la velocidad de giro y así garantizar quedichos términos actuan en oposición al giro del trompo. La elección del valor deestas constantes se hizo haciendo distintas pruebas. En las figuras 2.4 y 2.5 semuestran gráficas de las simulaciones numéricas efectuadas con CR = CT = 0.1.Se puede observar como se mantiene en el aire por poco tiempo y luego el trompo

2.7

2.8

2.9

3

3.1

3.2

3.3

3.4

0 10 20 30 40 50 60

Figura 2.4: Inestabilidad de la coordenada z para la solución con disipación

2.3 Modelo con Disipación y Forzamiento Paramétrico 22

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Figura 2.5: Posición de las coordenadas (x, y) para la solución con disipación

cae. En la figura (2.5) se muestra como se pierde la posición estable del trompoen el plano xy.

2.3. Modelo del Levitron con Disipación y Forza-

miento Paramétrico

Las gráficas de las simulaciones que se muestran en esta sección se obtuvieronintroduciendo un termino de resonancia paramétrica a la coordenada z sobre lasecuaciones con disipación. Mas especificamente, lo que se hizo es lo siguiente:iniciando la coordenada z en el punto de equilibrio encontrado en el capítuloanterior y calibrado numéricamente en las secciones anteriores, se añadio untérmino de la forma β cos Ωt, es decir se hizo el cambio

z 7−→ z + β cos Ωt.

La región del plano Ω−β que se eligió para hacer las simulaciones con el terminoforzante fue encontrada numéricamente observando las simulaciones obtenidasen el caso del modelo con disipación. Se eligió de esta manera las frecuenciasy amplitudes que fueran resonantes para dicho sistema con CT = 0.01 y CR =0.001.

La forma en la que se procedió fue la siguiente: se efectuaron simulacionespara valores de β desde 0 hasta 0.005 con un paso de 0.001, es decir se simulópara valores

β = n (0.001) n = 0, . . . , 500,

para cada uno de estos valores de β se hizo varió la frecuencia de oscilación Ωdesde 1 hasta 1.39 con un paso de 0.005, es decir se simuló para valores

Ω = 1 + n (0.005) n = 0, . . . , 438,

2.3 Modelo con Disipación y Forzamiento Paramétrico 23

esto da un total de 219, 000 integraciones. Cada integración se inició con un pasode 0.001 para el método Runge-Kutta y un error de aproximación de 10−14 yse integró siempre se mantuviera la siguiente desigualdad

|x| + |y| + |z − zeq| < 2. (2.4)

donde zeq es el punto de equilibrio encontrado en secciones anteriores.Todas las simulaciones se llevaron acabo en el cluster Abaco (de 54 proce-

sadores) del Depto. de Matemáticas y Mecánica del IIMAS de la UNAM. Lassimulaciones tomaron casi 5 días en terminar.

Los resultados obtenidos se muestran en la figura 2.6. El eje horizontal cor-responde a valores de β y el eje vertical a valores de Ω. Cada punto en la gráficacorresponde a una simulación con ciertos valores de β y Ω y donde la soluciónsatisface la condición (2.4). En el color de cada punto de la gráfica está rep-resentado el tiempo de vuelo, siendo el rojo intenso soluciones cuyo tiempo devuelo fue cero y aquellos puntos en azul soluciones cuyo tiempo de vuelo llegoa las 906.0 unidades. En la figura inferior se fijo un umbral de 121 unidades, esdecir que los valores de los parámetros para los cuales la solución no levitó pormas de 121 unidades no fueron graficados.

En esta gráfica se puede apreciar a simple vista que surge una estructurade Lenguas de Arnold como la que se obtuvo en la sección donde se discutió laecuación de Mathieu con disipación. Esto corrobora nuestra intuición respectoal diagrama de estabilidad que obtendríamos. Una observación interesente esel hecho de las regiones que forman las lenguas corresponden a soulucionesque crecen exponencialmente, es decir corresponde a exitaciones de los modonormales de rotación y traslación por lo que en lugar de caer el trompo masbien sale disparado y por ende levita poco tiempo (pues no satisface (2.4).

Las zonas estables del diagrama corresponden a soluciones amortiguadas dela ecuación de Mathieu. Un hecho interesante es que en el caso de la ecuación deMathieu con disipación la zonas estables corresponden a soluciones que decaenexponencialmente por lo que dichas soluciones no corresponderían con tiemposde vuelo largos. La explicación de este fenomeno sólo puede venir de las interac-ciones no lineales de los modos rotacionales y traslacionales que contrarrestanel decaemiento exponencial mediante el forzamiento paramétrico, estabilizandode esta manera al trompo y logrando que vuele por mas tiempo.

La estructura de las Lenguas de Arnold se hace mas evidente en la segundafigura, pues con el umbral inferior para el tiempo de vuelo de 121 unidades sepuede ver que las soulciones mas estables se encuentran en la región que esper-abamos. En esta región de estabilidad se puede observar que existen solucionescon tiempos de vuelo grandes y soluciones con tiempos de vuelo pequeños. Sinembargo la densidad aparente de puntos azules en la región donde el tiempo devuelo es mayor a 121 unidades parece ser muy alta, sobre todo en la región

0 < β < 0.0625.

Conclusión

Dadas las consideraciones que hicimos para comenzar a integrar numérica-mente las ecuaciones del Levitron los resultados que obtuvimos corroboran elanálisis hecho directamente sobre las ecuaciones. En el caso del modelo sin disi-pación, la solución simétrica se comporta como esperabamos, la coordenada zoscila, como indica su linearización y las coordenadas (x, y) se mantienen fi-jas en el origen. Para el caso de la solución no simétrica, si las velocidades degiro y de precesión son cercanas tambien se tiene la levitación persistente dela peonza como lo muestran la gráficas de la sección correspondiente. Para elcaso de la solución con disipación es posible observar como los términos friccio-nantes hacen que la peonza caiga muy rapidamente. Finalmente el forzamientoparamétrico introducido al sistema hace, para ciertos valores de los parámetrosβ y Ω, que la peonza se mantenga estable incluso en presencia de disipaciónhasta por un tiempo de 906 unidades como se ve en el diagrama de estabilidadde la última sección, esto es: con forzamiento paramétrico se logró estabilizaral trompo por un tiempo 15 veces mayor que el tiempo que levito en presenciasólo de la disipación. Otra observación interesante es que el análisis hecho di-rectamente sobre las ecuaciones locales para z se corrobora numéricamente alobservar el diagrama de estabilidad, pues efctivamente las Lenguas de Arnoldde ven levantadas del eje Ω. Cabe mencionar también que para valores pequeñosdel parámetro β se tiene la mayor concentración de puntos azules, es decir desoluciones que tienen un tiempo mayor de vuelo de la peonza. Esto se debe alas interacciones no lineales del sistema completo, pues en la versión linearizadaestas región correspondería a soluciones que decaen exponencialmente.

El análisis numérico hecho indíca que, bajo todos los supuestos hechos yaproximaciones efectuadas, por ejemplo al potencial magnetostático, es posibleestabilizar el vuelo del Levitron mediante una resonancia paramétrica aplicadaa la base magnética sobre la cual levita.

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modelacion matematica de un levitron

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