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III. Modelación Matemática

Pág. 10 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos © 1987, Salvador Acevedo

III. MODELACION MATEMATICA

El análisis matemático de Ferrorresonancia dista de ser sencillo cuando se

busca una solución exacta y se desea tomar en cuenta todas las consideraciones que una

inductancia "no-lineal" implica. No obstante, realizando simplificaciones apropiadas es posible

aproximar satisfactoriamente a las variables de interés, en este caso, voltajes y corrientes. Dado

que la Ferrorresonancia involucra resonancia en presencia de no linealidad y saturación

magnética, conviene que primero se recuerden algunos conceptos importantes relacionados con

estas características para posteriormente atacar el fenómeno.

A) Los Transformadores como Elementos No-Lineales.

Un transformador de núcleo ferromagnético es un dispositivo que se utiliza

en los sistemas eléctricos para cambiar los niveles de voltaje. Su comportamiento se describe

básicamente por la Ley de Faraday y por la Ley de Ampère; la necesidad del uso de material

ferromagnético en el núcleo se debe a su alta permeabilidad, factor que permite direccionar el flujo

magnético entre unas bobinas y otras.

Una de las propiedades no deseables de los materiales ferromagnéticos es

su característica "no-lineal" entre flujo e intensidad de campo magnéticos, misma que es

multivaluada cuando se le aplican excitaciones senoidales a alguno de los devanados del

transformador, presentando lo que comúnmente se conoce como "Característica de Histéresis" o

"Lazo de Histéresis". La figura 3-a muestra un "Lazo de Histéresis" de estado estable, mismo que

ocurre cuando se aplica al material ferromagnético una intensidad de campo magnético variante en

el tiempo, con valor máximo Hmax y con ciclos positivos y negativos iguales.

Existe un "Lazo de Histéresis" de estado estable para cada valor máximo de

intensidad de campo H . Las uniones de los picos de todos los lazos de un material que se obtienen



al variar Hmax , forman la "curva de magnetización" de ese material tal como se muestra en la

figura 3-b.

Ya que la densidad de flujo es proporcional al flujo magnético y la corriente

lo es a la intensidad de campo magnético, la curva de magnetización puede transformarse

fácilmente en la "característica Ø-i", dependiendo de las dimensiones del núcleo de cada

transformador y del número de vueltas que se hayan enrollado a éste. La "característica Ø-i"

correspondiente a la curva de magnetización de la figura 3-b se presenta en la figura 3-c donde "Ø"

representa el flujo máximo de la bobina en webers e "i" , la corriente máxima instantánea en

amperes.

Figura 3. Obtención de la curva de magnetización a partir de los lazos de histéresis. (a) Lazo de histéresis de

estado estable para una intensidad de campo Hmax. (b) Unión de los picos de los lazos de histéresis para obtener

la curva de magnetización. (c) Curva de magnetización transformada a valores Ø-i.

Efecto de la No-Linealidad en la Corriente de Excitación: Al observar la

curva Ø-i de la figura 3-c se nota que mientras el flujo es menor que un flujo de saturación "Øs" la

relación entre el flujo y la corriente es casi lineal, pero a valores mayores que "Øs" ya no existe una

relación constante entre ambas variables y ante pequeñas variaciones de flujo magnético se tienen

cambios muy notorios de corriente; cuando esto ocurre se dice que el transformador se ha saturado.

Lo anterior sugiere que no es recomendable trabajar con valores de flujo superiores al flujo de

saturación para no se obligue a la corriente a crecer abruptamente y así evitar los

sobrecalentamientos que este efecto puede producir.

Para comprender con claridad las consecuencias de la saturación, supóngase

que se desea ver cómo es la corriente que circula por un transformador operando en vacío. Cuando

no hay carga en el transformador, la única corriente que circula por las bobinas es la de excitación,



asociada con las corrientes de "eddy" que circulan en el núcleo debido al voltaje inducido en éste

por el flujo variante en el tiempo que pasa a través del material ferromagnético.

La figura 4-c presenta la característica Ø-i simplificada del transformador

que aparece en la figura 4-a, en cuyo circuito equivalente se desprecian efectos resistivos, pérdidas

en el núcleo y dispersión de flujo. Si se aplica un voltaje senoidal de magnitud y frecuencia

constantes a las terminales del primario del transformador, el voltaje inducido en ellas está

obligado a ser senoidal y en fase con el de la fuente de alimentación, asimismo, de acuerdo a la Ley

de Faraday, el flujo producido en el material ferromagnético debe ser senoidal.

Sea el voltaje aplicado al transformador

v = √2 Vrms cos (wt) V (1)

donde Vrms es el valor eficaz de voltaje de la fuente y w la frecuencia en rad/seg.

Entonces, de acuerdo a la Ley de Faraday el voltaje inducido en las terminales de la bobina es:

e = v = N (dØ/dt) V (2)

lo que obligará al flujo del núcleo en estado estable a ser:

Ø = (1/N) ∫ e dt = (1/N) ∫ √2 Vrms cos (wt) dt

Ø = (√2 Vrms /w N) sen (wt) Wb (3)

y si w = 2πf donde f representa la frecuencia de la fuente de votaje en Hz entonces:

Ø = (Vrms/4.44 f N) sen (wt) (4-a)

Ø = Ømax sen (wt) (4-b)

donde

Ømax = (Vrms/4.44 f N) (4-c)



Cuando el voltaje aplicado es el nominal, entonces el flujo máximo está en

la parte lineal de la curva Ø-i y su forma se muestra en la figura 4-b. La onda de corriente (fig. 4-

d) se obtiene gráficamente mediante el sencillo procedimiento de la figura 4. Cuando t=0, Ø=0 y de



la curva de magnetización i=0. En t = t1, el flujo ha crecido a un valor Ø = Ø1 y el valor

instantáneo correspondiente de corriente se obtiene de la curva Ø-i y es i1. A medida que el tiempo

transcurre y mientras el flujo aumenta, la corriente también se incrementa de acuerdo a la curva de

magnetización hasta que, eventualmente, el flujo alcanza su valor máximo Ømax, lo que ocurre

después de un cuarto de ciclo con respecto a la referencia, esto es, en t = π/2w, tiempo para el cual

la corriente también ha llegado a su valor máximo imax. A partir de este momento, el flujo

comienza a disminuir y, por consecuencia, la corriente se reduce. Después de medio ciclo de flujo

éste volverá a cero y en el mismo instante no circulará corriente en el circuito. El siguiente medio

ciclo sucede en forma similar, pero ahora tanto el flujo como la corriente son negativos. En la

figura 4 puede observarse un ciclo de flujo y su correspondiente ciclo de corriente en el

transformador y, dado que se trabaja en la zona lineal, la corriente obtenida es casi senoidal y en

fase con el flujo. Cabe recordar que se está utilizando la curva de magnetización para la

obtención de la corriente y en la realidad el núcleo tiene un "Lazo de Histéresis", por lo que el

análisis anterior es una aproximación. El efecto de considerar la histéresis haría que la corriente se

adelantase un poco al flujo y que su forma no fuese perfectamente simétrica, lo que propiciaría que

el núcleo tuviese un valor de flujo residual.

Si en lugar de aplicar voltaje nominal se aplicase un voltaje 30% superior,

entonces el procedimiento para encontrar la corriente de excitación sería el mismo, pero dado que

este nuevo valor de voltaje produce un flujo 30% por arriba del de saturación, la corriente se

incrementará excesivamente tal como se puede ver en la figura 5.



B) El Circuito "LC-Serie" Lineal.

Cuando se conectan en serie una resistencia, una inductancia y una

capacitancia lineales a una fuente de corriente alterna, existe la posibilidad de que se produzcan

sobrevoltajes y sobrecorrientes en el circuito.



El caso más crítico ocurre cuando los valores óhmicos de la reactancia

inductiva y la reactancia capacitiva coinciden, en este caso la corriente queda limitada tan sólo por

la resistencia, puesto que las reactancias inductiva y capacitiva se cancelan por ser de signo

contrario; si se considera que la resistencia corresponde al efecto resistivo de los elementos del

circuito, entonces su valor será pequeño, propiciando que las corrientes aumenten

considerablemente. Esto traerá como consecuencia que los potenciales de los elementos del circuito

sobrepasen los valores normales que tendrían si se hubiesen conectado en otras condiciones o en

diferentes combinaciones. Esta forma de operación es conocida comúnmente como "resonancia".

Si la reactancia capacitiva no tiene el mismo valor que la reactancia

inductiva, pero no son significativamente diferentes, aún prevalecerán las sobrecorrientes y los

sobrevoltajes antes mencionados, a pesar de que el circuito no se encuentra en "resonancia".

La figura 6 muestra un circuito "LC-serie" lineal con su respectivo

diagrama fasorial suponiendo que el circuito es predominantemente inductivo; la corriente se

encuentra atrasada 90° respecto al voltaje de la fuente; además se desprecia todo efecto resistivo

con el objeto de facilitar los cálculos y la visualización del diagrama fasorial.

Figura 6. (a). Circuito "LC-serie" predominantemente inductivo.

(b). Diagrama fasorial correspondiente (no a escala).



Aplicando la ley de Kirchhoff de voltajes al circuito se tiene:

E = VL + VC (5)

o bien, para las magnitudes, considerando que es inductivo:

VL = E + VC (6)

lo cual indica que el voltaje de la inductancia es mayor en magnitud que el voltaje de la fuente y

depende de la impedancia que presente el circuito.

EJEMPLO 1.

Resolver el circuito de la figura 6 si XL = 10 Ω y XC = 2 Ω y el voltaje de la fuente en

estado estable senoidal es E = 100 ang(90°) Volts.

Solución:

De la ecuación (5):

E = jXL I - jXC I

E = j(XL - XC) I

despejando la corriente

I = E/ j(XL - XC)

substituyendo valores:

I = 100 ang(9O°)/j(10 - 8)

I = 50 ang (0°) A

entonces los voltajes en la inductancia y el condensador son:

VL = j XLI = (j10)(50) = j 500 V

VC = -jXCI = (-j8)(50) = -j400 V

o bien, las magnitudes de ambos voltajes son:

VL = 500 V. y VC = - 400 V.



Nótese que a pesar de aplicar solamente 100 V. al circuito se han

presentado voltajes de cuatro y cinco veces el de la fuente en la capacitancia y en la inductancia

respectivamente.

Si la conexión se hubiese realizado en paralelo, ambos elementos tendrían

100 volts aplicados y las corrientes a través de cada uno de ellos, así como la proporcionada por la

fuente, se verían notoriamente disminuidas.

Una alternativa para visualizar la solución de circuitos de este tipo consiste

en graficar las características de los voltajes en cada elemento del circuito en un sistema de

coordenadas y encontrar la solución intersectando éstas.

La solución del circuito "LC-serie" en estado estable puede realizarse

gráficamente. Para esto, primeramente se representa la relación entre el voltaje y la corriente

eficaces de la inductancia, cuya ecuación es:

VL = jXL I (7-a)

donde

XL = w L = 2π f L (7-b)

L es el valor de la inductancia en henrys.

La magnitud del voltaje de la inductancia entonces está dado por:

VL = XL I (8)

cuando el circuito es lineal, XL es constante por lo que la ecuación (8) corresponde a una línea

recta que pasa por el origen (figura 7).

De acuerdo a la ecuación (6), el voltaje en la inductancia debe ser igual a la

suma del voltaje en la fuente más la caída en la capacitancia, esto es:

VL = E + VC (6)

La caída de voltaje en la capacitancia, de acuerdo a la ley de Ohm es:

VC = -j XC I (9-a)



además

XC = (1/w C) (9-b)

y en magnitud el voltaje se puede expresar como:

VC = XC I (10)

si a esta ecuación se le suma el voltaje de la fuente, se tiene:

VC + E = XC I + E (11)

Puesto que la capacitancia es constante, la ecuación (11) corresponde a la ecuación de una recta

que cruza al eje vertical en un valor E y se muestra graficada en la figura 7.

La solución es, entonces, la intersección de las dos rectas que corresponden

a las ecuaciones (8) y (11) en la figura 7, dando el punto de operación del circuito. En la figura se

incluye el diagrama fasorial para el punto de operación encontrado.

Figura 7. Solución gráfica del circuito "LC-serie" de la figura 6.



Cuando se aumenta la reactancia capacitiva XC, el punto de operación se

recorre a la derecha, aumentando tanto los voltajes como las corrientes en los elementos. El peor de

los casos ocurre cuando se ha aumentado la reactancia capacitiva de tal manera que XL = XC, pues

esto hace que ambas pendientes sean iguales y, por lo tanto, que las rectas de la figura 7 sean

paralelas y no se corten produciendo "resonancia". Si se continúa incrementando XC el circuito se

torna predominantemente capacitivo y la ecuación (11) tiene mayor pendiente que la ecuación (8)

provocando que el punto de operación esté en el tercer cuadrante, con la consecuente inversión de

voltajes y corrientes (figura 8).

Figura 8. Incrementando la capacitancia se logra un punto de operación diferente que corresponde al

circuito predominantemente capacitivo.

EJEMPLO 2.

Determinar el punto de operación de un circuito "LC-serie" predominantemente

capacitivo utilizando el método gráfico ilustrado en esta sección.



Solución:

Si el circuito es capacitivo entonces la corriente adelantará 90° al voltaje y el diagrama

fasorial correspondiente será:

Figura Ej.2

Del diagrama fasorial se puede apreciar que ahora el mayor voltaje se encuentra en la

capacitancia, mismo que se encuentra en fase con el de la fuente, mientras que la diferencia de potencial en la

inductancia está 180° atrasada; al mismo tiempo, la corriente se ha desfasado 180° con respecto al caso inductivo,

puesto que debe estar adelantada del voltaje ya que el circuito es capacitivo. La relación que existe entre las

magnitudes de los voltajes es ahora:

VC = E + VL (12)

Si se grafica nuevamente el voltaje en la inductancia y se intersecta con la combinación

de la fuente y la capacitancia, se tiene que la pendiente de la ecuación (11) es mayor que la de la ecuación (8)

debido a que XC > XL como se aprecia en la figura 8. En este caso el punto de operación se encuentra en el tercer

cuadrante y el voltaje de la inductancia VL es negativo, lo que coincide con las características del circuito.

El análisis anterior permite visualizar las consecuencias de una conexión

"LC-serie" cuando la inductancia es lineal, pero cuando se desea analizar transformadores

eléctricos de núcleo ferromagnético se debe considerar el efecto de saturación del núcleo

apropiadamente. Es este efecto el que da origen a la Ferrorresonancia.



C) El Circuito "LC-Serie" No Lineal.

Los equipos eléctricos que tienen devanados enrollados en núcleos

construidos con material ferromagnético, tienen el problema de que este material se satura si se

excede un cierto nivel de flujo circulando por el núcleo; tal como se mostró con anterioridad.

Debido a esta no linealidad, la relación existente entre el voltaje y la corriente presenta una

característica en la cual la saturación estará dada de acuerdo al nivel de voltaje aplicado a las

terminales de los devanados; lo cual se debe a que este voltaje es proporcional al flujo, de acuerdo

a la ecuación 4.

Razones económicas referentes al aprovechamiento del material

ferromagnético han suscitado que los transformadores se diseñen para trabajar alrededor del punto

de saturación, el cual se encuentra en la rodilla de la curva de voltaje contra corriente (figura 9),

indicando que cualquier exceso apreciable de voltaje es capaz de saturar al transformador

provocando aumentos en los niveles de corriente y deformaciones en las ondas de corriente y de

voltaje.

Esta no linealidad produce complicaciones muy interesantes en el análisis

del circuito "LC-serie" y es este el caso en que un circuito puede operar en Ferrorresonancia.



Figura 9. Relación entre voltaje y corriente en un transfomador.

Cuando en un sistema eléctrico se presenta la conexión en serie de un

transformador y un capacitor, o algún efecto capacitivo, se tiene un circuito "LC-serie" no lineal.

Este circuito puede aparecer tanto en sistemas monofásicos como en sistemas trifásicos. En el caso

monofásico la solución gráfica descrita anteriormente ayuda a visualizar el circuito con relativa

facilidad; en sistemas trifásicos, la solución por el método gráfico sería bastante complicada por lo

que se analiza el problema desde un enfoque diferente.

A continuación se modela el problema de Ferrorresonancia. Primeramente

se resuelve el caso monofásico, esto es, un solo circuito "LC-serie" no lineal, considerando sólo las

componentes fundamentales de las variables a calcular; en segundo término se ataca el problema

en sistemas trifásicos bajo la misma consideración referente a las armónicas involucradas.

Finalmente, se hace una descripción cualitativa de las alteraciones que causa la Ferrorresonancia

en las ondas de voltaje y de corriente.

1) Ferrorresonancia en Circuitos Monofásicos.

El circuito eléctrico equivalente mostrado en la figura 10 consta de una

fuente de voltaje que representa un barraje infinito; una inductancia no lineal correspondiente a un

transformador eléctrico de núcleo ferromagnético y un capacitor lineal, el cual equivale al efecto



capacitivo conectado en serie con el transformador. La relación entre el voltaje y la corriente en la

inductancia no lineal corresponde a la que se mostró en la figura 9.

Figura 10. El circuito LC-Serie No Lineal.

Ahora bien, de acuerdo a la relación existente en el circuito entre las

magnitudes de los voltajes para el caso inductivo, se tiene la ecuación (6), la cual se repite por

conveniencia:

VL = E + VC (6)

el punto de operación queda definido como la intersección de la curva de voltaje del transformador

con la curva que representa el efecto combinado de la fuente y la capacitancia, o sea, el término del

lado derecho de la ecuación (6), el cual corresponde a la ecuación de una recta con pendiente 1/wC.

La solución gráfica se muestra en la figura 11, en la que se incluye la parte negativa de la curva del

transformador.

En la figura 11 se tienen tres puntos de intersección que satisfacen la

ecuación (6) y han sido definidos como puntos de operación.



Figura 11. Solución gráfica del circuito "LC-serie" no lineal.

(3: Punto de operación en Ferrorresonancia)

Si la capacitancia del circuito disminuye, entonces la reactancia capacitiva

aumenta, lo cual obliga a la pendiente de la recta a incrementarse también. La figura 12 muestra

cómo cambian los puntos de operación a medida que se disminuye la capacitancia del sistema;

también se puede ver la parte negativa de la curva del transformador en donde existe otro posible

punto de operación. Incrementado la reactancia capacitiva hasta un valor suficiente, que se define

como capacitancia crítica C2, los puntos de operación 1 y 2 se pueden eliminar, dejando sólo la

solución en el punto de operación 3. Si esto sucede, entonces el circuito se encuentra operando en

Ferrorresonancia y la corriente se encontrará adelantada del voltaje, por lo que el circuito se ha

vuelto predominantemente capacitivo.



C1 > C2 > C3

Figura 12. Efecto del aumento de capacitancia en el circuito.

La aplicación de este método gráfico al sistema monofásico no lineal ha

definido tres posibles soluciones e introducido el concepto de Ferrorresonancia. Un breve análisis

cualitativo de estos puntos

de operación permite visualizar en qué puntos de operación se podrá lograr una condición de

estado estable, es decir, en qué puntos de operación se puede encontrar trabajando al circuito.

i) Punto de operación ('1'): Si hay un incremento en la

corriente, entonces VL aumenta más rápido que E + VC ; este incremento de voltaje no puede ser

proporcionado por la fuente, de manera que la corriente I tiene que disminuir regresando al punto

'1'. Un descenso de corriente provoca que E + VC exceda a VL lo cual obliga a la corriente a

aumentar regresando al valor original; por lo tanto, este punto es un punto de operación

ESTABLE. El diagrama fasorial que representa esta condición de operación es el de la figura 13a

el cual cumple con la ecuación (6).



ii) Punto de operación ('2'): Si en este punto de operación se

incrementa la corriente, entonces E + VC > VL y el exceso de voltaje obligará a la corriente a

aumentar, no pudiendo regresar al punto de operación. En cambio si I disminuye, la fuente no

podrá entregar la corriente demandada, por lo que el punto '2' es un punto de operación

INESTABLE.

iii) Punto de operación ('3'): En este punto la corriente se ha

invertido de dirección y por tanto los voltajes de los elementos también se han desfasado 180°,

como en el diagrama fasorial de la figura 13-b. En este caso, un incremento de corriente será en la

dirección contraria y hará que E + VC < VL; el exceso de voltaje no podrá ser sostenido por la

fuente, haciendo que la corriente regrese a su punto original. Si I disminuye, E + VC aumentan más

rápido que VL y el exceso de voltaje hará que la corriente aumente provocando que el punto de

operación sea ESTABLE. Este punto de operación ha sido definido como el de Ferrorresonancia.

(a) inductivo (puntos 1 y 2) (b) capacitivo (punto 3)

Figura 13. Diagramas fasoriales para los puntos de operación de la componente fundamental del circuito LC-serie

no lineal.

Por supuesto que existirán dos puntos de operación estables cuando la

capacitancia es mayor que la capacitancia crítica C2 mostrada en la figura 12 , y sólo existirá el

punto '3' de Ferrorresonancia cuando la capacitancia es menor que el valor crítico.

Si en lugar de variar la capacitancia, se hubiese modificado el valor de la

magnitud de la fuente de voltaje, entonces la pendiente de la recta E + VC no cambiaría, pero el



punto de cruce con el eje vertical variaría de acuerdo con la fuente, como se aprecia en la figura 14.

De esta forma podemos también tener tres puntos de operación o uno solo, dependiendo de la

magnitud de voltaje de la fuente.

Figura 14. Efecto de aumentar la magnitud de voltaje de la fuente.

(El incremento de voltaje provoca que la recta se encuentre más arriba)

Para poder evaluar analíticamente los voltajes y corrientes, considerando

sólo las componentes fundamentales de las variables eléctricas, se puede aproximar la curva de

voltaje r.m.s. contra corriente r.m.s. del transformador con alguna ecuación que la represente

adecuadamente tal como la ecuación de Frölich:

VL = ( A I )/ ( B + I ) (13-a)

donde A y B son constantes en unidades congruentes con las del Sistema Internacional. Estas

constantes se determinan a partir de la curva del transformador asignando dos puntos de ésta a la

ecuación (13-a) tal como se muestra en la figura 15, obteniendo de esta forma dos ecuaciones

independientes que pueden ser resueltas simultáneamente.



Figura 15. Aproximación mediante la ecuación de Frölich.

Una vez obtenido el modelo del transformador con la ecuación de Frölich,

se pueden obtener los dos primeros puntos de operación (1 y 2), localizados en el primer cuadrante,

resolviendo simultáneamente las ecuaciones (13) y (6), que representan la curva del transformador

y la característica de los voltajes de la fuente en combinación con la capacitancia respectivamente.

Despejando la corriente de la ecuación (13-a) se tiene:

I = VL B/(A- VL) (13b)

substituyendo la ecuación (13b) en la ecuación (6) y resolviendo para el voltaje VL se tiene,

después de reacomodar términos:

VL = [ - k1 ± √( k1 2 - 4AE)] / 2 (14)

donde

k1 = (B/wC) - A - E

Si k1 2 > 4AE, entonces existen dos soluciones reales para VL, que

representan los puntos de operación 1 y 2, a partir de las que se pueden encontrar las soluciones

para las corrientes correspondientes con la ecuación (13-b) y los voltajes en la capacitancia cuya

magnitud está dada por la ecuación (10).



Por otra parte, si k1 2 = 4AE, entonces sólo existe una solución en el primer

cuadrante y ésta define el valor mínimo de capacitancia que necesita tener el sistema para que

exista más de una solución (figura 16). Solamente se necesita substituir el valor de k1 en la

igualdad anterior y despejar para C obteniendo:

Cmin = B/w(A+E+√(4AE)) (15)

Figura 16. Valor crítico de capacitancia para obtener solución en el primer cuadrante.

Finalmente si k1 2 ≥ 4AE, no hay solución real para el radical de la

ecuación (14), indicando que no existe intersección de las curvas de la figura 16 para este primer

cuadrante. Bajo estas circunstancias la única posible solución se encuentra en el tercer cuadrante y

el circuito opera en Ferrorresonancia.

La solución en el tercer cuadrante corresponde al caso capacitivo donde la

corriente es adelantada y las magnitudes de los voltajes responden a la ecuación (12):

VC = E + VL

VL = VC - E = (1/wC)I - E (12)

la cual respresenta una recta con pendiente (1/wC) y que cruza al eje vertical en un valor negativo

de E como se ve en la figura 17.



Figura 17. Solución en el punto de operación de Ferrorresonancia.

Esto se visualiza con más claridad imaginándose un espejo que proyecta la

imagen del tercer cuadrante en el primero como se ilustra en la figura 18.

Figura 18. Visualización del tercer punto de operación con la ayuda de un espejo imaginario que refleja el tercer

punto de operación al primer cuadrante.



La solución analítica se logra substituyendo la ecuación de Frölich (13-b)

en la ecuación (12) y resolviendo nuevamente para el voltaje en la inductancia, lo cual después de

reordenar términos aparece así:

VL = [ - k2 ± √( k22 + 4AE)] / 2 (16)

en la cual

k2 = (B/wC) - A + E

en esta ecuación el radical siempre será positivo y se tendrán dos soluciones, de las que se toma la

positiva por ser la que interesa en congruencia con la figura (18). El procedimiento para evaluar la

corriente y el voltaje en la capacitancia es similar al caso anterior para las magnitudes, ya que los

fasores corresponden al caso capacitivo y, en este punto de operación, son los de la figura 13-b,

por ser el caso capacitivo.

Cuando sólo existe el punto de operación de Ferrorresonancia, el circuito

está obligado a trabajar en él, soportando los sobrevoltajes consecuentes y los excesos de corriente

producidos por la saturación del transformador.

Si la capacitancia es mayor que la crítica, se tienen dos puntos de operación

estables, y el sistema opera indistintamente en cualquiera de éstos. La selección del sistema por

uno de éstos es un fenómeno aleatorio que depende de las condiciones iniciales del sistema; por

ejemplo, el momento en que se produce la conexión LC-serie, o el flujo residual que tenga el

núcleo, o la carga del capacitor, entre otras.

En el apéndice A se presenta el listado del programa de computadora que se

preparó para obtener el punto de operación en Ferrorresonancia. Este será utilizado

posteriormente en las pruebas efectuadas para el circuito monofásico (IV. Experimentación en el

Laboratorio).

2. Ferrorresonancia en Circuitos Trifásicos.



En sistemas trifásicos es más factible que se presente una conexión donde

pueda ocurrir el fenómeno de Ferrorresonancia. El problema sobreviene cuando se desconectan

uno o dos de los conductores que alimentan a un banco de transformadores trifásicos no aterrizado

y existe efecto capacitivo de los alimentadores con un valor adecuado para producir el fenómeno.

El banco de transformadores puede constar de tres unidades monofásicas o

un solo transformador trifásico, con cualquier conexión en que no se aterrice el primario. En el

desarrollo analítico que presenta Edith Clarke [2], se desprecia todo acoplamiento magnético entre

bobinas de fases diferentes.

Como es sabido, la Ferrorresonancia se presenta cuando existe una

trayectoria "LC-serie" no lineal y se tiene cierta combinación de los parámetros del circuito.

Para localizar visualmente estas trayectorias, la figura 19 muestra

transformadores cuyo primario se conecta en ∆ (figs. 19-a y 19-b), y en Y (figs. 19-c y 19-d)

señalando el camino de la corriente cuando se abre una fase (figs. 19-a y 19-c) y cuando se

desconectan dos fases de la fuente (figs 19-b y 19-d).



En la figura 19 no se ha incluido el secundario de los transformadores por

dos causas principales:

i) Existe mayor posibilidad de que un transformador opere en

Ferrorresonancia cuando la carga es muy pequeña o nula, siendo más crítico el caso de operación

en vacío. En este trabajo se analiza el caso más crítico.

ii) Cuando el banco de transformadores opera en vacío, la conexión del

secundario no tiene efecto en el cálculo de los voltajes y corrientes del primario.

El efecto capacitivo de las líneas a tierra se presenta como parámetro

concentrado en las capacitancias C1.

La fuente de alimentación se asume ideal porque se supone que el banco

está conectado a un barraje infinito con reactancia equivalente despreciable. También se desprecian

las reactancias de dispersión de los transformadores y los efectos inductivos de las líneas, esto se

debe a que son pequeños comparados con las impedancias que presentan las reactancias de

magnetización y los efectos capacitivos del sistema.

Los voltajes entre líneas de la fuente corresponden a los nominales de los

transformadores, puesto que son los que se aplican al banco en condiciones normales balanceadas

y la fuente de voltaje se encuentra sólidamente aterrizada.

En seguida se desarrolla un método que proporciona una solución

aproximada para el cálculo de los voltajes de línea a tierra que aparecen en las fases desconectadas

de la fuente [2]. El análisis se realiza considerando la conexión ∆ en el primario, y las conexiones

∆ o Y en el secundario, por ser las más comunes en los sistemas de distribución. El método

también se puede extender para analizar conexiones diferentes, siguiendo pasos semejantes a los

que aquí se presentan. Al igual que en el caso anterior el método utiliza solamente las componentes

fundamentales de los voltajes y las corrientes.

En el análisis se supone que los tres transformadores tienen curvas de

saturación iguales y que el voltaje de la fuente es constante e igual al nominal. Se obtiene la



magnitud de los voltajes de las líneas abiertas en función de la capacitancia de línea a tierra y de la

reactancia nominal de uno de los transformadores del banco.

Debido a que se desprecia todo tipo de pérdidas, en el núcleo y en los

devanados, y los efectos de las armónicas no se toman en cuenta; los resultados calculados no

concordarán exactamente con los experimentales. Sin embargo, se tendrá una buena aproximación

para el valor de las magnitudes de los sobrevoltajes en las líneas abiertas y la región donde

ocurren; también se determina para qué valores de la razón Xc1/Xm se tiene más de una solución,

proporcionando una buena idea del valor crítico de la capacitancia.

Los términos que se definen a continuación son generales para el análisis en

cuestión:

Xm = la reactancia del transformador en condiciones normales de operación, es decir, a partir de los

datos de placa. Este valor corresponde al valor de línea a neutro.

Xc1 = las reactancias capacitivas de secuencia positiva.

XAB,XBC,XCA= la reactancia efectiva de los devanados AB, BC y CA conectados en ∆,correspondiente al valor de voltaje aplicado a sus terminales.

VAN, VBN y VCN = voltajes a tierra en las terminales del banco de transformadores en

notación fasorial.

VAN, VBN, VCN = magnitudes de los voltajes a tierra en las terminales del banco de

transformadores.

a) Caso I. Un conductor abierto (fase C desconectada). Conexión ∆.



Cuando los interruptores de las fases A y B se encuentran cerrados, y por

alguna causa la fase C no está conectada a la fuente, el circuito que se tiene es el que se muestra en

la figura 20-a.

Figura 20. Transformador trifásico sin carga que tiene efecto de Ferrorresonancia debido a que operó el fusible de

la fase C.

En la figura 20-b se muestra el circuito simplificado para este caso, donde

fue eliminada la fuente de la fase C debido a que se encuentra desconectada del circuito y no tiene

efecto alguno en el análisis. También han sido eliminados los efectos capacitivos, con respecto a

tierra, que aparecen en las líneas A y B junto con el transformador XAB, ya que no afectan al



voltaje del nodo C; es importante mencionar que el transformador XAB y las capacitancias

mencionadas no forman parte de las trayectorias ferrorresonantes LC y que siempre tienen aplicado

el voltaje nominal. Esto se hace con el fin de facilitar la visualización y el análisis del circuito.

Los voltajes aplicados a las terminales A y B del banco de transformadores

son los voltajes normales de línea a tierra de la fuente, tienen igual magnitud y están desfasados

120° entre sí, esto es:

VAN = VAN ang (-120°) = VAN [-1/2 - j√(3/2) ]

y

VBN = VBN ang (120°) = VBN [-1/2 + j√(3/2)]

además

VAN = VBN

mientras que el voltaje VCN, en la terminal C del banco, es el que se trata de encontrar.

El voltaje que aparece en la fase abierta depende de la corriente ICN que

fluye hacia tierra a través de la capacitancia Xc1 de la figura 20-b. Esta corriente puede ser

analizada a partir de las componentes de los voltajes aplicados al circuito.

La parte real de los voltajes aplicados es:

Re VAN = Re VBN = -(1/2)VAN

Debido a que las fuentes "reales" son iguales y las reactancias XAC y XBC

también son iguales, se encuentra un circuito más simplificado para la parte real del circuito de la

figura 20-b, y éste se muestra en la figura 21-a.



Figura 21. Uso de superposición para calcular VCN a partir de las componentes de voltajes de las fuentes.

La parte imaginaria de los voltajes aplicados es:

Im VAN = - j√(3/2) VAN

Im VBN = + j√(3/2) VBN

En este caso, las componentes imaginarias de los voltajes de las fuentes son

de signo contrario y la simplificación anterior no se puede realizar, sin embargo, dado que las

magnitudes son iguales, la componente imaginaria del voltaje VAN produce corriente de la tierra

hacia la fuente por ser de valor negativo, mientras que la componente imaginaria del voltaje VBN

produce igual corriente, pero de la fuente hacia tierra, por ser de valor positivo, a causa de la

simetría del circuito, la corriente neta que pasa por la capacitancia debida a las componentes

imaginarias de los voltajes es cero; esto se aprecia con claridad en la figura 21-b.

Por lo anterior, se puede concluir que la única corriente que fluye hacia

tierra a través de la reactancia Xc1 es debida a las parte real de los voltajes aplicados a las

terminales A y B del banco y será la única que pueda producir voltaje a través de esta reactancia y,

por lo tanto, en el nodo C con respecto a tierra.



El voltaje del VCN tiene, entonces, sólo la componente debida a la parte real

de la fuente de voltaje y, por división de voltajes, su valor es, a partir del circuito de la figura 21-a:

VCN = (-1/2) VAN [ - Xc1/( Xeq - Xc1 )]

donde VAN es la magnitud del voltaje normal de línea a tierra y es conocida e igual al valor

nominal de cada transformador dividido entre √3; en la figura 21, como las reactancias de los

transformadores son iguales:

Xeq= XBC /2

substituyendo Xeq y rearreglando:

Xc1/ XBC = VCN/(2VCN + VAN). (17)

Pero debido a la no linealidad existente entre voltaje y corriente en un transformador, XBC no puede

ser conocida sino hasta que se tenga el voltaje VBC y éste depende de VCN, que tampoco se

conoce.

Para un banco de transformadores con una curva de excitación dada, se

puede obtener una gráfica del voltaje en la línea abierta VCN contra la relación Xc1/Xm . Con la

gráfica se puede obtener el voltaje VCN partiendo de la relación mencionada. El procedimiento

para obtener la gráfica es como sigue:

i) Asumir un valor de voltaje para VCN con respecto a VAN (por ejemplo

VCN = n VAN ).

ii) Substituir el valor asumido en la ecuación (17) para obtener Xc1/ XBC, o

sea:

Xc1/ XBC = nVAN/(2nVAN + VAN)

Xc1/ XBC = n/(2n +1)

iii) Calcular VBC de la ecuación:

VBC = mag (VBN - VCN)

= mag [-(1/2)-n] - j√(3/2)] VAN



= [0.5 + n]2 + 0.75 1/2 (VAN) (18)

iv) De la curva de excitación, leer la corriente IBC correspondiente a VBC de

la ecuación (18), cuya razón determina:

XBC = VBC/ IBC (19)

v) Determinar el número de veces que XBC es 3Xm ,(el factor 3 se debe a

que Xm de línea a neutro se compara con XBC entre líneas), entonces:

k = XBC /3 Xm

vi) Encontrar Xc1/Xm con los resultados de los pasos ii y v:

Xc1/XBC = n/(2n + 1) = Xc1 / (3 k Xm)

despejando:

Xc1/Xm = 3 k n / (2n +1 ) (20)

Con este paso, se ha encontrado Xc1/Xm para el valor de VCN supuesto.

vii) Si se desea obtener otro punto de la gráfica, volver al paso i; si no,

proceder a graficar resultados.

Para tener una mejor comprensión del procedimiento y la aplicación de cada

uno de los pasos que lo componen, se presenta el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 3.

Obtener la gráfica de voltaje VCN vs. Xc1/Xm cuando se abre una fase de un banco

trifásico de transformadores conectados en ∆ cuya curva de excitación se presenta en la figura ej3-1. Asumir que

el voltaje entre líneas de la fuente es el nominal y es igual a 120 volts.



0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000I r.m.s.

V r.m.s.

Transformador "timbre"

Figura Ej 3.1 . Curva de excitación para el ejemplo 3

(V en volts, I en miliamperes)

Solución:

Se deberá aplicar el procedimiento ilustrado tantas veces como puntos de la gráfica se

deseen.

La fuente de voltaje se mantiene a 120 volts entre líneas, por tanto el voltaje de las

líneas A y B a tierra es:

VAN = VBN = 120/√3 = 69.70 ≈ 70.0 V.

La reactancia normal de magnetización de cualquier transformador se obtiene a partir

del voltaje nominal de la figura ej3-1, esto es:

Xm= 120/0.077 = 1,558.44 Ω

Aplicando los pasos i a vi se tiene:

i) Suponer VCN = 2 VAN = 2 x 70.0 = 140.0 V ; ( n = 2).

ii) Aplicando la ecuación (17)



Xc1/XBC = 2/(2x2 + 1) = 0.4

iii) De la ecuación (18):

VBC = (0.5 + 2)2 + 0.75 1/2 (70) = 185.20 V.

iv) De la curva de excitación (fig. ej3), para VBC = 185.20

IBC = 0.925 A

por tanto

XBC = 185.20/0.925 = 200 Ω

v) La relación XBC/3Xm será, entonces:

k = XBC/3Xm = 200/1,558.44 = 0.12

vi) Finalmente, aplicando (20) se tiene que para VCN = 140:

Xc1/Xm = (3x0.12)(0.4) = 0.14

Este procedimiento ha determinado un punto de la gráfica . Se pueden obtener más

valores repitiéndolo para diferentes valores de VCN.

Debido a que el procedimiento es repetitivo y debe ser aplicado muchas veces para

poder graficar, se elaboró un programa de computadora que permite realizar los pasos rápidamente y cuyo listado

aparece en el apéndice B. A este programa se le alimentan puntos de la curva de excitación, entre los que efectúa

una interpolación lineal en el paso iv, por lo que el programa será más confiable si se tienen muchos puntos de la

gráfica.

Ejecutando el programa para el ejemplo, se obtienen los resultados que se presentan en

la tabla 1.

FERRORRESONANCIA EN UN TRANSFORMADOR DELTA-ESTRELLA CON DOS FASES ENERGIZADAS

VOLTAJE NOMINAL ENTRE LINEAS = 120.0 VOLTS

VCN Xc1/XBC VBC XBC/Xm Xc1/Xm

-210 1.7963 185.3396 0.1209 0.2172



-200 1.8142 175.9079 0.1510 0.2739-190 1.8345 166.5425 0.2013 0.3693-180 1.8575 157.2553 0.2834 0.5264-170 1.8839 148.0610 0.4232 0.7973-160 1.9145 138.9780 0.5803 1.1111-150 1.9504 130.0296 0.8498 1.6575-140 1.9932 121.2457 0.9772 1.9477-130 2.0449 112.6647 1.0716 2.1913-120 2.1087 104.3367 1.1940 2.5178-110 2.1895 96.3274 1.3134 2.8757-100 2.2950 88.7231 1.3893 3.1884- 90 2.4386 81.6371 1.4836 3.6178- 80 2.6456 75.2159 1.5269 4.0396- 70 2.9695 69.6438 1.5467 4.5929- 60 3.5490 65.1389 1.5176 5.3860- 50 4.8831 61.9346 1.4951 7.3010- 40 11.1962 60.2388 1.4826 16.5992

NO PUEDE EXISTIR VALOR DE VCN = -30NO PUEDE EXISTIR VALOR DE VCN = -20NO PUEDE EXISTIR VALOR DE VCN = -10

0 0.0000 60.2388 1.4826 0.0000 10 0.3360 74.7852 1.5286 0.5136 20 0.5490 81.1520 1.4911 0.8187 30 0.6962 88.1956 1.3954 0.9714 40 0.8038 95.7668 1.3183 1.0597 50 0.8861 103.7502 1.2049 1.0677 60 0.9510 112.0577 1.0784 1.0255 70 1.0034 120.6223 0.9884 0.9918 80 1.0467 129.3931 0.8584 0.9585 90 1.0831 138.3307 0.5931 0.6424100 1.1141 147.4049 0.4314 0.4806 110 1.1408156.5919 0.2908 0.3318 120 1.1640 165.87300.2057 0.2394 130 1.1844 175.2332 0.1539 0.1822140 1.2025 184.6605 0.1226 0.1474 150 1.2186194.1451 0.1066 0.1299 160 1.2330 203.67900.0984 0.1214 170 1.2461 213.2556 0.0920 0.1146

Tabla 1. Tabulación obtenida del programa del apéndice B para el ejemplo 3.

La primera y última columnas de los resultados de la tabla 1 indican el voltaje de la

línea abierta a tierra y su relación Xc1/Xm correspondiente. A partir de esta tabulación se grafica VCN contra

Xc1/Xm en la figura ej3-2.



En la gráfica se puede observar que para ciertas relaciones Xc1/Xm existen tres valores

de VCN, y corresponden a los tres puntos de operación que existen en circuitos "LC-serie" no lineales. A partir de

la gráfica puede, entonces, obtenerse el valor crítico de capacitancia para tener tres puntos de operación o

solamente uno.

De la gráfica:

Xc1(crítica) = 1.06 Xm = (1.06)(1,558.44) = 1,651.94

cuya capacitancia correspondiente es:

C1(crítica) = C1(mínima) = 1/(w Xc1(crítica))

a f=60 Hz, w = 377 rad/seg, substituyendo se obtiene:

C1(crítica) = C1(mínima) = 1.6 µF

También se observa que conforme la relación Xc1/Xm disminuye, lo que corresponde a

aumentos de C1, el voltaje de la línea abierta aumenta en magnitud en la parte negativa, correspondiente al punto

de operación de Ferrorresonancia. Este aumento de capacitancia está asociado con incrementos en la longitud de

la línea de alimentación, por lo que se concluye que el efecto es más nocivo entre más larga sea la línea o entre

más apreciable sea el efecto capacitivo.



-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0.1 1.0 10.0 100.0

Xc1/Xm

Vcn (Escala semilogarítmica)

Fig. Ej 3-2. Variación del voltaje en la línea abierta con respecto a tierra

(Obtenida del programa con el procedimiento señalado en esta sección y los valores corresponden a la primera y la

última columnas de la tabla 1)

La curva de excitación presentada en el ejemplo anterior corresponde a la de

uno de tres transformadores reales del tipo de los que se usan en los timbres y fue medida en el

laboratorio; con estos transformadores se experimentó con la finalidad de poder comprobar si los

resultados obtenidos mediante el presente método concuerdan con los de laboratorio; los resultados

de los experimentos se presentarán posteriormente.

b) Caso II. Dos conductores abiertos (fases B y C desconectadas) Conexión ∆

Cuando se tiene una conexión ∆ y se mantiene sólo la fase A conectada a la

fuente de alimentación trifásica, existen dos trayectorias a tierra a través de las capacitancias



equivalentes de los alimentadores desconectados de las fases B y C, tal como se ilustra en la figura

22. En esta conexión no se ha incluido el efecto capacitivo de la línea A, ni los efectos capacitivos

entre líneas, debido a que no forman parte de ninguna trayectoria "LC-serie" y son

independientes.

Figura 22. Conexión Delta con dos fases del banco desconectadas de la fuente y dos trayectorias a tierra

independientes.

Si los efectos capacitivos de las líneas B y C a tierra son iguales y si los

transformadores XAB y XAC son idénticos, entonces las corrientes que fluyen de la línea A hacia

tierra por las trayectorias I y II, deben ser exactamente iguales, por lo que el potencial en los puntos

B y C tiene que ser el mismo, ya que corrientes iguales producen caídas iguales en capacitancias

iguales. Esto hace que la diferencia de potencial en el transformador XBC sea cero, provocando que

no circule corriente por este transformador, pudiéndose quitar del circuito y simplificar así el

análisis.

Los dos circuitos "LC-serie" por donde se han creado las trayectorias I y II

son equivalentes y están conectados al mismo voltaje, de manera que se pueden analizar por

separado obteniendo resultados similares en cada uno de ellos.



Figura 23. Circuito para resolver la trayectoria I o la trayectoria II del circuito de la figura 22.

El circuito de la figura 23, siendo un solo circuito "LC-serie", se puede

analizar por el método gráfico que se ha detallado con anterioridad. No obstante, si se desea

utilizar el método que se aplicó en el caso I, también se pueden obtener gráficas de los voltajes de

las líneas abiertas a tierra contra la relación Xc1/Xm con un procedimiento bastante similar, en el

que solamente se hacen los cambios pertinentes al nuevo circuito bajo estudio.

Si se toma al voltaje de alimentación como referencia:

VAN = VAN ang (0°) V.

por división de voltajes en el circuito se tiene que:

VBN = VCN = VAN (- Xc1)/[ Xeq - Xc1]

substituyendo Xeq= XAB y rearreglando:

Xc1/XAB = VBN/ [ VBN - VAN ] (21)

reemplazando la ecuación (21) por la ecuación (17) se pueden aplicar los pasos del procedimiento

del caso I:

i) Suponer un voltaje para las líneas abiertas

VCN = VBN = n VAN

ii) Calcular la relación Xc1/XAB a partir de la ecuación (21), esto es:



Xc1/XAB = nVAN / [ n VAN - VAN ]

simlificando

Xc1/XAB = n/(n-1)

iii) Obtener el voltaje en el transformador equivalente:

VAB = VAC = mag ( VAN - VBN)

= mag ( VAN - n VAN )

VAB = VAC= [ 1 + n2] VAN (22)

iv) De la curva de excitación encontrar IAB con el valor obtenido de la

ecuación (22) y determinar:

XAB = VAB /IAB

v) Determinar el número de veces que XAB es 3Xm:

k = XAB /3 Xm

o bien

XAB/Xm = 3 k

vi) Calcular la relación Xc1/Xm a partir de los resultados de los pasos ii y v:

Xc1/Xm = ( Xc1/XAB )( XAB / Xm)

substituyendo

Xc1/Xm = (3 k) [n/(n-1)]

vii) Se ha obtenido un punto de la gráfica correspondiente al valor supuesto

de voltaje en cualquiera de los nodos B o C; para calcular más valores ir al paso i)



En este segundo caso, los valores de los voltajes de las líneas abiertas a

tierra son mayores que cuando sólo una fase está desconectada de la fuente, y, en ocasiones pueden

llegar a ser hasta de cuatro veces el voltaje normal de línea a neutro del sistema, dependiendo de las

características del circuito.

La aplicación del método aquí presentado, ayuda a determinar los valores

de capacitancia que deben tener las líneas para que se presenten sobrevoltajes considerables. A

partir del conocimiento de los valores de estas reactancias capacitivas se puede determinar qué

voltajes máximos aparecerán en determinado banco de transformadores cuando se desconecte una

o dos de las terminales del alimentador principal.

3. Análisis Cualitativo del Transitorio de Ferrorresonancia.

La no linealidad en el núcleo de los transformadores causa, bajo ciertas

conexiones, que se pueda combinar la saturación magnética con efectos resonantes dando lugar al

fenómeno de Ferrorresonancia. La primera consecuencia que origina la saturación de

transformadores es la deformación de la forma de onda de la corriente de excitación,

incrementando excesivamente los valores máximos de ésta. Si existe deformación en la forma de

onda de corriente, entonces también las ondas de voltaje de los elementos del circuito "LC-serie" se

alteran. Dado que la fuente de alimentación es parte de un sistema muy sólido, su voltaje

permanece constante en forma, frecuencia y magnitud independientemente de lo que ocurra en el

circuito.

En esta subsección se analizan cualitativamente las formas de las ondas de

los voltajes y de la corriente en el circuito "LC-serie" no lineal [3]. Las simplificaciones que se

efectúan a continuación facilitan el planteamiento de las ecuaciones diferenciales y la apreciación

de las soluciones correspondientes. Las aproximaciones bajo las que se estudia el transitorio que

precede al estado estable son:



i) El circuito de la figura 24-a tiene la curva de magnetización simplificada

de la figura 24-b.

ii) El "switch" SW se cierra en t=0, y en ese instante el voltaje de la fuente

Vs pasa por cero, esto es:

VS = √2 Vrms sen (wt) V. (23)

iii) El capacitor se encuentra originalmente sin carga:

VC(0-) = VC(0+) = 0

iv) No existe flujo residual en el núcleo de la inductancia no lineal:

Ø (0) = 0

v) Si el valor eficaz de la fuente de voltaje se aplicara directamente a las

terminales de la inductancia, ésta operaría en la rodilla de la curva de magnetización, esto es, en Ø

= ØS.

vi) Todo efecto resistivo puede ser despreciado si se considera que los

valores de las reactancias capacitiva y de magnetización tienen una impedancia mucho mayor que

la de los conductores.

Figura 24. Circuito para estudiar el Transitorio de Ferrorresonancia.

Una vez que se tenga un bosquejo de la solución, bajo las consideraciones

propuestas, se evaluará el efecto que causa cada una en la solución y se modelará al circuito con un

programa de computadora que resuelve ecuaciones diferenciales [4].



Para t≥0 se debe cumplir con la Ley de Kirchhoff de voltajes:

VS = VL + VC (24)

donde VS , VL y VC son los voltajes de la fuente, la inductancia y la capacitancia en función del

tiempo, respectivamente.

El término de la izquierda corresponde al voltaje de un barraje infinito y

obedece a la ecuación (23) en todo tiempo.

El primer término del lado derecho de la ecuación (24) cumple con la Ley

de Faraday, esto es:

VL = e(t) = N dØ/dt (25)

en la que e(t) representa el voltaje inducido en la inductancia y N el número de espiras que tiene

enrollado el núcleo. El capacitor puede asumirse lineal, es decir:

VC = (1/C) ∫ i dt + VC(0) (26)

En la curva de magnetización de la figura 24-b, la corriente vale cero

mientras el flujo sea menor que ØS, y si no circula corriente por el circuito y el capacitor se

encuentra originalmente descargado, entonces el voltaje de la inductancia debe ser igual al de la

fuente. Matemáticamente:

para t≥0, si i(0)=0 y VC(0)=0, entonces:

VL = VS

o sea:

N dØ/dt = √2 Vrms sen (wt)

despejando el flujo e integrando de 0 a t:

Ø = Ømax ( 1 - cos wt) (27)

donde Ømax = Vrms/ (4.44 f N).



En la figura 25-a se observa el voltaje de la fuente VS y el flujo en función

del tiempo mientras no circula corriente por el circuito.

En t = t1 , el voltaje ha alcanzado su valor máximo y, por lo tanto, el flujo

ha alcanzado su valor de saturación ØS. A partir de este instante, cualquier incremento de flujo

traerá como consecuencia circulación de corriente en el circuito y el capacitor podrá empezar a

cargarse; es decir, si t≥t1 entonces :

VS = VL + (1/C) ∫ idt (24)

de manera que la inductancia ya no tiene aplicado el voltaje VS directamente a sus terminales, y la

forma de onda de flujo correspondiente a la ecuación (27) ya no es válida para t≥t1; por esta razón

la parte que no es válida se ha dibujado con líneas punteadas en la figura 25-a.

Ahora, el circuito se puede considerar lineal, ya que la pendiente de la curva

de magnetización es constante. El circuito "LC-serie" tiene aplicado repentinamente el voltaje

VS(t1) a través de sus terminales. Si VS(t) se mantuviera constante e igual a VS(t1), entonces el

voltaje en el capacitor oscilaría a 2VS(t1) en la mitad del periodo natural de oscilación del circuito

LC. Sin embargo, dado que VS es senoidal y decrece durante el intervalo t1 a t2 a un valor VS(t2), el

capacitor alcanzará un valor menor que 2 VS(t1) tal como se ilustra en la figura 25-b.

Durante el medio ciclo en que crece el voltaje del capacitor, también existe

un medio ciclo de corriente circulante. En t=t2, la corriente ha completado ese medio ciclo y se

encuentra nuevamente en cero, indicando que el voltaje del capacitor no puede completar su ciclo

de oscilación sino hasta que la corriente cambie de dirección, pero la corriente no puede hacerse

negativa sino hasta que el flujo haya alcanzado su valor negativo de saturación.



Figura 25. Respuesta transitoria del circuito LC-Serie No Lineal.

El flujo correspondiente al intervalo t1 a t2 tuvo que llegar a un valor

máximo y regresar al valor de saturación ØS cuando la corriente volvió a cero.



En la figura 25 se aprecia que el voltaje atrapado en el capacitor da lugar a

un valor mucho mayor de voltaje en las terminales de la inductancia durante el medio ciclo negativo

siguiente del voltaje aplicado. Esto hace que el flujo alcance su valor negativo de saturación en un

tiempo t3 . En este punto el voltaje del capacitor VC oscila en una forma similar a la del circuito LC

con un voltaje VS(t3) repentinamente aplicado a sus terminales y con un valor inicial de voltaje VC

= VC(t3) = VC(t2). La oscilación dura nuevamente medio ciclo de la frecuencia natural de

oscilación del circuito y conlleva su correspondiente medio ciclo de corriente. La oscilación se

detiene nuevamente cuando la corriente trata de hacerse positiva, ya que no puede lograrlo sino

hasta que el flujo alcance el valor positivo de saturación. Nótese que el capacitor, por tener carga

inicial en esta segunda oscilación, ha llegado a un valor mayor de voltaje, en magnitud, respecto al

precedente medio ciclo.

El proceso continúa hasta que, eventualmente, el voltaje del capacitor se

convierte en una onda cuadrada en fase con el voltaje de la fuente (figura 26), esto corresponde a la

condición de estado estable de Ferrorresonancia.



El procedimiento anterior, con las suposiciones realizadas, se ha simulado

computacionalmente para apreciar la solución numérica del transitorio descrito.

Desafortunadamente los resultados de estado estable no pueden ser obtenidos tan fácilmente

debido a las simplificaciones efectuadas.

El análisis de un transformador más aproximado a la realidad requiere que

se reconsideren las simplificaciones; en particular, las de más interés son las concernientes al flujo

residual, al momento en que se cierra el interruptor SW y a la curva de magnetización del núcleo.

i) La figura 27 presenta el lazo de histéresis de un transformador real. Øm es

el valor máximo de flujo a voltaje nominal y Ør es el valor de flujo residual. Si un transformador

sin carga es desenergizado repentinamente, entonces el flujo residual que permanecerá en el núcleo

es aproximadamente el 90% del valor máximo de flujo, esto es:

Ør ≈ 0.90 Øm

Figura 27. Flujo remanente en el núcleo de un transformador cuando se desenergiza.

Cuando existen efectos capacitivos importantes, la corriente se encuentra adelantada 90° del

voltaje. El interruptor abre cuando la corriente pasa por cero indicando una ausencia de flujo

residual, pero en este momento el voltaje en el capacitor es máximo, y la energía almacenada en él

es descargada a través de la impedancia de magnetización del transformador y esto puede

ocasionar que el flujo llegue a un nivel de saturación, lo cual provoca que exista un flujo residual

en el transformador cuando se intente reenergizar. La presencia de flujo residual tiene dos efectos

en el fenómeno de Ferrorresonancia : cambiará la duración del transitorio y hará que se alcance



un nivel de saturación en el transformador con la corriente de energización correspondiente

(corriente de "inrush").

ii) El hecho de considerar que el voltaje se aplica en el instante en que cruza

por cero, es conveniente para la simplificación del análisis, puesto que produce una onda de flujo

con máxima compensación (ecuación 27); sin embargo, el momento en que se aplica el voltaje de

la fuente es muy aleatorio en la práctica. Cuando se cierra el interruptor en valores de voltaje

diferentes de cero, entonces el transitorio es de mayor duración. El punto de saturación puede ser

alcanzado más tarde en el primer medio ciclo de voltaje de la fuente, por lo que el voltaje del

capacitor quizás llegue a un valor menor que Vc(t2), y tal vez este voltaje no logre que la

inductancia alcance el punto de saturación negativo en el siguiente medio ciclo; en tal caso, el

voltaje del capacitor permanecerá constante por varios ciclos hasta que se pueda lograr el punto de

saturación negativo y se logre que la corriente circule en la dirección contraria; es hasta este

momento en que empezará a formarse la forma de onda cuadrada del condensador. Por lo anterior,

se deduce que la duración del transitorio varía dependiendo del momento en que se ha aplicado el

voltaje de la fuente.

iii) La figura 29 presenta la curva de magnetización real de un

transformador (ver IV. Experimentación en el Laboratorio: figura 29). Se puede comparar a ésta

con la curva de la figura 24-b notando que antes de alcanzar el nivel de saturación, circulará por el

circuito una pequeña corriente que podrá empezar a cargar al condensador. No obstante, el valor de

esta corriente es tan pequeño que permite pensar que la simplificación efectuada al respecto es

válida. En la simulación computacional que se realiza posteriormente, se utiliza la curva de

magnetización real de un transformador.

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