tesis de maestrÍa en ciencias rigoberto vazquez diaz 2012.pdf5.3.5 con guración para la...

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo TecnológicoDepartamento de

TESIS

Control Tolerante a Fallas Pasivo en un Rodamiento Magnético

Ing. Electrónico por el Instituto Tecnológico de Cuautla

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría

Cuernavaca, Morelos, México.

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo TecnológicoDepartamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS


Presentada por:

Rigoberto Vásquez Díaz Electrónico por el Instituto Tecnológico de Cuautla

omo requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis:

Dr. Alejandro Rodríguez Palacios

Dr. Carlos Daniel García Beltrán

. 28 de febrero del 2012

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

DE MAESTRÍA EN CIENCIAS


en Ciencias en Ingeniería Electrónica

28 de febrero del 2012

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo TecnológicoDepartamento de

TESIS


Ing. Electrónico por el Instituto Tecnológico de Cuautla


Maestría

Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza



Cuernavaca, Morelos, México.

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo TecnológicoDepartamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS


Presentada por:

Rigoberto Vásquez Díaz Ing. Electrónico por el Instituto Tecnológico de Cuautla


Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis:


Co-Director de tesis:


Jurado:

Carlos Manuel Astorga Zaragoza – Presidente

Alejandro Rodríguez Palacios– Secretario

Dr. Manuel Adam Medina– Vocal

Carlos Daniel García Beltrán – Vocal Suplente

.

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

DE MAESTRÍA EN CIENCIAS


en Ciencias en Ingeniería Electrónica

28 de febrero 2012

Resumen

En el presente trabajo se presenta el desarrollo de un controlador robusto con la nalidadde mejorar la tolerancia a fallas en un rodamiento magnético activo.

Los rodamientos magnéticos forman parte de una de las aplicaciones de la levitación mag-nética. El desarrollo de estos dispositivos ha aumentado debido a las ventajas que brindanen comparación con los rodamientos mecánicos, ya que no existe contacto físico entre elrotor y el rodamiento.

Dentro de las ventajas que ofrecen los rodamientos magnéticos activos se encuentran: no senecesita de medios de lubricación, eliminación de pérdidas debidas a la fricción, reducciónen los costos por mantenimiento, son viables para aplicaciones al vacío, a altas velocidadesde giro por parte del rotor, etc.

Sin embargo, el hecho de estar conformados por partes activas (sensores, actuadores ydispositivos de procesamiento de información), los hace vulnerables a una nueva clase defallas, las cuales no se presentan en los rodamientos mecánicos. Por ello surge la necesidadde implementar un esquema de control que sea capaz de brindar seguridad en su operación.

El control robusto forma parte de las herramientas del Control Tolerante a Fallas (enfoquepasivo), en donde se busca, mediante el diseño cuidadoso de un solo controlador, reducirel efecto de un conjunto limitado de fallas.

En este trabajo, se utiliza el procedimiento de diseño loop shaping H∞(McFarlane y Glover,1991), junto con la linealización por retroalimentación del estado robusta (Guillard y Bour-lès, 2000). Se pretende brindar robustez al sistema ante fallas vistas como perturbacionesy como incertidumbre en los parámetros físicos.

La justicación de utilizar la linealización por retroalimentación del estado robusta, es quepreserva la información sobre los parámetros físicos del sistema. El sistema linealizado in-cluye la aproximación lineal tangencial del sistema no lineal en torno al punto de operación,lo cual es deseable al utilizar un esquema de control robusto.

Se presentan los resultados que muestran la respuesta del sistema ante distintos tipos fallas,para los cuales el controlador es capaz de mantener al sistema en funcionamiento.

Abstract

This work presents the development of a robust controller in order to improve fault tole-rance in an active magnetic bearing.

The magnetic bearing are an aplication of the magnetic suspension. The development ofthese devices has increased due to the advantages oered in comparison with mechanicalbearings, since there is no physical contact between the rotor and the bearing.

The magnetic bearing oer a number of practical advantages such as: elimination of thelubrication system, elimination of losses due to friction, reduction of maintenance cost,operation at vacuum and extreme temperatures, etc.

However, the fact that the magnetic bearings are composed by active components (sen-sors, actuators and information processing devices), makes them vulnerable to a new classof faults, which are not present in the mechanical bearings. Therefore, a controller capableof providing security in the operation of the system should be implemented.

Robust control is a tool considered in the Fautl Toleran Control (passive approach). Theaim is to ensure that a closed loop system remains insensitive to certain faults using aunique controller.

In this work, a design of a robust control using loop shaping H∞procedure (McFarlane andGlover, 1991) in association with the robust feedback linearization (Guillard and Bourlès,2000) is developed to cope faults characterized as uncertainty or external disturbances.

The aim of using the robust feedback linearization, is that it preserves the information onthe physical parameters of the system. The linearized system includes a tangential linearapproximation of the nonlinear system around the operating point, which is desirable touse a robust control scheme.

The results show the system's response to dierent cases of failure, for which the controlleris able to confront and meet the control objective.

Agradecimientos

A mis Padres Juan Vázquez Muñoz y Araceli Díaz Torres, por ser una excelente guía paramí

A mis hermanos Clara Vázquez Díaz y José Juán Vázquez Díaz, simplemente por ser losmejores hermanos que uno pudiera tener.

A Don Marco Antonio García Contreras, por los incontables consejos y por la motivaciónque siempre inculcó en mi.

A mis camaradas: Marlem, Ubaldo, Michel, Juan, Ricardo, Jesús, Gaby y a todos miscompañeros de generación.

A mi director de tesis Dr. Alejandro Rodríguez Palacios, por su paciencia y excelentedirección.

A mi codirector Dr. Carlos Daniel García Beltrán y a mis revisores de tesis, Dr. Car-los Manuel Astorga Zaragoza y el Dr. Manuel Adam Medina, por el gran apoyo que mebrindaron.

A todo el personal docente del Departamento de Electrónica y al CENIDET, por permi-tirme concluir con una etapa más en mi vida.

Y nalmente, al CONACyT y a la DGEST, por el apoyo brindado durante la realizaciónde mis estudios de maestría.

Dedicatoria

A mis padres Juan y Araceliy a mis hermanos Clara y José Juan,

por ser el motor que me impulsaa seguir adelante

Índice general

1 Introducción 1

1.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Propuesta de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Organización del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Fallas en rodamientos magnéticos 9

2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.1 Enfoques en el control tolerante a fallas . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Fallas en rodamientos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Clasicación de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Conclusión del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Descripción del modelo matemático del rodamiento magnético 17

3.1 Principio de la levitación magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Conguración del AMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Modelo matemático del AMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1 Parte eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.2 Parte mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.3 Representación en el espacio de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.4 Punto de equilibrio y retrato fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


4 Linealización del modelo 33

4.1 Linealización por retroalimentación del estado clásica (LRC) . . . . . . . . . 344.1.1 Condiciones para llevar a cabo la linealización por retroalimentación

del estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.2 Pasos para obtener la LRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Linealización por retroalimentación del estado robusta . . . . . . . . . . . . 404.2.1 Pasos para calcular la LRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Linealización del modelo del rodamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3.1 Cálculo de la LRC para el rodamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.2 Cálculo de la LRR para el rodamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


5 Procedimiento de diseño loop shaping H∞ 51

5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2 El problema del control robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3 Representación de la incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4 Objetivos del control robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4.1 Especicaciones de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.5 Formulación general del problema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.6 Procedimiento de diseño loop shaping H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6.1 Estabilización robusta de la planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.6.2 Algoritmo de diseño loop shaping H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


6 Diseño del controlador para el rodamiento y resultados 71

6.1 Diseño del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.1.1 Moldeo de la respuesta en frecuencia de la función de lazo . . . . . . 726.1.2 Estabilización robusta de la planta moldeada . . . . . . . . . . . . . 74

6.2 Desempeño del sistema ante fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.1 Fallas vistas como cambios en los parámetros . . . . . . . . . . . . . 78

6.2.1.1 Variación en la resistencia eléctrica de los devanados . . . . 796.2.1.2 Variación de las inductancias . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2.1.3 Aumento o disminución de la masa del rotor . . . . . . . . 906.2.1.4 Incertidumbre en todos los parámetros . . . . . . . . . . . 91

6.2.2 Fallas como perturbaciones externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2.2.1 Cambio repentino en la posición del rotor . . . . . . . . . . 946.2.2.2 Vibración en el rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2.2.3 Acción de una fuerza externa sobre el rotor . . . . . . . . . 99

6.3 Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7 Conclusiones y trabajos futuros 102

7.1 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.2 Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Bibliografía 104

A Anexo sobre la linealización por retroalimentación del estado 108

A.1 Herramientas matemáticas para la linealización por retroalimentación delestado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.1.1 Gradiente de una función escalar y Jacobiano de un campo vectorial 108A.1.2 Derivada y corchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109A.1.3 Difeomorsmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109A.1.4 Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

A.2 Comprobación de involutividad de las distribuciones G0, G1, G2 y G3 . . . 111

B Preliminares para el desarrollo del método de control loop shaping H∞ 116

B.1 Realización mínima en espacio de estado de un sistema . . . . . . . . . . . . 116B.2 Multiplicación entre sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

B.3 Descomposición en valores singulares de una matriz de transferencia . . . . 119B.4 El operador Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120B.5 Factorización coprima normalizada por la izquierda . . . . . . . . . . . . . . 121

C Descripción de los programas 123

C.1 S-function para el modelo del rodamiento magnético . . . . . . . . . . . . . 123C.2 Programa utilizado para la LRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124C.3 Cálculo del controlador robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127C.4 Programa para la simulación del sistema con incertidumbre . . . . . . . . . 132C.5 Simulación para el caso de una perturbación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Lista de guras

1.0.1 La operación de un rodamiento se sustenta en la levitación magnética pro-vista por electroimanes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.1.1 Enfoques dentro del control tolerante a fallas. . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 Esquema de un control tolerante a fallas activo. . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3 Esquema de un control tolerante a fallas pasivo. . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Sistema de levitación magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.2 Esquema del principio de funcionamiento de la suspensión electromagnética. 193.1.3 Energía magnética y co-energía en un sistema de levitación magnética. . . 203.2.1 Rodamiento magnético radial y axial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.2 Conguración de AMB radial y axial de Fusion®. . . . . . . . . . . . . . 233.2.3 Conguración de cuatro polos del rodamiento magnético. . . . . . . . . . . 243.3.1 Subsistema del eje horizontal del rodamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.2 Punto silla correspondiente al par de eigenvalores reales λ1 y λ2. . . . . . . 313.3.3 Foco estable debido al par de eigenvalores complejos conjugados λ3 y λ4. . 31

4.3.1 Esquema que muestra la interconexión del sistema no lineal, el bloquelinealizante y la nueva entrada de control lineal. . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3.1 Conguración para la incertidumbre aditiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3.2 Conguración para la incertidumbre inversa aditiva. . . . . . . . . . . . . . 545.3.3 Conguración para la incertidumbre multiplicativa a la entrada. . . . . . . 555.3.4 Conguración para la incertidumbre multiplicativa a la salida. . . . . . . . 555.3.5 Conguración para la incertidumbre multiplicativa inversa a la entrada. . 555.3.6 Conguración para la incertidumbre multiplicativa inversa a la salida. . . 565.3.7 Conguración para incertidumbre en factores coprimos por la izquierda. . 565.3.8 Conguración para incertidumbre en factores coprimos por la derecha. . . 565.4.1 Sistema de control realimentado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4.2 Zonas de frecuencias de interés para el moldeo de la función de lazo L. . . 605.5.1 Conguración general de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6.1 Problema de estabilización robusta con incertidumbre a través de la facto-

rización coprima por la izquierda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.6.2 Descripción de la estabilización robusta en la conguración general de control. 655.6.3 Planta moldeada y controlador Ks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.6.4 Obtención del controlador robusto Ks para la planta Gs. . . . . . . . . . 695.6.5 Controlador nal K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.6.6 Implementación del controlador con prealimentación. . . . . . . . . . . . . 70

6.1.1 Valores singulares de la planta Gr y de la planta aumentada Gar. . . . . . 756.1.2 Valores singulares de la planta Gr, Gar = GrWr y de Lr = KrGr. . . . . . 766.1.3 Implementación del controlador lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.1.4 Posición x nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1.5 Corrientes nominales en los devanados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1.6 Voltajes nominales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.1 Posición x ante la variación en R1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.2 Corrientes en los devanados ante la variación en R1. . . . . . . . . . . . . 806.2.3 Voltajes ante la variación en en R1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2.4 Posición x ante la variación en R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2.5 Corrientes en los devanados ante la variación en R2. . . . . . . . . . . . . 816.2.6 Voltajes ante la variación en R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2.7 Posición ante variación en k1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2.8 Corrientes i1 e i2 ante la variación en k1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2.9 Voltajes V1 y V2 ante la variación en k1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2.10 Posición x ante variación en k2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.2.11 Corrientes i1 e i2 ante la variación en k2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.2.12 Voltajes V1 y V2 ante la variación en k2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2.13 Posición x ante variación en L01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2.14 Corrientes i1 e i2 ante la variación en L01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2.15 Voltajes V1 y V2 ante la variación en L01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.2.16 Posición x ante la variación en L02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.2.17 Corrientes i1 e i2 ante la variación en L02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2.18 Voltajes V1 y V2 ante la variación en L02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2.19 Posición x ante la variación en la masa del rotor m. . . . . . . . . . . . . . 906.2.20 Corrientes i1 e i2 ante la variación en la masa del rotor m. . . . . . . . . . 916.2.21 Voltajes V1 y V2 ante la variación en la masa del rotor m. . . . . . . . . . 916.2.22 Efecto de la incertidumbre en los parámetros en la posición x. . . . . . . . 926.2.23 Corrientes i1 e i2 ante incertidumbre en todos los parámetros. . . . . . . . 926.2.24 Voltajes V1 y V2 ante incertidumbre en todos los parámetros. . . . . . . . 936.2.25 Perturbación en la posición x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.2.26 Corrientes i1 e i2 ante un cambio repentino en la posición con una duración

∆t = 0.01s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2.27 Voltajes V1 y V2 ante un cambio repentino en la posición con una duración

∆t = 0.01s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2.28 Perturbación en la posición x con una duración ∆t = 1s. . . . . . . . . . . 966.2.29 Corrientes i1 e i2 ante un cambio repentino en la posición con una duración

∆t = 1s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.2.30 Voltajes V1 y V2 ante un cambio repentino en la posición con una duración

∆t = 1s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2.31 Posición x ante una vibraciones en el rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2.32 Corrientes i1 e i2 ante vibraciones en el rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . 986.2.33 Voltajes V1 y V2 ante una vibración en el rotor. . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.2.34 Posición x ante una perturbación de fuerza Fp. . . . . . . . . . . . . . . . 996.2.35 Corrientes i1 e i2 ante una perturbación de fuerza Fp. . . . . . . . . . . . . 1006.2.36 Voltajes V1 y V2 ante una perturbación de fuerza Fp. . . . . . . . . . . . . 100

C.2.1 Diagrama a bloques en donde se muestran las partes que integran al sistema.125C.4.1 Diagrama desarrollado en Simulink®. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Lista de tablas

2.2.1 Modos de falla en los AMB's y su clasicación. . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1 Parámetros físicos que corresponden al rodamiento magnético utilizado en[7]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.2.1 Intervalo de variación del la resistencia eléctrica de los devanados, repre-sentadas por R1 y R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.2 Intervalo de variación de los parámetros k1 y k2. . . . . . . . . . . . . . . . 836.2.3 Intervalo de variación para los parámetros L01 y L02 . . . . . . . . . . . . . 866.2.4 Intervalo de variación para m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Capítulo 1

Introducción

Un rodamiento magnético es un dispositivo conformado por una colección de electroimanes,los cuales tienen como objetivo remplazar las partes mecánicas, como rodillos o esferasmetálicas, que integran comúnmente a los rodamientos mecánicos (Figura 1.0.1), mediantela aplicación de fuerzas electromagnéticas. La nalidad de ello es permitir el movimientodel rotor sin la necesidad de que exista contacto físico.

(a) Rodamiento mecáni-co.

(b) Rodamiento magné-tico activo.

Figura 1.0.1. La operación de un rodamiento se sustenta en la levitación magnéticaprovista por electroimanes.

Los rodamientos magnéticos activos (AMB's, por sus siglas en inglés), forman parte deuna de las aplicaciones de la levitación magnética, y en los últimos años han cobrado unagran importancia, debido a las ventajas que ofrecen en comparación a los rodamientosmecánicos.

Dentro de las ventajas que ofrecen los AMBs se mencionan las siguientes:

No requiere el uso de lubricantes. Esto posibilita su aplicación en procesos en dondela contaminación de estos agentes es perjudicial. Por ejemplo, en aplicaciones al vacío,procesos químicos, biológicos, farmacéuticos, etc. [27][3].

2 Introducción

Reducción en las pérdidas por fricción. Lo que proporciona al rodamiento una mayordurabilidad, llegando a ser de cinco a veinte veces menores tales pérdidas [3].

Reducción en los costos por mantenimiento.

Aislamiento de la vibración. El espacio libre existente entre el rotor y el resto de lamáquina, permite aislar la vibración además del ruido. Este espacio puede aprove-charse en algunas aplicaciones en donde se requiera la circulación de uidos.

Las dimensión del espacio libre existente entre el rotor y el rodamiento (denomi-nado gap, en inglés) es del orden de décimas de milímetro, sin embargo, para algunasaplicaciones puede llegar hasta los 20 milímetros [3].

Altas velocidades de operación (hasta de 60000rpm) [16]. Los AMBs son idóneospara aplicaciones en donde se requieran altas velocidades de giro, por ejemplo, engeneradores, turbinas y equipos aeroespaciales.

Los elementos que integran a un rodamiento magnético activo son: electroimanes, sensores,procesadores digitales, amplicadores operacionales y las interconexiones (cableado) entretodas estas partes. Esto convierte al AMB en un dispositivo mecatrónico el cual, mediantela prigramación de algoritmos de control, es capaz de monitorear su estado de operación.

La información proporcionada por los sensores puede emplearse para determinar algúndesperfecto, como por ejemplo, aumento en la carga, descomposición de algún electroimán,mal funcionamiento en los sensores, etc. Esto brinda una operación segura, pudiéndoseimplementar acciones de emergencia, como alarmas o el paro de la máquina en su totalidad.

En la actualidad, se dispone en el mercado de AMBs para distintas aplicaciones. Lasempresas dedicadas a la fabricación de estos dispositivos han aprovechado los avancestecnológicos, con el n de reducir costos de producción, además de hacerlos más compactos,simples y de fácil montaje.

1.1. Planteamiento del problema

Una de las razones por las cuales no se ha extendido la aplicación de los rodamientosmagnéticos en muchas aplicaciones industriales, es por los tipos de falla con los que se lesasocia, las cuales no aparecen con el uso de rodamientos mecánicos convencionales [35].

Un rodamiento magnético, a diferencia de los rodamientos magnéticos mecánicos, es undispositivo que está conformado por elementos activos, como sensores de posición, am-plicadores operacionales, circuitería, fuentes de alimentación y dispositivos programablescon microprocesadores. Además de necesitar de la programación de algoritmos de control.

El hecho de ser un dispositivo que integra todos esos componentes, lo hace vulnerable auna nueva clase de fallas, las cuales no se presentan en el uso de rodamientos mecánicos.

1.2 Propuesta de solución 3

Una falla en cualquier componente del rodamiento, puede tener consecuencias que dañenconsiderablemente al rotor, a menos de que se tomen las medidas necesarias para brindarseguridad en su operación [5].

Esta problemática ha despertado el interés por buscar métodos y algoritmos de control quebrinden la seguridad que el rodamiento magnético necesita. Actualmente se dispone en laliteratura de muchos trabajos relacionados con la tolerancia a fallas para distintos tipos deaplicaciones que involucran rodamientos magnéticos.

En un rodamiento magnético puede aprovecharse la integración de dispositivos equipadoscon microprocesadores, para implementar esquemas de diagnóstico y un controlador quesea robusto ante perturbaciones e incertidumbre en el modelo, lo cual es deseable, ya que ladinámica de un sistema de este tipo es rápida, y con pequeñas variaciones en sus parámetrospuede llevarlo a la inestabilidad.

1.2. Propuesta de solución

El interés principal de este trabajo se enfoca en considerar herramientas de control con lanalidad de proporcionar seguridad y conabilidad en la operación del rodamiento. Paraello se propone el diseño de un controlador robusto utilizando la técnica de control loopshaping H∞ propuesto en [33].

El modelo matemático que se utiliza, corresponde al que se trabaja en [7], el cual trata conun rodamiento magnético de cuatro electroimanes.

Dado que se trata de un modelo no lineal, y como se pretende utilizar una técnica decontrol para los sistemas lineales, debe obtenerse una representación lineal de tal modelo.Para esto se hace uso de la linealización por retroalimentación del estado robusta [18].

La justicación para utilizar la linealización por retroalimentación del estado robusta, esque presenta la ventaja de preservar la información relacionada con los parámetros físicosdel sistema, en comparación con la linealización por retroalimentación del estado clásicadada en [22], en la que el sistema está descrito en la forma canónica de Brunovsky.

Se pretende garantizar estabilidad y desempeño robusto para los tipos de fallas considera-das.

1.3. Objetivos

A continuación se presentan los siguientes objetivos los cuales persigue este trabajo detesis.

4 Introducción

Objetivo general Diseñar un controlador robusto para un rodamiento magnético de cua-tro polos utilizando la técnica Loop Shaping H∞ para disminuir el efecto de las perturba-ciones (fallas).

Comprender los posibles modos de falla existentes en los rodamientos magnéticos, así comodeterminar si es posible añadir tolerancia a fallas (sean externas e internas) mediante eldiseño de un controlador robusto con criterio H∞ para disminuir el efecto de las perturba-ciones. Se utilizará la linealización por retroalimentación robusta propuesta por [18] y latécnica de control Loop Shaping H∞ para el rodamiento magnético.

Objetivos particulares De acuerdo al objetivo general planteado, para llegar a la soluciónde la tesis, se consideran alcanzar los siguientes objetivos particulares.

Comprender el modelo matemático del rodamiento magnético empleado en [7] y [10].

Estudiar la técnica de linealización por retroalimentación del estado robusta propues-ta en [18].

Analizar los modos de falla externos o internos en los rodamientos magnéticos.

Asimilar la metodología de control robusto loop shaping H∞ a la manera de [33].

Determinar de las posibles fallas (externas o internas) aquéllas que puedan caracte-rizarse como perturbaciones.

Diseñar un controlador y realizar simulaciones en una computadora.

1.4. Estado del arte

Control en rodamientos magnéticos

El aumento de interés por parte de diversos sectores industriales, así como del área decontrol automático en el AMB, ha generado un extenso estado del arte en torno al controlde este sistema. A continuación se mencionan algunas técnicas de control aplicadas a AMBs.

En [7] se utiliza la técnica de control integrator backstepping (IB), en donde se dise-ñan trayectorias deseadas de corriente con la nalidad de asegurar la posición y elseguimiento de trayectorias deseadas por parte del rotor.

1.4 Estado del arte 5

El problema debido a las corrientes de premagnetización se aborda en [29], las cualesse relacionan a las pérdidas de rotación y al calentamiento del rotor. En este trabajo,los objetivos de control se enfocan en el control del rotor de una posición y velocidadiniciales deseadas a otra posición y velocidad nales deseadas, eliminando como seaposible el uso de corrientes de premagnetización. Para la solución de este problema,se utiliza el enfoque de platitud diferencial.

En [20] se diseña un controlador utilizando una combinación entre la linealización porretroalimentación de estado, para compensar las no linealidades electromagnéticas,y conceptos de control backstepping.

En [16], se aplica una estrategia de control LQ aplicado a un rotor suspendido pordos AMB's. En este trabajo se exponen dos casos para el diseño del controlador. Enel primero, el rotor se modela como dos masas separadas y, en el segundo caso, seconsidera al rotor como cuerpo rígido en su totalidad.

En [40], se emplea un controlador PI/PD descentralizado para un rodamiento mag-nético de cuatro polos, cuyo diseño se basa en el empleo de un modelo linealizadopara un solo eje, utilizando el lugar de las raíces. En dicho trabajo, el desempeñodel controlador PI/PD se compara con un controlador PID, mostrando un mejoramortiguamiento en lazo cerrado.

Uno de los problemas presentes en el control de AMB's, es el calentamiento en elrotor y las pérdidas de rotación debido al uso de corrientes de polarización. Coneste ujo de polarización, el comportamiento del actuador puede considerarse comolineal. La principal desventaja de utilizar un ujo de polarización es la pérdida en larotación debido a las corrientes parásitas y a la histéresis asociadas a ellas. Para altasvelocidades de operación, las pérdidas pueden resultar en el calentamiento excesivodel rotor [49]. En [8] se presenta una ley de control con un ujo de polarizaciónvariante en el tiempo para reducir las pérdidas eléctricas en estado estacionario.

Las características dinámicas del rodamiento magnético lo hacen altamente sensiblea la incertidumbre paramétrica y a las perturbaciones externas a las que pueda some-terse. En [4] se considera el problema de supresión de perturbaciones para un sistemade levitación magnética en presencia de incertidumbre paramétrica, utilizando unaretroalimentación saturada, diseñando un regulador basado en el modelo en presenciade restricciones de entrada, proporcionando una solución robusta con respecto a laincertidumbre en los parámetros.

Control tolerante a fallas en AMBs

En el caso del control tolerante a fallas, se dispone de diversos trabajos en la literatura, loscuales resuelven el problema de distintas maneras, dependiendo de la aplicación en la cualse involucre AMBs. Generalmente se aprovecha el hecho de que el AMB es un dispositivo

6 Introducción

inteligente (smart machine), al disponer de dispositivos de procesamiento de informaciónde alto nivel [3].

A continuación se mencionan algunos de los trabajos relacionados a este tema.

En [32] se muestra el desarrollo matemático para linealizar la relación entre la corrien-te de los electromagnetos y la fuerza magnética generada por éstos. Esto se realiza conel objetivo de optimizar el esfuerzo por parte de los actuadores, además, se provee detolerancia a fallas mediante un esquema que recongura la distribución de corrientes,en caso de que algún electromagneto falle, buscado compensar tal pérdida.

En [26], se propone un esquema de diagnóstico en línea para un rodamiento mag-nético. El esquema utiliza redundancia en información, utilizando sensores de des-plazamiento, de corriente y fuerza. La principal ventaja en este esquema radica ensu eciencia por la simplicidad en su diseño, aunque es incapaz de afrontar fallasmúltiples.

En [1] se presenta un esquema de diagnóstico basado en el modelo matemático. Serealiza un análisis sobre distintas frecuencias de operación, para determinar posiblesfallas. En este trabajo se trata con dos casos de falla, el desgaste en el pistón debalance y la operación en seco de la bomba.

En [31] se desarrolla un esquema de detección y corrección de fallas en actuadores ysensores, junto con un control descentralizado. Para el caso de fallas en sensores, sepropone como solución la redundancia material. Mientras que para fallas en actua-dores, se procede con la reconguración del controlador, para sopesar el hecho de quelos actuadores que aún funcionan puedan mantener al rotor en su posición deseada.

En [30] se hace uso de una matriz de distribución de corrientes (CDM) para unrodamiento magnético homopolar, la cual ajusta las corrientes presentes en cadaelectromagneto al presentarse una falla en alguno de éstos.

En [34] se desarrolla un algoritmo de control tolerante a fallas que preserva la mismasfuerzas magnéticas aún ante la presencia de una falla en alguno de sus componentes(bobinas o en los amplicadores de potencia). En este trabajo se linealiza el voltajede polarización para facilitar la redistribución de las corrientes en los electromagnetossin la necesidad de modicar la ley de control.

En [35] se diseña un sistema tolerante a fallas para una bomba turbo molecularde vacío, el cual permite hacer frente a fallas que ocurren en los amplicadores depotencia y en los sensores de posición del rotor. Además, se diseña un sensor deposición inductivo en forma de anillo.

En [12] se presenta un trabajo basado en redundancia analítica con el n de poderdeterminar un mayor rango de fallas presentes en los AMB's, como sensores, cortoscircuitos en los embobinados y perturbaciones sobre el rotor.

1.5 Organización del documento 7

En [15] se comparan tres esquemas de detección y diagnóstico de fallas para las vibra-ciones producidas por fuerzas externas que actúan sobre el rotor. Los dos primerosesquemas se enfocan en el análisis de los sensores de corriente e identican fallasen una sola frecuencia de operación, mientras que el tercer esquema puede detectarfallas en múltiples frecuencias. Como observación importante, se destaca que debidoa las limitaciones ligadas al ancho de banda de los amplicadores operacionales, delos sensores y a la velocidad de muestreo de el DSP, que actúa como controlador, noes posible evaluar fuerzas que generan vibración sobre el rotor a alta frecuencia.

En [46] se combinan dos métodos de diagnóstico basado en estimadores de estado yen estimación de parámetros con la nalidad de detectar, identicar y analizar fallasen sensores y actuadores.

Control robusto

En relación al control robusto, se mencionan los siguientes trabajos.

En [11], se diseña un controlador robusto a la manera de [14] con la nalidad deenfrentar el problema del efecto giroscópico, al tratarse de un rodamiento cuyo ejese considera como un cuerpo exible que a ciertas velocidades límites de giro puedenconllevar a la inestabilidad del sistema.

En [6] se consideran varios métodos para proporcionar tolerancia a fallas, clasicandolas fallas de acuerdo a internas o externas. En este trabajo se establece que el diseño deun controlador robusto permite hacer frente a fallas externas, mientras que para fallasinternas es necesaria la implementación de una estrategia de control recongurable.

Para [5] explícitamente se especica que se emplea un controlador robusto medianteµ-síntesis, junto con un esquema de supervisión para supervisar las señales de entraday salida.

En [10] se emplea la linealización por retroalimentación robusta, con el n de propor-cionar robustez ante incertidumbre paramétrica en el modelo del rodamiento magné-tico empleado. En este caso se resaltan las ventajas de emplear esta linealización encomparación con la linealización por retroalimentación del estado clásica.

1.5. Organización del documento

El desarrollo de la presente tesis es el siguiente:

En el Capítulo 2 se da una introducción sobre el control tolerante a fallas, sus enfo-ques. Se da una descripción de las fallas asociadas a los AMBs, y su clasicación deacuerdo a [6].

8 Introducción

En el Capítulo 3 se describe la conguración del rodamiento el cual es objeto deestudio. Allí se establecen las hipótesis en las cuales se sustenta el modelo y suslimitaciones.

En el Capítulo 4 se procede con la linealización del modelo. Esta parte es importanteya que el modelo del rodamiento es no lineal. Como la técnica de control que sepretende utilizar es para sistemas lineales, es necesario obtener una representaciónlineal en torno al punto de trabajo.

En el Capítulo 5 se da una introducción al control robusto y se muestra el procedi-miento que se lleva a cabo para obtener el controlador a la manera de [33].

En el Capítulo 6 se obtiene el controlador para el rodamiento. Se muestra su desem-peño nominal y su desempeño ante diferentes casos de falla.

En el Capítulo 7 se presentan las conclusiones de la tesis y los trabajos futuros.

Capítulo 2

Fallas en rodamientos

magnéticos

2.1. Introducción

Con el transcurso del tiempo, ha crecido la dependencia del ser humano en los distintostipos de tecnologías, como los medios de transporte, los medios de comunicación, procesosindustriales, alimentarios, generación de energía eléctrica, etc. Esta dependencia implicaque tales procesos, además de optimizar su desempeño, deben proporcionar seguridad yconabilidad a los usuarios y operadores [41]. Un funcionamiento incorrecto de un procesoo sistema puede tener consecuencias negativas, desde pérdidas económicas así como poneren riesgo la integridad física de los usuarios, operadores y provocar desastres.

Los sistemas o procesos automáticos, independientemente de su naturaleza, deben ser con-ables. Conabilidad es un término que engloba tres aspectos: seguridad, abilidad y dis-ponibilidad. Seguridad es la cualidad de no representar algún tipo de peligro para el serhumano (ya sea como operador o como usuario), aún cuando el sistema se encuentre en si-tuación de falla. Fiabilidad es la cualidad de una unidad de permanecer funcional, es decir,la probabilidad de no presentar interrupción alguna durante su funcionamiento, mientrasque disponibilidad se reere a la prontitud o presteza para su uso [3].

La necesidad de proporcionar conabilidad a un sistema no debe verse sólo como un pro-blema técnico, sino como un problema losóco y sociológico. El hecho de que un sistemasea tolerante a fallas es muy importante en aplicaciones de riesgo. Tanto en industrias comoen medios de transporte y en áreas de investigación se puede tener esta necesidad.

2.1.1. Enfoques en el control tolerante a fallas

Un sistema de control tolerante a fallas es un sistema diseñado especícamente para pro-porcionar al sistema seguridad y conabilidad en su operación. Aunque un sistema de este

10 Fallas en rodamientos magnéticos

tipo no ofrezca un desempeño óptimo en el sentido estricto de control, generalmente puedemitigar el efecto de algunas fallas en los componentes del sistema de manera automática,sin intervención directa del operador o usuario [36].

La tolerancia a fallas se dene como la capacidad de un sistema de control para mantenerlos objetivos, a pesar de la aparición de una o más fallas, permitiendo seguir operando alsistema, aunque con una cierta degradación en sus prestaciones [41].

En la literatura relacionada con el control tolerante a fallas se consideran principalmentedos enfoques: el pasivo y el activo (Figura 2.1.1). El enfoque pasivo del control tolerante afallas hace uso de técnicas de control robusto, para asegurar que el sistema en lazo cerradopermanezca insensible ante un conjunto limitado de fallas, manteniendo los parámetros delcontrolador sin utilizar ningún tipo de supervisión y reconguración en línea. El sistema,al tener alguna falla, continua operando con el mismo controlador.

Figura 2.1.1. Enfoques dentro del control tolerante a fallas.

Por otro lado, el enfoque activo consiste en el diagnóstico en tiempo real con la nalidadde detectar la aparición de fallas dentro del sistema. De manera que necesita de la imple-mentación de algoritmos que realicen tal acción, y realizar la corrección pertinente sobreel elemento fallado.

Enfoque activo

Los esquemas del AFTC (Active Fault Tolerant Control, por sus siglas en inglés) se integranen cuatro partes:

2.1 Introducción 11

1. Un controlador recongurable, el cual pueda modicar su estructura, ya sea pormedio de leyes de control previamente calculadas fuera de línea, para cada situaciónde falla. O bien, un controlador cuyos parámetros pueden resintonizarse o incluso,puedan recongurar las entradas o salidas del mismo.

2. Un esquema de Detección y Diagnóstico de Fallas (FDD), el cual puede integrarsea su vez por observadores del estado o estimadores de parámetros. Su función escomparar las señales estimadas con las señales de salida reales para generar residuos,los cuales se analizan. Con tal información se decide si existe o no falla.

3. Un mecanismo de reconguración, el cual se encarga de modicar los parámetros delcontrolador, su estructura (entradas-salidas) o la referencia de entrada al controladorprealimentado.

En la Figura 2.1.2 se muestra un diagrama a bloques en donde se integran cada una de laspartes que componen a un esquema de control tolerante a fallas activo.

La manera en cómo se ataca el problema de fallas depende prácticamente de la planta, esdecir, este tipo de esquemas se adaptan dependiendo de la aplicación y del esquema decontrol que se utilice (control inteligente, control óptimo, control adaptable, o simplementeleyes de control precalculadas para cada escenario de falla).

Una de las muchas maneras en las cuales se caracterizan las fallas en este esquema [21], esel siguiente, considerando que se trata de un sistema lineal invariante en el tiempo:

x = (A+ ∆A+ ∆Ac)x+ (B + ∆B + ∆Bc)u+ E1n1 (t) +Bfa (t)

y = (C + ∆C + ∆Cc)x+ (D + ∆D + ∆Dc)u+ E2n2 (t) + fs (t)

en donde x ∈ Rn, y ∈ Rp y u ∈ Rm. El conjunto de matrices (A,B,C,D) son aquellas queforman parte del modelo nominal del sistema, el conjunto (∆A,∆B,∆C,∆D) representaa la incertidumbre en el modelo, y las matrices (∆Ac,∆Bc,∆Cc,∆Dc) son las matricesasociadas a las fallas en los componentes del sistema. Por su parte, las perturbacionesexternas o ruido se representan por n1 y n2 con las matrices correspondientes E1 y E2. Lasfallas asociadas a los actuadores se representan por fa, mientras que las fallas en sensorespor fs.

Uno de los principales objetivos del AFTC es la generación de residuos que posteriormenteserán analizados para determinar la localización y el tamaño de la falla. Estos residuosdeben ser insensibles al ruido, perturbaciones e incertidumbre, lo cual es una tarea que encierta manera puede resultar complicada.

La literatura existente sobre el enfoque activo del control tolerante a fallas es bastanteextensa. Cada vez más se desarrollan nuevas técnicas que involucran diferentes métodos dedetección y diagnostico, ajustándose a las necesidades propias de cada sistema.


Figura 2.1.2. Esquema de un control tolerante a fallas activo.

Enfoque pasivo

Un sistema puede tener una limitada tolerancia a fallas por medio del diseño cuidadoso deun controlador realimentado, considerando los efectos que la falla tendría sobre el sistema.

A pesar de que hay sistemas en los cuales un controlador jo puede compensar los efectosde ciertas fallas, generalmente se necesita información de la falla, como su naturaleza ylocalización, antes de que el controlador sea capaz de reaccionar ante ella. Como muchos delos sistemas de control son realimentados, por las propiedades mismas de la realimentación,los efectos de algunas fallas pueden llegar a amplicarse.

El enfoque PFTC (Passive Fault Tolerant Control) utiliza técnicas de control robustopara lograr tal cometido, manteniendo los parámetros del controlador constantes y sinutilizar información obtenida en tiempo real. El sistema se hace insensibe ante un repertoriolimitado de fallas [39], que pueden ser perturbaciones o incertidumbre en los parámetros,con el diseño de un único controlador (Figura 2.1.3).

Como es de esperarse, las fallas a las cuales se puede enfrentar este esquema, son aquellasque pueden caracterizarse como incertidumbres (mediante ∆ (s) en la Figura 2.1.3) o per-turbaciones (a través de di y d0), las cuales son unos de los principales objetivos del controlrobusto. También deben establecerse los límites en cuestión a la magnitud de la falla, puesdebe dejarse en claro que el controlador sólo será eciente ante fallas previamente acota-das. Estos límites generalmente se establecen mediante cotas en su magnitud o utilizandoalguna norma.

También es muy importante mencionar que el control robusto es incapaz de enfrentar elefecto de cierto tipo de fallas, en especial las clasicadas como internas. Dentro de este tipode fallas se encuentran las fallas en actuadores, sensores o dentro del mismo controlador.

2.2 Fallas en rodamientos magnéticos 13

Figura 2.1.3. Esquema de un control tolerante a fallas pasivo.

Para resolver esta dicultad, forzosamente es necesario implementar un esquema de controltolerante a fallas activo.

Sin embargo, esto no excluye el uso del un esquema PFTC, ya que los esquemas activosdependen fuertemente de la velocidad de procesamiento del esquema de diagnóstico (eltiempo necesario para llevarlo a cabo). De manera que un control robusto podría brindarsoporte al sistema ante una falla mientras que el esquema AFCT tarda en reconocerla, yesto es muy útil para sistemas con dinámica muy rápida.

2.2. Fallas en rodamientos magnéticos

Los rodamientos magnéticos activos, como productos mecatrónicos, se integran con dis-tintos componentes que involucran diferentes áreas de desarrollo tecnológico: dispone deelementos mecánicos, de circuitos electrónicos y de dispositivos digitales de procesamiento,como DSPs, además, requiere de algoritmos de control para su funcionamiento [3].

Aunado al hecho de estar integrado por partes activas, se puede realizar una clasicaciónde fallas dependiendo en donde aparezcan:

Fallas eléctricas. Se presentan principalmente en los dispositivos electrónicos, estas fallaspueden localizarse en los circuitos que regulan la corriente en los electroimanes (am-plicadores operacionales congurados como amplicadores de transconductancia).En este grupo de fallas, están las asociadas a los sensores y a sus respectivos circuitosde acondicionamiento de señal.

Fallas mecánicas. Las fallas mecánicas están vinculadas con el rotor, el cual debe man-tenerse correctamente suspendido dentro del rodamiento. Los golpes, pérdidas de


alguna aspa (para el caso de turbinas o máquinas similares), roturas o suras en elrotor, aumentos excesivos en la carga, capacidades de los materiales de construcción,velocidad de giro, etc., entran dentro de las fallas mecánicas.

Fallas en software. Dentro de las fallas en software se pueden mencionar las siguientes:errores de programación, incompatibilidad entre los programas, errores en la transmi-sión de datos, mal acondicionamiento en las señales enviadas por parte de los sensores,etc.

Con el avance progresivo de la tecnología, las limitantes relacionadas con la operaciónsegura de los AMBs cada vez son menores. La ventaja de ser un sistema equipado consensores y dispositivos de procesamiento de información, es que se pueden implementaresquemas de supervisión que continuamente monitoreen su estado de operación, con lanalidad de optimizar su desempeño.

Como medidas para reducir el riesgo de fallas en AMB, se han planteado las siguientes [3]:

Establecimiento de estándares de calidad.

Revisión y cuidado durante el diseño. Para la construcción de AMB, se consideranmateriales, capacidades de carga , siguiendo los estándares de calidad. También esimportante considerar la repercusión que tendrían algunas fallas en caso de que sepresentaran.

Desarrollo y validación de software. En los sistemas de este tipo, la parte relacio-nada al software es muy importante, ya que se considera como un componente másdentro del mismo. El desarrollo de algoritmos de control debe validarse en pruebasexperimentales antes de llevarse a la práctica.

Redundancia. Si algún componente falla, ya sea un sensor o actuador, el sistema estáprovisto de otro elemento conectado en paralelo que reemplaza al dañado (redundan-cia material). Esta manera de resolver el problema es viable cuando el componentetiene una función imprescindible dentro del sistema (por ejemplo, en los actuadores).Cuando la función del componente dañado puede sustituirse parcialmente por otro(en el caso de sensores), entonces puede resolverse el problema mediante redundanciaanalítica. Por ejemplo, suponiendo que la posición del rotor se determina mediantetres sensores, en caso de que fallara uno, la posición del rotor podría determinarsemediante los sensores que quedan.

Empleo de sistemas de supervisión (Exception Handing, Watchdog). Esto se reerea la utilización se sistemas supervisorios, los cuales determinan algún mal funciona-miento en el sistema, y mediante el uso de alarmas o indicadores, avisan al usuariode tal desperfecto. También pueden emplearse interruptores de emergencia, para elcaso de averías severas.

2.3 Conclusión del capítulo 15

Diseño de controladores robustos. Este tipo de controladores permite reducir el pro-blema de incertidumbre presente en los parámetros, y ante una variedad de pertur-baciones que actúan sobre el sistema.

Empleo de rodamientos mecánicos auxiliares. En caso de que el AMB presente unaavería total, el rotor debe estar provisto de rodamientos auxiliares que le brindensoporte.

2.2.1. Clasicación de fallas

Una parte importante en los trabajos sobre control tolerante a fallas en rodamientos, esdeterminar claramente a qué tipo de fallas se enfrentan estos.

De acuerdo con [6], las fallas presentes en AMB se pueden clasicar como internas yexternas. Esta clasicación se adopta de acuerdo a la ubicación y la fuente que origina lafalla. En la Tabla 2.2.1 se muestra dicha clasicación, además del método viable con lacual se puede atacar el problema.

Las fallas internas son aquellas que aparecen en los componentes que integran al AMB.Pudiendo ser algún fallo en la circuitería dentro del actuador, o en algún sensor. Tambiénlas fallas relacionadas al software entran en esta clasicación.

Las fallas consideradas como externas son aquellas cuyo efecto se maniesta como unaperturbación que actúa sobre el AMB. Estas perturbaciones se reejan como efectos tran-sitorios y posiblemente permanezcan en estado estacionario, y la fuente de este tipo defallas generalmente no tiene relación con los componentes del AMB, sino que son agentesexternos, como golpes, cambios de carga, vibraciones, etc.

2.3. Conclusión del capítulo

El empleo de técnicas dentro del enfoque AFTC se ha generalizado ampliamente en lasaplicaciones de los AMBs. Y esto se debe principalmente al potencial que tienen los AMBsde convertirse en sistemas inteligentes.

Los esquemas de detección y diagnóstico de fallas permiten hacer frente a fallas internas,como se ha visto anteriormente, como fallas en sensores y actuadores. Sin embargo es muyimportante considerar las fallas externas provocadas por perturbaciones y agentes ajenosal rodamiento, tal como se describe en [6], haciendo uso de esquemas de control robusto.


Clasicación Fallas Efecto Método de solución

Fallas en

dispositivos de

potencia

Inestabilidad

Fallas en

transductores

Pérdida de

estabilidad/Inestabilidad

Internas Fallas en

conductores y

cables de

interconexión

Pérdida de estabilidad Redundancia material

Fallas en polos

magnéticos

Pérdida de estabilidad

Fallas de Hardware Impredecible, pérdida

total de control

Fallas de Software Impredecible, pérdida

total de control

Programación segura ante

fallas

Impacto en el rotor Vibración en el rotor

Movimiento del

soporte

Vibración en el rotor

Externas Deformaciones en

el rotor

Vibración en el rotor Control robusto

Cambios

repentinos de carga

Vibración en el rotor

Fricción en el rotor Vibración en el rotor

Fisuras en el rotor Vibración en el rotor

Tabla 2.2.1. Modos de falla en los AMB's y su clasicación.

Capítulo 3

Descripción del modelo

matemático del rodamiento

magnético

En el presente capitulo se muestran las bases que sustentan el modelo matemático que seutiliza. Esta parte es importante ya que mediante el modelo matemático del rodamiento sepodrá determinar qué fallas pueden enfrentarse mediante el esquema de control propuesto.

El diseño de un controlador robusto depende en gran medida del modelo nominal quese utilice, de modo que no se tomarán en cuenta aquellas fallas cuyo efecto no se reejedirectamente en el modelo matemático.

Para los propósitos de este trabajo, se opta por utilizar un modelo matemático que ya se haempleado en trabajos previos. En [7], se utiliza un modelo para un rodamiento magnético elcual se obtiene mediante el análisis de los enlaces de ujo, ya que de esta manera es posibleobtener la relación entre la parte mecánica y la parte eléctromagnética que caracteriza ladinámica del rodamiento. A través de los enlaces de ujo, es posible determinar la fuerzamagnética generada por los electroimanes, por medio de los circuitos eléctricos que a suvez componen a éstos.

En [10] se emplea el mismo modelo matemático que en [7]. En este caso, se establece que elsistema puede desacoplarse en dos subsistemas, en donde cada uno controla la posición delrotor con respecto a un eje, ya sea el horizontal o al eje vertical. En ese trabajo únicamentese presenta el análisis y diseño de un controlador robusto para el subsistema horizontal(tal como se realizará en esta tesis), dando por hecho que el análisis para el eje vertical esprácticamente el mismo.

A continuación se presenta el desarrollo que conlleva a la obtención del modelo matemáticode acuerdo a la conguración del rodamiento.

18 Descripción del modelo matemático del rodamiento magnético

3.1. Principio de la levitación magnética

El principio de funcionamiento de un rodamiento magnético activo es básicamente el mismoque el de un sistema de levitación magnética, con la diferencia de que un rodamientomagnético posee un mayor número de electroimanes con la nalidad de lograr una mayorestabilidad en la posición del rotor.

En la Figura 3.1.1 se muestran, de manera simple, los elementos principales que integran aun sistema de levitación magnética, el cual incluye un controlador realimentado. El sistemaincluye un sensor de posición; una fuente controlada de voltaje o corriente, la cual puedeestar constituida por algún amplicador operacional; y un electromagneto. Suele designarsecomo actuador al conjunto formado por el amplicador operacional y al electromagneto .

El desplazamiento del objeto levitado se detecta mediante el sensor de posición, y talinformación se envía al controlador. El objetivo del actuador es generar la fuerza magnéticanecesaria para contrarrestar a la fuerza ejercida por la gravedad, y mantener la posicióndel objeto a una distancia constante con respecto al electromagneto. El controlador seencarga de gobernar al actuador, controlando la cantidad de corriente que circula a travésdel embobinado del electroimán.

Figura 3.1.1. Sistema de levitación magnética

La corriente, al circular a través de las espiras del devanado del electromagneto generauna fuerza magnetomotriz, que a su vez produce un ujo magnético que circulará a travésdel núcleo ferromagnético del electroimán, del espacio libre y del propio objeto levitado(Figura 3.1.2).

Sea F = Ni la fuerza magnetomotriz, donde N es el número de espiras e i es la corrienteque circula a través de ellas, la expresión de F en términos del ujo magnético total ψ esla siguiente

F = ψ (Rlc +Rg0 +Rlo) (3.1.1)

3.1 Principio de la levitación magnética 19

Figura 3.1.2. Esquema del principio de funcionamiento de la suspensión electromag-nética.

donde Rlc , Rg0 y Rlo corresponden a la reluctancia del núcleo del electromagneto, la delespacio libre, y la del objeto levitado, respectivamente. Tales reluctancias pueden calcularsemediante:

Rlc =lcµAc

Rg0 =2 (g0 − x)

µ0Ag0

Rlo =loµAlo

,

donde los parámetros lc, Ac, lo y Alo corresponden a la construcción propia del electro-magneto y del objeto levitado (longitud y área de la sección transversal de los mismos).Mientras que µ y µ0 corresponden a la permeabilidad magnética relativa para el materialferromagnético, y la permeabilidad magnética del aire. La expresión g0 − x indica que laseparación entre el objeto levitado y el electromagneto puede variar cierta longitud x.

En la mayoría de los casos, la reluctancia de los núcleos ferromagnéticos puede despreciarsesi se compara con reluctancia opuesta por el espacio libre, ya que Rg0 Rlc +Rl0 . Llevandoa cabo esta suposición, el ujo magnético total puede calcularse como:

ψ (t) ≈ F

Rg0

= Ni (t)µ0Ag0

2 (g0 − x). (3.1.2)

Considerando una geometría ja por parte del embobinado, los enlaces de ujo determinanla cantidad de campo magnético que circula a través de ellas, y se calculan multiplicando


el número de espiras N por el ujo magnético total ψ (t)

ϕ = Nψ (t) . (3.1.3)

Por su parte, la inductancia L es una medida que determina la oposición ante un cambioen la corriente en un inductor bajo la presencia de un campo magnético. Considerando quela permeabilidad magnética es constante, o bien, con un entrehierro dominante, se denea la inductancia como

L =ϕ

i=Nψ (t)

i. (3.1.4)

Sustituyendo (3.1.2) en (3.1.4), es evidente que el valor de la inductancia está en funciónde la posición x del objeto levitado, quedando como

L (x) =N2µ0Ag0

2 (g0 − x). (3.1.5)

A partir de la expresión (3.1.5), los enlaces de ujo ϕ pueden expresarse en términos de lainductancia L, quedando también en función del desplazamiento x, además de dependerde la corriente i, la cual está en función del tiempo:

ϕ (x, i) = L (x) i. (3.1.6)

La relación entre los enlaces de ujo ϕ y la corriente i depende de la magnitud de ésta, yde la separación existente g0 entre el electroimán y el objeto levitado (Figura 3.1.3). Dicharelación se acerca más a la linealidad para una mayor separación, y a una no linealidad parauna separación más pequeña. Esto se debe precisamente a que la curva de magnetizacióndepende más de la reluctancia del núcleo ferromagnético, el cual puede llegar a saturarse,que de la reluctancia del espacio libre. Un espacio libre más grande lleva a característicaslineales ya que la reluctancia del espacio libre no es saturable.

Figura 3.1.3. Energía magnética y co-energía en un sistema de levitación magnética.

3.1 Principio de la levitación magnética 21

Suponiendo al punto A de la Figura 3.1.3 como un punto de operación (unos enlaces deujo ϕ0 con una corriente i0), la energía magnética almacenadaWm en el sistema se obtienepor

Wm =

ϕ0ˆ

0

i dϕ, (3.1.7)

que corresponde al área determinada por los puntos O, C y A, mientras que la coenergíaes el área determinada por los puntos O, B y A

W ′m =

i0ˆ

0

ϕ (x, i) di. (3.1.8)

Aún cuando la coenergía almacenada no tenga en sí un sentido físico real, es de mayorutilidad para el desarrollo de un modelo matemático de este sistema, ya que está en términosde la posición x y de la corriente i, que en la práctica, son variables medibles. La expresiónpara la coenergía magnética almacenada será de utilidad más adelante.

Esta consideración es importante a la hora de establecer las ecuaciones dinámicas quedescriban el comportamiento del sistema de levitación magnética. Por ejemplo, utilizandola Ley de voltajes de Kirchho se puede establecer la siguiente ecuación:

V (t) = Ri (t) + ϕ (t) . (3.1.9)

en donde V (t) es la fuente de alimentación, i (t) es la corriente, R es la resistencia propiadel conductor y ϕ (t) es la tensión inducida en el electromagneto, la cual es igual a laderivada con respecto a tiempo de los enlaces de ujo. Utilizando la expresión para losenlaces de ujo dada en (3.1.6), y sustituyendo en (3.1.9) queda como

V (t) = Ri (t) +d

dt(L (x) i)

y al derivar con respecto al tiempo, resulta en

V (t) = Ri (t) + i (t)∂L

∂x

dx

dt+ L (x)

di

dt. (3.1.10)

Por otra parte, como el objeto levitado se encuentra bajo el efecto de una fuerza magnéticafm, la cual debe contrarrestar la fuerza ejercida por la acción de la gravedad fg, se puedeestablecer una ecuación diferencial que modele esta interacción. Basándose en la SegundaLey de Newton, se establece la siguiente expresión:

mx = fm + fg, (3.1.11)

siendo mx la resultante de tal interacción. De acuerdo a [48], la fuerza magnética gene-rada por un campo magnético se puede determinar a través de la coenergía magnéticaalmacenada, mediante la siguiente expresión:

fm =∂W ′m (i, x)

∂x. (3.1.12)


De este modo, es posible relacionar la parte eléctrica del sistema con la ecuación (3.1.11).Sustituyendo (3.1.12) en (3.1.11) resulta:

mx =∂W ′m (i, x)

∂x+ fg

=∂

∂x

i0ˆ

0

ϕ (x, i) di

+ fg

=∂

∂x

i0ˆ

0

L (x) idi

+ fg

Las ecuaciones (3.1.9) y (3.1.11) se pueden utilizar para obtener un modelo matemáticopara un sistema de levitación magnética. Además, presentan una gran similitud para elcaso del modelo del rodamiento magnético.

3.2. Conguración del AMB

Existen diferentes tipos de conguraciones de rodamientos magnéticos, dependiendo de lascondiciones de operación del sistema, de los materiales de construcción, de su capacidadde carga, etc., aunque el principio de operación básicamente es el mismo.

La construcción de un AMB también depende del tipo de movimiento del rotor que serequiere controlar. En aplicaciones prácticas se disponen de rodamientos radiales, así comotransversales, tal como se muestra en la Figura 3.2.1. Tanto el rodamiento radial como eltransversal tienen el objetivo de mantener constante el espacio libre entre el rotor y el restode la maquinaria. En la Figura 3.2.2 se muestra dos AMBs comerciales, radial y axial1.

La conguración del rodamiento con el que se va a tratar, y que corresponde al mismoutilizado en [7] y [10], se muestra en la Figura 3.2.3. Esta conguración corresponde aun rodamiento radial de cuatro polos, con los cuales se pretende controlar la posición delrodamiento en la dirección horizontal y vertical.

3.3. Modelo matemático del AMB

Así como en muchos procesos de modelado de sistemas, el modelo matemático del roda-miento se sustenta en ciertas suposiciones que ayudan a simplicarlo, sin perder información1Tomada de www.synchrony.com/products

3.3 Modelo matemático del AMB 23

Figura 3.2.1. Rodamiento magnético radial y axial.

Figura 3.2.2. Conguración de AMB radial y axial de Fusion®.

sustancial sobre el comportamiento real del sistema. Dichas simplicaciones se sustentan enla construcción misma del rodamiento y en algunas suposiciones físicas. Tales suposicionesse mencionan a continuación:

1. No se considera la dinámica propia de los sensores y actuadores, por lo tanto, no seincluye tal información dentro del modelo matemático.

2. El rotor se considera como un cuerpo rígido, cuya masa está uniformemente distri-buida. Se desprecia el efecto giroscópico, considerando que la velocidad de giro norebasa a la frecuencia natural del sistema. Por ende, el rotor se considera como uncuerpo rígido.

3. El rodamiento magnético no tiene ninguna relación con la acción de giro del rotor.Para ello se supone que el eje está acoplado en uno de sus extremos a un motor, elcual realiza esta acción.

4. Los niveles de corriente están acotados. Esto con la nalidad de evitar posibles satu-raciones magnéticas en los núcleos ferromagnéticos de cada electromagneto.


Figura 3.2.3. Conguración de cuatro polos del rodamiento magnético.

5. Los embobinados son altamente inductivos, y la inductancia depende únicamente dela variación en el espacio libre entre el rotor y el estator.

6. La resistencia magnética (reluctancia) que oponen los núcleos ferromagnéticos decada electroimán es despreciable (de la misma manera que para el caso del sistemade levitación magnética mostrado en la Sección 3.1).

Considerando que el sistema de la Figura 3.2.3 se puede desacoplar en dos subsistemas: unoque controla la parte vertical y otro a la parte horizontal, y que ambas partes se describenmediante ecuaciones diferenciales similares [10], únicamente se presenta el modelo de laparte horizontal (Figura 3.3.1).

Para obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales que modelen la dinámica del subsiste-ma horizontal, éste se puede dividir en dos partes: una parte mecánica y una parte eléctrica,de la misma manera que para el caso del sistema de levitación magnética mostrado en laFigura 3.1.2.


Figura 3.3.1. Subsistema del eje horizontal del rodamiento.

3.3.1. Parte eléctrica

Para la parte eléctrica, se consideran los dos circuitos eléctricos integrados por: las fuentesde alimentación V1 y V2, la resistencia eléctrica correspondiente a cada alambrado R1 yR2, y la tensión inducida o fuerza electromotriz de cada electroimán ϕ1(x, i1) y ϕ2(x, i2).Aplicando la ley de voltajes de Kirchho para cada circuito, se tiene que:

R1i1(t) + ϕ1(x, i1) = V1 (3.3.1)

R2i2(t) + ϕ2(x, i2) = V2. (3.3.2)

Recordando la expresión (3.1.6) como una función de i y x, y particularizando para estecaso, se tiene que los enlaces de ujo son:

λ1 = L1 (x) i1 (3.3.3)

λ2 = L2 (x) i2 (3.3.4)

en donde las inductancias son funciones de la posición x, ya que su valor depende dela variación en la separación del rotor y del estator. Las expresiones utilizadas para lasinductancias son, respectivamente:

L1 (x) =L0

2 (g0 − x) + Lc(3.3.5)

L2 (x) =L0

2 (g0 + x) + Lc, (3.3.6)

donde Lc y L0 son constantes positivas que dependen de la construcción del electroimán(número de espiras en el embobinado, la permeabilidad magnética de los núcleos ferromag-néticos, la permeabilidad magnética del espacio libre, etc.), g0 es el espacio libre existenteentre la supercie del rotor y los electroimanes dispuestos en el estator, y x es la posición delrotor. Sustituyendo k = 2g0 +Lc en (3.3.5) y (3.3.6), las expresiones para las inductanciasse pueden reescribir de una manera compacta:

L1(x) =L0

k − 2x(3.3.7)

L2(x) =L0

k + 2x(3.3.8)


Las tensiones inducidas en cada embobinado están dadas como la derivadas con respectoal tiempo de los enlaces de ujo (3.3.3) y (3.3.4), por lo tanto:

ϕ1(x, i1) = L1(x)di1dt

+ i1dL1(x)

dx

dx

dt

=L0

k − 2x

d

dti1 +

2L0i1

(k − 2x)2dx

dt(3.3.9)

ϕ2(x, i2) = L2(x)di2dt

+ i2dL2(x)

dx

dx

dt

=L0

k + 2x

d

dti2 −

2L0i2

(k + 2x)2dx

dt. (3.3.10)

Sustituyendo (3.3.9) y (3.3.10) en (3.3.1) y (3.3.4) respectivamente, se obtienen las siguien-tes ecuaciones diferenciales:

R1i1(t) +L0

k − 2x

d

dti1 +

2L0i1

(k − 2x)2dx

dt= V1 (3.3.11)

R2i2(t) +L0

k + 2x

d

dti2 −

2L0i2

(k + 2x)2dx

dt= V2. (3.3.12)

3.3.2. Parte mecánica

La ecuación que muestra la interacción entre las fuerzas F1 y F2 que actúan sobre el rotor,es la siguiente:

mx = F1(x, i1)− F2 (x, i2) , (3.3.13)

en donde x es la posición, x y x son la velocidad y aceleración, respectivamente, m es lamasa del rotor mientras que las corrientes que circulan a través de cada embobinado soni1 e i2.

Recordando que la fuerza magnética está dada como la derivada parcial de la coenergíamagnética almacenada con respecto a x, de la misma manera como se describe en (3.1.8)para el sistema de levitación magnética visto anteriormente, entonces es posible calcularF1 y F2 de la siguiente manera:

F1 (x, i) =∂W ′1∂x

(3.3.14)

F2 (x, i) =∂W ′2∂x

. (3.3.15)

Al sustituir (3.3.14) y (3.3.15) respectivamente en (3.3.13), se tiene entonces:

mx =∂

∂xW

′1 +

∂

∂xW

′2, (3.3.16)


donde la coenergía almacenada para cada circuito electromagnético es:

W ′1 =

i0ˆ

0

L1 (x) i1di

W ′2 =

i0ˆ

0

L2 (x) i2di.

Sustituyendo las expresiones para la inductancia L1 y L2, dadas en (3.3.7) y (3.3.8) res-pectivamente, en las expresiones anteriores, queda entonces

W ′1 =L0

2 (k − 2x)i21 (3.3.17)

W ′2 =L0

2 (k + 2x)i22 (3.3.18)

Por último, sustituyendo (3.3.17) y (3.3.18) en la ecuación (3.3.13), la ecuación diferencialpara la parte mecánica queda como:

mx =L0i

21

(k − 2x)2− L0i

22

(k + 2x)2. (3.3.19)

3.3.3. Representación en el espacio de estado

Para la representación en el espacio de estado del modelo matemático del subsistemahorizontal, se toman como base las ecuaciones diferenciales (3.3.11), (3.3.12) y (3.3.19). Seelige a x como la primera variable del estado, de manera que x1 representa la velocidad, ypor consiguiente a x2 como la aceleración para el movimiento del rotor a lo largo del ejehorizontal.

Para las ecuaciones correspondientes a la parte eléctrica, se escogen como variables delestado a x3 = i−I0 y x4 = i2−I0, siendo I0 la corriente de premagnetización necesaria paramantener al rotor en la posición deseada (x1 = 0). Realizando las siguientes sustituciones

x = x1x1 = x2i1 = x3 + I0i2 = x4 + I0


en las ecuaciones (3.3.11), (3.3.12) y (3.3.19), resulta entonces:

x1 = x2

x2 =L0 (x3 + I0)

2

m (k − 2x1)2 −

L0 (x4 + I0)2

m (k + 2x1) 2

x3 =k − 2x1L0

(V1 (t)−R1x3 −R1I0)−2x2 (x3 + I0)

k − 2x1

x4 =k + 2x1L0

(V2 (t)−R2x4 −R2I0) +2x2 (x4 + I0)

k + 2x1,

escogiendo u1 = V1 (t)−R1I0 y u2 = V2 (t)−R2I0 como las entradas de control, el sistemade ecuaciones diferenciales anterior puede expresarse de manera matricial como:

x1x2x3x4

=

x2

L0m

((x3+I0)

2

(k−2x1)2 − (x4+I0)2

(k+2x1)2

)−R1(k−2x1)x3

L0− 2x2(x3+I0)

k−2x1

−R2(k+2x1)x4

L0+ 2x2(x4+I0)

k+2x1

+

0 00 0

k−2x1L0

0

0 k+2x1L0

[u1u2]

(3.3.20)

donde los parámetros físicos se muestran en la siguiente tabla:

Parámetro Valor Descripción

I0 6× 10−2A Corriente de premagnetización

m 2kg Masa del rotor

g0 1× 10−3m Espacio libre entre el rotor y el estator

Lc 1.25× 10−5m Lc y L0 son constantes que dependen

de la construcción del electromagneto.L0 3× 10−4H·mR1 1Ω Resistencia del conductorR2 1Ω Resistencia del conductor

Tabla 3.3.1. Parámetros físicos que corresponden al rodamiento magnético utilizado en[7].

3.3.4. Punto de equilibrio y retrato fase

Un punto de equilibrio de un sistema representa una condición estacionaria en su dinámica.Se dice que el estado de un sistema x0 es un punto de equilibrio para un sistema dinámico

dx

dt= f (x)

si f (x0) = 0. Los puntos de equilibrio son una de las características más importantes enlos sistemas dinámicos, ya que denen el estado correspondiente ante ciertas condiciones


constantes de operación. Los puntos de equilibrio se pueden determinar si se iguala elconjunto de ecuaciones del estado a cero [42].

Para el caso del modelo del rodamiento magnético descrito en (3.3.20), si se igualan las va-riables del estado a cero, se obtiene como punto de equilibrio al vector x0 con los siguientescomponentes:

x01 =k(x04 − x03

)2(x03 + x04

)+ 4I0

x02 = 0

x03 =u01R1

x04 =u01R2

donde se aprecia que dependen de las entradas de control u1 y u2. Sin embargo, al darpor hecho que la posición deseada del rotor siempre es en x = 0, y que para esa condiciónV1 = R1I0 y V2 = R2I0, entonces u1 y u2 = 0. De este modo el punto de equilibrio quedacomo

x0 =[0 0 0 0

]T.

Generalmente, en el análisis de sistemas no lineales está el realizar una linealización entorno a un punto de equilibrio y de esta manera analizar la aproximación lineal. En elsiguiente teorema se establece, según que condiciones, es posible determinar la estabilidadde un sistema no lineal considerando al origen como punto de equilibrio.

Teorema 3.3.1. (Método indirecto de Lyapunov [24]) Sea x0 = 0 un punto de equilibriode un sistema no lineal x = f (x) donde f : U → Rn , con U ∈ Rn, es continuamentediferenciable y U es una vecindad en torno a x = 0. Sea la matriz Jacobiana

A = ∂xf (x0)

Ahora, denotando como λi los eigenvalores de A (para i = 1, ..., n), entonces:

i) El origen es asintóticamente estable si <e λi < 0 para toda λi.ii) El origen es inestable si <e λi > 0 para uno o más eigenvalores de A.

Aplicando el Teorema 3.3.1 para determinar la estabilidad del rodamiento magnético en elpunto de equilibrio x = 0, entonces, se tiene que la matriz jacobiana correspondiente es

A =

0 1 0 0

8L0I20mk3

0 2L0I0mk2

−2L0I0mk2

0 −2I0k −kR1

L00

0 2I0k 0 −kR2

L0

. (3.3.21)


Y evaluada en x0 = 0, los eigenvalores correspondientes son:

λ1 = +13.3227

λ2 = −6.7083

λ3 = −10.0155 + j12.9057

λ4 = −10.0155− j12.9057

lo cual indica que el sistema es inestable en x0 = 0 al tener un eigenvalor con parte realpositiva. Por otra parte, al ser todos los eigenvalores distintos, implica que la matriz Aes diagonizable, es decir, que al tener n eigenvalores todos diferentes, entonces tiene neigenvectores linealmente independientes.

De este modo, se puede establecer una matriz T , formada por los n eigenvectores norma-lizados de la matriz A, y que satisface la siguiente transformación de semejanza

TAT−1 = AT

en donde AT es una matriz diagonal cuyos elementos corresponden a los eigenvalores deA.

Ahora, considerando la siguiente aproximación lineal en torno a x0 = 0 para el sistema nolineal (3.3.20):

z = Az +Bu (3.3.22)

en donde

A =∂

∂xf (x0) , B = g (x0) ,

y si se utiliza la siguiente transformación de similitud

y = Tz,

entonces, el sistema sistema lineal (3.3.22) queda como

y = TAT−1y + TBu

con AT = TAT−1 y BT = TB, por lo que se satisface el siguiente sistema de ecuacionesno acoplado:

y = ATy +BTu. (3.3.23)

Como se trata de un sistema de cuarto orden, no es posible representar grácamente todaslas trayectorias mediante un retrato fase. Sin embargo, como cada uno de los estados delsistema son independientes entre sí, se pueden asociar el primer par de variables de estadocon la parte mecánica de sistema, y el segundo par con la parte eléctrica.

Realizando esta separación, y haciendo el vector de entrada de control u = [u1 u2]T = 0,

entonces se obtienen los retratos fase para el primer y segundo par de ecuaciones de estado.


El retrato fase correspondiente a la parte mecánica del sistema, se muestra en la Figura3.3.2, la cual muestra un punto silla debido al par de eigenvalores reales con signos opuestos.

Para la parte eléctrica, el retrato fase correspondiente al segundo par de ecuaciones delestado del sistema (3.3.23), se muestra en la Figura 3.3.3. En este caso, el retrato fasedescribe a un foco estable, correspondiente a un par de eigenvalores complejos conjugados.

Figura 3.3.2. Punto silla correspondiente al par de eigenvalores reales λ1 y λ2.

Figura 3.3.3. Foco estable debido al par de eigenvalores complejos conjugados λ3 y λ4.



Una buena descripción del modelo matemático, y la buena comprensión sobre las leyesnaturales que lo sustentan ayuda en gran medida en el diseño de un controlador. En estecaso, conocer la estructura de las ecuaciones diferenciales ayudará a determinar las posiblesfallas a las cuales el controlador tratará de disminuir su efecto.

Es importante, dentro del control robusto, tener información sobre las fuentes de incerti-dumbre y las posibles perturbaciones externas a las cuales está sometido el proceso real, yde qué manera ésta información se considera como parte del modelo mismo del sistema.

El modelo matemático descrito en (3.3.20) se clasica dentro de los sistemas no linealesanes al control. Lo que implica que debe obtenerse un modelo equivalente lineal en tornoal punto de operación en el cual se va a trabajar, debido a que la estrategia de control(Loop shaping H∞ a la manera de Glover y MacFarlane, 1992) que se aplicará es parasistemas lineales invariantes en el tiempo.

En el siguiente capítulo se aborda el proceso que se lleva a cabo para obtener tal represen-tación lineal del modelo.

Capítulo 4

Linealización del modelo

En muchos problemas de control, el procedimiento de diseño involucra obtener una aproxi-mación lineal del sistema en torno a uno o varios puntos de operación. Unas de las causaspor las cuales se opta por obtener estas representaciones lineales es por el mayor númerode técnicas de control que existen para los sistemas lineales, además de que son compu-tacionalmente menos complejas en comparación a los esquemas de control para sistemasno lineales, y en muchos casos más sencillas de implementar en la práctica (sobre todo enaplicaciones industriales).

Una de las técnicas de linealización más conocidas se basa en el desarrollo de las funcio-nes no lineales en una serie de Taylor alrededor del punto de operación. Sólo se retiene eltérmino lineal (primera derivada), sin considerar los términos de orden superior del desa-rrollo de tal serie. Estos términos deben ser lo sucientemente pequeños de manera que lavariación de las variables sólo se desvían ligeramente [37].

La linealización por retroalimentación del estado (LRC, como se le designa en [18]), la cualse expone ampliamente en [22], es una estrategia de control que se emplea para obtenerun sistema equivalente lineal, a partir de un sistema no lineal en torno a un punto deoperación. La principal diferencia de este método con respecto a la linealización mediantela expansión en una serie de Taylor, es que no es una aproximación a la dinámica delsistema [45], sino que se logra una linealización exacta mediante una ley de control queinvolucra la realimentación del estado mismo, cancelando con ello las no linealidades.

El modelo matemático del rodamiento magnético que se muestra en (3.3.20) entra en laclasicación de los sistemas no lineales anes al control (o lineales en el control [45]).Como se plantea utilizar un método de control para sistemas lineales, es necesario obteneruna representación lineal de tal modelo. Por lo tanto se necesita aplicar algún método delinealización.

La desventaja de aplicar la LRC, es que involucra una ley de control que, al cancelar lasno linealidades del sistema, elimina todos sus parámetros. El sistema transformado pierdetodo sentido físico con respecto al modelo no lineal original. El sistema linealizado queda

34 Linealización del modelo

en la forma canónica de Brunovsky (el cual equivale a un sistema dado por una cadena deintegradores).

La LRC altera considerablemente la información sobre el sistema original, lo que la hacepoco viable si se desea brindar cierta robustez ante incertidumbre en los parámetros físicos[18].

Una alternativa a la linealización que se expone en [22] (LRC), es la linealización por retro-alimentación del estado robusta (LRR), la cual se propone en [18], y que se utiliza en [10]junto con un esquema de control robusto aplicado a un rodamiento magnético. La ventajaprincipal de esta técnica, es que el sistema linealizado queda como una aproximación linealtangencial, pero mediante una transformación local de coordenadas y una ley de controlque también involucra la realimentación del estado.

En [18] se demuestra que la LRR es adecuada en la implementación de técnicas de controlrobusto, por ello se opta por utilizarla para este trabajo.

Para poder obtener una representación lineal del modelo mediante la LRR, se necesitacumplir con las condiciones impuestas por la LRC (existencia de un difeomorsmo o cambiode coordenadas, y grado relativo denido), además de que la ley de control linealizante,que se obtiene con la LRC, se utiliza para calcular la LRR. Por ello, en este capítulo,primero se expone el procedimiento para obtener la LRC, y posteriormente se muestra elprocedimiento para la LRR.

4.1. Linealización por retroalimentación del estado clásica(LRC)

El punto de interés es determinar cómo un sistema de m entradas se puede transformaren un sistema lineal controlable, por medio de una retroalimentación del estado y unatransformación local de coordenadas en el espacio de estado.

La linealización por retroalimentación del estado, es aplicable para sistemas no linealesanes (o lineales en) al control, siempre y cuando se cumplan ciertas condiciones que seestablecerán más adelante.

Un sistema no lineal MIMO afín al control tiene la siguiente representación:

x = f (x) + g (x)u (4.1.1)

y = h (x)

en donde

g (x) , [g1 (x) · · · gm (x)]

u ,[u1 · · · um

]Th (x) ,

[h1 (x) · · · hm (x)

],

4.1 Linealización por retroalimentación del estado clásica (LRC) 35

x ∈ Rn es el vector del estado; u ∈ Rm representa al vector de entrada de control, f (x) yg1 (x) , . . . , gm (x) son campos vectoriales suaves y h1 (x) ,. . . , hm (x)son funciones suavesdenidas en un subconjunto abierto en Rn. Por simplicidad, se supone que el número deentradas u es igual al número de salidas y.

Una de las cuestiones primordiales para poder aplicar la LRC, es determinar la posibilidadde llevar a cabo una transformación de coordenadas en la cual se cancelan las no lineali-dades. Dicha transformación utiliza la noción de grado relativo para un sistema no lineal.En el caso de un sistema SISO, el grado relativo equivale al número de veces que debederivarse la salida y (t) en t = t0, para que aparezca explícitamente la entrada u

(t0). Para

el caso de un sistema MIMO, el grado relativo se expresa como un conjunto de númerosenteros r1, r2, ..., rm, en donde cada número ri se asocia al i-ésimo canal de salida.

La derivada de la i-ésima salida del sistema con respecto al tiempo, está dada por:

dyidt

= ∇xhi · x

dyidt

= ∇xhi ·

(f (x) +

m∑k=1

gm (x)um

),

donde ∇xhi representa el gradiente de la función escalar hi (x).

Una manera adecuada para representar las derivadas sucesivas de la i-ésima salida, esmediante el corchete de Lie. De este modo, la j-ésima derivada de la salida yi se puedeescribir como:

djyidt

= Ljfh1 (x) +

m∑k=1

LgkLj−1f h1 (x)uk. (4.1.2)

Tal notación es útil para la siguiente denición:

Denición 4.1.1. Grado relativo. Un sistema no lineal de la forma (4.1.1) se dice quetiene como grado relativo r1, r2, ..., rm en el punto x0 si

(i)LgjL

kfhi (x) = 0

para toda 1 ≤ j ≤ m, para toda k < ri − 1, para toda 1 ≤ i ≤ m y toda x en una vecindadde x0.

(ii) La matriz de dimensión m×m

M (x) =

Lg1L

r1−1f h1 (x) · · · LgmL

r1−1f h1 (x)

Lg1Lr2−1f h2 (x) · · · LgmL

r2−1f h2 (x)

......

...

Lg1Lrm−1f hm (x) · · · LgmL

rm−1f hm (x)

(4.1.3)

es no singular en x0.


De acuerdo a la denición anterior, cada número ri corresponde a la j-ésima derivada dela salida yi, para la cual algún componente del vector de entrada u aparece de maneraexplícita. Es decir, el segundo término del lado derecho de (4.1.2) es diferente de cero:

m∑k=1

LgkLj−1f h1 (x)uk 6= 0,

de modo que tanto la función yi = hi (x) y sus derivadas sucesivas hasta ri − 1

yi = hi (x)

d1yidt

= Lfhi (x)

d2yidt

= L2fhi (x)

...dri−1yidt

= Lri−1f hi (x)

son funciones que dependen únicamente del estado inicial del sistema y no del vectorde entradas u. Esta condición se puede aprovechar para denir una transformación localde coordenadas en torno a x0. Considerando que el sistema tiene como grado relativoel conjunto de números r1, r2, ..., rm en x0, y que la suma r = r1 + r2 + ... + rm esexactamente igual a la dimensión n del sistema, entonces, el conjunto de funciones

Φc (x) =

φr1φr2...

φrm

(4.1.4)

con

φri =

hi (x)Lfhi (x)

...Lri−1f hi (x)

para i = 1, 2, . . . , m, denen un difeomormo en torno a x0. La descripción del sistemaen ese nuevo conjunto de coordenadas queda representado por las siguientes variables deestado

zi1 = Lfhi (x)

zi2 = L2fhi (x)

...

ziri−1 = Lri−1f hi (x)

ziri = Lrif + hi (x) +

m∑k=1

LgkLri−1f hi (x)uk (4.1.5)


para i = 1, 2, . . . , m. Para aquellas variables de estado zri

z1r1 = Lr1f h1 (x) +

m∑k=1

LgkLr1−1f h1 (x)uk

z2r2 = Lr2f h2 (x) +

m∑k=1

LgkLr2−1f h2 (x)uk

...

ziri = Lrif hi (x) +

m∑k=1

LgkLri−1f hi (x)uk

en donde aparece algún componente del vector de entrada u, pueden agruparse y represen-tarse de la siguiente manera:

z1r1z2r2...zmrm

= N (x) + M (x)

u1...um

,donde

N (x) =

Lr1f h1 (x)

Lr2f h2 (x)

...Lrmf hm (x)

(4.1.6)

yM (x) es la matriz dada por la ecuación (4.1.3). Esto se hace con la nalidad de establecerla siguiente ley de control:

v =

v1v2...vm

= N (x) + M (x)u (4.1.7)

y, tomando en cuenta que una de las condiciones de grado relativo es que la matriz M (x)mostrada en (4.1.3) debe ser invertible, entonces (4.1.7) puede resolverse para u

u = M (x)−1 (−N (x) + v)

= −M−1 (x)N (x) + M−1 (x)v.

La ley de control anterior se puede expresar como

u (x,v) = αc (x) + βc (x)v (4.1.8)

con

αc (x) = −M (x)N (x) (4.1.9)

β (x) = M−1 (x) . (4.1.10)


Aplicando esta ley de control al sistema de ecuaciones mostrado en (4.1.5), el nuevo sistemade ecuaciones del estado queda de la siguiente manera

z11 = z12

z12 = z13...

z1r1−1 = z1r1z21 = z22

z22 = z23...

z2r2−1 = z2r2...

zm1 = zm2

zm2 = zm2...

zmrm−1 = zmrmz1r1 = v1

z1r2 = v2...

zmrm = vm

representando a un sistema lineal y controlable en la forma canónica de Brunovsky. Deforma matricial, equivale a:

z = Acz +Bcv (4.1.11)

con matrices

Ac =

Ac1 0 . . . 00 Ac1 . . . 0...

......

...0 0 . . . Acm

Bc =

Bc1 0 . . . 00 Bc1 . . . 0...

......

...0 0 . . . Bcm

donde cada matriz Aci y Bci tiene la forma

Aci =

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

...... . . . 1

0 0 0 . . . 0

Bci =

0...01


4.1.1. Condiciones para llevar a cabo la linealización por retroalimentacióndel estado

Es necesario aclarar que no todo sistema representado por (4.1.1) es candidato a linealizarsemediante la LRC. El sistema debe cumplir ciertas condiciones que involucran los camposvectoriales f (x) y g1 (x) , g2 (x) , . . . , gm (x). El Teorema de Frobenius es una herramientaútil que permite determinar si un sistema no lineal es linealizable por medio de este estaestrategia (Ver anexo A).

De acuerdo con la denición de grado relativo, es necesario que

LgjLkfhi (x) = 0 para toda 0 ≤ k ≤ ri − 2, 1 ≤ j ≤ m, (4.1.12)

además, se debe cumplir con la condición de que la matriz M (x) sea no singular, y que lasuma de los números r1 + r2 + . . . rm = n.

Utilizando la identidad de Jacobi [45], (4.1.12) se puede expresar como un conjunto deecuaciones diferenciales parciales de la siguiente forma

∇xhi · adkfgj (x) = 0 para toda 0 ≤ k ≤ ri − 2, 1 ≤ j ≤ m.

La condición para la existencia de funciones h1 (x), h2 (x), . . . , hm (x) para el conjun-to de ecuaciones anterior, se puede establecer en términos de las propiedades de ciertasdistribuciones generadas por los siguientes campos vectoriales:

g1 (x) , ..., gm (x) , ..., adfg1 (x) , ..., adfgm (x) , adn−1f g1 (x) , ..., adn−1f gm (x) .

De manera más precisa, se establecen las distribuciones

G0 = span g1, ..., gmG1 = span g1, ..., gm, adfg1, ..., adfgm...

Gn−1 = spanadkfgj : 0 ≤ k ≤ n− 1, 1 ≤ j ≤ m

para las cuales se establece el siguiente teorema:

Teorema 4.1.2. [22] Se dice que un sistema no lineal de la forma (4.1.1), donde f (x) yg1 (x), g2 (x), ..., gm (x) son campos vectoriales suaves, es linealizable entrada-estado sí ysolo sí se satisfacen las siguientes condiciones:

(i) Para cada 0 ≤ l ≤ n− 1, la distribución Gl tiene dimensión constante en torno a x0.

(ii) La distribución Gn−1 tiene dimensión n.

(iii) Para cada 0 ≤ l ≤ n− 2, la distribución Gi es involutiva.

La condición de involutividad de cierta distribución Gl implica que si uno toma cualquierpar de campos vectoriales de Gl, entonces el corchete de Lie de ese par puede expresarsecomo una combinación lineal de los campos vectoriales originales.


4.1.2. Pasos para obtener la LRC

A manera de resumen, el procedimiento para obtener la linealización por retroalimentacióndel estado es el siguiente [45]:

1. Establecer las distribuciones G0, G1, ..., Gn−1, a partir de los campos vectorialesg1(x), ...,gm (x), adfg1 (x), ..., adfgm (x), ..., adn−1f g1 (x), ..., adn−1f gm (x) .

2. Determinar las condiciones de involutividad de las distribuciones que se especicanen el Teorema 4.1.2.

3. Encontrar las funciones de salida h1 (x), h2 (x), . . . , hm (x) de manera que permitanla linealización entrada-salida, que cumplan con la condición de grado relativo r1 +...+ rm = n, y que

∇xhi · adkfgj (x) = 0 para toda 0 ≤ k ≤ ri − 2, 1 ≤ j ≤ m.

4. Obtener la transformación del estado o difeomorsmo dado por z = Φc (x), que semuestra en (4.1.4).

5. Calcular la ley de control linealizante dada en (4.1.8).

4.2. Linealización por retroalimentación del estado robusta

Como punto de partida, se considera el siguiente sistema lineal, el cual se obtiene al aplicarla LRC

z = Acz +Bcv (4.2.1)

en donde el par de matrices Ac y Bc tienen la forma canónica de Brunovsky. De acuerdocon [23], es posible determinar matrices L ∈ Rm×n, T ∈ Rn×n y R ∈ Rm×m, de maneraque se cumpla con la siguiente transformación de similitud

T (A−BRL)T−1 = Ac (4.2.2)

TBR = Bc (4.2.3)

donde T y R son matrices no singulares.

Si se establece la siguiente retroalimentación

v = LT−1z +R−1υ (4.2.4)

y se aplica en (4.2.1), entonces resulta

z =(Ac +BcLT

−1) z +BcR−1υ. (4.2.5)

4.2 Linealización por retroalimentación del estado robusta 41

Si se aplica la siguiente transformación del estado con la matriz T

z = Txr

en (4.2.5), entonces queda como

T xr =(Ac +BcLT

−1)Txr +BcR−1υ

xr = T−1(Ac +BcLT

−1)Txr + T−1BcR−1υ

xr = T−1AcTxr + T−1BcLT−1Txr + T−1BcR

−1υ. (4.2.6)

Ahora, sustituyendo Ac y Bc de las ecuaciones (4.2.2) y (4.2.3) respectivamente en (4.2.6),se obtiene

x = T−1(T (A−BRL)T−1

)Txr + T−1 (TBR)LT−1Txr + T−1 (TBR)R−1υ,

y tras algunas simplicaciones, da como resultado

xr = Axr +Bυ,

donde las matrices A y B se pueden escoger como A = ∂xf (x0) y B = g (x0), lo cual esconveniente ya que para el sistema (4.2.1), mediante la realimentación (4.2.4), se obtieneuna aproximación tangencial del sistema no lineal en x = 0. De ahora en adelante, sedesignará a Ar = ∂xf (x0) y Br = g (x0) aludiendo que son matrices que se obtienen comoresultado de aplicar la LRR.

Retomando la ley de control linealizante clásica

u (x,v) = αc (x) + βc (x)v,

con las con las funciones αc (x) y βc (x) (dadas en (4.1.9), (4.1.10)), y el difeomorsmoΦc (x) en (4.1.4), y obteniendo con ello el sistema equivalente lineal

z = Acz +Bcv,

entonces es posible extenderse al problema de la LRR mediante el siguiente teorema:

Teorema 4.2.1. [18] Considere el sistema dado en (4.1.1) y suponiendo que los camposvectoriales f (x) y g (x) satisfaces las condiciones del Teorema 4.1.2. Entonces, con lasiguiente retroalimentación del estado

ur (x,υ) = αr (x) + βr (x)w (4.2.7)

donde

αr (x) , αc (x) + βc (x)LT−1Φc (x) (4.2.8)

βr (x) , βc (x)R−1, (4.2.9)


y el difeomorsmoxr = Φr = T−1Φc (4.2.10)

y las matrices correspondientes

L , −M (x0) ·∂αc (x0)

∂x(4.2.11)

T ,∂Φc (x0)

∂x(4.2.12)

R , M (x0)−1 (4.2.13)

el sistema no lineal se transforma en

xr = Arxr +Brυ (4.2.14)

donde el par de matrices (Ar, Br) corresponden a

Ar , ∂xf (x0) Br , g (x0) .

4.2.1. Pasos para calcular la LRR

Para llevar a cabo la LRR se procede de manera sistemática con los siguientes pasos:

1. Primero, se deben cumplir las mismas condiciones establecidas en el Teorema (4.1.2),lo que involucra a los campos vectoriales f (x) y g1 (x), g2 (x), ..., gm (x).

2. Obtener la ley de control linealizante mediante la LRC, ya que para poder obtener laley de control linealizante robusta, es necesario calcular las funciones αc (x)(4.1.9),βc (x) (4.1.10) y el difeomorsmo Φc (x) (4.1.4).

3. Obtener las matrices L, T y R descritas en el Teorema 4.2.1.

4. Obtener el difeomorsmo xr = T−1Φc y construir la ley de control linealizante ro-busta (4.2.7).

4.3. Linealización del modelo del rodamiento

A continuación se muestra el proceso de linealización del modelo matemático del rodamien-to, el cual tiene la representación en espacio de estado dado en (3.3.20) en la Subsección3.3.3.

Como ya se ha mencionado anteriormente, se utiliza la LRR principalmente porque esconveniente preservar la información sobre los parámetros físicos, lo que es deseable parautilizar esquemas de control robusto.

Como el cálculo de la LRR implica cumplir las mismas condiciones que se necesitan para laLRC, además de que las expresiones matemáticas también se utilizan, primero se muestrael procedimiento para calcular la LRC, y posteriormente para calcular la LRR.

4.3 Linealización del modelo del rodamiento 43

4.3.1. Cálculo de la LRC para el rodamiento

De acuerdo con el procedimiento que se describe en la Subsección 4.1.2, primero, se esta-blecen las siguientes distribuciones, de acuerdo al Teorema 4.1.2:

G0 = span g1, g2G1 = span g1, g2, adfg1, adfg2G2 = span

g1, g2, adfg1, adfg2, ad

2fg1, ad

2fg2

G3 = spang1, g2, adfg1, adfg2, ad

2fg1, ad

2fg2, ad

3fg1, ad

3fg2

y se verica que las siguientes condiciones se cumplan (ver Anexo A.2):

1. Las distribuciones G0, G1, G2 y G3 deben tener dimensión constante en x = 0

2. La distribución G3 debe tener dimensión n.

3. Las distribuciones G0, G1, y G2 deben ser involutivas.

Ahora se procede a determinar que las funciones de salida, h1 (x) y h2 (x), cumplan conla condiciones de grado relativo, es decir, que r1 + r2 = n.

De acuerdo al Teorema de Frobenius, un conjunto de campos vectoriales f1, f2, ..., fd escompletamente integrable sí, y sólo sí, existen n− d funciones escalares h1 (x), h2 (x), ...,h (x)n−d que satisfacen el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales parciales

∂hi∂x· fj = 0 para 1 ≤ i ≤ n− d, 1 ≤ j ≤ d.

Aplicando este concepto a la distribución G1, cuya dimensión es igual a tres, se deduce queexiste una función escalar tal que el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales tienesolución:

∇xh1.g1 (x) =

[∂h1∂x1

∂h1∂x2

∂h1∂x3

∂h1∂x4

]

0

0

k − 2x1L0

0

=

∂h1∂x3

k − 2x1L0

= 0


∇xh1.g2 (x) =

[∂h1∂x1

∂h1∂x2

∂h1∂x3

∂h1∂x4

]

0

0

0

k + 2x1L0

=

∂h1∂x4

k + 2x1L0

= 0

∇xh1.adfg1 (x) =

[∂h1∂x1

∂h1∂x2

∂h1∂x3

∂h1∂x4

]

0

− 2 (I0 + x3)

m (k − 2x1)(k − 2x1)

2R1

L20

0

= −∂h1

∂x2

2 (I0 + x3)

m (k − 2x1)+∂h1∂x3

(k − 2x1)2R1

L20

= 0

∇xh1.adfg2 (x) =

[∂h1∂x1

∂h1∂x2

∂h1∂x3

∂h1∂x4

]

0

2 (I0 + x4)

m (2x1 + k)

0

(2x1 + k)2R2

L20

=

∂h1∂x2

2 (I0 + x4)

m (2x1 + k)+∂h1∂x4

(2x1 + k)2R2

L20

= 0

Para que las ecuaciones anteriores se satisfagan, se debe escoger una función de salida queno dependa de las variables de estado x2, x3 y x4, de modo que la única opción es elegir ah1 = x1.

Derivando sucesivamente y1 (t) = h1 (x), se tiene que el grado relativo para tal salida esr1 = 3, es decir

d3y1dt3

= L3fh1 (x) + Lg1L

2fh1 (x)u1 + Lg2L

2fh1 (x)u2

dondeLg1L

2fh1 (x)u1 + Lg2L

2fh1 (x)u2 6= 0


Por lo tanto, el grado relativo que corresponde a y2 (t) = h2 (x) debe ser r2 = 1, con talde que se cumpla con la condición de grado relativo r1 + r2 = 4. Entonces, en la primeraderivada de la salida y2 (t)

dy2dt3

= Lfh2 (x) + Lg1h2 (x)u1 + Lg2h2 (x)u2

cualquiera de los términos que se multiplican con el vector de entrada u debe ser diferentede cero

Lg1h2 (x)u1 + Lg2h2 (x)u2 6= 0.

Para esto, basta con elegir una función tal que cualquier término, Lg1h2 (x)u1 o Lg2h2 (x)u2,sea diferente de cero:

∇xh2 · g1 =

[∂h2∂x1

∂h2∂x2

∂h2∂x3

∂h2∂x4

]

0

0

k − 2x1L0

0

6= 0

∇xh2 · g2 =

[∂h2∂x1

∂h2∂x2

∂h2∂x3

∂h2∂x4

]

0

0

0

k + 2x1L0

6= 0

Para cumplir con tal condición, se puede seleccionar a h2 (x) como h2 (x) = x3 o h2 (x) =x4. Se opta por seleccionar la primera opción.

Ya con las funciones de salida seleccionadas, se procede a obtener la transformación del es-tado z = Φc (x). El difeomorsmo particularizado para el modelo del rodamiento quedaríacomo

Φc =

φc1 (x)

φc2 (x)

donde

φc1 (x) =

h1 (x)

L1fh1 (x)

L2fh1 (x)

φc2 (x) =

[h2 (x)

],


y, por lo tanto,

Φc (x) =

x1

x2

L0

m

((x3 + I0)

2

(k − 2x1)2 −

(x4 + I0)2

(k + 2x1) 2

)x3

(4.3.1)

Ahora, se obtienen las matrices M (x)y N (x), siendo entonces:

M (x) =

Lg1L2fh1 (x) Lg2L

2fh1 (x)

Lg1Lfh2 (x) Lg2Lfh2 (x)

=

2 (I0 + x3)

m (k − 2x1)− 2 (I0 + x4)

m (2x1 + k)k − 2x1L0

0

. (4.3.2)

Para el caso de la matriz N (x), la cual está denida por la ecuación (4.1.6) se tiene que

N (x) =

L3fh1 (x)

Lfh2 (x)

=

2x4 (I0 + x4)R2

m (2x1 + k)− 2x3 (I0 + x3)R1

m (k − 2x1)

−(k − 2x1)x3R1

L0− 2x2 (I0 + x3)

k − 2x1

. (4.3.3)

Ya con las expresiones (4.3.2) y (4.3.3) calculadas, ahora es posible determinar las funcionesmatriciales αc (x) y βc (x) :

αc (x) = −M (x)−1N (x)

=

R1x3 +

2L0x2 (x3 + I0)

(k − 2x1)2

R2x4 +2x2L0 (k + 2x1) (x3 + I0)

2

(k − 2x1)3 (x4 + I0)

(4.3.4)

βc (x) = M−1 (x)

=

0L0

k − 2x1

−m (2x1 + k)

2 (I0 + x4)

(2x1 + k) (I0 + x3)L0

(k − 2x1)2 (I0 + x4)

, (4.3.5)


con las cuales se puede construir la ley de control linealizante

u (x,v) = αc (x) +c β (x)v.

4.3.2. Cálculo de la LRR para el rodamiento

Ya previamente obtenida la linealización por retroalimentación del estado clásica, ahora seprocede a calcular la ley de control linealizante robusta. Para esto es necesario calcular lasmatrices L, T , R y la transformación del estado correspondiente Φr = TΦc.

Las matrices L,T y R particularizadas para el modelo del rodamiento, están dadas acontinuación:

L = −M (x0) · ∂xαc (x0)

=

0 0 −2I0R1

mk

2I0R2

mk

0−2I0k

−kR1

L00

, (4.3.6)

para la matriz T

T = ∂xΦc (x0)

=

1 0 0 0

0 1 0 0

8L0I20

mk30

2L0I0mk2

−2L0I0mk2

0 0 1 0

, (4.3.7)

y la matriz R

R = M−1 (x0)

=

0L0

k

−mk2I0

L0

k

, (4.3.8)

las cuales cumplen con

T (Ar −BRL)T−1 = Ac

TBR = Bc

donde

Ac =

0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

Bc =

0 00 01 00 1


y las matrices Ar y Br corresponden a

Ar = ∂xf (x0)

=

0 1 0 0

8L0I20

mk30

2I0L0

mk2−2I0L0

mk2

0 −2I0k−kR2

L00

02I0k

0 −kR2

L0

Br = g (x0)

=

0 0

0 0

k

L00

0k

L0

.

Ya con las matrices L, T y R, y las funciones αc (x) y βc (x), se puede construir la ley decontrol dada por la ecuación (4.2.7):

ur (x,w) = αr (x) + βr (x)υ

donde

αr (x) = αc (x) + βc (x)LT−1Φc (x) (4.3.9)

βr (x) = βc (x)R−1. (4.3.10)

Sustituyendo las funciones αc y βc ( (4.3.4) y (4.3.5)), y las matrices L, T , Φc y R ((4.3.6),(4.3.7), (4.3.1) y (4.3.8), respectivamente) en (4.3.9) y (4.3.10), se obtienen los siguientesresultados:

αr (x) =

αr1

αr2

con

αr1 (x) = −2kx3R1

k − 2x1− 4x2I0L0

k (k − 2x1)

αr2 (x) = x3

(−(2x1 + k) I0R2

k (I0 + x4)− k (2x1 + k) (I0 + x3)R1

(k − 2x1)2 (I0 + x4)

+(2x1 + k) I0R1

k (I0 + x4)

)+(

kR2 (2x1 + k)

2 (I0 + x4)

) ((I0 + x3)

2

(k − 2x1)2 −

(I0 + x4)2

(2x1 + k)2

)− 4x1I

20R2 (2x1 + k)

k2 (I0 + x4)−

2x2I0L0 (2x1 + k) (I0 + x3)

k (k − 2x1) (I0 + x4)


y

βr (x) =

k

k − 2x10

k (2x1 + k) (I0 + x3)

(k − 2x1)2 (I0 + x4)

− (2x1 + k) I0k (I0 + x4)

(2x1 + k) I0k (I0 + x4)

.

Por último el difeomorsmo Φr (x) = T−1Φc (x):

Φr (x) =

x1

x2

x3

− k2

2I20

((I0 + x3)

2

(k − 2x1)2 −

(I0 + x4)2

(2x1 + k)2

)+

4x1I0k

+ x3

.

El modelo equivalente lineal, que da como resultado de aplicar la LRR al modelo no lineal(3.3.20), tiene la siguiente descripción en espacio de estado:

xr = Arxr +Brυ

yr = Crxr (4.3.11)

donde x ∈ R4, yr ∈ R4, υ ∈ R2, y las matrices Ar ∈ R4×4, Br ∈ R2×4 y Cr ∈ R4×4.

En la Figura 4.3.1 se muestra un diagrama a bloques representativo de la estructura dela LRR. En esa gura se muestra cómo se interconecta el bloque de la linealización, surealimentación del estado, y la nueva entrada de control lineal w. También se muestra quela salida del sistema no lineal primero se transforma a las nuevas coordenadas mediante elbloque de difeomorsmo, ya que el controlador está diseñado precisamente para un sistemalineal.

En el Anexo A se proporciona el programa desarrollado en Matlab® que muestra cómo sedesarrolla la LRR para implementarse en Simulink®.

Figura 4.3.1. Esquema que muestra la interconexión del sistema no lineal, el bloquelinealizante y la nueva entrada de control lineal.



En este capítulo muestra la importancia que implica aplicar la LRR en vez de la LRC, porel motivo de que es necesario proporcionar robustez a la hora de diseñar un controladorrobusto que resuelva el problema de la incertidumbre en los parámetros.

La ventaja más notoria de aplicar esta linealización, es que el sistema linealizado quedacomo una aproximación tangencial en x = 0, pero mediante una ley de control que cancelalas no linealidades.

Capítulo 5

Procedimiento de diseño loop

shaping H∞

El control robusto es una de las herramientas consideradas dentro del control tolerantea fallas. Especialmente el PFTC hace uso de técnicas de control robusto para asegurarque el sistema en lazo cerrado permanezca insensible ante perturbaciones externas (ciertotipo de fallas), mediante el diseño cuidadoso de un controlador único, sin la necesidad deimplementar esquemas de diagnóstico tal como se realiza en el AFTC [39].

El utilizar un controlador robusto para hacer frente a fallas en un sistema, requiere conocerlas características de éstas.

En este capítulo se muestra el procedimiento de diseño del controlador, que en un capítuloposterior se aplica al rodamiento magnético. El esquema de control desarrollado corres-ponde a la técnica loop shaping H∞, propuesta por Glover y McFarlane ([33], (1992)). Lacaracterística mas relevante de este procedimiento de diseño, es que incorpora técnicas decontrol clásico (loop shaping, o moldeo de la respuesta en frecuencia de la función de lazo)junto con algoritmos de optimización H∞.

La idea de moldear en frecuencia la función de transferencia de lazo, es cumplir con ciertosrequerimientos de desempeño, como la disminución del error, la disminución del efecto deperturbaciones, y la disminución del efecto del ruido presente en los sensores que midenlas señales de salida.

El propósito de este trabajo es determinar el conjunto de fallas a las cuales es posibleenfrentar mediante este esquema de control, ya sean caracterizadas como perturbaciones ocomo incertidumbre en los parámetros, y disminuir su efecto.

5.1. Introducción

Se puede decir que la teoría de control robusto surge como tal con una publicación deconferencia realizada en 1979 por Zames (Feedback and optimal sensitivity: Model referen-

52 Procedimiento de diseño loop shaping H∞

ce transformations, weighted seminorms, and approximate). En tal trabajo se formula laminimización de la función de sensibilidad para un sistema lineal SISO. Lo que llamó laatención inmediatamente, es que se retoma la losofía del control clásico, y cómo se puedeextender a problemas generales como robustez de una manera más directa, en comparacióncon otros métodos de optimización desarrollados por la teoría de control moderno [25].

Durante la década de 1960, en el auge del control moderno, el cual se caracteriza por elanálisis en el dominio del tiempo, buscaba mejorar el desempeño de los sistemas median-te procedimientos matemáticos y técnicas de optimización. Tales técnicas se basaron encriterios de desempeño LQG (lineales cuadráticos Gaussianos, por sus siglas en inglés),dando buenos resultados en aplicaciones aeroespaciales, en donde es posible obtener mode-los matemáticos precisos [17]. En este caso, se consideró como apropiada la descripción deperturbaciones y ruido presente en la medición de las señales de salida como ruido blanco.

Además, otras de las características del control moderno, es la manera en cómo representarlos modelos matemáticos (en espacio de estado), en donde las ecuaciones diferencialespueden expresarse de manera matricial, y las entradas y salidas mediante vectores. Estoproporcionó una manera ecaz de tratar con sistemas multivariables (o MIMO, que signicamúltiples entradas y múltiples salidas).

Sin embargo, muchas técnicas de control desarrolladas en el auge del control moderno noresultaron tan efectivas en muchas aplicaciones industriales. Y esto se debió principalmenteque carecían de robustez ante la incertidumbre en el modelo.

La aparición del control robusto se caracteriza por regresar a la losofía de control clásicoen el dominio de la frecuencia, con la oportunidad de desarrollar métodos de control parasistemas multivariables, considerando la presencia de incertidumbre en las señales, así comoen el modelo.

Una de las dicultades a las cuales se enfrentó el control robusto fue la relativa complejidadde las herramientas matemáticas empleadas. Cabe señalar que esta nueva área no sóloatrajo la atención del área de ingeniería, sino de matemáticos mayoritariamente [47]. Losalgoritmos de control para resolver los problemas de optimización H∞ requieren de buenosequipos de procesamiento.

Las limitantes tecnológicas se han reducido gradualmente gracias al avance de nuevosequipos de cómputo. Actualmente se dispone de software especializado para desarrollarestas tareas como en el caso de Matlab®.

5.2. El problema del control robusto

Todo diseño de un sistema de control depende en gran medida de la delidad con la que serepresente la planta a controlar. En el proceso de modelado se llevan a cabo simplicacioneso suposiciones en torno a las leyes físicas o químicas que describen el comportamiento

5.3 Representación de la incertidumbre 53

dinámico del proceso, con la nalidad de obtener un modelo equilibrado en cuestión acomplejidad y delidad [43]. Además, se sabe que obtener un modelo matemático querepresente elmente al proceso a controlar prácticamente imposible.

El término incertidumbre se utiliza para describir la diferencia entre el modelo y el procesoreal que se desea controlar [50]. Todas aquellas suposiciones que se realizaron en torno almodelo, así como toda aquella información que se desconoce del proceso real, son fuentesde incertidumbre.

Si se desea controlar de manera eciente un proceso real, se debe considerar el efecto delas fuentes de incertidumbre existentes, de manera que se asegure que el comportamientodel sistema cumpla adecuadamente con los objetivos de control en un entorno realista detrabajo [43].

5.3. Representación de la incertidumbre

Dependiendo del origen de la incertidumbre, ésta se puede clasicar de dos maneras: per-turbaciones en las señales, y perturbaciones en la dinámica misma de la planta [50]. Laprimera clasicación incluye todas aquellas señales que inuyen sobre las entradas y sali-das de la planta. Tales perturbaciones se generan por fuentes exógenas al proceso, como elruido en los sensores y en los actuadores.

La segunda clasicación se reere a aquella incertidumbre derivada de la diferencia entreel modelo y la planta real. Ejemplos que la causan son: dinámica en alta frecuencia no mo-delada, reducción en el orden del modelo, dinámica no lineal no considerada y desviacionesen los valores de los parámetros.

Para propósitos de control, existe otra clasicación de la incertidumbre, pero esta vez conla nalidad de representarla dentro del diseño del controlador mismo. Para esto se clasicaen incertidumbre estructurada e incertidumbre no estructurada.

En muchas aplicaciones industriales, la incertidumbre presente en la planta puede debersea la falta de precisión en la descripción de las características de los componentes, tambiénpor desgaste de los mismos y por el desvío del punto de operación, etc. Cuando se tieneconocimiento de los rangos de desviación, ya sea en el punto de operación, o en el valor delos parámetros de sistema (por ejemplo, en el caso de un circuito eléctrico, el valor de unaresistencia puede uctuar entre ±5 %, en algunos casos). Se dice entonces que se tiene unaincertidumbre estructurada. Este tipo de incertidumbre generalmente afecta el desempeñodel sistema en baja frecuencia [17].

En el caso de la incertidumbre no estructurada, se asume que sólo se conoce que existe unadiferencia entre el modelo nominal y la planta real. Y a lo máximo, se establecen límitesde tal incertidumbre mediante una norma.


En el caso de los sistemas LTI (sistemas lineales invariantes en el tiempo), la incertidumbreno estructurada se puede representar mediante un sólo bloque, pudiendo ser una funcióno matriz (caso MIMO) de transferencia desconocida.

Considérese un sistema LTI cuya función de transferencia (o matriz) está dada por G0 (s),y se establece que tal planta se encuentra bajo el efecto de incertidumbre, de manera quela planta nominal (en ausencia de incertidumbre) está dada por G0 (s). La incertidumbrese representa a su vez mediante ∆ (s), la cual es una función o matriz de transferencianormalizada.

A continuación se muestran diferentes maneras de cómo representar a la incertidumbre noestructurada.

1. Perturbación aditiva:

Figura 5.3.1. Conguración para la incertidumbre aditiva.

Gp (s) = G0 (s) + ∆ (s)

2. Perturbación aditiva inversa:

Figura 5.3.2. Conguración para la incertidumbre inversa aditiva.

Gp (s)−1 = G0 (s)−1 + ∆ (s)

5.3 Representación de la incertidumbre 55

3. Perturbación multiplicativa a la entrada:

Figura 5.3.3. Conguración para la incertidumbre multiplicativa a la entrada.

Gp (s) = G0 (s) (I + ∆ (s))

4. Perturbación multiplicativa a la salida:

Figura 5.3.4. Conguración para la incertidumbre multiplicativa a la salida.

Gp (s) = (I + ∆ (s))G0 (s)

5. Perturbación multiplicativa inversa a la entrada:

Figura 5.3.5. Conguración para la incertidumbre multiplicativa inversa a la entrada.

(Gp (s))−1 = (I + ∆ (s)) (G0 (s))−1


6. Perturbación multiplicativa a inversa a la salida:

Figura 5.3.6. Conguración para la incertidumbre multiplicativa inversa a la salida.

(Gp (s))−1 = (G0 (s))−1 (I + ∆ (s))

7. Incertidumbre en los factores coprimos por la izquierda:

Figura 5.3.7. Conguración para incertidumbre en factores coprimos por la izquierda.

Gp (s) = (Ml + ∆Ml)−1 (Nl + ∆Nl

)

8. Incertidumbre en los factores coprimos por la derecha:

Figura 5.3.8. Conguración para incertidumbre en factores coprimos por la derecha.

5.4 Objetivos del control robusto 57

Gp (s) = (Nr + ∆Nr) (Mr + ∆Mr)−1

La elección de uno u otra forma de representar a la incertidumbre depende de los obje-tivos de control para un problema en particular. Por ejemplo, una representación aditivaproporciona una medida del valor absoluto del error entre la dinámica real actual de laplanta y del modelo nominal. Por su parte, una representación multiplicativa proporcionauna medida del error relativo.

Para las dos últimas representaciones, referentes a las factorizaciones coprimas (izquierday derecha respectivamente mostradas en las Figuras 5.3.7 y 5.3.8), las matrices (∆Ml

,∆Nl)

y (∆Mr ,∆Nr) representan la incertidumbre para cada uno de los correspondientes factores.

Las matrices que representan a esta incertidumbre, aunque son desconocidas, deben es-tar acotadas. Este acotamiento generalmente es mediante una función de transferenciaconocida δ, de modo que se cumpla con la siguiente condición:

σ [∆ (jω)] ≤ δ (jω)

para todo el rango de frecuencias ω, y donde σ [·] denota al máximo valor singular de unamatriz.

5.4. Objetivos del control robusto

Como el diseño de un controlador implica que la planta funcione en un entorno realista enpresencia de incertidumbre, entonces dentro del control robusto se establecen los siguientesobjetivos.

Estabilidad nominal. El controlador debe asegurar estabilidad del sistema en lazo ce-rrado, bajo condiciones de operación nominales.

Desempeño nominal. Una vez asegurada la estabilidad del sistema, generalmente serequiere que éste cumpla con ciertos requerimientos de desempeño.

Estabilidad robusta. El controlador, además de asegurar la estabilidad de la plantanominal, debe asegurar que el sistema será estable ante la presencia de incerti-dumbre.

Desempeño robusto. De la misma manera, se espera que el sistema cumpla con ciertosobjetivos de comportamiento ante la presencia de incertidumbre.


5.4.1. Especicaciones de diseño

En la Figura 5.4.1 se muestra un diagrama a bloque que representa un sistema de control.En tal gura se muestra a una planta G (s) junto con un controlador realimentado K (s).El sistema se encuentra bajo el efecto de perturbaciones a la entrada y salida del sistema:di y do, además de ruido presente en la medición de las señales de salida, representado porn.

Figura 5.4.1. Sistema de control realimentado.

Como se establece en el control clásico, muchos de los requerimientos que generalmente sedesean satisfacer en lazo cerrado, se pueden tratar mediante el análisis de la respuesta enfrecuencia de la función de lazo abierto L (s) [2].

Dependiendo de si se toma la entrada o la salida de la planta como punto de referencia, lafunción de lazo L (s) puede ser la función de lazo a la entrada Li (s), o bien la función delazo de salida L0 (s):

Li (s) = G (s)K (s) (5.4.1)

Lo (s) = K (s)G (s) . (5.4.2)

A partir de la función de lazo abierto (sea Li (s) o Lo (s)), también se dene la funcionesde sensibilidad a la entrada y a la salida:

Si (s) = (I + Li (s))−1 (5.4.3)

So (s) = (I + Lo (s)) ,−1 (5.4.4)

y las funciones de sensibilidad complementaria como:

Ti = I − Si (s) = Li (s) (I + Li (s))−1 (5.4.5)

To = I − So (s) = (I + L0 (s))−1 Lo (s) . (5.4.6)

Tanto la funciones de sensibilidad y la funciones de sensibilidad complementaria cumplencon la siguientes condiciones:

Si (s) + Ti (s) = I (5.4.7)

So (s) + To (s) = I. (5.4.8)

5.4 Objetivos del control robusto 59

Las funciones de transferencia que relacionan a la salida con cada una de las entradas al sis-tema (r, di, do y n), están relacionadas precisamente mediante las funciones de sensibilidady sensibilidad complementaria. De tal modo que puede expresarse mediante:

y = Tor + SoGdi + Sodo − Ton. (5.4.9)

También puede establecerse una relación del error e, y el efecto que tiene cada una de lasentradas sobre él:

e = Sor − Sodd + Ton− SoGdi (5.4.10)

Considerando que también se desea regular el esfuerzo realizado por parte del actuadorcon el n de evitar su posible saturación, se establece lo siguiente:

u = KSor −KSodo + Sidi −KSon. (5.4.11)

A partir de las relaciones descritas para la salida y (5.4.9), el error e (5.4.10) y la entrada decontrol u (5.4.11), se pueden establecer distintos objetivos dependiendo de algún problemaen particular, los cuales consisten en manipular las distintas funciones de transferenciamediante la ganancia de la función de lazo en el dominio de la frecuencia.

En los sistemas SISO, el análisis en frecuencia generalmente se realiza utilizando diagramasde Bode, pero para un sistema MIMO, la manera de cómo medir la ganancia es mediantelas grácas de sus valores singulares en función de la frecuencia. A continuación se planteanalgunos objetivos los cuales pueden alcanzarse mediante la manipulación de la ganancia delazo [47]:

Si se desea un buen rechazo a las perturbaciones a la entrada y a la salida de laplanta G (s), entonces la ganancia de las funciones So (s) y So (s)G (s) debe ser lomás pequeña posible, esto es

σ (So (jω)) 1

σ (So (jω)G (jω)) 1.

Para un buen seguimiento en la referencia r por parte de la salida y, es convenienteque la función de sensibilidad So (s) se minimize, y que la función de sensibilidadcomplementaria sea lo más cercana a la unidad, es decir

σ (To (jω)) ≈ σ (To (jω)) ≈ 1

Si se requiere atenuar el efecto del ruido n presente en la medición de las señales desalida, es necesario disminuir la ganancia de la función de sensibilidad complementa-ria:

σ (To (jω)) 1


Para reducir el esfuerzo por parte del actuador, es necesario que:

σ (K (jω)So (jω) 1)

Varios de éstos objetivos no se pueden satisfacer de manera simultanea, precisamente porla condiciones dadas en (5.4.7) y (5.4.8). Para resolver este problema, tales objetivos sedeben establecer en diferentes rangos de frecuencia. Por ejemplo, minimizar el ruido n y elproblema de seguimiento son contradictorios, ya que el primero requiere minimizar To (s)mientras que el segundo requiere que sea lo más cercano a la unidad. Sin embargo, elruido generalmente se presenta como señales en alta frecuencia, mientras que la señal dereferencia lo hace a frecuencias muy bajas.

En la Figura 5.4.2 se muestran las zonas de frecuencia de interés para el moldeo de lafunción de lazo L (s). Si ésta tiene una alta ganancia en baja frecuencia, entonces la funciónde sensibilidad será pequeña, lo que reduce el efecto de las perturbaciones y el error deseguimiento para esa zona. Si la ganancia de lazo tiene una ganancia pequeña, entonces lafunción de sensibilidad complementaria también será pequeña, de modo que el efecto delruido se ve atenuado.

e

Figura 5.4.2. Zonas de frecuencias de interés para el moldeo de la función de lazo L.

5.5. Formulación general del problema de control

Se dice que un sistema es robusto si permanece y cumple con ciertas condiciones de desem-peño en presencia de incertidumbre (en parámetros y perturbaciones). El objetivo delcontrol robusto es encontrar un controlador que satisfaga esta condición.

Existen diferentes maneras en las cuales se puede plantear el diseño de un sistema decontrol. Particularmente, para el caso de optimización H∞, se emplea una formulación

5.5 Formulación general del problema de control 61

estándar la cual se ha extendido para diferentes métodos de diseño [44], como loop shapingH∞ y el control H∞ con sensibilidad mixta.

En la Figura 5.5.1 se presenta un diagrama a bloques representativo para formular elproblema general de control. En tal diagrama, la planta está representada por P , w esun vector el cual representa a todas las señales exógenas que tienen inuencia sobre P ,como la señal de referencia, perturbaciones o el mismo ruido presente en los sensores. Lasseñales que se desean regular están dadas por z, las cuales pueden ser el error, las señalesde control o las mismas salidas de la planta. Las señales que se realimentan al controladorse representan mediante v, y el vector u respresenta a las señales de control.

Figura 5.5.1. Conguración general de control.

Se debe suponer que la planta P y el controladorK son matrices de transferencia racionalesreales y estrictamente propias. Ademas de que poseen realizaciones en espacio de estadolas cuales con detectables y estabilizables [9].

La manera de representar la relación entre el conjunto de salidas [z v]T con el conjunto deentrada [w u]T del diagrama a bloques de la Figura 5.5.1, es la siguiente:z

v

= P (s)

wu

=

P11 (s) P12 (s)

Ps (s) P22 (s)

wu

, (5.5.1)

u = K (s) v (5.5.2)

donde la planta P (s) tiene la siguiente realización mínima en espacio de estado:

Ps=

A B1 B2

C1 D11 D12

C2 D12 D22

. (5.5.3)

Para representar al sistema anterior en lazo cerrado, se utiliza una transformación linealfraccional:

z = Fl (P,K)w


dondeFl (P,K) = P11 + P12K (I − P22K)−1 P21

es la función de transferencia de w az. El objetivo de control para la conguración mostradaen la Figura 5.5.1 es encontrar un controlador K de tal modo que se minimice la siguientenorma:

‖Fl (P,K)‖∞ = maxω

σ (Fl (P,K) (jω)) .

Minimizar la norma H∞ de la expresión anterior se puede interpretar de dos maneras. Enel dominio de la frecuencia sería como minimizar el valor pico del máximo valor singularde Fl (P,K) (jω), para todo el rango de frecuencia ω. En el dominio del tiempo sería comominimizar la relación entre la energía (norma-2) de la salida z y la energía de la entrada w

‖Fl (P,K)‖∞ = maxw(t) 6=0

‖z (t)‖2‖w (t)‖2

donde ‖z (t)‖2 =√´∞

0

∑i |zi (t)|2 dt es la norma-2 de z.

En la práctica, obtener un controlador óptimo resulta demasiado complejo, tanto teóricacomo computacionalmente. Sin embargo, es posible obtener un controlador subóptimo(cercano al valor óptimo en el sentido de la minimización de la norma H∞).

Sea γmin el valor mínimo de ‖Fl (P,K)‖∞ para todos los controladores K que estabilizana P , entonces un controlador subóptimo Ksub, el cual también estabiliza a P , es aquel quesatisface lo siguiente

‖Fl (P,K)‖∞ < γ

para un γ > γmin.

Utilizando las formulaciones planteadas en [9], el controlador subóptimo Ksub, para unaplanta P con una realización mínima en espacio de estado como se muestra en (5.5.3),tiene la siguiente realización en espacio de estado:

Ksubs=

A+ γ−2B1BT1 X∞ +B2F∞ + Z∞L∞C2 −Z∞L∞

−BT2 X∞ 0

con las matrices

L∞ = −Y∞CT

Z∞ =(I − γ−2Y∞X∞

)−1.

Las matrices X∞ y Y∞ corresponden a las soluciones denidas positivas para las siguientesecuaciones algebraicas de Riccati:

ATX∞ +X∞A−X∞(γ−2B1B

T1 −B2B

T2

)X∞ + CT

1 C1 = 0 (5.5.4)

AY∞ + Y∞AT − Y∞

(γ−2CT

1 C1 − CT2 C2

)Y∞ +B1B

T1 = 0 (5.5.5)

5.6 Procedimiento de diseño loop shaping H∞ 63

Tales ecuaciones están asociadas a matrices Hamiltonianas (Ver Anexo B.4), en donde seestablece como condición que las soluciones X∞ y Y∞ sean tales que estas matrices notengan eigenvalores con parte real positiva.

Para poder aplicar las fórmulas generales establecidas en [9], la planta P debe cumplir conciertas condiciones:

i) El conjunto de matrices (A, B1, C2) deben ser estabilizables y detectables, lo que esnecesario para la existencia de un controlador K que estabilice a la planta P .

ii) Las matrices D12 y D21 deben tener rango completo. Esta condición asegura que elcontrolador K sea estrictamente propio y realizable.

iii) La matriz

A− jωI B2

C1 D12

tiene rango completo en sus columnas para toda ω.

iv) La matriz

A− jωI B1

C2 D21

tiene rango completo en sus las para toda ω. Esta supo-

sición, junto con la anterior, asegura que no hallan cancelaciones entre polos y cerossobre el eje imaginario jω, lo cual puede resultar en la inestabilidad del sistema

v) D11 = 0 y D22 = 0. Esta suposición aplica para plantas que son estrictamente propias

Cabe señalar que en [9] se establecen las formulaciones para diferentes casos, entre ellos,para plantas las cuales no son estrictamente propias.

5.6. Procedimiento de diseño loop shaping H∞

El procedimiento de diseño loop shaping H∞ combina la técnica de moldeo de la función delazo con el procedimiento de estabilización robusta propuesto en [14]. El procedimiento dediseño consta de dos etapas. Primero, se utilizan compensadores que pre y pos-multiplicana la planta en lazo abierto, con la nalidad de dar una forma deseada a la respuesta enfrecuencia mediante sus valores singulares. Posteriormente, la planta resultante se estabilizarobustamente utilizando el procedimiento descrito en [14].

5.6.1. Estabilización robusta de la planta

El procedimiento de diseño en [14] es una alternativa para enfrentar el problema de laincertidumbre no estructurada en el modelo, de la cual no se tiene información, pero se es-tablecen cotas sobre su magnitud. Para esto se utiliza la representación de la incertidumbre


mostrada en la Figura 5.3.7, que corresponde a una factorización coprima por la izquierdaaplicada a la planta.

Considérese una planta G la cual tiene una factorización coprima por la izquierda de lasiguiente manera:

G (s) = M−1 (s)N (s)

donde M (s) y N (s) corresponden a matrices de transferencia racionales reales. El hechode que se le denomine factores coprimos a tales matrices, signica que no existen ceroscomunes los cuales se cancelen al realizar el producto. Pueden existir diferentes factori-zaciones coprimas para una planta, sin embargo, la de interés es la factorización coprimanormalizada, la cual cumple con la identidad de Bezout (Véase anexo B.5).

El modelo de la planta perturbada para este tipo de representación de incertidumbre (Fi-gura 5.3.7), es el siguiente

Gp = (Ml + ∆M )−1 (Nl + ∆N ) ,

donde ∆Mly ∆Nl

son matrices de transferencia desconocidas estables. El objetivo delcontrolador será estabilizar tanto al modelo nominal G, así como a la familia de plantasque se derivan de la existencia de la incertidumbre, esta familia de plantas se representade la siguiente manera:

Gp =

(Ml + ∆M )−1 (Nll + ∆Nl) : ‖∆Nl

∆Ml‖∞ < ε

, (5.6.1)

lo cual indica que la norma H∞ para las matrices de incertidumbre ∆Mly ∆Nl

está acotadapor algún número ε > 0.

Figura 5.6.1. Problema de estabilización robusta con incertidumbre a través de la fac-torización coprima por la izquierda.

El problema de estabilización robusta que se plantea en la gura (5.6.1) se puede tratarde manera análoga al problema general de control como se muestra en la Figura 5.5.1. Eneste caso, la incertidumbre se caracteriza como una perturbación externa que se añade a laplanta en el punto suma existente entre los factores coprimos Nl y Ml tal como se muestraen la Figura 5.6.2.


Figura 5.6.2. Descripción de la estabilización robusta en la conguración general decontrol.

Estableciendo la relación de las señales de entrada (w y u) de la planta G = M−1l Nl conlas salidas que se desean regular z1 y z2, queda como:

z1 = u (5.6.2)

z2 = M−1l w +Gu, (5.6.3)

y las salidas y que se realimentan al controlador:

y = M−1l w +Gu. (5.6.4)

Representando lo anterior de manera matricial queda como:z1

z2

y

=

0

M−1l

IG

M−1l G

wu

.

Para establecer la matriz de transferencia que relacione a las salidas z con la entrada deperturbación w en lazo cerrado, se utiliza una transformación lineal fraccional, que consisteen sustituir u = Ky en (5.6.4), resultando con ello:

y = M−1l w +GKy

(I −GK) y = M−1w

y = (I −GK)−1M−1w (5.6.5)

y, posteriormente sustituyendo (5.6.5) en (5.6.2) queda:

z1 = K (I −GK)−1M−1l w

z2 = (I −GK)−1M−1l w.


De esta manera se puede representar a función de transferencia de w a z como:z1z2

=

K (I −GK)−1M−1l

(I −GK)−1M−1l

w,z = Tzww.

Por lo tanto, si se desea minimizar el efecto que tiene la perturbación w sobre las salidasz, entonces, debe encontrarse un controlador que minimice la siguiente norma:

‖Tzw‖∞ =

∥∥∥∥∥∥∥K (I −GK)−1M−1l

(I −GK)−1M−1l

∥∥∥∥∥∥∥∞

. (5.6.6)

De acuerdo a [13], y para matrices de incertidumbre ‖∆Nl∆Ml‖∞ < ε, el sistema es

robustamente es estable, sí y sólo si, el sistema nominal es estable y∥∥∥∥∥∥∥K (I −GK)−1M−1l

(I −GK)−1M−1l

∥∥∥∥∥∥∥∞

≤ 1

ε

donde se puede designar a γ = 1/ε, y que equivale a la norma−∞ de la perturbación

w a[u y

]T, mientras que (I −GK)−1 es la función de sensibilidad con realimentación

negativa de la Figura 5.6.1.

De la misma manera como se planteó anteriormente para la formulación general del proble-ma de control en la Sección 5.5, para encontrar un controlador K, para un γ determinado,se requiere de la solución de dos ecuaciones algebraicas de Riccati, las cuales están parti-cularizadas para este caso [50], y se describen a continuación.

Para una realización mínima en espacio de estado de la planta G

G =

A B

C D

se establecen las siguientes ecuaciones algebraicas de Riccati:(

A−BDTR−1C)Z + Z

(A−BDTR−1C

)T − ZCTR−1CZ +BS−1BT = 0 (5.6.7)

con

R ,(I +DDT

)S ,

(I +DTD

)


donde Z es la solución única denida positiva. Y la ecuación:(A−BS−1DTC

)TX +X

(A−BS−1DTC

)−XBS−1BTX + CTR−1C = 0 (5.6.8)

donde X es la solución única denida positiva.

Obteniendo tales matrices, Z y X, es posible determinar el mínimo valor de γ, mediante

γmin = (1 + ρ (XZ))12 (5.6.9)

donde γmin equivale al máximo margen de estabilidad εmax, y σ es el radio espectral(máximo eigenvalor).

Tomando como base el valor de γmin, es posible determinar un controlador subóptimo Ks

(controlador central [14]) con un γ > γmin, el cual tiene la siguiente realización en espaciode estado:

Ks =

A+BF + γ2(LT)ZCT (C +DF ) γ2

(LT)ZCT

BTX −DT

(5.6.10)

donde

F = −S−1(DTC +BTX

)L =

(1− γ2

)I +XZ.

El número γ (a veces denominado como nivel de incertidumbre [10]) debe seleccionarsemayor a γmin, ya que si se selecciona igual a este valor mínimo, entonces la matriz L =ρ (XZ) I −XZ es no singular, de manera que el controlador Ks no puede implementarse[44].

Entre mayor sea el número γ, menor será el margen de estabilidad ε, lo cual no es reco-mendable.

5.6.2. Algoritmo de diseño loop shaping H∞

La estabilización robusta por sí sola no se aplica en la práctica, ya que además de estabilizarla planta siempre se requiere cumplir con ciertos criterios de desempeño. Para resolver esteproblema, en [33] proponen utilizar compensadores que pre y post multiplican a la plantaen lazo abierto para dar una forma deseada en frecuencia a los valores singulares de laplanta, y con esto cumplir con requerimientos de desempeño deseados.

La planta moldeada, o aumentada queda de la siguiente manera

Gs = W2GW1


y su representación en diagrama a bloques queda como se muestra en la Figura 5.6.3.

Figura 5.6.3. Planta moldeada y controlador Ks.

A continuación se enumeran las etapas de diseño del controlador mediante este esquema.

1. Utilizar pre y post compesadores para dar una forma deseada en frecuencia a losvalores singulares de la función de transferencia en lazo abierto, recordando que elcomportamiento del sistema en lazo abierto inuye en el desempeño en lazo cerrado.Tales requerimientos pueden ser la atenuación de perturbaciones externas, disminu-ción del efecto del ruido, una respuesta rápida, etc.

Las matrices W1 y W2 deben ser matrices de transferencia estables, asegurando queal multiplicarse con la planta G no se generen modos ocultos inestables.

La selección de las funciones de ponderación dependen de los objetivos de cadaproblema en particular. Pueden ser matrices diagonales cuyos elementos son com-pensadores en adelanto o atraso, o ganancias, para ajustar según su importancia loscanales entrada-salida de la planta G. Comúnmente la matriz W1 es la que contienelos compensadores en los elementos de su diagonal, mientras que los elementos enW2 son constantes para realizar el escalamiento [44].

Un criterio de diseño, que se aplica ampliamente, es dar una alta ganancia a lafunción de lazo en baja frecuencia y una ganancia pequeña a alta frecuencia, bus-cando una taza de decaimiento de −20dB por década. Esto para atenuar el efecto deperturbaciones externas y del ruido presente en los sensores.

No existe un método directo que permita obtener de manera analítica las funcio-nes de ponderación, en comparación a los sistemas SISO, de modo que generalmenteesto se realiza a prueba y error.

2. Estabilizar robustamente la planta moldeada Gs = W2GW1 (Figura 5.6.4) utilizandolas formulaciones previamente vistas en la sección anterior. Para obtener el controla-dor Ks, se deben obtener las soluciones a las ecuaciones algebraicas de Riccati (5.6.7)y (5.6.8), y con tales soluciones calcular el máximo margen de estabilidad εmax (omínimo nivel de incertidumbre γmin) mediante la expresión (5.6.9), el cual se va atomar como referencia para seleccionar un γ > γmin


Figura 5.6.4. Obtención del controlador robusto Ks para la planta Gs.

Si se obtiene un margen de estabilidad demasiado pequeño (εmax < 0.25), implicaque los valores singulares de la función en lazo abierto, considerando al controladorKs, no corresponderán a la forma deseada de la planta moldeada Gs. De maneraque deben seleccionarse unas nuevas funciones de ponderación W1 y W2 y comenzarnuevamente desde el paso 1 [33] [44].

Si el margen de estabilidad es εmax > 0.25 (con un γmin < 4 respectivamente),puede entonces seleccionarse un γ > γmin para obtener el controlador Ks utilizando(5.6.10). Si se le asigna a γ un valor 10 % por encima de γmin, entonces se permitecomo mínimo un 25 % de incertidumbre en los factores coprimos, sin afectar signi-cativamente la forma deseada de los valores singulares para la función de lazo. Elvalor de γ puede manipularse hasta cumplir satisfactoriamente con los requerimientosdeseados sobre la planta.

3. El controlador nal K se contruye combinando el controlador K∞ con las funcionesde ponderación seleccionadas W1 y W2 como se muestra en la Figura 5.6.5.

Figura 5.6.5. Controlador nal K.

Una consideración importante, es hacer notar que para este esquema no se aborda elproblema de seguimiento a una referencia de entrada. Una manera práctica de implementarel controlador es como se muestra en la Figura 5.6.6.


Figura 5.6.6. Implementación del controlador con prealimentación.

Una manera con la cual se puede abordar el problema de seguimiento a una referenciade entrada, es como se muestra en la Figura 5.6.6. Para ello se hace uso de un controlprealimentado Kp = Ks (0)W2 (s) [44]. El control prealimentado, conformado por ganan-cias en sus elementos, asegura una ganancia ja de uno de r a y, suponiendo que en elprecompensador W1 ejerce una acción integral sobre G.

Una extensión al procedimiento que se describe en [14] es la que se expone en [19], en lacual se aborda el problema de seguimiento, tomando como base la estabilización robustade factores coprimos.


Para el caso del rodamiento magnético, no se considera el problema de seguimiento a unareferencia en la posición, ya que lo que se busca es mantenerlo únicamente en una solaposición (x = 0).

Mediante la manipulación de la función de lazo con las funciones de ponderación, se pre-tende cumplir con ciertos requerimientos de desempeño, especícamente para una buenaatenuación de perturbaciones externas.

Capítulo 6

Diseño del controlador para

el rodamiento y resultados

En este capítulo se muestra el proceso de diseño del controlador robusto para el rodamientomagnético, de acuerdo al conjunto de pasos que se desarrollaron en la Subsección 5.6.2.

Después de presentar el desempeño nominal del sistema, éste se somete a diferentes tiposde fallas, las cuales se describen como posibles variaciones en los parámetros físicos de laplanta y como perturbaciones externas. El objetivo de esto es determinar los límites paratales variaciones en los parámetros, y la magnitud de las perturbaciones a las cuales elcontrolador será capaz de soportar sin desestabilizar al sistema.

6.1. Diseño del controlador

Para el diseño del controlador, se utiliza el modelo equivalente lineal, que se obtuvo alaplicar la linealización por retroalimentación del estado robusta, el cual tiene la siguientedescripción en el espacio de estado:

xr = Arxr +Brυ

yr = Crxr (6.1.1)

72 Diseño del controlador para el rodamiento y resultados

donde xr ∈ R4, yr ∈ R4, υ ∈ R2, y con las matrices:

Ar =

0 1 0 0

8L0I20mk3

0 2L0I0mk2

−2L0I0mk2

0 −2I0k −kR1

L00

0 2I0k 0 −kR2

L0

Br =

0 0

0 0

k

L00

0k

L0

Cr =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Los parámetros físicos del sistema se mostraron previamente en la Tabla 3.3.1 de la Sub-sección 3.3.3.

La representación en matriz de transferencia para el modelo lineal (6.1.1) está dada por:

Gr (s) = Cr (sI −Ar)−1Br (6.1.2)

y, haciendo uso de una notación compacta para (6.1.2),

Grs=

Ar Br

Cr 0

estableciendo que la planta Gr tiene una realización en espacio de estado con matrices (Ar,Br, Cr, Dr) con Dr = 0.

6.1.1. Moldeo de la respuesta en frecuencia de la función de lazo

El primer paso es dar una forma deseada a la respuesta en frecuencia de la función de lazoabierto. Esto se realiza con la nalidad de cumplir con ciertos requerimientos de desempeñoen lazo cerrado. Para brindar esta respuesta en frecuencia deseada, se utilizan funciones deponderación War y Wrb que pre y post multiplican a la planta Gr, de modo que la plantaaumentada queda como

Gar = WrbGrWra.

De acuerdo a [44], generalmente se escoge a Wrb como una matriz de escalamiento, lacual es útil para designar la importancia que tiene cada salida de la planta Gr para los

6.1 Diseño del controlador 73

propósitos de diseño que se establezcan. La matriz Wra, que generalmente es una matrizdiagonal, contiene en sus elementos a los compensadores, ya sea de atraso o adelanto, queproporcionará la respuesta en frecuencia deseada a la planta moldeada Gar.

Para el caso del rodamiento magnético, se considera que no es necesario escalar ninguna delas salidas de Gr, así que únicamente se utiliza una matriz de ponderación Wr. La matrizde ponderación elegida es la siguiente:

Wr =

1000(s+10)s 0 0 0

0 100 0 0

0 0 15 0

0 0 0 15

(6.1.3)

donde las funciones de transferencia (o ganancias) que se encuentran en la diagonal de Wr,están asociadas a cada uno de los canales entrada - salida de la planta Gr.

No existe un método directo para elegir a las funciones de ponderación en los métodos decontrol robusto loop shaping H∞, ni en el caso de control robusto con sensibilidad mixta.Generalmente estos problemas requieren de iteraciones hasta cumplir de manera aceptablecon los requerimientos establecidos. Aunque actualmente existen trabajos que tratan conel problema de la elección adecuada de funciones de operación [38] [28], no descartan elproceso de iteración.

Para este caso, la elección de la matriz de ponderación Wr se realizó con base en criteriosde control clásico. La primera función de transferencia localizada en la diagonal de Wr, esun compensador de atraso ,la cual tiene una acción proporcional - integral, y el objetivode ésta es eliminar el error en estado estacionario en la posición del rotor.

Los compensadores en atraso incrementan la ganancia de lazo a baja frecuencia de opera-ción, lo cual es conveniente para el problema de seguimiento, además de atenuar el efectode perturbaciones en ese rango de frecuencia [42].

El resto de los elementos en la diagonal deWr, son ganancias que tienen una acción propor-cional sobre los canales relacionados con la velocidad y las corrientes. No se opta por utilizarcompensadores en atraso para estos canales, ya que una acción integral puede generar os-cilaciones no deseables en las corrientes de cada embobinado. Esta tarea precisamente, esla que involucra varias iteraciones hasta seleccionar una Wr adecuada.

La multiplicación entre Gr y Wr se realiza utilizando las realizaciones en espacio de estadode cada matriz de transferencia. Realizar la multiplicación en el dominio de la frecuencia,puede resultar poco práctico, ya que resultan matrices de transferencia en donde cadaelemento resulta en funciones de transferencia con polinomios de orden elevado.


Utilizando la realización en espacio de estado de Gr

Grs=

Ar Br

Cr Dr

y para la matriz Wr dada por

Wrs=

Aw Bw

Cw Dw

,la multiplicación entre GrWr en espacio de estado queda de la siguiente manera:

Gar = GrWr

Gars=

Aar Bar

Car Dar

(6.1.4)

con las matrices

Aar =

Aw BwCr

0 Ar

Bar =

0

Br

Car =

[Cw DwCr

]Dar = [0] .

En la Figura 6.1.1 se muestra la respuesta en frecuencia del sistema Gr y de la nueva plantaaumentada Gar.

6.1.2. Estabilización robusta de la planta moldeada

El siguiente paso, es estabilizar robustamente la planta aumentada Gar, utilizando el pro-cedimiento descrito en la Subsección 5.6.1.

Directamente se procede a obtener las soluciones a las ecuaciones algebraicas de Ricatti(5.6.7) y (5.6.8) respectivamente, las cuales se muestran el la Subsección 5.6.1.

Utilizando la realización en espacio de estado de Gar dada en (6.1.4), y como Dar = 0, lasecuaciones algebraicas de Ricatti a resolver se reducen a:

AarZ + ZATar − ZCT

arR−1CarZ +BarB

Tar = 0 (6.1.5)


10−2

100

102

104

−100

−50

0

50

100

150

Frecuencia (rad/sec)

Mag

nitu

d (d

B)

Valores singulares

G

r(s)

WrG

r

Figura 6.1.1. Valores singulares de la planta Gr y de la planta aumentada Gar.

ATarX +XAar −XBarBarX + CT

arCar = 0, (6.1.6)

donde Z y X son las soluciones denidas positivas de (6.1.5) y (6.1.6) respectivamente.

Posteriormente se determina el mínimo valor posible para γ, utilizando la expresión (5.6.9),dando como resultado:

γmin = (1 + ρ (XZ))12 = 3.7163, (6.1.7)

lo que equivale a un máximo margen de estabilidad εmax = 0.2691, que, de acuerdo a loestablecido en la etapa 2 del algoritmo de diseño visto en la Subsección (5.6.2), cumple conla condición de que εmax > 0.25.

Ahora, la elección del número γ > γmin para obtener el controlador, depende del criteriodel diseñador, y de qué manera se cumple con los requerimientos de diseño previamenteestablecidos. En este caso, se opta por un γ = 4.2.

Utilizando la expresión (5.6.10), se obtiene el controlador Ks que estabiliza robustamentea Gar, cuya realización en espacio de estado es la siguiente:

Ks =

Aar +BarF + γ2(LT)ZCT

ar (Car + F ) γ2(LT)ZCT

ar

BTarX 0

donde F = −BT

arX y L =(1− γ2

)I +XZ.

El controlador nal para la planta Gr, que corresponde a la función de transferencia delrodamiento, se obtiene combinando la matriz de ponderación Wr con el controlador Ks,de modo que

Kr = WrKs.


10−2

100

102

104

−100

−50

0

50

100

150

Frecuencia (rad/sec)

Mag

nitu

d (d

B)

Valores singulares

G

r

Gar

= GrW

r

Lr = K

rG

r

Figura 6.1.2. Valores singulares de la planta Gr, Gar = GrWr y de Lr = KrGr.

Figura 6.1.3. Implementación del controlador lineal.

Los valores singulares de la planta Gr, de la planta aumentada Gar y de la función de lazoabierto Lr (ya con el controlador Kr), se comparan en la Figura 6.1.2. En la Figura 6.1.3se muestra un diagrama a bloques referente a la implementación del controlador para elrodamiento magnético.

El desempeño nominal del sistema, sin considerar ningún tipo de incertidumbre, se muestraa través de las guras 6.1.4 (posición del rotor), 6.1.5 (corrientes) y 6.1.6 (voltajes).

Las simulaciones se realizan mediante el uso de Simulink®, utilizando el método de solución


ode47 (Dormand-Prince) con un paso máximo de integración de 1ms. Este método desolución, el cual puede adaptar el paso de integración, es adecuado para la simulaciónde sistemas cuya dinámica puede cambiar rápidamente. Se tomó como condición inicial

x0 =

[−0.45mm 0 0 0

]T. El modelo matemático no lineal se implementa mediante

una S-Function, la cual se muestra en el Anexo C.1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

tiempo [seg]

Pos

ició

n x

[mm

]

Figura 6.1.4. Posición x nominal.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 140

60

80

100

120

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 1 [m

A]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 110

20

30

40

50

60

70

80

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 2 [m

A]

(a) Corriente i1 (b) Corriente i2

Figura 6.1.5. Corrientes nominales en los devanados.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

tiempo [seg]

Vol

taje

v1 [

V ]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

tiempo [seg]

Vol

taje

v2 [

V ]

(a) Voltaje V1 (b) Voltaje V2

Figura 6.1.6. Voltajes nominales.

Como se muestra el la Figura 6.1.4, la posición del rotor tiene una posición inicial en−0.4mm, tiene un sobre impulso de 0.015mm y se estabiliza en x = 0 aproximadamente enun tiempo de 1s. La posición del rotor no debe sobrepasar el intervalo −1mm < x < 1mm,ya que de este modo, el rotor tendría fricción con algún polo magnético (electroimán).

6.2. Desempeño del sistema ante fallas

Ahora se prosigue con las simulaciones del sistema ante diferentes tipos de falla. Para estose toma como referencia la clasicación de fallas que se muestra en la Tabla 2.2.1 de la Sub-sección 2.2.1. De la misma manera que para el caso nominal anteriormente visto, se realizanlas simulaciones en Simulink®, utilizado el algoritmo de solución ode47 (Dormand-Prince)con un paso de máximo de integración de 1ms. La condición inicial es la misma para todas

las simulaciones, que es x0 =

[0.47mm 0 0 0

]T.

6.2.1. Fallas vistas como cambios en los parámetros

A continuación se muestra la respuesta del sistema ante la variación en cada uno de lossiguientes parámetros: variación en la resistencia eléctrica de los embobinados (R1 y R2),variación en las inductancias (que dependen de parámetros como Lc y L0), y variación enla masa del rotor m, la cual puede tener un signicado físico más realizable, como en elcaso de aumento de la carga en el rotor.

6.2 Desempeño del sistema ante fallas 79

6.2.1.1. Variación en la resistencia eléctrica de los devanados

Los parámetros R1 y R2 están asociados a la resistencia propia de los conductores. Paraesto se variaron los valores de los parámetros desde su valor mínimo (ambas resistenciasigual a cero) hasta determinar el valor máximo que el sistema es capaz de tolerar sin llegara la inestabilidad.

Parámetro Valor nominal Valor mínimo Valor máximo

R1 1Ω 0 2.4Ω

R2 1Ω 0 2.4Ω

Tabla 6.2.1. Intervalo de variación del la resistencia eléctrica de los devanados, repre-sentadas por R1 y R2.

El hecho de que R1 y R2 sean igual a cero, indica simplemente que el conducto no oponeningún tipo resistencia al paso de la corriente.

La respuesta por parte del sistema ante estas variaciones, se muestra en las Figuras 6.2.1,6.2.2 y 6.2.3 para R1, y 6.2.4, 6.2.5 y 6.2.6 para R2. Todas las grácas muestran la respuestadel sistema para el valor mínimo y valor máximo de R1 y R2, asegurando la estabilidaddel sistema para ese intervalo.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

tiempo [seg]

Pos

ició

n x

[mm

]

Con R1 = 0

Con R1 máximo

Con R1 nominal

Figura 6.2.1. Posición x ante la variación en R1.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 140

60

80

100

120

140

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 1 [m

A]

Con R1 = 0

Con R1 máximo

Con R1 nominal

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 2 [m

A]

Con R1 = 0

Con R1 máximo

Con R1 nominal


Figura 6.2.2. Corrientes en los devanados ante la variación en R1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

tiempo [seg]

Vol

taje

V1 [V

]

Con R1 = 0

Con R1 máximo

Con R1 nominal

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

tiempo [seg]

Vol

taje

V2 [V

]

Con R1 = 0

Con R1 máximo

Con R1 nominal

(a) Voltaje V1 (b) Voltaje V2

Figura 6.2.3. Voltajes ante la variación en en R1.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

tiempo [seg]

Pos

ició

n x

[mm

]

Con R2 = 0

Con R2 máximo

Con R2 nominal

Figura 6.2.4. Posición x ante la variación en R2.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 140

60

80

100

120

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 1 [m

A]

Con R2 = 0

Con R2 máximo

Con R2 nominal

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 2 [m

A]

Con R2 = 0

Con R2 máximo

Con R2 nominal


Figura 6.2.5. Corrientes en los devanados ante la variación en R2.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 140

60

80

100

120

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 1 [m

A]

Con R2 = 0

Con R2 máximo

Con R2 nominal

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 2 [m

A]

Con R2 = 0

Con R2 máximo

Con R2 nominal

(a) Voltaje V1 (b) Voltajes V2

Figura 6.2.6. Voltajes ante la variación en R2.

6.2.1.2. Variación de las inductancias

Se toman como referencia las expresiones que se utilizan para las inductancias, las cualesestán dadas por 3.3.7 y 3.3.8 en la Subsección 3.3.2, y que son las siguientes

L1(x) =L0

k − 2x(6.2.1)

L2(x) =L0

k + 2x(6.2.2)

para x 6= ±k/2, donde se muestra que el valor de cada inductancia, además de dependerde la posición del rotor, depende de los parámetros k y de L0.

El parámetro k depende a su vez de g0 y Lc, al ser k = 2g0 +Lc. El parámetro g0 se asumecomo una constante que depende de la construcción física del rodamiento (es el espaciolibre entre el rotor y el estator que aloja a los electroimanes), de manera que únicamentese varía varía el valor de Lc.

Variando Lc, se obtiene el siguiente rango de variación para el parámetro k, el cual semuestra en la Tabla 6.2.2. De la misma manera que para R1 y R2, los subíndices en kindican que pertenece a uno u otro embobinado.



k1 0.0020125m 0.002m 0.0023125m

k2 0.0020125m 0.002m 0.0023125m

Tabla 6.2.2. Intervalo de variación de los parámetros k1 y k2.

La respuesta ante estas variaciones, se muestra en las Figuras 6.2.7, 6.2.8 y 6.2.9 para k1, y6.2.10, 6.2.11 y 6.2.12 para k2. Aunque no presenta un cambio signicativo en la posicióndel rotor, si se nota el esfuerzo por parte de las corrientes i1e i2 para ambos casos.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

tiempo [seg]

Pos

ició

n x

[mm

]

Con k1 mínimo

Con k1 máximo

Con k1 nominal

Figura 6.2.7. Posición ante variación en k1.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 140

60

80

100

120

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 1 [m

A]

Con k1 mínimo

Con k1 máximo

Con k1 nominal

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 2 [m

A]

Con k1 mínimo

Con k1 máximo

Con k1 nominal


Figura 6.2.8. Corrientes i1 e i2 ante la variación en k1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

tiempo [seg]

Vol

taje

V1 [V

]

Con k1 mínimo

Con k1 máximo

Con k1 nominal

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

tiempo [seg]

Vol

taje

V1 [V

]

Con k1 mínimo

Con k1 máximo

Con k1 nominal


Figura 6.2.9. Voltajes V1 y V2 ante la variación en k1.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

tiempo [seg]

Pos

ició

n x

[mm

]

Con k2 mínimo

Con k2 máximo

Con k2 nominal

Figura 6.2.10. Posición x ante variación en k2.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 140

60

80

100

120

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 1 [m

A]

Con k2 mínimo

Con k2 máximo

Con k2 nominal

0 0.2 0.4 0.6 0.8 110

20

30

40

50

60

70

80

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 2 [m

A]

Con k2 mínimo

Con k2 máximo

Con k2 nominal


Figura 6.2.11. Corrientes i1 e i2 ante la variación en k2.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

tiempo [seg]

Vol

taje

V1 [V

]

Con k2 mínimo

Con k2 máximo

Con k2 nominal

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

tiempo [seg]

Vol

taje

V2 [V

]

Con k2 mínimo

Con k2 máximo

Con k2 nominal


Figura 6.2.12. Voltajes V1 y V2 ante la variación en k2.

La variación mínima y máxima en el parámetro L0 se muestra en la Tabla 6.2.3 y su efectoen el desempeño del sistema se muestra en las Figuras 6.2.13, 6.2.14 y 6.2.15 para L01 , y6.2.16, 6.2.17 y 6.2.18 para L02 .

En este caso, se admite un intervalo de variación más amplio que en el caso de los pará-metros k1 y k2.

La incertidumbre presente en las inductancias, no alteran signicativamente la posición delrotor, aunque si se nota su efecto en las corrientes y en los voltajes.


L01 3× 10−4H ·m 2.4× 10−4H ·m 3.3× 10−4H ·m

L02 3× 10−4H ·m 2.4× 10−4H ·m 3.3× 10−4H ·m

Tabla 6.2.3. Intervalo de variación para los parámetros L01 y L02 .


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.2

0

0.2

0.4

0.6

tiempo [seg]

Pos

ició

n x

[mm

]

Con L0

1

mínimo

Con L0

1

máxima

Con L0

1

nominal

Figura 6.2.13. Posición x ante variación en L01 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 1 [m

A]

Con L0

1

mínimo

Con L0

1

máxima

Con L0

1

nominal

0 0.2 0.4 0.6 0.8 140

60

80

100

120

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 2 [m

A]

Con L0

1

mínimo

Con L0

1

máxima

Con L0

1

nominal


Figura 6.2.14. Corrientes i1 e i2 ante la variación en L01 .


0 0.05 0.1 0.15 0.2

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

tiempo [seg]

Vol

taje

V1 [V

]

Con L0

1

mínimo

Con L0

1

máxima

Con L0

1

nominal

0 0.05 0.1 0.15 0.2

−0.2

0

0.2

0.4

tiempo [seg]

Vol

taje

V2 [V

]

Con L0

1

mínimo

Con L0

1

máxima

Con L0

1

nominal


Figura 6.2.15. Voltajes V1 y V2 ante la variación en L01 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

tiempo [seg]

Pos

ició

n x

[mm

]

Con L0

2

mínimo

Con L0

2

máxima

Con L0

2

nominal

Figura 6.2.16. Posición x ante la variación en L02 .


0 0.2 0.4 0.6 0.8 140

60

80

100

120

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 1 [m

A]

Con L0

2

mínimo

Con L0

2

máxima

Con L0

2

nominal

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 2 [m

A]

Con L0

2

mínimo

Con L0

2

máxima

Con L0

2

nominal


Figura 6.2.17. Corrientes i1 e i2 ante la variación en L02 .

0 0.1 0.2 0.3

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

tiempo [seg]

Vol

taje

V1 [V

]

Con L0

2

mínimo

Con L0

2

máxima

Con L0

2

nominal

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

−0.4

−0.2

0

0.2

tiempo [seg]

Vol

taje

V2 [V

]

Con L0

2

mínimo

Con L0

2

máxima

Con L0

2

nominal


Figura 6.2.18. Voltajes V1 y V2 ante la variación en L02 .

Ante las variaciones de los parámetros k y L0, se muestra que las inductancias son losparámetros más sensibles ante la incertidumbre del modelo del rodamiento. Ya que aceptanintervalos de variación más pequeños en comparación a la resistencia eléctrica. Además, enel caso de que k = 2x o k = −2x produce una indeterminación en el modelo matemáticodel rodamiento, al ser ambos términos los denominadores de (6.2.1) y (6.2.2).


6.2.1.3. Aumento o disminución de la masa del rotor

La falla asociada con los cambios en la masa del rotor, pueden deberse a diversos factores.Por ejemplo, en el caso de que halla alguna rotura o fractura en el rotor, la pérdida dealguna aspa (en el caso de que se trate de una turbina), o bien, un aumento en la carga,la cual puede reejarse como en un aumento en la masa del rotor.


m 2kg 1kg 3.6kg

Tabla 6.2.4. Intervalo de variación para m.

Las grácas referentes a los cambios en la masa del rotor se muestran en las Figuras 6.2.19,6.2.20 y 6.2.21.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

tiempo [seg]

Pos

ició

n x

[mm

]

m mínimom máximom nominal

Figura 6.2.19. Posición x ante la variación en la masa del rotor m.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 120

40

60

80

100

120

140

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 1 [m

A]


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

100

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 2 [m

A]



Figura 6.2.20. Corrientes i1 e i2 ante la variación en la masa del rotor m.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

tiempo [seg]

Vol

taje

V1 [V

]


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

tiempo [seg]

Vol

taje

V2 [V

]



Figura 6.2.21. Voltajes V1 y V2 ante la variación en la masa del rotor m.

6.2.1.4. Incertidumbre en todos los parámetros

Ahora se considera que todos los parámetros físicos del sistema tienen incertidumbre. Elrango de variación en cada uno de los parámetros está dentro de ±30 % de su valor nominalde manera aleatoria.


Como se muestra en las grácas de las Figuras 6.2.22, 6.2.23 y 6.2.24, en algunas com-binaciones se producen sobre impulsos en los voltajes V1 y V2, pero sin desestabilizar alsistema.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

tiempo [seg]

Pos

ició

n x

[mm

]

NominalAnte incertidumbre

Figura 6.2.22. Efecto de la incertidumbre en los parámetros en la posición x.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 140

60

80

100

120

140

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 1 [m

A]


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−20

0

20

40

60

80

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 2 [m

A]



Figura 6.2.23. Corrientes i1 e i2 ante incertidumbre en todos los parámetros.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

tiempo [seg]

Vol

taje

v1 [

V ]


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

tiempo [seg]

Vol

taje

v2 [

V ]



Figura 6.2.24. Voltajes V1 y V2 ante incertidumbre en todos los parámetros.

Una observación importante, es que la variación se realiza simultáneamente en todos losparámetros, de manera que no se consideran los valores extremos que previamente se hanestablecido para cada parámetro, sino que sólo el 30% para cada uno. Si se consideraravariar los parámetros simultáneamente con sus valores extremos, no se aseguraría que elsistema fuera robustamente estable.

6.2.2. Fallas como perturbaciones externas

De acuerdo con la clasicación vista en la Subsección (2.2.1), las fallas externas precisa-mente son aquellas que pueden considerarse como perturbaciones externas. La fuente deeste tipo de fallas son causas ajenas al sistema. Dentro de estas fallas se pueden mencionarcomo ejemplos los siguientes casos:

1. Impactos o golpes en el rotor

2. Movimiento del soporte o vibraciones

3. Cambios repentinos en la carga

4. Deformaciones en el rotor

5. Fricción en el rotor

6. Fisuras en el rotor


De este conjunto de fallas, se descartan la fricción, suras y deformaciones en el rotor,por la razón de que no hay manera de reejar esos efectos en el modelo matemático delrodamiento.

Los demás casos, como impactos en el rotor, cambios repentinos en la carga y vibracio-nes, pueden caracterizarse dentro del modelo matemático del rodamiento. Por ejemplo,un impacto en el rotor puede provocar una desviación en la posición del rotor de formamomentánea. El controlador debe ser capaz de volver a posicionar al rotor en el centro.

Los cambios repentinos en la carga, pueden caracterizarse como variaciones en la masa delrotor (visto anteriormente como una variación paramétrica), o bien, como una fuerza queactúa sobre el rotor. Al efectuarse dicha fuerza, deberá existir una aceleración, y por ende,un cambio en la posición.

Las vibraciones en el rotor, pueden deberse a movimientos bruscos en el soporte de lamáquina, o que algún agente externo acoplado al rotor sea la fuente de tal acción. Parasimular esta perturbación, se aplica una señal sinusoidal en la posición del rotor, tratandode emular una vibración periódica.

A continuación se presentan estos diferentes casos.

6.2.2.1. Cambio repentino en la posición del rotor

Para este modo de falla, se supone que la posición del rotor se ve afectada por un agenteexterno, el cual puede ser un golpe momentáneo que desvíe al rotor de su posición nominal(x = 0).

Considerando que el intervalo de tiempo ∆t que dura el cambio de posición es suciente-mente pequeño (se considera un ∆t = 0.01s), y un cambio en la posición ∆x del rotor de±0.45mm, se obtiene la respuesta que se muestra en las Figuras 6.2.25, 6.2.26 y 6.2.27.

0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

tiempo [seg]

Pos

ició

n x

[mm

]

Bajo perturbaciónRespuesta nominal

Figura 6.2.25. Perturbación en la posición x.


0 0.5 1 1.5 2 2.530

40

50

60

70

80

90

100

110

120

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 1 [m

A]


0 0.5 1 1.5 2 2.510

20

30

40

50

60

70

80

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 2 [m

A]



Figura 6.2.26. Corrientes i1 e i2 ante un cambio repentino en la posición con unaduración ∆t = 0.01s.

0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

tiempo [seg]

Vol

taje

V1 [V

]


0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

tiempo [seg]

Vol

taje

V2 [V

]



Figura 6.2.27. Voltajes V1 y V2 ante un cambio repentino en la posición con una du-ración ∆t = 0.01s.

Ahora, considerando que el tiempo de duración de la perturbación sobre la posición delrotor tiene una duración ∆t = 1s, con la misma amplitud ∆x = ±0.45mm, se obtiene larespuesta que se muestra en las Figuras 6.2.28, 6.2.29 y 6.2.30.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

tiempo [seg]

Pos

ició

n x

[mm

]


Figura 6.2.28. Perturbación en la posición x con una duración ∆t = 1s.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 430

40

50

60

70

80

90

100

110

120

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 1 [m

A]


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

10

20

30

40

50

60

70

80

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 2 [m

A]



Figura 6.2.29. Corrientes i1 e i2 ante un cambio repentino en la posición con unaduración ∆t = 1s.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

tiempo [seg]

Vol

taje

V1 [V

]


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

tiempo [seg]

Vol

taje

V2 [V

]



Figura 6.2.30. Voltajes V1 y V2 ante un cambio repentino en la posición con una du-ración ∆t = 1s.

El sistema permanece estable ante tal perturbación.

6.2.2.2. Vibración en el rotor

Las Figuras 6.2.31, 6.2.32 y 6.2.33 muestran la respuesta del sistema ante una vibraciónen el rotor. Esta vibración se caracteriza como una señal sinusoidal, con una frecuenciade 10Hz y con una amplitud de 0.4mm (menor al espacio libre permisible g0 = 1mm), esdecir, que modica la posición del rotor ±0.4mm de su posición central en x = 0.

0 1 2 3 4 5 6−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

tiempo [seg]

Pos

ició

n x

[mm

]


Figura 6.2.31. Posición x ante una vibraciones en el rotor.


0 1 2 3 4 5 620

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 1 [m

A]


0 1 2 3 4 5 610

20

30

40

50

60

70

80

90

100

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 2 [m

A]



Figura 6.2.32. Corrientes i1 e i2 ante vibraciones en el rotor.

0 1 2 3 4 5 6−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

tiempo [seg]

Vol

taje

V1 [V

]


0 1 2 3 4 5 6−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

tiempo [seg]

Vol

taje

V2 [V

]



Figura 6.2.33. Voltajes V1 y V2 ante una vibración en el rotor.

El sistema es capaz de soportar tal vibración, sin embargo, una frecuencia mayor a laestablecida puede provocar que el sistema se desestabilice. De la misma manera sucedecon la amplitud. El sistema puede soportar una mayor amplitud (de hasta 0.6mm), peroreduciendo la frecuencia de la vibración.


6.2.2.3. Acción de una fuerza externa sobre el rotor

Para simular una falla debido a una fuerza que actúa sobre el rotor, se hace uso de laecuación diferencial que modela la parte mecánica del sistema que se muestra en la ecuación(3.3.13) de la Subsección 3.3.2. Supóngase que existe una fuerza Fp que empuja al rotorhacia una dirección sobre el eje horizontal, de manera que la parte mecánica queda de lasiguiente manera:

mx =L0i

21

(k − 2x)2− L0i

22

(k + 2x)2+ Fp

mx =L0i

21

(k − 2x)2− L0i

22

(k + 2x)2+map

donde Fp = map es la fuerza que perturba al sistema, m es la masa del rotor y ap es laaceleración que compone a la fuerza externa.

Al realizar las sustituciones que llevan a la representación en espacio de estado del sistema,para la variable x2 queda entonces:

x2 =L0

m

((x3 + I0)

2

(k − 2x1)2 −

(x4 + I0)2

(k + 2x1) 2+ ap

).

Asignando valores a ap, se puede determinar la magnitud de la fuerza Fp a la cual elsistema es capaz de rechazar. En las Figura 6.2.34, 6.2.35 y 6.2.36 se muestra la respuestadel sistema con un valor de ap = 1m/s2, lo que equivale a una fuerza Fp = 2N . Una fuerzamayor a ese valor provoca inestabilidad al sistema.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

tiempo [seg]

Pos

ició

n x

[mm

]

Respuesta nominalBajo perturbación F

p

Figura 6.2.34. Posición x ante una perturbación de fuerza Fp.


0 1 2 3−150

−100

−50

0

50

100

150

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 1 [m

A]


p

0 1 2 30

200

400

600

800

1000

tiempo [seg]

Cor

rient

e i 2 [m

A]


p


Figura 6.2.35. Corrientes i1 e i2 ante una perturbación de fuerza Fp.

0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

tiempo [seg]

Vol

taje

V1 [V

]


p

0 1 2 3−0.5

0

0.5

1

1.5

2

tiempo [seg]

Vol

taje

V2 [V

]


p


Figura 6.2.36. Voltajes V1 y V2 ante una perturbación de fuerza Fp.

Claramente se evidencia el efecto de esta perturbación en las corrientes y en los voltajes,representando el esfuerzo que realizan los electroimanes por tratar de compensar el efectode la perturbación, y hacer que el rotor vuelva en su posición original

6.3 Observaciones 101

6.3. Observaciones

Se demuestra que el controlador es robusto ante variaciones en los parámetros y algunasperturbaciones externas, considerando cada uno de sus límites que ya se han establecido.

Con una variación paramétrica que sobrepase los límites, tanto para la incertidumbre enlos parámetros, así como en las perturbaciones externas, no se asegura que el sistema searobustamente estable.

Capítulo 7

Conclusiones y trabajos

futuros

Para concluir este trabajo, a continuación se presentan las siguientes conclusiones y lostrabajos futuros que se proponen.

7.1. Conclusiones

El diseño del controlador robusto utilizando la técnica de control loop shaping H∞,requiere de la linealización por retroalimentación del estado robusta, ya que se adecuapara tratar con el problema de incertidumbre en los parámetros físicos del sistema.De esta manera, el controlador puede enfrentar a fallas relacionadas con la variaciónde los parámetros, como es en el caso del cambio en la masa del rotor. Cabe destacarque el controlador es efectivo únicamente para los intervalos de variación que sedeterminaron para cada parámetro.

El controlador logra hacer frente a ciertas fallas caracterizadas como perturbaciones,debido a las propiedades mismas que brindan los sistemas retroalimentados. En estecaso, se buscó que el comportamiento del sistema en lazo cerrado tuviera ciertascaracterísticas de desempeño, mediante la manipulación de la respuesta en frecuenciacon la función de ponderación Wr, como la atenuación de perturbaciones en el rangode baja frecuencia. Las fallas relacionadas a las perturbaciones externas son aquellasque tienen efecto sobre la posición del rotor, como golpes, vibraciones y la acción defuerzas externas.

La manipulación de la matriz de ponderación Wr, en gran medida, se realizó de ma-nera iterativa hasta encontrar una que cumpla con ciertas especicaciones de diseño.Por ejemplo, el sistema no debía presentar un sobre impulso en la respuesta transi-toria demasiado elevado para la posición del rotor x, tomando en consideración queel espacio libre con el que cuenta el rotor es únicamente de 1mm.

7.2 Trabajos futuros 103

El objetivo de brindar cierta tolerancia a fallas en el rodamiento magnético se cumple,tomando en cuenta las limitaciones que tiene en sí el control robusto dentro delenfoque de control tolerante a fallas pasivo. El sistema no puede enfrentarse a fallasinternas, como las fallas en los sensores, en los actuadores, la falla total de algúnelectroimán, etc. Para resolver este problema, es necesario forzosamente implementarun esquema de control tolerante a fallas activo que emplee redundancia material (parael caso de fallas en sensores y actuadores) y un método de reconguración para elcontrolador.

7.2. Trabajos futuros

Implementar un esquema de control robusto combinado con un esquema de deteccióny diagnóstico de fallas (FDD), para tratar con el problema de fallas internas (sensoresy actuadores) a la manera de [5], pero utilizando loop shaping H∞ en vez de µ-síntesis.

Realizar un estudio de otras técnicas de control robusto, como µ-síntesis o controlH∞con sensibilidad mixta para comparar y determinar qué esquema de control robustopuede resolver el problema de reducir el efecto de las perturbaciones externas parala conguración de rodamiento magnético que se emplea en este trabajo.

Utilizar una conguración de un rodamiento magnético de más de cuatro polos paravericar que el procedimiento desarrollado en este trabajo es viable para tal caso.Los rodamientos magnéticos comerciales utilizan más de cuatro electroimanes parabrindar una mayor seguridad en el caso de que algún polo falle.

Acoplar los dos subsistemas y probar que este esquema del control sigue siendo viablepara enfrentar el tipo de fallas que se trataron en este trabajo.

Bibliografía

[1] M. Aenis y N. Rainer, Fault diagnosis in rotating machinery using active magneticbearings, En 8th International Symposium on Magnetic Bearing, 2002, pp. 125 132.

[2] C. Barratt y S. Boyd, Interactive loop-shaping design of mimo controllers, En Proc.IEEE Symp. Computer-Aided Control System Design (CACSD), 1992, pp. 7681.

[3] C. M. Bleuler, Hannes and, P. Keough, R. Larsonneur, E. Maslen, R. Nordmann,Y. Okada, y A. Schweitzer, Gerhard adn Traxler, Magnetic Bearings. Theory, design,and application to rotating machinery, G. Schweitzer y E. H. Maslen, Eds. Springer,2009.

[4] C. Bonivento, L. Gentili, L. Marconi, y R. Naldi, Robust regulation for a magneticlevitation system, En Proc. 42nd IEEE Conf. Decision and Control, vol. 5, 2003, pp.44994504.

[5] M. O. T. Cole, P. S. Keogh, M. N. Sahinkaya, y C. R. Burrows, Towards fault-tolerantactive control of rotor-magnetic bearing systems, Control Engineering Practice, vol. 4,No. 12, pp. 491501, 2004.

[6] , Progress towards fault tolerant active control of rotor-magnetic bearing sys-tems, Control Engineering Practice, vol. 4, pp. 491 501, 2004.

[7] M. S. de Queiroz y D. M. Dawson, Nonlinear control of active magnetic bearings: abackstepping approach, IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 4,No. 5, pp. 545552, 1996.

[8] M. S. de Queiroz y Pradhananga, Control of magnetic levitation systems with reducedsteady-state power losses, IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 15,No. 6, pp. 10961102, 2007.

[9] J. C. Doyle, K. Glover, P. P. Khargonekar, y B. A. Francis, State-space solutions tostandard H2 and H∞; control problems, IEEE Transactions on Automatic Control,vol. 34, No. 8, pp. 831847, 1989.

[10] A. L. Driemeyer Franco, H. Bourles, y E. R. De Pieri, A robust nonlinear controllerwith application to a magnetic bearing system, En Proc. and 2005 European ControlConf. Decision and Control CDC-ECC '05. 44th IEEE Conf, 2005, pp. 49274932.

Bibliografía 105

[11] M. Fujita, K. Hatake, y F. Matsumura, Loop shaping based robust control of amagnetic bearing, IEEE Control Systems Magazine, vol. 13, No. 4, pp. 5765, 1993.

[12] F. Garcia, P. Castelo J, P. Pazos A, y J. L. Calvo Rolle, On ambs diagnosis byanalytical redundancy, En Proc. IEEE Int. Symp. Industrial Electronics ISIE 2007,2007, pp. 106111.

[13] K. Glover y J. C. Doyle, State-space formulae for all stabilizing controllers that satisfyan H∞ norm bound and relations to relations to risk sensitivity, Systems & ControlLetters, vol. 11, pp. 167172, 1988.

[14] K. Glover y D. McFarlane, Robust stabilization of normalized coprime factor plantdescriptions with H∞;-bounded uncertainty, IEEE Transactions on Automatic Con-trol, vol. 34, No. 8, pp. 821830, 1989.

[15] R. Gouws y G. van Schoor, A comparative study on fault detection and correctiontechniques on active magnetic bearing systems, En Proc. AFRICON, 2007, pp. 110.

[16] W. Grega y A. Pilat, Comparison of linear control methods for an amb system, Int.J. Appl. Math. Comput. Sci., vol. 15, pp. 245 255, 2005.

[17] D.-W. Gu, P. H. Petkov, y M. M. Konstantinov, Robust Control Design with Matlab.Springer, 2005.

[18] H. Guillard y H. Bourles, Robust feedback linearization, En In Proc. 14ª Interna-tional Symp. Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS'2000), 2000.

[19] D. J. Hoyle, R. A. Hyde, y L. D. J. N., An H∞ approach to two degree of freedomdesign, En Proceedings of the 30th Conferencie on Decision and Control, Brighton,Brighton, England, 1991, pp. 1581 1585.

[20] J. Y. Hung, N. G. Albritton, y F. Xia, Nonlinear control of a magnetic bearingsystem, Mechatronics, vol. 13, pp. 621 637, 2003.

[21] I. Hwang, S. Kim, Y. Kim, y C. E. Seah, A survey of fault detection, isolation, andreconguration methods, IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 18,No. 3, pp. 636653, 2010.

[22] A. Isidori, Nonlinear Control Systems, 3rd ed. Springer, 1995.

[23] T. Kailath, Linear Systems, E. C. N.J., Ed. Prentice Hall, 1980.

[24] H. K. Khalil, Nonlinear Systems, 3rd ed. Prentice Hall, 2002.

[25] P. P. Khargonekar y D. Shim, Maximally robust state-feedback controllers for stabili-zation of plants with normalized right coprime factor uncertainty, Systems & ControlLetters, vol. 22, pp. 14, 1994.

106 Bibliografía

[26] S.-J. Kim y C.-W. Lee, Diagnosis of sensor faults in active magnetic bearing systemequipped with built-in force transducers, IEEE/ASME Transactions on Mechatro-nics, vol. 4, No. 2, pp. 180 186, 1999.

[27] C. Knospe y E. G. Collins, Introduction to the special issue on magnetic bearingcontrol [guest editorial], IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 4,No. 5, 1996.

[28] A. Lanzon, Weight optimisation in h∞ loop-shaping, Automatica, vol. 41, pp. 1201 1208, 2005.

[29] J. Levine, J. Lottin, y J.-C. Ponsart, A nonlinear approach to the control of magneticbearings, IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 4, No. 5, pp. 524544, 1996.

[30] M.-h. Li, A. Palazzolo, A. Kenny, A. Provenza, R. Beach, y A. Kascak, Fault toleranthomopolar magnetic bearings, National Aeronautics and Space Administration JohnH. Glenn Research Center, 2003.

[31] F. Lösch, Detection and correction of actuator and sensor fault in active magneticbearing system, En 8th International Symposium on Magnetic Bearings, 2002, pp.113 118.

[32] E. H. Maslen y D. C. Meeker, Fault tolerance of magnetic bearings by generalized biascurrent linearization, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 31, No. 3, pp. 23042314,1995.

[33] D. McFarlane y K. Glover, A loop-shaping design procedure using H∞ synthesis,IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 37, No. 6, pp. 759769, 1992.

[34] U. J. Na, Fault tolerant control of magnetic bearings with force invariance, Journalof Mechanical Science and Technology, vol. 19, pp. 731 742, 2005.

[35] M. D. Noh, S.-R. Cho, J.-H. Kyung, S.-K. Ro, y J.-K. Park, Design and implementa-tion of a fault-tolerant magnetic bearing system for turbo-molecular vacuum pump,IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, vol. 10, No. 6, pp. 626631, 2005.

[36] H. Noura, D. Theillior, J. C. Ponsart, y A. Chamseddine, Fault - tolerant ControlSystems. Springer, 2009.

[37] K. Ogata, Ingeniería de Control Moderna. Prentice Hall, 2003.

[38] M. G. Ortega y F. R. Rubio, Systematic design of weighting matrices for the H∞mixed sensitivity problem, Journal of Process Control, vol. 14, pp. 8998, 2004.

[39] J. R. Patton, Fault-tolerant control system: the 1997 situation, En IFAC SAFE-PROCESS, 1997, pp. 1033 1054.

Bibliografía 107

[40] B. Polajzer, J. Ritonja, G. Stumberger, D. Dolinar, y J.-P. Lecointe, Descentralizedpi/pd position control for active magnetic bearings, Electrical Engineering (Archivfur Elektrotechnik), vol. 89, pp. 53 59, 2006.

[41] V. Puig, J. Quevedo, T. Escobet, B. Morcego, y C. Ocampo, Control tolerante a fallos(parte 1): Fundamentos y diagnóstico de fallos, Revista Iberoamericana de Automáticae Informática Industrial, vol. 1, pp. 15 31, 2004.

[42] K. J. Åström y R. M. Murray, Feedback Systems: An Introduction for Scientists andEngineers. Princeton University Press, 2011.

[43] F. R. Rodríguez y M. J. L. Sánchez, Control Adaptativo y Robusto. Universidad deSevilla, 1996.

[44] S. Skogestad y I. Postlethwaite, Multivariable Feedback Control, Analysis and Design.Wiley, 2005.

[45] J.-J. Slotine y W. Li, Applied Nonlinear Control. Prentice Hall, 1991.

[46] N.-C. Tsai, Y.-H. King, y R.-M. Lee, Fault diagnosis for magnetic bearing systems,Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 23, pp. 1339 1351, 2009.

[47] M. C. Turner y D. G. Bates, Mathematical Methods for Robust and Nonlinear ControlEPSRC Summer School. Springer, 2007.

[48] H. H. Woodson y J. R. Melcher, Electromechanical Dynamics Part 1. MassachusettsInstitute of Technology: MIT OpenCourseWare, 1968.

[49] C. Yang y C. Knospe, Optimal control of a magnetic bearing without bias ux, EnProc. American Control Conf the 1997, vol. 3, 1997, pp. 15341538.

[50] K. Zhou, J. C. Doyle, y K. Glover, Robust and Optimal Control. Prentice Hall, 1995.

ApéndiceA

Anexo sobre la linealización

por retroalimentación del

estado

A.1. Herramientas matemáticas para la linealización porretroalimentación del estado

A continuación se muestran algunos los conceptos y herramientas que son necesarias enel desarrollo de la linealización por retroalimentación del estado, la cual se expone en laSección 4.1. Estos conceptos forman parte de algunas de las herramientas matemáticasaplicadas en geometría diferencial. Sin embargo, por simplicidad, se abordan estos temasen el contexto del análisis de sistemas no lineales [45].

A.1.1. Gradiente de una función escalar y Jacobiano de un campo vectorial

Sea h (x) una función escalar suave de x, el gradiente de h (x) denotado por:

∇xh =∂h

∂x

es un vector la donde cada uno de sus elementos corresponden a la derivada parcial de hcon respecto a xj , es decir:

(∇h)j = ∂h/∂xj

Para el caso de un campo vectorial f (x), la matriz Jacobiana de f se representa por

∂xf =∂f

∂x,

que es una matriz de dimensión n × n, donde cada elemento corresponde a (∂xf)ij =∂fi/∂xj .

A.1 Herramientas matemáticas para la linealización por retroalimentación del

estado 109

A.1.2. Derivada y corchete de Lie

Sea h (x) una función escalar y f (x) un campo vectorial, se puede denir una nueva funciónescalar Lfh, denominada derivada de Lie, la cual es la derivada de h con respecto a f .

Denición A.1.1. Sea h : Rn → Rn una función escalar suave, y sea f : Rn → Rn uncampo vectorial suave en Rn, entonces, la derivada de h con respecto a f es una funciónescalar denida por

Lfh = ∇xh · fLas derivadas consecutivas de Lie, se pueden representar de manera recursiva como

L0fh = h

Lifh = Lf

(Li−1f h

)= ∇x

(Li−1f h

)· f

También puede haber el caso en que se requiera derivar con respecto a otro campo vectorialg, de modo que LgLfh (x) es

LgLfh = ∇x (Lfh) · g

Otro operador importante sobre campos vectoriales es el corchete de Lie.

Denición A.1.2. Sean f y g dos campos vectoriales suaves en Rn, el corchete de Lie esun tercer campo vectorial denido por

[f, g] = ∂xg · f − ∂xf · g.

Por simplicación, el corchete de Lie también se puede representar como adfg, para poderrepresentar cuando el corchete de Lie se aplica recursivamente

ad0fg = g

adif =[f, ad i−1

f g]

A.1.3. Difeomorsmo

El término de difeomorsmo se utiliza para generalizar el concepto de transformación decoordenadas que se realizan sobre sistemas no lineales. Un difeomorsmo se dene de lasiguiente manera:

Denición A.1.3. Una función Φ (x) : Rn → Rn, denida en una región U , se denominadifeomorsmo si y sólo si es suave, y su inversa Φ−1 existe y también es suave.

Si la región U es igual al espacio Rn, entonces se dice que el difeomorsmo es global. Sinembargo, en el análisis de sistemas no lineales, se da el caso de que algunos difeomorsmosson válidos sólo en algunas regiones de operación del sistema. De manera que si U es sólouna región de Rn, y la matriz Jacobiana ∂xΦ es no singular en el punto x = x0 de U ,entonces Φ (x) es un difeomorsmo local en la subregión de U .

110 Anexo sobre la linealización por retroalimentación del estado

A.1.4. Teorema de Frobenius

El teorema de Frobenius es una herramienta importante para el desarrollo de la linealizaciónpor retroalimentación del estado. Este teorema proporciona las condiciones necesarias ysucientes para la solución de una clase especial de ecuaciones diferenciales parciales.

Considere un conjunto de campos vectoriales f1, . . . , fd suaves denidos en una vecindadU0 de x0, y que generan la siguiente distribución no singular de dimensión d

∆ (x) = span f1 (x) , . . . , fd (x)

para cada x en U0. Ahora, estableciendo también la existencia de una codistribución Ω =∆⊥ suave y no singular, con dimensión n − d, generada por n − d campos covectorialesω1, . . . , ωn−d, de manera que

〈wj (x) , fi (x)〉 = 0 ∀ 1 ≤ i ≤ d, 1 ≤ j ≤ n− d

para toda x en U0, es decir, que se resuelve la siguiente ecuación

wjF (x) = 0 (A.1.1)

donde F (x) es una matriz de dimensión n× d

F (x) =

(f1 (x) · · · fd (x)

).

Como la solución se genera por n− d vectores la linealmente independientes, el rango dela matriz F (x) es d. De hecho, los vectores la ω (x) , . . . , ωn−d (x) exactamente son unabase de ese espacio.

Suponiendo que las soluciones para la ecuación (A.1.1) tienen la siguiente forma

ωj =∂λj∂x

donde λ (x) , . . . , λn−d (x) son funciones reales suaves, de tal manera que el sistema deecuaciones diferenciales se resuelve mediante

∂λj∂x

(f1 (x) · · · fd (x)

)=∂λj∂F (x) = 0

con n− d soluciones independientes. Con ello se llega a la siguiente conclusión: una distri-bución no singular ∆ de dimensión d, denida en un conjunto abierto U de Rn, se dice quees completamente integrable si, para cada punto x0 de U existe una vecindad U0, y n− dfunciones reales suaves λ1, . . . , λn−d, todas denidas en U0, tal que

span

dλ1 . . . dλn−d

= ∆⊥

El siguiente teorema proporciona la condiciones necesarias y sucientes para que una dis-tribución sea completamente integrable.

A.2 Comprobación de involutividad de las distribuciones G0, G1, G2 y G3 111

Teorema A.1.4. (Frobenius) Una distribución no singular es completamente integrable,sí y sólo sí, es involutiva.

El término involutividad implica que si uno forma el corchete de Lie de cualquier parde campos vectoriales de la distribución ∆ (x), el campo vectorial resultante se puedeexpresar como una combinación lineal de el par de campos vectoriales original. De estemodo, un conjunto de campos vectoriales f1, . . . , fm se dice que es involutivo cumplecon la siguiente condición

rank(f1 (x) . . . fm (x)

)= rank

(f1 (x) . . . fm (x) [fi, fj ] (x)

)

para toda x y toda i, j.

A.2. Comprobación de involutividad de las distribuciones G0,G1, G2 y G3

Recordando las hipótesis dadas en el Teorema 4.1.2 de la Subsección 4.1.1, que determi-nan la existencia de solución para el problema la linealización por retroalimentación delestado, es necesario construir las siguientes distribuciones G0, G1,...,Gn−1, las cuales debensatisfacer las siguientes condiciones:

i) La distribuciónGi debe tener dimensión constante en torno a x = 0 , para 1 ≤ i ≤ n−1.

ii) La distribución Gn−1 debe tener dimensión n .

iii) La distribución Gi para 1 ≤ i ≤ n− 2 debe ser involutiva.

Particularizando para el modelo del rodamiento magnético, las distribuciones correspon-dientes son:

G0 = span g1, g2G1 = span g1, g2, adfg1, adfg2G2 = span

g1, g2, adfg1, adfg2, ad

2fg1, ad

2fg2

G3 = spang1, g2, adfg1, adfg2, ad

2fg1, ad

2fg2, ad

3fg1, ad

3fg2


Para la distribución G0 se tiene que:

G0 = span g1, g2

= span

0

0

k − 2x1L0

0

,

0

0

0

k + 2x1L0

.

la cual tiene dimensión igual a dos, al tener dos campos vectoriales linealmente indepen-dientes en torno a x = 0. Para vericar si la distribución G0 es involutiva, basta conconstruir el corchete de Lie

[g1, g2] (x) = ∂xg2 · g1 − ∂xg1 · g2

=

0

0

0

0

.

Como el vector[0 0 0 0

]Tpuede considerarse como una combinación lineal de los

campos g1 y g2, entonces se concluye que la distribución G0 es involutiva.

Para construir la distribución

G1 = span

g1, g2, adfg1, adfg2

es necesario obtener los corchetes de Lie adfg1 y adfg2, los cuales se calculan respectiva-mente

adfg1 = ∂xg1 · f − ∂xf · g1

=

0

− 2 (I0 + x3)

m (k − 2x1)(k − 2x1)

2R1

L20

0


adfg2 = ∂xg2 · f − ∂xf · g2

=

0

2 (I0 + x4)

m (2x1 + k)

0

(2x1 + k)2R2

L20

,

siendo entonces la distribución

G1 =

0

0

k − 2x1L0

0

,

0

0

0

k + 2x1L0

,

0

− 2 (I0 + x3)

m (k − 2x1)(k − 2x1)

2R1

L20

0

,

0

2 (I0 + x4)

m (2x1 + k)

0

(2x1 + k)2R2

L20

,

cuya dimensión es igual a tres, al tener tres campos vectoriales linealmente independientesen x = 0. Esto se demuestra fácilmente sustituyendo por valores numéricos a los pará-metros, y evaluando en x = 0. La distribución G1 evaluada en x = 0 queda como unamatriz

G1|x=0 =

00

6.70830

000

6.7083

0

−29.813645.0017

0

0

29.81360

45.0017

cuyo rango es igual a tres. Para vericar la involutividad de la distribución G1, se escoge ca-da par de campos vectoriales que componen la distribución, y se obtiene su correspondientecorchete de Lie, los cuales arrojan los siguientes resultados

[g1, adfg2] (x) = [g2, adfg1] (x) = [adfg1, adfg2] (x) = 0

[g1, adfg1] (x) =

0

− 2

mL0

0

0


[g2, adfg2] (x) =

0

2

mL0

0

0

.

Para [g1, adfg1] (x), se puede expresar como la combinación lineal entre

a1 (x) g2 + a2 (x) adfg2 = [g1, adfg1] (x)

con las funciones a1 (x) = R2(k+2x1)2

L20(I0+x4)

y a2 (x) = − k+2x1L0(I0+x4)

, mientras que para [g2, adfg2] (x)

se puede expresar como una combinación lineal entre

b1 (x) g1 + b2 (x) adfg1 = [g2, adfg2] (x)

con funciones b1 (x) = R1(k−2x1)2

L20(I0+x3)

y b2 (x) = − (k−2x1)L0(I0+x3)

.

Para la distribución G2 se necesita calcular ad2fg1 y ad2fg2:

ad2fg1 = ∂x (adfg1) · f − ∂xf · (adfg1)

=

2 (I0 + x3)

m (k − 2x1)

−2I0R1

mL0

(k − 2x1)3R2

1

L30

− 2 (k − 2x1)x2R1

L20

− 4 (I0 + x3)2

m (k − 2x1)2

4 (I0 + x3) (I0 + x4)

m (k − 2x1) (2x1 + k)

y

ad2fg2 = ∂x (adfg2) · f − ∂xf · (adfg2)

=

− 2 (I0 + x4)

m (2x1 + k)2I0R2

mL04 (I0 + x3) (I0 + x4)

m (k − 2x1) (2x1 + k)(2x1 + k)3R2

2

L30

+2 (2x1 + k)x2R2

L20

− 4 (I0 + x4)2

m (2x1 + k)2


La dimensión de la distribución G2 es igual a cuatro, al tener cuatro campos vectorialeslinealmente independientes en x0. Numéricamente G2|x=0 queda como

G2|x=0 =

00

6.70830

000

6.7083

0

−29.813645.0017

0

0

29.81360

45.0017

29.8136−200

−1475.82251777.7091

−29.8136

200.01777.7091−1475.8225

con rango igual a cuatro. Para determinar si la distribución G2 es involutiva, se utiliza elmismo procedimiento que para la distribución G1.

Para la distribución

G3 = span

g1, g2, adfg1, adfg2, ad2fg1, ad2fg2, ad3fg1, ad3fg2

es necesario obtener ahora:

ad3fg1 = ∂x(ad2fg1

)· f − ∂xf ·

(ad2fg1

)ad3fg2 = ∂x

(ad2fg2

)· f − ∂xf ·

(ad2fg2

).

Como las expresiones algebraicas para ad3fg1 y ad3fg2 son extensas, únicamente se presenta

a la distribución G3 de forma numérica evaluada en x = 0, dando como resultado a unamatriz

G3|x=0 =

00

6.70830

000

6.7083

0

−29.813645.0017

0

0

29.81360

45.0017

29.8136−200

−1475.82251777.7091

· · ·−29.8136

200.01777.7091−1475.8225

200

−1341.6666−21825.775423850.9316

−200

1341.666623850.9316−21825.7754

cuyo rango es igual a cuatro (que es igual a la dimensión del sistema).

Con las observaciones anteriores se comprueba que las distribuciones G0, G1 y G2 tienendimensión constante en torno a x = 0, y que la dimensión de G3 también es constante yes igual a n (que para este caso n = 4). También se determina que las distribuciones G0,G1 y G2 son involutivas.

ApéndiceB

Preliminares para el

desarrollo del método de

control loop shaping H∞

A continuación se muestran algunos preliminares sobre el control multivariable y sobrecontrol robusto, los cuales se utilizan en algunos apartados de este trabajo.

B.1. Realización mínima en espacio de estado de un sistema

Para algunas aplicaciones de control, a veces es conveniente la representación de una plan-ta en términos de una matriz de transferencia, en el caso que sean sistemas de alto ordeno cuyas ecuaciones diferenciales sean complejas. Como por ejemplo muchos problemas deidenticación, se realizan análisis en frecuencia obteniendo con ello modelos dados preci-samente en el dominio de la frecuencia.

Sin embargo, computacionalmente es más conveniente obtener las soluciones a los proble-mas de control en espacio de estado.

Suponiendo que G (s) es una matriz de transferencia real, racional y propia, se dice quetiene una realización en espacio de estados, dada por

G (s)s=

A B

C D

.

Para la solución de algunos problemas de control robusto, se desea que la realización enespacio de estado de una planta sea mínima. De acuerdo al siguiente Teorema, que seexpone en [50], se establece lo siguiente:

B.1 Realización mínima en espacio de estado de un sistema 117

Teorema B.1.1. Una realización en espacio de estado (A,B,C,D) de G (s), se dice que esmínima sí, y sólo sí, el par (A,B) es controlable, y el par (C,A) es observable.

Para el caso de sistemas SISO, el procedimiento para obtener una realización en espaciode estados de una función de transferencia puede ser relativamente sencillo. Sin embargo,para el caso de sistemas MIMO, el procedimiento es más complicado.

Existen varias maneras de obtener realizaciones en espacio de estados a partir de matricesde transferencia. La manera más simple de obtener una realización de una planta G (s),es obteniendo una realización en espacio de estado por cada función de transferencia, esdecir, suponga que

G (s) =

G1 (s) G2 (s)

G3 (s) G4 (s)

,donde cada Gi (s) tiene una realización en espacio de estado

Gi (s) =

Ai Bi

Di Ci

, i = 1, ..., 4

Entonces, una realización de G (s) es

G (s) =

A1 0 0 0 B1 0

0 A2 0 0 0 B2

0 0 A3 0 B3 0

0 0 0 A4 0 B4

C1 C2 0 0 D1 D2

0 0 C3 C4 D3 D4

Otra manera de obtener una realización en el espacio de estado, es utilizando una expansiónen fracciones parciales. Sea G (s)una matriz de transferencia de dimensión p ×m la cualse escribe de la siguiente manera

G (s) =N (s)

d (s)

donde d (s) es un polinomio escalar. Por simplicidad, se supone que d (s) tiene únicamenteraíces distintas, de modo que

d (s) = (s− λ1) (s− λ2) . . . (s− λr) ,

118 Preliminares para el desarrollo del método de control loop shaping H∞

entonces G (s) tiene la siguiente expansión en fracciones parciales

G (s) = D +r∑

i=1

Wi

s− λi.

Suponiendo querankWi = ki

y que Bi ∈ Rki×m y Ci ∈ Rp×ki son dos matrices constantes tales que

Wi = CiBi.

Entonces, una realización para G (s) esta dada por

G (s) =

λ1Ik1 B1

. . ....

λ1Ik1 Br

C1 · · · Cr Ci

la cual cumple con la condición de ser controlable y observable.

B.2. Multiplicación entre sistemas

A continuación se muestran algunas operaciones de interés para este trabajo, principal-mente la multiplicación de sistemas en espacio de estado [50].

Sean G1 y G2 dos sistemas con realizaciones en espacio de estado:

G1 =

A1 B1

C1 D1

G2 =

A2 B2

C2 D2

,entonces, para la siguiente conguración en cascada:

B.3 Descomposición en valores singulares de una matriz de transferencia 119

que equivale al producto de las dos matrices de transferencia G1G2. Una representaciónpara dicha conguración en cascada se obtiene como

G1G2 =

A1 B1C2 B1D2

0 A2 B2

C1 D1C1 D1D2

=

A2 0 B2

B1C2 A1 B1D2

D1C2 C1 D1D2

.

De manera similar, para el caso de una suma (conexión en paralelo), el sistema resultantequeda como

G1 +G2 =

A1 B1

C1 D1

+

A2 B2

C2 D2

=

A1 0 B1

0 A2 B2

C1 C2 D1 +D2

B.3. Descomposición en valores singulares de una matriz detransferencia

Los valores singulares de una matriz de transferencia se denen como:

σi (G) =√λi (GHG) i = 1, 2, ..., k

donde λi son los eigenvalores y k = min (r,m); m es el número de columnas de G yr el número de las. GH representa a la matriz conjugada transpuesta de G, es decir,GH = GT (−s) con s = jω.

Comúnmente se ordenan de forma descendente, de modo que σ ≥ σi+1. Los valores sin-gulares de interés para el análisis en frecuencia en el diseño de sistemas de control, son elmáximo y el mínimo:

σ = σ1 σ = σk.

La descomposición en valores singulares (SVD) de una matriz G queda de la siguientemanera

G = UΣV H

donde Σ es una matriz de dimensión l ×m con k = min r,m la cual contiene los valo-res singulares no negativos acomodados de orden descendiente a lo largo de su diagonal


principal, y las demás entradas de tal matriz con igual a cero. La matriz U es una ma-triz unitaria de dimensión r× r cuyos vectores la se denominan como vectores singularesde salida ui. Y para la matriz V , de dimensión m ×m, sus vectores se denominan comovectores singulares de entrada vi.

En Matlab® puede obtenerse la gráca de los valores singulares para un sistema LTImediante la función sigma.

B.4. El operador Riccati

Sean A, Q, y R matrices cuadradas de dimensión n×n, con R y Q simétricas, se dene lasiguiente matriz denominada como matriz Hamiltoniana:

H ,

A R

Q −AT

. (B.4.1)

Si se hace la suposición de que H no tiene eigenvalores en el eje imaginario, y que existeuna matriz T que hace la siguiente partición

T−1HT =

A11 A12

0 A22

(B.4.2)

con la propiedad de que la matriz A11 tiene todos sus eigenvalores con parte real negativa,y que a su vez T puede establecerse como

T =

T11 T12

T21 T22

,entonces la matriz

X = T21T−111

está determinada de forma única por H. De este modo, se puede establecer una corres-pondencia representada por Ric, entre el conjunto de matrices Hamiltonianas H y elconjunto de matrices X:

X = Ric (H) .

El dominio de esta función se representa por dom(Ric) y consta del conjunto de matricesHamiltonianas H que no tienen eigenvalores en el eje imaginario, y para las que existe unamatriz de transformación T que particiona a H en la forma dada por la ecuación (B.4.2),con todos los eigenvalores de A11 con parte real negativa.

B.5 Factorización coprima normalizada por la izquierda 121

Además, se tiene que la matriz X es simétrica y resulta ser la solución de la ecuaciónalgebraica de Riccati:

ATX +XA+XRX −Q = 0,

por lo que se dice que H es la matriz hamiltoniana asociada a la ecuación algebraica deRiccati anterior.

B.5. Factorización coprima normalizada por la izquierda

Una manera para representar un sistema es mediante la factorización coprima que pue-de emplearse tanto en espacio de estado y en función de transferencia. Una función detrasnferencia G se dice que tiene una factorización coprima por la derecha si

G (s) = Nr (s)M−1r (s)

donde Nr (s) y Mr (s) son matrices de transferencia estables. La estabilidad de tales fun-ciones implica que Nr (s) contiene todos los ceros ubicados en de G (s) yMr (s) tiene comoceros en RHP todos los polos de G (s) en RHP. La coprimez implica que no deben existirceros en RPH comunes en Nr y Mr lo que podría conllevar a una cancelación al formar elproducto Nr (s)M−1r (s).

Basado en la identidad de Bezout, coprimez signica que existen matrices estables Ur (s)y Vr (s) tal que se satisface la siguiente igualdad

UrNr + VrMr = I

En este trabajo, para propósitos de diseño del controlador robusto, se emplea la factoriza-ción coprima por la izquierda, representada por

G (s) = M−1l (s)Nl (s)

donde Ml y Nl son matrices estables y coprimas que satisfacen la identidad de Bezout

NlUl +MlVl = I

Para el caso de sistemas escalares, ambas factorizaciones son idénticas, es decirG = NlMl =MrNr.

Pueden existir varias fatorizaciones para una sola planta G, pero comúnmente es de interésobtener una factorización normalizada. Se dice una factorización por la izquierda de unamatriz de transferencia G es normalizada si se cumple con

NlNHl +MlM

Hl = I

donde (M)H se dene como MH (s) = M ′ (−s) para s = jω, o bien, la matriz conjugadatranspuesta de M (s).


Sea G una matriz de transferencia con una realización mínima en espacio de estado

G (s)s=

A B

C D

entonces, una realización mínima en espacio de estado de una factorización coprima nor-malizada por la izquierda está dada por

[Nl Ml

]s=

A+HC B +HD H

R−1/2C R−1/2D R−1/2

donde

H , −(BD′ + ZC ′

)R−1, R , I +DD′

y Z es la solución única denida positiva de la siguiente ecuación algebraica de Riccati(A−BS−1D′C

)Z + Z

(A−BS−1D′C

)′ − ZC ′R−1CZ +BS−1B′

donde S , I +D′D.

ApéndiceC

Descripción de los programas

En este apartado se muestran los programas que se utilizan en el desarrollo de este trabajode tesis.

C.1. S-function para el modelo del rodamiento magnético

El siguiente programa corresponde a una S-Function la cual se utiliza para simular alrodamiento magnético en el entorno Simulink®. Prácticamente es una copia del modelomatemático que se describe en la Subsección 3.3.3 por la ecuación (3.3.20).

1 function [ sys , x0 , s t r , t s ] = rod_mag( t , x , u , f lag )2 %SFUNCONT An example M−F i l e S−f unc t i on f o r cont inuous systems .3 % This M− f i l e i s des i gned to be used as a temp la te f o r o ther4 % S−f unc t i on s . Right now i t a c t s as an i n t e g r a t o r . This temp la te5 %i s an example o f a cont inuous system with no d i s c r e t e components .6 % % See s funtmpl .m fo r a genera l S−f unc t i on temp la te .7 % % See a l s o SFUNTMPL.8 % Copyright 1990−2007 The MathWorks , Inc .9 % $Revis ion : 1 . 1 4 . 2 . 1 $10

11 %% Parametros f i s i c o s d e l Rodamiento :12

13 m = 2 ;14 L0 = 3e−4;15 R1 = 1 ;16 R2 = 1 ;17 I0 = 6e−2;18 g0 = 1e−3;19 Lc = 1.25 e−5;20 k = 2*g0+Lc ;21

22 %%

124 Descripción de los programas

23 switch f lag24 case 0 %I n i t i a l i z a t i o n25

26 sys = [ 4 , % number o f cont inuous s t a t e s27 0 , % number o f d i s c r e t e s t a t e s28 4 , % number o f ou tpu t s29 2 , % number o f inpu t s30 0 , % rese rved must be zero31 1 , % d i r e c t f e ed th rough f l a g32 1 ] ; % number o f sample t imes33

34 x0 = [−0.00045 , 0 , 0 , 0 ] ' ; %cond ic iones i n i c i a l e s35 s t r = [ ] ;36 t s = [ 0 0 ] ; %sample time : [ period , o f f s e t ]37 case 1 % Der i v a t i v e s38

39 sys (1 )= x (2) ;40 sys (2 )= (L0*( x (3 )+I0 ) ^2) /(m*(k−2*x (1 ) ) ^2) − . . .41 (L0*( x (4 )+I0 ) ^2) /(m*( k+2*x (1 ) ) ^2) ;42 sys (3 )= −(R1*(k−2*x (1 ) ) *x (3 ) ) /(L0) − . . .43 (2*x (2 ) *( x (3 )+I0 ) ) /(k−2*x (1 ) ) + ( ( k−2*x (1 ) ) /L0) *u (1) ;44 sys (4 )= −(R2*( k+2*x (1 ) ) *x (4 ) ) /(L0) + . . .45 (2*x (2 ) *( x (4 )+I0 ) ) /(k+2*x (1 ) ) + ( ( k+2*x (1 ) ) /L0) *u (2) ;46

47 case 2 % Disc re t e s t a t e update48

49 sys = [ ] ; % do noth ing50

51 case 3 %% sa l i d a s52

53 sys (1 ) = x (1) ;54 sys (2 ) = x (2) ;55 sys (3 ) = x (3) ;56 sys (4 ) = x (4) ;57

58 case 9 % Terminate59

60 sys = [ ] ; % do noth ing61

62 otherw i s e63 DAStudio . error ( ' Simulink : b locks : unhandledFlag ' , num2str( f lag ) ) ;64 end

C.2. Programa utilizado para la LRR

En esta parte se proporcionan los programas desarrollados en Matlab®, que tienen lafunción de realizar la linealización del sistema.

El primero se encarga de aplicar la ley de control linealizante al modelo no lineal (modelo

C.2 Programa utilizado para la LRR 125

del rodamiento magnético), mediante la retroalimentación del estado y de la nueva ley decontrol lineal proporcionada por el controlador robusto (Bloque LRR de la Figura C.2.1).

El segundo programa tiene la acción de transformar las salidas del sistema no lineal a unnuevo conjunto de coordenadas, para que éstas puedan conectarse con el controlador lineal(Bloque Difeomorsmo). Ambos programas se integran dentro de Simulink®.

Figura C.2.1. Diagrama a bloques en donde se muestran las partes que integran alsistema.

Bloque LRR

1 % Nombre d e l arch ivo : L in ea l i z a c i on .m2

3 function [ v ] = L i n e a l i z a c i o n (u)4

5 %% Se de f inen l o s parametros d e l s i s tema6

7 m = 2 ;8 R1 = 1 ;9 R2 = 1 ;10 I0 = 6e−2;11 Lc = 1.25 e−5;12 L0 = 3e−4;13 g0 = 1e−3;14 k = 2*g0+Lc ;15

16 % Se dec laran l a s entradas por par te d e l con t ro l ador l i n e a l17 V1 = u ( 1 ) ;18 V2 = u ( 2 ) ;19

20 %En e s t a s entradas , son por donde se rea l imenta e l v e c t o r de21 % estado de l a p l an ta22

23 x1 = u ( 3 ) ;24 x2 = u ( 4 ) ;25 x3 = u ( 5 ) ;26 x4 = u ( 6 ) ;


27

28 %− − − − − − − − − − − − − − −29 % Se e s t a b l e c e l a l e y de con t r o l l i n e a l i z a n t e30

31 a1 = (L0*(−(k*x3*R1)/L0−(2*x2* I0 )/k ) ) / ( k−2*x1)+x3*R1+ . . .32 (2* x2 *( I0+x3 )*L0 )/( k−2*x1 )^2 ;33

34 a2 = −(m*(2* x1+k )* ( ( 2* I0 *(−(k^2*m* ( ( ( ( I0+x3 )^2/(k−2*x1 )^2 − . . .35 ( I0+x4 )^2/(2* x1+k)^2)*L0)/m+g ) )/ (2* I0 *L0 )+ . . .36 (4* x1* I0 )/k+x3 )*R2)/( k*m)−(2*x3* I0 *R1)/( k*m) ) ) / ( 2 * ( I0+x4 ) )+ . . .37 x4*R2+((2*x1+k )* ( I0+x3 )*L0*(−(k*x3*R1)/L0− . . .38 (2* x2* I0 )/k ) ) / ( ( k−2*x1 )^2*( I0+x4 ) )+ . . .39 (2* (2* x1+k)* x2 *( I0+x3)^2*L0 ) / ( ( k−2*x1 )^3*( I0+x4 ) ) ;40

41 b11 = k/(k−2*x1 ) ;42 b12 = 0 ;43 b21 = (k*(2* x1+k )* ( I0+x3 ) ) / ( ( k−2*x1 )^2*( I0+x4 ) ) − . . .44 ( (2* x1+k)* I0 )/ ( k*( I0+x4 ) ) ;45 b22 = ((2* x1+k)* I0 )/ ( k*( I0+x4 ) ) ;46 %− − − − − − − − − − − − − − −47 % Sa l i da s d e l b l oque de l i n e a l i z a c i o n ,48 % Estas s a l i d a s forman par te de l a l e y de con t r o l l i n e a l i z a n t e49 % junto con l a nuevas entradas por par te d e l con t ro l ador50 % l i n e a l V1 y V2.51

52 v (1 ) = a1 + b11*V1 + b12*V2 ;53 v (2 ) = a2 + b21*V1 + b22*V2 ;

Difeomorsmo

1 % Nombre d e l arch ivo : d i feomorf i smo .m2

3 %% Difeormorfismo (Cambio de coordenadas )4 function [ z ] = di feomor f i smo (x )5

6 % El vec t o r de entradas x corresponde a7 % la s s a l i d a s d e l s i s tema no l i n e a l8

9 % Parametros − − − − − − −10

11 %m = 2;12 % L0 = 3e−4;13 %R1 = 1;14 %R2 = 1;15 % g0 = 1e−3;16 % Lc = 1.25 e−5;17 %k = 2*g0+Lc ;18

19 k = 0 . 0020 ;

C.3 Cálculo del controlador robusto 127

20 I0 = 6e−2;21

22 %− − − − − − − − − − − − − − −23 % Sa l i da s ( que rea l imentan a l con t ro l ador l i n e a l )24 z (1 ) = x ( 1 ) ;25 z (2 ) = x ( 2 ) ;26 z (3 ) = x ( 3 ) ;27 z (4 ) = −(k^2*(( I0+x (3) )^2/( k−2*x (1 ) )^2 − . . .28 ( I0+x (4))^2/(2*x(1)+k )^2))/(2* I0 )+ . . .29 (4*x (1)* I0 )/k+x ( 3 ) ;

C.3. Cálculo del controlador robusto

A continuación se muestra el programa desarrollado en Matlab® que muestra el algoritmode diseño del controlador. Este controlador es el que se implementa en Simulink® paralas simulación para diferentes casos de falla.

1 % Nombre d e l arch ivo : Controlador_loop_shaping .m2

3 %% Diseño de l con t ro l ador de acuerdo a4 %% McFarlane y Glover5

6 %% l impia e l e spac io de t r a ba j o en Matlab7 clear a l l8 close a l l9 clc a=1;10 %% Parametros f í s i c o s d e l rodamiento11

12 m = 2 ;13 g0 = 1e−3;14 Lc = 1.25 e−5;15 L0 = 3e−4;16 R1 = 1 ;17 R2 = 1 ;18 I0 = 6e−2;19 k = 2*g0+Lc ;20

21 %%Matrices d e l modelo l i n e a l i z a d o22

23 Ar = [ 0 , 1 , 0 , 0 ;24 (8* I0 ^2*L0 )/( k^3*m) , 0 , (2* I0 *L0 )/( k^2*m) ,

−(2* I0 *L0 )/( k^2*m) ;25 0 , −(2* I0 )/k , −(k*R1)/L0 , 0 ;26 0 , (2* I0 )/k , 0 , −(k*R2)/L0 ] ;27

28 Br =[0 0 ;29 0 0 ;


30 k/L0 0 ;31 0 k/L0 ] ;32

33 Cr = eye ( 4 ) ;34

35 Dr = [0 0 ;36 0 0 ;37 0 0 ;38 0 0 ] ;39

40 ssGr = s s (Ar , Br , Cr , Dr ) ;41

42 % funcion de t r an s f e r en c i a de l a p l an ta Gr43

44 Gr = Cr/( s *eye ( length (Ar ) ) − Ar)*Br + Dr ;45

46 %% Matriz de Ponderación47

48 Wr = [1000* ( s +10)/( s ) 0 0 0 ;49 0 100 0 0 ;50 0 0 15 0 ;51 0 0 0 1 5 ] ;52

53 % Rea l i zac ión mínima en espac io de es tado54 % de l a matr iz de ponderación de l s i s tema55

56 ssWr = ss (Wr, 'min ' ) ;57

58 Aw = ssWr . a ;59 Bw = ssWr . b ;60 Cw = ssWr . c ;61 Dw = ssWr . d ;62

63 % pre−mu l t i p l i c a c i ó n Gr*Wr64

65 % es ta func ión permite l a mu l t i p l i c a c i ó n de s i s t emas66 % en espac io de es tado67

68 ssGar = mul t ip l i c a c i on_s i s t emas (Aw,Bw,Cw,Dw,Ar , Br , Cr , Dr ) ;69

70 % plan ta aumentada71 % Gar = Gr*Wr;72

73 % re a l i z a c i o n en espac io de es tado de Gar74

75 ssGar = s s ( ssGar , 'min ' ) ;76

77 % matr ices co r r e spond i en t e s a ssGar78

79 Aar = ssGar . a ;80 Bar = ssGar . b ;81 Car = ssGar . c ;82 Dar = ssGar . d ;


83

84 %% Margen de e s t a b i l i d a d85 % Para ob tener e l mínimo va l o r de gamma y86 % por l o tanto e l máximo margen de87 % e s t a b i l i d a d dados por McFarlane y Glover (1989)88

89 % Se ob t i ene l a so l u c i ón de l a s s i g u i e n t e s90 % ecuac iones a l g e b r á i c a s de91 % Ricca t i :92

93 % (A − B* inv (S)*D'*C)*Z + Z*(A − B* inv (S)*D'*C) ' . . .94 % − Z*C'* inv (R)*C*Z + B* inv (S)*B' = 095 % (A − B* inv (S)*D'*C) '*X + X*(A − B* inv (S)*D'*C) . . .96 − X*B* inv (S)*B'*X + C'* inv (R)*C = 097 % siendo98 %R1 = eye ( s i z e (Dar*Dar '))+ Dar*Dar ' ;99 % S1 = eye ( s i z e (Dar '*Dar))+ Dar '*Dar ;100

101 %Como D = 0 , entonces l a s AREs se reducen a :102

103 %A*Z + Z*A' − Z*C'*C + B*B' = 0104 %A'*X + X*A − X*B*B' + C'*C = 0105

106 R1 = eye ( s ize (Dar*Dar '))+ Dar*Dar ' ;107 S1 = eye ( s ize (Dar '*Dar))+ Dar '*Dar ;108

109 % Soluc ion de l a s ecuac iones a l g e b r a i c a s de110 % Ricca t i111

112 A = Aar ;113 R = Car '*Car ;114 Q = Bar*Bar ' ;115

116 [ z1 z2 ] = r i c_schr ( [A' −R; −Q −A] ) ;117 Z = z2/z1 ;118 [ x1 x2 ] = r i c_schr ( [A −Q; −R −A' ] ) ;119 X = x2/x1 ;120 %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−121 %se l e c c i o n de gamma:122 gammin = (1 + max( eig (X*Z) ) )^ ( 1 / 2 ) ;123

124 emax = gammin^(−1); %maximo margen de e s t a b i l i d a d125

126 %se e l i g e e s t e va l o r para gamma127 gam = 4 . 3 ;128

129 % que e qu i v a l e a un margen de e s t a b i l i d a d de 0.2691130 %=================================================131 % Contro lador e s t a b i l i z a n t e para132 % la p lan ta aumentada Gar133 %=================================================134

135 F = − S1\(Dar '*Car + Bar '*X) ;


136 L = (1 − gam^2)*eye ( s ize (X*Z) ) + X*Z ;137 Ka = Aar + Bar*F + gam^2* inv (L ' ) *Z*Car ' * ( Car + Dar*F) ;138 Kb = gam^2* inv (L ' ) *Z*Car ' ;139 Kc = Bar '*X; Kd = −Dar ' ;140

141 ssK = ss (Ka,Kb,Kc ,Kd) ;142 %=================================================143 % Contro lador f i n a l r e s u l t a n t e de Wr*K144 %=================================================145

146 ssKr = mul t ip l i c a c i on_s i s t emas (Ka,Kb,Kc ,Kd,Aw,Bw,Cw,Dw) ;147

148 % Rea l i zac ión en espac io de es tado de l con t ro l ador Kr149 Akr = ssKr . a ;150 Bkr = ssKr . b ;151 Ckr = ssKr . c ;152 Dkr = ssKr . d ;

El siguiente programa, realiza la multiplicación de los sistemas en el espacio de estado.Esta función está presente en la línea 69 y 154 del programa anterior.

1 %% Nombre d e l arch ivo : mu l t i p l i c ac i on_s i s t emas .m2

3 %% Mu l t i p l i c a c i ón de dos s i s t emas en su r e a l i z a c i ó n en espac io de es tado4 % In t roduc i r l a s r e s p e c t i v a s matr ices5 % de cada s i s tema dado en r e a l i z a c i ó n6 % en espac io de es tado G = G2*G17 % con f i gu rac i ón en cascada8 % −−−−−−−−−>G1−−−−>G2−−−−−−−−−>9 % G = G2G110

11 function [ s i s 1 ] = mul t ip l i c a c i on_s i s t emas (A1 ,B1 ,C1 ,D1 ,A2 ,B2 ,C2 ,D2)12 a1 = s ize (A1 ) ;13 a2 = s ize (A2 ) ;14

15 A = [A1 B1*C2 ;16 zeros ( a2 ( 1 ) , a1 ( 2 ) ) A2 ] ;17 B = [B1*D2 ; B2 ] ;18 C = [C1 D1*C2 ] ;19 D = [D1*D2 ] ;20

21 s i s 1 = s s (A, B, C, D) ;

Después de haber ejecutado el programa anterior, se puede ejecutar el siguiente programael cual muestra unas grácas que comparan la respuesta en frecuencia de la función delazo.


1 % Nombre d e l arch ivo : g r a f i c a s_va l o r e s_s ingu l a r e s . mat2

3 %% Valores s i n g u l a r e s de l a p l an ta4 % c l e a r a l l5 close a l l c lc6

7 %% Uso de l a func ion sigma de matlab8

9 wr = logspace (−3 , 100 , 1000 ) ;10 s i g s sGr = sigma ( ssGr , wr ) ;11 s i g s sGar = sigma ( ssGar , wr ) ;12 s igs sG = sigma ( ssG , wr ) ;13

14 %% Se g ra f i c an l o s co r r e spond i en t e s v a l o r e s15 % s in gu l a r e s en g r a f i c a s16 % independ i en t e s17

18 ha1= 20* log10 ( s i g s sGr ( 1 , : ) ) ;19 ha2 = 20* log10 ( s i g s sGr ( 2 , : ) ) ;20

21 g ra f1 = semilogx (wr , ha1 , ' r .− ' , ' l i n ew id th ' , 1 . 5 ) ; hold on ; grid ( ) ;22 g ra f2 = semilogx (wr , ha2 , ' r .− ' , ' l i n ew id th ' , 1 . 5 ) ;23

24 hb1 = 20* log10 ( s i g s sGar ( 1 , : ) ) ;25 hb2 = 20* log10 ( s i g s sGar ( 2 , : ) ) ;26

27 g ra f3 = semilogx (wr , hb1 , 'b−− ' , ' l i n ew id th ' , 1 . 5 ) ;28 g ra f4 = semilogx (wr , hb2 , 'b−− ' , ' l i n ew id th ' , 1 . 5 ) ;29

30 hc1 = 20* log10 ( s igs sG ( 1 , : ) ) ;31 hc2 = 20* log10 ( s igs sG ( 2 , : ) ) ;32

33 g ra f5 = semilogx (wr , hc1 , 'm' , ' l i n ew id th ' , 1 . 5 , ' MarkerSize ' , 1 ) ;34 g ra f6 = semilogx (wr , hc2 , 'm' , ' l i n ew id th ' , 1 . 5 , ' MarkerSize ' , 1 ) ;35

36 % Se agrupan para u t i l i z a r un so l o l egend por par :37

38 grupo1 = hggroup ;39 grupo2 = hggroup ;40 grupo3 = hggroup ;41

42 set ( gra f1 , ' Parent ' , grupo1 ) set ( gra f2 , ' Parent ' , grupo1 )43 set ( gra f3 , ' Parent ' , grupo2 ) set ( gra f4 , ' Parent ' , grupo2 )44 set ( gra f5 , ' Parent ' , grupo3 ) set ( gra f6 , ' Parent ' , grupo3 )45 %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−46

47 set (get (get ( grupo1 , ' Annotation ' ) , ' LegendInformation ' ) , . . .' I conDi sp laySty l e ' , ' on ' )



50 %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−


51

52 axis ([10^−3 10^4 −100 1 5 0 ] ) ;53 %% Nombre y e t i q u e r a s de l a s g r a f i c a s54

55 legend ( 'G_r ' , 'G_ar = G_ r W_ r ' , 'L_ r = K_ r G_ r ' )56 t i t l e ( ' Valores s i n g u l a r e s ' , ' FontSize ' , 1 2 ) ;57 xlabel ( ' Frecuenc ia ( rad/ sec ) ' , ' Units ' , ' p i x e l s ' , ' FontSize ' , 1 2 ) ;58 ylabel ( 'Magnitud (dB) ' , ' Units ' , ' p i x e l s ' , ' FontSize ' , 1 2 ) ;

C.4. Programa para la simulación del sistema con incertidumbre

En el siguiente programa, se desarrolla la simulación para visualizar el efecto que la incer-tidumbre paramétrica tiene sobre el sistema. Las grácas que muestran los resultados deeste programa son las Figuras 6.2.22, 6.2.23 y 6.2.24, que se encuentran en la Subsección6.2.1.4.

1 % Nombre d e l arch ivo : incert idumbre_parametr ica . mat2

3 %% l imp ia r e l e spac io de t r a ba j o en Matlab4 clc5 clear a l l6 close a l l7

8 % Nominal9 a=1;10

11 %% Se carga e l con t ro l ador robus to a l e spac io de t r a ba j o12 % en Matlab13

14 load Contro lador_volta jes_acotados . mat15

16 % se carga un s p r i p t con l o s parametros nominales d e l17 % rodamiento18

19 parametros_nominales20

21 % Se l l e v a a cabo l a s imulac ion s in incer t idumbre22 sim Glover_McFarlane123

24 % se g r a f i c a l a r e spue s t a nominal25 f igure (1 )26 plot ( t_1 ,10^3*X_1( : , 1 ) , 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a ) hold on27 f igure (2 )28 plot ( t_1 ,10^3*X_1( : , 3 ) , 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a ) hold on29 f igure (3 )30 plot ( t_1 ,10^3*X_1( : , 4 ) , 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a ) hold on

C.4 Programa para la simulación del sistema con incertidumbre 133

31 f igure (4 )32 plot ( t_1 ,V_1( : , 1 ) , 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a ) hold on33 f igure (5 )34 plot ( t_1 ,V_1( : , 2 ) , 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a ) hold on35

36 % ancho de l i n e a para l a s g r a f i c a s s i g u i e n t e s37 l i n e a = 2 ;38

39 %% Este es un s c r i p t de Matlab en donde se g ra f i c an l a s40 % f i g u r a s de l a r e spue s t a nominal d e l s i s tema41 % sin incer t idumbre42

43 f iguras_nominal44

45 % ancho de l í n e a para l a s g r á f i c a s s i g u i e n t e s46

47 A1 = [ −0.3 −0.3 −0.3 −0.2 0 .2 −0.1 0 .1 0 .2 0 .2 0 .3 0 . 3 ] ;48

49 for i =1:1 : length (A1)50 a_1 = A1( i ) ;51

52 parametros_inc i e r to s53

54 sim Glover_McFarlane155

56 %Se de f i n e e l ancho de l i n e a para l a s g r a f i c a s57

58 l i n e a = 1 . 2 ;59

60 f igure (1 )61 plot ( t_1 ,10^3*X_1( : , 1 ) , 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a ) hold on62 f igure (2 )63 plot ( t_1 ,10^3*X_1( : , 3 ) , 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a ) hold on64 f igure (3 )65 plot ( t_1 ,10^3*X_1( : , 4 ) , 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a ) hold on66 f igure (4 )67 plot ( t_1 ,V_1( : , 1 ) , 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a ) hold on68 f igure (5 )69 plot ( t_1 ,V_1( : , 2 ) , 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a ) hold on70

71

72 end73

74 % Maquetado de l a s f i g u r a s75 %Tamaño de l a fuen t e para l a s g r a f i c a s76 texto = 16 ;77

78 f igure (1 )79 set (gca , ' Fonts i z e ' , t exto ) grid ( ) ; xlabel ( ' tiempo [ seg ] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;80 ylabel ( ' Pos i c i ón x [mm] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;81 legend ( ' Nominal ' , ' Ante incert idumbre ' , ' l o c a t i o n ' , ' bes t ' )82 %ax i s ( [ 0 1 −.25 . 7 ] ) ;83 f igure (2 )


84 set (gca , ' Fonts i z e ' , t exto ) grid ( ) ; xlabel ( ' tiempo [ seg ] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;85 ylabel ( ' Cor r i ente i_1 [mA] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;86 legend ( ' Nominal ' , ' Ante incert idumbre ' , ' l o c a t i o n ' , ' bes t ' )87 f igure (3 )88 set (gca , ' Fonts i z e ' , t exto ) grid ( ) ; xlabel ( ' tiempo [ seg ] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;89 ylabel ( ' Cor r i ente i_2 [mA] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;90 legend ( ' Nominal ' , ' Ante incert idumbre ' , ' l o c a t i o n ' , ' bes t ' )91 f igure (4 )92 set (gca , ' Fonts i z e ' , t exto ) grid ( ) ;93 xlabel ( ' tiempo [ seg ] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;94 ylabel ( ' Vo l ta j e v_1 [ V ] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;95 legend ( ' Nominal ' , ' Ante incert idumbre ' , ' l o c a t i o n ' , ' bes t ' )96 f igure (5 )97 set (gca , ' Fonts i z e ' , t exto ) grid ( ) ;98 xlabel ( ' tiempo [ seg ] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;99 ylabel ( ' Vo l ta j e v_2 [ V ] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;100 legend ( ' Nominal ' , ' Ante incert idumbre ' , ' l o c a t i o n ' , ' bes t ' )

A continuación se muestra el script de Matlab que se utiliza en la línea 21 del programaanterior.

1 % Nombre d e l arch ivo parametros_nominales . mat2

3 %% Lis t a de parametros nominales4 m_r = 2 ;5 L01_r = 3e−4;6 L02_r = 3e−4;7 R1_r = 1*a ;8 R2_r = 1 ;9 I01 = 6e−2;10 I02 = 6e−2;11 g0 = 1e−3;12 Lc = 1.25 e−5;13 % k = 2*g0+Lc ;14 k1_r = 2*g0+Lc ;15 k2_r = 2*g0+Lc0 ;

Y el siguiente corresponde al script que se utiliza en la línea 46 del programa principal.

1 % Nombre d e l arch ivo parametros_inc ier tos .m2

3 %%Lis t a de parametros con incer t idumbre4 m = 2*(1 + (rand )*a_1 ) ;5 L01 = 3e−4*(1 + (rand )*a_1 ) ;6 L02 = 3e−4*(1 + (rand )*a_1 ) ;

C.5 Simulación para el caso de una perturbación 135

7 R1 = 1*(1 + (rand )*a_1 ) ;8 R2 = 1*(1 + (rand )*a_1 ) ;9 I01 = 6e−2;10 I02 = 6e−2;11 k1 = 2*g0+Lc*(1 + (rand )*a_1 ) ;12 k2 = 2*g0+Lc*(1 + (rand )*a_1 ) ;

El diagrama a bloques en Simulink que se utiliza para llevar a cabo esta simulación semuestra a continuación:

MATLABFunction

phi_r

Voltajes

U_1

To Workspace5

t_1

To Workspace4

V_1

To Workspace1X_1

To Workspace

rod_mag

Sistema

Senales de control

6e-2

R*I

PosicionVelocidad y

corrientes

6e-2

I0

In1Out1

Controlador Kr

Clock

In1

In2 Out1

Bloque Linealizante

Add3

Add2

Add1

Add

Figura C.4.1. Diagrama desarrollado en Simulink®.

C.5. Simulación para el caso de una perturbación

En el siguiente programa, se desarrolla la simulación para el caso de una falla la cual puedecaracterizarse como una perturbación. En este caso se trata de un cambio repentino en laposición del rotor.


1 % Nombre d e l arch ivo : po s i c i on .m2

3 % Limpia e l e spac io de t r a ba j o de matlab4 clc5 clear a l l6 close a l l7

8 % se carga e l con t ro l ador a l e spac io de9 % traba j o10 load Contro lador_volta jes_acotados . mat11

12 % es ta v a r i a b l e denota l a ampl i tud de l a per turbac ion13 a = 0.45 e−3;14

15 % se l l e v a a cabo l a s imulac ion que in c l u y e l a per turbac ion16 % la v a r i a b l e "a" i n f l u y e en l a s−f unc t i on de l modelo17 % de l rodamiento sim Glover_McFarlane1a18

19 % se guardan l o s datos de l a s imulac ion20 t_a = t_1 ;21 pos1_per ( : , 1 ) = 10^3*X_1( : , 1 ) ;22 i1_per ( : , 1 ) = 10^3*X_1( : , 3 ) ;23 i2_per ( : , 1 ) = 10^3*X_1( : , 4 ) ;24 v1_per ( : , 1 ) = V_1( : , 1 ) ;25 v2_per ( : , 1 ) = V_1( : , 2 ) ;26

27 % para l a s imulac ion s in per turbac ion28 % se hace a=0;29

30 % Simulacion Nominal31 sim Glover_McFarlane1a32

33 % guardando nuevamente l o s datos34 t_b = t_1 ;35 pos1_nom = 10^3*X_1( : , 1 ) ;36 i1_nom = 10^3*X_1( : , 3 ) ;37 i2_nom = 10^3*X_1( : , 4 ) ;38 v1_nom = V_1( : , 1 ) ;39 v2_nom = V_1( : , 2 ) ;40

41 %% Graf icas de r e s u l t a d o s42 % ancho de l i n e a43 l i n e a 1 = 2 . 4 ;44 l i n e a 2 = 2 . 4 ;45 texto = 16 ;46

47 % Maquetado t e x t o = 12;48

49 f igure (1 ) % pos i c i on50 plot ( t_a , pos1_per , 'm−− ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a 1 ) ; hold on51 plot ( t_b , pos1_nom , 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a 2 ) ;52 legend ( ' Bajo per turbac ión ' , ' Respuesta nominal ' , ' l o c a t i o n ' , ' bes t ' )53 set (gca , ' Fonts i z e ' , t exto )

C.5 Simulación para el caso de una perturbación 137

54 grid ( ) ; xlabel ( ' tiempo [ seg ] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;55 ylabel ( ' Pos i c i ón x [mm] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;56

57 f igure (2 ) % cor r i en t e 158 plot ( t_a , i1_per , 'm−− ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a 1 ) ; hold on59 plot ( t_b , i1_nom , 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a 2 ) ;60 legend ( ' Bajo per turbac ión ' , ' Respuesta nominal ' , ' l o c a t i o n ' , ' bes t ' )61 set (gca , ' Fonts i z e ' , t exto )62 grid ( ) ; xlabel ( ' tiempo [ seg ] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;63 ylabel ( ' Cor r i ente i_1 [mA] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;64

65 f igure (3 ) % cor r i en t e 266 plot ( t_a , i2_per , 'm−− ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a 1 ) ; hold on67 plot ( t_b , i2_nom , 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a 2 ) ;68 legend ( ' Bajo per turbac ión ' , ' Respuesta nominal ' , ' l o c a t i o n ' , ' bes t ' )69 set (gca , ' Fonts i z e ' , t exto )70 grid ( ) ;71 xlabel ( ' tiempo [ seg ] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;72 ylabel ( ' Cor r i ente i_2 [mA] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;73

74 f igure (4 ) % Vol ta j e175 plot ( t_a , v1_per , 'm−− ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a 1 ) ; hold on76 plot ( t_b , v1_nom, 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a 2 ) ;77 legend ( ' Bajo per turbac ión ' , ' Respuesta nominal ' , ' l o c a t i o n ' , ' bes t ' )78 set (gca , ' Fonts i z e ' , t exto )79 grid ( ) ;80 xlabel ( ' tiempo [ seg ] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;81 ylabel ( ' Vo l ta j e V_1 [V] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;82

83 f igure (5 ) % Vol ta j e284 plot ( t_a , v2_per , 'm−− ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a 1 ) ; hold on85 plot ( t_b , v2_nom, 'b ' , ' l i n ew id th ' , l i n e a 2 ) ;86 legend ( ' Bajo per turbac ión ' , ' Respuesta nominal ' , ' l o c a t i o n ' , ' bes t ' )87 set (gca , ' Fonts i z e ' , t exto )88 grid ( ) ;89 xlabel ( ' tiempo [ seg ] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;90 ylabel ( ' Vo l ta j e V_2 [V] ' , ' f o n t s i z e ' , t exto ) ;

tesis de maestrÍa en ciencias rigoberto vazquez diaz 2012.pdf5.3.5 con guración para la...

Documents