tesis clem

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRIDESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR.

Departamento de Física

POLARONES EN HETEROESTRUCTURASSEMICONDUCTORAS:

EFECTOS DE GEOMETRÍA Y TAMAÑO EN PUNTOSCUÁNTICOS.

PORClément Kanyinda-Malu Kabiena

Memoría presentada para optar al grado deDOCTOR EN CIENCIAS FÍSICAS

DIRECTORA: Dra. ROSA MARÍA De La CRUZFERNÁNDEZ

Universidad Carlos III de Madrid.

Leganés, 2003.

To My wife Maria S. Leocadia Bulakali Nyota KanyindaTo our children: Jean Michel Kanyinda Malu,Maria Goreti Kanyinda Dionge,Maria Judith Kanyinda Nyotaand Joseph Arthur Kanyinda Ngalamulume,you deserve better.

Índice

Índice i

Notas ix

Resumen xiii

Summary xv

Agradecimientos xvii

Glosario de Acrónimos xix

1. Introducción 11.1. Crecimiento por epitaxia de puntos cuánticos . . . . . . . . . . . 21.2. Los fonones en puntos cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Antecedentes y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Interacción Electrón-Fonón: Conceptos básicos 112.1. Fonones ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Ecuación de movimiento y los modos propios de fo-nones ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2. Aplicación del modelo DC en las heteroestructuras . 132.1.3. Modelo DC: tensiones y aleaciones . . . . . . . . . . 14

2.2. El Hamiltoniano de Fröhlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1. Método perturbativo y auto-energía del polarón . . 222.2.2. Los métodos variacionales y auto-energía del polarón 23

2.3. Polarón y propiedades ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Fonones de intercara en puntos cuánticos 293.1. Modos de vibración en puntos cuánticos esféricos . . . . . . . . 303.2. Modos de vibración en puntos cuánticos cilíndricos . . . . . . . 363.3. Modos de intercara en puntos cuánticos cónicos . . . . . . . . . 42

3.3.1. Modos BSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.2. Modos SSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4. Comparación entre las tres geometrías . . . . . . . . . . . . . . 533.5. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

i

ii CONTENTS

4. Niveles de energía en puntos cuánticos 634.1. Niveles de energía en puntos cuánticos esféricos . . . . . . . . . 63

4.1.1. Niveles de energía en la aproximación del potencialinfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.2. Niveles de energía en la aproximación del potencialfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.3. Niveles de energía en la aproximación del potencialparabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2. Niveles de energía en puntos cuánticos cilíndricos . . . . . . . . 734.2.1. Niveles de energía en la aproximación del potencial

infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.2.2. Niveles de energía en la aproximación del potencial

finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.2.3. Niveles de energía en la aproximación de potencial

parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3. Niveles de energía en puntos cuánticos cónicos truncados . . . . 81

4.3.1. Modelización teórica del punto cuántico cónico enaproximación de potencial infinito . . . . . . . . . . 81

4.3.2. Solución numérica y aplicaciones . . . . . . . . . . . 844.4. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5. Polarones en puntos cuánticos 935.1. Polarones en puntos cuánticos esféricos . . . . . . . . . . . . . . 94

5.1.1. Hamiltoniano de interacción electrón-fonón . . . . . 945.2. Polarón en puntos cuánticos cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2.1. Hamiltoniano de interacción electrón-fonón . . . . . 1105.3. Polarón en puntos cuánticos cónicos . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.3.1. Hamiltoniano de Fröhlich para los fonones confinados 1265.4. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6. Conclusiones y perspectivas 135

A. Modos gap y local en los cristales mixtos 141A.1. Modos gap y local para los fonones transversales (TO) . . . . . 142A.2. Modos gap y local para los fonones longitudinales (LO) . . . . . 142

B. Auto-energía y masa efectiva del polarón 145B.1. Auto-energía y masa efectiva en la teoría de perturbación . . . . 145B.2. Auto-energía y masa efectiva en el modelo LLP . . . . . . . . . 146

C. El funcional de energía en estructuras con forma arbitraria 151C.1. Cono truncado en la aproximación del potencial infinito . . . . . 152

D. Algunos datos importantes de semiconductores III-V y II-VI. 153

E. Ortogonalidad de la función Tl(x) 155

Bibliografía 157

Clément Kanyinda-Malu Polarones en Heteroestructuras Semiconductoras

CONTENTS iii

Publicaciones y Ponencias en Congresos 161


iv CONTENTS


Índice de figuras

1.1. Evolución de la densidad de estados en función de confinamiento ... 21.2. Energía del gap frente al parámetro de red ... . . . . . . . . . . . . 31.3. Foto AFM en 3D de puntos cuánticos InAs/GaAs ... . . . . . . . 41.4. Foto AFM en 2D de puntos cuánticos InAs/GaAs ... . . . . . . . 5

2.1. Dependencia de los fonones ópticos con la composición ... . . . . . 19

3.1. Dependencía de las frecuencias de intercara con l número . . . . . 313.2. Dependencia de las frecuencias de los fonones confinados con el

radio en los puntos cuánticos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3. Dependencia de las frecuencias de fonones de intercara con el radio

en los puntos cuánticos esféricos de GaAs/AlAs . . . . . . . . . . 353.4. El esquema del punto cuántico cilíndrico y definición de los pará-

metros utilizados en los cálculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5. Dependencia de las frecuencias de fonones de superficie con el radio

en puntos cuánticos cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6. Dependencia de las frecuencias de intercara TSO con el radio en

puntos cuánticos cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.7. Dependencia de las frecuencias de fonones SSO con el radio del

cilindro en puntos cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.8. Dependencia de las frecuencias de fonones TSO y SSO con el radio

del cilindro en puntos cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.9. El cono, el cono truncado y el sistema de coordenadas utilizado:

R1 y R2 representan los radios de la base superior e inferior res-pectivamente, h es la altura total del cono, mientras h0 representala altura de la base superior a la base inferior del cono truncado. Elsemi-ángulo polar está definido con respecto al eje polar del conotruncado cuyo origen coincide con el ápex del cono. . . . . . . . . 43

3.10. Dependencia de frecuencias de intercara con la altura en puntoscuánticos de InAs/InP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.11. Dependencia de frecuencias de intercara con la altura en puntoscuánticos de InAs/GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.12. Dependencia de las frecuencias de intercara con ηθ . . . . . . . . . 513.13. Dependencia de las frecuencias de intercara con el ángulo polar en

puntos cuánticos de InAs/InP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.14. Dependencia de las frecuencias de intercara con el ángulo polar en

puntos cuánticos de InAs/InP con simetría cónica para r=0.5 . . 543.15. Dependencia de la relación de dispersión de fonones TSO con el

radio del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

v

vi Índice de figuras

3.16. Dependencia de la relación de dispersión de fonones SSO con elradio del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.17. Relación de dispersión de fonones de intercara en función de laaltura en puntos cuánticos cónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.18. Relación de dispersión para los ángulos arbitrarios . . . . . . . . . 58

4.1. Diagrama de modelización de propiedades electrónicas y ópticas enpuntos cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2. Dependencia de la energía de confinamiento con el radio en puntoscuánticos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3. Dependencia de la energía de confinamiento con el radio para (a)electrones y (b) huecos en la aproximación de potencial finito . . . 68

4.4. Parámetros adimensionales α en función de ν para puntos cuánti-cos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.5. Dependencia de los cuatro primeros niveles excitados con el radioen puntos cuánticos esféricos en aproximación de potencial finito . 71

4.6. Niveles de energía en puntos cuánticos esféricos en la aproximaciónde potencial parabólico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.7. Dependencia de los cuatro primeros niveles de energía de confina-miento con el radio para electrones en la aproximación de potencialinfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.8. Dependencia de la energía del estado fundamental con el radio enpuntos cuánticos cilíndricos de InAs/GaAs en la aproximación depotencial finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.9. Dependencia de la energía de los niveles excitados con el radio enpuntos cuánticos cilíndricos de InAs/GaAs en la aproximación depotencial finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.10. El esquema del cono truncado y los parámetros en el modelo . . . 824.11. Dependencia de la energía de confinamiento con el radio para las

cuatro primeras sub-bandas y para s=1 en puntos cuánticos cónicos 854.12. Dependencia con el radio de la energía de confinamiento en puntos

cuánticos cónicos truncados de InAs en la aproximación de poten-cial infinito: solución exacta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1. Dependencia de la energía del polarón con el radio en puntos cuán-ticos esféricos de (a) ZnSe, (b) GaAs,y (c) InAs: aproximación delpotencial infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2. Dependencia de la energía del polarón con el radio en puntos cuán-ticos esféricos de InAs/GaAs en la aproximación del potencial finito109

5.3. Dependencia con el radio de las distintas contribuciones de los fo-nones a la auto-energía del polarón en puntos cuánticos cilíndricosde InAs/GaAs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.4. Dependencia con el radio de las distintas contribuciones de los fo-nones a la auto-energía del polarón en puntos cuánticos cilíndricosde InAs/InP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.5. Dependencia con el radio de las distintas contribuciones de los fo-nones a la auto-energía del polarón en puntos cuánticos cilíndricosde ZnSe/CdSe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129


Índice de figuras vii

5.6. Dependencia con el radio de las contribuciones de los fonones TSOy SSO a la auto-energía del polarón en puntos cuánticos cilíndricosde InAs/GaAs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.7. Dependencia de la contribución de los fonones LO a la auto-energíadel polarón con la altura en puntos cuánticos cónicos InAs. . . . . 131


viii Índice de figuras


Índice de tablas

2.1. Datos de algunos semiconductores III-V . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1. Frecuencias de fonones de intercara (ωIF) en puntos cuánticos es-féricos en el formalismo DC clásico. El parámetro l es un buennúmero cuántico y los valores de ωIF se expresan en cm−1. . . . . 31

D.1. Parámetros utilizados en cálculos de polarón: la constante de Fröh-lich ha sido calculada asumiendo que la banda es parabólica y lasmasas efectivas se expresan en unidades de la masa del electrón. . 153

ix

x Índice de tablas


Nota sobre términos yconvenios

La evolución de la nanociencia ha supuesto una modificación tremenda en losconceptos básicos de la Física moderna, acompañada de una cada vez más fuerteintroducción de terminologías nuevas. Aunque el esfuerzo de adaptar los distintostérminos a los distintos idiomas ha sido importante, existe todavía muchos con-ceptos que pierden su significado cuando se pasa de un idioma a otro. Además, enalgunos idiomas, existe todavía una divergencia en las distintas traducciones. Comoejemplo, el término "‘gap"’ se traduce indistintamente por "‘anchura de banda pro-hibida"’, banda prohibida, brecha o zanja, siendo algunas traducciones agradablesal oido, pero susceptibles de introducir confusiones cuanto a la fenomenología quelo acompaña. Lo mismo ocurre con algunas técnicas utilizadas en el crecimiento denanoestructuras. El ejemplo más evidente es el de MBE (molecular beam epitaxy)que es traducido de diferentes maneras.

Ante la dificultad de encontrar los términos equivalentes, sin por ello desna-turalizar el fondo de los significados físicos, en este trabajo hemos adoptado demantener lo mínimo posible los términos ingleses, cuando no es posible traducir conexactitud el concepto en español. Para ello, se ha procurado, en la medida de lo posi-ble, evitar introducir el anglicismo, manteniendo pequeñas y oportunas concesiones.Por ejemplo, hemos preferido el término "dot" al genérico punto cuántico para re-ferirnos al material confinado, ya que el término español contiene tanto el materialque sufre el confinamiento como el substrato sobre el cual se crece. También, preferi-mos la expresión "‘modos barrera"’ para referirnos a los modos fonónicos asociadoscon el material anfitrión en contraposición de los "‘modos dot"’ asociados con elmaterial confinado. El término "Interface"se ha traducido por "intercara", preferi-ble a "interfase"que se presta más bien a las aplicaciones informáticas. Incluso seha utilizado indistintamente algunos términos ingleses y españoles para no dar laimpresión de desprecio de un idioma respecto a otro.

Respecto a los acrónimos, se han empleado los ingleses por su brevedad ysu claridad, y cuando no se prestan a confusión, utilizamos también los españoles.Para más claridad, hemos recogido en una lista los distintos acrónimos, para paliarla perplejidad al lector no avisado.

Para evitar la confusión en las dimensiones de puntos cuánticos, empleamosel símbolo R para referirnos al radio de la esfera, mientras que en casos de puntoscuánticos cilíndricos y cónicos, nos inclinamos por R0. Aunque en muchos traba-jos, los términos "‘geometrías"’ ó "‘formas"’ se emplean también cuando se quieredescribir un tipo específico de potencial, en nuestro caso, preferimos el término "‘ti-po"’ para el potencial y así reservar los dos términos "‘geometrías"’ o formas a losaspectos puramente geométricos de los puntos cuánticos.

xi

xii Términos y Convenios

Finalmente, hemos de advertir a los lectores que, en este trabajo tratamosel confinamiento espacial. Existe otro tipo de confinamiento, como puede ser elobtenido por los campos eléctricos aplicados en una región nanodimensional que sesuele utilizar para estudiar las propiedades de transporte en nanocristales.

Por último, debido a las obligadas referencias a muchos trabajos anteriores,hemos adoptado terminar cada capítulo con una lista de referencias, para despuésresumir en una sola lista al final del trabajo todas las referencias empleadas en elmismo.

Resumen

Los puntos cuánticos son las heteroestructuras en las que los portadores decarga se encuentran confinados en tres dimensiones. Su descubrimiento ha abier-to camino a una intensa y fructífera investigación debido a las posibilidades queellos ofrecen tanto en las ciencias fundamentales como en el diseño de nuevos dis-positivos. Conceptualmente, los puntos cuánticos son similares a átomos artificialescontenidos en substratos semiconductores o aislantes, conteniendo un número deelectrones que pueden variar a voluntad. Como en los átomos reales, los electronesen puntos cuánticos están sometidos a potenciales creados por el band-offset ó porcampos externos aplicados. Las características físicas de puntos cuánticos difierenconsiderablemente de las de los átomos reales. Por ejemplo, como los puntos cuánti-cos son más grandes que los átomos reales, la separación espacial entre electrones esmucho mayor, y la energía de Coulomb procedente de la repulsión entre electronesdecrece. Consecuentemente, muchas propiedades físicas de puntos cuánticos varíacontinuamente con el cambio de tamaños y de formas en los puntos cuánticos.

El interés de nuestro trabajo responde al deseo de resaltar el papel de lageometría y de dimensiones de los puntos cuánticos en las propiedades ópticas. Porello, nos centramos en la interacción electrón-fonón, que de un cierto modo afectaa las propiedades ópticas. En este trabajo se ha podido demostrar que los modosfonónicos son sensibles a los cambios de geometría de puntos cuánticos. Para ello,consideramos una heteroestructura como un medio dieléctrico continuo, en el cuallos movimientos de los átomos vienen descritos por dos fuerzas importantes: la fuerzamecánica, que describe los movimientos a corta distancia de vibración entre los ionesconstituyentes del sistema, y una fuerza electrostática que actúa a larga distanciay representa el efecto de la polarización inducida por el movimiento de cargas.Mediante las muy conocidas ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones de movimientode Born-Huang, el cálculo de los fonones de intercara se reduce a la resolución de laecuación de LAPLACE aplicándose las condiciones de contorno electromagnéticasen las intercaras. Los resultados de este trabajo demuestran que tanto el número demodos de intercara, como la dependencia de los mismos con el tamaño de puntoscuánticos dependen fuertemente de la geometría del sistema. Por ejemplo, hemosobtenido que los modos de fonones de intercara son insensibles al tamaño del puntocuántico en una geometría esférica, mientras que en las cilindrícas y las cónicas, losfonones de intercara cambian con las dimensiones de puntos cuánticos. Además, paraestas dos últimas geometrías, se observa dos tipos diferentes de modos de intercara:los modos TSO (o BSO), referidos a las bases del cilindro (cono) y los modos SSO,correspondientes a la superficie lateral del cilindro. En los puntos cuánticos cónicos,observamos que los modos SSO cambian bruscamente, yéndose de valores cercanosal material dot hacia los valores de frecuencias propias de la barrera para valoresespecíficos del ángulo del cono. Atribuimos este fenómeno a una posible localización

xiii

xiv Resumen

en las zonas de mayor curvatura del cono.Una vez calculadas las frecuencias de intercara, hemos determinado los niveles

de energía para tres geometrías distintas: esférica, cilíndrica y cónica, mediante elformalismo de la aproximación de masas efectivas. Asimismo, hemos calculado paralas mismas geometrías los niveles excitados en las distintas geometrías tanto enla aproximación de potencial infinito como en la aproximación de potencial finito.Además se ha demostrado que la aproximación de potencial infinito sobre-estima losvalores de la energía de confinamiento. También, se ha demostrado que la geometríadel dot afecta los valores de energías de confinamiento, siendo éstas más realistas engeometrías cilíndricas y cónicas. Hemos deducido una expresión analítica que puedaayudar a determinar con gran facilidad los valores de energía de confinamiento depuntos cuánticos, llegándose a demostrar que para el potential finito, el número deestados confinados está limitado por la profundidad del potential de confinamiento ypor el tamaño del sistema. Estas expresiones son aplicables a los tres tipos conocidosde confinamiento: unidimensional, bidimensional y tridimensional. Sin embargo, enel caso de la geometría cónica, la aplicación de la técnica variacional a la desviaciónde las geometrías regulares, da lugar a un potencial topológico, cuyas solucionesoriginan nuevas características. Para enfatizar sobre este efecto, analizamos estepotencial efectivo en desarrollo de serie de potencia, y comparamos estos resultadoscon los de la solución exacta del potencial inverso al cuadrado. Ambos métodos, danlugar a resultados similares para valores fijos de la altura y del ángulo al apex. Alcontrario de lo que se observa en la geometría cilíndrica, las energías de los electronsconfinados aumentan con la altura análogamente al efecto que produce un campoeléctrico aplicado en un pozo cuántico.

El formalismo de dieléctrico continuo permite dar cuenta de las energías delpolarón, una partícula que da cuenta de la interacción del electrón con una nube defonones. En efecto, siguiendo el formalismo de Fröhlich, hemos calculado para lastres geometrías, la contribución a la energía de la interacción electrón-fonón, tantoen el caso de aproximación de potencial infinito como en el caso de la aproximaciónde potencial finito. Se ha tenido en cuenta la contribución de todos los fonones deintercara en puntos cuánticos cilíndricos y esféricos. Se ha observado que la energíadel polarón depende del tamaño, siendo muy significativa para tamaños pequeños.Al mismo tiempo, observamos que la contribución de los fonones de intercara es másdébil en puntos cuánticos esféricos que en los cilíndricos. De hecho, en la geometríaesférica, la polarización electrostática puede cancelarse, dejando a los fonones bulkcomo fuentes importantes de la energía del polarón. En los puntos cuánticos cilín-dricos, encontramos para algunos casos investigados III-V, como InAs/GaAs que lacontribución de los fonones de intercara al polarón es más pequeña que en los II-VI.Sin embargo, para GaAs/AlAs, la energía de polarón presenta características simi-lares a las de ZnSe/CdSe. Atribuimos este hecho a las diferencias de gap dieléctricosy electrónicos en las heteroestructuras. Por tanto, aunque el tamaño sea importantepara algunas geometrías, cuando se tiene en cuenta los fonones IF, la composiciónde la heteroestructura puede conducir a diferentes comportamientos. En los puntoscuánticos cónicos, restringimos los resultados a la contribución de los fonones bulk.Al contrario de lo que se ve en la energías de confinamiento, no se observa ningúncambio en la energía de polarón al cambiar el ángulo. Esto nos conduce a postularque la correlación entre los movimientos tanto en el plano xy, como con la direcciónz se compensan. Por ello, concluimos que es díficil observar un efecto especial en elpolarón para este tipo de geometría.

Summary

Quantum dots are semiconductor heterostructures in which the charge carriersare confined in three spacial directions. Its discovery has open a very large andfruitfull field of investigations, both in theory as in design of new opto-electronicaldevices. Conceptually, QDs are similar to artificial atoms contained in semiconduc-tor or insulator substrates, holding a number of electrons that may varied at will.As in real atoms, electrons in QDs are trapped by potential wells created either byconduction band-offsets or externally applied fields. The physical characteristics ofQDs differ considerable from that of natural atoms. For example, as QDs are muchlarge than real atoms, the average spacing between electrons is much bigger andthe Coulomb energy arising from the repulsion between electrons decreases. Con-sequently, many physical properties of QDs scale with continuously changing sizesand shapes in quantum dots.

The aim of this work consists in analyzing the role of the sizes and geome-try of quantum dots, basically with respect to their effect on optical applications.For this, we base all our work on the electron-phonon interaction, which in somesense affects optical properties of semiconductors. The results of this work havedemonstrated that phonon modes are very sensitive to changes in the geometry ofthe quantum dots. To perform this work, semiconductor heterostructures are con-sidered as continuum media where, the motion of their atoms are governed by twoimportant forces: the mechanical coupling, which acts at short distance leading tothe vibration of ions of the system, and the long-range electrostatic force inducedby the polarization of the medium by the charge carriers. Using the well know Max-well equations and the Born-Huang equations of motion, the calculation of interfacephonon modes reduces to the solution of LAPLACE equation using the standardelectromagnetic boundary conditions. Our results show that both the number of op-tical interface modes and their behaviour with respect to the quantum dot sizes arestrongly dependent on the geometry of the system. For example, we observed that,in spherical quantum dots, only two interface (IF) phonon modes can be observedand those are size-independent. While, in the cylindrical and conical geometry, wedistinguish two IF modes: the top-surface optical (TSO) modes and side-surfaceoptical (SSO) phonons, both with a distinct size dependence, accordingly. In theconical shaped quantum dots, surface-side optical modes are seen to switch fromdot-like to barrier-like and vice-versa at specific values of the angle at the apex. Weassociate this behaviour to the phonon localization in the zones of strong curvatureof the cone.

After we obtain the IF modes, we calculate the electronic structures of theabove-mentionned quantum dots, using the effective mass approximation. Both,the fundamental state as well as the excited levels are investigated using the infiniteand finite confinement potential approximations. It is clearly demonstrated that, in

xv

xvi Summary

all investigated geometries, the infinite potential approximation over-estimates theelectronic energies of the dot. Also, the geometry of the dot affects the values ofconfinement energies, being realistic the cylindrical and conical shapes. To help infuture applications, we set-up analytic expressions in order to derive the confinementenergies of quantum dots, provided the size and geometry of the dot. These analyticexpressions have demonstrated that the size and geometry of the dot differentlylimited the number of energy levels in the heterostructure. Those expressions areapplicable to the three-dimensional confinement as well as to the one and two-dimensional confinement. However, in the case of conical dots, the application ofthe variation-perturbation technique to the deviation from regular geometry givesrise to a topological potential, whose solutions entailed new features. To emphasizeon this effect, we analyze this effective-like potential in power-law expansion andcompare our results with the exact solution of the inverse-square-like potential. Bothmethods present similar behaviour for fixed values of the height and the angle atthe apex of the cone. In contrast to the cylindrical geometry, the electron confinedenergies are seen to increase with the height, similarly to the effect of the appliedelectric field on a 1D quantum well.

The dielectric continuum model was also used to investigate the electron-phonon interaction contribution to the electronic energy of the quantum dots. Usingthe Fröhlich formalism, we calculate the polaron energy for both spherical, cylindri-cal and conical geometries, through the infinite and finite potential approximations.The contribution of all the interface phonons was taken into account in spehericaland cylindrical dots. Accordingly, the polaron energy is size dependent and is veryrelevant for small size quantum dots. At the same time, we observe that interfacephonons contribution is weaker in spherical dots than it is in cylindrical quantumdots. In fact, in spherical geometry, the electrostatic polarization can cancel, leavingbulk-like phonons as important source of electron-phonon interaction to the polaronenergy. In cylindrical dots, we found that for some investigated III-V dots, like In-As/GaAs, the IF contribution to the polaron is smaller than it is in the II-VI ones.However, for GaAs/AlAs (III-V), the polaron energy presents similar charcteristicswith the ZnSe/CdSe (II-VI). We attribute this feature to the different dielectric andelectronic gaps in the heterostructures. We claim that, even the size is important,for some geometries, when the IF phonons are invloved, the material compositionof the heteroestructures can lead to different behaviour. In the conical quantumdots, we restrict our results to the bulk-like phonon contribution. In contrast tothe confinement energy, the polaron correction does not change with the change ofthe angle. This leads us to postulate that the inter-dependent correlation betweenthe in-plane and z-like motions cancel each other, so that no special effect can beobserved.

Acknowledgements

I would like to thank Rosa Maria de la Cruz, my supervisor, for her manysuggestions and constant support during this research. She believed on me andgives me all support I needed. I am thankful to Prof. Roberto Gonzalez, RamiroPareja and Luis García, former and actual directors of Department who accept mein this kind and compact group where I fill at home since the first day.

Professor C.I. Ballesteros expressed her interest in my work and supplied mewith some preprints and books of experimental works and does not hesitate todiscuss practical aspects of my work. Many questions I face during interminableweek-ends with Miguel M. Tardio help me to improve my skill in experimentalinterests in quantum dots.

I had the pleasure of meeting the AECI staff. They are wonderful people andtheir support makes research like this possible. The Agencia Española de Coopera-ción internacional Scholarship, which was awarded to me for the period 1996–2000,was crucial to the successful completion of this project. I do not forget the last effortby Fundación Carlos III who granted me for a two-months stay in Pavia (Italy) andfor the special financial support in the last six months of writing.

Of course, I am grateful to my family for her patience and love. Even farfrom my daily pain, they do not forget to send me lovely words which sustain myfaith and help me to stand away during cold winters and extremely hot summers ofMadrid.

Mam! Where you are, your words sound like today "Son, use your head tolearn,... and don’t forget to share whatever you can with others".

Dad! "A man has never to abandon what he lovely started till his body canpermit him. Responsibility and duties: don’t forget that, you said".

I would like to lovely thank my office-mates: Dr. M.A. Monge, Dra. B. Savoini,Dr. A. Muñoz, ... for special moments of jocks, loughts and talks. To Prof. I. Colera,for your support, many thanks. To all the "‘peña"’ of the Department of Physics,my feathful thanks!

I wish to thank all the etc..., those who believed on me and those who not. Inthe struggle to make me useful, I learn a lot. Finally I wish to thank the followings:Prof. Dr. Charles Dauwe (my maestro. He initiates me in the art of thinking andinvestigating in Physics of Positron), Prof. Dr. Jean-Pierre Mbungu ("today Physicsneeds fresh blood and ideas": thank you for our hot discussions late in the nightround "‘ un bon pot de SKOL.after "‘annihilating some "‘POSITRONS"’); Prof. Dr.Philipe Badibanga Mudibu (for introducing me in Quantum field theory); GeorginaAlberti (even if she is not Physicist, she wonders why people has to do so complicatedtheory, Thanks!); to my uncle Trudon Tshibuabua (I need a prof. in our family, yousaid), Z. Kasuku (Pili-pili), J.P. Bekambo (my friend), Dr. Etienne Triaille, s.j.(special thanks for your help toward my family).

xvii

xviii Acknowledgements

All members of IMCI (International Movement of Catholic Intellectuals), spe-cial thanks. Last but not the least! To all my former students: Ing. Blaise Kanga,Dr. Claude Mvuama, Dr. Albert Kazadi, Dr. Charle Mutamba ... stand up andcontinue to believe in Science. To Silvia N. Santalla, Quantum Dots really exist! ...

Leganés, Madrid Clement Kanyinda-MaluSeptember 2003.

Glosario de acrónimos

AFM Atomic Force Microscopy Miscrocopía de fuerzas átomicasALMBE Atomic layer MBE Epitaxia por haces moleculares de capas

atómicasBIE Boundary Integral Equation Ecuación integral de contornoBSO Base Side Optical phonons Modos de fonones relativos a las basesDC Dielectric continuum Modelo de dieléctric continuo.EMA Effective Mass Approximation Aproximación de masa efectivaFEMA Finite Effective Mass Approximation Approximación de masa efectiva

para un potencial finito.HH Heavy hole Hueco pesadoIEMA Infinite Effective Mass Approximation Approximación de masa

efectiva para potencial infinito.IF Interface Frequency Frecuencia de intercaraISP Inverse Square Potencial Potencial que varía con el inverso

de la distancia al cuadradoLH Light hole Hueco ligeroLLP Low-Lee-Pines Método variacional de Low, Lee y PinesLO Longitudinal Optical Frequency Frecuencia óptica longitudinalMBE Molecular Beam Epitaxy Epitaxia por haces molecularesMOCVD Metal Organic Chemical Vapor Deposition Deposición química en fase vapor a partir

de descomposición de compuestosorganometálicos

MREI Modified Random Element IsodisplacementPL Photoluminescence FotoluminiscenciaRSPT Rayleigh-Second Perturbation TheorySK Stranski-Krastanov Crecimiento por Stranski-KrastanovSSO Surface Side Optical phonon modes Modos de fonones para

superficie lateralSO Surface Optical phonons Fonones de superficieTO Transversal Optical Frequency Frecuencia óptica transversalTSO Top Surface Optical phonon modes Fonones Ópticos en las basesVW Volmer-Weber Crecimiento por método de Volmer-WeberVFFM Valence Force Field Model

xix

xx Acknowledgements


Capítulo 1

Introducción

Las heteroestructuras semiconductoras de baja dimensionalidad han sido ob-jeto de estudio y desarrollo durante las últimas décadas [1–6]. El éxito conseguidocon las estructuras bidimensionales como pozos cuánticos (quantum wells: QW’s)y superredes (superlattices), ha servido de estímulo para reducir la dimensionali-dad de los sistemas semiconductores. Desde entonces, sistemas monodimensionales,hilos cuánticos (quantum wires: QWI’s), y sistemas de dimensión cero, puntoscuánticos (quantum dots: QD’s) están siendo producidos a nivel de laboratorio.

El crecimiento por epitaxia de capas altamente tensadas ha crecido en interésúltimamente, debido a la posibilidad de obtener islas de puntos cuánticos con unadistribución bastante homogénea de tamaños (del orden de 5 a 50 nm). Aunque esposible crecer puntos cuánticos a partir de diferentes materiales, la utilización desemiconductores presenta una gran ventaja por el hecho de que pueden incorporarsea la tecnología ya conocida del silicio. En la práctica, para confinar los portadoresde carga, se usan los materiales de menor gap que se entierran en otros de mayorgap. Debido a esto, los puntos cuánticos de semiconductor son en la actualidadlos mejores candidatos para el confinamiento electrónico en todas las direccionesespaciales. Este confinamiento de los portadores de carga permite obtener estadosligados discretos, cuyo espectro de energía es similar al de un átomo. De ahí, que unpunto cuántico se comporte como un pseudo-átomo, donde la densidad de estadosconsiste en funciones δ. En la figura 1.1 se muestra la evolución de la densidad deestados a medida que aumenta el confinamiento. Como en el caso de átomos reales,el carácter discreto de los niveles de energía proporciona fuertes restricciones en lastransiciones posibles entre los niveles. De este modo, la vida de los portadores decarga en un nivel excitado se ve limitada por la probabilidad de transición radiativa.

Desde un punto de vista histórico, la idea de punto cuántico data de los añosochenta y está basada en los espectros ópticos obtenidos por Ekimov y colaborado-res [7]. Estos autores propusieron que el calentamiento de muestras de vidrio conimpurezas de CdS y CdSe provocaba la formación de precipitados de pequeños na-nocristales de CdS y CdSe, en los que se confinan los electrones dando lugar a uncomportamiento inusual en los espectros ópticos del vidrio. El concepto de puntocuántico tal y como se conoce en la actualidad se debe a Arakawa y Sakaki [8],quienes demostraron que no existe ensanchamiento con la temperatura de un láserbasado en un confinamiento en 3D.

Dos tipos de materiales (InAs y GaAs) han presentado un interés particular enel crecimiento de puntos cuánticos, debido principalmente a dos razones. Primero, seha demostrado recientemente que las monocapas de InAs crecidas sobre un substratode GaAs y cubiertas con GaAs se desarrollan en estructuras tridimensionales con

1

2 Capítulo 1. Introducción

Densidad de estados

Tipo de Confinamiento

3D 2D1D 0D

Figura 1.1. La evolución de la densidad de estados a medida que aumentael confinamiento. La notación nD corresponde a las dimensiones en que los porta-dores están libres: 3D para el material volúmico, 2D para el pozo cuántico, 1D parael hilo cuántico y 0D para el punto cuántico.

menos defectos. Segundo, estas estructuras presentan picos de luminiscencia másestrechos [9, 10], lo que significa que la distribución de tamaños de islas es bastantehomogénea. Además, en las medidas de fotoluminiscencia de los puntos cuánticosno se ha observado un ensanchamiento de la señal de emisión con la temperatura,cuando los portadores son excitados térmicamente [11]. Un mayor recubrimientode capas altamente tensadas origina la formación de estructuras auto-organizadasen forma de conos o pirámides, que dan lugar a numerosas aplicaciones. Estasaplicaciones cubren un abanico muy amplio. Desde los láseres de punto cuántico ylas celdas fotovoltaícas hasta los dispositivos más complicados como los transistoresy las memorias ópticas, los puntos cuánticos siguen revolucionando tanto la físicafundamental como la física aplicada.

Para fijar las ideas sobre los puntos cuánticos, presentamos muy brevementealgunos modos de fabricación.

1.1. Crecimiento por epitaxia de puntos cuánticosEn el crecimiento de puntos cuánticos por epitaxia, podemos distinguir dos

procesos

i) el crecimiento epitaxial de una estructura bidimensional (pozo cuántico)seguido de ataques químicos (etching) sucesivos hasta reducir las tres dimen-siones y así conseguir un punto cuántico,

ii) el crecimiento por epitaxia aprovechando la auto-organizabilidad y la for-mación de islas una vez depositadas las primeras monocapas.


1.1 Crecimiento por epitaxia de puntos cuánticos 3

Durante el etching, se recubre el pozo cuántico de material resistivo (material "‘re-sist"’ ) sensible a los electrones, luego el pozo cuántico se expone a un haz de elec-trones o de iones. La exposición modifica la estructura química y la solubilidaddel material "‘resist"’. El conjunto se somete a unos procesos de secado y recortehaciéndose máscaras en el resist. Con este procedimiento se pueden obtener subes-tructuras del orden de 25 a 100 nm. El proceso puede repetirse si se quiere enterrarun semiconductor bajo otro, de modo que el potencial de confinamiento de los por-tadores de carga provenga de la diferencia de energía entre las bandas de conducciónde los dos materiales. Como se puede imaginar, estos recortes producen daños enlas superficies laterales del punto cuántico, lo que limita su rendimiento de cara alas aplicaciones tecnológicas. De hecho, los daños y defectos introducidos duranteel proceso de etching dominan las propiedades ópticas en las dimensiones de interés[3,4]. Ejemplos de puntos cuánticos obtenidos por "‘etching"’ han sido citados enla literatura tanto para los semiconductores de tipo III-V1 como para los de tipoII-VI [12–15].

En el crecimiento auto-organizado, la formación de puntos cuánticos se debea una transición de una estructura bidimensional (wetting layer) a una estructuratridimensional [modelo de Stranski-Krastanov (SK)] o a una nucleación directa enislas al comienzo del proceso de crecimiento y a medida que avanza la deposición[modelo de Volmer-Weber(VW)]. El crecimiento predominante será de tipo SK oVW dependiendo de la magnitud del desajuste de los parámetros de red entre elsubstrato y el material que se quiere crecer (lattice mismatch), así como de la rugo-sidad del substrato y de su temperatura, de las constantes elásticas de los materialesutilizados y de la energía superficial de la forma del nanocristal obtenido [16].

Figura 1.2. Energía del gap frente al parámetro de red para Ge, Si y losprincipales semiconductores III-V y II-VI.

1La denominación proviene de la posición en la tabla periódica de los elementos químicos queconstituyen el compuesto semiconductor.



En la figura 1.2 se muestran las energías de gap y los parámetros de redcorrespondientes a Ge, Si y una serie de semiconductores de tipo III-V y II-VI.Aunque algunos semiconductores tienen parámetros de red muy parecidos, muchosde ellos presentan un desajuste considerable en los parámetros de red. En películasmuy finas, el desajuste puede acomodarse a través de tensión elástica. Cuando eltamaño de la película supera un cierto espesor llamado espesor crítico, la películase rompe produciendose así defectos o dislocaciones. Pero, se ha observado quesi el tamaño de la película no supera demasiado el espesor crítico, el crecimientopuede producirse sin defectos, es lo que se llama crecimiento coherente. Pese ala mejora respecto a los defectos de estructura, los métodos de crecimiento porepitaxia todavía no han resuelto la problemática de distribución de tamaños. Muchostrabajos quedan por hacer con el fín de conseguir puntos cuánticos con una densidadelevada por unidad de superficie y una distribución cuasi-homogénea de tamaños.

Figura 1.3. Foto AFM en 3D de puntos cuánticos InAs/GaAs. Se puedecomprobar que los tamaños de puntos cuánticos son distintos.

En las imágenes 1.3 y 1.4 se representan las fotos AFM (atomic force miscroscopy)en dos y tres dimensiones de puntos cuánticos de InAs/GaAs, crecidos por ALMBE(Atomic Layer Molecular Beam Epitaxy). A partir de estas fotos se observa, nosólo el carácter tridimensional de las islas, sino también una distribución de puntoscuánticos con tamaños diferentes. Dentro de los métodos utilizados en el crecimientopor epitaxia, podemos destacar el MBE (Molecular Beam Epitaxy) con su varianteALMBE y el MOCVD (Metal Oxide Chemical Vapor Deposition).

1.2. Los fonones en puntos cuánticosLos fonones ópticos juegan un papel importante en la física de la materia

condensada. Son muchas las propiedades físicas de los cristales que se ven afectadaspor la presencia de fonones. Por ejemplo, los estudios de movilidad de portadoresde carga en semiconductores o el coeficiente Hall han demostrado la importanciade las vibraciones de la red a medida que aumenta la temperatura de la muestra[17, 18]. En los experimentos de fotoluminiscencia, absorción óptica o en las medidas


1.2 Los fonones en puntos cuánticos 5

Figura 1.4. Foto AFM en 2D de puntos cuánticos de InAs/GaAs. Sepuede observar que los tamaños de puntos cuánticos en esta muestra son distintos.

de Raman, se aprecia el papel que juegan los fonones a la hora de interpretar losresultados. Por otro lado, si en algunas aplicaciones tecnológicas como es el casode los detectores, los fonones pueden parecer útiles, su presencia en los dispositivosbasados en la emisión (como son los láseres) resulta ser un inconveniente. De ahí laimportancia de conocer a fondo el papel de los fonones sobre el entorno del portadorde carga en estructuras como son los puntos cuánticos.

La física de fonones, y con ella la espectrocopía óptica, han cobrado un prota-ganismo sin precedente desde el descubrimiento de las superredes semiconductoraspor Esaki y Tsu [19]. Las superredes son sistemas en los que los portadores de cargapueden confinarse a lo largo de una dirección espacial en una región comparable ala longitud de onda de de Broglie. Muchos estudios teóricos y experimentales de lainteracción electrón-fonón abundan en la literatura sobre los pozos, hilos y puntoscuánticos [20–23].

El concepto de polarón fue introducido por Fröhlich [24] para describir de ma-nera cuantitativa el conjunto de electrones de conducción rodeados de fonones. FueLandau [25] quien determinó por primera vez en los años treinta que un electrónpuede estar auto-atrapado en el campo de deformación de un cristal. Así, cuandouna partícula cargada (un electrón o un hueco) penetra en el campo iónico de uncristal, su campo eléctrico (creado por interacción coulombiana) polariza el cristal.Y además, como los iones del cristal son más pesados que el electrón (hueco), estapolarización afecta más a las propiedades del electrón (hueco). De esta forma, esevidente que el polarón se vea como un "‘conjunto de electrones en una nube defonones". El estudio de la interacción electrón-red cristalina ha proporcionado unagran cantidad de información sobre los distintos fenómenos de scattering en los di-versos materiales. En la actualidad, a este concepto de polarón - llamado tambiénpolarón de Fröhlich- se añaden otros tipos de polarones como son: polarón de pe-queño radio, piezopolarón, magnetopolarón, polarón hidratado, etc... Todos estosconceptos traducen la interacción de fermiones con bosones [20].



1.3. Antecedentes y objetivosAunque las propiedades ópticas de las nanoestructuras se están estudiando

tanto a nivel experimental como a nivel teórico [26], nuestro interés en el estudiodel efecto de la geometría viene dictado por varios motivos. Como es bien sabido, lospuntos cuánticos crecidos por el método de Stranski-Krastanov, se auto-organizanen islas con tamaños diferentes. Esta distribución de tamaño da lugar a un ensan-chamiento de los picos de luminiscencia. Aparte del tamaño, la topología del puntocuántico tiene una importancia relevante. En la literatura han aparecido puntoscuánticos cuyas formas van desde esferas, pirámides, pirámides truncadas, lentesplanas convexas, conos truncados o "domes"[16, 27, 28]. Para apreciar la importan-cia de la geometría, Feyrrera y Proetto [29] determinaron los niveles de energía delos excitones en puntos cuánticos cúbicos y esféricos. De su trabajo se desprendeque la energía coulombiana de interacción electrón-hueco presenta una dependenciadébil con la forma del punto cuántico, siendo esta diferencia de ≈ 5%. Cabe resal-tar que en sus cálculos, estos autores utilizaron los potenciales aproximados ante ladificultad matemática de manejar los potenciales exactos. Por otro lado, Kumagai yOhno [30] han observado que la topología del espacio en que se resuelve la ecuaciónde Schrödinger juega un papel relevante en la estructura electrónica de los hiloscuánticos. Por ello, compararon un hilo cuántico con base circular con un hilo cuán-tico de base rectangular. Las conclusiones a las que llegaron fueron espectaculares.Respecto a los hilos cuánticos rectangulares2, la distribución espacial de electronesquedaba constante mientras sus niveles de energía son degenerados. Respecto a loshilos cuánticos circulares3, todos los niveles de energía son doblemente degenerados,sin ninguna cuantización. Este estado llamado frozen state parece no depender de lasrestricciones estructurales inducidas por el ’"zero-point energy"’. Además, la sepa-ración entre los niveles de energía es más grande en los hilos cuánticos rectangularesque en los circulares.

Por otro lado, en los experimentos de fotoluminiscencia (PL) en puntos cuán-ticos, Bissiri y colaboradores han podido demostrar la evidencia del polarón ensus espectros [21, 22]. Al medir el ratio entre dos de las réplicas de fonones enun punto cuántico de InAs/GaAs, estos autores consiguen determinar el factor deHuang-Rhys (S) que mide la interacción entre los excitones y fonones. Según esteresultado, el factor S cambia dependiendo de qué estado excitado está involucra-do en la transición así como del tamaño y forma (geometría) del punto cuántico.Además, ellos observaron que el valor de S no es el doble del ratio de la primera ysegunda réplicas de fonones en los espectros PL, como está establecido comúnmenteen la aproximación adiabática. Por ello, llegaron a la conclusión de que es nece-sario introducir la morfología del punto cuántico en un tratamiento no-adiabáticopara una mejor estimación del factor de Huang-Rhys que esté en acuerdo con losresultados experimentales. García-Cristóbal y co-autores [31], señalan también unadiscrepancia entre el valor experimental de S con los valores calculados en el forma-lismo adiabático. Obtienen que los valores experimentales y teóricos son del mismoorden de magnitud cuando se desprecia la interacción electrón-fonón en el Hamilto-niano de interacción excitón-fonón, lo que corresponde a un electrón completamentedeslocalizado en el espacio. Asímismo, sugieren que las transiciones que involucrana los niveles excitados serían una vía para adecuar los resultados teóricos a losexperimentales.

2La denominación se relaciona con la forma de la base del hilo cuántico.3Idem por la denominación.


1.3 Antecedentes y objetivos 7

Por tanto, nuestro objetivo es analizar en profundidad los efectos de geometríay tamaño en los puntos cuánticos poniendo un énfasis particular en el papel quejuegan los tamaños en las propiedades ópticas en la intercara de los materialesconstituyentes del punto cuántico. Por ello hemos elegido tres geometrías distintas:esférica, cilíndrica y cónica truncada.

Este trabajo se divide en seis capítulos. Aparte de la introducción que consti-tuye el primer capítulo, en que se resumen los conceptos de confinamiento junto conel papel de fonones en puntos cuánticos y los antecedentes, en el segundo capítulo,se describen los conceptos básicos necesarios para entender el modelo de dieléctricocontinuo (DC), base de nuestro estudio y su relación con la energía del polarón. Eltercer capítulo presenta la aplicación del modelo DC para la obtención de los modosfonónicos en los puntos cuánticos. En el cuarto capítulo calculamos en la aproxi-mación de masa efectiva (AME) las energías de los portadores en puntos cuánticosen las aproximaciones de pozo infinito y pozo finito, siendo éste último más realistapara los materiales estudiados en este trabajo. Para poner énfasis en los efectos queconllevan la geometría sobre los niveles de energía, hemos elegido tres formas dis-tintas de puntos cuánticos: esféricos, cilíndricos y cónicos. Asimismo, para las dosprimeras geometrías, se presentan los resultados para otros tipos de potencial deconfinamiento, en concreto en la aproximación de potencial armónico. En cuanto alúltimo caso, debido a la complejidad del tratamiento matemático, hemos restringi-do los cálculos al caso de puntos cuánticos conicos aislados. En el capítulo cinco sedeterminan las correcciones de energía debidas a la interacción electrón-fonón conmétodos perturtativos y variacionales. En concreto, hemos calculado la correcciónde energía para cada tipo de fonón que aparece en las tres geometrías estudiados.Por último, en el capítulo seis de conclusión general, se encuentran resumidos losresultados más relevantes de nuestro trabajo, así como las perpectivas de futuro.


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Capítulo 2

Interacción

Electrón-Fonón:

Conceptos básicos

2.1. Fonones ópticosLos modos ópticos en semiconductores polares juegan un papel importante en

muchas propiedades físicas debido a que la interacción electrón-fonón afecta a di-versos mecanismos de scattering. La movilidad de portadores de carga, los tiemposde relajación de los electrones, las transiciones intra- e inter-bandas, y los tiemposde vida de los excitones son algunas de las características que están afectadas porel scattering de electrones debido a los fonones ópticos. Aunque existan modelosmicroscópicos bien establecidos como ab-initio o pseudo-potencial, los estudios teó-ricos de mecanismos de scattering por fonones recurren al tratamiento continuo dela vibración de la red. La razón de recurrir a un tratamiento continuo estriba enla necesidad de reducir la complejidad del problema que conlleva el tratamientomicroscópico.

La mayoría de los materiales semiconductores empleados en las heteroestruc-turas de baja dimensionalidad, tales como pozos, hilos o puntos cuánticos son al-tamente polares. Por tanto, en estas estructuras existe una carga local que provocauna fuerte interacción coulombiana con la red. La presencia del electrón en el cam-po iónico del cristal polariza este último y la polarización actúa sobre el electrón,modificando así sus propiedades. La densidad de polarización generada por las vi-braciones da lugar a un campo eléctrico E y a un campo de desplazamiento eléctricoD. Estas cantidades están relacionadas entre sí a través de las ecuaciones de Max-well.

Habitualmente, en el estudio del polarón, el sistema investigado es considera-do continuo, así como el campo de polarización inducido por el movimiento de losiones. Uno de los modelos más destacados es el propuesto por Born y Huang [1]y denominado modelo de dieléctrico continuo (DC). A lo largo de muchos años,este modelo ha dado lugar, al establecimiento de los Hamiltonianos de interacciónelectrón-fonón mediante la cuantización de los campos de polarización y de despla-zamiento, y a partir de estos Hamiltonianos se calcula un número importante deparámetros físicos. En las heteroestucturas, la aplicación del modelo continuo exigeque las magnitudes físicas (como el campo de desplazamiento iónico o el campode polarización) que describen el movimiento del electrón en el medio polarizadosean continuas en las regiones de separación entre los dos medios (intercara). Así,

11

12 Capítulo 2. Interacción Electrón-Fonón: Conceptos básicos

para estudiar el comportamiento del polarón en las heteroestructuras, es necesarioconocer los distintos modos de fonones.

2.1.1. Ecuación de movimiento y los modos propios de

fonones ópticos

En este apartado, resumiremos los principios utilizados para estudiar los mo-dos fonónicos mediante el modelo DC.

Base del modelo clásico de dieléctrico continuo

Según Born y Huang, el desplazamiento iónico u se relaciona con el desplaza-miento real de los átomos w por u =

√µ/Ω w, siendo µ la masa reducida y Ω el

volumen del cristal.La base del modelo de dieléctrico continuo radica en el establecimiento de

un Hamiltoniano que describa el estado de un electrón al ser perturbado por unpotencial de deformación de la red, consecuencia de la polarización de la misma. Enel marco del formalismo de Born-Huang, el campo de desplazamiento relativo delos iones del cristal se acopla con el campo eléctrico E y el campo de polarizaciónP a través de un conjunto de ecuaciones básicas que son: (i) la ecuación de Newtonque describe el movimiento de los iones bajo la influencia de la fuerza mecánica deloscilador y la fuerza eléctrica, fruto de la polarización del medio; (ii) la relaciónentre la polarización, el campo de desplazamiento iónico y el campo eléctrico. Paralas vibraciones ópticas, estas ecuaciones se escriben como

u = −ω2TOu +

√ρ(

ε0 − ε∞4π

)ωTOE (2.1)

P =

√ρ(

ε0 − ε∞4π

)ωTOu +ε∞ − 1

4πE. (2.2)

Aquí ωTO es la frecuencia transversal del material volúmico (bulk material), ρ esla masa reducida por unidad de volumen, mientras ε0 y ε∞ son, respectivamente,las constantes dieléctricas a baja y alta frecuencias. En ausencia de carga libre,es sabido que ∇.D = 0 y teniendo en cuenta que D = E+ 4πP = ε(ω)E y queE = −∇Φ, se obtiene

ε(ω)∇2Φ = 0 (2.3)

donde Φ es el potencial electrostático. La relación de dispersión de la constantedieléctrica viene definida por

ε(ω) = ε∞ω2

LO − ω2

ω2TO − ω2

(2.4)

mientras las frecuencias LO y TO están acopladas a través de la relación de Lyddane-


2.1 Fonones ópticos 13

Sachs-Teller [2]

ω2LO =

ε0ε∞

ω2TO. (2.5)

La ecuación (2.3) ofrece dos posibilidades: o bien ε(ω) = 0 y ∇2Φ 6= 0 ó ε(ω) 6= 0y ∇2Φ = 0. De (2.4), se deduce que si ε(ω) = 0, ω = ωLO que corresponde a lacomponente longitudinal del fonón óptico en el material volúmico. En el caso deque ε(ω) 6= 0, la solución de la ecuación de Laplace junto con las condiciones decontorno permite hallar los modos fonónicos en la superficie. Es este último casoel que permite obtener el efecto de geometría en los fonones ópticos, ya que lasolución de la ecuación de Laplace difiere de acuerdo con el sistema de coordenadasutilizado. En el capítulo 3, calcularemos los modos de fonones en la superficie depuntos cuánticos para tres geometrías: la esférica, la cilíndrica y la cónica truncada.Sólo podemos adelantar que la solución de la ecuación (2.3) proporciona un potencialelectrostático, a partir del cual se deduce la interacción entre los electrones y fononesa través del llamado "Hamiltoniano de Fröhlich".

2.1.2. Aplicación del modelo DC en las heteroestructuras

Las heteroestructuras semiconductoras son sistemas formados por dos mate-riales volúmicos polares con constantes dieléctricas distintas. Aunque las heteroes-tructuras son sistemas en que los portadores de carga se encuentran confinados enuna región de dimensiones pequeñas en comparación con los tamaños de los ma-teriales volúmicos, hay motivos suficientes para que el tratamiento de sus modosfonónicos se parezca al de material bulk en primera aproximación. Pese a la nece-sidad de un modelo microscópico que determine los modos de fonón en estructurasde baja dimensionalidad, un tratamiento macroscópico como es el modelo DC dacuenta en buena medida de los fonones tanto confinados como de los de superficie (ode intercara) en las heteroestructuras. El tratamiento macroscópico es válido, siem-pre y cuando las longitudes de onda de los fonones sean mayores que los parámetrosde red. Debido a la peculiaridad de los modos de superficie en los pozos, hilos opuntos cuánticos frente a los modos confinados, es necesario que las anchuras de lospozos de potencial sean también superiores a los parámetros de red. Las razones afavor de la aplicación de un tratamiento macroscópico en las heteroestructuras sonesencialmente las siguientes: (i) los dos tipos de fuerza en juego (la de Newton yla eléctrica) son separables respecto a sus alcances. La fuerza de Newton (en estecaso la del oscilador) es de corto alcance, mientras la eléctrica (que es de naturalezacoulombiana) es de largo alcance; (ii) las propiedades generales de los modos desuperficie como son la polarización o la localización en distintas capas de materialesse aprecian mejor a partir de un tratamiento macroscópico que desde un tratamien-to microscópico; (iii) los campos de desplazamiento macroscópicos de modos deintercara pueden ser utilizados para hallar los operadores de creación y de aniqui-lación de estos modos y construir el Hamiltoniano de interacción entre los fononesde intercara y los electrones; (iv) el tratamiento microscópico se halla fácilmenteuna vez conocido el resultado macroscópico [Para más detalles, leer por ejemploEinderlein [3] y las referencias ahí citadas]. Por tanto, la solución de la ecuaciónde Laplace exige que se tenga en cuenta el grado de confinamiento según el tipode heteroestructuras a tratar. Por ejemplo, en los pozos cuánticos, la solución en



la dirección de confinamiento tendrá que ser empalmada en la intercara de los dosmateriales, mientras que en las dos otras direcciones, la solución será una onda pla-na. Para los hilos y puntos cuánticos, estas condiciones de empalme se impondránen las dos o tres direcciones de confinamiento, respectivamente. Además, la formade la heteroestructura dicta en qué sistema de coordenadas se tiene que resolver laecuación de Laplace. La solución en la superficie se obtiene aplicando las condicionesde contorno electrostáticas, que son la continuidad del potencial electrostático enla intercara que separa los materiales constituyentes y la continuidad de la compo-nente normal del vector desplazamiento eléctrico D. Si representamos por material1 el que está confinado y por material 2, el que sirve de barrera, las condicionesanteriores se traducen en: Φ1 = Φ2, ε1(ω)∇Φ1 = ε2(ω)∇Φ2. Cabe resaltar que en elcaso de que uno o ambos semiconductores sean absorbentes, la función dieléctricaincluirá una parte imaginaria, así se tendrá

εi(ω) = ε∞,i

ω2LO,i − ω2

ω2TO,i − ω2 − iωΓ

; i = 1, 2 (2.6)

donde Γ representa el "damping"del fonón.

2.1.3. Modelo DC: tensiones y aleacionesEl modelo aquí descrito se aplica con éxito al sistema diatómico bien cono-

cido como cadena diatómica lineal. Sin embargo, los experimentos de crecimientode heteroestructuras seguidos de la caracterización de las mismas han revelado quelos componentes (por ejemplo GaAs, AlAs, InAs) que entran en la fabricación deheteroestructuras pueden mezclarse en una cierta proporción y formar un arrayde átomos, dando así lugar a un cristal mixto o aleación ternaria. En la aleaciónAlxGa1−xAs por ejemplo, la constante de la red varía linealmente con la concen-tración de Al, y su valor está comprendido entre los valores de GaAs y AlAs. Paratener en cuenta la composición, se suelen usar unas relaciones empíricas que descri-ben la variación de las frecuencias ópticas, constantes dieléctricas y masas efectivasen función de la composición [4, 5]. Pero estas relaciones no están a menudo defi-nidas para todos los materiales que componen las heteroestructuras. Además, paralas heteroestructuras cuyas especies constituyentes tienen un desajuste apreciableen el parámetro de red, las tensiones juegan un papel importante [6]. Estas tensio-nes pueden modificar los modos de vibración en la medida que afectan tanto a losparámetros de red como a las constantes de fuerza entre los iones de los compuestos.Como se puede hacer notar, el modelo clásico de dieléctrico continuo no tiene encuenta estos dos efectos de forma explícita. En las siguientes secciones, explicare-mos los dos modelos más empleados para describir los modos de vibración en lasaleaciones y en los sistemas tensados.

A. Tensión en el modelo DC: modelo hidrodinámico o

fenomenológicoUna forma de tener en cuenta las tensiones en el cálculo de los modos de vibra-

ción consiste en incorporar en el modelo de Born y Huang [1] los términos adicionalesque representan estas tensiones. Einderlein [3] ha desarrollado un modelo que des-



cribe las distintas variaciones del campo de desplazamiento en un cristal diátomico.Si designamos por u = u+ - u− el campo de desplazamiento relativo, donde u+(u−)se refiere al ion positivo (negativo), nos encontramos con las siguientes situaciones:

Si u se anula en un punto x’ de la red, esto no significa necesariamente queambos u+ y u− sean nulos en el mismo punto x’.

Si u es función de la posición en la red (u(x)), puede que u+ o u− varíe con laposición, o que los dos varíen a la vez. El cambio de los campos atómicos (u+,u−) con la posición hace que las subredes atómicas sufran tensiones. Estastensiones pueden ser diferentes en las dos subredes, de forma que una de ellasesté estirada y la otra comprimida. Esta situación se da para los fonones LOcon vector de onda no nulo.

Si u no cambia con la posición, pero los campos atómicos u+ y u− cambian,se generan también tensiones internas en las subredes. Esta situación se dapara los fonones acústicos longitudinales.

La mejor forma de expresar los efectos de tensiones en los modos de vibra-ción consiste en introducir en la ecuación de movimiento (2.1) además de la fuerzaeléctrica, la fuerza mecánica a través de un tensor de tensiones (stress) σ. De estamanera, la ecuación modificada de Born-Huang se escribe como [7]

ρ∂2

∂t2u = −ρ ω2

TOu− α∇Φ−∇.σ (2.7)

donde los elementos del tensor σ vienen definidos por

σij = −ρ(β2LO − β2

TO)(∇.u)δij − 2ρβ2TOuij . (2.8)

ρ representa la masa reducida por unidad de volumen de la celda, mientras α esla constante de acoplo entre el campo eléctrico y el desplazamiento atómico y seexpresa por α = [ρ(ε0 − ε∞)/4π]1/2ωTO. En la ecuación (2.8), el término uij puedeconsiderarse como un tensor de deformación (strain) definido por la expresión

uij =12(∇jui +∇iuj). (2.9)

Los parámetros fenomenológicos βTO y βLO se obtienen ajustando las relaciones dedispersión para los fonones del material bulk y sus valores son próximos a las velo-cidades del sonido en el medio. σ contiene todas las propiedades del tensor rigidez("stiffness") para un medio isótropo. Es sabido que la componente transversal delfonón óptico conduce a un campo eléctrico nulo (∇.uTO = 0), mientras la compo-nente longitudinal da lugar a un campo eléctrico diferente de cero (∇× uLO = 0).De la resolución del sistema de ecuaciones formado por la ecuación (2.7) y la ecua-ción de campo de polarización (2.2), se deduce los modos de vibración. Para laresolución de la ecuación (2.7) se requiere que se cumplan los criterios de continui-dad del campo de desplazamiento en todo el sistema estudiado. De tal forma que,si consideramos dos regiones del espacio con materiales 1 y 2, las condiciones de



contorno a cumplir serán

u|S− = u|S+ (2.10a)σ.~n|S− = σ.~n|S+ (2.10b)D.~n|S− = D.~n|S+ (2.10c)

donde S es la superficie de contacto entre los dos materiales y ~n un vector unitarionormal a la superficie. En caso de oscilaciones libres en que el material está rodeadode vacío, las condiciones de contorno anteriores se convierten en

σ.~n |S− = 0, (2.11a)DN continuo en la superficie. (2.11b)

Debido a la introducción en la ecuación de movimiento de términos mecánicos a tra-vés de tensores de rigidez y de deformación, el modelo hidrodinámico predice tantolos modos ópticos (confinados y de intercara) como los modos mecánicos (acústi-cos). Esto condujo a Trallero-Giner y colaboradores [8] a predecir el acoplo entre losmodos ópticos confinados y los de intercara en los hilos y puntos cuánticos. Aunqueel modelo DC se presta al cálculo en los sistemas macroscópicos, Born y Huang handemostrado que este formalismo puede extenderse a los desplazamientos atómicosen cristales polares, como son los semiconductores III-V o II-VI, con la salvedad deque el campo eléctrico macroscópico es sustituido por el campo local, fruto del mo-vimiento de los iones respecto a sus posiciones de equilibrio. Este campo local vienedefinido a través de la relación de Lorentz Eloc = E+ 4πP/3. Para los fonones ópti-cos longitudinales (LO), se tiene que Eloc = −8πP/3, mientras Eloc = 4πP/3 paralos fonones ópticos transversales (TO). En los estudios de los modos de vibraciónen las aleaciones, por ejemplo, es costumbre utilizar las magnitudes locales, comocampo eléctrico local, en lugar de las magnitudes macroscópicas. La ventaja de eseuso viene de la facilidad de relacionar estas magnitudes con los parámetros micros-cópicos, como por ejemplo la polarizabilidad electrónica, en los Hamiltonianos deinteracción electrón-fonón.

B. Fonones ópticos en las aleaciones: modelo MREILas aleaciones ternarias pueden compararse a sistemas con defectos cuyos

modos local y gap (ver Apéndice A) inducidos por una impureza en proporción to-davía pequeña, provoca un ensanchamiento de estos modos en bandas vibracionalesal aumentar la concentración. De los muchos métodos empleados para estudiar losmodos ópticos en las aleaciones, presentamos el modelo de Chen y colaboradores [9],luego modificado por Chang y Mitra [10], llamado MREI (Modified Random Ele-ment Isodisplacement). En este modelo, una aleación AB1−xCx es considerada bajodos hipótesis:

Iso-desplazamiento: los cationes y aniones de especies similares vibran comounidades rígidas, con la misma fase y amplitud.

Aleatoriedad: los iones B y C están aleatoriamente distribuidos a lo largo dela sub-red aniónica. Así, cada átomo está sujeto a las fuerzas creadas poruna media estadística de sus vecinos. En este modelo, una fracción (1-x) de



iones B y una fracción x de iones C están considerados como primeros vecinosde los iones A. De este modo, la interacción coulombiana a largo alcanceviene dada a través del campo local. Así, el MREI depende de la simetría delcristal, puesto que hay que tener en cuenta el número de primeros vecinos.La ventaja de este modelo estriba en que no requiere a priori las frecuenciasde los modos local y gap, y además depende de algunas constantes físicascomo: masas de los iones y frecuencias de los fonones de los end-materials4.A continuación, desarrollaremos este modelo para los cristales con simetríacúbica; pues, muchas de las heteroestructuras estudiadas poseen esta simetría.

En MREI, las ecuaciones de movimiento de los iones A, B y C en el cristal AB1−xCx

se expresan

mAuA = −(1− x)ΛAB(uA − uB)− xΛAC(uA − uC) + eAEloc, (2.12a)

mBuB = −ΛAB(uB − uA)− xΛBC(uB − uC)− eBEloc, (2.12b)

mC uC = −ΛAC(uC − uA)− (1− x)ΛBC(uC − uB)− eCEloc, (2.12c)

donde mA, mB , mC son las masas de A, B, C; uA, uB, uC representan los vectoresdesplazamientos y ΛAB , ΛBC , ΛAC son las constantes de fuerza interatómica entrelos primeros vecinos. Designando por eA, eB y eC las cargas de los distintos ele-mentos constituyentes de la aleación, la condición de neutralidad del cristal exigeque

eA − (1− x)eB − xeC = 0 (2.13)

donde las dos cargas efectivas eB y eC se consideran como parámetros ajustables.Con motivo de conectar el modelo MREI con las propiedades de transporte u óp-ticas, se debe encontrar las expresiones del campo de polarización y aplicar el for-malismo de Born-Huang para hallar el Hamiltoniano de Fröhlich correspondiente.Para los fonones ópticos transversales de longitud de onda grande, se puede utilizarla aproximación E ≈ 0. Entonces, el campo de polarización viene dado por

P = N [eAuA − (1− x)eBuB − xeCuC ] + NαEloc (2.14)

donde N es la densidad de pares de iones. La polarizabilidad electrónica α estárelacionada con la constante dieléctrica a alta frecuencia a través de la fórmula deClausius-Mossoti [2]

4π

3Nα =

ε∞ − 1ε∞ + 2

. (2.15)

Realizando el cambio de variables w1 = uA - uB y w2 = uA - uC y utilizandola ecuación (2.15), se puede combinar las ecuaciones MREI (2.12a)-(2.12c) en un

4En una aleación ternaria AB1−xCx, se denominan end-materiales (materiales extremos) a loscompuestos binarios con x = 0 (AB) y x = 1 (AC). A lo largo del texto, utilizamos el término"material anfitrión"para describir el material receptor de la impureza, en el caso de la aleaciónAB1−xCx, el anfitrión es el material AB.



sistema de dos ecuaciones;

w1 =(−(1− x)

Λ′AB

mA− Λ′AB

mB− x

Λ′BC

mB

)w1

−(

xΛ′AC

mA− x

Λ′BC

mB

)w2 (2.16a)

w2 =(−x

Λ′AC

mA− Λ′AC

mC− (1− x)

Λ′BC

mC

)w2

− (1 − x)(

Λ′AB

mA− Λ′BC

mC

)w1 (2.16b)

siendo

Λ′AB = ΛAB − 4π

3NeAeB(

ε∞ + 23

) (2.17a)

Λ′AC = ΛAC − 4π

3NeAeC(

ε∞ + 23

) (2.17b)

Λ′BC = ΛBC +4π

3NeBeC(

ε∞ + 23

) (2.17c)

donde N y ε∞ dependen linealmente de la composición según las leyes

N = (1− x)NAB + xNAC (2.18)ε∞ = (1− x)ε∞,AB + xε∞,AC . (2.19)

Aquí, NAB y NAC definen las densidades de compuestos AB y AC, mientras queε∞,AB y ε∞,AC representan sus constantes dielectricas a alta frecuencia. Si se suponeque las soluciones de las ecuaciones (2.16a)-(2.16b) se escriben en términos de ondaplana; w1 = A1e

−iωt y w2 = A2e−iωt para q ≈ 0, las frecuencias propias pueden

ser determinadas a partir de la ecuación

ω4 − (K1 + K2)ω2 + (K1K2 −K12K21) = 0 (2.20)

donde

K1 = (1− x)Λ′AB

mA+

Λ′AB

mB+ x

Λ′BC

mB(2.21a)

K2 = xΛ′AC

mA+

Λ′AC

mC+ (1− x)

Λ′BC

mC(2.21b)

K12 = xΛ′AC

mA− x

Λ′BC

mB(2.21c)

K21 = (1− x)Λ′AB

mA− (1− x)

Λ′BC

mC. (2.21d)



En el caso de fonones LO, la determinación de las frecuencias propias se haría deforma análoga al caso de los fonones TO, sin más que usar la relación de Lorentzrelativa a los modos LO. Mediante la misma ecuación que los fonones TO [ec. (2.20)]se calculan las frecuencias propias, siendo las constantes de fuerza Λ′ reemplazadaspor

Λ′′AB = ΛAB +

8π

3NeAeB

(ε∞ + 2

3

)(2.22a)

Λ′′AC = ΛAC +

8π

3NeAeC

(ε∞ + 2

3

)(2.22b)

Λ′′BC = ΛBC − 8π

3NeBeC

(ε∞ + 2

3

). (2.22c)

La solución de la ecuación (2.20) exige que las constantes de fuerza cumplan unascondiciones de contorno que se obtienen resolviendo la ecuación de auto-valores(2.20) para x = 0 y para x = 1. Estas condiciones conducen a la existencia de losmodos gap (x = 0) y los modos locales (x = 1) (ver Apéndice A). En la figura 2.1,

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

200

240

280

320

360

TO InAs

LO InAs

TO InP

LO InP

InP 1-xAsx

ω (

cm-1

)

Contenido de Arsenio (x)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

240

400

450

TO GaAs

LO GaAs

TO AlAs

LO AlAs

GaxAl1-xAs

ω(c

m-1

)

Contenido de Galio (x)

Figura 2.1. Dependencia de los fonones ópticos con la composición en lasaleaciones GaxAl1−xAs e InP1−xAsx.

se representan las frecuencias de los fonones ópticos en función de la composiciónpara las aleaciones de GaxAl1−xAs y InP1−xAsx. En ambas aleaciones, la masadel ión sustituido (Al en el caso de GaxAl1−xAs y P en el caso InP1−xAsx) esinferior a la masa reducida del compuesto formado por los dos materiales restantes.



Como consecuencia, se observan dos modos distintos de fonones que asociamos a losllamados end materials para los dos ternarios. Además, mGa > µAlAs y mAs > µInP.Los dos criterios de masa (ver apéndice A.) se cumplen, lo que da lugar a la existenciade los modos local y gap en los dos extremos de las aleaciones estudiadas. Existenotros tipos de aleaciones para los que los modos fonónicos presentan un solo modo.Es el caso de aleaciones de tipo InxGa1−xN o AlxGa1−xN donde el nitrógeno influyemucho en los modos de vibración. En efecto, la masa atómica de N es inferior a lade Al, In o Ga, por lo que las masas reducidas de AlN, InN o GaN serán del mismoorden de magnitud. Debido a la poca diferencia entre las masas reducidas de los end-materials en las aleaciones de nitruro, las energías de los fonones son más próximasen ambos compuestos, lo que destruye el comportamiento de dos modos para losfonones. La inexistencia de dos modos implica que no existe ni modo local ni modogap en estos ternarios. Además de los casos considerados anteriormente, existensistemas para los que los modos de vibración tienen un comportamiento mixto.Este es el caso del ternario GaxIn1−xAs. Para esta aleación, se tiene mGa > µInAs

y mIn > µGaAs. Los criterios que gobiernan la existencia de modos mixtos, aúnno están claros. En la tabla 2.1, las constantes dieléctricas vienen expresadas con

Tabla 2.1. Parámetros más utilizados en nuestros cálculos: las frecuenciasestán expresadas en cm−1 y las masas efectivas, con respecto a la masa del electrón.Los valores han sido extraídos de referencías bilbiográficas [11, 12]

ε∞ ε0 ωLO ωTO m∗e a (Å)

AlAs 8.16 10.06 404.1 360.4 0.15 5.6611GaAs 10.89 13.18 292.0 268.7 0.067 5.6419InAs 11.7 15.15 241.0 218.0 0.023 6.0784InP 12.61 9.61 345.0 303.7 0.073 5.8687

respecto a la constante de vacío.

2.2. El Hamiltoniano de FröhlichEn este apartado, se expondrá de forma breve cómo se consigue el Hamiltonia-

no de Fröhlich. En la sub-sección 2.1.1 ya hemos adelantado que el formalismo deBorn-Huang relaciona los campos de desplazamiento con el potencial electrostáticoΦ, que a su vez interactúa con los electrones a través del acoplo de Fröhlich. Confrecuencia, en la literatura sobre el estudio del polarón aparecen unos Hamiltonianosdefinidos en términos de operadores de creación y de aniquilación. Por este motivo,el formalismo que aquí describimos seguirá esta regla. En los materiales volúmicos,partiendo de las ecuaciones de Maxwell para los fonones ópticos, se puede compro-bar que las transformadas de Fourier (T.F.) del vector campo de polarización y delcampo eléctrico se escriben como

∇.D(r) = ∇.(ε0E(r) + P(r)) = 0 ⇔ E(q) = −P(q)/ε0 (2.23)∇Φ(r) = −E(r) ⇔ iqΦ(q) = −E(q).q (2.24)


2.2 El Hamiltoniano de Fröhlich 21

De ahí, que el potencial electrostático se escribe en términos de la amplitud delvector campo de polarización

iqΦ(q) = q.P(q)/ε0 (2.25)

donde q es un vector unitario en la dirección del vector de onda del fonón. En térmi-nos microscópicos, q.P(q) representa la polarización dipolar en caso de q pequeñoP(q) ≈ Pdipolo, entonces

q.Pdipolo =e∗LOu.q

Ω(2.26)

donde e∗LO es la carga efectiva dipolar asociada con el fonón óptico longitudinal.Usando la bien conocida relación de Lyddane-Sachs-Teller, se obtiene que

(e∗LO)2 = Ωε0µω2LO

(1εs− 1

ε∞

)(2.27)

donde εs es la constante dieléctrica estática, y ε∞ es la constante dieléctrica a altafrecuencia.

La ecuación (2.27) nos proporciona la relación entre la carga efectiva y losparámetros experimentales que son las constantes dieléctricas (εs, ε∞), la masa re-ducida (µ) y la frecuencia LO del material. Escribiendo el desplazamiento iónico entérminos de sus modos propios, u = q (bqeiq.r + b+

−qe−iq.r), y el hecho de que el Ha-

miltoniano de interacción electrón-fonón sea igual a He−ph = −eΦ(q), se compruebaque el Hamiltoniano de interacción electrón-fonón toma la forma

He−ph = ie

√ε0µ

Ω

(1εs− 1

ε∞

)ωLO

∑q

1q

(bqe

iq.r + b+−qe

−iq.r)

(2.28)

El Hamiltoniano de la ecuación (2.28), junto con los Hamiltonianos del electrónlibre y de los fonones libres, constituye el punto de partida para el estudio de lospolarones, al cual se puede añadir otros efectos como

El potencial de confinamiento de los portadores de carga;

El potencial de interacción electrón-hueco en los estudios de fotoluminiscencia;

Los efectos de tensiones, a través de la presión hidrostática;

Los efectos de fonones acústicos, etc ...

La complejidad del problema crece con el número de términos añadidos. A conti-nuación, se expondrán dos técnicas para resolver el Hamiltoniano de Fröhlich parael caso de material bulk. Las aplicaciones al estudio de puntos cuánticos se daránen el capítulo 5.



2.2.1. Método perturbativo y auto-energía del polarón

Los semiconductores III-V presentan una constante de Fröhlich inferior a 1,de modo que las energías del polarón se pueden calcular utilizando el método per-turbativo. De forma genérica y para simplificar las notaciones, podemos escribir elHamiltoniano total del sistema electrón-fonón como

Htot = − ~2

2me∇2 +

∑q

~ωνa+

q aq +∑

q

(V ∗q e−iq.raq + H.c), (2.29)

donde

Vq = i

(~ω

ν

q

)(4πα

V

)1/2 (~

2meων

)1/4

, (2.30)

y

α =(

e2

2~ων

)(2meων

~

)1/2 (1

ε∞− 1

ε0

)(2.31)

es la constante de Fröhlich. Mediante la teoría de perturbaciones, el Hamiltonianototal se puede descomponer en los términos

H = H0 + H1, (2.32)

con

H0 = − ~2

2me∇2 +

∑q

~ων a+q aq, (2.33)

y

H1 =∑

q

(V ∗

q e−iq.raq + H.c.), (2.34)

que se supone pequeño y, por tanto, sus efectos podrán ser analizados por teoríade perturbaciones. Los estados del sistema electrón-fonón son funciones propias delmomento del electrón y del número de fonones; es decir, la función de onda delsistema se escribe como

|k〉 = Ψel|n〉. (2.35)

El estado no perturbado de este sistema corresponde al estado fundamental delelectrón en el que ningún fonón ha sido excitado, es decir sin la presencia de fono-nes, i.e. |k〉 = Ψel| 0〉. La teoría de perturbaciones aplicada al estado fundamentalreproduce todos los estados con un fonón en la nube de electrones. El elemento dematriz involucrado en esta teoría es nulo, de modo que la corrección de energía no


2.2 El Hamiltoniano de Fröhlich 23

es de primer orden. Por tanto, la primera contribución a la corrección de energíaprovendrá de la perturbación en segundo orden, la cual se determina como

∆E2 =∑

i

〈0|H1|i〉〈i|H1|0〉E0 − Ei

, (2.36)

donde |i > es un estado intermedio caracterizado por el momento P=p -~ q; siendoEi su energía dada por

Ei =(p− ~q)2

2me+ ~ων . (2.37)

Si además suponemos que el momento lineal p es suficientemente pequeño, eldenominador de la ecuación (2.36) puede ser desarrollado en serie de p. Al definirel estado fundamental por una onda plana, como suele ocurrir muchas veces, secomprueba que la energía del polarón viene expresada por [13] (ver Apéndice B)

E2 = −α~ων +p2

2m∗pol

, (2.38)

donde m∗pol = me(1−α/6)−1 es la masa efectiva del polarón; siendo α la constante de

Fröhlich. Se obtiene que el electrón conlleva la polarización de la red y conduce a quela masa efectiva del polarón sea superior a la del electrón en estado no perturbado.

2.2.2. Los métodos variacionales y auto-energía del polarón

El método perturbativo es válido para un sistema electrón-fonón donde la dife-rencia en energía de los estados electrónicos es inferior a la energía del fonón, lo quecorresponde a un acoplamiento débil entre el electrón y el fonón. Este acoplo puedecambiar por ejemplo bajo los efectos de un campo eléctrico o un campo magnético.También, existen materiales cuya interacción electrón-fonón es fuerte. Los métodosvariacionales se han revelado como los más poderosos a la hora de evaluar los espec-tros de energía tanto para el acoplamiento débil como para el acoplamiento fuerte.Estos métodos tratan de calcular las energías mediante un funcional a minimizarcon respecto a un parámetro bien elegido según el problema. Después de una seriede transformaciones canónicas en el Hamiltoniano, éste se modifica de modo que elmomento lineal del polarón sea una constante de movimiento.

Existen algunas variantes de los métodos variacionales para la resolución delHamiltoniano de Fröhlich. En nuestro caso, comentaremos sólo el método de Low,Lee y Pines (LLP) porque es el que trata tanto el acoplamiento débil como elacoplamiento fuerte5.

5El método LLP ha sido tradicionalmente utilizado para los casos de 1 < α < 5; pero en laactualidad, se ha comprobado que este método se aplica con éxito a los casos de acoplo débil.



Método de Low, Lee y Pines

Para tratar los casos de acoplamiento intermedio entre electrón y fonón, Low,Lee y Pines [13, 14] han considerado el polarón como una distribución de cargaextendida sobre una distancia del orden de (~/meω)1/2. En efecto, la emisión deun fonón provoca un movimiento hacia atrás del electrón, de modo que el momentolineal total del sistema se trata como una constante de movimiento. Para teneren cuenta el momento total del polarón, se aplica una transformación unitaria alHamiltoniano de Fröhlich

H∗ = U−1

HU, (2.39)

donde el operador U es

U = Exp

(−i

∑q

a+q aq

). (2.40)

Así, el Hamiltoniano queda transformado en

H∗ =

(p−∑

q ~q a+q aq

)2

2me+

∑q

~ωνa+q aq +

∑q

(V ∗

q aqe−iq.r + Vqa

+q eiq.r

). (2.41)

Esta transformación permite eliminar los operadores relativos al electrón dentro delHamiltoniano de Fröhlich. Se ha comprobado que esta transformación no modificala física del problema, puesto que el Hamiltoniano de Fröhlich es invariante frente alas operaciones de traslación y de rotación. La segunda etapa consiste en aplicar unasegunda transformación S al Hamiltoniano transformado, de modo que el polarónse trate como una distribución de carga extendida. El Hamiltoniano de Fröhlich setransforma en e−SH∗eS , donde

S =∑

q

(Vqρq

~ωνaq −

V ∗q ρ∗q~ων

a+q

), (2.42)

donde

ρq =1e

∫ρ(r)eiq.rdr, (2.43)

representa la transformada de Fourier de la densidad de carga y se considera comoun parámetro variacional a determinar. La energía se halla minimizando el Hamil-toniano transformado, entre los estados fundamentales, es decir

δ〈0|e−SH∗eS |0〉 = 0. (2.44)

Aplicando esta segunda transformación y después de un poco de álgebra (verApéndice B), se obtiene la expresión siguiente


2.3 Polarón y propiedades ópticas 25

δ〈0 ∣∣e−SH∗eS∣∣ 0〉 =

~2K2

2me+

∑q

(Vqfq + V ∗q f∗q ) +

~2

2me

[|fq|2 q

]2

+

∑q

|fq|2(~ω − ~q.K

me+~2q2

2me

)(2.45)

con fq = −V∗qρ∗q~ων

.Por tanto, el sistema electrón-fonón queda definido por el momento lineal

total K y una función de onda transformada |N〉 = eS |N〉, donde N es el núme-ro de fonones. En otras palabras, el estado del sistema electrón-fonón es |Nph〉 =eiK.r|N〉/Ω1/2, siendo Ω el volumen del cristal. El mínimo de la energía se alcanzacuando

Vq + f∗q

(~ω − ~q.K

me+~2q2

2me+

∑q

|fq|2q.q′)

= 0. (2.46)

En el apéndice B, deduciremos la expresión de fq y obtendremos la expresión de lamasa del polarón. Finalmente, la energía viene expresada por

E = −α~ω +K2

2m∗e

(1 +

α

6

)−1

. (2.47)

La ecuación anterior es similar a la expresión (2.38) obtenida por métodos pertur-bativos; lo que confirma la validez de las transformaciones realizadas.

En el capítulo 5, nos dedicaremos a la resolución del Hamiltoniano de Fröhlichpara las tres geometrías de puntos cuánticos que hemos elegido. También se discutirála validez de las distintas soluciones que se proponen.

2.3. Polarón y propiedades ópticasUno de los temas clave de nuestro trabajo consiste en estudiar cómo el polarón

afecta a las propiedades ópticas. Por ello, es preciso anunciar a partir de aquí lasgrandes líneas que vamos a desarrollar a lo largo de esta tesis. Siguiendo la mismatendencia que hemos diseñado desde el principio, nos dedicaremos a calcular lacorrección ene energía de los polarones en tres geometrías de puntos cuánticos,dado que este estudio servirá de base para la determinanción de algunos parámetrosópticos como coeficientes de Huang-Rhys y coeficiente de absorción entre otros.

De entrada, es necesario precisar que para el cálculo de los coeficientes ante-riormente mencionados, el tratamiento de la interacción de la luz con la materiautiliza la regla de oro de Fermi que determina la transición entre los estados. Enun sistema electrón-fonón, la probabilidad de que una transición de un electrón delestado |i〉 al estado |f〉 esté acompañada de una emisión o una absorción de un fonónviene determinada por

W =2π

~|〈f |Hint|i〉|2δ(Ef − Ei ± ~ω). (2.48)



En este caso, Hint es el Hamiltoniano de Fröhlich que hemos descrito anteriormente.Cuando un punto cuántico es perturbado por un campo electromagnético ex-

terno (por ejemplo la luz láser), se crean pares electrón-hueco que se propagan enpresencia de la interacción coulombiana y del potencial de confinamiento. Tanto loselectrones como los huecos pueden polarizar su entorno, por lo que los espectroselectrónicos se ven afectados por la interacción excitón-fonón. En este último ca-so, el Hamiltoniano de interacción de la ecuación (2.48), representa la interacciónexcitón-fonón. Es este el Hamiltoniano que se suele usar para calcular el factor deHuang-Rhys. Si por el contrario se quiere estudiar el efecto de un campo magnéticoaplicado, es preciso usar el Hamiltoniano

Hint = − e

mcp.A(r) (2.49)

donde p es el momento del electrón yA es el potencial vector. De la probabilidad detransición con un Hamiltoniano de interacción apropiado, se puede deducir muchosotros parámetros físicos como son el tiempo de relajación, el coeficiente de absorción,etc...

2.4. ConclusiónEn este capítulo, hemos querido resumir los distintos formalismos teóricos que

vamos a usar a lo largo de este trabajo. Los modos de fonones de intercara son demáxima importancia para apreciar el efecto de geometría de los puntos cuánticos.El efecto de estos fonones de intercara se determinará a través de las correccionesde energía. También, hemos resaltado la importancia de la forma geométrica enla resolución del Hamiltoniano electrón-fonón (Hamiltoniano de Fröhlich), puestoque la topografía juega un papel importante en los niveles de energía, como lo handemostrado Kumagai y Ohno [15]. Además, los niveles de energía son de extremaimportancia cuando se quiere estudiar los espectros ópticos. Cabe señalar que enlos cálculos de coeficiente de absorción o de coeficiente de Huang-Rhys mediante laregla de oro de Fermi, es preciso determinar las energías del estado fundamental,así como los correspondientes a los niveles intermedios que aparecen en el términode conservación de energía.

Al mismo tiempo, hemos presentado un cálculo de los modos fonónicos enlas aleaciones, como una herramienta para apreciar la importancia del efecto de lacomposición, ya que sirve en lo que se llama "ingeniería de banda en las heteroes-tructuras", debido a que es una de las formas más utilizadas para variar la profun-didad de los potenciales de confinamiento en las heteroestructuras. En los capítulossiguientes, utilizaremos las teorías desarrolladas en este capítulo, adaptándolas alproblema dado.

Existen otros métodos para estudiar, tanto los niveles de energía como losmodos fonónicos en las heteroestructuras de baja dimensionalidad. Como en loscasos de los materiales volúmicos, hay autores que han utilizado un tratamientoatomístico para calcular los modos fonónicos y los niveles de energía en las hete-roestructuras semiconductoras [16]. Estos métodos están fuera de nuestro objetivo,puesto que queremos estudiar el efecto de geometría, que no se encuentra discutidoen los métodos atomísticos.


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[16] A. Zunger and Williamson. Phys. Rev. B, 59:685, 2000.

27

28 BIBLIOGRAFÍA


Capítulo 3

Fonones de intercara en

puntos cuánticos

La intercara entre dos materiales es de una importancia capital en los semi-conductores. Su papel se pone de manifiesto en las zonas de acumulación de cargaentre un semiconductor y un aislante, donde la función de onda del portador de car-ga penetra débilmente en el aislante. También en las heteroestructuras formadas apartir de materiales con un desajuste apreciable en los parámetros de red, se puedeobservar la aparición de tensión en la intercara entre el substrato y el material de-positado. Estas tensiones afectan tanto a los niveles de energía como a los modos devibración de fonones en las heteroestructuras. El interés en los estudios de fononesha crecido desde que se descubrió que en un gas bidimensional de electrones, losfonones de intercara pueden provocar un scattering de los portadores en las regionescercanas a la intercara, del mismo orden de magnitud que el scattering originadopor los fonones bulk. Ponomarev y colaboradores [1] describieron las oscilacionesde la magneto-resistencia en una heteroestructura de GaAs/AlxGa1−xAs como re-sultado de la resonancia magneto-fonónica cuyo origen es la interacción entre elgas bidimensional de electrones con los modos térmicamente excitados de fononesacústicos en la intercara.

En el capítulo anterior, se ha demostrado que a los fonones ópticos se les puedeasociar un campo local, que a su vez está relacionado con el potencial electrostáticoa través de la ecuación de Laplace. También hemos visto que la extensión del mo-delo DC a heteroestructuras recomienda que se tenga en cuenta las condiciones decontorno en la intercara. La razón física es que la polarización superficial en la in-tercara entre los medios que constituyen la heteroestructura modifica la interaccióncoulombiana entre los electrones y los iones. De este modo, se comprueba que losfonones de intercara dependen de la simetría del problema y del tamaño del puntocuántico. Los puntos cuánticos tienen diversas formas que van desde las cúbicashasta las piramidales, pasando por las esféricas y cilíndricas. En este capítulo, noscentramos en los efectos de la geometría del punto cuántico en los modos de fononesa la intercara de dicha heteroestructura. Trataremos de aplicar el modelo DC en loscasos de tres geometrías típicas de puntos cuánticos que aparecen frecuentementeen la literatura y calcular las frecuencias de intercara.

A lo largo de este capítulo, supondremos que el punto cuántico de funcióndieléctrica ε1(ω), o bien se encuentra enterrado en un substrato semiconductor defunción dieléctrica ε2(ω) que actúa de barrera para los portadores de carga o bienestá rodeado de vacío, caso para el que ε2(ω) = 1. Para el primer caso, hablaremosde heteroestructura de punto cuántico, mientras que en el segundo caso utilizaremos

29

30 Capítulo 3. Fonones de intercara en puntos cuánticos

la expresión punto cuántico aislado, (free-standing quantum dots). Además, asumi-remos que las funciones dieléctricas no dependen del vector de onda del fonón, porlo que se despreciará los efectos de retardo. Por último, admitimos que no existecarga libre dentro del punto cuántico, de modo que el potencial electrostático essolución de la ecuación de Laplace.

3.1. Modos de vibración en puntos cuánticos

esféricosPartiendo de la expresión del Laplaciano en coordenadas esféricas, podemos

escribir la solución de la ecuación de Laplace en la forma

Φ(r, θ, ϕ) =

( rR )lYlm(θ, ϕ) r ≤ R

(Rr )l+1Ylm(θ, ϕ) r > R

(3.1)

donde Ylm(θ, ϕ) con m = - l,...,l son los armónicos esféricos, y R0 es el radio de laesfera. Aplicando las condiciones de contorno electrostáticas, se obtiene

ε1(ω)ε2(ω)

= −1− 1l; l = 1, 2, 3... (3.2)

donde εi(ω) (i=1,2) satisface la relación (2.4). Por otra parte, si en (3.2) sustituimosε(ω) por la ecuación (2.4), obtenemos un polinomio de cuarto grado, cuya soluciónproporciona las frecuencias de intercara en términos de ωLO y ωTO de los materialesbulk constituyentes de la heteroestructura y del parámetro l. Por tanto, se puedeafirmar que, en esta aproximación, las frecuencias de fonones de intercara no de-penden del tamaño de la esfera, ni tampoco del número cuántico m. Esto se debeal carácter isótropo de la simetría esférica. En la tabla 3.1, presentamos los valo-res calculados de frecuencias de intercara para algunas heteroestructuras de puntoscuánticos. Como se podría esperar, los valores de frecuencia ωIF están comprendi-dos entre las frecuencias TO y LO de los distintos compuestos. Además, a medidaque l aumenta, las frecuencias asociadas a los modos de tipo dot crecen, mientraslas de tipo-barrera disminuyen, obteniéndose así una convergencia hacia los valo-res de frecuencias de intercara de dos láminas planas, (l→∞). En la figura 3.1,se muestra la dependencia de las frecuencias de intercara con el número cuántico lpara puntos cuánticos de InAs/GaAs e InAs/GaAs. En ambos casos se observa latendencia anteriormente descrita: disminución de los valores de ωIF para los modosbarrera a medida que aumenta l y aumento de los valores ωIF para los modos dot.Esta tendencia ha sido corroborada por Pusep y colaboradores [2] en las medidas deRaman. Estos autores han observado que, en los puntos cuánticos de InAs/GaAs,para los modos de tipo barrera (GaAs), las frecuencias de intercara de mayor índicetienen valores menores, sin embargo, no comentan sobre los posibles modos de inter-cara asociados al InAs. Pero, en este mismo trabajo, aparece otro tipo de fonones,cuyas frecuencias se sitúan entre los valores límites de fonones ópticos de InAs ylos de GaAs. Por otro lado, Knipp y Reinecke [3], atribuyen la ausencia de modosde intercara de tipo dot para l = 0, a la conservación de carga. Por tanto, sóloun modo de intercara de tipo-barrera puede existir en este caso. La independencia


3.1 Modos de vibración en puntos cuánticos esféricos 31

de las frecuencias de intercara con el tamaño ha sido observada en las superredesde CdS/ZnSe [4]. Estos autores distinguen los modos de intercara extendidos delúnico modo de intercara puro. Los primeros están comprendidos entre los modosacústicos y los modos ópticos de las superredes, mientras que el segundo es de na-turaleza óptica. Este último no cambia con el aumento del número de monocapasen las superredes de CdS/ZnSe y es atribuido al par Zn-S en la cadena atómica dela superred.

Tabla 3.1. Frecuencias de fonones de intercara (ωIF) en puntos cuánticosesféricos en el formalismo DC clásico. El parámetro l es un buen número cuánticoy los valores de ωIF se expresan en cm−1.

l=1 l=2Materiales ωIF tipo dot ωIF tipo barrera ωIF tipo dot ωIF tipo barreraInAs/GaAs 224.7 286.0 226.0 284.6GaAs/AlAs 275.5 389.0 277.4 386.1InAs/InP 225.1 331.7 226.0 329.0

0 2 4 6 8 10224

226

228282

284

286

288

0 2 4 6 8 10224

226

228

326

328

330

332

334

ω (

cm-1)

l (numero cuántico orbital)

(b) InAs/GaAs

ω (

cm-1)

l (numero cuántico orbital)

(a) InAs/InP

Figura 3.1. Dependencía de las frecuencias de intercara con el númerocuántico orbital para puntos cuánticos esféricos.

En el marco del modelo hidrodinámico, varios autores [5, 6] han demostradoque los fonones totalmente confinados presentan una dependencia con el radio de laesfera. Además, existe la posibilidad de que los modos confinados se acoplen a losmodos de intercara. En efecto, para calcular los modos de vibración en el modelofenomenológico estos autores resolvieron las ecuaciones de Helmholtz [6] para dos



funciones auxiliares Ψ y Γ definidas como Ψ = ∇.u y Γ = ∇×u, donde u representael campo de desplazamiento relativo de los iones. Aplicado al caso de la esfera, elpotencial electrostático fue expresado como

Φ(r, θ, ϕ) = Ylm(θ, φ)

− 4πα1ε1,∞Q2

LO,1A1jl(QLO,1r) + C1r

l r ≤ R

− 4πα2ε2,∞Q2

LO,2A2hl(QLO,2r) + C2r

−l−1 r > R(3.3)

donde αi, i=1,2 es el coeficiente de acoplo entre el campo eléctrico y el campo dedesplazamiento, definido en el capítulo 2, mientras

Q2LO,i =

ω2LO,i − ω2

β2LO,i

; i = 1, 2. (3.4)

A1, A2, C1 y C2 son constantes que se determinan tras aplicar las condiciones decontorno y los criterios de normalización del vector campo de polarización, mientrasjl y hl son las funciones de Bessel y de Hankel esféricas, respectivamente. Partiendode la ecuación de movimiento (2.7), se puede comprobar que al aplicar el operadorrotacional, y después de realizar algunas operaciones algebráicas, se obtiene

(∇2 + Q2TO)Γ = 0 (3.5)

donde

Q2TO,i =

ω2TO,i − ω2

β2TO,i

; i = 1, 2. (3.6)

β2LO,i y β2

TO,i tienen el mismo significado que en el capítulo 2. La solución de laecuación de Helmoltz (3.5) no es del todo sencilla para algunas geometrías. Aquí noslimitamos a dar las soluciones en coordenadas esféricas. Para r ≤ R0, las solucionesson

u1 =[− A1

Q2LO

d

dr(jl(QLOr)) +

B1l(l + 1)rQ2

TO

jl(QTOr)

− αC1l

ρβ2TOQ2

TO

lrl−1

]Ylm(θ, ϕ), (3.7a)

u2 = − D1

QTO

√l(l + 1)jl(QTOr), (3.7b)

u3 = −i

√l(l + 1)

r

[− α1C1

ρβ2TOQ2

TO

rl − A1

Q2LO

(jl(QLOr))]

+B1

Q2TO

d

dr(rjl(QTOr))

](3.7c)



donde las constantes A1, B1, C1 y D1 están determinadas por las condiciones decontorno electrostáticas. Para la solución fuera del dot ; r > R; basta sustituir r l

por r−l−1 y jl por hl en las ecuaciones (3.7a)-(3.7c). Al aplicar las condiciones(2.10a)-(2.10c), se obtiene dos tipos de modos: los modos desacoplados y los modosacoplados. Con la condición u|R = 0 para u2, se obtiene

jl(QTOR = µn) = 0; n = 1, 2, ... (3.8)

donde µn es la n-ésima raíz de la función de Bessel jl . De (3.6) y (3.8), se deducelos modos transversales cuyas frecuencias están definidas por

ω2 = ω2TO − β2

TO

(µn

R

)2

. (3.9)

Debido a su carácter puramente transversal, estos modos no están asociados conningún potencial electrostático [6, 7]. Las soluciones de u2 = 0 están totalmentedesacopladas de las otras dos componentes u1 y u3; por tanto, los modos fonónicoscorrespondientes son también desacoplados. Los modos acoplados se obtienen apli-cando las condiciones de contorno sobre las otras dos componentes de u1 y u3. Deesta manera, se halla un sistema de ecuaciones lineales para las constantes A1, B1,C1 y C2. La ecuación característica de estos modos se puede escribir como

νj′l(ν)Fl(µ) = l(l + 1)jl(ν)Gl(µ), (3.10)

donde

Fl(µ) =ω2

LO − ω2TO

β2TO

(R

µ

)2

l[µj′l(µ)− ljl(µ)] +(

ε1,∞ε2,∞

(l + 1) + l

)

× [µj′l(µ) + ljl(µ)], (3.11a)

Gl(µ) =ω2

LO − ω2TO

β2TO

(R

µ

)2ε1,∞ε2,∞

[ljl(µ)− µj′l(µ)]

+(

l +ε1,∞ε2,∞

(l + 1))

jl(µ), (3.11b)

con µ = QTOR, ν = QLOR. Para l = 0, la ecuación secular (3.10) resulta

ε1,∞ε2,∞

(cos(µ)− sen(µ)

µ

) (cos(ν)− sen(ν)

ν

)= 0 (3.12)

lo que implica

tan(νn) = νn; n = 1, 2, ... o tan(µn) = µn; n = 1, 2, ... (3.13)

La amplitud de vibración viene expresada como

u(r) = Aj1(νnr

R)er (3.14)



cuyos modos de vibración son puramente longitudinales, i.e;

ω2 = ω2LO − β2

LO(νn

R)2. (3.15)

Para el caso límite de R grande (µ, ν À 1), la ecuación característica se reduce a

j′l(QLOR)j′l(QTOR)[ω2

LO − ω2TO

β2LO

1QTO

+ QTO

(l +

ε2,∞ε1,∞

(l + 1))]

= 0. (3.16)

De aquí, se deduce los modos de vibración para los fonones de intercara,

ω2 = ω2TO

ε1,0 l + ε2,∞ (l + 1)ε1,∞ l + ε2,∞ (l + 1)

. (3.17)

Como se puede ver, en el caso de radio grande, el modelo fenomenológico conducea una conclusión similar a la obtenida en el formalismo DC clásico para los puntoscuánticos esféricos: las frecuencias de fonones de intercara no dependen del tamañodel punto cuántico, ni tampoco del número cuánticom. Sin embargo, para los puntoscuánticos aislados (free-standing quantum dots) cuyos modos transversales satisfa-cen la relación (3.13), los modos desacoplados son función del tamaño de la esfera.Esta dependencia ha sido observada en las medidas de Raman por Krauss [8] enPbS y predicha teóricamente por Trallero y colaboradores. Krauss y colaboradoresatribuyen el modo observado en PbS a la cuarta raíz de la ecuación trascendental(3.13) para l = 0, o bien, al modo de superficie correspondiente a l ≥ 1 asumiendoque el punto cuántico tiene una simetría esférica. Sin embargo, estos autores conclu-yen que los modos de superficie son independientes del radio del punto cuántico, loque confirmaría la aproximación de gran radio discutido en el modelo hidrodinámicoo las previsiones del modelo DC clásico. Además de predecir la dependencia de losmodos desacoplados con las dimensiones del punto cuántico, el modelo hidrodiná-mico predice la existencia de los fonones de intercara de tipo dot o barrera paral= 0, mientras el único modo activo en el modelo DC clásico que corresponde a l=0 es de tipo barrera [3]; por lo que en este último modelo, los modos de intercararequieren que l 6= 0. En efecto, en el modelo DC, sólo el modo correspondiente a l= 1 es ópticamente activo y tiene una fuerza del oscilador diferente de cero. Estocondujo a Rho y Jackson [9], mediante las medidas de Raman resonante, a atribuirla frecuencia de 245 cm−1 observada en puntos cuánticos de CdSe/ZnSe a un fonónde intercara. Estos autores concluyen que el pico de 245 cm−1, coincide con loscálculos teóricos si se considera que l = 1 y que los puntos cuánticos tienen unasimetría esférica en el modelo DC clásico.

En la figura 3.2 se presentan las frecuencias de fonones confinados en puntoscuánticos esféricos en el caso de la aplicación de las condiciones de contorno mecá-nicas y electrostáticas para l = 0 y n = 1. Las frecuencias de fonones confinadosaumentan de manera monótona con el radio de la esfera hasta saturar para valoresmayores de radio, quedándose por debajo de las frecuencias máximas del materialbulk. Este comportamiento ha sido también observado en los modos de fonones demayor simetría para un punto cuántico esférico de InAs calculados por el mode-lo VFFM (Valence Force Field Model) [10]. Para los modos de baja simetría, lasfrecuencias de fonones disminuyen a medida que aumenta el radio de la esfera. Al



0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

303,0

303,3

303,6

303,9

390

400

410

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

268,0

268,8

291,5

292,0

292,5

TO

LO

AlAs

ω

(cm

-1)

Radio del punto cuántico (nm)

TO

LO

GaAs

ω(c

m-1)

Radio del punto cuántico (nm)

Figura 3.2. Dependencia de las frecuencias de los fonones confinados conel radio en los puntos cuánticos esféricos de GaAs y AlAs según el modelo hidrodi-námico para l = 0 y para la primera raíz de la ecuación transcendental.

Figura 3.3. Dependencia de las frecuencias de fonones de intercara con elradio en los puntos cuánticos esféricos de GaAs/AlAs según el modelo hidrodinámicopara l = 1.[Ver Referencia [6]]



contrario de los resultados del modelo hidrodinámico, los autores de este trabajoreproducen unos valores de frecuencias más grandes que los valores límites del ma-terial volúmico para radios mayores. En la figura 3.3, las frecuencias de fonones deintercara presentan un acoplo entre los TO y los LO. Este acoplo ha sido corro-borado en las medidas Raman por Krauss y Wise [11] en los puntos cuánticos dePbS crecidos sobre vidrio. Pese a las numerosas evidencias experimentales sobre laexistencia y el papel de los fonones de intercara en los puntos cuánticos, los modelosteóricos discrepan unos de otros en cuanto a la determinación exacta de los modosactivos en las heteroestructuras. Recientemente, los trabajos de Li y Arakawa [12]contradicen los resultados del modelo hidrodinámico tal y como es aplicado porTrallero-Giner y colaboradores, en cuanto a la existencia de los modos de intercara.En efecto, en los trabajos de Trallero-Giner [13], y posteriormente los de Comas[5], las condiciones de contorno mecánicas asemejan la intercara a una pared rígida,lo que conduce a considerar las funciones dieléctricas de ambos materiales, dot ybarrera, como constantes y no dependientes de las frecuencias de vibración, sus-tituyendo así las funciones dieléctricas de cada material por sus valores límites aalta frecuencia. Sin embargo, utilizando las funciones dieléctricas dependientes dela frecuencia junto con las condiciones de continuidad de la componente normal dela velocidad de vibración, de la presión hidrostática, del potencial eléctrico y delvector desplazamiento eléctrico en la intercara, Li y Arakawa [12] concluyen que noexisten fonones de intercara en los puntos cuánticos esféricos; por tanto, no puedeexistir el acoplo entre los modos TO y los LO anunciado por Trallero y colabora-dores y observado por Krauss. Al mismo tiempo, confirman la dependencia de losfonones confinados con el radio del punto cuántico. Al contrario de los resultadosdel modelo hidrodinámico puro, en los trabajos de Li y Arakawa se deduce que elnúmero de modos confinados es finito y disminuye con el momento angular l. Ade-más, estos autores establecen un criterio de existencia de los modos confinados enun punto cuántico esférico.

Con motivo de poder comparar nuestros resultados y resaltar el efecto de lageometría para los distintos parámetros que vamos a calcular a lo largo de estatesis, utilizaremos el modelo DC clásico cuando se trata de incorporar los fononesde intercara en nuestros modelos.

3.2. Modos de vibración en puntos cuánticos

cilíndricosConsideramos un punto cuántico cilíndrico de radio R0 y de altura 2d enterra-

do en un substrato de un segundo semiconductor. Para facilidad de cálculo, elegimosun sistema de coordenadas como se indica en la figura 3.4, donde situamos el origende coordenadas en el centro del cilindro.

Utilizando la separación de variables, la solución de la ecuación de Laplace encoordenadas cilíndricas ρ, z, ϕ se escribe como

Φ(r) = eimϕφ(ρ)Z(z). (3.18)

Debido a su simetría, la solución de la ecuación de Laplace en las bases inferiory superior del cilindro es diferente de la solución en la superficie lateral, lo queindica que existen dos tipos de modos de fonones de intercara en esta geometría.


3.2 Modos de vibración en puntos cuánticos cilíndricos 37

z

x

y

R0

2do

Figura 3.4. El esquema del punto cuántico cilíndrico y definición de losparámetros utilizados en los cálculos: R0 es el radio del cilindro y d es la mitad desu altura.

Para distinguir los dos tipos de solución, los denominamos TSO (top-surface opticalmodes) y SSO (side surface optical modes) de acuerdo con los trabajos de Li y Chen[14] y extendidos al caso de heteroestructuras [15]. En este formalismo, la solución(3.18) para las bases superior e inferior, es decir para los modos TSO, viene dadapor

φ(ρ) =

Jm(qρ) (ρ ≤ R0)(1− Nm(qR0)

Jm(qR0)

)Jm(qρ) + Nm(qρ) (ρ > R0)

(3.19)

y

Z(z) =

A+ eqz (z < −d)A cosh(qz) + Bsenh(qz) (|z| < d)A− e−qz (z > d),

(3.20)

donde Jm y Nm son funciones de Bessel y de Neumann de orden m, respectivamente[16]. Las constantes A, B, A+ y A− se determinan tras aplicar las condiciones decontorno electrostáticas y la normalización de los campos de polarización. De laaplicación de las condiciones de contorno electrostáticas en z = ±d, obtenemosuna relación de dispersión ε1(ω)/ε2(ω) = - tanh(qd) para las soluciones simétricas(ó ε1(ω)/ε2(ω)= - cotanh(qd) para las antisimétricas). En el caso de que ε2 = 1,recuperamos los resultados de Li y Chen, donde la relación entre las frecuencias deintercara, las constantes dieléctricas del punto cuántico y la altura del mismo sereduce a

ω2± = ω2

TO

(ε0 + 1)∓ (ε0 − 1)e−2q±d

(ε∞ + 1)± (ε∞ − 1)e−2q±d(3.21)

con los vectores de onda q± definidos por la ecuación transcendental

2mJm(q±R0)q±R0

= (1± e−2q±d)Jm+1(q±R0)

+(1∓ e−2q±d)Jm(q±R0)[Jm+1(q±R0) + Nm+1(q±R0)]

Jm(q±R0) + Nm(q±R0)(3.22)



obtenida al aplicar las condiciones de contorno en ρ = R0. Los signos +/- corres-ponden a las soluciones simétricas y antisimétricas del potencial electrostático. Parael caso de una heteroestructura, ε2(ω) 6= 1, el uso de la relación (2.4) conduce a dosrelaciones bi-cuadráticas [15] entre las frecuencias y los parámetros de los materiales

[ε+,∞ ∓ ε−,∞e−2q±d

]ω4 −

(ε+,∞ ∓ ε−,∞e−2q±d)(ω2

1,TO + ω22,TO)

+ ε′1(1 + e−2q±d)ω21,TO + ε′2(1− e−2q±d)ω2,TO

ω2 +

[(ε+,∞ ∓ ε−,∞e−2q±d)

+ε′1(1± e−2q±d) + ε′2(1± e−2q±d)]ω2

1,TOω22,TO = 0 (3.23)

donde los signos +/− corresponden a los modos simétricos y antisimétricos, conε∓,∞ = ε2,∞ ∓ ε1,∞, y ε′i = εi,0 − εi,∞, i=1,2. La ec. (3.23) representa la ecuacióntrascendental de las frecuencias de los modos TSO para cualquier valor dem. Para lasuperficie lateral, las soluciones simétrica y antisimétrica del potencial electrostáticoque definen los modos SSO vienen dadas por

Φ+(r) = D+Im(nπρ

2d) cos(

nπz

2d)eimϕ n = 2, 4, 6, ... (3.24a)

Φ−(r) = D−Km(nπρ

2d)sen(

nπz

2d)eimϕ n = 1, 3, 5, .... (3.24b)

Como en el caso TSO, las frecuencias de los modos SSO se calculan tras aplicar lascondiciones de contorno en z = ±d y en ρ = R0. Entonces, para ε2 = 1 se tiene que

ω2SSO = [1 +

ε0 − ε∞ε∞ − ε

]ω2TO (3.25)

donde el parámetro ε se da por

ε =Im(nπ

2d R0)[mKm(nπ

2d R0)− (nπ2d R0)Km−1(nπ

2d R0)]

Km(nπ2d R0)

[mIm(nπ

2d R0) + (nπ2d R0)Im+1(nπ

2d R0)] . (3.26)

En el caso de heteroestructuras, obtenemos una relación similar en la que ε se susti-tuye por ε1(ω)/ε2(ω). Al igual que en el cálculo de los TSO, al aplicar las condicionesde contorno para las heteroestructuras, se halla una ecuación bi-cuadrática,

[ε1,∞K0(κR0) + ε2,∞I0(κR0)K1(κR0)

]ω4 −

[K0(κR0)I1(κR0)(ω2

2,TOε1,∞

+ε1,0ω21,TO) + I0(κR0)K1(κR0)(ω2

2,TOε2,∞ + ε2,0ω21,TO)

]ω2 + ω2

1,TOω22,TO

×[ε1,0K0(κR0)I1(κR0) + ε2,0I0(κR0)K1(κR0)

]= 0 (3.27)

donde κ = nπ/2d y cuya solución nos proporciona los fonones de intercara para lasuperficie lateral para el caso de m = 0 . Para ilustrar nuestros cálculos, aplicamos



el formalismo a tres puntos cuánticos aislados: InAs, GaAs y AlAs, así como a dosheteroestructuras de puntos cuánticos InAs/GaAs y GaAs/AlAs. Además, hemossupuesto que los fonones ocupan el estado fundamental definido por m=0. Los pa-rámetros físicos utilizados se encuentran agrupados en la tabla 2.1. Para la alturadel punto cuántico, hemos fijado el valor de 1.6 nm. En la figura 3.5 representamoslos fonones de intercara en dos puntos cuánticos cilíndricos aislados: AlAs e InAsen función del radio del cilindro. Aunque no reproducido aquí, hemos observado

2 4 6 8 10 12 14

368

376

384

392

400

2 4 6 8 10 12 14

215

220

225

230

ωSSO

ωA,TSO

ωS,TSO(a)

ω (

cm-1

)

Radio (nm)

ωSSO

ωA,TSO

ωS,TSO

(b)

ω (

cm-1

)

Radio (nm)

Figura 3.5. Dependencia de las frecuencias de fonones de superficie con elradio en puntos cuánticos cilíndricos aislados de AlAs (a) y de InAs (b).

un comportamiento similar en el punto cuántico aislado de GaAs. En estas figuras,ωS,TSO y ωA,TSO representan los modos simétricos y antisimétricos para los fononesTSO. Estos modos han sido calculados tomando para el vector de onda del fonón elcorrespondiente a la primera raíz de la ecuación transcendental (3.22), mientras quepara los SSO, hemos fijado n = 1 en la ecuación (3.26). Para todos los puntos cuán-ticos investigados, los modos simétricos ωS,TSO presentan una fuerte dependenciacon el radio del cilindro. Mientras ωS,TSO disminuye con el radio del cilindro has-ta R0 ≈ 6 nm, para luego acercarse al valor del bulk, ωA,TSO aumenta ligeramentehasta mantenerse constante para R0 ≥ 8 nm. Sin embargo, los modos laterales SSOpermanecen prácticamente insensibles al cambio de radio del punto cuántico. Estoes parecido al comportamiento observado en puntos cuánticos esféricos en la apro-



ximación de DC clásico, donde la relación de dispersión no depende explícitamentedel tamaño del punto cuántico. En la figura 3.6, se presentan las frecuencias deintercara de los fonones TSO para las heteroestructuras GaAs/AlAs e InAs/GaAsde puntos cuánticos cilíndricos. Al contrario de lo visto en los puntos cuánticos

2 4 6 8 10 12 14260

280

360

380

400

2 4 6 8 10 12 14

210

220

230

260

270

280

ωA,TSO-

ωS,TSO-

Frecuencias tipo dot

Frecuencias tipo barrera

ωS,TSO+

ωA,TSO+

ω (

cm-1)

Radio (nm)

(a)

ωA,TSO-

ωS,TSO-

ωS,TSO+

ωA,TSO+

Frecuencias tipo dot

Frecuencias tipo barrera

ω (

cm-1)

Radio (nm)

(b)

Figura 3.6. Dependencia de las frecuencias de intercara TSO con el radioen puntos cuánticos cilíndricos de GaAs/AlAs (a) e InAs/GaAs (b).

aislados (free-standing quantum dots), tanto los modos simétricos como los antisi-métricos dependen del radio en el rango de R0 ≤ 5 nm. Además, cada uno de estosmodos tiene dos ramas que corresponden al material dot (ωS,TSO− y ωA,TSO−) y almaterial barrera (ωS,TSO+ y ωA,TSO+). Los modos de la misma simetría y de signosopuestos evolucionan de manera complementaria. Por ejemplo, ωS,TSO+ disminuyeen el rango arriba mencionado, mientras ωS,TSO− aumenta en el mismo rango. Enla figura 3.7 se presentan las frecuencias de intercara de los fonones SSO para lasheteroestructuras GaAs/AlAs e InAs/GaAs. Al igual que en el caso de los puntoscuánticos esféricos y en el caso de los cilíndricos aislados (free-standing), no se ob-serva dependencia apreciable con el radio del cilindro. Por otro lado, tanto en lospuntos cuánticos aislados como en las heteroestructuras de puntos cuánticos, lasfrecuencias TSO y SSO satisfacen el criterio de restrahlen discutido por Knipp yReneicke [3] que estipula que los modos de fonones de intercara están comprendidosentre las frecuencias TO y LO de los materiales volúmicos constituyentes de lospuntos cuánticos.

Para ilustrar los cálculos, comparamos nuestros resultados con las medidasRaman de la Ref. [2], en las cuales las dimensiones de los puntos cuánticos son 2d= 7 nm y R0=18 nm. Por ello, tomamos como valores de q±, las raíces de (3.22)de mayor índice, en concreto la segunda raíz de la ecuación transcendental. La fi-gura 3.8 contiene las frecuencias de fonones de intercara en puntos cuánticos de



2 4 6 8 10 12 14

220

240

260

280

300

370

380

390

ωA,SSO

(InAs/GaAs)

ωA,SSO

(GaAs/AlAs)

ωS,SSO

(InAs/GaAs)

ωS,SSO

(GaAs/AlAs)

ω (

cm

-1)

Radio (nm)

Figura 3.7. Dependencia de las frecuencias de fonones SSO con el radiodel cilindro en puntos cuánticos de InAs/GaAs y GaAs/AlAs.

InAs/GaAs para mayor índice en la solución de la ecuación transcendental. ParaR0 < 2d, todos los modos TSO son degenerados, luego se desacoplan y recuperanun comportamiento similar al de las primeras raíces de la ecuación transcendental,cuando R0 > 2d. Así pues, los valores de frecuencia TSO de mayor índice que-dan comprendidos entre los valores correspondientes a la primera raíz; es decir;ωTO,barrera < ωS,TSO+,1 < ωS,TSO+,2 < ωA,TSO,1 < ωA,TSO+,2 < ωLO,barrera dondelos subíndices 1 y 2 representan la primera y la segunda raíz, respectivamente. Parael material dot, basta intercambiar los índices A y S por un lado, y sustituir + por- por el otro, para conseguir el orden de los modos fonónicos. Al mismo tiempo,observamos modos de intercara en el rango comprendido entre los LO de tipo doty los TO del material barrera que atribuimos a los fonones asociados con los SSO.Estos modos han sido observados en muestras de InAs/GaAs mediante las medidasRaman [2]. Fu y colaboradores [17] predicen, para puntos cuánticos de GaP, la exis-tencia de modos fonónicos de superficie situados entre los modos acústicos y ópticos,así como modos de superficie entre los valores límites TO y LO del material.

En efecto, reproducimos los modos de 247, 257, 270 y 285 cm−1 para In-As/GaAs observados en la Ref. [8] que no podrían ser explicados en la aproximaciónde puntos cuánticos esféricos. Se espera que con las distintas raíces de la ecuación(3.22) se pueda recuperar los valores de frecuencias de intercara comprendidas entre245 y 285 cm−1. De este modo, podemos suponer que los modos de fonones com-prendidos entre 250-255 cm−1 pueden asignarse a los modos SSO si se considera quelos puntos cuánticos estudiados tienen una geometría cilíndrica. Además, podemosadelantar que sus valores no se verán afectados por el cambio de tamaño.

El comportamiento de los modos de fonones de intercara tiene una consecuen-cia inmediata en las medidas basadas en la polarización de la luz. En efecto, sepuede esperar que la luz incidente sobre un punto cuántico cilíndrico active de ma-nera distinta los fonones ópticos según la dirección de la polarización. Asumiendoque el eje z del cilindro es la dirección de crecimiento del punto cuántico, una luzpolarizada paralelamente a z afectará más a los modos de tipo TSO, mientras la luzperpendicular al eje z, influirá sobre los SSO. Esto será ciertamente de máxima im-



5.0 10.0 15.0 20.0 25.0220

230

240

250

260

270

280

290

d=3.5 nm

SSO

InAs-TSO

GaAs-TSO

ω(c

m-1

)

Radio (nm)

Figura 3.8. Dependencia de las frecuencias de fonones TSO y SSO conel radio del cilindro en puntos cuánticos de InAs/GaAs para los modos de mayoríndice.

portancia en los cristales con simetría de wurtzita, en que la polarización se desvíaligeramente de la relación de Lorentz y tiene dos componentes diferentes. Además,es conocido que en el estudio de tensiones, la componente transversal tiene un com-portamiento distinto de la componente paralela. Cabe destacar también el efectodel confinamiento sobre los modos de fonones. El comportamiento de los fonones deintercara en los puntos cuánticos aislados se distingue del correspondiente al casode las heteroestructuras tanto en número como en la evolución con las dimensionesdel punto cuántico. Esto es una indicación de la importancia de los fonones en lacaracterización óptica del material, ya que las vibraciones de la red juegan un papelimportante en algunos procesos de scattering en las medidas ópticas.

3.3. Modos de intercara en puntos cuánticos

cónicosSi en lugar de un punto cuántico esférico o cilíndrico, consideramos un pun-

to cuántico cónico, la solución de la ecuación de Laplace, y con ella los modos defonones de intercara cambian radicalmente. La geometría cónica tiene un interésparticular, ya que se considera como una mejor aproximación de las formas reales


3.3 Modos de intercara en puntos cuánticos cónicos 43

observadas en los experimentos de Atomic Force Microscopy (AFM). En esta secciónintentaremos discutir en detalle los modos de intercara en los puntos cuánticos cóni-cos. Desde el punto de vista teórico, esta geometría presenta una riqueza particularen las soluciones debido a la complejidad del caso y a la posibilidad de estudiar elefecto de los vértices sobre los modos de vibración. Distinguiremos la solución paraángulos pequeños de la correspondiente a ángulo arbitrario. Para ilustrar nuestroscálculos, discutiremos los resultados en términos de un factor geométrico llamadoaspect factor, que traduce la relación entre la altura y la base inferior del puntocuántico. En concreto, el aspect factor o factor de forma se define como la razónentre la altura y la anchura de la base inferior del punto cuántico.

q

q0

r

h0

R2

R1

h

f

Figura 3.9. El cono, el cono truncado y el sistema de coordenadas utili-zado: R1 y R2 representan los radios de la base superior e inferior respectivamente,h es la altura total del cono, mientras h0 representa la altura de la base superior ala base inferior del cono truncado. El semi-ángulo polar está definido con respectoal eje polar del cono truncado cuyo origen coincide con el ápex del cono.

En la figura 3.9 se representa el cono y el sistema de coordenadas empleadoen nuestro cálculo. Elegimos el eje polar según la dirección de crecimiento del puntocuántico, tal como se indica en la figura. La superficie del cono viene definida porla ecuación paramétrica θ = θ0, ya que la región situada fuera del cono se repre-senta por θ0 < θ < π. Debido a la simetría axial, podemos resolver la ecuación deLaplace en coordenadas esféricas. Por tanto, usando la separación de variables, siΦ(r, θ, ϕ) = f(r)g(θ)Exp(imϕ), es la solución de la ecuación de Laplace, obtenemosdos ecuaciones diferenciales desacopladas, i.e.

r2 d2f

dr2+ 2r

df

dr+ (α +

14)f = 0 (3.28)

y

sen(θ)d2g

dθ2+ cos(θ)

dg

dθ−

[(α +

14)sen(θ) +

m2

sen(θ)

]g = 0 (3.29)

donde α es la constante de separación de variables a determinar mediante las con-diciones de contorno. Knipp y Reinecke [3] han usado un esquema similar de se-paración de variables para resolver la ecuación de Laplace en puntos cuánticos con



cups. Debido a la naturaleza de esta geometría, se espera la existencia de dos mo-dos superficiales. Por analogía con los puntos cuánticos cilíndricos, llamaremos BSO(base- surface optical modes) a aquellos modos relacionados con la ecuación radial ySSO (side-surface optical modes) a los modos relacionados con la ecuación angular.

3.3.1. Modos BSOEn la ecuación (3.28), los puntos r=0 y r = ∞ son puntos singulares. Para

forzar que la solución sea analítica en el dominio arriba descrito, elegimos un puntor0 llamado "turning point" [16], de modo que la solución de la ecuación radial vienedeterminada por

f(r) =1

r1/2Exp

i

∫ r

r0

η

r′dr′

(3.30)

o de manera explícita

f(r) = r−1/2Exp

iη ln

r

r0

. (3.31)

donde r0 = h − h0 ( ver figura 3.9). Al ser la ecuación (3.28) de segundo orden, elcomplejo conjugado de (3.31) es también solución de (3.28). Debido a la naturalezaparticular de la geometría cónica, las condiciones de contorno electromagnéticasstandard no son aplicables en la solución radial. Por tanto, adoptamos la ecuaciónintegral de contorno (Boundary Integral Equation (BIE)) en las bases superior einferior del cono para analizar los modos BSO en esta geometría. Suponiendo queel potencial electrostático es una función real de r, entonces la parte imaginaria def(r) es cero y en la base inferior del cono se tiene

sen[η ln

(h− h0

h

)]= 0. (3.32)

La relación anterior define de forma unívoca los valores de η para valores dados deh y h0, así se deduce

η = −π/ ln(

h− h0

h

). (3.33)

Para encontrar los modos de fonones en las bases del cono truncado, suponemos queel potencial electrostático es idéntico en ambas bases. Esta hipótesis está basada endos hechos: (i) el punto cuántico está rodeado por el mismo material y (ii) en elmodelo DC, aspectos microscópicos como el efecto de rugosidad en las intercarasno se puede tratar de forma adecuada; por tanto, todas las intercaras se comportancomo paredes rígidas. Entonces, el teorema de Green permite escribir un potenciallocal para cualquier punto en un dominio dado en términos del potencial y de su de-rivada normal para cualquier punto localizado en la frontera de este dominio. Sareniet al. [18] han usado este teorema para analizar la constante dieléctrica efectiva demateriales compuestos, usando un balance de flujo del vector desplazamiento eléc-



trico. Siguiendo este modelo y con la hipótesis de potencial idéntico en las bases, setiene

ε1(ω)∫

S1

∂f

∂ndS + ε2(ω)

∫

S2

∂f

∂ndS = 0, (3.34)

donde S1 y S2 son las superficies superior e inferior, respectivamente y n es unvector unitario normal a la superficie. A partir de esta condición, encontramos

ε1(ω)(

h− h0

h

)−3/2

= ε2(ω) cos[η ln

(h− h0

h

)]. (3.35)

Sustituyendo la ecuación (3.33) en la ecuación (3.35), se obtiene

ε1(ω)ε2(ω)

= β (3.36)

con

β = −(

h− h0

h

)3/2

. (3.37)

La ecuación anterior junto con la relación de la función dieléctrica constituye laecuación transcendental para los fonones de intercara BSO en las bases del conotruncado.

3.3.2. Modos SSO

Para hallar la solución de la parte angular [(3.29)], supondremos que la cons-tante de separación de variables es positiva (α > 0), dejando apartado el caso deα < 0 que corresponde a un esferoide cuyas soluciones son sobradamente conocidas.Entonces, podemos definir una nueva constante η2 = α + 1/4 y hallar la soluciónangular g(θ) para η2 > 0. Si el ángulo θ es suficientemente pequeño, y suponiendoque x = ηθ, la ecuación (3.29) puede trasformarse en

x2 d2g

dθ2+ x

dg

dx− (x2 + m2)g = 0. (3.38)

La ec. (3.38) es una ecuación característica cuyas soluciones son funciones modifi-cadas de Bessel [16] de primera y segunda especie de orden m. De ahí, la soluciónse reduce a

g(θ) =

Am Im(ηθ) (para θ ≤ θ0)Bm Km(ηθ) (para θ > θ0)

(3.39)

con Am y Bm las constantes a determinar por las condiciones de contorno y denormalización. La existencia de fonones de intercara requiere que la solución (3.39)



sea continua en todo el dominio, de modo que a partir de las condiciones de contornoelectrostáticas en θ = θ0, se obtiene

ε1(ω)ε2(ω)

=∂

∂x0[ln[Km(x0)]]

∂∂x0

[ln[Im(x0)]]; x0 = ηθ0. (3.40)

Representamos por βm, el término de la derecha de la ecuación (3.40); en particular,para m = 0 y m = 1, obtenemos

β0 = −K1(ηθ0)I0(ηθ0)K0(ηθ0)I1(ηθ0)

; (3.41)

β1 = −I1(ηθ0) [ηθ0K0(ηθ0) + K1(ηθ0)]K1(ηθ0)[ηθ0I0(ηθ0)− I1(ηθ)]

. (3.42)

A partir de la ecuación (3.40), al igual que en el caso del punto cuántico cilín-drico, se verifica que, las frecuencias de los modos de fonones de intercara dependendel número cuántico m y de las dimensiones del cono. Para el caso ηθ0 ¿ 1, y deacuerdo con los desarrollos límites de las funciones de Bessel Km e Im [16, 19], lasexpresiones (3.41) y (3.42) se convierten en

β0 = − 2

(ηθ0)2Log(

1ηθ0

) ; (3.43)

β1 = (ηθ0)2Log

(1

ηθ0

)+ 1. (3.44)

Para poder comparar estos resultados con los cálculos posteriores, adoptamos ladefinición de un parámetro adimensional

λ(ω) =ε1(ω) + ε2(ω)ε1(ω)− ε2(ω)

, (3.45)

independiente de las constantes físicas de los materiales empleados en las hete-roestructuras. Este parámetro de carácter general, ha sido empleado por Knipp yReinecke [3] para describir los modos de fonones de intercara en puntos cuánticos.Los dos parámetros β y λ satisfacen la relación λ = (β + 1)/(β − 1); por tanto, enel análisis del comportamiento de los fonones de intercara, se puede elegir uno uotro de estos dos parámetros, indistintamente. Para los casos m = 0 y m=1, lasustitución de las expresiones (3.43) y (3.44) en la ecuación (3.45) proporciona lassiguientes relaciones de dispersión

λη0 =2− (ηθ0)2Log( 2

ηθ0)

2 + (ηθ0)2Log( 2ηθ0

)(3.46)



y

λη1 =2− (ηθ0)2Log( 1

ηθ0)

(ηθ0)2Log( 1ηθ0

). (3.47)

En el caso general de θ arbitrario, la solución de la ecuación (3.29) se da en términosde polinomios de Legendre asociados [20, 21]. Utilizando la transformación deMehler [22], la solución angular de la ecuación de Laplace para un θ arbitrario seda por

g(θ) =

Am,ηPm

−1/2+iη(cos θ)Pm−1/2+iη(−cos θ0), 0 ≤ θ ≤ θ0

Bm,ηPm−1/2+iη(cos θ0)Pm

−1/2+iη(−cos θ), θ0 ≤ θ ≤ π(3.48)

donde Am,η y Bm,η son constantes a determinar por las condiciones de contornoy de normalización; y P−1/2+iη(cos θ) es la función cónica, la cual es una cantidadpuramente real y cuyo desarrollo en serie tiene la forma siguiente [16]

P−1/2+iη(cos θ) = 1 +4η2 + 1

22sen2 θ

2+

(4η2 + 1)(4η2 + 32)2242

sen4 θ

2+ ... (3.49)

La función cónica de argumento (−cos θ) se define como

P−1/2+iη(− cos θ) =cosh ηπ

π[Q−1/2+iη(cos θ) + Q−1/2−iη(cos θ)] (3.50)

con

Q−1/2∓iη(cos θ) = ±isenh ηπ

∫ ∞

0

cos (ηt) dt√2(cosh t + cos θ)

. (3.51)

La expresión (3.50) requiere un cálculo riguroso si se quiere obtener una so-lución analítica. En primer lugar, los puntos θ = 0 y θ = π son puntos singula-res para la ecuación diferencial (3.29). Babich y colaboradores [21] representaronP−1/2+iη(cos θ) = eηθWη(θ) y calcularon primero P−1/2+iη(cos θ) y luego, susti-tuyendo P−1/2+iη(−cos θ) en la ecuación diferencial, evaluaron numéricamente lanueva función Wη(θ) alrededor de θ = 0, y θ = π. Para nosotros, es interesanteconstruir una expresión analítica. Por tanto, recurriendo a la trigonometría, pode-mos expresar la función cónica P1/2±iη(−cos θ) en serie de potencia de cos θ. Porello, procedemos al cambio e±iπcos θ = cos θ′ en la relación (3.50). Si expresamosP1/2±iη(−cos θ) = P1/2+iη(e±iπcos θ) , siendo θ′= π − θ, y utilizando la definiciónde P1/2±iη(cos θ) para la nueva variable θ′, obtenemos una expresión similar a laecuación (3.49) en función de cos θ, es decir

P−1/2+iη(− cos θ) = 1+4η2 + 1

22cos2

θ

2+

(4η2 + 1)(4η2 + 32)2242

cos4θ

2+ ... (3.52)

Al igual que en el caso de ángulos pequeños, la relación de dispersión independiente



del material para los fonones de intercara SSO se determina a partir de las derivadaslogarítmicas del potencial electrostático, es decir

ληm ≡ ε1(ωηm) + ε2(ωηm)ε1(ωηm)− ε2(ωηm)

=∂∂x

ln

[Pm−1/2+iη(−x)Pm

−1/2+iη(x)]

∂∂x′

ln

[Pm−1/2+iη(−x′)/Pm

−1/2+iη(x′)]

∣∣∣∣x=x′=cos θ0

. (3.53)

De la ec. (3.53) podemos deducir que los modos de fonones de intercara SSO enpuntos cuánticos cónicos dependen de las dimensiones del cono, a través del ánguloθ0, de la constante de separación de variables η y del número cuántico m. Entonces,para los casos particulares de m = 0 y m = 1, se obtiene

λη0 ≡ ε1(ωη0) + ε2(ωη0)ε1(ωη0)− ε2(ωη0)

= −1 +4η2 + 32

2[9 + 2(4η2 + 12)(4η2 + 32)

8] cos(θ)

× 42 +3(4η2 + 1)

8+

(4η2 + 1)(4η2 + 32)43

× [1 + (1 +(4η2 + 32)

2,42) sen2(θ)]−1; (3.54)

y

λη,1 =

5 cos(θ) +4η2 + 32

8[cos4(

θ

2)− 13

4sen2(θ) + 22sen2(

θ

2)]

+ [34sen2(

θ

2)(2 + cos2(

θ

2)) + sen(θ) cos4(

θ

2)

[cos(θ)− 2 sen2(θ

2)]](4η2 + 9)2

×

7 cos(θ) +4η2 + 9

8[24 sen2(

θ

2)− 2 sen2(θ)− cos(θ) cos2(

θ

2)]

+3(4η2 + 9)2

43[sen2(

θ

2)(2 + cos2(

θ

2))− sen(θ) cos4(

θ

2)

× (cos(θ)− 2 sen2(θ

2))]

−1

. (3.55)

Los modos fonónicos de intercara se obtienen reemplazando las funciones die-léctricas de la expresión (2.4) en (3.53). Sin embargo, si en el desarrollo de lasfunciones cónicas, despreciamos los términos en sen4(θ/2) o de orden superior, lasrelaciones de dispersión para m=0 y m= 1 se reducen a

λη0 = − 123

[cosθ

(1− (4η2+1)23 )

](3.56)



y

λη1 = 0. (3.57)

3.3.3. ResultadosA continuación, discutiremos los comportamientos de los modos BSO y SSO

en función de la altura, el ángulo polar y el factor de forma para puntos cuánticosde InAs/InP y InAs/GaAs. En la figura 3.10 se muestra la dependencia de lasfrecuencias BSO con la altura para puntos cuánticos de InAs/InP para dos rangosde h0: (a) 8-15 nm y (b) 8-18 nm. En los calculos, hemos utilizado dos valores fijospara la altura del cono exterior: h = 15 nm y h= 18 nm. De esto modo, h0 varíaentre 8 nm y los valores límites de la altura. En estos dos rangos, las frecuencias detipo barrera decrecen para alturas crecientes, mientras que para las frecuencias detipo dot se tiene un comportamiento inverso. Ambas frecuencias de intercara paralos casos (a) y (b) alcanzan un valor constante cuando la altura tiende al valor dela altura total h del cono externo.

8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0

240

250

260

270

280

290

300

310

ω (

cm-1)

h0 (nm)

h = 18 nm

h = 15 nm

h = 15 nm

h = 18 nm

Figura 3.10. Dependencia de frecuencias de intercara con la altura enpuntos cuánticos de InAs/InP con factor de forma r = 0.3.

En la figura 3.11 se muestra la dependencia de las frecuencias BSO con la al-tura para puntos cuánticos de InAs/GaAs. En ambos puntos cuánticos, valores másgrandes de h implican valores mayores de los modos barrera y valores menores delos modos dot, independientemente de cuál sea el valor inicial de h0. Para los puntoscuánticos de InAs/GaAs, las frecuencias de tipo barrera y de tipo dot están com-prendidas en las regiones reststrahl de estos materiales; i.e., ωj,TO < ωj,IF < ωj,LO(j



2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5225

228

279

282

285

h = 18 nm

h = 15 nm

h = 18 nm

h = 15 nm

ω(c

m-1)

h0 (nm)

Figura 3.11. Dependencia de frecuencias de intercara con la altura enpuntos cuánticos de InAs/GaAs con factor de forma r = 0.21.

= 1,2) (ver valores de la tabla 1.1). Sin embargo, en los puntos cuánticos de In-As/InP, los modos IF no están restringidos a la región reststrahl de los materialesconstituyentes. Una posible explicación de esta diferencia de comportamiento se-ría la siguiente. Cálculos teóricos y medidas Raman en el semiconductor InP (110)han mostrado que las capas atómicas más exteriores de InP presentan frecuenciasde fonones superficiales localizadas en el gap de fonones de este material. Además,algunas de estas frecuencias son cercanas a las frecuencias LO del semiconductorInAs [23]. Debido a las características de los fonones superficiales, es posible quelas vibraciones de estos modos sean similares a las correspondientes a los modos deintercara; por tanto, se puede esperar que los modos IF tomen valores en el rangode los modos superficiales. Así, el modo de tipo barrera en los puntos cuánticos deInAs/InP presenta valores desde la región de reststrahl de InP hasta las frecuenciassuperficiales encontradas para el semiconductor InP [23]. Los modos de tipo dotcrecen desde la región de reststrahl (para valores más pequeños de h0 no mostra-dos aqui, las frecuencias de intercara toman valores en el reststrahl) hasta valoresmayores que son cercanos a los fonones superficiales de InP. Otra diferencia entrelos puntos cuánticos de InAs/InP y InAs/GaAs es el menor ritmo de crecimiento (odecrecimiento) de los modos IF en el caso de InAs/GaAs frente a InAs/InP. ParaInAs/GaAs, los materiales dot y barrera tienen el mismo catión (As), mientras queen InAs/InP, el anión (In) es el mismo en ambos materiales. También, el gap de fo-nones entre los materiales dot y barrera es superior en InAs/InP que en InAs/GaAs.Este alto gap en los puntos cuánticos de InAs/InP, junto con la pequeña diferenciaen las constantes dieléctricas entre InAs y GaAs podría explicar el comportamiento



diferente observado en los modos BSO para los puntos cuánticos de InAs/GaAs conrespecto a los puntos cuánticos de InAs/InP a medida que cambia la altura.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

220

240

320

340

InP-like

InAs-like

ω(c

m-1

)

η θ

Figura 3.12. Dependencia de las frecuencias de intercara con ηθ en unpunto cuántico de InAs/InP: aproximación de ángulo pequeño.

La figura 3.12 muestra la dependencia de las frecuencias SSO con el pará-metro ηθ para puntos cuánticos de InAs/InP en la aproximación de ángulo polarpequeño. Se observa que las frecuencias de los modos m = 0 y m = 1 satisfacen lascondiciones de las frecuencias de intercara; i.e., ωj,TO < ωj,IF < ωj,LO (j = 1,2) (vervalores de la tabla 1.1). Para los modos de tipo barrera, las frecuencias del modofundamental (m = 0) son mayores que las correspondientes al modo excitado (m =1), mientras que este comportamiento es inverso para los modos de tipo dot. Estefenómeno también ha sido observado en puntos cuánticos esferoidales, donde los mo-dos de índices mayores presentan frecuencias más pequeñas [24]. Por otro lado, paravalores crecientes de ηθ, parece que los modos m = 0 y m = 1 de tipo barrera (dot)tienden a converger a un único valor de intercara cercano a ωj,LO + ωj,TO/2 (j=1,2).Este efecto también fue observado en pozos cuánticos asimétricos de semiconducto-res III-V donde diferentes ramas de modos IF convergen a valores asintóticos [25].La separación de las frecuencias de los modos m=0 y m=1 es pronunciada paravalores más pequeños de ηθ. Se ha encontrado una dependencia similar de las fre-cuencias SSO (modos m=0 y m=1) con el parámetro ηθ para puntos cuánticos deInAs/GaAs. La razón por la que los modos SSO en puntos cuánticos de InAs/GaAsy InAs/InP no presenten un comportamiento diferente como en el caso de los modosBSO puede ser atribuido a la simetría rotacional que deja invariante la morfologíadel punto cuántico.

Además de la altura y el ángulo polar, otro parámetro geométrico relevante



es el factor de forma, definido como r = h0/2R2. Valores típicos de este parámetroson 0.1-0.3 [26–28]. Grassi y colaboradores [29] dan valores de r en el rango de0.1 a 0.6. Para investigar la influencia de este parámetro en los modos de intercara,se ha calculado las frecuencias SSO como función del ángulo polar para factores deforma entre 0.1 y 0.7. En las figuras 3.13 y 3.14 se muestran los resultados para r=0.1- 0.4 (fig. 3.13) y 0.5 (fig. 3.14) como casos representativos de las característicasprincipales observadas; sin embargo, se discutirán todos los casos investigados. Parael modo fundamental (m = 0), la dependencia de las frecuencias dot y barrera conel ángulo es similar para r < 0,4. Las frecuencias de tipo barrera aumentan paraángulos polares crecientes, mientras que se obtiene un comportamiento inverso paralas frecuencias de tipo dot. Para factores de forma entre 0.4 y 0.7, hay un salto brus-co entre estas dos ramas; es decir, el modo de tipo dot pasa a ser de tipo barreray viceversa para valores específicos del ángulo polar. Por ejemplo, para r = 0.6, elcambio brusco ocurre en θ ≈ 32o, mientras que para r = 0.7, el cambio se produceen θ ≈ 26o. Respecto al primer modo excitado (m = 1), no hay intercambio entrelas ramas dot y barrera para ninguno de los factores de forma investigados. Sinembargo, la dependencia de estos modos con el ángulo polar cambia para diferentesvalores de r. De hecho, para r = 0.1, las frecuencias de tipo barrera decrecen paraángulos crecientes, mientras que las frecuencias de tipo dot aumentan para ánguloscrecientes. Cuando r = 0.2, las frecuencias de tipo dot y barrera son prácticamenteconstantes y para pequeños ángulos, alcanzan los valores del modo m = 0. Parar ≥ 0,3, las frecuencias de tipo barrera son funciones crecientes del ángulo, mientrasque las frecuencias de tipo dot son funciones decrecientes. A partir de estos resulta-dos, se puede decir que los modos fundamental y primer excitado son muy sensiblescon el factor de forma. Un posible origen de las características diferentes entre estosmodos sería que la relación de dispersión es distinta para m = 0 y m = 1 en laaproximación de ángulo polar arbitrario. Se darán más detalles sobre las relacionesde dispersión en la sección siguiente de comparación entre las tres geometrías. Pa-ra ilustrar el intercambio entre las ramas dot y barrera del modo fundamental, semuestra en la figura 3.14 las frecuencias SSO para r = 0.5 y varios valores inicialesde h0. Se observa que el cambio brusco (los modos dot pasan a los modos barrera yviceversa) ocurre para θ ≈ 38o, independientemente de h0. Para antes y después delcambio, las frecuencias de tipo barrera aumentan para ángulos crecientes, mientrasque las frecuencias de tipo dot son funciones decrecientes del ángulo. Además, lasfrecuencias de tipo barrera (dot) del modo excitado son superiores (inferiores) a lasfrecuencias del modo fundamental para h0 = 2 nm. Este efecto se observa hasta unvalor de θ ≈ 25o donde el modo excitado de tipo barrera (dot) recupera valores in-feriores (superiores) que los correspondientes al modo fundamental. La dependenciade las frecuencias SSO para el mismo rango de factores de forma es similar parapuntos cuánticos de InAs/InP, aunque no se ha mostrado aquí. Dado que los modosde fonones son dependientes del tamaño en formas geométricas no regulares como elcaso cónico, las medidas ópticas dependientes de la polarización pueden ser usadaspara determinar las formas y tamaños de los puntos cuánticos. En concreto, parael caso que acabamos de analizar, se puede esperar que la luz incidente paralelaal parámetro radial del cono sólo excite las vibraciones BSO, mientras que la luzincidente perpendicular a este eje excite principalmente los modos SSO.


3.4 Comparación entre las tres geometrías 53

68,0 70,0 72,0 74,0 76,0 78,0 80,0220,0

320,0

340,0

52,0 54,0 56,0 58,0 60,0 62,0 64,0 66,0 68,0 70,0220,0

320,0

340,0

40,0 42,0 44,0 46,0 48,0 50,0 52,0 54,0 56,0 58,0 60,0220,0

320,0

340,0

32,0 34,0 36,0 38,0 40,0 42,0 44,0 46,0 48,0 50,0 52,0200,0

220,0

240,0

320,0

340,0

360,0

(a)

m = 0

m = 1

m = 1

m = 0

InA

s/In

P

ω (

cm

-1 )

Angulo polar

(b)a

m = 0

m = 1

m = 1

m = 0

InA

s/In

P

ω (

cm

-1 )

Angulo polar

(c)

m = 0

m = 1

m = 1

m = 0

InA

s/In

P

ω (

cm

-1 )

Angulo polar

(d)

m = 0

m = 1

m = 1

m = 0

InA

s/In

P

ω (

cm

-1 )

Angulo polar

Figura 3.13. Dependencia de las frecuencias de intercara con el ángulopolar en puntos cuánticos de InAs/InP con simetría cónica: caso de conos truncados:(a) r = 0.1, (b) r = 0.2, (c) r = 0.3, (d) r = 0.4.

3.4. Comparación entre las tres geometríasPara concluir este capítulo, discutiremos la evolución de la relación de dis-

persión de los fonones de intercara, a través del parámetro adimensional λ en lastres geometrías investigadas. Las figuras siguientes resumen los modos de fononesde intercara en puntos cuánticos esféricos, cilíndricos y cónicos. Se puede observarque los modos l = 0 , están prohibidos en el punto cuántico esférico, por lo que

λ(l) = 1/(2l + 1). (3.58)



5 10 15 20 25 30 35 40 45 50200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

20 25 30 35 40 45200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

32 34 36 38 40 42 44 46200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

ω

(cm

-1)

Ángulo polar θ

(a)

m=0

m=0

m=1

ω (

cm -1

)

Ángulo polar θ

(c)

m=0

m=0

m=1

m=1

ω (

cm -1

)

Ángulo polar θ

(b)

m=0

m=0

m=1

m=1

ω (

cm -1

)

Ángulo polar θ

(d)

m=0

m=0

m=1

m=1

Figura 3.14. Dependencia de las frecuencias de intercara con el ángulopolar en puntos cuánticos de InAs/InP con simetría cónica para r=0.5: (a) h0= 2nm, (b) h0=6 nm ,(c) h0 = 8 y (d) h0 = 10 nm y h = 15 nm.

Además, para cada valor de l, se obtiene un valor constante de los modos de in-tercara; lo que demuestra que el tamaño de la esfera no afecta a estos modos enesta aproximación. Sin embargo, en la aproximación de la combinación de condi-ciones mecánicas y electrostáticas, existen modos de fonones acoplados que tienenuna dependencia con el tamaño de la esfera. Para los puntos cuánticos cilíndricos,la relación de dispersión depende explícitamente tanto del radio del cilindro comode la altura del mismo. Al igual que en la solución de la ecuación de Laplace, aquí



distinguimos dos ramas para la relación de dispersión

λTSO = −e−2q+d para los modos simétricos

e−2q−d para los modos anti-simétricos (3.59)

en el caso de los fonones TSO. Para los modos SSO, la relación de dispersión es

λSSO =I0(n πR0

2d )K1(n πR02d )−K0(n πR0

2d )I1(n πR02d )

I0(n πR02d )K1(n πR0

2d ) + K0(n πR02d )I1(n πR0

2d ). (3.60)

En la figura 3.15 se representa la dependencia con el radio de la relación de dis-persión para los modos TSO. La figura 3.15 (a) corresponde a los modos para loscuales el vector de onda q es la primera raíz de la ecuación transcendental (3.22).Los resultados han sido obtenidos para tres valores de la altura con el fin de analizarel comportamiento de λ en función de la altura. Concretamente, para la rama si-métrica, la curva más alejada corresponde a la altura más pequeña, mientras que lasituación inversa se observa para la rama antisimétrica (los tres valores de la alturason d=0.5 nm, 1.5 nm y 4.5 nm). En la figura 3.15 (b), se muestra el comporta-miento de λ correspondiente a la segunda raíz de la ecuación trascendental. Una vezmás, hemos calculado λ para dos valores de la altura (d = 1.6 nm, d=2.5 nm). Losmodos correspondientes a grandes valores de la altura, se encuentran comprendidosentre las soluciones simétrica y anti-simétrica de los modos relacionados con alturaspequeñas. La figura 3.16 muestra la relación de dispersión para los modos SSO.Como en el caso de TSO, calculamos la relación entre la relación de dispersión y laaltura. Por ello, hemos elegido dos valores (d=1.5 nm y d=3.5 nm) para la primeray la segunda raíz de la ecuación transcendental correspondiente. Los modos corres-pondientes a la primera raíz y mayor altura se aproxima al modo de menor alturade la segunda raíz.

El efecto de confinamiento, que se traduce en la dependencia de las frecuenciasde fonones con las dimensiones de los puntos cuánticos, es pronunciado en el rangode tamaños pequeños, para todos los modos y distintas alturas.

La relación de dispersión (3.59) toma valores siempre negativos para los modossimétricos (positivos para los anti-simétricos) en todo el rango de variación de d,la semialtura del punto cuántico. Para q → 0, λ = -1 (1). Los modos fonónicoscorrespondientes a estos valores de λ definen los límites de las zonas restrahlen.Estos modos se hallan también cuando la altura tiende a cero. En caso de que d→∞, ω = (ωTO + ωLO)/2, valor que se acerca a los modos ópticos de una intercaraentre dos dieléctricos planos.

En el caso de puntos cuánticos cónicos, la relación de dispersión es más com-pleja. En la figura 3.17 se representa la variación de λ en función de la altura delcono6. Para la aproximación de pequeño ángulo, λ es negativo en toda la regióninvestigada. En la figura 3.18 se muestra la relación de dispersión para el modofundamental en la aproximación de ángulo arbitrario en función de θ. Se observaque la relación de dispersión es independiente del ángulo polar7 para η > 10. Enaproximación de ángulo arbitrario, la relación de dispersión del modo fundamental

6Para representar la ley de dispersión en función de la altura, hemos utilizado la relacióntrigonométrica entre el ángulo polar y la altura.

7Aquí nos hemos limitado a cortar al segundo término los desarrollos en serie de las funcionescónicas P−1/2+iη .



0,0 5,0 10,0 15,0 20,0-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0

-0,8

-0,4

0,0

0,4

0,8

Rel

ació

n de

dis

pers

ión

Radio (nm)

(b)

Rel

ació

n de

dis

pers

ión

Radio (nm)

(a)

Figura 3.15. Dependencia de la relación de dispersión de fonones TSO conel radio del cilindro para distintos valores de la altura y (a) para q como primeraraíz, mientras (b) para q de mayor índice en la ecuación transcendental. Las alturasvan de mayor a menor mientras las frecuencias varían de menor (mayor) a mayor(menor) para la barrera (dot).

cambia de signo con la altura, mientras que la dispersión del modo excitado es unafunción creciente de la altura. El hecho de que λ sea positivo o negativo afectaríaconsiderablemente el comportamiento de las frecuencias IF; de aquí, la dependenciatan diferente obtenida para las frecuencias de los modos fundamental y excitadoen la sección anterior. El cambio de signo revela ya la importancia que tiene lageometría en los modos de vibración. En este caso, el cambio de signo se interpretaen términos de la posibilidad de localización en las zonas de mayor curvatura.

El número de modos activos aumenta a medida que la geometría del puntocuántico se hace menos simétrica. El modelo DC no predice una correlación entre



0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0-0.35

-0.30

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

λ

(a.u

)

Radio (nm)

Figura 3.16. Dependencia de la relación de dispersión de fonones SSO conel radio del cilindro: ¥ y H corresponden a d=1.5 y 3.5 nm respectivamente y n=1,mientras • y ¨ se refieren a d=1.5 y 3.5 nm y n= 2.

los modos de vibración y las dimensiones del punto cuántico, en el caso esférico. Encambio, los puntos cuánticos cilíndricos y cónicos presentan una dependencia conel tamaño de manera general, y en particular en los TSO para puntos cuánticoscilíndricos. Además, en el caso de puntos cuánticos aislados (free-standing), los SSOpresentan una ligera dependencia con el radio del cilindro. En el caso de los cónicos,además de la dependencia con el confinamiento, las puntas o vértices se conviertenen zonas de fuerte concentración, produciendo así una localización de los modosde vibración. Knipp y Reinecke interpretan el cambio de signo en términos delaumento de la densidad de carga en las cercanías de la punta del cono. Por otrolado, Bennett y colaboradores [30] predicen, además de la localización en las zonasde mayor curvatura, una gran posibilidad de acoplo entre los fonones de intercara demayor índice con los electrones del estado fundamental en un hilo cuántico elíptico.En efecto, para estos autores, el hecho de que los modos de intercara tengan unλ < 0, les convierten en análogos de huecos y se presten a fuertes interacciones conlos electrones. A partir de estos resultados se puede decir que para puntos cuánticosde geometrías complejas, los modos IF muestran comportamientos anómalos talescomo el intercambio brusco entre los modos barrera y dot que acabamos de observaren los puntos cuánticos cónicos . Este fenómeno ocurre para factores de forma en el



2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Re

laci

ón

de

dis

pe

rsió

n

h (nm)

Figura 3.17. Relación de dispersión de fonones de intercara en función dela altura en puntos cuánticos cónicos. • representa la relación de dispersión param=0; ♦ corresponde a m=1; ¥ es la dispersión en la aproximación de ángulospequeños.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-0,002

0,000

0,002

0,004

0,08

0,10

0,12

η=100.

η=10.

η=1.

η=0.5

Relación

de dispe

rsión

Ángulo polar θ (en radian)

Figura 3.18. Relación de dispersión para los ángulos arbitrarios: el des-arrollo de las funciones cónicas ha sido cortado al segundo término.

rango de 0.4-0.7 que representan formas menos suaves. Otro tipo de anomalías sonfrecuentes en geometrías con baja simetría. Por ejemplo, los modos IF localizados enpuntos cuánticos con vértices muy pronunciados presentan un espectro vibracionalcontinuo, mientras que aquellos con vértices más suaves, el espectro es discreto [3].


3.5 Conclusión 59

Pese a la abundante literatura sobre los modos fonónicos, la cuestión de losmodos de intercara en los puntos cuánticos sigue sin resolverse. Salvo en determina-dos casos, las medidas Raman que discuten los modos de fonones de intercara estánlejos de zanjar la naturaleza de los modos observados. La complejidad del problemaestriba en la dificultad que encuentran los experimentadores a la hora de fabricarpuntos cuánticos con tamaños y formas pre-determinados. Además, otros factorescomo son las tensiones o la composición en caso de las aleaciones son susceptibles deoriginar valores de frecuencias parecidos a algunas de las frecuencias de intercara.Por ello, en muchos de los trabajos, la aparición de nuevos modos de fonón, apartede los valores límites de materiales bulk se ha interpretado en términos de defectos.

3.5. ConclusiónEn este capítulo hemos analizado los efectos de la geometría de puntos cuán-

ticos en los modos de vibraciones. Tres geometrías más características: esférica,cilíndrica y cónicas nos han servido de base para estos objetivos.

Mediante las muy conocidas ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones de movi-miento de Born-Huang, el cálculo de los fonones de intercara se reduce a la resoluciónde la ecuación de LAPLACE aplicándose las condiciones de contorno electromagné-ticas en las intercaras. Estos resultados demuestran que tanto el número de modosde intercara, como la dependencia de los mismos con el tamaño de puntos cuánticosdependen fuertemente de la geometría del sistema. Por ejemplo, hemos obtenidoque los modos de fonones de intercara son insensibles al tamaño del punto cuánticoen una geometría esférica, mientras que en las cilíndricas y las cónicas, los fononesde intercara cambian con las dimensiones de puntos cuánticos. Además, para estasdos últimas geometrías, se observan dos tipos diferentes de modos de intercara: losmodos TSO ( o BSO), referidos a las bases del cilindro (del cono) y los modos SSO,correspondientes a la superficie lateral del cilindro (del cono). Para una misma geo-metría, observamos que el entorno de puntos cuánticos tiene un efecto importanteen el comportamiento de modos de vibración. Este hecho se ha visto reflejado enlos modos TSO y SSO en puntos cuánticos cilíndricos aislados, donde la variaciónde modos TSO simétricos es más pronunciada que en las heteroestructuras. En lospuntos cuánticos cónicos, observamos que los modos SSO cambian bruscamente,yéndose de valores cercanos al material dot hacia los valores de frecuencias propiasde la barrera para valores específicos del ángulo del cono. Atribuimos este fenómenoa una posible localización en las zonas de mayor curvatura del cono.


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61

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[21] V. Babich, D. Dement’ev, and B. Samokish. Wave Motion, 21:203, 1995.

[22] N. M. Temme. Special Functions: An Introduction to the Classical Functionsof Mathematical Physics . John Wiley & Sons, New York, USA, 1996.

[23] N. Esser, K. Hinrichs and W. Richter. http://pcos.org/ico-rsxm/paper/richter.pdf.

[24] F. Comas, C. Trallero-Giner, N. Studart and G.E. Marques. Phys. Rev. B, 65:073303, 2002.

[25] P. Kinsler, R.W. Kelsall and P. Harrison. Physica B, 263-264:507, 1999.



[28] P. Miska, C. Paranthoen, J. Even, N. Betru, A. Le Corre and O. Dehaese.J.Phys.: Condens. Matter, 14:12301, 2002.

[29] M. Grassi Alessi, M. Capizzi, A.S. Bhatti, A. Frova, F. Materlli, P. Frigeri, A.Broacchi ans S. Franchi. Phys. Rev. B, 59:7620, 1999.

[30] C.R. Bennett, N.C. Constantinou, M. Babiker and B.K. Ridley. J.Phys.: Con-dens. Matter, 7:9819, 1995.


Capítulo 4

Niveles de energía en

puntos cuánticos

El potencial de confinamiento que sufre un electrón (o hueco) en los puntoscuánticos, proviene del alineamiento de las bandas de conducción (o de valencia) delos semiconductores que componen la heteroestructura. El estudio de la estructurade bandas o propiedades electrónicas en las heteroestructuras ha sido ampliamentereferido en la literatura [1–5]. Existen muchos métodos diferentes para estudiar laspropiedades electrónicas de puntos cuánticos, entre ellos citaremos: la aproximaciónde masa efectiva, el modelo k.p multibandas, tight binding, y el cálculo pseudopo-tencial. Todos estos modelos tienen en común las etapas necesarias para modelizarlas propiedades electrónicas y ópticas. El diagrama 4.1 resume en grandes líneaslas tres etapas esenciales en la descripción de las propiedades electrónicas.

En este trabajo, nos centramos en la aproximación de masa efectiva (AME),donde las propiedades electrónicas se definen a partir de la ecuación de movimien-to de un electrón dentro del campo de otros electrones e iones que constituyenel material. Muchos trabajos basados en AME aproximan el potencial de confi-namiento a una barrera con paredes infinitas [6] (IEMA: Infinite Effective MassApproximation). Consecuentemente, los niveles de energía del punto cuántico salensobre-evaluados en comparación con los valores experimentales. Sin embargo, conla elección de un potencial finito (FEMA: Finite Effective Mass Approximation),Feyrrera y colaboradores [7] han logrado disminuir la discrepancia entre los valoresteóricos y experimentales de la energía de gap. Además, el método de AME es flexi-ble y fácil de desarrollar; ello permite tener en cuenta algunos aspectos cruciales enel estudio de heteroestructuras como pueden ser la geometría de puntos cuánticos,la no-parabolicidad o la mezcla en la estructura de bandas de materiales utilizadosen la fabricación de la heteroestructura. Otra ventaja de AME es que se puedesustituir los valores de los componentes del tensor de masa efectiva por sus valorescerca de puntos extremos en la estructura de banda.

4.1. Niveles de energía en puntos cuánticos

esféricosLos primeros estudios teóricos de los niveles de energía en puntos cuánticos

estaban basados en nanoestructuras esféricas inmersas en un potencial infinito, asu-

63

64 Capítulo 4. Niveles de energía en puntos cuánticos

Definición de la estructura(geometría, tamaño, composición (caso de aleaciones),

materiales,tensión)

ModelizaciónFunción de onda, potencial, …

Las Interacciones(e-e, e-h,e-ph…)

Etot= EPT+ESC+Ecorr+Ee-ph

Perturbaciones, MONTE CARLO, Self-consistent,Variacional, …

EMA

k.p multibandas

Tight-binding

pseudopotencial

Figura 4.1. Diagrama de modelización de propiedades electrónicas y ópti-cas en puntos cuánticos: EPT es la energía calculada por método de perturbaciones,ESC es la corrección obtenida por self-consistent, Ecorr es la energía de correlación,Ee−ph la energía de interacción electrón-fonón.

miendo que los electrones y huecos poseen una dispersión parabólica en sus bandasrespectivas. En la aproximación de masa efectiva, el movimiento de un electrón (ohueco) en un potencial Vconf puede escribirse como

H = − ~2

2m∗∇2 + Vconf (4.1)

donde el primer término de la derecha representa la energía cinética del electrón(o hueco) con una masa efectiva m∗. La solución de este Hamiltoniano se presentacomo el producto de la función envolvente por la función de Bloch de la banda deconducción (o de valencia) del electrón (o hueco). Debido a la periodicidad de lafunción de Bloch, el papel tanto de la geometría de las heteroestructuras como delos parámetros físicos que describen los materiales quedan implícitamente incluidasen la función envolvente.

Para un potencial cualquiera V(r); en la aproximación de la función envolven-te, el Hamiltoniano electrónico en coordenadas esféricas puede resolverse en sepa-ración de variables, con la parte radial escrita como

1r2

d

dr

[r2 1

m(r)d

drRl(r)

]− l(l + 1)

r2

Rl(r)m(r)

+2~2

[E − V (r)]Rl(r) = 0; (4.2)

siendo m(r) la masa efectiva en función de la posición. La solución de esta ecuacióndepende fuertemente del tipo de potencial V (r) como vamos a ver a continuación.


4.1 Niveles de energía en puntos cuánticos esféricos 65

En AME, una heteroestructura o intercara viene caracterizada a través de las condi-ciones de contorno. Aunque en general, la elección de condiciones de contorno parecearbitraria, hay un acuerdo sobre estas condiciones en el caso de intercaras planas. Setrata de que la función de onda, junto con la componente normal de la corriente deprobabilidad deben ser continuas en la intercara. Estos criterios constituyen lo quese llama condiciones de contorno convencionales o condiciones de Daniel-Duke [1].Otros tipos de condiciones de contorno muy utilizadas en la literatura consisten enexigir que la función de onda, junto con su derivadla sean continuas en la intercara,obviándose de paso el desajuste entre las masa fectivas (effective mass mismatch).A lo largo de este capítulo, salvo mención especial utilizaremos las condiciones decontorno convencionales.

4.1.1. Niveles de energía en la aproximación del potencial

infinito

Considerando el potencial de confinamiento

Vconf =

0 r ≤ R∞ r > R,

(4.3)

y despreciando la interacción Coulombiana, la solución de la ecuación (4.1) nosproporciona la función de onda del electrón que podemos expresar en términos dela función de Bessel esférica y de los armónicos esféricos

Ψnlm(r) =

√2

R3jl+1(klnR)jl(klnr)Y ml (θ, ϕ) r ≤ R

0 r > R.(4.4)

El auto-valor del Hamiltoniano o la energía del electrón se da por

Enl =~2k2

ln

2m∗ , (4.5)

donde kln = µln/R, y µln es la n-ésima raíz de la función de Bessel esférica, i.e.jl(µnl) = 0. Por tanto, en la aproximación del potencial infinito, los estados seclasifican con respecto al momento angular orbital l (l = 0,1,2, ...), su proyecciónm(m = 0,±1,±2, ...) y el número cuántico n que contabiliza los estados de la mis-ma simetría. Estos niveles de energía se miden a partir del nivel más bajo de labanda de conducción (ó de valencia) para los electrones (o huecos), y se encuen-tran degenerados con respecto al número cuántico m. Para el estado fundamental(1,0,0), µ10 = π. La función de onda y la energía correspondiente tienen expresionessencillas

Ψ100(r) = √

π2R3 j0(πr/R) r ≤ R

0 r > R,(4.6)

E100 =~2π2

2m∗R2. (4.7)



Si designamos por 1S el estado fundamental del electrón en el punto cuántico,los estados de energía podrían definirse de la manera siguiente: 1P (l = 1, n = 1),1D (l = 2, n = 1), 2S (l = 0,n = 2) etc. siguiendo la misma notación que en Ref. [8].

5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

En

erg

ía d

e c

on

fina

mie

nto

(e

V)

Radio de la esfera (nm)

1S (l=0,n=1) 1P (l=1,n=1) 1D (l=2,n=1) 2S (l=0,n=2)

Figura 4.2. Dependencia de la energía de confinamiento con el radio enpuntos cuánticos esféricos en la aproximación de potencial infinito para los cuatroprimeros niveles de energía.

En la figura 4.2 se muestra los cuatro primeros niveles de energía para unpunto cuántico esférico de InAs en la aproximación del potencial infinito. De estosresultados, se aprecia que todos los niveles de energía decrecen a medida que aumen-ta el tamaño del punto cuántico. Para los valores de R superiores a 20 nm, todoslos niveles de energía se aproximan entre sí. Además, para un tamaño específico(R < 20nm), los niveles de energía crecen en este orden: 1S, 1P, 1D, 2S ..., lo quese aproxima a la notación habitual en ese campo, es decir: nS,nP, nD, , ... donde nrepresenta el número cuántico radial, (2l+1) veces degenerados respecto al númerocuántico orbital l.


finito

La aproximación del potencial finito debe su origen al viejo problema de "quan-tum box", que representa una partícula encerrada en una caja tri-dimensional deparedes finitas. La traslación a los tratamientos de niveles de energía en los puntoscuánticos parte de la analogía que se establece entre el pozo cuántico, estructura enque los electrones están confinados en una dimensión por una barrera de potencialproducida por una diferencia entre las bandas de conducción (o de valencia) (con-duction band-offset) de los materiales constituyentes de la heteroestructura. Si en laecuación (4.2) sustituimos V (r) por Vconf , siendo éste el potencial de confinamiento



definido por

Vconf =

−V0 (r ≤ R)0 (r > R), (4.8)

la función de onda del electrón se expresará como

Ψnlm(r) =

Almnjl(klnr)Y m

l (θ, ϕ) r ≤ RBlmnh+

l (iκlnr)Y ml (θ, ϕ) r > R

(4.9)

donde Almn y Blmn son las constantes de normalización y se determinan por lascondiciones de contorno y de normalización de la función de onda, y jl y h+

l sonfunciones de Bessel y de Hankel esféricas, respectivamente. De las condiciones decontorno de Daniel-Duke [1], se deduce una ecuación transcendental

[jl(klnR)]′/jl(klnR) =m∗

1

m∗2

[h+l (iκlnR)]′/h+

l (iκlnR) (4.10)

donde

kln =√

2m∗1Eln/~ (4.11)

κln =√

2m∗2(Eln − V0)/~. (4.12)

m∗1 y m∗

2 denotan las masas efectivas en la región 1 y 2 que representan el materialdot y barrera, respectivamente. Las primas en la ec. (4.10) se refieren a la deriva-da con respecto al argumento de la función de Bessel. La solución de la ecuacióntranscendental (4.10) nos proporciona las energías del punto cuántico. Debido alcarácter oscilatorio de las funciones involucradas en la ec. (4.10), utilizamos el al-goritmo ZBRENT [9], desarrollado por Wijngarrden y colaboradores, que combinael método de bisección y la interpolación cuadrática inversa para determinar lasraíces de una función, cuyas derivadas cambian suavemente en la vecindad de laraíz. En la figura 4.3 se presenta la energía del estado fundamental del electrón(hueco) en función del radio de la esfera para puntos cuánticos de InAs/GaAs enla aproximación del potencial finito (FEMA). Asimismo, representamos la ener-gía correspondiente para la aproximación de potencial infinito (IEMA). Para estecálculo, Vconf ' 0,69 eV , definido a partir de la discontinuidad de las bandas deconducción al borde del dot. Se observa que la energía disminuye con el tamaño delpunto cuántico en ambos casos. Sin embargo, para un tamaño dado, la energía delportador en la aproximación de potencial infinito es superior a su valor en la apro-ximación de potencial finito. Solo mencionar a partir de aquí, que como los huecospesados que intervienen en las transiciones ópticas, tienen masas efectivas mayoresa las masas efectivas de los electrones, la separación entre los niveles de energía esmás pequeña para los huecos.

Debido a la elección de nuestra función de onda, se aprecia que las constantes



0 10 20 30 40

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

(b)

InA

s/G

aAs

IEMA

FEMA

Ene

rgía

de

conf

inam

ient

o (e

V)

Radio (nm)

(a)

IEMA

FEMA

InA

s/G

aAs

Ene

rgía

de

conf

inam

ient

o (e

V)

Radio (nm)

Figura 4.3. Dependencia de la energía de confinamiento con el radio para(a) electrones y (b) huecos en la aproximación de potencial finito en puntos cuánticosde InAs/GaAs. Para comparar, se muestra también la energía de confinamiento enla aproximación de potencial infinito.

de normalización para el estado fundamental vienen determinadas por

A2 =k20n

κ20n

[R/2− sen(2k0nR)

4k0n+

e−2κ0n

2κ0n

]−1

(4.13)

y

B2 =[R/2− sen(2k0nR)

4k0n+

e−2κ0n

2κ0n

]−1

. (4.14)

Estas constantes serán útiles en el cálculo de la corrección de energía y los tra-tamientos posteriores. Para determinar el papel del potencial finito en los nivelesexcitados, primero volveremos al la ec. (4.1) que determina los energías para unpotencial infinito. Podemos, sin duda alguna, construir un parámetro adimensionalque da cuenta de toda la física de los sistemas envueltos en un potencial finito. Bási-camente, para una heteroestructura de dimensión, R8 el potencial de confinamiento

8R representa por ejemplo la semi-anchura en un pozo cuántico, la dimensión radial en un hilocuántico o las dimensiones laterales y/o verticales en los puntos cuánticos.



puede expresar como

Vconf =~2ν2

2m∗R20

(4.15)

donde ν es el nuevo parámetro que representa el confinamiento en unidades re-ducidas. De hecho, para una barrera infinita, ν ≈ ∞. De esta manera, se deduceque una barrera entre dos semiconductores puede parecer profunda o débil segúnla extensión del confinamiento. Así pues, cuando más grande en la extensión, me-jor es la aproximación de potencial infinito. Dicho de otra forma, la aproximaciónde potencial finito se presta mejor a los sistemas fuertemente confinados (menordimensión). Para determinar los valores límites de energía de confinamiento en unpotencial finito, escribimos esta energía en términos de Vconf , i.e.;

Econf =~2α2

2m∗R2= Vconf − ~2β2

2m∗R2(4.16)

con α2 + β2 = ν2. Los estados de energía en esos casos vienen determinados porlos valores de α y β reales y positivos. De la etc. (4.16), se comprueba que paraβ = 0, la energía de confinamiento se acerca al valor límite superior del potencial deconfinamiento (techo del potencial), mientras que para β ≈ ν, la energía es igual acero (el fondo del potencial), por tanto los niveles de energía están profundamenteanclados en el fondo del pozo del potencial. En el caso de puntos cuánticos esféricos,las soluciones de la ec. de Schrödinger se escriben como

fl(ξ) =A√ξJl+1/2(αlξ) ξ < 1 (4.17a)

fl(ξ) =A√ξ

Jl+1/2(αl)Kl+1/2(βl)

Kl+1/2(βlξ) ξ > 1 (4.17b)

en coordenadas reducidas, i.e. ~ξ = (| ~r | /R, θ, ϕ), donde A es la constante de norma-lización, Jl+1/2 y Kl+1/2 son las funciones de Bessel de primer orden y modificada,respectivamente. La aplicación de las condiciones de contorno de Daniel-Duke enξ = 1, da lugar a la siguiente relación transcendental

αlJl−1/2(αl)Jl+1/2(αl)

= (l + 1/2)[1− m∗

1

m∗2

]− βl

[m∗

1

m∗2

]Kl−1/2(βl)Kl+1/2(βl)

. (4.18)

Es evidente, que para ν →∞ y αl finito, βl es infinito. Sin embargo, si βl → 0 y αl

es finito, el segundo término de la parte derecha de la ec. (4.18) tiende hacia cero,como −β2

l /(2l − 1). Entonces la ec. (4.18) se convierte en

αlJl−1/2(αl)Jl+1/2(αl)

= (l + 1/2)[1− m∗

1

m∗2

]− β2

l

[m∗

1

m∗2

]/(2l − 1). (4.19)

Las raíces de esta ecuación nos proporcionan los valores asintóticos de la energíade confinamiento. Otra forma de resolver esta cuestión consistiría en buscar una



relación de recurrencia que determine los valores de energía de confinamiento enfunción de unos parámetros adimensionales dependientes del tipo de confinamientoy/o de la geometría. Por ello, en vez de aplicar las condiciones de contorno de Daniel-Duke, ampliamente referidas en las secciones anteriores, utilizaremos la continuidadde la derivada en ξ = 1. Con ello, el desarrollo del inverso del término a la izquierdade la ec. (4.18) tiende hacia (αl−z

(n)l+1/2)/z

(n)l+1/2, de tal forma que αl 6=0 ' z

(n)l+1/2/(l+

ν−1)9, para el caso de ν →∞, αl finito y βl ' ν infinito. Sin embargo, para βl → 0,αl ' ν finito, mientras que el segundo miembro de la ec. (4.18) tiende hacia cerosegún β2

l /(2l − 1), αl se acerca al cero de Jl−1/2. Esto implica que αl 6=0 ' z(n)l−1/2 +

(ν − z(n)l−1/2)/(l + 1/2). Entonces, podemos deducir que la energía de confinamiento

de puntos cuánticos esféricos en un potencial finito se dan a través de una función[11]

χ(ν) =

ν + 1 +(αmax − νmin − 1)2

(αmax − νmin − 1) + (ν − νmin)(1 + (γ − 1)αmax/αmin)

−1

× αmaxν. (4.20)

En este caso de puntos cuánticos esféricos, para l = 0, νmin = (n−1/2)π, νmax = nπ

y γ = 1, mientras que para l 6= 0, νmin = z(n)l−1/2, αmax = z

(n)l+1/2 y γ = 1/(l + 1/2).

0 5 10 15 20 25 30

2

4

6

8

10

α

ν

ν=α 1S (n=1,l=0) 1P (n=1,l=1) 1D (n=1,l=2) 2S (n=2,l=0) 1F (n=1,l=3)

α =

ν

Figura 4.4. Parámetros adimensionales α en función de ν para puntoscuánticos esféricos en aproximación de potencial finito.

La figura 4.4 presenta la relación entre los dos parámetros adimensionales α yν para distintos niveles de energía (n,l), obtenidos a partir de la ec. análitica (4.20).

9Para deducir esta expresión utilizamos la definición de la derivada de la función de Bessel, asícomo los desarrollos asintóticos de las mismas [10]. Aquí, z

(n)l+1/2

representa la n-esima raíz de lafunción de Bessel Jl+1/2.



La recta α = ν define el limite superior para las energías de confinamiento.

5,0 10,0 15,0 20,0 25,0

0,00

0,34

0,68

1,02

1,36

1,71

2,05

5,0 10,0 15,0 20,0

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

Ene

rgía

de

conf

inam

ient

o (e

V)

Radio (nm)

1S (n=1,l=0) 1P (n=1,l=1) 1D (n=1,l=2) 2S (n=2,l=0) V

conf

Vconf

= 0.69 eV

(b)

Ene

rgía

de

conf

inam

ient

o (e

V)

Radio (nm)

1S (n=1,l=0) 1P (n=1,l=1) 1D (n=1,l=2) 2S (n=2,l=0) V

confVconf

= 5 eV

(a)

Figura 4.5. Dependencia de los cuatro primeros niveles excitados con elradio en puntos cuánticos esféricos en aproximación de potencial finito. Las figs.(a) y (b) demuestran el papel del potencial cuanto a número de estados posibles.Los datos corresponden a puntos cuánticos de InAs/GaAs con band-offset comopotential o un potencial arbitrario.

Para ilustración, calculamos los cuatro primeros niveles excitados en puntoscuánticos esféricos de InAs/GaAs. Los resultados se muestran en la figura 4.5 parados potenciales de confinamiento; Vconf = 5 eV y Vconf = 690 meV, este últimorepresenta el band-offset debido a la discontinuidad de las bandas de valencia yde conducción. El uso del band-offset como potencial finito en estos cálculos tienecomo objetivo de reproducir el efecto de tensiones sobre los niveles de energía. Eneste caso, consideramos que Vconf ' 0,8∆Eg. Como cabe de esperar, las energíasde confinamiento disminuyen con el aumento del radio del punto cuántico. En lafigura 4.5, se puede observar que existen soluciones espúrias (Spurious Solutions)para algunos valores de radio de la esfera. En efecto, si asumimos que Vconf limitalos valores de energía que puede tener un electrón (hueco) en el sistema, esto suponeque existe un tamaño por debajo del cual, un estado ligado no puede existir. Conello, las dimensiones del dot limitan el número de estados posibles que se puedeobservar. En la fig. 4.5, hemos marcado con una línea discontinua los valores deVconf para distinguir los niveles de energía superior de los que caen debajo del valorlimite determinado por Vconf . Leyronas y Combescot [11] han demostrado que paraun mismo material, el número de estados posibles depende del tipo y del alcance delconfinamiento. Por ejemplo, para una heteroestructura de GaAs/GaxAl1−xAs enun potential finito de 400 meV y un tamaño de 4 nm, esta heteroestructura presentados estados ligados cuando está confinado en pozo o hilo cuántico, y sólo un estadoen confinamiento tridimensional (o punto cuántico).




parabólico

La aproximación del potencial parabólico se debe, probablemente, a los efec-tos de anclaje ("pinning") del nivel de Fermi, como consecuencia de la reacciónaltamente anisótropa de los iones de los materiales semiconductores. Este anclaje("pinning") provocaría una curvatura de bandas ("band-bending") y una zona devaciado en las inmediaciones de la intercara entre los semiconductores. Para im-plementar este hecho en los cálculos teóricos, se recurre a una aproximación delpotencial parabólico, de modo que el potencial de confinamiento sufrido por el por-tador tiene la forma siguiente

V (r) = EF

[1− (R− r)

W

]2

(4.21)

donde EF es el nivel de Fermi, R la dimensión del punto cuántico, r la coordenadaradial y W la anchura de la zona de vaciado. Supongamos el Hamiltoniano delelectrón en el potencial parabólico isótropo, expresado como

Hel = − ~2

2m∗∇2 +12m∗ω2

0r2 (4.22)

donde ω0 es la fuerza del acoplamiento o potencial de confinamiento, que puededefinirse como ~ω0 = (2EF/m∗)1/2~/R [12]. Esta ecuación es igual a la del osciladorarmónico tridimensional, cuya función de onda es

Ψnlm(r, θ, φ) = Nnlmrle−α2r2/2M(−n + 1, l + 3/2, α2r2)Y ml (θ, φ) (4.23)

siendo M(−n + 1, l + 3/2, α2r2) la función de Kummer [10, 13] definida por

M(a, b, z) =∞∑

n=0

(a)nzn

(b)nn!(4.24)

y α =√

m∗ω0/~. Nnlm es la constante de normalización definida por

Nnlm =[2α2l+3Γ(l + n + 1/2)(n− 1)!Γ2(l + 3/2)

]2

. (4.25)

La función de onda del estado fundamental se da por

Ψ100 = N10e−α2r2/2Y00 (4.26)


4.2 Niveles de energía en puntos cuánticos cilíndricos 73

con N210 = 8√

πα3. Podemos comprobar que los niveles de energía de confinamiento

son

Enl = ~ω0[2(n− 1) + l + 3/2] (4.27)

donde n (n=1,2,3 ...) es el número cuántico principal, mientras l (l=0,1,2,3,...) esel número cuántico azímutal. Los distintos niveles siguen la notación del atómo dehidrógeno. A la vista de esta relación, se espera que los niveles de energía seanequidistantes unos respecto a otros.

3/2

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

E/'

ωo

Figura 4.6. Niveles de energía en puntos cuánticos esféricos en la aproxi-mación de potencial parabólico.

En la figura 4.6 se muestra los cinco primeros niveles de energía en la apro-ximación de potencial parabólico. En esta aproximación, ~ω0 puede interpretarsecomo la energía de separación entre los distintos niveles de energía. Debido a sudependencia con el radio del punto cuántico, la separación entre niveles disminuyepara los tamaños mayores. En las heteroestructuras de GaAs/AlGaAs por ejemplo,esta separación es del orden de 25 meV, para EF = 0.8 eV y R = 50 nm.


cilíndricosEn coordenadas cilíndricas, el Hamiltoniano de un electrón (o un hueco) en

un potencial de confinamiento se escribe

H = −~2

2

(1ρ

∂

∂ρ

ρ

m∗(ρ, z)∂

∂ρ+

∂

∂z

1m∗(ρ, z)

∂

∂z+

1m∗(ρ, z)

1ρ2

∂2

∂θ2

)+V (ρ, z) (4.28)

donde hemos asumido que la masa efectiva varía con las posiciones en el sistemade coordenadas. Como en el caso del punto cuántico esférico, la solución de esteHamiltoniano depende igualmente del tipo de potencial. A continuación, daremos lassoluciones en las que el Hamiltoniano puede ser tratado en separación de variables.




infinito

Para un potencial infinito, definido por

V (ρ, z) =

0 para ρ < R0, |z| < d∞ fuera, (4.29)

la función de onda de un electrón en un punto cuántico cilíndrico viene dada por

Ψ(r) =

Jl(χnρ

R0) cos(kzz)eimϕ para ρ ≤ R0, |z| ≤ d

0 fuera.(4.30)

El movimiento en el plano está cuántizado, por lo que el espectro de energía de unelectrón en el estado fundamental se define a partir de los ceros de las funcionesde Bessel. La función de onda anterior puede expresarse también en términos dela función seno para la solución en z. Entonces, el nivel más bajo de energía deconfinamiento en el punto cuántico se definirá como

E =~2χ2

1

2m∗R20

+~2π2n2

8m∗d2(4.31)

con χ1 la primera raíz de la función de Bessel J0. En la figura 4.7 se presenta laenergía de confinamiento de los primeros niveles para puntos cuánticos de InAs enfunción del radio para d = 2.5 nm. Los niveles de energía están definidos por losnúmeros cuánticos (n,l,m), donde n es el número cuánticos radial, l define el orden dela función de Bessel y m es el número cuántico azimutal. Como el movimiento en ladirección z tiene una solución simétrica y antisimétrica, hemos designado por (n,l,+)los estados correspondientes a la solución simétrica, y (n,l,-) las correspondientes ala solución antisimétrica. Los niveles de energía disminuyen a medida que aumentael tamaño del punto cuántico. Al igual que en el caso esférico, estos niveles estándegenerados con respecto al momento angular m. Sin embargo, la regla de selecciónen este caso es distinta. A diferencia de los puntos cuánticos esféricos, el tercer nivelexcitado corresponde a 2S mientras que su homólogo en caso esférico es 1D. Estehecho puede tener consecuencias importantes cuanto a las transiciones permitidasen las medidas ópticas.


finito

Debido a la peculiaridad del confinamiento en las tres direcciones espacialesen un punto cuántico, resulta difícil tratar la ecuación de movimiento (2.29) porseparación de variables cuando se trata del caso cilíndrico. Le Goff y Stebé [14],en su trabajo en aproximación de potencial finito, han demostrado que el estadofundamental puede caracterizarse por un producto de una función de onda quedefine el movimiento en el plano (x,y) y una segunda función para el movimientoen la dirección z. Esta aproximación se justifica por el hecho de que las dimensiones



4,0 8,0 12,0 16,0 20,0

0,82

1,24

1,65

2,06

2,47

2,88

3,30

3,71

4,12

4,53

4,95

5,36

En

erg

ía d

e c

on

fina

mie

nto

(e

V)

Radio (nm)

(n=1,l=0,+) (n=1,l=1,+) (n=2,l=0,+) (n=1,l=2,+) (n=1,l=0,-) (n=1,l=1,-) (n=2,l=0,-) (n=1,l=2,-)

Figura 4.7. Dependencia de los cuatro primeros niveles de energía de con-finamiento con el radio para electrones en la aproximación de potencial infinito parapuntos cuánticos cilíndricos de InAs.

laterales del punto cuántico suelen ser diferentes de su altura. Sin embargo, paradar cuenta del acoplo entre el movimiento en el plano y el movimiento en z, elpotencial de confinamiento está sometido a una corrección. De hecho, se consideraque el potencial de confinamiento en la dirección z viene definido por el band-offset, luego se aplica una corrección para hallar el valor correspondiente en el plano(x,y), corrección que proviene de la probabilidad de que el portador se encuentreen el plano, haciendo uso de las funciones de onda del portador que describen sumovimiento. Por otra parte, siguiendo el mismo planteamiento, Lelong y Bastard[15] utilizaron un potencial efectivo para desacoplar el movimiento en el plano (x,y)del movimiento en la dirección z para dos tipos de geometría del punto cuántico:el cono y la semiesfera; además, introdujeron unas expresiones analíticas para lospotenciales de confinamiento.

Por otro lado, Peeters y Schweigert [16] calcularon los estados de energía enla dirección de crecimiento, para luego tratar el confinamiento en el plano como unpotencial efectivo Veff que traduce la probabilidad de encontrar un electrón con-finado en el plano, dadas las funciones de onda del mismo en z. La masa efectivatambién se ve afectada, según este formalismo por el acoplo entre el movimiento enel plano y el movimiento en la dirección de crecimiento. Otros autores, como Cali-fano y Harrison [17], para solucionar el problema de la dependencia espacial, tantode la masa efectiva como del potencial de confinamiento, definieron el espacio delsistema dot/barrera como un cubo de dimensiones Lx,Ly y Lz, en cuyo interior seencuentra confinado el punto cuántico en forma de pirámide. Obviando la continui-dad de la función de onda en la intercara dot/barrera, estos autores convirtieron laecuación de movimiento en una ecuación matricial, multiplicando toda la ecuación



de Schrödinger por el complejo conjugado de la función de onda para luego integraren todo el volumen del cubo. Para hallar los auto-valores, primero integraron laecuación del movimiento en todo el volumen del cubo manteniendo constante lamasa efectiva igual a la masa del material barrera. Luego, la misma integral se efec-tuó en la región del punto cuántico, con la masa efectiva igual a la masa del dot. Ala suma de estas dos contribuciones, se resta una tercera contribución obtenida de laintegración en la región del dot, con la masa efectiva igual a la masa de la barrera. Elmismo procedimiento es aplicado al potencial de confinamiento. Este método tienela ventaja de ser aplicable a distintos tipos de potencial de confinamiento. Korku-sinski y colaboradores [18] han separado el Hamiltoniano de un disco cuántico endos términos: uno en el plano xy y el otro en la dirección de crecimiento (z ). Alcontrario de Peeters y colaboradores [16], estos autores mantienen constantes lasmasas efectivas a lo largo de todos los cálculos.

Puesto que en general, la altura del punto cuántico es inferior a sus dimen-siones laterales, el movimiento en la dirección de crecimiento es más confinado. Porlo tanto, se puede utilizar la aproximación adiabática a la hora de definir el po-tencial de confinamiento. Por consiguiente, podemos pues, describir el potencial deconfinamiento de la manera siguiente

V (ρ, z) = −V0 para |ρ| < R0, |z| < d

0 fuera del dot (4.32)

de modo que la función de onda puede escribirse como

Ψ(ρ, z, θ) =1√2π

eimθgρ(z)fm(ρ). (4.33)

El índice ρ en la ec. (4.33) indica que la solución del Hamiltoniano en la direc-ción z se determina para un radio fijo. Con ello, el Hamiltoniano puede analizarsepor separación de variables y las funciones gρ(z) y fm(ρ) satisfacen las ecuacionessiguientes

[− ~2

2m∗∂2

∂z2+ V (ρ, z)

]gρ(z) = E(ρ)gρ(z), (4.34)

[−~

2

21ρ2

(ρ

∂

∂ρ

ρ

m∗(ρ)∂

∂ρ−m2

)+ E(ρ)

]fm(ρ) = Efm(ρ). (4.35)

Para hallar los niveles de energías, primero calculamos E(ρ) para el potencial deconfinamiento V(ρ, z). Su valor se sustituye en la ecuación radial, jugando así el pa-pel de un potencial efectivo. Como en el caso del punto cuántico esférico, escribimosla función de onda del electrón en la aproximación de masa efectiva, teniendo encuenta la geometría cilíndrica. En el plano xy, la función de onda del electrón puedeexpresarse en términos de las funciones de Bessel, es decir

ψ(ρ, ϕ) =

AnJn(k1ρ)eimϕ (ρ ≤ R0)BnKn(κ2ρ)eimϕ (ρ > R0).

(4.36)



Aquí los índices 1 y 2 se refieren al material dot y barrera, respectivamente. Si-guiendo el mismo procedimiento que en la sección anterior, comprobamos que lasconstantes de normalización se escriben como

An = (Kn(κ2R0)/S1/2)[J2

n(k1R0)Kn+1(κ2R0)Kn−1(κ2R0)

− K2n(κ2R0)Jn+1(k1R0)Jn−1(k1R0)

]−1/2 (4.37)

y

Bn = (Jn(k1R0))/Kn(κ2R0)An = anAn; (4.38)

expresiones obtenidas a partir de la normalización y de la continuidad de la funciónde onda para ρ = R0. Aplicando las condiciones de contorno de Daniel-Duke, obte-nemos una ecuación transcendental, cuya solución determina la energía del electrón,es decir

Jn(k1R0)K ′n(κ2R0)− (m∗

2k1/m∗1κ2)J ′n(k1R0)Kn(κ2R0) = 0. (4.39)

En todas estas ecuaciones, k1 = [(2m∗1/~2)Eρ]1/2; κ2 = [(2m∗

2/~2)(V0 − Eρ)]1/2.Las primas en ec. (4.39) se refieren a las derivadas con respecto al argumento. Lasolución en z, es la solución típica correspondiente a un pozo de potencial cuadradoen una dimensión, cuya función de onda se escribe como

φ(z) =

A cos(k1zz); |z| ≤ dB Exp(−k2z(|z| − d)); |z| > d.

(4.40)

Aplicando de nuevo las condiciones de contorno de Daniel-Duke se obtienen losvalores de Ez, resolviendo la ecuación transcendental

tan(k1zd) =m∗

1k2z

m∗2k1z

(4.41)

donde k1z =√

2m∗1Ez

~ y k2z =√

2m∗2 [Ez−V0]

~ . Una vez calculada Ez, se sustituyen susvalores en la ec. (4.34) para calcular la energía de la minibanda Eρ. De este modo,queda reflejado el acoplo entre el movimiento en la dirección de crecimiento con elmovimiento en el plano. Al igual que en los puntos cuánticos esféricos, la soluciónde las ecuaciones transcendentales se obtiene numéricamente mediante el métodode Wijngarrden [9]. Una vez más, la solución del Hamiltoniano en z puede expre-sarse en términos de la función seno, la llamada solución antisimétrica. Aplicandode nuevo las condiciones de contorno a esta solución, se obtienen las ecuacionestranscendentales correspondientes, cuyas raíces dan lugar a otros valores de E1z.Asociamos el menor valor de la raíz en ambas ecuaciones (soluciones simétrica y an-tisimétrica) al estado fundamental y al primer nivel excitado, respectivamente. Enla figura 4.8 representamos la energía total (ET ) del electrón en un potencial finito,para puntos cuánticos cilíndricos de InAs/GaAs. Se puede apreciar la disminuciónde ET en función del radio del cilindro. A diferencia de los esféricos, los puntoscuánticos cilíndricos tienen un grado más de libertad respecto a sus niveles de ener-



5.0 10.0 15.0 20.0 25.00.04

0.08

0.13

0.17

0.21

0.25

0.30

Eel para d = 4.5 nm

Eh para d = 4.5 nm

Eel para d = 2.5 nm

Eh para d = 2.5 nm

InA

s/G

aAs

Ene

rgía

de

conf

inam

ient

o [E

ρ +E

z] (eV

)

Radio (nm)

Figura 4.8. Dependencia de la energía del estado fundamental con el radioen puntos cuánticos cilíndricos de InAs/GaAs en la aproximación de potencial finitopara d = 2.5 y 4.5 nm. Eel corresponde a la energía del electrón y Eh es para elhueco.

gía. En efecto, el factor de forma, definido aquí como la razón entre la altura y eldiámetro de la base determina los valores de niveles de energía en un punto cuánticocilíndrico. Este factor tiene un significado relevante en la espectróscopía de puntoscuánticos, como se ha demostrado en muchas experiencias. Debido a la diferenciaentre el potencial de confinamiento en el plano con respecto al confinamiento en ladirección de crecimiento, se espera que la separación entre niveles de energía se veaafectada. Hens y colaboradores [19] explicaron los grandes valores de la energía delgap en puntos cuánticos cúbicos de PbS distinguiendo el confinamiento fuerte en elplano comparado con el confinamiento débil en la dirección de crecimiento.

Para los niveles excitados, aplicamos el mismo formalismo de búsqueda devalores extremos como en el caso esférico. Primero, cabe observar que los nivelesde energía para puntos cuánticos cilíndricos se dividen en un movimiento en ladirección z y un movimiento en el plano (x,y). Del movimiento en la direcciónz, se comprueba que los niveles excitados se dan por ∆En(z) = −2v0E

(z)0 donde

v20 = 2m∗Vconfd2/~2. Para el movimiento en el plano, la función de onda puedetomar expresiones semejantes a las de la ec. (4.17), en donde la funciones de Besselcilíndricas sustituyen a las esféricas. Con el mismo razonamiento, se comprueba quela continuidad de la función de onda en ξ = 1, nos da la ecuación trascendentalsiguiente

αmJm−1(αm)Jm(αm)

= −βmKm−1(βm)Km(βm)

. (4.42)

Para ν →∞, los valores límites de αm corresponden a β ' ν. Como en el caso ante-rior, el término a la derecha de ec. (4.42) tiende hacia 1, por tanto Jm(αm)/αmJm−1 '−1/ν ' 0. Los valores de αm en este limite están cerca del cero de Jm. Esto conduce



a que αm ' z(n)m /(1+ν−1) 10. Para los estados cercanos al top del potencial, βm ' 0

y αm ' ν. En estos casos límites, el término de la derecha de la ec. (4.42) tiendehacia 1/ ln(βm) para m=0, β2

m ln(βm) para m=1, y −β2/2(m−1) para m ≥ 2. Otravez, podemos concluir que αm tiende hacia la raíz de Jm−1. Entonces, para m ≥ 1,αm ' z

(n)m−1 + (ν − z

(n)m−1)/m. Los niveles de energía de confinamiento, una vez más

satisfacen la ec. (4.20), donde αmax = z(n)m , νmin = z

(n)m−1, para m 6= 0, z

(n−1)1 para

m=0, n 6= 1, y 0 para el estado fundamental m=0, n=1. Si consideramos el desa-

3,0 4,5 6,0

2,4

3,6

4,8

6,0

12,0 16,0 20,0 24,0 28,0

0,02

0,04

0,06

0,08

α

ν

α =ν

(b)

(m=1,n=1) (m=1,n=2) (m=2,n=1) (m=2,n=2) (m=3,n=1) (m=1,n=3) (m=3,n=2)

Ene

rgía

de

conf

inam

ient

o (e

V)

Radio (nm)

(a)

Figura 4.9. (a) Dependencia de la energía de los niveles excitados con elradio en puntos cuánticos cilíndricos de InAs/GaAs en la aproximación de potencialfinito para d = 2.5 nm; (b) Relación entre el parámetro α y ν en puntos cuánticoscilíndricos para los niveles excitados.

juste de las masas efectivas a través de las condiciones de contorno de Daniel-Duke,la ecuación transcendental sería

αmJm−1(αm)Jm(αm)

= m

[1− m∗

1

m∗2

]− β2

m

[m∗

1

m∗2

]Km−1(βm)Km(βm)

. (4.43)

En la figura 4.9 se muestran los niveles excitados en función del radio del cilindro,

10z(n)m es la n-ésima raíz de la función de Bessel Jm.



así como la relación entre el parámetro α en función del confinamiento, definido através de ν. En la figura 4.9 (a), los índices han sido elegidos para designar el ordende la función de Bessel (m) y la n-ésima solución de la ecuación transcendental. Losresultados de la fig. 4.9 han sido obtenidos teniendo en cuenta el desajuste en lamasa efectiva. Al igual que el caso de potencial infinito, los valores de la energíadisminuyen con el aumento del tamaño de puntos cuánticos. Sin embargo, como sedemuestra en la figura 4.9 (b), para algunos valores de R0 , el número de estadosexcitados disminuye. Eso se traduce en la no existencia de una solución real en laecuación trascendental. Además, los distintos niveles de energía satisfacen la reglade selección establecida para la aproximación de potencial infinito. En estos cálcu-los, el potencial de confinamiento efectivo en el plano (x,y) se ha calculado a partirde la solución de la ecuación de Schrödinger en la dirección z. Puesto que no exis-te una correspondencia unívoca entre las distintos auto-valores en la dirección decrecimiento (eje-z), a cada solución en z, corresponden valores distintos en el plano(x,y), dando lugar a posibles mezclas de niveles en la sub-banda (x,y). Como cabeesperar, los valores de energía en esta aproximación son pequeños, comparados consus correspondientes en la aproximación de potencial infinito. Este hecho, se puedeinterpretar como una indicación de que la función de onda se extiende en el interiordel material barrera, como consecuencia del carácter finito del potencial. Se puedeconstatar que una pequeña modificación en el valor del potencial de confinamientoentraña consigo un cambio importante en la energía del sistema. Se ha demostradoen la literatura que un cambio de 0.1 eV en el potencial de confinamiento pue-de ocasionar una variación de hasta 25 meV en la energía total de confinamiento.Debido a esta sensibilidad, podemos concluir que la modelización correcta del po-tencial de confinamiento, la geometría de puntos cuánticos, junto con el desajustede masas efectivas son parámetros claves en los cálculos de los niveles de energía enheteroestructuras semiconductoras.

4.2.3. Niveles de energía en la aproximación de potencial

parabólico

En este apartado dividiremos el potencial de confinamiento en dos partes: elconfinamiento en el plano (x,y) y la contribución en la dirección de crecimiento,de forma que V (x, y, z) = V (x, y) + V (z). El confinamiento en el plano (x,y) seráconsiderado parabólico, mientras que el movimiento en z es asimilado a un pozocuántico con potencial finito. Por tanto, la ecuación de movimiento en el plano esla ecuación de un oscilador armónico en coordenadas polares. De este modo, lasfunciones de onda vienen expresadas como

Φ(ρ, φ, z) =eimφ

√2πRn,l(ρ)Ψ(z) (4.44)

de donde podemos deducir Rn,l(ρ) en términos de función hipergeométrica, i.e.

Rn,l(ρ) = Nn,le−ξ/2F (−n, |l|+ 1, ξ). (4.45)


4.3 Niveles de energía en puntos cuánticos cónicos truncados 81

Ψ(z) es la función de onda del conocido pozo cuántico, y ξ = ω0m∗ρ2/~; las energías

vienen determinadas por

En,l,kz = ~ω0(2n + |l|+ 1) +~2k2

z

2m∗ . (4.46)

Los niveles de energía se clasifican con respecto al número cuántico radial n (n =0,1,2,...) y al número cuántico azimutal l (l = 0 ,±1 ,±2 ,±3 , ...). La contribuciónen z se obtiene a partir de los cálculos similares a los de un pozo cuántico, en unpotencial finito.


cónicos truncadosLos distintos estudios experimentales han demostrado que el punto cuánti-

co crecido según el proceso de Stranski-Krastanov presenta una forma piramidal.El cálculo de los niveles de energía de éstos, continua siendo un motivo de deba-te. Después de los intentos de Marzin y Bastard [5] que trataron la pirámide enuna aproximación cilíndrica, varios autores se inclinan hacia los métodos numéri-cos (como método de elementos finitos) para determinar los niveles de energía enel punto cuántico piramidal. Observando de cerca la pirámide, y refiriéndonos altrabajo de Marzin, podemos considerar que una de las mejores maneras de trataranalíticamente un punto cuántico piramidal es de aproximarlo a un cono trunca-do. Sin embargo, la solución del Hamiltoniano en una simetría cónica no se prestafácilmente al método de separación de variables. Por ello, recurrimos a un cálculomuy usual en geometría diferencial para determinar los potenciales en la superficieen una estructura irregular. Este método ha sido utilizado por da Costa [20], y lue-go por Buonocore y colaboradores [21] para determinar las energías en estructurasirregulares.

4.3.1. Modelización teórica del punto cuántico cónico en

aproximación de potencial infinito

Consideremos un cono de radio R0 en su base inferior, de altura d y de ánguloal ápex α [ver figura 4.10]. Supongamos que el eje z está orientado a lo largodel eje de revolución del cono. Este caso es similar al cálculo de los niveles deenergía en un dominio cuyo volumen es arbitrario. Con ello, el manejo adecuadode las condiciones de contorno permite determinar en buena medida el efecto de laforma sobre los distintos estados dentro del volumen estudiado. Para facilitar loscálculos, modelizamos el cono truncado como un cilindro cuya superficie lateral estádeformada. Utilizaremos las coordenadas cilíndricas, considerándose el radio de labase inferior del cono como una función de z. En la aproximación de masa efectiva,retomamos la ecuación de Schrödinger (4.28) en coordenadas cilíndricas para loselectrones (huecos) confinados en un potencial Vconf . Primero, consideramos z comoun parámetro por determinar y definimos por γn la auto-energía correspondiente alHamiltoniano en el plano (x,y). De esta manera, la ecuación (4.28) puede escribirse



R0

R1

α

z

xy

d

Figura 4.10. El esquema del cono truncado y los parámetros en el modelo.R0 y R1 son radios de las bases inferior y superior respectivamente; α es la mitaddel ángulo al ápex, y d es la altura del punto cuántico.

en separación de variables, con la parte radial expresada por

[− ~2

2m∗

(∂2

∂ρ2+

1ρ

∂

∂ρ+

1ρ2

∂2

∂θ2

)+ Vconf

]Φ = γnΦ, (4.47)

donde ρ = R(z). Nótese que la ecuación (4.47) es una ecuación paramétrica en z yque su solución depende de z. En el caso de un potencial infinito, y utilizando lascondiciones de contorno Ψ(ρ, θ, z)|ρ=R(z) = 0, las funciones de onda de los electronesson

Φn,ν(r) =1√

π |Jν+1(χn,ν)|R(z)Jν

(χν,n

ρ

R(z)

)e±iνθ (4.48)

de donde se deduce que γn = ~2χ2n,ν/(2m∗R2(z)). Como el radio varía con z, po-

demos elegir una función fν,n(z) por determinar, de modo que el cálculo de lasenergías totales pueda satisfacer al llamado método de separación de variables. Laelección que es consistente con la aproximación precedente es la que mantiene lasimetría rotacional, de modo que la ecuación (4.47) no mezcle los estados con dife-rentes valores de ν. Entonces, la función de onda del Hamiltoniano total se escribecomo

Ψ(r) =∑

n

Φn(ρ, z)fn(z) (4.49)

con

Φn(ρ, z) =1√

π |J1(χn)|R(z)J0

(χn

ρ

R(z)

)(4.50)



para ν = 0. Si ahora multiplicamos a la derecha de los dos miembros del Hamilto-niano total por φn′(ρ, z) y con la ayuda de las ecuaciones (4.47) y (4.49), se hallaun sistema de ecuaciones acoplado [ver el apéndice C] para fn(z), es decir

∂2

∂z2− 1

R2(z)

[χ2

n′ +13

(1 + χ2

n′)R′2(z)

]fn′(z) +

∑

n6=n′Wn′,nfn(z)

= −E2m∗

~2fn′(z) (4.51)

donde la matriz de acoplamiento Wn,n′(z) viene dada por

Wn′,n(z) = −R′2(z)R2(z)

χ2nQn′,n −

(3R′2(z)R2(z)

− R′′(z)R(z)

)χnPn′,n

+ 2χnR′(z)R(z)

Pn′,n∂

∂z. (4.52)

Aquí tenemos que los términos Qn′,n y Pn,n′ están definidos por las expresionessiguientes

Qn,n′ =8χnχn′

(χ2n − χ2

n′)2 (4.53)

y

Pn,n′ =2χn′

χ2n − χ2

n′. (4.54)

Introducimos la deformación de la superficie lateral definiendo la dependencia delradio de la base inferior con z

R(z) = R0

[1− z

R0tan(α)

]. (4.55)

Esta relación define la desviación del cono truncado con respecto al cilindro. Siademás, en primera aproximación, despreciamos los términos cruzados Wn′n , laecuación (4.51) se reduce en

∂2

∂z2− 1

R2(z)

[χ2

n′ +13

(1 + χ2

n′)R′2(z)

]fn′(z) = −E

2m∗

~2fn′(z). (4.56)

Al sustituir la ec. (4.55) en la ec. (4.56), y después de reagrupar los términos, seobtiene una ecuación de tipo

[H ′ + Veff ] f(z) = εf(z) (4.57)



donde el operador H ′ ≡ d2

dz2 , Veff = − 1R2(z)

[χ2

n′ + 13

(1 + χ2

n′)tan2(α)

]actúa como

un potencial efectivo, y ε = − 2m∗E~2 . Antes de discutir los resultados, es obvio co-

mentar el papel del término entre corchetes en la ecuación (4.56). En esta ecuación,si el radio es constante, la solución de la ecuación diferencial en z se reduce a lasolución de un pozo cuántico en un potencial infinito. Entonces, podemos deducirque ese término es el que define la correlación entre el movimiento del portador decarga en el plano con su movimiento en la dirección de crecimiento, en este caso eleje z. Dicho de otro modo, el segundo término de la ecuación (4.56) actúa como unpotencial efectivo. El concepto de potencial efectivo fue introducido por Marzin yBastard [5] en un intento de calcular los niveles de energía en un punto cuánticocónico por separación de variables. En su trabajo, el potencial efectivo se debe ala evaluación del valor esperado del potencial de tipo escalón dentro y fuera deldot, habiendo tenido en cuenta la función de onda del electrón en la dirección decrecimiento. A continuación, analizamos los diferentes tratamientos para resolver laec. (4.56), así como las consecuencias de los mismos.

4.3.2. Solución numérica y aplicacionesAquí presentamos dos formas para resolver la ec. (4.56) y los auto-valores para

el cono truncado.

Resolución por desarrollo en serie de Veff

En general, las dimensiones laterales del punto cuántico son superiores a sudimensión transversal (i.e. su altura). Por ello, podemos desarrollar el potencialefectivo, Veff en serie de Taylor de (1−x)−2, con x = z tan(α)/R0, hasta el primertérmino del desarrollo. Cuantificando los distintos términos de la ecuación (4.56),se obtiene una ecuación de tipo

∂2

∂z2− (Σ + βz)

f(z) = 0 (4.58)

donde

Σ =1

R2[χ2

n′+13(1 + χ2

n) tan2(α)]− 2m∗E~2

, (4.59a)

β =2 tan(α)

R3[χ2

n + 1/3(1 + χ2n) tan2(α)], (4.59b)

β2 = γ3. (4.59c)

Realizando un cambio de variables z′ = (Σ + βz)/γ, la ec. (4.58) se convierteen una ecuación de tipo-Airy [10], cuya solución es

f(z′) = AAi(z′) + BBi(z′) (4.60)

donde Ai y Bi son las funciones de Airy de primera y segunda especie. De lascondiciones de contorno, podemos deducir que B=0 y f (z )=0 cuando z = d en lasuperficie del punto cuántico. Los niveles de energía vienen dados a partir de los



ceros de la función de Airy, obteniéndose que

Etot =~2χ2

n

2m∗R20

1 +

(1 + χ2n) tan2(α)3χ2

n

[1 + tan(α)d/R0]

− ais′2 tan(α)

[χ2

n + (1 + χ2n) tan2(α)/3

]2/3

χ2n

, (4.61)

siendo ais′ los s-ésimos ceros de la función de Airy [22]. Con esta formulación, losdistintos niveles de energía vienen definidos por el número cuántico m, el númerocuántico radial n y la s-ésima raíz de la función de Airy.

5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0

0,00

0,31

0,62

0,94

1,25

1,56

1,87

n=1,l=2,s=1 n=2,l=0,s=1 n=1,l=1,s=1 n=1,l=0,s=1

En

erg

ía d

e c

on

fina

mie

nto

(e

V)

Radio de la base mayor (nm)

Figura 4.11. Dependencia de la energía de confinamiento con el radio paralas cuatro primeras sub-bandas y para s=1 en puntos cuánticos cónicos truncadosde InAs en la aproximación de potencial infinito.

La figura 4.11 presenta la dependencia con el radio de los cuatro primerosniveles de energía para puntos cuánticos cónicos de InAs, para d = 2.5 nm y α = 30o.Debido a que los ceros de la función de Airy son negativos, los niveles de energíaen la ec.(4.61) serán positivos. Para una altura fija y un ángulo fijo, la energía deconfinamiento disminuye con el radio de la base inferior. Sin embargo, si fijamosel radio de la base y hacemos variar la altura del cono, la energía aumenta con laaltura. Cabe observar que la ecuación (4.58) es similar a la ecuación de un portadoren un pozo finito, en presencia de un campo eléctrico aplicado. Se ha demostradoque los niveles de energía en este último caso aumentan con el campo eléctricoaplicado. En la figura, los distintos niveles vienen descritos a partir de las raíces dela función de Bessel cilíndrica.

Solución exacta

Si en vez de suponer que Veff es una perturbación, realizamos un cambio di-recto de variables, ξ = R0 − z tan(α); después de reagrupar los términos, la ecuación



(4.56) puede convertirse en una ecuación de tipo

∂2

∂ξ2+

[λ2 − ν2 − 1/4

ξ2

]= 0 (4.62)

donde λ2 = 2m∗Etot/(~2 tan2 (α)) y ν2 = 1/4 +[χ2

n + (1 + χ2n) tan2(α)/3

]. Vista

de esta manera, la ec. (4.62) corresponde a la ec. de Schrödinger para un potencialatractivo llamado inverse square potential (ISP): potencial que varía con el inversode la distancia al cuadrado. Cabe resaltar que la formulación de ISP recobra unaimportancia capital en la física molecular, donde éste aparece en una formulaciónmodificada del potencial dipolar [? ]. Las soluciones de la ec. (4.62) tienen la formasiguiente: f(ξ) = ξ1/2Zν(λξ) donde Zν(x) representa una combinación lineal defunciones de Bessel de orden ν. Las condiciones de contorno y la definición delproblema limitan la elección de la función de onda a la única función de Bessel quees finita en el origen. Por tanto, la solución adecuada en este caso se puede escribircomo

f(ξ) = Aνξ1/2Jν(λξ) (4.63)

con Aν representando la constante de normalización. Aplicando las condiciones decontorno, se comprueba que los auto-valores de la ec. (4.62) se determinan a partirde los ceros de Jν(λξ) en z = d . Al ser el índice ν un número real, los distintos cerosde Jν(λξ) se definen a través del desarrollo en serie de Mc Mahon [10]. De estemodo, la energía de confinamiento del cono truncado será expresado por

Etot =~2j2

ν,s tan2(α)2m∗ξ2|z=d

(4.64)

donde jν,s es la s-iésima raíz de la función de Bessel de orden ν. Con está solución,el acoplo entre el movimiento en el plano xy con el movimiento en la dirección z serefleja en el índice de la función de Bessel Jν , que a su vez determina los valores deenergía total, de acuerdo con el desarrollo asintótico de Mc Mahon [10].

Los resultados de este cálculo se representan en la figura 4.12. En esta figura(fig. 4.12), la energía de confinamiento disminuye a medida que aumenta el radiodel cono, como en la aproximación de tratamiento en serie del potencial efectivo.En efecto, de acuerdo con el desarrollo asintótico, los ceros de la función de Besselcon índice real grande se relacionan con los ceros de la función de Airy [10]. Estoconfirma en cierto modo la validez del desarrollo de la sección anterior.

Si comparamos las expresiones de energía total en el cono truncado con sucorrespondiente en el cilindro, observamos que un portador de carga en puntoscuánticos cónicos se mueve con una masa efectiva que depende de la curvatura ode la desviación respecto al cilindro. Esta situación ha sido observada por Canteley sus colaboradores [23] en puntos cuánticos esferoidales, tanto por el tratamientovariacional como en los tratamientos topológicos.


4.4 Conclusión 87

9,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,00,00

0,62

1,25

n=1, s=1, d = 2.5 nm n=1, s=1, d = 5.0 nm n=2, s=1, d = 2.5 nm n=2, s=1, d = 5.0 nm

En

erg

ía d

e c

on

fina

mie

nto

(e

V)

Radio de la base mayor (nm)

Figura 4.12. Dependencia con el radio de la energía de confinamiento enpuntos cuánticos cónicos truncados de InAs en la aproximación de potencial infinito:solución exacta.

4.4. ConclusiónEn este capítulo hemos querido demostrar el efecto de la geometría en los

niveles de energía de los puntos cuánticos. Por ello, tres geometrías de puntos cuán-ticos han sido estudiadas en diferentes aproximaciones con respecto al potencial deconfinamiento. Los niveles de energía en puntos cuánticos esféricos y cilíndricos dis-minuyen con las dimensiones del dot, tanto en la aproximación de potencial infinitocomo en el finito. Asimismo, el carácter finito del potencial de confinamiento semanifiesta a través de la reducción importante de los valores de energía de confi-namiento en estos dos casos. En ambas geometrías, hemos calculado los primerosniveles excitados y hemos demostrado que el potencial de confinamiento, junto conla geometría del sistema limitan el número de estados excitados posibles. Por ello,hemos utilizado una expresión que permite deducir, a partir de las dimensionesde puntos cuánticos y su potencial de confinamiento, los valores de la energía deconfinamiento del portador, sin necesidad de un cálculo laborioso.

Comparando estos dos casos, observamos que la geometría cilíndrica añadeun nuevo grado de libertad en los valores de energía de los portadores respectoal movimiento en el punto cuántico esférico. También se observa que el potencialde confinamiento está sujeto a la correlación entre el movimiento en el plano yel movimiento en la dirección de crecimiento. En este trabajo, hemos elegido laaproximación de Peeters y Schweiger [16] que consiste en calcular primero la energíade confinamiento en la dirección de crecimiento, para luego introducirla como unpotencial de confinamiento efectivo en la ecuación de movimiento en el plano. Dela misma forma, la masa efectiva del portador en el plano se ve modificada por laprobabilidad de encontrar el portador en la dirección de crecimiento. Este hecho



modifica sustancialmente los valores de energía en los puntos cuánticos cilíndricossometidos a un potencial finito.

Con la geometría, las reglas de selección también sufren un cambio importanteal pasar de una geometría esférica a una cilíndrica. Si para puntos cuánticos esféricosla secuencia de orbitales es 1S < 1P < 1D < 2S, en los puntos cuánticos cilíndricos,por el contrario, la secuencia viene a ser 1S < 1P < 2S < 1D, ya que en lageometría cilíndrica los números cuánticos principales están ligados al movimientoen la dirección de crecimiento. Consecuentemente, las transiciones ópticas sufriránun cambio. En efecto, en algunos casos, la separación entre niveles es bastantepequeña en la geometría cilíndrica si se compara con la geometría esférica.

Sin embargo, en el cono truncado, la energía del estado fundamental presentauna peculiaridad debida al acoplo entre el movimiento en la dirección de crecimientocon su homólogo en el plano. En efecto, hemos demostrado que existe una correla-ción entre ambos movimientos. El tratamiento topológico de la superficie del conointroduce un potencial efectivo, llamado "potencial superficial topológico". El po-tencial de esta naturaleza ha sido introducido tanto en hilos cuánticos deformadoscomo en puntos cuánticos elipsoidales para calcular los niveles de energía, y así sor-tear la dificultad que presentan estas geometrías respecto a la resolución análiticade la ecuación de movimiento. En estos casos, debido a la curvatura, los nivelesde energía sufren una localización dependiente de los parámetros geométricos quedescriben la desviación con respecto a las geometrías regulares.

En general, la energía de confinamiento en un volumen V varía como V −2/3 sinos situamos en la aproximación de potencial infinito y asimilamos el punto cuánticoa una esfera. Para un mismo volumen y para un valor fijo de la altura de un pun-to cuántico cilíndrico, se espera que la energía de confinamiento cambie con V −1,siendo V el volumen equivalente al correspondiente a la esfera. Consecuentemente,la energía en el plano del cilindro será menor que la de la esfera. Eso implica quepara conseguir los valores de energía comparables para un electrón en una esfera,es necesario una altura mucho más grande para un punto cuántico cilíndrico. Porejemplo, para un volumen equivalente de una esfera de radio R = 10 nm, se nece-sitaría un cilindro de radio R0 = 16 nm, si la altura del mismo es de 5 nm. Estoconduce a una disminución importante en los valores de energía de confinamiento.Existen trabajos que sitúan la energía de portadores de carga en puntos cuánticosesféricos entre los valores de esferoides y elipsoides.

Si los volúmenes pueden explicar los valores de energía de confinamiento, noes del todo cierto respecto al comportamiento de esta energía en algunas geome-trías particulares. En efecto, la forma externa es de una importancia capital, comoacabamos de ver en el caso del cono truncado. Así, la anisotropía geométrica intro-duce un grado de libertad más en la interpretación de los autovalores de energía deconfinamiento. Por ejemplo, las desviaciones con respecto a las formas geométricasregulares11 pueden introducir una localización o deslocalización de los portadoresde carga, que se traduce tanto en un cambio de signos en los auto-valores de la ener-gía de confinamiento, como en la existencia de mínimos y/ó máximos para zonasrestringidas de las dimensiones geométricas del punto cuántico irregular. Es el casode los puntos cuánticos elipsoidales o paraboloides. En nuestro caso, el tratamientovariacional del cono truncado ha dado lugar a la existencia de un potencial que varíacon el inverso de la distancia al cuadrado. En la literatura, este potencial ha sidoatribuido, por ejemplo, a la interacción entre un dipolo y una carga eléctrica, dando

11Denominamos puntos regulares, aquellos cuyas formas permiten una solución exacta de lasecuaciones de movimiento en separación de variables.


4.4 Conclusión 89

lugar a lo que se llama anomalía cuántica [24]. La aparición de estados ligados eneste tipo de potencial está asociada con la existencia de una cierta región acotadadel espacio, en la cual el potencial que sufre el portador en el sistema es infinito.El tratamiento de esta cuestión revela la existencia de un acoplo crítico que puededar lugar a la existencia de estados ligados. Cabe pensar, que trabajos ulteriorespodrían demostrar la existencia de regiones de puntos cuánticos que se prestan a laexistencia de estados ligados, producidos por los potenciales topológicos. Pensamosen este caso, en la resolución completa de la ecuación de movimiento en la direcciónz, con el término de acoplo Wn,n′ 6= 0.

Para concluir, como los niveles de energía influyen en las propiedades ópticasde los puntos cuánticos, esto implica que, según sea la forma de un punto cuántico,los procesos de absorción o de emisión se verán fuertemente alterados, tanto porlas dimensiones como por el carácter local o no local del portador que participeen el mecanismo. Este hecho pone de manifiesto la importancia tanto de un mejorcontrol de formas a la hora de fabricar los puntos cuánticos, como de medidasexperimentales que relacionen los efectos estructurales con las propiedades ópticasde portadores de carga en los puntos cuánticos.


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Capítulo 5

Polarones en puntos

cuánticos

Uno de los factores determinantes en los fenómenos de transporte o en las pro-piedades ópticas en semiconductores polares es el scattering de electrones por losfonones ópticos. Para los puntos cuánticos de tipo InAs por ejemplo, la separaciónentre niveles de energía es comparable a la energía de fonones ópticos, pero bastan-te mayor que la energía de los fonones acústicos. Esto conlleva unas consecuenciasimportantes respecto a la interacción electrón-fonón. Primero, se ha demostradoque los fonones LA (longitudinal acoustic phonons) son poco eficientes [? ] en larelajación de los electrones excitados a través de la emisión de uno o varios fonones.Segundo, debido al carácter poco dispersivo de los fonones ópticos, muchos autoreshan sugerido que la interacción electrón-fonón ocurre en régimen de acoplo fuerte [?? ]. Sin embargo, la idea muy extendida según la cual, un electrón en un estadoexcitado se relaja emitiendo uno o varios fonones, cuando la separación entre losniveles de energía coincide con la energia del fonón LO, no resulta del todo ciertapara los puntos cuánticos. Excepto en los semiconductores III-V, donde el acoploelectrón-fonón es débil, se ha demostrado que los electrones y fonones forman esta-dos mixtos, llamados estados del polarón, a partir de los cuales opera la relajación.Existen evidencias teóricas y experimentales que demuestran la relajación de elec-trones a través de polarones [1? ]. A pesar de estos trabajos, persisten problemasa la hora de interpretar correctamente la contribución de polarones en los puntoscuánticos. La mayor dificultad proviene del desconocimiento de los espectros defonones debido a los errores sobre las formas geométricas y la composición en lospuntos cuánticos. Además, muchos resultados experimentales analizan la interac-ción electrón-fonón solamente a través de los fonones LO, ignorando la contribuciónde los fonones de intercara.

Existen muchos modelos para calcular los estados electrónicos de heteroes-tructuras en presencia de interacción electrón-fonón [2, 3]. Para el caso en que estainteracción sea relativamente débil, es decir cuando los procesos de scattering pue-den considerarse como independientes, el uso de la regla de oro de Fermi permiteobtener resultados en buen acuerdo con los experimentos. Cuando esta interacciónaumenta por diversos motivos (como puede ser la aplicación de un campo eléctricoexterno o un campo magnético) o por la naturaleza misma de los materiales utiliza-dos, los efectos de polarón vuelven a ser predominantes debido a la autolocalizacióndel electrón en el campo de polarización del cristal. En este caso, el tiempo entre doscolisiones es inferior a la duración misma de la colisión. Los fenómenos se complican

93

94 Capítulo 5. Polarones en puntos cuánticos

enormemente y dan lugar a efectos no lineales. En los casos de puntos cuánticos, lavalidez de uno u otro método viene dictada por el valor de la constante de Fröhlich,que determina la fuerza de acoplo entre el electrón y el fonón. En caso de interac-ción débil, con constante de Fröhlich inferior a 1, se aplica el método perturbativo,considerándose la interacción electrón-fonón como una perturbación a la energía delestado fundamental del electrón. Cuando la constante de Fröhlich es superior a 1, seha podido distinguir dos rangos: 1 < α < 5 , y α >> 5. En el primer caso, el cálculode energía de transición se efectúa mediante métodos variacionales, mientras queen el último caso se suele aplicar el método de camino-integral de Feynman [2, 3].Tanto el método perturbativo como el variacional presentan muchas variantes. Elmétodo perturbativo, por ejemplo, se presta a casos cuyos Hamiltonianos puedenresolverse en términos de funciones ortogonales. En la práctica, este método ha sidoutilizado para calcular la energía del polarón en potencial parabólico, en concretopara la interacción del electrón con los fonones confinados. La variante más utilizadaen este caso es el Rayleigh-Second Perturbation Theory (RSPT). A continuación,utilizaremos los métodos perturbativos y variacionales para calcular las correccionesa la energía debidas a la interacción electrón-fonón, teniendo en cuenta los distintosmodos de fonones discutidos en el capítulo tres. Empleamos los cálculos perturba-tivos para analizar la interacción electrón-fonón en los puntos cuánticos cónicos,en cuyo caso sólo trataremos los fonones confinados. Por otro lado, los métodosvariacionales se emplearán para los puntos cuánticos esféricos y cilíndricos. Aunquela interacción electrón-fonón en los materiales bajo estudio responden al caso deacoplo débil (α < 1), nos guiaremos por los trabajos recientes [4? ] que han de-mostrado que los métodos variacionales pueden cubrir todos los rangos de acoploelectrón-fonón.

5.1. Polarones en puntos cuánticos esféricosEn esta sección, desarrollaremos los distintos pasos importantes para escribir

los diferentes términos del Hamiltoniano de interacción electrón-fonón en puntoscuánticos esféricos. Asimismo, presentaremos el modelo empleado para calcular laenergía del polarón. Por ello, utilizaremos la formulación variacional utilizada porMelnikov y Fowler [5] y que permite tratar el polarón en todos los diversos rangos deacoplamiento electrón-fonón. A lo largo de este trabajo, nos referiremos a R comoradio de la esfera.

5.1.1. Hamiltoniano de interacción electrón-fonón

En general, el Hamiltoniano de Fröhlich que define la interacción entre unacarga puntual (electrón o hueco) situada en re con la polarización P(r) se da por

He−ph = −e

∫d3r∇r

1|r− re| .P(r). (5.1)

Para obtener la expresión del Hamiltoniano de interacción en un punto cuánticoesférico, distinguiremos el caso de fonones confinados con el de fonones de superficieo fonones de intercara. En la aproximación del potencial infinito, se ha consideradosiempre que el electrón está en el punto cuántico. Pero, como en general, los puntos


5.1 Polarones en puntos cuánticos esféricos 95

cuánticos se constituyen de un semiconductor enterrado en otro semiconductor decaracterísticas distintas, un electrón en la barrera puede interactuar con el fonónbulk del material barrera. Por lo tanto, el estudio de la interacción electrón-fonónrequiere tener en cuenta, tanto los fonones de intercara, como los fonones confinadosen las dos regiones de la heteroestructura.

A. Hamiltoniano de Fröhlich para los fonones confinados

Para los fonones confinados en el punto cuántico, el potencial electrostáticotiene la forma

φ(r) =

∑klm

Aklmjl(kr)Ylm(θ, ϕ) r ≤ R

0 r > R(5.2)

donde Aklm es la constante a determinar por las condiciones de contorno y de norma-lización. De la continuidad del potencial electrostático en la superficie, se halla quejl(kR) = 0 que especifica el espectro de valores permitidos de k ; k ≡ kln = µln/R,donde µln es la n-ésima raíz de la función de Bessel jl. El vector de polarización encualquier zona dentro del punto cuántico se escribe como

P(r) = −∑

klm

χ1(ω1LO)4π

Aklm∇ [jl(kr)Ylm(θ, ϕ)] (5.3)

donde χ1(ω1LO) es la susceptibilidad del punto cuántico. De la ortogonalización delvector polarización, obtenemos la constante Aklm , en concreto

Aklm =4π~

ω1LORµ2nljl+1(µnl)

1χ2

1(ω1LO)Θ1(ω1LO)(5.4)

con

Θ(ω1LO)χ21(ω1LO) = ε1∞

1(ω2

1LO − ω21TO)

. (5.5)

Por el contrario, si consideramos los fonones confinados en la barrera, el potencialelectrostático tendrá la forma

φ(r) =

0 r ≤ R∑klm

Aklmfl(kr)Ylm(θ, ϕ) r > R (5.6)

y su vector de polarización se escribe como

P(r) = −∑

klm

χ2(ω2LO)4π

Aklm∇ [fl(kr)Ylm(θ, ϕ)] (5.7)



donde

fl(kr) = jl(kr) + Bklmnl(kr) (5.8)

con nl la función de Neumann esférica de orden l. Debido a la continuidad del po-tencial a la superficie del punto cuántico, fl(kr) = 0. Para determinar la constanteBklm , elegimos un punto R2 fuera del dot, tal que fl(kR2) = 0. Estas dos condi-ciones determinan el espectro de valores de k y los valores de Bklm . Utilizando laortogonalidad del vector campo de polarización, obtenemos

Aklm =2π~

ω2LORInl

1χ2

2(ω2LO)Θ2(ω2LO)(5.9)

donde Inl representa una integral de normalización en la superficie del punto cuán-tico, i.e.

Inl = ν2nl

∫

1

drr2|fl(νnlr)|2. (5.10)

La integral se efectúa en el dominio del material 1, de ahí el índice 1 en la expresión.El Hamiltoniano de interacción puede hallarse recurriendo primero al desarrollo

1|r− re(h)|

∣∣∣r=R

=

4π

2l + 1

∑lm

1R

( re(h)

R

)lY ∗

lm(θ, ϕ)Ylm(θe(h), ϕe(h)), re(h) < R

∑lm

1re(h)

(R

re(h)

)l

Y ∗lm(θ, ϕ)Ylm(θe(h), ϕe(h)), re(h) > R

(5.11)y luego, utilizando la primera identidad de Green que estipula que,

∫d3r∇φ · ∇ψ = −

∫d3rφ∇2ψ +

∫dsφ

∂ψ

∂r(5.12)

siendo φ y Ψ dos funciones definidas en el espacio tridimensional d3r. Con lasexpresiones (5.11), (5.12) y (5.3), obtenemos que

H(LO)e−ph = −e

∑

klm

Aklmχ1(ω1LO)

4π

12l + 1

jl(kr)Ylm(θ, ϕ)[alm + a+lm]. (5.13)

Sustituyendo Aklm en la ec. (5.13) y utilizando la relación de Lyddane-Sachs-Teller,el Hamiltoniano de interacción electrón-fonón se convierte en

H(1LO)e−ph = −

∑

lmn

β(1)ln

[V

(1)lmn(r)almn + H.c.

](5.14)



con

β(1)ln =

4πe2

R

~ω1LO

µ2lnj2

l+1(µln)

(1

ε1∞− 1

ε10

)1/2

(5.15)

y

V(1)lmn = jl(klnr)Ylm(θ, ϕ) (5.16)

para los fonones confinados en el punto cuántico. Operando de manera análoga,obtenemos

H(2LO)e−ph = −

∑

lmn

β(2)ln

[V

(2)lmn(r)almn + H.c.

](5.17)

con

β(2)ln =

2πe2

R

~ω2LO

Iln

(1

ε2∞− 1

ε20

)1/2

, (5.18)

y

V(2)lmn(r) = fl(klnr)Ylm(θ, ϕ) (5.19)

para los fonones confinados en la barrera.

B. Hamiltoniano de Fröhlich para los fonones de intercara

En el caso de fonones de intercara, adoptaremos el potencial electrostáticostandard en puntos cuánticos esféricos, resultado de la aplicación del modelo DC[6], que viene dado por

φ(r) =

∑lm

Clm

(rR

)lYlm(θ, ϕ) r ≤ R

∑lm

Clm

(Rr

)l+1Ylm(θ, ϕ) r > R

(5.20)

con los vectores campos de polarización definidos por

P1(r) = −∑

lm

χ1(ωl)4π

Clm∇[(

r

R

)l

Ylm(θ, ϕ)]

(r ≤ R) (5.21a)

P2(r) = −∑

lm

χ2(ωl)4π

Clm∇[(

R

r

)l+1

Ylm(θ, ϕ)]

(r < R). (5.21b)

Para determinar las constantes Clm , calculamos primero el Hamiltoniano de losfonones SO libres, y luego comparando las amplitudes como en el caso anterior de



fonones confinados, obtenemos que

C2lm =

2π~ωlR

1χ2

1(ωl)Θ1(ωl)l + χ22(ωl)Θ2(ωl)(l + 1)

. (5.22)

Por tanto, después de un pequeño cálculo algebráico, el Hamiltoniano de interacciónse reduce a

H(SO)e−ph = −

∑

lm

αl

[V

(SO)lm (r)alm + H.c.

](5.23)

con

αl =(

2π~ωlR

1χ2

1(ωl)l + χ22(ωl)(l + 1)

)1/2

(5.24)

y

V(SO)lm =

( r

R )l Ylm(θ, ϕ), r ≤ R(R

r )l+1 Ylm(θ, ϕ) r > R.(5.25)

χi(ωl), i = 1, 2 es la susceptibilidad del material i, definida a través de la relación

χ2i (ωl)Θi(ωl) = εi∞

ω2iLO − ω2

iTO

(ω2l − ω2

iTO)2, i = 1, 2. (5.26)

En resumen, el Hamiltoniano total de fonones se obtiene como la suma de todoslos términos de Hamiltonianos de fonones libres más los términos de interaccióndescritos en los apartados anteriores, es decir

Htotal = H(LO)ph + H

(SO)ph + H

(LO)e−ph + H

(SO)e−ph (5.27)

donde en el caso general

H(LO)e−ph =

H

(1)e−ph, r ≤ R,

H(2)e−ph, r > R.

(5.28)

Este desarrollo representa una generalización de todos los modos de fonones posiblesen el punto cuántico. Nótese que si se considera que el electrón está confinado sóloen el interior del material dot, H (LO)

e−ph ≡ H (1)e−ph . Esta situación se da en el caso de

puntos cuánticos crecidos sobre un material no polar. Por tanto, considerando laconstante dieléctrica del entorno del dot como constante, ε2(ω) ≈ εd = constante,la frecuencia de intercara será

ωIl =[

εd + (εd + ε0)lεd + (εd + ε∞)l

]. (5.29)



De este modo, recuperamos los resultados de Oshiro et al. [4], obteniéndose

He−ph =∑s,σ

~ωs,σvs,σ[Ss,σ(r)as,σ + H.c.], σ = 1, 2 (5.30)

donde Ss,1 (r) ≡ V (1)lmn y Ss,2 ≡ V (SO)

lm , son los potenciales electrostáticos calcu-lados en el apartado anterior [ecs. (5.16) y (5.25)]. En ec. (5.30), las amplitudes deinteracción vienen definidas por

vs,1 =

√8πα1Rp

µnlj2l+1(µnl)R

(5.31a)

vs,2 =

√4πα2Rp

R. (5.31b)

En las ecuaciones (5.31a) y (5.31b), los índices 1 y 2 se refieren a los fonones confi-nados y a los de intercara respectivamente. s es un índice compacto que reemplazalos índices n,l,m (ó l,m) en las ecs. (5.31a) y (5.31b). Para los fonones confinados,s define los estados s ≡ (n = 1, 2, 3, ...; l = 0, 1, 2, ...;m = 0,±1,±2, ...,±l) mien-tras que en el caso de fonones de intercara, los estados se definen por s ≡ (l =1, 2, 3, ...; m = 0,±1,±2, ...,±l). La energía del fonón confinado es igual a ~ωLO

y es independiente del índice s. α1 y α2 son las constantes de acoplo de Fröhlichdefinidas por las siguientes relaciones

α1 =e2

2Rp~ωLO

(1

ε∞− 1

ε0

)(5.32)

α2 = α1

( √lε∞

lε0 + (l + 1)εd

)(~ω

LO

~ωIl

)3

. (5.33)

Rp define el radio del polarón (Rp =√~/(2m∗ωLO )). Frente al caso límite

del punto cuántico enterrado en un medio no-polar, existe otro caso límite dondeε1(ω) = ε2(ω) que define un sistema sin intercara. Esta situación corresponde a lainteracción de una partícula cargada con los fonones volúmicos LO del material.

C. Solución numérica y resultados

En general, es común calcular la auto-energía del polarón a partir de la teoríade perturbaciones de segundo orden cuando el acoplo es débil. Por lo que respecta alHamiltoniano de la ec. (5.30), la auto-energía del polarón en este caso se expresarácomo

∆E(2) = −∑

n,l,m

∑s,σ

|〈Ψenlm|~ωs,σvs,σSs,σ(r)|Ψe

g〉|2Ee

nl + ~ωs,σ − Eeg

(5.34)

donde∣∣Ψe

g

⟩es la función de onda del estado fundamental definida en la ec. (5.2), y

E eg es su auto-valor en ausencia de fonones. Conviene observar que el denominador

de la ec. (5.34) puede conducir a dos situaciones diferentes: i) |E enl − E e

g | ≥ ~ωs,σ,



o por el contrario, ii) |E enl − E e

g | ≤ ~ωs,σ. La primera situación ocurre cuando: a)el tamaño del punto cuántico es pequeño, puesto que la energía del electrón es in-versamente proporcional al cuadrado del radio del punto cuántico, o b) en caso depuntos cuánticos de gran tamaño, pero con acoplo débil; mientras que la segundasituación aparece en el caso de confinamiento fuerte. Siguiendo la teoría desarrolla-da por Wang y co-autores [7], la ecuación (5.34) puede re-escribirse de la manerasiguiente

∆E(2) = −∑s,σ

|~ωs,σvs,σ|2 〈Ψeg|S∗sσ[~ωs,σ + He − Eg]−1Ss,σ|Ψe

g〉. (5.35)

Para el caso de puntos cuánticos suficientemente grandes, se puede considerar quelos fonones de intercara no contribuyen mucho a la energía del polarón. Por tanto,podemos limitar los cálculos a los fonones tipo bulk. Utilizando la relación entre lafunción de Bessel esférica y las ondas planas

jl(kr)Ylm(θ, φ) =1

4πil

∫dΩkY ∗

lm(θk, φk)ei~k·~r (5.36)

la ecuación (5.35) se transforma en

∆E(2) = −∑

n,l,m

|~ωLOvs1|2(4π)2

∫dΩk′

∫dΩkY ∗

lm(θk′φk′)Ylm(θk, φk)

× 〈Ψeg|e−ik′.r[~ωLO + He − Eg]−1eik.r|Ψe

g〉. (5.37)

Sabiendo que

e−ik.rHeeik.r =

(p + ~k)2

2m∗ + Vconf (5.38)

y que He|Ψeg〉 ≥ Ee

g|Ψ〉, podemos deducir que

[~ω

LO+ He − Ee

g

]−1eik.r|Ψe

g〉 = eik.r[~ωLO

+~2k2

ln

2m∗ +~k.pm∗ +He−Ee

g ]−1|Ψeg〉, (5.39)

lo que se puede re-escribir como

[~ωLO +He−Eeg ]−1eik.r|Ψe

g〉 = eik.r∞∑

j=0

[~ωLO+

~2k2ln

2m∗

]−(j+1)(~k.pm∗

)j

|Ψeg〉 (5.40)

después de transformar [~ωLO + He − E eg ]−1 en serie, utilizando el binomio de New-

ton. Se puede demostrar que para j = 0, la expresión (5.34) se simplifica de lamanera siguiente

∆E(2) = −∑

n,l,m

|~ωs,1vs,1|2〈Ψeg

∣∣|Ss,1(r)|2∣∣ Ψe

g〉~ω

LO+ ~2k2

nl/2m∗ . (5.41)



Partiendo de las ecs. (5.16) y (5.36), se demuestra que∑lm

〈Ψeg||Ss,1|2|Ψe

g〉 = 1/4π.

Por lo tanto,

∆E(2) = −~ωLO

∑s

v2s,1

1 + R2pk

2s

. (5.42)

Al transformar el sumatorio por una integral en k, obtenemos la expresión de lacorrección de energía del polarón obtenida en el material bulk ∆E(2) = −α1~ωLO .Este resultado corresponde a un sistema electrón-fonón con acoplo débil en unaaproximación asintótica de radio grande (R →∞). Para el caso de punto cuánticode tamaño pequeño R ¿ aB , donde aB es el radio de Bohr y siguiendo el mismodesarrollo, la ec. (5.34) se convierte en

∆E(2) = −~ωLO

∑n

|v(n,0,0),1|2|〈Ψeg|S(n,0,0),1(r)|Ψe

g〉|2. (5.43)

El elemento de matriz de esta ecuación se calcula analíticamente para n = 1, yobtenemos que

∆E(2) = −~ωLO |v(1,0,0),1|2∞∑

k

|3Si[(2k + 1)π]− Si[(−2k + 1)π]|2 . (5.44)

donde Si es el seno integral. Esta última expresión es similar a la obtenida por Var-tanian y colaboradores para polarones en puntos cuánticos esféricos [8]. Todo eldesarrollo anterior se refiere a un sistema en que los fonones están supuestamenteconfinados en el punto cuántico. Existe la posibilidad de tener fonones confinados enel material bulk que sirve de barrera. En este caso, el método más idóneo es el mé-todo variacional, debido a la naturaleza del Hamiltoniano. Para ello, consideramosla función de onda del electrón definida por

Ψ(r) = Ψ0(r)e−γr (5.45)

donde γ es el parámetro variacional que define el grado de interacción electrón-fonón, mientras Φ0(r) es la función de onda del electrón en el estado fundamental;i.e;

Ψ0(r) =

N sen(ζr)

r , r ≤ R,

N sen(ζR)r e−η(r−R), r > R

(5.46)

y ζ =√

2m∗1E0/~2, η =

√2m∗

2(V0 − E0)/~2; mientras E0 es la energía del estadofundamental determinado a partir de la ecuación transcendental

η tan(ζR) = −ζ. (5.47)



Esta ecuación determina también el tamaño mínimo del punto cuántico para queexista un estado ligado, es decir Rc = (π2~2/8m∗V0)

1/2. La constante de normali-

zación es

N−2

=1− e−2γR

4γ− γ + e−2γR[ζsen(2ζR)− γcos(2ζR)]

4(γ2 + ζ2)

+sen2(ζR)e−2γR

2(ζ + η). (5.48)

En esta aproximación, asumimos que el electrón se mueve más rápido que losiones que le rodean. Esta situación se da cuando el tamaño del punto cuántico essuficientemente pequeño para que el confinamiento dé lugar al "shrinking" de laórbita electrónica del electrón y al aumento de su energía cinética, o bien cuando lainteracción electrón-fonón es tan fuerte que el electrón se encuentra auto-localizado.Esto significa que el campo fonónico siente una distribución estática de densidad decarga y por tanto, no existe correlación entre la posición instantánea del electrón yel campo de polarización inducida, lo que se traduce en que el efecto del campo defonones consiste en desplazar las posiciones de equilibrio de los iones. Esto puedellevarse a cabo mediante dos transformaciones unitarias

Uj = exp

∑s

[f (j)s (r)ajs + f∗(j)s (r)a+

js]

(5.49)

donde s = l,m,n para j=1, s = l,m para j = 2 y los f js son los parámetrospor determinar. Los índices 1 y 2 representan el material dot y el material barrera,respectivamente. Además sabemos que

U−1ajsU = ajs + f (j)s (r) (5.50)

U−1pU = p +∑

js

[p, f (j)

s (r)]a+js − [p, f∗(j)s (r)]ajs

+ j(r) (5.51)

donde

j(r) = −1/2∑

js

f∗(j)s (r)∇f (j)

s (r)− f (j)s (r)∇f∗(j)s (r)

(5.52)

es proporcional a la densidad de corriente creada por el desplazamiento del cam-po de fonones. Además, debido a los términos cuadráticos en el Hamiltoniano, esconveniente utilizar las siguientes herramientas matemáticas

U−1p2 U = U−1p UU−1p U

=∑

js

p +

([p, f (j)

s ]− [p, f∗(j)s ])

+ j(r)

×p +

([p, f (j)

s ]− [p, f∗(j)s ])

+ j(r)

; (5.53)



U−1asa+s U = U−1asUU−1a+

s U =

as + f (j)s

a+

s + f∗(j)s

. (5.54)

Utilizando el desarrollo de Low-Lee-Pines descrito en el capítulo 2, podemos descom-poner el Hamiltoniano transformado H = U−1HU en tres partes: H = H

0+ H

1+ H

2

donde

H0 =(p + j)2

2m∗ + Vconf +∑

js

~2|∇Fsj |22m∗ +

∑

sj

~ωsj |Fsj |2

−∑

sj

~ωsj [vsjSsjFsj + H.c.]; (5.55)

H1 = − (p + j).J2m∗ +

∑

sj

[∇2Fsja+sj −∇2F ∗sjasj ]2m∗ −

∑

sj

~ωsj

(F ∗sjasj + Fsja

+sj

)

+∑

sj

~ωsj [vsjSsjasj + H.c.] (5.56)

H2 =∑

sj

~ωsja+sjasj +

12

∑

sj

∑

s′j′

[(∇Fsj)(∇Fs′j′)a+

sja+s′j′ + (∇F ∗sj)

(∇F ∗s′j′)asjas′j′ + (∇Fsj)(∇F ∗s′j′)a+sjas′j′ + (∇F ∗sj)(∇Fs′j′)a+

s′j′asj

].

(5.57)

El término J se define como

J = −i~∑

sj

[a+

sj∇Fsj − asj∇F ∗sj

]. (5.58)

Por otra parte, como función-prueba del Hamiltoniano transformado, elegimos elansatz de la función de onda electrónica y del estado fundamental de fonones, esdecir

|Ψ〉 = |ψ(r)|0〉; (5.59)

una aproximación justificable cuando se trabaja a baja temperatura. Utilizandolas relaciones de conmutación para los operadores de creación y de aniquilación,se demuestra que calcular la energía total del sistema se limita a obtener el valoresperado de H0, es decir E = 〈Ψ|H|Ψ〉 = 〈ψ|H0 |ψ〉. El Hamiltoniano transformado



se resume en

H0 =p2

2m∗ + Vconf (r) +∑

j,s

~2

2m∗ |∇Fj,s|2 +∑

j,s

~ωj,s|Fj,s|2

−∑

j,s

~ωj,s[vj,sSjsFjs + H.c.], (5.60)

donde hemos asumido que j(r) = 0. En la práctica, esto supone que el efecto de lainteracción electrón-fonón se reduce sólo en desplazar los iones de sus posiciones deequilibrio. Una vez definida la función Fjs(r) como

Fjs(r) = vjsfjs + vjsS∗js(r)gjs (5.61)

donde fjs y gjs son reales y poseen una simetría de inversión, aplicamos los criteriosvariacionales que requieren que ∂〈φ|H0 |φ〉/∂fjs = 0 y ∂〈φ|H0 |φ〉/∂gjs = 0. De ahísacamos que los parámetros variacionales se dan por

fjs =AjsCjs

Bjs + Cjs −A2js

(5.62a)

gjs =Bjs −A2

js

Bjs + Cjs −A2js

(5.62b)

con los coeficientes Ajs, Bjs y Cjs definidos en las siguientes relaciones

Ajs = 〈ψ|Sjs(r)|ψ〉, (5.63a)

Bjs = 〈ψ||Sjs(r)|2 |ψ〉, (5.63b)

Cjs =~2

2m∗ωjs〈ψ||∇Sjs(r)|

2 |ψ〉. (5.63c)

Con estos términos, la energía total se obtiene minimizando

Etot = minγ

⟨Ψ0

∣∣∣∣p2

2m∗ + Vconf

∣∣∣∣ Ψ0

⟩

−∑

sj

~ωsjv2sj

[Bsj(Bsj −A2

sj) + A2sjCsj

Bsj + Csj −A2sj

](5.64)

con respecto al parámetro variacional que define el acoplo del electrón con el fonón,presente en la función-prueba "trial function". La elección de la función Fsj tienesu importancia en el estudio de polarones. Oshiro et al. [4] comentan que la elecciónde sólo el primer término de la ec. (5.61) corresponde a calcular la energía delpolarón en la aproximación adiabática, válida cuando la separación entre niveles deenergía es relevante. Sin embargo, al elegir únicamente el segundo término de la ec.(5.61), se trata de los sistemas en que la interacción electrón-fonón es intermedia,es decir, sistemas en los cuales la separación entre niveles de energía es inferior a laenergía del fonón libre. De esta manera, la ec. (5.61) en su conjunto recoge todos los



casos de acoplamiento electrón-fonón, es decir, desde el acoplo débil hasta el acoplofuerte. Oshiro y Matsura [4] aplicaron este formalismo al estudio del polarón enpuntos cuánticos esféricos enterrados en una matriz de vidrio. Otra particularidadde su trabajo estriba en la elección de la función de onda. En efecto, para la funciónprueba, utilizaron una gaussiana. Por otro lado, Melnikov y Fowler [5], siguiendoel formalismo de Oshiro y Matsura, definieron las transformaciones canónicas de lamanera siguiente

Uj = exp

∑s

[fjsajs + f∗jsa

+js

]

(5.65)

donde s = l, m, n para j = 1, y s = l, m para j = 2. Con esta elección y siguiendoel mismo desarrollo que Oshiro, los parámetros variacionales vienen definidos por

f(1)js =

−⟨Ψ0

∣∣∣V (1)lmn(r)

∣∣∣Ψ0

⟩

~ω1LO, r < R,

−⟨Ψ0

∣∣∣V (2)lmn(r)

∣∣∣Ψ0

⟩

~ω2LO, r > R,

(5.66)

f(2)lm = −

⟨Ψ0

∣∣∣V (SO)

lm (r)∣∣∣ Ψ0

⟩

~ωl. (5.67)

Al sustituir las expresiones de fjs en la ec. (5.60), la energía total del sistemaviene dada por

Etot = minγ

⟨Ψ0

∣∣∣∣p2

2m∗ + Vconf

∣∣∣∣ Ψ0

⟩−

∑

sj

∣∣∣β(1)lmn

∣∣∣2

∣∣∣⟨Ψ0

∣∣∣V (1)lmn

∣∣∣ Ψ0

⟩∣∣∣2

~ω1LO

−∑

sj

∣∣∣β(2)lmn

∣∣∣2

∣∣∣⟨Ψ0

∣∣∣V (2)lmn

∣∣∣ Ψ0

⟩∣∣∣2

~ω2LO

−∑

sj

|αl|2∣∣∣⟨Ψ0

∣∣∣V (SO)

lm

∣∣∣ Ψ0

⟩∣∣∣2

~ωIl

. (5.68)

Agrupando estas ecuaciones y efectuando las operaciones matemáticas necesarias,podemos expresar la energía total en términos del parámetro variacional γ

E(γ) =2π~2N2

m∗[(γ2 − ζ2)A + (γ + η)2B − γζC

]+ 4πN2V0B

−∑

lmn

|β(1)ln |2

|〈Ψ0|V (1)lmn(r)|Ψ0〉|2~ω1LO

−∑

lmn

|β(2)ln |2

|〈Ψ0|V (2)lmn(r)|Ψ0〉|2~ω2LO

−∑

lm

|αl|2 |〈Ψ0|V (SO)lm (r)|Ψ0〉|2~ωIl

(5.69)



donde

A =1− e−2γR

4γ− γ + e−2γR[ζsen(2ζR)− γcos(2ζR)]

4(γ2 + ζ2)(5.70)

B =sen2(ζR)e−2γR

2(ζ + γ)(5.71)

C =ζ − e−2γR[γsen(2ζR) + ζcos(2ζR)]

2(γ2 + ζ2)(5.72)

En la expresión (5.69), los dos primeros términos se deben al electrón confinadoen el dot, el tercero y el cuarto describen la interacción del electrón con los fononesconfinados, mientras que el último se refiere a la interacción del electrón con losfonones de superficie. De manera explícita,

E(1)LO

= − [4eRN2]2

R

(1

ε1∞− 1

ε10

) ∞∑n=1

1n2

×[∫ π

0

dxsen(nx)

xsen2

(ζRx

π

)e−2γRx/π

]2

(5.73)

y

E(2)LO

= −[4eπN2sen2(ζR)e2ηR

]2R2 −R

(1

ε2∞− 1

ε20

) ∑

k0n

1k20n

×[∫ R2

R

drsen[k0n(r −R)]

re−2ηre−2γr

]2

(5.74)

donde k0n = nπ/(R2−R), n = 1,2,... es la solución de fl(kr). Si suponemos que R2 →∞, la separación entre los valores de los k0n próximos es infinitamente pequeña;lo que conduce a considerar k0n/nπ como un incremento de k ∆k. Por lo tanto,podemos transformar el sumatorio en una integral sobre k. Esto consiste en analizarla transición entre el modo discreto al espectro continuo de los fonones. De estamanera, la contribución de los fonones confinados en la barrera a la auto-energíadel polarón se expresará como

E(2)LO = −

[4eπ1/2N2sen2(ζR)e2ηR

]2(

1ε2∞

− 1ε20

) ∫ ∞

0

dk

k2

×[∫ R2

R

drsen[k(r −R)]

re−2ηre−2γr

]. (5.75)

La expresión resultante de esta operación es independiente de R2. Respecto a la



interacción con los fonones de superficie, calculando para l = 1, obtenemos que

E(SO) =

∣∣∣∣e−2γRN2

8γ2(γ2 + ζ2)2R

∣∣∣∣2[−(γ2 + ζ2)2(1 + 2γR) + γ2e2γR(γ2 + ζ2)

+ γ2[ζ2(−1 + 2γR) + γ2(1 + 2γR)

]cos(2ζR)− 2γ3ζsen(2ζR)

+[(γ2 + ζ2)R

]sen(2ζR)

]2

+

[2N2R2e2γR(η + γ)Γ[−1, 2(γ + η)R]

× sen2(ζR)

]2(α2

1

~ω1

). (5.76)

Aquí, Γ[a, x] es la función Gamma incompleta [9]. Por otro lado, la energía delpolarón y de interacción electrón-fonón se obtiene minimizando E(γ) con respectoa γ.

Para ilustrar los cálculos, hemos calculado la energía del polarón para tres ca-sos típicos de puntos cuánticos de tipo III-V (GaAs, InAs) y II-VI (ZnSe). Los resul-tados de la figura 5.1 muestran las auto-energías del polarón para puntos cuánticosaislados de InAs, GaAs y ZnSe en la aproximación de potencial infinito. La energíadel polarón disminuye como el inverso del radio a medida que aumenta la dimen-sión del punto cuántico. Las constantes de Fröhlich de estos materiales se encuentranagrupadas en la tabla D. De cara a comparar el comportamiento de los tres mate-riales, escalamos los valores de ∆Epol obtenidos en los puntos cuánticos con sus res-pectivos valores predichos por los materiales volúmicos, es decir ∆Epol ' −α~ωLO.Para el caso de GaAs volúmico, la auto-energía ∆Epol ' 3,24 meV. En la figura5.1, ∆Epol se acerca de los valores bulk para R > 15 nm. El aumento de ∆Epol

para tamaños más pequeños demuestra el efecto del confinamiento. En efecto, enausencia de interacción electrón-fonón, el término dominante en la energía del es-tado fundamental viene dado por la ec. (4.7) en la que la energía cae a medida queaumenta la dimensión del dot. Asimismo, los electrones en esta aproximación no in-teractúan con los fonones de superficie, por lo que su contribución a la auto-energíadel polarón es nula [8, 10]. Esta situación se cumple para los electrones llamados so electrones simétricos.

La figura 5.2 muestra la contribución a la auto-energía del polarón para lainteracción entre el electrón y los fonones LO confinados en el interior y fuera deldot en función del radio, así como la contribución de los fonones de superficie pa-ra puntos cuánticos esféricos de InAs/GaAs. Como era de esperar, los valores de∆ELO1 son pequeños en comparación con los obtenidos en la aproximación de po-tencial infinito. Esto se debe a que en el caso de potencial finito, los electronestienen la posibilidad de extenderse en la barrera, reduciéndose por tanto el gap deldot, en comparación con el valor del material bulk. Mientras el valor absoluto de∆ELO1 disminuye a medida que aumenta el radio, |∆ELO2 | en cambio aumenta conel radio hasta alcanzar un máximo para luego cambiar de tendencia y empezar adisminuir para R > Rc. La mayor contribución a la auto-energía en el rango estu-diado proviene esencialmente de los fonones LO1. En los trabajos anteriores [5], seha comentado que la interacción de los electrones con los fonones de superficie esdepreciable en comparación con la contribución de los fonones confinados. Para ana-



5.0 10.0 15.0 20.0 25.01.24

2.49

3.73

4.97

6.22

7.46

8.70

9.94

0.0 5.0 10.0 15.0 20.00.00

3.12

6.24

9.36

12.48

15.61

5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

2.25

4.50

6.75

8.99

(c)

InA

s

- ∆E

pol(m

eV

)

Radio (nm)

(b)

Radio (nm)

Ga

As

- ∆E

pol(m

eV

)

Radio (nm)

(a)

Zn

Se

- ∆E

pol(m

eV

)

Figura 5.1. Dependencia de la energía del polarón con el radio en puntoscuánticos esféricos de (a) ZnSe, (b) GaAs,y (c) InAs: aproximación del potencialinfinito.

lizar esta contribución, hemos calculado la contribución de los fonones de superficiea la auto-energía de polarón. Nuestros cálculos demuestran que, en caso de poten-cial finito, los fonones de superficie contribuyen a la auto-energía del polarón, peroesta contribución es tres ordenes de magnitud menor que la correspondiente a losfonones LO1 y LO2. Esta contribución ha sido ignorada por muchos autores, debidoprobablemente a que la mayoría de autores calculan los valores del polarón para lospuntos cuánticos enterrados en los materiales no polares como son los vidrios, encuyo caso no existe un campo eléctrico local que generaría una interacción entre


5.2 Polarón en puntos cuánticos cilíndricos 109

0 5 10 15 20 25-0,40

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0

0,00

0,25

0,50

0,75

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0

-0,12

-0,08

-0,04

0,00

0,04

∆ E

LO2 (

me

V)

Radio (nm)

(b)

∆ E

SO (

x 1

03 m

eV

)

Radio (nm)

(c)

∆ E

LO1(m

eV

)

Radio (nm)

(a)

Figura 5.2. Dependencia de la energía del polarón con el radio en pun-tos cuánticos esféricos de InAs/GaAs en la aproximación del potencial finito. (a)contribución de LO interno al dot, (b) contribución de LO en la barrera y (c) lacontribución de los fonones de superficie.

el electrón y la red cristalina. En todos los casos estudiados, la contribución de losfonones volúmicos, llamados aquí fonones confinados es la más dominante. También,en el confinamiento llamado perfecto, es decir cuando el potencial de confinamientoes demasiado grande para ser considerado como infinito respecto a la energía deportadores confinados, se puede obviar la contribución de fonones de superficie.

5.2. Polarón en puntos cuánticos cilíndricosEn esta sección, detallaremos los diferentes pasos en la determinación del Ha-

miltoniano de interacción electrón-fonón en puntos cuánticos cilíndricos. Por analo-gía, utilizaremos el modelo variacional, aplicable en todos los rangos de acoplamientoelectrón-fonón. Asimismo, presentaremos los modelos empleados para calcular lasdistintas contribuciones de los modos de fonones a la auto-energía del polarón.



5.2.1. Hamiltoniano de interacción electrón-fonón

El Hamiltoniano de interacción electrón-fonón en un punto cuántico cilíndricoha sido discutido con detalle por Li et al. [11] para los puntos cuánticos aislados.A continuación, nos limitamos a resumir los resultados más importantes que nosayudarán a desarrollar nuestra teoría. Centraremos nuestros esfuerzos en el casodel potencial finito que no aparece en los trabajos anteriormente citados. Además,tendremos en cuenta la posibilidad de una interacción entre los electrones y fononesconfinados en la barrera como en el caso de puntos cuánticos esféricos.

A. Hamiltoniano de Fröhlich para los fonones confinados

Como en el caso de los puntos cuánticos esféricos, distinguiremos dos tipos defonones confinados: los confinados en el dot y los confinados en la barrera. Para losfonones completamente confinados en el punto cuántico y despreciándose las inter-acciones interbandas, el vector de polarización se deduce a partir de las ecuaciones(3.19) y (3.20), es decir

Pln+ = −

[~uρk‖J1(k‖ρ)cos(

lπ

2dz) + ~uzJ0(k‖ρ)

lπ

2dsen(

lπ

2dz)−

~uϕim

ρJ0(k‖ρ)cos(

lπ

2d)]eimϕCln, (l = 1, 3, 5, ...) (5.77)

Pln− = −

[~uρk‖J1(k‖ρ)sen(

lπ

2dz) + ~uzJ0(k‖ρ)

lπ

2dcos(

lπ

2dz)−

~uϕim

ρJ0(k‖ρ)sen(

lπz)2d

]eimϕCln, (l = 2, 4, 6, ..). (5.78)

De la completitud y de la normalización del vector de polarización, se deducela constante de normalización

Cln =ωp√

πdηLO1 [α2nJ2

2 (αn) + (lπR0/2d)2J21 (αn)]

. (5.79)

Asumiendo que

ω2p

ηLO2=

ω2LO2

4π

(1

ε∞2− 1

ε2,0

), (5.80)



el Hamiltoniano de interacción para los fonones LO1 se puede resumir en

He−LO1 = −

∑n

J0(χn

R0ρ)×

∑

l=1,3,...

Vlnsen(lπ

2dz)(aln + a+

ln)

+∑

l=2,4,...

Vln cos(lπ

2dz)(aln + a+

ln)

, (5.81)

donde la amplitud de interacción se escribe de la forma siguiente

V 2ln =

4πe2~ωLO1

V (χn/R0)2

(1

ε∞1− 1

ε01

)

× 1[(J2

2 (χn) + (1− 1χ2

n)J2

1 (χn)]

+ (lπ/2d)2J21 (χn)

(5.82)

con V = 2πR20 d representando el volumen del dot. En el caso de los fonones confi-

nados en la barrera, el potencial electrostático puede escribirse como

φ(ρ) =

0 ρ ≤ R0

Al[Jl(klnρ) + BlNl(klnρ)] ρ > R0.(5.83)

Debido a la continuidad del potencial en la superficie del dot, podemos imponer queφ(R0) = 0. Y para determinar la constante B , elegimos un punto R2 fuera deldotde modo que φ(R2 ) = 0. Estos dos criterios determinan el espectro de knl y losvalores de B a partir de la ecuación transcendental

lımR2→∞

Jl(klnR0)Nl(klnR0)

− Jl(klnR2)Nl(klnR2)

= 0. (5.84)

La constante de normalización se determina comparando el Hamiltoniano libre delos fonones confinados en la barrera con el Hamiltoniano asociado al vector depolarización correspondiente. Para simplificar las notaciones, escribimos la expresióndel potencial electrostático en la forma

φ(ρ, z, ϕ) =

0 ρ ≤ R0

AlTl(klnρ)e−qzzeimϕ ρ > R0(5.85)

donde Tl(klnρ) es una función ortogonal que cumple todas las propiedades deJl(klnρ) y de Nl(klnρ) [ver Apéndice D para la demostración]. En esta notación,



el vector de polarización se escribe

P =Al

4π

1/2kln [Tl(klnρ)− Tl+1(klnρ)] ~uρ +

im

ρTl(klnρ) ~uϕ

−qzTl(klnρ) ~uz

e−qzzeimϕ. (5.86)

En la aproximación adiabática, es habitual deducir el Hamiltoniano de fonones libresa partir del Lagrangiano del vector desplazamiento, es decir

Hph =12

∫ [nµu.u + nµω2

0u.u− neu ·Eloc

]d3r. (5.87)

En el caso de los fonones LO, utilizando la relación de Born-Huang, [ec. (2.5)], elHamiltoniano será

Hph =12

∫ [4πηLO

ω2p

P∗ · P +4πηLO

ω2p

ω2LOP∗ ·P

]d3r (5.88)

donde los operadores campo de polarización vienen dados por

P =(~

ωLO

)1/2 [b + b+

]P (5.89a)

P = −i(~ωLO)1/2[b− b+

]P. (5.89b)

A partir del criterio de completitud y de normalización del vector de polarización,podemos deducir que

A2l =

128πqz

k2ln

ω2p

ηLO2

[1ρ2

k2

ln

[Tl(klnρ)− l + 1

klnρTl+1(klnρ)

]2

+(

1− (l + 1)2

k2lnρ2

)T 2

l−1(klnρ) + q2z

[k2

ln

4(Tl−1(klnρ)− Tl+1(kln))2

+(

1− l2

k2lnρ2

)T 2

l (klnρ)R2

R1

]−1 ((1− e−2qzd)

2

)−1

. (5.90)

Suponiendo que

ω2p

ηLO2=

ω2LO2

4π

(1

ε∞2− 1

ε2,0

), (5.91)

el Hamiltoniano de interacción se reduce en

HLO2e−ph = −

∑

l

[ΓLO2

l (kln, qz)Tl(klnρ)e−qzzeimϕb+l (kln, qz) + H.c.

](5.92)



donde

Γ2l =

32e2~ωLO2

V

(1

ε∞,2− 1

ε0,2

)πqzk

2ln

ω2p

ηLO2

[1ρ2

k2

ln

×[Tl(klnρ)− l + 1

klnρTl+1(klnρ)

]2

+(

1− (l + 1)2

k2lnρ2

)T 2

l−1(klnρ)

+ q2z

[k2

ln

4(Tl−1(klnρ)− Tl+1(kln))2 +

(1− l2

k2lnρ2

)

× T 2l (klnρ)

]]R2

R1

]−1((1− e−2qzd)

2

)−1

(5.93)

define la amplitud del Hamiltoniano de interacción.

B. Hamiltoniano de Fröhlich para los fonones de intercara

En general, las frecuencias de fonones de intercara son distintas de las frecuen-cias de los fonones del material bulk, por lo cual, se espera que la interacción de loselectrones con los fonones de intercara sea distinta que la correspondiente a los fo-nones del material bulk. Como queda demostrado en los anteriores trabajos [11, 12]y en el capítulo 3 de esta memoria, los fonones de superficie se subdividen en modosTSO y SSO. Esto conduce a considerar la interacción de los electrones con los TSOy los SSO, respectivamente. Li y Chen [11], luego Charrour y colaboradores [13]estudiaron la interacción electrón-fonón para puntos cuánticos cilíndricos aislados.Existe también una abundante literatura sobre la interacción electrón-fonón en loshilos cuánticos cilíndricos. Por ello, y siguiendo el trabajo de Li [11], se puede de-mostrar que los vectores de polarización correspondientes a los fonones TSO en casode puntos cuánticos aislados se dan por

Pmn+ =

[~uρq+,mn

(mJm(q+,mnρ)

q+,mnρ− Jm+1(q+,mnρ)

)cosh(q+,mnz)

+ ~uzqzJm(q+,mnρ)senh(q+,mnz) + ~uϕim

ρJm(q+,mnρ) cosh(q+,mnz)

]

× 1− ε14π

Aeimϕ (5.94)

para los modos simétricos y

Pmn− =

[~uρq−,mn

(mJm(q−,mnρ)

q−,mnρ− Jm+1(q−,mnρ)

)senh(q−,mnz)

+ ~uzqzJm(q−,mnρ) cosh(q−,mnz) + ~uϕim

ρJm(q−,mnρ)senh(q−,mnz)

]

× 1− ε14π

Aeimϕ (5.95)



para los modos antisimétricos; mientras que para los SSO se obtiene que

P+mn =

1− ε14π

D+eimϕ

~uρ

nπ

2d

[mIm((nπ/2d)ρ)

(nπ/2d)ρ+ Im+1(

nπ

2dρ)

]cos(

nπ

2dz)

− ~uznπ

2dIm(

nπ

2dρ)sen(

nπ

2dz) + ~uϕ

im

ρIm(

nπ

2dρ)cos(

nπ

2dz)

n = 2, 4, 6, ...

(5.96)


P−mn =1− ε1

4πD−eimϕ

~uρ

nπ

2d

[mIm((nπ/2d)ρ)

(nπ/2d)ρ+ Im+1(

nπ

2dρ)

]sen(

nπ

2dz)

+ ~uznπ

2dIm(

nπ

2dρ)cos(

nπ

2dz) + ~uϕ

im

ρIm(

nπ

2dρ)sen(

nπ

2dz)

n = 1, 3, 5, ....

(5.97)

para los modos antisimétricos. Para nuestros cálculos, consideramos que los fononesde intercara interactúan con los electrones en el estado fundamental

(01

), esto impli-

ca despreciar los efectos de scattering entre las bandas. Por tanto, los potencialeselectrostáticos se expresarán para l = 0 y m = 0. Con ello, los Hamiltonianos deinteracción para los TSO se escriben de la manera siguiente

He−TSO = −∑

n+

Vn+J0(q+,nρ) cosh(q+,nz)(bn,+ + b+n,+)

−∑

n−Vn−J0(q−,nρ)senh(q−,nz)(bn,− + b+

n,−) (5.98)

con

V 2n,+ =

1[senh(2q+,nd) + 2q+,nd] J2

2 (q+,nR0) + [senh(2q+,nd)− 2q+,nd]J21 (q+,nR0)

× 4πe2~ω+

(1

ε(ω+)− ε0− 1

ε(ω+)− ε∞

)1S

(5.99)

y una ecuación similar para los modos q−,n, es decir

V 2n,− =

1[senh(2q−,nd)− 2q−,nd]J2

2 (q−,nR0) + [senh(2q−,nd) + 2q−,nd] J21 (q−,nR0)

× 4πe2~ω−(

1ε(ω−)− ε0

− 1ε(ω−)− ε∞

)1S

(5.100)



donde S = πR20 es el área de la base del cilindro. Y por último,

He−SSO

= −∑

n=2,4,...

Γn+I0(nπ

2dρ) cos(

nπ

2dz)(Bn,+ + B+

n,+)

−∑

n=1,3,...

Γn−I0(nπ

2dρ)sen(

nπ

2dz)(Bn,− + B+

n,−) (5.101)

con

Γ2n,± =

1S

4π2~ωss

dκ2n [I2

0 (κnR0)− I2(κnR0)I0(κnR0)]

×(

1ε(ωss)− ε0

− 1ε(ωss)− ε∞

). (5.102)

Para las heteroestructuras, ambas funciones dieléctricas, tanto del dot como de labarrera dependen de la frecuencia. Para simplificar las notaciones, omitimos en lasexpresiones que vienen a continuación la dependencia con la frecuencia en εi(ω).Con esta aclaración, las expresiones generales de los vectores de polarización son

Pmn+ =

1− ε14π

Amneimϕ

[~uρq+,mn

(mJm(q+,mnρ)

q+,mnρ− Jm+1(q+,mnρ)

)cosh(qzz)

+ ~uzqzJm(q+,mnρ)senh(qzz) + ~uϕim

ρJm(q+,mnρ)cosh(qzz)

]

+1− ε2

4πBmneimϕ

[~uρq+,mn

(1− Jm(q+,mnR0)

Nm(q+,mnR0)

)[mJm(q+,mnρ)

q+,mnρ

− Jm+1(q+,mnρ)]

+(

mNm(q+,mnρ)q+,mnρ

−Nm+1(q+,mnρ))

e−qzz

+ ~uzqzJm(q+,mnρ)e−qzz + ~uϕim

ρJm(q+,mnρ) cosh(qzz)

](5.103)


Pmn− =

1− ε14π

Amneimϕ

[~uρq−,mn

(mJm(q−,mnρ)

q−,mnρ− Jm+1(q−,mnρ)

)cosh(q−,mnz)

+ ~uzqzJm(q−,mnρ)senh(q−,mnz) + ϕim

ρJm(q−,mnρ) cosh(q−,mnz)

]

+1− ε2

4πBmneimϕ

[~uρq−,mn

(1− Jm(q−,mnR0)

Nm(q−,mnR0)

)[mJm(q−,mnρ)

q−,mnρ

− Jm+1(q−,mnρ)]

+(

mNm(q−,mnρ)q−,mnρ

−Nm+1(q−,mnρ))

e−qzz

+ ~uzqzJm(q−,mnρ)e−qzz + ~uϕim

ρJm(q−,mnρ) cosh(q−,mnz)

](5.104)

para los antisimétricos. Como en el caso anterior, calcularemos las contribucionespara los electrones situados en el estado fundamental. Para estudiar el efecto del



potencial finito, expresamos las condiciones de normalización del vector campo depolarización como

∫d3r

[η1(ωTSO)

ω2p

P ∗TSO±1 · PTSO±

1 +η2(ωTSO)

ω2p

P ∗TSO±2 · PTSO±

2

]= 1 (5.105)

donde los índices 1 y 2 se refieren al material dot y a la barrera, respectivamente.La integral se evalúa en todo el espacio ocupado, tanto por el dot como por labarrera. Para despejar las expresiones completas de las constantes de normalización,asumimos que el entorno del punto cuántico se extiende hasta el infinito (R2 →∞).R2 es un punto fuera del dot elegido para facilitar los cálculos. [Veáse la mismaargumentación en caso de puntos cuánticos esféricos]. Evaluamos los términos y lasintegrales en R2 utilizando las expresiones del desarrollo asintótico de las funcionesde Bessel Jn y de Neumann Nn. La sustitución de R2 → ∞ conduce de inmediatoa la eliminación de los términos en R2 en la ecuación (5.105).

A partir de la continuidad del potencial electrostático a la superficie del puntocuántico, podemos deducir que

A+J0(q+R0) cosh(q+d) = B+e−q+d (5.106a)A−J0(q−R0)senh(q−d) = B−eq−d. (5.106b)

o que

B+ = A+J0(q+R0)(

1 + e2q+d

2

)(5.107a)

B− = A−J0(q−R0)(

1 + e2q−d

2

). (5.107b)

En las expresiones anteriores, hemos eliminado los índices (nm) por simplicidad ylos signos +(-) se refieren a modos simétricos (antisimétricos). Sustituyendo (5.107a)en (5.105) y tras aplicar los desarrollos asintóticos, obtenemos que

A2+ = 8π

q2+R2

0

η1(ωTSO+)

ω2p

χ21(ωTSO+)

14q+

senh(2q+d)[J2

1 (q+R0) + J20 (q+R0)

− 1q+R0

J0(q+R0)J1(q+R0)]− d

2

[J2

0 (q+R0)− 1q+R0

J0(q+R0)J1(q+R0)]

+

η2(ωTSO)ω2

p

χ22(ωTSO)J2

0 (q+R0) (1 + cosh(2q+d))(

1− N0(q+R0)J0(q+R0)

)2

×[

1q+R0

J0(q+R0)J1(q+R0)− J21 (q+R0)− J2

0 (q+R0)]− 1

2q+

[N2

1 (q+R0)

+ N20 (q+R0)− 1

q+R0N0(q+R0)N1(q+R0)

] /2

−1

. (5.108)

Del mismo modo para los modos antisimétricos, sustituyendo (5.107b) en (5.105),se obtiene pues



A2− = 8π

q2−R2

0

η1(ωTSO−)

ω2p

χ21(ωTSO−)

14q−

senh(2q−d)[J2

1 (q−R0) + J20 (q−R0)

− 1q−R0

J20 (q−R0)J1(q−R0)

]+

d

2q−R0J0(q−R0)J1(q−R0)

+

η2(ωTSO−)ω2

p

χ21(ωTSO−)

×J20 (q−R0) (cosh(2q−d)− 1)

(1− N0(q−R0)

J0(q−R0)

)2 [1

q−R0J0(q−R0)J1(q−R0)− J2

1 (q−R0)

−J20 (q−R0)

]− 12q−

[N2

1 (q−R0) + N20 (q−R0)− 1

q−R0N0(q−R0)N1(q−R0)

]/2

−1

.

(5.109)

Para los fonones SSO, utilizando el mismo desarrollo que en el caso de losTSO, obtenemos para los modos simétricos,

∫d3r

[η1(ωSSO+)

ω2p

P∗SSO+1 · PSSO+

1 +η2(ωSSO+)

ω2p

P∗SSO+2 · PSSO+

2

]=

η1(ωSSO+)ω2

p

χ21(ωSSO+)D2

+(nπ

2d)2R2

0d[

2d

nπR0I0(

nπ

2dR0)I1(

nπ

2dR0)

(1 +

sen(nπ)nπ

)+

sen(nπ)nπ

(I20 (

nπ

2dR0)− I2

1 (nπ

2dR0))

)− η2(ωSSO+)

ω2p

χ22(ωSSO+)A2

0(nπ

2d)2

R20

2

×[

K21 (

nπ

2dR0)−K2

0 (nπ

2dR0)− 2d

nπR0K0(

nπ

2dR0)K1(

nπ

2dR0)

]

∫ ∞

d

cos2(nπ

2dz)dz +

[K2

0 (nπ

2dR0)−K2

1 (nπ

2dR0)

]

×∫ ∞

d

sen2(nπ

2dz)dz

= 8π, n = 2, 4, 6, ... (5.110)

y una expresión similar

∫d3r

[η1(ωSSO−)

ω2p

P∗SSO−1 · PSSO−

1 +η2(ωSSO−)

ω2p

P∗SSO−2 · PSSO−

2

]=

η1(ωSSO−)ω2

p

χ21(ωSSO−)D2

−(nπ

2d)2R2

0d[

2d

nπR0I0(

nπ

2dR0)I1(

nπ

2dR0)

×(

1− sen(nπ)nπ

)+

sen(nπ)nπ

(I20 (

nπ

2dR0)− I2

1 (nπ

2dR0)

)

− η2(ωSSO−)ω2

p

χ22(ωSSO−)A2

0(nπ

2d)2

R20

2

[K2

1 (nπ

2dR0)−K2

0 (nπ

2dR0)

− 2d

nπR0K0(

nπ

2dR0)K1(

nπ

2dR0)

]∫ ∞

d

sen2(nπ

2dz)dz+

[K2

0 (nπ

2dR0)−K2

1 (nπ

2dR0)

]

×∫ ∞

d

cos2(nπ

2dz)dz

= 8π, n = 1, 3, 5, ... (5.111)



para los antisimétricos.De la continuidad del potencial electrostático de los SSO a la superficie del

dot y a partir de las ecs. (3.24), deducimos que

A0 = D+

I0(nπ2d R0)

K0(nπ2d R0)

(5.112a)

B0 = D−I0(nπ

2d R0)K0(nπ

2d R0). (5.112b)

Sustituyendo las relaciones (5.112a) en las ecuaciones (5.110) y (5.111) , obtene-mos las constantes de normalización para los modos SSO simétricos, que vienenexpresadas por

D2+ = 8π

η1(ωSSO+)

ω2p

χ21(ωSSO+)

(nπ

2d

)2

R20d

[2d

nπR0I0(

nπ

2dR0)I1(

nπ

2dR0)

]

+η2(ωSSO+)

ω2p

χ22(ωSSO+)×

(I0(nπ

2d R0)K0(nπ

2d R0)

)2 (nπ

2d

)2 dR20

4

[2d

nπR0K0(

nπ

2dR0)K1(

nπ

2dR0)

]−1

,

n = 2, 4, 6, .... (5.113a)

Actuando de la misma manera para los modos antisimétricos, obtenemos que

D2− = 8π

η1(ωSSO−)

ω2p

χ21(ωSSO−)

(nπ

2d

)2

R20d

[2d

nπR0I0(

nπ

2dR0)I1(

nπ

2dR0)

]

+η2(ωSSO−)

ω2p

χ22(ωSSO−)×

(I0(nπ

2d R0)K0(nπ

2d R0)

)2 (nπ

2d

)2 dR20

4

[2d

nπR0K0(

nπ

2dR0)K1(

nπ

2dR0)

]−1

,

n = 1, 3, 5, ... (5.113b)

Para expresar los Hamiltonianos de interacción correspondientes, escribiremos lospotenciales electrostáticos en términos de los modos normales mediante las reglasde cuantización, es decir

ΦTSO(r) =∑

l,n

(~

8πωTSO+

)1/2

(bn,+ + b+n,+)φ+(r)

+∑

l,n

(~

8πωTSO−

)1/2

(bn,− + b+n,−)φ−(r) (5.114a)

ΦSSO(r) =∑

l,n

(~

8πωSSO+

)1/2

(Bn,+ + B+n,+)φ+(r)

+∑

l,n

(~

8πωSSO−

)1/2

(Bn,− + B+n,−)φ−(r) (5.114b)

donde los φ±(r) y φ±(r) son las expresiones de los potenciales electrostáticos obte-



nidos en el capítulo 3 para los modos TSO y SSO, respectivamente. Los operadoresbn,+, bn,−, Bn,+ y Bn,− satisfacen a todas las reglas de conmutación

[bn+, bn′+

]=

[b+n+, b+

n′+]

= 0 (5.115a)[Bn+, Bn′+

]=

[B+

n+, B+n′+

]= 0 (5.115b)

[Bn+, Bn′−

]=

[B+

n+, B+n′−

]= 0 (5.115c)

[bn+, b+

n′+]

=[Bn+, B+

n′+]

= δnn′. (5.115d)

Los Hamiltonianos de interacción serán

He−TSO+ =

β1TSO+J0(q+ρ) cosh(q+z)(bn,+ + b+

n,+), ρ < R0, |z| < d

β2TSO+

[(1− N0(q+R0)

J0(q+R0)

)J0(q+ρ) + N0(q+ρ)

]e−q+z (bn,+ + b+

n,+),

ρ > R0, |z| > d (5.116a)

He−TSO− =

β1TSO−J0(q−ρ)senh(q−z)(bn,− + b+

n,−), ρ < R0, |z| < d

β2TSO−

[(1− N0(q−R0)

J0(q−R0)

)J0(q−ρ) + N0(q−ρ)

]eq−z (bn,− + b+

n,−),

ρ > R0, |z| > d (5.116b)

para la interacción con los fonones TSO, mientras que para los SSO obtenemos lasexpresiones siguientes

He−SSO+ =

Γ1SSO+I0(nπ

2d ρ) cos(nπ2d z)(Bn,+ + B+

n,+), ρ < R0

Γ2SSO+K0(nπ2d ρ) cos(nπ

2d z)(Bn,+ + B+n,+), ρ > R0

(5.117a)

He−SSO− =

Γ1SSO−I0(nπ

2d ρ)sen(nπ2d z)(Bn,− + B+

n,−), ρ < R0

Γ2SSO−K0(nπ2d ρ)sen(nπ

2d z)(Bn,+ + B+n,+), ρ > R0.

(5.117b)

Por otra parte, las constantes de acoplo que definen las amplitudes de Fröhlich



vienen dadas por las expresiones siguientes

β21TSO+

= 4πe2~ω+1S

(1

ε(ω+)− ε01− 1

ε(ω+)− ε∞1

)−1

×

q+

4senh(2q+d)

[J2

1 (q+R) + J20 (q+R0)− 1

q+R0J0(q+R0)J1(q+R0)

]

−q2+d

2

[J2

0 (q+R0)− 1q+R0

J0(q+R0)J1(q+R0)]+

(1

ε(ω+)− ε02− 1

ε(ω+)− ε∞2

)−1

× J20 (q+R0) (1 + cosh(2q+d))

(1− N0(q+R0)

J0(q+R0)

)2 [1

q+R0J0(q+R0)J1(q+R0)

− J21 (q+R0)− J2

0 (q+R0)]− 1

2q+

[N2

1 (q+R0) + N20 (q+R0)

− 1q+R0

N0(q+R0)N1(q+R0)]

/2−1

; (5.118a)

β22TSO+

= β21TSO+

J20 (q+R0)

[1 + e2q+d

]2/4 (5.118b)

β21TSO− = 4πe2~ω−

1S

(1

ε(ω−)− ε01− 1

ε(ω−)− ε∞1

)−1

×

q−4

senh(2q−d)[J2

1 (q−R0) + J20 (q−R0)− 1

q−R0J0(q−R0)J1(q−R0)

]

+q−d

2R0J0(q−R0)J1(q−R0)

+

(1

ε(ω−)− ε02− 1

ε(ω−)− ε∞2

)−1

J20 (q−R0) (cosh(2q−d)− 1)

×(

1− N0(q+R0)J0(q+R0)

)2 [1

q−R0J0(q−R0)J1(q−R0)− J2

1 (q−R0)− J20 (q−R0)

]

− 12q−

[N2

1 (q−R0) + N20 (q−R0)− 1

q−R0N0(q−R0)N1(q−R0)

]/2

−1

;

(5.119a)

β22TSO− = β2

1TSO−J20 (q−R0)

[1− e−2q−d

]2/4 (5.119b)

para la interacción de los electrones con los fonones TSO en modos simétricos yantisimétricos. Respecto a las constantes de acoplo que definen las amplitudes de



Fröhlich para los fonones SSO, tenemos

Γ21SSO+ = 4πe2~ωS+

1S

(1

ε(ωS+)− ε01− 1

ε(ωS+)− ε∞1

)−1 (nπ

2d

)2

×[

2d2

nπR0I0(

nπ

2dR0)I1(

nπ

2dR0)

]−

(1

ε(ωS+)− ε02− 1

ε(ωS+)− ε∞2

)−1

×(nπ

2d

)2(

I0(nπ2d R0)K 0

(nπ

2dR0)

)2 12

[K2

1 (nπ

2dR0)

− K20 (

nπ

2dR0)− 2d

nπR0K0(

nπ

2dR0)K1(

nπ

2dR0)

] ∫ ∞

d

cos2(nπ

2dz)dz

+[K2

0 (nπ

2dR0)−K2

1 (nπ

2dR0)

] ∫ ∞

d

sen2(nπ

2dz)dz

−1

,

n = 2, 4, 6, ... (5.120a)

Γ22SSO+ = Γ2

1SSO+

(I0(nπ

2d R0)K0(nπ

2d R0)

)2

(5.120b)

Γ21SSO− = 4πe2~ωS−

1S

(1

ε(ωS−)− ε01− 1

ε(ωS−)− ε∞1

)−1 (nπ

2d

)2

[2d2

nπR0I0(

nπ

2dR0)I1(

nπ

2dR0)

]−

(1

ε(ωS−)− ε02− 1

ε(ωS−)− ε∞2

)−1

−(nπ

2d

)2(

I0(nπ2d R0)

K0(nπ2d R0)

)2 12

[K2

1 (nπ

2dR0)

− K20 (

nπ

2dR0)− 2d

nπR0K0(

nπ

2dR0)K1(

nπ

2dR0)

] ∫ ∞

d

sen2(nπ

2dz)dz

+[K2

0 (nπ

2dR0)−K2

1 (nπ

2dR0)

] ∫ ∞

d

cos2(nπ

2dz)dz

−1

,

n = 1, 3, 5, ... (5.121a)

Γ22SSO− = Γ2

1SSO−

(I0(nπ

2d R0)K0(nπ

2d R0)

)2

(5.121b)

para la interacción con los fonones SSO tanto simétricos como antisimétricos, pore otro lado.

C. Solución numérica y resultados

Como en el caso de puntos cuánticos esféricos, adoptamos el método varia-cional desarrollado por Low-Lee-Pines [? ]. Debido a la forma del Hamiltoniano, la



transformación unitaria se escribe como

U = Exp

[∑

l,n

[fl,na+

ln − c.c]+

∑

l,n

[glnb+

ln − c.c]+

∑

ln

[hlnB+

ln − c.c]

+∑

ln

[slnD+

ln − c.c]]

(5.122)

donde fln , gln , hln y sln son los parámetros variacionales por determinar con laayuda de la minimización de la energía del sistema. En esta transformación unita-ría, a+

ln(aln), b+ln , (bln), B+

ln , (Bln) y D+ln , (Dln) son los operadores de creación (y de

aniquilación) para los fonones LO1, LO2, TSO y SSO, respectivamente. La funciónprueba que define el estado del sistema se elige conforme al sistema de coordenadas,asumiendo un ansatz entre la función de onda del electrón y el estado de fonones,es decir

|Ψ(ρ, z)〉 = |ψe(ρ, z)〉 |0〉 (5.123)

donde |ψe(ρ, z)〉 es la función de onda del electrón, y |0〉 es el estado fonónico, con-siderado vacío. Entonces, la energía total del sistema se evalúa como valor esperadodel Hamiltoniano dentro del estado arriba definido, es decir

Etot =⟨Ψ(ρ, z)

∣∣U−1HU∣∣ Ψ(ρ, z)

⟩= 〈ψe(ρ, z) |Heff |ψe(ρ, z)〉 (5.124)

donde Heff =⟨0

∣∣U−1HU∣∣ 0⟩

es una función de los parámetros variacionales. Loscriterios de minimización del Hamiltoniano efectivo, ∂Heff/∂fl,n = 0, ∂Heff/∂gl,n =0, ∂Heff/∂hl,n = 0, ∂Heff/∂sl,n = 0, nos permite definir estos parámetros como

fln =Vln

~ωLO

[J0

(χnρ

R0

)cos

(lπz

2d

)]para l impar (5.125a)

fln =Vln

~ωLO

[J0

(χnρ

R0

)sen

(lπz

2d

)]para l par (5.125b)

gln+ =Vn,+

~ω+[J0(qn,+ρ) cosh(qn,+z)] (5.126a)

gln− =Vn,−~ω−

[J0(qn,−ρ)senh(qn,−z)] (5.126b)

hln+ =Γn,+

~ωSS

[I0

(nπρ

2d

)cos

(nπz

2d

)]para n par (5.127a)

hln− =Γn,−~ωSS

[I0

(nπρ

2d

)sen

(nπz

2d

)]para n impar (5.127b)



sln+ =Γn,+

~ωLO2

[T0

(nπρ

2d

)cosh

(nπz

2d

)]para n par (5.128a)

sln+ =Γn,−~ωSS

[T0

(nπρ

2d

)senh

(nπz

2d

)]para n impar. (5.128b)

Con sustituir las expresiones de los parámetros variacionales, obtenemos que

Heff = − ~2

2m∗

[∂2

∂ρ2+

1ρ

∂

∂ρ+

∂2

∂z2

]+ Vconf (r) + Ve−LO(r)

+ Ve−TSO(r) + Ve−SSO(r) (5.129)

donde Ve−LO(r),Ve−TSO(r) y Ve−SSO(r) representan los potenciales efectivos in-ducidos por la interacción entre los electrones y los fonones LO, fonones TSO yfonones SSO, respectivamente. De manera explícita, estos potenciales tienen lassiguientes expresiones

Ve−LO(r) = −∑n1

J20

(χn1R0

ρ)

~ωLO

[ ∑

l=1,3,...

V 2l,n1

cos2(

lπ

2dz

)

+∑

l=2,4,...

V 2l,n1

sen2

(lπ

2dz

)](5.130a)

Ve−TSO(r) = −∑n2,+

V 2n2,+

~ω+J2

0 (qn2,+ρ) cosh2(qn2,+z)

−∑n2,−

V 2n2,−~ω−

J20 (qn2,−ρ)senh2(qn2,−z) (5.130b)

Ve−SSO(r) = −∑

n3=2,4,...

Γ2n3,+

~ωSSOI20

(n3

πρ

2d

)cos2

(n3

πz

2d

)

−∑

n3=1,3,...

Γ2n3,−

~ωSSOI20

(n3

πρ

2d

)sen2

(n3

πz

2d

). (5.130c)

Para la función de onda, podemos elegir una función-prueba de tipo

Ψe(ρ, z) = Af(ρ)g(z)Exp[−µ√

ρ2 + z2] (5.131)

con una sola variable variacional µ, y donde

f(ρ) =

J0(κ1ρ) ρ ≤ R0J0(κ1R0)K0(κ2R0)

K0(κ2ρ) ρ > R0.(5.132)



y

g(z) =

cos(k1z) |z| < d

cos(k1d)Exp(−k2|d|) exp[−k2 |z|] |z| > d.

(5.133)

Recordamos que los vectores de onda vienen definidos por

k1 =√

2m∗1E0/~ (5.134a)

k2 =√

2m∗2(Vconf − E0)/~ (5.134b)

κ1 =√

2m∗1Eρ/~ (5.134c)

κ2 =√

2m∗2(E0 − Eρ)/~ (5.134d)

mientras que E0 y Eρ se determinan a partir de las ecuaciones transcendentales(4.39) y (4.41). La elección de la función (5.131) se justifica por la correlación entreel movimiento en la dirección z y el movimiento en el plano (x,y). Varios autores hanelegido distintas funciones-prueba para calcular las auto-energías del polarón. En loscálculos de magnetopolarón, Charrour y colaboradores [14] utilizan una función conun solo parámetro variacional actuando sobre la variable ρ. Sin embargo, algunosestudios han demostrado que la elección de la función-prueba afecta muy poco a losvalores de auto-energía.

En ausencia de fonones, la energía del estado fundamental se da por la expre-sión siguiente:

E0g = 〈Ψ(ρ, z)

∣∣−∆2r + Vconf (r)

∣∣ Ψ(ρ, z)〉. (5.135)

La constante de normalización en este caso, se da por

A−2µ=0 =

12R2

0

[J1(κ1R0)2 − J0(κ1R0)2

K0(κ2R0)2K1(κ2R0)2

]

×[(2k1d + cos(2k1d))/4k1 + cos(k1d)2/2k2

](5.136)

Sin embargo para µ 6= 0, la constante de normalización vuelve a ser

A−2µ6=0 =

∫ d

0

∫ R0

0

ρJ0(κ1ρ)2 cos(k1z)2exp(−µ√

ρ2 + z2)dρdz

+[∫ ∞

d

∫ ∞

R0

ρK0(κ2ρ)2Exp(−2k2z)Exp[−µ√

ρ2 + z2]dρdz

]

× J0(κ1R0)2

K0(κ2R0)2cos(k1d)2

exp(−2k2d)(5.137)

A diferencia del caso µ = 0, la expresión (5.137) no es integrable analíticamente, loque requiere un tratamiento numérico. Con este tratamiento, el cálculo de la energíatotal del sistema se obtiene de la minimización con respecto al parámetro µ de las



distintas contribuciones, es decir,

Etot = minµ

E0

g +~ωLO1 +~ωLO2 +~ωTSO,±+~ωSSO,±+∆ELO1 +∆ELO2

+∆ETSO + ∆ESSO

. (5.138)

Como la energía del estado fundamental en ausencía de interacción electrón-fonón, así como las frecuencias de fonones han sido discutidas en los capítulos an-terioresa, aquí nos limitamos a analizar las correcciones a la energía debida a lasinteracciones electrón-fonón.

Para ilustrar nuestros cálculos presentaremos los resultados para los puntoscuánticos típicos de tipo III-V y II-VI. Los resultados se muestran en la figura 5.3para puntos cuánticos de InAs/GaAs. Los cálculos han sido realizados para un valorfijo de semi-altura de 2.5 nm. La contribución de los fonones confinados en el dota la auto-energía del polarón decrece rápidamente, en valor absoluto con el radiodel punto cuántico. Mientras que la corrección debida a fonones confinados en labarrera decrece lentamente en el mismo rango de radios del cilindro investigado.Sus valores alcanzan valores constantes para R0 > 15 nm y R0 > 10 nm, respecti-vamente. Respecto a los fonones TSO, su contribución a la auto-energía del polaróndisminuye constantemente con el radio del dot. Por otra parte, los SSO no parecencontribuir de manera apreciable a los valores de la auto-energía del polarón. En estaheteroestructura, la corrección total, que es la suma de las distintas contribucionesde los diferentes modos de fonones, disminuye en valor absoluto en un rango deR0 ≤ 7,5 nm, para aumentar gradualmente a medida que aumenta el radio delcilindro. La disminución de | ∆ELO1 | y | ∆ELO2 | puede interpretarse como unamanifestación del confinamiento en puntos cuánticos. Sin embargo, la poca sensibi-lidad de | ∆ESSO | corrobora el comportamiento observado en el capítulo 3, dondelos modos de fonones SSO no se ven afectados significativamente por el cambio dedimensiones laterales de puntos cuánticos cilíndricos.

Para entender mejor las características generales de polarón en puntos cuán-ticos cilíndricos, hemos extendido los cálculos a otros tipos de herteroestructuras,como son InAs/InP y ZnSe/CdSe. Los resultados de estos cálculos se presentan enlas figuras 5.4 y 5.5, respectivamente. Para los puntos cuánticos de InAs/InP,observamos comportamientos análogos a InAs/GaAs. Sin embargo, en el caso deZnSe/CdSe, la variación con el radio de | ∆ESSO | se hace más apreciable. Además,la disminución de | ∆ELO1 | y | ∆ELO2 | es más rápida que los puntos cuánticos deInAs/GaAs. Al mismo tiempo, observamos que | ∆Etot | tiene un marcado carácterpredominante de las contribuciones de los fonones confinados. Aunque no repre-sentado aquí, el comportamiento observado en los ZnSe/CdSe ha sido observadotambién en los puntos cuánticos de GaAs/AlAs. Aquí se puede ver que como en loscasos anteriores, la contribución de los fonones de superficie, tanto los TSO comolos SSO, al polarón es pequeña en comparación con los fonones confinados. A modode comparación, representamos en la figura 5.6 las correcciones de energía debidasa los fonones TSO y SSO para puntos cuánticos de InAs/GaAs. La contribuciónde SSO es dos ordenes de magnitud menor que los TSO. La misma situación serepite en los puntos cuánticos de InAs/InP. Sin embargo para los puntos cuánticosde ZnSe/CdSe, ambas contribuciones son del mismo orden de magnitud.

Esto se debe probablemente a las diferencias entre constantes dieléctricas y las



constantes de acoplo de Fröhlich. En efecto, Oshiro y Matsuura [4] han estudiadoel comportamiento de polarón con el radio para distintos valores de constantes deacoplo. Considerando solamente los fonones volúmicos, han llegado a la conclusiónde que la energía del polarón, en valor absoluto, es mayor para mayor constantede Fröhlich. Asimismo, compararon la energia del polarón para distintas razonesde constantes dieléctricas entre el material dot y su entorno (εdot/εbarrera). Eneste caso, observaron que a mayor gap entre las constantes dieléctricas correspondíamayor valor de energía de polarón. Además, para mayor constante de acoplo y mayortamaño, el valor esperado de r , < r > tiene una contribución muy importante.

Al cambiar el radio (R0) y la altura (h) de puntos cuánticos cilíndricos, sepuede estudiar varios límites de confinamiento, barriendo casi los tres tipos deconfinamiento: unidimensional o pozo cuántico (R0 y h >> aB), confinamientobidimensional o hilo cuántico (R0 < aB , h >> aB) y confinamiento tridimensio-nal o punto cuántico (R0 < aB , h < aB). Este hecho puede también influir enlas correcciones de energía para materiales cuyos band-offset son mayores. En loscasos investigados, AlAs y CdSe tienen mayores band-offsets. En efecto, como estoscambios de altura o de radio en puntos cuánticos cilíndricos, pueden dar lugar auna reducción de confinamiento, se puede esperar que la separación entre niveles deenergía sea más pequeña que la energía misma del fonón bulk. Los trabajos ante-riores [? ] habían demostrado que, en pozos cuánticos por ejemplo, la energía delpolarón puede tratarse mejor en aproximación de acoplo intermedio. De hecho, enpozos cuánticos, existe un continuo de energía en el plano x-y, aunque los nivelessean discretos en la dirección de crecimiento.

5.3. Polarón en puntos cuánticos cónicosLos puntos cuánticos cónicos presentan una peculiaridad en comparación con

los dos casos anteriores. En éstos, es difícil resolver la ecuación de Laplace en sepa-ración de variables. En el capítulo anterior, hemos aplicado el método de densidadfuncional de energía para calcular los niveles de energía de estos puntos cuánti-cos con el fin de demostrar el efecto sobre los mismos de la correlación entre losmovimientos en el plano y en la dirección de crecimiento. De este estudio, hemosobservado que la ecuación de movimiento en z sufre un cambio espectacular, encomparación con el caso cilíndrico, asumido aquí como una aproximación ideal ha-cia la cual tienden las soluciones asintóticas en el cono. Además, en el capítulo 3,hemos visto que el hecho de tratar la ecuación de Laplace en el sistema polar dalugar a que los modos de fonones presenten una tendencia a una localización encomparación con los modos estudiados en puntos cuánticos cilíndricos. Pero, estetratamiento tiene dificultades matemáticas a la hora de transformar los campos depolarización en Hamiltonianos para el cálculo de las energías del polarón, como lohemos hecho en el caso de puntos cuánticos esféricos y cilíndricos. En esta sección,intentaremos en primera aproximación analizar el mismo efecto de la contribuciónde la interacción electrón-fonón a la energía del polarón.

5.3.1. Hamiltoniano de Fröhlich para los fonones confinados

Para simplificar los cálculos, consideramos la interacción electrón-fonón entérminos de Fröhlich, de manera que el Hamiltoniano se escriba como


5.3 Polarón en puntos cuánticos cónicos 127

5,0 10,0 15,0 20,0 25,0

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

5,0 10,0 15,0 20,0 25,0

-0,32

-0,16

0,00

5,0 10,0 15,0 20,0 25,0

-0,30

-0,24

∆ E

LO (

me

V)

Radio (nm)

LO2 LO1

∆ E

SO (

me

V)

Radio (nm)

TSO SSO

∆ E

tot (

me

V)

Radio (nm)

Figura 5.3. Dependencia con el radio de las distintas contribuciones de losfonones a la auto-energía del polarón en puntos cuánticos cilíndricos de InAs/GaAs.

He−ph =∑

q

[α(q)a+

q exp(−iq.r) + H.c.]

(5.139)

con

α(q) = i(4πα/Ω)1/2[(~ωLO/q)(~/2m∗ωLO)1/4

](5.140)

q =√

q2ρ + q2

z (5.141)

En la ec. (5.140), Ω representa el volumen del cristal, mientras que α es la constantede Fröhlich que hemos descrito anteriormente. Considerando el estado fundamentalcomo un ansatz formado por el producto directo de la función de onda del electróny el estado fundamental de fonones, podemos escribir utilizando el método de per-turbaciones de segundo orden, la auto-energía del polarón como en los materialesvolúmicos.



5,0 10,0 15,0 20,0 25,0

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

5,0 10,0 15,0 20,0 25,0

-0,31

-0,24

-0,18

-0,12

-0,06

0,00

5,0 10,0 15,0 20,0 25,0

-0,31

-0,24

-0,18

LO2 LO1

D E

LO (

me

V)

Radio (nm)

TSO SSO

∆ E

SO (

me

V)

Radio (nm)

∆ E

tot (

me

V)

Radio (nm)

Figura 5.4. Dependencia con el radio de las distintas contribuciones de losfonones a la auto-energía del polarón en puntos cuánticos cilíndricos de InAs/InP.

Entonces, la auto-energía del polarón, se da por

∆E = −∑

q

|〈0|exp(−iq.r)|1〉|2α(q)2

E − E0 + ~ωLO(5.142)

Debido a la geometría del dot, introducimos las transformaciones siguientes

e±iq.r = e±iqzz

J0(qρρ) + 2

∑

j

(±i)jJj(qρρ)cos(jϕ)

. (5.143)

Por comodidad en los cálculos, no operamos ninguna transformación en la compo-nente z del Hamiltoniano de interacción. Esta componente se calculará numérica-mente utilizando los métodos de transformadas de Fourier. Recordamos que en elcapítulo anterior, la función de onda del electrón en la dirección z se determina apartir de la solución del desarrollo en serie del potencial efectivo, así como de lasolución exacta a través de las funciones de Bessel con índice real. A modo de ilus-tración, calcularemos la auto-energía de polarón para la función de onda obtenidaa partir del desarrollo en serie.


5.3 Polarón en puntos cuánticos cónicos 129

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0

-21,5

-16,1

-10,8

-5,4

0,0

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0

-0,3

-0,2

0,0

0,2

0,3

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0-36,7

-24,5

-12,2

0,0

∆ E

LO (

me

V)

Radio (nm)

LO2 LO1

∆ E

SO (

me

V)

Radio (nm)

TSO SSO

∆ E

tot (

me

V)

Radio (nm)

Figura 5.5. Dependencia con el radio de las distintas contribuciones de losfonones a la auto-energía del polarón en puntos cuánticos cilíndricos de ZnSe/CdSe.

Función de onda obtenida del desarrollo en series del potencial efectivo

Con la función de onda hallada de esta manera, la auto-energía del polarónpuede expresarse como

∆ELO = −∑

q

α(q)2| ∫

ΩρJ0(χnρ/R(z))J0(qρρ)J0(χn′ρ/R(z))Ai(z′(z))2e±iqzzdρdz|2

E(q)− E0 + ~ωLO

× 1π4

1J1(χn)4R(z)4

. (5.144)

La amplitud de interacción electrón-fonón α(q) así como los distintos parámetrosque aparecen en esta ecuación han sido definidos en los capítulos anteriores.

En la figura 5.7 se muestra la auto-energía del polarón en función de la alturapara puntos cuánticos cónicos de InAs. Para distintos valores del ángulo α, no seaprecia diferencia respecto a los valores de la energía de polarón. Como se podíaesperar, los valores de ∆E disminuyen con la altura. En efecto, a menor altura



5,0 10,0 15,0 20,0 25,0-0,37

-0,31

-0,25

-0,19

-0,12

-0,06

TSO SSO

Radio (nm)

∆ E

TS

O (

me

V)

0,00

0,62

1,25

1,87

2,50

3,12

3,75

4,37

∆ E S

SO (x 1

03 m

eV

)

Figura 5.6. Dependencia con el radio de las contribuciones de los fono-nes TSO y SSO a la auto-energía del polarón en puntos cuánticos cilíndricos deInAs/GaAs.

corresponde mayor valor del radio del cono. Además, como hemos visto en el capítuloanterior, la desviación del cono con respecto al cilindro, introduce un potencialsuperficial que hace depender todos los resultados de los niveles de energía de losparámetros de simulación. Es este el caso de la relación parámetrica entre el radio yla altura del cono, a través del ángulo al apex. Por conseguiente, esta dependenciainfluirá también en los valores de la auto-energía del polarón.

5.4. ConclusiónEn este capítulo se ha determinado la contribución de energía al estado funda-

mental debido a la interacción electrón-fonón en puntos cuánticos de tres geometríasdiferentes: esférica, cilíndrica y cónica truncada. Para los casos esférico y cilíndricose ha tenido en cuenta la contribución de los diferentes tipos de fonones; es decir,fonones LO confinados en el dot y en la barrera y los fonones de intercara (TSO ySSO para los puntos cuánticos cilíndricos). Sin embargo, para la geometría cónicasólo se ha determinado la contribución de los fonones LO, que son los que originanuna contribución mayor a la auto-energía del polarón. En las tres geometrías in-vestigadas, se ha observado que las correcciones debidas a los fonones LO son massignificativas cuando los tamaños de los puntos cuánticos son más pequeños, comocabe esperar debido al efecto de confinamiento.


5.4 Conclusión 131

5,0 10,0 15,0 20,0 25,00,00

0,62

1,25

1,87

2,50

3,12

3,75

∆Epo

l(me

V)

Altura (nm)

α=30º α=45º α=55º

Figura 5.7. Dependencia de la contribución de los fonones LO a la auto-energía del polarón con la altura en puntos cuánticos cónicos InAs.

En general, la auto-energía del polarón depende esencialmente de varios pa-rámetros entre ellos, el radio del polarón, las constantes dieléctricas y las masasefectivas, así como de los valores de fonones volúmicos de materiales constituyen-tes de heteroestructuras. En nuestros cálculos, hemos observado que a medida queaumenta la razón entre la constante dieléctrica del material dot y la de su entorno,las magnitudes de las correcciones de energía debidas a los fonones de superficie sehacen más visibles. Por otro lado, las correcciones de energía para la interacción delos electrones con los fonones volúmicos caen bruscamente al aumentar las dimen-siones de puntos cuánticos. Al mismo tiempo, la inclusión de los fonones confinadosen la barrera afecta esencialmente a la energía total del polarón, sobre todo en lospuntos cuánticos cilíndricos. En ambas geometrías, existen unas dimensiones crí-ticas a partir de las cuales la energía total del polarón presenta un mínimo antesde iniciar un aumento con los tamaños del dot. Para los puntos cuánticos esféricosinvestigados, esta dimensión se sitúa alrededor de 7 nm para InAs/GaAs, muypor encima del radio de polarón de los dos materiales bulk constituyentes de laheteroestructura. Sin embargo, para el mismo material, sí observamos la correccióntotal a la energía de los fonones en la geometría cilíndrica, este punto de inflexiónaparece también alrededor de 7 nm.



El cambio de comportamiento en la vecindad de este parámetro, condujo aMelnikov y Fowler [5] a sugerir que para tamaños de puntos cuánticos cercanos alvalor crítico, la densidad electrónica está localizada en la barrera. Además, estosautores opinan que el nivel de energía del estado fundamental está más cerca delborde de la banda de conducción. De ahí que la mayor contribución a la auto-energíadel polarón proviene de la interacción del portador con los fonones confinados en labarrera. Otro parámetro a tener en cuenta en los cálculos de la energía es el band-offset. Para puntos cuánticos de gap más grande, como son los II-VI, la energía totaldel polarón se asemeja más al caso de confinamiento perfecto, donde la variaciónde ∆Epol cae rápidamente antes de saturarse con la variación del tamaño del dot.Esta situación ha sido observada en los materiales ZnSe/CdSe como en GaAs/AlAspara la auto-energía del polarón.

Respecto a los puntos cuánticos cónicos, la no-dependencia de ∆Epol con elcambio del ángulo puede atribuirse a la correlación entre los movimientos en elplano y en la dirección de crecimiento. En efecto, hemos observado que la inter-dependencia entre las dimensiones laterales con la dimensión vertical en el cono,obliga a una compensación entre el comportamiento de los niveles de energía respec-to a una u otra variable. Por ejemplo, al aumentar el radio de la base, manteniendoconstantes la altura y el ángulo, la energía aumenta. Sin embargo, si representamosla energía en función de la altura, ésta disminuye. Esta compensación puede ocasio-nar que los elementos de matriz que aparecen en los cálculos de la energía se veancompensados por los dos movimientos a medida que varía uno de los parámetrosfísicos que definen el cono.


Bibliografía





[5] Dmitry V. Melnikov and W. Beall Fowler. Phys. Rev. B, 64:245320, 2001.

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[14] A. El Moussaaouy, D. Bria, A. Nougaoui, R. Charrour and M. Bouhassoune .J. Appl. Phys., 93:2906, 2003.

133

134 BIBLIOGRAFÍA


Capítulo 6

Conclusiones y

perspectivas

Desde el principio de este trabajo nos hemos planteado la problemática de lainteracción electrón-fonón en los puntos cuánticos y los efectos de geometría sobre lamisma. Por ello, hemos calculado las frecuencias de fonones de intercara a través deun formalismo convencional llamado "modelo de dieléctrico continuo". Nuestros tra-bajos han demostrado que la forma geométrica influye mucho en estas frecuencias,tanto en cuanto los valores de frecuencias y sus comportamientos con las dimensio-nes geométricas, como sus distintos modos vienen dictados por las característicasgeométricas de puntos cuánticos. En los esféricos, por ejemplo, se aprecia que lasdimensiones no influyen en los valores de frecuencias de intercara en el modelo DC.Sin embargo, todos los modos quedan determinados una vez conocido el momentoangular orbital. Además, sólo los modos en los que el momento es diferente de ceroson susceptibles de aparecer en los puntos cuánticos esféricos.

En los puntos cuánticos cilíndricos o discos cuánticos, la posibilidad de redu-cir tanto las dimensiones laterales como la altura introduce un grado de libertadadicional con respecto a la esfera, y con ello los fonones de intercara se dividen enmodos TSO y SSO, cada uno afectado por el carácter simétrico o asimétrico desoluciones de la ecuación de Laplace. Además, esta geometría nos enseña que hayuna diferencia en los comportamientos de los fonones de intercara según que unpunto cuántico esté aislado o que esté enterrado en otro material dieléctrico, comosuele ocurrir en la preparación de éstos. En el primer caso, los fonones de tipo TSO,dependen sensiblemente de las dimensiones laterales del punto cuántico, llegando aser más importantes para radios más pequeños. Sin embargo, sus homólogos SSOsufren leves cambios con el radio, hasta alcanzar valores constantes a mayor radio.Sin embargo, en el caso de las heteroestructuras de puntos cuánticos, sólo los TSOmantienen su comportamiento con las dimensiones laterales, mientras los SSO, semantienen constantes. Un cálculo multifonónico nos ha permitido predecir otrosmodos situados en la región de restrahlen de los fonones ópticos, siendo éstos losmodos predichos en los experimentos de Raman por Krauss y colaboradores.

Respecto a los puntos cuánticos cónicos, la situación es distinta. La peculiari-dad de esta geometría nos ha permitido analizar los efectos de la anisotropía sobrelas frecuencias de vibración. En efecto, al contrario de los puntos esféricos y cilín-dricos donde las ecuaciones de Laplace son separables en las coordenadas, el conopresenta la particularidad de que las soluciones no se prestan a la separación devariables. Por ello, hemos utilizado, por ejemplo, el teorema integral de Green paradeducir los modos de intercara radiales. Como en el caso del cilindro, se apreciaque los fonones se dividen en modos BSO y SSO. En este caso, el ángulo al apexdel cono juega un papel importante. Además, el factor de forma, nos enseña que

135

136 Capítulo 6. Conclusiones y perspectivas

para algunos valores de θ, los fonones de intercara sufren un cambio brusco en suevolución con el ángulo. Para algunos valores de θ, las frecuencias de tipo barrerasufre un salto para recuperar valores del punto cuántico y vive-versa.

De la misma manera, hemos calculado los niveles de energía de los electronesconfinados en las tres geometrías. En este caso, distinguimos los puntos cuánticosaislados de las heteroestructuras, consiguiéndose demostrar tanto el efecto del confi-namiento como de las geometrías en los niveles de energía. Debido a la geometría, losniveles de energía en los puntos cuánticos esféricos disminuyen con las dimensionesdel dot, siguiendo las reglas de selección dictadas por el número cuántico principalen el caso del potencial infinito. En cuanto a los puntos cuánticos cilíndricos, dosgrados de libertad determinan los niveles de energía de los portadores. Además, lasimetría del problema afecta a las masas efectivas y al potencial de confinamiento.En efecto, en los esféricos, la simetría permite admitir que la masa efectiva es unaconstante, tratándose todos los cálculos en la aproximación de un potencial finito.En los cilíndricos, hemos desacoplado el movimiento en el plano del movimiento enz, siendo esta última la dirección de crecimiento. La corrección que aporta a la masaefectiva y al potencial de confinamiento en el plano permite apreciar el cambio enlos valores de energía, en comparación con los puntos cuánticos esféricos.

En el caso particular del cono, debido a la dificultades de separar las funcionesde onda en coordenadas, hemos utilizado una forma variacional para estudiar los ni-veles de energía. La desviación de la geometría del cono truncado con respecto a lasdos anteriores introduce en nuestros cálculos un potencial superficial. La resoluciónde este potencial añade un comportamiento diferente a los niveles de energía, hacien-do que para algunas dimensiones del cono, aparecen estados ligados. Los cálculosanálogos en hilos cuánticos han demostrado la validez de este método, llegándose apredecir los niveles de energía observados en experimentos de fotoluminiscencia encristales de silicio poroso [1].

Los resultados nos han conducido a calcular el efecto de geometría en lasinteracciones de los electrones con los fonones. Por ello, hemos utilizado los métodosvariacionales para las dos primeras geometrías y el método perturbativo para laúltima. Los resultados nos demuestran que, al igual que los niveles de energía deconfinamiento, la interacción electrón-fonón se ve afectada por la geometría del dot.

En general, la auto-energía del polarón depende esencialmente de varios pa-rámetros entre ellos; el radio del polarón, las constantes dieléctricas y las masasefectivas, así como de los valores de fonones volúmicos de materiales constituyen-tes de heteroestructuras. En nuestros cálculos, hemos observado que a medida queaumenta la ratio entre la constante dieléctrica del material dot y la de su entorno, lasmagnitudes de las correcciones de energía debidas a los fonones de superficie se ha-cen más visibles. Por otro lado, las correcciones de energía para la interacción de loselectrones con los fonones volúmicos caen bruscamente al aumentar las dimensionesde puntos cuánticos. Al mismo tiempo, la inclusión de los fonones confinados en labarrera afecta esencialmente a la energía total del polarón, sobre todo en los puntoscuánticos cilindros. En ambas geometrías, existen unas dimensiones criticas a partirde las cuales la energía total del polarón presenta un mínimo antes de iniciar unaumento con los tamaños del dot. Para los puntos cuánticos esféricos investigados,esta dimensión se sitúa alrededor de 7 nm para InAs/GaAs, muy por encima delradio de polarón de los dos materiales bulk constituyentes de la heteroestructura.Sin embargo, para el mismo material, si observamos la corrección total a la energíade los fonones en la geometría cilíndrica, este punto de inflexión aparece tambiénalrededor de 7 nm.


137

El cambio de comportamiento en la vecindad de este parámetro, condujo aMelnikov y Fowler [2] a sugerir que para tamaños de puntos cuánticos cercanos alvalor critico, la densidad electrónica está localizada en la barrera. Además, éstosautores opinan que el nivel de energía del estado fundamental está más cerca delborde de la banda de conducción. De ahí que la mayor contribución a la auto-energíadel polarón proviene de la interacción del portador con los fonones confinados en labarrera. Otro parámetro a tomar en cuenta en los cálculos de la energía es el band-offset. Para puntos cuánticos de gap mas grande, como son los II-VI, la energía totaldel polarón se asemeja más al caso de confinamiento perfecto, donde la variación de∆Epol cae rapidámente antes de saturarse con la variación del tamaño del dot. Estasituación ha sido observada en los materiales ZnSe/CdSe como en los GaAs/AlAspara las auto-energías del polarón.

Respecto a los puntos cuánticos cónicos, la no-dependencia de ∆Epol con elcambio del ángulo puede atribuirse a la correlación entre los movimientos en elplano y en la dirección de crecimiento. En efecto, hemos observado que la inter-dependencia entre las dimensiones laterales con la dimensión vertical en el cono,obliga a una compensación entre el comportamiento de los niveles de energía respec-to a una o otra variable. Por ejemplo, al aumentar el radio de la base, manteniendoconstantes la altura y el ángulo, la energía aumenta. Sin embargo, si representamosla energía en función de la altura, ésta disminuye. Esta compensación puede ocasio-nar que los elementos de matriz que aparecen en los cálculos de la energía se veancompensados por los dos movimientos a medida que varía uno de los parámetrosfísicos que definen el cono.

Los resultados de este trabajo han puesto de manifiesto que la forma geomé-trica es un ingrediente capital en la predicción y la interpretación de la estructuraelectrónica en puntos cuánticos. Para cada geometría investigada, hemos procuradoagrupar todos los cálculos en un mismo código de programa escrito en FORTRAN77 y paralelizado, de modo que las salidas del tratamiento numérico proporcionantodas las informaciones requeridas. Cada código es independiente de los parámetrosde materiales de entrada, lo que mejora la flexibilidad de los cálculos. Los ficherosde entrada agrupan todos los datos necesarios para analizar tanto los modos defonones, los niveles de energía como las correcciones de energía del polarón. Todoshan sido probado esencialmente en la maquina HP Exemplar SP 9000/800 provistode 8 procesadores. También se ha procurado por comodidad, realizar las pruebas denuestros códigos en las estaciones PC duales para comprobar la róbustez de nuestroscálculos. Los resultados nos han confirmado la flexibilidad de nuestros códigos.

Una línea de investigación natural del nuestro tratamiento seria la incorpora-ción de los efectos de tensión en los cálculos de fonones, como en las correccionesde energía de polarones. Además, para mejor interpretación de los efectos de geo-metría, pensamos que seria interesante predecir algunas magnitudes ópticas comoson la fuerza del oscilador, la constante de Huang-Rhys o el coeficiente de absorciónpara las distintas geometrías. También, es preciso en un futuro estudiar este efec-to en redes de puntos cuánticos con geometrías distintas. Por ejemplo, pensamosque el tratamiento se podría aproximarse a los puntos cuánticos reales, tratandoel sistema completo como una distribución de puntos cuánticos individuales en unsistema desordenado para el cual las distintas formas geométricas constituyen elingrediente de cálculos. Por ello, la forma se presentaría como un parámetro quedefine el desorden. De inmediato, pensamos primero estudiar las energías de polarónpara dos puntos cuánticos: uno cilíndrico y el otro cónico separado entre ellos deuna distancia d. La razón de este estudio estriba en que estas dos formas son más


138 Capítulo 6. Conclusiones y perspectivas

próximas y que pueden tratarse con un formalismo parecido, sobre todo respecto alos niveles de energía.

Por último, una de las prioridades inmediatas sería, una vez finalizado los cál-culos de correcciones de energía para potenciales finitos en puntos cuánticos cónicos,de incorporar a los códigos un interface gráfico para una mejor interpretación de losresultados.


Bibliografía

[1] F. Buonocore, D. Ninno and G. Iadonisi. Phys. Rev. B, 62:10914, 2000.


139

140 BIBLIOGRAFÍA


Apéndice A

Modos gap y local en

los cristales mixtos

La presencia de una impureza sustitucional, además de modificar las propieda-des eléctricas en el cristal, origina cambios en las constantes de red y en las constan-tes de fuerza, afectando así a los modos de vibración del cristal. Como consecuencia,se induce una localización de modos de vibración en el sitio del defecto, teniéndoseasí los modos "‘local"’ y "‘gap"’. En general, el modo local se caracteriza por unafrecuencia propia mayor que la frecuencia máxima del material anfitrión, mientrasque el modo gap está caracterizado por una frecuencia propia comprendida entrelas bandas óptica y acústica del material anfitrión. La amplitud de vibración de losmodos localizados es importante en la proximidad del sitio del defecto y disminuyecon la distancia cuando uno se aleja del defecto. Además de los modos localizados,puede aparecer un modo resonante cuya frecuencia cae en las frecuencias permitidasdel cristal perfecto. Su amplitud de vibración es importante, tanto en el sitio deldefecto como en los próximos vecinos.

Si la concentración de impurezas aumenta, se puede llegar a tener un cristalmixto en el que estén bien definidas dos subredes atómicas. Por tanto, la impurezadebido a su masa y a la densidad de carga, provoca un cambio tanto en el parámetrode red como en las constantes de fuerza entre átomos vecinos del defecto. En loscristales mixtos, el parámetro de red depende linealmente del contenido x, según laley de Vegard. Además,

ΛAB

ΛAB0

=ΛAC

ΛAC0

=ΛBC

ΛBC0

= 1− θx (A.1)

donde el índice cero corresponde al material puro mientras la constante θ refleja elcambio en el parámetro de red ∆a/a,

θx =∆ΛΛ0

=2∆ω

ω0= 6γ

∆a

a(A.2)

siendo γ la constante de Grüneisen.

141

142 Apéndice A. Modos gap y local en los cristales mixtos

A.1. Modos gap y local para los fonones

transversales (TO)Para x = 0, partiendo de las ecuaciones (2.20)- (2.21d) se obtiene que

ω2TO,AB =

ΛAB0

µAB− 4π

3NABe2

AB

µAB

(ε∞,AB + 2

3

)(A.3)

ω2gap,AB =

ΛAC0 + ΛBC0

mC. (A.4)

De forma análoga, para x = 1, se halla que

ω2TO,AC =

ΛAC0(1− θ)µAC

− 4π

3NACe2

AC

µAC

(ε∞,AC + 2

3

)(A.5)

ω2loc,AC =

ΛAB0 + ΛBC0

mB(1− θ) (A.6)

donde µAB, µAC son las masas reducidas de los cristales AB y AC; eAB ≡ eB,eAC ≡ eC; ωloc,AC define el modo local de la impureza B en la matriz del mate-rial AC, mientras ωgap,AB representa el modo gap de la impureza C en el materialAB.

A.2. Modos gap y local para los fonones

longitudinales (LO)Utilizando el mismo procedimiento que en el caso de los TO, se obtiene para

x = 0,

ω2LO,AB =

ΛAB0

µAB− 8π

3NABe2

AB

µAB

(ε∞,AB + 23ε∞,AB

)(A.7)

ω2gap,AB =

ΛAC0 + ΛBC0

mC(A.8)

De la misma manera, para x = 1, se obtiene

ω2LO,AC =

ΛAC0(1− θ)µAC

− 8π

3NACe2

AC

µAC

(ε∞,AC + 23ε∞,AC

)(A.9)

ω2loc,AC =

ΛAB0 + ΛBC0

mB(1− θ) (A.10)

Así pues, el modelo MREI merece unos cuantos comentarios

1. Las soluciones para los modos locales son idénticas para los LO y TO, de lamisma forma que lo son las soluciones correspondientes a los modos gap. Estosignifica que el cristal mixto (o aleación ternaria) presenta un modo local yun modo gap, (i.e. frecuencias por encima o por debajo, respectivamente dela banda óptica de la red cristalina del material anfitrión ("host material"),


A.2 Modos gap y local para los fonones longitudinales (LO) 143

cuando un compuesto o el otro está altamente diluido en el cristal mixto. Parax = 1, se puede usar las ecuaciones (A.5) - (A.6) o las ecuaciones (A.9)-(A.10)para deducir la condición de existencia del modo local. Escribiendo

ω2loc,AC ≈ Λeff

mB> ω2

max ≈Λ′eff

µAC(A.11)

y suponiendo que Λeff y Λ′eff son del mismo orden de magnitud (caso muyfrecuente en los cristales mixtos de tipo zinc-blenda), se llega a la conclusiónde que la existencia del modo local está dada por la condición

mB < µAC . (A.12)

Aplicando estos mismos argumentos para x = 0 y usando las ecuaciones (A.3)-(A.4) o las ecuaciones (A.7)-(A.8), se obtiene la condición para la existenciadel modo gap,

mC > µAB . (A.13)

Por tanto, los sistemas mixtos que satisfacen la condición (A.12) exhiben uncomportamiento de dos modos, mientras que lo contrario conduce a un sólomodo. En otras palabras, para que un cristal mixto exhiba el comportamientode dos modos (un modo), es preciso que este cristal tenga (no tenga) unelemento sustitucional, cuya masa sea más pequeña que la masa reducidadel compuesto formado por los dos otros elementos. Por tanto, el métodoMREI permite, a partir de las propiedades de los end-materials, predecir siun sistema mixto presenta dos modos o uno solo. Además, MREI determinala dependencia de las frecuencias ópticas en función de la composición x.

2. Aplicando el teorema de Saxon-Hutner sobre las energías de gap de los cristalesmixtos AB1−xCx se tiene que las frecuencias prohibidas en los end-materialsAB y AC, serán prohibidas para cualquier mezcla de especies AB y AC. Estoimplica que el criterio de existencia de un modo (dos modos) es la no exis-tencia (o existencia) de un gap común entre la densidad de estados de losfonones ópticos de los end-materials. La existencia de un solo modo prediceun solapamiento de las bandas prohibidas de los end-materials.


144 Apéndice A. Modos gap y local en los cristales mixtos


Apéndice B

Auto-energía y masa

efectiva del polarón

En este apéndice, vamos a obtener, mediante métodos perturbativos y varia-cionales, la auto-energía y la masa efectiva del polarón. Para ilustración, deducimosestos parámetros para el caso del material volúmico.

B.1. Auto-energía y masa efectiva en la teoría de

perturbaciónPartiendo del Hamiltoniano (2.29), supondremos que el tercer término es

pequeño en comparación con los dos primeros. Con ello, (2.29) puede tratarsecomo un Hamiltoniano perturbado.

Denotemos por k |0 > el estado fundamental de un electrón de momento k enausencia de fonón. El estado perturbado se concibe como un estado constituido deun electrón de momento k-q en el que un fonón ha sido excitado, es decir k− q|1 >,donde q es el vector de onda del fonón. Bajo la perturbación, la energía del sistemaelectrón-fonón se halla a partir del desarrollo en serie

E = E0 + 〈0|k|H1|k|0〉+∑

q

|〈1|k − q|H1|k|0〉|2Ek − Ek−q + ~ωLO

+ ... (B.1)

De la ecuación (B.1) y de la expresión de H1, es evidente deducir que la correcciónde energía en primera aproximación es nula, por lo que la primera contribuciónno nula en la corrección de energía del polarón procede del segundo término deldesarrollo perturbativo.

Se considera que el movimiento del electrón es lento (aproximación adiabática),tal que k < qp, con qp = min(~meω/q + q/2) =

√(2meω). En este caso, el momento

lineal se conserva. Entonces, sustituyendo la expresión (2.34) en (B.1) y cambiandola suma en una integral en todo el espacio, se halla

E = E0 − α~ωπ

∫ 1

−1

dx

∫ ∞

0

dy

y2 − 2xyk/qp + 1(B.2)

145

146 Apéndice B. Auto-energía y masa efectiva del polarón

con y = q/qp y x = cos θ, donde θ es el ángulo entre los vectores de onda k y q. Laevaluación de las integrales en (B.2) nos proporciona

E = E0 − α~ωLOqp

karcsin(

k

qp). (B.3)

Si además, k ¿ qp, el segundo término de (B.3) puede desarrollarse en serie dek/qp y se tiene

E ' −α~ω +~2k2

2me(1− α

6) (B.4)

que podemos escribir de otra forma

E ' −α~ω +~2k2

2m∗pol

. (B.5)

De (B.5) y (B.4) , se deduce que la masa efectiva del polarón viene dada por

m∗pol = me(1− α/6)−1 ' me(1 +

α

6) (B.6)

que demuestra que la interacción electrón-fonón aumenta la masa efectiva del pola-rón, con respecto a la masa efectiva del electrón libre.

B.2. Auto-energía y masa efectiva en el modelo

LLPLa expresión (2.46) se obtiene tras aplicar la derivada funcional al Hamilto-

niano transformado. En efecto, tras aplicar dos veces las transformaciones unitariasexplicadas en el capítulo 2, el Hamiltoniano total del sistema puede separarse endos términos como en la teoría de perturbaciones, con

H0 =(K −∑

q a+q aq~q)2

2m∗e

+∑

q

[Vqfq + c.c.] +~2

2m∗e

[∑

q

|f(q)|2k]2 +∑

q

~ωa+q aq

+∑

q

|f(q)|2[~ω − ~q.Km∗

e

+~2K2

2m∗e

] +∑

q

a∗qaqq.~2

2m∗e

∑q′|f(q′)|2q′

+∑

q

a+

q V +q + f(q)[~ω − ~q.K

m∗e

+~2K2

2m∗e

+~2K

m∗e

∑q′|f(q′)|2q′] + c.c

(B.7)


B.2 Auto-energía y masa efectiva en el modelo LLP 147

y

H1 =~2

2m∗e

∑q,q′

q.q′[aqaq′f∗q fq′ + c.c. + 2a+q aq′fqf

∗q′]

+~2

m∗e

∑q,q′

q.q′[a+q aqaq′f∗q′ + a+

q′a+q aqfq′] (B.8)

Calculando el valor esperado de la energía total, 〈0|H0 +H1|0〉 se obtiene la relación(2.45). Como K es la constante del movimiento y define la dirección preferentedel sistema, se espera que

∑q′ f(q

′)~q′ se diferencie de ~K por una constante. Siintroducimos en (2.46) una constante η tal que

ηK =∑q′|fq′|2q′ (B.9)

obtenemos a partir de la relación de Euler (2.46) una expresión para fq, es decir

fq =Vq

~ω + ~2q2/2me − (1− η)~K.q/me. (B.10)

Sustituyendo (B.10) en (2.45) se consigue que

E =(1− η2) K2

2me−

∑q

|Vq|2~ω + ~q2/2me − (1− η)~K.q/me

. (B.11)

Esta ecuación es idéntica a la ecuación (B.1) para η = 0. Pero en este caso, η = 0 noes una solución auto-consistente de (B.11). De la sustitución de (B.10) en (B.9),se halla

ηK =∑

q

|Vq|2~q(~ω + ~2q2/2me − (1− η)~K.p/me)2

(B.12)

Efectuando las integrales como en el caso del tratamiento perturbativo, se obtiene

E =(1− η2)~2K2

2me− αωqp

K(1− η)arcsin

(K(1− η)

qp

)(B.13)

con

η(1− η)2 =αq3

p

2K3

(1− η)K√

q2p − (1− η)2K2

− arcsin(1− η)K

qp

. (B.14)

Para K ' qp, podemos retener sólo los términos independientes de K; lo que


148 Apéndice B. Auto-energía y masa efectiva del polarón

conduce a

η =α/6

1 + α/6. (B.15)

Combinando las ecuaciones (B.13), (B.15), y el desarrollo en serie de arcsin obte-nemos

E = −α~ω +K2

2m∗pol

. (B.16)

Aplicando el mismo razonamiento que en el caso perturbativo, deducimos que lamasa efectiva del polarón se da por

m∗pol = me(1 + α/6). (B.17)

Los resultados obtenidos para la masa efectiva del polarón demuestran que el mé-todo perturbativo como el LLP pueden ser intercambiados para los polarones en elcaso de acoplo no demasiado fuerte (por ejemplo α < 6). Otros métodos, como elcamino integral de Feynman, han demostrado que se puede obtener valores de masaefectiva aún más grandes para el polarón. De hecho, en la mayoría de la literatura,la expresión de la masa efectiva del polarón se da como un desarrollo en serie entérminos de α [1]. El método conduce a valores de energía fundamental inferioresa los obtenidos por LLP, en una franja bastante grande de la constante de acoplo.


Bibliografía


149

150 BIBLIOGRAFÍA


Apéndice C

El funcional de energía

en estructuras con

forma arbitraria

Los niveles de energía de una partícula en un sistema confinado de volumenV y de área S, pueden calcularse, en principio, si se conoce el comportamiento delas funciones de onda dentro y fuera de la región de confinamiento. En MécanicaCuántica, las funciones de onda del portador dentro y fuera de un volumen confinadoV están relacionadas por la expresión

(1

Ψ(r)∂Ψ(r)

∂n

)

in

=(

1Ψ(r)

∂Ψ(r)∂n

)

out

= −λ(r ∈ S). (C.1)

La función λ(r) da cuenta de todos los efectos creados por el entorno de la partícula.Estos efectos pueden ser el cambio de las condiciones físico-químicas en la regiónfuera de confinamiento, o incluso el potencial mismo de confinamiento. Para unapartícula en confinamiento perfecto (potencial infinito), la ecuación (C.1) puedereescribirse como

(∂Ψ∂n

+ λ(r))

r∈S

= 0. (C.2)

Esto significa que se puede calcular los niveles de energía solucionando la ecuaciónde Schrödinger en el interior del volumen V, sometida a las condiciones de contorno(C.2). Para un volumen arbitrario, la solución de la ecuación de Schrödinger no essencilla. Por ello, se puede utilizar un funcional de energía

ε =1∫

VdrΨ(r)2

(∫

V

[(∇Ψ(r))2 + v(r)Ψ(r)2

]dr +

∫

S

λ(r)Ψ(r)2dS)

(C.3)

que satisface la ecuación (C.2). Es fácil demostrar que la variación del funcional δεcon respecto a Ψ es nula y que la función de onda satisface la ecuación de Schrödinger

−∇2Ψ(r) + v(r)Ψ(r) = εΨ(r). (C.4)

Aquí, ε = 2m∗E/~2 y v(r) = 2m∗V (r)/~2.

151

152 Apéndice C. El funcional de energía en estructuras con forma arbitraria

C.1. Cono truncado en la aproximación del

potencial infinitoDespués de sustituir la función de onda descrita en (4.49) y (4.50) en la ecua-

ción de Schrödinger en coordenadas cilíndricas, y reagrupando los términos obtene-mos que

∑n

[Ann′

∂2

∂z2+ (Bnn′ −Bn′n)

∂

∂z+

(E0Ann′ − Dnn′

R(z)2− Cnn′

(R′(z)R(z)

)2

+ Bnn′d

dz

(R′(z)R(z)

)− J0(ξn)J0(ξn′)λ(z)

√1 + R′(z)2

R(z)

)]fn(z) = 0 (C.5)

donde

Ann′ =∫ 1

0

xdxJ0(ξnx)J0(ξn′x) = An′n (C.6a)

Bnn′ = ξn

∫ 1

0

x2dxJ1(ξnx)J0(ξn′x)−Ann′ (C.6b)

Cnn′ = ξnξn′

∫ 1

0

x3dxJ1(ξnx)J1(ξn′x)−Ann′ −Bnn′ −Bn′n (C.6c)

Dnn′ = ξnξn′

∫ 1

0

xdxJ1(ξnx)J1(ξn′x) = Dn′n. (C.6d)

En el límite de potencial infinito [λ →∞], ξn = χn y E0 = ~2χ2n

2m∗R2 ; donde χn es elcero de la función de Bessel J0(x). Despejando las integrales (C.6a), (C.6b), (C.6c)y (C.6d), obtenemos la expresión (4.51).


Apéndice D

Algunos datos

importantes de

semiconductores III-V y

II-VI.

Tabla D.1. Parámetros utilizados en cálculos de polarón: la constante deFröhlich ha sido calculada asumiendo que la banda es parabólica y las masas efectivasse expresan en unidades de la masa del electrón.

m∗/m ε0 a∗H(Å) RH(meV ) α R∗H(meV)GaAs 0.067 13.18 104.0 5.25 0.088 5.33GaSb 0.049 15.69 169 2.71 0.031 2.72InP 0.080 12.35 81.7 7.14 0.127 7.29InAs 0.023 15.15 335.0 1.480 0.063 1.50ZnS 0.3 8.32 14.7 59.0 0.725 66.6ZnSe 0.16 9.2 30.4 25.7 0.462 27.8CdTe 0.096 10.6 58.4 11.6 0.298 12.2

En la tabla, a∗H es el radio reducido de Bohr, RH es la constante de Rydbergmientras R∗H es la constante de Rydberg renormalizada por la constante dieléctricadel material.

153

154 Apéndice D. Algunos datos importantes de semiconductores III-V y II-VI.


Apéndice E

Ortogonalidad de la

función Tl(x)

La función Tl(klnρ) tal como está definida en la ec. satisface a la ecuación

ρ2 d2Tl(klnρ)dρ2

+ ρdTl(klnρ)

dρ+ (klnρ2 −m2)Tl(klnρ) = 0 (E.1)

y de la misma manera, Tl′(kl′n′) satisface la ecuación

ρ2 d2Tl′(kl′n′ρ)dρ2

+ ρdTl′(kl′n′ρ)

dρ+ (kl′n′ρ2 −m2)Tl′(kl′n′ρ) = 0. (E.2)

Si multiplamos la ecuación E.1 por Tl′(kl′n′)/ρ y la ecuación E.2 por Tl(klnρ)/ρobtenemos que

ρTl′(kl′n′)d2Tl(klnρ)

dρ2+Tl′(kl′n′)

dTl(klnρ)dρ

+(

klnρ− m2

ρ

)Tl′(kl′n′)Tl(klnρ) = 0

(E.3)

ρTl(klnρ)d2Tl′(kl′n′ρ)

dρ2+Tl(klnρ)

dTl′(kl′n′ρ)dρ

+(

kl′n′ρ− m2

ρ

)Tl(klnρ)Tl′(kl′n′ρ) = 0.

(E.4)

Al restar E.3 de E.4, e integrando desde R0 hasta R2, se halla que

∫ R2

R0

(kln − kl′n′) ρTl(klnρ)Tl′(kl′n′)dρ =[ρ

(Tl(klnρ)

dTl′(kl′n′)dρ

− Tl′(kl′n′)dTl(klnρ)

dρ

)]R2

R0

.

(E.5)

155

156 Apéndice E. Ortogonalidad de la función Tl(x)

Utilizando la relación de recurrencia

T ′m(x) =m

xTm(x)− Tm+1(x) (E.6)

la ecuación E.5 se convierte en

(k2ln − k2

l′n′)∫ R2

R0

Tl(klnρ)Tl′(kl′n′)ρdρ = [ρ (klnTl(klnρ)Tl′(kl′n′)−

kl′n′Tl(klnρ)Tl′(kl′n′))]R2R0

. (E.7)

Utilizando las condiciones de contorno en R0 y R2, la ecuación E.7 se anula, lo quese resume en

∫ R2

R0

Tl(klnρ)Tl′(kl′n′ρ)ρdρ =

= 0 l 6= l′6= 0 l = l′ (E.8)

y

∫ R2

R0

Tl−1(klnρ)T(l′−1)(k(l′−1)n′ρ)ρdρ =

= 0 l 6= l′6= 0 l = l′. (E.9)

Estas dos relaciones confirman la ortogonalidad de la función Tl(klnρ).


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Congresos

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4. S.N. Santalla, C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz. Coherent growth ofInAs/GaAs self–assembled quantum dots. Physica E 17, 480 (2003), Holanda.

5. S.N. Santalla, C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz. Stranski–Krastanovgrowth mode in Ge/Si (0 0 1) self–assembled quantum dots. J. Crystal Growth253, 190 (2003), Holanda.

6. S.N. Santalla, C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz. Substrate orienta-tion effects on the Stranski–Krastanov growth mode. Nanotechnology (acepta-do).

CONGRESOS

15th International Conference on Low Dimensional Structures and Devices(LDSD), Lisboa (Portugal) 19-21/5/1997 R.M. de la Cruz andC. Kanyinda-Malu. Spin splitting on the electronic effective mass in GaAs/Ga1−xAlxAsquantum wells. Presentación de poster.

16th General Conference of the Condensed Matter Division (EPS), Lovaina(Belgica)25-28/8/1997. C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz Non pa-rabolicity effects on the electronic effective mass of the GaAs/Ga1−xAlxAsquantum dots. Presentación de poster.

163

164 Publicaciones y Ponencias en Congreso

16th General Conference of the Condensed Matter Division (EPS), Lovaina(Belgica)25-28/8/1997. C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz. Reso-nant optical absorption in GaAs/Ga1−xAlxAs quantum dots. Presentación deposter.

Computational Physics in Nanotechnology. Castevecchio Pascoli (Italia) 19-24/09/1998. C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz. Effect of electron-phonon interaction to the ground state in the free-standing cylindrical quantumdots. Presentación de poster.

P5 European COST Action on Mesoscopic Electronics, Copenhague (Dina-marca). 1-3/07/1999 R.M. de la Cruz, C. Kanyinda-Malu, C. Ballesterosand M. Varela. Polarons and collective excitations in quantum dots: structuraland optical characterization. Comunicación oral y poster.

P5 European COST Action on Mesoscopic Electronics. Copenhague (Dina-marca). 1-3/07/1999 C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz. Electron-phonon interaction in cylindrical and spherical III-V semiconductor quantumdots. Comunicación oral y poster.

15th Latin American Symposium on Solid State Physics SAFLES–XV, Car-tagena de Indias (Colombia) 1-5/10/1999. C. Kanyinda-Malu and R.M. dela Cruz. Collective excitations in III–IV semiconductor quantum wires. Pre-sentación oral.

New Trends in Nanotechnology TNT2000, Toledo (España). 16-20/10/2000C. Kanyinda-Malu, R.M. de la Cruz, V. Bellani, M. Geddo, S. Franchi, P.Frigeri, L. González and J.M. García. A Study of Strain Effects on InAs/GaAsSelf-Assembled Quantum Dots. Presentación de poster.

International Workshop on Modelling of the Growth and Interface Proper-ties of Thin Films and Multilayers through Molecular Dynamics, Barcelona(España) 9-10/11/2000. C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz. Interfa-ce Phonon Modes and Optical Absorption in Truncated Cone Self-AssembledQuantum Dots. Communicación oral.

Reunión Nacional del Grupo Especializado de Física del Estado Sólido (GE-FES) de la Real Sociedad Española de Física, Madrid (España) 7-9/02/2001C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz. Geometry and dimensions effectson the interface phonon modes in self-assembled quantum dots. Presentaciónde poster.

New Trends in Nanotechnology TNT2001, Segovia (España). 3-7/10/2001 S.N.Santalla, C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz. Generalized RelaxationModel of Coherent Island Formation in Stranski–Krastanov Growth Model.Presentación de poster.

COST joint Work Group meeting on "Individual and Assembled Nanoparticlesand Quantum Dots"(IANQ), Leuven (Belgica) 25-27/4/2002 S.N. Santalla,C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz.Transition Thickness in CoherentIslanding of semiconductor heteroepitaxy. Comunicación oral.

165

1a

Reunión Nacional de Nanociencia, Madrid (España). 25-26/4/2002 C.Kanyinda-Malu, S.N. Santalla and R.M. de la Cruz. Puntos CuánticosAuto–organizados III-V. Comunicación oral.

International Conference on Superlattices, Nano-structures and Nano-Devices(ICSNN), Toulouse (Francia) 22-26/7/2002. S.N. Santalla, C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz. Coherent growth of InAs/GaAs self–asembledquantum dots. Comunicación oral.

Trends in Nanotechnology TNT2002, Santiago de Compostela (España) 9-13/9/2002. S.N. Santalla, C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz. Rigidand Non–Rigid Substrate Approximations in the Stranski–Krastanov CoherentGrowth Mode. Presentación de poster.

Trends in Nanotechnology TNT2003, Salamanca (España) 15-19/9/2003. S.N.Santalla, C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz. Substrate OrientationEffects on the Stranski–Krastanov Growth Mode. Presentación de Poster.

Trends in Nanotechnology TNT2003, Salamanca (España) 15-19/9/2003. S.N.Santalla, J. Rodriguez–Laguna, C. Kanyinda-Malu and R.M. de la Cruz. AStudy of Stranski–Krastanov Growth Mode Using A Frenkel–Kontorova Mo-dified Model. Poster.

3aReunión Nacional de Nanociencia, Oviedo (España) 26-28/11/2003. C.

Kanyinda-Malu, S.N. Santalla and R.M. de la Cruz. Estudio Teórico de losMecanismos de Crecimiento y Propiedades Electrónicas de Puntos Cuánticosde Semiconductores. Presentación de Poster y Communicación Oral.

tesis clem

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