teoria vectores r2 y r3

7/21/2019 Teoria Vectores r2 y r3

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Apuntes: Vectores y Geometra Analtica en 3R Prof. Eunices Boada. UNEXPO. 2006-I

1

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICA""AANNTTOONNIIOOJJOOSSDDEESSUUCCRREE""

VVIICCEE--RREECCTTOORRAADDOOPPUUEERRTTOOOORRDDAAZZDEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES

SSEECCCCIINNDDEEMMAATTEEMMTTIICCAA..

1. EL ESPACIO TRIDIMENSIONALLos puntos del espacio tridimensional se pueden

poner en correspondencia uno a uno con ternas ordenadasde nmero reales usando tres rectas coordenadasmutuamente perpendiculares llamadas ejes.Estos tres ejes forman un sistema tridimensional de

coordenadas cartesianas o rectangulares y el punto deinterseccin se denomina origen del sistema decoordenadas, se acostumbra usar las letras x , y , z paradenotar dichos ejes.Cada pareja de ejes coordenados determina un plano llamado plano coordenado. Se distinguenas el plano xy , xz , yz . Estos planos dividen el espacio en ocho octantes.En este sistema tridimensional a un punto P del espacio tridimensional se le asigna una ternaordenada ( )cba ,, de nmeros reales. Los nmeros cba ,, son las coordenadas de P .Escribimos el punto ),,( cbaP . De esta manera las coordenadas representan:

a:

es la distancia dirigida del punto P al plano yz .b: es la distancia dirigida del punto P al plano xz .c: es la distancia dirigida del punto P al plano xy .

Los puntos que tienen sus tres coordenadas positivas forman el primer octante. NO existe unaconvencin de aceptacin general para numerar los dems octantes.Un sistema de coordenadas tridimensional puede ser de orientacin derecha (dextrgiro) o deorientacin izquierda (levgiro). Un sistema derecho tiene la propiedad que, cuando los dedosde la mano derecha se doblen de modo que apunten del semieje positivo x al semieje positivoy , entonces el pulgar apunta (aproximadamente) en la direccin del eje z positivo.

Debemos se capaces de visualizar las siguientes caracterizaciones:

Regin DescripcinPlano xy Consiste en todos los puntos de la forma ( )0,,yx Plano xz Consiste en todos los puntos de la forma ( )zx ,0, Plano yz Consiste en todos los puntos de la forma ( )zy,,0 Eje x Consiste en todos los puntos de la forma ( )0,0,x Eje y Consiste en todos los puntos de la forma ( )0,,0 y Eje z Consiste en todos los puntos de la forma ( )z,0,0


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Muchas frmulas vlidas en el sistema de coordenadas bidimensional se pueden generalizar atres dimensiones, por ejemplo:La distancia entre dos puntos del espacio:

Dados los puntos ( )1111 ,, zyxP , ( )2222 ,, zyxP entonces la distancia no dirigida dentre

1P y

2P est dada por:

( ) ( ) ( )221

2

21

2

21 zzyyxxd ++= (se le llama distancia Eucldea)

Regla del punto medio:El punto medio del segmento recto que une los puntos ( )

1111 ,, zyxP y ( )

2222 ,, zyxP tiene

coordenadas

+++

2,

2,

2

212121 zzyyxx

Obs. La demostracin se puede ver en el texto Geometra Analtica, autor Lehmann.

Definimos el conjunto, ( ){ }realesnmerosconzyxzyxR ,,/,,3 =

2. VECTORESExisten magnitudes fsicas como fuerza, velocidad, aceleracin que involucran un valor

numrico y una direccin.Para representar geomtricamente tales magnitudes se utiliza un segmento de recta orientadoo dirigido.

Dados dos puntos1P y

2P en el espacio, denotamos por 21PP al segmento de recta

orientado (o dirigido de1P a

2P ). Se designa

1P como el punto inicial y

2P como el punto

final.

La longitud (magnitud, mdulo) del segmento orientado 21PP es la distancia entre los puntos

1P y

2P y la direccin del segmento orientado

21PP ser definida ms adelante mediante loscosenos directores.

2.1 RELACIN DE EQUIVALENCIA ENTRE SEGMENTOS ORIENTADOS.

Dos segmentos (de recta) orientados21

PP y43

PP son equivalentes s y slo s

1234 xxxx = , 1234 yyyy = , 1234 zzzz = .

PROPIEDADES.

1. Dos segmentos orientados21

PP y43

PP se dice que son equivalentes si tienen la misma

magnitud y direccin.2. Geomtricamente dos vectores equivalentes coinciden en el espacio mediante

traslaciones.

3. Dado un segmento orientado21PP y un punto 3P cualquiera del espacio, siempre es

posible hallar un punto P tal que 21PP es equivalente a 3PP .

En consecuencia dado un segmento orientado21PP cualquiera, siempre es posible hallar un

nico segmento orientado con punto inicial en el origen que sea equivalente a21PP .

El segmento (de recta) dirigido con punto inicial en el origen se dice que est en posicincannica o posicin normal.


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3

Sea21PP segmento orientado cualquiera, el conjunto de todos los segmentos orientados

equivalente a21

PP forman un clase de equivalencia, la cual estar representada por el

segmento orientado en posicin cannica o normal perteneciente a esa clase. Formalmente unvector se define como dicha clase de equivalencia.

DEFINICIN. El conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes a un

segmento dirigido21PP dado, es un vector en el espacio. El vector ceroes el vector para el

cual21

PP = .

Un segmento orientado en posicin cannica se puede caracterizar dando slo las coordenadasde su punto final. Luego existe una correspondencia biunvoca entre 3R y el conjunto de todoslos segmentos orientados en posicin cannica.

En virtud de esta correspondencia se presenta una definicin algebraica para vectores en elespacio.

DEFINICIN.Un vector en el espacio es una terna ordenada de nmeros reales quedenotaremos por

( )321 ,, vvvv =r

Los nmeros321

,, vvv se llaman componentes de vr

.

El vector cero se denota por ( )0,0,00=r

.

Dado un segmento orientado21PP , la expresin en componentes del vector v

r

representado

por 21PP es ( )121212 ,, zzyyxxv =r

.

OPERACIONES CON VECTORES.Sean u

r

y vr

vectores en 3R y kun escalar (nmero real), entonces se definen:1. La sumavectorial de ur y vr como:

( )332211 ,, vuvuvuvu +++=+ rr

2. La multiplicacin de un vector por un escalarcomo:

( )321 ,, kvkvkvvk =r

3. El vector opuesto de vr como:

( )321 ,, vvvv = r

4. La diferencia de ur

y vr

cmo:( )vuvu

rrrr

+= y escribimos, ( )332211 ,, vuvuvuvu =

rr

PROPIEDADES.Sean u

r

, vr

vectores en 3R , c y descalares. Entonces:1. uvvu rrrr +=+ 2. ( ) ( )wvuwvu rrrrrr ++=++ 3. uu rrr =+ 0 4. ( ) 0rrr =+ uu


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4

5. ( ) ( )udcudc rr = 6. ( ) uducudc rrr +=+ 7. ( ) vcucvuc

rrrr

+=+ 8. vv rr =.1 LONGITUD DE UN VECTOR.

La longitud de ( )321 ,, vvvv =r

tambin se llama norma, mdulo, magnitud, se define

como 2322

21 vvvv ++=

r

PROPIEDAD. Para todo vector vr

y todo escalar c se cumple que: vcvc rr

.=

VECTORES UNITARIOS.Sea v

r

un vector en 3R , se dice que vr

es unitario s y slo s la longitud de vr

es iguala uno, es decir, 1=v

r

.

DESIGUALDAD TRIANGULAR.Dados ur

y vr

vectores, entonces:vuvu

rrrr

++

LA BASE CANNICA. Para todo vector 321 ,, vvvv =r

, se tiene que:

kji rrr

r

321 vvvv ++=

Siendo ( )0,0,1=ir

, ( )0,1,0=jr

y ( )1,0,0=kr

los vectores de la base cannica de 3R .

NGULO ENTRE VECTORES. Sean ur

y vr

dos vectores diferentes del vector cero, el nguloentre u y v es el ngulo determinado por sus representaciones cannicas tal que

0 .

NGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR.

Sea v un vector en 3R y 0r

r

v , se llaman ngulos directores de vr

denotados por ,, a los ngulos.

: ngulo entre vr

y ir

(direccin positiva del eje x)

: ngulo entre vr

y jr

(direccin positiva del eje y)

: ngulo entre vr

y k

r

(direccin positiva del eje z)La direccin de v

r

est dada por la terna ordenada ( ) ,, .

COSENOS DIRECTORES.

S 0r

r

v entoncesv

vr

1cos = ,v

vr

2cos = yv

vr

3cos = se llaman los cosenos directores

de vr

.TEOREMA.Sea 0

r

r

v un vector y ,, sus ngulos directores entonces,

1coscoscos 222 =++ OBSERVACIONES.


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ur

vr

vu rr

1. Sea ),,(321

vvvv =r

. El vector vr

es unitario s y slo s cos1=v , cos

2=v ,

cos3=v .

2. Dado un vector 0r

r

v siempre es posible construir un vector unitario ur

en la mismadireccin de 0

r

r

v . A saber: vv

u r

r

r 1= . El proceso de hallar u

r

dado 0r

r

v , se llama

normalizacin de vr

.3. S la direccin de 0vr es ( ) ,, entonces la direccin de vr ( ) ,, es tal

que =+=+=+ .

PRODUCTO ESCALAR.Dados dos vectores ),,(

321 uuuu=

r

y ),,(321

vvvv =r

. El producto escalar de ur

y vr

denotado

por vu rr

se define como:332211

vuvuvuvu ++=rr

PROPIEDADES:Sean u

r

, vr

, wr

vectores en 3R . Entonces:1. uvvu rrrr = (Propiedad conmutativa)2. ( ) wuvuwvu rrrrrr +=+ 3. ( ) ( )vucvuc rrrr = 4. 00 =vrr 5. 2vvv rrr = TEOREMA. S u

r

y vr

son vectores no nulos, entonces( )cosvuvu

rrrr

=

siendo el ngulo entre ur

y vr

.

La prueba de este teorema hace uso de la ley de los csenos en el tringulo cuyos lados estndados por los vectores u

r

, vr

y vu rr

.

As,

( )cos2222

vuvuvu rrrrrr

+=

Luego, ( ) ( ) ( )cos2 vuvvuuvuvu rrrrrrrrrr

+=

( )cos2 vuvvuuvvuvvuuu rrrrrrrrrrrrrr

+=+

Concluir la demostracin!


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O

M

ur

vr

OBSERVACIN: Sea el ngulo entre dos vectores no nulos, entonces:1. S 0= entonces ur y vr tienen la misma direccin.2. = s y slo s ur y vr tienen la misma direccin.3.

2= s y slo s 0=vu

rr

.

4.2

0 vu rr

.

5.


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i

j

k

( ) vv

u rr

r

= cos0M

Al vector 0M lo llamaremos la proyeccin ortogonal del vector ur

en la direccin del vector vr

y se denotar por:

uvproyr

r (componente vectorial de ur

sobre vr

)

A la longitud del vector 0M se llama la componente escalar de ur en la direccin de vr .

vv

vuproyw u

v

r

r

rr

r

r

r

==

21

12 wuw rrr

= (componente vectorial de ur

ortogonal a vr

)

PRODUCTO VECTORIAL. Sean ),,( 321 uuuu =

r

y ),,( 321 vvvv =

r

vectores. Se define elproducto vectorial vu rr

como:),,( 122131132332 vuvuvuvuvuvuvxu =

rr

Una frmula simblica que permite recordar la definicin es:

=

321

321det

vvv

uuuvu

kjix

rrr

rr

PROPIEDADES.1. ( )uvvu

rrrr

= .

2. ( ) vuvuwvu rrrrrsr

+=+ .3. ( ) ( ) ( ) ( )wcuwucwuc

rrrrrr

== .

4. 00r

r

r

=u .

5. 0r

rr

=uu .6. ( ) wvuwvu

rrrrrr

= )( . Producto mixto o escalar triple.

PROPIEDADES GEOMTRICAS.1. El vector vu rr es ortogonal tanto al vector ur como al vector vr .2. ( ) vusenvu rrrr = siendo el ngulo entre estos vectores.3. 0

r

rr

=vu s y slo s ur

y vr

son mltiplos escalares uno del otro, es decir, existe talque vu rr

= .4. =vu rr rea del paralelogramo cuyos lados adyacentes son vu rr

OBSERVACIN:Los productos cruzados de los vectores unitarios son de especial inters y una diagrama pararecordar los resultados es:


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El producto cruz de dos vectores consecutivos tomados en el sentido de las manecillas delreloj es el que sigue.El producto cruz de dos vectores en el sentido contrario a las manecillas del reloj es elopuesto aditivo del vector que sigue.

REGLA DE LA MANO DERECHA.

Ya sabemos que vu rr

es ortogonal a ur

y vr

, es posible demostrar que la orientacin vu

se puede determinar usando la llamada Regla de la mano derecha: Sea el ngulo entre u y

v y supngase que u se gira un ngulo hasta que coincida con v . Si los dedos de lamano derecha se doblan en el sentido de la rotacin entonces el pulgar indica

(aproximadamente) el sentido (orientacin) de vu .

RECTAS EN 3R .Considere la recta L que pasa por el punto ( )0000 ,, zyxP y es paralela al vector ( )cbav ,,=

r

.

La recta L es el conjunto de puntos ( )zyxQ ,, para los cuales el vector PQ es paralelo a vr

.

Quiere decir que PQ es mltiplo escalar de v de modo que vtPQ = donde tes unescalar.

= vtPQ ( ) ( )cbatzzyyxx ,,,, 111 = Igualando componentes:

taxx +=1

tbyy +=

1

tczz += 1 Se obtienen las llamadas ecuaciones paramtricas de la recta.

S ,,ba y c son todos distintos de cero entonces es posible despejar t en cada igualdadanterior, para obtener:

c

zz

b

yy

a

xx 111 =

=

que son las ecuaciones simtricas de la recta en el espacio.

EXPLICAR LAS SIGUIENTES SITUACIONES:

1. Cmo averiguar si un punto dado pertenece o no a una recta?2. Escribir las ecuaciones simtricas y paramtricas de una recta a partir de ecuacionescomo las siguientes,

3

21

5

13

2

4:

yzxL

=

=

.

3. Posiciones Relativas entre rectas: Rectas paralelas, Rectas coincidentes, Rectas que seinterceptan en un nico punto, Rectas Oblicuas o rectas que se cruzan.

4. Cmo hallar si existe punto interseccin entre dos rectas.5. Dos rectas

1L y

2L con las siguientes propiedades:

1.1

L y2

L no son paralelas.2.

1L y

2L no tienen ningn punto en comn.

Se dice que se cruzan o son oblicuas.


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6. Angulo entre rectas. Rectas Perpendiculares.EJEMPLO. Hallar el ngulo entre las rectas

tx 31= sx 21+= ty 42 += sy 22 = tz += 6 sz += 6

PLANOS.

La grfica de una ecuacin de tres variables es una superficie. La superficie ms sencilla es elplano.Considere un punto

0P de3R y un vector v

r

de 3R . El conjunto de todos los puntos

( )zyxP ,, en 3R para los cuales el vector PP0 y el vector n son perpendiculares

determina un plano, esta situacin se traduce en:0

0 =nPP (Ecuacin vectorial de un plano)Desarrollando este producto se obtiene:

0,,,,321000 = nnnzzyyxx

0030201 =++ zznyynxxn

que es la ecuacin cannica del plano en 3R .Si efectuamos las operaciones de la ecuacin cannica obtenemos una ecuacin de la forma

0=+++ dczbyax Es llamada ecuacin general del plano.

Obs. Una ecuacin lineal en las variables zyx ,, en 3R representa un plano.

TRAZAS.Las intersecciones de un plano con los planos coordenados se llaman trazas.Traza xy : Se hace 0=z , si es posible, en la ecuacin del plano para determinar la ecuacin de

la traza xy como recta de ese plano.Traza xz Traza yz

1.

Dar ejemplo de trazas.2. Escribir en forma paramtrica las trazas de un plano.Obs.Si en la ecuacin de un plano falta una variable entonces el plano es paralelo al

eje representado por la variable que falta y perpendicular al plano representado por lasvariables que intervienen en la ecuacin.

EJEMPLO. La ecuacin 0632 =+ yx en 3 representa un plano paralelo al eje z yperpendicular al plano xy..

1. Explicar las trazas en este caso.Obs.Si en la ecuacin de un plano faltan dos variable entonces el plano es paralelo al

plano coordenado de las variables faltantes.


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EJEMPLO. La ecuacin 012 =z representa un plano paralelo al plano xy . A estosplanos se les llama horizontales.

2. Explicar las trazas en este caso.

REPRESENTANDO GRFICAMENTE PLANOS EN 3R .

Es til hallar los puntos de corte con los ejes y sus trazas.EJEMPLO. Representar grficamente la porcin del plano 0632 =++ zyx en el

primer octante.

Obs. En 3R una ecuacin de la forma 1000

=++z

z

y

y

x

x representa un plano cuyas

intersecciones con los ejes zyx ,, respectivamente son ( )0,0,0x ; ( )0,,0 0y ; ( )0,0,0 z .

NGULO ENTRE PLANOS.El ngulo entre dos planos se define como el ngulo entre los vectores normales

1n y

2n de ambos planos, tal que, 20

, y est dado por,

21

21cos

nn

nn

= .

1. Si dos planos son paralelos entonces sus vectores normales son paralelos.2. Dos planos son perpendiculares s y slo s sus vectores normales son perpendiculares

(ortogonales).

POSICIONES RELATIVAS ENTRE PLANOS1. Planos paralelos2. Planos coincidentes.3. Interseccin de dos planos formando una recta.

POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Y PLANOS.1. La recta pertenece al plano.2. La recta es paralela al plano.3. La recta intercepta al plano en un nico punto.

DISTANCIA DE UN PUNTO AL UN PLANO.

Como la aplicacin de la teora de vectores se pueden obtener frmulas para calcular ladistancia de un punto a un plano y la distancia entre planos.


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n

n

nPQproyd PQ

n

==2

n

n

nPQd

2

=

222

111

cba

dczbyax

n

nPQd

+

+++=

=

( )000

,, zzyyxxPQ =

( ) dczbyaxczbyaxczbyaxnQP +++=++++=1110001110

r

DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS.

Dos planos distintos son paralelos s y slo s es posible escribir ecuaciones generales de talforma que slo difieren en el trmino independiente.As, las ecuaciones,

0

0

2

1

=+++

=+++

dczbyax

dczbyax,

representan planos paralelos.Sea 0

1=+++ dczbyax la ecuacin del plano fijado y ( )000 ,, zyxQ un punto del otro plano

cuya ecuacin es 02 =+++ dczbyax , quiere decir que 02000 =+++ dczbyax entonces:

222

21

322

1000

cba

ddD

cba

dczbyaxD

++

=

++

+++=

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

TEOREMA.La distancia de un punto Q a una recta en el espacio viene dada por:

u

uPQd

=

donde ur

es un vector director de la recta y P un punto de la recta.

n

( )0000

,, zyxP

( )111

,, zyxQ

0=+++ dczbyax

kcjbian ++=


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Prueba.

Sea el ngulo entre los vectores PQ y u entonces: ( )senPQd=

As: ( )senuPQud =

Luego: uPQud = . Finalmenteu

uPQd

=

DISTANCIA ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN.

Obs.Dadas1

L y2

L dos rectas oblicuas, entonces existen dos nicos planos paralelos1

y

2 que las contienen respectivamente.

Se define la distancia entre dos rectas oblicuas1

L y2

L como la distancia entre los dos planos

paralelos 1 y 2 .

TEOREMA. Sean P y Q puntos en rectas oblicuas 1L y 2L con vectores directores 1dr

y

2d respectivamente. Sean

21 ddn = . La distancia dentre estas rectas est dada por

n

nPQd

=

ALGUNAS SITUACIONES:1. Recta que pasa por dos puntos.2. Recta que pasa por un punto y es paralela a una recta dada.3. Recta que pasa por un punto y es perpendicular a dos vectores linealmente

independientes.4. Recta que pasa por un punto y es normal a un plano.5. Interseccin de una recta y un plano coordenado.6. Interseccin de una recta y un plano.7. Plano determinado por tres puntos no colineales.8. Plano determinado por un punto y una recta.9. Plano determinado por dos rectas paralelas.10. Plano determinado por dos rectas que se interceptan en un nico punto.11. Hallar los planos paralelos que contienen a dos rectas que se cruzan.12. Interseccin de planos.

uP

L

d

teoria vectores r2 y r3

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