curva en r2 y en r3[1]
TRANSCRIPT
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
1
SuperficiesEn el espacio tridimensional R3, la gráfica de una ecuación E (x, y, z) = 0es el conjunto de puntos S del espacio tridimensional R3 cuyasCoordenadas satisfacen dicha ecuación. Es decirS= {(x, y, z) | E (x, y, z) = 0 }A este conjunto de puntos se le llama Superficie S.CilindrosCuando una ecuación de una curva en un plano coordenado se consideraen el espacio tridimensional, se vuelve una ecuación de un cilindroperpendicular a dicho plano.Por ejemplo, la gráfica de la ecuación x2 + y2 = 4 en el espaciotridimensional es el conjunto de puntosS= {(x, y, z) | x2 + y2 = 4 }A este conjunto de puntos se le llama Cilindro circular recto.
3R
3R
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
13
FUNCIONES VECTORIALES
CURVAS EN EL PLANORecordemos que en el plano x y una curva C se puede definir mediantelas Ecuaciones Paramétricas:x = f (t) , y = g (t) ; a t bA cada valor del parámetro t le corresponde un punto P sobre la curva C.Podemos definir a cada uno de esos puntos P sobre la curva C, como elpunto Terminal del vector ( t )
( t ) = f ( t ) + g ( t ) = ( f ( t ) , g ( t ) )
Para cada valor del parámetro t existe uno y sólo un vector ( t )
y por lo tanto ( t ) es una Función Vectorial.
Ejemplos de funciones vectoriales en el plano:
i
j
f
f
f
f
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
16
CURVAS EN EL ESPACIO
De manera similar, una curva C en el espacio es parametrizada portres ecuaciones:
x = f ( t) , y = g ( t ) , z = h ( t ) ; a t b
En forma correspondiente, se define una función vectorial mediante
( t ) = f (t) + g (t) + h (t) = ( f ( t), g ( t), h ( t) )
con dominio: a t b
Ejemplos de funciones vectoriales en el espacio:
f
i
j
k
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
18
( t )= ((2 Cos(t), 2 Sen(t), 3)f
Como hemos visto, otra manera de describir a unacurva es mediante una FUNCIÓN VECTORIAL.
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
19
LIMITE DE FUNCIONES VECTORIALES
La noción fundamental de límite de una función vectorial se define en
términos de los límites de sus funciones componentes.
Si existen los límites de f (t), g(t), h(t) cuando t a, entonces:
La función vectorial es continua en si y solo si:
( )f t
( )f a
lim ( ) lim ( ), lim ( ), lim ( )t a t a t a t a
f t f t g t h t
lim ( ) ( )t a
f t f a
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
20
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
La DERIVADA de una función vectorial (t) es la función vectorial (t) :
El vector es TANGENTE a la curva C descrita por
en el punto
f
f
0
( ) ( ) ( ) l i m
t
f t t f tf t
t
0 ( t )f
( )f t
( )of t
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
24
TEOREMA
Si (t) = (f(t),g(t),h(t)) en donde f, g, h son funciones diferenciables, entonces:
VELOCIDAD Y ACELERACIÓNSupongamos que una partícula se mueve en el espacio describiendo unatrayectoria C,y que la función vectorial que describe su posición es:
( t ) =(f(t),g(t),h(t)) en donde el parámetro t representa el tiempo. Entonces lavelocidad y aceleración de la partícula en el instante t se definen como sigue:
Velocidad: ( t ) =
Aceleración: ( t ) = (t) = ( f '' (t),g '' (t),h '' (t) )
Rapidez: = v ( t ) magnitud del vector velocidad
f
f
v
f
a
( )f t
( ) ( ) , ( ) , ( )f t f t g t h t
( ) ( ), ( ), ( )f t f t g t h t
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
26
LA INTEGRAL DE UNA FUNCION VECTORIAL
Sea la función vectorial:
Definida en cierto intervalo I, entonces para 2 valores distintos a y b en I,
la integral definida de una función vectorial se determina como:
También definimos la integral indefinida de una función vectorial como:
donde es un vector constante
1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))f t f t f t f t
1 2 3( ) ( ( ( ) , ( ( ) , ( ( ) )b b b b
a a a af t dt f t dt f t dt f t dt
( ) ( ) si '( ) ( )f t dt g t c g t f t
c
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
27
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
1) Sea: continúa sobre un intervalo I y sea entonces
2) Si tiene derivadas continuas sobre un intervalo I, entonces
para todo a y b en I,
TEOREMA.- Si es una función vectorial diferenciable en cierto intervalo donde
.Si es una función vectorial de magnitud constante pero de
dirección variable para todo t del intervalo, entonces los vectores y
son ortogonales
LONGITUD DE ARCO: Si C es la curva regular definida por la función
Vectorial en el intervalo entonces
es la longitud del arco de la curva C medida desde el
Punto hasta el punto .
1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))f t f t f t f t
0 ,t I
0
( ) ( ) ,t
t tD f u d u f t t I
1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))F t F t F t F t
'( ) ( ) ( )b
aF t d t F b F a
f
( )f t O
( )f t
' ( )f t
( ) ( )f t f t
[ , ]a b
'( )b
aL f t d t
( )f a
( )f b
f
1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))f t f t f t f t
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
28
FUNCION LONGITUD DE ARCO
Dada una curva C suficientemente suave (regular, diferenciable y de clase C² ),
Determinada por la función vectorial (t) con parámetro t ,
C: (t) = (f(t),g(t),h(t)) ; se define el parámetro longitud de arco s como:f
f ,t a b
0 0
2 2 2( ) (u) ( ( )) ( ( )) ( ( ))t t
t a t a
s l t f du f u g u h u du
Lo cual permite reparametrizar la curva C de la siguiente manera.
1 2 3: ( ) ( ( ), ( ), ( ))C g s g s g s g s
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
29
VECTOR TANGENTE , NORMAL Y BINORMAL
Sea C una curva en el espacio definida por la función ;
es un vector paralelo a la recta tangente a C en .Definimos :
( )f t
()f t
()f t
( )( ) v e c to r t a n g e n te ( )
( )
f tT t u n i ta r io
f t
( )( ) ( )
( )
T tN t vector normal principal unitario
T t
( ) ( ) ( ) ( )B t T t xN t vector binormal unitario
1 2 3() ( (), (), ())f t f t f t f t
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
31
TRIADA MOVIL: SISTEMA DE REFERNCIA
Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frenet-Serret
Vista esquemática del vector tangente (azul), vector normal (verde) y
vector binormal (rojo) de una curva espiral.
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
32
FORMULAS: VECTORES UNITARIOS
( )( )
( )
f tT t
f t
( ) ( )( )
( ) ( )
f t x f tB t
f t x f t
( ( ) ( ) ) ( )( )
( ( ) ( ) ) ( )
f t x f t x f tN t
f t x f t x f t
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
33
FORMULAS: PLANOS MOVILES
Ecuaciones de los planos generados por los vectores unitarios en cada punto
de la curva C:
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0 N
( ) ( ) 0 Re
P f t B t Plano Osculador
P f t T t Plano ormal principal
P f t N t Plano ctificanta
1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))f t f t f t f t
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
34
Curvatura y torsión
La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una
curva. Para una curva C: la curvatura k es igual a:
Si la curva C: está parametrizada por el parámetro longitud de arco s , la
anterior formula se reduce a:
Además de la curvatura se define el radio de curvatura , como
el inverso de la curvatura k.
3
( ) ( )( )
( )
f t x f tk t
f t
( )g s
( ) ( )k s g s
1
( )( )
tk t
1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))f t f t f t f t
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
35
CIRCUNFERENCIA DE CURVATURA
Sea C: en un punto de la curva C existe un círculo , llamado círculoosculador por estar contenido en el plano osculador. El radio del círculoosculador coincide Con el radio de curvatura (inverso de la curvatura).El centro de dicho círculo puede encontrase como:
( )f t
( ) ( ) ( )c f t t N t
c
T
B
N
: ( )C f t
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
36
TORSION
La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal, cuantoMás rápido cambia más rápido gira el vector binormal alrededor del vectortangente y más retorcida aparece la curva C. Por tanto, para una curva Ctotalmente contenida en un Plano la torsión es nula ya que el vector binormales constantemente perpendicular al Plano que la contiene.
Si C: ; la torsión viene dada por:
Si la curva C: está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la
anterior Ecuación se reduce a:
2
( ( ) ( ) ) . ( )( )
( ) ( )
f t x f t f tt
f t x f t
( )g s
2
( ( ) ( )). ( )( )
( )
g s xg s g ss
g s
1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))f t f t f t f t
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
37
FORMULAS DE FRENET- SERRET
Si C: ; s parametro función longitud de arco
Entonces Se cumplen las siguientes ecuaciones:
1 2 3( ) ( ), ( ), ( )g s g s g s g s
( ) ( )g s T s
( ) ( ) ( )T s k s N s
( ) ( ) ( )B s s N s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )N s s B s k s T s
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
38
EJEMPLOS1) Esbozar la gráfica de la curva C representada por la interseccióndel semielipsoide
22 2
1 ;12 24 4
yx z 0zy el cilindro parabólico y = x2. hallar una función vectorial querepresente esa gráfica
Solución.
2 42 2 4 2
: ( ) , ,6
t tC f t t t
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
39
EJEMPLOS2)La curva de Gergome es la curva determinada por la interseccionde dos cilindros perpendiculares. Sean los cilindrosx² + (z − 1)² = 1 y y² + z² = 1.parametrice la curva de Gergome de los dos cilindros anteriores, talque su traza contenga al punto (1, 0, 1). Encuentre otraparametrizacion tal que su traza contenga al punto (0, 1, 0).3) Una curva no es necesariamente inyectiva, es decir, puede tenerautointersecciones como la curva f(t) = (t³ − 4t, t² − 4)4) Sin embargo hay curvas diferenciables, cuya traza tiene “picos ”;por ejemplo f(t) = (t³, t²).
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
EJEMPLOS
5) Una partícula se mueve sobre la circunferencia cuya ecuación encoordenadas polares es r = 4sen en sentido antihorario, conrapidez constante e igual a 8 unidades. Parte en el instante t = 0desde el punto (0,4).Defina una función vectorial de R en R² entérminos del tiempo t , que describa el movimiento de la partícula.
6) Encontrar la longitud de la curva definida por :
entre t = 1 y t = t1 , sabiendo que es el punto donde
es paralelo al plano YZ (1< t1 <2).
0 0
cos( ) , , 4
t tu senuf t du du t
u u
1( )f t
1( )f t
40
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
41
g
( 0 ) ( 0 , 0 ) ;g
(0) (1,0)g
1( )
1 ²k s
s
0,1
7) Viajamos por el plano partiendo del origen (0, 0). Y lo hacemossiguiendo la traza de la curva
: [0, 1) → R ² (parametrizada por la función longitud de arco)
que cumple con las condiciones siguientes:
Su curvatura es para cada s
Tras recorrer una unidad de longitud (en metros), abandonamos la curvapara Seguir la Dirección de la tangente a la curva en el punto de escape.Recorremos así otros 3 metros. ¿A qué distancia (en metros) del puntooriginal (0, 0) nos encontraremos?
NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM
51
VALORES EXTREMOS RELATIVOS.
• Sea D una región del plano y• 1º) Se dice que f alcanza su valor máximo
absoluto M en un punto cuando .• 2º) Se dice que f tiene un máximo relativo en un
punto cuando perteneciente a un entorno de .• 3º) Se dice que f alcanza su valor mínimo
absoluto m en un punto cuando .• 4º) Se dice que f tiene un mínimo relativo en un
punto cuando perteneciente a un entorno de .
RRDf ²: