Ejercicios de Vectores en R2

Ejercicios en R2

EJERCICIO 1. Determinar si los vectores AB = (35, -21) y CD = (-10, 6) tienen la misma dirección. Calcular el módulo de ambos vectores.

Para determinar si dos vectores tienen la misma dirección basta comprobar si sus componentes son proporcionales.

El cociente de las primeras componentes es 35/-10 (7/-2) y el de las segundas -21/6 (-7/2), por lo tanto los vectores tienen la misma dirección.

El módulo de los vectores es:

|AB| = (1225 + 441)^1/2 = (1666)^1/2

|CD| = (100 + 36)^1/2 = (136)^1/2

EJERCICIO 2. Dado el vector libre a = (5, 3) y el punto A = (4, -1), hallar las coordenadas del punto B para que el vector fijo AB represente al vector a .

Llamando (x, y) a las coordenadas de B, las componentes del vector AB son (x - 4, y + 1).

Para que el vector AB represente al vector libre a se ha de verificar (x - 4, y + 1) = (5, 3), de

donde, x - 4 = 5 e y + 1 = 3, obteniéndose x = 9 e y = 2.

Así las coordenadas de B son (9, 2).

EJERCICIO 3. Un vector que va de A(3, 5) a B(x, y) representa al mismo vector que va de B(x, y) a C(8, 1). Hallar B(x, y).

Sean: V = AB = B - A = (x, y) - (3, 5) = (x-3, y-5) W = BC = C - B = (8, 1) - (x, y) = (8-x, 1-y)

Si V=W => (x-3, y-5) = (8-x, 1-y) <=> x-3 = 8-x => x=11/2

y-5 = 1-y => y=3

Por tanto, el punto buscado es B (11/2, 3)

EJERCICIO 4. Qué pares de los siguientes vectores forman una base:

EJERCICIO 5. Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los

vectores y sean: 1 Perpendiculares.

2 Paralelos.

3 Formen un ángulo de 60°.

EJERCICIO 6. Calcula la proyección del vector sobre el vector

.

EJERCICIO 7. Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector

.

EJERCICIO 8. Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

EJERCICIO 9. Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

EJERCICIO 10. Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

Ejercicios de Vectores en R2

1. El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de

los vectores ?

2. Qué pares de los siguientes vectores forman una base:

3. Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector

.

4. Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los

vectores tienen como expresiones:

Calcular el valor de k sabiendo que .

5. Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los

vectores y sean:

1 Perpendiculares.

2 Paralelos.

3 Formen un ángulo de 60°.

6. Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale:

1 90°

2 0°

3 45°

7. Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los

vectores tienen como expresiones:

Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.

8. Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

9. Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0),

B(3,5), C(-1,-1).

10. Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

Ejercicios de Vectores en R3

EJERCICIO 1. Dados los vectores , y hallar:

1. ,

2. ,

3.

4.

5.

1. ,

2. ,

3.

4.

5.

EJERCICIO 2. ¿Para qué valores de a los vectores , y

forman una base?

Para a ≠ 1, los vectores forman una base.

EJERCICIO 3. Determinar el valor del parámetro k para que los vectores =

k − 2 + 3 , = − + k + sean: 1) Ortogonales. Para que los vectores sean ortogonales su producto escalar tiene que ser igual a cero.

2) Paralelos. Para qué dos vectores sean paralelos, sus componentes tienen que ser proporcionales.

El sistema no admite solución.

EJERCICIO 4. Hallar los cosenos directores del vector .

EJERCICIO 5. Hallar el ángulo que forman los vectores y

.

EJERCICIO 6. Dados los vectores y , hallar:

1 Los módulos de y ·

2 El producto vectorial de y ·

3 Un vector unitario ortogonal a y ·

4 El área del paralelogramo que tiene por lados los vectores y ·

1 Los módulos de y ·

2 El producto vectorial de y ·

3 Un vector unitario ortogonal a y ·

4 El área del paralelogramo que tiene por lados los vectores y ·

EJERCICIO 7. Calcular el producto mixto: .

EJERCICIO 8. Dados los vectores , y ,

hallar el producto mixto . ¿Cuánto vale el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores dados?

EJERCICIO 9. Determinar los cosenos directores del vector (1, 2, −3).

EJERCICIO 10. Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

Ejercicios de Vectores en R3

1. Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2, −2,

3) y (3, −3, 2).

2. Hallar un vector perpendicular a y , y que

sea unitario.

3. Dados los vectores y , hallar el producto

y comprobar que este vector es ortogonal a y a . Hallar el

vector y compararlo con .

4. Considerar la siguiente figura:

Se pide:

1 Coordenadas de D para que ABCD sea un paralelogramo. 2 Área de este paralelogramo.

Por ser la figura un paralelogramo, los vectores y son

equipolentes.

5. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:

1 Hallar para qué valores del parámetro a están alineados. 2 Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices

de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.

1 Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.

Si A, B y C están alineados los vectores y tienen la misma dirección, por lo que son linealmente dependientes y tienen sus

componentes proporcionales.

2 Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices

de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.

El módulo del producto vectorial de los vectores y es igual al

área del paralelogramo construido sobre y .

6. Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los tres vértices de un triángulo. Se pide:

1 Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del

triángulo. 2 Calcular el área del triángulo.

1 Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo.

2 Calcular el área del triángulo.