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Prof. María Jorgelina Sette 1/33

Los matemáticos no se ocupan de objetos, sino de relaciones entre objetos, de esta manera tienen la libertad de reemplazar algunos objetos por otros, siempre y cuando las relaciones no se alteren. El contenido para ellos es irrelevante, se interesan únicamente en la forma. Henri Poincaré – Matemático Francés (1854 – 1912)

1. Par Ordenado

Un Par Ordenado está formado por dos elementos (que pueden ser distintos o

iguales) y un criterio de ordenación que establece cuál es el primer elemento y cuál es el

segundo.

En el par ordenado: (a ; b) a es la primera componente y

b es la segunda componente del par.

Luego: (a ; b) (b ; a) a menos que a = b.

Pares ordenados iguales: (a ; b) = (c ; d) a = c b = d

2. Producto Cartesiano

El conjunto formado por todos los pares ordenados tales que su primera componente

pertenece al conjunto A y su segunda componente pertenece al conjunto B se denomina

Producto Cartesiano A X B.

A X B = (x ; y) / x A y B

Ejemplo: Dados los conjuntos A = 1 , 2 , 3 y B = a , b efectuar A X B .

A X B = (1 ; a) , (1 ; b) , (2 ; a) , (2 ; b) , (3 ; a) , (3 ; b)

Recordar que se llama Cardinal de un Conjunto A al número de elementos que

pertenecen a dicho conjunto, y se simboliza: A.

Así en el ejemplo: A = 3 , B =2 y (A X B) = 3 X 2 = 6.

Veamos ahora B X A = (a ; 1) , (a ; 2) , (a ; 3) , (b ; 1) , (b ; 2) , (b ; 3) y su

cardinal: (B X A) = 2 X 3 = 6.

En general, el Producto Cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo:

ANÁLISIS MATEMÁTICO

UNIDAD N° 2: COMPLEMENTO TEÓRICO

F U N C I O N E S


A X B B X A

sin embargo A X B y B X A tienen el mismo cardinal, y se debe a que el producto

numérico sí es conmutativo.

Si A o B son conjuntos infinitos entonces: A X B es infinito.

Si A = y B es finito entonces A X B = .

Notas: √ El producto cartesiano lo representamos mediante diagrama de Venn-Euler o en

sistema de ejes cartesianos.

√ Realizar los ejercicios correspondientes del trabajo práctico 2.

3. Relaciones

R es una Relación de A en B si y sólo si R A X B .

Sea A = 3 , 4 , 7 y B = 1 , 2 , 6 , 8 vamos a definir el siguiente conjunto:

R = (x ; y) / (x ; y) A X B x > y

Que por extensión resulta:

R = (3 ; 1) , (3 ; 2) , (4 ; 1) , (4 ; 2) , (7 ; 1) , (7 ; 2) , (7 ; 6)

“ x > y ” es una propiedad que relaciona elementos de A con los elementos de B. Si se

considera al conjunto de todos los pares ordenados de A X B tales que el primer elemento

está vinculado con el segundo por alguna propiedad, el subconjunto de A X B, así obtenido,

define una relación de A en B.

Ejemplo:

Sea N, conjunto de los números naturales, y la relación: “es menor que” definida de

N en N. Entonces resulta:

R = (x ; y) / (x ; y) N X N x < y

Aquí la relación está definida entre elementos de un mismo conjunto: A = B = N,

luego decimos que R es una relación en A.

Dominio e Imagen de una Relación Se llama Dominio de la relación R al conjunto formado por todos los primeros

elementos de los pares ordenados que pertenecen a R.

DR = x / x A (x ; y) R


Se llama Imagen de la relación R al conjunto formado por todos los segundos

elementos de los pares ordenados que pertenecen a R.

IR = y / y B (x ; y) R

Para la primera relación definida resulta:

DR = 3 , 4 , 7 e IR = 1 , 2 , 6

Notas:

√ Representar la relación mediante diagrama de Venn-Euler y en sistema de ejes

cartesianos.

√ Realizar los ejercicios correspondientes del trabajo práctico 2.

4. Funciones

La función es uno de los conceptos más importantes en la matemática. Por largo tiempo, los matemáticos y científicos buscaron una forma precisa de descubrir las relaciones entre dos variables. Resulta sorprendente que esta idea haya tardado tanto tiempo en cristalizar en un concepto claro y no ambiguo. Al matemático francés P. G. Dirichlet (1805 – 1859) se le otorga el reconocimiento de la definición moderna de función.

Definición: Una Función definida de un conjunto A (llamado dominio) en un

conjunto B (llamado codominio) es toda relación, vínculo o nexo entre ambos tal que se

cumplan las siguientes condiciones:

1) Condición de Existencia: Todo elemento x del dominio tiene un elemento y que le

corresponde en el codominio.

Se simboliza: y = f ( x ) Que se lee: “y es la imagen de x”

Luego, “x es la preimagen de y” Ejemplo:

2) Condición de Unicidad: La imagen de cada elemento del dominio debe ser única.

Así, en el ejemplo anterior, la única imagen de 2 es 4, y la única imagen de 5 es 17.

x . . y=f(x)

AB

f

2.

5 .

. 4

. 17

A B

f

4 = f ( 2 ) Se lee: 4 es la imagen de 2 17 = f ( 5 ) Se lee: 17 es la imagen de 5


En Síntesis: Cuando se define una función debe explicitarse cuál es el conjunto de partida

o dominio A, el conjunto de llegada o codominio B, y la regla o fórmula que los vincula.

Se simboliza:

f : A B y = f ( x )

Conjunto Imagen: El conjunto formado por todos los elementos del codominio que son

imágenes de los elementos del dominio, se denomina conjunto imagen.

Luego, el conjunto imagen de una función está incluído en el codominio de la misma.

Pueden o no ser conjuntos iguales.

Ejercicio 1: Determine cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones

definidas de A en B. Justifique sus resultados.

√ A tener en cuenta: Cuando una representación gráfica corresponde a una función al

recorrer todo su dominio con rectas paralelas al eje y , éstas cortan al gráfico de la función

en un solo punto. ( ¿ Por qué ? )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nombre de la función. Dominio

Codominio Imagen de x

0 xA

B

y (b)

(d)

0xA

B

y

(c)

0A

x

B

y

0 xA

B

y

(a)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Ejercicio 2: Determine cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones

definidas de reales en reales ( R en R). Justifique su respuesta.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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0A

B

y

(e)

0A

B

y

(f)

0

y

x

(a)

0

y

x

(f)

0

y

x

(c)

oo

x

(h)

y


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Funciones Inyectivas – Sobreyectivas – Biyectivas

Consideremos los siguientes diagramas que representan distintas funciones de A

en B.

f2 f3

A B

f1

A B

A B

(1) (2) (3)

0

y

x

(i)

x0

y

(d)

0

y

x

(j)

0

y

x

(e)


Y las siguientes gráficas que corresponden a funciones definidas de en .

En las representaciones ( 1 ), ( 3 ), ( 4 ) y ( 6 ) observamos que distintos elementos del

dominio tienen imágenes diferentes.

Cuando ello ocurre se dice que la función considerada es Inyectiva. Por lo tanto f 1 ,

f 3 , f 4 y f 6 son inyectivas; y no lo son f 2 y f 5 .

Formalmente:

, : 1 2 1 2 1 2 x x Df f x f x x x

o bien:

, : 1 2 1 2 1 2 x x Df x x f x f x

En las representaciones ( 2 ), ( 3 ), ( 5 ) y ( 6 ) observamos que todos los elementos del

codominio son imágenes de elementos del dominio, o sea, el conjunto imagen es igual al

codominio. If Cf

Cuando ello ocurre se dice que la función es Sobreyectiva. Por lo tanto f 2 , f 3 , f 5

y f 6 son sobreyectivas; y no lo son f 1 , f 4 .

Por último, cuando una función es Inyectiva y Sobreyectiva simultáneamente, se

dice que es Biyectiva ( existe una correspondencia uno a uno entre elementos del

Dominio y el Codominio ).

Así, de las seis funciones anteriores, sólo f 3 y f 6 resultan Biyectivas.

Ejemplo: Sean A = { 3 , - 2 , 0 } y B = { 1 , 7 , - 3 }

Escriba por extensión, grafique y clasifique la función: 2 1f A B / f x x: ( ) Resulta: f = { ( 3 ; 7 ) , (-2 ; -3) , ( 0 ; 1 ) }

X1 X2 X3 X1 X2

f4

0 x

y

(4)

0 x

y

(5)

f5

0 x

y

(6)

f6

X1 X2


o bien

f es inyectiva porque a distintos elementos del dominio corresponden distintas imágenes,

es sobreyectiva porque el conjunto imagen coincide con el codominio o conjunto de llegada,

luego por ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente f es biyectiva.

Ejercicio 3: Clasificar las funciones de los ejercicios uno y dos.

6. Función Inversa

Consideremos una función biyectiva, por ejemplo, la del ejercicio anterior:

f : A B / f = { ( 3 ; 7 ) , (-2 ; -3 ) , ( 0 ; 1 ) }

Si las primeras componentes de los pares ordenados las transformamos en segundas

componentes y recíprocamente, obtendremos una función, pero esta vez definida de B en

A .

A esta nueva función la simbolizamos con f –1 y la denominamos función inversa de f.

f –1 : B A / f -1 = { ( 7 ; 3 ) , ( -3 ; -2 ) , ( 1 ; 0 ) }

Definición: Si f : A B es biyectiva , entonces existe y es única una función

f –1 : B A que se denomina inversa de f , tal que:

( , )x y f si y sólo si 1 ( ; )y x f

Por definición, el dominio de f –1 es el conjunto imagen de f, y recíprocamente, el

conjunto imagen de f –1 es el dominio de f.

Notas:

√ Existen funciones que no tienen función inversa.

√ Con un par de ejemplos analizar la definición de función en las relaciones inversas de

funciones no biyectivas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 -2 0

7 -3 1

A B

1

3

-2

-3

7

0

y

x


¿Cómo se obtiene la regla o fórmula de la función inversa de una función dada?

La función del ejemplo anterior está definida mediante:

f : A B / f (x) = 2x + 1 o bien f : A B / y = 2x + 1

Si despejamos de esta fórmula la variable independiente x , que en la función inversa

buscada pasa a ser variable dependiente, resulta:

1 1

2 2 -x y

Esta regla es la que le corresponde a la función inversa f –1 , siendo x la variable

dependiente e y la variable independiente. Sin embargo, se acostumbra llamar x a la

variable independiente e y a la variable dependiente, por lo tanto, hacemos un cambio de

variables en la fórmula anterior, resutando:

1 1

2 2 y x

Luego: f –1 : B A / 1 1

2 2 y x

Otro ejemplo: Si deseamos obtener la función inversa de la función (racional

homográfica):

3 4

2 32

: / ( )x

f R R f xx

Procedemos de la siguiente manera:

1) Despejamos x:

3 4

2

2 3 4

2 3 4

3 2 4

3 2 4

2 4

3

( )

( )

xy

x

y x x

y x y x

y x x y

x y y

yx

y

2) Permutamos las variables:

2 4

3

xy

x

Resultando:

1 2 4

3 23

: / ( )x

f R R f xx

Nota:

√ Las representaciones gráficas de dos funciones inversas entre sí cumplen la propiedad

de resultar simétricas respecto de la recta y = x , función Identidad. Nos referiremos

a esto, nuevamente, más adelante. Ver página 14.


7. Funciones Pares e Impares A veces, conocer las condiciones de simetría de una función puede facilitar el trazado

de su representación gráfica.

Función Par: f es par x Df : f ( x ) = f ( -x ) . (A cualquier par de

valores opuestos del dominio, les corresponde la misma imagen).

Esto sucede, por ejemplo, en la función: f : / f ( x ) = x2

x f (x)

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Verificación: No válido como

demostración. ¿ Por qué ?

Demostración: Comprobación de la

definición.

3 3 9

2 2 4

1 1 1

f f

f f

f f

2

2

2

f x x

f x x

f x x

f x f x

La representación gráfica de una función par es simétrica respecto del eje de

ordenadas ( y ).

Función Impar: f es impar x Df : f (x) = - f (-x) ó - f (x) = f (-x). (A

cualquier par de valores opuestos del dominio, le corresponden imágenes opuestas).

Esto sucede, por ejemplo, en la función: f : / f ( x ) = x3

x f (x)

-3 -27

-2 -8

-1 -1

0 0

1 1

2 8

3 27

y x 3


Verificación: No válido como

demostración. ¿ Por qué ?

Demostración: Comprobación de la

definición.

3 27 3 27

2 8 2 8

1 1 1 1

f y f

f y f

f y f

3

3

3

f x x

f x x

f x x

f x f x

La representación gráfica de una función impar es simétrica respecto del origen de

coordenadas, ( 0 ; 0 ).

Nota:

√ Hay funciones que no son pares ni impares.

Ejemplos:

- - ;

2

21 1

1

xf x ; Df=

x - - ;

3

22 2

4

xf x ; Df=

x

2

2

2

2

2

2

1

1

1

x f x

x

xf x

x

x f x

x f x f x

f es par.

3

2

3

2

3

2

3

2

4

4

4

4

x f x

x

xf x

x

x f x

x

x f x

x f x f x

f es impar.

¿ Tiene sentido analizar la paridad de la función:

2

2

xf x

x ? , ¿ Por qué ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Funciones Numéricas o Escalares

f : A B / y = f ( x ) es una función numérica si y sólo si A y B . Ejemplos:

1 1

32 2

3 3

2 1

2

4

: / ( )

: / ( )

: / ( )

f N N f x x

f Z Z f x x

f N R f xx

A partir de aquí vamos a comenzar a graficar algunas funciones escalares y a analizar

sus particularidades.


Para ello vamos a tener en cuenta que:

√ La representación gráfica de una función escalar es el conjunto de puntos (x ; y) del

plano cartesiano tal que y es imagen de x a través de f.

√ La intersección del gráfico de f con el eje y, si existe , es (0 ; f ( 0 ) ) .

√ La intersección del gráfico de f con el eje x, si existe, es el conjunto de los x (ceros de

la función) que anulan la función. Luego, determinar los ceros de f es encontrar el

conjunto solución de la ecuación f ( x ) = 0.

a) Función Constante : f es una función constante si y sólo si :

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Observamos que cualquiera sea el valor de la variable independiente x , su imagen

es siempre la misma. En el ejemplo 1 , la imagen es siempre 5 y en el ejemplo 2 , es –2 .

De ahí el nombre de función constante.

La gráfica correspondiente es siempre una recta paralela al eje de abscisas.

¿Cuál es el conjunto imagen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Funciones Polinómicas:

Decimos que f es una función polinómica de grado n , en una variable independiente

x , si f es del tipo:

1

1 1 0 : / ( ) ...n nn nf R R f x a x a x a x a (con an 0)

o bien : / ( ) ( )f R R f x P x

Ejemplos:

31 1

2 2

23 3

13 12

2 4

6

: / ( )

: / ( )

: / ( )

f R R f x x x

f R R f x x

f R R f x x x

Observamos que los segundos miembros de las reglas correspondientes a estas

funciones son polinomios en una variable.

Cuando ello ocurre, las funciones se denominan funciones Polinómicas .

y y

x

5 : / ( )f R R f x

: / ( )f R R f x k k R

2 : / ( )f R R f x


Función Lineal: Cuando el polinomio del segundo miembro de la regla de la

función es de primer grado, a dicha función se la denomina lineal. , y su

representación gráfica es una recta.

En general, las funciones lineales son de la forma:

1 0 1 0 con : / ( ) f R R f x a x a a

Usualmente: 0 con : / ( )f R R f x m x b m

Ejemplo:

2 2 2 4: / ( )f R R f x x

Sabemos que todo punto del eje y es de

la forma: (0 ; y). Luego el valor f2 ( 0 ) =4

recibe el nombre de ordenada al origen .

Por el punto ( 0 ; 4 ) la recta cortará al

eje y. (La ordenada al origen es igual al

término independiente del polinomio de

la regla de la función).

También sabemos que todo punto del

eje x es de la forma (x ; 0). Luego para

conocer el punto donde la recta cortará al

eje x – abscisa al origen - , buscamos la

raíz del polinomio resolviendo:

x

x

2 4 0

2

Por el punto ( -2 ; 0 ) la recta cortará al

eje x.

Conociendo la abscisa y la ordenada al

origen, podemos trazar la gráfica de la

función, sin necesidad de recurrir a otros

puntos de la recta.

¿ Es biyectiva esta función ? Sí , f2 es biyectiva y, por lo tanto, admite inversa.

¿ Cuál es la función inversa de f2 ? Es f2 –1 definida de la siguiente manera:

1 12 2

12

2 : / ( )f R R f x x

Fórmula que se obtiene según el procedimiento estudiado en la página 9.

Si en un sistema de coordenadas cartesianas trazamos las gráficas de f2 y f2 –1

veremos que dichas gráficas resultan simétricas con respecto a la recta que incluye a la

bisectriz del primer cuadrante. Lo enunciado se puede observar en la siguiente figura:

y

ordenada al origen

abscisa al origen

x


Esta simetría siempre se presenta con la gráfica de una función y la de su inversa.

Conjunto de Ceros – Conjunto de Positividad – Conjunto de

Negatividad

Antes de seguir adelante con el estudio de las gráficas de las funciones vamos a

hacer referencia a ciertos conjuntos, incluidos en el dominio de la función, que nos

proporcionan información importante en relación a su comportamiento. Ellos son:

Conjunto de Ceros: C0 es el conjunto formado por los ceros o raíces de la función.

0 0 /C x x Df f x

Estos valores de x , si existen, son las abscisas de los puntos de intersección de la

gráfica de la función con el eje x.

Conjunto de Negatividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la

función para los cuales dicha función toma valores negativos

xC Df f xx 0

La gráfica de la función para estos valores de x se encuentra por debajo del eje x.

Conjunto de Positividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la

función para los cuales dicha función toma valores positivos.

xC Df f xx 0

La gráfica de la función para estos valores de x se encuentra por encima del eje x.

Ejemplo: Hallar e indicar los conjuntos C C y C, 0 correspondientes a la función

2 2 2 4: / ( )f R R f x x

x

y

4

-2

4

-2

f2

f2 -1


Cálculo de : C 0 Cálculo de : C Cálculo de : C

x

x

2 4 0

2

C 0 2

x

x

x

2 4 0

2 4

2

C ; 2

x

x

x

2 4 0

2 4

2

C ; 2

Función Cuadrática: Cuando el segundo miembro de la regla de una función es un

polinomio de segundo grado, la función se denomina cuadrática, y su

representación gráfica es una parábola.

En general, las funciones cuadráticas son de la forma:

f R R f x a x a x a con a: / ( ) 22 1 0 2 0

Usualmente: f R R f x a x b x c con a: / ( ) 2 0

El estudio de la función cuadrática requiere de las siguientes consideraciones:

√ Para hallar los ceros de una función de segundo grado podemos usar la fórmula:

b b acx

a

2 4

2

√ Solamente cuando el discriminante: b ac∆ 2 4 0 , los ceros son reales.

√ Influencia del coeficiente principal y el discriminante en la parábola:

a > 0

< 0 = 0

x

y

0 x1 x2

> 0

x1 x2

x

y

0 x1 = x2 x

y

0 x1 R x2 R

a < 0

0

x1 = x2

< 0 = 0

x

y

0 x1 x2

> 0

x1 x2

x

y

0 x

y

x1 R x2 R


Ejemplo 3: Estudiar y graficar la función: f R R f x x x: / ( ) 23 3 6

Intersección con el eje y:

f 3 0 6

( 0 ; -6 )

Intersección con el eje x:

f x 0

x x 2 6 0

x ;

1 2

1 1 24 1 5

2 2

x y x 2 3 ( 2 ; 0 ) y ( -3 ; 0 )

Eje de Simetría:

Es la recta vertical que se calcula: x x b

x o bien xa

1 2

2 2

para el ejemplo es la recta de ecuación:

x 1

2

(todos sus puntos son de abscisa menos

un medio)

Vértice: Es la intersección de la parábola con su eje

de simetría. Es decir, es el punto de

abscisa 1

2 y ordenada f

3

1 25

2 4

V ;

1 25

2 4

Conjunto Imagen:

If ;

3

25

4

Conjunto de Ceros:

C ; 0 3 2

Conjunto de Positividad:

C ; ; 3 2

Conjunto de Negatividad:

C ; 3 2

Función Cúbica: Cuando el segundo miembro de la regla de una función es un

polinomio de tercer grado, la función se llama cúbica.

En general, las funciones cúbicas son de la forma:

f R R f x a x a x a x a con a: / ( ) 3 23 2 1 0 3 0

Usualmente: f R R f x ax b x c x d con a: / ( ) 3 2 0

La representación gráfica de las funciones polinómicas de tercer grado o más las

estudiaremos en la unidad cinco.

En los casos particulares más sencillos se tiene:

y

V

25

4


La función es inyectiva y sobreyectiva lo que hace que sea biyectiva y admita función

inversa cuya fórmula será: xf x

a 1 3

Según el comportamiento del coeficiente principal a la función se moverá como se

explica en el siguiente gráfico:

Se sugiere en este punto realizar las gráficas correspondientes a las fórmulas

incompletas: f x x ; g x x 3 312

2

c) Funciones Racionales:

Ejemplo 1: x xf R R f x

x: /

2 5 63

3

Ejemplo 2: x x xf R R f x

x x: ; /

4 3 2

2

63 2

6

Ejemplo 3: xf R R f x

x: ; /

2

22 2

4

Observamos que los segundos miembros de las reglas de las funciones son

expresiones algebraicas racionales. Por lo tanto, las funciones tienen por dominio al

conjunto de los números reales, excepto aquellos que anulan a su correspondiente

denominador.

Luego, decimos que las funciones racionales son del tipo:

x

y

3y a x

Si a > 0

x

y

3y a x

Si a < 0

x

y 3 1y x a

0a

x

y3y x

a

0a a


P xf R A R f x

Q x: / con Q(x) distinto del polinomio nulo.

El dominio de la función es el conjunto de los números reales, excepto aquellos que

son raíces del denominador Q(x) y elementos del conjunto A.

Para trazar la gráfica de una función racional:

√ Observamos si el numerador y el denominador tienen factores comunes. En tal caso,

pueden simplificarse indicando la función con una nueva regla y aclarando el

dominio correspondiente (es decir, la regla cambia pero por supuesto el dominio

de la función, no).

Así, para el Ejemplo 1:

x xf R R f x

x: /

2 5 63

3

o bien

x

f R R: /

3

3 x

x

2

3

Resulta: f R R f x x: / 3 2

y su gráfica:

Atención: A la gráfica no pertenece el punto de abscisa 3 pues tal número no

pertenece al dominio de la función.

¿Cuáles son los Conjuntos Imagen, de Ceros, de Positividad y de Negatividad?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejemplo 2:

x x xf R R f x

x x: ; /

4 3 2

2

63 2

6

o bien

x x

f R R f x: ; /

2 2

3 2 x 3

x 2 x 3

Resulta:

f R R f x x: ; / 23 2

x

y


Hacemos una tabla de valores y graficamos:

Atención: A la gráfica no pertenecen los puntos de abscisas -3 y 2 pues estos

números no pertenecen al dominio de la función.

¿Es Biyectiva esta función? ¿Por qué? ¿Cuáles son los Conjuntos Imagen, de Ceros, de

Positividad y de Negatividad?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejemplo 3:

xf R R f x

x: ; /

2

22 2

4

o bien

xf R R f x: ; /

22 2

x 2 x 2

Resulta:

f R R f xx

: ; / 1

2 22

Hacemos una tabla de valores y graficamos.

Atención: A la gráfica no pertenecen los puntos de abscisas -2 y 2 pues estos

números no pertenecen al dominio de la función.

¿Es Biyectiva esta función? ¿Por qué? ¿Cuáles son los Conjuntos Imagen, de Ceros, de


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y

x

y

x


En general llamaremos Funciones Homográficas a aquellas funciones racionales de

la forma:

ax b

f Df If f xcx d

: / ( )

con c 0 y numerador de grado cero o uno.

La representación gráfica recibe el nombre de Hipérbola y :

La recta de ecuación d

xc

es Asíntota Vertical del gráfico de la función pues:

dsi x entonces y

c .

La recta de ecuación c

ay resulta Asíntota Horizontal del gráfico de la función

pues: a

si x entonces yc

.

En la carpeta trabajaremos la representación gráfica de las funciones:

a) f f x (hipérbola equilátera)x

xb) f f x

x

c) f f x ¿ Es homográfica ?x

: / ( )

: / ( )

: / ( )

2

10 0

2 13 2

31

0 0

d) Funciones Irracionales:

p

qq pf D R f x x x: /

En estas funciones el exponente al que está elevada la variable independiente es

fraccionario.

Cuando el denominador de la fracción exponente, es par, el dominio es el conjunto de

números reales que aseguran un radicando no negativo.

Ejemplo 1:

f R R f x x: / 0 f R R f x x: / 0

x

y

y x

x

y

y x


¿Cuál es el Conjunto Imagen en cada caso? , y ¿Cuáles son los Conjuntos de Ceros, de


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejemplo 2: f R R f x x: / 3

Ceros C 0 0

Paridad Es una función impar

Intersección con ejes

(0 ; 0)

Inyectividad Es inyectiva. Justificar.

Sobreyectividad Es sobreyectiva. Justificar.

Biyectividad Es biyectiva.

Inversa y x 3

e) Función Valor Absoluto o Módulo:

x si xf R R f x x o bien f x

x si x: /

0

0

La gráfica está formada por la bisectriz del primero y segundo cuadrante.

¿Cuál es el Conjunto Imagen? , y ¿Cuáles son los Conjuntos de Ceros, de Positividad y

de Negatividad?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio: Realicen en la carpeta la gráfica de las funciones que se dan a continuación,

escriban conclusiones, e indiquen en cada caso los Conjuntos Imagen, de Ceros, de

Positividad y Negatividad.

f x x ; g x x ; h x x ; t x x 1 1 1 2 1

f) Función Signo:

si x x f R R f x o bien f x

x si x: /

1 00

1 0

3y x

x

y

y

x


La gráfica está formada por dos semirrectas (sin origen) paralelas al eje de abscisas.

¿Cuál es el conjunto imagen?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g) Función Parte Entera:

Escriban para cada igualdad la parte entera del número propuesto:

ent ent ent ; ent

ent ent ent

, ........ ; , ........ ; , ........ ........

, ........ ; , ........ ; , ........

2 34 10 97 0 5 6

0 4 2 34 18 01

Elaboren una definición para parte entera de un número real:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f R Z f x ent x: /

9. Funciones Trascendentes

Las funciones en cuya fórmula contienen expresiones exponenciales, logarítmicas o

trigonométricas reciben el nombre de funciones trascendentes.

y

x

1

-1


a) Función Exponencial

Ejemplo 1: xf R R f x: / ( ) 2

Ejemplo 2:

x

g R R f x: / ( )

1

2

Ejemplo 3: xh R R f x e: / ( )

Recordemos que e = 2,718281828 . . . es

un número irracional.

Observamos en los ejemplos precedentes que:

√ El dominio de las funciones es el conjunto de los números reales.

√ En las fórmulas de las funciones figuran potencias donde la variable independiente es

el exponente y la base es un número positivo pero distinto de 1.

A las funciones de este tipo, en general simbolizadas:

xf R R f x a (donde a y a ): / ( ) 0 1 se las denomina funciones exponenciales y su comportamiento gráfico es:

x

y

a > 1

x

y

0 < a < 1

1 1


¿Cuál es, en todos los casos, el Conjunto Imagen? ¿Son Biyectivas las funciones

exponenciales, según fueron definidas? ¿Por qué?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si la función la definimos de R en R+ resulta Biyectiva y, por lo tanto, admite

inversa.

A esta función inversa, se la denomina función logarítmica .

b) Función Logarítmica Previamente al tratamiento de la función vamos a recordar la definición de

logaritmo:

Se llama logaritmo de un número a ( siendo a > 0 ) respecto de la base b ( b > 0 y

b 1 ) al número c al que hay que elevar a la base b para obtener el número a.

cb a c b alog

Se lee: logaritmo de a en base b es c.

Ejemplos:

5

1

3

-1

pues 2

pues 8

1 pues

100

log

log

log

2

8

1

100

32 5 32

12 2

3

100 1 100

Notas:

√ Cuando la base es b = 10, no se escribe.

√ Cuando la base es el número irracional e = 2.718..., la notación usual es ln en lugar

de loge .

Ejemplo 1:

x

f

y f R R f x x: / ( ) log 2


Ejemplo 2:

g R R g x x: / ( ) log 1

2

Ejemplo 3: h R R h x x: / ( ) ln

Observamos en los ejemplos precedentes que:

√ El dominio de las funciones es el conjunto de los números reales positivos.

√ En las fórmulas de las funciones figura un logaritmo de la variable independiente.

A las funciones de este tipo, que en general simbolizamos:

b f R R f x x (donde b y b ): / ( ) log 0 1

se las llama funciones logarítmicas y el comportamiento de su gráfica es:

¿Cuál es, en todos los casos, el Conjunto imagen? . Indique Conjuntos de Ceros, Positividad

y Negatividad.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

y

Si b> 1

x

y

Si 0<b<1

1 1

g

y

x

x

h


c) Funciones Trigonométricas Repaso: Recordemos que en la circunferencia trigonométrica, la que tiene centro 0 y radio 1;

si por cualquier punto p de la misma trazamos una perpendicular al eje horizontal que

corta al mismo en un punto m denominamos:

sen pm y

cos om x

pm sen Tg

om

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆcos

Representación gráfica:

En estas gráficas estamos representando a las funciones trigonométricas en un eje que

mide el ángulo en radianes donde la equivalencia es 180º = (radianes); equivale

entonces la circunferencia trigonométrica a 2 radianes.

Función Seno

1 1f R f x sen x: ; /

√ El dominio de la función y = sen(x) es el conjunto de los números reales.

√ El seno toma valores en el intervalo [-1 ; 1], es decir, su recorrido o conjunto imagen

es el intervalo [-1 ; 1].

√ El valor del seno es el mismo para ángulos que se diferencian en valor un número

entero de veces 360° o 2 .

Es decir, sen(x) = sen(x + n · 360°) con n Z, por lo tanto la función y = sen(x) es

una función periódica de período 2 .

√ Es una función impar. Simétrica con respecto al origen.

√ Intersección con el eje x en los puntos x k con k

√ Intersección con el eje y es el origen (0,0).

√ Biyectiva pero sólo en el intervalo ; 2 2

. Su inversa es y = arc sen (x).

Sen

0

1

-1

-

/2

-/2

cos

0

1

-1

-

/2

-/2

tg

0 /2

-/2

x

y

0 m

p

x

y


√ Grafíquela.

Función Coseno

1 1f R f x x: ; / cos

√ El dominio de la función y = cos(x) es el conjunto de los números reales.

√ El conjunto imagen es el intervalo [ -1 ; 1 ]

√ Intersección con el eje x en puntos de la forma x k con k

2 12

√ La intersección con el eje y es en el punto ( 0 ; 1 ).

√ Es par y biyectiva en el intervalo ; 0 . Su función inversa es y = arc cos (x).

√ El valor del coseno es el mismo para ángulos que se diferencian en valor un número

entero de veces 360° o 2.

Es decir, cos(x) = cos(x + n · 360°) con n Z, es decir, la función y = cos(x) es una

función periódica de período 2 .

√ Grafíquela.

Función Tangente

√ El dominio de la función y = tg(x) es el conjunto de los números reales, salvo

aquellos valores de x que podemos expresar como x k con k 2

√ El conjunto imagen es el de los números reales.

√ La intersección con el eje y es en el punto ( 0 ; 0 ).

√ Intersección con el eje x en puntos de la forma x k con k

√ Es impar y biyectiva sólo en el intervalo ; 2 2

.


√ El valor de la tangente es el mismo para ángulos que se diferencian en valor un

número entero de veces 180° o . Es decir, es una función periódica de período

, ya que tg(x) = tg(x + n · 180°) con n Z.

√ Grafiquela.

.

Nota: Se propone a los alumnos realizar un análisis similar para las cofunciones.

Funciones Iversas del seno y del coseno

: ; / : ; / arccos

1 1 1 102 2

f R f x arcsen x y f R f x x

La gráfica de las inversas son las que se presentan en línea punteada.

10. Composición de Funciones

Supongamos que una función es una máquina que con cada x produce f (x)

x y = f (x)

Tomemos entonces dos funciones tales que con x R producen:

x f (x) = 2 x

0 90° 180° 270° 360°

-360 -270 -180 -90 x

y

f

f

2 1 0 1 2

2

1

1

2

1

1

2

2

1.57 0.79 0 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93

1.57

0.79

0.79

1.57

2.36

3.14

3.93


x g(x) = x 3

bien

x f(x) = 2 x g [ f ( x ) ]

Si al resultado de la aplicación sucesiva de las dos funciones lo llamamos h, resulta;

h ( x ) = g [ f ( x ) ] = g ( 2 x ) = ( 2 x ) 3

La función h que llamamos función compuesta es obtenida por la aplicación sucesiva de

f y de g en este orden, se la llama función compuesta de f con g y se la designa con

el símbolo:

( g o f ) (x) = g [ f ( x ) ]

Importante: g o f significa que primero aplicamos f y luego al resultado aplicamos g .

Dadas dos funciones cualesquiera f y g ¿ es siempre posible hallar g o f ?

La respuesta es no. Veamos el siguiente ejemplo para aclarar la respuesta.

Ejemplo: Supongamos que Ud. tiene una agencia de turismo y no encuentra en su

compañía de aviación 30 pasajes a Miami que trasladen a sus 30 clientes en forma directa,

sin embargo le ofrecen 30 pasajes a Río de Janeiro ¿ qué necesitaría Ud. garantizar ?.

Obviamente que en Río de Janeiro tengan 30 plazas, como mínimo para seguir destino a

Miami. En caso contrario su “máquina de trasladar” no funciona.

Llevado este ejemplo a ( g o f ) (x) = g [ f ( x ) ] lo que tenemos que garantizar que

If Dg .

Análogamente se puede calcular ( f o g ) (x) = f [ g ( x ) ] para lo que debemos

exigir Ig Df dado que primero aplicamos f y luego g .

Resolver y analizar los siguientes ejemplos:

)0)(( calculey ))(( posible, es si Efectue,

1)(/:

1)(/:

:funciones lasSean

0

gofxgof

xxgg

xxff

g

f g


es.conclusion sus Escriba ).)((y ))(( Efectue

2

1

2

1)(/:

12)(/:

)1)(( calculey ))(( posible, es si Efectue,

2)(/:1

1)(/1:

11

11

xoffxfof

xxff

xxff

fogxfog

xxggx

xff

Práctica Complementaria

La siguiente ejercitación complementaria puede resolverla para afianzar los

conceptos trabajados en esta unidad y como repaso para la evaluación.

1) Grafique las siguientes funciones lineales e indique las coordenadas al origen:

a) f : R R / 3 4f x x

b) g : R R / 3g x x

c) h : R R / h 14

2x x

d) k : R R / k 2

3x x

2) ¿Cuáles son las respectivas funciones inversas de las funciones del ejercicio 1? 3) Calcule h sabiendo que la recta de ecuación 2 3 3 3 0h x hy h :

a) pasa por el punto 0P (-2, 3)

b) tiene pendiente 5

3

c) tiene ordenada al origen 6. d) pasa por el origen de coordenadas. e) tiene abscisa al origen 6.

4) Grafique las siguientes funciones cuadráticas. Indicar sus ceros, las coordenadas

del vértice y la expresión correspondiente al eje de la parábola. Proporcione en cada caso el conjunto imagen, conjunto de ceros, conjuntos de positividad y negatividad.

a) f : R R / 2 2 15f x x x

b) g : R R / 2 4g s s s

c) h : R R / 2 310

2h t t t

d) i : R R 2 4/ I x x


e) j : R R 2 133

2/ m x x x

5) Trace la gráfica correspondiente a cada una de las siguientes funciones. Indique

las intersecciones de cada gráfica con el eje de abscisas y con el de ordenadas. Clasifique las funciones.

3x si 1x a) f : R R / f x

1x si 1x 2 1x si 0x c) g : R R / g x

1 si 0x x si 3x

d) g : R R / g x

2

33

x si 3x

2 1x si 2x 1x si 2 1x e) g : R R / g x 1x si 1 3x

4 si 3 6x x si 6x 4 si 2x f) h : R R / h x x 2 si 2 3x

2 si 3x 6) Las siguientes funciones están definidas de R - A en R ¿Cuáles son, en cada caso,

los números reales que necesariamente pertenecen al conjunto A ? ¿Cuál es el dominio de cada función? ¿Cuáles son los ceros? Trazar la gráfica y dar el conjunto imagen correspondiente a cada función.

a) f : R - A R 1

4/ f x

x

b) f : R - AR / f x 2

21

3x


c) g : R - AR 2

3

1 6

s/ g s

s s s

d) g : R - AR 23 2

s/ g s

s s

e) h : R - AR 2

2t/ h t

t t

f) h : R - AR 2

2

2 3 23

12

t t/ h t

t t

g) k : R - AR 2

4 3

4 3

x/ k x

x x

h) k : R - AR 2

1

1/ k x

x

7) Proporcione una función f : A R , con A R

a) Que tenga los ceros 4 y 6. b) Que tenga los ceros -1, 0 y 3.

c) De grado mínimo que tenga los ceros -2 y 3.

d) Que esté definida para todos los reales excepto para 1

2

e) Que esté definida para todos los reales excepto para -3 y 6.

f) Que esté definida para todos los reales excepto para 0, 4 y 1

5 .

g) Que tenga los ceros 2 y 1 y que esté definida para todos los reales excepto para 4.

h) Que tenga a 5 como cero y que esté definida para todos los reales excepto para 0, -2 y 3.

8) Grafique y determine en cada caso el conjunto imagen.

a) 1 1 2xf : R R / f x

b) 2 2 3 2xf : R R / f x

c) 3 3 4 3xf : R R / f x

9) Idem ejercicio anterior para:

a) 1 1

1

2

x

g : R R / g x

b) 2 2

14

3

x

g : R R / g x

3 3

12

4

x

g : R R / g x


10) En un mismo par de ejes cartesianos ortogonales grafique los siguientes pares de funciones. Trabaje con la misma escala ambos ejes.

a) 3xf : R R / f x

'f : R R / f ' x log3

x

11) Si en el ejercicio (10) se agrega la bisectriz del primer cuadrante, ¿qué relación

observa entre las curvas de cada par de funciones con respecto a dicha bisectriz? 12) Proporcione la fórmula de una función f en cada uno de los siguientes casos:

a) f x es el perímetro de un cuadrado de lado x .

b) f x es el perímetro de un triángulo equilátero de lado x .

c) f x es la longitud de una circunferencia de radio x .

d) f x es el área de un círculo de radio x .

e) f x es el volumen de un cubo de arista x .

f) f x es el perímetro de un rectángulo de base x y altura 2

3de la base

g) f x es el perímetro de un triángulo rectángulo de catetos x y 1x .

h) f x es el área de un triángulo rectángulo de catetos 2x y 4x .

teoría unidad 2 funciones - cuba-exactas.webnode.com.ar · funciones inyectivas – sobreyectivas...

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