SEMINARIO MENOR DIOCESANO SAN JOSÉ DE CÚCUTA Especialidad: Humanidades Jornada: Mañana Modalidad: Mixto Carácter: Privado

Dane: 354001001520 Nit. 890.501.795-6

GUÍA-TALLER # 1

Nombre estudiante:

Fecha: D / M / A

Asignatura: MATEMÁTICAS

Grado10°

Periodo: 1P

LOGRO: Argumenta la existencia de los números irracionales. Utiliza representaciones geométricas de los números irracionales y los ubica en una recta numérica. Describe la propiedad de densidad de los números reales y utiliza estrategias para calcular un número entre otros dos.

Educador: LUIS EDUARDO BELTRAN VARGAS Socialización con estudiante y padre familia, firma: __________________

Valor del

Logro

Calificación:

DBA 1. Utiliza las propiedades de los números reales para justificar procedimientos y diferentes representaciones de subconjuntos de ellos.

Plan de refuerzo Prueba de periodo Recuperación Diagnóstico Guía-Taller

Tema: RELACIONES Y FUNCIONES

Qué concepto previo puedes tener sobre:

1. ¿Qué es una función?

2. ¿Conoces algunas clases de funciones matemáticas?

RELACIÓN: Es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación matemática, se trata

de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto. Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se habla de función. Esto quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a su vez, relaciones matemáticas, pero que las relaciones no siempre son funciones. En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce como dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombre de rango o recorrido. Las relaciones matemáticas existentes entre ellos se pueden graficar en el esquema llamado plano cartesiano. Supongamos que el dominio se llama M y el rango, N. Una relación matemática de M en Nserá un subconjunto del producto cartesiano M x N. Las relaciones, en otras palabras, serán pares ordenados que vinculen elementos de M con elementos de N. Si M = {5, 7} y N = {3, 6, 8}, el producto cartesiano de M x N serán los siguientes pares ordenados: M x N = {(5, 3), (5, 6), (5, 8), (7, 3), (7, 6), (7, 8)}

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Con este producto cartesiano, se pueden definir diferentes relaciones. La relación matemática del conjunto de pares cuyo segundo elemento es menor a 7 es R = {(5, 3), (5, 6), (7, 3), (7, 6)} Otra relación matemática que puede definirse es aquella del conjunto de pares cuyo segundo elemento es par: R = {(5, 6), (5, 8), (7, 6), (7, 8)}

La expresión f(x) indica el valor de la función f asociado al número x. Las funciones describen fenómenos cotidianos, económicos, psicológicos, científicos... Tales funciones se obtienen experimentalmente, mediante observación. Las funciones definidas a trozos, requieren de varias fórmulas, cada una de las cuales rige el comportamiento de la función en un cierto tramo.

CLASES DE FUNCIONES:

Lineales: f(x) = a*x + b;

Cuadráticas: f(x) = a*x^2 + b*x + c;

Funciones raiz: f(x) =

Funciones de proporcionalidad inversa: f(x) = k/x;

Funciones exponenciales: f(x) =

Funciones logarítmicas: f(x) = log(x);

Funciones trigonométricas: f(x) = sin(x); f(x) = cos(x); f(x) = tan(x);

Funciones arco: f(x) = asin(x); f(x) = acos(x); f(x) = atan(x);

Ejemplos:

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FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS:

La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener varios objetos del dominio. Esto da lugar a la siguiente clasificación:

La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones “uno a uno”. No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno del conjunto inicial X.

Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene al

menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y. Dicho de

otra manera, una función es sobreyectiva cuando son iguales su codominio y su dominio.

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En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

Para cada y de Y, existe al menos un x en X tal que f(x) = y

Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo

elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le

corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene

una única imagen en el conjunto final Y(condición de función inyectiva).

Digamos que no puede quedarse ningún elemento en el conjunto final Y solo, sin asociarse con un

único elemento del conjunto inicial X.

Teóricamente, una función f es biyectiva si:

Para todo y de Y, existe un único x de X tal que f(x) = y

En resumen, se pueden presentar los siguientes casos de funciones:

Ser inyectiva pero no sobreyectiva

Ser sobreyectiva aunque no inyectiva

Ser biyectiva (inyectiva y sobreyectiva)

No ser ni inyectiva ni sobreyectiva

LA RECTA

¿Qué son las líneas?

Cualquier línea está compuesta por puntos, que es la unidad gráfica mínima.

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Una serie de puntos que se sitúan uno junto al otro dan lugar a un trazo continuo, al que llamamos línea.

Cuando los puntos siguen siempre la misma dirección, forman una línea recta. Imagina

que pudiésemos ver cada uno de los puntos que forman una línea recta separados, entonces las veríamos así.

Cuando los puntos, aun siguiendo una continuidad, cambian constantemente de dirección, forman una línea curva. Si pudiésemos ver los puntos de una línea curva separados, sería

algo así.

Líneas rectas, el segmento y la semirrecta

Una recta es una línea recta infinita: no tiene ningún límite. Como eso sería imposible de

representar, dibujamos las rectas sin un punto en ninguno de sus extremos, entendiendo que eso significa que no terminan ahí sino que continúan hasta el infinito.

Para nombrar cualquier recta, utilizamos letras minúsculas, por ejemplo:

Sin embargo, también podemos limitarla con dos extremos, de modo que pasa de ser una recta a ser un segmento de recta. Cada uno de los extremos de este segmento es el

último punto de la recta a cada lado. Estos puntos, o extremos, los llamamos con letras mayúsculas y llamamos al segmento por sus dos extremos:

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Si delimitamos la recta solo en un extremo tendremos una semirrecta. La semirrecta

empieza en un punto, al que llamamos origen, desde el que se extiende también al infinito. Llamamos también al origen con una letra mayúscula:

FÓRMULA DE DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Demostración y ejemplo

Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2, se deduce la fórmula de distancia entre estos dos puntos. La demostración usa el teorema de Pitágoras. Un ejemplo muestra cómo usar la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos dadas sus coordenadas La distancia entre dos puntos P1 y P2 del plano la denotaremos por d(P1,P2 ). La fórmula de la distancia usa las coordenadas de los puntos.

La ecuación de una recta puede tener muchas formas. Pero ahora, nos vamos a centrar en ésta:

Esta es la ecuación explícita de una recta. En el primer miembro tenemos la y despejada y en el

segundo miembro tenemos dos términos, uno con x multiplicado por el coeficiente m y otro término formado por el coeficiente n. ¿Qué significan coeficientes m y n?

Voy a explicarte brevemente qué significa cada uno de ellos. No quiero entrar al detalle porque daría para otro artículo entero y tampoco es el objetivo de este post. Sólo quiero que tengas una visión global.

m es la pendiente. La pendiente tiene que ver con la inclinación de la recta con respecto al

eje x. A mayor pendiente, la recta es más inclinada y a menor pendiente, menos inclinada.

Puede ser positiva o negativa.

n es el punto donde la recta corta al eje y.

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Por ejemplo, estas son dos ecuaciones de dos rectas:

¿Cómo calcular la pendiente de una recta? Hay muchas formas de calcular la pendiente de una recta. Te voy a enseñar algunas de ellas, que va a ser las que más utilices. Como hemos dicho antes, la pendiente indica la inclinación que tiene la recta con respecto al eje x. Esta inclinación se calcula dividiendo la distancia vertical entre la distancia horizontal entre dos puntos de una recta. Esos dos puntos de una recta, en general tendrán de coordenadas (x1,y1) y (x2,y2) para los puntos 1 y 2 respectivamente:

La distancia vertical la calculamos restando las coordenadas del eje y de cada punto, y la distancia horizontal, restando las coordenadas del eje x de cada punto. Por tanto m se puede calcular con esta fórmula:

Rectas paralelas y perpendiculares.

Otra forma de obtener la pendiente de una recta es indicando que es paralela o perpendicular a otra recta dada. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente Las rectas perpendiculares guardan esta relación entre sus pendientes:

Siendo m’ la pendiente de la recta perpendicular. Forma simplificada de la ecuación de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y – y1 = m(x – x1)

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Forma segmentaria de la ecuación de la recta (ecuación simétrica)

Recta que corta el eje ordenado en b y la abscisa en a. x/a + b/y = 1 Por geometría sabemos que dos puntos determinan una recta y que dos o más puntos son colineales si pertenecen a una misma recta. Puntos Colineales: Dos o más puntos son colineales si existe una sola recta que los contenga. A una recta se le puede hacer corresponder una ecuación, si conocemos dos puntos y su pendiente. Por un punto P1(x1,y1) pasa solamente una recta l con pendiente m. para encontrar la ecuación de

la recta l supongammos que P (x,y) es cualquier punto con x ≠ x1, entonces por definición de pendiente tenemos:

, de donde; La ecuación de la recta en la forma punto-pendiente es:

Rectas Paralelas: dos rectas son geométricamente paralelas, los ángulos respecto al eje x tienen

la misma medida.

Dos rectas cualesquiera son paralela si y sólo si tienen la misma pendiente.

Rectas Secantes: Si dos rectas no son paralelas, se denominan secantes y se cortan en un solo punto.

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Dos rectas secantes son perpendiculares si al cortarse forman un ángulo recto.

Dadas las funciones f (x) x2 3x −1, g(x) 2x 3 ( f + g)(x) = f (x) + g(x) = ( x2 + 3x −1) + (2x + 3) = x2 + 5x + 2 ( f − g)(x) = f (x) − g(x) = ( x2 + 3x −1) − (2x + 3) = x2 + 3x −1− 2x − 3 = x2 + x − 4

( f g)(x) = f (x) ⋅ g(x) = ( x2 + 3x −1) (2x + 3) = 2x3 + 3x2 + 6x2 + 9x − 2x – 3 = 2x3 + 9x2 + 7x – 3 Dos rectas cualesquiera l1 y l2 son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es igual a -1.

1. Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) cualquier par de puntos del plano, la longitud d del segmento

que une a P y Q esta dada por la formula

A. D(P,Q)=

B. D(P,Q)=

C. D(P,Q)=

D. D(P,Q)=

2. La distancia entre los puntos de coordenadas (3/5) y (7/3) corresponde a

A. 5/15

B. 2/15

C. 44/15

D. 26/15

3. Sean las parejas M (x1, y1) y N (x2, y2); cuyas coordenadas del punto medio son (0, 4),

las coordenadas correspondientes a M y N son

A. ( 0, 7) y (0, -1)

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B. ( 7, 2) y (-7, 0)

C. ( 2, 7) y (-2, 1)

D. ( -2, 1) y (2, 3)

4. Dados A= {3, 6, 9, 5, 12} y B= {1, 2, 3, 4, 5, 6}; escribir una relación R que

corresponda a cada conjunto de parejas ordenadas

a. { (3, 1), (6, 2), (9, 3), (12, 4)}

b. { (3, 1), (6, 4), (5, 3) }

Comprueba que el triángulo con vértices en A(2,3), B(-1,6) y C(-4,3) es rectángulo

isósceles

5. Hallar los elementos del Rango R para cada una de las siguientes funciones.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

RESOLVER

1. ¿Cuáles de las siguientes gráficas representan funciones?

3)( xxfy

2)( xxfy

3)( xxfy

3

2)(

x

xxfy

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2. ¿Cuáles de las siguientes correspondencias representan funciones?

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3. La gráfica de la función f aparece a continuación.

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Halla:

a) Dominio k) Valores de x donde g(x) < 0

b) Campo de Valores l) Valores de x donde g(x) ≤ 0

c) Interceptos en el eje de x m) Intervalos donde g es:

d) Intercepto en el eje de y 1) Creciente

e) g(7) 2) Decreciente

f) g(−1) 3) Constante

g) Valores de x donde g(x) = 2

h) Valores de x donde g(x) = −1

i) Valores de x donde g(x) > 0

j) Valores de x donde g(x) ≥ 0

4. Halla los interceptos en x y el intercepto en y de las siguientes funciones: n(x) = x2 − 5x + 6 b) g(x) = 5x f) q(x) = x3 − 2x2 − 4x

5. Sea f (x) = x2 + 3x −1 y g(x) = 2x + 3 . Halla: ( f + g)(−1) ( f − g)(−1)