TEORÍA HIDRODINÁMICA:

La teoría actual de la lubricación hidrodinámica se originó en el laboratorio de Beauchamp Tower a principios de la década de 1880 en Inglaterra. Tower había sido contratado para estudiar la fricción en chumaceras de ferrocarriles. Los resultados de su estudio fueron las curvas obtenidas de las distribuciones de presión en el cojinete.

En base a estos resultados obtenidos por Tower, O. Reynolds mediante el desarrollo de la teoría de lubricación hidrodinámica explica que debía haber una ecuación definida que relacionara la fricción, la presión y la velocidad. La teoría matemática actual de lubricación se basa en el trabajo de Reynolds derivada de los experimentos de Tower.

Hipótesis:

Reynolds imaginó que el lubricante se adhería a ambas superficies y que la superficie móvil lo jalaba hacia un espacio cuneiforme con estrechamiento progresivo, para crear una presión en el fluido o película. Uno de los más importantes supuestos simplificadores se originó gracias a la observación de Reynolds, según la cual las películas de fluido eran tan delgadas, en comparación con el radio del cojinete, que la curvatura se podría ignorar. Otros supuestos fueron:

El lubricante obedece al efecto viscoso de Newton. Se debe hacer caso omiso a las fuerzas debidas a la inercia del lubricante. Se supone que el lubricante es incompresible. Se considera que la viscosidad es constante en toda la película. La presión no varía en la dirección axial. El buje y el muñón se extienden de manera infinita en la dirección z, lo que significa que no

puede haber flujo de lubricante en dicha dirección. La presión en la película es constante en la dirección y. En consecuencia, la presión solo

depende de la coordenada x. La velocidad de cualquier partícula del lubricante en la película solo depende de las

coordenadas x y y.

La figura anterior se presenta un muñón, suportado por una película de lubricante de espesor variable h sobre un cojinete parcial fijo. Se especifica que el muñón tiene una velocidad superficial constante U. Mediante el supuesto de Reynolds, que hace referencia a que la curvatura se puede despreciar, se establece un sistema de referencia xyz para el cojinete estacionario.

A continuación se selecciona un elemento de lubricante de la película de dimensiones dx, dy y dz y se calculan las fuerzas que actúan en los lados de ese elemento. Las fuerzas normales debidas a la presión actúan sobre las caras derecha e izquierda del elemento y las fuerzas cortantes debidas a la viscosidad y a la velocidad, actúan sobre las caras superior e inferior. Se obtiene:

∑ F x=pdydz−( p+ dpdx dx)dydz−τdxdz+(τ+ ∂ τ∂ y dy)dxdz=0Lo cual se reduce a:

dpdx

= ∂ τ∂ y

De la ecuación del efecto viscoso de Newton se tiene:

τ=μ ∂u∂ y

Donde se hace uso de la derivada parcial porque la velocidad u depende tanto de x como de y, reemplazando se tiene:

dpdx

=μ ∂2u∂ y2

Manteniendo x constante, se integra ahora dos veces esta expresión con respecto a y, lo que da como resultado:

∂u∂ y

=1μdpdxy+C1

u=1μdpdxy2+C1 y+C2

También se supone que no hay deslizamiento entre el lubricante y las superficies limítrofes. De aquí se originan dos conjuntos de condiciones de frontera para evaluar las constantes C1 y C2:

En y=0 , u=0

En y=h ,u=U

Sustituyendo las condiciones de frontera y despejando las constantes:

C1=Uh

− h2 μdpdx

C2=0

u= 12 μdpdx

( y2−hy )+Uhy

Esta ecuación proporciona la distribución de la velocidad del lubricante en la película como una función de la coordenada y así como el gradiente de presión dp/dx. La ecuación evidencia que la distribución de la velocidad a lo largo de la película (desde y=0 hasta y=h) se obtiene superponiendo una distribución parabólica (primer término) en una distribución lineal (segundo término). Para cuando la presión es un máximo, dp/dx=0 y la velocidad está dada por:

u=Uhy

Que es una relación lineal. Se define Q como volumen de lubricante que fluye en la dirección x por unidad de tiempo. Con un ancho unitario en la dirección z, el volumen se obtiene mediante la expresión:

Q=∫0

h

udy

Sustituyendo el valor de u de la ecuación hallada anteriormente dentro del integral se tiene:

Q=Uh2

− h3

12 μdpdx

De las hipótesis se tiene para un lubricante incompresible y se establece que el flujo sigue siendo el mismo para cualquier sección transversal, de esta manera:

dQdx

=0

Entonces derivando Q e igualando a 0 se tiene:

dQdx

=U2dhdx

− ddx ( h

3

12μdpdx )=0

ddx ( h

3

μdpdx )=6U dhdx

LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON

Para un flujo bien ordenado en el que las partículas de fluido se mueven en líneas rectas y paralelas (flujo paralelo), la ley establece que para ciertos fluidos conocidos como fluidos newtonianos, el esfuerzo cortante sobre una interfaz tangente a la dirección de flujo es proporcional a la tasa de cambio de la velocidad con respecto a la distancia, donde la diferenciación se toma en una dirección normal a la interfaz. Matemáticamente se establece como:

τ α∂V∂η

Se escoge un área infinitesimal en el flujo que sea paralela al eje de velocidad horizontal. Se dibuja la normal n a esta área y se grafican las velocidades del fluido en puntos a lo largo de la normal, formando de esta manera un perfil de velocidad. La pendiente del perfil hacia el eje n en la posición correspondiente al elemento de área es el valor de ∂V /∂η que se relaciona con el esfuerzo cortante τ presente en la interfaz como describe la ley.

Al insertar el coeficiente de proporcionalidad en la ley de viscosidad de Newton se llega al resultado:

τ=μ ∂V∂η

Donde µ se conoce como el coeficiente de viscosidad.

Variables:

Las variables que presenta esta ley son: el esfuerzo cortante, la velocidad del fluido y el espesor del fluido en dirección n.